MODELLI E METODI MATEMATICI DELLA FISICA A.A. 2006 - 2007

MODELLI E METODI MATEMATICI DELLA FISICA

A.A. 2006 - 2007

Prof. A. Degasperis

3 luglio 2007

• Argomenti trattati nel corso

1. Spazi lineari con dimensione finita ed infinita

2. Funzioni generalizzate (distribuzioni)

3. Applicazioni

• Contenuto di queste note

1. Programma del corso

2. Riferimenti bibliografici

3. Richiami sugli spazi vettoriali

4. Contenuto delle lezioni

5. Compiti di esonero e d’esame degli anni precedenti

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PROGRAMMA DEL CORSO

SPAZI LINEARI CON DIMENSIONE FINITA ED INFINITALo spazio lineare astratto e le sue strutture: algebrica, geometrica ed analitica. Spazio di Banach e spaziodi Hilbert. Rappresentazioni di spazi lineari con vari esempi. Gli spazi VN , l2 ed L2(a, b). Dipendenzaed indipendenza lineare di p vettori. Ortonormalizzazione di p vettori. Definizione di base. Sottospazifinito-dimensionali ed infinito-dimensionali. Disuguaglianza di Bessel. Limite forte e limite debole di unasuccessione di vettori e loro proprieta’. Rappresentazione di un vettore dello spazio di Hilbert in una baseortonormale. Ortonormalizzazione delle potenze {xn}∞n=0 in L2(−1, 1) e polinomi di Legendre. Trasfor-mazioni lineari tra spazi lineari. Dominio di definizione di una trasformazione lineare, nucleo ed invertibil-ita’. Funzionali lineari e forme in VN . Spazio lineare duale. Base duale. Funzionali lineari limitati su unospazio di Hilbert. Teorema di Fisher–Ritz (senza dimostrazione). Esempi di funzionali non limitati in L2.Operatori lineari. Commutatori, regole di calcolo di commutatori ed identita’ di Jacobi. Operatori integrali,di moltiplicazione e differenziali. Operatore Hermitiano coniugato. Operatori limitati Hermitiani. Operatorinon limitati Hermitiani ed operatori autoaggiunti (con esempi). Operatori di Sturm–Liouville. Esempi diproblemi di Sturm–Liouville e esempi di basi ortonormali in L2(−1, 1), L2(0,+∞) e L2(−∞,+∞). Propri-eta’ dei polinomi di Legendre, Laguerre ed Hermite. Base di Fourier in L2(a, b) e suo limite per a→ −∞ eb→ +∞. Trasformata di Fourier e sue proprieta’. Trasformazione di Fourier di operatori lineari.

FUNZIONI GENERALIZZATE ( DISTRIBUZIONI )Funzionali lineari nello spazio di Schwartz. Funzionali lineari non regolari con esempi in fisica. Limitedi successioni di funzionali lineari e definizione di distribuzione. Distribuzione di Dirac e sue proprieta’.Derivate della distribuzione di Dirac. Distribuzione di Heaviside. Trasformata di Fourier di una distribuzione.Trasformata di Fourier della distribuzione di Heaviside. Formule di Plemelij.

APPLICAZIONIL’oscillatore armonico forzato: funzione di Green ritardata e soluzione del problema del transiente. Moto diuna particella in un potenziale sulla retta: i) meccanica classica: equazioni di Hamilton, parentesi di Poissoned analisi qualitativa; ii) meccanica quantistica: equazione di Schrodinger, soluzioni stazionarie, coefficientidi riflessione e di trasmissione e loro calcolo nell’ approssimazione di Bohr.

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RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

Attenzione: non esiste il ”libro di testo”. Gli argomenti del corso sono trattati in numerosi libri. Qui diseguito sono elencati alcuni testi tra i tanti adatti alla consultazione ed allo studio di parti del programma.

1. Bernardini C , Ragnisco O ,Santini P M ”Metodi Matematici della Fisica” La Nuova Italia Scientifica,Roma 1993.

2. Dennery P , Krzywicki A ”Mathematics for Physicists” Harper&Row 1967.

3. Halmos P R ”Finite dimensional Vector Spaces” Van Nostrand Comp. 1958.

4. Hirsch M W , Smale S ”Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra” AcademicPress 1974.

5. Ince E L ”Ordinary Differential Equations” Dover Publ., New York 1956.

6. Kolmogorov A N e Fomin S V ”Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale” MIR 1980.

7. Reed M e Simon B ”Methods of modern mathematical physics” Vol I Functional analysis AcademicPress 1980.

8. Rossetti C ”Metodi Matematici per la Fisica” Libreria Ed.Univ. Levrotto&Bella, Torino 2000.

9. Shilov G E ”An Introduction to the Theory of Linear Spaces” Prentice–Hall 1961.

10. Smirnov V III ”Corso di Matematica Superiore” Editori Riuniti, Roma 1978.

11. Taylor A E ”Introduction to Functional Analysis” John–Wiley&Sons 1958.

12. Vladimirov V ”Distributions en Physique Mathematique” MIR, Moscou 1979.

Per le funzioni elementari e speciali, il calcolo di serie e di integrali consultare

1. Abramowitz M , Stegun I A ”Handbook of Mathematical Functions” Dover Publ., New York 1968.

2. Gradshstein I S, Ryzhik I M ”Table of Integrals, Series and Products” Academic Press, New York1965.

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Richiami sugli spazi vettoriali

Queste note, alle quali ha contribuito il Dr. F. Zamponi, sono tratte da: A.N.Kolmogorov, S.V.Fomin,Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale, MIR, 1980, Capitolo III, par. 1 e 4 e Capitolo IV,par. 5.

