Radicali Equazioni secondo grado

8/18/2019 Radicali Equazioni secondo grado

http://slidepdf.com/reader/full/radicali-equazioni-secondo-grado 1/36



Indice

1 I radicali 2

1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Definizione di radicale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Le condizioni di esistenza dei radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 I radicali aritmetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Le due proprieta fondamentali dei radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 La proprieta invariantiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 Semplificazione dei radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7 Prodotto e quoziente di radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8 Il portare fuori dal segno di radice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.9 Addizione e sottrazione fra radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.10 Domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.11 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Le equazioni di secondo grado 19

2.1 Le equazioni di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Casi Particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1 Equazioni di secondo grado pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.2 Equazioni di secondo grado spurie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.3 Equazioni di secondo grado monomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Il caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 La formula ridotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Relazione fra coefficienti e soluzioni di un’equazione di secondo grado . . . . . . . . . 26

2.6 Scomposizione di un trinomio di secondo grado tramite le equazioni . . . . . . . . . 29

2.7 Problemi risolubili tramite equazioni di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.8 Domande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.10 P roblemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1



Capitolo 1

I radicali

1.1 Introduzione

Molto spesso in matematica e nelle sue applicazioni capita di dover risolvere il seguente problema:assegnato un numero, determinare quel numero che, elevato ad una certa potenza, sia uguale alnumero assegnato. Sono problemi di questo tipo quelli illustrati nei seguenti

Esempi

Determinare quel numero che elevato alla seconda dia come risultato 9.

Determinare quel numero che elevato alla terza dia come risultato 125.

Determinare quel numero che elevato alla quarta dia come risultato −16.

e cosı via.

I problemi precedenti si risolvono tramite un procedimento chiamato di “estrazione di radice”. Piuin generale risulta estremamente utile saper effettuare determinate operazioni con le radici (ched’ora in avanti chiameremo radicali), ed e questo lo scopo del presente capitolo.

1.2 Definizione di radicale

Col simbolon√

a

si intende un generico radicale in cui n e l’indice del radicale e a e l’argomento del radicale (dettoanche radicando).

Quindi ad esempio4√

27

e un radicale di indice 4 e di radicando 27; mentre

3√

x + y

e un radicale di indice 3 e di radicando x + y.

Osservazione. L’indice del radicale deve essere un numero naturale maggiore di zero, mentre ilradicando puo essere qualunque numero reale.



Alessandro Bocconi 3

Quindi ha perfettamente senso il radicale:

4

2, 718

mentre non ha senso il radicale:3,7√

20

A questo punto, tramite un’espressione, diamo la seguente:

Definizione di radicale.n√

a = b ⇔ bn = a

che si legge: la radice ennesima (cioe di indice n) di a e quel numero b che elevato all’esponente n

ha come risultato a.

Chiariamo con alcuni esempi:

2√

25 = 5 perche 52 = 25

Notiamo come questo esempio deriva dal caso generale della definizione sostituendo a n il numero2, ad a il numero 25 e a b il numero 5.

3√

8 = 2 perche 23 = 8

(n = 3, a = 8 e b = 2).

√

16, 81 = 4, 1 perche 4, 12 = 16, 41

(n = 2, a = 16, 81 e b = 4, 1).

4√

15 = 1, 9679896712 . . . perche (1, 9679896712 . . .)4 = 15

(n = 4, a = 15 e b = 1, 9679896712 . . .).

7√

1 = 1 perche 17 = 1

(n = 7, a = 1 e b = 1).

5√

0 = 0 perche 05 = 0

(n = 5, a = 0 e b = 0).

Osservazione. Guardando il primo degli esempi appena affrontati potremmo fare un’obiezioneimportante: 5 non e l’unico numero che elevato alla seconda e uguale a 25, infatti sappiamo cheanche −5 elevato alla seconda e 25 (ricordiamoci che un numero negativo elevato ad esponentepari ha risultato positivo). Si pone quindi il problema che, se l’indice e pari, uno stesso radicalefornirebbe 2 risultati diversi e questo non e accettabile in matematica. Per evitare questa situazionee stata adottata la seguente:

Convenzione. La radice di un numero positivo e sempre un numero positivo.

Grazie a tale convenzione possiamo affermare che 2√ 9 = 3 e non −3 sebbene valga che anche

(−3)2 = 9; 4√

16 = 2 e non −2 sebbene valga che anche (−2)4 = 16 e cosı via.




Osservazione. Se l’indice della radice e 1, dalla definizione risulta che:

1√

a = b ⇔ b1 = a

ma noi sappiamo che b1 = b, quindi la formula appena scritta puo essere letta come: la radice diindice 1 di a e quel numero b che e uguale ad a. Quindi risulta che:

1

√ a = a

Osservazione. Dal penultimo esempio ricaviamo facilmente che

n√

1 = 1

per qualunque valore di n; mentre dall’ultimo esempio risulta che

n√

0 = 0

per qualunque valore di n.

Convenzione. Dal momento che la radice di indice 2 (la “famosa” radice quadrata) e quella usatapiu frequentemente, e stata adottata la convenzione che se l’indice non e specificato e sottintesoche l’indice del radicale sia 2.

Esempi:√

100 equivale a 2√

100;√

28 equivale a 2√

28 e cosı via.

Abbiamo osservato in precedenza che a puo essere qualunque numero reale e quindi anche negativo.Consideriamo allora un radicale di indice pari e di radicando negativo, come ad esempio:

√ −9

dalla definizione di radicale sappiamo che il risultato e quel numero che, elevato alla seconda, euguale a −9. Ma noi sappiamo che un numero elevato alla seconda non puo essere negativo e quindinon puo esistere la radice quadrata di −9, o di qualunque altro numero negativo. Piu in generalepossiamo affermare che un numero elevato ad esponente pari non e mai negativo. Vale quindi laseguente:

Regola dei radicali di indice pari e radicando negativo. Non esiste la radice di indice paridi un numero negativo.

Consideriamo adesso un radicale di indice dispari e di radicando negativo, come ad esempio:

3√ −27

sempre dalla definizione di radicale sappiamo che il risultato e quel numero che, elevato alla terza,e uguale a −27. In questo caso un numero elevato alla terza e negativo se la base e negativa. Inparticolare risulta che:

3√ −27 = −3 perche (−3)3 = −27

Piu in generale sappiamo che un numero negativo elevato ad esponente dispari e negativo. Valequindi la seguente:

Regola dei radicali di indice dispari e radicando negativo. La radice di indice dispari di unnumero negativo esiste ed e un numero negativo.




1.2.1 Le condizioni di esistenza dei radicali

Abbiamo appena constatato che non esiste un radicale di indice pari e radicando negativo. Unproblema interessante risulta allora quello di determinare le condizioni di esistenza (abbreviatoC.E.) di un radicale. Premettiamo la seguente:

Definizione di condizione di esistenza di un radicale di indice pari. Le condizioni diesistenza di un radicale sono l’insieme dei valori che puo assumere la parte letterale affinche ilradicando sia non negativo.

Esempi

Determinare le C.E. del seguente radicale: 4√

x − 5.

L’indice del radicale e pari quindi il radicando deve essere non negativo (cioe maggiore o uguale azero). Le C.E. si trovano risolvendo:

x − 5 ≥ 0 → x ≥ 5

quindi le C.E. risultano:

C.E. = {x ∈ R|x ≥ 5}

Determinare le C.E. del seguente radicale:√

8 − 3a.

L’indice del radicale e pari (sappiamo gia che quando non e specificato l’indice e sottinteso che sia2). Le C.E. si trovano risolvendo:

8 − 3a ≥ 0 → −3a ≥ −8 → a ≤ −8

−3 → a ≤ 8

3

quindi le C.E. risultano:

C.E. = {a ∈ R|a ≤ 8

3}

Determinare le C.E. del seguente radicale: 5√

7x + 23.

L’indice del radicale e dispari quindi il radicando puo essere sia positivo che negativo che zero equindi tutti i valori di x fanno parte delle C.E.; risulta allora:

C.E. = {x ∈ R}

Determinare le C.E. del seguente radicale: 5

7x+232x−6 .

L’indice del radicale e dispari quindi il radicando puo essere sia positivo che negativo che zero. Inquesto caso pero il radicando e una frazione algebrica il cui denominatore deve essere diverso (enon maggiore!!) da zero. Quindi per determinare le C.E. risolviamo:

2x − 6 = 0 → 2x = 6 → x = 6

2 → x = 3

risulta allora:

C.E. =

{x

∈ R

|x

= 3

}




1.3 I radicali aritmetici

Definizione di radicale aritmetico. Per radicale aritmetico si intende un radicale il cui radi-cando e non negativo e, nel caso il radicando sia un prodotto di fattori, tutti questi fattori sononon negativi.

