LE LEGGI DI MENDEL

I primi tre postulati di Mendel:1.I caratteri genetici sono controllati da fattori cheesistono in coppie nei singoli organismi2.Quando due fattori diversi, responsabili di un unicocarattere, sono presenti in un dato individuo, un fattoreè dominante sull’altro, che viene detto recessivo3.Durante la formazione dei gameti, i fattori presenti incoppie si separano, o segregano, casualmente in modotale che ciascun gamete riceve con la stessaprobabilità l’uno o l’altro di essi

LE LEGGI DI MENDEL

Mendel incrociò piante di linea pura per il carattere“alto” e per il carattere “nano” (incrocio tramonoibridi) e osservò la scomparsa del carattere nanonella prima generazione.

Reincrociando tra loro piante di prima generazione, ilcarattere nano ricompariva (fenotipicamente) nellaseconda generazione in proporzione di circa 1/4(rapporto di 3:1 di piante alte su quelle nane)

LE LEGGI DI MENDEL

Prendiamo in considerazione il carattere alto (D) , nano(d) per le piante di pisello. Con linguaggio moderno,diciamo: I genotipi possibili sonoDD, Dd, dd.

I genotipi DD, dd sono detti omozigotiIl genotipo Dd è detto eterozigote

I fenotipi sono due: alto (DD, Dd), nano (dd)

LE LEGGI DI MENDEL

Scriviamo la tabella di tutti i possibili incroci :

dd1/2 Dd1/2 dd

Dddd

1/2 Dd1/2 dd

1/4 DD1/2Dd1/4 dd

1/2 DD1/2 Dd

Dd

Dd1/2 DD1/2 Dd

DDDD

ddDdDD

LE LEGGI DI MENDEL

Considerando due coppie di tratti contrastanti: Giallo,Verde e Liscio e Rugoso, mediante il reincrocio(diibridi), Mendel formulò il suo quarto postulato:l’assortimento indipendente4. Durante la formazione dei gameti, le coppie difattori segreganti si assortiscono indipendentementel’una dall’altra.Indichiamo con G “giallo”, v “verde”, L “liscio”, r“rugoso” , si ottiene:

LE LEGGI DI MENDEL

G v

L r L r

(G,L) (G,r) (v,L) (v,r)

3/4 1/4

3/4 1/4 3/4 1/4

9/16 3/16 3/16 1/16

Distribuzione di probabilità dei fenotipi

LEGGE DI HARDY-WEINBERG

IPOTESI (POPOLAZIONE IDEALE):1.Tutti gli individui con qualsiasi genotipo hanno lostesso tasso di sopravvivenza e uguale successoriproduttivo, cioè non c’è selezione.2. Nessun nuovo allele viene creato o modificato nellapopolazione per mutazione.3. Non c’è migrazione di individui verso l’estermo overso l’interno della popolazione.4. La popolazione è infinitamente grande.5. Gli accoppiamenti nella popolazione sono casuali.

LEGGE DI HARDY-WEINBERG

In questa popolazione consideriamo un gene con duepossibili alleli A, a.Vogliamo studiare come varia la distribuzione deigenotipi da una generazione all’altra.Indichiamo con pAA, pAa, paa le frequenze rispettive deigenotipi AA, Aa, aa, nella generazione iniziale(generazione 0), dovepAA+pAa+ paa = 1Basandoci sulle leggi di Mendel valutiamo ladistribuzione delle frequenze genotipiche nellagenerazione dei figli (generazione 1)

LEGGE DI HARDY-WEINBERG

Tenendo conto della tabella degli incroci,precedentemente vista, indichiamo con

FAA, FAa, Faa gli eventi : il figlio ha genotipo,rispettivamente, AA, Aa, aa

ed analogamente con PAA, PAa, Paa per il padre e conMAA, MAa, Maa, per la madre

LEGGE DI HARDY-WEINBERG

Si può avere FAA dai seguenti incroci:PAA e MAA, tutti i figli AA

PAA e MAa, figli AA con probabilità1/2 = P(FAA| PAA∩ MAa)PAa e MAA, figli AA con probabilità1/2 = P(FAA| PAa∩ MAA)

PAa e MAa, figli AA con probabilità1/4 = P(FAA| PAa∩ MAa)

LEGGE DI HARDY-WEINBERG

Dunque la probabilità che un figlio sia AA è data, per lalegge della probabilità composta:

P(FAA) = P(PAA∩ MAA) + P(PAA∩ MAa)·(1/2) + P(PAA∩Maa)·(1/2) + P(PAa∩ MAa)·(1/4)

Come calcoliamo P(PAA∩ MAA) , P(PAA∩ MAa),…?Gli eventi “padre di un dato genotipo”, “madre di undato genotipo” sono indipendenti, quindi