Spazi vettoriali (o lineari) complessi

Uno spazio vettoriale e un insieme V sul quale sono definite una operazione di somma e una operazione diprodotto per un numero complesso1 tali che, ∀x, y, z ∈ V e ∀λ, µ ∈ C:

x+ y = y + x (1)(x+ y) + z = x+ (y + z) (2)

∃0 ∈ V : x+ 0 = x (3)∃ − x ∈ V : x+ (−x) = 0 (4)

λx ∈ V (5)λ(µx) = µ(λx) = (λµ)x (6)

se λ = 1, λx = x (7)(λ+ µ)x = λx+ µx (8)λ(x+ y) = λx+ λy (9)

Esercizio: verificare che gli spazi seguenti sono spazi vettoriali definendo opportunamente la somma di duevettori e il prodotto di un vettore per un numero complesso.

1. Spazio dei vettori complessi n-dimensionali Cn: x = (x1, · · · , xn), xi ∈ C.

2. Spazio delle matrici m× n complesse M(m,n): x =

a11 · · · a1n

a21 · · · a2n

. . . . . . . . . . . . .am1 · · · amn

, aij ∈ C.

3. Spazio delle funzioni f(x) : [a, b] → C continue.

4. Spazio delle funzioni f(z) analitiche in un dominio D del piano complesso z.

5. Spazio l2 delle successioni {xn}∞n=1, xn ∈ C, tali che∑∞

n=1 |xn|2 <∞.

6. Spazio L2[a, b] delle funzioni f(x) : [a, b] → C tali che∫ b

adx|f(x)|2 <∞.

Definizione: dato uno spazio vettoriale V , un suo sottoinsieme W si dice sottospazio se e’ esso stesso unospazio vettoriale. Esempio: il sottoinsieme dei vettori x di Cn tali che x = (x1 = 1, x2, · · · , xn) non e’ unsottospazio di Cn mentre il sottoinsieme dei vettori x tali che x = (x1 = 0, x2, · · · , xn) e’ un sottospazio diCn di dimensione n− 1.

1E’ possibile definire uno spazio vettoriale su un campo K qualunque. Noi consideriamo solo il caso K = C per semplicita.

4

Indipendenza lineare e dimensione di uno spazio vettoriale: n vettori {x1, · · · , xn}2 si diconolinearmente indipendenti se, ∀{λ1, · · · , λn}, λi ∈ C,

n∑i=1

λixi = 0 ⇒ λi = 0 ∀i (10)

La dimensione di uno spazio vettoriale e il massimo numero di vettori linearmente indipendenti che sipossono trovare nello spazio stesso. Ovvero, se in uno spazio vettoriale si possono trovare al massimo nvettori linearmente indipendenti, lo spazio ha dimensione n. Se per qualunque n ∈ N e possibile trovare uninsieme di n vettori linearmente indipendenti si dice che lo spazio ha dimensione infinita.

Base di uno spazio vettoriale: Se uno spazio vettoriale V ha dimensione n, ogni n–pla di vettori e1, · · · , en

linearmente indipendenti si chiama base dello spazio V . Questo termine e’ giustificato dal teorema: ognivettore x dello spazio e una combinazione lineare dei vettori della base, ovvero, ∀x ∈ V , x =

∑ni=1 xie

i,xi ∈ C. La dimostrazione si ottiene osservando che gli n + 1 vettori {x, e1, · · · , en} sono necessariamentelinearmente dipendenti ovvero esistono n+ 1 numeri complessi {λ, λ1, · · · , λn} tali che λx+

∑ni=1 λie

i = 0con λ 6= 0. I numeri complessi xi = −λi/λ sono le componenti o coordinate del vettore x nella base.

Esercizi:

1. Dimostrare che lo spazio Cn ha dimensione n.

2. Scrivere una base per lo spazio M(m,n).

3. Dimostrare che lo spazio dei polinomi di grado N di variabile complessa, PN (z) = cNzN +cN−1z

N−1 +· · ·+ c0, e’ uno spazio vettoriale di dimensione N + 1.

4. Dimostrare che lo spazio delle funzioni f(z) analitiche nel cerchio di centro 0 e raggio 1 ha dimensioneinfinita (suggerimento: utilizzare il risultato dell’esercizio precedente).

5. Dimostrare che lo spazio l2 e’ lineare ed ha dimensione infinita (suggerimento: provare a costruireesplicitamente n vettori linearmente indipendenti per ogni intero n).

