Su alcune proprieth di geometria euclidea ed hermi t iana in uno spazio vettoriale quaternionale.

MARCELLO BI~UNI (a Roma) (*)

Riassunto. - Identificati~ in modo opportuno~ gli spazi vettoriati ~n ed ~4~ si esaminano varie propriet~ che intercorrono tra la metrica hermitiana di Q~ e.la metrica euclidea di ~4n. Si definisce poi, per ogni sottospazio Et di E4, (t ~--- 1, 2, 3~ 4) una nozione di deviazione caratte.ristica assotuta che estende t'anatoga nozione nora nel caso di ~n Si riescono cos~ a caratterizzare i sottospazi Et pseudoca+'atteristici (eio~ contenuti in un E 4 ehe si identifica ad una retta di ~n), ed i sottospazi E t a prodotto hermitiano reale.

1 . - II presente lavoro ~ dedieato allo studio di varie propriet~ geome- triehe ehe si presentano spontaneamente quando si po~igano a raffronto la metriea hermitiana di uno spazio vettoriale quaternionale n-dimensionale ~ " e la metriea euclidea dello spazio reale 4n-dimensionale ~+~ su cui ~ " pub rappresentarsi biunivocamente.

Non mi fermo qui a riassumere i risultati stabiliti nel lavoro, rinviando per questo alla mia nota preventiva [3].

2 . P r e l i m i n a r i - Sia Se q E ~ porremo

l 'algebra dei quaternioni sul campo

q -~ qo + ilql + i2q~ + i~q8

reale ~ .

ore 1, i l - - i , i 2 - - j , i s - - k relazioni :

(~ . l )

costituiscono una base di ~ verifieante le note

(i ,) ~ = (i~) ~ = (i~) ~ = - 1

i,.is - - - - i~i,. - - it ((r, s, t) permutazione di elasse pari di (1, 2, 3)).

Useremo i simboli ~e(q) ed ~m(q) per denotare risp. la parte reale qo e la parte immaginaria i lql + i2q2 + i~q3 di (/.

Indicato con q - " 2~e (q) - - 2m (q) il quaternione coniugato di q, la n o r m a di q 6 data da

(2.2) ~ ( q ) = (qo)~ + (ql) ~ + (q2) 2 + (~)2 = q ~ .

(*) Lavoro eseguito nel ] 'ambi to del t ' a t t iv i t~ dei Gruppi di Ricerca del Comitato per la Matematica del C. ~ . R. per l ' anno aecademico t96~-65.

60 M. BRUNI: *~U alcune propriet('t di geomctria euclide.a ed hermitiana~ ecc.

Pe r ogni coppia q, q' di quaternioni r isul ta inol t re :

(2.3) q q' = q' q

da cui segue :

(2.4)

Osserviamo ora che la base di ~ cost i tui ta dagli e lement i 1, i, j, k non l 'unica per la qua le valga la tabella molt ipl icat iva indicata (parzialmente)

dalle (2.1). P r ec i s amen te :

(2.5) Una nuova base [1, i', f , ][} di ~t d~ luogo ad una tabella analoga alla (2.1) se e solo se (i' j ' k ' ) = (i j k) C, con C matrice ortogonale ad ele. ment i reali e con determinante 1.

Tale ins ieme ~ di basi sarh chiamato sis tema canonico di basi, e le nozioni che in t rodur remo avranno appunto significato r ispetto a ~ .

Pe r giust i f icare rap idamente la proposizione (2.5) che, del resto, si pub anche ott enere con un e lementare calcolo, si r icordi che ogni au tomorf i smo del l 'a lgebra ~ 8 in terno (1). Cio8 ogni au tomor f i smo 'd i ~ b dato da un'ap- plicazione del t ipo :

(2.6) a~ : q ~ p qp_ l

ore p ~ un oppor tuno qua te rn ione che pub supporsi di modulo unitario. D'al t ra parte la (2.6) pub r icevere una semplice in terpretazione geometrica.

Prec i samente , r appresen tando ~ sull'E+ euclideo ore q,{i = O, t, 2, 3) sono coordinate car tes iane di punto, l ' au tomorf ismo ~ di~ luogo ad una rotazione hell 'E8 ortogoqale all 'asse delle qo ore si rappresen tano i quatern ioni che si r iducono a humer i reali; e viceversa, ogni rotazione in tale Ea i~ pensabi le come immagine di un oppor tuno automorf ismo di Q (2).

Cib posto, da un lato le rotazioni di un E8 si r appresen tano con matr ic i ortogonali di de te rminan te + 1, e d 'al tro lato un automorf ismo di ~ ~ un epimorf ismo ¢z che porta la base { 1, i, j, k } nel la base { 1, i', j ', k' ] - - a [ 1, i, j, k } in guisa che le due basi abbiano la stessa tabella molt ipl icat iva. Perc ib la proposizione (2.5) ~ dimostrata .

Si consideri ora un 'appl icazione F di ~ in ~ (o, in particolare, di in ~ ) . Ci aecadrh spesso di def inire q ' = F(q), assegnando l e coordinate q'~ di q' in funzione delle coordinate q~ di q r ispet to ad una f issala base di ~ .

(l) Ved. ad es. ALBERW, [1] Gap. I e IX. {~) red . P. Du V•L, [5], pag. 38.

M. B r u ~ : Su alcune proprietor di geometria euclide.a ed hermitian% ece. 61

Quando accadrh che F ha significato intrinseco rispello a ~ ?

Da quanto precede risulta che cib avviene s e e solo se F ~ trasformala in sd da ogni automorfismo di Q.

Cib premess% mostriamo che :

(2.7) Le applicazioni :

1) q ~ q ; 2) q ~ ) % ( q ) ; 3) q ~ g ~ e ( q ) ; 4) q ~ m ( q )

hanno significato intrinseco rispello al sislema ~ .

