2^ Lezione

• Equazioni di 1° .

• Equazioni di 2° .

• Equazioni fattoriali .

• Equazioni biquadratiche .

• Equazioni binomie .

• Equazioni fratte .

Corso di Analisi: Algebra di Base

• Allegato Esercizi .

EQUAZIONI ALGEBRICHE

EQUAZIONI DI 1° GRADO

Con il termine di equazione intendiamo una uguaglianza tra due espressioni algebriche,contenenti una incognita (x). Risolvere tale equazione significa determinare quel particolarevalore da attribuire alla incognita (x) , per il quale risulti verificata l’eguaglianza .

Es. ax b+ = 0 a

bx

a

b

a

axbax

−=⇒

−=⇒−=⇒ ⇒

a

bx −=

Es. risolvere : 2 4 0x + = ⇒ 2 4x = − ⇒ 22

4−=⇒−= xx

verifica : 0004404)2(2 =⇒=+−⇒=+−

Es. risolvere : − + =3 9 0x ⇒ − = −3 9x ⇒ 3 9x = ⇒ x =9

3 ⇒ x = 3

Es. risolvere : ( )xx −=+− 323

232 ⇒

( )3

36

3

296 xx −=

+− ⇒ xx 618296 −=+−

⇒ 291866 −+=+ xx ⇒ 2512 =x ⇒ 12

25=x

Es. risolvere : ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 231221322 −−=−−+−+−+− xxxxx

⇒ [ ] 23243342 −−=−−−+−+− xxxxx ⇒ 142372 −+−=+−+− xxxx

⇒ 45 +=− x ⇒ 45 −=x ⇒ 5

4−=x

EQUAZIONI DI 2° GRADO

equazione completa ed ordinata

le soluzioni ( o radici ) dell'equazione si ottengono dall' applicazione diretta della formula :

detta formula risolutiva .

dove si chiama discriminante dell’equazione .

Allo stesso modo si può utilizzare quella che si chiama formula ridotta ( notevolmentevantaggiosa in certi casi )

02 =++ cbxax

a

acbbx

2

42

21

−±−=

∆ = −b ac2 4

a

acbb

x−±−

= 42

2

21

Caratteristiche principali dell'equazione di 2° grado :

Casi particolari dell’equazione di 2° grado : ( )ax bx c2 0+ + =

1) Se l’equazione diventa ax bx2 0+ = detta anche equaz. SPURIA

applicando la formula risolutiva abbiamo :

xb b ac

a

b b

a

b b

a

xb b

a

b

a

b

a

xb b

a

12

2 2 1

2

4

2 2 22

2

2

20

=− ± −

=− ±

=− ±

==

− −=

−=

−

=− +

=

02 =++ cbxax

1) 0≥∆ 2 soluzioni 21 xx ≠ reali e distinte .

2) 0=∆ 2 soluzioni 21 xx = reali e coincidenti . ( il polinomio è il quadrato di un binomio ).

3) 0<∆ ∀/ ℜ∈x ( nessuna soluzione in ℜ ) .

c = 0

Gli stessi risultati li possiamo ottenere molto più semplicemente usando il raccoglimento afattore comune :

ax bx2 0+ = ⇒⇒ x ax b( )+ = 0 ⇒

−=⇒=+

=

a

bxbax

x

1

2

0

0

Es. 3 4 02x x− = ⇒ x x

x

x( )3 4 0

0

4

3

1

2

− = ⇒=

=

2) Se l’equaz. diventa ax c2 0+ = detta anche equaz. PURA

applicando nuovamente la formula risolutiva abbiamo :

xac

a

ac

a

c

a1

2 2

4

2

4

4= ±

−= ±

−= ±

−

−−=

−+=⇒

a

cx

a

cx

2

1

Equivalentemente potremo risolvere anche così :

ax c2 0+ = ⇒ xc

a2 =

− ⇒ x

c

a= ±

−

−−=

−+=⇒

a

cx

a

cx

2

1

NOTA BENE : dal momento che stiamo operando nel campo dei numeri reali le soluzionidi un’equazione pura sono accettabili se e solo se i valori dei coefficienti a e c sono disegno discorde.

b = 0

Quindi :

><<>

⇔ℜ∈0,0

0,0, 21 ca

caxx

Es. 4 16 02x − = ⇒ x 2 16

4= ⇒ 2±=x ( )0,0 <> ca

x 2 8 0+ = ⇒ x 2 8= − ⇒ x = ± − 8 ⇒ ℜ∈∀/ x

In questo caso si poteva ragionare in modo semplice considerando che un quadrato ( x2 )che esprime una quantità positiva non può mai essere uguale ad un numero negativo.

