Equazioni di secondo grado:

Presentazione di Bruno Jannamorelli Liceo Scientifico “E.Fermi” Sulmona

(AQ)

dai Babilonesi …

…ai banchi nostri.

Premessa:

Primi giorni di scuola, III Liceo Scientifico … x2 = 9 (x – 1)2 = 9

X2 – 2x +1 = 9X2 – 2x - 8 = 0 … e poi applico la formula! x2 + x + 1 >

0 < 0, a > 0, discordi …

 PROBLEMAPROBLEMA

Trovare due numeri conoscendone la somma

(o la differenza) e il prodotto

Esempio 1.

Trovare due numeri la cui somma è 18 e il cui prodotto

è 72

Interpretazione della soluzione dei babilonesi con l’uso della moderna simbologia:

Indichiamo i due numeri la cui somma è 18 con i simboli 9 – x , 9 + x .Si ha :

(9 + x)(9 – x) = 72 81 – x2 = 72 x2 = 9 vera se x = 3 o x = -3I due numeri richiesti

sono :9 + 3 = 12 e 9 – 3 = 6

a a - b

b

b

b

a - b

a b

a - b

b a - b

a - b

b b

b

a - b

a - b

(a + b)(a - b)a - b

b

b

b

a - b

a b

a - b

b a - b

a - b

b b

b

a - b

a - b

a - b

b

b

b

a - b

a b

a - b

b a - b

a - b

b b

b

a - b

a - b

a2 – b2

Esempio 2.

Trovare due numeri la cui differenza è 8 e il cui prodotto

è 20

Interpretazione della soluzione dei babilonesi con l’uso della moderna simbologia:

Indichiamo i due numeri la cui differenza è 8 con i simboli k + 4 , k - 4 .Si ha :

(k + 4) - (k – 4) = 8

k2 - 16 = 20 k2 = 36 vera se k = 6 o k = -6

I due numeri richiesti sono :6 + 4 = 10 e 6 – 4 = 2 (o i loro opposti)

(k + 4)(k – 4) = 20

Ricaduta didattica:

Radicali doppi

yxba

Problema:

Esistono due numeri reali positivi x , y tali che

?Eleviamo al quadrato

xyyxba 2Vera se:

4

bxy

ayx(sistema somma-prodotto)

Con lo stesso procedimento, i babilonesi risolvevano anche equazioni algebriche di secondo grado

Esempio 3.

Risolvere l’equazione : x2 + 8x = 20

L’equazione può essere scritta :x(x + 8) = 20

Se poniamo x + 8 = y si ha : y – x = 8 ,allora si devono trovare due numeri x , ytali che : y – x = 8 , xy = 20 .

(vedi Esempio 2) Metodo diofanteo (Diofanto di Alessandria III sec. d.C)

Esempio 4.

Risolvere l’equazione : 18x - x2 = 72

L’equazione può essere scritta :x(18 - x) = 72

Se poniamo 18 - x = y si ha : x + y = 18 ,allora si devono trovare due numeri x , ytali che : x + y = 18 , xy = 72 .

(vedi Esempio 1)

Esempio 5.

Risolvere l’equazione : 3x2 + 5x = 2

I babilonesi non dividevano per 3 per ottenere l’equazione

3

2

3

52 xx

Ma moltiplicavano per 3 ottenendo l’equazione : (3x)2 + 5(3x) = 6

ponendo 3x = z si ha :

z2 + 5z = 6

vera se z = 1 (o z = - 6) ,

per cui x = 1/3 (o x = - 2)

3x2 + 5x = 2

Numerazione posizionale sessagesimaledei babilonesi

Ambiguità della numerazione babilonese

Testo inciso sulla tavoletta d’argilla AO 8862 Base, altezza. Ho moltiplicato la base per l’altezza ed

ho trovato l’area. Ho poi addizionato la differenza tra la

base e l’altezza all’area trovando 183 [3;3].

Inoltre la somma tra la base e l’altezza è 27.

Calcolare la base, l’altezza e l’area.

