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Giuseppina Anatriello

Fondamenti di Analisi matematica

Dalle funzioni elementari al calcolo differenziale

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II edizione: agosto

Indice

Avvertenze

Prefazione

Introduzione

Parte ILe funzioni elementari

Capitolo ILe funzioni elementari

.. Proprietà algebriche delle funzioni elementari nei grafici, – ... Fun-zione potenza ad esponente reale, – ... Funzione esponenziale, –... Funzione logaritmo, – ... Funzione potenza ad esponente natura-le, – ... Funzione radice n-sima, – .. Le funzioni trigonometri-che, .

Capitolo IIIl limite

.. Limiti delle funzioni elementari, – .. Definizione di limite fun-zioni monotone, – .. Limiti di funzione di funzioni monotone inpunti interni all’intervallo di definizione, – ... Continuità in unpunto, – ... Teorema sui limiti delle funzioni composte di funzioni mono-tone, – ... Limiti funzioni potenza ad esponente naturale e radice, –... Limiti delle funzioni trigonometriche, – .. Operazioni tra limiti, – ... Definizione di limite in termini di intorni, – ... La struttura diR̂, – ... Teorema delle operazioni tra limiti, – ... Teorema suilimiti delle funzioni composte anche mediante operazioni, .

Indice

Capitolo IIIOrdini di infinito e di infinitesimo

.. Infiniti e infinitesimi e le funzioni elementari, – ... Infiniti, – ... Infinitesimi, – .. Principi di eliminazione, – ... Principiodi eliminazione sugli ordini di infinito, – ... Principio di eliminazionesugli ordini d’infinitesimo, – .. Limiti notevoli, – ... Limite no-tevole funzioni potenza, – ... Limite notevole funzioni esponenziale elogaritmo, – ... Limite notevole funzione seno, – ... Limite notevolefunzione coseno, .

Capitolo IVLinearizzazione del grafico

.. Linearizzazione delle funzioni elementari, – ... Retta tangenteal grafico, – ... Differenziabilità, – ... Derivata, – .. Appro-simmazioni di ordine superiore, – .. Formula di Taylor, – .. Laderivata e la misura, .

Capitolo VFunzioni iperboliche

.. Le funzioni iperboliche, – ... Alcune proprietà delle funzioniiperboliche, – .. Funzioni iperboliche inverse, – .. Derivatefunzioni iperboliche e inverse, .

Osservazioni conclusive sulla teoria delle successioni

Parte IILe funzioni reali

Capitolo IIl limite di funzioni reali

.. Limite di funzioni numeriche reali, – ... Punto di accumula-zione, – ... Definizione di limite, – ... Teoremi sui limiti, – ... Continuità in un punto, – ... Classificazione delle disconti-nuità, – .. Limite funzione di due variabili, – ... Proprietàgeometriche di insiemi di punti: topologia di R, – ... Definizionedi limite per funzioni di due variabili, – ... Teoremi sui limiti, –... Proprietà topologiche delle funzioni continue, – ... Esempi, –... Limite di funzioni vettoriali, .

Indice

Capitolo IILa differenziabilità per le funzioni reali

.. Differenziabilità funzioni numeriche, – ... Teoremi in ipotesi diderivabilità per le funzioni numeriche reali, – .. Differenziabilità di fun-zioni di due variabili, – .. Formula di Taylor, – ... Formula diTaylor per le funzioni numeriche reali, – .. Criteri di monotonia e con-cavità, – ... Formula di Taylor per le funzioni reali di due variabili, –.. Minimi e massimi relativi di una funzione, – .. Differenziabilitàfunzioni vettoriali, .

Parte IIIAppendice

Capitolo ILe funzioni

.. Relazione tra insiemi, – ... Relazioni binarie, – ... Fun-zioni, – ... Operazioni e strutture su un insieme, – .. Funzioniscalari e vettoriali, – ... Le funzioni numeriche reali, – ... Fun-zioni monotone, – ... Problemi algebrici e strumenti analitici, –... Disequazioni elementari e risoluzione, – ... Le simmetrie nelpiano cartesiano, – ... Le funzioni reali di due variabili reali, –... Esempio: log(xy − ) , – ... Funzioni e campi vettoriali, .