Ricordiamo che il grado di un'equazione è dato dal grado massimo di un suo monomio e che ilgrado esprime altresì il numero massimo di soluzioni ( radici ) della stessa . Il monomio privo difattore letterale ( incognita ) è detto termine noto dell'equazione ; la mancanza di tale terminequalifica l'equazione come omogenea .

Sintetizzando :

0............ 021 =++++ −− zxcxbxax nnn equazione ordinata ( potenze decrescenti ) e completa ( presenza del termine noto )

0............ 02 =+++ − zxcxax nn equazione ordinata ( potenze decrescenti ) e incompleta ( mancanza di un termine )

0............ 121 =++++ −− vxcxbxax nnn equazione ordinata omogenea ( potenze decrescenti ) e incompleta ( mancanza del termine noto )

EQUAZIONI FATTORIALI

Si ottengono applicando le regole della scomposizione alle equazioni di grado superiore alsecondo.

Es. P xn ( ) = 0 ⇒ A x B x C x Z x( ) ( ) ( ) ...... ( )⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 0

Es. risolvere : x x x3 23 3 0− + − =

Applicando le regole della scomposizione abbiamo :

0)3(1)3(2 =−+− xxx raccogl. parziale o successivo

( )x − ⋅3 ( )x 2 1+ = 0

A x B x( ) ( )⋅ = 0 quindi un’equazione fattoriale altro non è che il prodotto di due o più fattori ( rappresentati da singoli polinomi ).

E’ del tutto evidente che un prodotto di due o più fattori è nullo se almeno uno dei fattorilo è. Quindi risolveremo un’equazione fattoriale discutendo l’annullamento di ogni singolofattore.

Tale procedimento deriva dalla cosiddetta LEGGE DELL’ANNULLAMENTO DELPRODOTTO.

A x

B x

( )

( )

==

0

0

Riprendendo l’esempio sopra avremo che :

ℜ∈∀/−=⇒=+

=⇒=−⇒=+⋅−

)(10)1(

30)3(0)1()3(

222

realesoluzionenessunaxxx

xxxx

Altro Es. risolvere : x x x3 23 3 1 0− + − = equaz. di 3° grado

tramite Ruffini : ( ) ( ) ( )x x x− ⋅ − ⋅ − =1 1 1 0

A x B x C x( ) ( ) ( )⋅ ⋅ = 0

=⇒=−=⇒=−=⇒=−

10)1(

10)1(

10)1(

xx

xx

xx

Equivalentemente : ( )x −1 3 = 0 101 =⇒=−⇒ xx ( radice o soluzione tripla)

EQUAZIONI BIQUADRATICHE

Un caso particolare di equazione di grado superiore al 2° è dato da un polinomiodi 4° grado mancante dei termini di grado dispari ; tale tipo di equazione viene chiamatabiquadratica .

Simbolicamente assumerà la forma ax bx c4 2 0+ + =

La risoluzione di tale tipo di equazione avverrà tramite il metodo di sostituzione :

dopo aver posto x t2 = andremo a risolvere una semplice equazione di 2° grado ; avremodunque alla fine i corrispondenti valori di t che dovranno essere risostituiti nella condizioneposta inizialmente per risolvere l’equazione pura corrispondente .

Es: risolvere : 0123 24 =−− xx

txxx =⇒=−− 224 0123 ⇒

=

−==+±=⇒=−−

13

1

6

12420123

2

12

21

t

tttt

e di qui si ha :

+=−=

⇒=

ℜ∈∀/⇒−=

1

11

3

1

2

12

2

x

xx

xx

EQUAZIONI BINOMIE

Un tipo di equazione di grado superiore al 2° costituita da un polinomio di soli due termini( binomio ) definisce quella che si chiama equazione binomia .

