Equazioni di 2° grado

Forma normale

Una equazione si 2° grado si dice scritta in forma normale o canonica se è nella formaax2+bx+c=0 con a, b e c reali e a≠0

3x2+2x-5=0 è una equazione di 2° grado scritta in forma normale (a=3, b=2 e c=-5)

In una equazione scritta in forma normale il primo termine è di 2° grado ed a è detto coefficiente del termine di 2° grado, il secondo termine è di 1° grado e b è detto coefficiente del termine di 1° grado il terzo termine è detto termine noto

Riduzione a forma normale

Se una equazione non è scritta in forma normale la prima cosa da fare è quella di riportarla in tale forma attraverso l’effettuazione di operazioni e passaggi dal 2° al 1° membro dell’uguaglianza

Esempio: 4x-2=3(x2–x)↔4x-2=3x2–3x↔-3x2+7x-2=0

Soluzioni

Le soluzioni di una equazione di 2° grado dette anche zeri o radici sono sempre 2 e sono quei valori che sostituiti alla incognita x rendono l’equazione una identità

x=1 e x=2 sono soluzioni per l’equazione x2–3x+2=0infatti 12–3+2=0 e 22–6+2=0

Equazioni incomplete

Se manca il termine di primo grado o il termine noto o entrambi l’equazione si dice incompleta

Le equazioni incomplete si suddividono in Spurie Pure Monomie

Spurie

Una equazione di secondo grado in cui manchi il termine noto (cioè quella in cui è c=0) si dice pura

042 2 xxUna equazione spuria ha 2 soluzioni di cui una è 0 e l’altra –b/a nell’esempio -2

02 bxax

Pure

Una equazione di secondo grado in cui manchi il termine di 1° grado (cioè quella in cui è b=0) si dice spuria

0123 2 xUna equazione spuria ha 2 soluzioni opposte ±√(c/a) nell’esempio ±2

02 cax

Monomie

Una equazione di secondo grado in cui manchi il termine di 1° grado e il termine noto (cioè quella in cui è a=b=0) si dice monomia

02 2 xUna equazione spuria ha 2 soluzioni entrambe uguali a zero

02 ax

Discriminante Si chiama discriminante di una

equazione di 2° grado, e si indica con Δ, il numero b2-4ac

acb 42

Formula risolutiva

abx22,1

aacbbx

242

2,1

a

b

x 422,1

Nel caso b sia pari conviene applicare la formula ridotta

a

acbb

x

2

2,122

Che si può anche esprimere

Le soluzioni si ricavano dalla formula

La formula risolutiva è applicabile anche alle equazioni incomplete

Soluzioni: casistica

Se Δ>0 le soluzioni sono 2 e distinte S={(-b+√Δ)/2a, (-b-√Δ)/2a}

Se Δ=0 le soluzioni sono 2 coincidenti S={-b/2a}

Se Δ<0 le soluzioni non esistono S={Ø}

Se a e c sono discordi il discriminante è sicuramente positivo (non vale il viceversa)

Esempio 1

123

2215

2

01234250352

2

12,1

2

x

xx

diversesoluzioni

xx

Esempio 2

25

4102

2

04251004

025204

2,1

2

a

b

x

icoincidentsoluzioni

ridottaformula

xx

Esempio 3

soluzionenessuna

xx0362544

0522 2

Esempio 4

17

163

2

016)7(94

076

2

12,1

2

xx

x

diversesoluzioni

ridottaformula

xx

Casi particolari

In certi casi ci si può trovare di fronte al prodotto di più polinomi di grado minore o uguale a 2 uguagliato a zero: non conviene eseguire le operazioni, ma scomporre l’equazione in più equazioni alternative sfruttando la proprietà dell’annullamento del prodotto

Esempio 5

3323

3323

3123

2

012)1(394

2

2

01630401634

4

3

4,3

2,1

2222

x

xx

diversesoluzioni

hala

xsoluzioniconspuriaèequazioneprimala

xxxxxx

a

Equazioni frazionarie

Nelle equazioni frazionarie, una volta ridotte a forma normale eliminando i denominatori, è necessario scartare le radici che annullano il m.c.m. dei denominatori, se entrambe le radici sono da scartare, l’equazione è impossibile.

