EQUAZIONIDI
GRADOSUPERIORE AL
SECONDO
2
NICOLO’
TARTAGLIA
GEROLAMO
CARDANO
3
UN PO’ DI STORIA
• Molti testi risalenti al periodo babiloneseperiodo babilonese antico(1900-1600 a.C.) mostrano che i babilonesi erano in grado di risolvere equazioni di primo, secondo e anche di terzo grado
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Anche gli antichi greci avevano affrontato il problema della risoluzione delle equazioni di primo e secondo grado, ma sempre da un punto di vista geometrico.
Le equazioni venivano impostate e risolte mediante una opportuna interpretazione geometrica
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La storia del rinvenimento della formula risolutiva dell'equazione di terzo grado si sviluppa nella prima metà del 1500.1500.
Si può affermare che gli autori della formula risolutiva sono: :
Scipione dal Ferro, il suo allievo Antonio Scipione dal Ferro, il suo allievo Antonio Maria Fior, Niccolò Fontana, detto Maria Fior, Niccolò Fontana, detto Tartaglia, e Gerolamo Cardano.Tartaglia, e Gerolamo Cardano.
Ognuno di essi ha contribuito alla risoluzione del problema.
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La difficoltà storica di attribuire la paternità di una formula è legata alle motivazioni socio-economiche che spingevano questi matematici verso la ricerca scientifica.
Colui che trovava una formula generale non la rendeva pubblica, ma si serviva di essa per risolvere i più svariati problemi che ad essa si riconducevano , ricavandone così maggiore gloria.
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In quell’epoca i lettori di matematica avevano un incarico annuale ed erano pagati secondo la loro fama.
Inoltre erano di uso comune le cosiddette “disfide “ in cui un matematico sottoponeva ad un altro una serie di problemi e lo sfidava a risolverli. Dai risultati di queste sfide dipendeva il rinnovo dell’incarico annuale.
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Il 22 febbraio 1535 si tiene una sfida tra Tartaglia e Fior: ciascuno propone all'altro trenta problemi da risolvere nel più breve tempo possibile. Tartaglia risolve rapidamente i problemi di Fior, mentre quest'ultimo non riesce a risolverne nessuno.
Tutti i problemi si risolvevano per mezzo di equazioni di terzo grado; quelli proposti da Fior potevano essere ricondotti tutti all'unico tipo che conosceva di equazione di terzo grado, la cui formula risolutiva gli era stata rivelata dal suo maestro Scipione dal Ferro.
La schiacciante vittoria di Tartaglia dimostrava che questi aveva trovato un metodo per risolvere tutte le equazioni di terzo grado.
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La notizia giunge a CardanoCardano, medico, scienziato e astrologo dalla fama internazionale. Cardano cerca di convincere Tartaglia a rivelargli la formula.
Dopo numerose insistenze Tartaglia cede richiedendo che la formula restasse segreta.
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“Formula risolutiva” di Tartaglia
Quando che 'l cubo con le cose appresso Se agguaglia a qualche numero discreto
trovan dui altri differenti in esso.
u - v = q
x3 + p x = q
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“Formula risolutiva” di TartagliaDa poi terrai questo per consueto
che 'l lor produtto, sempre sia eguale al terzo cubo delle cose netto
u · v = (p/3)3
el residuo poi suo generaledelli lor lati cubi ben sottratti varrà la tua cosa principale
xvu 33
12
Nel 1545, contravvenendo alla promessa verso Tartaglia, Cardano pubblica nell'Ars magna la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado.
Invece di trattare la formula generale con il complesso linguaggio che ne sarebbe derivato, Cardano affronta un caso particolare, un esempio diremmo oggi, sottintendendo che il metodo si può applicare a qualsiasi caso.
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3
23
3
23
223223
qqpqqpx
IN GENERALE L’EQUAZIONE:
qxpx 3
SI RISOLVE CON LA FORMULA
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RISOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE DEL TIPO :
qxpx 3
RISOLUZIONE DI UNA GENERICA EQUAZIONE CUBICA
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Qualche decennio dopo, Ludovico Ferrari perviene alla risoluzione, con radicali quadratici e cubici, dell'equazione generale di 4° gradodell'equazione generale di 4° grado, riducendola al 3° grado.
La conseguenza più importante delle scoperte delle formule risolutive per le equazioni di terzo e quarto grado fu il potente stimolo che esse diedero allo sviluppo dell’algebra in diverse direzioni.
