GEOMETRIA NELLO SPAZIO - scamat.it · il vertice e la base. Piramide retta Una piramide si dice...

LEZIONI GEOMETRIAwww.scamat.it/lezioni

pag. 1

GEOMETRIA NELLO SPAZIO

1. Sintesi geometria piana

Il punto, ente privo di dimensioni La retta, ente con una sola dimensione Il piano, ente con due dimensioni

a) Punto e retta sul piano◦ Per un punto passano infinite rette◦ per due punti passa una ed una sola retta◦ per tre punti allineati passa una ed una sola retta◦ per tre punti non allineati passano tre rette

b) Rette sul piano◦ Due rette sul piano sono parallele se non hanno punti in comune◦ Due rette sul piano sono incidenti se hanno un punto in comune◦ Due rette sul piano sono sovrapposte se hanno almeno due punti in

comune.

c) Parti di retta◦ Semiretta : ciascuna delle due parti di una retta delimitata da un

punto detto origine ◦ Segmento : parte di retta delimitata da due punti detti estremi

d) Parte di piano◦ Angolo : ciascuna delle due parti di piano delimitata da due semirette

aventi l'origine in comune. ▪ L'origine in comune è detto vertice, la dimensione è detta

ampiezza.▪ Angolo retto, angolo acuto, angolo ottuso, angolo piatto, angolo

giro, angolo concavo, angolo convesso ◦ Poligono : parte di piano delimitata da una spezzata chiusa non

intrecciata.▪ Ciascun segmento della spezzata è detto lato. ▪ La parte di poligono delimitata da due lati consecutivi è un

angolo interno.▪ La parte di piano delimitata da un lato e dal prolungamento del

suo consecutivo è un angolo esterno. ▪ Poligono concavo se ha almeno un angolo concavo

http://www.scamat.it/lezioni


pag. 2

2. Punti, rette, piani nello spazio

2.1.Piani nello spazio

I piani si indicano con una lettera dell’alfabeto greco.

a) Per un punto nello spazio passano infiniti piani

b) Per una retta nello spazio passano infiniti piani, fascio di piani

c) Per individuare un piano nello spazio è necessario avere:

tre punti non allineati

una retta e un punto non appartenente ad essa

due rette incidenti o due rette parallele

2.2.Punti e piani nello spazio

a) Per un punto nello spazio passano infiniti piani.

b) Per due punti nello spazio passano infiniti piani.

c) Per tre punti non allineati nello spazio passa uno ed un solo piano.

d) Per una retta nello spazio passano infiniti piani, fascio di piani

2.3.Rette nello spazio

a) Per una retta nello spazio passano infiniti piani.

b) Per due rette nello spazio passa uno ed un solo piano.

c) Per una retta nello spazio ed un punto ad essa non appartenente passa uno ed un solo piano.

d) Due rette nello spazio possono appartenere

a piani diversi e si dicono sghembe

allo stesso piano e si dicono complanari



pag. 3

e) Due rette complanari possono essere

parallele se non hanno punti in comune

incidenti se hanno un punto in comune

coincidenti se hanno tutti i punti in comune

f) Data una retta e un piano, la retta può essere

appartenente al piano se tutti i suoi punti appartengono al piano

secante al piano se ha un punto in comune con il piano

parallela al piano se tutti i suoi punti sono equidistanti dal piano

perpendicolare al piano se tutte le rette del piano sono perpendicolari alla retta data

N.B. Perché una retta sia perpendicolare ad un piano è sufficiente che due rette del piano siano perpendicolari alla retta data.

2.4. Relazione fra due piani nello spazio

a) Due piani nello spazio possono essere:

b) incidenti se hanno una retta in comune

c) paralleli se non hanno alcun punto in comune

d) coincidenti se hanno tutti i punti in comune



pag. 4

2.5.Semipiano

Una retta divide un piano a cui essa appartiene in due semipiani. La retta è l’origine dei semipiani.

Si dice semipiano ciascuna delle due parti di un piano delimitato da una retta, detta origine.

2.6.Angolo diedro

a) Diedro o angolo diedro

Angolo diedro o diedro: ciascuna delle due parti dello spazio delimitato da due semipiani aventi l'origine in comune: i due semipiani si dicono facce, la retta in comune si dice spigolo.

Il diedro è convesso se non contiene il prolungamento delle facce, si dice concavo se contiene il prolungamento delle facce.

Sezione normale del diedro: angolo che si ottiene intersecando un diedro con un piano perpendicolare allo suo spigolo.

Ampiezza del diedro : è la misura dell'ampiezza della sua sezione normale

a) Diedro acuto, retto, ottuso : la sua sezione normale è un angolo acuto, retto o ottuso

b) Diedri consecutivi : due diedri aventi una faccia e lo spigolo in comune



pag. 5

c) Diedri adiacenti : due diedri consecutivi che hanno le due facce non comuni opposte.

d) Semipiano bisettore : semipiano che uscendo dallo spigolo del diedro lo divide in due diedri congruenti

e) Piani perpendicolari : due piani che dividono lo spazio in quattro diedri congruenti ciascuno avente la sezione normale di 90°.

