ANALISI DI MERCATO CLEA -...

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ANALISI DI MERCATO

CLEA

INTEGRAZIONEAL CAPITOLO 5

L. Molteni, G. Troilo (a cura di)

Ricerche di marketing,McGraw-Hill, Milano, 2003

IL CAMPIONAMENTO:

TEORIA E ESERCIZI

Versione 1.0

A.A. 2010/2011

Capitolo 1

Il campionamento casualesemplice

1. Introduzione

La validita delle indagini campionarie fu posta per la prima volta nel 1895 da

Anders N. Kiaer, direttore dell’Ufficio centrale di statistica della Norvegia, nella

riunione dell’Istituto Internazionale di Statistica in cui presento le inchieste sulla

distribuzione dei redditi in Osservazioni e esperienze riguardanti le rilevazioni

rappresentative. Il metodo si basava su una selezione delle unita della popolazione,

dalle fonti censuarie, al fine di costruirne un’immagine simile con un numero

ridotto di unita, una miniatura della realta oggetto di indagine.

La rappresentativita e intesa in termini intuitivi e il procedimento richiede

la conoscenza di informazioni a priori, come quelle ottenute da un censimento.

2. Censimento e campionamento

Per popolazione obiettivo (target population) o universo, P si intende un gruppo

di elementi, N , definiti in accordo con gli obiettivi dell’indagine nei contenuti,

nello spazio, e nel tempo: Ω = 1, 2, . . . , N. I suoi membri sono chiamati unita

statistiche o unita di analisi.

Esempio: caratteristiche degli acquirenti di scarpe per adulti.

La popolazione obiettivo deve essere definita nei

1. contenuti (eta dei clienti),

2. nello spazio (area geografica, Italia o regione o citta),

3. nel tempo (nell’anno 2010).

3

4 Capitolo 1. Il campionamento casuale semplice

La caratteristica di interesse o carattere sara indicata con Y e con y1, y2, . . . , yN .

si indicheranno i valori che essa assumera nelle unita 1, 2, . . . , N.Il periodo di riferimento e la data rispetto alla quale raccogliere le informa-

zioni e deve essere lo stesso per tutti al fine di ottenere dati “omogenei”.

Il censimento, detto anche rilevazione totale, e un modo di raccogliere i

dati che comporta l’acquisizione delle le caratteristiche designate per ciascun

elemento costituente la popolazione obiettivo.

Il campionamento, detto anche rilevazione parziale, e un modo di raccoglie-

re i dati che comporta l’acquisizione delle caratteristiche designate solo per gli

elementi di un sottoinsieme della popolazione obiettivo, detto campione.

Il campione e un sottoinsieme composto da n unita selezionate tra le N

unita della popolazione obiettivo. Il campione rappresenta, quindi, la popolazione

obiettivo che in tale contesto e detta anche popolazione di riferimento (Fabbris,

1989). Gli elementi che appartengono al campione sono detti unita statistiche

campionarie.

I fattori che determinano i vantaggi/svantaggi sono i seguenti.

1. Costi ridotti per la realizzazione

Una rilevazione totale comporta una spesa molto piu onerosa di una rilevazione

parziale perche la raccolta dei dati ha un costo per ogni individuo. La struttura

organizzativa di base, poi, deve essere molto ampia per dirigere i lavori e svolgere

la supervisione. Il numero dei rilevatori necessari per raccogliere i dati e elevato

e questi devono essere anche addestrati.

2. Tempi piu brevi per la raccolta dei dati

La rilevazione totale richiede una notevole quantita di tempo per essere condotta

a termine, mentre un’indagine campionaria puo essere realizzata in un tempo

ragionevolmente inferiore. si noti che un tempo troppo lungo per raccogliere i

dati potrebbe vanificare la loro utilita.

3. Qualita dei dati raccolti piu elevata

In una rilevazione totale e piu difficile controllare o ricontrollare i dati osservati

e l’operato dei rilevatori, naturalmente sempre a causa dei tempi e dei costi;

mentre, in una indagine parziale i dati possono essere raccolti con una precisione

maggiore e una quantita minore di errori.

4. Quantita di informazioni piu elevata

In una rilevazione totale il numero di informazioni che si raccolgono sono limitate

perche entrare nei particolari aumenta le difficolta della rilevazione dei dati.

3.. La lista 5

3. La lista

La lista o base campionaria (list or frame) e l’elenco delle unita della popolazione

e rappresenta la fonte per effettuare la scelta. Le unita selezionate dalla lista

costituiscono il campione.

Per ottenere un buon campionamento bisogna procurarsi una buona lista,

cioe una lista esente da difetti perche un campione non puo dare risultati piu

precisi della lista da cui e stato estratto. In realta, le liste disponibili presentano

diversi limiti:

— Incompletezza che genera sottocopertura,

— Sovracompletezza che genera sovracopertura,

— Ridondanza o registrazione multipla di unita,

— Inesistenza o registrazione di unita bianche

— Inattualita o non aggiornamento della lista

— Imprecisioni (errori di codifica, di trascrizione, di immissione.

4. Parametri e stimatori

Alcuni parametri della popolazione P sono riportati nella tabella 1.1. Seguono

due esempi di parametri, stimatori, e stime.

Esempio 1

Sia θ il livello potenziale della domanda di un bene nella popolazione (obiettivo)

P costituita da N unita. Sia θ il parametro non noto, θ =∑N

i=1 Xi/N , dove Xi

vale 1 se l’i-esimo soggetto acquisterebbe il bene e 0 altrimenti.

Si estrae un campione di n unita da P . La proporzione di consumatori in-

tervistati che dichiarano di essere disposti a acquistarlo costituisce uno stimatore

di θ; ossia, lo stimatore e T =∑n

i=1 Xi/n.

Il valore dello stimatore che si ottiene per questo campione, θ = t =∑ni=1 xi/n, e la stima del parametro θ della popolazione P .

Esempio 2

Sia Y il reddito delle unita della popolazione P . Si consideri il reddito medio,

µY , relativo a tutti i potenziali consumatori, che e dato dalla media dei redditi

delle N unita che formano la popolazione P . Il parametro non noto e costituito

da µY =∑N

i=1 Yi/N .

Si estrae un campione di n unita da P . La media (campionaria) dei redditi

(delle unita statistiche incluse nel campione) puo essere lo stimatore di µY . Allora,

T = Y =∑n

i=1 Yi/n, dove (Y1, . . . , Yn) e il vettore di osservazione.


Tabella 1.1: Parametri della popolazione spesso oggetto di stima

Totale Y =∑N

i=1 Yi

Media Y =

∑Ni=1 Yi

N=

Y

N

Proporzione Py =Y

N

Y =∑N

i=1 Xi ∧ Xi ∼ Ber(P )

Varianza S2y =

∑Ni=1(Yi − Y )2

N[formula per calcolo S2

y =

∑Ni=1 Y

2i

N− Y 2

]S′2y =

∑Ni=1(Yi − Y )2

N − 1

Varianza di un carattere dicotomo S2y = N Py (1− Py)

Deviazione standard o SQM Sy =

√∑Ni=1(Yi − Y )2

N

=

√∑Ni=1 Y

2i

N− Y 2

Coefficiente di variazione (C.V.) CVy =Sy

Y

CV 2y =

S2y

Y 2

C.V. di un carattere dicotomo CV 2y =

N Py (1− Py)

(N Py)2=

1

N

1− Py

Py

Il valore dello stimatore che si ottiene dalle rilevazioni eseguite in questo

campione, che fornisce un vettore osservato (y1, . . . , yn), e la stima di µY ; ossia,

µY = y =∑n

i=1 yi/n.

5. Campionamento probabilistico

Il campionamento probabilistico richiede l’uso di procedimenti oggettivi, che non

coinvolgono l’intervento dell’operatore, e casuali, che assegnano a ogni unita una

probabilita di essere inclusa nel campione maggiore di zero.

Esso definisce, quindi, un approccio alla selezione delle unita nel campione

che soddisfa le seguenti condizioni.

1. Si deve poter definire l’insieme di tutti i possibili campioni, S = s1, . . . , sM,

5.. Campionamento probabilistico 7

di ampiezza fissata n ottenibili, detto spazio campionario.

