Modelli matematici rischio credito

Modelli Matematici per la Misurazione del Rischio di Credito

Giovanni Della Lunga

Università degli Studi di SienaPolyhedron Computational Finance s.r.l.

Testi di riferimento

S. Benninga Modelli Finanziari McGraw-Hill, 2001

U. Cherubini, G. Della Lunga Il Rischio Finanziario McGraw-Hill, 2001

U. Cherubini, G. Della Lunga Matematica Finanziaria, applicazioni con VBA per Excel McGraw-Hill, 2002

A. Resti (a cura di) Misurare e Gestire il Rischio di Credito nelle Banche Alpha Test, 2001

F. Saita Il risk management in banca EGEA, 2000

A. Sironi, M. Marsella (a cura di) La misurazione e la gestione del Rischio di Credito Bancaria Editrice, 1998

Una definizione classica… Secondo la definizione tipicamente prevalente

il rischio di credito è identificato con la possibilità che alcune delle controparti affidate da un intermediario non siano in grado di ripagare in tutto o in parte i crediti ricevuti.

In base a tale definizione il rischio di credito si manifesta quindi mediante il verificarsi di un certo numero di eventi di insolvenza all’interno delle controparti affidate.

Una migliore definizione Il rischio di credito rappresenta il

rischio che una variazione inattesa del merito creditizio di una controparte nei confronti della quale esiste una esposizione generi una corrispondente variazione inattesa del valore della posizione creditoria.

Il rischio di credito: un problema di definizione

Il rischio di credito non è confinato alla sola possibilità dell’insolvenza di una controparte: anche il semplice deterioramento del merito creditizio di quest’ultima deve considerarsi una manifestazione del rischio di credito.

Affinché si possa realmente parlare di rischio occorre che la variazione del merito creditizio della controparte sia inattesa.

Questo porta alla definizione di due concetti Perdita attesa Perdita inattesa

Perdita attesa e inattesa

Data una certa esposizione nei confronti di una controparte, la perdita attesa può essere considerata come il prodotto fra la probabilità di insolvenza della controparte e la quota di credito che si ritiene non sarebbe recuperato in caso di insolvenza.

A livello di portafoglio è comunque più conveniente definire il rischio di credito come il rischio che le perdite riscontrate si discostino dalle perdite attese da parte della banca.

Perdita Attesa e Inattesa Il concetto di perdita attesa è tuttavia

di importanza fondamentale. La quantificazione della perdita attesa è

infatti condizione necessaria per la definizione di una corretta politica di accantonamenti per la copertura del rischio di credito.

Come vedremo rappresenta il punto di partenza nei processi di stima della componente inattesa.

Il rischio di credito: una classificazione

Rischio di Insolvenza Rischio di Migrazione

In generale il peggioramento del merito creditizio di una controparte non dà luogo ad una perdita economica immediata per la banca a meno che l’esposizione creditizia non derivi da un’attività negoziata in un mercato secondario liquido come nel caso di un corporate bond.

Rischio di Recupero E’ legato alla possibilità che il tasso di recupero connesso alle esposizioni

nei confronti delle controparti divenute insolventi si riveli inferiore a quanto originariamente stimato dalla banca.

Rischio di Esposizione Rappresenta il rischio che la dimensione dell’esposizione nei confronti di

una controparte aumenti in modo inaspettato in corrispondenza del periodo appena antecedente il verificarsi dell’insolvenza.

Rischio di Spread

Alcune Conseguenze La definizione data ha alcune implicazioni prima fra tutte

la necessità di considerare non solo le esposizioni attuali ma anche quelle potenziali nella valutazione del rischio.

Per l’insorgere del rischio di credito, quindi, non occorre necessariamente che esista un’esposizione creditizia corrente, ma è sufficiente che esistano le condizioni per cui essa può generarsi: ciò si può verificare, ad esempio nel caso di conclusione di contratti over the counter in cui l’aumento del valore di mercato della posizione per uno dei due contraenti determina automaticamente l’insorgere di una posizione creditoria nei confronti della controparte.

La determinazione della

perdita attesa La perdita attesa risulta data dal prodotto di tre

componenti L’esposizione assunta nei confronti della controparte

(ad esempio, nel caso semplice di un mutuo considerato al momento dell’emissione, l’importo del prestito concesso);

La probabilità attesa di insolvenza della controparte (pins);

La percentuale attesa di perdita nel caso di insolvenza (loss given default, LGD), esprimibile anche come il complemento ad uno del recovery rate (RR) registrato sul credito nei confronti del creditore insolvente.


perdita attesa In formule

)](1[)( RREpELGDEpEPA insAinsA )](1[)( RREpELGDEpEPA insAinsA

E’ utile notare che tutti e tre gli elementi sono incerti: ciò è intuitivo per quanto concerne la probabilità di insolvenza e la percentuale di perdita in caso di insolvenza ma vale anche con riferimento all’esposizione Operazioni che concedono alla clientela discrezionalità circa

l’entità del finanziamento da ricevere (es. scoperto in cc);

Operazioni in derivati OTC;


perdita attesa Esempio

Supponiamo di avere un prestito per 10 milioni di Euro con probabilità di insolvenza stimata pari al 2% e recovery rate atteso pari al 40%,

la perdita attesa sarà pari a 1.2 milioni di Euro.


perdita attesa Nel caso più semplice in cui

l’esposizione attesa sia nota la stima della perdita attesa si può ricondurre alla stima di probabilità di insolvenza Recovery rate atteso


perdita attesa Ci sono due principali approcci

Si può dapprima procedere ad una classificazione in base a valutazioni soggettive delle operazioni o delle controparti in classi di rischio omogenee e, successivamente, tentare di quantificare il rischio di perdita attesa associato ad ogni operazione o controparte;

Si può procedere direttamente ad attribuire una perdita attesa alla singola controparte sulla base di modelli di tipo quantitativo basati sui dati economico-finanziari della singola impresa;

1. Individuazione del livello di rischiosità della singola operazione o del singolo affidato;

2. Quantificazione delle perdite attese associate a tale scala

1. Individuazione del livello di rischiosità della singola operazione o del singolo affidato;

2. Quantificazione delle perdite attese associate a tale scala

1. Stima della probabilità di insolvenza;

2. Stima o assunzioni sul recovery rate

1. Stima della probabilità di insolvenza;

2. Stima o assunzioni sul recovery rate


perdita attesa – 1o approccio Assegnazione del rating da parte dell’analista

Consente di discriminare le operazioni, all’interno di quelle accettate, in funzione del rischio associato ad ognuna di esse;

Associazione della perdita attesa alla classe di merito creditizio dell’operazione o del soggetto affidato

1. Valutazione soggettiva 2. Valutazione “storica” sull’esperienza della banca o del

sistema bancario3. Valutazione basata sui tassi di default cumulati registrati da

titoli obbligazionari con lo stesso rischio4. Valutazione basata su tassi di perdita attesa desunti dagli

spread dei titoli obbligazionari con lo stesso rischio


perdita attesa – 1o approccio

Dati ricavabili dall’analisi storica dei bond soggetti a rating

Marginal Mortality Rate

1 anno 2 anni 3 anni 4 anni 5 anniMarginale 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00%Cumulativa 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00%Marginale 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00%Cumulativa 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00%Marginale 0.00% 0.48% 0.00% 0.00% 0.00%Cumulativa 0.00% 0.48% 0.48% 0.48% 0.48%Marginale 0.18% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00%Cumulativa 0.18% 0.18% 0.18% 0.18% 0.18%Marginale 0.31% 1.05% 1.05% 2.47% 9.38%Cumulativa 0.31% 1.36% 2.39% 4.80% 13.73%Marginale 1.37% 3.78% 5.93% 2.08% 4.35%Cumulativa 1.37% 5.10% 10.73% 12.58% 16.39%Marginale 17.65% 9.09% 25.00% 0.00% 0.00%Cumulativa 17.65% 25.14% 43.85% 43.85% 43.85%

BA

B

CAA

AAA

AA

A

BAA

tannodell' inizioall' insolventinon emittenti di numero

tannonell' insolventi divenuti emittenti di numeroMMR

Tassi di mortalità per numero di emittenti su un campione di prestiti sindacati (1990-1996) – fonte: Altman, Suggitt (1997)

L’analisi dei tassi di mortalità marginali e comulati permette di ricostruire non il tasso di perdita attesa ma la probabilità attesa di insolvenza. Per giungere ad una stima della perdita attesa è quindi necessario combinare tale dato con un’ipotesi circa il recovery rate anch’esso tipicamente determinato sulla base dei dati storici.


perdita attesa – 2o approccio L’altra strada consiste nel ricorrere a

tecniche quantitative che consentano di stimare direttamente la probabilità di insolvenza Credit Scoring

