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Laboratorio di Modelli Matematici (Matematica……strumento di vita)

M. Tricarico – F. Visentin

Descrizione del laboratorio. In questo laboratorio si affronta il problema dell’introduzione e della costruzione di semplici modelli matematici derivanti da problemi che sorgono nel campo delle varie discipline scientifiche. Per facilitare gli studenti nella comprensione degli argomenti affrontati, abbiamo scelto esempi elementari legati alla vita quotidiana. Nello spirito del progetto, abbiamo cercato di far scoprire, per gradi, agli studenti la matematica di base che si "nasconde" dietro i problemi proposti. I concetti matematici sono stati semplificati il più possibile, ma sempre esposti in modo rigoroso e corretto, cercando anche di avvicinare gli studenti al cosiddetto “metodo scientifico” ed al ragionamento deduttivo. Le modalità adottate sono le seguenti: • assegnare agli studenti un problema concreto semplice, • lasciare loro libertà “vigilata” di lavoro, • formulare, attraverso un lavoro di gruppo, la soluzione del problema, • avviare una discussione dei risultati e formulare la legge generale, • applicare la legge generale ad altri modelli correlati. Tutte le fasi di lavoro si sono svolte con la collaborazione attiva degli insegnanti delle scuole partecipanti. Il laboratorio si è svolto per tre anni consecutivi a partire dal 2011/12. Nel corso degli anni si sono apportate piccole modifiche per migliorare la comprensione degli argomenti da parte degli studenti. Ogni anno il laboratorio si è svolto in quattro incontri ai quali hanno partecipato studenti di quarto anno di liceo scientifico. Partendo da semplici problemi concreti, sui quali far ragionare gli studenti, siamo passati dal particolare alla legge generale per poi, successivamente, fare emergere i concetti matematici necessari per la formalizzazione dei problemi esaminati. Il percorso che descriviamo si riferisce all’ultimo dei tre anni, ossia al 2013/14. I incontro - Nel primo incontro abbiamo affrontato il problema della crescita di una popolazione isolata. Attraverso esercizi appropriati, gli studenti sono stati messi in grado, partendo da semplici problemi concreti, di risalire ad un’unica legge generale che descrive fenomeni diversi tra loro. Qui di seguito riportiamo gli esercizi assegnati ai ragazzi.

ESERCIZIO N°1 In particolari condizioni, dopo un intervallo di tempo T, una cellula si suddivide in due nuove cellule (dicotomia della cellula). Il fenomeno si ripete sulle due nuove cellule con lo stesso intervallo di tempo T. Considerata una popolazione cellulare costituita da 50 cellule al tempo t=0. Se il tempo di suddivisione è: T=100 ore:

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1) Quante sono le cellule dopo 300 ore? 2) Dopo quante ore le cellule diventano 1.600? 3) Se le cellule diventano 6.400 in 840 ore, qual è il tempo di suddivisione T? 4) Si può determinare una legge che regola la crescita delle cellule? 5) In caso affermativo trovare la legge.

ESERCIZIO N°2 Una popolazione di particelle radioattive decade (la sostanza che contiene le particelle perde parte della radioattività, a causa della disintegrazione di atomi instabili) secondo la seguente legge:

in ogni intervallo di tempo unitario T il numero di particelle si riduce del 20%

Se si suppone che le particelle radioattive presenti nella sostanza inizialmente siano n = 1000, determinare: 1) Quante sono le particelle radioattive dopo 5 unità di tempo. 2) Dopo quante unità di tempo il numero di particelle radioattive si dimezza. 3) Qual è la legge che regola il decadimento radioattivo delle particelle.

ESERCIZIO N°3 Assegnata una popolazione P(n) qualsiasi (batteri, molecole, individui, soldi …) si dice tasso di accrescimento r il rapporto tra la variazione della popolazione ai tempi n ed n+1 e la popolazione al tempo n. Utilizzando questa definizione: 1) Determinare il legame tra P(n+1) e P(n). 2) Determinare il legame tra P(n) e P(0). 3) Stabilire se c’è una relazione tra gli esercizi 1), 2) e 3) ed in caso affermativo dire qual è.