Per quanto r iguarda la mostrare t he :

cio6 :

I), indicato con % t 'automorfismo {2.6), basra

p ~ p - ~ __ p q p - i ,

il che r isul ta ovviamente dalla t2.3) in quanto pub supporsi ~)~5(pt----!~7"C(p-~ = i . Pe r la 2) basra r icordare la (2.2). La 3) r isulta subito da (2.5), giacchd ogni cambiamento di base ivi con-

siderato non altera la componcnte di q secondo l 'elemento base 1E ~ . Infine, la 4) si ottiene subito osservando che ~m(q)= q - - ~ e ( q ) e tenendo

conto della 3).

3. So t to spaz i eara t t er i s t i c i q u a t e r n i o n a l i - Penseremo ~ " come spazio vettoriale quaternionale destro, ossia come totatit/~ dei vettori L = e~L ~ ( a - - 1 , ..., n), ore con el, ..., e, si designa la base canonica, L ~E ~ , e si intende di sommare rispetto ad un indice ripetuto in alto ed in basso.

Posto :

(i) (2) (3) Q) (~) (3)

si ottiene una biiezione di ~ n sullo spazio vettoriale reale 1R ~', che ci per- met terh di pensare identificati sia elementi corrispondenti~ sia anche ~'~ ed 1R TM (con r iguardo per entrambi alia s t ru t tura di spazi vettoriali su ll~).

I sottospazi 11~4~C 11~ ~" di dimensione reale 4h che si identif icano ai sot- tospazi di ~ " di dimensione quaternionale h si diranno sottospctzi caralleristici quaternionali. E immediato che :

(3.2} Per ogni vetlore non hullo di 1R 4, passa uno ed un solo 1R ~ carat. teristico qualernionale.

62 M. BRu~I: Su alcune proprietor di geometria euelidea ed hermitiana, eec.

Infat t i ia relazione binaria che associa una coppia di vettori non nulli L, M E ~ " se esiste q E(~ tale che L ~ Mq, ~ ovviamente una relazione di equivalenza, e le sue classi quoziente sono appunto gli ~4 carat ter is t ici qua- ternionali privati del vet tore hullo.

4. Metrica he rmi t i aua e met r ica euclidea - In ~ " consideriamo la me- triea assegnata dal prodotto hermitiano:

(4.1) L . M = Z L ~ M ~

ore L ~, M ~ sono le componenti quaternional i di L, M risp.

Analogamente consideriamo ~4 , come spazio euclideo E4,~ la cui metr ica sia defini ta dal prodotto sealare:

(4.2) (~) q) (2) (~) (s) (3) 1 '~ - - L X M = E ( ~ t ~ + X~t~ + ) , ~ + ).~t~)= ~ 5 (L~M~ + M~L~)

0 ;= 1

ore le X, t~ sono le coordinate reali di L, M. L'ul t ima uguagliunza segue ovviamente dalla (2.3).

Si noti infine the dalle (4.1), (4.2) appare t h e :

1 ( L . M + M . L ) (4.3) L X M = ~

ed inoltre :

(4.4) L X M := ~ e ( L . M)

cio~ il prodotto scalare ~ la parle reale del prodotto hermitiano. Per le (4.1), (2.7)1 e le (4.4), (2.7)a si pub infine affermare ehe :

(4.5) Sia il prodotto hermitiano che il prodotto scalare hanno significato inlrinseco rispelto al sistema canonico ~ .

5. Le applicazioni ~, J, ~ - Si considerino le bilezioni ~, J, 6{ di E4~, ~- Q" definite da :

(5.1) ~ ' L ~ L i ; J ' L - - ~ L j ; g ' L ~ L k .

Si noti anzitutto che ~, J, ~ sono automorfismi di ~4n pensato come spazio vettoriale sui reali, ma non sono automorfismi di ~t" pensato come spazio vet. toriale su (~, giaceh~, per es Lqi, Liq coincidono per q E 1R, mentre sono in generale diversi per q E ~ .

~¢[. BRU~I: SU alcune proprieti t di geometria euclidaa eel hermi t ian% eve. 63

Inoltre si ha :

(5.2) Le appl icaz ion i 2, J, ~ sono ro taz ioni an t i i nvo lu tor i e di E~n prive

di vet tori non n u l l i un i t i , e ovv iamente collegate dalle :

(5.3) J o 2 - - ~ ; g i ~ o J - - ~ ; 2 o / , ~ = J

Risulta quindi :

(5.4) L X M - - L i X M i - - L j X M j - - L k X M k ,

e, in par t icolare :

(5.4') L X L - - L i X L i = L j X L j = L k X L k - - mis s L .

(5.5) I vet tori L , Li , L j , L k sono a due a due orlogonal i i n E4 , .

{5.6) Per due vet tori L, M q u a l u n q u e si h a :

L X M i - - - - L i X M - - L j X M k - - - - L k X M j

(5.7) L X M j - - - L i X M k - - - - L j X M = L k X M i

L X M k - - L i X M j - - - - L j X M i = - - L k x M .

Infatti , per le (4.1), {2.3) si ha :

( L i ) . ( ~ i ) = r~ L= i :~S~i = - - i r L ~ i = - - i ( L . M ) ~

da cui : ~ge(Li. Mi) - - ~gelL. M )

cio~, per la (4.4): L i X M i -- L X M; ed analogamente L j X M j = L k X M k - - - - L X M .

Cib prova le {5.4) e mostra the 2, J, gt{ sono congruenze. Per preci- sare che sono rotazioni, ossia congruenze dirette, osserviamo the, posto

(i) (e) (s) (i) (s) (~) L (~, ~ , ~ , ~ ) r isulta ovviamente: L i ~ ~ , ),% ~ , - - ~ ) . Di conseguenza la matr ice 1 X 4n formata dalle coordinate reali di L i si ottiene moltiplicando la matr ice analoga relat iva al vettore L per la matr ice 4n X 4 n :

- - I( .~ 0,~, 0,~..,

( 5 . s ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I,. , 0,.,

64 M. B ~ u ~ : Su alcune propriet~ di geometria euclidea cd hermitiana, ece.

ove con 0<~,, 0~,, ed Ic,~ abbiamo indicato risp. le matrici nulle di ordine n e 2n, e la matr ice unit/~ di ordine n.