LEGGE DI HARDY-WEINBERG

P(PAA∩ MAA) = (pAA)2

P(PAA∩ MAa) = P(PAa∩ MAA) = pAA pAa

P(PAa∩ MAa) = (pAa)2

Dunque avremo:

P(FAA) = (pAA)2 +2·(1/2)· pAA pAa + (1/4)·(pAa)2 = (pAA +(1/2) pAa )2

LEGGE DI HARDY-WEINBERG

Analogamente avremo FAa dai seguenti incroci:PAA e MAa, figli Aa con probabilità1/2 = P(FAa| PAA∩ MAa)PAa e MAA, figli Aa con probabilità1/2 = P(FAa| PAa∩ MAA)

PAa e MAa, figli Aa con probabilità1/2 = P(FAa| PAa∩ MAa)

E ancora…

LEGGE DI HARDY-WEINBERG

PAA e Maa, tutti i figli Aa , idem per Paa e MAA,

PAa e Maa, figli Aa con probabilità1/2 = P(FAa| PAa∩ Maa)Idem per Paa e MAa

Abbiamo quindi:P(FAa) = P(PAA∩ MAa)·(1/2) + P(PAa∩ MAA)·(1/2) +P(PAa∩ MAa)·(1/2) + P(PAA∩ Maa) + P(Paa∩ MAA) +P(PAa∩ Maa)·(1/2) + P(Paa∩ MAa)·(1/2)

LEGGE DI HARDY-WEINBERG

P(FAa) = 2·(1/2)·pAA·pAa + (1/2)·(pAa)2 + 2·paa·pAA +2·(1/2)·pAa·paa = 2· pAA ((1/2)· pAa + paa ) + pAa·((1/2)·pAa + paa ) = 2·(pAA + (1/2)· pAa)· ((1/2)· pAa + paa )

Infine si avrà l’evento Faa analogamente al caso AA,basterà scambiare A con a, otteniamo:P(Faa) = (paa)2 +2·(1/2)· paa pAa + (1/4)·(pAa)2 = (paa +(1/2) pAa )2

LEGGE DI HARDY-WEINBERG

Dunque, riassumendo:P(FAA) = (pAA +(1/2) pAa )2

P(FAa) = 2·(pAA + (1/2)· pAa)· ((1/2)· pAa + paa )P(Faa) = (paa +(1/2) pAa )2

Si osserva che pAA +(1/2) pAa = p(A) esprime cioè lafrequenza dell’allele A nella popolazioneanalogamente paa +(1/2) pAa = p(a) è la frequenzadell’allele a nella popolazione e si ha p(A) + p(a) =1

LEGGE DI HARDY-WEINBERG

Abbiamo quindi che:P(FAA) = (pAA +(1/2) pAa )2 = (p(A))2

P(FAa) = 2·(pAA + (1/2)· pAa)· ((1/2)· pAa + paa )=2p(A)p(a)P(Faa) = (paa +(1/2) pAa )2= (p(a))2

Alla generazione successiva (generazione 2), avremo:p’(A) = (p(A))2 + (1/2)· 2p(A)p(a) = p(A)·(p(A) + p(a))= p(A) , essendo p(A) + p(a) = 1 La frequenza dell’allele A( e quindi anche di a) allagenerazione 2 resta la stessa della generazione 1

LEGGE DI HARDY-WEINBERG

Abbiamo dimostrato che, nelle ipotesi dette, lefrequenze degli alleli in un pool genetico non varianonel tempo. Se si considerano due alleli A, a per un datolocus, dopo una sola generazione di incroci casuali lefrequenze genotipiche diAA, Aa, aa possono essere espresse come p2, 2pq, q2, dove p=p(A), q= 1-p = p(a)

IL FATTORE RhL’assenza nel sangue del fattore Rh, indicata con Rh−, èdovuta ad un allele recessivo, indichiamolo con a.Risultano Rh− gli individui di genotipo aa. Mentre quellidi genotipo AA, Aa risultano Rh+.

Vogliamo calcolare la probabilità che una madre Rh−generi un figlio Rh+

Supponiamo inizialmente di non avere informazionicirca il fattore Rh del padre.

IL FATTORE RhIl figlio riceverà sicuramente dalla madre l’allele a, perrisultare Rh+ dovrà ricevere dal padre un allele A, quindil’evento sarà possibile solo se il padre è:

AA ed allora il figlio sarà certamente Rh+

oppure

Aa ed allora il figlio potrà essere Rh+ solo se eredital’allele A e questo si ha con probabilità 1/2

IL FATTORE RhSe la frequenza dell’allele A è p, la distribuzione diprobabilità dei genotipi èP(AA) = p2, P(Aa) = 2pq, P(aa) = q2, dove q=1-p è lafrequenza dell’allele a

Quindi indicando con F+, l’evento il figlio è Rh+ , si haP(F+) = p2 + (2pq)·1/2 = p(p+q) = p

Dunque, in assenza di informazioni sul fattore Rh delpadre, la probabilità di una donna Rh- di avere un figlioRh+ corrisponde alla frequenza dell’allele A nellapopolazione.

