L’equazione della retta. Una retta su un piano cartesiano è sempre rappresentata da...

L’equazione della retta

Una retta su un piano cartesiano è sempre rappresentata da un’equazione di primo grado nelle lettere x e y (o anche solo la x o solo la y)

Le coordinate di un punto appartenente ad una retta devono soddisfare l’equazione della retta stessa.

Rette parallele all’asse delle y

Inseriamo nel piano cartesiano i punti A(2,1), B(2,-3), C(2,-½), D(2,3).

Osserviamo che hanno tutti la prima coordinata (la x) uguale a 2


A

B

C

D

x

y

O


Osserviamo che sono tutti allineati


A

B

C

D

x

y

O


Ma se prendessimo un qualunque altro punto, chiamiamolo E, sulla retta appena disegnata avrebbe sicuramente prima coordinata uguale a 2


A

B

C

D

x

y

O

?)E(2,

?)E(2,

?)E(2,


Quindi a quella retta appartengono tutti e solo i punti che hanno la prima coordinata, la x, uguale a 2.Pertanto l’equazione della retta è:

2x


Ovviamente se avessimo preso dei punti aventi prima coordinata, anziché 2, ad esempio -1 e li avessimo uniti con una retta, tale retta avrebbe avuto equazione:

1x


Possiamo quindi concludere che una retta parallela all’asse y ha sempre equazione

numerox

Esercizi

Determinare l’equazione della retta parallela all’asse y passante per il punto A(-3,1).Sappiamo che una retta parallela all’asse y ha equazioneDal momento che tale retta passa per il punto A avente prima coordinata uguale a -3 , la sua equazione è

numerox

3x

Esercizi

Determinare l’equazione dell’asse y

Sappiamo che una retta parallela all’asse y ha equazioneDal momento che tale retta passa per l’origine che ha prima coordinata uguale a 0, l’equazione dell’asse y è

numerox

0x

Esercizi

Disegnare la retta di equazione

Sappiamo che una retta di equazione

È una retta parallela all’asse y. Scegliamo allora un qualunque punto avente ascissa 1, ad esempio A(1,0) e disegniamo una retta verticale passante per tale punto risolvendo il problema

numerox

1x


x

y

O )0,1(A

Rette parallele all’asse delle x

Inseriamo nel piano cartesiano i punti A(2,3), B(-1, 3), C(½,3), D(-2,3).

Osserviamo che hanno tutti la secondacoordinata (la y) uguale a 3


D B C A

x

y

O


Osserviamo che tutti i punti sono allineati


D B C A

x

y

O


Ma se prendessimo un qualunque altro punto, chiamiamolo E, sulla retta appena disegnata avrebbe sicuramente come seconda coordinata 3


D B C A

x

y

O

)3(?,E)3(?,E)3(?,E


Quindi a quella retta appartengono tutti e solo i punti che hanno la seconda coordinata, la y, uguale a 3.Pertanto l’equazione della retta è:

3y


Possiamo quindi concludere che una retta parallela all’asse x ha sempre equazione

numeroy

Esercizi

Determinare l’equazione della retta parallela all’asse x passante per il punto A(3,-2).Sappiamo che una retta parallela all’asse x ha equazioneDal momento che tale retta passa per il punto A avente seconda coordinata uguale a -2 , la sua equazione è

numeroy

2y

Esercizi

Determinare l’equazione dell’asse x

Sappiamo che una retta parallela all’asse x ha equazioneDal momento che tale retta passa per l’origine che ha seconda coordinata uguale a 0, l’equazione dell’asse x è

numeroy

0y

Esercizi

Disegnare la retta di equazione

Sappiamo che una retta di equazione

è una retta parallela all’asse x. Scegliamo allora un qualunque punto avente ordinata 1, ad esempio A(0,1) e disegniamo una retta orizzontale passante per tale punto risolvendo il problema

numeroy

1y

A(0,1)

x

y

O

Rette passanti per l’origine

Si consideri una qualunque retta passante per l’origine, e prendiamo su di essa due punti

e ),( AA yxA ),( BB yxB

x

y

O

A

B


Da A e da B tracciamo due segmenti che arrivano perpendicolarmente all’asse delle x, formando i triangoli OHA e OKB

x

y

O

A

B

H K


I due triangoli sono simili (perché hanno l’angolo di vertice O in comune ed un angolo retto). Quindi, per una proprietà dei triangoli simili, risulta:

