EQUAZIONIDI

GRADOSUPERIORE AL

SECONDO

2

NICOLO’

TARTAGLIA

GEROLAMO

CARDANO

3

UN PO’ DI STORIA

• Molti testi risalenti al periodo babiloneseperiodo babilonese antico(1900-1600 a.C.) mostrano che i babilonesi erano in grado di risolvere equazioni di primo, secondo e anche di terzo grado

4

Anche gli antichi greci avevano affrontato il problema della risoluzione delle equazioni di primo e secondo grado, ma sempre da un punto di vista geometrico.

Le equazioni venivano impostate e risolte mediante una opportuna interpretazione geometrica

5

La storia del rinvenimento della formula risolutiva dell'equazione di terzo grado si sviluppa nella prima metà del 1500.1500.

Si può affermare che gli autori della formula risolutiva sono: :

Scipione dal Ferro, il suo allievo Antonio Scipione dal Ferro, il suo allievo Antonio Maria Fior, Niccolò Fontana, detto Maria Fior, Niccolò Fontana, detto Tartaglia, e Gerolamo Cardano.Tartaglia, e Gerolamo Cardano.

Ognuno di essi ha contribuito alla risoluzione del problema.

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La difficoltà storica di attribuire la paternità di una formula è legata alle motivazioni socio-economiche che spingevano questi matematici verso la ricerca scientifica.

Colui che trovava una formula generale non la rendeva pubblica, ma si serviva di essa per risolvere i più svariati problemi che ad essa si riconducevano , ricavandone così maggiore gloria.

7

In quell’epoca i lettori di matematica avevano un incarico annuale ed erano pagati secondo la loro fama.

Inoltre erano di uso comune le cosiddette “disfide “ in cui un matematico sottoponeva ad un altro una serie di problemi e lo sfidava a risolverli. Dai risultati di queste sfide dipendeva il rinnovo dell’incarico annuale.

8

Il 22 febbraio 1535 si tiene una sfida tra Tartaglia e Fior: ciascuno propone all'altro trenta problemi da risolvere nel più breve tempo possibile. Tartaglia risolve rapidamente i problemi di Fior, mentre quest'ultimo non riesce a risolverne nessuno.

Tutti i problemi si risolvevano per mezzo di equazioni di terzo grado; quelli proposti da Fior potevano essere ricondotti tutti all'unico tipo che conosceva di equazione di terzo grado, la cui formula risolutiva gli era stata rivelata dal suo maestro Scipione dal Ferro.

La schiacciante vittoria di Tartaglia dimostrava che questi aveva trovato un metodo per risolvere tutte le equazioni di terzo grado.

9

La notizia giunge a CardanoCardano, medico, scienziato e astrologo dalla fama internazionale. Cardano cerca di convincere Tartaglia a rivelargli la formula.

Dopo numerose insistenze Tartaglia cede richiedendo che la formula restasse segreta.

10

“Formula risolutiva” di Tartaglia

Quando che 'l cubo con le cose appresso Se agguaglia a qualche numero discreto

trovan dui altri differenti in esso.

u - v = q

x3 + p x = q

11

“Formula risolutiva” di TartagliaDa poi terrai questo per consueto

che 'l lor produtto, sempre sia eguale al terzo cubo delle cose netto

u · v = (p/3)3

el residuo poi suo generaledelli lor lati cubi ben sottratti varrà la tua cosa principale

xvu 33

12

Nel 1545, contravvenendo alla promessa verso Tartaglia, Cardano pubblica nell'Ars magna la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado.

Invece di trattare la formula generale con il complesso linguaggio che ne sarebbe derivato, Cardano affronta un caso particolare, un esempio diremmo oggi, sottintendendo che il metodo si può applicare a qualsiasi caso.

13

3

23

3

23

223223

qqpqqpx

IN GENERALE L’EQUAZIONE:

qxpx 3

SI RISOLVE CON LA FORMULA

14

RISOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE DEL TIPO :

qxpx 3

RISOLUZIONE DI UNA GENERICA EQUAZIONE CUBICA

15

Qualche decennio dopo, Ludovico Ferrari perviene alla risoluzione, con radicali quadratici e cubici, dell'equazione generale di 4° gradodell'equazione generale di 4° grado, riducendola al 3° grado.

La conseguenza più importante delle scoperte delle formule risolutive per le equazioni di terzo e quarto grado fu il potente stimolo che esse diedero allo sviluppo dell’algebra in diverse direzioni.