Bibliografia

Avvertenze

Il testo presuppone la conoscenza delle nozioni di base del linguaggiodella teoria degli insiemi e della geometria piana euclidea. Le notazionie i simboli adottati sono quelli di uso più comune in letteratura.

Per non appesantire i discorsi le terminologie vengono usate conflessibilità.

Dove è possibile, si evita quel rigore solo formale che appesanti-rebbe troppo la trattazione senza aggiungere comprensione. Il fineè rendere i contenuti accessibili anche ad un lettore non specialista,problematizzando metodi e assunzioni.

I contenuti dell’Appendice vengono liberamente utilizzati nel testo.

Prefazione

Questa trattazione è una riedizione del volume Fondamenti di AnalisiMatematica: dalle funzioni elementarial calcolo differenziale, (Cues, ),in cui veniva proposto un originale percorso dinamico, attraverso ilquale classici concetti del Calcolo venivano fatti risalire a proprietàindividuabili nelle funzioni elementari. Si proseguiva così quantofatto in Fondamenti geometrici per Matematica (Cues, ), dove sipongono i fondamenti della matematica nella geometria. In questanuova edizione non compaiono più i capitoli I numeri e la teoria dellamisura e Integrazione e misura.

Il volume è diviso in tre parti. La prima è dedicata alle funzioni elemen-tari e trigonometriche (e loro composte) e per tali funzioni vengonointrodotti i concetti e gli strumenti di base dell’Analisi matematica. Laseconda parte è dedicata alle funzioni reali. In essa alle funzioni reali,quelle numeriche prima a quelle di due variabili poi, si estendonole nozioni introdotte nella prima parte per le funzioni elementari(e trigonometriche) e le loro composte. Nella terza vengono trattatiargomenti preliminari sulle funzioni.

Riportare tutte le dimostrazioni dei teoremi che vengono citati nonrientra negli scopi che si prefigge il testo e comunque queste sonoampiamente presenti in letteratura.

Napoli, agosto Giuseppina Anatriello

Introduzione

La geometria euclidea fornisce un’idea consolidata di cosa sia una retta,una circonferenza, un piano, una sfera e più in generale di insiemi chepossono essere descritti mediante questi termini. Non è in grado distudiare però una curva o una superficie generica, poiché, basandosisulle nozioni primitive di punti, segmenti, circonferenze e piani, apartire da questi non riesce a definire curve e superfici genericheessendo il suo linguaggio inadeguato allo scopo. In ambito puramentegeometrico una curva è perfettamente definibile attraverso equazioniche individuino un insieme di punti dello spazio con caratteristichegeometriche, ma tale percorso non è stato intrapreso e probabilmenterisulterebbe sterile senza l’ausilio di nuovi strumenti. Analogo discorsopuò farsi per le superfici.

All’inizio del Cartesio e Fermat fornirono attraverso il metododelle coordinate strumenti flessibili per descrivere curve e superfici.Questa strada portò all’individuazione di metodi di calcolo efficaci.

Nella seconda metà del Newton e Leibniz scoprirono il calcolodifferenziale e integrale, trovando così degli strumenti efficaci per stu-diare il percorso tracciato da un punto in movimento nel piano e nellospazio, dando vita al settore della matematica che prende il nome diAnalisi matematica.

Inizialmente l’Analisi matematica puntava alla rappresentazionegeometrica nel piano cartesiano delle funzioni, utilizzando l’algebradei numeri, nel tentativo di rispondere a quesiti su calcolo di aree ecaratteristiche geometriche di una curva.

Le ricerche dell’Analisi matematica del Seicento e del Settecentofurono dominate dal concetto di infinitesimo e dal calcolo infinitesimale,ma il concetto di infinitesimo aveva in sé contraddizioni logiche chefurono presto messe in luce.