Ma AH è l’ordinata del punto A e OH la sua ascissa, così come BK è l’ordinata del punto B e BK la sua ascissa. Quindi l’equazione precedentediventa:

OK

BK

OH

AH

OK

BK

OH

AH

B

B

A

A

x

y

x

y


E se scegliessimo un altro puntosulla retta risulterebbe

In altre parole, ogni punto su quella retta ha sempre lo stesso rapporto fra la sua coordinata y e la sua coordinata x. In formule:

),( CC yxC

B

B

A

A

C

C

x

y

x

y

x

y

costantex

y


Tale costante è chiamata coefficiente angolare e si indica con la lettera m (minuscola da non confondere con M che indica il punto medio).Pertanto l’equazione di una qualunque retta passante per l’origine è

Da cui si ricava, moltiplicando per x a destra e a sinistra:

mx

y

mxy


Ricapitolando: ogni retta passante per l’origine ha equazione:

Comprendiamo bene questo concetto: sappiamo che per ogni punto, e quindi anche per l’origine, passano infinite rette.

mxy

x

y

O

3m1m

2

1m

3

1m

1m


Ad ognuna delle infinite rette corrisponde unvalore di m. Quindi con l’equazione y=mx non si rappresenta una sola retta bensì le infinite rette passanti per l’origine.Appena si da un valore ad m le infinite rette diventano una soltanto

Scegliamo ad esempio m=3

La retta che rimane ha equazione y=3x

x

y

O

3m1m

2

1m

3

1m

1m

Osservazione importante

L’equazione y=mx rappresenta tutte le rette passanti per l’origine tranne una:l’asse y che ha equazione x=0.

Quindi y=mx assieme alla retta x=0, rappresentano tutte (ma proprio tutte) le rette passanti per l’origine

Esercizi

Determinare la retta passante per l’origine e per il punto (2,4).

Una retta passante per l’origine ha equazione y=mx.Bisogna trovare quel valore di m tale che la retta passi per il punto scelto. Sostituiamo nell’ equazione y=mx, alla x la x del punto e alla y la y delpunto mxy 24 m

Esercizi

Quindi

Trovato il valore di m lo sostituiamo nell’equazione y=mx che diventa

che è l’equazione cercata

22

4

2

242 mmm

xy 2

Esercizi

Determinare la retta passante per l’origine e per il punto (3,-5).

Una retta passante per l’origine ha equazione y=mx.Bisogna trovare quel valore di m tale che la retta passi per il punto scelto. Sostituiamo nell’ equazione y=mx, alla x la x del punto e alla y la y delpunto mxy 35 m

Esercizi

Quindi

Trovato il valore di m lo sostituiamo nell’equazione y=mx che diventa

che è l’equazione cercata

3

5

3

5

3

353 mmm

xy3

5

Esercizi

Determinare la retta passante per l’origine e per il punto (0,5).