2. A ogni possibile campione s deve essere associata una probabilita nota di

selezione, p(s), definita su S e detta piano di campionamento, tale che:

p(s) ≥ 0;∑

s∈S p(s) = 1 .

3. La procedura deve assegnare a ogni unita della popolazione una probabilita

maggiore di zero di essere estratta (probabilita di inclusione).

4. Si seleziona un solo campione con un meccanismo casuale per il quale ogni

possibile campione s ha probabilita p(s) di essere estratto.

Il meccanismo casuale di estrazione si puo realizzare con un esperimento casuale

o modello d’urna: si inserisce in un’urna un biglietto per ogni unita della popo-

lazione; ogni biglietto identifica univocamente una sola unita. L’urna contiene,

allora, N biglietti. Ogni biglietto e diverso dagli altri e ha la stessa possibilita di

essere estratto.

Sia P = 1, . . . , N la popolazione, con ciascun elemento contrassegnato da

un’etichetta o codice. L’esecuzione di n estrazioni genera una sequenza di indici

(i1, . . . , in) denominata campione ordinato, dove il simbolo ij (per j = 1, . . . , n)

indica l’etichetta dell’unita della popolazione selezionata nella j-esima estrazione.

I vari tipi di campionamento sono riportati nello schema seguente.

Tabella 1.2: Metodi di campionamenti probabilistici e non probabilistici

Probabilistici Campionamento Casuale Semplice (CCS)

Campionamento Sistematico (CSist)

Campionamento Stratificato (CStr)

Campionamento a grappoli (CG)

Campionamento a due o piu stadi

NON Probabilistici Campionamento per quote

Campionamento a scelta ragionata

Campionamento per convenienza


6. Campionamento casuale semplice senza reim-

missione

Il Campionamento Casuale Semplice consiste nell’estrarre senza reimmissione

(CCS-SR) n unita campionarie da una popolazione obiettivo, P, costituita da

N unita. Ne consegue che ogni unita estratta non ha piu la possibilita di essere

estratta di nuovo e il numero di campioni possibili e B(N, n).

Il piano di campionamento attribuisce a ciascuno dei B(N,n) campioni

possibili la stessa probabilita, 1/B(N, n), di essere estratto:

p(s) =n

N

n− 1

N − 1

n− 2

N − 2· · · 1

N − n+ 1=

1

B(N,n)=

1(N

n

) . (1.1)

6.1. Stima della media

Si supponga di voler stimare la media, Y , del reddito Y della popolazione dei

potenziali consumatori di un bene. Per il principio di corrispondenza, lo stimatore

di Y e la media campionaria, y. Per il seguito si veda Cochran (1977).

Teorema 6..1 Sia dato un piano di campionamento probabilistico che preve-

da l’estrazione senza reimmissione di n unita. La media campionaria y e uno

stimatore corretto della media della popolazione Y .

Teorema 6..2 Sia dato un piano di campionamento probabilistico che preveda

l’estrazione senza reimmissione di n unita. La varianza della media campionaria,

s2y, e uguale a

s2y = Var (y) = E(y − Y

)2=

S2

n

N − n

N − 1. (1.2)

Si noti solo che il primo termine del secondo membro, S2/n, e la varianza del-

la media in un campionamento casuale semplice con reimmissione. Il secondo

termine, il fattore (N − n)/(N − 1), e chiamato fattore di correzione per popo-

lazioni finite e rappresenta la riduzione di incertezza ottenuta con il mancato

reinserimento delle unita estratte.

Si ricorda che la varianza campionaria, data dalla media degli scarti dalla

media elevati al quadrato, e una stima distorta della varianza della popolazione

(nel nostro caso S ′2).

E(s2) = E

[∑ni=1(yi − y)2

n

]=

n− 1

nS ′2 . (1.3)

7.. Campionamento casuale semplice con reimmissione 9

6.2. Stima della proporzione

Sia Y un carattere dicotomo in P . La proporzione P del carattere presente in Psara

P =Y

N= Y =

∑Ni=1 Yi

N=

A

N. (1.4)

La variabile casuale Yi e dicotoma, ossia Yi ∼ Ber(P ) e lo stimatore di P sara

p =y

n= y =

∑ni=1 yin

=a

n. (1.5)

Proposizione 6..3 Lo stimatore p di P e non distorto

E (p) = P. (1.6)

Proposizione 6..4 La varianza della popolazione per un carattere dicotomo e

S2 = P (1− P ). (1.7)

Proposizione 6..5 Sia Y una variabile casuale dicotoma con valore atteso P e

sia dato un piano di campionamento casuale semplice senza reimmissione di n

unita. La varianza dello stimatore p di P e

Var(p) = Var(y) =S2

n

N − n

N − 1=

P (1− P )

n

N − n

N − 1. (1.8)

7. Campionamento casuale semplice con reim-

missione

Il Campionamento Casuale Semplice con reimmissione (CCS-SR) consiste nel-

l’estrarre n unita campionarie da una popolazione obiettivo, P , costituita da N

unita, reinserendo nell’urna ciascuna unita estratta prima di eseguire l’estrazione

successiva. Ne consegue che ogni unita estratta ha la possibilita di essere estratta

di nuovo e il numero di campioni possibili e Nn.

Il piano di campionamento e tale che ciascuno degli Nn campioni possibili

abbia la stessa probabilita, 1/Nn, di essere estratto.

p(s) =1

N

1

N

1

N· · · 1

N=

1

Nn(1.9)


7.1. Stima della media

In analogia al caso precedente si riportano lo stimatore della media e la sua

varianza corrispondente, ma si noti che le espressioni sono quelle esposte in un

corso di statistica di primo livello.

Teorema 7..1 Sia dato un piano di campionamento probabilistico che prevede

l’estrazione con reimmissione di campioni di ampiezza fissata n. Siano y1, . . . , yn

le osservazioni campionarie. Allora, uno stimatore corretto della media e dato

da:

y =1

n

n∑i=1

yi (1.10)

e la varianza dello stimatore assume la forma

Var(y) =S2

n. (1.11)

e puo essere stimata correttamente con

var(y) =s′2

n=

1

n

[1

n− 1

n∑i=1

(yi − y)2]. (1.12)

8. Effetto del disegno: deff

L’effetto del disegno (deff dall’inglese design effect) esprime la variazione del-

la precisione campionaria dovuta alla modalita di esecuzione del campione. La

precisione delle stime del CCS-SR e presa come riferimento di qualunque altro

disegno di campionamento e il deff e dato dal rapporto tra la varianza delle stime

del disegno oggetto di valutazione (•) o confronto e la varianza ottenuta da un

CCS-SR:

deff(•, CCS − SR) =V•(y)

VCCS−SR(y). (1.13)

Si ha, allora, che il campionamento casuale semplice con reimmissione produce

varianze della stima del totale (o della media o della proporzione) piu elevate e,

quindi, e meno efficiente; infatti,

deff(CR, SR) =S2

nS2

nN−nN−1

=N − 1

N − n> 1 . (1.14)

Se deff e maggiore di 1, allora si e persa precisione per non avere usato il CCS-SR;

se deff e minore di 1, allora si e guadagnato in precisione rispetto al CCS-SR.

9.. Dimensione del campione 11

9. Dimensione del campione

La determinazione della dimensione del campione e importante perche comporta,

quasi sempre, un conflitto tra le risorse disponibili e la precisione desiderata delle

stime: piu il campione e grande, piu aumentano i costi; piu il campione e piccolo,

piu i risultati sono imprecisi o inaffidabili.

La dimensione del campione in base alla precisione desiderata delle stime

si determina esaminando ciascuna variabile oggetto di stima. Si distinguono,

pertanto, le variabili qualitative dalle variabili quantitative; per semplificare i

calcoli, si considerano solo variabili qualitative dicotome.

9.1. Variabili qualitative dicotome

Sia P la proporzione di elementi della popolazione che hanno un determinato

attributo e (1 − P ) la proporzione di quelli che non l’hanno. Sia e l’errore o la

distanza massima desiderata tra il possibile valore risultante dal campione e il

valore della popolazione P . Sia α il livello di errore in termini di probabilita di

osservare un campione che produca una stima maggiore di quella desiderata. In

termini di probabilita si puo scrivere come segue:

Pr(|p− P | ≥ e) = α.

L’espressione precedente si puo standardizzare usando lo scarto quadratico medio

di p e da lı ricavare l’espressione per il calcolo di n.