16

• Si fecero tentativi per risolvere l’equazione di quinto grado

• Furono presi in considerazione anche i numeri immaginari e complessi

17

EQUAZIONI DI GRADO MAGGIORE DI 2

EQUAZIONI BINOMIE

EQUAZIONI TRINOMIE

EQUAZIONI BIQUADRATICHEEQUAZIONI BIQUADRATICHE

EQUAZIONI ABBASSABILI DI GRADO

18

EQUAZIONI BINOMIE• Un’equazione binomia di grado n è del tipo

0 bnax

n pari

n dispari

oaeRcbaNn ,,;

19

EQUAZIONI BINOMIEn disparin dispari

a

bnx

n

a

bx 1

1 soluzione reale e n-1 soluzioni non 1 soluzione reale e n-1 soluzioni non realireali

esempio

20

EQUAZIONI BINOMIEn parin pari

cona

bnx

n

a

bx 2,1

2 soluzioni reali e n-2 soluzioni non 2 soluzioni reali e n-2 soluzioni non realireali

0a

b

esempio

21

EQUAZIONI BINOMIE

n parin pari

nessuna soluzione realenessuna soluzione reale

cona

bnx 0a

b

esempio

22

EQUAZIONI TRINOMIE

02 cbxax nn

oaeRcbaNn ,,;

esempio

23

02 cbxax nn

txn si pone

l’equazione diventa un’equazione di secondo grado in t

02 cbtat

24

Che risolta dà:

SeDue soluzioni reali

t1 e t2 distinte

Se Due soluzioni reali

t1 = t2 coincidenti

Se Nessuna soluzione reale

0

0

0

25

• Dalle soluzioni t1 e t2 dell’equazione

02 cbtatOtteniamo le soluzioni dell’equazione trinomia data risolvendo le equazioni binomie:

21 txetx nn esempio

26

EQUAZIONI BIQUADRATICHE

• Un’equazione trinomia di quarto grado si chiama equazione biquadratica

024 cbxaxesempio

27

esempio

EQUAZIONI ABBASSABILI DI GRADO

• Per risolvere una generica equazione di grado n è utile, se possibile , scomporre il polinomio associato in polinomi di primo o secondo grado e quindi risolvere la suddetta equazione applicando la legge di annullamento del prodotto

esempio

FINE

A.Sacchi

29

• Infatti ogniqualvolta le tre soluzioni di un’equazione di terzo grado erano reali e diverse da zero , la formula di Tartaglia-Cardano portava a radici quadrate di numeri negativi.

• Si sapeva che il risultato ultimo doveva essere reale ma questo non poteva essere raggiunto senza prendere in considerazione i numeri complessi.

30

Nel 1799 Paolo Ruffini e nel 1828 il norvegese Niels Abel, indipendentemente l'uno dall'altro, dimostrarono che per una equazione algebrica di grado superiore al 4° non è possibile esprimere le radici per mezzo di un numero finito di operazioni razionali e di estrazioni di radici.

31

Ludovico Ferrari (1522-1565)

• Matematico bolognese autore di importantissimi contributi alla teoria delle equazioni

32

2

38

27

8

27

3

3

x

x

x

04

273

2

3

...

096432

3,2

1

2

x

x

PAL

xxx

0278 3 xEE

SS

EE

MM

PP

II

OO

33

0284 23 xxxEE

SS

EE

MM

PP

II

OO

2

1;

2

1;2 321 xxx

0224 2 xxx

0142 2 xx

012122 xxx

Si scompone il polinomio a primo membro

Si applica la legge di annullamento del prodotto

34

Rx

x

x

4,3

42,1

4

3

2

81

16

081

16

Rx

x

PAL

xx

4,3

2,1

22

3

2

...

04949

01681 4 xEE

SS

EE

MM

PP

II

OO

35

081

164 x

01681 4 xEE

SS

EE

MM

PP

II

OO

Nessuna soluzione reale

36

2063 xx

qxpx 3

20 vu

qvu

8vu

3

3

pvu

10108

10108

v

u

33 1010810108 x

EE

SS

EE

MM

PP

II

OO

37

023 23 xxEE

SS

EE

MM

PP

II

OO

11 x

021 2 xxx

Si scompone il polinomio a primo membrocon la regola di RuffiniSi ottiene:

Si applica la legge di annullamento del prodotto

1

2

2

8113,2

x

38

Regola di Ruffini

0)1(

23)( 3

P

xxxP 1x divisore

+1 0 -3 +2

+1 +1 -2

+1 +1 +1 -2 0

21)( 2 xxxxP

39

0284 23 xxxEE

SS

EE

MM

PP

II

OO

2

1;

2

1;2 321 xxx

0224 2 xxx

0142 2 xx

012122 xxx

Si scompone il polinomio a primo membro

Si applica la legge di annullamento del prodotto

40

087 36 xxEE

SS

EE

MM

PP

II

OO

11

8

1

3

3

x

x

Rx

x

Rx

x

6,5

4

3,2

1

2

18

1

2

4877

087

2

2,1

2

3

t

tt

tx

41

0365 24 xxEE

SS

EE

MM

PP

II

OO

22

9

4

2

2

x

x

3

3

4

3

2,1

x

x

Rx9

4

2

43655

0365

2

2,1

2

2

t

tt

tx

42

• Dividiamo per a 0023 dcxbxax

023 a

dx

a

cx

a

bx

023 gfxexx

43

Si sostituisce:

eyx3

1

In modo da eliminare il termine di secondo grado.A calcoli fatti si ottiene:

gefeyefy

3

1

27

2

3

1 323

qpyy 3