Prodotto scalare: un prodotto scalare su uno spazio vettoriale complesso V e una funzione ( , ) : V ×V → Cche verifica le seguenti proprieta (notazione: se λ e un numero complesso, λ∗ e il suo complesso coniugato):

(x , y) = (y , x)∗ (11)(x , λy) = λ(x , y) (12)

(x , y + z) = (x , y) + (x , z) (13)(x , x) ≥ 0, (x , x) = 0 ⇔ x = 0 . (14)

Osserviamo che (x , y) in generale e un numero complesso; tuttavia, dalla (11) segue che (x , x) ∈ R per cuila disuguaglianza (14) e ben definita3. Il numero reale e non negativo |x| =

√(x , x) e’ il modulo del vettore

x.

Esercizi:

1. Dimostrare che (λx , y) = λ∗ (x , y).

2Usiamo sempre un indice alto per i vettori, mentre un indice basso per i numeri complessi.3Ricordiamo che le disuguaglianze fra numeri complessi non sono definite, per cui non avrebbe senso chiedersi se (x , x) ≥ 0

se (x , x) fosse complesso.

5

2. Dimostrare la disuguaglianza di Cauchy–Bunjakovskij–Schwartz: |(x , y)| ≤ |x||y|. (suggerimento:calcolare |x+ µy|2 per µ = −(y , x)/|y|2).

3. Verificare che (x , y) =∑n

i=1 x∗i yi e un prodotto scalare su Cn.


i=2 x∗i yi non e un prodotto scalare su Cn.


i=1 xiyi non e un prodotto scalare su Cn.

6. Verificare che (A , B) = TrA†B e un prodotto scalare4 su M(n, n).

7. Verificare che (f , g) =∫ b

adxf∗(x)g(x) e un prodotto scalare su L2[a, b].

Basi ortonormali, isomorfismo fra spazi vettoriali e cambiamenti di base

Base ortonormale: una base ei, i = 1, · · · , n, e detta ortonormale se (ei , ej) = δij .

Esercizio: verificare che se (ei , ej) = δij i vettori ei sono linearmente indipendenti (suggerimento: calcolare(ek ,

∑i λie

i)).

In ogni spazio vettoriale V di dimensione finita esiste una base ortonormale.

Infatti sia fk, k = 1, · · · , n una base per lo spazio V . Per costruire una base ortogonale si procede nel modoseguente (metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt):

g1 = f1

g2 = f2 − (g1 , f2)(g1 , g1)

g1

g3 = f3 − (g1 , f3)(g1 , g1)

g1 − (g2 , f3)(g2 , g2)

g2

· · · · · · · · · · · · · · ·

gk = fk −k−1∑i=1

(gi , fk)(gi , gi)

gi

Esercizi:

1. Verificare che i vettori gk sono tra loro ortogonali.

2. Verificare che |gk| 6= 0 se i vettori fk sono linearmente indipendenti.

Per ottenere una base ortonormale e1, · · · , en dalla base ortogonale g1, · · · , gn e sufficiente dividere ognivettore gk per il suo modulo |gk|. Dalla formula esplicita si vede che i vettori ek sono combinazioni lineari deivettori fk. Gli n vettori e1, · · · , en sono ovviamente una base perche’, essendo ortogonali, sono linearmenteindipendenti.

Ogni spazio vettoriale V di dimensione n e isomorfo a Cn.

Due spazi vettoriali U ,V si dicono isomorfi se esiste una corrispondenza biunivoca tra vettori di U e vettoridi V tale che, se x, y ∈ U corrispondono rispettivamente a x′, y′ ∈ V , allora x + y corrisponde a x′ + y′ eλx corrisponde a λx′ per ogni numero complesso λ. Se due spazi sono isomorfi essi possono essere pensati

4La matrice A† e definita da (A†)ij = A∗ji.

6

come rappresentazioni diverse di uno stesso spazio, perche tutte le proprieta di uno spazio vettoriale sonodeterminate dalle operazioni di somma e prodotto scalare su di esso definite.

Data una base ortonormale ek dello spazio V (costruita per esempio come sopra), ogni vettore x e rappre-sentabile come

x =n∑

k=1

xkek (15)

da cui si ottiene la seguente corrispondenza biunivoca tra V e Cn

x→ {xk}nk=1 : xk = (ek , x) ; {xk}n

k=1 → x : x =n∑

k=1

xkek (16)

cioe ad ogni vettore corrisponde l’insieme delle sue componenti 5 nella base ek, che e proprio un elemento diCn. Si verifica facilmente che alla somma di due vettori corrisponde la somma delle loro coordinate e che ilvettore λx ha componenti {λxk}n

k=1. Dunque, ogni spazio vettoriale V e isomorfo a Cn ovvero, in pratica,ogni spazio vettoriale di dimensione n puo essere pensato come una rappresentazione di Cn.

Il prodotto scalare di due vettori si rappresenta in termini delle loro componenti nel modo seguente. Perogni coppia di vettori x, y ∈ V si ha (ricordando che (λx , y) = λ∗(x , y)):

(x , y) = (

(n∑

i=1

xiei

),

(n∑

k=1

ykek

)) =

1,n∑i,k

x∗i yk(ei , ek) =1,n∑i,k

x∗i ykδik =n∑

k=1

x∗kyk ≡ x†y . (17)

Quest’ultima espressione si ottiene generalizzando ai vettori il prodotto righe×colonne tra matrici rettangolarinel modo seguente: alla n–pla {xk}n

k=1 si associa la matrice n× 1 di una sola colonna

x =

x1

···xn

e quindi con x† si indica la sua Hermitiana coniugata, cioe’ la matrice 1× n di una sola riga

x† = (x∗1, · · · , x∗n).

