EQUAZIONI

• Prendiamo in considerazione le funzioni reali in una variabile reale

• Una equazione è una uguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

• La variabile è detta incognita dell’equazione

1

SOLUZIONI

• I particolari valori di x per cui questa è verificata sono detti soluzioni dell’equazione

• Le soluzioni vanno cercate nell’intersezione dei domini delle due funzioni.

• Una equazione che ammette come soluzione ogni valore di x per il quale le due espressioni non perdono di significato si dice equazione indeterminata o identità in x.

• Una equazione per la quale non esistono soluzioni si dice equazione impossibile

• Equazione possibile quando esiste un numero finito di valori di x che la soddisfano

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EQUAZIONI DI PRIMO GRADO • Si dice equazione (algebrica) di primo grado nell'incognita x ogni

equazione del tipo: 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

con a, b coefficienti numerici , a ≠ 0. • Per cercare la soluzione si isola il termine che contiene l’incognita e

si divide per il coefficiente di x: 𝑎𝑥 = −𝑏

(𝑎𝑥)𝑎

= −𝑏𝑎

da cui il valore dell’incognita che risolve l’equazione è: 𝑥 = −𝑏/𝑎

Esempio: 2x - 3 = 0 2x = 3

𝑥 = 32 3

EQUAZIONI DI 2o GRADO • Si dice equazione (algebrica) di secondo grado nell'incognita x

ogni equazione del tipo: 𝑎

𝑥2 + 𝑏

𝑥 + 𝑐 = 0

con 𝑎, 𝑏, 𝑐 coefficienti numerici e 𝑎 ≠ 0. SPURIA: 𝑎

𝑥2 + 𝑏

𝑥 = 0

𝑥(𝑎 𝑥 + 𝑏) = 0

𝑥1 = 0 𝑥2 = − 𝑏 / 𝑎 PURA: 𝑎

𝑥2 + 𝑐 = 0

𝑥 = ± − 𝑐𝑎

4

COMPLETA 𝑎

𝑥2 + 𝑏

𝑥 + 𝑐 = 0

Δ > 0 2 soluzioni reali e diverse

𝑥1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Δ = 0 2 soluzioni reali e coincidenti

𝑥 = −𝑏2𝑎

Δ < 0 nessuna soluzione in R (le 2 soluzioni appartengono all’insieme dei numeri complessi) 5

ESEMPIO

2𝑥2 = −7𝑥 − 3

∆= 49 − 24 > 0

𝑥1,2 =−7 ± 5

4

𝑥1 = −1

2 𝑥2 = −3

6

ESEMPI

25𝑥2 + 10𝑥 + 1 = 0 ∆= 100 − 100 = 0

𝑥1,2 = −1050

= −15

𝑥2 − 3 𝑥 + 8 = 0

∆= 9 − 32 < 0 non ha soluzioni in R.

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RELAZIONE TRA I COEFFICIENTI E LE SOLUZIONI

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

𝑥2 + 𝑏𝑎𝑥 + 𝑐

𝑎= 0 𝑥2 − 𝑠𝑥 + 𝑝 = 0

𝑠 = 𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏 + 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎+−𝑏 − 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎= −

2𝑏2𝑎

= −𝑏𝑎

𝑝 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 =−𝑏 + 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎⋅−𝑏 − 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=𝑏2 − 𝑏2 + 4𝑎𝑐

4𝑎2=𝑐𝑎

𝑠 = −𝑏𝑎 𝑝 = 𝑐

𝑎

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ESERCIZI • Determinare i due numeri la cui somma sia 𝑠 = −4 ed il cui prodotto sia 𝑝 = −5:

assumendo 𝑎 = 1 si ottiene 𝑥2 + 4 𝑥 − 5 = 0

𝑥1 = 1 𝑥2 = −5 • Determinare a meno di un coefficiente di

proporzionalità l’equazione di 2o grado le cui soluzioni hanno per somma e prodotto i valori