α = Pr

|p− P |√P (1− P )

n

N − n

N − 1

≥ e√P (1− P )

n

N − n

N − 1

.

Lo stimatore si puo considerare distribuito secondo una normale standardizzata,

per cui l’uguaglianza si ha in z1−α/2:

z1−α/2 =e√

P (1− P )

n

N − n

N − 1

Risolvendo si ha:

n =z21−α/2

P (1− P )

e2

1 +1

N

(z21−α/2 P (1− P )

e2− 1

) (1.15)


Il numeratore e indicato, in genere, con n0 e si riferisce alla dimensione cam-

pionaria per popolazioni infinite; cosı, il fattore al denominatore rappresenta la

correzione della dimensione per popolazioni finite. Si scrivera, allora

n0 = z21−α/2

P (1− P )

e2(1.16)

n =n0

1 +n0 − 1

N

. (1.17)

Nella tabella seguente sono riportati alcuni calcoli di dimensione campionaria

per un errore del 5% (e = 0, 05) e un errore dell’1% (e = 0, 01), per un livello di

rischio del 5% (α = 0, 05) che implica un valore di z1−α/2 = 1, 96 (approssimato

a 2, per semplicita). Il valore massimo della dimensione campionaria si ottiene

quando P = 1/2. In mancanza di informazioni sul possibile valore di P nella

popolazione, si puo assumere P = 1/2 ottenendo cosı il valore massimo di n.

Tabella 1.3: Dimensioni campionarie: (e = 0, 05), (α = 0, 05), z1−α/2 = 2

N n0,max e = 0, 05 n0,max e = 0, 01

n022×0,5×(1−0,5)

(0,05)2400 22×0,5×(1−0,5)

(0,01)210000

100 4001+ 399

100

≃ 80 100001+ 9999

100

≃ 99

400 4001+ 399

400

≃ 200 100001+ 9999

400

≃ 385

1000 4001+ 399

1000

≃ 286 100001+ 9999

1000

≃ 909

5000 4001+ 399

5000

≃ 370 100001+ 9999

5000

≃ 3333

10000 4001+ 399

10000

≃ 386 100001+ 9999

10000

≃ 5000

20000 4001+ 399

20000

≃ 392 100001+ 9999

20000

≃ 6666

Se la P di interesse e minore del 10% o maggiore del 90%, se si vuole

stimare il totale di unita appartenenti alla modalita (categoria) di interesse,

N P , si preferisce controllare l’errore relativo, r. Con un procedimento analogo

al precedente si ha che la dimensione del campione in assenza di correzione per

popolazione finita, n0, e data da

n0 = z21−α/2

P (1− P )

e2= z21−α/2

P (1− P )

r2 P 2=

z21−α/2

r2(1− P )

P. (1.18)


Quando P assume valori molto piccoli, inferiori al 10%, allora piccole variazioni

sulle valutazioni di P conduce a forti variazioni di n0

α = 0, 05 z1−α/2 = 2

e = 0, 05 ⇒ r =P − (P − 0, 05)

P= 0, 5

n0 =22

(0, 5)20, 90

0, 10= 144

n0 =22

(0, 5)20, 99

0, 01= 1584.

A parita di errore relativo la dimensione del campione n0 cresce al diminuire di

P . Inoltre, dai numeri riportati si deduce che e elevata la possibilita di estrarre

campioni troppo piccoli o troppo grandi per gli obiettivi che si devono conseguire.

9.2. Variabili quantitative

Sia Y una variabile casuale quantitativa relativa a una popolazione. Il controllo

dell’errore, e, non puo piu essere espresso in termini assoluti perche e difficile

quantificare in termini immediati l’entita dell’errore che si puo ancora esprimere

in termini di distanza massima desiderata dal parametro da stimare: Y o Y .

Si puo controllare piu agevolmente l’errore relativo. Sia α il livello di errore in

termini di probabilita di osservare un campione che produca una stima maggiore

di quella desiderata. In termini di probabilita si puo scrivere come segue:

Pr(| y − Y |Y

≥ r) = Pr(|N y −N Y |N Y

≥ r) = α.

L’espressione precedente si puo standardizzare usando lo scarto quadratico medio

di y e da lı ricavare l’espressione per il calcolo di n.

α = Pr

|y − Y |√S2

n

N − n

N − 1

≥ r Y√S2

n

N − n

N − 1

.

Lo stimatore si puo considerare distribuito secondo una normale standardizzata,

per cui l’uguaglianza si ha in z1−α/2:

z1−α/2 =r Y√

S2

n

N − n

N − 1


Risolvendo si ha:

n =z21−α/2

S2

Y 2 r2

1 +1

N

(z21−α/2 S2

Y 2 r2− 1

) . (1.19)

Il numeratore e indicato, in genere, con n0 e si riferisce alla dimensione cam-

pionaria per popolazioni infinite; cosı, il fattore al denominatore rappresenta la

correzione della dimensione per popolazioni finite. Si scrivera, allora

n0 = z21−α/2

S2

Y 2 r2(1.20)

n =n0

1 +n0 − 1

N

. (1.21)

Si puo assumere che y ∼ N(Y , σ2

y

). La dimensione del campione dipende dai

dati non noti della popolazione: Y , S2.

9.3. Esempi e esercizi

Esercizio 1

La popolazione di imprese di una certa regione e composta da N = 50000 unita.

Si vuole condurre una indagine per stimare la proporzione di imprese che applica

una nuova forma contrattuale. Si suppone che la proporzione, P , si aggiri tra il

10% e il 20%.

a) Determinare la dimensione di un CCS senza reimmissione con un livello di

fiducia del 95% e un errore assoluto del 5% per P .

b) Determinare la dimensione di un CCS senza reimmissione con un livello di

fiducia del 95% e un errore relativo del 15% di P .

Soluzione

a) Si considerano le dimensioni per le due percentuali ipotizzate.

P1 = 20%

n1 =

z21−α P (1− P )

e2

1 +1

N

(z21−α P (1− P )

e2− 1

)

=

(1, 96)2 0, 20 (1− 0, 20)

(0, 05)2

1 +1

50000

((1, 96)2 0, 20 (1− 0, 20)

(0, 05)2− 1

) = 244, 7


P2 = 10%

n2 =

(1, 96)2 0, 10 (1− 0, 10)

(0, 05)2

1 +1

50000

((1, 96)2 0, 10 (1− 0, 10)

(0, 05)2− 1

) = 137, 9 .

b) La seconda domanda ha le sue motivazioni sul basso valore di P . Si possono

applicare le formule precedenti sostituendo all’errore assoluto il suo valore corri-

spondente alla percentuale del 15% di P oppure utilizzare le formule con l’errore

relativo.

P1 = 20%

e1 = 0, 15× 0, 2 = 0, 03 errore assoluto pari al 15% di P

n1 =

z21−α (1− P )

r2 P

1 +1

N

(z21−α (1− P )

r2 P− 1

) =N z21−α (1− P )

(N − 1) P r2 + z21−α (1− P )

=50000 (1, 96)2 (1− 0, 20)

(50000− 1) 0, 20 (0, 15)2 + (1, 96)2 (1− 0, 20)= 673, 8

P2 = 10%

e2 = 0, 15× 0, 1 = 0, 015 errore assoluto pari al 15% di P

n2 =50000 (1, 96)2 (1− 0, 10)

(50000− 1) 0, 10 (0, 15)2 + (1, 96)2 (1− 0, 10)= 1490, 9 .

Esercizio 2

Si vuole stimare la proporzione di famiglie italiane che non va in vacanza per piu

di 10 giorni l’anno, mediante un campionamento casuale semplice senza reim-

missione e un errore assoluto del 2,5%. Quanto deve essere la dimensione del

campione?

Soluzione

1. La dimensione,N , di P e elevata; quindi, si ignora la correzione per popolazione

finita.

2. Senza informazioni a priori si assume P = 0, 5. Se la realta e diversa, come e

molto probabile, allora si avra, in pratica, una minore incertezza di quella fissata

all’inizio che e pari al 2,5%:

n =z21−α P (1− P )

e2=

(1, 96)2 0, 5 (1− 0, 5)

(0, 025)2= 1536, 64 .