La matrice x† y e’ dunque una matrice 1 × 1, ovvero un numero (il prodotto scalare (x , y)). Dunque ilprodotto scalare di due vettori x, y ∈ V viene indicato spesso, in termini delle coordinate, proprio come ilprodotto scalare x†y. Riassumendo, ogni spazio vettoriale V di dimensione n con un qualunque prodottoscalare puo essere pensato come una rappresentazione di Cn con il prodotto scalare x†y.

Esercizi:

1. Verificare che le coordinate xi di un vettore x ∈ V rispetto a una base ortonormale ei sono date daxi = (ei , x).

2. Costruire una base ortonormale per lo spazio M(2, 2) col prodotto scalare (A , B) = TrA†B.

5Ricordate che dal momento che lo spazio vettoriale e complesso, le componenti saranno in generale numeri complessi.

7

3. Costruire una base ortonormale per lo spazio dei polinomi trigonometrici PN (cos θ, sin θ), θ ∈ [0, 2π](serie di Fourier troncate all’ordine N) col prodotto scalare (P , Q) = (2π)−1

∫ 2π

0dθP ∗(θ)Q(θ).

Suggerimento: e sempre possibile scrivere

PN (cos θ, sin θ) = a0 +N∑

n=1

(an cosnθ + bn sinnθ )

4. Dimostrare che, se ei e f i sono due basi ortonormali, si ha

f i =n∑

j=1

U∗ijej

dove Uij = (f i , ej) e una matrice n× n unitaria, cioe tale che U†U = 1.(Nota: il coniugato nella formula dell’espansione del vettore f I nella base {ej}n

j=1 e stato messo soloperche sara utile in seguito.)

Trasformazioni di coordinate tra basi ortonormali6: consideriamo due basi ortonormali, ei e f i.Abbiamo appena mostrato che f i =

∑nj=1 U

∗ije

j con Uij = (f i , ej). Inoltre U e una matrice unitaria,U†U = 1. Vediamo ora come si trasformano le coordinate di un vettore x. Nella base ei si ha x =

∑i xie

i

con xi = (ei , x). Nella base f i si avra x =∑

i x′if

i e

x′i = (f i , x) = (

n∑j=1

U∗ijej

, x) =n∑

j=1

Uij(ej , x) =n∑

j=1

Uijxj ⇒ x′ = Ux (18)

Dunque le coordinate nella nuova base si ottengono applicando alle coordinate nella vecchia base la trasfor-mazione unitaria U .

Esercizio: verificare che il prodotto scalare di due vettori, espresso in termini delle loro coordinate dallaformula (x , y) = x†y, non dipende dalla scelta della base, purche ortonormale.

Operatori lineari e matrici

Un operatore lineare su uno spazio vettoriale7 V e una funzione A : V → V tale che, ∀x, y ∈ V e ∀λ ∈ C:

A(x+ y) = A(x) +A(y)A(λx) = λA(x)

D’ora in poi utilizziamo la notazione Ax invece di A(x) per semplicita.

Dati due operatori lineari A e B e un numero complesso λ, possiamo definire8 gli operatori A+B e λA come

(A+B)x ≡ Ax+Bx

(λA)x ≡ λ(Ax)

6Come al solito, ci restringiamo alle basi ortonormali per semplicita, ma formule analoghe possono essere derivate per basiqualsiasi.

7Consideriamo solo operatori lineari da uno spazio V in se stesso per semplicita.8Un operatore e definito dalla sua azione su un generico vettore x: cioe, se per ogni vettore x sappiamo costruire il vettore

Ax, l’operatore A e completamente determinato.

8

Possiamo inoltre definire l’operatore prodotto AB come ABx = A(Bx); quindi possiamo definire l’operatoreA2 = AA e per iterazione l’operatore An = AAn−1. Inoltre gli operatori AB e BA in generale non coincidonocon l’implicazione che il prodotto tra operatori non e’ generalmente commutativo.

Esercizi:

1. Verificare che gli operatori I e O definiti come Ix = x e Ox = 0, ∀x ∈ V , sono operatori lineari perqualunque spazio vettoriale V .

2. Verificare che gli operatori A+B, λA e AB sono effettivamente operatori lineari.

3. Verificare che l’insieme degli operatori lineari su uno spazio vettoriale V con le operazioni di sommae prodotto per un numero complesso definite sopra e uno spazio vettoriale complesso (suggerimento:utilizzare come operatore nullo l’operatore O definito nell’esercizio 1.

Osserviamo che, se A e’ lineare, non e’ necessario dare il vettore Ax per ogni vettore x di V per definirel’azione di A. Infatti, se {ei}n

i=1 e’ una base di V e x =∑n

i=1 xiei, allora Ax =

∑ni=1 xiAe

i, per cui,per definire l’operatore A, e’ sufficiente conoscere la sua azione solo sui vettori della base cioe’ Aei peri = 1, · · · , n.

