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EQUAZIONI DI II° GRADO

1. DEFINIZIONI

Si dice equazione di secondo grado nell’incognita x un’equazione che

con il coefficiente a diverso da zero.

Un’equazione di secondo grado si dice:

� completa quando tutti e tre i suoi coefficienti (a, b, c,) sono diversi da zero; � incompleta quando almeno uno dei coeff. b e c è uguale a zero, in particolare

o pura se 0=b e 0≠c

o spuria se 0≠b e 0=c

� monomia quando tutti e due i coefficienti b e c sono uguali a zero

2. RISOLUZIONE DI EQUAZIONI INCOMPLETE

2.1. equazione pura 02 =+ cax trasporto c a secondo membro e divido i due membri per

a

cx −=2

estraggo la radice quadrata

Si possono verificare i seguenti casi:

a. 0<−a

c (se a e c sono concordi) l’equazione è

b. 0>−a

c (se a e c sono discordi) l’equazione ammette

Δlessio ∫abelli Studente di Matematica

“Sapienza - Università di Roma”

Dipartimento di Matematica

“Guido Castelnuovo”

web-site: www.sabelli87.altervista.org

EQUAZIONI DI II° GRADO

nell’incognita x un’equazione che ridotta a forma normale

ndo tutti e tre i suoi coefficienti (a, b, c,) sono diversi da zero;

dei coeff. b e c è uguale a zero, in particolare

quando tutti e due i coefficienti b e c sono uguali a zero

RISOLUZIONE DI EQUAZIONI INCOMPLETE

a secondo membro e divido i due membri per a (principi di equivalenza

estraggo la radice quadrata

) l’equazione è impossibile

) l’equazione ammette 2 soluzioni opposte x −±=2,1

e-mail [email protected]

è del tipo 02 =++ cbxax

principi di equivalenza)

a

c−

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2.2. equazione spuria

02 =+ bxax raccolgo x a fattore comune

0)( =+ baxx applico la legge dell’annullamento del prodotto

00 =+= baxx

la prima equazione mi fornisce la soluzione

la seconda equazione è di primo grado e fornisce la soluzione

Pertanto un’equazione spuria ha sempre due soluzioni distinte

2.3. equazione monomia

02 =ax ha come soluzione 02,1 =x






a fattore comune

legge dell’annullamento del prodotto

la prima equazione mi fornisce la soluzione 01 =x (sempre soluzione di un’eq. spuria)

la seconda equazione è di primo grado e fornisce la soluzione a

bx −=2

sempre due soluzioni distinte.


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3. RISOLUZIONE DI EQUAZIONI COMPLETE

ax

Si applica la formula risolutiva

bx 2,1

−=

Ci sono tre casi

a. 0>∆ due soluzioni reali distinte

b. 0=∆ due soluzioni reali coincidenti

c. 0<∆ nessuna soluzione reale

4. EQUAZIONI FRAZIONARIE

Si risolvono come quelle intere facendo la discussione dei denominatori

5. RELAZIONE FRA I COEFFICIENTI E LE RADICI DI UN’EQ. II° GRADO

xx + 21






RISOLUZIONE DI EQUAZIONI COMPLETE

02 =++ cbxax con 0,, ≠≠≠ coboa

a

acb

2

42 −± ∆=− acb 42

discriminante

i distinte

due soluzioni reali coincidenti (soluzione doppia)

Si risolvono come quelle intere facendo la discussione dei denominatori

NTI E LE RADICI DI UN’EQ. II° GRADO

a

b−= a

cxx =⋅ 21 con 0≥∆


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6. EQUAZIONI PARAMETRICHE

0132 =−++ mmxx i suoi coeff. sono a

Se attribuiamo a m valori diversi otteniamo equ

m=1, m=2, m=5

4− . Al variare di m, dunque varia l’equazione e, di conseguenza, variano le soluzioni. La lettera

parametro e l’equazione si dice parametrica

dipendente da una o più lettere dette parametri.