Esercizio 3

Si vuole stimare la proporzione di famiglie italiane che possiede una barca, me-

diante un campionamento casuale semplice senza reimmissione e un errore del 2%.

Quanto deve essere la dimensione del campione, ipotizzando che la percentuale

di famiglie sia dell’ordine del 5%?

Soluzione

1. La dimensione, N , di P e elevata; si ignora, percio, la correzione per popola-

zione finita.

2. Il testo non specifica se si tratta di errore assoluto o relativo, ma dato il basso

valore della percentuale in P si deve usare l’errore relativo.

n =z21−α (1− P )

r2 P=

(1, 96)2 (1− 0, 05)

(0, 02)2 0, 05= 182476 .

Esercizio 4

Una comunita, P , e formata da Nf = 3000 famiglie. Si sa che, in un anno, la

media di film visti per famiglia e 56,8 con una deviazione standard pari a 23,166.

Quanto deve essere la dimensione del campione, ipotizzando che la stima si debba

ottenere con un livello di fiducia del 95% e un errore relativo del 10%?

Soluzione

La soluzione, qui come in sede di esame, consiste nell’applicazione della formula

per il calcolo di n per variabili continue; infatti, sono (e saranno) fornite la media

e la deviazione standard.

n =

z21−α S2

r2 Y 2

1 +1

N

(z21−α S2

r2 Y 2− 1

)

=

(1, 96)2 (23, 166)2

(0, 1)2 (56, 8)2

1 +1

3000

((1, 96)2 (23, 166)2

(0, 1)2 (56, 8)2− 1

) = 62, 59 .

Capitolo 2

Campionamento sistematico

La popolazione P abbia le N unita numerate progressivamente da 1 a N .

SiaK = ⌊N/n⌋ il passo di campionamento (sampling interval), ossia l’intero

piu vicino a N/n; infatti, il simbolo ⌊·⌋ indica la parte intera.

Si estragga un numero casuale r tale che 1 ≤ r ≤ K.

Si chiama campionamento sistematico l’insieme di unita contraddistinte

dalle etichette: r, r +K, r + 2K, . . . , r + (n− 1)K. Il altri termini (Sarndal,

Swensson, Wretman, 1992),

• N = nK + q;

• si genera un numero casuale con probabilita 1/K;

• s = i : i = r + (j − 1)K ≤ N ; j = 1, . . . , ns e il campione casuale

selezionato di dimensione ns

ns =n+ 1 se 1 ≤ r ≤ qn se q < r ≤ K .

La procedura di realizzazione del campionamento sistematico e semplice: gli ele-

menti sono selezionati scorrendo la lista e scegliendo un elemento ogniK a partire

dal soggetto che nei primi K elementi occupa una posizione scelta secondo un

numero casuale, r, compreso tra 1 e K e detto partenza casuale (random start).

Esistono almeno due situazioni in cui il campionamento sistematico puo

condurre a errori considerevoli.

• I soggetti ordinati secondo un criterio sistematico non alfabetico e, comun-

que, non assimilabile al caso. Per esempio, i soggetti sono elencati secondo

il prestigio, il grado gerarchico, la classe sociale, il tipo di mansioni svolte,

l’anzianita.

17

18 Capitolo 2. Campionamento sistematico

• La lista presenta ricorrenze cicliche il cui periodo coincide con la frazione

di campionamento. Per esempio, se si intervistano consumatori che escono

da un supermercato tutti i giovedı dalle 12 alle 13, cio puo a un errore.

Osservazioni

O.1. Se la lista e molto lunga o bisogna scegliere un campione molto grande,

il campionamento sistematico diventa piu conveniente del campionamento

casuale semplice.

O.2. Se i soggetti sono stati inseriti (elencati) nella lista in modo casuale, al-

lora il campionamento sistematico puo considerarsi a tutti gli effetti un

campionamento casuale semplice.

O.3. Nel campionamento sistematico si estrae un solo numero casuale.

O.4. Gli elenchi alfabetici sono una buona base di campionamento.

1. Stimatori e efficienza

Teorema 1..1 Sia dato un piano di campionamento sistematico con passo di

campionamento K. Sia ySM la corrispondente media campionaria, allora

E (ySM) = Y

e la sua varianza e data da

Var(ySM) =S2

n

(N − n

N − 1

)[1 + (n− 1) ρW ]

dove ρW e il coefficiente di correlazione tra le coppie di unita che sono nello

stesso campione sistematico (Within)

ρW =E[(yij − Y ) (yil − Y )

]E[(yij − Y )2

] . (2.1)

Il numeratore e mediato sulle K n (n − 1)/2 coppie distinte e il numeratore su

tutti gli N valori di yij.

In genere il deff(SM, SR) > 1 perche ρW e spesso maggiore di zero; ma

se ρW < 0, allora deff(SM, SR) < 1.

Capitolo 3

Campionamento stratificato

Le conoscenze disponibili sulla popolazione obiettivo, P composta di N unita,

permettono di suddividerla in H sottogruppi o strati disgiunti, all’interno dei

quali le unita siano omogenee secondo i criteri definiti in base alla conoscenze

iniziali, e tali che N = N1 +N2 + · · ·+NH .

Da ogni strato si estrae in modo indipendente un campione sicche la di-

mensione complessiva del campione e data da n = n1 + n2 + · · ·+ nH .

Il piano campionario risultante e detto campionamento casuale stratificato.

Osservazioni.

(a) Gli strati devono essere il piu possibile omogenei internamente e eterogenei

tra loro.

(b) La definizione dell’omogeneita dipende dalle finalita che si devono conseguire

con la stratificazione. Il singolo strato potrebbe costituire un dominio di studio.

(c) La stratificazione puo essere eseguita in base a uno o piu caratteri.

Vantaggi della stratificazione

1. Riduzione dell’errore delle stime dei parametri di P.

2. Incremento dell’efficienza (delle stime) per unita di costo.

3. Precisione per strato (eventualmente) delle stime dei parametri di P .

4. Convenienza operativa perche le informazioni su P sono spesso raggruppate

in base a determinati caratteri a fini amministrativi, contabili, e altro.

5. Differenziazione per strato dei problemi di campionamento.

Quando e perche la stratificazione

1. Quando le stime sono richieste separatamente per ogni suddivisione della

popolazione obiettivo, quali aree geografiche, strati sociali, gruppi etnici.

19

20 Capitolo 3. Campionamento stratificato

2. Quando la composizione per strato e molto variabile e si vuole includere

nel campione elementi appartenenti a strati poco numerosi.

3. Quando la caratteristica oggetto di stima ha una varianza molto elevata;

come, il numero degli addetti, il fatturato, il reddito.

4. Quando differenti procedure campionarie devono essere adottate in uno o

piu strati differenti, in accordo con la natura della sottopopolazione.

5. Multi-stadificazione. La stratificazione puo essere adottata anche a diffe-

renti stadi del campionamento. Per esempio, in una indagine sul compor-

tamento al consumo delle famiglie si selezionano le citta di interesse e in

ogni citta si stratificano le famiglie in base al numero dei loro componenti.

6. Post-stratificazione. In fase di elaborazione dei dati raccolti si puo assumere

che una variabile oggetto di stima, X, provenga da una stratificazione.

1. Stima della media e della varianza

Per illustrare gli aspetti formali di una strategia di campionamento si definisco-

no, in genere, subito l’insieme degli indici e dei simboli utilizzati nelle formule.

Nella tabella 3.1 sono riportate le grandezze che appaiono nei risultati inerenti

al campionamento stratificato. In particolare, le espressioni della media e della

varianza della popolazione e del campione, rispettivamente.

2. Stima della dimensione campionaria

La dimensione del campione puo essere determinata anche in ogni singolo stra-

to, nh, con il procedimento descritto in precedenza e con precisioni desiderate

eventualmente diverse, ma preferibilmente uguali, per strato. Il numero totale di

unita da selezionare, allora, sara n = n1 + n2 + · · · + nH . Diversamente, si puo

determinare la dimensione totale del campione considerando tutta la popolazione

(indipendentemente dagli strati) e, dopo, procedere al calcolo della dimensione

dei campioni per ogni strato, nh. Si descrivono due procedure di determinazio-

ne di nh, quando e nota la dimensione totale, n, del campione: l’allocazione

proporzionale e l’allocazione ottimale.

