• -^.-R ' ' ': ««^^ "" .^.;d.W'' '' ' • ' •'•••••' '•'•• '•'• : - * • : ? : " • ; > . ; > • ' " : ' < : ? ; ' ' • • - • ' :

p=cosf

F' gJ

'"" : , : - . . ; . ; p(f-a)^Srad(p) m*

^/

' • o ( rC U V. r \j \.\-f £* \ Co

(~)(f) c"Ji' ad) * iSì a>y 7r ^

. * -• •>,

correntea T v V2~\e

z + \ 0a^ Y 2g . Q p y2

z + + oc ~'0a • " z/ F2 ds : 7- 2g

dn' j .,. gr ̂ ^ ' •. ; " ' * -1D • p idrostatica

d +p o

estensionj^X^

'2] J S^ ' '::';;^J V^

V / 'Qx Qy <jz + perdite concentrate+ macchine

p idrostatica

3D = ???

conservazione della massa(eq. continuità)

bilàncio quantità di moto(equilibrio dinamico)

formaindefinita dt dx

| d(pv) |

(1) p ydx dy

^y yx z

=O ==;txz zx • y

=0-

Continuità (1)

Equilibrio dinamico (2) + (3) + (4)

Eq. di stato p ~ p(p, T° j (5)

/,du

*~~dt)

dv fa._ z

P\fz~

dt

dwdt

dy

y

dz

dy dz

5 Equazioni in 10 incognite (p, u, v, w, a^a^,^,^,^,• ' • - ,. . . . ^ • • - » ' .

Mancano 5 equazioni: Legame sforzi - velocità di deformazione

(2)

(3)

(4)

Analisi deformazioni del fluido

0

P (%+dx, y+dy-i z+dz)'àx,y + dy,z + dz,tQ)

dx-/-,••aySi ^T'\/

17 „r P

r ~~

U

V

VI

T/r

r

i;

^^~_ \ V

- . 10 i I ax\

VP --

o -

\ x,y,z,t

-V

"«."^0U

(J.^\ 1

3

0 + ;

( ?\v~\ y

(sy )

A f\ ~

x,y

r\S

A.

,Z,tQ

C=^

"did,

d-.

ai' d.

a>

4

K

V

K

V

X

+

dy

dv

~®ydw

~^y

du du

dz

dvdz

d'w~d~z~

Analisi deformazioni del fluido

,4 = =2

+A-A

~^L

du

dx 2

T) z= • + •dv

dv du(_ ;

dx

dv

\fdu_+ •

dw dv. i .dz

\(dw_+ -

dwdz-

2\dz' dx

Tensore delle velocità dideformazione

A =

adx •

avdx

dydva7dw

du

~dz~

dv_

dzdw~a7

D = matrice simmetrica

Q = matrice dmisimmetrica

Q

O «-

2ly

\

I

i/a^y ^ i-T ^^-^ —21 /*1 /TL_ ' oVdx: <±y 2

VS\ dy

o

_!2

B .

2

'Budz

/5w

/0

Tensore delle rotazioni rigide

Significato fisico termini diagonali di D

Analisi del caso di MOTO PIANO

O ^ velocità nulla (evidenzio solo levelocità relative)

-P, du , dv ,r —'-+ u = -—ax; v — —ox

dx dx

Q

R

du , du i dv 1 dv 1u — — dxH -- -dy; v — — ox + - — ay

dx dy dx dy

du—dy

dv—dy

dudxdt

Effetto didudx

fa

du

. Allungamento unitario subito dal cilindretto di lunghezzainfinitesima óx nel tempo dt

Velocità di deformazione lineare lungo l'asse xdt dx * A

A I j. d v dwAnalogamente per — e dv dw

dy dz dt dy dt dz(Caso 3D)