Osservazione. Si consideri il radicale √ a · b

per essere un radicale aritmetico non solo deve essere non negativo il radicando (cioe il prodottoa · b) ma sia a che b devono essere non negativi.

Nel resto del capitolo tratteremo solo di radicali aritmetici.

1.4 Le due proprieta fondamentali dei radicali

Prima proprieta fondamentale dei radicali. Vale che:

( n√

a)n = a

Seconda proprieta fondamentale dei radicali. Vale che:

n√

an = a

Esempi

Determinare ( 4√

a)4

Applicando la prima proprieta fondamentale si ottiene ( 4√

a)4 = a

Determinare 3

(x + y)3

Applicando la seconda proprieta fondamentale si ottiene 3

(x + y)3 = x + y

Determinare 3 x3 + y3

L’esempio e simile al precedente, ma in questo caso non si puo applicare nessuna proprieta fonda-mentale perche x3 + y3 non e il cubo di nessun binomio!

Determinare 6√

6

Anche in questo caso non si puo applicare nessuna proprieta fondamentale perche il radicando deveavere l’esponente uguale all’indice della radice e non, come in questo caso, al radicando stesso.

Determinare 5√

32

In apparenza, non avendo il radicando nessun esponente (e quindi sottointeso esponente 1) non sipuo applicare nessuna proprieta fondamentale. Pero, scomponendo 32 si ottiene 32 = 25 e quindi

il radicale diventa:5√

32 = 5√

25 = 2




1.5 La proprieta invariantiva

Proprieta invariantiva dei radicali. Moltiplicando l’indice della radice ed esponente del radi-cando per uno stesso numero si ottiene un radicale equivalente.

Esempi

Il radicale 5√

a2 e equivalente a 15√

a6: infatti il secondo radicale e ottenuto dal primo moltipli-cando sia l’indice del radicale sia l’esponente del radicando per il numero 3.

Il radicale 3√

x + y e equivalente a 6

(x + y)2: infatti il secondo radicale e ottenuto dal primomoltiplicando sia l’indice del radicale sia l’esponente del radicando per il numero 2.

Il radicale 3√

4 e equivalente a 9√

64: infatti il secondo radicale e ottenuto dal primo moltiplicandosia l’indice del radicale sia l’esponente del radicando per il numero 3 (ricordiamo che 64 = 43).

La proprieta invariantiva risulta estremamente utile per ridurre piu radicali allo stesso indice.

Metodo per la riduzione di piu radicali allo stesso indice.

1. Si considerano gli indici dei radicali e se ne determina il loro minimo comune multiplo.

2. Si riscrivono i radicali con, al posto del loro indice originale, il minimo comune multiploprecedentemente determinato.

3. Per ciascun radicale si divide il mcm con l’indice originale. Si moltiplica l’esponente delradicando per il risultato di tale divisione.

Esempi

Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali:

3√

x + y; 6√

x3; 9√

5

Gli indici sono 3; 6 e 9 e quindi il minimo comune multiplo e 18. I radicali dovranno avere tuttiindice 18.

Si divide il minimo comune multiplo per l’indice originale del radicale e si moltiplica l’esponentedel radicando per il risultato di tale divisione. Quindi per il primo radicale:

18 : 3 = 6; l’esponente di x + y e 1 quindi moltiplichiamo 1 · 6 = 6 e il radicando diventa (x + y)6.

Per il secondo radicale:

18 : 6 = 3; l’esponente di x3 e 3 quindi moltiplichiamo 3 · 3 = 9 e il radicando diventa x9.

Per il terzo radicale:

18 : 9 = 2; l’esponente di 5 e 1 quindi moltiplichiamo 2 · 1 = 2 e il radicando diventa 52 cioe 25.

Riassumendo i radicali ridotti allo stesso indice sono:

18

(x + y)6; 18

√ x9;

18√

25

Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali: x + 2

3 ;

6√

x5




Gli indici sono 2 e 6 quindi il minimo comune multiplo e 6. I radicali dovranno avere tutti indice 6.

Si divide il minimo comune multiplo per l’indice originale del radicale e si moltiplica l’esponentedel radicando per il risultato di tale divisione. Quindi per il primo radicale:

6 : 2 = 3; l’esponente di x+23 e 1 quindi moltiplichiamo 1 · 3 = 3 e il radicando diventa (x+2

3 )3 che

preferiamo scrivere come (x+2)3

27 .Per il secondo radicale l’indice rimane uguale e quindi rimane uguale anche il radicando.

Riassumendo i radicali ridotti allo stesso indice sono:

6

(x + 2)3

27 ;

6√

x5

Osservazione. Il lettore attento avra trovato una somiglianza fra l’applicazione della proprietainvariantiva per portare due radicali allo stesso indice e la somma di frazioni. Vediamolo col seguente

esempio: Portare i seguenti radicali allo stesso indice:

4√

x5; 6√

x7.

• Si determina il mcm fra 4 e 6 che e 12. Tale numero sara l’indice comune dei 2 radicali

• Si divide 12 per 4 (che e l’indice del primo radicale), ottenendo 3. Si moltiplica l’esponentedel primo radicando (5) per 3 ottenendo 15. Il primo radicale diventa quindi:

12√

x15

• Si divide 12 per 6 (che e l’indice del secondo radicale), ottenendo 2. Si moltiplica l’esponentedel secondo radicando (7) per 2 ottenendo 14. Il secondo radicale diventa quindi:

12√

x14

Consideriamo adesso la seguente somma di frazioni: 54 + 7

6

• Si determina il mcm fra 4 e 6 che e 12. Tale numero sara il denominatore della somma delle2 frazioni

• Si divide 12 per 4 (che e il denominatore della prima frazione), ottenendo 3. Si moltiplica ilnumeratore della prima frazione (5) per 3 ottenendo 15. La prima frazione diventa quindi:1512

• Si divide 12 per 6 (che e il denominatore della seconda frazione), ottenendo 2. Si moltiplicail numeratore della seconda frazione (7) per 2 ottenendo 14. La seconda frazione diventaquindi: 14

12

• Possiamo adesso effettuare la somma che e 15+14

12 = 2912

Appare quindi evidente l’analogia dei 2 procedimenti dove l’indice del radicale corrisponde aldenominatore della frazione e l’esponente del radicando corrisponde al numeratore.

1.6 Semplificazione dei radicali

Teorema. Se l’esponente del radicando e l’indice del radicale hanno un divisore comune, dividendo

sia l’esponente che l’indice per tale divisore si ottiene un radicale equivalente. Tale operazione sichiama semplificazione di un radicale.




Osservazione. In un certo senso si puo dire che la semplificazione e l’inverso dell’applicare laproprieta invariantiva, infatti se abbiamo il radicale

5√

a3 e lo vogliamo trasformare in un radicaleequivalente di indice, ad esempio, 15 applicando la proprieta invariantiva otteniamo:

5√

a3 = 15√

a9

Ma il radicale 15

√ a9, in accordo con il teorema, puo essere semplificato dividendo sia l’indice chel’esponente per 3, tornando quindi a essere

5√ a3 che e il radicale di partenza.

Esempi

Semplificare il radicale 6√

x4

L’indice del radicale e 6 e l’esponente del radicando e 4. Sono entrambi divisibili per 2, quindi inbase al teorema risulta che:

6√

x4 = 3√

x2

Semplificare il radicale: 8

x4

y6

Quando parliamo di esponente del radicando intendiamo l’esponente di una potenza in cui la basee tutto il radicando. E quindi sbagliato dire che l’esponente del radicando e 4 perche il numeratoreha esponente 4 oppure che e 6 perche il denominatore ha esponente 6. Per le proprieta delle potenzepossiamo affermare che:

x4

y6 =x2

y3

2a questo punto osserviamo che tutta la frazione e elevata alla seconda e quindi possiamo semplificareil 2 con l’indice 8 della radice:

8

x4

y6 = 8

x2

y3

2

= 4

x2

y3

in pratica quindi bisogna determinare un divisore comune a tutti i fattori del radicando e all’indicee dividere tutto per tale divisore.

Semplificare il seguente radicale: 4

xy6

L’indice del radicale e 4, l’esponente del fattore x e 1 e l’esponente del fattore y e 6. L’unico divisorecomune e 1 e quindi il radicale non puo essere semplificato.


x2 + y2

In questo caso x e y non sono fattori (e una addizione) e quindi il radicando va visto come unapotenza di base x2 + y2 e esponente 1. Il radicale non e quindi semplificabile.


