Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione ...€¦ · Metodo grafico ¯ ® 4 20 x...

Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. - 1

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Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione guidata. System of Linear Equations

1.

=−

=+

4

18

yx

yx

soluzione

=+

=

84

2

yx

xy

soluzione

2.

−=

=+

9

27

xy

yx

soluzione

=+

=+

xy

yx

22

40

soluzione

3.

=−

=

51

4

xy

xy

soluzione

=−

=+

4

20

yx

yx

soluzione

4.

+=

=+

33

99

xy

yx

soluzione

=

=+

xy

yx

8

5

52

soluzione

5.

=

=−

xy

yx

7

5

24

soluzione

=

=+

xy

yx

8

7

135

soluzione

6.

=

=+

xy

yx

9

4

91

soluzione

=

=−

xy

yx

4

3

20

soluzione

7.

=−

=+

3

5

yx

yx

soluzione

−−=

−=

1

12

xy

xy

soluzione

8.

−−=

+=

12

42

1

xy

xy

soluzione

=−

=+

6

1

6

5

yx

yx

soluzione

9.

=+

−=

1284

23

yx

yx

soluzione

=+

−=

1084

23

yx

yx

soluzione

http://www.ubimath.org/

mailto:[email protected]

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/



10.

+=

+=

=++

4

13

75

yz

xy

zyx

soluzione

=++

=

=

18

3

2

zyx

yz

xy

soluzione

11.

=++

+=

+=

28

7

3

yxz

xy

zx

soluzione

=++

=

=

126

3

2

zyx

yz

xy

soluzione

12.

=++

=

=

44

2

4

zyx

zy

yx

soluzione

=++

+=

+=

62

4

2

zyx

yz

xy

soluzione

13.

−=++

=++

=−+

141797

0943

0

zyx

zyx

zyx

soluzione

14.

=+++−

=+++

=+++

=−++

31523

101295

92532

532

tzyx

tzyx

tzyx

tzyx

soluzione

15.

=

=

245

49

125

xy

y

x

soluzione

16.

=+

=

4

24

18

22 yx

y

x

soluzione






Soluzioni

Metodo di sostituzione

=−

=+

4

18

yx

yx

Esplicito rispetto a 𝑥 la prima equazione.

Sostituisco a nella seconda equazione a 𝑥 l’espressione trovata.

=−−

−=

418

18

yy

yx

Procedo con la sola seconda equazioni usando i metodi dela calcolo lettereale e delle

equazioni.

=−

−=

=−=−=

−=−

−=

−=−−

−=

72

14

1171818

142

18

184

18

y

yx

y

yx

yy

yx

Metodo di riduzione

=−

=+

4

18

yx

yx

Sottraggo membro a membro ottengo

2𝑦 = 14

𝑦 =14

2= 7 → 𝑥 + 7 = 18 → 𝑥 = 18 − 7 = 11

…

Metodo di Cramer

∆= |𝑎 𝑏𝑎1 𝑏1

| = |1 11 −1

| = 1 ∙ (−1) − 1 ∙ 1 = −1 − 1 = −2

∆𝑥 = |𝑐 𝑏𝑐1 𝑏1

| = |18 14 −1

| = 18 ∙ (−1) − 1 ∙ 4 = −18 − 4 = −22

∆𝑦 = |𝑎 𝑐𝑎1 𝑐1

| = |1 181 4

| = 1 ∙ 4 − 1 ∙ 18 = 4 − 18 = −14

𝑥 =∆𝑥

∆=

−22

−2= 11 𝑦 =

∆𝑦

∆=

−14

−2= 7







=+

=

84

2

yx

xy

Sostituisco a nella seconda equazione a 𝑥 l’espressione corrispondente.

=+

=

842

2

xx

xy

Procedo con la sola seconda equazioni usando i metodi dela calcolo lettereale e delle

equazioni.

