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________________________________________________________________________________________________________________________________________________ pag. 1-14 Fisica Tecnica G. Grazzini UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Superfici estese Nella legge di Newton per la convezione compare la superficie di scambio insieme al coefficiente di convezione; perciò se non riusciamo ad aumentare quest'ultimo, tenteremo di accrescere la superficie di scambio creando delle sporgenze dette alette. Vediamo come sia possibile valutare il calore scambiato da una superficie alettata. Consideriamo, con riferimento alla figura, una barra rettangolare sporgente per una lunghezza l dalla parete S e con il lato L ad essa unito molto maggiore dell'altro; il materiale sia omogeneo, isotropo con conducibilità termica k; la sezione costante di spessore 2s; lo scambio termico avvenga con un fluido a temperatura T f . Assumiamo trascurabile la variazione di temperatura sulla sezione A di perimetro P rispetto a quella lungo l'asse della sbarra, così da porci in condizioni di monodimensionalità, infine consideriamo una situazione stazionaria. Utilizzando la legge di Fourier e quella di Newton nel bilancio energetico eseguito alla coordinata x per un volume L·2s·dx, potremo scrivere: T f l L 2s dx x T s
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Fisica Tecnica G. Grazzini
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
Superfici estese
Nella legge di Newton per la convezione compare la superficie di scambio insieme al
coefficiente di convezione; perciò se non riusciamo ad aumentare quest'ultimo, tenteremo
di accrescere la superficie di scambio creando delle sporgenze dette alette. Vediamo come
sia possibile valutare il calore scambiato da una superficie alettata.
Consideriamo, con riferimento alla
figura, una barra rettangolare sporgente per
una lunghezza l dalla parete S e con il lato L
ad essa unito molto maggiore dell'altro; il
materiale sia omogeneo, isotropo con
conducibilità termica k; la sezione costante
di spessore 2s; lo scambio termico avvenga
con un fluido a temperatura Tf. Assumiamo
trascurabile la variazione di temperatura
sulla sezione A di perimetro P rispetto a
quella lungo l'asse della sbarra, così da porci
in condizioni di monodimensionalità, infine
consideriamo una situazione stazionaria.
Utilizzando la legge di Fourier e quella di Newton nel bilancio energetico eseguito alla
coordinata x per un volume L·2s·dx, potremo scrivere:
Tf
l
L
2s
dx
x
Ts
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−+
−+−=− dxdx
dTk
dx
d
dx
dTkAdxTThP
dx
dTkA f )(
che con h e k costanti diviene
)(2
2
fTTkA
hP
dx
Td−=
se si pone m2 = hP / k A si può scrivere )(2
2
2
fTTmdx
Td−=
equazione differenziale che ha per soluzione generale
T - Tf = C1 emx
+ C2 e-mx da cui imponendo le condizioni al contorno, cioè che per
x = 0 T = Ts
(temperatura alla base eguale a quella della parete)
e
x = l Q = hl A (T1- Tf)
(Perdite convettive all'estremità)
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si ottiene la distribuzione di temperatura:
[ ]
[ ]
[ ][ ]ml
xlm
mltghmk
h
xlmtghmk
h
TTTTl
l
fsfcosh
)(cosh
1
)(1
)()(−
⋅+
−+⋅−=−
ricordando la definizione delle funzioni iperboliche:
cosh(x)=(ex + e-x)/2 ; senh(x)=(ex - e-x)/2 ; tgh(x)= senh(x)/cosh(x)
Imponendo: 0=
−=xdx
dTkAQ
si ottiene la potenza termica dispersa verso il fluido:
[ ]
[ ]mltghmk
h
mltghmk
h
TTmAkQl
l
fs
+
+⋅−=1
)(
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Ci sono due casi in cui hl=0, quando l'aletta è adiabatica all'estremità o quando l=∞ per cui la temperatura di estremità è eguale a quella del fluido; per ambedue:
[ ]mltghTTmAkQ fs )( −=
Se invece abbiamo hl=h essendo dalla definizione di m: hPAkmAk =
si ha:
[ ]
[ ]
+
+⋅−=
mltghmk
h
mltghh
mk
TTAhQ fs
1
1
)(
Se indichiamo con B il termine racchiuso nella parentesi quadra, notiamo che se esso vale
1, il calore disperso è pari a quello in assenza di aletta e che solo se B>1 si ha un
vantaggio.
Avremo
B = 1 se m = h/k
B > 1 se m > h/k
B < 1 se m < h/k.
D'altra parte si può scrivere:
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1)()( 222 =⇒=⇒=⇒=hA
kP
k
h
kA
hP
k
hm
k
hm
da cui, se L>>2s e quindi P/A ≅ 1/s , si ottiene
Bihs
k
shL
LsLk
shL
sLk
hA
kP 1
2
)/21(2
2
)2(2=≅
+=
+=
dove Bi = h s / k è il numero di Biot per cui si vede che se Bi < 1 conviene utilizzare
alette, oppure che in questo caso una struttura si comporta effettivamente come un' aletta.
Definiamo infine il rendimento dell'aletta come il rapporto tra il flusso termico
effettivamente scambiato ed il flusso termico che verrebbe scambiato se l'intera aletta
fosse a temperatura uniforme uguale a Ts, ossia:
1)(<
−=
fsa
aTThS
Qη
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Se l'aletta è adiabatica, è:
η=tgh(mL)/mL
con ktL
hLmL
32=
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Il rendimento totale di una superficie S alettata si ottiene considerando insieme la
superficie libera dalle n alettature (S - nA) avente rendimento unitario e la superficie
alettata nSa con il suo rendimento :
[ ]S
nSnAS
TTSh
TThnSnAS
Q
Q aa
fs
fsaa
T
S
s
ηηη
+−=
−
−+−==
)(
)(
)()(
Tale rendimento è >1
Q= ηS S h (TS- Tf)
Per una parete come da figura avremo
Q = (Tf1-Tf2)/Rt
con
222111
11
hSR
hSR
S
c
S
t ηη++=
Tf2 Tf1
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TRANSITORIO Per un corpo solido in raffreddamento il I° Principio della Termodinamica comporta:
)( fs TThAQU
−==∆∆θ con T superficie uniforme.
Se anche all'interno T è uniforme e pari a quella della superficie, allora:
- c m dT = h AS (T - Tf ) dθ (modello a parametri concentrati) Con una sostituzione e separando le variabili:
θdcm
hA
TT
TTd
TT
dT s
f
f
f
−=−
−=
− )(
)(
)( che può essere integrata assumendo h, m, c
costanti. Essendo T0 la temperatura iniziale, si ottiene:
θcm
hA
TT
TTs
f
f −=−
−
)(
)(ln
0 da cui:
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θcm
hA
f
fs
eTT
TT −=
−
−
)(
)(
0
costante di tempo = c m/ h AS ⇒ (T - Tf ) = 0.368(T0 - Tf )
)(
)(
0 f
f
TT
TT
−
−
La linea rossa indica la
costante di tempo, cioè quando
l'esponente di e è pari all'unità
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 5000 10000 15000 20000 25000
tempo [s]
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Se V = As L si può scrivere:
FourierBiot
FoBiL
ak
hL
Lc
k
k
hL
LLkc
Lkh
Lc
h
Vc
hA
cm
hA ss
⋅
⋅=
=
====22
θθρρ
θρθ
ρθθ