(x + y)2

Anche se il radicale appare simile al precedente in questo caso l’esponente 2 e riferito a tutto ilradicando e quindi puo essere semplificato. Si ottiene quindi:

4

(x + y)2 = √

x + y


x2y2

In questo caso x2 e y2 sono fattori. Possiamo quindi semplificare:

4

x2y2 =√

xy

Semplificare il seguente radicale: 4√

16




Per il teorema si ottiene che:

6

9x2

(x + y)4 · 6

(x + y)3

x9 = 6

9 x2

(x + y)4 · (x + y)3

x97

= 6

9

x7(x + y)

che conclude l’esercizio.

Eseguire la divisione: 10

27(x+y)3 :

3x+y

Il minimo comune multiplo fra i 2 indici e 10: bisogna quindi trasformare, tramite la proprietainvariantiva, entrambi i radicali in radicali equivalenti aventi indice 10. Il primo radicale ha giaindice 10 e rimane quindi invariato, mentre il secondo radicale ha indice 2, quindi dato che 10 : 2 = 5ottiene:

3

(x + y) = 10

3

x + y

5= 10

35

(x + y)5

quindi il quoziente iniziale diventa:

10 27

(x + y)3 :

10 35

(x + y)5

Per il teorema si ottiene che:

10

27

(x + y)3 : 10

35

(x + y)5 = 10

27

(x + y)3 :

35

(x + y)5 = 10

27

(x + y)3 · (x + y)5

35

e dato che 27 = 33 si ottiene:

10

33

(x + y)3 · (x + y)52

352 =

10

(x + y)2

9

che conclude l’esercizio.

1.8 Il portare fuori dal segno di radice

Premettiamo che con l’espressione 2 3√

a intendiamo che il fattore 2, fuori dalla radice, moltiplica ilradicale 3

√ a, oppure con l’espressione a2 5

√ ab si intende che il fattore a2, fuori dalla radice, moltiplica

il radicale 5√

ab.

Detto questo lo scopo del presente paragrafo e quello di “trasportare”, se possibile, dei fattori checostituiscono il radicando fuori dal segno di radice. Per vedere come consideriamo il seguente:

Esempio

Portare fuori dal segno di radice nel radicale 4√

a9

Tramite le proprieta delle potenze possiamo scrivere il radicando a9 come a4 · a4 · a. Quindi ilradicale diventa:

4√

a9 = 4√

a4 · a4 · a

Ma da quanto abbiamo visto nel paragrafo 1.7, letto da destra a sinistra vale che:

4√

a4 · a4 · a = 4√

a4 · 4√

a4 · 4√

a

per la seconda proprieta fondamentale:4√

a4

· 4√

a4

· 4√

a = a

·a

· 4√

a = a2 4√

a

Il fattore a e stato portato fuori dal segno di radice come richiesto dall’esercizio.




Il procedimento appena effettuato e abbastanza laborioso ma ha il pregio di spiegare i vari passaggidel portare fuori dal segno di radice. Piu veloce e senz’altro il seguente:

Metodo per portare un fattore fuori dal segno di radice. Per portare un fattore fuori dalsegno di radice si effettua la divisione fra l’esponente del fattore stesso e l’indice del radicale. Ilrisultato di tale divisione e l’esponente del fattore “portato fuori” mentre il resto della divisione e

l’esponente del fattore “rimasto dentro” il radicale.

Applichiamo questo metodo all’esempio appena visto: 4√

a9. Si effettua la divisione fra l’esponentedel radicando (9) e l’indice del radicale (4). Il risultato e 2 con resto 1. Quindi il fattore a portatofuori dalla parentesi ha esponente 2 mentre il fattore a rimasto dentro ha esponente 1. Cioe a2 4

√ a

in accordo col risultato trovato col precedente procedimento.

Osservazione. Dal metodo precedente risulta che se un fattore ha esponente minore dell’indicedel radicale non puo essere portato fuori dal segno di radice.

Esempi

Portare fuori dal segno di radice nel seguente radicale 3√

a6b2c11

Dall’osservazione precedente risulta che b avendo esponente minore dell’indice del radicale non puoessere portato fuori. Vediamo a6: si divide l’esponente (6) per l’indice della radice (3) e si ottiene2 con resto 0. Quindi a fuori dalla radice avra esponente 2 mentre nella radice avra esponente 0 (equindi non verra scritto perche qualunque potenza di esponente 0 e 1 e quindi e inutile scriverla).c ha esponente 11, quindi dato che 11 : 3 = 3 con resto 1, c fuori dalla radice avra esponente 3 e

dentro 1. In conclusione3√

a6b2c11 = a2c3 3√

b2c

Portare fuori dal segno di radice nel seguente radicale√

32a

Dall’osservazione precedente risulta che a avendo esponente minore dell’indice del radicale non puoessere portato fuori. Anche 32 ha esponente 1 e quindi minore dell’indice, ma come ben sappiamo32 = 25 e quindi il radicale diventa

√ 25a. Dato che 5 : 2 = 2 con resto 1, 2 fuori dalla radice avr a

esponente 2 e dentro 1. In conclusione

√ 32a = 22

√ 2a = 4

√ 2a

Portare fuori dal segno di radice nel seguente radicale 3

16a5

b4

16 = 24 quindi 4 : 3 = 1 con resto 1 e il fattore 2 fuori dalla radice avra esponente 1 e anche nellaradice avra esponente 1. a ha esponente 5, quindi dato che 5 : 3 = 1 con resto 2, a fuori dalla radiceavra esponente 1 e dentro 2. b e al denominatore dentro la radice e quindi anche portato fuori saraal denominatore. b ha esponente 4, quindi 4 : 3 = 1 con resto 1 da cui b fuori dalla radice avraesponente 1 e anche nella radice avra esponente 1. Concludendo:

3

16a5

b4 = 2a

b

3

2a2

b

Portare fuori dal segno di radice nel seguente radicale 3√

24




24 = 23 · 3 quindi il fattore 2 puo essere portato fuori dalla radice, e fuori avra esponente 1 mentredentro, dovendo avere esponente 0 non verra scritto. 3 avendo esponente minore dell’indice nonpuo essere portato fuori. Concludendo:

3√

24 = 2 3√

3

Portare fuori dal segno di radice nel seguente radicale

x5 + y4

In questo caso siamo di fronte ad un’addizione e il radicando va visto come un fattore unico (cioe

x5 + y4) avente esponente 1. Quindi non puo essere portato fuori.

Portare fuori dal segno di radice nel seguente radicale 3

(x + y)5

In questo caso l’unico fattore, x + y ha esponente 5 e quindi puo essere portato fuori, ottenendo

3

(x + y)5 = (x + y) 3

(x + y)2

1.9 Addizione e sottrazione fra radicali

Definizione di radicali simili. Due radicali si dicono simili se hanno lo stesso indice e lo stessoradicando.

Esempi

3√

a + b e 3√

a2 + b non sono simili perche hanno lo stesso indice ma radicando diverso.

4√

a2 + b e 3√

a2 + b non sono simili perche hanno uguale radicando ma indice diverso.

3√ a + b e 5 3√ a + b sono simili perche hanno lo stesso indice e lo stesso radicando.

Teorema. Due radicali si possono sommare fra loro se e solo se sono simili.

Esempio

Effettuare la seguente addizione fra radicali:

√ 9 +

√ 16

questi 2 radicali non sono simili e, per il teorema, sappiamo che non possono essere sommati. Infattise si scrivesse: √

9 +√

16 =√

25

(abbiamo scritto 25 perche e la somma fra 9 e 16) commetteremmo un grave errore. Infatti noisappiamo che: √

9 = 3;√

16 = 4;√

25 = 5

quindi se la somma fosse giusta dovrebbe verificarsi che 3 + 4 = 5 che e ovviamente falso.

Il lettore si sara ricordato che la parola simili era stata usata anche per i monomi e anche per imonomi, come per i radicali, vale che possono essere addizionati o sottratti se e solo se sono simili.L’addizione e la sottrazione dei radicali si effettua in maniera uguale all’addizione e sottrazione deimonomi. Si veda per questo il seguente:




Esempio

Si determini la seguente somma: a − 32a + 2

5a

I tre monomi sono simili e possono essere sommati:

a

− 32a + 3

5a = (1

− 32 + 3

5)a = 10−15+610 a = 1

10a

Analogamente si procede per una somma di radicali come la seguente: 3√ x − 32

3√ x + 25

3√ xI tre radicali sono simili e possono essere sommati:

3√

x − 32

3√

x + 35

3√

x = (1 − 32 + 3

5) 3√

x = 10−15+610

3√

x = 110

3√

x

Esempi

Si risolva la seguente espressione di radicali:√

a + 3√

b − 7√

b + 4√

a

Questi radicali non sono tutti simili, ma lo sono il primo con il quarto e il secondo con il terzo percui:√

a + 3√

b − 7√

b + 4√

a = (1 + 4)√

a + (3 − 7)√

b = 5√

a − 4√

b

Si determini la seguente somma di radicali: 3√

2 + 3√

16

In apparenza i 2 radicali non sono simili, ma sappiamo che 16 = 24 e quindi il fattore 2 puo essereportato fuori dalla radice. Quindi:

3√

2 + 3√

16 = 3√

2 + 3√

24 = 3√

2 + 2 3√

2 = 3 3√

2

Da questo esempio, e anche dai precedenti degli altri paragrafi, possiamo affermare che

se un radicale ha un numero come radicando, conviene sempre scomporre tale numeroper vedere se il radicale e semplificabile, o se possiamo portare fuori un fattore.