IL FATTORE RhSupponiamo ora di sapere che il padre è Rh+, evogliamo calcolare di nuovo la probabilità che il figliorisulti Rh+, restando la madre Rh−, vale a dire:vogliamo calcolare P(F+|P+), dove con P+ abbiamoindicato l’evento “il padre è Rh+” , si ha

P(F+|P+) = P(F+∩P+)/ P(P+)

Abbiamo calcolato nel caso precedenteP(F+) = P(F+∩P+) = p, infatti se il padre fosse Rh- ilfiglio non potrebbe essere Rh+

IL FATTORE RhDobbiamo calcolare P(P+) , si haP(P+) = p2 + 2pq, dunque

P(F+|P+) = p/(p2 + 2pq) = 1/ (1+q)

Si osserva che 1/(1+q) > p (perché?), vale a direP(F+|P+) > P(F+) , l’evento P+ è correlato positivamentecon l’evento F+

IL FATTORE RhSupponiamo ora di sapere che è nato un figlio Rh+ damadre Rh− , qual è la probabilità che il padre sia Rh+

omozigote?

Dobbiamo calcolare P(PAA|F+) , dove abbiamo indicatocon PAA l’evento padre Rh+ omozigote

P(PAA|F+) = P(PAA∩F+) / P(F+)

Abbiamo già calcolato la probabilità P(F+)= p, inoltreP(PAA∩F+) = p2

IL FATTORE Rh

P(PAA|F+) = P(PAA∩F+) / P(F+) = p2 /p = p

Dunque P(PAA|F+) = p

Si osserva che p > p2 (perché?), quindi l’evento F+ ècorrelato positivamente con l’evento PAA

Se P(PAA|F+) = p, qual è la probabilità di P(PAa|F+) ?1-p = q

IL FATTORE RhSupponiamo ora di sapere che sono nati due figli Rh+

da madre Rh− , qual è la probabilità che il padre siaRh+ omozigote?Indichiamo con FI+ ed FII+ rispettivamente gli eventi “ilprimo figlio è risultato Rh+” , “il secondo figlio èrisultato Rh+” , vogliamo calcolare:

P(PAA| FI+ ∩ FII+ )=P(PAA∩( FI+ ∩ FII+ ))/P(FI+ ∩ FII+)

P(PAA∩( FI+ ∩ FII+ )) è, ovviamente, uguale a p2

Dobbiamo calcolare P(FI+ ∩ FII+)

IL FATTORE Rh Per calcolare P(FI+ ∩ FII+), dobbiamo tenere conto chequesto evento può verificarsi nei seguenti due casi:Il padre è AA e quindi i figli sono sicuramente entrambiRh+ oppure il padre è Aa ed i figli sono entrambi Rh+

solo se hanno ereditato entrambi, indipendentementel’uno dall’altro con probabilità 1/2 ciascuno, un allele A.Si ha quindi:

P(FI+ ∩ FII+) = p2 + (1/2)·(1/2)·2·p·q = p2 + (p·q) /2

IL FATTORE Rh La probabilità richiesta è quindi

P(PAA| FI+ ∩ FII+ )= p2/(p2 + (p·q) /2) = 2p/(p+1)

Si osserva che 2p/(p+1) > p (perché?), vale a dire che lanascita di un secondo figlio Rh+ aumenta la probabilitàche il genotipo del padre sia AA.

IL FATTORE RhSupponiamo ora di sapere che sono nati due figli Rh+

da madre Rh− , qual è la probabilità che il padre siaRh+ omozigote?ALTRO MODO DI PROCEDERE:Potremmo partire dalle probabilità calcolate una voltasaputo che è nato un primo figlio Rh+ , per modificarlein base alla nuova informazione che ci viene data dalsapere che è nato un secondo figlio anch’esso Rh+ .Assumiamo quindi come P(PAA) = P(PAA|FI+) = p ,P(PAa) = P(PAa|FI+) = 1-p= qCalcoliamo quindi P(PAA|FII+)

IL FATTORE RhSi ottiene

P(PAA|FII+) = P(PAA∩FII+)/ P(FII+)

P(PAA∩FII+) = p

P(FII+)= p + (1/2)·q

P(PAA|FII+) = p/(p + q/2) = 2p/(p+1)

L’informazione raccolta tutta insieme o un po’ per voltaporta ovviamente alle stesse conclusioni.