Poich6 la matr iee (5.8) 6 ortogonale e di de terminante d-l , r isutta nuova- mente provato t he ~ # una congruenza, ed anzi una rotazione. (s}

Analogamente per J e ~ .

Si osservi infine che ciascuna delle applicazioni .~ o ~, J o J, ~ o ~ , d/~ luogo alla s immetr ia rispetto alForigine in E~,. Cib significa the $, J, g~ hanno carat tere antiinvolutorio, e' dunque sono prive di vettori non nulli unit i .

Con cib (5.2) # dimostrato. Pe r quanto r iguarda (5.5), per le (4.4), (4.1) si ha :

L X Li -- ~ e ( L . Li) -- ~e( Z L ~ L~i)

da cui L X L i - O, giacch~ Z L ~ L "~ ~ . Analogamente si ottiene L X L j - - O,

L X L k - - O . Tenendo conto delle (5.3) r isulta inol t re :

Li X L j = ~(L) X @(Lk) = O ; L j X Lk = J(L) X J(Li) - - O ;

Lk X L i = g(L) X ~(Lj ) = O.

Con cib ~ provato (5.5). Infin% per provare ad es. le (5.7 h basta sottoporre la coppia di vettori

L, Mi abe rota~ioni ~, J, ~ , e tenere conto di (5.2).

6. Relazione tra prodotto hermitiano p .h . r . - I1 prodotto scalare ed il prodotto sono collegati mediante le rotazioni 2, J, $~.

Dimostriamo precisamente che :

Sussiste la relazione :

e prodotto scalare. Sottospazi hermit iano di due vettori sono

(6.i) L . M -- L X M .Jr- i(~L X M) + j (JL X M) ~- k ( g L X M) ,

o v v e y o :

(6.:) L . M - - L X M j- i(Li X M) + j (L j X M) J- k(Lk X M).

(8) S i v e d e anz i fac i lmente~ b a s a n d o s i su l le f o r m u l e che co ] l egano le c o o r d i n a t e r ea l i d i L e di Li~ che ~ ~ p r o d o t t o di u n a r o t a z i o n e di a m p i e z z a ~/2 a t t o r n o a l l ' E ~ di equa-

(1) z ion i 2a ~_ ~,~ ~ 0 (:¢ ~ 1 . . . . , n) e di u n a rotazione~ a n c h ' e s s s a di a m p i e z z a ~/2 a t t o r n o a l l 'E~n (~) (a) Xa ~ ~,a ~ 0. ~ n a l o g a m e n t e p e r J e p e r ~C.

M. BRv~I: Su alcune propriet5 di geometria euclidea ed hermitian% ecc. 65

Tenure conto della (4.4) ~ sufficien~e provare che L i X M, L j X M, L k X M uguagtiano risp. i coeffieienti di i, j , k in L . M . Dimostriamo la pr ima di queste affermazioni ; la dimostrazione delle altre ~ analoga.

Avuto r iguardo alle (4.4), (4.1), (2.3), si h a :

t6.3} Li X M -- ~e ( L i . M) - ~e Z {L:i M ~) - - - - ~e (i Z L ~ M ~) - -

= - - ;

donde si trae immedia tamente l 'asserto. Si noti che dalla (6.1) segue che

( 6 . 4 ) L . M = L X M ~ L . M E ~ .

Ora, data la bil inearith su ~ del l 'operazione di prodotto hermitiano, se L . M E ~ , r isul ta anehe N . P E ~ , con N, P vettori qualsiasi dell 'E2 (piano) di E,~ individuato da L, M.

na tura le pereib dire che un E2 costituisce un piano a prodotto hermi. tiano reale (% brevemenle, ~ un E2 p.h.r.t se il prodotto hermit iano di due vettori qualunque del piano ~ reale.

Analogamente si definisce un Et a prodotto hermitiano reale (El p.h.r.) se ogni coppia di vettori dell 'El ha pcodotto hermit iano reale. E immediato ehe :

(6.5) Un Et ~ p.h.r, se esistono in esso t vettori indipendenti M , .... M tali 1 t

ehe M . M E ' N ( r , s .= 1, ..., t).

Cib posto dimostriamo che :

TEoR. 1 - Un Et C E~n ~- Q" ~ a prodotlo hermit iano reale se e solo se totalmente ortogonale a ciascuno degli spazi ~Et , JEt , ~CEt. In tal caso, anche gli spazi 2Et , JEt , ~ E t riescono a due a due totalmente ortogonali. 2~e con. segue t ~ n.

Assegnato, inoltre, u n vetlore M=4= 0 di E,n, esislono c~a Et p.h.r, passant i

1 (t -- 1) (8n - - 5t) per esso, con d - - ~

Le prime due affermazioni, e la reiazione t~_~n sono conseguenze imme. diate delle (6.2), (5.7} (4).

0) Quest i fatt i genera l izzano al caso qua te rn iona le un r i su l ta to di RlZZA per il caso complesso ( red . [12], Teor. T~).

Anna~ gi Matematica

66 M. BRONX: SU alcune propriet~ di geometria euclidea ed hermitiana, ecc.

Per quanto r iguarda l 'ul t ima affermazione, valutiamo l ' inf ini t~ delle t-ple di vettori unitar i ed ortogonali m, .... ~ di E~n che individuano un Et

1 t p.h.r, passante per un assegnato vettore M. 5Ion ~ certo restrittivo supporre M unimrio e scegliere m - - M .

