Geometria analitica piana

1. La geometria analitica

Il metodo della geometria analitica consiste nell’applicare gli strumenti dell’algebraallo studio della geometria. Il legame tra enti algebrici ed enti geometrici è stabil-ito mediante il concetto di misura, che permette di associare numeri a grandezzegeometriche (in particolare, lunghezze).Tramite misure di lunghezza, è noto che i numeri si possono rappresentare su una

retta orientata su cui si siano fissati un punto O ed un segmento scelto come unità dimisura:

In tale rappresentazione, i numeri razionali non “coprono” tutta la retta, sulla qualerestano “buchi” non occupati da alcun numero razionale. Ricorrendo ai numeri ir-razionali, si stabilsce invece una corrispondenza biunivoca tra R e la retta: ad ogninumero reale corrisponde un punto sulla retta e, viceversa, ogni punto sulla rettarappresenta un numero reale.Fissate nel piano due rette perpendicolari orientate, che costituiscono un cosid-

detto riferimento cartesiano, un analogo procedimento

consente di stabilire una corrispondenza biunivoca tra punti del piano e coppie ordinatedi numeri reali. Di conseguenza, ogni punto risulta “etichettato” da una coppiaordinata di numeri, detti coordinate cartesiane del punto, e si potrà quindi parlare

dell’uno parlando dell’altra, identificando cioè ogni punto con la coppia delle propriecoordinate. Le coordinate di un generico punto P sono di solito indicate con x e y el’identificazione si esprime scrivendo P (x, y).

N.B. La coppia di numeri (x, y) è ordinata, nel senso che è importante distinguerladalla coppia (y, x) in cui i numeri x e y sono scritti in ordine inverso.

La prima coordinata di un punto P è detta ascissa di P , la seconda è detta ordinatadi P ; di conseguenza, le rette del riferimento cartesiano fissato, che sono dette assi diriferimento (o assi cartesiani o assi coordinati), si distinguono in asse delle ascisse(o asse x) e asse delle ordinate (o asse y).I quattro angoli in cui gli assi di riferimento dividono il piano sono detti quad-

ranti.

Il punto O di incontro degli assi di riferimento viene chiamato origine del riferimentoed ha coordinate entrambe nulle: O (0, 0).

L’introduzione di coordinate nel piano ha importanti conseguenze.

• Molte grandezze geometriche possono esprimersi in termini di coordinate medi-ante formule algebriche:

— la distanza d (P1, P2) tra due punti P1 (x1, y1) e P2 (x2, y2), che è definitacome la lunghezza del segmento P1P2, è data da

d (P1, P2) = (x2 x1)2+ (y2 y1)

2

— il punto medio M del segmento che unisce i punti P1 (x1, y1) e P2 (x2, y2),che è definito come il punto di tale segmento equidistante dai suoi estremi,ha coordinate

xM =x1 + x22

e yM =y1 + y22

.

• Insiemi di punti possono essere descritti descrivendo le loro coordinate. Inquest’ottica, acquistano rilevanza i cosiddetti luoghi geometrici, ossia gli in-siemi di punti le cui coordinate soddisfano una certa proprietà (detta proprietàcaratteristica del luogo); tipicamente, la proprietà caratteristica di un luogo èun’equazione contenente le coordinate: il luogo corrispondente è allora l’insiemedi tutti e soli i punti le cui coordinate sono soluzione dell’equazione.

M.Guida, S.Rolando, 2008

2. La retta

Una qualsiasi equazione di 1 grado nelle incognite x e y

ax+ by + c = 0 con a e b non entrambi nulli (2.1)

rappresenta una retta nel piano e, viceversa, ogni retta del piano è rappresentata daun’equazione di 1 grado nelle incognite x e y. A seconda del valore dei coe cientia, b, c si ottiene una retta piuttosto che un’altra.Per disegnare una retta sono su cienti due suoi punti: nota l’equazione della retta,

è allora su ciente determinarne due soluzioni; ad esempio, se

r : 6x 3y = 1

allorax y = 2x 1

3

0 1/31 5/3

i punti P 0, 13 e Q 1, 53 appartengono ad r.