La forma sarà del tipo 0=+ baxn

La risoluzione corretta di tale tipo di equazione avverrà tramite corrispondente equazionefattoriale .

Es: risolvere : 014 =−x

( )( ) 101101 224 ±=⇒=+−⇒=− xxxx

Es: risolvere : 083 =−x

( )( ) 2042208 23 =⇒=++−⇒=− xxxxx

Es: risolvere : 0646 =−x

( ) ( ) ( )( ) 2016440202 242323266 ±=⇒=++−⇒=−⇒=− xxxxxx

Da un punto di vista oggettivamente pratico , benchè il metodo corretto sia quello enunciato dianzi ,possiamo determinare le radici reali di un’equazione binomia :

a) come un’equazione di 2° grado pura ( se di indice n-pari ) ,b) come un’equazione di 1° grado , con la relativa estrazione di radice , ( se di indice n-dispari ) .

Sinteticamente :

)(0

)(0

disparina

bx

a

bxbax

parina

bx

a

bxbax

nnn

nnn

−−=⇒−=⇒=+

−−±=⇒−=⇒=+

Riesaminando gli esempi precedenti si ha :

Es: risolvere : 014 =−x ⇒ 111 44 ±=⇒±=⇒= xxx

Es: risolvere : 083 =−x ⇒ 2288 3 333 =⇒=⇒=⇒= xxxx

Es: risolvere : 0646 =−x ⇒ 226464 6 666 ±=⇒±=⇒±=⇒= xxxx

Es: risolvere : 033 =+x ⇒ 333 333 −=⇒−=⇒−= xxx

Es: risolvere : 058 =+x ⇒ ℜ∈∀/⇒−= xx 58

EQUAZIONI FRATTE

Per equazione fratta si intende un’equazione la cui variabile ( incognita x ) compare anche aldenominatore.

A x

B x

( )

( )= 0

Tale tipo di equazione si risolve considerando l’equazione formata dal solo numeratore, dopola discussione del denominatore ( con la conseguente sua esclusione ). Sostanzialmente siapplicauna delle proprietà fondamentali dell'algebra : moltiplicando ambedue i termini di una uguaglianzaper uno stesso numero il risultato non cambia

( ) ( )xBxB

xAxB ⋅=⋅ 0

)(

)(

Posto quindi B x( ) ≠ 0 andremo a risolvere A x( ) = 0

Le soluzioni finali dell’equazione saranno accettabili se e solo se compatibili con ladiscussione fatta inizialmente.

Es. risolvere : x x

x

2 4 1

10

− +−

=

posto dunque 10)1( ≠⇒≠− xx

risolveremo

+=

−=⇒=+−

32

32014

2

12

x

xxx entrambe accettabili

poiché diverse da 1

Es. risolvere : x

x

2 1

10

−+

=

posto 101 −≠⇒≠+ xx

avremo 1012 ±=⇒=− xx

−=+=

⇒1

1

2

1

x

x con x2 non accett.

Quindi la sola soluzione dell’equazione data rimane x = 1 .

Es. 01

232

=+

+−x

xx

posto 101 −≠⇒≠+ xx

avremo 2

8930232 −±+

=⇒=+− xxx

+=+=

⇒1

2

2

1

x

x entrambe soluzioni .

NOTA : Vogliamo ricordare che le soluzioni (o radici ) di un’equazione sono al massimo pari al grado dell’equazione.

