Geometria Solida - La Piramide

• La Piramide a base quadrata, tipica degli Egizi, rappresentava per essi l’equilibrio perfetto contro il caos. Oltre ad essere una gigantesca tomba per il Faraone con la quale egli si sarebbe unito agli dei, essa esprimeva l’autorità dell’eletto nel regno e la sua immortalità visibile nel tempo. Ulteriormente a ciò la Piramide è anche un’interessante e intrigante figura geometrica solida.

• Lo sapevate che per la Grande Piramide di Cheope Il rapporto tra, il perimetro

di base e il doppio dell’altezza, è 3,14 , il famoso pi greco?

La Piramide Elementi : Base Facce = Sup. laterale Vertice

Spigolo apotema Altezza

raggio • Come possiamo osservare dalla scomposizione, lo studio della piramide a base quadrata, si riduce ad un quadrato e quattro triangoli, per le quali figure

potremo avvalerci delle formule già note. Aq = l 2 At = b x h /2

Osserviamo inoltre che l’altezza della piramide h, con l’apotema a e il raggio r, formano un triangolo rettangolo al quale potremo applicare il Teorema di Pitagora. Se nel quadrato di base iscriviamo un cerchio, il suo raggio corrisponderà alla metà del lato del quadrato.

Alcuni ragionamenti Dalla figura osserviamo che l’apotema corrisponde

all’altezza del triangolo, e la base, al lato del quadrato.

• A triangolo = b x h

2 Apotema

Essendo il perimetro la somma delle basi dei quattro triangoli, moltiplicandolo per l’apotema e dividendo il prodotto per due otterremo la Superficie Laterale

Sl = 2p x a inoltre St = Sb + Sl (la Sb è l’area del quadrato)

2

La superficie totale è data ovviamente dalla somma della superficie di Base + la sup. laterale

Osserviamo

Inscriviamo un cerchio nel quadrato di base della Piramide.

Conoscendo la circonferenza potremo ricavare il

raggio – perché C = 2 π x r da cui r = C/2. π

d r quindi possiamo osservare che il raggio r è la

metà del lato del quadrato di conseguenza il suo

doppio corrisponde al lato del quadrato.

Conoscendo il lato, per ottenere la superficie di base e il suo Perimetro, possiamo applicare le formule -

Abase = l x l = l2 2p= l x 4 Conoscendo la diagonale l = d derivata da d = l x √2 √2

I Triangoli della Piramide • Vertice

• Spigolo

• Apotema

• Altezza Piramide

• Diagonale Base

• La piramide possiede un‘ altezza propria che unisce il centro della base con il vertice della stessa, mentre l’apotema altro non è che l’altezza del triangolo.

Se nella base viene inscritto un cerchio In questo caso, se conosciamo la circonferenza

possiamo ricavare il raggio che corrisponde alla

metà del lato - e da ciò deriva - C = 2 x π x r

da cui r = C/ 2 x π

Moltiplicando r x 2 avremo l = r x 2

da cui 2p = l x 4 (perimetro di base)

e ancora …. moltiplicando l x l otterremo l’Area

di base cioè Ab = l x l = l2

Applicando il Teorema di Pitagora • Conoscendo l’altezza con il raggio o l’apotema, applicando il

Teorema di Pitagora saremo in grado di calcolare ciò che non conosciamo. h

• a = apotema h = altezza r = raggio a

• a = √ h2 + r2 sostituendo r

• ipotenusa CB = √ CA2 + AB2 C

• oppure CA = √ CB2 – AB2 apotema

ovviamente a = CB = Ipotenusa A B

Vediamo un Esercizio • Una Piramide di base quadrata con il lato di 18 cm e l’altezza di 40 cm, ha

inscritto una circonferenza di 56, 52 cm,. Calcolare la Superficie totale. • Disegniamo la nostra Piramide, poi trascriviamo i dati e le formule.

• k Dati - AB = 18 cm h= 40 cm C= 56,52cm ? = S.tot. - Vol

h a

St = Sb + Sl (calcoliamo ora la Sb e la Sl )

z Sb = l x l = 18 x 18 = 324 cm 2

A B Sl = 2pb x a Il 2pb = l x 4 = 18 x 4 = 72 cm 2

Per calcolare la Sl occorre conoscere la misura dell’apotema a

Possiamo osservare che l’apotema a, assieme al raggio r, e all’altezza h, formano il triangolo rettangolo k o z.

Prosegue Esercizio Detto ciò, al triangolo KOZ per calcolare oz = r , potremo applicare il

teorema di Pitagora. Cioè per conoscere l’ipotenusa sommo i quadrati costruiti sui cateti .

k

o z

( r= oz)

C = 2. π . r da cui r = c / 2. π sostituendo

56,52 = 2 x 3,14 x r - girando la formula avremo…

r = 56,52 = 56,52 = 9 cm proseguendo ….

2 x 3,14 6,28

L’ Apotema

k L’apotema kz coincide con l’ipotenusa al triangolo koz.

Sappiamo che oz è uguale al raggio del cerchio inscritto nel quadrato

K z = apotema = Ipotenusa del triangolo k o z

Quindi l’apotema k z = √ ko2 + o z2 = sostituendo o z

apotema=√402 + 92 = √ 1600 + 81 = √ 1681 = 41 cm

Sl = 2pb x a = 72 x 41 = 1476 cm2 ( la Sb è già calcolata = 324 cm2 )

2 2

St. = Sb + Sl = 324 + 1476 = 1800 cm2 Infine il volume V = Sb x h = 324 x 40 = 12960 = 4320 cm3

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