• La retta (2.1) è parallela all’asse y se e solo se b = 0, mentre è parallela all’assex se e solo se a = 0; inoltre, passa per l’origine O (0, 0) se e solo se c = 0.La bisettrice dei quadranti I e III ha equazione y = x, mentre la bisettrice deiquadranti II e IV ha equazione y = x.

• Se una retta non è parallela all’asse y, la sua equazione (2.1) può essere esplic-itata rispetto a y (in quanto deve essere b = 0) e scritta quindi nella formaesplicita

y = mx+ q

che ha rilevanza per il significato assunto dai coe cienti m e q:

— m è detto coe ciente angolare della retta e misura la sua inclinazionerispetto all’asse x; più precisamente, si ha

m = tan

dove è l’angolo antiorario che la retta forma con il semiasse positivo delleascisse

— q è detto ordinata all’origine e coincide con l’ordinata del punto in cuila retta interseca l’asse x.

3

È naturale aspettarsi che parallelismo e perpendicolarità tra due rette possanoessere espressi in termini dei loro coe cienti angolari, in quanto essi ne carat-terizzano l’inclinazione. In e etti, si dimostra che due rette y = m1x + q1 edy = m2x+ q2 sono

— parallele se e solo se hanno lo stesso coe ciente angolare, ossia

m1 = m2

— perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coe cienti angolari vale 1,ossia

m1 =1

m2.

• La retta passante per il punto P0 (x0, y0) ed avente coe ciente angolare m haequazione

y y0 = m (x x0) . (2.2)

• La retta passante per i due punti P1 (x1, y1) e P2 (x2, y2) ha equazione

y y1 =y2 y1x2 x1

(x x1) (2.3)

se x2 = x1 (altrimenti, si tratta della retta x = x1, parallela all’asse y).

• La distanza del punto P0 (x0, y0) dalla retta r : ax+ by+ c = 0 è la distanza traP0 ed il punto di intersezione tra r e la retta perpendicolare ad r passante perP0 (proiezione ortogonale di P0 su r) e risulta data da

d (P0, r) =|ax0 + by0 + c|

a2 + b2.

Esempio Si voglia determinare l’equazione della retta parallela alla bisettrice deiquadranti II e IV e passante per il punto P (1, 2).La bisettrice y = x ha coe ciente angolare m = 1, che è anche il coe cienteangolare di qualunque retta ad essa parallela. La retta di cui dobbiamo determinarel’equazione ha dunque coe ciente angolare m = 1 e passa per il punto P (1, 2). Laformula (2.2) con x0 = 1 e y0 = 2 fornisce allora

y ( 2) = (x 1)

y + 2 = x+ 1

y = x 1.

Esempio Si voglia scrivere l’equazione della retta r passante per i punti P1(1, 1)e P2(5, 2), verificando poi se R(9, 5) e Q(2, 1) appartengono ad r.

4

Dalla formula (2.3) con x1 = 1, y1 = 1, x2 = 5 ed y2 = 2, si ottiene subito

y + 1 =2 + 1

5 1(x 1)

y =3

4(x 1) 1

y =3

4x

7

4.

Dunque un punto P (x, y) appartiene ad r se e solo se le sue coordinate (x, y) soddis-fano tale equazione. In particolare, R(9, 5) appartiene ad r perché 5 = 3

4974 , mentre

Q(2, 1) non appartiene ad r perché 1 = 342

74 =

14 .

3. Le coniche (reali non degeneri)

Si chiamano coniche reali non degeneri le curve che si ottengono intersecando unasuperficie conica con un piano non passante per il suo vertice.

ellisse (reale non degenere) parabola (non degenere) iperbole (non degenere)

Ogni conica reale non degenere è rappresentata da un’equazione di 2 grado nelleincognite x e y

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+Ey + F = 0,

la quale individua un’ellisse (eventualmente una circonferenza), una parabola o un’iper-bole a seconda del valore dei coe cienti A,B,C,D,E,F . Il viceversa non è vero intermini di coniche reali non degeneri1 .Nel seguito richiameremo solo alcuni casi particolari, quasi tutti rappresentati

da equazioni prive del termine misto, e sottintenderemo che tutte le coniche di cuiparliamo sono reali e non degeneri, evitando di specificarlo ogni volta.