ESERCIZI SULLE EQUAZIONI BINOMIE (SPURIE)

ESERCIZI SULLE EQUAZIONI DI 1°GRADO

ESERCIZI SULLE EQUAZIONI BINOMIE (PURE)

ESERCIZI SULLE EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL 2°

ESERCIZI SULLE EQUAZIONI FRATTE

ESERCIZI SULLE EQUAZIONI DI 2°GRADO

Esercizi della 2°lezione di Algebra di base

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Nasconde le soluzioni

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Visualizza solo la soluzione dell'esercizio

USO DEI PULSANTI

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Risolvere le seguenti equazioni di primo grado :

1. ( )3 5 2 1 0x x− + − + =

( ) 30225301253 =⇒=+−−⇒=+−+− xxxxx

2. ( )3 7 5 2 5− − + = +x x

( )

5

37

37553352752357352573

=⇒

=⇒+−=−⇒+=−+⇒+=+−−

x

xxxxxxx

3. ( )( ) ( )4 5 2 2 2 1 5 4 32x x x x x x− − + + − + = − + −

( )( ) ( ) ( )

2

25

2523220424345222054

3452245434512225422

222

=⇒

−=−⇒−−−=−−⇒−+−=+−+−⇒

−+−=+−−−⇒−+−=+−++−−

x

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxxx

4. ( ) ( )24 2 3 5 3 2 8 2 4 92 2+ − − − + − = + −x x x x x x

( ) ( )

2

1416524266

641635322464282353224

22

22222

=⇒+++−=++−⇒

−+=−−−−+⇒−+=−+−−−+

xxxx

xxxxxxxxxx

5. ( ) ( ) ( )x x x x x+ + − − = − − − − +6 2 4 7 3 2 5 3

( ) ( ) ( )

4

11228521631482

35142182635237426

−=⇒−=⇒+−−=++−−⇒

−+−−=−−+⇒+−−−−=−−++

xxxxxxx

xxxxxxxxxx

6. ( )xx

xx

−+ − +

=

− +

− − +

3

22

5

47

3 2

85 3

( )

33

464633

4014201224162148

24401421

8

2016124

354

7

8

21

2

52

2

335

8

237

4

52

2

3

=⇒=⇒

++−+=+−+⇒−++−

=+−−

−++−=+−−

⇒+−−

+−

=

+−+−

xx

xxxxxxxx

xxxx

xx

xx

7. ( )2 3

3

5 2

4

3 2

63 3

−+

+

=

− +

− + −

x x xx

( )

45

262645

36468366151212

363646

12

615128

12

363646

12

61512833

6

23

4

25

3

32

=⇒=⇒

++−−=+++−⇒+−+−

=++−

⇒

+−+−=++−⇒−+−

+−=

++−

xx

xxxxxxxx

xxxxx

xxx

8. ( )+ − + ++

=

− +

−

−

2 2

3

12

3 2

3

2

4x

x x x

( )

8

373786834831224

12

63812

12

34824

4

2

3

23

12

322

=⇒−=−⇒++−−=+++−⇒

+−+−=

+++−⇒

−

−

+−

=

+

++−+

xxxxxx

xxxxxxxx

9. ( )xx

xx

−+ − +

=

− −

− − +

3

54

5

32

3 5

152

( )

36

71713610030109156603

15

1530106

15

10060932

15

532

3

54

5

3

−=⇒=−⇒−+−+=++−

−+−−=

+−−⇒+−−

−−

=

+−+

−

xxxxxx

xxxxx

xx

x

10. ( )− − +

= − + +

+

−2 3

5

25 2

3 2

33x x

x

( )

3

55030188303012636

6

18812306

6

30363

3

2325

2

532

=⇒=⇒−++=−+⇒

−+++−=

−+⇒−

+

++−=

+−−

xxxxx

xxxxxx

Risolvere le seguenti equazioni binomie di secondo grado, mancanti del termine noto (spurie).

