1

Premessa:

Prepararsi al test per l’ammissione all’università NON significa provare e riprovare i quesiti che si trovano sui vari siti o libretti ma:

� fare un primo generale ripasso di ogni argomento citato nei requisiti richiesti per la facoltà scelta

� provare a fare vari quesiti argomento per argomento � valutare su quali parti ancora ci sono incertezze e tornare a studiare su dei testi � solo dopo aver fatto questo PER OGNI ARGOMENTO provare a svolgere un questionario

con il numero di quesiti uguali a quello del test ufficiale e nello stesso tempo. In caso di insuccesso ripetere tutto dall’inizio. questi appunti servono a guidarvi in tale direzione, senza la pretesa di essere completi, ma solo come suggerimento del metodo di lavoro.

Appunti di geometria analitica:

Parte n.1 Retta,circonferenza,parabola

Maria Teresa Cappagli

CAPITOLO 1

RETTA Concetti di base:

1) l’equazione di una retta è:

� rette parallele all’asse delle ascisse y = k � rette parallele all’asse delle ordinate x = k � Forma implicita: ax+by+c=0 a= 0 retta parallela all’asse delle ascisse

b=0 retta parallela all’asse delle ordinate c= 0 retta passante per l’origine

� Forma esplicita y = mx+q N.B. sono escluse le rette parallele all’asse delle ordinate m = coefficiente angolare - ( dipende solo dall’angolo� che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse.) m = tg� q= ordinata all’origine ( è l’ordinate del punto in cui la retta interseca l’asse delle ordinate)

2

2) Relazione tra due rette.

� due rette sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare � due rette sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1

3) equazione della retta passante per due punti di coordinate (x0,y0) (x1,y1)

y-y0= )( 001

01 xxxxyy

��

�

4) Fasci di rette:

� fascio di rette passanti per un punto (x0,y0) y-y0=m(x-x0) x = x0 fascio di rette parallele, y = m x+q m è costante

5) data una retta ed un punto esterno ad esso, la distanza del punto dalla retta si ottiene con le seguenti formule:

P(x0,y0) retta (r) y = mx+q d(p,r)= 2

00

1 m

qmxy

�

��

retta (r) ax+by+c=0 d(P,r) = 22

00

ba

cbyax

�

��

6) coordinate del punto medio di un segmento di estremi (x0

,y0) ( x1,y1)

M ��

��

��

2,

21010 yyxx

3

5) Rappresentazione grafica di una disequazione in due variabili una disequazione del tipo ax+by+c 0� o ax+by+c 0� rappresenta un semipiano. Il modo più semplice per individuare tale semipiano è disegnare la retta che ne rappresenta il bordo e poi, esplicitando rispetto alla y la disequazione, si capisce se è il semipiano sotto la retta o quello sopra, esempio: 2x+y+1 >0 la retta ha equazione 2x+y+1=0 e il suo grafico é

esplicitando ottengo y>-2x-1 quindi il semipiano è quello superiore

Quesiti Gruppo 1

1) le due rette di equazione 2x+y-1=0 e x+2y+1=0 sono:

a) perpendicolari b) parallele e distinte c)incidenti ma non perpendicolari d) coincidenti Nota: è sufficiente controllare la relazione tra i coefficienti angolari (2)

4

2) Si consideri il grafico nella figura sottostante , quale delle seguenti funzioni vi è rappresentata?

a) y = 3- ½ x b) y = 2x-3 c) y = 6+3x d) y = 3+ ½ x

Nota: ricordare il significato geometrico di m e q. (1)

3) In un riferimento cartesiano ortogonale si consideri la retta r di equazione y = 3

12�

�x

La retta passante per il punto (1,1) e perpendicolare ad r ha equazione

a) 3

12 �

xy b) y=

352

�

�x c) y=

352 �x

d) y= 2

13 �x e) y =

213 �x

Nota: in questo caso non conviene svolgere l’esercizio, ma ricordando che una retta perpendicolare ad una retta data ha come coefficiente angolare il controinverso, è sufficiente,tra le due rette che hanno coefficiente angolare 3/2 scegliere quella la cui equazione è verificata dalle coordinate del punto (1,1)

4) Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali,quale tra le seguenti rette è la retta di equazione x+2y+3=0?

a b c d Nota: stessa osservazione del quesito 2

5

5) Siano r,s e t tre rette distinte del piano, r è perpendicolare ad s ed s è perpendicolare a t. Quanti punti in comune hanno le rette r e t? a) uno b) le informazioni non sono sufficienti per giungere ad una conclusione c) due d) infiniti e) nessuno