1

Si noti ora e h e l a scelta del vettore ~ ( 2 ~ q ~ t) dipende da d q - - 4 n - - q

- - 4 ( q - 1 ) - 1 parametr i , giacch~, per la (6.4), l 'estremo di ~n deve apparte- q

nere a l l ' ipersuperf ic ie sferica uni tar ia dell'E,n_,(q_~) totalmente ortogonale ai vettori m, ..., ~ , m~, ..., m i , mj, ..., m j , mk, ..., ~nk. Di conseguenza l ' in-

finit~ delle t-ple considerate ~ data da E d q - - ( t - - 1 ) ( 4 n - - 2 t - - 1 ) . Ed infine,

1 ( t - - l ) ( t - 2) che rappresenta l ' inf ini th della t -ple di vettori sottraendo

uni tar i ed ortogonali di uno stesso Et, si ottiene appunto d - - ~ (t --1) (Sn - - 5t).

7. - ]~ opportuno r ieordare che, nel caso d e l l ' ~ TM identificato allo spazio vet~oriale eomplesso C n la biiezione J " ~ " <-~- ~2,, definita da J(L) -- Li ha un preciso significato geometrico; difatti essa induce una rotazione di am. piezza ~/2 su ogni E2 caratteristico, al quale risulta cosi at tr ibuita una ben determinata orientazione (5).

Nel nostro caso, al contrario, le biiezioni ~, J, ~ non hanno significato intrinseco rispetto al sistema eanonico di basi ~ ; difatti, eseguito un auto- morfismo di ~ , si vengono a sostituire ~, J, ~ con tre nuove biiezioni ~', J', g ' ehe godono di analoghe proprieth.

Tnttavia, per ogni vettore L E E4n risulta, in base a (2.5) : Es(~L, JL, g L ) = --Es(~'L, J'L, ~ 'L) ¢).

Tale Es, che denoteremo con 8s(L) non 6 che l'Ea ortogonale al vettore L entre I'E4 caratterist ico passante per L. Inoltre, introdotte le matrici di vet tor i : £ - - ( ~ L J L g L ) , ~ ' : (2'L J'L g 'L) , denotiamo con tC la matr ice trasposta della matr ice C tale che (red. 2.5) (i' j ' k')----(i j k)C. Risulta allora, come ~ di immediata verif iea :

{7.1} ~' -- ~ tC

eseguendo il prodotto tra matr iei r ighe per eolonne. Tenuto conto che det C - - - { - 1 (n. 2), per la {7.1} si ha ehe ~L, JL, ~ L

di~nno ad 8~(L) un 'orientazione determinata intr insecamente. Di conseguenza

(5) Veal . ECKh~iANN [6], ~¢IARTINELLI [7].

(6} I n d i c h e r e m o c o n F~p (M, ..., M) l'Ep 1 p

i n d i v i d u a t o da i v e t t o r i i n d i p e n d e n t i M,. . . , M . 1 p

]~. BRU~I: SU alcune proprietit di geometria euclidea ed hermitiana, ecc. 67

anche I'E4 caratterist ieo individuato da L ha una orientazione intr inseca the si ottiene associando le orientazioni di L e di ~JL).

Tale orientazione dell'E~ earatterist ico riesce indipendente dalForienta- zione di L, ed anche dalla scelta di tale vettore, com'6 ovvio per ragioni di eontinuit/~.

Poss iamo percib concludere che :

(7.2) In ogni E~ caratteristico la struttura quaternionale subordina una orientazione in modo intrinsecamente definito.

Quindi si ha pitt completa analogia tra s t ru t tura quaternionale e strut- tura complessa, sol che si sost i tuisca alla biiezione J del caso complesso

° L l 'applicazione che ogni vet tore L di E~, associa cos() .

8. Significato geometrico del prodotto hermitiano. Angolo hermitiano - I1 prodotto hermit iano i) collegato a semplici propriet/~ metr iche euclidee, sia sul corpo C the sul corpo (~. ]~ intanto noto (7) che in E2, ~ -C" la norma del numero complesso l . m, prodotto hermit iano dei vettori unitari l, m, uguagl ia il coseno dell 'angolo dei piani earat ter is t iei passant i risp. per l, m.

Stabil iamo l 'analogo :

TEon. 2 - I n E~, ~ ~ " il quadrato della norma del quaternione 1. m, prodotto hermitiano dei vetlori unitari l, m, ~ uguale al coseno dell'angolo degli E4 caratteristici passanti risp. per l, m.

Rieordiamo anzitutto the, considerat i i k-vet tori k - - ( L , ..., L), t~--(M, ..., M) 1 /c 1 /c

individuati risp. dalle k-ple ordinate di vettori indipendenti L, ..., L ed 1 k

M, .... , M, il prodotto sealare k X ~t, la misura di ), e l 'angolo ~'~ sono deft- 1 k

niti dalle formule :

L X M . . . L X M I 1 I k

L X M . . . L X M k :L lc k

; m is2 ;~ = X X ~, ; cos'~-~ _ ;~X~ mis k mis I~ "

Assumiamo era ),--(1, li, lj, lk), ~ = (m, mi, mj, ink), con l, m vettori unitari .

In base alle (5.4'), (5.5) si ha mis k - - m i s [~ = 1 in quanto ), X ), e 1~ X I~ r isultano espressi dal determinante della matrice unit/~ del quar t 'o rd ine I(,).

(~) V e d . I ~ I Z Z A , [ 1 3 ] , t e o r . T 2 .

68 ~i. Bau~i: Su atcune propriet~ di geometria eucIidea ed hermitiana, etc.

Dalle (8.i) si ha allora, tenuto conto delle (5.3), (5.4):

(8.2) cos ),~ - - ~ X ~ -

l X m ~ l i X m - - l j X m - - l k X m

li X m l X m - - I k X m lj X m

lj X m I k X m I X m - - l i X m

l k X m - - l j Xm li Xm 1 Xm

Si osservi era ehe la matr ice (8.2) 6 del tipo A + rio4, ore A = (ahh)h,,=~,~,~,, emis immetr ica ed

r ' - l X m . Si ha qu ind i :

c o s "-- r (8.3) -{- r (ai2 -{- a,~ -{- a24 a~4 +, a~ ) -{- det A.

