• Il simbolo “ % “ di percentuale si ottiene dal rapporto di due valori e indica l’incidenza della variabile a numeratore sulla variabile a denominatore.

• Ad esempio il rapporto tra il numero di ragazze presenti in una classe e il numero di studenti della classe esprime la quota di femmine sul totale degli studenti.

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LE PERCENTUALI

• I costi totali di un’impresa sono passati da 75.000€ a 100.000€.

• I ricavi totali (negli stessi 2 anni) sono aumentati passando da 250.000€ a 400.000€

• Calcolare la variazione percentuale dei costi e dei ricavi.

• Calcolare l’incidenza percentuale dei costi sui ricavi nei 2 anni.

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INCREMENTI PERCENTUALI

• La variazione percentuale dei costi è data dal rapporto tra la variazione dei costi e il costo iniziale:

100.000−75.00075.000

= 33,33%

• La variazione percentuale dei ricavi è data dal rapporto tra la variazione dei ricavi e il ricavo del primo anno:

400.000−250.000250.000

= 60% 3

INCREMENTI PERCENTUALI

INCREMENTI PERCENTUALI • L’incidenza dei costi sui ricavi in ciascuno dei

due anni è rappresentata dal rapporto delle due quantità:

75.000250.000

= 0,30 = 30%

100.000400.000

= 0,25 = 25%

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INCREMENTI PERCENTUALI • L’incidenza dei costi sui ricavi nei due anni:

75.000 + 100.000250.000 + 400.000

=175.000650.000

= 0,269 = 26,9%

che non è la media aritmetica (=27,5%) tra 30% e 25%!!!!!!!!!!!

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• Si consideri una S.P.A. nella quale ci sono 3 azionisti che detengono rispettivamente 200, 350 e 350 azioni per un totale di 900 azioni emesse. Qual è il peso percentuale di ogni azionista?

• 1) 200900

= 0, 22 ≅ 22,2%

• 2) e 3) 350900

= 0,38 ≅ 38,9%

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QUOTA AZIONARIA

• In alcuni problemi si conosce il valore di una quantità e la percentuale dell’altra quantità rispetto alla prima.

• Per esempio, i ricavi per un’impresa sono stati di 30 milioni di € e la percentuale dei costi totali sostenuti sui ricavi totali è dell’85%. A quanto ammonta il valore dei costi totali?

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COSTI E RICAVI PERCENTUALI

𝐶𝑇𝑅𝑇

= 85% e 𝑅𝑇 = 30𝑀

𝐶𝑇 = 85% ⋅ 𝑅𝑡

𝐶𝑇 = 85% ⋅ 30𝑀

𝐶𝑇 =30𝑀 ⋅ 85

100= 25,5𝑀

8

COSTI E RICAVI PERCENTUALI

Nel caso di problema simmetrico, ovvero si conosce il valore dei costi (25,5M ) ed è

noto che rappresentano l’85% dei ricavi, i ricavi sono calcolati come segue:

𝐶𝑇𝑅𝑇

= 85% e 𝐶𝑇 = 25,5𝑀 𝐶𝑇 = 85% ⋅ 𝑅𝑡

𝑅𝑇 =𝐶𝑇

85%=𝐶𝑇 ⋅ 100

85

𝑅𝑇 =25,5𝑀 ⋅ 100

85= 30𝑀

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COSTI E RICAVI PERCENTUALI

• Sul prezzo iniziale 𝑝0 = 100€ di un bene vengono applicati due sconti consecutivi: 𝑠1 = 10% e 𝑠2 = 20%; ovvero:

• uno sconto del 10% sul prezzo iniziale e uno sconto del 20% sul prezzo già scontato del 10%.

• Si vuole determinare lo sconto complessivo.

