Problemi di geometra solida sulla piramide con risoluzione · Una piramide retta a base...

3D Geometria solida – Piramide - 1

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Problemi di geometra solida sulla piramide con risoluzione

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1. Una piramide regolare quadrangolare ha lo spigolo di base lungo 20 cm e l’altezza misura 24 cm. Calcola l’area della superficie totale, il volume e il suo peso sapendo che è fatta di sughero (p.s. = 0,25 g/cm3).

2. Una piramide retta a base quadrangolare ha il perimetro di base di 120 cm e ha una altezza di 20 cm. Sapendo che la piramide è di alluminio (ps = 2,7 g/cm3),

calcolane la sua superficie totale, il volume e il peso.

3. Una piramide retta a base quadrangolare ha la superficie di base di 576 cm2 e l’altezza pari ai 2/3 dello spigolo di base. Calcola il volume e il peso del solido

sapendolo fatto di gesso (2 g/cm3).

4. In una piramide quadrangolare regolare il perimetro di base è di 72 cm. Calcola

la misura della superficie totale della piramide e il suo peso sapendo che la sua altezza è di 40 cm e che è fatta di vetro (ps = 2,5 g/cm3).

5. Il perimetro di base e l’altezza di una piramide che ha per base un triangolo

equilatero misurano rispettivamente 81 cm e 21 cm. Calcola la superficie totale della piramide.

6. Una piramide quadrangolare regolare è alta 52 cm e ha l’apotema di 48 cm. Calcola la misura dell’area totale della piramide, il suo volume e il suo peso sapendo che è fatta di gesso (ps 2,3 g/cm3).

7. Una piramide quadrangolare regolare, la cui apotema è 13/24 dello spigolo di base, ha l’area di base pari a 2304 cm2. Calcola la misura dell’area totale della

piramide, il suo volume e il suo peso sapendo che il peso specifico del materiale di cui è fatta è di 9 g/cm3.

8. Un quadrato ha il lato che misura 14 cm ed è la base di una piramide di marmo

(p.s. 2,8 g/cm3) la cui altezza misura 24 cm. Calcola: a) la misura del perimetro e dell’area del quadrato;

b) il volume e il peso della piramide; c) l’area della superficie totale della piramide; d) l’area della superficie totale del parallelepipedo rettangolo equivalente alla

piramide e avente le dimensioni di base di 8 cm e 28 cm.

9. Calcola la misura della superficie totale di una piramide regolare a base

quadrata di sughero (p.s. 0,25 g/cm3) che pesa 4800 g e che ha un’altezza di 9 cm.

10. Calcola la misura della superficie totale di una piramide regolare a base esagonale di sughero (p.s. 0,25 g/cm3) che pesa 2700 g e che ha un’altezza di 12

cm.

11. Una piramide retta ha per base un trapezio isoscele il cui perimetro è 200 cm.

Il trapezio è circoscritto ad un circonferenza lunga 48 𝜋 𝑐𝑚. Sapendo che l’area

della superficie totale della piramide è 5000 cm2, calcola il volume del solido.

12. Una piramide regolare quadrangolare ha l’area di base che misura 900 cm2 e

l’altezza che misura 112 cm. Calcola l’area della superficie totale, il volume e il suo peso sapendo che è fatta di zinco (ps 7,1).

13. Un solido è composto da due piramidi rette aventi la base in comune; questa è un rombo che ha il perimetro di 180 cm e una diagonale lunga 72 cm. Sapendo che gli apotemi delle due piramidi misurano ambedue 36 cm calcola il volume del

solido.




14. Una piramide regolare quadrangolare ha l’area di base che misura 256 m2 e l’altezza che misura 31,5 m. Calcola l’area della superficie totale, il volume e il suo

peso sapendo che è fatta di zinco (ps 7,1).

15. Una piramide regolare quadrangolare ha il perimetro di base che misura 40 dm e l’altezza che misura 9 dm. Calcola l’area della superficie totale, il volume e il suo

peso sapendo che è fatta di sughero (ps 0,25).

16. La Piramide di Zoser (Saqqara), a 6 gradoni di granito, ha base rettangolare

(121 m per 109 m) ed è alta 60 m. Calcola la superficie totale, il volume e il peso (ps 2,3 – valore del calcare) di una piramide con queste caratteristiche.

