• -^.-R ' ' ': ««^^ "" .^.;d.W'' '' ' • ' •'•••••' '•'•• '•'• : - * • : ? : " • ; > . ; > • ' " : ' < : ? ; ' ' • • - • ' :
p=cosf
F' gJ
'"" : , : - . . ; . ; p(f-a)^Srad(p) m*
^/
' • o ( rC U V. r \j \.\-f £* \ Co
(~)(f) c"Ji' ad) * iSì a>y 7r ^
. * -• •>,
correntea T v V2~\e
z + \ 0a^ Y 2g . Q p y2
z + + oc ~'0a • " z/ F2 ds : 7- 2g
dn' j .,. gr ̂ ^ ' •. ; " ' * -1D • p idrostatica
d +p o
estensionj^X^
'2] J S^ ' '::';;^J V^
V / 'Qx Qy <jz + perdite concentrate+ macchine
p idrostatica
3D = ???
conservazione della massa(eq. continuità)
bilàncio quantità di moto(equilibrio dinamico)
formaindefinita dt dx
| d(pv) |
(1) p ydx dy
^y yx z
=O ==;txz zx • y
=0-
Continuità (1)
Equilibrio dinamico (2) + (3) + (4)
Eq. di stato p ~ p(p, T° j (5)
/,du
*~~dt)
dv fa._ z
P\fz~
dt
dwdt
dy
y
dz
dy dz
5 Equazioni in 10 incognite (p, u, v, w, a^a^,^,^,^,• ' • - ,. . . . ^ • • - » ' .
Mancano 5 equazioni: Legame sforzi - velocità di deformazione
(2)
(3)
(4)
Analisi deformazioni del fluido
0
P (%+dx, y+dy-i z+dz)'àx,y + dy,z + dz,tQ)
dx-/-,••aySi ^T'\/
17 „r P
r ~~
U
V
VI
T/r
r
i;
^^~_ \ V
- . 10 i I ax\
VP --
o -
\ x,y,z,t
-V
"«."^0U
(J.^\ 1
3
0 + ;
( ?\v~\ y
(sy )
A f\ ~
x,y
r\S
A.
,Z,tQ
C=^
"did,
d-.
ai' d.
a>
4
K
V
K
V
X
+
dy
dv
~®ydw
~^y
du du
dz
dvdz
d'w~d~z~
Analisi deformazioni del fluido
,4 = =2
+A-A
~^L
du
dx 2
T) z= • + •dv
dv du(_ ;
dx
dv
\fdu_+ •
dw dv. i .dz
\(dw_+ -
dwdz-
2\dz' dx
Tensore delle velocità dideformazione
A =
adx •
avdx
dydva7dw
du
~dz~
dv_
dzdw~a7
D = matrice simmetrica
Q = matrice dmisimmetrica
Q
O «-
2ly
\
I
i/a^y ^ i-T ^^-^ —21 /*1 /TL_ ' oVdx: <±y 2
VS\ dy
o
_!2
B .
2
'Budz
/5w
/0
Tensore delle rotazioni rigide
Significato fisico termini diagonali di D
Analisi del caso di MOTO PIANO
O ^ velocità nulla (evidenzio solo levelocità relative)
-P, du , dv ,r —'-+ u = -—ax; v — —ox
dx dx
Q
R
du , du i dv 1 dv 1u — — dxH -- -dy; v — — ox + - — ay
dx dy dx dy
du—dy
dv—dy
dudxdt
Effetto didudx
fa
du
. Allungamento unitario subito dal cilindretto di lunghezzainfinitesima óx nel tempo dt
Velocità di deformazione lineare lungo l'asse xdt dx * A
A I j. d v dwAnalogamente per — e dv dw
dy dz dt dy dt dz(Caso 3D)
Significato fisico termini diagonali di D
Nel caso 3D, l'effetto dell'azione simultanea delle componenti diagonali di I)consiste in una espansione di volume