ESERCIZIO N°4 Consideriamo una popolazione P(n) di atomi di Carbonio (14C ) radioattivi che decadono in Azoto (14N ), a causa della disintegrazione di atomi instabili, secondo la legge determinata nell’esercizio precedente. Sapendo che il tempo di dimezzamento k degli atomi di Carbonio (14C) è di circa 5730 anni: 1) Determinare il tasso r in funzione di k. 2) Se in un reperto archeologico resta il 12,5% del numero degli atomi di Carbonio (14C) presente inizialmente, determinare l’età del reperto.

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ESERCIZIO N°5 Una sostanza radioattiva ha un tempo di dimezzamento T = 10 anni. Quanto tempo deve trascorrere affinché resti il 20% della sostanza iniziale? Dal confronto tra i problemi proposti, i ragazzi sono giunti alla scoperta dell’unicità della legge generale. Il passo successivo è stato trovare l’espressione esplicita delle successioni che risolvono l’equazione, ovvero, il problema della risoluzione dell’equazione alle differenze finite che rappresenta la legge di crescita di una popolazione isolata. Acquisiti i risultati prefissi, in modo naturale, si giunge alla formalizzazione del principio di induzione matematica, strumento potente ma non di facile comprensione e applicazione (cfr. [7], [8], [12], [13], [14]). II incontro – Il secondo incontro è dedicato al principio di induzione. Abbiamo proposto semplici esercizi affinché i ragazzi prendessero confidenza con il ragionamento induttivo. Le maggiori difficoltà che abbiamo riscontrato sono due:

1) l’idea prevalente tra gli studenti è quella che “basta un certo numero di prove per asserire che la proprietà è vera”.

2) Il momento in cui la proprietà diventa effettivamente “vera”, che non consiste semplicemente nel passaggio qualitativo dalla proprietà n a quella n+1.

Il polinomio di Eulero (P(n)=n2+n+41, [11]) è servito a convincere i ragazzi che non bastano prove ripetute per assicurare la veridicità della proprietà studiata; infatti, P(n) è un numero primo per n=1,….,39, mentre P(40)=412 . Riguardo al punto 2), per ragazzi così giovani è molto difficile distinguere le due fasi della dimostrazione per induzione e comprendere che nel passaggio dalla proprietà n a quella n+1 non si è dimostrata la proprietà ma soltanto il legame qualitativo tra le due proprietà n ed n+1 e per concludere la dimostrazione bisogna dimostrare che la proprietà si può verificare in maniera diretta per almeno un elemento che fa partire il cosiddetto “effetto domino” e prova che la proprietà è vera per tutti i numeri naturali n più grandi.

ESERCIZIO N°6 Se volessimo sommare i primi 10.000 numeri naturali, secondo voi come dovremmo fare? Esiste un metodo per evitare di incolonnare i numeri e sommarli? A voi trovare la soluzione……

ESERCIZIO N°7 Dimostrare mediante l’uso del principio di induzione le seguenti formule:

1) 2 + 4 +……+ 2n = (2k)k=1

n

∑ = n(n+1)

2) 1 + 3 +……..+ (2n-1) = ∑ −=

n

k)k(

112 = n2

3) 1+ 23 + 33 +…….+ n3 = k3k=1

n

∑ =n(n+1)2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2

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ESERCIZIO N°8 Supponiamo di avere depositato una piccola somma di denaro “D0” in banca e supponiamo che il tasso di interesse “r” sia costante e venga calcolato ad intervalli regolari “k” di tempo, sempre solo sulla somma iniziale (interesse semplice). Se indichiamo con Yk l’ammontare del nostro capitale dopo k unità di tempo, vogliamo sapere: 1) Se D0 = 1.000 € e r = 2%, quanto è diventato il nostro capitale dopo 5 intervalli di tempo? 2) Qual è la relazione tra Yk e Yk+1? 3) Qual è la legge generale che regola l’aumento di capitale? 4) Se il tasso di interesse “r” costante viene calcolato ad ogni scadenza “k” non sul capitale iniziale, ma sul capitale rivalutato con l’aggiunta degli interessi maturati, ossia sulla somma “depositata” alla scadenza precedente “k-1” , come cambia il modello? (interesse composto).

ESERCIZIO N°9 La Torre di Hanoi è un rompicapo matematico composto da tre paletti e un certo numero di dischi di grandezza decrescente, che possono essere infilati in uno qualsiasi dei paletti.