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• Si fecero tentativi per risolvere l’equazione di quinto grado
• Furono presi in considerazione anche i numeri immaginari e complessi
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EQUAZIONI DI GRADO MAGGIORE DI 2
EQUAZIONI BINOMIE
EQUAZIONI TRINOMIE
EQUAZIONI BIQUADRATICHEEQUAZIONI BIQUADRATICHE
EQUAZIONI ABBASSABILI DI GRADO
18
EQUAZIONI BINOMIE• Un’equazione binomia di grado n è del tipo
0 bnax
n pari
n dispari
oaeRcbaNn ,,;
19
EQUAZIONI BINOMIEn disparin dispari
a
bnx
n
a
bx 1
1 soluzione reale e n-1 soluzioni non 1 soluzione reale e n-1 soluzioni non realireali
esempio
20
EQUAZIONI BINOMIEn parin pari
cona
bnx
n
a
bx 2,1
2 soluzioni reali e n-2 soluzioni non 2 soluzioni reali e n-2 soluzioni non realireali
0a
b
esempio
21
EQUAZIONI BINOMIE
n parin pari
nessuna soluzione realenessuna soluzione reale
cona
bnx 0a
b
esempio
22
EQUAZIONI TRINOMIE
02 cbxax nn
oaeRcbaNn ,,;
esempio
23
02 cbxax nn
txn si pone
l’equazione diventa un’equazione di secondo grado in t
02 cbtat
24
Che risolta dà:
SeDue soluzioni reali
t1 e t2 distinte
Se Due soluzioni reali
t1 = t2 coincidenti
Se Nessuna soluzione reale
0
0
0
25
• Dalle soluzioni t1 e t2 dell’equazione
02 cbtatOtteniamo le soluzioni dell’equazione trinomia data risolvendo le equazioni binomie:
21 txetx nn esempio
26
EQUAZIONI BIQUADRATICHE
• Un’equazione trinomia di quarto grado si chiama equazione biquadratica
024 cbxaxesempio
27
esempio
EQUAZIONI ABBASSABILI DI GRADO
• Per risolvere una generica equazione di grado n è utile, se possibile , scomporre il polinomio associato in polinomi di primo o secondo grado e quindi risolvere la suddetta equazione applicando la legge di annullamento del prodotto
esempio
FINE
A.Sacchi
29
• Infatti ogniqualvolta le tre soluzioni di un’equazione di terzo grado erano reali e diverse da zero , la formula di Tartaglia-Cardano portava a radici quadrate di numeri negativi.
• Si sapeva che il risultato ultimo doveva essere reale ma questo non poteva essere raggiunto senza prendere in considerazione i numeri complessi.
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Nel 1799 Paolo Ruffini e nel 1828 il norvegese Niels Abel, indipendentemente l'uno dall'altro, dimostrarono che per una equazione algebrica di grado superiore al 4° non è possibile esprimere le radici per mezzo di un numero finito di operazioni razionali e di estrazioni di radici.
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Ludovico Ferrari (1522-1565)
• Matematico bolognese autore di importantissimi contributi alla teoria delle equazioni
32
2
38
27
8
27
3
3
x
x
x
04
273
2
3
...
096432
3,2
1
2
x
x
PAL
xxx
0278 3 xEE
SS
EE
MM
PP
II
OO
33
0284 23 xxxEE
SS
EE
MM
PP
II
OO
2
1;
2
1;2 321 xxx
0224 2 xxx
0142 2 xx
012122 xxx
Si scompone il polinomio a primo membro
Si applica la legge di annullamento del prodotto
34
Rx
x
x
4,3
42,1
4
3
2
81
16
081
16
Rx
x
PAL
xx
4,3
2,1
22
3
2
...
04949
01681 4 xEE
SS
EE
MM
PP
II
OO
35
081
164 x
01681 4 xEE
SS
EE
MM
PP
II
OO
Nessuna soluzione reale
36
2063 xx
qxpx 3
20 vu
qvu
8vu
3
3
pvu
10108
10108
v
u
33 1010810108 x
EE
SS
EE
MM
PP
II
OO
37
023 23 xxEE
SS
EE
MM
PP
II
OO
11 x
021 2 xxx
Si scompone il polinomio a primo membrocon la regola di RuffiniSi ottiene:
Si applica la legge di annullamento del prodotto
1
2
2
8113,2
x
38
Regola di Ruffini
0)1(
23)( 3
P
xxxP 1x divisore
+1 0 -3 +2
+1 +1 -2
+1 +1 +1 -2 0
21)( 2 xxxxP
39
0284 23 xxxEE
SS
EE
MM
PP
II
OO
2
1;
2
1;2 321 xxx
0224 2 xxx
0142 2 xx
012122 xxx
Si scompone il polinomio a primo membro
Si applica la legge di annullamento del prodotto
40
087 36 xxEE
SS
EE
MM
PP
II
OO
11
8
1
3
3
x
x
Rx
x
Rx
x
6,5
4
3,2
1
2
18
1
2
4877
087
2
2,1
2
3
t
tt
tx
41
0365 24 xxEE
SS
EE
MM
PP
II
OO
22
9
4
2
2
x
x
3
3
4
3
2,1
x
x
Rx9
4
2
43655
0365
2
2,1
2
2
t
tt
tx
42
• Dividiamo per a 0023 dcxbxax
023 a
dx
a
cx
a
bx
023 gfxexx
43
Si sostituisce:
eyx3
1
In modo da eliminare il termine di secondo grado.A calcoli fatti si ottiene:
gefeyefy
3
1
27
2
3
1 323
qpyy 3
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