Una retta passante per l’origine ha equazione y=mx.Si osserva però che il punto scelto è sull’asse y.Pertanto la retta cercata è proprio l’asse y che ha equazione

0x

Esercizi

Determinare se il punto (4,6) appartiene alla retta

Bisogna sostituire alla y e alla x le coordinate del punto e vedere se soddisfano l’equazione

xy2

3

6y

62342

3

2

3x

Esercizi

Dal momento che il primo termine coincide col secondo le coordinate del punto soddisfano l’equazione e quindi il punto (4,6) appartiene alla retta

xy2

3

Esercizi

Determinare se il punto (3,2) appartiene alla retta

Bisogna sostituire alla y e alla x le coordinate del punto e vedere se soddisfano l’equazione

xy 4

2y

12344 x

Esercizi

Dal momento che il primo termine è diverso dal secondo le coordinate del punto non soddisfano l’equazione e quindi il punto (3,2) non appartiene alla retta

xy 4

Equazione di una retta qualunque

Abbiamo visto che una qualunque retta per l’origine ha equazione y=mx. Prendiamo per esempio la retta y=2x

y=2x

x

y

O

Equazione di una retta qualunque

Ad essa appartengono tutti i punti la cui seconda coordinata, la y, è doppia della prima, la x. Ad esempio (1;2), (-3;-6); (2;4); (3/2;3) ecc. (verificalo per esercizio).Mentre ad esempio non ci appartengono (-1;2), (5;9) ecc.

I punti A(1;2) e B(2;4) appartengono alla retta

x

y

O

A

B

Alziamo adesso la retta ad esempio di 3

La nuova retta è la precedente “alzata” di 3

x

y

O

A

BC

D

E

Osserviamo che …

C ha la stessa ascissa dell’origine O (cioè zero) D ha la stessa ascissa di A (cioè 1) e E ha la stessa ascissa di B (cioè 2).

C ha la stessa ascissa di O, D la stessa di A e E la stessa di B

x

y

O

A

BC

D

E

E le ordinate?C ha la stessa ordinata di O aumentata di 3D ha la stessa ordinata di A aumentata di 3E ha la stessa ordinata di B aumentata di 3E così via per qualunque punto della retta …

Pertanto ogni punto sulla “nuova” retta ha laseconda coordinata, la y, uguale al doppio della prima più 3.Infatti C è di coordinate (0;3) (3 è il doppio di zero più 3)Infatti D è di coordinate (1;5) (5 è il doppio di 1 più 3)Infatti E è di coordinate (2;7) (7 è il doppio di 2 più 3)

Quindi l’equazione della nuova retta è:

32 xy

Ovviamente…

Se invece di “alzare la retta” di 3 l’avessimo alzata di 4 avremmo ottenuto la retta di equazione

Mentre se l’avessimo alzata di -1 (cioè abbassata) avremmo ottenuto la retta di equazione

42 xy

12 xy

Ma anche…

Se invece della retta y=2x avessimo alzato la retta y=5/2x avremmo ottenuto

oppure

o ancora

32

5 xy

42

5 xy

12

5 xy

Estendiamo al caso generale

Se prendiamo la retta y=mx e “l’alziamo” di un numero q otteniamo l’equazione di una qualunque retta del piano cartesiano che è

EQUAZIONE IN FORMA ESPLICITA DELLA RETTA

qmxy

Osservazione super importante

Come l’equazione y=mx rappresenta tutte le rette per l’origine eccetto l’asse delle y,l’equazione y=mx+q rappresenta tutte le rette del piano cartesiano eccetto le rette parallele all’asse y (che infatti hanno equazione x=numero)

Osservazione

Il fatto che con la forma

si possa rappresentare una qualunque retta (eccetto quelle parallele all’asse y) significa che posso rappresentare anche le rette per l’origine e le rette parallele all’asse x. Infatti:

qmxy

Se all’equazione

Poniamo q=0 rimane

Cioè una retta per l’origine.

qmxy mxy

mentre

Se all’equazione

Poniamo m=0 rimane

Ed essendo q un numero abbiamo l’equazione di una retta parallela all’asse x.

qmxy qy

Ricapitolando

Retta parallela all’’asse y ha equazione

Retta parallela all’’asse x ha equazione

Retta passante per l’origine (eccetto l’asse y) ha equazione Retta qualunque (eccetto le rette parallele all’asse y) ha equazione

numerox

numeroy

mxy

qmxy

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