1ma sarebbe vero considerando anche coniche degeneri e coniche a punti immaginari, di cui nonci occupiamo

5

4. Intersezione di curve

Le soluzioni del sistema tra le equazioni di due o più curve coincidono con le coordinatedi tutti e soli i punti di intersezione di tali curve. Infatti, risolvendo il sistema, sideterminano le coppie (x, y) che soddisfano tutte le sue equazioni, cioè le coordinatedi quei punti che appartengono a tutte le curve considerate.

5. La circonferenza

I luoghi geometrici rappresentati da equazioni di 2 grado del tipo

x2 + y2 + ax+ by + c = 0 cona2

4+b2

4c > 0 (5.1)

sono circonferenze, e viceversa.Infatti la circonferenza di centro C ( , ) e raggio R > 0 è per definizione il luogo

dei punti P (x, y) tali che d (P,C) = R, ossia

(x )2 + (y )2 = R2 (5.2)

che, a conti fatti, equivale a

x2 + y2 2 x 2 y + 2 + 2 R2 = 0

che è della forma (5.1). Viceversa, una qualsiasi equazione del tipo (5.1) si riporta alla(5.2) con il cosiddetto metodo del completamento del quadrato (che è utile in numerosealtre situazioni): ad esempio, l’equazione

x2 + y2 2x+ y 1 = 0 (per cui( 2)2

4+12

4( 1) =

9

4> 0)

equivale a

x2 2x + y2 + 21

2y 1 = 0

x2 2x+ 1 1 + y2 + 21

2y +

1

4

1

41 = 0

x2 2x+ 1 1 + y2 + 21

2y +

1

4

1

41 = 0

(x 1)2 + y +1

2

2

=9

4

e rappresenta quindi la circonferenza di centro C 1, 12 e raggio R = 9

4 =32 .

Più in generale si verifica che la circonferenza (5.1) ha centro C e raggio R dati da

C a2 ,

b2 ed R = a2

4 +b2

4 c .

Si noti che

6

• la circonferenza (5.1) passa per l’origine O (0, 0) se e solo se c = 0;• x2 + y2 = 1 rappresenta la circonferenza con centro nell’origine e raggio 1.

Osserviamo infine che, se a2

4 +b2

4 c = 0, allora il luogo geometrico di equazionex2 + y2 + ax+ by + c = 0 si riduce al solo punto a

2 ,b2 (circonferenza degenere).

Se invece a2

4 +b2

4 c < 0, allora l’equazione x2 + y2 + ax+ by + c = 0 è impossibile.

6. Parabole con asse parallelo agli assi coordinati

I luoghi geometrici rappresentati da equazioni di 2 grado del tipo

y = ax2 + bx+ c con a = 0 (6.1)

sono parabole con asse parallelo all’asse delle ordinate2, e viceversa.

• La parabola (6.1) ha uno dei seguenti andamenti

a seconda del segno del coe ciente a = 0.

• Il sistemay = ax2 + bx+ cx = 0

ha sempre l’unica soluzione (0, c), che rappresenta quindi il punto di intersezionedella parabola (6.1) con l’asse delle ordinate x = 0.

• Data la parabola P : y = ax2 + bx+ c, le eventuali soluzioni del sistemay = ax2 + bx+ cy = 0

rappresentano le possibili intersezioni tra P e l’asse delle ascisse y = 0; si trattaquindi di studiare l’equazione ax2+bx+c = 0, il cui discriminante = b2 4ac

2 ogni parabola ammette una retta come asse di simmetria, detto asse della parabola

7

viene anche detto discriminante di P, e si potranno allora presentare le seguentisituazioni:

< 0 no intersezioni

= 0 1 intersezione

> 0 2 intersezioni

• L’asse della parabola (6.1) ha equazione

x =b

2a

mentre il punto V di intersezione tra parabola ed asse ha coordinate

Vb

2a,4a

e viene detto vertice della parabola.

• La parabola y = ax2 + bx + c passa per l’origine O (0, 0) se e solo se c = 0,mentre ha il vertice sul’asse y se e solo se b = 0.

Stabilito (in base al segno di a) da che parte rivolge la propria concavità, per diseg-nare una parabola ci si accontenta in genere di posizionarne il vertice e le eventualiintersezioni con gli assi coordinati.

