1 LA RETTA Forma generale dellequazione della retta: ax+by+c=0 Dove :
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1 LA RETTA • Forma generale dell’equazione della retta: • ax+by+c=0 • Dove : A B y y a B A x x b B A B A y x x y c
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LA RETTA
• Forma generale dell’equazione della retta:
• ax+by+c=0
• Dove :
AB yya
BA xxb
BABA yxxyc
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LA RETTA
• Forma esplicita dell’equazione della retta:
• È possibile dividere entrambi i membri dell’equazione generale della retta per b se
•
• ovvero se
• ovvero se la retta non è verticale!
• Il risultato che si ottiene è:
0 BA xxb
BA xx
a
cx
b
ay
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LA RETTA
• Ponendo:
• Si ottiene:
y=mx+q
• Chiamata equazione esplicita della retta.
b
am
b
cq
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LA RETTA• Il punto Q di intersezione della retta con l’asse delle ordinate
(la sua esistenza è garantita dall’ipotesi che la retta non è verticale!) ha ascissa 00 e ordinata q. q.
Infatti : se x=0 allora y=m 0 + q =q
q prende il nome di intercetta sull’asse yintercetta sull’asse y.
• Il coefficiente di x viene denominato coefficiente angolarecoefficiente angolare e risulta uguale al valore della tangente trigonometrica dell’angolo che la retta forma con il verso positivo dell’asse x.
tan
AC
CB
xx
yy
xx
yy
b
am
AB
AB
BA
AB
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LA RETTA
• Si consideri un’impresa che presenta costi fissi pari a
• e costi variabili unitari costanti pari a . La funzione dei costi totali assume la forma:
• y = m x + q
• Avendo indicato i costi totali con y, i costi fissi con q e i costi variabili unitari con m.
fC
uvC
fuvT CxCC
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LA RETTA
• Se il prezzo unitario di vendita del prodotto è costante e pari a allora la funzione dei ricavi totali si scrive :
y = m x
Come si può notare l’intercetta sull’asse y è nulla. In effetti se non si vende nulla non si ricava nulla!
up
xpR uT
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LA RETTA• La funzione dei guadagni totali è definita come la differenza tra i ricavi totali e i
costi totali:
• Il punto E, intersezione tra la retta dei costi e la retta dei ricavi, viene chiamato punto di pareggio o break even point (BEP)
fuvuTTT CxCpCRG )(
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LA RETTA
• Esempio 3.1 – Si consideri un’impresa che produce casseforti da muro. I costi fissi ammontano a 20.000€, mentre i costi variabili unitari (materie prime, mano d’opera) per produrre una cassaforte sono pari a 50€. Il prezzo al quale una cassaforte è venduta è fissato in 160€.
•
000.2050 xCT
xRT 160
000.20110 xGT
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LA RETTA
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LA RETTA
• Le 3 proprietà del coefficiente angolare.Le 3 proprietà del coefficiente angolare.
• P1) Se il coefficiente angolare mr della retta r è positivo la
retta è crescente; se mr è negativo la retta è decrescente; se
mr è zero la retta è orizzontale.
• P2) Se il coefficiente angolare mr della retta r è maggiore
del coefficiente angolare ms della retta s, allora la retta r
cresce più rapidamente della retta s.• P3) Il coefficiente angolare indica la variazione che subisce
l’ordinata di un punto mobile sulla retta quando si aumenta di 1 unità l’ascissa.
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LA RETTA
P1) Se il coefficiente angolare mr della retta r è positivo la
retta è crescente; se mr è negativo la retta è decrescente; se
mr è zero la retta è orizzontale.
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LA RETTA
• P2) Se il coefficiente angolare mr della retta r è maggiore
del coefficiente angolare ms della retta s, allora la retta r
cresce più rapidamente della retta s.
ssm tan
rrm tan
r s r sx
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LA RETTA
P3) Il coefficiente angolare indica la variazione che subisce l’ordinata di un punto mobile sulla retta quando si aumenta di 1 unità l’ascissa.
Infatti :
Se si considera:
allora :
BA
AB
xx
yy
b
am
AB
AB
xx
yy
1 AB xx
AB yym
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LA RETTA
• Le rette sono crescenti perché i coefficienti angolari (rispettivamente 50; 160; 110) sono >0.
• Il coefficiente angolare della retta dei ricavi totali (=160) è maggiore del coefficiente angolare della retta dei costi totali (=50) per cui, anche se in corrispondenza di x=0 i costi sono maggiori dei ricavi, per la proprietà 2 i ricavi raggiungono i costi ( in x= 181,82) e poi li superano.
• Se si considera una produzione di x= 200 unità • i costi totali sono pari a 30.000€• I ricavi totali sono pari a 32.000€• I guadagni totali sono pari a 2.000€
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LA RETTA
• Se si aumenta di 1 il numero delle unità prodotte ( ovvero da 200 si passa a 201) allora le funzioni di costo, ricavi e profitti assumono i valori:
• Costi totali 30.050
• Ricavi totali 32.160
• Guadagni totali 2.110
• L’aumento in ogni funzione è pari al valore del rispettivo coefficiente angolare (=50; =160; =110).
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LA RETTA
• Rette parallele e perpendicolari
• Parallele se
• Perpendicolari se
• In quest’ultimo caso si ha:
• In corrispondenza si ha:
sr mm
sr m
m1
90sr
ssr cos90sinsin ssr sin90coscos s
r
tan
1tan
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LA RETTA
• Intersezione tra due rette
• Sia:
• Il punto di pareggio (che esiste per la proprietà 2 dei c.a.) si ottiene risolvendo il sistema
• La soluzione è data dalla coppia (x=20, y=400)
20010 xCT
xRT 20
xy
xy
20
20010