Si risolva la seguente espressione di radicali:√

12 +√

75 − √ 27

In apparenza questi radicali non sono simili, ma, seguendo il consiglio dell’ultimo esempio, scom-poniamo i 3 radicandi:

12 = 22 · 3; 75 = 3 · 52; 27 = 33

quindi√

12 +√

75 − √ 27 =

√ 22 · 3 +

√ 3 · 52 −

√ 33

portando fuori otteniamo:

√ 22 · 3 + √ 3 · 52 − √ 33 = 2√ 3 + 5√ 3 − 3√ 3 = 4√ 3

1.10 Domande

Parafrafo 1.2

1. L’indice del radicale puo essere decimale?

2. L’indice del radicale puo essere negativo?

3. Il radicando puo essere decimale?




4. Dai la definizione di radicale

5. Perche√

9 = 3 e non −3?

6. Quanto vale 1√

a?

7. Quanto vale n√

1?

8. Quanto vale n√

0?

9. Esiste la radice di indice pari di un numero negativo?

10. Esiste la radice di indice dispari di un numero negativo?

11. Cosa sono le condizioni di esistenza di un radicale?

Parafrafo 1.3

12. Cos’e un radicale aritmetico?

Parafrafo 1.4

13. Cosa stabilisce la prima proprieta fondamentale.

14. Cosa stabilisce la seconda proprieta fondamentale.

Parafrafo 1.5

15. Enuncia la proprieta invariantiva dei radicali

16. Come si puo ridurre piu radicali allo stesso indice?

17. A cosa “assomiglia” il metodo per ridurre piu radicali allo stesso indice?

Parafrafo 1.6

18. Cosa afferma il teorema della semplificazione di un radicale

19. Di quale proprieta e l’inverso la semplificazione?

Parafrafo 1.7

20. Come si effettua il prodotto fra 2 radicali aventi lo stesso indice?

21. Come si effettua il prodotto fra 2 radicali aventi indice diverso?

Parafrafo 1.8

22. Si puo portare fuori dal segno di radice un fattore avente esponente minore dell’indice?

Parafrafo 1.9

23. Quando 2 radicali si dicono simili?

24. Quando 2 radicali si possono sommare o sottrarre?

1.11 Esercizi

Parafrafo 1.2

Determinare le condizioni di esistenza dei seguenti radicali

1. 4√

5 − x;√

8x + 4; 3√

8x − 4




2. 8√

30x + 2; 7

8x+4x−2 ; 6

√ x

3. 8√

3 − 30x + 2; 7

8x+4x

; 5√

x

Parafrafo 1.4

Determina i seguenti radicali:

4. 3√

x3;

5√

x + y5

;√

72

5.

3√

a2b3

; 4

x4y4;√

72 · b2

6.

6√

a + x46

;√

x − 34y2

;√

64

Parafrafo 1.5

Completa le seguenti uguaglianze:

7. √ 3 = 6√ . . .;

4

√ 7 = 8√ . . .;

3

√ a = ...

√ a4

8. 5√

10 = 15√

. . .; 3√

1 = 30√

. . .;√

a3 = ...√

a9

9. 4√

0 = 16√

. . .; 9√

2 = 27√

. . .; 3√

a4 = ...√

a4

10.√

a + b = 6√

. . .; 4√

a − 2b = 8√

. . .; 3√

a + b = ...

(a + b)4

Porta allo stesso indice i seguenti radicali:

11.√

3; 4√

7; 8√

a

12. 3√

a2; 6√

a5; 9√

a

13. 12√ 2; 6√ 72;

3√ a5

14. 10√

32; 5√

x + 2; 10√

20

15. 6√

2a2b3; 3√

a2b; 12√

a + 3b3

16. 5√

x + 3; 10

√ x3;

15√

a7

17.

xy

;

2x7 ; 4

√ x

18.√

x + 3y; 4

x+12 ; 8

√ x − 10

19.

x+3yx−3y ; 4

√ 7; 4

√ 8x

Parafrafo 1.6

Semplifica i seguenti radicali

20. 6√

53; 12

√ a4;

9√

36

21. 10√

32; 12

√ 8a3; 10

x2

y4

22. 9

x3y9;

22√

a11;√

x2 + 4x + 4

23. 6

x8 + 2x7y + x6y2; 9

27a6

; 4√ 400




24. 6√

216a6; 12

√ a6b8; 20

√ 36

Parafrafo 1.7

Esegui le seguenti operazioni fra radicali

25. 3√

20

· 3 32 ; x+y

x−y

· (x−y)2

x+y ; x35 ·

3√

5

26.√

50 ·√ 2;

10xy

·

x2

5 ;

95 ·

59

27. 3√

a2b5 :√

ab2;

x+yx−y

:

(x+y)2

10 ;

1285 :

85

28. 3

2 + 5

2 · 3

169 ;

ab · 4

√ ab;

4√

a3 · 6√

a5

29. 3

20a

: 5

20a

; 4

x+yx−y

· √ 1;

x3

5 · 3√

0

30. 4√

a3 : 8√

a2; 5 x+y

x−y : 10 (x−y)2

x+y ; x3

y : 3 x

y

Esegui le seguenti espressioni

31. 3√

5 · 3

32 : 3

√ 5

32. 3

a+ba−b

: 6

a+b4 · 3

a−b2

33. 3√

2 · 4√

2 · 6√

2 · 12√

2

34. 3

a+ba

: 3

a−bb

: 6

b2(a+b)a2(a−b)

35. 4

√ 56 :√ 2 : 4

√ 736. 6

4x−4y9x : 3

2x−2y3x : 6

x2

37.

ab6 ·

√ 42 · 3

24b49

38. 6√

3x3 · 3

10x

: 3

5x

Parafrafo 1.8

Porta fuori, quando possibile, i fattori dal segno di radice

39. √ a5b; 5

√ a4b5c7; 3

x4

y2

z5

40.√

32; 3√

81;

9a2

8

41.

a5(a − 1)3; 3√

a13bc6;√

450

42.

18x2y; 5√

64a4b5; 3

x6y3

z9

43.

b100 ;

x2 + 2xy + y2; 3

125z5

44.

4

√ a5

b + a4

c; √ 9a + 9b − 9c; 3 x4y2−x4

y5




Parafrafo 1.9

Effettua le seguenti espressioni contenenti addizioni e sottrazioni fra radicali

45. 3√

7 + 2 3√

7; 5√

a − 7√

a; −3 5√

10 − 5√

10

46. 123√

7

−2 3√

7; 54

√ a

− 72

√ a;

−38

5√

10

− 18

5√

10

47. 3 3√ 7 − 7

2

√ a + 2

53√

7 + 5√

a − 7√

a

48. 3√

7 + 3√

56; 5√

4a − 7√

a; −3√

32 −√ 2

49. 3√

108 − 2 3√

32 + 13

3√

600

50.√

50 + 12

√ 72 + 1

3

√ 75 − 3

√ 2 +

√ 12

51.√

20 + 23

√ 45 + 2

5

√ 125 + 2

7

√ 245

52. 5√

64 +√

8 + 3√

16 + 4√

32

53. 7√ 128 + 2 6√ 64 + 3 5√ 32 + 4 4√ 16 + 5 3√ 8 + 6√ 4 + 7 1√ 254.

89 +

274 +

3225 +

2449




2.2 Casi Particolari

2.2.1 Equazioni di secondo grado pure

Consideriamo adesso il caso particolare in cui b = 0. Dalla forma normale scompare quindi il

secondo termine e rimane:ax2 + c = 0

Un’equazione di secondo grado di questo tipo si dice pura.