17. Una piramide retta a base quadrangolare ha il perimetro di base di 72 cm e ha

un peso di 11664 g. Sapendo che la piramide è di alluminio (ps = 2,7 g/cm3), calcolane la sua superficie totale e il volume.

18. Una piramide retta a base quadrangolare ha la superficie di base di 576 cm2 e una superficie laterale di 720 cm2. Calcola il volume e il peso del solido sapendolo

fatto di gesso (2 g/cm3).

19. Una piramide retta a base quadrangolare ha la superficie di base di 1764 cm2 e l’altezza pari a 28 cm. Calcola il volume e il peso del solido sapendolo fatto di un

materiale che ha un peso specifico di 0,8 g/cm3.




Soluzioni

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Una piramide regolare quadrangolare ha lo spigolo di base

lungo 20 cm e l’altezza misura 24 cm. Calcola l’area della superficie totale, il volume e il suo peso sapendo che è fatta di sughero (p.s. 0,25).

𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑠𝑝𝑖𝑔𝑜𝑙𝑜𝑏𝑎𝑠𝑒 = 20 𝑐𝑚 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎 = 𝑕 = 24 𝑐𝑚

𝑝𝑠𝑠𝑢𝑔𝑕𝑒𝑟𝑜 = 0,25𝑔

𝑐𝑚3

𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = ? V = ? Peso =?

Supbase = l2 = 202 = 400 cm2

aquadrato =l

2=

20

2= 10 cm

a = h2 + aquadrato2 = 242 + 102 = 676 = 26 cm

Suplaterale = pbase ∙ a = 20 ∙ 2 ∙ 26 = 1040 cm2 Suptotale = Supbase + Suplaterale = 400 + 1040 = 1440 cm2

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 =𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎

3=

400 ∙ 24

3= 400 ∙ 8 = 3200 𝑐𝑚3 = 3,2 𝑑𝑚3

𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 3200 ∙ 0,25 = 800 𝑔

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Una piramide retta a base quadrangolare ha il perimetro di

base di 120 cm e ha una altezza di 20 cm. Sapendo che la piramide è di alluminio (ps = 2,7 g/cm3), calcolane la sua

superficie totale, il volume e il peso.

𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 2𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 = 120 𝑐𝑚 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎 = 20 𝑐𝑚

𝑝𝑠𝑎𝑙𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = 2,7𝑔

𝑐𝑚3

𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = ? V = ? Peso =?

lbase =2p

4=

120

4= 30 cm

Supbase = l2 = 302 = 900 cm2

aquadrato =l

2=

30

2= 15 cm

a = h2 + aquad .2 = 202 + 152 = 400 + 225 = 625 = 25 cm

Suplaterale = pbase ∙ a =120

2∙ 25 = 60 ∙ 25 = 1500 cm2

Suptotale = Supbase + Suplaterale = 900 + 1500 = 2400 cm2


3=

900 ∙ 20

3= 300 ∙ 2 = 6000 𝑐𝑚3 = 6 𝑑𝑚3

𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 6 ∙ 2,7 = 16,2 𝑘𝑔

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Una piramide retta a base quadrangolare ha la superficie di

base di 576 cm2 e l’altezza pari ai 2/3 dello spigolo di base. Calcola il volume e il peso del solido sapendolo fatto di gesso

(2 g/cm3).

Piramide retta a base quadrangolare 𝑆𝑏 = 576 𝑐𝑚2

𝑕 =2

3 𝑙𝑎𝑡𝑜𝑏𝑎𝑠𝑒

𝑙 = 𝑆𝑏 = 576 = 24 𝑐𝑚

𝑕𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 =2

3𝑙 =

2

3∙ 24 = 2 ∙ 8 = 16 𝑐𝑚

𝑉 =𝑆𝑏 ∙ 𝑕

3=

576 ∙ 16

3=

192 ∙ 16

1= 3072 𝑐𝑚3

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In una piramide quadrangolare regolare il perimetro di base è di 72 cm. Calcola la misura della superficie totale della

piramide e il suo peso sapendo che la sua altezza è di 40 cm e che è fatta di vetro (ps = 2,5 g/cm3).

𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 2𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 = 72 𝑐𝑚 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎 = 40 𝑐𝑚

Suptotale = ?

lbase =2p

4=

72

4= 18 cm

Supbase = l2 = 182 = 324 cm2

aquadrato =l

2=

18

2= 9 cm

a = h2 + aquad .2 = 402 + 92 = 1600 + 81 = 1681 = 41 cm

Suplaterale = pbase ∙ a =72

2∙ 41 = 36 ∙ 41 = 1476 cm2

Suptotale = Supbase + Suplaterale = 324 + 1476 = 1800 cm2


3=

324 ∙ 40

3= 108 ∙ 40 = 4320 𝑐𝑚3

𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 4320 ∙ 2,5 = 10800 𝑔 = 10,8 𝑘𝑔




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Il perimetro di base e l’altezza di una piramide che ha per base un triangolo

equilatero misurano rispettivamente 81 cm e 21 cm. Calcola la superficie totale della piramide.

DATI: 2pbase = 81 cm

a = 21 cm Sl=?

St=?

spigolo_base = 2pbase/3 = 81/3 = 27 cm

htriangolo_base =

75,54625,1827295,1327

2

2727 22

2

2 23,38 cm

S_base= 63,3152

26,621

2

38,23*27

2

*

hb cm2

Apotema = a =

2

2

2

_2

3

38,2321

3

basetriangolohh = 22,40 cm

2 2

_2 2 23,3821 22,40

3 3

triangle basehApo h cm

Atriangolo_laterale = 2

40,2227

2

_

apotemabasespigolo = 302,40 cm2

S_laterale = 3* Atriangolo_laterale = 3*302,40 = 907,20 cm2

𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = 𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝑆𝑢𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒 = 907,20 + 315,63 = 1222,3 cm2

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Una piramide quadrangolare regolare è alta 48 cm e ha l’apotema di 52 cm. Calcola

la misura dell’area totale della piramide, il suo volume e il suo peso sapendo che è fatta di gesso (ps 2,3 g/cm3).

4002304270448522

2222 hal

= 20 cm

l = 2*202*2

l

= 40 cm

S_faccia =

2

1

20

2

52*04

2

*

2

*

alhb = 1040 cm2

S_base = 22 40l = 1600 cm2

S_laterale = S_faccia * 4 = 1040 * 4 = 4160 cm 2

𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = 𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝑆𝑢𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒 = 4160 + 1600 = 5760 cm2


3=

1600 ∙ 48

3= 1600 ∙ 16 = 26688 𝑐𝑚3

𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 2668 ∙ 2,3 = 61382,4 𝑔 = 61,38 𝑘𝑔

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Una piramide quadrangolare regolare, la cui apotema è 13/24 dello spigolo di base, ha l’area di base pari a 2304 cm2. Calcola la misura dell’area totale della piramide, il

suo volume e il suo peso sapendo che il peso specifico del materiale di cui è fatta è di 9 g/cm3.

l = 2304quadratoA 48 cm

2p = 4*l = 4 * 48 = 192 cm

Apotema = a = 24

1348 = 26 cm

S_laterale = S_faccia * 4 = alal

242

= 2*48*4 = 384 cm 2

𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = 𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝑆𝑢𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒 = 4160 + 1600 = 5760 cm2

Alt_piramide = 10057667624263

4826

2

22

2

2

2

2

la = 10 cm


3=

2304 ∙ 10

3= 768 ∙ 10 = 7680 𝑐𝑚3

𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 7680 ∙ 9 = 69,12 𝑘𝑔

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Un quadrato ha il lato che misura 14 cm ed è la base di una

piramide di marmo (p.s. 2,8 g/cm3) la cui altezza misura 24 cm. Calcola:

a) la misura del perimetro e dell’area del quadrato; b) il volume e il peso della piramide; c) l’area della superficie totale della piramide;

d) l’area della superficie totale del parallelepipedo rettangolo equivalente alla piramide e avente le dimensioni di base di 8

cm e 28 cm.

𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑃𝑒𝑠𝑜 = 4800 𝑔 𝐴𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎 = 12 𝑐𝑚


𝑐𝑚3

𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = ?