2.7. Piani perpendicolari e paralleli

Due piani sono perpendicolari se si incontrano formando quattro diedri rettiDue piani sono paralleli se non si incontrano.

2.8. Angoloidi L'angoloide la parte di spazio limitata da tre o più angoli piani aventi lo stesso vertice, posti in piani differenti e tali che ognuno dei lati sia comune a due angoli.

a) Vertice dell'angoloide : il vertice in comune fra gli angoli

b) Facce dell'angoloide : ciascuna angolo c) Spigoli dell'angoloide : ciascun lato in

comune fra due facce consecutive d) La somma degli angoli di vertice delle

facce è sempre minore di un angolo giro.

e) Angoloide convesso è quello che non contiene il prolungamento degli spigoli, concavo quello che contiene il prolungamento degli spigoli.



pag. 6

2.9. Poliedri

Un solido è una figura che occupa uno spazio a tre dimensioni: larghezza, profondità e altezza.

In un solido l'area della superficie totale è la misura della superficie che lo racchiude, il volume è la misura dello spazio occupato.

Il poliedro è un solido la cui superficie è costituita da poligoni situati su piani diversi, ma in modo che ogni lato sia comune a due dei poligoni.

• Faccia (f) è ogni singolo poligono

• Spigolo (s) è ciascun lato comune a due facce

• Vertice (v) è ciascun punto comune con almeno tre facce.

In un poliedro si verifica la seguente relazione s + f = v+2

Un poliedro è regolare quando:

• le facce sono poligoni regolari congruenti fra loro

• i suoi diedri sono congruenti

• gli angoloidi sono congruenti Le facce di un poliedro regolare possono essere:

• max 5 per vertice se triangolari

• max 3 per vertice se quadrate

• max 3 per vertice se pentagonali

2.10. Prismi

Un prisma è un poliedro con due facce uguali e parallele (basi) mentre le altre facce sono parallelogrammi.

Un prisma se ha gli spigoli laterali perpendicolari alle basi e le facce laterali rettangolari si dice prisma retto.

Un prisma retto avente come base un poligono regolare è detto regolare.



pag. 7

a) Prisma retto

Un Prisma è retto se gli spigoli laterali sono perpendicolari alla base e le facce laterali sono tutti rettangoli.

In un prisma si chiama:

• altezza (h) la distanza fra le due basi

• perimetro di base (p) la misura del perimetro di una base

• superficie di base (Sb) la misura della superficie della base

• superficie laterale (Sl) la misura della superficie delle facce laterali

• superficie totale (St) l'insieme della superficie laterale e delle due basi

• volume (V) la misura dello spazio occupato Formule

S l=ph S t=S l+ 2Sb V=S bh

altezza



pag. 8

2.11. Parallelepipedo

Il parallelepipedo è una prisma che ha per basi due parallelogrammi.

• Un parallelepipedo è obliquo le sei facce sono parallelogrammi

• Un parallelepipedo è retto se le facce laterali sono rettangoli

• Un parallelepipedo retto è rettangolo se le due basi sono rettangoli

a) Parallelepipedo rettangolo

In un parallelepipedo rettangolo:

• le facce che non hanno spigoli in comune sono dette facce opposte

• gli spigoli o i vertici che non appartengono alla stessa faccia sono detti spigoli o vertici opposti

S t=2(ab+ bc+ ac)

S l=2c (a+ b)Sb=ab p=2(a+ b)d=√a2+ b2+ c2

V=abc



pag. 9

• i segmenti che uniscono due vertici opposti sono dette diagonali del parallelepipedo

• i tre spigoli aventi in comune un vertice sono dette dimensioni:◦larghezza, a◦profondità, b◦altezza, c

Osservazioni

In un parallelepipedo se

• Raddoppio una dimensione il volume raddoppia, se triplico una dimensione il volume triplica, …

• Raddoppio due dimensioni il volume quadruplica, se triplico due dimensioni il volume aumenta di 9 volte, ….

• Raddoppio le tre dimensioni il volume aumenta di 8 volte, se triplico le tre dimensioni il volume aumenta di 27 volte, ….

S t=2(ab+ bc+ ac)

S l=2c (a+ b)Sb=ab p=2(a+ b)d=√a2+ b2+ c2

V=abc



pag. 10

2.12. Cubo

Il cubo è un parallelepipedo avente come facce 6 quadrati.

• Il cubo ha gli spigoli congruenti

• Il cubo è un prisma regolare

In un cubo se

• Raddoppio, triplico, ... lo spigolo il volume aumenta 8 volte, 27 volte, …

Se un parallelepipedo e un cubo sono equivalenti, il cubo ha la superficie totale minore

d=l √3 p=4l S b=l2 S l=4l 2 S t=6l2

V l=l3



pag. 11

2.13. Piramide

La piramide è un poliedro delimitato da un poligono (base) e da triangoli (facce laterali) aventi un vertice in comune (vertice della piramide).