Il gioco consiste nello smontare la torre e nel ricostruirla su un altro paletto con le seguenti regole:

• si può spostare solo il disco situato in cima ad una torre, • un disco più grande non può essere posato su un altro disco più piccolo.

1) Qual è il numero minimo di mosse per spostare i tre dischi da un paletto all’altro? 2) Se aggiungiamo un altro disco, quante saranno le mosse necessarie? 3) Si può dedurre una legge generale?

Numero dischi 1 2 3 4 5 Numero di movimenti

L’esercizio proposto, relativo alla torre di Hanoi, è servito a far capire meglio il meccanismo del principio d’induzione (cfr. [18], [19], [20]). Qui di seguito ne diamo una breve descrizione. La Torre di Hanoi è un gioco matematico inventato da Edouard Lucas, studioso di teoria dei numeri, nella seconda metà dell’ottocento. Nel gioco sono previsti tre paletti, su uno qualsiasi dei quali è costruita una torre consistente di un certo numero di dischi di grandezza decrescente, il gioco consiste nello smontare la torre e ricostruirla su un altro paletto con le regole indicate nell’Esercizion°9.

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Il gioco si risolve per induzione, il problema principale è capire qual è l’ipotesi di induzione che ci consenta di arrivare a determinare il numero di movimenti necessari. Pervenire ad una congettura è la fase più delicata e complicata del procedimento induttivo, ma è anche una fase fondamentale per la crescita in termini di capacità di astrazione, e si ottiene soltanto facendo un po’ di prove. Qui di seguito indichiamo i risultati ottenuti sperimentalmente:

dischi 1 2 3 4 5 Numero di movimenti 1 3 7 15 31

Dalla tabella segue che, ad ogni aggiunta di un disco, il numero di mosse necessarie si ottiene raddoppiando il numero delle mosse precedenti ed aggiungendo una unità. In alternativa, si può pervenire allo stesso risultato con il principio d’induzione, utilizzando le potenze di 2: il numero mn di movimenti necessari per spostare n pioli è

mn= 2

n-1

Ottenuta l’ipotesi di induzione, andiamo a provare la congettura. • per n =1 la proprietà è ovvia e si ha: m

1 = 1,

• supponiamo vera la proprietà per n, ossia mn = 2

n-1 e proviamo che per n+1 si ha:

m(n+1)

= 2(n+1)

-1. Sappiamo che per spostare n dischi occorrono 2

n-1 movimenti, pertanto se spostiamo dal primo al

terzo piolo n dischi avremo utilizzato 2n-1 movimenti e sul primo piolo sarà rimasto un solo disco

che potremo spostare sul secondo piolo con una sola mossa. A questo punto dovremo utilizzare altri 2

n-1 movimenti per riportare gli n dischi già spostati dal terzo al secondo piolo. In definitiva si ha:

m

(n+1) = (2

n-1) + 1 + (2

n-1) = 2

(n+1)-1.

E dunque l’asserto. Questo gioco, che sembra puramente matematico, ha invece grande importanza nella costruzione di algoritmi in vari problemi di natura informatica, relativi ad esempio alla costruzione di programmi per lo stoccaggio delle merci in un magazzino o a quelli per il backup di computer. III incontro - Proseguendo nel percorso sullo studio dei modelli lineari del primo ordine abbiamo proposto due problemi di tipo economico, uno concernente l’accensione di un mutuo, l’altro sugli interessi derivanti da un capitale depositato in banca. Successivamente ci siamo occupate di successioni definite per ricorrenze.

ESERCIZIO N°10 Al tempo k = 0 viene erogato un mutuo di importo S0. Tale somma viene restituita in rate costanti di importo R, pagate a partire dal tempo k = 1. Il tasso d’interesse “r” (interesse composto) con il quale si calcola l’interesse sul debito residuo “Sk ” è costante nel tempo, vogliamo sapere: 1) Se S0 = 1.000 €, r = 5%, e la rata R è di 100 € qual è il debito residuo dopo la prima e dopo la seconda rata? (ricordare che ad ogni passaggio bisogna togliere dal debito quanto già pagato…..)

