Moto uniformemente accelerato

http://cosmo.fisica.unimi.it/didattica/corsi/fisica-generale-con-elementi-di-fisica-tecnica/fisica-generale-fisica-tecnica-20142015/

Mailing list Aniello.Mennella@mi.infn.it

Nella maggioranza dei moti la velocità non è costante

Nell’esempio le macchine partono da ferme, quindi con velocita nulla.La velocità nella prima fase del moto aumenta da zero ad un valore massimo.Poi si attesta attorno al valore di crociera.Alla fine diminuisce fino a tornare a zero.

0 100 200 300 400 5000

20

40

60

80

100

v(m/s)

t(s)

0 100 200 300 400 5000

20

40

60

80

100

v(m/s)

t(s)

Moto rettilineo uniforme Moto vario

vmedia=100/9,69=10,3199 m/s

Riprendiamo l’esempio di Usain Bolt. Qui siamo a Pechino

100 m in 9.69 s

t(s) s(m)

0,17 0,2

1,85 10

2,87 20

3,78 30

4,65 40

5,50 50

6,32 60

7,14 70

7,96 80

8,79 90

9,69 100

Passaggi ogni 10 m. vmedia=10,3199 m/s

Dt(s) Ds(m)

0,17 0,2

1,68 10

1,02 10

0,91 10

0,87 10

0,85 10

0,82 10

0,82 10

0,82 10

0,83 10

0,9 10

t(s) v(m/s)

0,17 1,17

1,85 5,95

2,87 9,8

3,78 10,98

4,65 11,49

5,50 11,76

6,32 12,19

7,14 12,19

7,96 12,19

8,79 12,04

9,69 11,11

0 2 4 6 8 10

0

20

40

60

80

100

s(m)

t(s)

0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

12

14

v(m/s)

t(s)

0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

12

14

v(m/s)

t(s)

Moto rettilineo uniforme (quasi)

Moto rettilineo uniformementeaccelerato

Accelerazione

a =Dv

Dt

Le dimensioni dell’accelerazione sono:

velocità

tempo

spazio

tempo2=

E si misura in m/s2

Legge della velocità

0 100 200 300 400 5000

20

40

60

80

100

v(m/s)

t(s)0 100 200 300 400 500

0

20

40

60

80

100

v(m/s)

t(s)

Moto uniforme Moto uniformemente accelerato

v=costante v=v0+at

Se l’accelerazione è costante il moto è detto uniformemente accelerato.

0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100

v(m/s)

t(s)

Dsi=viDtiPer un intervallo di tempo Dti molto corto:

Per tanti intervalli di tempo Dti : Ds=SviDti

Per un intervallo di tempo Dt lungo a piacere: Ds=vDt/2

0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100

v(m/s)

t(s)

v

Di

t

0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100

v(m/s)

t(s)

0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100

v(m/s)

t(s)

v

Dt

0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100

v(m/s)

t(s)

Per un intervallo di tempo Dt lungo a piacere: Ds=vDt/2

0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100

v(m/s)

t(s)

v

Di

t

0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100

v(m/s)

t(s)

0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100

v(m/s)

t(s)

v

DtΔtv

2

1Δs Δtta

2

1Δs 2ta

2

1Δs In generale:

200 at

2

1tvss

Per chi si ricordi che cosa sono derivate e integrali:

dt

dva

2

2

dt

xd

adtv vdtx

Se il moto è uniformemente accelerato, a = cost:

adtv dta ta vdtx atdt tdta 2at

2

1

Legge oraria

0 100 200 300 400 5000

20

40

60

80

100

s(m)

t(s)0 100 200 300 400 500

0

20

40

60

80

100

s(m)

t(s)

200 at

2

1tvss

Moto uniformemente accelerato

vtss 0

Moto uniforme

0 100 200 300 400 5000

20

40

60

80

100

s(m)

t(s)0 100 200 300 400 500

0

20

40

60

80

100

s(m)

t(s)

S0=0V0=0

2at2

1s

V0=0

20 at

2

1ss

Una formula utile: il legame tra spostamento e velocità

v=v0+at

200 at

2

1tvss

v-v0=at t=(v-v0)/a

200 at

2

1tvss

2

200

00 a

)v(va

2

1

a

)v(vvss

a

)v(v

2

1

a

)v(vv

200

0

))v(v2

1(v

a

)v(vss 00

00

)v(v

2

1

a

)v(v0

0

a

)v(v

2

1 20

2

Tutti i corpi, che non siano trattenuti,

cadono verso terra con accelerazione

costante g=9.8 m/s2.