=

===

=

=

=

=

28

562822

384

2

843

2

x

xy

x

xy

x

xy

Metodo di riduzione

=+

=+−

=+

=

84

02

84

2

yx

yx

yx

xy


−3𝑥 = −84

𝑥 =84

3= 28

…

Metodo del confronto

=+

=

84

2

yx

xy

{𝑦 = 2𝑥 𝑦 = 84 − 𝑥

Posso ora passare al confronto

2𝑥 = 84 − 𝑥

2𝑥 + 𝑥 = 84

3𝑥 = 84

𝑥 =84

3= 28

…







−=

=+

9

27

xy

yx

=−=−=

==

−=

+=

−=

=+−

99189

182

36

9

9272

9

279

xy

x

xy

x

xy

xx

Metodo di riduzione

=−

=+

−=

=+

9

27

9

27

yx

yx

xy

yx


2𝑦 = 18

𝑦 =18

2= 9

…

Metodo di Cramer

𝑥 + 𝑦 = 27

𝑥 − 𝑦 = 9

∆= |𝑎 𝑏𝑎1 𝑏1

| = |1 11 −1

| = 1 ∙ (−1) − 1 ∙ 1 = −1 − 1 = −2

∆𝑥 = |𝑐 𝑏𝑐1 𝑏1

| = |27 19 −1

| = 27 ∙ (−1) − 1 ∙ 9 = −27 − 9 = −36

∆𝑦 = |𝑎 𝑐𝑎1 𝑐1

| = |1 271 9

| = 1 ∙ 9 − 1 ∙ 27 = 9 − 27 = −18

𝑥 =∆𝑥

∆=

−36

−2= 18 𝑦 =

∆𝑦

∆=

−18

−2= 9







=−=−=

==

−=

+=

−=

=+−

−=

=+

=+

=+

2622822

143

42

22

2403

22

4022

22

40

22

40

xy

x

xy

x

xy

xx

xy

yx

xy

yx

Metodo di riduzione

=+

=+

xy

yx

22

40

−=+−

=+

22

40

yx

yx


3𝑥 = 42

𝑥 =42

3= 14

…


=+

=+

xy

yx

22

40

{𝑦 = 40 − 𝑥𝑦 = 2𝑥 − 2


2𝑥 − 1 = 40 − 𝑥

2𝑥 + 𝑥 = 40 + 1

3𝑥 = 42

𝑥 =42

3= 14

…







==

===

=

=

=−

=

=−

=

173

51

681744

513

4

514

4

51

4

x

xy

x

xy

xx

xy

xy

xy


=−

=

51

4

xy

xy

{𝑦 = 4𝑥 𝑦 = 51 + 𝑥


4𝑥 = 51 + 𝑥

4𝑥 − 𝑥 = 51

3𝑥 = 51

𝑥 =51

3= 17

𝑦 = 4𝑥 = 4 ∙ 17 = 68







=−

−=

=−=−=

−=−

−=

−=−−

−=

=−−

−=

=−

=+

82

16

1282020

162

20

204

20

420

20

4

20

y

yx

y

yx

yy

yx

yy

yx

yx

yx

Metodo grafico

=−

=+

4

20

yx

yx







==

=−=−=

=

−=

−=+

−=

+=−

−=

+=

=+

244

964

75249999

964

99

3993

99

3399

99

33

99

x

xy

x

xy

xx

xy

xx

xy

xy

yx

Metodo di Cramer

𝑥 + 𝑦 = 99

−3𝑥 + 𝑦 = 3

∆= |𝑎 𝑏𝑎1 𝑏1

| = |1 1

−3 1| = 1 ∙ 1 − 1 ∙ (−3) = 1 + 3 = 4

∆𝑥 = |𝑐 𝑏𝑐1 𝑏1

| = |99 13 1

| = 99 ∙ 1 − 1 ∙ 3 = 99 − 3 = 96

∆𝑦 = |𝑎 𝑐𝑎1 𝑐1

| = |1 99

−3 3| = 1 ∙ 3 − 99 ∙ (−3) = 3 + 297 = 300

𝑥 =∆𝑥

∆=

96

4= 24 𝑦 =

∆𝑦

∆=

300

4= 75






====

==

=

=

=

=

=

=+

=

=+

=

=+

2045328

5

8

5

3284

8

5

13

852

8

5

528

13

8

5

528

58

8

5

528

5

8

5

52

xy

x

xy

x

xy

x

xy

x

xy

xx

xy

yx

====

==

=

=

=

=

=

=−

=

=−

=

=−

60125847

5

7

5

84712

7

5

2

724

7

5

247

2

8

5

247

57

7

5

247

5

7

5

24

xy

x

xy

x

xy

x

xy

x

xy

xx

xy

yx

====

==

=

=

=

=

=

=+

=

=+

=

=+

6397728

7

8

7

7289

8

7

15

8135

8

7

1358

15

8

7

1358

78

8

7

1358

7

8

7

135

xy

x

xy

x

xy

x

xy

x

xy

xx

xy

yx






====

==

=

=

=

=

=

=+

=

=+

2874639

4

9

4

6397

9

4

13

991

9

4

919

13

9

4

919

4

9

4

91

xy

x

xy

x

xy

x

xy

xx

xy

yx

( )