2.. Stima della dimensione campionaria 21

Tabella 3.1: Simboli e formule utilizzate nel processo di stima

Nh Numero di unita per strato della popolazione

nh Numero di unita per strato del campione

Wh =Nh

NPeso dello strato nella popolazione

wh =nh

nPeso dello strato nel campione

fh =nh

NhFrazione campionaria per strato

Yh =

∑Nhi=1 YhiNh

=YhNh

Media della popolazione per strato

yh =

∑nhi=1 yhinh

=yhnh

Media del campione per strato

S′2h =

∑Nhi=1(Yhi − Yh)

2

Nh − 1Varianza popolazione per strato

s′2h =

∑nhi=1(yhi − yh)

2

nh − 1Varianza campionaria per strato

2.1. Allocazione proporzionale

La procedura mantiene le proporzioni tra la consistenza della popolazione per

strato e le corrispondenti dimensioni del campione (Cochran, 1977):

nh

n=

Nh

N→ nh

Nh

=n

N→ fh = f (3.1)

dove N = N1 + · · · + NH . Si ottengono gli stessi risultati se si impone che nel

calcolo della media campionaria si utilizzano gli stessi “pesi” che figurano nel-

l’espressione della media relativa alla popolazione. L’allocazione proporzionale

fornisce un campione autoponderante (self-wieghting); ossia, l’ammontare del-

le unita nel campione per strato e proporzionale a quella corrispondente della

popolazione.

Teorema 2..1 In ogni strato, la media campionaria, yh, e uno stimatore corretto

della media della popolazione, Yh. Allora, la media campionaria pesata, yST, euno stimatore corretto della media della popolazione, Y .

E(yST) = E

(H∑

h=1

wh yh

)=

H∑h=1

wh E (yh) =H∑

h=1

wh Yh = Y .


Teorema 2..2 Se i campioni sono estratti indipendentemente in ciascun strato,

allora la varianza della media campionaria, yST, e data da

Var(yST) = H∑

h=1

W 2h Var (yh) =

H∑h=1

W 2h

S2h

nh

Nh − n

Nh − 1(3.2)

dove Var(yh) e la varianza di yh per campioni (ripetuti) nell’h-esimo strato.

Da questi due teoremi deriva che la Var(yST) dipende solo dalla varianza

delle stime della media per strato. All’aumentare del numero degli strati in una

data popolazione di dimensione fissata, N , diminuisce la varianza; la stratifica-

zione diventa sempre piu efficiente fino a quando in ogni strato si hanno elementi

uguali tra loro (strati perfettamente omogenei), ossia yhi = yhj, ∀i, j = 1, . . . , Nh.

2.2. Allocazione ottimale

Il costo di una intervista e spesso costante, ma, a volte, puo avere variazioni

anche complicate. Si puo dimostrare che la dimensione del campione per strato,

nh, e piu grande se

• lo strato e piu numeroso

• lo strato ha piu variabilita interna

• il costo per unita di rilevazione e piu economico, cioe il campione costa

meno all’interno dello strato rispetto agli altri.

Con un costo di rilevazione costante per strato si ha l’allocazione ottimale di

Neyman.

Teorema 2..3 In un campionamento stratificato con funzione di costo lineare

C = C0 +H∑

h=1

c nh,

la varianza dello stimatore della media (campionaria) e minima per una dimen-

sione del campione totale fissata, n, quando

nh = nWh Sh∑Hh=1 Wh Sh

= nNh Sh∑Hh=1 Nh Sh

(3.3)

3.. Esempi e esercizi 23

3. Esempi e esercizi

Esercizio 5

La popolazione di imprese, P , di un certo comune e composta da N = 3000 unita

e per ogni azienda, i, si conosce il numero di addetti Yi. Si vuole condurre una

indagine sul 10% di P, sapendo che le imprese sono suddivise per strati, come

riportato nella tabella seguente

Tabella 3.2: Numero di imprese e deviazioni standard per classe di addetti

Classe addetti Nh Sh

A: 1–9 1200 1,5

A: 10–19 900 4

A: 20–49 500 8

A: 50–99 260 16

A: >=100 140 100

Totale 3000 60

a) Determinare la dimensione del campione negli strati con il metodo dell’allo-

cazione proporzionale.

b) Determinare la dimensione del campione negli strati con il metodo dell’allo-

cazione ottimale di Neyman.

Soluzione

a) La dimensione del campione deve essere il 10% di N , per cui si ha n = 10×3000/100 = 300. Nell’allocazione proporzionale si ha nh = nNh/N , ossia il 10%

della popolazione dello strato Nh, come riportato in tabelle 3.3. Per la prima

classe (A: 1–9) si ha npr; 1 = 300 × 1200/3000 = 120, Per la seconda classe (A:

10–19) si ha npr; 2 = 300× 900/3000 = 90, e cosı via.

b) Per eseguire semplicemente le operazioni conviene calcolare la colonna Nh Sh:

il totale diventera il denominatore dell’equazione 3.3, mentre il numeratore sara

dato dal prodotto di n per il valore della cella (Nh Sh). Per la prima classe (A:

1–9) si ha nott; 1 = 300 × (1200 × 1, 5)/27560 = 20, Per la seconda classe (A:

10–19) si ha nott; 2 = 300× (900× 4)/27560 = 39, e cosı via.

Dopo l’esecuzione dei calcoli, si verifica che in uno strato (l’ultimo) la dimen-

sione del campione e superiore alla dimensione della popolazione. In tali casi, si


Tabella 3.3: Numero di imprese (Nh), deviazione standard (Sh), dimensione delcampione con allocazione proporzionale (npr;h), prodotto Nh Sh, dimensionedel campione con allocazione ottimale (nott;h), dimensione effettiva risultante(nott-eff;h

), e dimensione finale in seconda applicazione (n′ott;h) per classe di

addetti

Classe addetti Nh Sh npr;h Nh Sh nott;h nott-eff;hn′ott;h

A: 1–9 1200 1,5 120 1800 20 20 21

A: 10–19 900 4 90 3600 39 39 43

A: 20–49 500 8 50 4000 44 44 47

A: 50–99 260 16 26 4160 45 45 49

A: >=100 140 100 14 14000 152 140 140

Totale 3000 60 300 27560 300 288 300

includono tutte le unita dello strato (o degli strati) nel campione e si riapplica

la procedura agli strati restanti per il numero di unita campionarie restanti.

Escluso l’ultimo strato, la somma di Nh Sh e 13560; mentre il numero di imprese

da includere ancora nel campione, n′, diventa n′ = 300−140 = 160. Per la prima

classe (A: 1–9) si ha n′ott; 1 = 160 × (1200 × 1, 5)/13560 = 21, Per la seconda

classe (A: 10–19) si ha n′ott; 2 = 160× (900× 4)/13560 = 43, e cosı via.

Esercizio 6

Gli iscritti ai Centri Per l’Impiego (CPI) di cinque citta dell’Emilia sono riportati

di seguito (dati artificiali e un solo CPI per citta)

Tabella 3.4: Numero di iscritti ai CPI, proporzione di occupati, eta media (PO)

Citta Nh Xh PO

Bologna 35000 34,5 25

Modena 15000 33,4 20

Reggio Emilia 10000 36,2 15

Parma 12000 31,4 18

Piacenza 13000 34,3 25

Totale 85000 — —


a) Proporre una ripartizione adeguata di un campione di n = 1000 iscritti in

base ai dati forniti.

Soluzione

a) Per rispondere al quesito, qui e in sede di esame, occorre valutare gli elementi

forniti con la tabella. Si tratta di un campionamento stratificato perche le citta

si possono considerare come strati; pertanto, bisogna definire se si deve ap-

plicare l’allocazione proporzionale o l’allocazione ottimale. Tale scelta si

effettua come segue:

(1) se NON sono state fornite le deviazioni standard per strato (Sh), allora si

applica l’allocazione proporzionale;

(2) se sono state fornite le deviazioni standard per strato (Sh), allora si applica

l’allocazione ottimale.

In questo caso, sono state fornite informazioni che non si riferiscono alla de-

viazione standard (per rendere il testo simile nei due casi); pertanto, si DEVE

applicare l’allocazione proporzionale.

Nell’allocazione proporzionale si ha nh = nNh/N .

Per Bologna si ha npr; 1 = 1000× 35000/85000 = 411, 8.