6) la distanza del punto (1,2) dalla retta di equazione x+y+1=0 è:

a) 1 b) 2 c) 2 2 d) 4 e) 2

7) data la retta r di equazione y = 2

13�

�x

Quale tra le seguenti rette rappresenta la retta parallela ad r e passante per il punto (1,1)?

a) y = 2/3 x +1 b) y = -3/2 x +1 c) y = 3/2 (x-1) +1 d) y = 1+ 2/3 (x-1) e) y = 235 x�

8) quanto vale l’area del triangolo che ha per vertici A(-1,1) B (3,2) C(1,-2)

a) 7,5 b) 7 c) 8 d) 6,5 e) nessuno dei precedenti valori

9) A quale distanza dall’origine del piano cartesiano si trova il punto in cui la retta di equazione –x-y=1 interseca la retta di equazione 1/3 x + 2y = 3?

a) 15 b) 19 c) 17 d) 13 e) 11

10) Si consideri il segmento che congiunge fra loro i punti di coordinate (0,12) e (6,0) del piano cartesiano. Quanto vale la distanza di questo segmento dall’origine del piano?

a) 5

512 b)

5513

c) 5

58 d)

5511

e) 5

59

Nota i quesiti dal n.8 al n.10 sono piccoli esercizi da svolgere .

6

11) determinare per quale valore di a la retta di equazione y = 3x+6 e la retta di equazione ax-6y+3=0 sono perpendicolari

a) a = -18 b) a = 2 c) a=18 d) a =-2 e) a= 0

12) per quale valore di k la retta x+2y+2=0 appartiene al fascio y = -21

x +k?

a. -2 b. Nessun valore di k c. ½ d. -1 e. non è possibile determinarlo

13) Dato il punto A(-3,5) e il punto B(0.-1) quale tra i seguenti è il secondo estremo C del segmento AC sapendo che B è il punto medio?

a) (-3.-3) b) (3.7) c) (-3.2) d) (3.-7) e) non è possibile determinarlo

7

14) una sola delle seguenti condizioni è vera per ogni punto (x,y) del triangolo evidenziato in figura. Quale?

a 1�x b. 0�y c. xy � d. xy �� e. y=x Nota: la domanda non chiede di caratterizzare TUTTI E SOLI i punti del triangolo, ma quale, tra le proprietà indicate, è verificata da tali punti.

2,2

2,-2

8

Risposte ai quesiti : Gruppo 1 quesito Risposta 1 C 2 D 3 D 4 B 5 E 6 C 7 E 8 B 9 D 10 A 11 D 12 D 13 D 14 D

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CAPITOLO 2

CIRCONFERENZA

Definizione: la circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso. 1) Proprietà geometriche della circonferenza: Sia � una circonferenza di centro C e raggio r

� Per tre punti passa una ed una sola circonferenza � una retta r può essere esterna,tangente o secante una circonferenza

- retta esterna nessun punto di intersezione tra la retta e la circonferenza - distanza (C,r) > r

- retta tangente alla circonferenza – un punto ( o meglio due coincidenti) in comune tra la retta e la circonferenza - distanza (C,r) = r la retta è perpendicolare al raggio che unisce il centro al punto

- - retta secante la circonferenza - due punti di intersezione tra la retta e la

circonferenza - distanza (C,r) < r

2) Equazione cartesiana della circonferenza:

� equazione della circonferenza di centro C(m,n) e raggio r (x-m)2+(y-n)2= r2

� equazione generica di una circonferenza x2+y2+ax+by+c=0 (*)

di centro (m,n) e raggio r con m = 2a

� n = 2b

� r= cba

���

��

���

�

��

�

22

22

OSSERVAZIONE. l’equazione di una circonferenza è sempre una equazione del tipo (1) ma non è vero il viceversa. Una equazione del tipo (*) è l’equazione di una circonferenza se e solo se il termine che compare sotto la radice nell’espressione del raggio r è positivo. Se è zero la circonferenza si riduce a un punto, se è negativo non esiste nessun punto le cui coordinate verificano l’equazione.

