Equazioni di secondo grado - Ubimath · equazioni di equazioni di secondo grado in forma normale....

Equazioni di equazioni di secondo grado. Forma normale (canonica). Complete di verifica e soluzione guidata.- 1

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EQUAZIONI DI EQUAZIONI DI SECONDO GRADO IN FORMA NORMALE. LIVELLO DI BASE. COMPLETE DI VERIFICA E SOLUZIONE GUIDATA.

SOLVED QUADRATIC EQUATIONS

1. 𝑥2 + 2𝑥 + 3 = 0

𝑥 ∈ {3; −1}

soluzione

2. 𝑥2 − 2𝑥 − 8 = 0

𝑥 ∈ {4; −2}

soluzione

3. 𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 0

𝑥 ∈ {−2; −2}

soluzione

4. 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0

𝑥 ∈ {−2; −3}

soluzione

5. 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0

𝑥 ∈ {−1; −1}

soluzione

6. 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0

𝑥 ∈ {2; 3}

soluzione

7. 2𝑥2 + 3𝑥 + 1 = 0

𝑥 ∈ {−1

2; −1}

soluzione

8. 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 0

𝑥 ∈ { 1

2; 1}

soluzione

9. x2 − 6x + 9 = 0

𝑥 ∈ {3; 3}

soluzione

10. 3𝑥2 + 2𝑥 − 1 = 0

𝑥 ∈ {−1;1

3}

soluzione

11. 𝑥2 − 7𝑥 − 18 = 0

𝑥 ∈ {9; −2}

soluzione

12. 𝑥2 + 12𝑥 + 32 = 0

𝑥 ∈ {−8; −4}

soluzione

13. 18𝑥2 − 3𝑥 − 1 = 0

𝑥 ∈ {−1

6;

1

3}

soluzione

14. 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0

𝑥 ∈ {3; −1}

soluzione

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http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/



15. 𝑥² − 10𝑥 + 25

𝑥 ∈ {5; 5}

soluzione

16. 2𝑥² − 12𝑥 + 16 = 0

𝑥 ∈ {4; 2}

soluzione

17. 𝑥² − 𝑥 − 6 = 0

𝑥 ∈ {3; −2}

soluzione

18. −𝑥2 + 12𝑥 − 27 = 0

𝑥 ∈ {3; 9}

soluzione






SOLUZIONI

𝑥2 + 2𝑥 + 3 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

2 ± √4 + 12

2=

2 ± √16

2

𝑥 =2 ± 4

2

𝑥1 =2 + 4

2=

6

2= +3

𝑥2 =2 − 4

2= −

2

2= −1

𝑥 ∈ {1; −1}

Il numero ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 si dice discriminante o delta dell’equazione in forma canonica 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 +

𝑐 = 0.

Essendo ∆ > 0 l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte: 𝑥1 e 𝑥2.






𝑥2 − 2𝑥 − 8 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

2 ± √4 + 32

2=

2 ± √36

2

𝑥 =2 ± 6

2

𝑥1 =2 + 6

2=

8

2= 4

𝑥2 =2 − 6

2= −

4

2= −2

𝑥 ∈ {4; −2}

Il numero ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 si dice discriminante o delta

dell’equazione in forma canonica 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.

Essendo ∆ > 0 l’equazione ammette due soluzioni reali e

distinte: 𝑥1 e 𝑥2.

𝑥² − 2𝑥 − 8 = (𝑥 − 4)(𝑥 + 2)

𝑥 − 4 = 0

𝑥 = 4

𝑥 + 2 = 0

𝑥 = −2






𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

−4 ± √14 − 16

2

𝑥 =−4 ± √0

2=

−4 ± 0

2=

−4

2= −2

𝑥 ∈ {−2; −2}


dell’equazione in forma canonica 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Essendo ∆ = 0 l’equazione ammette due soluzioni reali e

coincidenti: 𝑥1 = 𝑥2.

𝑥² + 4𝑥 + 4 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 2)

𝑥 + 2 = 0

𝑥 = −2






𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

−5 ± √25 − 24

2=

−5 ± √1

2

𝑥 =−5 ± 1

2=

𝑥1 =−5 + 1

2= −

4

2= −2

𝑥2 =−5 − 1

2= −

6

2= −3

𝑥 ∈ {−2; −3}



Con ∆ > 0 l’equazione ammette due soluzioni reali e


𝑥² + 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 3)

𝑥 + 2 = 0

𝑥 = −2

𝑥 + 3 = 0

𝑥 = −3






𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

−2 ± √4 − 4

2

𝑥 = −2

2= −1

𝑥 ∈ {−1; −1}



Con ∆ > 0 l’equazione ammette due soluzioni reali e


𝑥² + 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)2

𝑥 + 1 = 0

𝑥 = −1






𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

5 ± √25 − 24

2=

5 ± √1

2

=5 ± 1

2=

𝑥1 =5 + 1

2=

6

2= 3

𝑥2 =5 − 1

2=

4

2= 2

𝑥 ∈ {2; 3}





𝑥2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 3)

𝑥 − 2 = 0

𝑥 = 2

𝑥 − 3 = 0

𝑥 = 3






2𝑥2 + 3𝑥 + 1 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =−3 ± √9 − 8

4=

−3 ± √1

4=

−3 ± 1

4=

𝑥 =−3 + 1

4= −

2

4= −

1

2

𝑥 =−3 − 1

4= −4 = −1

𝑥 ∈ {−1

2; −1}





2𝑥2 + 3𝑥 + 1 = (𝑥 + 1) (𝑥 +1

2)