Esempio 6

1'

13

41

2

04)3(14

...'1'

32063306)1(31

)1)(1(...01

613

1

2

12,1

22

2

accettasnonsoluzioniletra

xx

x

diversesoluzioni

ridottaformula

mcmlannullanocheaccettasnonsoluzioniletra

xxxxxxxx

xxmcmxxx

x

Equazioni a coefficienti letterali

Nel caso nell’equazione compaiano lettere occorre verificare che Il loro valore Non renda il discriminante negativo

(condizione di realtà) Non azzeri alcun denominatore (condizione di

possibilità) Nel caso si annulli il coefficiente del termine di

2° grado si avrà una sola soluzione Questo procedimento si chiama

discussione dell’equazione

Esempio 7

0

02

222

02

2)12(244

0)12(42

2,1

2,1

2

2

asesoluzionenessuna

axaseicoincidentsoluzioni

aax

asediversesoluzioni

aaaaridottaformula

aaaxx

Esempio 8

24

2

04

01

2

2,1

2

2

aax

diversesoluzioni

adivalorea

axx

Relazioni tra coefficienti e soluzioni di equazioni di 2° grado

acxx

abxx

21

21

Tra i coefficienti e le soluzioni di una equazione di 2° grado con Δ≥0 esistono le relazioni

Relazioni tra coefficienti e soluzioni di equazioni di 2° grado

Per definizione x1 e x2 sono soluzioni dell’equazione(x-x1)(x-x2)=0 e quindi di x2-(x1+x2)x+x1x2

Viceversa 2 numeri ci cui si conosca somma e prodotto sono soluzioni di x2-sx+p dove s e p sono somma e prodotto dei numeri dati

Il trinomio ax2+bx+c, se ha soluzioni, si può scomporre come a(x-x1)(x-x2) se Δ>0 oppure come a(x-x1)2=a[x+b/(2a)]2 se Δ=0

Teorema di Cartesio Se tutti i coefficienti hanno lo stesso segno le soluzioni sono

negative Se solo il coefficiente del termine di 1° grado è negativo le

soluzioni sono positive Se solo il coefficiente del termine di 2° grado è positivo le

soluzioni sono discordi e quella maggiore in valore assoluto è positiva

Se solo il termine noto è negativo le soluzioni sono discordi e quella maggiore in valore assoluto è negativa

a b c p=c/a s= -b/a x1 x2

+ + + + - - -- - - + - - -+ - + + + + ++ - - - + + -+ + - - - - +

Esempio 9

Data l’equazione 2x2-3x+1 determinare somma e prodotto delle radici senza risolvere l’equazione

s=-b/a=3/2p=c/a=1/2

Esempio 10

Trovare l’equazione di 2° grado avente per soluzioni -1/2 e 2/3

x2-sx+p quindi x2-x/6-1/3 ed eliminando i denominatori

6x2-x-2

Esempio 11

Determinare 2 numeri sapendo che la loro somma è 2m e il loro prodotto m2-4

Deve essere x2-2mx+m2-4=0 cioè

24222,1 mmmmx

Equazioni parametriche

Si dice parametrica una equazione avente almeno un coefficiente dipendente da una o più lettere dette parametri

Esempio: x2+3mx+m-1=0 al variare di m si hanno diverse equazioni e quindi diverse soluzioni Se m=0 x2-1=0 S={-1,+1} Se m=1 x2+3x=0 S={-3,0} Se m=2 x2+6x+1=0 S={-3±√2}

….

?

Questione fondamentale è determinare i valori dei parametri che soddisfano determinate condizioni

Esempio 12 a 2x2–(k-1)x+2=0

Determinare per quali valori di k

L’equazione abbia radici coincidenti

Deve essere Δ=0 quindi

35

15110152

01612016)1(

2,12

22

kkk

kkk

Esempio 12 b 2x2–(k-1)x+2=0

Determinare per quali valori di k

L’equazione abbia una radice nulla

L’equazione ha radice nulla se spuria (c=0)Quindi ma c=2 quindi per nessun valore di

k il termine noto è nullo

Esempio 12 c 2x2–(k-1)x+2=0

Determinare per quali valori di k

L’equazione abbia radici opposte

Ciò avviene quando l’equazione è pura cioè b=0

10)1( kk

Esempio 12 d 2x2–(k-1)x+2=0

Determinare per quali valori di k

L’equazione abbia radici reciproche

Deve essere

kvaleveroèciòpoichè

acxx

xx

11121

21

Esempio 12 e 2x2–(k-1)x+2=0

Determinare per quali valori di k

La somma delle radici dell’equazione sia 3

Deve essere

7321321

kk

abxx

Esempio 12 f 2x2–(k-1)x+2=0

Determinare per quali valori di k

Il prodotto delle radici dell’equazione sia 4

Deve essere

1421 acperchèeimpossibil

acxx

Esempio 12 g 2x2–(k-1)x+2=0

Determinare per quali valori di k

La somma dei quadrati delle radici dell’equazione sia 7

Deve essere

1911

019202012

45)1(724

4)1(

7272

72)(7

2,1

22

22

2

22

212

2122

21

k

kkkk

kkac

ab

ac

ab

xxxxxx

Esempio 12 h 2x2–(k-1)x+2=0

Determinare per quali valori di k

La somma dei reciproci delle radici dell’equazione sia 4

24222,1 mmmmx