10

Quesiti Gruppo 2

1) Date le equazioni I) x2+y2+1=0 II) x2+2y2=1 III)(x-1)2+(y-2)2=4 Quali di queste corrispondono a circonferenze? a) solo la I b) solo la I e la II c) solo la III d) solo la II e la III

2) quale delle seguenti equazioni è l’equazione di una circonferenza? a) x2+y2-2xy-1 =0 b) (x-1)2-(y-2)2-1 =0 c) x2+y2= 0 d) 4x2-3x+4y2-5y-1=0 e) x4+y4-1 = 0 nota : per i due quesiti precedenti è sufficiente applicare considerare l’osservazione del punto 2) 3) In un riferimento cartesiano ortogonale sono dati i punti P(5,0) Q(5,-5) R(0,-5) S(-3,-4) e T(-5,5). Quale di queste terne è formata da punti appartenenti alla stessa circonferenza di centro l’origine? a) P,R,S b) Q,S,T c) P,Q,R d) Q,R,T e) P,R,T

Nota: è sufficiente verificare quale terna è formata da punti equidistanti dall’origine (definizione di circonferenza) 4) siano c e c’ due circonferenze di equazione x2+y2=9 e (x-1)2+y2= 1 rispettivamente. Quante sono le rette tangenti comuni a c e c’? a) due b) infinite c) più di due ma in numero finito d) nessuna e) una Nota: determinare centro e raggio delle circonferenze e fare il disegno

11

5) Considerate le circonferenze c di centro O (0,0) e raggio 2 e c’ di centro O’ e raggio 3. Le circonferenze c e c’ si intersecano in due punti. Tra i seguenti punti quale può essere O’? a) (-4,-4) b) (3,4) c) (2, 9/2) d) (11/3, 11/3) e) (5, -2) Nota: affinché due circonferenze si intersechino in due punti è necessario che la distanza tra i due centri sia minore della somma dei raggi 6) siano A e B due punti distinti del piano, d la loro distanza ed r un intero positivo assegnato.

Allora: A: esiste una circonferenza di raggio r e passante per A e B solo se d=2r

B: esiste sempre una circonferenza di raggio r e passante per A e B C: esiste una circonferenza di raggio r e passante per A e B solo se d � 2r D: se d < 2r allora esistono due circonferenze di raggio r passanti per A e B E. se d� 2r allora esiste una unica circonferenza di raggio r e passante per A e B. Nota: rappresentare graficamente le situazioni proposte dalle soluzioni è utile facendo attenzione a parole del tipo “solo” “unica”.

7) Data la circonferenza di equazione x2+y2-2y-3=0, quale delle seguenti affermazione non è vera?

A. ha centro in (0,1) B. ha raggio 2 C. non passa per l’origine D. passa per (1,2)

12

Risposte ai quesiti : Gruppo 2 quesito Risposta 1 C 2 D 3 A 4 D 5 C 6 D 7 C

13

CAPITOLO 3

PARABOLA Definizione: La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fissato detto fuoco e da una retta fissata detta direttrice

1) Proprietà della parabola: � la retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice è asse di simmetria

della parabola � il punto medio del segmento di perpendicolare condotto dal fuoco alla direttrice

si chiama vertice della parabola e rappresenta il punto di minima o di massima ordinata tra i punti della parabola

2) equazione di una parabola:

� asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate ( quindi direttrice parallela all’asse delle ascisse)

y = ax2+bx+c Vertice V ��

��

���

aab

4;

2 Fuoco F �

�

��

���

aab

41

;2

direttrice y = a4

1 ���

a>0 la concavità della parabola è in alto ( vertice punto di minima ordinata) a<0 la concavità della parabola è in basso ( vertice punto di minima ordinata)

� asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse ( direttrice parallela all’asse delle ordinate)

x = ay2+by+c Vertice V ��

��

�

��

ab

a 2;

4 F �

�

��

�

���

ab

a 2;

41

direttrice x = a4

1 ���

a> 0 concavità rivolta verso destra a> 0 concavità rivolta verso sinistra

il simbolo � che compare è in riferimento alla simbologia adottata per le equazioni di secondo grado dato che la parabola è la rappresentazione grafica del trinomio di secondo grado. Osservazione: una parabola (con asse parallelo ad uno degli assi cartesiani) ha come equazione un trinomio di secondo grado ( rispettivamente nella variabile x o y) e viceversa un trinomio di secondo grado ha come rappresentazione grafica una parabola.