Soluzione babilonese:

1. 27 + 183 = 210

2 2 + 27 = 29

3 29 : 2 = 14,5

4 14,5 x 14,5 = 210,25

5 210,25 – 210 = 0,25

6 5,025,0

7 14,5 + 0,5 = 15 (base)

8 14,5 – 0,5 = 14

9 14 – 2 = 12 (altezza)

10 15 x 12 = 180 (area)

Interpretazione della soluzione babilonese :

Sia x la base , y l’altezza:

183

27

yxxy

yx

Sostituisco la seconda equazione con la somma delle due equazioni:

27183

27

yxyxxy

yx

1. 183+27=210

2102

27

xxy

yx

2102

27

yx

yx

Aggiungo 2 a sinistra e a destra nella prima equazione :

2102

2722

yx

yx

2. 2+27 =29

Ottengo un nuovo sistema (somma-prodotto)

210

29

XY

YX

Con X = x , Y = y+2

Indico i due numeri la cui somma è 29 con 14,5 + k , 14,5 - k

(14,5 + k)(14,5 – k) = 210

210,25 – k2 = 210

K2 = 210,25 – 210 = 0,25

5,025,0 k

14,5 + 0,5 = 15 (base)

14,5 – 0,5 = 14

I due numeri sono:

14,5 – 0,5 = 14

14,5 + 0,5 = 15

X = x = 15 Y = y +2 = 14

x = 15 (base) y = 14 – 2 = 12 (altezza)

al-Khuwarizmi

Hisab al-jabr w’al-muqabala

Prima metà del IX secolo

al-jabr (restaurazione):

Addizionare o moltiplicare la stessa quantità

al-muqabala (riduzione):

Sottrazione di quantità uguali

4a equazione di al-Khuwarizmi:

Risolvete mal (quadrati) e 10 radici uguale a 39.

x2 + 10x = 39

1. Dividete per due il numero (coeff.) delle radici: risultato 5.

2. Moltiplicate 5 per se stesso: risultato 25.

3. Addizionate 25 a 39: risultato 64.

6439255 2 x

4. Prendete la radice quadrata di 64: risultato 8.

5. Sottraete da 8 il risultato dato al passo 1: soluzione 3.

85 x

358 x

Veniva ignorata la radice negativa

1358 x

Al-Khuwarizmi

Abbiamo detto abbastanza,

per quanto riguarda i numeri, sui sei tipi di

equazione. Ora è necessario

dimostrare geometricamente la verità degli stessi

problemi che sono stati spiegati con i numeri.

x

x

2x

x2x

x

5

5

5x

5x

X2 + 10x = 39

Per completare il quadrato si deve aggiungere un quadrato di lato 5.

x 5

5 25

x

X2 + 10x +25= 39 + 25 = 64

645 2 x

Thabit ibn Qurra (836-901 d.C):

Kitab filtatli listikhrag amal al-masail handasiya (Sulla soluzione corretta di problemi algebrici con metodi geometrici)

مروان بن قرة بن ثابت

ษาบิ�ต อิ�บินู กูรอิ(Thabit Ibn Qurra) 836-901(256-321 H)

bx

.GBA

F

H

xD C

x

b

x2

Euclide, Elementi, (libro II, Prop.5, Prop. 6)22

2

2

1

2

1

bcbbxx

Problema di applicazione delle aree per eccesso (iperbolico)

22

2

1

2

1

bcbx

2

2

1

2

1

bcbx

2

2

1

2

1

bcbx

Ricadute didattiche: Risolvi la disequazione: 012 xx

Disegna la parabola d’equazione:

12 xxy

Calcola l’integrale: dx

xx 1

12

Disegna la conica d’equazione: 09644 22 yxyx

Applicando il metodo del completamento del quadrato le risposte ai quesiti precedenti diventano più semplici, meno insidiose, più popolari…

Le nozioni che si

potevano offrire con luminosa chiarezza

venivano date oscure,

contorte, imbrogliate, come per via

di veri e propri

indovinelli.

Jan Amos Komensky ( Comenius) 1592-1670