𝑠 = −3

10 𝑝 = −

110

𝑥2 +3

10𝑥 −

110

= 0

9

FATTORIZZAZIONE

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

1) se ∆> 0 → 𝑎 · 𝑥 − 𝑥1 · 𝑥 − 𝑥2 = 0 2) se ∆= 0 → 𝑎 · 𝑥 − 𝑥1

2 = 0 3) se ∆< 0 𝑛𝑛𝑛 è 𝑝𝑛𝑠𝑠𝑝𝑏𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑛 𝑅

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IL SEGNO DEL TRINOMIO

«Il Polinomio di secondo grado 𝑝2 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 assume valori che hanno lo stesso segno del coefficiente 𝑎 del termine 𝑥2 all’esterno dell’intervallo delle radici. Il polinomio assume valori che hanno segno opposto rispetto al coefficiente 𝑎 del termine 𝑥2 all’interno dell’intervallo delle radici»

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IL SEGNO DEL TRINOMIO

12

𝐶𝑎𝑠𝑛 1: (𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑅, 𝑥1 ≠ 𝑥2)

𝑝2(𝑥2) = 0 𝑝2(𝑥1) = 0

𝑥1 𝑥2 𝑠𝑝𝑔𝑛(𝑝2(𝑥)) = 𝑠𝑝𝑔𝑛 𝑎 𝑠𝑝𝑔𝑛(𝑝2(𝑥)) = 𝑠𝑝𝑔𝑛 𝑎

𝑠𝑝𝑔𝑛 𝑝2 𝑥 = −𝑠𝑝𝑔𝑛 𝑎

IL SEGNO DEL TRINOMIO

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𝐶𝑎𝑠𝑛 2: (𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑅, 𝑥1 = 𝑥2)

𝑝2(𝑥1) = 𝑝2(𝑥2) = 0

𝑥1= 𝑥2 𝑠𝑝𝑔𝑛(𝑝2(𝑥)) = 𝑠𝑝𝑔𝑛 𝑎 𝑠𝑝𝑔𝑛(𝑝2(𝑥)) = 𝑠𝑝𝑔𝑛 𝑎

IL SEGNO DEL TRINOMIO

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𝐶𝑎𝑠𝑛 3: (𝑥1, 𝑥2 ∉ 𝑅)

𝑠𝑝𝑔𝑛(𝑝2(𝑥)) = 𝑠𝑝𝑔𝑛 𝑎

DISEQUAZIONI

• Si dice disequazione una disuguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile che vi compare:

𝑓 𝑥 > 𝑔 𝑥

𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥

𝑓 𝑥 < 𝑔 𝑥

𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)

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SOLUZIONI

• Le soluzioni vanno cercate nell’insieme:

𝐼 = 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔) • Possibile: un sottoinsieme di valori dell’insieme 𝐼 verifica la

disequazione

(ex: 𝑥 < 1) • Identicamente verificata: tutti i valori dell’insieme 𝐼 verificano la

disequazione

(ex: 𝑥2 + 1 > 0)

• Impossibile: nessun valore dell’insieme I verifica la disequazione

(ex: 𝑥2 + 2 < 0) 16

ESEMPIO

−23𝑥 > 8

−2𝑥 > 24

𝑥 < −12

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INTERVALLI DELLA RETTA

• Siano 𝑎 e 𝑏 due numeri reali (che possono essere interpretati come coordinate ascisse sulla retta reale) e si supponga 𝑎 < 𝑏. Si possono definire i seguenti intervalli reali di estremi 𝑎 e 𝑏:

• [ 𝑎 , 𝑏 ] = {𝑥∈𝑅: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} chiuso

• ] 𝑎 , 𝑏 ] = {𝑥∈𝑅: 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} = ( 𝑎, 𝑏] chiuso a destra

• [ 𝑎 , 𝑏 [ = {𝑥∈𝑅: 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} = [𝑎, 𝑏) chiuso a sinistra

• ] 𝑎 , 𝑏 [ = {𝑥∈𝑅: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏} = ( 𝑎 , 𝑏 ) aperto 18