L’aria trattiene il corpo e frena il moto

in modo diverso a seconda della forma

del corpo

Caduta libera nel vuoto.

Caduta libera nel vuoto

Di solito si posiziona l’asse z con l’origine a terra.

z=0

asse z

Il corpo quindi ha una posizione iniziale non nulla:

z0=h

h

g

La componente dell’accelerazione lungo l’asse z è

Negativa -g

Nella caduta libera la velocità iniziale è nulla:

v0=0

z=0

asse z

h

g

Legge della velocità

Dv

Dta= = -g

v-v0

t-t0

= -gv0=0

t0=0

v=-gt

z=0

asse z

h

gLegge oraria

v0=0

t0=0

v=-gt

z0=hz=z0- gt21

2

200 at

2

1tvzz

0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100

s(m)

t(s)0 2 4 6 8 10

-100

-80

-60

-40

-20

0

v(m/s)

t(s)

v=-gt z=z0- gt212

Esercizio 1

Quanto ci mette un corpo a cadere da

1m

10m

100m

1km

z=z0- gt212 z0

z=0

0=z0- gt212

z0= gt212

g

zt 02 2

g

zt 02

8.9

2t

st 45.0

Esercizio 1

Quanto ci mette un corpo a cadere da

1m

10m

100m

1km

z=z0- gt212

z0

z=0

0=z0- gt212

z0= gt212

g

zt 02 2

g

zt 02

8.9

102xt

st 42.1

Esercizio 1

Quanto ci mette un corpo a cadere da

1m

10m

100m

1km

z=z0- gt212

z0

z=0

0=z0- gt212

z0= gt212

g

zt 02 2

g

zt 02

8.9

1002xt

st 51.4

Esercizio 1

Quanto ci mette un corpo a cadere da

1m

10m

100m

1km

z=z0- gt212

z0

z=0

0=z0- gt212

z0= gt212

g

zt 02 2

g

zt 02

8.9

10002xt

st 28.14

La formula che abbiamo usato:

g

z2t 0

vale in generale nella caduta libera.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

t(s)

z0(m)

Z0(m) t(s)

1 0.4510 1.42100 4.511000 14.28

Esercizio 2

Una persona, su un grattacielo alto 100 m, lancia una palla verso l’alto con una velocità di 20 m/s. Denominando i punti del moto come in figura, calcolare:

A

B

C

D

E

1) Tempo di arrivo e posizione in B2) Tempo d’arrivo e velocità in C3) Se passa da D dopo 6 secondi, po- sizione e velocità in D4) Tempo di arrivo e velocità in E5) Velocità media del moto.

Esercizio 2

zA=100m, posizione iniziale

vA=20 m/s, velocità iniziale. A

B

C

D

E

v=vA-gtz=zA+vAt-1/2 gt2

0 2 4 6 8-80

-60

-40

-20

0

20

v(m/s)

t(s)

0 2 4 6 80

20

40

60

80

100

120

s(m)

t(s)

Esercizio 2

zA=100m

vA=20 m/s. Questa è la velocità iniziale.

Chiamo tB il tempo di arrivo in B.