11. x x2 3 0+ =

−=

=⇒

−=

=⇒=+

3

0003

2

1

2

12

x

x

a

bx

xchericordandoxx

12. 5 3 02x x− =

=

=⇒

−=

=⇒=−

5

3

00035

2

1

2

12

x

x

a

bx

xchericordandoxx

13. x x2 5 0− =

=

=⇒

−=

=⇒=−

5

0005

2

1

2

12

x

x

a

bx

xchericordandoxx

14. 2 3 02x x+ =

−=

=⇒

−=

=⇒=+

2

3

00032

2

1

2

12

x

x

a

bx

xchericordandoxx

15. x

xx2 2

32 3

12

6− = +

−

012121826

1218

6

122

6

1232

322

2222

=+−−−⇒−+

=−

⇒−

+=− xxxxxxx

xx

=

=⇒

−=

=⇒=−

18

00

0182

1

2

12

x

x

a

bx

xchericordandoxx

16. x x

x2 21

31

4

6

+− =

−+

0462626

64

6

622

6

41

3

1 222222

=+−+−−⇒+−

=−+

⇒+−

=−+

xxxxxx

xxx

=

=⇒

−=

=⇒=−

6

0006

2

1

2

12

x

x

a

bx

xchericordandoxx

17. x x x2 22

3

1

41

7

12

+−

+= −

+

0712383412

712

12

3384

12

71

4

1

3

2 222222

=+−−++−⇒−−

=−−+

⇒+

−=+

−+

xxxxxxxxx

−=

=⇒

−=

=⇒=+

1

000

2

1

2

12

x

x

a

bx

xchericordandoxx

18. ( )x x x x x−

+−

=−

++2

4

4

3

3

2

1

6

( )0103

12

22186

12

16463

6

1

2

3

3

4

4

2 22

=−⇒++−

=−+−

⇒+

+−

=−

+−

xxxxxxxxxxxx

=

=⇒

−=

=⇒=−

3

10

000103

2

1

2

12

x

x

a

bx

xchericordandoxx

19. ( )( ) ( )( ) ( )( )x x x x x x+ −

+− +

=+ −3 2

4

1 1

5

1 17

10

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0377034322443055

17162446520

17172

20

14

20

6325

20

1712

20

114

20

235

10

171

5

11

4

23

2222

222222

=+⇒=++−−+−+⇒

−−=−+−+⇒−+−

=−

+−+−

⇒

−+=

+−+

−+⇒

−+=

+−+

−+

xxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

−=

=⇒

−=

=⇒=+

7

37

000377

2

1

2

12

x

x

a

bx

xchericordandoxx

20. ( )

( )x x x

x−

−+

=−

+ +1

2

3

6

2

4

1

23 1

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

0182123661863266126

12

13663

12

261613

2

1

4

2

6

3

2

1

2222

2222

=−−−−⇒++−=−−+−⇒

++−=

−−−⇒++

−=

+−

−

xxxxxxxxxx

xxxxx

xxx

=

=⇒

−=

=⇒=−

3

32

000323

2

1

2

12

x

x

a

bx

xchericordandoxx

Risolvere le seguenti equazioni binomie di secondo grado (pure) :

21. x 2 9 0− =

3

0,0

0,009

21

21

2

±=

><<>

−±=⇒=−

x

ca

case

a

cxchericordandox

22. 4 49 02x − =

2

7

0,0

0,00494

21

21

2

±=

><<>

−±=⇒=−

x

ca

case

a

cxchericordandox

23. − + =36 4 02x

3

0,0

0,00436

21

21

2

±=

><<>

−±=⇒=+−

x

ca

case

a

cxchericordandox

24. 8 64 02x − =

22

0,0

0,00648

21

21

2

±=

><<>

−±=⇒=−

x

ca

case

a

cxchericordandox

25. − + =x 2 16 0

4

0,0

0,0016

21

21

2

±=

><<>

−±=⇒=+−

x

ca

case

a

cxchericordandox

26. 25 9 02x − =

5

3

0,0

0,00925

21

21

2

±=

><<>

−±=⇒=−

x

ca

case

a

cxchericordandox

27. − − =49 16 02x

ℜ∈∀/

><<>

−±=⇒=−−

x

ca

case

a

cxchericordandox

0,0

0,001649

21

2

28. 48 4 02x − =

32

1

0,0

0,00448

21

21

2

±=

><<>

−±=⇒=−

x

ca

case

a

cxchericordandox

29. 121 9 02x + =

ℜ∈∀/

><<>

−±=⇒=+

x

ca

case

a

cxchericordandox

0,0

0,009121

21

2

30. − + =x 2 1 0

1

0,0

0,00448

21

21

2

±=

><<>

−±=⇒=−

x

ca

case

a

cxchericordandox

Risolvere le seguenti equazioni di secondo grado ( complete )

