Le equazioni del modello IS-LM

La scheda IS

La condizione di equilibrio nel mercato dei beni :

! = ! ! − ! + ! !, ! + ! (1)

La funzione del consumo:

! = !! + !!(! − !) (2)

G e T sono variabili esogene.

La funzione degli investimenti:

! = !! + !!! − !!! (3)

Sostituiamo la (2) e la (3) nella (1):

! = [!! + !!(! − !)] +  !! + !!! − !!! + ! (4)

Risolviamo la (4) per Y e arriviamo all’equazione della IS:

! = !!!!!!!!

!! + !! + ! − !!! − !!!!!!!!!

! (5)

Ponendo ! = !! + !! + ! − !!! riscriviamo:

! = !!!!!!!!

! − !!!!!!!!!

! (6)

Riscriviamo ancora l’equazione della IS esplicitando il tasso d’interesse in funzione del reddito nazionale:

! = !!!! − !!!!!!!

!!! (7)

Gli spostamenti della curva IS. Il riferimento è l’equazione seguente (8) che indica , per un dato tasso d’interesse, la variazione del reddito nazionale associata alla variazione di una componente esogena della domanda aggregata  :  

∆! = !!!!!!!!

∆! (8)

L’inclinazione della curva IS. Il riferimento è l’equazione seguente (9) che indica, date le componenti esogene della domanda aggregata, la variazione del reddito nazionale, associata a una variazione del tasso d’interesse, che mantiene in equilibrio il mercato dei beni:

∆! = − !!!!!!!!!

∆! (9)

La scheda LM

La condizione di equilibrio nel mercato monetario: !!= !!(!, !) (10)

I prezzi sono dati e M sia una variabile esogena, dunque l’offerta reale di moneta è una variabile esogena.

La funzione della domanda di moneta:

!! !, ! =  !!! − !!! (11)

Sostituiamo la (11) nella (10): !!= !!! − !!! (12)

Risolviamo la (12) per Y e arriviamo all’equazione della LM:

! = !!!

!!+ !!

!!! (13)

Riscriviamo ancora l’equazione della LM esplicitando il tasso d’interesse in funzione del reddito nazionale:

! = !!!!! − !

!!

!!

(14)

Gli spostamenti della curva LM. Il riferimento è l’equazione seguente (15) che indica, dato il tasso d’interesse, l’aumento di reddito necessario per eliminare l’eccesso di offerta di moneta creato da una politica monetaria espansiva.

∆! = !!!

∆!!

(15)

L’inclinazione della curva LM. Il riferimento è l’equazione seguente (16) che indica, data l’offerta reale di moneta, la variazione di reddito nazionale necessaria

a riportare in equilibrio il mercato monetario di fronte a una variazione del tasso d’interesse

∆! = !!!!∆! (16)

L’equilibrio macroeconomico (IS-LM)

Si consideri l’equazione della IS, nella forma:

! − !! − !! ! = ! − !!! (17)

e l’equazione della LM, nella forma:

! = !!!!! − !

!!

!!

(18)

Si sostituisca nella (17) il tasso d’interesse espresso dalla (18):

! − !! − !! ! = ! − !!!!!!! + !!

!!

!!

(19)

Risolviamo ora la (19) per Y, individuando così il livello di equilibrio macro del reddito nazionale:

! =!

! − !! − !! + !!!!!!

! +!

! − !! − !!!!!!

+ !!

!!

Il Moltiplicatore della politica fiscale. Data l’offerta reale di moneta, il moltiplicatore della politica fiscale indica la misura della variazione del reddito nazionale determinata da una variazione della spesa pubblica:

∆! =!

! − !! − !! + !!!!!!

∆!

Se l’intervento di politica fiscale fosse consistito in una variazione delle imposte esogene, il moltiplicatore connesso a una tale variazione sarebbe stato:

−!

! − !! − !! + !!!!!!

Il Moltiplicatore della politica monetaria. Date le componenti esogene della domanda aggregata, il moltiplicatore della politica monetaria indica la misura della variazione del reddito nazionale che segue un intervento di politica monetaria, vale a dire una variazione della offerta di moneta:

∆! =!

! − !! − !!!!!!

+ !!∆!!

Quesiti: Come incidono i singoli parametri dei due moltiplicatori sulla variazione del reddito nazionale?