S_quadrato_base = l2 = 142 = 196 cm2

2p_quadrato_base = 4*l = 4*14 = 56 cm

𝑉𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 = 𝑉𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙 =𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎

3=

196 ∙ 24

3= 196 ∙ 8 = 1568 𝑐𝑚3

𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 1568 ∙ 2,8 = 4390,4 𝑔 = 4,39 𝑘𝑔

apotema_pir = 625495767242

22

2

2

lh = 25 cm

Sl_piramide = 25282514222

4

alal

= 700 cm2

𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 = 𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝑆𝑢𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒 = 196 + 700 = 896 cm2

Sb_parall = a*b = 8*28 = 224 cm2

2p_base_parall = 2*(a+b) = 2*(8+28) = 2*36 = 72 cm

h_parallelepipedo = 224

1568

__

_

parallbases

piramideV = 7 cm

Sl_parall = 2p_base_parall*h_parall = 72*7 = 504 cm2

S_totale_parall = 2*Sb + Sl = 2*224+504 = 952 cm2

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Calcola la misura della superficie totale di una piramide

regolare a base quadrata di sughero (p.s. 0,25 g/cm3) che pesa 4800 g e che ha un’altezza di 9 cm.

𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑃𝑒𝑠𝑜 = 4800 𝑔 𝐴𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎 = 12 𝑐𝑚


𝑐𝑚3


𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 =𝑃𝑒𝑠𝑜

𝑝𝑠=

4800

0,25= 19200 𝑐𝑚3

𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 =𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒

𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎=

3 ∙ 19200

9=

19200

3= 6400 𝑐𝑚2

𝑙𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑆6400 = 80 𝑐𝑚

𝑎𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜 =𝑙

2=

80

2= 40 𝑐𝑚

𝑎 = 𝑕2 + 𝑎𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜2 = 92 + 402 = 1600 + 81 = 41 𝑐𝑚

𝑆𝑢𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒 = 𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎 = 80 ∙ 2 ∙ 41 = 6560 𝑐𝑚2 𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = 𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝑆𝑢𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒 = 6400 + 6560 = 12960 cm2

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Calcola la misura della superficie totale di una piramide

regolare a base esagonale di sughero (p.s. 0,25 g/cm3) che pesa 2700 g e che ha un’altezza di 12 cm.

𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑒𝑠𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒 𝑃𝑒𝑠𝑜 = 2700 𝑔 𝐴𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎 = 12 𝑐𝑚


𝑐𝑚3


𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 =𝑃𝑒𝑠𝑜

𝑝𝑠=

2700

0,25= 10800 𝑐𝑚3

𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 =3 ∙ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒

𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎=

3 ∙ 10800

12=

10800

4= 2700 𝑐𝑚2

𝑆𝑢𝑝𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜𝑏𝑎𝑠𝑒 =𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒

6=

2700

6= 450 𝑐𝑚2

In un esagono regolare il raggio della circonferenza circoscritta è uguale al lato dell’esagono regolare. Da cui

𝑆 =3𝑙2 3

2→→→ 𝑙 =

2𝑆

3 3=

2 ∙ 2700

3 3=

1800

3= 32,23 𝑐𝑚

𝑎𝑒𝑠𝑎𝑔𝑜𝑛𝑜 =𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒𝑝

=2700

3 ∙ 32,23= 27,91 𝑐𝑚

Un esagono regolare è formato da 6 triangoli equilateri per cui un’altro modo percorribile è quello di usare il teorema di Pitagora applicato a un

triangolo equilatero di area nota: 𝑕2 = 𝑙2 − 𝑙

2

2.

𝑎 = 𝑕2 + 𝑎𝑒𝑠𝑎𝑔𝑜𝑛𝑜2 = 122 + 27,912 = 922,9681 = 30,38 𝑐𝑚

𝑆𝑢𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒 = 𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎 = 3 ∙ 32,23 ∙ 30,38 = 2397,44 𝑐𝑚2 𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = 𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝑆𝑢𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒 = 2700 + 2397,44 = 5637,44 cm2

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Una piramide retta ha per base un trapezio isoscele il cui

perimetro è 200 cm. Il trapezio è circoscritto ad un

circonferenza lunga 48 𝜋 cm. Sapendo che l’area della

superficie totale della piramide è 5000 cm2, calcola il volume del solido.

𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎 𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑜𝑖𝑑𝑎𝑙𝑒 2𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 = 200 𝑐𝑚 𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = 5000 𝑐𝑚2 𝐶𝑖𝑛𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑡𝑎 = 48𝜋 𝑐𝑚 𝑉 =?

𝑟 =𝐶

2𝜋=

48𝜋

2𝜋= 24 𝑐𝑚

2𝑝𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑖𝑜 = 200 𝑐𝑚 𝑝 =2𝑝

2=

200

2= 100 𝑐𝑚

Per i poligoni irregolari circoscritti

𝐴𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑖𝑜 = 𝑝 ∙ 𝑟 = 100 ∙ 24 = 2400 𝑐𝑚2

Per la condizione di circoscrittibilità di un quadrilatero (uguale somma lati opposti)

𝑏1 + 𝑏2 = 𝑙 + 𝑙 = 2𝑙 = 100 𝑐𝑚 Oppure:essendo la distanza delle due basi deve pari al doppio del raggio

𝐴𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑖𝑜 =𝑏1 + 𝑏2

2𝑕 →→ 2𝑙 = 𝑏1 + 𝑏2 =

2𝐴

2𝑟=

2 ∙ 2400

2 ∙ 24= 100 𝑐𝑚

𝑙 =2𝑙

2=

100

2= 50 𝑐𝑚

𝑆𝑢𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒 = 𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 − 𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 = 5000 − 2400 = 2600 𝑐𝑚2

Una delle due facce laterali uguali ha area pari a un quarto della laterale totale

(somma lati opposti uguale e i due lati obliqui uguali)

𝑆𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 50 =2600

4=

1300

2= 650 𝑐𝑚2

𝑎 = 𝑕𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 =2𝐴

𝑏=

2 ∙ 650

50=

130

5= 26 𝑐𝑚

𝑕𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 = 𝑎2 − 𝑟2 = 262 − 242 = 676 − 576 = 100 = 10 𝑐𝑚


3=

2400 ∙ 10

3= 800 ∙ 10 = 8000 𝑐𝑚3 = 8 𝑑𝑚3

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Una piramide regolare quadrangolare ha l’area di base che

misura 900 cm2 e l’altezza che misura 112 cm. Calcola l’area della superficie totale, il volume e il suo peso sapendo che è fatta di zinco (ps 7,1).

𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 = 900 𝑐𝑚2 𝑕 = 112 𝑐𝑚 𝑝𝑠 = 7,1 𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = ? 𝑉 = ? 𝑃 =?

lbase = A = 900 = 30 cm pbase = 2l = 2 ∙ 30 = 60 cm

a = h2 + l

2

2

= 1122 + 152 = 12544 + 225 = 12769

= 113 cm Slaterale = pbase ∙ a = 60 ∙ 113 = 6780 cm2 Stotale = Supbase + Suplaterale = 900 + 6780 = 7680 cm2


3=

900 ∙ 112

3= 300 ∙ 112 = 33600 𝑐𝑚3

𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 33600 ∙ 7,1 = 238560 𝑔

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Un solido è composto da due piramidi rette aventi la base in

comune; questa è un rombo che ha il perimetro di 180 cm e una diagonale lunga 72 cm. Sapendo che gli apotemi delle

due piramidi misurano ambedue 36 cm calcola il volume del solido.

𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑖 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒 𝑟𝑜𝑚𝑏𝑜𝑖𝑑𝑎𝑙𝑒 2𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒𝑟𝑜𝑚𝑏𝑜 = 180 𝑐𝑚 𝑑1𝑟𝑜𝑚𝑏𝑜 = 72 𝑐𝑚 𝑎 = 36 𝑐𝑚 𝑉 =?