Gli esercizi sulle eq. parametriche consistono nel

soddisfano certe condizioni.






131 −=== mcmb

valori diversi otteniamo equazioni diverse che hanno, in generale, soluzioni diverse. Per esempio

, dunque varia l’equazione e, di conseguenza, variano le soluzioni. La lettera

ica. I generale si dice parametrica un’equazione avente almeno un coefficiente

dipendente da una o più lettere dette parametri.

Gli esercizi sulle eq. parametriche consistono nel determinare i valori del parametro per i quali le soluzioni dell’equaz.


azioni diverse che hanno, in generale, soluzioni diverse. Per esempio m=0,

, dunque varia l’equazione e, di conseguenza, variano le soluzioni. La lettera m si dice

un’equazione avente almeno un coefficiente

determinare i valori del parametro per i quali le soluzioni dell’equaz.

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7. EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO RICONDUCIBILI A EQ. DI I° O II° GRADO

Il primo metodo consiste nello scomporre il polinomio che compone l’equazione in fattori e applicare la legge

dell’annullamento del prodotto

7.1. equazioni biquadratiche

Un’equazione si dice biquadratica quando, ridotta a forma normale, è di 4° grado e manca dei termini contenenti le

potenze dell’incognita al grado dispari.

INCOMPLETE

1° caso) Se 0=c e 0≠b l’equazione assume la forma

dell’annullamento del prodotto ottenendo

02 =x da cui la soluzione 02,1 =x e

a

bx −=2

da cui se 0>−a

b si hanno le soluzioni






EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO RICONDUCIBILI A EQ. DI I° O II° GRADO


quando, ridotta a forma normale, è di 4° grado e manca dei termini contenenti le

024 =++ cbxax con 0≠a (1)

l’equazione assume la forma 024 =+ bxax in cui si raccoglie

dell’annullamento del prodotto ottenendo

e

si hanno le soluzioni a

bx −±=4,3


EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO RICONDUCIBILI A EQ. DI I° O II° GRADO


quando, ridotta a forma normale, è di 4° grado e manca dei termini contenenti le

in cui si raccoglie 2x e poi si applica la legge

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2° caso) Se 0=b e 0≠c l’equazione assume la forma

se 0>−a

c si ha

a

cx −=4

� x ±=

se 0<−a

c l’equazione non ha soluzioni reali

3° caso) Se 0=b e 0=c l’equazione diventa

COMPLETE

Per risolverla si opera la sostituzione x2

che è un’eq. di secondo grado detta equazione risolvente

Si verificano i seguenti tre casi:

a. 0>∆ allora la (2) ha due soluzioni reali e distinte

abbiamo due equazioni di secondo grado pure

• se 01 >t e 02 >t abbiamo

• se, ad es., 01 >t e 02 <t






l’equazione assume la forma 04 =+ cax :

4

a

c−±

l’equazione non ha soluzioni reali

l’equazione diventa 04 =ax che ha 4 radici reali coincidenti x

t=2 così la (1) diventa

02 =++ cbtat (2)

equazione risolvente dell’equazione biquadratica.

allora la (2) ha due soluzioni reali e distinte a

bt

22,1

∆±−= per cui, in base alla sostituzione operata,

due equazioni di secondo grado pure

12 tx = e 2

2 tx =

abbiamo 4 soluzioni reali dell’eq. biquadratica

12,1 tx ±= e 24,3 tx ±=

0 abbiamo 2 soluzioni reali dell’eq. biquadratica

12,1 tx ±=


04,3,2,1 =x

per cui, in base alla sostituzione operata,

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• se, ad es., 01 =t abbiamo come soluzioni dell’eq. biquadratica

o 02,1 =x e 4,3x

o 02,1 =x e basta se

• se 01 <t e 02 <t l’equazione biquadratica non ammette soluzioni

b. 0=∆ allora la (2) ha una sola soluzione

• due soluzioni se 01 >t cioè

• una soluzione se 01 =t cioè

• nessuna soluzione se 1 <tc. 0<∆ allora l’equazione risolvente non ha soluzioni e quindi ne