Esercizio : verificare che i seguenti operatori sono operatori lineari.

1. y = Ax con yi =∑n

j=1Aijxj , dove Aij e una matrice complessa n× n e x ∈ Cn.

2. Pyx = (y , x)(y , y)y dove y ∈ V e un vettore fissato (l’operatore Py e detto proiettore su y).

3. (Df)(z) = ddz f(z), f(z) ∈ V dove V e lo spazio delle funzioni analitiche in un dominio D del piano

complesso.

4. (Kf)(x) =∫ b

adyK(x, y)f(y) dove K(x, y) e una funzione continua e f ∈ V = C[a, b].

Abbiamo appena visto che una matrice complessa n× n puo essere pensata come un operatore lineare sullospazio vettoriale Cn. Sappiamo anche che lo spazio delle matrici complesse n × n e uno spazio vettoriale.Mostriamo ora che lo spazio (vettoriale) degli operatori lineari che agiscono su uno spazio vettoriale complessodi dimensione n e isomorfo allo spazio delle matrici complesse n× n ovvero, in termini piu semplici, che

ogni operatore lineare su uno spazio V di dimensione n e rappresentato da una matrice sullospazio Cn delle coordinate dei vettori di V.

Infatti, per stabilire questa corrispondenza (isomorfismo), consideriamo una base ortonormale9 ei di V . Perogni x ∈ V si ha

y = Ax = An∑

i=1

xiei =

n∑i=1

xi Aei

Decomponendo y nelle sue componenti yi = (ei , y), si ha

yi = (ei ,n∑

j=1

xj Aej) =

n∑j=1

xj (ei , Aej) (19)

9Il ragionamento puo essere ripetuto per una base qualunque di V , ma e leggermente piu complicato. Per comoditaconsideriamo direttamente una base ortonormale (tanto esiste sempre!).

9

Definiamo la matrice Aij = (ei , Aej). Allora l’azione dell’operatore A su un vettore x ∈ V si rappresenta,in termini di coordinate, come

yi =n∑

j=1

Aijxj (20)

Dunque, fissata una base ortonormale ei, come ad ogni vettore x corrisponde la n–pla xi = (ei , x), cosi’ adogni operatore lineare A su uno spazio vettoriale V corrisponde la matrice Aij = (ei , Aej) che agisce sullospazio Cn delle coordinate dei vettori di V , come volevamo dimostrare.

Esercizi:

1. Mostrare che all’operatore A+B corrisponde la matrice Aij +Bij .

2. Mostrare che all’operatore λA corrisponde la matrice λAij .

3. Mostrare che all’operatore AB corrisponde la matrice

(AB)ij =n∑

k=1

AikBkj

prodotto righe per colonne di Aij e Bij .

4. Sia Py il proiettore sul vettore y, Pyx = (y , x)(y , y)y, mostrare che la matrice Pyij che rappresenta Py e’

Pyij = yiy∗jPn

k=1 |yk|2 , ovvero, nella notazione introdotta sopra, si ha Py = yy†y†y

.

5. Sia ei una base ortonormale dello spazio V e Pi ≡ Pei il proiettore sul vettore ei della base. Scrivereesplicitamente la matrice che rappresenta Pi.

Trasformazioni tra basi ortonormali: vediamo come si trasforma la matrice che rappresenta l’operatoreA nel passaggio tra due basi ortonormali ei e f i =

∑nj=1 Uije

j . Abbiamo gia visto che le coordinate deivettori si trasformano con la matrice U , ovvero, se x′ sono le coordinate nella base f i e x quelle nella baseei, x′ = Ux. Nella base ei, la matrice che rappresenta A e data da10 Aij = ei · Aej . La matrice A′ij cherappresenta A nella base f i e quindi data da

A′ij = f i ·Af j =

(n∑

k=1

Uikek

)·A

(n∑

l=1

Ujlel

)=

1,n∑k,l

Uik(ek ·Ael)Ujl =1,n∑k,l

UikAklU†lj (21)

ovvero A′ = UAU†.

Esercizi:

1. Ricordando che nel cambiamento di base si ha x′ = Ux e A′ = UAU†, verificare che y = Ax si trasformain y′ = Uy.

2. Verificare che ∀x, y ∈ V la quantita y ·Ax (detta elemento di matrice dell’operatore A tra i vettori x ey) non cambia nel cambiamento di base, ovvero che, in coordinate, y†Ax = y′

†A′x′.

10Attenzione: se la base non e ortonormale, questa espressione non e corretta.