31. x x2 5 6 0− + =

==

=±

=>=∆⇒=+−2

3

2

15:01065

2

1

21

2

x

xxhasipoichèxx

32. x x2 8 12 0+ + =

−=−=

=±−=>=∆

⇒=++6

244:04

40128

2

1

21

2

x

xxhasipoichèxx

33. x x2 10 21 0+ + =

−=−=

=±−=>=∆⇒=++7

345:04

402110

2

1

21

2

x

xxhasipoichèxx

34. − + − =x x2 5 6 0

==

=−±−=>=∆⇒=−+−

3

2

2

15:01065

2

1

21

2

x

xxhasipoichèxx

35. x x2 5 7 0+ + =

ℜ∈∀/<−=∆⇒=++ xhasipoichèxx :030752

36. x x2 6 0− − =

−==

=±=>=∆⇒=−−2

3

2

251:02506

2

1

21

2

x

xxhasipoichèxx

37. x x2 8 9 0− + =

−=

+==±=>=

∆⇒=+−

74

7474:07

4098

2

1

21

2

x

xxhasipoichèxx

38. x

x x−

− = −1

3

3

212

04766

66

6

9221

2

3

3

1 22

2 =−+⇒−

=−−

⇒−=−−

xxxxx

xxx

−−=

+−=

=±−

=>=∆⇒=−+

12

1457

12

1457

12

1457:01450476

2

1

21

2

x

xxhasipoichèxx

39. 2 1

4

3 2

22x x

x−

−+

=

05444

4

4

4612

2

23

4

12 22

2 =++⇒=−−−

⇒=+

−−

xxxxx

xxx

ℜ∈∀/<−=∆

⇒=++ xhasipoichèxx :0164

0544 2

40. 5 3

6

2 3

4

2−− =

−xx

x

043612

96

12

12610

4

32

6

35 222

=−+⇒−

=−−

⇒−

=−−

xxxxxx

xx

−−=

+−=

=±−

=>=∆⇒=−+

12

1053

12

1053

12

1053:01050436

2

1

21

2

x

xxhasipoichèxx

Risolvere le seguenti equazioni di grado superiore al secondo :

41. x x3 2 1 0− + =

Applicando Ruffini si ha :

( )( ) 011 2 =−+− xxx che per l'appunto definisce una equazione fattoriale .

da cui :

−−=

+−==

±−=⇒>=∆⇒=−+

=

⇒

=−+

=−

2

51

2

51

2

510501

1

01

01

2

1

21

22

x

xxxx

x

xx

x

e quindi riassumendo le soluzioni sono :

±−2

51;1

42. 3 4 1 03 2x x− + =

Applicando Ruffini si ha :

( )( ) 0131 2 =−−− xxx che per l'appunto definisce una equazione fattoriale .

+ 1 0 - 2 + 1

x = + 1 + 1 + 1 - 1

+ 1 + 1 - 1 0

+ 3 - 4 0 + 1

x = + 1 + 3 - 1 - 1

+ 3 - 1 - 1 0

da cui :

−=

+=

=±

=⇒>=∆⇒=−−

=

⇒

=−−

=−

6

131

6

131

6

131013013

1

013

01

2

1

21

22

x

xxxx

x

xx

x

e quindi riassumendo le soluzioni sono :

±6

131;1

43. x x4 22 1 0− + =

Applicando Ruffini si ha :

( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )( ) 01110111011 2223 =−+−⇒=+−+−⇒=−−+− xxxxxxxxxxx

che per l'appunto definisce una equazione fattoriale .

da cui :

±=⇒>=∆⇒=−

−==

⇒

=−

=+=−

10401

1

1

01

01

01

21

22 xx

x

x

x

x

x

e quindi riassumendo le soluzioni sono : ( )1;1 +−

+ 1 0 - 2 0 + 1

x = + 1 + 1 + 1 - 1 - 1

+ 1 + 1 - 1 - 1 0

Avremmo potuto anche risolvere l'equazione come biquadratica :

x x4 22 1 0− + =

posto 100122

122 =⇒=∆=+−⇒= tpoichètttx

e risostituendo : 112 ±=⇒= xx

Sarebbe stato più semplice se da subito avessimo notato che :