Questi modelli, normalmente, non hanno come risultato la formulazione di una probabilità di default ma possono essere utilizzati per la determinazione di tale probabilità

Analisi discriminante (esempio tratto da Resti (2000)) Reti Neurali

Option Theory Modello di Merton


perdita attesa

Stima del recovery rate Per ottenere una valutazione della

possibile perdita occorre aggiungere un ulteriore elemento che è rappresentato dalla stima della perdita in caso di insolvenza (loss given default) o, alternativamente, dal tasso di recupero del credito in caso di insolvenza (recovery rate) che rappresenta il complemento a 1 della perdita in caso di insolvenza


perdita attesa

Stima del recovery rate La stima del recovery rate pone due difficoltà

principali Nella stima della perdita attesa (che è il nostro

argomento di analisi in questa parte) si presenta il problema di scegliere su quale base (caratteristiche dell’impresa, della singola operazione, di entrambe) costruire una base dati per determinare una stima realistica del tasso di recupero medio atteso;

Nella stima della variabilità della perdita attesa (e quindi nella stima della perdita inattesa) si pone la necessità di valutare da un lato la volatilità del recovery rate e dall’altro la correlazione fra recovery rate e probabilità di insolvenza.


perdita inattesa Come abbiamo più volte sottolineato la perdita

attesa non rappresenta in senso stretto il rischio a cui un portafoglio di esposizioni creditizie è esposto;

Idealmente se le perdite ex post non si discostassero mai dalle perdite attese ex ante e fossero rispettate le due condizioni relative al pricing e alla costituzione degli accantonamenti il rischio per la banca potrebbe essere considerato pressoché nullo.


perdita inattesa In una logica di Value-at-Risk possiamo identificare il rischio

assunto dalla banca a partire dalla distribuzione dei tassi di perdita come la massima variazione sfavorevole a cui la banca stessa può essere esposta.

Considerando per ognuna della variabili che determinano la perdita attesa il valore più sfavorevole che esse possono assumere nello scenario peggiore e ipotizzando una perfetta correlazione fra le tre variabili, potremmo identificare la perdita massima entro un dato intervallo di probabilità come:

wcswcsinswcswcs LGDpEP , wcswcsinswcswcs LGDpEP ,


perdita inattesa Non tutta la perdita nel worst case scenario può essere

identificata come misura del rischio dell’esposizione;

Parte di tale perdita è infatti rappresentata dalla perdita attesa;

La perdita inattesa è rappresentata dalla differenza fra il tasso di perdita nello scenario più sfavorevole e il tasso di perdita attesa:

pappi wcs pappi wcs


perdita inattesa La misurazione del rischio di credito rappresenta un

compito assai più arduo di quanto non accada nel caso dei rischi di mercato. Ciò è dovuto in particolare a tre problemi chiave

La non normalità della distribuzione sia dei rendimenti delle posizioni che dei tassi di perdita;

La complessità nella determinazione dell’effetto delle correlazioni fra posizioni diverse nel calcolo del VaR di portafoglio;

La disomogeneità e la scarsità, sia in senso assoluto che per frequenza di rilevazione, dei dati disponibili per la stima del rischio di credito


perdita inattesa

Non Normalità

Nel caso dei tassi di perdita è evidente che la distribuzione è marcatamente asimmetrica: a fronte di una perdita minima pari a zero (che costituisce il miglior risultato possibile per il detentore dell’esposizione), e di una elevata probabilità di ottenere perdite contenute, vi è una probabilità non nulla di ottenere perdite estremamente elevate.


perdita inattesa

Il problema della Non Normalità

La distribuzione dei tassi di perdita risulta dunque limitata ad un estremo e caratterizzata da un’unica coda lunga all’altro estremo mostrando una swewness consistente

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

Densità Dist. Cumulata


perdita inattesa

Il problema della Correlazione

L’analisi dell’impatto delle correlazioni fra le varie posizioni ai fini della determinazione del VaR di portafoglio risulta molto più complesso; Non normalità dei tassi di perdita Determinanti della diversificazione (individuazione dei

risk factors) Disomogeneità e scarsità dei dati a disposizione

Che cosa è il Value-at-Risk

Il VaR misura la massima perdita attesa in

un dato intervallo di tempo ad un dato

livello di confidenza in condizioni normali

di mercato


Dalla serie storica ...

… alla distribuzione di probabilità

Che cosa è il Value-at-Risk E’ una tecnica di gestione del rischio diffusa nell’area finanziaria degli

istituti di credito. Il Value-at-Risk (VaR) è una misura della perdita potenziale di capitale

che può insorgere a causa di movimenti avversi nelle variabili finanziarie rilevanti.

Un portafoglio con un VaR con un livello di confidenza del 95% non dovrebbe subire perdite superiori a quelle stimate in 95 casi su 100.

Il calcolo del capitale a rischio nella metodologia VaR richiede i seguenti passi :

misurazione della posizione a rischio (tasso, cambio..) per ogni unità operativa; calcolo della volatilità storica o implicita e delle correlazioni fra i fattori di rischio; valutazione del tempo minimo di liquidazione per tipologia di posizione; determinazione del livello di probabilità (o intervallo di confidenza).

Il capitale a rischio ovvero la massima perdita potenziale per il livello di probabilità stabilito è dato dalla moltiplicazione delle quattro componenti sopra riportate.


Con riferimento alla distribuzione riportata, vediamo che esiste una probabilità del 5 % che il rendimento divenga minore di –1.7 % nell’arco di un mese. Quindi se ipotizziamo di avere un patrimonio iniziale di 100 milioni di lire, il VAR è pari a 1.7 milioni con un livello di confidenza del 95%.

La determinazione del

Value-at-Risk per il rischio di credito

Come abbiamo già visto il rischio complessivo associato ad un’esposizione creditizia dipende fondamentalmente dai seguenti fattori:

Volatilità dell’esposizione attesa Volatilità della probabilità attesa di insolvenza Volatilità della perdita in caso di insolvenza (recovery

rate volatility) Correlazioni fra esposizione, probabilità di insolvenza

e recovery rate



Occorre introdurre qualche semplificazione! Sulla tipologia di rischio considerata (solo rischio di

insolvenza o anche il rischio di deterioramento della qualità dell’affidato)

Sui fattori determinanti la probabilità di migrazione o di insolvenza (classi di rating, settori, paese, etc…)

Sulla classificazione (per classi discrete oppure nel continuo) del livello di rischio della singola controparte

Sull’approccio metodologico utilizzato per la determinazione della probabilità di insolvenza e del tasso di perdita (attuariale, macroeconomico, a la Merton, etc…)



Principali modelli attualmente disponibili

Modelli basati su una valutazione a valori di mercato CreditMetrics

Modelli di tipo attuariale CreditRisk+

Modelli basati sull’approccio “alla Merton” KMV

Modelli basati sull’evoluzione di fattori macroeconomici CreditPortfolioView (McKinsey)

CreditMetricsTM

CreditMetricsTM

Proposto da JP Morgan sull’onda del successo di RiskMetrics™

Considera sia il rischio di default che il rischio di deterioramento del merito creditizio della controparte

E’ basato su una logica di valutazione a valori di mercato

Il valore attribuito ad ogni posizione altro non è che il valore attuale dei flussi futuri scontato ad un tasso espressivo del rischio di credito dell’operazione

Il rischio connesso alle variazioni di merito può essere letto attraverso le variazioni del valore di mercato della posizione connesse alla variazione del tasso di attualizzazione dei flussi futuri

Un peggioramento dello standing creditizio implicherà la richiesta da parte del mercato di un tasso di attualizzazione più elevato

CreditMetricsTM

Il livello di rischio della controparte è definito sulla base del suo rating Il rating è la sola discriminante del profilo di rischio della singola

esposizione

La possibile evoluzione del profilo di rischio del cliente è rappresentata mediante una matrice (detta matrice di transizione) che esprime la probabilità che una controparte avente un dato rating al tempo t si trovi in ciascuna delle diverse possibili classi di rating al tempo t + 1

I tassi di attualizzazione sono ricavati ricostruendo, per ogni classe di rating, la curva dei tassi forward relativa all’orizzonte temporale sul quale si intende misurare il rischio (tipicamente un anno)

CreditMetricsTM

La matrice di transizione rappresenta la probabilità di una controparte caratterizzata da un certo rating al tempo t …

Ratinginiziale AAA AA A BBB BB B CCC Default

AAA 90.81% 8.33% 0.68% 0.06% 0.12% 0.00% 0.00% 0.00%AA 0.70% 90.65% 7.79% 0.64% 0.06% 0.14% 0.02% 0.00%A 0.09% 2.27% 91.05% 5.52% 0.74% 0.26% 0.01% 0.06%