𝑥 + 1 = 0

𝑥 = −1

𝑥 +1

2= 0

𝑥 = −1

2






2𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =3 ± √9 − 8

4=

3 ± √1

4=

3 ± 1

4=

𝑥 =3 + 1

4=

4

4= 1

𝑥 =3 − 1

4=

2

4=

1

2

𝑥 ∈ {1;1

2}





2𝑥2 − 3𝑥 + 1 = (𝑥 − 1)(2𝑥 − 1)

𝑥 − 1 = 0

𝑥 = 1

2𝑥 − 1 = 0

𝑥 =1

2






𝑥2 − 6𝑥 + 9 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

6 ± √36 − 36

2

𝑥 =6 ± √0

2=

6 ± 0

2=

6

2= 3

𝑥 ∈ {3; 3}


𝑐 = 0

Essendo ∆ = 0 l’equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti: 𝑥1 = 𝑥2.






3𝑥2 + 2𝑥 − 1 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

−2 ± √4 + 12

6

𝑥 =−2 ± 4

2

𝑥 =−2 − 4

6= −1

𝑥 =−2 + 4

6=

1

3

𝑥 ∈ {−1;1

3}


𝑐 = 0







𝑥2 − 7𝑥 − 18 = 0


𝑐 = 0

Essendo ∆ > 0 (∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 49 + 72 = 121) l’equazione ammette due soluzioni reali e


𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

7 ± √49 + 72

2=

7 ± √121

2

𝑥 =7 ± 11

2

𝑥 =7 + 11

2= 9

𝑥 =7 − 11

2=

−4

2= −2

𝑥 ∈ {9; −2}






𝑥2 + 12𝑥 + 32 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

−12 ± √144 − 128

2

𝑥 =−12 + 4

2

𝑥 = −8

2= −4

𝑥 =−12 − 4

2= −

16

2= −8

𝑥 ∈ {−8; −4}


𝑐 = 0







18𝑥2 − 3𝑥 − 1 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

3 ± √9 + 72

36=

3 ± √81

36=

3 ± 9

36

𝑥 =3 + 9

36=

12

36=

1

3

𝑥 =3 − 9

36= −

6

36= −

1

6

𝑥 ∈ {−1

6;1

3}


𝑐 = 0







x2 − 2x − 3 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

2 ± √4 + 12

2=

2 ± √16

2=

2 ± 4

2

𝑥 =2 + 4

2=

6

2= 3

𝑥 =2 − 4

2= −

2

2= −1

𝑥 ∈ {3; −1}


𝑐 = 0







𝑥2 − 10𝑥 + 25 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =10 ± √100 − 100

2=

10 ± √0

2=

10 ± 0

2= 5

𝑥 ∈ {5; 5}



Essendo ∆ > 0 l’equazione ammette due soluzioni reali

e distinte: 𝑥1 e 𝑥2.

𝑥² − 10𝑥 + 25 = (𝑥 − 5)(𝑥 − 5)

𝑥 − 5 = 0 𝑥 = 5






2𝑥² − 12𝑥 + 16 = 0

𝑥² − 6𝑥 + 8 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

6 ± √36 − 32

2=

6 ± √4

2= 2

𝑥 =6 + 2

2=

8

2= 4

𝑥 =6 − 2

2=

4

2= 2

𝑥 ∈ {4; 2}



Essendo ∆ > 0 l’equazione ammette due soluzioni reali

e distinte: 𝑥1 e 𝑥2.

2𝑥² − 12𝑥 + 16 = (2𝑥 − 4)(𝑥 − 4)

2𝑥 − 4 = 0

𝑥 =4

2= 2

𝑥 − 4 = 0

𝑥 = 4






𝑥² − 𝑥 − 6 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

1 ± √1 + 24

2

𝑥 =1 ± √25

2=

1 ± 5

2

𝑥 =1 + 5

2=

6

2= 3

𝑥 =1 − 5

2=

−4

2= −2

𝑥 ∈ {3; −2}





𝑥² − 𝑥 − 6 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 3)

𝑥 + 2 = 0 𝑥 = −2

𝑥 − 3 = 0 𝑥 = 3






−𝑥2 + 12𝑥 − 27 = 0

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=

−12 ± √144 − 108

−2

𝑥 =−12 ± √36

−2=

−12 ± 6

−2

𝑥 =−12 + 6

−2=

6

2= 3

𝑥 =−12 − 6

−2=

−18

−2= 9

𝑥 ∈ {3; 9}





−𝑥2 + 12𝑥 − 27

= (−𝑥 + 3)(𝑥 − 9)

−𝑥 + 3 = 0 𝑥 = 3

𝑥 − 9 = 0 𝑥 = 9






KEYWORDS

Algebra, equazioni, equazioni di secondo grado, problemi traducibili in equazioni, esercizi con

soluzioni

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Arabic: ُمعاَدلَه

Chinese (Simplified): 方程式

Chinese (Traditional): 等式

Czech: rovnice

Danish: ligning

Estonian: võrrand

Finnish: yhtälö

Greek: εξίσωση

Hungarian: kiegyenlítés; egyenlet

Icelandic: jafna

Indonesian: persamaan

Italian: equazione

Japanese: 方程式

Korean: 방정식

Latvian: vienādojums

Lithuanian: lygtis

Norwegian: likning, det å betrakte som lik

Polish: równanie

Portuguese: equação

Romanian: ecuaţie

Russian: уравнение

Slovak: rovnica

Slovenian: enačba

Swedish: ekvation

Turkish: eşitlik




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