LE EQUAZIONI

Cosa è un’ equazione?

Un’ equazione e una uguaglianza tra due espressioni, verificata per

particolari valori attribuiti alle lettere che in essa compaiono

I principi di equivalenza

• Per risolvere un’ equazione bisogna cercare di scriverla in modo più semplice cioè trovare un’ equazione equivalente. Per farlo ci sono due principi di equivalenza da cui si deducono cinque regole.

1)Principio di addizione2)Principio di moltiplicazione

Principio di addizione

• Se a entrambi i membri dell’ equazione F(x) = G(x) si somma o si sottrae la stessa espressione H(x), si ottiene un’ equazione equivalente a quella data

• Esempi:• x - 5 = 5• x - 5 +5 = 5 + 5 • x = 10

Principio di moltiplicazione

• Se si moltiplicano o si dividono entrambi i membri dell’ equazione F(x) = G(x), definita in un insieme A, per una stessa espressione H(x), diversa da zero in tutto l’ insieme A, si ottiene un’ equazione equivalente alla data

• Esempi:• 2x = 20• 2x : 2 = 20 : 2• x = 10

Le regole delle equazioni1) Se i due membri di un’ equazione contengono due

termini uguali, questi si possono eliminare2) Se si sposta un addendo da un membro all’ altro di un’

equazione, questo cambia di segno3) Si può cambiare il segno a tutti i termini di un’

equazione4) Se entrambi i membri di un’ equazione contengono lo

stesso fattore non nullo si possono semplificare le espressioni contenute nei due membri per quel fattore

5) Si può trasformare un’ equazione a coefficienti razionali in un’ equazione a coefficienti interi moltiplicando i due membri per il m.c.m. dei denominatori delle frazioni

Classificazione delle equazioni

• Le equazioni si possono dividere in: equazioni intere, se l’ incognita è solo al numeratore; equazioni fratte, se l’ incognita è anche al denominatore; equazioni numeriche, se oltre all’ incognita ci sono solo numeri, ed equazioni letterali, se oltre all’ incognita ci sono anche lettere

• Intera: 3x + 4x = 5 ; ax + a2x2 = 20• Fratta:• Numeriche: 3x + 4x = 5 • Letterali: ax + a2x2 = 20

Il grado di un’ equazione

• Per determinare il grado di un’ equazione è necessario ridurla a forma normale ed è nella forma F(x) = 0 il grado del polinomio F(x)

• Esempi:• 3x + 1 = x + 4• 3x – x + 1 – 4 = 0• 2x – 3 = 0

Il grado dell’ equazione è 11

• Quest’ anno noi ci siamo occupati soltanto delle equazioni di primo grado che vengono chiamate anche equazioni lineari (ax = b) e soprattutto di quelle numeriche.

• Queste equazioni possono essere: • Determinate (se a 0 la soluzione è x = b/a) • Indeterminate (se a b = 0 allora 0x = 0 la soluzione è

tutte le x)• Impossibile (se a = 0 b 0 allora 0x = b non esiste

una soluzione)

Le equazioni lineari numeriche

Le equazioni lineari intere numeriche

• Si dicono equazioni lineari intere numeriche quelle che contengono una sola variabile, x, e che ridotte a forma normale sono ax = b.

Per risolverle bisogna: Eliminare le parentesi Togliere le frazioni moltiplicando l’ equazione per il

m.c.m. Portare a una parte i termini con l’ incognita e dall’

altra i termini senza Si riducono i termini simili fino alla forma ax = b

Le equazioni lineari numeriche fratte

• Le equazioni lineari fratte numeriche sono riconducibili a equazioni intere perché basta moltiplicarle per il m.c.m.

• Però essendo la x al denominatore bisogna escludere dalla soluzione dei risultati perché se la x per dei risultati facesse essere 0 l’equazione essa sarebbe impossibile: per questo nelle equazioni fratte si mette il C.E. (campo di esistenza) per la x

Le equazioni nella storia

… per i greci• Per i Greci l’ algebra era

vincolata alla geometria e per questo per loro era impossibile concepire che ax = b.

• Perciò loro dicevano che qx = ab e li consideravano dei rettangoli

… per gli egizi• Gli Egizi per risolvere le

equazioni usavano il metodo della falsa posizione.

• Questo metodo consisteva nel dare un valore alla x, calcolare la soluzione e tramite una proporzione, tra la x e la falsa posizione e i due risultati, trovare la x vera