Intorno al i matematici cominciarono a preoccuparsi più se-riamente delle ripercussioni sulla validità dei risultati prodotte dalleimprecisioni dei concetti e delle dimostrazioni dell’Analisi matematica

Introduzione

e furono numerosi quelli che decisero di portare ordine nel caos chesi era determinato, ricostruendo l’Analisi matematica sulla base diconcetti puramente aritmetici. è possibile che questa decisione possaessere stata presa perché considerata più semplice rispetto a quella difondare l’Analisi matematica sulla geometria (vedi []). Del resto il me-todo delle coordinate nasce proprio per semplificare le dimostrazionie le scoperte geometriche, affrancandosi dagli elaborati procedimentidella matematica greca.

Nel , Augustin–Louis Cauchy, attraverso la formulazione diuna definizione di infinitesimo basata sulla nozione di limite, diede ilvia al processo di rigorizzazione del concetto di infinitesimo. Cauchydiede anche una definizione statica di limite (che prima di questariformulazione era pensato come moto e variazione) eliminando inquesto modo l’idea intuitiva del moto e del divenire che non giungealla fine. L’infinitesimo fu dunque trasformato da numero fisso afunzione, indicando con questa una legge secondo la quale quantitàvariabili dipendono l’una dall’altra senza implicare necessariamenteun rapporto di causa ed effetto.

Inizia in questo modo un processo che è storicamente indicato conaritmetizzazione dell’analisi e che consiste inizialmente nella riduzionedell’Analisi matematica ai numeri. Questo programma impegneràsoprattutto Karl Weierstrass, quindi Georg Cantor, e infine J. WilhelmDedekind. Pertanto l’Analisi matematica, come studio dei procedi-menti infiniti, inizia il suo processo di rigorizzazione dal concetto dinumero reale; esso viene poggiato e fondato sulla nozione di numeronaturale. Weierstrass aveva riportato tutti i concetti aritmetici supe-riori al concetto di numero naturale, non andando però a fondo delladefinizione di quest’ultimo; l’allora ancora intuitiva nozione di nu-mero naturale rappresentava il fondamento solido su cui appoggiarel’intera impalcatura della matematica.

Si pose però il problema della definizione di numero; Gottlob Fregeimpostò tale problema portando il concetto di numero verso quello diinsieme e ancorando in questo modo l’aritmetica e i numeri naturalialla nozione relazionale di legge logica.

Avvenne così una rivoluzione all’interno della matematica che fecepassare da una visione sostanzialistica dei numeri ad una puramentefunzionale e relazionale, privando la matematica del suo terreno intui-tivo e tentando di fondarla sulla logica. Oltre a Frege, anche Giuseppe

Introduzione

Peano prima e Bertrand Russell poi furono i pionieri e gli esponentidi spicco di tale processo.

Dalla nuova impostazione della matematica nacquero però antino-mie e la loro scoperta provocò un dibattito tra le scuole fondazionali,quella logicista, quella formalista e quella intuizionista, e le scuole con-venzionaliste, ma il teorema di incompletezza di Gödel del stroncòle pretese fondazionali di questo percorso.

Intanto però il processo di rigorizzazione aveva consentito unosviluppo delle teorie matematiche e messo un po’ d’ordine in concettiche prima non erano ben definiti.

Nel ventesimo secolo strumenti nuovi e linguaggi nuovi arriva-rono con lo sviluppo della topologia e impressero una nuova spintaall’Analisi matematica.

Con il processo avviato dall’aritmetizzazione dell’Analisi il punto divista moderno ha finito con il privilegiare l’aspetto della matematicache la configura come linguaggio, indifferente all’essenza delle coseche tratta, e slegata alla percezione.

In [] si riscoprono nella geometria i fondamenti della matematicae si vuole recuperare, in qualche misura, la convinzione che la mate-matica si occupi di oggetti matematici e le sue teorie indirizzino il lorosforzo di ricerca verso la conoscenza di tali oggetti.

Con questo spirito in questo volume ridefiniamo e rivisitiamo iconcetti di base dell’Analisi matematica e del Calcolo differenzialecercando di ritrovarne le origini cognitive.

Le proprietà grafiche delle funzioni elementari saranno gli ogget-ti messi a fondamento dell’Analisi matematica e dei suoi concettibasilari, come il limite, la continuità e la derivabilità. Rappresenta-no dunque queste curve un modello base per l’individuazione diquelle proprietà considerate proprie delle curve prima dell’avventodell’aritmetizzazione dell’Analisi.