Per risolvere questo tipo di equazioni si procede nel seguente modo: si porta c al secondo terminecambiandogli il segno:

ax2 + c = 0 → ax2 = −c

dividiamo entrambi i termini per a:

ax2 = −c → a x2

a

= − c

a → x2 = − c

a

a questo punto conosciamo x2, ma a noi interessa trovare x, cioe vogliamo determinare quel numeroche elevato alla seconda e uguale a − c

a.

Dobbiamo quindi dividere 2 casi:

• se − ca

e minore di zero non esiste nessun numero che elevato alla seconda sia uguale a unnumero negativo e quindi, in questo caso, l’equazione non ha soluzioni.

• se −ca

e positivo allora esistono 2 numeri, uno opposto dell’altro, che elevati alla seconda sonouguali a −c

a. Tali numeri si trovano estraendo la radice quadrata di − c

a. Quindi le 2 soluzioni

sono x = + ca e x =

− ca

. In modo piu sintetico possiamo scrivere x =

± ca

.

Osservazione Nel primo caso, dal momento che l’equazione non ha soluzioni si dice che l’insiemedelle soluzioni e vuoto e si scrive S = ∅; mentre nel secondo caso si scriveS = {x ∈ R|x = − c

a, x = +

ca}

Esempi

Risolvere l’equazione 2x2 − 72 = 0

Si tratta di un’equazione di secondo grado pura con a = 2 e c = −72. Risolviamola:

2x2 − 72 = 0 → 2x2 = 72 → 22 x2 =

72 36

2 → x2 = 36

36 e un numero positivo e si puo quindi estrarre la radice quadrata ottenendo:

x = ±√

36 → x = ±6

quindi la soluzione e S = {x ∈ R|x = −6, x = 6} Risolvere l’equazione 3x2 + 12 = 0

Si tratta di un’equazione di secondo grado pura con a = 3 e c = 12. Risolviamola:

3x2 + 12 = 0 → 3x2 = −12 → 33 x2 = − 12 4

3 → x2 = −4




-4 e un numero negativo quindi non esistono soluzioni e si scrive S = ∅ Risolvere l’equazione 2x2 − 50 = −4

L’equazione non e in forma normale. Portiamola quindi in tale forma:

2x2

−50 =

−4

→ 2x2

−50 + 4 = 0

→ 2x2

−46 = 0

Si tratta di un’equazione di secondo grado pura con a = 2 e c = −46. Risolviamola:

2x2 − 46 = 0 → 2x2 = 46 → 22 x2 =

46 23

2 → x2 = 23

23 e un numero positivo e si puo quindi estrarre la radice quadrata ottenendo:

x = ±√

23

quindi la soluzione e S = {x ∈ R|x = −√ 23, x = +

√ 23}

In conclusione possiamo affermare che un’equazione di secondo grado pura o ha 2

soluzioni o non ne ha nessuna.

2.2.2 Equazioni di secondo grado spurie

Affrontiamo adesso il caso in cui c = 0 e quindi l’equazione di secondo grado si presenta nella forma:

ax2 + bx = 0

Osserviamo che i 2 monomi hanno in comune x che puo quindi essere messo a fattor comune

ottenendo:x(ax + b) = 0

Sappiamo gia che il prodotto di 2 fattori e zero se e soltanto se uno dei due fattori e zero. Quindiaffinche l’equazione sia verificata deve verificarsi che:

x = 0 oppure ax + b = 0

abbiamo quindi trasformato un’equazione di secondo grado in 2 equazioni di primo grado di cuiuna, x = 0, e gia risolta e l’altra ha soluzione:

ax + b = 0 → ax = −b → aa x = − b

a → x = − b

a

quindi S = {x ∈ R|x = 0, x = − ba}.

Possiamo quindi concludere che un’equazione spuria ha sempre due soluzioni di cui

una e sempre x = 0.

Esempio

Risolvere la seguente equazione: 3x2 + 11x = 0

Si tratta di un’equazione spuria con a = 3 e b = 11. Raccogliamo la x e otteniamo:

x(3x + 11) = 0

pertanto una soluzione e x = 0 e l’altra si ottiene risolvendo:

3x + 11 = 0 → 3x = −11 → 33 x = −11

3 → x = −11

3

quindi otteniamo S = {x ∈ R|x = 0, x = −113 }




2.2.3 Equazioni di secondo grado monomie

Quando si verifica che b = 0 e c = 0, siamo di fronte ad un’equazione monomia che si presentasotto la forma:

ax2 = 0

dividiamo entrambi i termini per a:

aa x2 =

0

a → x2 = 0

quindi la soluzione e data da quel numero che elevato alla seconda e uguale a zero. Ma l’uniconumero che elevato alla seconda e zero, e lo zero stesso. Quindi abbiamo che S = {x ∈ R|x = 0}.

Possiamo quindi concludere che un’equazione monomia ha un’unica soluzione che e

sempre x = 0.

Esempio

Risolvere −5x

2

= 0e un’equazione monomia pertanto l’unica soluzione e x = 0 quindi S = {x ∈ R|x = 0}.

2.3 Il caso generale

Veniamo adesso al caso generale quello in cui a, b e c sono tutti diversi da zero e quindi l’equazionesi presenta nella forma:

ax

2

+ bx + c = 0

Per arrivare alla formula generale sono necessari alcuni passaggi che sfruttano i principi di equiva-lenza validi per tutte le equazioni. Inizialmente moltiplichiamo ambo i termini per 4 a:

4a · (ax2 + bx + c) = 4a · 0 → 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0

Aggiungiamo b2 sia al primo che al secondo termine:

4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2

Portiamo il monomio 4ac a destra dell’uguale cambiandogli il segno:

4a2x2 + 4abx + b2 = b2 − 4ac

E notiamo che al primo termine abbiamo il quadrato del binomio 2 ax + b, quindi:

(2ax + b)2 = b2 − 4ac

Un quadrato e una quantita che non e mai negativa, quindi, affinche l’equazione abbia soluzionideve essere non negativa anche l’espressione b2−4ac. Per motivi che vedremo in seguito indichiamocon la lettera greca (delta) la quantita b2 − 4ac. Cioe:

= b2 − 4ac

Abbiamo quindi 3 casi possibili:

• se < 0 l’eguaglianza non e mai verificata e quindi l’equazione non ha soluzioni (e impossi-bile) e si indica S = ∅.




• se = 0 l’eguaglianza diventa(2ax + b)2 = 0

ma noi sappiamo che una potenza e zero se e soltanto se e zero la base, quindi:

(2ax + b)2 = 0

→ 2ax + b = 0

→ 2ax =

−b

→

2a

2a

x =

−

b

2a → x =

−

b

2a

quindi l’equazione ha un’unica soluzione S = {x ∈ R|x = − b2a}

• se > 0 allora per ricavarsi 2ax + b bisogna estrarre la radice come abbiamo fatto per leequazioni pure; quindi:

(2ax + b)2 = → 2ax + b = ±

portiamo allora b al secondo termine e dividiamo per 2a ottenendo:

2ax + b = ±

→ 2ax = −b ±

→ x = −b ± √

2a

Quindi l’equazione ha 2 soluzioni che si ottengono facendo precedere la radice una volta dalsegno meno e l’altra dal segno piu.

L’ultima formula che abbiamo trovato, che per la sua importanza riscriviamo di seguito, e chiamataformula risolutiva per le equazioni di secondo grado.

x = −b ± √

2a

Definizione di discriminante. La quantita b2 − 4ac che abbiamo indicato con la lettera greca prende il nome di discriminante. Il motivo di questo nome deriva dal fatto che “discrimina” il

numero di soluzioni di un’equazione. Infatti:

• se < 0 l’equazione non ha soluzioni

• se = 0 l’equazione ha un’unica soluzione x = − b2a

• se > 0 l’equazione ha 2 soluzioni che si determinano mediante la formula risolutiva delleequazioni di secondo grado.

Osservazione. Come vedremo in seguito e in future applicazioni spesso e conveniente interpretareil caso = 0 non come un’equazione che ha un’unica soluzione ma che ha 2 soluzioni uguali fraloro.

Convenzione Spesso il discriminante e chiamato piu semplicemente delta.