Ora risulta, tenuto eonto delle (5.3), (6.2}:

2 2 2 ' 2 2 2 al~ + al3 + a~4 + a~3 + a~4 + a~4 = 2[(/i X m) ~ -{- (lj X m) ~ + (lk X m) ~] =

= 2~'5[~m(l. m)];

det A = (al2a3i -- al3a~4 + a~4a~) ~ =

= [(~i × m) ~ + (lj × m) ~ + (zk × m)~] ~ =

= [~)~.+2m(~. m))7;

e quindi, sostituendo nella (8.3) r con 1 X m = ~e(1. m) viene :

cos ~ = [ ~ ( / . m)? + ~ [ ~ ( 1 • m)7 ~ [ ~ m ( l - m)] +

+ [ ~ Z : ( ~ m ( / • r o t ) ] ~ =

= { [~e ( l . m)] ~ + ~ [ ~ ( ~ • m)] }~ =

= [~ZJ/• m)7

cio# la tesi. Conviene ora osservare che, come al prodotto scalare si associa l 'angolo

euelideo, cosi al prodotto hermit iano si pub associate un angolo, che diremo angolo hermitiano (~).

(s) P e r l ' a n a l o g a n o z i o n e n e l easo d i E~n ~ ( ~ veal. l~lzz.% [13] pag . 97.

M. BRUNI: Su alcune prop~iet4 di geometria euclidea ed hermitian% ecc. 69

Precisamente , chiameremo angolo hermit iano di due vettori L, M di E~, ~ Q" l~angolo ~ degli E4 caratteristici individuati dai due vettori.

Dal Teor. 2 segue allora che :

(S.4) c o s ~ - - [ ~ ( L . M)] ~ - - mis~L mis4M

come si riconosce subito considerando i vettori unitari l, m proporzionali risp. ad L, M.

9. Spazi pseudocarat ter is t ie i - Generalizzando una nozione introdotta da SEVERI per il easo complesso 49), dire mo ehe un E~ di E4~ ~ Q'~ b pseudo- caratteristico se 5 contenuto in un E4,~ caratteristieo, essendo m i l minimo intero per cui 4m > p . Quando nella precedente '~ale il segno uguale, un Ep pseudocarat ter is t ico ~ caratterist ico.

Pe r il seguito ci interesser/~ in modo part icolare il caso p ~ 4. ~atura l - mente un E4 pseudocarat terist ico ~ caratteristico,; inoltre ogni Ex ~ pseudo. earatterist ico, in base a (3.2).

Pe r i easi p - 2, 3 sono di immediata ve r i f i ca lo seguenti osservazioni:

(9.1) Un Ep pseudoearalteristico ~ contenuto in un solo E~ caratterislico, ehe quello individuato da un qualsiasi El di E~.

(9.2) Piit E~ pseudocaratteristici ed aventi intersezione non ridotta al vettore nullo, sono tutti contenuti in un solo E4 caratteristico.

La (9.1) segue, per assurdo, dalla (32). Per la (9.2) la par te esistenziale si ottiene considerando I'E4 earatterist ico passante per un E1 appar tenente a l l ' in tersezione degli Ep; l 'unicit~ consegue dalla t9.1).

10. Deviazione caraLterist iea assoluta di un E2 - Ci proponiamo ora di es tendere la nozione di deviazione caratteristica~ introdotta da RIzzA per gli E2 {e successivamente per gli E2~) di E~n ~ C ~ (~o).

Perb prefer iamo definire la analoga uozione non solo per gli E4 C E4. -= ~ " ma per ogni Et(t ~ 1, 2, 3, 4) di (~'~.

Diremo deviazione caratleristica (assoluta) di un Et C ~ " tbenehd per t - - 1 , 2, 3, dovrebbe pifi propr iamente parlarsi di ((deviazione pseudocarat- teristica~>), un opportuno angolo, compreso tra 0 e r:/2, che risulter/~ tanto

(9) red. SEVERI, [18] pag. 228. (to) red. l~IZZA, [11], pag. 665 e [12], pag. 200.

70 l~I. BRu~I: Su alcune propriet5 di geometria euclidea ed hermitiana~ ecc.

minore quanto piit l'Et ~ prossimo ad essere pseudocaratterist ico (caratteri- stico per t - 4). L'angolo sarh zero nel caso che l'Et sia pseudoearat terist ieo (caratteristieo per t -- 4).

Poich6 ogni E1 ~ pseudocarat teris t ieo (n. 9), assumeremo nulla la sua deviazione caratterist iea.

Passiamo era a considerare la deviazione carat teris t ica di an E~CE+,,~Ct'. Prenderemo lo spunto dalla forma d a t a da E. MARTIZ~ELLI (~) alla devia-

zione earat ter is t ica di piano E~(L, M ) C E2,, ~ C". Si eonsidera in tal caso il eoefficiente della parte immaginar ia del prodotto hermit iano L . M, ehe vien detto dal ~[ARTIZ~ELLI prodotto caratteristico e denotato con L . M . Ebbene, si dimostra ehe il quoziente

L , M (10.1) mis (L/~ M)

un invar iante dell'E~{L, M) e ehe il suo valore (reale) ~ eompreso ira - -1 e -{-1: la deviazione earat ter is t ica di E~ ~ l 'angolo (compreso tra 0 e 7:) che ha per eoseno (10.1).

Nel nostro easo non sembra possibile considerate senz'altro un'espressione reale analoga alia (10.1), mentre b possibile eonsiderare la seguente espres: sione analoga al quadrato de1 modulo di (10.1). P ree i samen te :

~T~[~m(L . M)] (10.2) 5E~ : mis2 (L A M) "

Dimostriamo anzitutto che :

{10.3) h~, dipende solo dal piano E2(L, M) e non dai veltori L, M.