BBB 0.02% 0.33% 5.95% 86.93% 5.30% 1.17% 0.12% 0.18%BB 0.03% 0.14% 0.67% 7.73% 80.53% 8.84% 1.00% 1.06%B 0.00% 0.11% 0.24% 0.43% 6.48% 83.46% 4.07% 5.20%

CCC 0.22% 0.00% 0.22% 1.30% 2.38% 11.24% 64.86% 19.79%

Matrice di transizione ad un annoRating a fine anno

… di trovarsi in una delle diverse possibili classi di rating al tempo t+1 (tipicamente dopo un anno) …

… oppure di cadere in stato di insolvenza

Come si vede, per ogni classe di rating l’evento più probabile è quello di rimanere nella medesima classe di partenza

CreditMetricsTM

Occorre poi determinare quale tasso di attualizzazione sia associato ad ogni stato;

CM utilizza la curva dei tassi forward zero coupon calcolata alla data di un anno dal momento della valutazione Tale curva può essere calcolata sulla base dei tassi spot riferiti ad

ogni scadenza per ogni classe di rating In questo modo la curva ricavata dipende da un lato dalla term

structure dei tassi a termine e dall’altro dalla struttura per scadenza dei credit spread

Sulla base della curva dei tassi forward per ogni classe di rating è possibile calcolare il valore di mercato di ogni titolo o prestito in corrispondenza ad ogni possibile classe di rating alla data di un anno da quella di valutazione (esempio).

CreditMetricsTM

Procedendo con questa modalità è possibile calcolare il valore di mercato futuro del titolo in corrispondenza di qualsiasi livello di rating.

Ciò che invece non può essere calcolato con questo procedimento è il valore del credito in caso di default In questo caso il valore del prestito viene posto pari ad una

percentuale del valore nominale del prestito che rappresenta la stima dell’ammontare che si presume di recuperare (recovery rate)

In particolare si possono utilizzare delle statistiche legate ai tassi di recupero sui prestiti obbligazionari societari, suddivisi per classi di seniority (ovvero in base alla graduazione dei privilegi nel rimborso dei crediti)

Deviazionestandard

Senior Secured 53.80% 26.86%Senior Unsecured 51.13% 25.45%Senior Subordinated 38.52% 23.81%Subordinated 32.74% 20.18%Junior Subordinated 17.09% 10.90%

Tassi di recupero per classe di seniority (% del valore nominale)

Classe di seniority MediaDeviazionestandard

Senior Secured 53.80% 26.86%Senior Unsecured 51.13% 25.45%Senior Subordinated 38.52% 23.81%Subordinated 32.74% 20.18%Junior Subordinated 17.09% 10.90%

Tassi di recupero per classe di seniority (% del valore nominale)

Classe di seniority Media

CreditMetricsTM

A questo punto per ogni titolo di una determinata classe di rating disponiamo Della matrice di transizione Dei possibili valori associati ad ogni possibile rating finale e

all’evento di default

E’ possibile costruire la distribuzione dei valori del titolo alla data di un anno a partire da oggi!

CreditMetricsTM

Il programma VBA sviluppato effettua il calcolo delle quantità richieste producendo in output la seguente tabella

Tabella 1 - Valori futuri e probabilità ad un anno per un prestito di classe BBBcon Valore Nominale : 100 Tasso : 6 Durata : 5

Rating di fine anno Valore Probabilità Variazione valore prestitoAAA 109.35 0.02% 1.82AA 109.17 0.33% 1.64A 108.64 5.95% 1.11

BBB 107.53 86.93% 0.00BB 102.01 5.30% -5.52B 98.09 1.17% -9.45

CCC 83.63 0.12% -23.91Default 51.13 0.18% -56.40

Calcola

Tabella 1 - Valori futuri e probabilità ad un anno per un prestito di classe BBBcon Valore Nominale : 100 Tasso : 6 Durata : 5

Rating di fine anno Valore Probabilità Variazione valore prestitoAAA 109.35 0.02% 1.82AA 109.17 0.33% 1.64A 108.64 5.95% 1.11

BBB 107.53 86.93% 0.00BB 102.01 5.30% -5.52B 98.09 1.17% -9.45

CCC 83.63 0.12% -23.91Default 51.13 0.18% -56.40

Calcola

CreditMetricsTM

Dalla distribuzione del valore del prestito è immediatamente desumibile anche la distribuzione delle perdite ad esso associate Per determinare la distribuzione delle perdite occorre però fare

attenzione alla determinazione della probabilità associata all’evento “perdite nulle”. In questo caso infatti questo evento ha una probabilità pari alla somma delle probabilità che si verifichino perdite pari a zero e delle probabilità che si verifichino dei guadagni ossia dei casi in cui il prestito migri verso le classi di rating migliori.

Perdite Probabilità0.00 93.23%5.52 5.30%9.45 1.17%23.91 0.12%56.40 0.18%

Perdite Probabilità0.00 93.23%5.52 5.30%9.45 1.17%23.91 0.12%56.40 0.18%

CreditMetricsTM

Come si vede la distribuzione dei valori del prestito e delle relative perdite è tutt’altro che normale;

Le perdite in casi estremi (evidenziate dalle code a destra) sono più probabili rispetto a quelle derivanti da una distribuzione statistica di tipo gaussiano;

Distribuzione valore del Prestito

0.00%

1.00%

2.00%

3.00%

4.00%

5.00%

6.00%

7.00%

8.00%

9.00%

10.00%

109.35 109.17 108.64 107.53 102.01 98.09 83.63 51.13

Distribuzione delle perdite

0.00%

1.00%

2.00%

3.00%

4.00%

5.00%

6.00%

7.00%

8.00%

9.00%

10.00%

0.00 5.52 9.45 23.91 56.40

CreditMetricsTM

I calcoli confermano un marcato allontanamento dai risultati che potremmo aspettarci in caso di distribuzione normale

media 107.07varianza 8.94

Dev. Standard 2.991o perc. Normale 100.101o perc. Effettivo 92.28

media 107.07varianza 8.94

Dev. Standard 2.991o perc. Normale 100.101o perc. Effettivo 92.28

VaR Effettivo = 14.79

VaR Normale = 6.97

Il Value-at-Risk effettivo è più del doppio di quello stimato con l’ipotesi di normalità !!!

CreditMetricsTM

Il rischio di Portafoglio Estendendo la metodologia appena vista al caso di un portafoglio

con più prestiti emerge un ulteriore fattore di rischio: la correlazione fra i vari prenditori;

Maggiore è la correlazione all’interno del portafoglio, più elevato è il rischio;

La correlazione tende ad essere elevata per aziende appartenenti allo stesso settore industriale;

Le correlazioni sono sensibili al ciclo economico; Nel modello CreditMetrics™ si procede alla stima delle correlazioni

fra i rendimenti dei prenditori utilizzando come “proxy” i relativi rendimenti azionari;

Si ipotizza pertanto che gli attivi aziendali siano finanziati esclusivamente dal capitale azionario;

Utilizzando queste correlazioni si determina la distribuzione congiunta dei rendimenti dei prenditori;

CreditMetricsTM

Secondo il modello del valore delle attività aziendali proposto da Merton (1974), il default di un’azienda si verifica quando il valore delle sue attività scende al di sotto di un certo livello;

Assumiamo che il tasso di rendimento delle attività aziendali si distribuisca secondo una normale e consideriamo la distribuzione standardizzata;

Se la probabilità di insolvenza per un determinato prenditore i è pari a pi allora il valore soglia di default è dato da

Dove è l’inversa della funzione di densità cumulata di una distribuzione normale standard.