10

Operatore aggiunto: dato un operatore A, si definisce il suo operatore aggiunto A† richiedendo che, perogni coppia di vettori x, y ∈ V , si abbia, dato un prodotto scalare su V ,

(x , Ay) = (A†x , y) (22)

Verifichiamo che l’operatore A† e rappresentato dalla matrice (A†)ij = A∗ji. Infatti, la matrice Bij cherappresenta l’operatore A† e data da

Bij = (ei , A†ej) = (A†ej , ei)∗ = (ej , Aei) = A∗ji = (A†)ij (23)

Operatore inverso: sia dato un operatore A tale che l’equazione y = Ax ammette una ed una sola soluzione.Allora l’operatore A e detto invertibile e si definisce l’operatore inverso A−1 in modo che

A−1A = I (24)

dove I e l’operatore unita tale che Ix = x, ∀x ∈ V . Dal momento che l’operatore I e rappresentato dallamatrice 1 e che il prodotto di due operatori e rappresentato dal prodotto delle matrici corrispondenti, eevidente che A−1 e rappresentato dalla matrice inversa di A.

Operatori hermitiani e unitari: un operatore hermitiano e definito dalla condizione A† = A ed erappresentato da una matrice hermitiana. Un operatore unitario e definito dalla condizione U† = U−1 ed erappresentato da una matrice unitaria.

Esercizi: (ricordare che detAB = detAdetB e TrABC = TrBCA)

1. Mostrare che una matrice unitaria soddisfa la condizione |detU | = 1 e che per una matrice hermitianadetA ∈ R.

2. Mostrare che se U e unitaria si ha Tr(U†AU) = TrA.

3. Mostrare che l’operatore di proiezione Pi e hermitiano e non e invertibile.

Autovalori ed autovettori di un operatore

Un numero complesso λ e detto autovalore dell’operatore A se l’equazione

Ax = λx (25)

ha delle soluzioni x = v ∈ V diverse da 0. L’insieme degli autovalori di un operatore A e detto spettro dell’-operatore. Se λ e un autovalore di A, un vettore v 6= 0 tale che Av = λv e detto autovettore corrispondenteall’autovalore λ.

Dal momento che ogni operatore e rappresentato da una matrice complessa, d’ora in poi considereremodirettamente la rappresentazione matriciale degli operatori supponendo di aver fissato una base11 nellospazio V .

Autovalori: l’equazione Ax = λx puo essere riscritta come (A − λI)x = 0. Questa equazione ha unasoluzione x = v non nulla se e solo se det(A− λ1) = 0. Gli autovalori sono quindi le soluzioni dell’equazione

11Osserviamo ancora che per rappresentare gli operatori come matrici non e necessario considerare una base ortonormale,e dunque non e necessario neanche introdurre un prodotto scalare sullo spazio V . Tuttavia, salvo diversamente specificato,considereremo sempre una base ortonormale per semplicita.

11

P (λ) = det(A − λ1) = 0. P (λ) e un polinomio di grado n ed e detto polinomio caratteristico della matriceA. L’equazione P (λ) = 0 ammette sempre n soluzioni complesse: dunque, un operatore A che agisce suuno spazio di dimensione n ha sempre n autovalori complessi (alcuni eventualmente coincidenti). Diremoche l’autovalore λi ha molteplicita mi se e soluzione di P (λ) = 0 con molteplicita mi. Dunque, se ci sono kautovalori distinti, si avra

∑ki=1mi = n.

Autovettori: ad ogni autovalore λi corrisponde almeno un autovettore vi, e lo stesso autovettore nonpuo corrispondere a due autovalori diversi. E’ possibile inoltre mostrare (vedi gli esercizi che seguono) cheautovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Dunque, se gli autovalorisono tutti distinti, ci saranno n autovettori distinti linearmente indipendenti, per cui gli autovettori di Asono una base per lo spazio V (in generale non ortonormale). In questo caso si dice che l’operatore A ediagonalizzabile. Se invece ci sono autovalori con molteplicita m > 1, possono darsi due casi:1. Per ogni autovalore di molteplicita m > 1 e possibile trovare m autovettori linearmente indipendenti. Inquesto caso gli autovettori di A costituiscono ancora una base per lo spazio e l’operatore e diagonalizzabile.2. Per almeno uno degli autovalori di molteplicita m > 1 non e possibile trovare m autovettori linearmenteindipendenti. In questo caso l’operatore non e diagonalizzabile.

Esercizio : dimostrare che autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono linearmente indipendentiseguendo i passaggi elencati.

1. Dimostrare che un autovettore v di A, corrispondente ad un autovalore λ, non puo essere combinazionelineare di altri autovettori vi linearmente indipendenti corrispondenti ad autovalori λi 6= λ.Suggerimento: scrivere, per assurdo, v =

∑i civ

i e confrontare i due membri dell’uguaglianza Av = λv.

2. Dimostrare che due autovettori corrispondenti ad autovalori distinti non possono essere proporzionali.

3. Completare la dimostrazione per induzione.

Esercizi:

1. Calcolare gli autovalori e gli autovettori della matrice(

0 i−i 0

).

2. Calcolare gli autovalori e gli autovettori dell’operatore Pi.

3. Si consideri lo spazio dei polinomi di secondo grado P2(z) = a+ bz+ cz2 con c 6= 0 e l’operatore lineareAP (z) = dP

dz = b + 2cz. Calcolare autovalori e autovettori di questo operatore. Verificare che non ediagonalizzabile. Suggerimento: in questo caso non conviene cercare di rappresentare A su una baseortonormale.