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2) Qual è la relazione tra Sk ed Sk+1, e, di conseguenza, qual è il modello che regola il debito con la banca in relazione ad r ed R? 3) Dimostrare che se R ≤ r S0 non si riuscirà mai ad estinguere il debito! (suggerimento: usare il principio di induzione) Al tempo k = 0 si investe una somma M0 che frutta una cedola di importo costante C ad ogni scadenza e le somme percepite, comprensive delle cedole, si reinvestono ogni volta con il tasso di interesse (composto) “r” . Se indichiamo con Mk l’ammontare del capitale al tempo “k”, vogliamo sapere: 1) Se M0 = 1.000 € e r = 5%, e la cedola C è di 100 € qual è il capitale al tempo k = 1 e k = 2? (ricordare che ad ogni passaggio bisogna aggiungere al capitale quanto già guadagnato con la cedola C…..) 2) Qual è la relazione tra Mk ed Mk+1, e, di conseguenza, qual è il modello che regola la crescita del capitale investito r e C? A partire dalla relazione trovata nell’esercizio 10 abbiamo chiesto di studiare la legge ricorsiva.

ESERCIZIO N°11 1) Assegnata la seguente legge ricorsiva:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈

≠+=+

Ra

aa nn

0

1 1αβα

Determinare la soluzione nel caso in cui:

𝛼 = 2, 𝛽 = 3 , 𝑎! = 1 2) Studiare la legge ricorsiva definita al punto 1) per quando α =1? Conseguenza naturale del discorso, è la necessità di introdurre le successioni definite per ricorrenza. Ci è sembrato interessante utilizzare l’approccio grafico per la costruzione delle successioni. Tale approccio ha il pregio di essere facilmente comprensibile, perché visivo, e perché consente di poter pervenire al concetto di limite in modo euristico e naturale. Non volendo, tuttavia, rinunciare al rigore, si è formalizzato il metodo grafico con strumenti teorici adeguati, come sempre partendo da un esercizio:

ESERCIZIO N°12 1) Assegnata la seguente legge ricorsiva:

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……,,,na

aa

nn

2100

21

0

1

=

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

−=+

è possibile trovare tutti i termini della successione esplicitamente? La successione ha un punto di arrivo? 2) ….e nel seguente caso?

3) Se modifichiamo la legge nel seguente modo:

……,,,na

aa

nn

2100

32

0

1

=

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

−=+

si possono ancora determinare tutti i termini della successione esplicitamente? 4) e nel caso in cui si pone 𝑎! = 1 o 𝑎! = 2 ? Studiando una successione definita per ricorrenza con punti iniziali diversi si fanno scoprire ai ragazzi comportamenti totalmente diversi a seconda della scelta del punto iniziale. L’esercizio è stato lo spunto per ragionare sul metodo grafico in generale e disegnare il diagramma a gradini. Tale diagramma, assegnata la funzione f(x) che definisce la successione, si ottiene seguendo i seguenti passi (cfr. [3], [4], [6], [10]): • si fissa sull’asse delle ascisse il punto a0, • a partire dal punto a0 si traccia la retta parallela all’asse delle y fino ad incontrare il grafico

della funzione f(x) nel punto: a1 = f(a0 ), • a partire da a1 si traccia la retta parallela all’asse delle x fino ad intersecare la bisettrice del I

e III quadrante, • si ripete il procedimento a partire dal secondo passo. Successivamente, lavorando in modo euristico abbiamo cercato di far capire quali siano i possibili limiti di una successione definita per ricorrenza e quando la successione può ammettere limite. IV incontro – Abbiamo pensato all’ultimo incontro come uno spazio da utilizzare per trarre conclusioni del lavoro svolto, ma anche uno spazio per introdurre possibili argomenti che potessero incuriosire gli studenti e da sviluppare in seguito. A completamento del nostro percorso abbiamo scelto di dare ai ragazzi qualche cenno sulle somme

……,,,n

a

aa

nn

210

23

21

0

1

=

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

−=+

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infinite, in altre parole parlare di serie numeriche e di alcune possibili e curiose applicazioni. La partenza ovvia è quella dello studio della serie geometrica:

ESERCIZIO N°13 Assegnata la successione di numeri: 1, h, h

2, h

3,……….., h

n,…………..

