Equazioni di grado superiore al 2° Consideriamo una generica equazione polinomiale della forma

𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 ∙ 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1 ∙ 𝑥𝑛−1+. . . +𝑎2 ∙ 𝑥2 + 𝑎1 ∙ 𝑥 + 𝑎0 = 0

Con 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1,..., 𝑎0 coefficienti reali, ed 𝑛 ∈ ℕ.

L’obiettivo è cercare eventuali radici reali, ovvero 𝛼 ∈ ℝ tale che 𝑃(𝛼) = 0.

In generale quello che si può dire è che esistono al più n radici reali per un generico polinomio 𝑃(𝑥) di grado

n.

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Esempi

• 𝑥4 + 1 = 0 non ha radici reali;

• 𝑥4 − 1 = 0 ha 2 radici reali (si può notarlo dicendo che 𝑥4 − 1 = (𝑥2 − 1)(𝑥2 + 1));

• (𝑥 − 1)4 = 0 ha 4 radici reali coincidenti;

• (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)(𝑥 − 4) = 0 ha 4 radici reali distinte.

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In generale, è possibile ottenere (se esistono) la radici reali di un polinomio di 3° e 4° grado tramite

un’opportuna formula risolutiva.

Problema: l’applicazione di tali formule richiede la conoscenza matematica di un insieme numerico più ampio

di quello dei numeri reali (l’insieme dei numeri complessi). Quindi non possiamo utilizzare (per ora) tali

formule per trovare la radici dei polinomi di 3° e 4° grado.

Inoltre...

Teorema di Abel-Ruffini Per una generica equazione polinomiale di grado superiore al quarto, si dimostra

che non esiste una formula generale risolutiva.

Da ricordarsi che tale teorema non asserisce che le equazioni di grado superiore al quarto siano non risolubili!!!

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Esempi

• 𝑥5 − 𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0 è un polinomio di 5° grado e ha una sola radice reale in 𝑥 = 1.

• (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)(𝑥 − 4)(𝑥 − 5) = 0 è un polinomio di 5° grado con 5 radici reali

• 𝑥6

7+ (

√2

7+

1

84) 𝑥5 + (

1

42√2−

85

84) 𝑥4 + (

85

42√2+

65

84) 𝑥3 + (

65

42√2+

13

84) 𝑥2 + (

13

42√2−

1

14) 𝑥 −

1

7√2= 0 è un

polinomio di 6° grado di cui a priori non saprei dire quante radici reali ha (e nessuno pretende che sappiate

risolverlo!)

Ma, ad esempio, potete graficarlo con geogebra ottenendo

Si può notare che questo polinomio ha 6 radici reali distinte (ovvero le intersezioni con l’asse delle x).

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In ogni caso, che siate nel caso di equazioni polinomiale di 3° o 4° o di grado maggiore, non possiamo

affrontare la ricerca della radici reali come nel caso delle equazioni di 1° e 2° grado.

Quello che si può fare, in taluni casi, è utilizzare delle tecniche per fattorizzare un polinomio nel prodotto di

polinomi di grado inferiore.

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Raccoglimento parziale+raccoglimento totale

Consideriamo il seguente polinomio

𝑥3 + 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0.

Si può notare che

𝑥3 + 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0;

𝑥2(𝑥 + 1) − 4(𝑥 + 1) = 0; (applicando il raccoglimento parziale)

(𝑥 + 1)(𝑥2 − 4) = 0. (applicando il raccoglimento totale)

Ovvero si è fattorizzato un polinomio di 3° grado come prodotto di un polinomio di 1° grado per uno di 2°

grado.

Inoltre

(𝑥 + 1)(𝑥2 − 4) = 0

(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0 (ho fattorizzato (𝑥2 − 4) come prodotto di polinomi di 1° grado)

Ottenendo così le tre radici reali del polinomio di 3° grado.

Equazioni biquadratiche e trinomie Consideriamo l’equazione

𝑎 ∙ 𝑥4 + 𝑏 ∙ 𝑥2 + 𝑐 = 0.

Questa prende il nome di equazioni biquadratica, ovvero una equazione di 4°grado dove compaiono solo

termine di grado pari.

In questo caso, io posso porre 𝑥2 = 𝑡 con 𝑡 ∈ ℝ+ (prendere t positivo è fondamentale).

