I SISTEMI LINEARII SISTEMI LINEARI

EQUAZIONE LINEARE A DUE INCOGNITE

Sia

ax+by=c

con a e b non entrambi nulli, un’equazione lineare nelle incognite x,y.

La coppia (x,y) di valori che verifica l’equazione è detta soluzione dell’equazione.

, ,a b c R

Indica due numeri la cui somma è

cinque

X+y=51 e 4

3 e2

3,2 e 1,8

0 e 5

-1 e 6

L’equazione x+y=5 è soddisfatta da infinite coppie di valori

… …

Ogni equazione lineare in due incognite ammette infinite soluzioni.

Ci poniamo il seguente problema: è possibile trovare soluzioni comuni a due equazioni lineari? Questo problema è formalizzato dal

sistema di equazioni

Due sistemi si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.

Una coppia ordinata (h,k) che soddisfa ciascuna delle equazioni del sistema è detta soluzione del sistema.

1 1 1

ax by c

a x b y c

I SISTEMI LINEARII SISTEMI LINEARIUn sistema lineare è l’intersezione di due o più equazioni di primo grado. in simboli:

Risolvere un sistema significa determinare l’insieme delle sue soluzioni.

Si dice che un sistema è:

IMPOSSIBILE se non ha soluzioni ; DETERMINATO se ha una soluzione; INDETERMINATO se ha un numero infinito di soluzioni.

1 11

, , 0 0

ax by c

a x b y c

a b c Ra b

Se un’equazione di un sistema viene sostituita da un’equazione ad essa equivalente, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.

Se si risolve un’equazione rispetto ad una incognita e si sostituisce l’espressione ottenuta nell’altra equazione ,si ottiene un sistema equivalente a quello dato.

Se si sostituisce un’equazione di un sistema con un’altra ottenuta da una combinazione lineare delle equazioni del sistema stesso, si ottiene un sistema equivalente al sistema dato.

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA di un sistema lineare

y

x

r s

r s

y

x P=r∩s r=s Ø

SistemaDeterminat

o(rette

incidenti)

SistemaIndetermina

to(rette

coincidenti)

SistemaImpossibile

(rette parallele)

y

x

P

r

s

Metodi algebrici per risolvere

un sistema lineare

Metodo di sostituzione

Metodo delconfronto

Metodo diriduzione

Metodo di Cramer

Metodo grafico

(fai clic sulle parole per la spiegazione del metodo)

METODO DI METODO DI SOSTITUZIONESOSTITUZIONE

Per risolvere un sistema di due o più equazioni lineari si devono seguire i seguenti passi:

1. Si riduce il sistema a forma normale;

2. Si risolve una delle due equazioni rispetto ad una delle incognite,

per esempio si calcola la x dalla prima equazione:

3. Si sostituisce nell’altra equazione al posto della “x” l’espressione –by+c

a

4. Si risolve l’equazione lineare in y e, detto y=β il valore trovato,si sostituisce tale valore nella prima equazione per determinare il valore numerico di x.

111 cxbxa

cbyax

111 cybxaacby

aax

111 )( cyba

cbya

a

cbyx

ya

c

a

bx )(

METODO DEL CONFRONTO

1. Si deve scegliere la stessa incognita sia nella prima che nella seconda equazione;

2. Uguagliare le due espressioni al secondo membro;

3. Risolvere l’equazione che si presenta con una sola incognita.

4. Si ripete la stessa procedura scegliendo l’altra incognita in entrambe le equazioni e si ripercorrono i passi 1,2,3.

1

11

a

cyb

a

cby

a x

a

1

by c

a

a

1

x

a

1 1

1

b y c

a

METODO DI RIDUZIONE METODO DI RIDUZIONE

Spiegheremo il metodo di riduzione con un esempio. Analizziamo il seguente sistema:

074y2x

065y2x

In questo sistema l’incognita x presenta coefficienti opposti nelle due equazioni, per cui sommandole membro a membro si riducono ad un’equazione in y.

Analogamente è possibile eliminare l’incognita y moltiplicando la prima equazione per 4 e la seconda per 5

01

0742

0652

y

yx

yx

Y= -1

0352010

024208

yx

yx

-2x // -11=0 X=11/2

In generale, per risolvere un sistema lineare mediante il metodo di riduzione:

Determinare il m.c.m. dei coefficienti della x nelle due equazioni;

Dividere tale m.c.m. per il coefficiente della x della prima equazione e,successivamente, moltiplicare il quoto ottenuto per tutti i termini della prima equazione;

Dividere il m.c.m. determinato per il coefficiente della x della seconda equazione eMoltiplicare il quoto ottenuto per tutti i termini della seconda equazione;

Verificare che i coefficienti di x siano uguali e di segno contrario, altrimenti cambiare di segno a una delle due equazioni;

Addizionare le equazioni termine a termine;

Determinare il valore di y;

Ripetere i passi precedenti per la variabile y.

RISOLUZIONE GRAFICA

r

x y

0 2

-2 0

s

x y

0 5

2 5

Sia da risolvere il seguente sistema:2

5 2.5 12.5

x y

x y

1. Disegnare la retta a :x-y=-2

Disegnare la retta b:-5x-2.5y=-12.5

METODO DI METODO DI CRAMERCRAMER

Per prima cosa si deve costruire una matrice: entità matematica costituita da un insieme di numeri, disposti ordinatamente secondo righe e colonne.

Poi si deve trovare il determinante: si moltiplicano i termini della diagonale principale e si sottrae il prodotto dei termini della diagonale secondaria.

Successivamente cerchiamo il determinante dell’incognita X e Y

Infine il valore di ciascuna incognita è uguale a una frazione avente al numeratore il determinante di quell’incognita e al denominatore il determinante del sistema.

11 ba

ba

111 cxbxa

cbyax

)()( 11

11

abbaba

baD

)()( 11

11

cbbcbc

bcDx

)()( 11

11

accaca

caDy

D

Dyy

DDx

x

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Santa Castaldi

Anno Scolastico 2007/2008