Per Modena si ha npr; 2 = 1000×15000/85000 = 176, 5, e cosı via, come riportato

nella tabella di seguito. La dimensione e stata indicata con una cifra decimale.

Tabella 3.5: Numero di iscritti ai CPI, proporzione di occupati, eta media (PO)

Citta Nh Xh PO npr;h

Bologna 35000 34,5 25 411,8

Modena 15000 33,4 20 176,5

Reggio Emilia 10000 36,2 15 117,6

Parma 12000 31,4 18 141,2

Piacenza 13000 34,3 25 152,9

Totale 85000 — — 1000,0

Esercizio 7

Gli iscritti ai Centri Per l’Impiego (CPI) di cinque citta dell’Emilia sono riportati

di seguito (dati artificiali e un solo CPI per citta)


Tabella 3.6: Numero di iscritti ai CPI, tempi di attesa in mesi (X)

Citta Nh Xh Sh

Bologna 35000 15,8 15,5

Modena 15000 14,5 12,4

Reggio Emilia 10000 13,9 15,2

Parma 12000 16,2 20,4

Piacenza 13000 16,1 25,2

Totale 85000 — —

a) Proporre una ripartizione adeguata di un campione di n = 1000 iscritti in

base ai dati forniti.

Soluzione

a) Per rispondere al quesito, qui e in sede di esame, occorre valutare, come sopra,

gli elementi forniti con la tabella. Si tratta di un campionamento stratificato

perche, come sopra, le citta si possono considerare come strati; pertanto, bisogna

scegliere tra allocazione proporzionale e allocazione ottimale. Tale scelta

si effettua considerando lo schema esposto nell’esercizio precedente.

In questo caso, sono state fornite deviazioni standard di una variabile quantitativa

(tempo di attesa per trovare un lavoro); pertanto, si DEVE applicare l’allocazione

ottimale e nh = nNh Sh/(∑H

h=1 Nh Sh

)Per Bologna si ha nott; 1 = 1000× 542500/1452900 = 373, 4.

Per Modena si ha nott; 2 = 1000 × 186000/1452900 = 128, 0; e cosı via, come

riportato nella tabella di seguito. La dimensione e stata indicata con una cifra

decimale.

Si puo riflettere sulle differenze delle dimensioni campionarie ottenute con i due

metodi in base agli obiettivi di stima e alle informazioni disponibili all’inizio.


Tabella 3.7: Numero di iscritti ai CPI, tempi di attesa in mesi (X)

Citta Nh Sh NhSh nott;h

Bologna 35000 15,5 542500 373,4

Modena 15000 12,4 186000 128,0

Reggio Emilia 10000 15,2 152000 104,6

Parma 12000 20,4 244800 168,5

Piacenza 13000 25,2 327600 225,5

Totale 85000 — 1452900 1000,0

Capitolo 4

Campionamento a grappoli

La popolazione P e suddivisa in un numero elevato di gruppi (grappoli, cluster).

Le unita nel procedimento di selezione sono i grappoli e tutti gli elementi

dei grappoli selezionati sono rilevati.

La procedura richiede, per essere efficace, che i grappoli siano al loro interno

eterogenei al massimo, in quanto non si selezionano i soggetti bensı i grappoli

(campionamento a grappoli a un solo stadio).

Si usa per ridurre i costi di raccolta dei dati e per non costruire la lista.

Nel campionamento a grappoli (a uno stadio) non vi e errore di campio-

namento all’interno del grappolo in quanto tutti i soggetti di appartenenza sono

inclusi nel campione. L’errore di campionamento deriva, allora, dalla differenza

tra i grappoli sicche si richiede che i grappoli siano eterogenei al loro interno e

siano omogenei tra loro. Nel caso estremo, un grappolo solo dovrebbe essere una

“mini-immagine” (o una “miniatura”) della popolazione.

I simboli per formalizzare la strategia del campionamento a grappoli sono

riportati nella tabella 4.1 (Cochran, 1977).

Per il campionamento a grappoli si avra S ′2i = s′2i .

Teorema 0..1 Sia dato un piano di campionamento a grappoli a un solo stadio

in cui i grappoli sono selezionati con un procedimento analogo al campionamento

casuale semplice. Se i grappoli sono estratti con probabilita uguali, ossia secondo

un campionamento casuale semplice, si ha che lo stimatore della media della

popolazione e yCG =

∑ni=1 Mi yi ·∑n

i=1 Mi

(4.1)

e la varianza corrispondente e

Var(yCG

)=

1

n

(∑Ni=1(Yi · − ¯Y )2

N

)N − n

N − 1(4.2)

(4.3)

29

30 Capitolo 4. Campionamento a grappoli

Tabella 4.1: Simboli e formule utilizzate nel processo di stima

N Numero di grappoli nella popolazione

n Numero di grappoli nel campione

Mi Numero di unita nel grappolo i

M· =∑N

i=1Mi Numero di unita nella popolazione

Yij Valore di Y nell’unita j del grappolo i in P

yij Valore di Y nell’unita j del grappolo i in un ∫

Yi · =

∑Mij=1 Yij

MiMedia per grappolo in P

Yi · =∑Mi

j=1 Yij Totale per grappolo in P

yi · =

∑Mij=1 yij

MiMedia campionaria per grappolo

yi · =∑Mi

j=1 yij Totale campionario per grappolo

dove ¯Y = Y· ·/N esprime il totale medio del carattere Y per grappolo, mentre

Y· · indica il totale del carattere Y (Cicchitelli, Herzel, Montanari, 1997).

Teorema 0..2 Sia dato un piano di campionamento a grappoli a un solo stadio

in cui i grappoli sono selezionati con un procedimento analogo al campionamento

casuale semplice. Se i grappoli sono estratti con probabilita uguali, ossia secondo

un campionamento casuale semplice si ha che il rapporto tra la varianza del-

lo stimatore della media della popolazione e la corrispondente varianza di un

campionamento casuale semplice e data da

Var(yCG

)Var

(ySRS

) = 1 + ρi (M − 1) (4.4)

dove ρi e il coefficiente di correlazione intra-classi e M e il numero medio di

unita nei grappoli.

Generalmente sara ρi > 0 che implica Var(yCG

)> Var

(ySRS

). Il coefficiente ρi

esprime una misura di omogeneita dei grappoli: piu i grappoli sono omogenei,

piu ρi risulta maggiore di zero. Si ha ρi < 0 quando i grappoli sono piu eterogenei

di quanto ci si potrebbe aspettare se i grappoli si formassero per effetto del caso,

che e abbastanza raro.

Si noti che le tecniche di inferenza statistica non si applicano facilmente a

dati ottenuti da un campionamento a grappolo.

Capitolo 5

Miscellanea

1. Confronto dell’efficienza tra i vari metodi

La relazione tra le varianze dei diversi metodi si puo sintetizzare come segue:

Var(yCst−Ott

)≤ Var

(yCst−Prop

)≤ Var

(yCCS−SR

)≤ Var

(yCCS−CR

)Rispetto al CCS-SR, si ha per gli altri metodi

Var(yCCS−SR

)≤ Var

(yCsist

)se ρW ≥ 0; diversamente vale >

≤ Var(yCG

)se ρi ≥ 0; diversamente vale >

Dalla catena di relazioni si evince l’efficienza dei diversi metodi.

L’efficienza del campionamento a grappoli diminuisce rispetto al campione

casuale semplice, all’aumentare della dimensione media dei grappoli, N . In gene-

rale, il campionamento a grappoli e meno efficiente anche rispetto agli altri tipi

di campionamento.

2. Il campionamento non probabilistico

Studiare il paragrafo 5.2.2 (o il corrispondente della nuova edizione) del testo

adottato: Molteni L. e Troilo G. (a cura di), Ricerche di marketing, McGraw-Hill,

Milano, 2003 (1.a edizione).

31

32 Capitolo 5. Miscellanea

3. Indagini longitudinali

La composizione di quasi tutte le popolazioni (individui, famiglie, imprese) cam-

bia con il tempo. Gli elementi entrano nella popolazione in oggetto quando na-

scono, immigrano, o raggiungono lo stato utilizzato per definirla; gli elementi

escono o abbandonano la popolazione quando muoiono (cessano), emigrano, o

perdono lo stato che li fa appartenere a essa; percio, si parlera di entrate e uscite.