Sostituendo nell’equazione ottengo:

𝑎 ∙ 𝑡2 + 𝑏 ∙ t + 𝑐 = 0

Ovvero, mi sono ricondotto al caso di trovare le soluzioni di un’equazione di 2°grado.

Le due eventuali soluzioni si possono ottenere applicando la formula risolutiva per le equazioni di 2° grado,

ovvero:

𝑡1,2 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎.

A questo punto, l’esistenza o meno di soluzioni per l’equazioni biquadratica dipende dal segno delle due radici

𝑡1,2.

Se 𝑡1 ≥ 0 allora ottengo

𝑥1,2 = ±√−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎.

Se 𝑡2 ≥ 0 allora ottengo

𝑥3,4 = ±√−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎.

A seconda di che soluzioni ottengo per l’equazione di 2°grado posso avere, ad esempio:

• 4 soluzioni (se 𝑡1 > 0 e 𝑡2 > 0 con 𝑡1 ≠ 𝑡2).

• 2 soluzioni (se 𝑡1 < 0 e 𝑡2 > 0 , o viceversa).

• Nessuna (se 𝑡1 < 0 e 𝑡2 < 0).

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Esempio

Trovare le soluzioni di

9𝑥4 − 82𝑥2 + 9 = 0.

Sostituendo 𝑥2 = 𝑡 con 𝑡 ∈ ℝ+, ho

9𝑡2 − 82𝑡 + 9 = 0.

Calcolando il discriminante ∆, ottengo

∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 822 − 4 ∗ 81 = 6400 = 802.

Da cui si ha

𝑡1,2 =+82±80

18.

Ovvero 𝑡1 = 9 e 𝑡2 = 1/9 (radici entrambe positive)

Da cui ottengo

𝑥1,2 = ±3 e 𝑥3,4 = ±1/3.

Osservazione:

Da notare che l’equazione di 2° grado è del tipo

𝑎 ∙ 𝑡2 + 𝑏 ∙ 𝑡 + 𝑎 = 0, ossia è un’equazione “reciproca”

ovvero se 𝑥1,2 = ±3 sono radici, allora lo sono anche 𝑥3,4 = ±1/3 senza bisogno di svolgere i calcoli per le

radici 𝑥3,4.

Esempio

Trovare le soluzioni di

𝑥6 − 15𝑥3 + 56 = 0.

In questo caso, sostituendo 𝑥3 = 𝑡 (con 𝑡 ∈ ℝ in questo caso) ho

𝑡2 − 15𝑡 + 56 = 0.

Calcolando il discriminante ∆ ottengo

∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 225 − 244 = 1.

Da cui ottengo

𝑡1,2 =+15±1

2.

Ovvero 𝑡1 = 8 e 𝑡2 = 7

Da cui ottengo

𝑥3 = 𝑡1 ovvero 𝑥1 = +2.

𝑥3 = 𝑡2 ovvero 𝑥2 = √73

.

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In generale, data la generica equazione trinomia

𝑎 ∙ 𝑥2𝑛 + 𝑏 ∙ 𝑥𝑛 + 𝑐 = 0,

posso sempre fare la sostituzione 𝑥𝑛 = 𝑡, dove

• Se n è pari allora considero 𝑡 ∈ ℝ+.

• Se n è dispari allora considero 𝑡 ∈ ℝ.

Si può, quindi, ricondurre la discussione a quella di equazione di 2° grado.

Equazioni fattorizzabili tramite Ruffini Consideriamo il polinomio

𝑃(𝑥) = 5𝑥3 − 31𝑥2 + 31𝑥 − 5 = 0

Per questo polinomio si può notare che 𝑥 = 1 è radice.

Ma se 𝑥 = 1 è radice, allora il polinomio 𝑃(𝑥) è divisibile per il polinomio (𝑥 − 1).

A questo punto posso decomporre il polinomio attraverso la regola di Ruffini, ovvero

𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥)(𝑥 − 1),

dove il procedimento per costruire l’algoritmo di Ruffini si può trovare in modo completo in

https://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/polinomi/272-la-regola-di-ruffini.html

ottenendo

Di nuovo, se volete verificare la correttezza di un eventuale esercizio in cui si deve applicare l’algoritmo di

Ruffini potete, ad esempio, consultare il sito (http://www.webfract.it/MATJAVA/RuffiniT.htm) dove è

possibile svolgere l’intero procedimento.