)(1ip

(.)1

CreditMetricsTM

Nel caso di un prenditore che si trovi inizialmente nella classe BBB troviamo

Rating di fine anno Valore Probabilità Prob. Cum. SogliaAAA 109.35 0.02% 100.00%AA 109.17 0.33% 99.98% 3.54A 108.64 5.95% 99.65% 2.70

BBB 107.53 86.93% 93.70% 1.53BB 102.01 5.30% 6.77% -1.49B 98.09 1.17% 1.47% -2.18

CCC 83.63 0.12% 0.30% -2.75Default 51.13 0.18% 0.18% -2.91


BBB 107.53 86.93% 93.70% 1.53BB 102.01 5.30% 6.77% -1.49B 98.09 1.17% 1.47% -2.18

CCC 83.63 0.12% 0.30% -2.75Default 51.13 0.18% 0.18% -2.91

Distribuzione normale standard di un prenditore BBB(fonte: Benninga S. Modelli Finanziari McGraw-Hill 2001)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Rendimento attività

Prob

abili

tà

Default0,18%

CCC0,12%

B1,17%

L'azienda rimane BBB86,93%

A5,95%

AA0,33%

AAA0,02%

ZDef

-2,91

ZCCC

-2,75ZB

-2,18

ZBB

-1,49

ZBBB

1,53ZA

2,70

ZAA

3,54

BB5,30%

Distribuzione normale standard di un prenditore BBB(fonte: Benninga S. Modelli Finanziari McGraw-Hill 2001)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Rendimento attività

Prob

abili

tà

Default0,18%

CCC0,12%

B1,17%

L'azienda rimane BBB86,93%

A5,95%

AA0,33%

AAA0,02%

ZDef

-2,91

ZCCC

-2,75ZB

-2,18

ZBB

-1,49

ZBBB

1,53ZA

2,70

ZAA

3,54

BB5,30%

CreditMetricsTM

A questo punto analizziamo i movimenti dei rendimenti dell’attivo di due prenditori caratterizzati da una determinata misura di correlazione;

Poiché i valori degli attivi non sono osservabili sul mercato, in CreditMetrics™ i coefficienti di correlazione sono stimati sulla base dei prezzi azionari dei prenditori (o di gruppi di prenditori sulla base dell’area geografica e del settore di appartenenza);

Assumiamo che i rendimenti dell’attivo di due prenditori si distribuiscano secondo una distribuzione normale standard bivariata che è funzione dei rendimenti relativi alle varie classi di rating ri ed rj e del coefficiente di correlazione fra i rendimenti degli attivi aziendali :

jijiji rrrrrrf

2

12

1exp

12

1),,( 22

22

jijiji rrrrrrf

2

12

1exp

12

1),,( 22

22

CreditMetricsTM

Esempio: calcolare la probabilità che due prenditori di classe rispettivamente BBB e A restino nella stessa classe iniziale Determinazione delle soglieRating di fine anno Valore Probabilità Prob. Cum. Soglia

AAA 109.35 0.02% 100.00%AA 109.17 0.33% 99.98% 3.54A 108.64 5.95% 99.65% 2.70

BBB 107.53 86.93% 93.70% 1.53BB 102.01 5.30% 6.77% -1.49B 98.09 1.17% 1.47% -2.18

CCC 83.63 0.12% 0.30% -2.75Default 51.13 0.18% 0.18% -2.91


BBB 107.53 5.52% 6.59% -1.51BB 102.01 0.74% 1.07% -2.30B 98.09 0.26% 0.33% -2.72

CCC 83.63 0.01% 0.07% -3.19Default 51.13 0.06% 0.06% -3.24

53.149.1 ir 53.149.1 ir

98.151.1 jr 98.151.1 jr

CreditMetricsTM

Calcolo dell’integrale doppio

53.1

49.1

98.1

51.1

jijiji

ABBB

drdrrrrr

rrP

212

1exp

12

1

98.151.1;53.149.1(

2222

53.1

49.1

98.1

51.1 jijiji

ABBB

drdrrrrr

rrP

212

1exp

12

1

98.151.1;53.149.1(

2222

53.1

49.1

98.1

51.1

Il calcolo di questo integrale avviene per via numerica

CreditMetricsTM

Effettuando il calcolo per tutte le possibili combinazioni di rating dei due prenditori, otteniamo una tabella che contiene le probabilità di migrazione congiunte

Correlazione 0.2Nr. Parti 100

Soglia AAA AA A BBB BB B CCC DefaultSoglia 4.00 3.12 1.98 -1.51 -2.30 -2.72 -3.19 -3.24 -4.00 TotaleAAA 3.54 0.00% 0.00% 0.02% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.02%AA 2.70 0.00% 0.02% 0.30% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.33%A 1.53 0.02% 0.29% 5.56% 0.15% 0.01% 0.00% 0.00% 0.00% 6.03%BBB -1.49 0.07% 1.91% 79.74% 4.71% 0.61% 0.21% 0.01% 0.04% 87.31%BB -2.18 0.00% 0.04% 4.67% 0.52% 0.08% 0.03% 0.00% 0.01% 5.36%B -2.75 0.00% 0.01% 1.00% 0.14% 0.02% 0.01% 0.00% 0.00% 1.18%CCC -2.91 0.00% 0.00% 0.10% 0.02% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.12%Default -4.00 0.00% 0.00% 0.15% 0.03% 0.01% 0.00% 0.00% 0.00% 0.18%

Totale 0.09% 2.28% 91.53% 5.55% 0.74% 0.26% 0.01% 0.06% 100.53%

Probabilità di migrazione congiunte per due prenditori

Prenditore 2Prend. 1

Correlazione 0.2Nr. Parti 100

Soglia AAA AA A BBB BB B CCC DefaultSoglia 4.00 3.12 1.98 -1.51 -2.30 -2.72 -3.19 -3.24 -4.00 TotaleAAA 3.54 0.00% 0.00% 0.02% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.02%AA 2.70 0.00% 0.02% 0.30% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.33%A 1.53 0.02% 0.29% 5.56% 0.15% 0.01% 0.00% 0.00% 0.00% 6.03%BBB -1.49 0.07% 1.91% 79.74% 4.71% 0.61% 0.21% 0.01% 0.04% 87.31%BB -2.18 0.00% 0.04% 4.67% 0.52% 0.08% 0.03% 0.00% 0.01% 5.36%B -2.75 0.00% 0.01% 1.00% 0.14% 0.02% 0.01% 0.00% 0.00% 1.18%CCC -2.91 0.00% 0.00% 0.10% 0.02% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.12%Default -4.00 0.00% 0.00% 0.15% 0.03% 0.01% 0.00% 0.00% 0.00% 0.18%

Totale 0.09% 2.28% 91.53% 5.55% 0.74% 0.26% 0.01% 0.06% 100.53%

Probabilità di migrazione congiunte per due prenditori

Prenditore 2Prend. 1

In questo esempio abbiamo ipotizzato una correlazione pari a 0.2

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Dobbiamo ora calcolare il valore attuale delle esposizioni delle attività dei due prenditori. Il calcolo è analogo a quello visto precedentemente, si tratta semplicemente di attualizzare i flussi futuri con le appropriate curve dei tassi forward. Ad esempio ipotizzando due strutture di prestito del tipo Prenditore 1 : rating BBB, valore nominale 100, cedola 6%, scadenza 5 anni Prenditore 2: rating A, valore nominale 100, cedola 5%, scadenza 3 anni

OtteniamoRating di fine anno Valore 1 Valore 2

AAA 109.35 106.59AA 109.17 106.49A 108.64 106.30

BBB 107.53 105.64BB 102.01 103.15B 98.09 101.39

CCC 83.63 88.71Default 51.13 51.13

Rating di fine anno Valore 1 Valore 2AAA 109.35 106.59AA 109.17 106.49A 108.64 106.30

BBB 107.53 105.64BB 102.01 103.15B 98.09 101.39

CCC 83.63 88.71Default 51.13 51.13

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Combinando i dati fin qui calcolati siamo in grado di calcolare media, varianza e percentile della distribuzione di valori. Nel nostro caso otteniamo

Media = 213.26 Varianza = 10.97 St. Deviation = 3.31

VaR = ?

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Quando il portafoglio è composto da più attività i calcoli diventano ovviamente più complessi;

CreditMetrics™ propone un metodo basato sulla simulazione Monte Carlo. Questo metodo si suddivide in tre fasi

Generazione di vari scenari che corrispondono ai possibili “stati del mondo” (ossia alle classi di rating dei nostri prenditori) che possono verificarsi alla fine dell’orizzonte temporale di riferimento (1 anno)

Valutazione del portafoglio in ogni scenario Sintesi dei risultati ottenuti attraverso il calcolo delle

statistiche di rischio del portafoglio

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Generazione degli scenari Consideriamo un portafoglio composto da 3 prestiti così

costituito$4mil., BBB rating, senior unsecured (tasso recupero 51,13%), cedola 6%, scadenza 5 anni

$2mil., A rating, senior unsecured (tasso recupero 51,13%), cedola 5%, scadenza 3 anni

$1mil., CCC rating, senior unsecured (tasso recupero 51,13%), cedola 10%, scadenza 2 anni

Prestito 1

Prestito 2

Prestito 3

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Il primo passo consiste, come prima, nel calcolo delle probabilità di migrazione e delle soglie dei rendimenti dell’attivo

p i cumul z i p i cumul z i p i cumul z i

AAA 0.02 100.00 0.09 100.00 0.22 100.01AA 0.33 99.98 3.54 2.27 99.91 3.12 0.00 99.79 2.86A 5.95 99.65 2.70 91.05 97.64 1.98 0.22 99.79 2.86