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3) posizioni reciproche di una retta e di una parabola:

� una retta parallela all’asse di simmetria interseca la parabola in uno e un solo punto

� una retta perpendicolare all’asse di simmetria può essere esterna, tangente o secante la parabola. Se è tangente il punto di tangenza è il vertice

Quesiti Gruppo 3 1) data una equazione ax2+bx +c = 0, se b2-4ac < 0 allora la parabola corrispondente di equazione y = ax2+bx +c è: a) tangente all’asse delle x b) non interseca l’asse y c) interseca l’asse x in due punti distinti d) non interseca l’asse x 2) quale tra le seguenti è una parabola con asse parallelo all’asse delle ascisse?

a) y = x2 b) x+2y2 = 3 c) xy + 1 = 0 d) x2+5y-2=0

3) Data una parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate, quale delle seguenti affermazioni è vera?

a) una retta parallela all’asse delle ordinate può non intersecare la curva b) una retta parallela all’asse delle ascisse interseca la curva sempre in due punti distinti c) una retta parallela all’asse delle ordinate interseca sempre la curva e in un punto solo d) una retta passante per il fuoco interseca sempre la curva in due punti distinti

Risposte ai quesiti : Risposte ai quesiti Gruppo 3 quesito Risposta 1 D 2 B 3 C

15

CAPITOLO 4

Ellisse

Definizione: l’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano che hanno costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi

1) Proprietà dell’ellisse: � è simmetrica rispetto alla retta congiungente i fuochi e all’asse del segmento dei

fuochi � è simmetrica rispetto al punto medio del segmento dei fuochi ( si chiama centro

dell’elleisse)

2) Equazione dell’ellisse:

12

2

2

2

�by

ax

se si fissano i due fuochi sull’asse delle ascisse e

� simmetrici rispetto all’origine con coordinate F1(-c,0) F2(c,0) , il centro in questo caso è l’origine

� 2a è il valore della costante � a>b � c indica la distanza dei fuochi dall’origine si ha

222 bac � � i valori delle ordinate e delle ascisse dei punti

dell’ellisse variano così: axa ��� byb ��� � i punti di coordinate A(-a,0) B(a,0) D(0,-b) C(0.b) si

chiamano vertici dell’ellisse � i due segmenti AB e CD si chiamano assi dell’ellisse

( a e b rappresentano la lunghezza dei semiassi. a semiasse maggiore, b semiasse minore)

A B

C

D

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se i fuochi sono sull’asse delle ordinate sempre simmetrici rispetto all’origine

� a<b � c2=b2-a2 � la variazione delle ascisse e delle ordinate è la

stessa e i vertici hanno le stesse coordinate � i fuochi sono F1(0,-c) e F2(0,c) � a semiasse minore, b semiasse maggiore

3) Se si spostano i fuochi su rette parallele agli assi cartesiani e quindi il centro diventa un punto di

coordinate (m,n) l’equazione si trasforma in 1)()(

2

2

2

2

�

��

bny

amx

17

Quesiti Gruppo 4

1) scrivere l’equazione dell’ellisse con semiassi a = 3 e b = 5

2) quale tra le seguenti equazioni è l’equazione di una ellisse?

a) x2+y2 = 3 b) 3x2+y2 = 5 c) x2-y +6 = 0 d) x +y-2 = 0 3) Quale tra le seguenti equazioni è l’equazione di una ellisse ?

a) x2-2x+1+2y2= 3 b) x2-2x+1+y2 -2y = -8 c) x2-y2-2y = 0 Risposte ai quesiti Gruppo 4 Quesito Risposta 2 B 3 A

CAPITOLO 5

Iperbole

Definizione: l’iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano che hanno costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi

1) proprietà dell’iperbole : � è simmetrica rispetto alla retta congiungente i fuochi e all’asse del segmento di

estremi i fuochi

18

� è simmetrica rispetto al punto medio del segmento dei fuochi ( si chiama centro dell’iperbole)

2) equazione dell’iperbole :

12

2

2

2

�by

ax

se i fuochi sono sull’asse delle ascisse e simmetrici rispetto all’origine con coordinate F1(-c,0) F2(c,0)

� c2 = a2+b2 � le ascisse dei punti dell’iperbole assumono valori axoax ���

� le rette di equazioni y = xab

� sono asintoti della funzione

� i punti A(-a,0) e B(a,0) si chiamano vertici dell’iperbole

se i fuochi sono sull’asse delle ascisse e simmetrici rispetto all’origine con coordinate F1(-c,0) F2(c,0)

