Introduzione alla geometria Introduzione alla geometria euclideaeuclidea

Dalle definizioni alle dimostrazioniDalle definizioni alle dimostrazioni

Classe IV ginnasioClasse IV ginnasio

Testi utilizzati: Bergamini-Trifone-Testi utilizzati: Bergamini-Trifone-Barozzi “Matematica azzurro”Barozzi “Matematica azzurro”

Attività 1Attività 1

Introduzione storica alla geometria euclidea.Introduzione storica alla geometria euclidea. Perché nasce la geometriaPerché nasce la geometria Chi era EuclideChi era Euclide La geometria razionale che trova la sua prima La geometria razionale che trova la sua prima

sistemazione negli Elementi di Euclidesistemazione negli Elementi di Euclide Per approfondire: ricerca sulla biblioteca di Per approfondire: ricerca sulla biblioteca di

Alessandria. Il ruolo dei suoi stipendiati.Alessandria. Il ruolo dei suoi stipendiati. Letture consigliate: Guedj “Il teorema del Letture consigliate: Guedj “Il teorema del

pappagallo”pappagallo”

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Con questa prima attività si introduce la Con questa prima attività si introduce la classe allo studio della geometria sia da classe allo studio della geometria sia da un punto di vista della necessità da parte un punto di vista della necessità da parte dell’uomo di misurare , sia di dell’uomo di misurare , sia di contestualizzare lo nascita e lo sviluppo contestualizzare lo nascita e lo sviluppo successivo della geometria, dando così successivo della geometria, dando così l’opportunità a ragazzi del liceo classico di l’opportunità a ragazzi del liceo classico di esplorare un altro aspetto della cultura esplorare un altro aspetto della cultura greca classicagreca classica

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Attività 2Attività 2

Enti e definizioniEnti e definizioni Enti primitiviEnti primitivi DefinizioniDefinizioni Postulati e teoremiPostulati e teoremi

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Con questa seconda attività si muovono i Con questa seconda attività si muovono i primi passi verso lo studio della geometria primi passi verso lo studio della geometria indicando di cosa questa si occupa e di indicando di cosa questa si occupa e di come gli oggetti della geometria vengono come gli oggetti della geometria vengono descritti.descritti.

Distinzione tra cosa è un postulato e cosa Distinzione tra cosa è un postulato e cosa è un teorema.è un teorema.

Attività 3Attività 3

Individuare nell’enunciato di un teorema Individuare nell’enunciato di un teorema l’ipotesi dalla tesil’ipotesi dalla tesi

Rappresentare graficamente in modo Rappresentare graficamente in modo corretto quanto è descritto in un enunciato corretto quanto è descritto in un enunciato di un teorema.di un teorema.

Costruzioni con riga e compassoCostruzioni con riga e compasso

Scrivi di fianco a ogni enunciato se è una definizione o una Scrivi di fianco a ogni enunciato se è una definizione o una proprietà.proprietà.

a) «La distanza fra due punti è la lunghezza del segmento che ha a) «La distanza fra due punti è la lunghezza del segmento che ha per estremi i due punti».per estremi i due punti».

b) «Il tachimetro è uno strumento che serve per misurare la b) «Il tachimetro è uno strumento che serve per misurare la velocità».velocità».

c) «Un angolo si dice acuto se è minore di un angolo retto».c) «Un angolo si dice acuto se è minore di un angolo retto».d) «Mercurio è il pianeta più vicino al Sole».d) «Mercurio è il pianeta più vicino al Sole».

Dati i seguenti enunciati, trasformali nella forma «Se …, allora …» e Dati i seguenti enunciati, trasformali nella forma «Se …, allora …» e indicane l’ipotesi e la tesiindicane l’ipotesi e la tesi

a) Un filo metallico attraversato da corrente elettrica si riscalda.a) Un filo metallico attraversato da corrente elettrica si riscalda. b) Per un punto del piano passa una e una sola retta b) Per un punto del piano passa una e una sola retta

perpendicolare a una retta data.perpendicolare a una retta data.c) Due cariche elettriche negative interagiscono con una forza c) Due cariche elettriche negative interagiscono con una forza

repulsiva.repulsiva.d) La somma degli angoli interni di un triangolo qualunque è d) La somma degli angoli interni di un triangolo qualunque è

congruente a un angolo piatto.congruente a un angolo piatto.

Per ogni figura scrivi il nome relativo, scegliendolo fra i seguenti (in alcuni casi ci Per ogni figura scrivi il nome relativo, scegliendolo fra i seguenti (in alcuni casi ci sono più nomi che possono essere utilizzati nella stessa figura): piano, semipiano, sono più nomi che possono essere utilizzati nella stessa figura): piano, semipiano, angolo, angolo piatto, angolo giro, angolo nullo, angoli consecutivi, angoli angolo, angolo piatto, angolo giro, angolo nullo, angoli consecutivi, angoli adiacenti.adiacenti.

Elenca tutte le coppie di angoli consecutivi, quelle di angoli adiacenti, gli angoli retti Elenca tutte le coppie di angoli consecutivi, quelle di angoli adiacenti, gli angoli retti e gli angoli piatti che vedi nella figura.e gli angoli piatti che vedi nella figura.

Disegna quattro segmenti congruenti e adiacenti l’uno all’altro AB, BC, CD e DE. Completa le congruenze, scrivendo al posto dei puntini.

3 ... ... ...AD AC DE

1... ...

2BC AE

Disegna quattro angoli consecutivi di cui complementari e supplementari ( indica l’angolo retto e l’angolo piatto) e completa le seguenti congruenze.