dW-
dW =
dw dv
, dz dy
l'ordine
àx +\
iidx
UU ' 1 -i i C/V -r i :•A-rnf , HT 1 Hi'HfCLvLlt U.)/ 1 U-VU.t^ '• ^ o ^Sx ; \y J
5w dv 7 dw du-'-,.1 /7/ ' H1 Wt
&, dy ,
dW_\
1 V4.
Sz dx:
dw dv
/' • '(k:+
1 1 ̂9j
du\ I ' . . ' '•r)1? r)i; r)v
^^d/QZCLtaz ,
^•j
9t- '
dt
} . ; ] , " " - i
j
^aVaWd^lU.tU-i'
'S^ 0^ & • • ' • • • • • .y
óxdydz dt
La Velocità di deforìoaàziMe volumetricadW 1dt W
': dw dv dui if : ' '
^ dz dy dx )— dh> V— U-i V r
Rappresenta la dilatazione volumetrica dell'elemento di fluido, senzacambiamento di forma
Se il fluido è incomprimibile div V = O Nessuna variazionedi volume dt
-O
Significato fisico dei termini extradiagonali del tensore D
' '..""'*Wel piano
= w / + v j + W k
cbc
fy
- A -li + l V +—QX \ + ,
J ~ày y +
dw.
j [ dy
djz=-du dv
V
\C
Deformazionedell'angolo retto in O'
Velocità con cui avvienela deformazioneangolare
I téf inìnì èlctràdiàgoiialf del.? ^
la velocità di deformazione angolare
Analisi deformazioni del fluido
du
dx
• l(du:. dv• M, •21^0; Sxy
ìfèu: dw^* \ dx ;
I
2
I !) 2
5v duiiV6x Oyy
: ; .dvay
•8w ••• Sv• " • '•!1
^dy dz y
12
, 12'
^9w 9w\i
v dx dz )
''dw dv\ . I '•':
^'dy '"dz)''<$wdz
Tensoredi deformazione
La velocità dideformazione angolareè il doppio dei terminiextradiagonali deltensore I?1
D2
12
2
dt
ÌÉZ2 dt
2 dtdsdt
Significato fisico dei termini extradiagonali del tensore
La rotazione avviee senzaangolare: du
dydtdy\:
(rotazione inedia de^a con velocità
Sv
dx
Odv Jdu
.2{dc dy
\ ^,| dwdu
*"/
2V
dv du
'd)c dyO
J 2v
dwdv
dy dz
\
.
2v oc dz } 2VO
CO = —• z 2
dv du\ ..dy.
I termini non nulli di Q descrivono laviéloGÌtà di rò:tazipne jtnedia :
dell'elemento fluido
Q
O -ai. 'Z
«i-®y
O '-Q
°ì0
1 / —
= —rot(Y} vettore vorticità• y,-~ .-\>. / •..-. .. =
ioAnalisi deformazioni del fluido
V =
V (x\F (xo ) + Q (xo }dx + D\ V / = V / , =V - )
1 t—\.—roti2
V I ^C o I è la componente del vettore velocità che da luogo ad una traslazione rigida
Q ( Xo } dx è la componente del vettore velocità che da luogo ad una rotazione= \
\— è la componente del vettore velocità che da luogo ad unaXQjQX deformazione loQale. Il tensore viene detto tensore delle velocità
di deformazione
» •"L'elemento fluido nel suo moto subisce una traslazione, una
rotazione rigida ed una deformazione
Fluido Stokesiano
XX
<D <D
O
xz
ay
X
y
X— p I in statica
Stato di deformazione locale
Storia passata del ÉMdo
Velocità della deformazione locale
1. Fenomeni in cui il ricordo deglistati di sollecitazione interna siestinguono rapidamente (si svolgonoin durate maggiori della memoria)
2. Sforzi indipendenti dalledeformazioni (manca confronto con -stati di deformazione precedenti)
'= / ( )Fluido
Stokesiano
Injstàtica
Sistema di riferimento principaleA ; » J t. ì-^ì > i, .»