( ) ( )( )

±=⇒=−

±=⇒=−⇒=−−⇒=−⇒=+−

101

10101101012

2

2222224

xx

xxxxxxx

44. x x3 2 21 0− − =

Applicando Ruffini si ha :

( )( ) 0733 2 =++− xxx che per l'appunto definisce una equazione fattoriale .

da cui :

ℜ∈∀/⇒<−=∆⇒=++

=⇒

=++

=−

xxx

x

xx

x

019073

3

073

0322

e quindi riassumendo le soluzioni sono : ( )3

+ 1 0 - 2 - 21

x = + 3 + 3 + 9 + 21

+ 1 + 3 + 7 0

45. 01623 23 =−−− xx Applicando Ruffini si ha :

( )( ) 08432 2 =−+−+ xxx che per l'appunto definisce una equazione fattoriale .

da cui :

ℜ∈∀/⇒<−=∆

⇒=+−

−=⇒

=−+−

=+

xxx

x

xx

x

0204

0843

2

0843

0222

e quindi riassumendo le soluzioni sono : ( )2−

46. 023 24 =+− xx

posto

==

=±=⇒>=∆=+−⇒=1

2

2

1301023

2

1

21

22

t

ttpoichètttx

e risostituendo :

±=±=

⇒

=

=

1

2

1

22

2

x

x

x

x

47. 02 43 =− xx

( )

=⇒=−

=⇒=⇒=−⇒=−

2

1021

).(0002102

3

343

xx

triplasolxxxxxx

- 3 - 2 0 - 16

x = - 2 + 6 - 8 + 16

- 3 + 4 - 8 0

48. 083 =+x

( )( )

ℜ∈∀/⇒<−=∆

⇒=+−

−=⇒

=+−

=+⇒=+−+⇒=+⇒=+

xxx

x

xx

xxxxxx

034

042

2

042

0204220208

2

22333

molto più semplicemente :

228808 3 3333 −=⇒−=⇒−=⇒−=⇒=+ xxxxx

49. 0164 =−x

( ) ( )( )

ℜ∈∀/⇒<−=∆⇒=+

±=⇒

=+

=−⇒=+−⇒=−⇒=−

xx

x

x

xxxxx

0404

2

04

0404404016

2

21

2

2222224

molto più semplicemente :

221616016 4 4444 ±=⇒±=⇒±=⇒=⇒=− xxxxx

50. 015 =+x

11101 555 −=⇒−=⇒−=⇒=+ xxxx

Risolvere le seguenti equazioni fratte :

51. x x

x

x

x

2 3

2

2

10

−−

−−

=

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

±=⇒=+−

==+−⇒=+−

=+−

≠⇒≠−≠⇒≠

≠−⇒=−

+−

=−

+−+−−⇒=

−−−−−

⇒=−−

−−

23076

0076076

076:101

0020120

12

76

012

42330

12

22130

1

2

2

3

21

2223

2323

222322

xxx

xxxxxxx

xxxhasixx

xxxxposto

xx

xxx

xx

xxxxxx

xx

xxxxx

x

x

x

xx

e quindi le soluzioni sono:

±= 23

21x

52. 3 1 4

12

x

x x x

+−

=−

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 101:101

00010

11

01413

14

113

01

4113

1413

2

=⇒=−

≠⇒≠−≠⇒≠

≠−⇒=−

−

=−−+⇒

−=

−+⇒=

−=

−+⇒

−=

−+

xxhasixx

xxxxposto

xxx

xxxx

xxx

xxx

xxxx

xxx

x

e quindi le soluzioni sono: ( )ℜ∈∀/ x

53. − +

+ =+2 2

42

2

x

xx

x

{

ℜ∈∀/⇒<−=∆=+−⇒

=+−≠⇒≠≠⇒=+−

=+−−−

⇒+

=++−

⇒+

=++−

xpoichèexx

xxhasixxxpostox

xx

x

xxxx

x

xx

x

xxxx

x

x

0190467

0467:0020202

467

02

4248

2

2

2

844

2

24

22

2

22

2222

54. 33 1

1

3

2x

x

x

x−

−− +

=−

( ) ( )( )