abbiamo come soluzioni dell’eq. biquadratica

24 t±= se 02 >t

e basta se 02 <t

l’equazione biquadratica non ammette soluzioni

allora la (2) ha una sola soluzione 1t e quindi l’eq. biquadratica ammette:

cioè 12,1 tx ±=

cioè 0=x

0 allora l’equazione risolvente non ha soluzioni e quindi nemmeno l’equaz. biquadratica.


mmeno l’equaz. biquadratica.

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7.2. equazioni binomie

Un’eq. si dice binomia quando, ridotta a forma normale, è del tipo

Non trattiamo i casi n = 1 e n = 2.

Negli altri casi si ottiene per 2>n

Per risolvere bisogna estrarre la radice n

a. n pari

o se 0>−a

b l’eq. ha due soluzioni

o se 0=−a

b l’eq. ha una soluzione

o se 0<−a

b l’eq. non ha soluzioni

b. n dispari l’eq. ammette sempre una e una sola soluzione

o se 0>−a

b la soluzione è

o se 0=−a

b l’eq. ha una soluzione

o se 0<−a

b la soluzione è






quando, ridotta a forma normale, è del tipo

0=+ bax n con

+∈ Nn e 0≠a

a

bxn −=

Per risolvere bisogna estrarre la radice n-sima e quindi si hanno i seguenti 2 casi

due soluzioni opposte n

a

bx −±=2,1

una soluzione 0=x

non ha soluzioni.

una e una sola soluzione e precisamente

la soluzione è n

a

bx −=

una soluzione 0=x

la soluzione è n

a

bx −=


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7.3. equazioni trinomie

Un’equazione, ridotta a forma normale, si dice

Non trattiamo i casi n = 1 e n = 2.

Negli altri casi si ottiene per 2>n si opera la sostituzione

diventa

2 +at

Risolvendo quest’ultima equazione, le soluzioni reali di essa, sostituite al posto di

valori della x che soddisfano l’eq. data.






Un’equazione, ridotta a forma normale, si dice trinomia quando è del tipo

02 =++ cbxax nn con

+∈ Nn e 0≠a

si opera la sostituzione txn = (*) (equazione binomia) e così l’equazione trinomia

0=++ cbt che si chiama equazione risolvente

Risolvendo quest’ultima equazione, le soluzioni reali di essa, sostituite al posto di t nella (*), ci permettono di calcolare i

che soddisfano l’eq. data.


) e così l’equazione trinomia

nella (*), ci permettono di calcolare i

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7.4. equazioni reciproche

Un’eq., ridotta a forma normale, si dice

estremi sono uguali (prima specie) oppure opposti (

Ad esempio: 2273 2345 −++− xxxx

8811 34 +− xxx

Vale la seguente proprietà: se un’eq. rec. ammette per soluzione un numero

Osserviamo che le soluzioni di un’eq. rec. si presentano a coppie di numeri reciproci. Inoltre se il numero delle soluzioni è

dispari una di tali soluzioni deve essere un numero il cui reciproco è uguale a se stesso quindi è necessariamente 1 oppure

1.

� equazioni reciproche di terzo grado di prima specie

osserviamo subito che ammette la soluzione

Non ricorriamo alla regola di Ruffini ma effettuiamo dei raccoglimenti parziali ottenendo

Ricordando che ()1(1 23 +=+ xxx






idotta a forma normale, si dice reciproca, quando i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli

) oppure opposti (seconda specie)