Per sintesi, in questa trattazione procederemo assumendo no-ta la definizione algebrica di ab con a e b enti numerici, e tutte lesue proprietà algebriche. L’ambito in cui ci muoveremo può essereconsiderato quello sviluppato in [] e [] o quello tradizionalmenteaccettato.

P I

LE FUNZIONI ELEMENTARI

Capitolo I

Le funzioni elementari

Considerando l’espressione ab come valore in un punto di una fun-zione le proprietà algebriche delle potenze possono essere racchiusein espressioni sintetiche.

Daremo per note le dimostrazioni di tutte le proprietà algebrichedelle potenze e ci preoccuperemo di porle in evidenza nei grafici dialcune classi di funzioni.

Le funzioni che vogliono racchiudere le proprietà delle potenzesono le funzioni potenza, esponenziale e logaritmo e vengono dettefunzioni elementari.

Dalle funzioni elementari e dalle loro composte (anche tramitele operazioni dell’algebra dei numeri) faremo derivare le principalinozioni dell’Analisi matematica.

. La possibilità di definire con una costruzione con riga e compasso un punto ilcui quadrato è un punto assegnato (rispetto ad un punto unità, U) e le altre costruzioniconsiderate in [] e in [] consentono di costruire con riga e compasso un insieme densodi punti del tipo AP con P che varia in un insieme denso di una semiretta OA. Grazieall’assioma di continuità della semiretta è possibile considerare AP con P che varia sull’interasemiretta OU. Quanto esposto, opportunamente formalizzato, consente di definire AP daun punto di vista strettamente geometrico.

. Ricordiamo, per comodità del lettore, le proprietà algebriche delle potenze piùimportanti:

a) kα ⋅ kβ =α+β;b) kα ∶ kβ = kα−β;c) (kα)β = kα⋅β.

Esse danno luogo a proprietà che sono leggibili su rappresentazioni grafiche nel pianocartesiano euclideo attraverso l’introduzione delle funzioni elementari.

Aggiungiamo che, volendo dare significato all’esponente , l’unica posizioneammissibile è:

a=

Fondamenti di Analisi matematica

L’impostazione teorica adotta procedimenti di scoperta che permet-teranno di individuare le proprietà delle funzioni che danno luogoad esse e utilizza ragionamenti eterogenei di natura non esclusiva-mente verbale e in cui il disegno ha un ruolo centrale di mediatoreepistemico.

.. Proprietà algebriche delle funzioni elementari nei grafici

Le rappresentazioni grafiche che utilizzeremo, con le loro convenzio-ni classiche, sono provenienti da una trattazione algebrico–geometricaidonea su cui non ci soffermeremo ma che assumeremo date, dedu-cibili dal lavoro svolto in [] e che corrispondono poi alle normaliconvenzioni in uso.Cominciamo a sottolineare che:

a) le proprietà algebriche delle potenze fanno sì che le rappresenta-zioni grafiche delle funzioni elementari si presentino come de-formazioni in curve di linee rette (rette/semirette) rappresentatesull’asse x.

b) l’insieme di definizione della funzione induce sull’insieme rap-presentativo del grafico nel piano cartesiano un ordinamentorispetto a cui esso è un insieme continuo con il conseguentesignificato geometrico che questo termine ha riferito alla retta.Questa proprietà prenderà il nome di continuità della funzionee troverà una sua espressione analitica attraverso un percorsodinamico che svilupperemo.

La prima classe di funzioni che andremo a trattare sono le funzionipotenza ad esponente reale.

. Ricordiamo che algebricamente la definizione di potenza ad esponente reale vienedata a partire da quella di potenza naturale.

. Le funzioni elementari

... Funzione potenza ad esponente reale

La funzione f (x) = xα, con α ∈ R, è detta funzione potenza di esponenteα.

Nella figura in alto sono rappre-sentati grafici tipo di una funzionepotenza con esponente reale posi-tivo, nei casi esponente maggioree esponente minore di .

Nella figura in alto è rappresenta-to un grafico tipo (quello con trat-to continuo) del grafico di una fun-zione potenza con esponente realenegativo.