4. Si consideri lo spazio dei polinomi trigonometrici P1(cos θ, sin θ) = C0 +C1 cos θ+S1 sin θ e l’operatorelineare AP (θ) = P (π

2 −θ). Calcolare autovalori e autovettori di A e verificare che A e diagonalizzabile.

5. Sullo stesso spazio considerato nell’esercizio precedente, considerare l’operatore K definito da

(KP )(θ) =12π

∫ 2π

0

dψ cos(θ − ψ)P (ψ)

Calcolare autovettori ed autovalori di K e verificare che e diagonalizzabile.Suggerimento: utilizzare la relazione cos(θ − ψ) = cos θ cosψ + sin θ sinψ.

Diagonalizzazione di un operatore e cambiamento di base: la rappresentazione di un operatorecome matrice dipende, come abbiamo visto, dalla base che si e scelta nello spazio V . Abbiamo detto che unoperatore e diagonalizzabile se i suoi autovettori costituiscono una base per lo spazio V : anche se in generale

12

la base degli autovettori di A non e’ ortonormale, questo implica che nella base degli autovettori l’operatoreA e rappresentato da una matrice diagonale. Infatti, se λi e vi sono, rispettivamente, gli n autovalori edautovettori di A, e se x =

∑ni=1 xiv

i, allora y = Ax =∑n

i=1 λixivi =

∑ni=1 yiv

i ovvero yi = λixi, cioe’ Ae’ rappresentato dalla matrice diagonale Λ = diag{λ1 , · · · , λn}. Dal momento che un cambiamento di basenello spazio V induce un corrispondente cambiamento di coordinate, la diagonalizzazione dell’operatore Acorrisponde ad un cambiamento di coordinate nello spazio V .

Come caso particolare, possiamo considerare un operatore A i cui autovettori costituiscono una base ortonor-male dello spazio V 12. L’operatore A sara rappresentato da una matrice Aij in una certa base ortonormaleei. Il passaggio dalla base ei alla base vi degli autovettori di A e una trasformazione fra basi ortonormali,quindi la matrice D che rappresenta A nella base vi sara data da

D = UAU† (26)

dove Uij = (vi , ej). La matrice D e diagonale, perche rappresenta A nella base dei suoi autovettori: dunque,la matrice A e una matrice che puo essere diagonalizzata da una matrice unitaria U .

Esercizi:

1. Verificare che la matrice U† ha come righe le coordinate degli autovettori vi nella base ei, cioe che(U†)ij = U∗ji = (vi)j = (ei , vj).

2. Verificare che la matrice( β −α

α β

), α, β ∈ R e α 6= 0, ha autovalori distinti ed autovettori ortogonali pur

non essendo hermitiana.

Operatori hermitiani

Gli operatori hermitiani, cioe tali che A† = A, hanno una serie di proprieta di notevole interesse per lafisica13, per cui meritano una trattazione piu’ dettagliata. Ci interessa mostrare due proprieta fondamentali:

1. Un operatore hermitiano ha autovalori reali.

2. Gli autovettori di un operatore hermitiano possono essere scelti in modo da costituire una baseortonormale dello spazio V .

Come abbiamo gia visto, una conseguenza interessante della seconda proprieta e che un operatore hermitianopuo essere diagonalizzato con una trasformazione unitaria.

Esercizi:

1. Dimostrare che un operatore hermitiano A ha autovalori reali (suggerimento: sia λ un autovalore e vun autovettore corrispondente. Utilizzare la relazione (v , Av) = (Av , v)).

2. Dimostrare che, se λ e µ sono due autovalori distinti di un operatore hermitiano A e v, w sonogli autovettori corrispondenti, si ha (v , w) = 0. (Suggerimento: utilizzare una relazione simile allaprecedente.)

3. Dimostrare che, se v e un autovettore di un operatore hermitiano A, il sottospazio ortogonale a v einvariante sotto l’azione di A, cioe che, se (v , x) = 0, anche (v , Ax) = 0.

12Questa ipotesi in generale non e verificata, ma lo e ad esempio per gli operatori hermitiani, come discuteremo tra breve.13Ad esempio, rappresentano le grandezze osservabili in meccanica quantistica.

13

Per dimostrare14 che gli autovettori di un operatore hermitiano formano una base ortogonale si sfrutta laproprieta dimostrata nell’esercizio 3. Consideriamo un primo autovalore λ1 e un autovettore corrispondentev1 che esistono sicuramente. Dal momento che l’insieme dei vettori ortogonali a v1 si trasforma in se stessosotto l’azione dell’operatore A, possiamo considerare la restrizione dell’operatore A su questo sottospazio,che e ancora un operatore hermitiano A(2) su uno spazio di dimensione n− 1. L’operatore A(2) avra almenoun autovalore λ2 e un autovettore corrispondente v2 che per costruzione e ortogonale a v1. Iterando ilprocedimento si ottengono n autovettori ortogonali di A che formano quindi una base.

Esercizi:

1. Calcolare autovalori e autovettori dell’operatore AP (θ) = idPdθ sullo spazio dei polinomi trigonometrici

P (θ) = f + a cos θ+ b sin θ con il prodotto scalare (P , Q) = (2π)−1∫ 2π

0dθP ∗(θ)Q(θ). Mostrare che gli

autovettori di A sono ortogonali.

