Equazioni di primo grado 2v · Equazioni di primo grado 2v Prof.ssa G. Messina 1 Novembre 2011...
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Equazioni di primo grado 2v Prof.ssa G. Messina 1 Novembre 2011 EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Obiettivi Prerequisiti Alla fine di questa unità: 1) saprai riconoscere una equazione di primo grado 2) sarai capace di risolvere equazioni numeriche di primo grado intere e fratte 3) sarai capace di discutere semplici equazioni letterali di primo grado
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Equazioni di primo grado 2v
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EQUAZIONI DI PRIMO GRADO
Obiettivi Prerequisiti
Alla fine di questa unità:
1) saprai riconoscere una equazione di primo grado
2) sarai capace di risolvere equazioni numeriche di primo grado intere e fratte
3) sarai capace di discutere semplici equazioni letterali di primo grado
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PrerequisitiObiettivi
E' necessario che tu
• sappia operare con i monomi e i polinomi
• sappia operare con le frazioni algebriche
Materia: MatematicaArgomento: Equazioni di 1° gradoIstituto: I.I.S. GastaldiAbbaClasse: SecondaProf.ssa: G. MessinaDiritti:
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PARTIAMO DA UN
PROBLEMA
In una fattoria ci sono polli e conigli. Le teste in tutto sono 51 e le zampe 134. Quanti sono i conigli e quanti i polli?
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Quali sono i risultati richiesti?determinare il numero di polli e di conigli
Scegliamo un'incognitanumero di polli
Traduciamo in espressioni le relazioni fornite dal
problema
il numero totale di animali è
il numero di conigli è
le zampe dei polli in tutto sono
le zampe dei conigli in tutto sono
le zampe in tutto sono
perché non è possibile ottenere un numero di polli negativo
svolgendo la moltiplicazione e sommando i monomi simili
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Il modello matematico del problema
equazione di primo grado numerica interaè una
di primo grado perchè
numerica perchè
intera perchè
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Il grado di un'equazione in forma normale (cioè nella forma più semplice possibile) è:
il più alto fra gli esponenti dell'incognita
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Un'equazione si dice
numerica: se le uniche lettere presenti sono le incognite
letterale:se vi compaiono altre lettere
oltre le incognite
In genere per le incognite si usano le ultime lettere dell'alfabeto
mentre le prime lettere dell'alfabeto indicano le costanti del problema, dette PARAMETRI
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Un'equazione si dice
FRATTA: se le incognite si trovano almeno in un denominatore
INTERA: se le incognite si trovano solo a numeratore di eventuali frazioni
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Classifica le seguenti equazioni in base alle lettere che vi compaiono
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classifica le seguenti equazioni in base alle frazioni che vi compaiono
INTERA FRATTA
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PRIMA CONSEGUENZA SECONDA CONSEGUENZA
PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Sommando o sottraendo una stessa espressione ai due membri di
un'equazione si ottiene un'equazione equivalente a quella data
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TERZA CONSEGUENZASECONDA CONSEGUENZAPRIMA CONSEGUENZA
SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Moltiplicando o dividendo per una stessa espressione (DIVERSA DA
ZERO) i due membri di un'equazione si ottiene un'equazione equivalente a
quella data
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Prima conseguenza del primo principio
Consideriamo l'equazione:
e sommiamo ad entrambi i membri l'espressione
Abbiamo ottenuto l'equazione equivalente (riprova!):
la cui soluzione è (Prova!)SOLUZIONE?
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Confrontando le due equazioni si ha l'impressione che il monomio si sia spostato dal secondo membro al primo cambiando il suo segno e lo stesso abbia fatto il monomio passando dal primo al secondo
Questa conseguenza del primo principio si chiama TRASPORTO o, come dice la prof. Messina molto familiarmente, SALTO DELL'UGUALE
TIRA
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Seconda conseguenza del primo principio
Consideriamo l'equazione:
e sommiamo ad entrambi i membri l'espressione
Abbiamo ottenuto l'equazione equivalente: (riprova!)
la cui soluzione è (Prova!)SOLUZIONE?
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Confrontando le due equazioni si ha l'impressione che il monomio sia scomparso da entrambi i membri come se l'avessimo semplificato
Questa conseguenza del primo principio si chiama CANCELLAZIONE
TIRA
torna indietro
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Prima conseguenza del secondo principio
Consideriamo l'equazione:
e moltiplichiamo entrambi i membri per il m.c.m fra i DENOMINATORI, cioè
Abbiamo ottenuto un vantaggio: adesso i coefficienti sono
tutti numeri interi
svolgiamo le moltiplicazioni
torna indietro
In realtà, di solito calcoliamo prima il denominatore comune a tutte le frazioni presenti sia nel 1° sia nel 2° membro e poi, semplicemente, lo cancelliamo sottintendendo la moltiplicazione per uno stesso numero
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Seconda conseguenza del secondo principio
Consideriamo l'equazione:
e moltiplichiamo entrambi i membri per
torna indietro
svolgiamo le moltiplicazioni
Abbiamo ottenuto un vantaggio: i segni sono quasi tutti positivi
Di solito, usiamo questo procedimento nel penultimo passaggio dell'equazione se il coefficiente dell'incognita è negativo
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Terza conseguenza del secondo principio
Consideriamo l'equazione:
e dividiamo entrambi i membri per il coefficiente dell'incognita,
torna indietro
semplifichiamo
Abbiamo ottenuto un vantaggio: abbiamo trovato il valore che soddisfa l'equazione.
Abbiamo, dunque, risolto l'equazione!
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Classificazione in base al numero di soluzioni
Se un'equazione ha:
un numero finito di soluzioni viene detta DETERMINATA
un numero infinito di soluzioni viene detta INDETERMINATA
nessuna soluzione viene detta IMPOSSIBILE
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Supponiamo di aver portato l'equazione in forma normale, cioè di aver eseguito tutti i passaggi fino ad avere:
se possiamo applicare il secondo principio di equivalenza dividendo entrambi i membri per e così arriviamo a trovare l'unica soluzione:
Quindi: se l'equazione è
DETERMINATAcancella qui
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Ma se , il secondo principio di equivalenza non si può applicare e dobbiamo seguire un altro tipo di ragionamento.
Consideriamo il termine noto, e supponiamo che sia
In altre parole, la nostra equazione si presenta nella forma:
Allora l'eventuale soluzione dovrebbe essere un numero che moltiplicato per dia come risultato un numero e sappiamo bene che ciò è impossibile.
Quindi: se e l'equazione è
IMPOSSIBILEcancella qui
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Se, invece, anche il termine noto è uguale a zero
la nostra equazione si presenta nella forma:
e quindi, l'eventuale soluzione dovrebbe essere un numero che moltiplicato per dia come risultato e sappiamo bene che ciò succede moltiplicando per qualsiasi numero.
Quindi: se e l'equazione è
INDETERMINATAcancella qui
torna indietro
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RISOLUZIONE DEL PROBLEMA
Allora quanti polli e quanti conigli c'erano in quella fattoria?
Non resta che riprendere l'equazione modello del nostro problema e risolverla:
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applico il principio del trasporto:
sommo i monomi simili:
applico il cambio di segno:
divido per 2 entrambi i membri:
e semplifico:
In quella fattoria ci sono 35 polli e 16
conigli