Difatti, se si sostituisce L con rL (r 6 ]R}, entrambi i te rmini del rapporto che definisee AE, si al terano secondo r ~.

D'al tra parte, s e a d L si sostituisee il vettore L zc sM (s 6 1R) r i su l ta :

2m[(L -}- sM) . M] -- ~m(L. M + s M . M) "- 2m(L. M},

giaeeh6, per la (4.3) ~ M - M = M X M 6 IR. Ma anehe mis (L A M) resta inva- riata, com'~ ovvio pensando al suo significato geome~rico di area.

Lo stesso pub dirsi cambiando analogamente il vettore M. Ne segue ovviamente l 'affermazione (10.3}.

(ll) ~ARTI]~ELLI~ [~]~ pag. 1~6,

M. BRuNI: Su alcune propriet~ di geometria euclidea ed hermitiana~ etc. 71

Dimostr iamo poi che :

(10.4) AE~ ~ un numero reale compreso tra 0 ed 1.

A tale seopo basta osservare ehe 5E: pub valutarsi (tenuto eonto di (10.3)) a part ire da due vettori l, m unitari ed ortogonali di E2. Allora r i su l t a : ~)%[2m{l. m)] = ~ ( 1 . m), a cagione della (6.2), e inoltre mis (1/~ m) = 1.

Pereib {10.2) si r iduce sempl ieemente a l la :

(10.2') AE~ = !3L(l • m).

Tenuto conto del Teor. 2 del n. 8, il secondo membro di (10.2')risulta positivo e uguale at coseno dell 'angolo delle faccette carat ter is t iche indivi- duate da l, m. Ne segue (10.4).

Cib premesso, appare naturale definire come deviazione caratteristica (assoluta) di E~ C ~ " l 'angolo ~ compreso ira 0 e ::/2 tale che :

(10.5) cos ~ ~z: = AE~.

Si noti che, nel caso complesso, la (10.5) ~ sosti tuita da una formula che esprime il coseno della deviazione carat ter is t ica anche in segno, mentre, per le ragioni accennate sopra, non sembra possibile fare al tret tanto nel caso dei quaternioni.

]~ percib che abbiamo dato a Sz~ l ' a t t r ibuto di deviazione carat ter is t ica << asso]uta >>.

Coneludiamo col seguente :

TEOREMA 3 - L a deviazione caratteristica (assoluta) ~E~ di un piano E~(L, M) C E~, ~- ~ ' , ~ data dalla :

(lO.O) c°s~ ~ : mis 2 (L A M) '

o~ in particolare, se L - - ! , M - " m sono ortogonali ed unitari , dalla :

(10.7) c o s ~ ~ - - ~Y'5(t - m ) .

Tale deviazione ha significato intrinseco rispetto al sistema canonico g3 di basi in ~t.

Risul ta 0 ~ 8E~ ~ 7:/2, e :

a) ~E: - -0 s e e solo se E2 ~ pseudocaratteristico ;

b) ~E~--~:/2 se e solo se E~ ~ a prodotto hermit iano reale.

72 M. BRvNI: Su alcune proprietor di geometria euclidea ed hermitiana~ ecc.

Le formule (10.6), (10.7) sono gih state stabilite in quel che precede, e cosi il fatto the ~.~ ~ compreso tra 0 e ~/2.

Broviamo le al tre affermazioni del teorema.

L ' invar ianza di ~ rispetto a ~ segae dalla (10.7) tenure conto di (4.5), (2.7).

Pe r quanto r iguarda a) si osservi anzitutto che se E~(l, m) ~ pseudoca- ratteristieo, in base alla (9. l) m appart iene ad E4(l, li, lj, lk); ed anzi, stante l 'ortogonalith di m con l, m appart iene ad Es(li, l], lk).

Di eonseguenza la (10.7) di~:

cos 2 ~ - - mis 2 m = 1

ossia appunto ~E~ = 0.

Viceversa, supponiamo che E2(l, m} abbia deviazione carat ter is t ica nulla, e proviamo che esso ~ pseudocarat ter is t ico.

Difatti se, per assurdo, ~rt non appar tenesse ad E4(l, li, lj, lk), esso pot rebbe decomporsi in :

m = m' ÷ m"

con m' appar tenente al suddetto E4, ed m" (non hallo) atl'E~,_4 ad esso orto- gonale in E4, -- ~ ' .

Risul terebbe allora :

~ ( 1 . m) = (li × m) ~ + (lj X m) ~ + (lk X m) 2 =

= (li × m') + (lj × m'l 2 ÷ (lk × m'l =

= mis ~ m' ( mis 2 m

e quindi il secondo membro della (10.7) sarebbe minore di 1, mentre il primo membro vale 1, per ipotesi.

Con cib a) ~ dimostrato.

L 'affermazione b) ~ conseguenza immediata della (10.6), tenuto conto della (6.2).

11. Al t re propriet~ della deviazione ca ra t te r i s t i ca - La deviazione carat- terist ica del piano E2(L, M) i~ coltegata in mode semplice agli angoli euclideo ed hermit iano (n. 8) dei vettori L, M (12).

(t~) Per le propriet/~ analoghe in ~n red. RIZZA~ 113]~ pag. 97.

M. BR~JNI: Su alcune propriefft di geometria euclidea ed hermitiana, ecc. 73

P r e c i s a m e n t e si h a :

T]~on. 4 - Per ogni coppia di vettori indipendenti L, M di E4, ~-- ~" , risulta :

(ii.I) cos ~ = (1 - - sen 2 0 sen ~ ~)~

eve O, ~ e ~ denotano risp. gli angoli euclideo ed hermitiano di L, M e la deviazione caratteristica di E2(L, M).