Ternadi riferirnen!to in modo tale che D sia diagonale
8uO O
dvO
0 0
0
dw
O D
Anche (|) deve assumere forma diagonale.
jx O O
O a.. O =y • —
"p 0 0"
0 p 0
0 0 p
+"a^-p 0 0
0 ay-p 0
0 . 0 az-pv > ^- ^- -^
Parte statica Tensore DEVIATORE DEGLISFORZI (originato dal moto)
Fluido Newtoniano
Legame lineare fra ̂ e MBfgbNewtoniano
Forbia più generate xi tegame lineale
P=
I coefficienti J L I . non sono tutti distinti,
Fluido Newtoniano isotropo
&(D;
o- -p=aD +6(D +D ) =•j/ ' ". ... . .yy \ xx zzJ
8u dwi
dy dz)r
, du dv
v dx dy dz J(a-b)D
p =aD + &/D +D }=b-r ..-- zz \y • zz J *
du dv dw
V 9x dy dz J
Equazione costituiva dei fluidi Newtoniani
valida per qualunque tèrna di riferimento
a? b?
Significato fisico di a e b
= Legge di Newton
(i = viscosità dinamica
(a-6) = -2ju
y
2 dt dt
Significato fisico di a e b
Esplicitiamo le componenti normali di sforzor/7//
.A,=p + bdivF -2 fi
J, /
a - p.4- b divF -' ' - '
S*\X
dv
= p +b divF -
cr + cr + (jz = 3p + 3b divF - 2//
(3è-2/ /)divF = 0
div'F =2
c|)-p+bdivFÌI-2//D
"j- = 3P
du dv dw
fluido incomprimibile
2) b= -ju: > -:•- ' - • - = 3
p,: responsabile di dissipazioni energetiche in un fluido isotermo che subiscedeformazioni angolari
b: legato a variazioni di volume
Equazione del moto per fluidi Newtoniani
3
1
1
i
' dx dy dz
2 ' —\ + —judiv F I - 2ju
v ^ ) —
dt
•f Condizioni al contorno + Condizioni iniziali
V
Eq. dei Momenti
Eq. Reologica(legame sforzi deformazioni)
Eq. di Continuità
Eq. di Stato
11 Equazioni in 11'incògnite (pj %T, ̂ j>,,
Problema definitovy
Equazione del moto per fluidi Newtoniani
3
1
1
pi3
U/
dpdt
/7.divF =
divF -
Condizioni al contorno + Condizioni iniziali
V
'2y Eq. dei Momenti +Eq. Reologica
Eq. di Continuità
Eq. di Stato
5 Equazioni in 5 imcognite (p, u, y, w, p)
Problema definito
Equazione del moto per fluidi Newtoniani incomprimibiliJL .-f*" • ' .&. :- "' -v .f* £" ' -i • *' , ' • M* \£ $ 1 -4> , * ]S \ £•£ • •. ' V" ^ ,̂. ^. "- ̂ .S-^ V. ^r " 'X
' - . . ' • - _ '" ..•' . -.. -j i* •-. t ' ' '- S-!
(p = cost) : Equazione di Navier Stokes
Eq. Momenti + Teologicaf-aj^igradptfe-
'•• / ' Eq. di Navier Stokes
\,
+ Condizioni al contorno +~Condizioni Miziali
4 Equazioni in 4 incognite ( w, v, w,
Pr obiein,a jdeliriìto
Moto dei fluidi Newtoniani incomprimibili ^^>|«S.*;v
p#l j) e. w°
du
dtdv
dtdw
dt
du
dx
\ du
1 11 l i ' 1 "M'du 1 dp LL\2u d2u 'd2u— r \ i i
— ' 2 ' 2 ' 2<2x <9y <9z /? dx p^dx dy dz J
dv dv dv 1 dp u, ( d2v d2v d2v1 ? / ' 1 'i ' 1 1 1 ' 1 1 11 U I V 1 -W — 1 2 2 2
dx dy dz p dy p[^dx dy dz Jf 9 ? ?dw dw. dw Idpjudwdwdw
\1 l i ' 1 V1 ' ' 'I U I V I VSx dy
dv dw ^+ i / 1+ — u3y dz
— 2 2 2dz p dz p\dx dy dz
™
+/,
sistema di 4 eqq. differenziali alle derivate parziali nellospazio e nel tempo per le 4 incognite (u, v, W, p)
Sistema di equazioni ellittiche
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