A

B

C

D

E

1) Tempo di arrivo e posizione in B

Dato che il corpo in B si ferma e torna indietro, in quel punto la sua velocità è nulla, vB=0.

v=vA-gt

vB=vA-gtB=0 tB=vA/g

A

B

C

D

E

1) Tempo di arrivo e posizione in B

0 2 4 6 8-80

-60

-40

-20

0

20

v(m/s)

t(s)

0 2 4 6 80

20

40

60

80

100

120

s(m)

t(s)

tB=vA/g tB=20/9.8 s = 2.04s

BB

z=zA+vAt-1/2 gt2

zB=zA+vAtB-1/2 gtB2zB=100+vAtB-1/2 gtB

2zB=100+20tB-1/2 9.8tB2

zB=100+20x2.04-1/2 9.8x2.042zB=120.4 m

A

B

C

D

E

2) Tempo di arrivo e velocità in C

0 2 4 6 8-80

-60

-40

-20

0

20

v(m/s)

t(s)

0 2 4 6 80

20

40

60

80

100

120

s(m)

t(s)

C

z=zA+vAt-1/2 gt2

0=20tC-1/2 9.8tC2

zC=zA+vAtC-1/2 gtC2

In C si ha che zC=zA

C

tC(20-1/2 9.8tC)=0

A

B

C

D

E

2) Tempo di arrivo e velocità in C

0 2 4 6 8-80

-60

-40

-20

0

20

v(m/s)

t(s)

0 2 4 6 80

20

40

60

80

100

120

s(m)

t(s)

C

0=20tC-1/2 9.8tC2

C

tC(20-1/2 9.8tC)=0

tC=0

(20-1/2 9.8tC)=0

1/2 9.8tC=20 tC=20x2/9.8 =4.08 s

A

B

C

D

E

2) Tempo di arrivo e velocità in C

0 2 4 6 8-80

-60

-40

-20

0

20

v(m/s)

t(s)

0 2 4 6 80

20

40

60

80

100

120

s(m)

t(s)

CC

tC=4.08 s

vC=vA-gtC =20-9.8x4.08

v=vA-gt

=20-40 =-20 m/s

0 2 4 6 80

20

40

60

80

100

120

s(m)

t(s)

A

B

C

D

E

3) Posizione e velocità in D

0 2 4 6 8-80

-60

-40

-20

0

20

v(m/s)

t(s)

D D

tD=6 svD=vA-gtD =20-9.8x6

v=vA-gt=20-58.8=-38.8 m/s

z=zA+vAt-1/2 gt2 zD=zA+vAtD-1/2 gtD2

zD=100+20x6-1/2 9.8x62=100+120-176.4 =43.6m

0 2 4 6 80

20

40

60

80

100

120

s(m)

t(s)

A

B

C

D

E

4) Tempo d’arrivo e velocità in E

0 2 4 6 8-80

-60

-40

-20

0

20

v(m/s)

t(s)

E

E

zE=0 v=vA-gt z=zA+vAt-1/2 gt2

zE=zA+vAtE-1/2 gtE2 0=100+20tE-1/2 9.8xtE

2

4.9xtE2-20tE-100=0

8.9

9.4100440020 xxtE

8.9

58.4820

8.9

58.4820 s99.6

0 2 4 6 80

20

40

60

80

100

120

s(m)

t(s)

A

B

C

D

E

4) Tempo d’arrivo e velocità in E

0 2 4 6 8-80

-60

-40

-20

0

20

v(m/s)

t(s)

E

E

zE=0 v=vA-gt stE 99.6

vE=vA-gtE vE=20-9.8x6.99 =20-68.5

=-48.5 m/s

A

B

C

D

E

5) Velocità media

0 2 4 6 8-80

-60

-40

-20

0

20

v(m/s)

t(s)

E

v=vA-gt vE=-48.5 m/s

vmedia=(vE+vA)/2 =(-48.5+20)/2 =-28.5/2

=-14.25

=-100/7

vscalare media=140.8/7

=20.11

Esercizio 3• Un’auto viaggia con velocità costante di 70 km/h, valore oltre il limite di velocità.

Dietro un cartellone pubblicitario c’è appostata una moto dei vigili urbani, che, dopo un secondo dal passaggio dell’auto, parte all’inseguimento. La moto ha un’accelerazione di 3 m/s2.