Usando Ruffini, posso arrivare a scrivere

5𝑥3 − 31𝑥2 + 31𝑥 − 5 = (5𝑥2 − 26𝑥 + 5)(𝑥 − 1)

Ovvero come un prodotto di un polinomio di 2° ed uno di 1°. Risolvendo l’equazione di 2° grado, si può

infine ottenere

5𝑥3 − 31𝑥2 + 31𝑥 − 5 = 5(𝑥 − 5)(𝑥-1/5)(𝑥 − 1)

Osservazione

Posso utilizzare la regola di Ruffini per dividere un polinomio 𝑃(𝑥) per un polinomio della forma (𝑥 − 𝛼)

anche quando 𝛼 non è radice di 𝑃(𝑥).

Ad esempio, posso dividere il polinomio precedente per (𝑥 − 2) ottenendo

Radici razionali di un polinomio particolare Consideriamo di nuovo un generico polinomio della forma

𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 ∙ 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1 ∙ 𝑥𝑛−1+. . . +𝑎2 ∙ 𝑥2 + 𝑎1 ∙ 𝑥 + 𝑎0 = 0

Stavolta con 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1,..., 𝑎0 coefficienti interi, e 𝑛 ∈ ℕ.

Vale il seguente teorema

Teorema delle radici razionali (dimostrazione nei corsi di Algebra)

Ogni soluzione razionale (se esiste) di un’equazione polinomiale a coefficienti interi, è della forma 𝑝

𝑞, con:

• p è un divisore del termine noto 𝑎0

• q è un divisore di 𝑎𝑛

Nella pratica, se riconsidero il polinomio

5𝑥3 − 31𝑥2 + 31𝑥 − 5

Questo è un polinomio a coefficient interi, e le eventuali radici razionali possono essere date (usando il

teorema) da

{±1, ±5, ±1

5}

Ovvero ho sei possibilità. Infatti, da quanto visto prima si ha che le radici sono +5, +1/5 e +1. Ovviamente,

essendo un polinomio di 3° grado avrò al massimo 3 possibili radici razionali.

Disequazioni Consideriamo di nuovo il generico polinomio

𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 ∙ 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1 ∙ 𝑥𝑛−1+. . . +𝑎2 ∙ 𝑥2 + 𝑎1 ∙ 𝑥 + 𝑎0,

con 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1,..., 𝑎0 coefficienti reali, ed 𝑛 ∈ ℕ.

Una generica disequazione polinomiale può essere scritta come:

• 𝑃(𝑥) ≥ 0

• 𝑃(𝑥) > 0

• 𝑃(𝑥) ≤ 0

• 𝑃(𝑥) < 0

In questo caso, l’obiettivo è cercare x ∈ ℝ (se esistono) che rendono vera una delle precedenti relazioni. A

differenza delle equazioni dove ho al più n radici reali (se n è il grado del polinomio), nelle disequazioni posso

avere anche infiniti valori che soddisfano la disequazione.

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Esempio

• x2 + 1 > 0 è soddisfatta ∀x ∈ ℝ.

• x2 + 4 < 0 non è mai soddisfatta.

• x + 3 > 0 è soddisfatta per {x ∈ ℝ tale che x > -3}

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Richiamiamo anche qualche notazione sugli intervalli nei numeri reali:

• (a, b) si indica l’insieme {x ∈ ℝ, tali che a < x < b}.

• [a, b] si indica l’insieme {x ∈ ℝ, tali che a ≤ x ≤ b}.

• (a, b] si indica l’insieme {x ∈ ℝ, tali che a < x ≤ b}.

• (-∞, b) si indica l’insieme {x ∈ ℝ, tali che x < b}.

• (-∞, +∞) si indica l’insieme ℝ.

Notiamo inoltre che se considero

a ∙ x > b

allora si ha:

• x > b/a se a > 0;

• x < b/a se a < 0.

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Esempio

Si vuole risolvere la seguente disequazione:

2(x-1) + 3(x-2) < -7

Svolgendo alcuni passaggi algebrici si ha

2x-2 + 3x-6 < -7

2x + 3x < -7 + 8

5x < +1

x < +1/5

da notare che nell’ultimo passaggio algebrico la divisione per 5 (quantità positiva) non cambia il segno della

disequazione.