Sulle rappresentazioni grafiche si legge:

a) il dominio è ],+∞[,b) l’insieme delle immagini è ],+∞[c) vale la proprietà di continuità,d) le funzioni sono monotone di tipo strettamente crescente o

strettamente decrescente, e quindi ogni funzione appartenentealla classe delle funzioni potenza è invertibile.

Dalle proprietà delle potenze si desume che l’inversa di xα è x/α.Al grafico di ciascuna delle funzioni appartiene il punto di coordinate(, ), poiché α = , ovvero:

(, ) ∈ Gxα , ∀ α ∈ R.

Fondamenti di Analisi matematica

Funzione potenza ad esponente reale positivo

Per α >

Nella figura in alto è rappre-sentato un grafico tipo di unafunzione potenza con esponentemaggiore .

Nella figura in alto è rappresentatoun grafico tipo di una funzione po-tenza con esponente compreso tra

e .

Dai grafici si evince che l’ordinamento delle ascisse è lo stesso di quellodelle ordinate; questa proprietà, che è soddisfatta da ogni funzione xα,con α > , è di monotonia di tipo strettamente crescente.

Abitualmente si pone α = , per cui si può considerare (, ) ∈ Gxα

e in tal caso diventa:

xα ∶ [,+∞[ → [,+∞[.Per < α < la rappresentazione del grafico della funzione è del tiporiportato in figura ..Nel grafico si può leggere la proprietà:

xα > x, se < x <

Sempre dal grafico si legge:

xα < x, se x >

. Infatti la rappresentazione grafica della funzione si trova al di sopra della bisettriceper gli x < e la bisettrice è formata da punti che hanno per coordinate le coppie (x, x) e ilgrafico della funzione xα dalle coppie (x, xα).

. Infatti il grafico della funzione si trova al di sotto della bisettrice per gli x > .

. Le funzioni elementari

Figura .. Grafico funzione xα, con < α <

Per α > un rappresentazione del grafico della funzione è del tiporiportato in figura ..

Figura .. Grafico funzione xα, con α >

Nella rappresentazione grafica si può leggere la proprietà:

xα < x, se < x <

Inoltre si legge sul grafico:

xα > x, se x >

. Infatti per gli x < il grafico della funzione si trova al di sotto della bisettrice.. Infatti il grafico della funzione si trova al di sopra della bisettrice per gli x > .

Fondamenti di Analisi matematica

In generale, considerate due funzioni potenza xα e xβ, con α > β > ,si ha

a) xα < xβ, se x < ,b) xα > xβ, se x > .

Le proprietà si possono leggere nel piano cartesiano. Infatti:

Se α > β > , si ottiene unarappresentazione grafica del tiporiportato nella figura in basso asinistra.

Se α > β, con < α < , e < β < , si ottiene una rappresen-tazione grafica del tipo riportatonella figura in basso a destra.

Se α > , < β < , si ottiene una rappresentazione grafica del tiporiportato in figura ..

Figura .. Funzioni potenza xα e xα

Notiamo che in tutti i casi per esponente α > β il grafico xα si trovaal di sotto del grafico di xβ prima del punto di intersezione (, ) eal di sopra dello stesso dopo (, ), quindi i due grafici invertono laposizione reciproca in corrispondenza del punto (, ).

. Le funzioni elementari

Funzione potenza ad esponente reale negativo

Per α < la rappresentazione del grafico della funzione è del tipo:

Se α < −, si ottiene una rappresen-tazione grafica del tipo riportato inbasso.

Se − < α < , si ottiene una rappre-sentazione grafica del tipo riportatoin basso.

Come si osserva dai disegni, le funzioni esaminate sono definite in],+∞[ e l’insieme delle immagini è ],+∞[, quindi:

f ∶ ],+∞[ → ],+∞[

Inoltre, le funzioni soddisfano la proprietà che l’ordinamento delleordinate di punti del grafico è l’opposto di quello delle relative ascisse.Questa proprietà prende il nome di monotonia di tipo strettamentedecrescente.Considerate ora due funzioni potenza xα e xβ, se > α > β risulta:

a) xα < xβ per x < b) xα > xβ per x >

. Ricordiamo che vale la seguente relazione xα = ( x)−α

.