BBB 86.93 93.70 1.53 5.52 6.59 -1.51 1.30 99.57 2.63BB 5.30 6.77 -1.49 0.74 1.07 -2.30 2.38 98.27 2.11B 1.17 1.47 -2.18 0.26 0.33 -2.72 11.24 95.89 1.74

CCC 0.12 0.30 -2.75 0.01 0.07 -3.19 64.86 84.65 1.02Default 0.18 0.18 -2.91 0.06 0.06 -3.24 19.79 19.79 -0.85

RatingAzienda 1 (BBB) Azienda 2 (A) Azienda 3 (CCC)

Probabilità di migrazione (%) e soglie dei rendimenti dell'attivo

p i cumul z i p i cumul z i p i cumul z i

AAA 0.02 100.00 0.09 100.00 0.22 100.01AA 0.33 99.98 3.54 2.27 99.91 3.12 0.00 99.79 2.86A 5.95 99.65 2.70 91.05 97.64 1.98 0.22 99.79 2.86

BBB 86.93 93.70 1.53 5.52 6.59 -1.51 1.30 99.57 2.63BB 5.30 6.77 -1.49 0.74 1.07 -2.30 2.38 98.27 2.11B 1.17 1.47 -2.18 0.26 0.33 -2.72 11.24 95.89 1.74

CCC 0.12 0.30 -2.75 0.01 0.07 -3.19 64.86 84.65 1.02Default 0.18 0.18 -2.91 0.06 0.06 -3.24 19.79 19.79 -0.85

RatingAzienda 1 (BBB) Azienda 2 (A) Azienda 3 (CCC)

Probabilità di migrazione (%) e soglie dei rendimenti dell'attivo

CreditMetricsTM

Come abbiamo già detto nel modello CreditMetrics™, che si ispira al modello di Merton, i rendimenti logaritmici dell’attivo di ogni singola azienda si distribuiscono secondo una normale standard, quelli di due aziende secondo una normale bivariata e, quelli di n aziende secondo una normale multivariata;

Questi movimenti congiunti sono caratterizzati da una certa misura di correlazione che, nel modello CreditMetrics™ viene derivata dai prezzi azionari delle società in portafoglio.

Azienda 1 Azienda 2 Azienda 3Azienda 1 1.0 0.3 0.1Azienda 2 0.3 1.0 0.2Azienda 3 0.1 0.2 1.0

Matrice di correlazioneAzienda 1 Azienda 2 Azienda 3

Azienda 1 1.0 0.3 0.1Azienda 2 0.3 1.0 0.2Azienda 3 0.1 0.2 1.0

Matrice di correlazione

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Per la determinazione della correlazione si può procedere nel modo seguente

Esprimiamo il rendimento della singola società, sulla base di un modello multifattoriale, come funzione del rendimento di alcuni indici azionari rappresentativi di paese/settore e di una componente specifica;

Sulla base delle correlazioni tra i diversi indici di paese/settore, determinare le correlazioni fra i rendimenti delle attività di due controparti da utilizzare ai fini della simulazione

CreditMetricsTM

Ad esempio si considerino due imprese A e B il cui rendimento azionario può essere scomposto come

I1, I2 e I3 rappresentano tre indici di settore/paese che consentono di spiegare i rendimenti azionari di A e B, r’A r’B la componente di rischio specifico dei singoli titoli e i coefficienti w identificano i pesi attribuiti a ciascuna controparte.

BBBB

AAAAA

rwIwr

rwIwIwr

,23,1

,32,21,1

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E’ possibile a questo punto calcolare la correlazione fra i rendimenti di A e B sulla base della correlazione fra i diversi fattori;

Le componenti idiosincratiche del rendimento dei due titoli sono ipotizzate indipendenti dalle rimanenti variabili quindi la loro correlazione con qualsiasi altro indice è pari a 0

3221 ,,1,2,,1,1, IIBAIIBABA wwww

CreditMetricsTM

Per ottenere gli scenari occorre generare numeri casuali distribuiti secondo una normale standard ma con correlazione assegnata pari alla matrice di correlazione ricavata dai proxy di mercato

Per questo si può ricorrere al metodo della decomposizione di Cholescky

CreditMetricsTM

Cholescky Decomposition

Indichiamo con X un vettore di variabili aleatorie indipendenti ciascuna delle quali distribuita secondo una normale standard, la matrice di varianza-covarianza di X sarà pertanto data dalla matrice unità di dimensione n n. Supponiamo di voler derivare da questo insieme di variabili un secondo set di variabili, che indicheremo con Y, non più indipendenti bensì dotato di matrice di varianza-covarianza assegnata .

Il nuovo insieme di variabili aleatorie può essere ricercato come combinazione lineare delle variabili indipendenti , cioè si pone

Il problema si riconduce così alla determinazione di una matrice A di dimensione n n tale che

AXY AXY

tAA tAA

CreditMetricsTM


La soluzione della precedente equazione non è unica nel senso che esistono più matrici A che, moltiplicate per la loro trasposta, danno come risultato . Se la matrice è definita positiva il metodo più efficiente dal punto di vista computazionale per risolvere il problema consiste nell’applicazione della scomposizione di Cholescky.

Il punto chiave di tale metodologia consiste nel ricercare A nella forma di una matrice triangolare inferiore, ovvero una matrice in cui tutti gli elementi sopra la diagonale sono nulli,

nnnn AAA

AA

A

A

21

2221

11

0

00

nnnn AAA

AA

A

A

21

2221

11

0

00

CreditMetricsTM


Sviluppando il prodotto AAt in componenti è facile verificare che gli elementi di A sono ricavabili dalle seguenti formule iterative

Ad esempio per il caso semplice di due variabili troviamo

1

1

2i

kikiiii aa

1

1

1 i

kjkikij

iiji aa

aa

2

22

1

1

0

A

2

22

1

1

0

A

CreditMetricsTM

Dopo aver determinato la decomposizione di Cholescky dalla matrice di correlazione procediamo alla generazione dei numeri casuali correlati in 4 stadi Iniziamo con la generazione di numeri casuali normali

standard non correlati; Moltiplichiamo ogni vettore per la matrice di Cholescky Associamo questi scenari dei rendimenti alle varie classi di

rating in quanto ogni variazione dei rendimenti comporta il cambiamento dei valori soglia; E’ possibile simulare la migrazione del rating del singolo

emittente confrontando i valori estratti dalla distribuzione aleatoria con i valori soglia determinati per ogni classe di rating. In funzione dell’intervallo nel quale il valore estratto cade è possibile determinare il rating del singolo soggetto per ogni giro della simulazione.

Infine determiniamo il valore delle esposizioni delle 3 attività finanziarie per ogni classe di rating.

CreditMetricsTM

Valorizzazione dell’esposizione Analogamente a quanto descritto in precedenza il valore di

ogni esposizione nelle varie classi di rating è uguale al valore attuale dei flussi di cassa futuri scontati agli appropriati fattori di sconto forward;

L’unica eccezione riguarda il valore dell’esposizione in caso di default che si considera pari ad una percentuale di recupero sul valore nominale dell’esposizione Gli autori di CreditMetrics™ ipotizzano che il recovery rate si

distribuisca secondo una distribuzione Beta, che può variare fra 0 ed 1 ed è caratterizzata da due parametri alfa e beta, che sono funzione della media e della deviazione standard della distribuzione stessa

2

22 )(

)1(

)1(2

22

CreditMetricsTM

Conclusioni Il modello CreditMetrics™ consente di stimare il Value-at-Risk

(VaR) relativo al rischio di credito delle attività finanziarie (obbligazioni, prestiti bancari, etc…);

In particolare si perviene all’identificazione della massima perdita potenziale del portafoglio su un orizzonte temporale predefinito e in base ad un certo intervallo di confidenza;

Questo modello richiede molti input di base tra cui Un sistema di rating interno per la classificazione dei prenditori in

classi di rischio Una matrice di transizione che fornisce le probabilità di

transizione da una classe di rating ad un’altra I tassi forward ad un anno per ogni classe di rating necessari per

l’attualizzazione dei flussi di cassa futuri dell’esposizione I tassi di recupero sull’esposizione suddivisi per classi di seniority

CreditMetricsTM

L’importanza di questo modello è stata recentemente ribadita dal Comitato di Basilea sulla Vigilanza Bancaria che lo ha adottato come riferimento metodologico per la determinazione dei nuovi coefficienti di adeguatezza del capitale delle istituzioni finanziarie a fronte del rischio di credito.