Per disegnare le soluzioni della disequazione possiamo usare la seguente rappresentazione

La notazione usata nel grafico non è l’unica utilizzata nei libri di testo. Si può, ad esempio, utilizzare:

Seconda possibile rappresentazione

Terza possibile rappresentazione

L’importante nella rappresentazione grafica è che sia chiara la simbologia utilizzata per distinguere, per ogni

termine discusso:

• gli intervalli positivi da quelli negativi

• se le soluzioni reali delle equazioni polinomiali associate sono comprese (≤ o ≥) o non comprese (<

o >).

Esempio

Risolviamo la seguente disequazione fratta x+1

x-1≥

3

4.

A differenza delle equazioni fratte, il denominatore in questo caso ha un contributo diverso:

• nelle equazioni fratte, il denominatore influisce solo sulle condizioni di esistenza;

• nelle disequazioni, il denominatore contribuisce nel segno.

Risolvendola abbiamo

• x+1

x-1-

3

4≥ 0;

• 4(x+1)-3(x-1)

4(x-1)≥ 0; (denominatore comune)

• 4x+4-3x+3

4(x-1)≥ 0;

• x+7

4(x-1)≥ 0;

• x+7

(x-1)≥ 0; (il 4 possono eliminarlo senza cambiare di segno la disequazione)

A questo punto, ho da discutere il segno di un quoziente del tipo p/q dove avremo che:

• p/q è positivo se p e q sono concordi di segno.

• p/q è negativo se p e q sono discordi di segno.

Dobbiamo quindi discutere:

• Numeratore ≥ 0, ovvero x + 7 ≥ 0→ x ≥ -7

• Denominatore > 0 ovvero x-1 > 0→ x > 1

Ovvero facendo la soluzione grafica

Da cui ottengo che le soluzioni sono (-∞, -7] ⋁ (+1, +∞).

Esempio

Risolviamo la seguente disequazione

(x+7)(x+4)

(x-1)(x-4)≥ 0.

Dovendo discutere il segno del numeratore e del denominatore, dobbiamo discutere i segni di quattro elementi:

• x + 7 ≥ 0→ x ≥ -7

• x + 4 ≥ 0→ x ≥ -4

• x-1 > 0→ x > +1

• x-4 > 0→ x > +4

• Da ricordarsi che i fattori del denominatore vanno discussi sempre con il segno > (poiché non si

possono annullare per le condizioni di esistenza).

• Da ricordarsi (è fondamentale!) di ordinare in ordine crescente i 4 valori {-7,-4,+1,+4}.

Tramite soluzione grafica otteniamo

Ovvero le soluzioni sono (-∞, -7] ⋁ [-4, +1) ⋁ (+4, +∞).

Segno del trinomio di 2°grado Consideriamo la disequazione di 2° grado

𝑎 ∙ 𝑥2 + 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 ≥ 0

Possiamo sempre scrivere

𝑎 (𝑥2 +𝑏

𝑎∙ 𝑥 +

𝑐

𝑎) ≥ 0

A questo punto la discussione dipende dal valore del discriminante ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐.

1. Se ∆> 0, allora l’equazione di 2°grado associata ha due radici distinte 𝑥1 e 𝑥2, e possiamo sempre

supporre che 𝑥1 < 𝑥2. Allora possiamo decomporre il polinomio in

𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) ≥ 0

da cui si ottiene che:

• Se 𝑎 > 0, la disequazione è soddisfatta (≥ 0) per valori esterni, ovvero

(𝑥 ≤ 𝑥1) ∨ (𝑥 ≥ 𝑥2)

E non è soddisfatta (< 0) per valori interni, ovvero

(𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2)

• Se 𝑎 < 0, la disequazione è soddisfatta (≥ 0) per valori interni, ovvero

(𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2)

E non è soddisfatta (< 0) per valori esterni, ovvero

(𝑥 ≤ 𝑥1) ∨ (𝑥 ≥ 𝑥2)

2. Se ∆= 0, allora l’equazione di 2°grado associata ha due radici coincidenti 𝑥1 = 𝑥2 , e ottengo

𝑎(𝑥 − 𝑥1)2 ≥ 0

da cui si ha che:

• Se 𝑎 > 0, la disequazione è sempre soddisfatta (≥ 0)

• Se 𝑎 < 0, la disequazione è soddisfatta (≥ 0) solo per 𝑥 = 𝑥1

3. Se ∆< 0, allora l’equazione di 2°grado non ha radici reali. Tramite opportuni passaggi algebrici si ha

che

𝑎 (𝑥2 +𝑏

𝑎∙ 𝑥 +

𝑐

𝑎) = 𝑎 ((𝑥 +

𝑏

2𝑎)

2

−∆

4𝑎2)

ma −∆

4𝑎2 > 0 (perchè ∆< 0), e quindi ((𝑥 +𝑏

2𝑎)

2−

∆

4𝑎2) > 0. Questo vuol dire che il segno del

polinomio di secondo grado dipende dal segno di a. In particolare:

• Per 𝑎 > 0 allora il polinomio di secondo grado è sempre positivo.