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SCONTI SUCCESSIVI

• Il prezzo dopo il primo sconto è dato da:

𝑝1 = 100€ − 10% ⋅ 100€ = 90€

• Il secondo sconto si applica a 90€ per cui il prezzo finale diventa:

𝑝2 = 90€ − 20% ⋅ 90€ = 72€

• Lo sconto complessivo è dunque pari a 28% 11

SCONTI SUCCESSIVI

• Lo sconto complessivo può essere calcolato per esteso nel seguente modo:

𝑝1 = 100€ − 10% ⋅ 100€ = 90€ • 𝑝2 = 100€ ⋅ 1 − 10% − 20% ⋅ 100€ ⋅ 1 − 10% =

= 100€ ⋅ 1 − 10% 1 − 20% = 72€

• Sconto% = 𝑝0−𝑝2𝑝0

= 1 − 𝑝2𝑝0

=

= 1 − 1 − 10% ⋅ 1 − 20% =

= 1 − 0,72 = 0,28 = 28% 12

SCONTI SUCCESSIVI

• Nel caso degli sconti successivi 𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠𝑘 lo sconto complessivo 𝑆, espresso come

valore percentuale, sul prezzo iniziale 𝑝0 può essere ricavato dalla formula seguente:

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)1(*...*)1(*)1(1 21 ksssS −−−−=

SCONTI SUCCESSIVI

PUNTO DI PAREGGIO • Il punto di pareggio (break even point) è

la situazione in cui i costi totali 𝐶𝑇 sono pari ai ricavi totali 𝑅𝑇

𝑅𝑇 = 𝐶𝑇 • In un’impresa i costi totali si

compongono di costi fissi 𝐶𝐹 e costi variabili 𝐶𝑉

𝐶𝑇 = 𝐶𝑉 + 𝐶𝐹 • Quindi

𝑅𝑇 = 𝐶𝑉 + 𝐶𝐹

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PUNTO DI PAREGGIO • Il ricavo totale è composto dal prezzo

unitario di ogni articolo venduto 𝑝𝑢 moltiplicato per il numero di articoli venduti (o domandati) 𝑄𝑑

𝑅𝑇 = 𝑝𝑢 ⋅ 𝑄𝑑

• I costi variabili 𝐶𝑉sono il prodotto del costo variabile unitario 𝐶𝑉𝑢per la quantita di articoli prodotti (o offerti) 𝑄𝑜

𝐶𝑇 = 𝐶𝑉𝑢 ⋅ 𝑄𝑜

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PUNTO DI PAREGGIO

Nell’ipotesi che tutti i beni prodotti siano venduti 𝑄𝑑 = 𝑄𝑜 = 𝑄

Il punto di pareggio si può esprimere come:

𝑝𝑢𝑄 = 𝐶𝑉𝑢𝑄 + 𝐶𝐹

Da cui 𝐶𝐹 = 𝑝𝑢𝑄 − 𝐶𝑉𝑢𝑄 = 𝑝𝑢 − 𝐶𝑉𝑢 𝑄

16

PUNTO DI PAREGGIO

Dalla precedente equazione deriva che la quantità necessaria perché si raggiunga il punto di pareggio è:

𝑄 =𝐶𝑓

𝑝𝑢–𝐶𝑉𝑢

17

MARGINE DI CONTRIBUZIONE UNITARIO

Si definisce margine di contribuzione unitario la differenza tra prezzo unitario e costo variabile unitario

𝑀𝑀𝐶𝑢 = 𝑝𝑢 − 𝐶𝑉𝑢

La quantità di beni prodotti nel punto di pareggio si quindi indicare come

𝑄 =𝐶𝑇

𝑀𝑀𝐶𝑢 18

MARGINE DI CONTRIBUZIONE PERCENTUALE

Se i ricavi totali si esprimono come 𝑅𝑇 = 𝑝𝑢 ⋅ 𝑄, nel punto di pareggio saranno pari a:

𝑅𝑇 = 𝑝𝑢 ⋅𝐶𝐹

𝑝𝑢 − 𝐶𝑉𝑢=

𝐶𝐹𝑝𝑢 − 𝐶𝑉𝑢

𝑝𝑢

Si definisce margine di contribuzione percentuale il rapporto

𝑀𝑀𝐶% =𝑝𝑢 − 𝐶𝑉𝑢

𝑝𝑢

19

𝑀𝑀𝐶% =𝑝𝑢 − 𝐶𝑉𝑢

𝑝𝑢

𝑀𝑀𝐶% =𝑀𝑀𝐶𝑢𝑝𝑢

𝑀𝑀𝐶% = 1 −𝐶𝑉𝑢𝑝𝑢

20

MARGINE DI CONTRIBUZIONE PERCENTUALE

Si definisce Mark up 𝑀𝑀 il rapporto tra il margine di contribuzione unitario e i costi variabili unitari

𝑀𝑀 =𝑀𝑀𝐶𝑢𝐶𝑉𝑢

𝑀𝑀 =𝑝𝑢 − 𝐶𝑉𝑢𝐶𝑉𝑢

𝑀𝑀 =𝑝𝑢𝐶𝑉𝑢

− 1

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MARK UP

ESEMPIO

• Un’azienda acquista semilavorati a 100€ e li rivende finiti a 150€. Quali sono il margine di contribuzione percentuale e il mark up realizzati?

• 𝑀𝑀𝐶% = 150−100150

= 0, 3 = 33, 3%

• 𝑀𝑀 = 150−100100

= 0,5 = 50,0%

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RELAZIONE TRA 𝑀𝑀 E 𝑀𝑀𝐶% • Si può verificare tramite semplici passaggi

algebrici che esiste un preciso rapporto tra 𝑀𝑀 e 𝑀𝑀𝐶%:

𝑀𝑀 =𝑀𝑀𝐶%

1 −𝑀𝑀𝐶%

𝑀𝑀𝐶% =𝑀𝑀

1 + 𝑀𝑀

• Quindi dato il mark up si può ricavare il margine di contribuzione percentuale e viceversa 23

ESEMPIO

• Se un’azienda ha mark up pari all’89% a quanto ammonta il suo margine di contribuzione percentuale?

𝑀𝑀 = 0,89

𝑀𝑀𝐶% = 0,89

1 + 0,89= 0,4709 = 47,09%

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L’IVA

• L’IVA (imposta sul valore aggiunto) è un’imposta che grava sui consumatori, solitamente espressa come una percentuale del prezzo netto di un bene

𝑃𝑙𝑜𝑙𝑑𝑜 = 𝑃𝑛𝑛𝑡𝑡𝑜 + 𝐼𝐼𝐼 ⋅ 𝑃𝑛𝑛𝑡𝑡𝑜

𝑃𝑙𝑜𝑙𝑑𝑜 = 𝑃𝑛𝑛𝑡𝑡𝑜(1 + 𝐼𝐼𝐼)

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L’IVA

• Se ad esempio l’iva su un bene è pari al 20% del suo prezzo netto e il prezzo netto è di 1500€, il calcolo del prezzo “IVAto” è il seguente:

𝑃𝑙𝑜𝑙𝑑𝑜 = 1500€ + 20% ⋅ 1500€

𝑃𝑙𝑜𝑙𝑑𝑜 = 1500€ (1 + 0,20)

𝑃𝑙𝑜𝑙𝑑𝑜 = 1500€ ⋅ 1,2 = 1800€

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L’IVA • Se si conosce il prezzo IVAto di un bene,

come si risale al prezzo netto?

𝑃𝑛𝑛𝑡𝑡𝑜 =𝑃𝑙𝑜𝑙𝑑𝑜

1 + 𝐼𝐼𝐼

• Nell’esempio precedente:

𝑃𝑛𝑛𝑡𝑡𝑜 =1800€

1 + 20%=

1800€1,2

= 1500€ 27