Limiti del modello CreditMetrics

1) Per risalire dalla probabilità osservata a quella usata nel modello di Merton è necessario conoscere volatilità dell'attivo e prezzo di mercato del rischio

2) La correlazione tra i valori dell'azienda, che è ricavata dalla correlazione tra i valori dell'equity, può essere significativamente distorta dalla presenza di leverage"

CreditRisk+TM

CreditRisk+

Sviluppata da Credit Suisse Financial Products (www.csfb.com/creditrisk);

Si basa su un approccio di tipo attuariale;

Fa perno su metodologie già utilizzate nella determinazione delle riserve patrimoniali necessarie a fronte di un portafoglio di polizze assicurative;

CreditRisk+ A) E’ una metodologia per la stima della distribuzione

delle perdite future; B) Considera il rischio di controparte mentre dedica

meno attenzione ai rischi di esposizione e di recupero; C) Adotta una distribuzione binomiale degli eventi

creditizi; D) Postula che le diverse controparti siano indipendenti

fra loro per ogni dato scenario macroeconomico; E) Richiede dati di input in parte diversi da quelli

necessari per implementare altri modelli di credit risk management.

CreditRisk+ A

CreditRisk+ concentra la propria attenzione sulla stima delle perdite future. In alternativa, come sappiamo, sarebbe possibile guardare alle

variazioni nel valore attuale dei crediti (o nel loro valore di mercato se si tratta di crediti quotati su un mercato secondario) come accade, ad esempio, in CreditMetrics™

Lavorando sulla distribuzione delle perdite e non dei valori attuali, CreditRisk+ perviene quindi ad una stima del rischio di credito che è svincolata rispetto ad eventuali shock negli spread di mercato Questo appare sostanzialmente corretto per tutte quelle situazioni in cui i

crediti non hanno accesso ad un mercato secondario e sono destinati ad essere conservati nel bilancio della banca fino alla loro scadenza naturale;

Qualora tuttavia la diffusione di strumenti di titolarizzazione e cessione del rischio di credito (ad esempio attraverso strumenti derivati) dovesse assumere le caratteristiche di un mercato di massa, diverrebbe più corretto incorporare nel valore del portafoglio crediti anche l’effetto dei possibili cambiamenti negli spread.

CreditRisk+ B

CreditRisk+ si concentra solo sulla probabilità di insolvenza mentre l’importo prestato e la severity sono considerati noti a priori; E’ possibile quindi che l’utilizzo di questo modello

sottostimi in qualche modo la reale portata del rischio;

E’ comunque possibile, anche se non estremamente semplice, porre rimedio utilizzando la struttura logica del modello e facendo ricorso a tecniche di simulazione Monte Carlo.

CreditRisk+ C

In CreditRisk+ si suppone che un credito evolva in modo binomiale: questo significa che al termine di un determinato arco temporale il prestito può essere ancora attivo oppure aver dato luogo ad una perdita.

Tutti i possibili “stati del mondo” si riducono così al binomio “sopravvivenza/insolvenza”;

Non esistono situazioni intermedie; Tutti i crediti insolventi sono considerati uguali.

CreditRisk+ D

CreditRisk+ ipotizza l’indipendenza condizionale dei singoli crediti;

In pratica si assume che, per ogni possibile stato del mondo, i crediti presenti nel portafoglio di una banca siano non correlati cioè che il fallimento di un debitore non dipenda, in nessun modo, da quello degli altri;

Questa ipotesi di indipendenza vale tuttavia solo per le distribuzioni condizionali (cioè conseguenti ad un determinato stato del mondo); se si allarga il quadro fino a ricomprendere tutti i possibili stati del mondo futuri, allora la distribuzione complessiva (non condizionale) delle perdite mostra un certo grado di correlazione.

CreditRisk+ E

Come abbiamo visto uno dei principali Obiettivi del modello è quello di minimizzare gli input informativi richiesti con lo scopo di ridurre il rischio connesso ad una stima erronea dei parametri

Entità dell’esposizione Probabilità attesa di insolvenza della controparte o di

una classe di controparti; Volatilità del tasso di perdita medio; Recovery rate

CreditRisk+

E Non richiede la stima di curve dei

tassi ad hoc per controparti di diversa qualità;

Non richiede all’utente di specificare in modo esplicito la matrice delle correlazioni fra i diversi debitori;

CreditRisk+ Dato questo obiettivo preciso, il problema può

essere ricondotto alla stima dell’impatto di un evento dannoso incerto in cui gli elementi chiave da considerare sono:

La probabilità che l’evento negativo si manifesti e quindi la distribuzione della probabilità di insolvenza;

La severità delle perdite nel caso in cui l’evento negativo si manifesti.

CreditRisk+

La distribuzione del tasso di insolvenzaLa distribuzione del tasso di insolvenza

CreditRisk+

Analisi della distribuzione della probabilità di insolvenza Consideriamo un campione di N controparti;

La probabilità di insolvenza specifica per ogni singola controparte sia pA . Questa probabilità si ritiene nota a priori ; In concreto questa probabilità dovrà essere attribuita con

qualche procedura di rating!!

Indichiamo con p(n) la probabilità che si verifichino n casi di insolvenza nel periodo considerato.

CreditRisk+ Vogliamo costruire la distribuzione di

p(n) in funzione di n Introduciamo la funzione generatrice delle

probabilità

dove z è una variabile aleatoria che vale 1 in caso di default e 0 altrimenti

0n

nz)n(p)z(F

0n

nz)n(p)z(F

CreditRisk+ Si definisce funzione generatrice delle probabilità F(z) una

funzione di una variabile ausiliaria z costruita in modo tale che, dal suo sviluppo in serie di Taylor, si possa dedurre l’intera distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria discreta x

Più precisamente, se

rappresenta lo sviluppo in serie di F(z), allora

esprime la probabilità che x risulti uguale ad n.

00

)(

!

1)()(

n

nn

n

n

n zdz

zFd

nznpzF

00

)(

!

1)()(

n

nn

n

n

n zdz

zFd

nznpzF

n

n

dz

zFdnp

)()( n

n

dz

zFdnp

)()(

CreditRisk+ Per il singolo debitore il numero di casi di

insolvenza può essere solo 0 o 1e quindi p(n) = 0 per ogni n > 1. Allora possiamo scrivere

Essendo pA la probabilità di insolvenza del debitore considerato

)1z(p1

p)p1(z)n(p)z(F

A

1

0nAA

nA

)1z(p1

p)p1(z)n(p)z(F

A

1

0nAA

nA

CreditRisk+ Supponiamo che il verificarsi dell’insolvenza sia un

fenomeno indipendente fra le diverse controparti. In questo caso la funzione generatrice dei momenti del

singolo portafoglio può essere scritta come la produttoria delle funzioni generatrici a livello di singola controparte

AA

A

)1z(p1ln

A AAA

)1z(p1(lnexpe

)1z(p1)z(F)z(F

A

AA

A

)1z(p1ln

A AAA

)1z(p1(lnexpe

)1z(p1)z(F)z(F

A

CreditRisk+ Se la probabilità di insolvenza è

sufficientemente piccola possiamo scrivere

AA

AA

AA

p

dove

)1z(exp)1z(pexp)z(F

)1z(p)1z(p1ln

AA

AA

AA

p

dove

)1z(exp)1z(pexp)z(F

)1z(p)1z(p1ln

rappresenta il numero medio di casi di insolvenza attesi nel portafoglio (e quindi è per definizione la media della variabile casuale “numero di default totali”

CreditRisk+ Sviluppando in serie di Taylor la funzione esponenziale

otteniamo

0n

nn

0n

n)1z(

z!n

e

!n

)z(ee)z(F

0n

nn

0n

n)1z(

z!n

e

!n

)z(ee)z(F

CreditRisk+ Sviluppando in serie di Taylor la funzione esponenziale

otteniamo

0n

n

0n

nn

0n

n)1z(

z)n(pz!n

e

!n

)z(ee)z(F

0n

n

0n

nn

0n

n)1z(

z)n(pz!n

e

!n

)z(ee)z(F

CreditRisk+ …paragonando i due termini otteniamo:

!n

e)n(p

n

!n

e)n(p

n

La funzione di probabilità dei casi di insolvenza si

distribuisce quindi come una distribuzione di Poisson

CreditRisk+ La distribuzione

di Poisson ha media e deviazione standard pari alla radice quadrata di

Distribuzione di Poisson

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 5 10 15 20 25

numero eventi

pro

ba

bil

ità

media 4

media 2

Distribuzione di Poisson

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 5 10 15 20 25

numero eventi

pro

ba

bil

ità

media 4

media 2

CreditRisk+ Esempio

portafoglio di 200 controparti probabilità di insolvenza 2% numero casi di insolvenza attesi 4