INTERVALLI DELLA RETTA

• ] − ∞ ,𝑎 ] = {𝑥∈𝑅: 𝑥 ≤ 𝑎} = ( − ∞ ,𝑎 ]

• ] − ∞,𝑎 [ = {𝑥∈𝑅: 𝑥 < 𝑎} = ( − ∞,𝑎 ) • [ 𝑏 , + ∞ [ = {𝑥∈𝑅: 𝑥 ≥ 𝑏} = [ 𝑏 , + ∞ )

• ] 𝑏 , + ∞ [ = {𝑥∈𝑅: 𝑥 > 𝑏} = ( 𝑏 , + ∞ )

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DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO

𝑎𝑥 + 𝑏 > 0con 𝑎 e 𝑏 numeri reali e 𝑎 ≠ 0. Per ottenere le soluzioni reali (esistono sempre!), Si isola il termine che contiene l’incognita 𝑥:

𝑎𝑥 > −𝑏 Si dividono entrambi i membri per il coefficiente a

𝑥 > −𝑏𝑎 se 𝑎 > 0

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DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0

con 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 e 𝑎 ≠ 0 Per risolvere una qualunque disequazione algebrica di secondo grado basta applicare il teorema sul segno del trinomio di secondo grado.

21

ESEMPIO

3 𝑥2 + 5

𝑥– 2 > 0

△= 25 + 24 = 49 > 0

𝑥1,2 =−5 ± 49

6

𝑥1 = −2 𝑥2 = 13

𝑆 = 𝑥∈𝑅: 𝑥 < −2 ∪ 𝑥∈𝑅: 𝑥 >13

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ESEMPIO 3

𝑥2 + 5

𝑥– 2 < 0

△= 25 + 24 = 49 > 0

𝑥1,2 =5 ± 49

6

𝑥1 = −2 𝑥2 = 13

𝑆 = 𝑥∈𝑅:−2 < 𝑥 <13

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ESEMPIO

4𝑥2 + 12𝑥 + 9 > 0

△ = 144 − 144 = 0

𝑥1,2 =−12

8= −

32

𝑆 = 𝑥∈𝑅; 𝑥 ≠ −32

24

ESEMPIO

3 𝑥2 −

𝑥 + 2 < 0

△= 1 – 24 < 0

𝑆 = {∅}

25

DISEQUAZIONI FRATTE 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

> 0

𝐼 = 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔) ∩ {𝑥∈𝑅: 𝑔(𝑥) ≠ 0} 1) Studio segno numeratore 2) Studio segno denominatore 3) Uso regola segni 4) Determinazione dell’insieme nel quale la

disequazione è verificata 26

ESEMPIO

(𝑥 − 4) + - -

(𝑥 + 3) + + -

-3 4 27

+ + - 𝑥 − 4𝑥 + 3

𝑥 − 4𝑥 + 3

> 0 𝑥 − 4 > 0 → 𝑥 + 3 > 0 →

𝑥 > 4 𝑥 > −3

𝑥 ≠ −3

Continuazione ESEMPIO

𝑆 = {𝑥∈𝑅: 𝑥 < −3} ∪ {𝑥∈𝑅: 𝑥 > 4}

N.B.: 𝐼 = {𝑥∈𝑅: 𝑥 ≠ 3}

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SISTEMI DI DISEQUAZIONI

• Insieme di due o più disequazioni di cui si vogliono determinare le soluzioni comuni.

• La soluzione si ottiene trovando l’insieme intersezione degli insiemi che risolvono ciascuna disequazione:

• 𝑆 = 𝑆1 ∩ 𝑆2 ∩ ⋯ ∩ 𝑆𝑛 • 𝑠𝑝 𝑆 = {∅} allora il sistema è impossibile

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ESEMPIO �2𝑥 + 1 > 0𝑥 − 3 ≤ 0

−12 3

30

(2x + 1)

(x – 3)

𝑆 = 𝑥∈ 𝑥∈𝑅: −12

< 𝑥≤3