α ...R δ ... γ

α β γ ... δ

Costruzioni co riga e compassoCostruzioni co riga e compasso

Questa attività aiuta lo studente a prendere confidenza con gli strumenti Che aiutano a rappresentare le proprietà di cui si occupa la geometria Euclidea.

Disegna un segmento AB e costruisci con riga e compasso il punto

medio M. Verifica con un’ opportuna costruzione che il

segmento differenza coincide con il segmento nullo.

AM BM

Sulla semiretta Oa disegna tre punti A, B, C, in modo da

Dimostra che vale la seguente relazione.

.OA BC

OB AC

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In questa attività si impara dalla lettura del testo In questa attività si impara dalla lettura del testo a mettere in risalto le parole chiave che a mettere in risalto le parole chiave che introducono l’ipotesi e la tesi di un teorema.introducono l’ipotesi e la tesi di un teorema.

Dalla parola si passa alla corretta riproduzione Dalla parola si passa alla corretta riproduzione grafica, ponendo l’accento su quelli che sono gli grafica, ponendo l’accento su quelli che sono gli errori più frequenti come ad esempio la scelta di errori più frequenti come ad esempio la scelta di prendere il punto medio di un segmento anche prendere il punto medio di un segmento anche quando è richiesto un punto qualsiasi. Si passa quando è richiesto un punto qualsiasi. Si passa infine ai primi tentativi di dimostrazione.infine ai primi tentativi di dimostrazione.

verificaverifica

1. 1. Solo una delle seguenti affermazioni è un postulato della geometria euclidea. Quale?Solo una delle seguenti affermazioni è un postulato della geometria euclidea. Quale?

A Per due punti del piano passa una e una sola linea.A Per due punti del piano passa una e una sola linea.B Per tre punti distinti passa uno e un solo piano.B Per tre punti distinti passa uno e un solo piano.C Per ogni retta di un piano esiste almeno un punto del piano che non le appartiene.C Per ogni retta di un piano esiste almeno un punto del piano che non le appartiene.D Un angolo è concavo se contiene i prolungamenti dei suoi lati.D Un angolo è concavo se contiene i prolungamenti dei suoi lati.E Se due angoli sono opposti al vertice, allora sono congruenti.E Se due angoli sono opposti al vertice, allora sono congruenti.

2 Quale tra i seguenti gruppi di notazioni è 2 Quale tra i seguenti gruppi di notazioni è correttocorretto??A Il punto A Il punto AA, il segmento , il segmento ABAB, la retta , la retta rr, la semiretta , la semiretta ABAB..B Il punto B Il punto aa, il segmento , il segmento ABAB, la retta , la retta rr, la semiretta , la semiretta OrOr..C Il punto C Il punto AA, il segmento , il segmento ABAB, la retta , la retta AOBAOB, la semiretta , la semiretta OrOr..D Il punto D Il punto AA, il segmento , il segmento ABAB, la retta , la retta rr, la semiretta , la semiretta OrOr..E Il punto E Il punto AA, il segmento , il segmento abab, la retta , la retta rr, la semiretta , la semiretta rr..

3. I segmenti in figura sono:3. I segmenti in figura sono:a. a. ABAB e e BCBC consecutivi, consecutivi, BCBC e e CDCD adiacenti. adiacenti.b. b. ABAB e e BCBC adiacenti, adiacenti, BCBC e e CDCD consecutivi. consecutivi.c. c. ABAB e e BCBC adiacenti, adiacenti, CDCD e e DEDE incidenti. incidenti.d. d. BCBC e e CDCD sovrapposti, sovrapposti, ABAB e e DEDE paralleli. paralleli.e.BCe.BC e e CDCD adiacenti, adiacenti, CDCD e e DEDE attaccati attaccati

4. Una delle seguenti proposizioni è 4. Una delle seguenti proposizioni è falsafalsa. Quale?. Quale?A Gli angoli opposti al vertice sono convessi.A Gli angoli opposti al vertice sono convessi.B I lati di due angoli opposti al vertice sono adiacenti.B I lati di due angoli opposti al vertice sono adiacenti.C Gli angoli opposti al vertice sono supplementari.C Gli angoli opposti al vertice sono supplementari.D Gli angoli opposti al vertice hanno le bisettrici adiacenti.D Gli angoli opposti al vertice hanno le bisettrici adiacenti.E Due rette incidenti formano coppie di angoli congruenti E Due rette incidenti formano coppie di angoli congruenti

5.Osserva la figura. Quale fra le seguenti relazioni è 5.Osserva la figura. Quale fra le seguenti relazioni è veravera??

a. d.a. d.

b. e.b. e.

c.c.

6.La proposizione «La somma di due angoli ottusi è un angolo convesso» è 6.La proposizione «La somma di due angoli ottusi è un angolo convesso» è falsafalsa. . Perché?Perché?

3

5AB CD

ABCD5

3

3

3AB

5

3AB CD

5

5CD

α

Commento finale

Lo studio della geometria è spesso poco amato dagli studenti, forse perché oltre a richiedere lo studio di definizioni e teoremi, impone che tali definizioni e teoremisi debbano saper riconoscere e riprodurre in e con figure geometriche. Ma credo che una tale pratica sia un esercizio che allena la mente ad affrontare situazioni critiche oinaspettate. Per tale ragione cerco sempre di dare più spazio possibile allo studio della geometria impostando il lavoro come descritto sopra, cioè con introduzione storica che indica come la geometria nasce quando l’uomo si pone in maniera critica di frontea quanto lo circonda. Continuando, poi, con lo studio di regole che debbono essere riconosciute in figure geometriche, che in seguito gli studenti realizzeranno da soli avendoconsapevolezza di quanto la disciplina richiede.