= 200 0.02 = 4 probabilità di non avere nessun caso di insolvenza

probabilità di avere esattamente 4 casi di insolvenza

%83.1!0

4e)0(p

04

%54.19!4

4e)4(p

44

CreditRisk+ Se il merito di credito dei debitori è basso, e quindi le

probabilità di insolvenza non sono trascurabili, allora le approssimazioni svolte possono portare ad errori sensibili

RossiBianchiVerdi

n Stimate Reali Stimate Reali Stimate Reali0 96.60% 96.50% 83.90% 83.40% 41.70% 32.80%1 3.40% 3.40% 14.70% 15.80% 36.50% 48.40%2 0.10% 0.00% 1.30% 0.80% 16.00% 17.20%3 0.00% 0.00% 0.10% 0.00% 4.70% 1.60%

50.00%12.50%

caso 1 caso 2 caso 3

probabilità di assistere ad n default

probabilità di default dei singoli debitori

1.00%2.00%0.50%

5.00%10.00%2.50%

25.00%RossiBianchiVerdi

n Stimate Reali Stimate Reali Stimate Reali0 96.60% 96.50% 83.90% 83.40% 41.70% 32.80%1 3.40% 3.40% 14.70% 15.80% 36.50% 48.40%2 0.10% 0.00% 1.30% 0.80% 16.00% 17.20%3 0.00% 0.00% 0.10% 0.00% 4.70% 1.60%

50.00%12.50%

caso 1 caso 2 caso 3

probabilità di assistere ad n default

probabilità di default dei singoli debitori

1.00%2.00%0.50%

5.00%10.00%2.50%

25.00%

Fonte: A. Resti “La gestione del rischio di credito con modelli di derivazione attuariale: il caso di CreditRisk+” Fondo Interbancario di Tutela dei Depositi, Working Paper Nro 4

CreditRisk+

Dalla distribuzione del tasso di insolvenza

alla distribuzione del tasso di perdita

Dalla distribuzione del tasso di insolvenza

alla distribuzione del tasso di perdita

CreditRisk+ L’analisi svolta fino a questo momento si è concentrata sulla

probabilità che l’evento di insolvenza si manifestasse, senza tuttavia considerare la severità delle possibili perdite connesse all’insolvenza che dipendono dall’ammontare dell’esposizione e dal recovery rate atteso

Il numero di debitori in default rappresenta una variabile casuale di scarso interesse per chi gestisce i rischi di una banca; Le perdite sui crediti rappresentano una variabile monetaria su una

scala continua; Tuttavia abbiamo fin qui utilizzato un modello basato su una

variabile discreta! Per continuare ad usare l’approccio visto sin qui dobbiamo cercare di

descrivere il portafoglio crediti attraverso una scala discreta raggruppando le esposizioni in un numero limitato di “gradini”

CreditRisk+ Ogni controparte viene caratterizzata

direttamente per l’importo corrispondente alla perdita in caso di insolvenza (Loss Given Default)

Per ogni esposizione è necessario effettuare un’ipotesi deterministica circa Il livello di esposizione in caso di insolvenza

della controparte; il recovery rate

E’ possibile specificare un tasso di recupero diverso per ogni controparte ma tale percentuale è considerata come se fosse un valore certo. Questa è una caratteristica rilevante del modello che non consente infatti di includere il rischio addizionale connesso all’incertezza del tasso di recupero.

E’ possibile specificare un tasso di recupero diverso per ogni controparte ma tale percentuale è considerata come se fosse un valore certo. Questa è una caratteristica rilevante del modello che non consente infatti di includere il rischio addizionale connesso all’incertezza del tasso di recupero.

CreditRisk+ Si raggruppano le

esposizioni in bande omogenee secondo le loro loss given default le bande sono

definite in termini di multipli di un dato importo base L

nell’esempio L = $10.000

#

probabilità di default

(pi)

Loss Given Default

(Li)Banda

(vi)

1 1.00% $11 000 12 2.00% $12 000 13 0.50% $11 000 14 2.00% $9 500 15 1.00% $22 000 26 1.00% $21 000 27 1.00% $19 500 28 2.00% $20 800 29 2.50% $33 000 3

10 2.00% $28 500 311 0.50% $31 000 312 2.00% $30 800 313 1.00% $29 000 3

totale 18.50% $279 100

CreditRisk+ Ogni banda è caratterizzata da un

numero atteso di default...

… e da una perdita attesa che sarà espressa in multipli di L

j

jjj

CreditRisk+

#

probabilità di default

(pi)Importo

(Li)

Importo Arrotondato

(vi)

Esposizioneper unità di

valore

Perdita attesa

i

Perdita attesaper unità di

valore

PerditaAttesa

Nr DefaultAttesi

1 1.00% 11 000.00€ 1.00€ 1.10 110.00€ 0.0110 0.012 2.00% 12 000.00€ 1.00€ 1.20 240.00€ 0.0240 0.023 0.50% 11 000.00€ 1.00€ 1.10 55.00€ 0.0055 0.014 2.00% 9 500.00€ 1.00€ 0.95 190.00€ 0.0190 0.025 1.00% 22 000.00€ 2.00€ 2.20 220.00€ 0.0220 0.016 1.00% 21 000.00€ 2.00€ 2.10 210.00€ 0.0210 0.017 1.00% 19 500.00€ 2.00€ 1.95 195.00€ 0.0195 0.018 2.00% 20 800.00€ 2.00€ 2.08 416.00€ 0.0416 0.029 2.50% 33 000.00€ 3.00€ 3.30 825.00€ 0.0825 0.03

10 2.00% 28 500.00€ 3.00€ 2.85 570.00€ 0.0570 0.0211 0.50% 31 000.00€ 3.00€ 3.10 155.00€ 0.0155 0.0112 2.00% 30 800.00€ 3.00€ 3.08 616.00€ 0.0616 0.0213 1.00% 29 000.00€ 3.00€ 2.90 290.00€ 0.0290 0.01

totale 18.50% 279 100.00€ 4 092.00€ 0.41 0.1934

0.06

0.10

0.25

0.0595

0.0521

0.0819

CreditRisk+ Ogni banda viene considerata un

portafoglio a se stante nell’ipotesi che j sia costante in ciascuna

banda, possiamo esprimere la funzione generatrice delle probabilità della banda j-esima come

0'n

'nj z)'n(p)z(G

0'n

'nj z)'n(p)z(G

p(n’) individua la probabilità di ottenere perdite complessive

pari a n’ volte l’importo L

CreditRisk+ Poiché approssimativamente la perdita in caso di

singola insolvenza all’interno di una banda è pari a j, il numero di casi di insolvenza n necessario per determinare perdite pari a n’L sarà dato da

Sostituendo in G(z) ed osservando che la probabilità che ci siano perdite pari a n’L coincide con la probabilità che ci siano n casi di insolvenza nella banda considerata, si ha

jj n'nL'nLn jj n'nL'nLn

0n

nj

jz)n(p)z(G

0n

nj

jz)n(p)z(G

CreditRisk+ Sostituendo a p(n) la sua espressione si ha

j

jjj

jj

jjj

j

zz

0n

n

j

0n

nnj

j

eee

!n

zez

!n

e)z(G

CreditRisk+ Se le bande di LGD sono indipendenti fra loro

la f.g.p. del portafoglio può essere ricavata come produttoria delle f.g.p. delle singole bande ottenendo così

j jjj

j j

zj

j

jjj

zexp

e)z(G)z(G

CreditRisk+ Da G(z) possiamo ricavare l’espressione della probabilità di

perdita per ogni possibile multiplo di L

Es. Il termine di grado 6 esprimerà la probabilità di perdere 6L $ non importa se attraverso il default di due crediti di banda tre, di tre crediti di banda due o in altri modi ancora;

Tutta la distribuzione delle perdite future (“discretizzata” attraverso il passaggio ai multipli interi di L) è dunque ora nota … basta “solo” calcolarla!

0zn

n

dz

)z(Gd

!n

1)Lnperdite(obPr

0z

n

n

dz

)z(Gd

!n

1)Lnperdite(obPr

CreditRisk+ Poiché G(z) è un esponenziale

)()()()(

1

zHzGzdz

dzG

dz

zdG n

jj

j

01

1

)()(!

1)(

zn

n

zHzGdz

d

nnp

k

kq

kkq

kq

q

q

dz

zHd

dz

zGd

k

qzHzG

dz

d )()()()(

0

Regola di Eulero sulla derivata

n-esima di un prodotto

CreditRisk+

B

z

k

k

A

z

kn

knn

k dz

zHd

dz

zGd

k

n

nnp

00

1

11

0

)()(1

!

1)(

)1()!1()()!1(

1)!1(

0

1

1

knpknzGdz

d

knkn

z

kn

kn

Per sviluppare B osserviamo che

j

jj

j

z

m

jjn

n

n

nn

n

zdz

d j

0

!