Invero , r i f e rendos i ai ve t to r i un i t a r i l, m proporz iona l i r isp. ai ve t tor i L, M, la (10.6), t enure p resen t i le (8.4), (6.2), d~:

eos~ = Vc--OY~ COS20

sen ~ 0

da eui, con e l emen ta r e ealeolo, segue (11.1).

Dal Teor. 4 d i scendono i co ro l l a r i :

a) Due vettori appartenenti ad un piano pseudocaratteristico hanno angolo hermitiano hullo, e viceversa.

b) Per due vettori appartenenti ad un piano p.h.r, il coseno dell' angolo hermitiano uguaglia la quarta potenza del coseno dell'angolo euclideo.

c) Per due vettori ortogonali il coseno dell' angolo hermitiano uguaglia la quarta potenza del coseno della deviazione caratteristica del lore piano.

L 'a f f e rmaz ione a) d i scende sub i to da (11.1) ponendo $ - - 0 (Teor. 3). D 'a l t ra par te , e ssa non d i f fe r i see sos tanz ia lmen te da l l ' o sse rvaz ione (9.1).

L a b) si o t t iene da (11.1) ponendo ~ - - 7 : / 2 e t enendo eonto del Teor . 3. L a c) si o t t iene a n a l o g a m e n t e ponendo 0 - 7:/2 in (11.1).

l~ot iamo inf ine e h e l a (t1.1) mos t r a la p ropr i e tk i na spe t t a t a ehe l'angolo hermitiano di due ve t to r i L, M ~ funzione simmetrica dell'angolo euclideo di L, M e del la deviazione caratleristica ~E~ di E2(L, M).

Stab i l i amo e ra la s eguen te proprieth, t h e dh u n a n u o v a e sp re s s ione pe r la deviaz ione ea ra t t e r i s t i ca di u n E~:

TEoR. 5 - Per ogni E~ C E4, ~ ~" , risulta :

(11.2) cos 2 $~ = cos (E2, gEz) -}- cos (E~, JE~) ~-

+ cos (E,, gE~). (~')

0 3) Nel case complesso l ' a n a loga della (11.2) si r iduce al la eos~Ee~--~eos (E~, JE~), the si t rova in Rrzzh , [1317 Teor. T i . U n a formula piit genera le re la t iva agli E~p ~ E~n-~: ~n

stata o t tenuta dalla dott. A. I)OTT][ in u n lavoro non aneora pubblieato.

Annali (l~ Matematica 1o

74 M. BnvNI: Su alcune proprietor di geometria cuclidea eel hermitiana~ etc.

Infatti , se L, M sono vettori indipendenti dell 'E2, ~ (n. 8):

cos (E2, ~Ez) - - cos [E~(L, M ) , E2(Li, Mill - -

L X L i L X M i

M X L i M X M i - - mis (L A M) mis (L i /~ Mi)

ossia, tenuto eonto delle (5.4), (5.5), (5.7):

cos(E~ ~ E ~ ) : (Li X M) ~ ' mis 2 (L A M)

e cosi le altre due, ot tenute sosti tuendo 2 con J e con g~. Sommando membro a membro tall relazioni e tenendo conto detle (6.2),

(10.6), la (11.2) r isut ta giustificam.

12. Deviazione ea ra t t e r i s t i ca assoluta di un Et(t = 3, 4) - Mostreremo ora che ~ possibile defini te una deviazione earat ter is t ica assoluta per un Et ( t - - 3 , 4) at traverso una sorta di media di deviazioni carat ter is t iche di op portnni E~ di E t .

Premet t iamo iI seguente :

{12.1) LEI~I~I~ - S iano

s formaz ione ortogonate :

M~ ..., M vettori di E4 , . 1 t

t

T " M ~ M ' : Y, c,.~M

Per u n a qua l s ias i tra-

con (c~s) matr ice ortogonale di ordine t, r i su l la :

(12.2) E ~ff.~[~m(M. M)] - - Y, {VC[~m(M'. M ' ) ] . r < s r s ~'<e r - s

Tenuto conto della (6.2) b sufficiente dimostrare che :

(12.3) E (Mi X M) ~ - - E (M'i X M ' ) 2 - - E (E e, . , Mi X E c ~ M) 2, K s r s r < s ~" s r < s 1 1 m m

con tutti gli indici di sommatoria, qui e nel seguito, variabil i da 1 a t. Ora si noti ehe nella parentesi a l l 'u l t imo membro della. (12.3) f igurano

t 2 termini, dei quali perb t sono nulli, per le (5.5); i r imanenti , in base alle (5.7) possono sommarsi a due a due, per cui la (12.3) d iv iene:

(12.4) Z (Mi X M) 2 = E [ E (c,.zc~,~ - - c,.,,c~t) (Mi X M)] ~. r < s r s ~ < s l < m l m

M. B ~ t ~ : Su aleune proprieti~ di geometria euctidva ed hermitiana~ ece. 75

Ora il secondo membro della (12.4) ~ una eombinazione l ineare di te rmini del t ipo (Mi X M) ~- e di altri del tipo (Mi y, M) (Mi X M). Pe r provare la (12.4)

t m l m l ' m "

most reremo che i pr imi hanno cocfficiente uguale ad 1, e gli altri uguale a z e r o .

Ed effet t ivamente, il eoefficiente di (Mi X M) ~ r isul ta uguale a Z (c,.~c~,~--

--c,.,~c~) ~ ed ~ quindi uno, come r isul ta dal teorema di B ~ E ~ eseguendo il quadra to (per colonne) del la mat r ice cost i tui ta dalle colone di pos~i l, m nel la matr ice ortogonale (c,.s).

Ed il medes imo teorema, appl icato alle matr ie i costi tui te dalle colonne di post i l, m ed l', m', prova c h e l a quant i th

r ~ s

(coefficiente di (Mi X M) (Mi X M) nel la (12.4)) ~ nulla. m l s m r

I1 L e m m a (12.1) ~ cosl dimostrato. Cib premesso, consider iamo un Et(t -- 3, 4) di E4,, --~ ~n .