Esempi

Risolvere l’equazione 2x2 − 3x + 9 = 0




Osserviamo innanzitutto che l’equazione di secondo grado e in forma normale ed e completa. Ivalori dei parametri sono a = 2, b = −3 e c = 9. Calcoliamoci il discriminante:

= b2 − 4ac = (−3)2 − 4 · 2 · 9 = 9 − 72 = −63

Il discriminante e negativo e quindi l’equazione non ha soluzioni e si scrive: S =

∅ Risolvere l’equazione x2 − 7x + 10 = 0

Osserviamo innanzitutto che l’equazione di secondo grado e in forma normale ed e completa. Ivalori dei parametri sono a = 1, b = −7 e c = 10. Calcoliamoci il discriminante:

= b2 − 4ac = (−7)2 − 4 · 1 · 10 = 49 − 40 = 9

Il discriminante e positivo e quindi l’equazione ha 2 soluzioni che si determinano tramite la formularisolutiva:

x = −b ± √

2a =

7 ± √ 9

2 · 1 =

7 ± 3

2 → x =

7 − 3

2 = 2, x =

7 + 3

2 = 5

peranto S = {x ∈ R|x = 2, x = 5} Risolvere l’equazione x2 + 10x + 8 = 4x − 1

Osserviamo innanzitutto che l’equazione di secondo grado non e in forma normale. Portiamola intale forma:

x2 + 10x + 8 = 4x − 1 → x2 + 10x + 8 − 4x + 1 = 0 → x2 + 6x + 9 = 0

L’equazione e completa e i valori dei parametri sono a = 1, b = 6 e c = 9. Calcoliamoci ildiscriminante:

= b2 − 4ac = (6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0

Il discriminante e zero e quindi l’equazione ha un’unica soluzione che e

x = − b

2a = − 6

2 · 1 = −3

peranto S = {x ∈ R|x = −3}

Osservazione importantissima. In queso paragrafo e nel precedente, abbiamo visto che a se-

conda del tipo di equazione esiste una tecnica diversa per determinare le soluzioni. Questo puorendere difficile ricordare, a seconda dei casi, quale tecnica applicare. Fermo restando che le tec-niche indicate sono le piu efficaci nei vari casi, la formula risolutiva puo essere usata per

risolvere qualunque tipo di equazione di secondo grado. In altre parole, se ad esempiodobbiamo risolvere un’equazione spuria, usare la formula risolutiva non e la strada piu veloce maporta comunque al risultato giusto.

Verifichiamo quanto appena detto applicando la formula risolutiva a tutti gli esempi del precedente

paragrafo:Esempi

Risolvere l’equazione 2x2 − 72 = 0




E un’equazione di secondo grado con a = 2, b = 0 e c = −72. Calcoliamo il discriminante:

= b2 − 4ac = 02 − 4 · 2 · (−72) = −8 · (−72) = 576

Il discriminante e maggiore di zero, ci aspettiamo quindi 2 soluzioni che determiniamo tramite laformula risolutiva:

x = −b ± √

2a =

0 ± √ 576

2 · 2 =

±24

4 → x =

−24

4 = −6, x =

24

4 = 6

peranto S = {x ∈ R|x = −6, x = 6}. Si confronti tale soluzione con quella del medesimo esempiodel paragrafo 2.2.

Risolvere la seguente equazione: 3x2 + 11x = 0

E un’equazione di secondo grado con a = 3, b = 11 e c = 0. Calcoliamo il discriminante:

= b2 − 4ac = 112 − 4 · 3 · 0 = 121

Il discriminante e maggiore di zero, ci aspettiamo quindi 2 soluzioni che determiniamo tramite laformula risolutiva:

x = −b ± √

2a =

−11 ± √ 121

2 · 3 =

−11 ± 11

6 → x =

−22

6 = −11

3 , x =

0

6 = 0

peranto S = {x ∈ R|x = −113 , x = 0}. Si confronti tale soluzione con quella del medesimo esempio

del paragrafo 2.2.

Risolvere l’equazione x2 + 10x + 8 = 4x − 1

Portata in forma normale l’equazione diventa:

x2 + 6x + 9 = 0

L’equazione e completa e i valori dei parametri sono a = 1, b = 6 e c = 9. Calcoliamoci ildiscriminante:

= b2 − 4ac = (6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0

Il discriminante e zero e quindi l’equazione ha un’unica soluzione. Applichiamo la formula risolutiva:

x = −b ± √

2a =

−6 ± √ 0

2 · 1 =

−6

2 = −3

peranto S =

{x

∈R

|x =

−3

} che e lo stesso risultato ottenuto precedentemente.

2.4 La formula ridotta

Nel caso che il coefficiente b sia un numero pari, esiste una formula, detta formula ridotta, cheproviene dalla formula risolutiva delle equazioni di secondo grado. Il vantaggio di tale formula,rispetto a quella risolutiva, sta nel fatto che permette di trovare le soluzioni tramite calcoli pi usemplici.

Ricaviamoci allora tale formula che, come gia detto, funziona solo se b e un numero pari. Essendoun numero pari esiste un altro numero, chiamiamolo β (lettera greca che si legge beta), uguale allameta di b. Quindi b = 2β .




Scriviamo allora la formula risolutiva con 2β al posto di b. Il discriminante diventa:

= (2β )2 − 4ac = 4β 2 − 4ac = 4(β 2 − ac)

e la formula risolutiva:

x = −2β ± √

2a =

−2β ± 4(β 2 − ac)

2a =

possiamo portare il 4 fuori dalla radice e raccogliere il 2:

= −2β ± 2

β 2 − ac

2a =

2 (−β ±

β 2 − ac)

2 a =

−β ±

β 2 − ac

a

la formula ridotta e quindi:

x = −β ±

β 2 − ac

a

Osservazione Per la formula ridotta non serve calcolarsi il discriminante (cioe b2 − 4ac) ma esufficientamente calcolare la quantita β 2

− ac (indicata con l’espressione

4 perche equivale al

discriminante diviso 4)

Esempio

Risolvere l’equazione x2 + 8x − 33 = 0

b = 8 quindi β = 4 quindi:4

= β 2 − ac = 16 − 1 · (−33) = 49

applichiamo la ridotta:

x = −β ± β 2 − ac

a =

−4 ± √ 49

1 =

−4

±7 →

x = −

11; x = +3

quindi S = {x ∈ R|x = −11, x = 3}Risolviamo adesso lo stesso esercizio con la formula tradizionale:

= b2 − 4ac = 82 − 4 · 1 · (−33) = 64 + 132 = 196

applichiamo la formula risolutiva

x = −b ± √

2a =

−8 ± √ 196

2 =

−8 ± 14

2 → x =

−8 − 14

2 = − 22 11

2 = −11; x = −8 + 14

2 =

6 3

2 = +3

quindi si trovano le stesse soluzioni ma con calcoli piu difficili.

2.5 Relazione fra coefficienti e soluzioni di un’equazione di secon-

do grado

Come prevedibile esiste una relazione fra le soluzioni (chiamate anche radici) di un’equazione disecondo grado e i coefficienti dell’equazione stessa. Consideriamo tre casi a seconda che il

sia

maggiore, minore o uguale a zero.




• > 0. In questo caso l’equazione ha 2 soluzioni. Chiamiamole x1 e x2 per distinguerle fraloro. Sappiamo che:

x1 = −b − √

2a ; x2 =

−b +√

2a

Osserviamo adesso che la somma delle soluzioni e:

x1 + x2 = −b − √ 2a

+ −b + √ 2a

= −b − √ − b + √ 2a

= −2 b2 a

= − b

a

mentre il prodotto e:

x1 · x2 = −b − √

2a · −b +

√ 2a

= (−b − √ ) · (−b +

√ )

4a2

al numeratore c’e il prodotto di una somma per una differenza quindi:

(−b)2 − (√ )2

4a2 =

b2 − 4a2

= b2 − (b2 − 4ac)

4a2 =

b2 − b2 + 4ac

4a2 =

4a c

4 a2 =

c

a

Abbiamo quindi stabilito che, se x1 e x2 sono le due soluzioni di un equazione di secondogrado vale che:

x1 + x2 = − b

a; x1 · x2 =

c

a

• = 0. In questo caso abbiamo un’unica soluzione, o meglio, come abbiamo osservato inprecedenza, ne abbiamo 2 fra loro uguali. Continuiamo a chiamarle x1 e x2 con

x1 = x2 = − b

2a

Inoltre se

= 0 significa che b2

−4ac = 0 cioe b2 = 4ac. Quindi:

x1 + x2 = − b

2a − b

2a =

−2 b

2 a = − b

a

x1 · x2 = − b

2a · (− b

2a) =

b2

4a2 =

ma, dato che b2 = 4ac, possiamo sostituire 4ac a b2:

=4a c

4 a2 =

c

a

quindi anche nel caso

= 0 la somma e il prodotto delle soluzioni e uguale del caso

> 0.

• < 0 in questo caso non ci sono soluzioni quindi non ci puo essere alcuna relazione frasoluzioni e coefficienti.

Conoscere queste relazioni puo essere estremamente utile per risolvere il problema inverso a quelloche siamo soliti affrontare: generalmente viene assegnata un’equazione di cui bisogna determinarele soluzioni; supponiamo invece di dover risolvere il seguente:

Problema inverso. Dati 2 numeri determinare un’equazione di secondo grado che abbia tali nu-meri come soluzioni. Determinare un’equazione di secondo grado significa determinare i coefficientia, b e c.




