Come può essere disposta

una retta in un piano in

cui sia assegnato un

R.C.O.?

Esiste uno strumento

che permetta, dall’

equazione della retta, di

stabilirne la posizione

rispetto al semiasse

positivo delle ascisse?

Partiamo con un esempio

• Determiniamo l’ equazione della retta passante per i punti A(1,1) e B(2,3) applicando la formula che permette di ricavare l’ equazione della retta passante per due punti

AB

A

AB

A

yy

yy

-xx

xx

Sostituendo le coordinate dei punti si ottiene

131y

121x

AB:

Sviluppando i calcoli si ottiene l’ equazione 2x-y-1=0

L’ equazione della retta espressa nella forma 2x-y-1=0 è denominata implicita. In alternativa esiste un’ altra modalità detta esplicita perché essa si ottiene da quella implicita esplicitando la y in funzione della x

Esprimiamo l’ equazione in forma diversa ricavando la y. Otteniamoy=2x-1Questa è detta forma esplicita dell’ equazione della retta.

• Nell’ equazione y=2x-1 chiamiamo 2 coefficiente angolare della retta e -1 ordinata all’ origine della retta Cosa rappresentano 2 e -1?

Consideriamo due punti della retta per esempio A(1,1) e B(2,3). Calcoliamo il rapporto tra le differenze delle ordinate e delle ascisse dei punti:

1213 2

Cioè 2 rappresenta il rapporto tra gli incrementi che la y e la x dei punti della retta subiscono quando passano da A a B. Se consideriamo altri due punti della retta il rapporto cambia?Consideriamo ad esempio i punti C(-1, -3) e D(3,5)

2

Abbiamo ottenuto di nuovo 2. Questo numero è invariante comunque si scelgano due punti della retta

48

3153

-xx

yy

DC

DC

E il numero -1 cosa

rappresenta?

Osserviamo il grafico della retta

(2,3)

(1,1)

1213

xxyy

mAB

AB 2

-1 è l’ ordinata del punto in cui la retta interseca l’ asse delle ordinate

x

y

Osserviamo che la retta in questo caso forma col semiasse positivo delle ascisse un angolo acuto

Come è disposta nel piano una retta con coefficiente angolare negativo?

Consideriamo ora la retta y=-2x+3 e due suoi punti: A(-2,7)e B (1,1) .Il rapporto tra gli incrementi delle ordinate e delle ascisse è

3-6

1-2-1-7

-xx

yy

BA

BA -2<0

x

y

L’ angolo è ottuso

Più in generale:

 

Consideriamo una retta in posizione

generica nel piano rispetto al

riferimento cartesiano ortogonale

di equazione è ax+by+c=0

Come sappiamo la sua equazione ax+by+c=0 dove a, b, c, sono rispettivamente pari a:

BA yya

AB xxb

BABA xyyxc

Se b 0 l’equazione ax+by+c=0, può scriversi: by=-ax-c,e dividendo ambedue i membri per b, otteniamo

l’ equazione (*) diventa

Postoe

L’ equazione y=mx+q è detta equazione esplicita della retta

y=mx+q

è detto ordinata all’ origine della retta

è detto coefficiente angolare della retta 

  cq=-b

Quale è il significato di m?

• Essendo a=yB-yA e b=xA-xB, risulta 

 

B A ABB A

con x xy -yx -x

yx

m=

m rappresenta cioè il rapporto tra le ordinate e le ascisse di due qualunque punti della retta

cioè il coefficiente angolare m della

retta passante per i punti A(xA,yA) e

B(xB,yB) è uguale al rapporto degli

incrementi che le ordinate e le

ascisse dei punti subiscono

passando da A a B.

Tale rapporto è invariante per ogni

coppia di punti presi a piacere sulla

retta r .

Se m>0 la

retta a forma

col semiasse

positivo delle

ascisse un

angolo acuto

Angolo acuto

In particolare

Se m<0 la retta

a forma col

semiasse

positivo delle

ascisse un

angolo ottuso Angolo acutoAngolo ottuso

Cosa succede se b=0, cioè se xA=xB?

Se b=0 , essendo

non si può determinare il valore di m.

BA

BA

xxyy

m

E se m=0?

In tal caso l’equazione y=mx+q diventa y=q e questa rappresenta una retta parallela all’ asse delle ascisse

y=qq

In quale punto una retta di equazione y=mx+q interseca l’asse delle ordinate?

• Ricordiamo che tutti e soli i punti dell’ asse delle ordinate hanno ascissa nulla. Vediamo cosa succede nell’ equazione della retta se x=0

qq0my

Ecco quindi che il numero q rappresenta l’ ordinata del punto in cui la retta interseca l’ asse delle ordinate