1) come sommereste tutti i numeri della successione fissato h? 2) ci sono casi in cui la somma è finita? Successivamente abbiamo proposto applicazioni alla frazione generatrice di un numero razionale, al paradosso di Zenone o anche alla destrutturazione di un’asta di 2 metri nella somma di infiniti segmenti ciascuno di lunghezza metà del precedente. Perché parlare di serie? Perché spesso questo sembra essere per i ragazzi un concetto ostico ed apparentemente inutile; dunque, presentare le serie come una naturale e logica generalizzazione delle somme ordinarie e mostrare semplici ma intriganti esempi può sfatare questi luoghi comuni. Da una serie numerica ai frattali il passo è breve. La lunghezza di una spezzata formata da cateti di triangoli simili di dimensioni sempre più piccole, o l’area del tappeto di Sierpinskii (cfr. [24], [25], [26]), figure frattali, si ottengono sommando particolari serie geometriche.

ESERCIZIO N°14 ([2]) Calcolare la lunghezza totale della spezzata disegnata in figura e che congiunge i punti C, D, E, F,….

ESERCIZIO N°15 Il tappeto di Sierpinski può essere costruito nel modo seguente. a) Consideriamo un quadrato di lato 1, b) dividiamo il quadrato in 9 quadrati più piccoli, ottenuti dividendo ogni lato in tre parti

uguali, c) rimuoviamo il quadrato centrale, d) ripetiamo i passi b) e c) su ogni nuovo quadrato.

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passo 0 passo 1 passo 2 passo 3 passo 4 passo 5

Il tappeto di Sierpinski è la figura che si ottiene con infinite iterazioni, eliminando ad ogni passaggio solo il quadrato centrale che si forma nella suddivisione di ciascun quadrato in 9 quadrati più piccoli; dunque, in definitiva, il tappeto di Sierpinski è costituito dalla parte bianca che rimane in figura, dopo le infinite iterazioni. 1) Calcolare l’area delle parti nere ai passi 1, 2 e 3. 2) Quanto vale l’area del tappeto? È chiaro che il discorso sui frattali (cfr. [21], [22], [23]) è soltanto accennato: non si parla, per esempio, di dimensione frattale, nè si da la definizione di frattale. Ed è altrettanto chiaro che si potrebbe pensare ad un intero laboratorio dedicato ai frattali, ma anche solo pochi cenni possono destare curiosità ed alimentare la voglia di saperne di più. Qui si chiude il percorso descritto dei quattro incontri, tuttavia, vogliamo aggiungere altro materiale, utilizzato negli anni precedenti, relativo alla costruzione di modelli di sviluppo di una popolazione. Per l’introduzione al concetto di modello matematico (cfr. ad esempio [1], [5], [9],[10]) bisogna, innanzitutto, illustrare quali sono i passi essenziali per la sua costruzione: 1. osservazione del fenomeno, 2. selezione dei parametri rilevanti, 3. formulazione delle equazioni, 4. analisi delle equazioni stesse, 5. confronto con i dati sperimentali. Utilizzando i passi illustrati, abbiamo proposto agli studenti di costruire il modello che si ricava dall'esercizio A, qui di seguito descritto, per, poi, scoprire che il modello in questione non è altro che il modello di Malthus (cfr. [5], [10], [15], [16]):

ESERCIZIO A La popolazione degli USA nel periodo 1790 – 1950

tempi anni popolazione approssimata t = 0 1790 a0 = 3900000 t = 1 1800 a1 = 5300000 t = 2 1810 a2 = 7200000 t = 3 1820 a3 = 9600000 t = 4 1830 a4 = 12850000 t = 5 1840 a5 = 17069000

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1) quale è il passo della successione di cui abbiamo indicato i primi 6 termini? 2) quale unità di misura conviene usare per la popolazione? 3) con tale unità di misura otteniamo: 1790 a0 = 1800 a

1 =

1810 a2 =

1820 a3 =

1830 a4 =

1840 a5 = 4) calcolare il tasso di crescita relativo ai dati indicati. In relazione al punto 1 per la costruzione del modello, partendo dalla discussione sulle osservazioni riguardanti le dinamiche della crescita di una popolazione abbiamo estrapolato la seguente legge:

“maggiore è la popolazione esistente ad un certo momento, maggiore è il suo accrescimento”.