037 =+− x prima specie

011=−x seconda specie (oss.: manca il termine medio se di 2

specie pari)

se un’eq. rec. ammette per soluzione un numero α , essa ammette anche il suo reciproco

di un’eq. rec. si presentano a coppie di numeri reciproci. Inoltre se il numero delle soluzioni è

dispari una di tali soluzioni deve essere un numero il cui reciproco è uguale a se stesso quindi è necessariamente 1 oppure

o grado di prima specie

023 =+++ abxbxax

osserviamo subito che ammette la soluzione 1−=x


( ) ( ) 0113 =+++ xbxxa

)12 +− x abbiamo


, quando i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli

oss.: manca il termine medio se di 2a

, essa ammette anche il suo reciproco α1

di un’eq. rec. si presentano a coppie di numeri reciproci. Inoltre se il numero delle soluzioni è

dispari una di tali soluzioni deve essere un numero il cui reciproco è uguale a se stesso quindi è necessariamente 1 oppure –


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Ora basta applicare la legge dell’annullamento del prodotto.

� equazioni reciproche di terzo grado di seconda specie

Senza usare la regola di Ruffini si p

Ricordando che ()1(1 23 −=− xxx







( ) 0)1(1)1( 2 =+++−+ xbxxxxa

[ ] 0)()1( 2 =+−++ axabaxx


equazioni reciproche di terzo grado di seconda specie

023 =−−+ abxbxax

Senza usare la regola di Ruffini si procede nella seguente maniera

( ) ( ) 0113 =−+− xbxxa

)12 ++ x abbiamo

( ) 0)1(1)1( 2 =−+++− xbxxxxa

[ ] 0)()1( 2 =+++− axbaaxx



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� equazioni reciproche di quarto grado di

Poiché 0=x non è soluzione possiamo dividere per

Poniamo x

xy1+= (*) da cui

2y

2 +ay

Risolvendo quest’ultima eq., le eventuali radici reali di essa, sostituite successivamente al posto della

permettono di calcolare i valori della

� equazioni reciproche di quarto grado di seconda specie






equazioni reciproche di quarto grado di prima specie

0234 =++++ abxcxbxax

non è soluzione possiamo dividere per 2x ottenendo

02

2 =++++x

a

x

bcbxax

011

22 =+

++

+ cx

xbx

xa

21

222 ++=

xx e quindi 2

1 22

2 −=+ yx

x e pertanto

( ) 022 =++− cbyya

02 =−++ acby che si chiama eq. risolvente

Risolvendo quest’ultima eq., le eventuali radici reali di essa, sostituite successivamente al posto della

ttono di calcolare i valori della x che soddisfano l’equazione data.

equazioni reciproche di quarto grado di seconda specie

034 =−−+ abxbxax


e pertanto

Risolvendo quest’ultima eq., le eventuali radici reali di essa, sostituite successivamente al posto della y nella (*), ci

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Applicando la legge dell’annullamento del prodotto si ricavano le soluzioni dell’eq. data.

� equazioni reciproche di quinto grado

Ogni eq. reciproca di grado dispari ammette la soluzione

seconda specie. Quindi per risolvere una eq. reciproca di quinto grado si divide il primo membro per

specie o per 1−x se di seconda specie riconducendosi in entrambi i casi alla risoluzione di

grado di prima specie.






( ) ( ) 011 24 =−+− xbxxa

( )( ) ( ) 0111 222 =−+−+ xbxxxa

( )( ) 01 22 =++− abxaxx

llamento del prodotto si ricavano le soluzioni dell’eq. data.

equazioni reciproche di quinto grado

Ogni eq. reciproca di grado dispari ammette la soluzione 1−=x se è di prima specie e la soluzione

. Quindi per risolvere una eq. reciproca di quinto grado si divide il primo membro per

se di seconda specie riconducendosi in entrambi i casi alla risoluzione di


llamento del prodotto si ricavano le soluzioni dell’eq. data.

e la soluzione 1=x se è di

. Quindi per risolvere una eq. reciproca di quinto grado si divide il primo membro per 1+x se di prima

se di seconda specie riconducendosi in entrambi i casi alla risoluzione di un’eq. reciproca di quarto

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