Siano re(r - -1 , ..., t) vettori uni tar i ed ortogonali di E t . General izzaado

(10.2) poniamo :

(12.5)

14 14 (!2.6) 5z,(~, T, ~, ,~) = ~ Z~<~ 5~/,, , ,~) - - ~ Z,~<,~FS(m • m).

U ~ r S U t ~* $

Si ha t h e :

(12.7) hE~(t = 3, 4) dipende solo da Et(m, ..., m) e non dai singoli vettori m, ..., m. t 1 t

Risulta inoltre 0 ~ hz~ ~ 1.

Infat t i , la p r ima affermazione diseende dal L e m m a (12.1); la seeonda b eonseguenza immedia ta de]le (12.5), (12.6), tenuto conto di (10.4).

Chiameremo allora deviazione caratterislica assoluta di Et C • ' ( / - - 3 , 4} l 'angolo ~ t compreso tra 0 e ~/2 defini to da l la :

(12.8) cos~a~t -- A~.

Dimostr iamo il segt tente:

TEOR. 6 - La deviazione caratteristica assolula di Et(m, ..., m ) ( t - 3, 4) 1 t

appartenente ad E~,, ha significato intrinseco rispetto al sistema canonico di

76 M. B a v ~ : Su aleune propriet~ di geometria euetide.a ed hermitiana, ece.

basi ~ in ~ . Risu l ta inoltre 0 ~ ~E~ ~ 7:/2, e:

a) 8F,~- 0 s e e solo se Et ~ pseudoearatteristivo,

b) ~,~ - - 7:/2 s e e solo se E~ ~ a prodotto hermitiano reale.

II earat tere in t r inseco di 8E t r ispet to al s is tema canonico ~ b o v v i a con- seguenza delle (12.5), (12.6} tenuto eonto delle (4.5), (2.7).

Per quanto r iguarda a) si osservi t he se Et b pseudoearat ter is t ieo, sono ovviamente tall E~(m, m)(r, s - 1, ..., t). Per la a) del Teor. 3, tenuto conto

di (10.7), tut t i i t e rmini nei terzi membr i delle (12.5), (12.6) r i sul tano uni tar i . l~e eonsegue ~ t ---- 0.

Se, vieeversa, ~z~ ~ 0, per le (10.2'), (10.4) tutt i i t e rmini suddet t i valgono 1. Pe r la a) del Teor. 3 sono allora pseudoeara t ter is t ic i ad es. i p iani E~{m, m), ..., E~(m, m). Tenu to eonto della (9.2) ne discende che Et b pseudo-

1 2 1 t carat ter is t ieo (caratterist ico se t - 4).

Pe r eib che si r iferisce al l 'osservazione b) la par te d i re t ta ~ eonseguenza immedia te di (6.2), tenuto eonto ehe m, ..., m sono ortogonali .

1 t

Riguardo ella par te inverse si noti the , se sono nul l i tut t i i te rmini nei terzi membr i di {12.5), (12.6), per la {6.2} i p iani E2{m, m} (r ~ s; r, s - - 1, ..., t)

sono p.h.r. Tenuto conto di {6.5) si conclude.

B I B L I O G R A F I A

[1] .~ . ~tLBERT, Structure of algebras, ¢ Ann. ~fath Society ~, N. York, 1939.

[2] ~[. BRg~I, .Su alcuni sistemi di sottospazi di uuo spazio hermitiano, ¢ Rend. di Mat. e app. , 20, (1961).

[8] ~ - - , Relazioni tra metriche euclidee ed hermitiane in uno spazio vettoriale quater. nionale, Rend. Lincei, 8, 38, {1965)

[4] ]8. CARTAS, Ld~ons sur la Gdomdtrie des espaees de Riemann, 2 ed, Gauthier-~Villars, Paris, 1951.

[5] P. Du VAL, Homographies, Q~aternions and Rotations, Clarendon Press, Oxford, 1964.

[6] B. ]~CK~A~N, Cours sur les varidtds complexes, ¢Centro Internazionale Matematico Estivo, C. I. ]K E., Cremonese, Rome, 1956.

[7] E. 5IAaTINnLbI, S~lle variet~ a struttura complessa, (,Ann. di Mat )~ 43, (1957).

[8] - - - - , Generalizzazione dei teoremi di minimo volume di Wirtinger a tutte le variet~ k~hleriane o quasi-kdhlerianc, ~ Ann. di Mat. ,~ 50 (1960).

[9] - - - - , Variet~ a struttura q~aternionale generaZizzata, • Rend. Lincei, 8, 26, (1959), [10] - - - - , Modello metrico reale de~lo spazio proiettivo quaternionale, ~ Ann. di Mat. , 49~

(1960).

~I. BRv~I: Su alcune propriet~ di geometria euclidea ed hermitiana, ecc. 77

[ l t ] (}. B: RJZZA, Deviaz ione cara t t e r i s t i ca delle faccette p i a n e d i u n a var i e t~ a s t r u t t u r a complessa, , Rend. Lince i ~, 8, 2~t, (1958).

[[2] - - - - ~ Deviaz ione cara t t e r i s t i ca e propv ie ta locali deIle 2q-faccet te d i u n a V2~ a s t r u t t u r a eomplessa, , Rend. Ace. Naz. XI~ ~, (1959).

[13] - - - - . Teoremi d i e u r v a t u r a i n u n a V~n q u a s i - h e r m i t i a n a , , R iv . Mat. Un iv . P a r m a , 2, (1961).

[14] ~. SEVERI~ L a geometr ia delle f u n z i o n i a n a l i t i c h e d i pil~ v a r i a b i l i ed i teoremi d i esi. s t e n z a e d i u n i e i t d a d esse re la t iv i , , Ann. di 1Kat. ,, 16, (1937}.