Per risolvere questo problema risultano fondamentali le relazioni fra soluzioni e coefficienti, comesi vede dai seguenti:

Esempi

Determinare un’equazione di secondo grado che abbia come soluzione i numeri 3 e 5.

Risulta quindi che x1 = 3 e x2 = 5. Dal momento che x1 + x2 = − ba abbiamo che:

8 = − b

a → b

a = −8

Inoltre dato che x1 · x2 = ca

risulta che:

15 = c

a → c

a = 15

Dal momento che abbiamo 3 incognite e 2 sole equazioni possiamo dare ad una delle tre incogniteun qualunque valore. Scegliamo (come faremo sempre in questo tipo di problemi) a = 1, quindidalle precedenti relazioni si ricava:

b = −8; c = 15

quindi l’equazione cercata e: x2 − 8x + 15 = 0.

Verifichiamo che tale equazione abbia come soluzione proprio 3 e 5:

= b2 − 4ac = (−8)2 − 4 · 1 · 15 = 64 − 60 = 4

applicando la formula risolutiva otteniamo:

x = −b ± √

2a =

8 ± √ 4

2 =

8 ± 2

2 → x =

8 − 2

2 =

6 3

2 = 3; x = 8 + 2

2 =

10 5

2 = 5

che conferma che l’equazione trovata e quella che risolve il problema assegnato.

Determinare un’equazione di secondo grado che abbia come soluzione il numero −2.

Abbiamo gia osservato che un’unica soluzione puo essere vista come 2 soluzioni coincidenti. Quindix1 = x2 = −2. Da cui (ponendo sempre a = 1):

−4 = − b

1 → b = 4

Inoltre:4 =

c

1 → c = 4

quindi l’equazione cercata e: x2 + 4x + 4 = 0.

Verifichiamo che tale equazione abbia come soluzione proprio −2:

= b2 − 4ac = (4)2 − 4 · 1 · 4 = 16 − 16 = 0

applicando la formula risolutiva otteniamo:

x = −b ± √

2a =

−4 ± 0

2 =

−4 2

2 = −2

che conferma che l’equazione trovata e quella che risolve il problema assegnato.




2.6 Scomposizione di un trinomio di secondo grado tramite le

equazioni

Le equazioni di secondo grado risultano utili anche per la scomposizione di un trinomio di secondogrado. Ricordiamoci che scomporre un polinomio significa scriverlo come un prodotto di polinomi

di grado minore.

Come scomporre un trinomio di secondo grado tramite un equazione di secondo grado e sintetizzatodal seguente:

Teorema. Siano x1 e x2 le due soluzioni di un’equazione di secondo grado, allora il polinomioax2 + bx + c puo essere scomposto come:

ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)

si osservi che abbiamo scritto il trinomio di secondo grado come il prodotto di 2 binomi di primogrado e quindi lo abbiamo scomposto.

Dimostrazione: e sufficiente verificare l’uguaglianza del teorema.

a(x − x1)(x − x2) = a(x2 − x1x − x2x + x1x2) = a[x2 − (x1 + x2)x + x1x2]

ma abbiamo visto prima che x1 + x2 = − ba

e x1 · x2 = ca

. Sostituendo otteniamo:

a[x2− (x1 + x2)x + x1x2] = a[x2− (− b

a)x +

c

a] = a(x2 +

b

ax +

c

a) = ax2+ a · b

a x+ a c

a = ax2 + bx + c

che verifica l’uguaglianza.

Osservazione. Il teorema vale anche nel caso l’equazione di secondo grado abbia un’unica soluzione(o due coincidenti). In questo caso, dato che x1 = x2, si ottiene:

ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2) = a(x − x1)2

Osservazione. Se l’equazione di secondo grado non ha soluzioni allora il trinomio non e scompo-nibile e quindi e irriducibile.

Esempi

Scomporre il trinomio 2x2 − 4x − 30.

Risolviamo l’equazione associata: 2x2 − 4x − 30 = 0.

= b2 − 4ac = (−4)2 − 4 · 2 · (−30) = 16 + 240 = 256

x = −b

±

√

2a =

4

±

√ 256

4 =

4

±16

4 → x1 =

4

−16

4 = − 12 3

4 = −3; x2 =

4 + 16

4 = 20 5

4 = 5

Quindi la scomposizione risulta:

2x2 − 4x − 30 = 2(x + 3)(x − 5)




2. Stabilire i vincoli a cui deve sottostare l’incognita (ad esempio se deve essere intera, positiva,minore di qualcosa ecc.)

3. Impostare l’equazione risolutiva e risolverla

4. Verificare se la soluzione soddisfa i vincoli

Esempi

In un cinema tutte le file sono composte dallo stesso numero di sedie. Il numero di file e ugualeal numero di sedie per fila aumentato di 3 (in altre parole se ci fossero 10 sedie per fila le filesarebbero 13, oppure se ci fossero 15 sedie per fila le file sarebbero 18 e cosı via). In tutto il cinemaha 208 posti. Quante sedie ci sono per ogni fila?

1. L’incognita x e il numero di sedie per fila. Dal momento che il numero di file supera di 3 ilnumero di sedie per fila, il numero di file e x + 3

2. Vincoli: ovviamente x deve essere positivo e intero.

3. Impostiamo l’equazione risolvente: il numero di posti equivale al numero di sedie per fila (cheabbiamo chiamato x) moltiplicato il numero di file (x + 3). Dal momento che i posti totalisono 208 risulta che:

x · (x + 3) = 208

Cioex2 + 3x − 208 = 0

Risolviamola: = b2 − 4ac = (3)2 − 4 · 1 · (−208) = 9 + 832 = 841

x = −b±

√ 2a = −

3±

√ 832

2 = −3

±29

2 → x = −3

−29

2 = − 32 16

2 = −16; x = −3 + 29

2 = 26 13

2 = 13

4. Una soluzione e negativa e quindi non rispetta il vincolo mentre l’altra, 13 e positiva ed interae quindi soddisfa i vincoli e risolve il problema.

Il numero di sedie per fila e quindi 13.

Francesca vuole organizzare una festa di compleanno e invita un certo numero di ragazze/i.Ciascun invitato, a sua volta, invita lo stesso numero di persone che ha invitato Francesca (in altreparole se Francesca invita 10 persone, ciascuna di queste 10 persone ne invita altre 10 e cosı via.In questo caso abbiamo 10 persone invitate da Francesca piu 10

·10 = 100 persone invitate dagli

invitati). Alla fine, alla festa ci sono, compreso Francesca, 241 persone. Quante persone ha invitatoFrancesca?

1. L’incognita x e il numero di persone invitato da Francesca. Dal momento che ciascuno deglix invitati puo invitarne altri x gli invitati dagli invitati sono x2.

2. Vincoli: x deve essere positivo e intero.

3. Impostiamo l’equazione risolvente: alla festa ci sono gli invitati dagli invitati (che sono x2),gli invitati direttamente da Francesca (che sono x) e Francesca stessa. Dal momento che intutto alla festa ci sono 241 persone risulta che:

x2 + x + 1 = 241

Cioex2 + x − 240 = 0




Risolviamola: = b2 − 4ac = (1)2 − 4 · 1 · (−240) = 1 + 960 = 961

x = −b ± √

2a =

−1 ± √ 961

2 =

−1 ± 31

2 → x =

−1 − 31

2 =

− 32 16

2 = −16; x = −1 + 31

2 =

30 15

2 = 15

4. Una soluzione e negativa e quindi non rispetta il vincolo mentre l’altra, 15 e positiva ed interae quindi soddisfa i vincoli e risolve il problema.

Il numero di invitati direttamente da Francesca e quindi 15.

2.8 Domande

Paragrafo 2.1

1. Qual’e la forma normale di un’equazione di secondo grado?

Paragrafo 2.2

2. Quando un’equazione di secondo grado si dice pura?

3. Quali sono le soluzioni di un’equazione pura?

4. Quando un’equazione di secondo grado si dice spuria?

5. Quali sono le soluzioni di un’equazione spuria?

6. Quando un’equazione di secondo grado si dice monomia?

7. Quali sono le soluzioni di un’equazione monomia?

Paragrafo 2.3

8. Quanto e il discriminante di un’equazione di secondo grado?

9. Perche il si chiama discriminante?

10. Quante soluzioni ha un’equazione di secondo grado con il discriminante negativo?

11. Quante soluzioni ha un’equazione di secondo grado con il discriminante zero?

12. Quante soluzioni ha un’equazione di secondo grado con il discriminante positivo?

13. Scrivere la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado

Paragrafo 2.4

14. In quali casi puo essere usata la formula ridotta?

15. Scrivi la formula ridotta per risolvere un’equazione di secondo grado.




Paragrafo 2.5

16. Se il discriminante e maggiore di zero, a quanto equivale la somma delle soluzioni di un’equa-zione di secondo grado?