Per appurare le modifiche avvenute si devono eseguire indagini ripetute nel

tempo o che ricostruiscono il passato (retrospettive) che, per semplicita, si deno-

mineranno longitudinali. Gli obiettivi fondamentali conseguibili con tali indagini

sono (Duncan, Kalton, 1987):

(a) stima dei parametri della popolazione in periodi distinti del tempo; per

esempio, il tasso di disoccupazione trimestrale;

(c) stima della variazione netta (net changes) ovvero della differenza tra le

medie al livello aggregato; per esempio, la variazione inter-trimestrale del

tasso di disoccupazione;

(d) stima dei cambiamenti individuali (gross changes) e di altri componenti

soggetti a variazione tra gli individui; per esempio, la variazione di spesa

del bilancio famigliare da un anno all’altro o del reddito di un individuo;

4. Tipi di indagine per fenomeni temporali

I fenomeni che si svolgono nel tempo richiedono indagini periodiche e tra i vari

metodi di campionamento si distinguono i seguenti casi.

4.1. Indagini ripetute (distinte, periodiche)

Questo schema si riferisce a osservazioni (misure) simili effettuate tramite cam-

pioni distinti estratti da una popolazione equivalente in momenti diversi del

tempo (Duncan, Kalton, 1987). Una popolazione equivalente e definita da preci-

se caratteristiche che la individuano in modo univoco e la sua composizione puo

cambiare nel tempo. Una indagine ripetuta, che si riferisce a campioni realizza-

ti in periodi di tempo regolari, viene anche chiamata periodica. Ogni campione

corrisponde a una indagine trasversale, detta anche per contemporanei, che mi-

sura i caratteri delle unita statistiche alla data di riferimento, ossia tra loro

contemporanee.

4.. Tipi di indagine per fenomeni temporali 33

L’indagine ripetuta nel tempo consente di perseguire gli obiettivi (a), (c);

ma non l’obiettivo (d). Risulta anche relativamente piu semplice delle altre

tipologie.

4.2. Indagini panel

Lo schema di indagine panel richiede che si effettuino le stesse misure sullo stes-

so campione a momenti diversi del tempo; si hanno quindi osservazioni ripetute

a date diverse sugli stessi elementi (soggetti, famiglie, imprese) selezionati al

momento della costituzione iniziale del campione (Lazarsfeld, Fiske, 1938; La-

zarsfeld, 1940). Altra denominazione e indagine longitudinale, che e preferibile,

comunque, usarla nel contesto di una indagine trasversale (cross-section survey)

nella quale i dati sono acquisiti retrospettivamente, come suggeriscono Duncan e

Kalton (1987). La terminologia non e ancora consolidata; cosı le indagini panel

concernenti sottogruppi di popolazione che hanno sperimentato lo stesso evento

nello stesso periodo di tempo, come il numero di coppie che hanno celebrato il

matrimonio o il numero di laureati in un dato anno, sono chiamate studi di coorti

o di (per) generazioni.

La disponibilita dello stesso campione nel tempo consente di perseguire in

modo piu efficiente gli obiettivi (c), (d); ma con meno efficienza l’obiettivo (a).

Indagini panel versus indagini ripetute

I due metodi di indagine sono alle estremita delle possibilita.

Svantaggi delle indagini panel sulle indagini distinte

Auto-selezione iniziale. La costituzione di un panel richiede persone volontarie,

disposte a essere intervistate successivamente, ma cio incrementa la quota dei

mancate partecipazioni.

Attrito. La perdita di soggetti nel tempo non e alta come all’inizio, ma rimane

costante nei vari periodi di indagine per stanchezza, noia, apatia oppure perche

si sono perse le loro tracce. Genera il cosiddetto logoramento del campione. Per

limitare la distorsione introdotta dal logoramento si possono interpolare i dati

mancanti o aggiustare i dati attraverso i pesi per compensare la mancata risposta

(Kish, 1990).

Mobilita. Gli elementi della popolazione si spostano spesso da un luogo all’altro

e la loro reperibilita diventa difficile. La mobilita si distingue dall’attrito perche

la causa della scomparsa dell’elemento nel campione e diversa.


Natalita e Mortalita. In tutte le popolazioni si verificano entrate e uscite: gli

individui nascono e muoiono, le imprese cessano la loro attivita. Il movimento

avviene anche per immigrazione e emigrazione.

Vantaggi delle indagini panel sulle indagini distinte

Potenzialita di analisi. Solo i panel forniscono dati sui cambiamenti individuali

e, quindi, e possibile stimare parametri di modelli inerenti ai cambiamenti indivi-

duali (d), cumulare i dati individuali nel tempo (e), collezionare dati per costruire

la storia degli eventi e correggere gli errori telescopici (g).

Famigliarita. Possibilita di facilitazione del flusso informativo.

Efficienza nella stima della variazione netta. Siano y1 e y2 le medie della variabile

in esame ai tempi t = 1 e t = 2 e sia ∆ = (y2 − y1) lo stimatore della variazione

netta. Allora,

Var(∆) = Var(y1) + Var(y2)− 2 ρ [Var(y1) Var(y2)]1/2 (5.1)

e la varianza relativa, dove ρ e il coefficiente di correlazione tra y1 e y2. In una

indagine ripetuta i due campioni sono indipendenti e ρ = 0; in una indagine panel,

invece, i valori individuali della y dovrebbero essere positivamente correlati nel

tempo e produrre stime piu precise della variazione netta.

4.3. Indagini panel rotante

In questo schema di indagine, gli elementi del campione hanno una permanenza

limitata nel panel: man mano che alcuni di essi lasciano il campione, altri elementi

vengono aggiunti. L’indagine panel rotante e denominata semplicemente indagine

rotata (overlapping design). Le differenziazioni che si hanno tra i vari disegni di

campionamento riguardano l’ammontare, P , e il tipo di rotazione tra i periodi.

L’entrata e l’uscita degli elementi, quindi, e determinata da regole precise.

1. Sovrapposizione completa, P = 1; in tutto il periodo di rotazione si hanno

gli stessi elementi: aaa- aaa- aaa- ....

2. Sovrapposizione parziale, 0 < P < 1; ogni periodo di tempo mostra solo

una quota dei soggetti presenti nel periodo precedente: abc- cde- efg- ...

dove P = 1/3 e tale valore sembra ottimale (Kish, 1989) per stimare sia i

valori dei parametri della popolazione corrente, sia la variazione netta.

3. Non sovrapposizione, P = 0; in ogni periodo di tempo il campione viene

completamente sostituito, si ottiene cosı un’indagine ripetuta o periodica:

aaa- bbb- ccc- ....

4.. Tipi di indagine per fenomeni temporali 35

L’indagine panel rotante, tramite la sostituzione degli elementi del campione con

altri estratti dalla popolazione nel periodo corrente, cerca di ridurre gli inconve-

nienti dell’indagine panel come il logoramento dovuto all’abbandono o al rifiuto

di rispondere per l’onerosita che comporta l’intervista, la perdita di rappresen-

tativita dovuta agli ingressi (e alle uscite) che avvengono nella popolazione, il

condizionamento delle risposte nelle fasi successive dell’inchiesta rispetto a quelle

date in precedenza.

L’indagine panel rotante si usa per conseguire gli obiettivi (a), (c). L’obiet-

tivo (d) e limitato dalla breve permanenza degli elementi nel campione.

4.4. Indagini split panel

Questo schema di indagine e una combinazione di una indagine panel e una in-

dagine ripetuta o un panel rotante. La componente indagine panel consente di

ottenere gli obiettivi (c), (d). La componente indagine ripetuta o panel rotante,

invece, puo essere utilizzata per tenere conto degli ingressi e delle uscite che si

verificano nella popolazione, per controllare la distorsione dovuta al condizio-

namento e alla perdita dei soggetti o logoramento del campione che si verifica

nell’indagine panel. Entrambe le componenti consentono di ottenere gli obiettivi

(a), (b), (c).

4.5. Indagini trasversali con domande retrospettive

Questo schema coincide con una indagine trasversale (cross-sectional survey), ma

la rilevazione dei dati relativi alle differenti unita hanno periodi di riferimento

multipli, cioe si riferiscono sia al momento in cui generalmente si realizza la misu-

ra, sia a momenti o tempi precedenti attraverso domande retrospettive. Il metodo,

detto anche indagine retrospettiva, si basa sul ricordo dei soggetti intervistati per

ricostruire il flusso delle informazioni nel tempo.