• Quando la moto raggiunge l’auto?

0 10 200

200

400

s(m)

t(s)

0 10 200

200

400

a,0a vv

tva,0 2mm,0m,0m ta

2

1tvss

AutoMoto rettilineo uniforme

= 70 km/h

tvss a,00a

MotoMoto uniformemente accelerato

tavv mm,0m )t(tavv 0mm,0m

20m0m,0m,0m )t(ta

2

1)t(tvss

20mm )t(ta

2

1s

2m )1(t3

2

1s

t44.19sa

= 70*1000/3600 m/s = 19.44 m/s

Definiamo come t=0 l’istante in cui la macchina passa davanti al cartellone

0 10 200

200

400

s(m)

t(s)

0 10 200

200

400

t44.19sa 2m )1(t3

2

1s

ma ss 2)1(t32

1t44.19

t44.191.5t3t5.1 2 01.5t44.22t5.1 2

5.12

5.15.1444.2244.22t

2

x

xx

5.12

23.2244.22

x

=0.067 s

=14.89 s

0.067<1 Precedente alla partenza della motoDa scartare

Sicurezza stradale e cinematica

Tempo di reazione e distanze di sicurezza

Il tempo di reazione è l’intervallo di tempo che passa tra il momento in cui si percepisce un pericolo e il momento in cui si inizia ad agire per evitarlo. In condizioni normali il tempo di reazione è circa 0.75-1 s .Se il conducente è sotto l’effetto di alcol, il tempo di reazione aumenta esponenzialmente col tasso alcolico.Per esempio, in stato di euforia debole (alcolemia=0.4 g/l), il tempo di reazione è 1.5 s.

Da quando vede un ostacolo, il conducente di un veicolo impiega circa 1 s prima di iniziare a frenare e percorre uno spazio di reazione Δsr = v (1 s) che dipende dalla velocità v a cui procede. Se l’ostacolo dista meno di Δsr metri dall’auto, l’automobilista non ha neppure il tempo per iniziare a frenare e urta contro l’ostacolo con la velocità v.

0 50 100 150 2000

20

40

60

s(m)

v(km/h)

Lo spazio di frenata è la distanza che un veicolo percorre fra l’inizio della decelerazione e l’arresto. Nell’ipotesi che la decelerazione prodotta dai freni sia costante, il moto del veicolo è uniformemente accelerato. La velocità iniziale v0 , lo spazio di frenata , quella finale v = 0 m/s, l’accelerazione (<0) e lo Δsf sono legati dalla relazione :

Lo spazio di frenata dipende dalle condizioni del veicolo e dal fondo stradale, che determinano il valore della decelerazione. Lo spazio di frenata cresce con il quadrato della velocità.Per un’automobile in buone condizioni, su una strada con aderenza media, gli spazi di frenata sono molto vicini a:

Gli spazi di frenata aumentano in modo considerevole in caso di pioggia o ghiaccio e quando le gomme sono sgonfie o comsumate.

v (km/h) Δsf (m)

25 4

50 16

90 52

130 110

Spazio di frenata

|a|

v

2

1

a

)v(v

2

1s

20

20

2

f

a=-6 m/s2

Distanza di sicurezza

La distanza di sicurezza è la distanza che un veicolo deve mantenere da quello che lo precede per potersi arrestare senza urtarlo.La distanza di sicurezza Δss è la somma dello spazio di reazione e dello spazio di frenata:

Δss = Δsr + Δsf

0 20 40 60 80 100 120 1400

20

40

60

80

100

120

sf(m

)

v(km/h)

Δsr 

Δss 

A 50 km/h, Dss= 35 m

A 100 km/h, Dss= 110 m

Conclusione

• Guidare sempre sobri e senza aver fumato canne (non parliamo poi di altre sostanze)

• Mettersi nelle condizioni di vederci bene

• Fare attenzione a ghiaccio, neve, pioggia, stato degli pneumatici e dei freni

• Guidare a bassa velocità