17. Se il discriminante e maggiore di zero, a quanto equivale il prodotto delle soluzioni di un’e-

quazione di secondo grado?

18. Le risposte precedenti valgono anche nel caso che il discriminante sia uguale a zero?

19. Le relazioni fra soluzioni e coefficienti sono utili per risolvere un problema inverso. Quale?

Paragrafo 2.6

20. Se x1 e x2 sono le due soluzioni di un’equazione di secondo grado, come si scompone untrinomio di secondo grado.

21. Se x1 e l’unica soluzione di un’equazione di secondo grado, come si scompone un trinomio di

secondo grado.22. Se il discriminante e negativo il trinomio di secondo grado puo essere scomposto?

23. Quale tecnica di scomposizione assomiglia a quella tramite le equazioni di secondo grado?

Paragrafo 2.7

24. Elenca i 4 passi per risolvere un problema tramite un’equazione di secondo grado

2.9 Esercizi

Paragrafo 2.1

Porta in forma normale le seguenti equazioni di secondo grado:

1. x2 + 2x + 3 = 8; 2x2 − 3x = 7 + 5x2 + 8x; 0 = x2 + 2x + 3

2. x(x + 4) + 2x − 3 = −18; −3x = 7(x + 1) + 5x2 + 8x; x2 − 2x = 4x2 − 2x + 3

3. 7(x + 5) + x2 + 2x − 10 = 8x2 + 25; −2x2 − 3(x − 5) = 7 + 4x2; −x − x2 = x2

4. x(2x + 4) + 5(2 − x) = 10 − x; 6x = 3(x2 − 5) − 4x; 2x2 = 0

Paragrafo 2.2

Risolvere le seguenti equazioni

5. x2 − 9 = 0; 5x = 2x2 2x2 + 50 = 0

6. x2 − 5x + 6 = 6(2x + 1); 4x2 − 9x = 0 2x2 + 50 − 8x = 2(25 − 4x)

7. 3x2 − 5(x − 6) = 30; 4x2 − 9 = 0 50x2 − 8x = 2x(3 − 4x)

8. x2 − 5x = 0; −8x2 + 32 = 0 2x2 + 50 = 2(25 − 4x) + 8x

9. 7x − 3x2

= 0; −3x2

− 48 = 0 4x2

+ 22x + 5 = 5(x + 1)

10. 4x2 − 1 = 0; 4x2 + 8 = 8 4x(x − 3) = 0

11. 3x + 2 = x(x + 3); 2x2 − 10 = 0 70x − 3(10x + 5) + x2 = −15




12. 4x2 − 16x = 0; 7x2 − 21 = 0 x = x2

13. 4(x2 − 3x) + 12x − 7 − 3x2 = 0; 5x + 21 = 3 − 7x2 + 5x 100 = x2

14. 2x2 − 9 = 0; 7(x2 − 3) + 21 = 0 x + 3 = x2 − 2x + 3

Paragrafo 2.3

15. x2 − 5x + 6 = 0; 4x2 − 9x = 0 2x2 + 50 − 7x = 2(25 − 4x) + 12

16. x2 − 7x + 12 = 0; 4x2 − 12x + 9 = 0 2x2 + x + 10 = 0

17. x2 − 5x + 6 = −5(x + 2); 4x2 − 3(x + 5) = −3x + 15 2x2 + 7x + 8 = 5

18. x2 − 6x + 6 = 0; 2x − 8 + x2 = 0 18x2 + 48x + 32 = 0

19. 2x2 − 5x − 7 = x2 + 1; −4x2 + 3x − 6 = 3(x − 5) x2 + 10 − 7x = 0

20. x2 + 11x + 18 = 0; −x2 + 5x − 6 = 0 3x(x − 2) + 9x = 18

21. 2x2

− 5x + 6 = 3(2 + x); x2

− 9x = 9(1 − x) 2x2

+ 3x + 3 = 1

22. x2 + 9x + 14 = 0; x2 − 4x + 4 = 0 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + x2 + x + 2x + 3x + 4x = 0

23. x2 + 2x − 14 = 1; x2 + x + 1 = 0 2x2 + 3x − 1 = 0

24. x2 + 5x + 6 = 0; 4x2 − 4x + 1 = 0 x2 + 11x − 10 = 2

25. x2 − 3x − 2 = 0; 4x2 − x + 2 = 0 x2 + 11x + 30 = x + 6

26. 3x2 − 5x − 2 = 0; 4x2 + x − 5 = 0 x2 − 10x + 9 = 0

27. x(x − 3) = 10; x2 − x = 0 x(x − 7) + 6 = −6

28. x + 2 = x2; 10x2 − 9x = 9x x2 + 5x + 4 = 0

29. x2 + 8x + 16 = 0; 3x2 − x + 1 = 0 x2 − 7x + 10 = 0

Paragrafo 2.4

Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado usando se possibile la formula ridotta:

30. x2 + 8x + 16 = 0; x2 − 4x + 1 = 0 x2 − 6x + 8 = 0

31. x2 + 12x + 20 = 0; 3x2 − 4x + 1 = 0 x2 + 2x + 1 = 0

32. x2

+ 8x + 3 = 0; x2

− 10x + 24 = 0 5x2

− 6x + 1 = 0

Paragrafo 2.5

Delle seguenti equazioni determinare, senza risolverle, quanto e la somma e il prodotto dellesoluzioni:

33. x2 + 8x + 16 = 0; 2x2 − 4x + 1 = 0 x2 − 6x + 8 = 0

34. 4x2 + 21x + 16 = 0; x2 − x − 1 = 0 2x2 − 8x + 3 = 0

35. x2 − 8x + 15 = 0; 3x2 − 6x + 8 = 0 6x2 − 12x − 9 = 0




Date le seguenti coppie di numeri o un numero solo, determinare le equazioni di secondo gradoche hanno tali numeri come soluzioni. Successivamente risolvi l’equazione per verificare diaver trovato l’equazione giusta:

36. (2; 3); (−1; 2); (5)

37. (10; −3); (−1; 4); (−2)38. (2; 1); (4; 0); (4)

39. (4; −3); (−2; 2); (0)

40. (1; −1); (1; 3); (1)

41. (−2; −5); (−4; −4); (−10)

Paragrafo 2.6

Scomponi tramite le equazioni i seguenti trinomi di secondo grado. Se non e possibile scrivi

irriducibile:

42. x2 + 8x − 20; 4x2 − 4x + 1 x2 − 6x + 8

43. x2 + 3x − 40; x2 + 3x + 6 5x2 − 6x + 1

44. 2x2 + 8x − 42; x2 − 2x + 1 3x2 − 7x + 4

45. x2 − 10x + 25; 4x2 + 7x + 3 x2 + 3x + 2

46. x2 + 2x + 5; 9x2 + 6x + 1 x2 − 4x − 32

47. x2 + 5x − 14; 2x2 − 9x + 9 x2 + x − 30

48. 3x2 + 8x + 4; x2 − 4x + 4 x2 + 5x + 4

2.10 Problemi

1. Una scuola ha tutte le classi formate dallo stesso numero di allievi. Il numero delle classisupera di 2 il numero di allievi per classe (per esempio se le classi fossero formate da 8 allievile classi sarebbero 10). In tutto gli allievi sono 255. Quanti allievi ha ciascuna classe?

2. Sommando la misura dell’area di un quadrato con quella del suo perimetro si ottiene 117.Quanto misura il lato di questo quadrato?

3. Un rettangolo di area 88 m2 ha un lato maggiore di 3 metri dell’altro. Quanto misurano ilati del rettangolo?

4. Per una manifestazione partono in pulman da firenze 1200 persone. Ogni pulman contiene lostesso numero di manifestanti e questo numero supera di 10 il numero complessivo di pulman.Quanti pulman ci sono in totale?

5. Quando Mario va al bar prende sempre la stessa cosa e spende sempre lo stesso prezzo. Allafine del mese di ottobre Mario si e accorto che e andato al bar tante volte quanti sono gli euroche spende ciascuna volta. In tutto, nel mese di ottobre, ha speso 81 euro. Quante volte eandato al bar in ottobre?

6 Una stanza e piastrellata con mattonelle quadrate Il numero delle righe e il triplo di quello

Radicali Equazioni secondo grado

Documents

Transcript of Radicali Equazioni secondo grado