6.1. Parabole con asse parallelo all’asse delle ascisse

I luoghi geometrici rappresentati da equazioni di 2 grado del tipo

x = ay2 + by + c con a = 0 (6.2)

8

sono parabole con asse parallelo all’asse delle ascisse, e viceversa. Esse hannouno dei seguenti andamenti:

con asse e vertice dati da

y = b2a e V 4a ,

b2a .

I ragionamenti circa le intersezioni della parabola (6.2) con gli assi coordinati siripetono in modo analogo.

6.2. La parabola come luogo geometrico

Si dimostra che ogni parabola è il luogo dei punti P (x, y) equidistanti da un punto F(fuoco della parabola) e da una retta d (direttrice della parabola).

Per parabole (6.1) risulta

Fb

2a,1

4ae d : y =

1 +

4a,

mentre per parabole (6.2) si ha

F1

4a,

b

2ae d : x =

1 +

4a.

9

7. Ellisse con assi paralleli agli assi coordinati

I luoghi geometrici rappresentati da equazioni di 2 grado del tipo

(x x0)2

a2+(y y0)

2

b2= 1 (ovviamente con a, b = 0) (7.1)

sono ellissi con assi paralleli agli assi coordinati e centro C (x0, y0)3, e viceversa.Per disegnare l’ellisse (7.1) è su ciente posizionarne gli assi x = x0 e y = y0 e

tenere presente il significato dei parametri a e b (che possono sempre essere sceltipositivi), detti semiassi dell’ellisse.

I punti di intersezione tra l’ellisse (7.1) ed i propri assi x = x0 e y = y0 hannocoordinate

V1 (x0 + a, y0) , V2 (x0 a, y0) , V3 (x0, y0 + b) , V4 (x0, y0 b)

e sono detti vertici dell’ellisse.

• Per riconoscere se un’equazione di 2 grado rappresenta un’ellisse può esserenecessario ricorrere al metodo del completamento del quadrato; ad esempio, l’e-quazione

x2 + 4y2 2x+ 24y + 33 = 0

equivale a

x2 + 4y2 2x+ 24y + 33 = 0

x2 2x + 4 y2 + 6y + 33 = 0

x2 2x+ 1 1 + 4 y2 + 6y + 9 9 + 33 = 0

x2 2x+ 1 1 + 4 y2 + 6y + 9 36 + 33 = 0

(x 1)2 + 4 (y + 3)2 = 4

(x 1)2

1/4+ (y + 3)

2= 1

3 ogni ellisse ammette una coppia di rette ortogonali come assi di simmetria, dette assi dell’ellisse,il cui punto di intersezione è detto centro dell’ellisse

10

che rappresenta l’ellisse di assi x = 1 e y = 3, e semiassi a = 1/2 e b = 1.

• x2 + y2 = 1 con , > 0 è un’ellisse riferita ai propri assi (ossia gli assidell’ellisse coincidono con gli assi di riferimento) e quindi con centro nell’origine;in particolare, si tratta dell’ellisse di semiassi a = 1 e b = 1 .

• Se a = b, l’ellisse (7.1) è in particolare una circonferenza.

7.1. L’ellisse come luogo geometrico

Si dimostra che ogni ellisse è il luogo dei punti P (x, y) per i quali la somma delledistanze da due punti F1, F2 (fuochi dell’ellisse) è costante.

Posto c = |a2 b2|, se a > b l’ellisse (7.1) ha fuochi F1 (x0 c, y0) ed F2 (x0 + c, y0),mentre se a < b risulta F1 (x0, y0 c) ed F2 (x0, y0 + c).

a > b

a < b

8. Iperbole con assi paralleli agli assi coordinati

I luoghi geometrici rappresentati da equazioni di 2 grado del tipo

(x x0)2

a2(y y0)

2

b2= 1 (a, b = 0) (8.1)

11

oppure

(x x0)2

a2(y y0)

2

b2= 1 (a, b = 0) (8.2)

sono iperboli con assi paralleli agli assi coordinati e centro C (x0, y0)4, eviceversa.I due rami delle iperboli (8.1) e (8.2) hanno rispettivamente gli andamenti riportati

delle seguenti figure:

4 ogni iperbole ammette una coppia di rette ortogonali come assi di simmetria, dette assi del-l’iperbole, il cui punto di intersezione è detto centro dell’iperbole

12

in cui sono evidenziati anche i relativi asintoti5 e le loro equazioni (dove si è fatta lascelta, sempre possibile, di a e b positivi).Per disegnare un’iperbole è su ciente posizionarne gli asintoti ed eventualmente

i vertici, che sono i punti comuni all’iperbole ed all’unico dei suoi due assi che lainterseca (asse trasverso). Come si verifica facilmente, l’iperbole (8.1) ha vertici

V1 (x0 + a, y0) e V2 (x0 a, y0) ,

mentre i vertici dell’iperbole (8.1) sono

V1 (x0, y0 + a) e V2 (x0, y0 a) .

• Per riconoscere se un’equazione di 2 grado rappresenta un’iperbole può esserenecessario ricorrere almetodo del completamento del quadrato, come per le ellissi.

• x2 y2 = 1 e x2 y2 = 1 con , > 0 sono iperboli riferite ai propri assie quindi con centro nell’origine; in particolare, si tratta delle iperboli di verticiV1 (1/ , 0) , V2 ( 1/ , 0) e V1 1/ , 0 , V2 1/ , 0 , rispettivamente, easintoti y = ± / x.

• Un’iperbole è detta equilatera se e solo se ha asintoti perpendicolari. Quindi,in particolare, le iperboli (8.1) e (8.2) sono equilatere se e solo se a = b (nel qualcaso hanno per asintoti le bisettrici dei quadranti).

8.1. L’iperbole come luogo geometrico

Si dimostra che ogni iperbole è il luogo dei punti P (x, y) per i quali la di erenza delledistanze da due punti F1, F2 (fuochi dell’iperbole) è costante.

5 ogni iperbole ammette una coppia di rette, detti asintoti dell’iperbole, che si incontrano nelsuo centro ed alle quali, intuitivamente parlando, i rami dell’iperbole si avvicinano indefinitamente,senza raggiungerle

13

I fuochi di un’iperbole appartengono sempre al suo asse trasverso (detto per questoanche asse focale) ed in particolare, posto c = a2 + b2, l’iperbole (8.1) ha fuochiF1 (x0 c, y0) ed F2 (x0 + c, y0), mentre i fuochi dell’iperbole (8.2) sono dati daF1 (x0, y0 c) ed F2 (x0, y0 + c).

9. Iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi coordinati

I luoghi geometrici rappresentati da equazioni di 2 grado equivalenti a equazioni deltipo

y =ax+ b

cx+ dcon c = 0 e ad = bc (9.1)

sono iperboli equilatere con asintoti paralleli agli assi coordinati e centroC d

c ,ac (dette anche funzioni omografiche), e viceversa.

Per disegnare un’iperbole riferita ai propri asintoti ci si accontenta di solito disapere che essa ha uno dei seguenti andamenti, a seconda dei coe cienti a, b, c, d :

ad < cb ad > cb

Volendo essere più precisi, si può tenere presente che gli assi dell’iperbole (9.1) pas-sano per C e sono paralleli alle bisettrici dei quadranti, mentre i vertici si trovanonaturalmente all’intersezione dell’iperbole con il proprio asse trasverso. Ad esempio

y =2x

2x 1

è l’iperbole equilatera di centro C 12 , 1 , asintoti x =

12 e y = 1, assi y = x + 1/2 e

y = x+ 3/2 (si usi la formula (2.2)) e vertici dati dalle soluzioni di

y = 2x2x 1

y = x+ 12

y = 2x2x 1

2x2x 1 = x+

12

y = 2x2x 1

4x (2x+1)(2x 1)2(2x 1) = 0

y = 2x2x 1

4x2 4x 1 = 0,

cioè V1 1 + 2 /2, 2 + 2 /2 e V2 1 2 /2, 2 2 /2 .

Notevole caso particolare di iperbole equilatera (9.1) è y = kx con k = 0, cioè

xy = k con k = 0,

14

che è un’iperbole riferita ai propri asintoti (ossia ha gli assi coordinati come asintoti)ed ha quindi l’origine come centro e le bisettrici dei quadranti come assi.

k > 0 k < 0

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