==

=+=+=

=

+=

=−

+=

+=

+=

+=

+=

=

=−

604154

1

80602020

154

1

20

154

3

20

4

315

20

204

3

20

4

3

20

y

yx

y

yx

yy

yx

yy

yx

yy

yx

xy

yx

==

=−=−=

=

−=

−=−

−=

−=−−

−=

=−−

−=

=−

=+

12/2

4155

22

5

22

5

53

5

35

5

3

5

y

yx

y

yx

y

yx

yy

yx

yy

yx

yx

yx






==

==−=−=

=

−=

−=−

−=

−=−−

−=

=−−

−=

=−

=+

3

1

2

1

3

2

2

1

6

3

3

1

6

5

6

5

3

22

6

5

6

42

6

5

6

5

6

1

6

5

6

1

6

5

6

5

6

1

6

5

y

yx

y

yx

y

yx

yy

yx

yy

yx

yx

yx







=

−=

=+−

−=

=+−

−=

=+

−=

00

23

128812

23

128)23(4

23

1284

23

y

yx

yy

yx

yy

yx

yx

yx

Sistema indeterminato

Metodo di Cramer

𝑥 + 2𝑦 = 3

4𝑥 + 8𝑦 = 12

∆= |𝑎 𝑏𝑎1 𝑏1

| = |1 24 8

| = 1 ∙ 8 − 2 ∙ 4 = 8 − 8 = 0

∆𝑥 = |𝑐 𝑏𝑐1 𝑏1

| = |3 2

12 8| = 3 ∙ 8 − 2 ∙ 12 = 24 − 24 = 0

∆𝑦 = |𝑎 𝑐𝑎1 𝑐1

| = |1 34 12

| = 1 ∙ 12 − 3 ∙ 4 = 12 − 12 = 0

Il sistema è indeterminato.

∆ = 0 ∧ ∆𝑥 = 0 ∧ ∆𝑦 = 0

Lo è con ∆= 0 essendo sia ∆𝑥 sia ∆𝑦 uguali a zero.







−=

−=

=+−

−=

=+−

−=

=+

−=

20

23

108812

23

108)23(4

23

1084

23

y

yx

yy

yx

yy

yx

yx

yx

Il sistema è impossibile

Metodo di Cramer

𝑥 + 2𝑦 = 3

4𝑥 + 8𝑦 = 10

∆= |𝑎 𝑏𝑎1 𝑏1

| = |1 24 8

| = 1 ∙ 8 − 2 ∙ 4 = 8 − 8 = 0

∆𝑥 = |𝑐 𝑏𝑐1 𝑏1

| = |3 2

10 8| = 3 ∙ 8 − 2 ∙ 10 = 24 − 20 = 4

∆𝑦 = |𝑎 𝑐𝑎1 𝑐1

| = |1 34 10

| = 1 ∙ 10 − 3 ∙ 4 = 10 − 12 = −2

Il sistema è impossibile.

∆ = 0 ∧ ∆𝑥 ≠ 0 ∧ ∆𝑦 ≠ 0

Lo sarebbe con ∆= 0 anche se uno tra ∆𝑥 e ∆𝑦 fosse diverso da zero






Metodo grafico

Le rette sono parallele!






+=

+=

=++

4

13

75

yz

xy

zyx

=+=+=

=+=+=

==

+=

+=

−=

++=

+=

=++++

32171517

28131513

153

45

17

13

30753

413

13

751713

xz

xy

x

xz

xy

x

xz

xy

xxx

[𝑥 = 15 ∧ 𝑦 = 28 ∧ 𝑧 = 32]






==

===

===

=

=

=

=++

=

=

=++

=

=

=++

=

=

209

18

12433

4222

189

2

2

1862

3

2

18322

3

2

18

3

2

x

yz

xy

x

yz

xy

xxx

yz

xy

xxx

yz

xy

zyx

yz

xy

[𝑥 = 20 ∧ 𝑦 = 4 ∧ 𝑧 = 12]






==

=++=

=+=

=

++=

+=

−−−=++

++=

+=

=+++++

++=

+=

=++

+=

+=

5315

1573

83

153

73

3

73328

73

3

28733

73

3

28

7

3

z

zy

zx

z

zy

zx

zzz

zy

zx

zzz

zy

zx

yxz

xy

zx

[𝑥 = 8 ∧ 𝑦 = 15 ∧ 𝑧 = 5]