Per quanto riguarda il punto 2 abbiamo selezionato come parametri rilevanti l’unità di tempo (passo), la velocità e il tasso di crescita, formulando (punto 3) un’equazione in cui però il tasso di crescita risultava anch’esso incognito. Abbiamo chiesto agli studenti di determinare questo tasso “sperimentalmente” basandosi sulle statistiche del passato fornite nell’esercizio A. Effettuando i calcoli, gli studenti si sono resi conto che, almeno alla prima cifra decimale, il tasso di crescita si poteva considerare costante e che, con questa scelta, l’equazione determinata rientrava nella legge generale di crescita geometrica. E’ stato, poi, discusso il comportamento delle soluzioni dell’equazione al variare del tempo (punto 4). In linea con il punto 5, sono poi stati discussi i limiti del modello, mettendo in evidenza che esso può funzionare abbastanza bene solo per popolazioni di taglia iniziale piccola e in tempi in cui le risorse alimentari e di spazio possano essere considerate ottimali, cioè, dal punto di vista matematico, illimitate. È ovvio però che su lunghi intervalli di tempo, quanto meno per risorse di spazio, questo modello non è più accettabile. Tenendo conto dei limiti di validità del modello di Malthus, abbiamo introdotto un limite superiore per le popolazioni, legato alla capacità di accoglienza del territorio, in particolare abbiamo discusso il modello di crescita logistica di Verhulst (cfr. [5], [10], [16], [17]). Osservato che i parametri essenziali rimangono gli stessi, ancora una volta abbiamo chiesto agli studenti di determinare il tasso di crescita sperimentalmente, in base a statistiche, ovviamente più recenti di quelle usate in precedenza

ESERCIZIO B La popolazione italiana nel periodo 1975 – 1981 tempi anni popolazione approssimata t = 0 1975 a0 = 55600000 t = 1 1976 a1 = 56000000 t = 2 1977 a2 = 56300000 t = 3 1978 a3 = 56600000

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t = 4 1979 a4 = 56800000 t = 5 1980 a5 = 57000000 t = 6 1981 a6 = 57200000

1) Quale è il passo della successione di cui abbiamo indicato i primi 6 termini?

2) Quale unità di misura conviene usare per la popolazione?

3) con tale unità di misura otteniamo: 1975 a0 = 1976 a1 = 1977 a2 = 1978 a3 = 1979 a4 = 1980 a5 = 1981 a6 =

4) calcolare il tasso di crescita relativo ai dati indicati. Quali conclusioni possiamo trarre?

Dall’esame delle statistiche gli studenti in questo caso si sono resi conto che il tasso di crescita tende a zero. Espresso il tasso con una funzione che tenesse conto del limite superiore per le popolazioni, abbiamo scritto l’equazione (punto 3 della costruzione di un modello) e osservato che essa, con un cambio di variabile, era riconducibile ad un’equazione lineare non omogenea a coefficienti costanti. Infine, utilizzando il principio di induzione, abbiamo studiato le proprietà qualitative più importanti delle soluzioni (punto 4 della costruzione di un modello) e discusso sulla validità del modello (punto 5) e sulla possibilità di determinare il limite superiore intrinseco di una popolazione, almeno euristicamente, sempre in base alle statistiche del passato. Infine, l’ultimo esercizio proposto riguarda un modello di sviluppo di popolazione che fa uso di equazioni alle differenze non omogenee.

ESERCIZIO C

In un habitat ostile, una popolazione di uccelli si riduce del 20% ogni anno. Si pensa di ripopolare la zona, inserendo ogni anno un numero costante b di uccelli della stessa specie, Indicata con Pn la popolazione di uccelli al tempo n:

1) determinare il legame tra Pn e Pn+1 ;

2) determinare la legge esplicita;

3) determinare il numero b di uccelli da inserire ogni anno per ottenere una popolazione che si avvicini il più possibile ad una quota massima di 20.000 unità di uccelli, sapendo che si parte da una popolazione iniziale inferiore alle 20.000 unità che si vuole raggiungere;

4) …..e se si parte da una popolazione che supera le 20.000 unità di uccelli, che cosa succede?