L'altezza di una piramide è la distanza fra il vertice e la base.

Piramide retta

Una piramide si dice retta se la base è circoscrittibile.

In una piramide retta

• l'altezza è compresa fra il vertice e il centro della circonferenza inscritta alla base.

• Le facce hanno l'altezza congruente, detta apotema della piramide.

• La base di una piramide retta può essere qualsiasi triangolo, un rombo, un quadrilatero circoscrittibile (la somma dei lati opposti congruente). Qualsiasi poligono poligono circoscrittibile.

Formule di una piramide rettaH= raggio o apotema di base (r)VH= altezza (h)

VM= apotema (a)1

Piramide regolareUn piramide retta è regolare se ha la base regolare. Una piramide regolare ha le facce congruenti.

1Il volume di una piramide è un terzo del volume di un prisma avente la stessa base e la stessa altezza.

S l=pa2

Sb=pr2 S t=

pa2

+ S b V=Sbh3



pag. 12



pag. 13

2.14. Cilindro

Il cilindro retto è il solido che si ottiene facendo ruotare un rettangolo di un giro completo attorno a un suo lato.

• L'asse del cilindro è la retta che comprende il lato attorno a cui ruota il rettangolo

• L'altezza del cilindro la distanza fra le due basi

• Il raggio del cilindro è il raggio della base (l'altro lato del rettangolo)

• Generatrice è il lato del rettangolo che ruota e che descrive la superficie laterale del cilindro.

Il cilindro è equilatero se l'altezza è uguale al diametro ed inscrittibile in un cubo avente lo spigolo uguale al diametro.

p= circonferenza (AA')

Sb = area del cerchio

Sl= area rettangolo



pag. 14

Formule cilindro retto

Sb=π r2

S l=ph=2 π rh

S t=S l+ 2Sb=2π rh+ 2 π r2

V=S bh=π r2h

Formule cilindro equilatero

Sb=π r2

S l=ph=2 π r (2r)=4π r2

S t=4π r2+ 2π r 2=6π r 2

V=π r 2h=2π r3

Osservazioni

1. Facendo ruotare un rettangolo o rispetto la base o rispetto l'altezza

• cambiano il raggio, l'altezza, il perimetro di base, l'area di base, l'area totale e il volume del cilindro

• non cambia l'area laterale

• il rapporto fra i volumi è uguale al rapporto fra l'altezza e il raggio (V1 : V2 = h : r).

• Il rapporto fra il volume di un cilindro equilatero e il cubo circoscritto è V ci=

π4V cu



pag. 15

2.15. Cono

Il cono retto è il solido che si ottiene facendo ruotare un triangolo rettangolo di un giro completo attorno a un suo cateto.

• L'asse del cono è la retta che comprende il cateto attorno a cui ruota il triangolo

• Il vertice del cono è il vertice dell'angolo acuto sull'asse di rotazione

• L'altezza del cono è la distanza fra il vertice e la base

• Il raggio del cono è il raggio della base (l'altro cateto triangolo)

• L'apotema del cono è l'ipotenusa del triangolo

• Generatrice è l'ipotenusa del triangolo rettangolo che ruota e che descrive la superficie laterale del cilindro.

Il cono è equilatero se l'apotema è uguale al diametro (il triangolo rettangolo è la metà di un triangolo equilatero).

p= circonferenza di raggio r o arco di raggio a (l' angolo dell'arco è il doppio dell'angolo del triangolo di vertice V)

Sl= Superficie del settore circolare

Formule cono retto

Sb=π r2

S l=pa2=π ra

S t=S l+ S b=π ra+ π r2=2π r (a+ r )

V=Sbh3

=π r2h

3



pag. 16

2.16. Sfera

La sfera è il solido che si ottiene facendo ruotare un semicerchio di un giro completo attorno a un suo cateto.

La superficie sferica è l'insieme dei punti dello spazio equidistanti dal centro della sfera.

Formule sfera

S=4π r 2

V=43π r3

N.B.Due solidi sono equivalenti se hanno lo

stesso volume

Ricorda

Peso specifico

Densità (g/cm3 ; kg/dm3 )

Pressione (atm, g/cm², pascal)

Un corpo immerso in un liquido affornda se la sua densità è maggiore di quella del liquido, galleggia se la sua densità è minore di quella del liquido.

Se un corpo non affonda, la parte immersa nel liquido è:

h= altezza corpo

valore in percentuale

ps=PV

δ=MV

p= PS b

liquido solido

h

liquido solido

x100


GEOMETRIA NELLO SPAZIO - scamat.it · il vertice e la base. Piramide retta Una piramide si dice...

Documents

Transcript of GEOMETRIA NELLO SPAZIO - scamat.it · il vertice e la base. Piramide retta Una piramide si dice...