Cosa sono? Come si risolvono?

Che differenza c’è tra identità ed equazione?

IDENTITA’: un’identità è un’uguaglianza tra 2 espressioni letterali verificata per qualunque valore attribuito alle lettere contenute nell’espressione

EQUAZIONE: un’equazione è un’uguaglianza tra 2 espressioni letterali verificata solo da particolari valori attribuiti alle lettere contenute nell’espressione

Sono esempi di identità:

sono identità perché qualsiasi valore si assegni alla lettera a o x, si ha che il primo membro è uguale al secondo membro

Sono esempi di equazione:

infatti la prima uguaglianza è verificata solo per il valore x=5, mentre la seconda è verificata solo per a=2.

Tali valori prendono il nome di soluzioni o radici dell’equazione.

Risolvere un’ equazione significa trovarne le soluzioni.

Tipi di equazioniINTERA: se l’incognita è presente soltanto nel

numeratore

FRATTA: se l’incognita è presente anche nel denominatore

NUMERICA: se l’unica lettera che compare è l’incognita

LETTERALE: se oltre all’incognita compaiono anche altre lettere, che prendono il nome di parametri

Esempi:

equazione numerica intera

equazione numerica fratta

equazione letterale intera

equazione letterale fratta

Forma normale di un’equazionePortando tutti i termini di un’equazione a sinistra

dell’uguale,eseguendo i calcoli e riducendo i termini simili, l’equazione

sipuò scrivere come un polinomio P(x) uguale a zero:

Questa si chiama forma normale, o canonica, dell’equazione.

Il grado del polinomio P(x) si dice grado dell’equazione.

Esempi: è un’equazione in forma normale

di secondo grado

è un equazione in forma normale

di primo grado

l’equazione non è in forma normale,

pertanto non se ne può stabilire il

grado. Se la riportiamo in forma canonica vediamo che è di I°grado

Esercizi guidatiVerifica se l’espressione è

una

identità. Se si eseguono i calcoli e si riducono i termini

simili nei due membri, si ottiene:

I° membro …

II° membro …

L’espressione è un’identità perché il I° membro è uguale

al II° membro.

Riduci in forma normale la seguente equazione e indica

il suo grado:

Si eseguono i calcoli

Si spostano tutti i termini al I° membro

Si riducono i termini simili …

Pertanto l’equazione è di grado …… .

Equazioni equivalentiDue equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse

soluzioni.

Per risolvere un’equazione generalmente è necessario

trasformarla in una equivalente più semplice che, a sua

volta si trasforma in un’altra ancora più semplice, e così

via.

Per eseguire questa trasformazione si utilizzano i

seguenti due principi di equivalenza.

Principi di equivalenzaI° Principio: aggiungendo o togliendo ai due

membri di

un’equazione uno stesso numero o una stessaespressione, si ottiene una equazione equivalente

II° Principio: moltiplicando o dividendo i due membri

di un’equazione per uno stesso numero o espressione

diverso da zero, si ottiene un’equazione equivalente

Da questi principi si deducono alcune conseguenze

importanti dal punto di vista operativo:

Si possono spostare i termini da un membro all’altra cambiandone il segno

Si può eliminare uno stesso elemento

presente in tutti e due i membri

Se i due membri hanno un fattore numerico identico lo si può sopprimere

Si può cambiare il segno a tutta l’equazione

Si possono eliminare i denominatori, facendo prima

il minimo comune multiplo, nei due membri

Tipi di equazioniConsiderando le soluzioni, un’equazione può essere:

DETERMINATA: se ha un numero finito di soluzioni

INDETERMINATA: se ha infinite soluzioni, cioè è una

identità

IMPOSSIBILE: se non ha soluzioni

Esempi:

determinata con soluzione

impossibile

indeterminata

determinata con soluzione

Il procedimento per la risoluzione di un’equazione di primo grado

Per risolvere un’equazione:la si libera dagli eventuali denominatori,

facendo il m.c.m.si eliminano le parentesi effettuando i calcolisi spostano i termini, in modo da avere al I°

membro solo quelli che contengono l’incognitasi riducono i termini simili, portando

l’equazione in forma normalesi stabilisce se l’equazione è determinata (e si

trova la soluzione), indeterminata o impossibile

Verifica della soluzionePer stabilire se la soluzione trovata è esatta, nel caso in cui l’equazione sia determinata, si effettua la verifica

che consiste nel sostituire la soluzione all’incognita in ciascuno dei due membri dell’equazione, per verificare se si ottiene lo stesso risultato. L’equazione: ha come soluzioneVerifica: I° membro … II° membro …La soluzione è esatta essendo i due membri uguali.

Esercizi guidatiRisolvi le seguenti equazioni:

1.

esegui i calcoli …

sposta i termini …

riduci i termini simili …

cambia di segno …

dividi per 3 …

la soluzione è …

2.

m.c.m. …

sposta i termini …

riduci i termini simili …

cambia segno e otterrai la soluzione …

3.

esegui i calcoli

riducendo i termini simili e spostando i … rimanenti si ottiene

la soluzione è … e l’equazione risulta …

INDETERMINATA

4.

esegui i calcoli …

sposta i termini …

riduci i termini simili …

l’equazione risulta …

IMPOSSIBILE

Esercizi proposti1.

2.

3.

Risoluzione equazioni fratteIn sintesi per risolvere un’equazione fratta si deve:

scomporre in fattori le frazioni algebriche presenti

determinare le condizioni di esistenza (C.E.) delle frazioni algebriche scomposte

portare tutte le frazioni algebriche ad un denominatore comune (m.c.m.)

eliminare il denominatore moltiplicando entrambi i membri dell’equazione per lo stesso

denominatore, in modo da ottenere un’equazione intera

calcolare le soluzioni dell’equazione intera

controllare che tali soluzioni siano accettabili, cioè che rispettino le condizioni di esistenza: in caso

affermativo esse sono soluzioni dell’equazione fratta,

altrimenti l’equazione risulta impossibile

Esercizi guidati1.

i denominatori non sono da scomporre si esegue il m.c.m. e lo si elimina moltiplicando per lo stesso

si scrivono le condizioni di esistenza

esegui i calcoli e semplifica

cambia di segno e otterrai …

si confronta la soluzione con le condizioni di esistenza

e … essendo diverse da questa è la

soluzione

2.

si scompongono i denominatori

si calcola il m.c.m. e lo si elimina

si scrivono le C.E. … si eseguono i calcoli … la soluzione è … e … non è accettabile perché non è nel C.E.

Esercizi proposti1.

2.

3.