Conclusioni. Che cosa pensiamo resti agli studenti e che cosa resta a noi di questa esperienza? Speriamo di avere dato loro un’immagine della matematica come quella di una scienza viva,

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rigorosa ma non noiosa. Speriamo di aver fatto intuire loro la potenza del pensiero astratto e la capacità di descrivere i più disparati fenomeni utilizzando il linguaggio matematico. Speriamo di avere mostrato che la matematica non si esaurisce nella risoluzione di esercizi ripetitivi e di regole da imparare ma può andare molto oltre. Speriamo di avere indicato loro una strada che è quella di uno studio ragionato e sistematico, tipico delle discipline scientifiche. A noi resta il piacere di avere incontrato ragazzi molto vivaci ed interessati alla matematica, di avere lavorato con loro in un fitto scambio di opinioni che ci ha aiutato a costruire il nostro percorso arricchendolo con le loro osservazioni e curiosità. In conclusione ci resta la convinzione che si possa riuscire ad affrontare argomenti di livello superiore anche solo con pochi strumenti e senza, tuttavia, rinunciare al rigore.

Bibliografia.

[1] M. Braun, Differential Equation and their applications, Springer-Verlag, 1984. [2] M. Conti, D. L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi Matematica, Dal calcolo

all’analisi, vol. 1, Apogeo, 2006. [3] S. N. Elaydi, An Introduction to Difference Equations, Springer, UTM, 1999. [4] S. Goldberg, Introduction to Difference Equations, Dover, 1986. [5] G. Israel, Modelli Matematici, Franco Muzzio ed., 2002. [6] P. Lax, S. Burnstein, A. Lax, Calculus with Applications and Computing, vol. I, Springer-

Verlag, 1983. [7] G. Pòlya, La scoperta matematica, Capire,imparare e insegnare a risolvere i problemi, vol.

I, Feltrinelli ed., 1971. [8] G. Prodi, E. Magenes, Elementi di Analisi Matematica per il triennio delle scuole secondarie

superiori, Casa editrice G. D’Anna, 1982. [9] E. Salinelli, F. Tomarelli, Modelli Dinamici Discreti; Springer, 2008. [10] M. Tricarico, F. Visentin, Modelli discreti, appunti per il corso di Perfezionamento in

didattica della Matematica (2007/2008).

Siti web consultati

[11] http://mathworld.wolfram.com/ (per il polinomio di Eulero, Enciclopedia matematica britannica) [12] http://php.math.unifi.it/archimede/archimede/mini_calcolo/schede/12.pdf (per il principio di induzione e i numeri naturali) [13] www.web.math.unifi.it/users/focardi/Analisi1/triennale/.../induzione.pdf (per le applicazioni scorrette del Principio di Induzione) [14] www.paolocaramanica.net/matematica/Induzione%20matematica.pdf (Paolo Caramanica, Induzione Matematica) [15] www.ecolab.unipr.it/files/stuff/Intro_Dinamica_Popolazioni.pdf (per il modello di Malthus dinamica delle popolazioni) [16] www.edscuola.eu/wordpress/?wpfb_dl=895 (per il modello di Malthus e di Verhulst discreto) [17] www.springerlink.com/index/r34v245u7403q066.pdf (per il modello logistico discreto, solo in abbonamento) [18] www.math.it/torrih/torri.htm (per la torre di Hanoi, la storia) [19] www.areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/.../Hanoi/Hanoi.htm (per la torre di Hanoi, Progetto Polymath - La torre di Hanoi) [20] www.fis.uniroma3.it/CALCOLO_DOC/unix/appuntilinux/all22.htm (per la torre di Hanoi)

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[21] web.inge.unige.it/SMA/2002/Frattali.pdf (P. Oliva, Frattali e realtà) [22] www.pmassio.altervista.org/frattali.htm [23] www.galileo.cincom.unical.it/convegni/cd_simai/Italiano/m.../index.htm (per i frattali) [24] www.it.wikipedia.org/wiki/Tappeto_di_Sierpinski (per il tappeto di Sierpinski, enc. Wikipedia) [25] www.webfract.it/FRATTALI/ntappeto.htm (per il tappeto di Sierpinski – Caos e oggetti frattali) [26] www.maecla.it/bibliotecaMatematica/odifreddi/lamatematica.htm