==

===

===

=

=

=

=++

==

=

=++

=

=

149126

741466

281422

1269

6

2

12662

623

2

126

3

2

x

xz

xy

x

xz

xy

xxx

xxz

xy

zyx

yz

xy

[𝑥 = 14 ∧ 𝑦 = 28 ∧ 𝑧 = 74]






==

===

===

=

=

=

=++

=

=

=++

=

=

=++

=

=

411

44

8422

32488

4411

2

8

4428

2

8

44

2

24

44

2

4

z

zy

zx

z

zy

zx

zzz

zy

zx

zyx

zy

zx

zyx

zy

yx

[𝑥 = 32 ∧ 𝑦 = 8 ∧ 𝑧 = 4]






=++

+=

+=

62

4

2

zyx

yz

xy

=+++++

+=

+=

=++++

+=

+=

62422

4

2

6242

4

2

xxx

yz

xy

yxx

yz

xy

=

+=

+=

543

4

2

x

yz

xy

==

+=

+=

183/54

4

2

x

yz

xy

[𝑥 = 18 ∧ 𝑦 = 20 ∧ 𝑧 = 24]






−=++

=++

=++

141797

0943

0

zyx

zyx

zyx

−=−−++

=−−++

−−=

14)(1797

0)(943

yxyx

yxyx

yxz

−=−−+

=−−+

−−=

14171797

09943

yxyx

yxyx

yxz

−=−−

=−−

−−=

14810

056

yx

yx

yxz

−=−

−−

−=

−−=

1486

510

6

5

yy

yx

yxz

−=−

−=

−−=

1483

25

6

5

yy

yx

yxz

−=−

−=

−−=

422425

6

5

yy

yx

yxz

…

−=

=−−=

=+−=−−=

42

35)42(6

5

74235

y

x

yxz

[𝑥 = 35 ∧ 𝑦 = −42 ∧ 𝑧 = 7]






=+++−

=+++

=+++

=−++

31523

101295

92532

532

tzyx

tzyx

tzyx

tzyx

=++++−−−

=++++−−

=++++−−

+−−=

3152)325(3

10129)325(5

9253)325(2

325

tzytzy

tzytzy

tzytzy

tzyx

=+++−++−

=++++−−

=++++−−

+−−=

315239615

101295151025

925326410

325

tzytzy

tzytzy

tzytzy

tzyx

=−+

−=+−−

−=+−−

+−−=

468108

1563

14

325

tzy

tzy

tzy

tzyx

=−++−

−=+−+−−

+−=

+−−=

46810)41(8

1563)41(

41

325

tztz

tztz

tzy

tzyx

…

Algebra elementare ad uso dei Licei. Francesco G.Tricomi - G. Principato, 1940

[𝑥 = −28

3 ∧ 𝑦 = −4 ∧ 𝑧 = −

23

3∧ 𝑡 = −

2

3]






==

===

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

5

49

25

4949

255

49

49

125

49

125

255

49549

49

125

255

49549

49

125

125

49245

49

125

24549

125

49

125

245

49

125

245

49

125

2

y

yx

y

yx

y

yx

y

yx

yy

yx

xy

yx

xy

y

x






===

====

=

=

=

=

=+

=

=+

=

=+

=

=+

=

5

8

15

24

30

242

15

18

5

1

3

18

5

8

24

18

24

18

30

244

24

18

4576

900

24

18

4576

576324

24

18

4576

324

24

18

424

18

24

18

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Keywords

Algebra, equazioni, sistemi di equazioni di primo grado equazioni di primo grado,

problemi traducibili in equazioni, esercizi con soluzioni

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Algebra, Gleichung, die Gleichung

Arabic: ُمعادَلَه

Chinese (Simplified): 方程式

Chinese (Traditional): 等式

Czech: rovnice

Danish: ligning

Estonian: võrrand

Finnish: yhtälö

Greek: εξίσωση

Hungarian: kiegyenlítés; egyenlet

Icelandic: jafna

Indonesian: persamaan

Italian: equazione

Japanese: 方程式

Korean: 방정식

Latvian: vienādojums

Lithuanian: lygtis

Norwegian: likning, det å betrakte som lik

Polish: równanie

Portuguese: equação

Romanian: ecuaţie

Russian: уравнение

Slovak: rovnica

Slovenian: enačba

Swedish: ekvation

Turkish: eşitlik




Sistemi di equazioni di primo grado. Completi di soluzione ...€¦ · Metodo grafico ¯ ® 4 20 x...

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