Le domande retrospettive rilevano dati che possono essere affetti da errori

di memoria notevoli perche gli intervistati dimenticano gli eventi oppure non ri-

cordano con precisione quando siano avvenuti e la loro entita (effetto telescopico).

Non e possibile, inoltre, portare indietro di molto la raccolta delle informazioni

perche la memoria degli intervistati e notoriamente labile. Si e osservato che non

si ricordano anche eventi importanti, come la disoccupazione o i ricoveri ospe-

dalieri, e non si e in grado di fornire informazioni attendibili sulle esperienze

soggettive.


Con tale schema di indagine si possono conseguire con precisione solo alcuni

obiettivi rispetto all’ultimo periodo di riferimento. Gli obiettivi (a), (b), (c) sono

difficili da conseguire. Con le limitazioni descritte e possibile ottenere (d).

5. Stadificazione

Le indagini riferite a un territorio ampio e popolazione numerosa o di indi-

sponibilita della lista, la strategia consigliata e quella del campionamento a

stadi.

Il campionamento a uno stadio e il campionamento a grappoli.

Il campionamento a due stadi e un piano di campionamento consistente

nell’estrarre, senza ripetizione, un campione casuale di grappoli e nel selezionare,

senza ripetizione, da ogni grappolo estratto un certo numero di unita statistiche

elementari (Cicchitelli, Herzel, Montanari, 1997). Il piano e detto anche campio-

namento a grappoli con sottocampionamento: i grappoli sono le Unita di Primo

Stadio (UPS) o unita primarie, mentre le unita elementari che costituiscono i

grappoli sono le Unita di Secondo Stadio (USS) o unita secondarie. La definizione

si puo facilmente generalizzare a tre o piu stadi.

Esempi di indagine a due stadi sono la Rilevazione Continua delle Forze

di Lavoro (RCFL) e l’indagine sui consumi condotte dall’Istat; L’indagine sui

bilanci delle famiglie condotta dalla Banca d’Italia.

Vantaggi

(1) Occorre costruire la lista solo per i grappoli selezionati.

(2) Per ogni grappolo si puo adattare precisione e strategia di campionamento

(3) La mobili ta territoriale degli intervistatori e ridotta.

Svantaggi

(1) L’efficienza finale del campionamento e modesta.

(2) La determinazione dell’errore finale e complessa.

6. Il campionamento nella ricerca qualitativa

Studiare il paragrafo 5.5 (o il corrispondente della nuova edizione) del testo adot-

tato: Molteni L. e Troilo G. (a cura di), Ricerche di marketing, McGraw-Hill,

Milano, 2003 (1.a edizione).

7.. Errori non campionari 37

7. Errori non campionari

La teoria della probabilita ci permette di valutare il rischio di commettere errori

che possono essere diversi l’uno dall’altro unicamente per la casualita delle estra-

zioni, dato che il carattere Y , oggetto di rilevazione, presenti una certa variabilita

nella popolazione di riferimento. L’errore generato da tale processo e detto errore

campionario o anche di campionamento.

La rilevazione campionaria e un processo costituito da un complesso di ope-

razioni, interdipendenti e sequenziali, che si sviluppano in piu fasi e coinvolgono

numerose persone. I momenti e le cause in cui si possono generare errori, diversi

da quelli del caso, sono molteplici: nella misura, nella codifica, nella trascrizione,

nell’immissione su supporto magnetico. Essi non dipendono dal piano di campio-

namento e, percio, sono detti errori non campionari (Diana, Salvan 1989; Kish,

1965).

Una tradizionale suddivisione dei vari tipi di errori e la seguente.

7.1. Errori di copertura

Gli errori di copertura derivano dalle imprecisioni presenti nella lista o base

campionaria e sono stati gia elencati in precedenza, come l’incompletezza, la

molteplicita, la sovracompletezza, la ridondanza.

Si ha, in tal caso, una distorsione da mancata copertura. Per esempio, l’in-

completezza contempla il caso in cui la popolazione non e interamente inclusa

nella lista, come per le indagini telefoniche.

7.2. Errori da mancate risposte

Gli errori da mancate risposte derivano dall’impossibilita di procedere alla ri-

levazione di alcune unita campionarie sia per l’impossibilita di rintracciare le

unita selezionate (per errore nei nominativi, cambio di indirizzo, emigrazione,

decesso, assenza temporanea, stile di vita), sia per il loro rifiuto di partecipare

all’indagine. Si parla, allora, di mancate risposte totali e di distorsione da man-

cata risposta perche possono generare un errore nel conseguimento delle stime

per ragioni simili a quelle della mancata copertura. Il rifiuto puo verificarsi anche

solo per qualche domanda del questionario; allora, si parla di mancata risposta

parziale.

La mancata risposta ha rilevanza solo se vi sono motivi per ritenere che

la non partecipazione all’indagine dipenda in qualche misura dai caratteri che si


rilevano con l’indagine. La dipendenza e, in genere, il caso piu frequente; percio,

si adottano diverse strategie per ridurre il fenomeno.

Le mancate risposte parziali possono essere trattate solo in fase di pre-

elaborazione dei dati con procedimenti di imputazione per attribuire un dato

alla mancata rilevazione (Frosini, Montinaro, Nicolini, 1999; Kish, 1965).

7.3. Errori di misurazione

Gli errori di misurazione si sovrappongono, in parte, a quelli da mancata risposta

perche l’assenza di una risposta potrebbe dipendere proprio da una formulazione

ambigua o inadeguata della domanda.

La misurazione comporta, in generale, che il processo applicato goda di

alcune proprieta fondamentali: la validita, quando rileva effettivamente l’inten-

sita o la proprieta del concetto in esame, ossia, consegue gli obiettivi fissati;

l’attendibilita, quando applicato piu volte agli stessi fenomeni, nelle stesse con-

dizioni, riproduce (entro certi limiti) gli stessi risultati; la precisione, quando c’e

la possibilita di valutare i sottomultipli dell’unita di misura.

Una distinzione degli errori di misurazione e basata sulla causa che li ha

prodotti.

• (1) Errori di strumenti. Sono riconducibili al questionario per domande

formulate in modo ambiguo, ordinate in modo inadeguato, o batterie dei

test non tarati bene, e cosı via.

• (2) Errori di tecniche. Sono legati al tipo di tecnica utilizzata, come il

questionario postale, l’intervista auto-somministrata, l’intervista telefonica,

la batteria di test.

• (3) Errori dell’intervistatore, derivanti dalla influenza che esercita sull’in-

tervistato sia nell’incentivare o disincentivare la sua partecipazione, sia nel

fornire o non fornire una data risposta.

• (4) Errori dell’intervistato. Sono connessi alla capacita di comprensione

dell’intervistato o di ricordare gli eventi accaduti, alla sua idoneita e volonta

di fornire risposte veritiere.

7.4. Osservazioni finali

Non e sufficiente ridurre l’errore di campionamento e non vale neanche la pena di

ridurlo oltre ogni limite perche comporta un aumento forte di costi e di unita da

rilevare che ha, come conseguenza, un aumento della mole di lavoro e del rischio

8.. Bibliografia 39

di commettere errori. Occorre operare, quindi, in modo da ridurre anche gli errori

non campionari. Sia la precisione desiderata delle stime e sia una elevata qualita

dei dati sono limitate dalle risorse disponibili che pongono un limite superiore

sia alla dimensione del campione e sia al controllo sulla qualita dei dati.

Se le liste non sono complete o una grande percentuale di persone si rifiuta

di rispondere ci si trova, in pratica, a avere un campione non probabilistico.

8. Bibliografia

Ardilly P., Tille Y. (2006). Sampling Methods: Exercises and Solutions, New

York: Springer-Verlag.

Cicchitelli, G., A. Herzel, G.E. Montanari (1997). Il campionamento statistico,

nuova edizione, il Mulino: Bologna.

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Diana G., Salvan A. (1989). Campionamento da popolazioni finite, CLEUP,

Padova.

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Hansen, M.H., W.N. Hurwitz, W.G. Maddow (1953). Sample Survey Methods

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