A B

19

� c2 = a2+b2 � le ascisse dei punti dell’iperbole assumono valori axoax ���

� le rette di equazioni y = xab

� sono asintoti della funzione

� i punti A(-a,0) e B(a,0) si chiamano vertici dell’iperbole se i fuochi sono sull’asse delle ordinate F1(0,-c) F2(0,c)

� le ordinate dei punti dell’iperbole assumono valori byby ��� 0

� i punti A(0,-b) e B(0.b) si chiamano vertici dell’iperbole

3) Nel caso particolare che a = b si ha l’equazione x2-y2= a2 l’iperbole prende il nome di iperbole equilatera gli asintoti diventano le bisettrici dei quadranti 4)Se come per l’ellisse si considera una iperbole con i fuochi su una retta parallela all’asse delle ascisse o delle ordinate l’equazione si trasforma in

1)()(

2

2

2

2

�

��

bny

amx

20

4) Dell’iperbole equilatera è possibile dare altre equazioni- Osservando che i suoi asintoti sono perpendicolari possiamo operare una rotazione che porti gli asintoti a coincidere con gli assi cartesiani. In questo caso si dice che l’iperbole è riferita ai suoi asintoti e l’equazione diventa

� nel caso del centro nell’origine xy = k � nel caso che il centro sia un punto di coordinare (m,n) e quindi gli asintoti sono paralleli agli

assi cartesiani

dbxcax

y�

� con m =

cd

� n = ca

e gli asintoti sono le rette x = cd

� y=ca

l’iperbole prende il nome di iperbole omografica

Quesiti Gruppo 5 1) In un sistema di riferimento ortogonale il luogo dei punti le cui coordinate (x,y) soddisfano l’equazione 122 � yx

È costituito da: a) una iperbole b) una coppia di iperboli c) una coppia di circonferenze d) una circonferenza e) una coppia di rette Risposta_ B

2) stabilisci ogni equazione quale tipo di iperbole rappresenta: a) x2-y2 = 4 b) x2-y2 +2y = 5 c) 2x2-y -y2 = -3 d) xy = -5

e) x2-y2 = -7 f) y = 323��

�

xx

a) iperbole equilatera con i fuochi sull’asse delle ascisse b) iperbole equilatera traslata con i fuochi sull’asse delle ascisse c) iperbole traslata d) iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti e) iperbole equilatera con i fuochi sull’asse delle ordinate f) iperbole omografica

21

CAPITOLO 6

Applicazioni

La rappresentazione di coniche nel piano cartesiano è uno strumento per risolvere graficamente alcune disequazioni ( o equazioni) irrazionali

Quesiti Gruppo 6

1) Rappresenta graficamente le soluzioni delle seguenti disequazioni :

a) 12 2 ��� xx b) 22 21 xx �� c) xx �� 223

d) 13 2 ��� xx e)���

�

���

3

0322 yx

xy

vediamo la prima.

poniamo y =x+1 e y = 22 x� risolvere la disequazione significa determinare per quali valori di x i punti della retta hanno ordinata maggiore dei punti sulla seconda curva.

y = 22 x� è equivalente a ���

�

�22 2

0

xy

y

cioè la semicirconferenza di centro l’origine e raggio 2

22

quindi le soluzioni sono i valori di x che stanno tra l’ascissa di A e quella di B. E’ suffiente

risolvere il sistema ���

�

�

2

122 yx

xy per determinare le soluzioni 2

231

���

x

Quesiti Gruppo 6

1) Fissato nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale l’insieme delle soluzioni (x,y) del sistema

���

�

yx

xy 1

a) è formato da due soli punti b) è una retta c) è una coppia di semirette d) è una semiretta e) è un segmento

A

B

23

2) In un sistema di assi cartesiani ortogonali il luogo dei punti che soddisfano l’equazione

x(2x+y-1)=0 è: a) una parabola b) una retta o un punto c) una retta d) una coppia di rette e) una circonferenza 3) rappresentare la parte di piano individuata dal sistema di disequazioni

���

�

���

xy

x 12

4) nel piano cartesiano l’equazione (x-1)2+(y-2)2 = k

rappresenta:

A. un fascio improprio di rette

B. una ellisse per k<0

C. una circonferenza per k>0

D. una circonferenza di centro (1,2)

5) nel piano cartesiano l’equazione x2-y2= 0 rappresenta

A. una circonferenza

B. una ellisse

C. due rette

D. due punti

24

Quesito Risposta

1 C

2 D

4 C

5 C