( )( )( ) ( ) ( )

( )

ℜ∈∀/⇒<−=∆=+−⇒

=+−≠⇒≠−⇒=−

+−

−+−=

−+−−⇒

−−−=

−−−−⇒−=

+−−−

xpoichèexx

xxhasixxpostox

xx

xxx

xxxx

xxx

xxxxx

xx

x

034

0147

0147:001012

147

1243

122666

1213

1213216

23

113

3

2

22

22

55. x

x

x

x2 4

1

1

5

2−−

−+

=

( ) ( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )( ) ( )( )

( )( )

21024

06126:1,2

0120122

6126

122

25

122

232

122

125

122

1221

2

5

1

1

42

21

2

2222

±=⇒>=∆

=++−−≠≠⇒

≠+−⇒=+−++−

⇒+−

−−=

+−+−−+

⇒

+−+−

=+−

−−−+⇒=

+−

−−

xpoichèexxhasixx

xxpostoxx

xx

xx

xx

xx

xxxx

xx

xx

xx

xxxx

x

x

x

x

e quindi le soluzioni sono:

±= 21

21x

56. 3 5 2 3

22

−+

+=

x

x

x

x

( ) ( )

−=

+=

=±=⇒>=∆=−−⇒

=−−≠⇒≠⇒=−−

=++−

⇒=++−

⇒=+

+−

5

2128

5

2128

5

2128084

404165

04165:00202

4165

2

3

2

41026

2

3

2

2523223253

2

1

21

2

222

2

2

2

2

2

2

2

22

x

xxpoichèexx

xxhasixxpostox

xx

x

x

x

xxx

x

x

x

xxx

x

xx

x

e quindi le soluzioni sono:

±=

5

21282

1x

57. x

x x

+−

− =3

3

1

22

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

−=

+=

=±=⇒>=∆=−−⇒

=−−≠≠⇒≠−⇒=−

−−

−−=

−+−+⇒

−−=

−−−+⇒=−

−+

4

31317

4

31317

431317

031303172

03172:3,0032032

3172

32124

32362

3234

32332

221

33

2

1

21

2

22

22

x

xxpoichèexx

xxhasixxxxpostoxx

xx

xxxx

xxxxx

xxxx

xxxxx

xxx

e quindi le soluzioni sono:

±=

4

313172

1x

58. 4

3

3

4

3

4

−−

= −−

x

x x

( )( )( )

( )( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

ℜ∈∀/⇒<−=∆=+−⇒

=+−≠≠⇒≠−−⇒=−−+−

−−+−

=−−

+−⇒

−−−−−−

=−−

−⇒

−−=

−−

xpoichèexx

xxhasixxxxpostoxxxx

xx

xx

xx

xx

xx

xxx

xx

x

xx

x

0111064417

064417:3,4034034464417

344

93

344

8164

344

312433

344

44

4

3

4

3

3

4

2

22

222

59. 2

2 1

4

112

−+ +

−−+

=x

x x

x

x

( )( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )

21024

012

0363:10101

363

1

12

1

4342

1

1

1

1421

1

4

12

2

21

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

22

±=⇒>=∆=−−⇒

=−−−≠⇒≠+⇒=+

−−

+++=

+−−+−⇒

++=

++−−−⇒=

+−−

++−

xpoichèexx

xxhasixxpostox

xx

x

xx

x

xxx

x

x

x

xxx

x

x

xx

x

e quindi le soluzioni sono:

±= 21

21x

60. x

x

x

x

++

− =−

9

32

4

2

( )( ) ( )( )( )( )

( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

−=

==

±−=⇒>=∆=−+⇒

=−+−≠≠⇒≠+−⇒=+−−+

+−+=

+−+−⇒

+−+=

+−+−−+−⇒

−=−

++

63

1

6

36117036106173

06173:3,2032032

6173

32124

3265

3234

3232292

24

239

2

1

21

2

22

22

x

xxpoichèexx

xxhasixxxxpostoxx

xx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxxx

xx

xx

e quindi le soluzioni sono:

−== 6,

3

121 xx