Significato fisico termini diagonali di D

Nel caso 3D, l'effetto dell'azione simultanea delle componenti diagonali di I)consiste in una espansione di volume

dW-

dW =

dw dv

, dz dy

l'ordine

àx +\

iidx

UU ' 1 -i i C/V -r i :•A-rnf , HT 1 Hi'HfCLvLlt U.)/ 1 U-VU.t^ '• ^ o ^Sx ; \y J

5w dv 7 dw du-'-,.1 /7/ ' H1 Wt

&, dy ,

dW_\

1 V4.

Sz dx:

dw dv

/' • '(k:+

1 1 ̂9j

du\ I ' . . ' '•r)1? r)i; r)v

^^d/QZCLtaz ,

^•j

9t- '

dt

} . ; ] , " " - i

j

^aVaWd^lU.tU-i'

'S^ 0^ & • • ' • • • • • .y

óxdydz dt

La Velocità di deforìoaàziMe volumetricadW 1dt W

': dw dv dui if : ' '

^ dz dy dx )— dh> V— U-i V r

Rappresenta la dilatazione volumetrica dell'elemento di fluido, senzacambiamento di forma

Se il fluido è incomprimibile div V = O Nessuna variazionedi volume dt

-O

Significato fisico dei termini extradiagonali del tensore D

' '..""'*Wel piano

= w / + v j + W k

cbc

fy

- A -li + l V +—QX \ + ,

J ~ày y +

dw.

j [ dy

djz=-du dv

V

\C

Deformazionedell'angolo retto in O'

Velocità con cui avvienela deformazioneangolare

I téf inìnì èlctràdiàgoiialf del.? ^

la velocità di deformazione angolare

Analisi deformazioni del fluido

du

dx

• l(du:. dv• M, •21^0; Sxy

ìfèu: dw^* \ dx ;

I

2

I !) 2

5v duiiV6x Oyy

: ; .dvay

•8w ••• Sv• " • '•!1

^dy dz y

12

, 12'

^9w 9w\i

v dx dz )

''dw dv\ . I '•':

^'dy '"dz)''<$wdz

Tensoredi deformazione

La velocità dideformazione angolareè il doppio dei terminiextradiagonali deltensore I?1

D2

12

2

dt

ÌÉZ2 dt

2 dtdsdt

Significato fisico dei termini extradiagonali del tensore

La rotazione avviee senzaangolare: du

dydtdy\:

(rotazione inedia de^a con velocità

Sv

dx

Odv Jdu

.2{dc dy

\ ^,| dwdu

*"/

2V

dv du

'd)c dyO

J 2v

dwdv

dy dz

\

.

2v oc dz } 2VO

CO = —• z 2

dv du\ ..dy.

I termini non nulli di Q descrivono laviéloGÌtà di rò:tazipne jtnedia :

dell'elemento fluido

Q

O -ai. 'Z

«i-®y

O '-Q

°ì0

1 / —

= —rot(Y} vettore vorticità• y,-~ .-\>. / •..-. .. =

ioAnalisi deformazioni del fluido

V =

V (x\F (xo ) + Q (xo }dx + D\ V / = V / , =V - )

1 t—\.—roti2

V I ^C o I è la componente del vettore velocità che da luogo ad una traslazione rigida

Q ( Xo } dx è la componente del vettore velocità che da luogo ad una rotazione= \

\— è la componente del vettore velocità che da luogo ad unaXQjQX deformazione loQale. Il tensore viene detto tensore delle velocità

di deformazione

» •"L'elemento fluido nel suo moto subisce una traslazione, una

rotazione rigida ed una deformazione

Fluido Stokesiano

XX

<D <D

O

xz

ay

X

y

X— p I in statica

Stato di deformazione locale

Storia passata del ÉMdo

Velocità della deformazione locale

1. Fenomeni in cui il ricordo deglistati di sollecitazione interna siestinguono rapidamente (si svolgonoin durate maggiori della memoria)

2. Sforzi indipendenti dalledeformazioni (manca confronto con -stati di deformazione precedenti)

'= / ( )Fluido

Stokesiano

Injstàtica

Sistema di riferimento principaleA ; » J t. ì-^ì > i, .»