𝑙𝑟𝑜𝑚𝑏𝑜 =2𝑝

4=

180

4=

90

2= 45 𝑐𝑚

𝑑1

2=

72

2= 36 𝑐𝑚

𝑑2

2= 𝑙2 −

𝑑1

2

2

= 452 − 362 = 2025 − 1296 = 729 = 27 𝑐𝑚

𝑑2 = 272 = 54 𝑐𝑚

𝐴𝑟𝑜𝑚𝑏𝑜 =𝑑1 ∙ 𝑑2

2=

72 ∙ 54

2= 72 ∙ 27 = 1944 𝑐𝑚2

𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 =𝐴𝑟𝑜𝑚𝑏𝑜

4=

1944

4=

972

2= 486 𝑐𝑚2

𝑕𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 =2𝐴

𝑏=

2 ∙ 486

45=

2 ∙ 54

5=

108

5= 21,6 𝑐𝑚

𝑕𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑖 = 𝑎2 − 𝑕2 = 362 − 21,62 = 1296 − 466,56 = 829,44

= 28,8 𝑐𝑚

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 2 ∙𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑕

3= 2 ∙

1944 ∙ 28,8

3= 3888 ∙ 9,6 = 37324,8 𝑐𝑚3

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Una piramide regolare quadrangolare ha l’area di base che misura 256 m2 e l’altezza che misura 31,5 m. Calcola l’area della superficie totale, il volume e il suo peso sapendo che è

fatta di zinco (ps 7,1).

𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 = 256 𝑐𝑚2 𝑕 = 31,5 𝑐𝑚 𝑝𝑠 = 7,1 𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = ? 𝑉 = ? 𝑃 =?

lbase = A = 256 = 16 cm pbase = 2l = 2 ∙ 16 = 32 cm

a = h2 + l

2

2

= 31,52 + 82 = 992,25 + 64 = 1056,25

= 32,5 cm Slaterale = pbase ∙ a = 32 ∙ 32,5 = 1040 cm2 Stotale = Supbase + Suplaterale = 256 + 1040 = 1296 cm2


3=

256 ∙ 31,5

3= 256 ∙ 10,5 = 2688 𝑐𝑚3

𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 2688 ∙ 7,1 = 19084,8 𝑔




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Una piramide regolare quadrangolare ha il perimetro di base

che misura 40 dm e l’altezza che misura 9 dm. Calcola l’area della superficie totale, il volume e il suo peso sapendo che è

fatta di sughero (ps 0,25).

𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 2𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 = 40 𝑐𝑚 𝑕 = 9 𝑐𝑚 𝑝𝑠 = 0,25 𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = ? 𝑉 = ? 𝑃 =?

lbase =2p

4=

40

4= 10 cm

Abase = l2 = 102 = 100 cm2

pbase =2p

2=

40

2= 20 cm

a = h2 + l

2

2

= 92 + 52 = 81 + 25 = 106 = 10,29 cm

Slaterale = pbase ∙ a = 20 ∙ 10,29 = 205,8 cm2 Stotale = Supbase + Suplaterale = 100 + 205,8 = 305,8 cm2


3=

100 ∙ 9

3= 100 ∙ 3 = 300 𝑐𝑚3

𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 300 ∙ 0,25 = 75 𝑔

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La Piramide di Zoser (Saqqara), a 6 gradoni di granito, ha

base rettangolare (121 m per 109 m) ed è alta 60 m. Calcola la superficie totale, il volume e il peso (ps 2,3 – valore del calcare) di una piramide con queste caratteristiche.

𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑎 = 121 𝑚 𝑏 = 109 𝑚 𝑕 = 60 𝑚 𝑝𝑠 = 0,25 𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = ? 𝑉 = ? 𝑃 =?

Sbase = ab = 121 ∙ 109 = 13189 m2


3=

13189 ∙ 60

3= 13189 ∙ 20 = 2374020 𝑚3

𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 2374020 ∙ 2,3 = 5460246 𝑡 𝑃𝑒𝑠𝑜 = 5,4 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑑𝑖 𝑡𝑜𝑛𝑛𝑒𝑙𝑙𝑎𝑡𝑒

a1 = h2 + b

2

2

= 602 + (121/2)2 = 7260,25 = 85,21 m

a1 = h2 + a

2

2

= 602 + (109/2)2 = 6570,25 = 81,06 m

S1 =a ∙ a1

2=

121 ∙ 85,21

2= 5155,21 m2

S2 =a ∙ a2

2=

109 ∙ 81,06

2= 4417,77 m2

Stotale = Sbase + 2S1 + 2S2 Stotale = 13189 + 2 ∙ 5155,21 + 2 ∙ 4417,77 = 32334,96 m2

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Una piramide retta a base quadrangolare ha il perimetro di

base di 72 cm e ha un peso di 11664 g. Sapendo che la piramide è di alluminio (ps = 2,7 g/cm3), calcolane la sua

superficie totale e il volume.

𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 2𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 = 72 𝑐𝑚 𝑃 = 11664 𝑔 𝑝𝑠 = 2,7 𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = ? 𝑉 = ?

lbase =2p

4=

72

4= 18 cm

Sbase = l2 = 182 = 324 cm2

pbase =2p

2=

72

2= 36 cm

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 =𝑃

𝑝𝑠=

11664

2,7= 4320 𝑐𝑚3

𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎 =3 ∙ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒

𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒=

3 ∙ 4320

324=

4320

108=

2160

54=

1080

27= 40 𝑐𝑚

a = h2 + l

2

2

= 402 + 18

2

2

= 1600 + 81 = 1681

= 41 cm Slaterale = pbase ∙ a = 36 ∙ 41 = 1476 cm2 Stotale = Sbase + Sl = 324 + 1476 = 1800 cm2


3=

324 ∙ 40

3= 108 ∙ 40 = 4320𝑐𝑚3

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base di 576 cm2 e una superficie laterale di 720 cm2. Calcola il volume e il peso del solido sapendolo fatto di gesso (2 g/cm3).

Piramide retta a base quadrangolare

𝑆𝑏 = 576 𝑐𝑚2 𝑆𝑙 = 720 𝑐𝑚2

𝑆𝑓 =𝑆𝑙4

=720

4= 180 𝑐𝑚2

𝑎 =𝑆𝑓 ∙ 2

𝑙=

180 ∙ 2

24=

180 ∙ 1

12=

30

2= 15 𝑐𝑚

𝑕𝑝𝑟𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 = 152 − 122 = 225 − 144 = 9 𝑐𝑚

𝑉 =𝑆𝑏 ∙ 𝑕

3=

576 ∙ 9

3=

576 ∙ 3

1= 1728 𝑐𝑚3




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base di 1764 cm2 e l’altezza pari a 28 cm. Calcola il volume e il peso del solido sapendolo fatto di un

materiale che ha un peso specifico di 0,8 g/cm3.

Piramide retta a base quadrangolare 𝑆𝑏 = 1764 𝑐𝑚2 𝑕 = 28 𝑐𝑚

𝑠 = 𝑆𝑏 = 1764 = 42 𝑐𝑚 2𝑝 = 4𝑙 = 4 ∙ 42 = 168 𝑐𝑚

𝑎 = 𝑠

2

2

+ 𝑕2 = 212 + 282 = 441 + 784 = 1225 = 35 𝑐𝑚

𝑆𝑙 = 𝑝 ∙ 𝑎 =2𝑝

2∙ 𝑎 =

168

2∙ 35 = 84 ∙ 35 = 2940 𝑐𝑚2

𝑆𝑡 = 𝑆𝑏 + 𝑆𝑙 = 1764 + 2940 = 13104 𝑐𝑚2

𝑉 =𝑆𝑏 ∙ 𝑕

3=

1764 ∙ 28

3=

588 ∙ 28

1= 16464 𝑐𝑚3

𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 16464 ∙ 0,8 = 13171,2 𝑔

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Keywords

Geometria, geometria solida, geometria 3D, piramidi, piramide, poliedri, volume, superficie totale, superficie laterale, problemi di geometria con soluzioni, Matematica, esercizi con soluzioni.

Geometry, 3D, Pyramid, Polyhedron, Volume, Volumes, Geometry Problems with solution, Math.

Geometría, 3D, Volumen, Pirámide, Poliedro, perímetro, Matemática.

Géométrie, 3D, Volume, Pyramide, Polyèdre, périmètres, Mathématique. Geometrie, 3D, Volum, Pyramide, Parallelepiped, Parallelverschiebung,

Mathematik.

Problemi di geometra solida sulla piramide con risoluzione · Una piramide retta a base...

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