0

01

1)!1(

10

011

1

jj

j

z

m

jjk

k

kk

kz

dz

dB j

CreditRisk+ Sostituendo ad A e B e considerando solo i termini della sommatoria

per cui k = vj – 1 (perché diversamente B si annulla) otteniamo

nj

njjj

jjj

jnk

jnk

j

j

n

np

npn

knpknkn

kknn

kknpknk

n

nnp

|

|

1

1

)(

)(

)1()!1(!!

)!1()!1()!1(

)!1)(1()!1(1

!

1)(

Dove abbiamo fatto uso della definizione di j e dell’uguaglianza k + 1 = vj

Si tratta di una relazione ricorsiva con cui è possibile generare tutti i p(n)

eGp )0()0(inizializzazione

CreditRisk+ Utilizzando i dati dell’esempio abbiamo

...3

)0()1()2()3(

2

)2()1()2(

)()1(

)0(

321

21

1

etc

pppp

ppp

opp

ep

n perdita probabilità

0 0 82.41%1 10000 4.90%2 20000 4.44%3 30000 7.01%4 40000 0.52%5 50000 0.37%6 60000 0.30%7 70000 0.03%8 80000 0.02%9 90000 0.01%

10 100000 0.00%30 300000 0.00%

0.00%

10.00%

20.00%

30.00%

40.00%

50.00%

60.00%

70.00%

80.00%

90.00%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30

CreditRisk+

Tassi di default stocastici

Tassi di default stocastici

CreditRisk+ I risultati sin qui discussi si basano su due

ipotesi di lavoro estremamente impegnative Si conosce con certezza la probabilità di default di

ogni debitore; Si assume che i crediti presenti in portafoglio siano

non correlati, ovvero che il default di un prenditore sia indipendente da quello di tutti gli altri

CreditRisk+ Nella realtà accade che il tasso di insolvenza dei

debitori non sia costante

Inoltre dai dati empirici si ricava che la volatilità delle percentuali di insolvenza è superiore a quella deducibile dalla distribuzione di Poisson;

Si introduce allora l’ipotesi che il tasso medio di casi di insolvenza in portafoglio non sia rappresentato da un valore fisso bensì da una variabile aleatoria X con media X e deviazione standard X ;

CreditRisk+ In particolare si ipotizza che tale variabile

sia distribuita secondo una Gamma;

diversi sottoinsiemi di controparti (rappresentati ad esempio da diverse classi di rating) possono essere così caratterizzati da probabilità di insolvenza con valore atteso e volatilità differenti fra loro;

CreditRisk+ La funzione di densità della distribuzione Gamma è data

da

essendo

1xx

exp)(

1),;x(f

0

1x

X

2X

2

X

X

dxxe

CreditRisk+ Se il tasso di perdita è anch’esso aleatorio, si può

dimostrare che la distribuzione del tasso di insolvenza è rappresentata da una distribuzione binomiale negativa;

Questo determina una maggiore dispersione del tasso di insolvenza atteso per ogni comparto;

La distribuzione risulta così più schiacciata verso il basso (e quindi con maggiori probabilità di rilevare valori elevati nella coda di destra) rispetto alla distribuzione di Poisson che si sarebbe ottenuta considerando fisso;

CreditRisk+ La stima dei parametri di media e deviazione standard

del tasso di insolvenza annuo può essere ricavata sulla base dei dati storici osservando la variabilità dei tassi di default per classi di rating nel tempo

Classe di rating Media Deviazione StandardAaa 0.00% 0.00%Aa 0.02% 0.11%A 0.01% 0.05%

Baa 0.14% 0.29%Ba 1.20% 1.33%B 6.45% 5.12%

Classe di rating Media Deviazione StandardAaa 0.00% 0.00%Aa 0.02% 0.11%A 0.01% 0.05%

Baa 0.14% 0.29%Ba 1.20% 1.33%B 6.45% 5.12%

fonte: F. Saita Il Risk Management in Banca EGEA (2000)

CreditRisk+ La stima sulla base dei dati storici presenta

tuttavia alcune difficoltà

Il rischio associato alla classe Aaa è assolutamente nullo (anche se nell’intervallo di tempo considerato 1970-1996 non si sono verificati casi di insolvenza, la probabilità non può essere posta uguale a zero)

Sia la media che la deviazione standard relativa alla classe Aa sono superiori dei relativi valori della più rischiosa classe A.

CreditRisk+ L’insolvenza è un fenomeno

relativamente raro occorre un campione estremamente ampio

per poter stimare con affidabilità la probabilità di insolvenza (nell’esempio presentato il campione è formato da solo 27 dati!!!)

è quindi inevitabile una componente di giudizio soggettivo

CreditRisk+

Le correlazioni a livello di Portafoglio

Le correlazioni a livello di Portafoglio

CreditRisk+ Uno degli aspetti più delicati di questo

modello è rappresentato dal trattamento delle correlazioni fra le diverse controparti;

Infatti non è possibile immaginare che la probabilità di insolvenza per tutte le controparti possa essere considerata indipendente;

CreditRisk+ tiene conto delle correlazioni in due modi...

CreditRisk+ Introducendo un tasso di

insolvenza volatile (e distribuito come una funzione Gamma);

Scomponendo l’esposizione del singolo affidato in termini di esposizione per settori;

CreditRisk+ Nel primo caso si introduce una

correlazione perché ipotizzare un tasso di perdita volatile significa determinare una tendenza dell’intero portafoglio a muoversi verso probabilità di insolvenza più alte o più basse a seconda che si consideri un tasso di perdita più alto o più basso del tasso medio.

CreditRisk+ In termini più formali quello che si ipotizza in questo

modello è l’indipendenza condizionale dei fallimenti di controparti diverse;

Dato un particolare “stato del mondo” (ad esempio una fase di espansione o recessione) i fallimenti delle diverse controparti risultano non correlati;

La correlazione fra i fallimenti deriva però dal fatto che più controparti sono esposte contemporaneamente al medesimo stato del mondo nel modello questo avviene ipotizzando appunto che il

tasso medio di insolvenza aumenti o diminuisca contemporaneamente per diverse controparti

CreditRisk+ Probabilità di fallimento marginali e congiunte di due

debitori condizionali a due possibili “stati del mondo”Espansione 50.00%

Fallisce Non Fallisce TotaleFallisce 0.08% 1.92% 2.00%Non Fallisce 3.92% 94.08% 98.00%Totale 4.00% 96.00% 100.00%

Bianchi

Rossi

Recessione 50.00%


Bianchi

Rossi

CreditRisk+ Probabilità di fallimento non condizionali


Bianchi

Rossi

Ricostruendo la probabilità di fallimento complessiva (non condizionale), che considera quindi il fatto che la probabilità di insolvenza dei due soggetti tende ad aumentare in modo contemporaneo in fase di recessione, si può osservare come emerga una correlazione positiva fra le insolvenze delle due controparti.

CreditRisk+ Probabilità di fallimento non condizionali


Bianchi

Rossi

= 0.28%La probabilità di insolvenza congiunta risulta maggiore del prodotto delle probabilità di insolvenza marginali !

CreditRisk+ La correlazione fra due binomiali può essere espressa, conoscendo le probabilità di

insolvenza marginali p1 e p2 dei due soggetti e la probabilità di insolvenza congiunta p12 , come

nel nostro esempio troviamo

)p1)(p1(pp

ppp

2121

2112

%20.1

CreditRisk+ Seconda possibile soluzione

Possiamo pensare di scomporre l’esposizione del singolo affidato in singoli settori (ipotizzati indipendenti fra loro);

Il peso del settore k per l’impresa A sarà dato da un fattore opportuno kA ;

La sommatoria rispetto a k per ogni impresa è pari a 1;

CreditRisk+ Rispetto alla soluzione precedente

Si identificano i singoli gruppi con i settori; Si introduce la dipendenza di più controparti rispetto

a fattori macroeconomici comuni; La comune dipendenza anche in questo caso

produce la comparsa di correlazione; In questo caso si può dimostrare che la correlazione

fra due imprese A e B può essere espressa come:

n

k k

kkBkABABA

1

2

,,,

CreditRisk+ Problema.

Dopo aver scomposto la posizione della singola controparte per settori le perdite derivate a livello di singolo settore sono riaggregate nell’ipotesi che il comportamento dei diversi settori sia indipendente;

Questo da un lato rende possibile la determinazione della perdita complessiva ma dall’altro esclude la possibilità di tenere in considerazione l’effetto dovuto alla correlazione fra diversi settori;

Nell’individuazione dei settori è quindi necessario individuare settori sufficientemente ampi da essere poco correlati fra loro;

Modelli matematici rischio credito

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