Ternadi riferirnen!to in modo tale che D sia diagonale

8uO O

dvO

0 0

0

dw

O D

Anche (|) deve assumere forma diagonale.

jx O O

O a.. O =y • —

"p 0 0"

0 p 0

0 0 p

+"a^-p 0 0

0 ay-p 0

0 . 0 az-pv > ^- ^- -^

Parte statica Tensore DEVIATORE DEGLISFORZI (originato dal moto)

Fluido Newtoniano

Legame lineare fra ̂ e MBfgbNewtoniano

Forbia più generate xi tegame lineale

P=

I coefficienti J L I . non sono tutti distinti,

Fluido Newtoniano isotropo

&(D;

o- -p=aD +6(D +D ) =•j/ ' ". ... . .yy \ xx zzJ

8u dwi

dy dz)r

, du dv

v dx dy dz J(a-b)D

p =aD + &/D +D }=b-r ..-- zz \y • zz J *

du dv dw

V 9x dy dz J

Equazione costituiva dei fluidi Newtoniani

valida per qualunque tèrna di riferimento

a? b?

Significato fisico di a e b

= Legge di Newton

(i = viscosità dinamica

(a-6) = -2ju

y

2 dt dt

Significato fisico di a e b

Esplicitiamo le componenti normali di sforzor/7//

.A,=p + bdivF -2 fi

J, /

a - p.4- b divF -' ' - '

S*\X

dv

= p +b divF -

cr + cr + (jz = 3p + 3b divF - 2//

(3è-2/ /)divF = 0

div'F =2

c|)-p+bdivFÌI-2//D

"j- = 3P

du dv dw

fluido incomprimibile

2) b= -ju: > -:•- ' - • - = 3

p,: responsabile di dissipazioni energetiche in un fluido isotermo che subiscedeformazioni angolari

b: legato a variazioni di volume

Equazione del moto per fluidi Newtoniani

3

1

1

i

' dx dy dz

2 ' —\ + —judiv F I - 2ju

v ^ ) —

dt

•f Condizioni al contorno + Condizioni iniziali

V

Eq. dei Momenti

Eq. Reologica(legame sforzi deformazioni)

Eq. di Continuità

Eq. di Stato

11 Equazioni in 11'incògnite (pj %T, ̂ j>,,

Problema definitovy

Equazione del moto per fluidi Newtoniani

3

1

1

pi3

U/

dpdt

/7.divF =

divF -

Condizioni al contorno + Condizioni iniziali

V

'2y Eq. dei Momenti +Eq. Reologica

Eq. di Continuità

Eq. di Stato

5 Equazioni in 5 imcognite (p, u, y, w, p)

Problema definito

Equazione del moto per fluidi Newtoniani incomprimibiliJL .-f*" • ' .&. :- "' -v .f* £" ' -i • *' , ' • M* \£ $ 1 -4> , * ]S \ £•£ • •. ' V" ^ ,̂. ^. "- ̂ .S-^ V. ^r " 'X

' - . . ' • - _ '" ..•' . -.. -j i* •-. t ' ' '- S-!

(p = cost) : Equazione di Navier Stokes

Eq. Momenti + Teologicaf-aj^igradptfe-

'•• / ' Eq. di Navier Stokes

\,

+ Condizioni al contorno +~Condizioni Miziali

4 Equazioni in 4 incognite ( w, v, w,

Pr obiein,a jdeliriìto

Moto dei fluidi Newtoniani incomprimibili ^^>|«S.*;v

p#l j) e. w°

du

dtdv

dtdw

dt

du

dx

\ du

1 11 l i ' 1 "M'du 1 dp LL\2u d2u 'd2u— r \ i i

— ' 2 ' 2 ' 2<2x <9y <9z /? dx p^dx dy dz J

dv dv dv 1 dp u, ( d2v d2v d2v1 ? / ' 1 'i ' 1 1 1 ' 1 1 11 U I V 1 -W — 1 2 2 2

dx dy dz p dy p[^dx dy dz Jf 9 ? ?dw dw. dw Idpjudwdwdw

\1 l i ' 1 V1 ' ' 'I U I V I VSx dy

dv dw ^+ i / 1+ — u3y dz

— 2 2 2dz p dz p\dx dy dz

™

+/,

sistema di 4 eqq. differenziali alle derivate parziali nellospazio e nel tempo per le 4 incognite (u, v, W, p)

Sistema di equazioni ellittiche