• Per 𝑎 < 0 allora il polinomio di secondo grado è sempre negativo.

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Esempio

Vogliamo risolvere la disequazione

x2 + 4x + 3 < 0.

L’equazione associata è

x2 + 4x + 3 = 0,

Il cui discriminante ∆= 16-12 = 4 > 0 è positivo.

Dobbiamo quindi calcolare le 2 radici distinte ottenendo:

x1,2 =−4±2

2.

Ovvero x1 = -3 e x2 = -1 (da notare che vanno ordinate in modo che x1 < x2).

Osservazione In questo caso risulta anche di facile intuizione che le radici siano -3 e -1, in quanto il loro

prodotto è +3 e la loro somma è -4.

Applicando la discussione precedentemente descritta (∆> 0 e coefficiente a > 0) abbiamo che la disequazione

risulta soddisfatta nell’intervallo (-3, -1).

Esempio

Vogliamo risolvere la disequazione

9x4-145x2 + 16 > 0

Che risulta essere una disequazione biquadratica. Sostituendo x2 = t con t ∈ R+, otteniamo

9t2-145t + 16 > 0

Che risulta una disequazione di secondo grado con discriminante ∆= 21025-576 = 1432>0.

Applicando la discussione precedentemente descritta (∆> 0 e coefficiente a > 0) otteniamo che la

disequazione è soddisfatta per

(t < 1/9) ⋁(t > 16)

Sostituendo nuovamente abbiamo che

(x2 < 1/9) ⋁(x2 > 16)

Ovvero la disequazione biquadratica risulta soddisfatta per (discutendo il segno delle due disequazioni di 2°

grado)

(-1/3 < x < 1/3) ⋁(x < -4) ⋁(x > 4)

Da notare che i 3 intervalli di soluzioni non hanno intersezioni.

Materiale didattico Di seguito alcuni suggerimenti riguardo al possibile materiale didattico da usare per il corso:

• Come libri di testo può andare bene un qualunque libro di testo di Scuola Superiore sia per quanto

riguarda la parte teorica che gli esercizi svolti. Ovviamente alcuni libri contengono “molto di più”

come argomenti ma tutti dovrebbe contenere gli argomenti visti a Lezione.

• A livello di teoria può essere molto utile consultare i seguenti siti:

o www.youmath.it: un sito che contiene molto a livello sia di Didattica che di esercizi svolti

sulla maggior parte degli argomenti di matematica di Scuola Superiore

o www.mathworld.wolfram.com: una sorta di “Wikipedia della Matematica” (in inglese) dove

è possibile recuperare molte informazioni relative agli argomenti visti a Lezione. Sicuramente

contiene materiale più avanzato rispetto a youmath, ma può darvi un’idea dlla matematica

vista finora e che vedrete successivamente.

• A livello di svolgimenti di esercizi, possono essere utili anche i due seguenti siti:

o Geogebra (https://www.geogebra.org/?lang=it): un programma liberamente scaricabile su Pc

dove è possibile calcolare, ad esempio le radici di un polinomio di grado qualsiasi (in modo

esatto o approssimato) e fare il grafico di varie funzioni (dalle più semplici alle più

complicate).

o WolframAlpha (https://www.wolframalpha.com/): un servizio web libero (vi è anche la

versione a pagamento, ma è la versione libera è perfettamente utilizzabile) dove è possible

svolgere molti esercizi proposti in questo corso ottenendo la soluzione.

Ovviamente, non è necessario consultare questi siti, ma si possono usare per controllare le soluzioni

degli esercizi proposti (soluzioni delle equazioni di 2° grado, disequazioni, grafici vari, etc.)

➢ Di seguito uno screenshot della soluzione ottenuta usando WolframAlpha chiedendo di

risolvere la seguente equazione polinomiale di 5° grado

𝑥5 − 𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0

Dove potete notare che l’unica soluzione reale è x=1.

➢ Di seguito uno screenshot del grafico del polinomio ottenuto con Geogebra.