2. Dimostrare che l’operatoreAP (θ) = idPdθ sullo spazio dei polinomi trigonometrici P (θ) = PN (cos θ, sin θ)

e hermitiano.Suggerimento: scrivere la matrice che rappresenta A e verificare che e hermitiana, oppure utilizzaredirettamente la definizione di operatore aggiunto e integrare per parti.

3. Dimostrare che l’operatore (Kf)(x) =∫ b

adyK(x, y)f(y) dove K(x, y) e una funzione continua e f ∈

V = C[a, b] e hermitiano rispetto al prodotto scalare (f , g) =∫ b

adxf∗(x)g(x) se K(x, y) = K∗(y, x).

Spazio vettoriale delle matrici hermitiane

Le matrici hermitiane n×n formano uno spazio vettoriale reale. Infatti, e facile vedere che se A e B sono duematrici hermitiane anche aA+ bB e hermitiana se a e b sono coefficienti reali (ma non se sono complessi).

Esercizi:

1. Verificare che la dimensione dello spazio delle matrici hermitiane n× n e n2.Suggerimento: contare quanti numeri reali servono per specificare completamente una matrice hermi-tiana n× n.

2. Verificare che le matrici di Pauli σ0 = 1 =(

1 00 1

), σ1 =

(0 11 0

), σ2 =

(0 −ii 0

), σ3 =

(1 00 −1

)sono una base

per lo spazio delle matrici hermitiane 2×2 ortonormale rispetto al prodotto scalare (A , B) = 12Tr(AB).

3. Dedurre dall’esercizio precedente che ogni matrice A hermitiana 2 × 2 si puo scrivere come A =∑3i=0 aiσi, dove ai = 1

2Tr(Aσi).

14Per una discussione piu dettagliata si puo consultare un qualunque libro di algebra lineare.

14

CONTENUTO DELLE LEZIONI

18/04/07Presentazione del corso. Lo spazio lineare astratto e la sua struttura algebrica sui complessi. La strutturageometrica caratterizzata dal prodotto scalare. Proprieta’ del prodotto scalare. Definizione di norma (omodulo) di un vettore e sue proprieta’. Versore associato ad un vettore. Definizione di sottospazio diuno spazio vettoriale. Definizione di dipendenza e indipendenza lineare di p vettori dati. Definizione didimensione di uno spazio vettoriale. Cenni allo spazio lineare con dimensione infinita.

20/04/07Criterio numerico per stabilire se p vettori dati sono linearmente indipendenti. Caso dello spazio di dimen-sione finita n e definizione di base. Dimostrazione che ogni vettore dello spazio e’ una combinazione linearedei vettori di una qualunque base. Definizione delle componenti (o coordinate) di un vettore rispetto ad unabase data. Il problema della corrispondenza biunivoca (uno–a–uno) tra i vettori e le loro componenti in unabase data. Convenienza delle basi ortonormali nel risolvere il problema della corrispondenza ”vettore” ⇔”componenti”. Definizione di isomorfismo tra spazi vettoriali. Dimostrazione che lo spazio lineare astrattodi dimensione finita n e’ isomorfo allo spazio Cn. Dimostrazione della disuguaglianza di Schwartz e delladisuguaglianza triangolare. Definizione di spazio normato (non necessariamente lineare).

23/04/07Svolgimento dell’ esercizio 5. di pag.4. Dimostrazione della linearita’ dello spazio l2 (ovvero: se le serie∑∞

i=1 |xi|2 e∑∞

i=1 |yi|2 sono convergenti allora anche la serie∑∞

i=1 |xi + yi|2 e’ convergente). Dimostrazionedell’esistenza del prodotto scalare (x , y) =

∑∞i=1 x

∗i yi in l2 (ovvero: se le serie

∑∞i=1 |xi|2 e

∑∞i=1 |yi|2 sono

convergenti allora anche la serie∑∞

i=1 x∗i yi e’ convergente). Svolgimento simile dell’esercizio 6. di pag.4 sullo

spazio L2[a , b] (ovvero: se gli integrali∫ b

adx|f(x)|2 e

∫ b

adx|g(x)|2 sono convergenti allora anche l’integrale∫ b

adx|f(x)+g(x)|2 e’ convergente). Dimostrazione dell’esistenza del prodotto scalare (f , g) =

∫ b

adxf∗(x)g(x)

in L2[a , b] (ovvero: se gli integrali∫ b

adx|f(x)|2 e

∫ b

adx|g(x)|2 sono convergenti allora anche l’integrale∫ b

adxf∗(x)g(x) e’ convergente). Esempi di funzioni f(x) che appartengono o non appartengono a L2[a , b].

Definizione di funzioni ortogonali ( (f , g) =∫ b

adxf∗(x)g(x) = 0) ed esempi. Svolgimento degli esercizi 4. e

5. di pag.5. Introduzione all’analisi negli spazi lineari. Definizione di distanza d(x , y) e sue proprieta’ in unospazio arbitrario. Defizione di norma ||x|| e sue proprieta’. Dimostrazione che la funzione d(x , y) = ||x− y||e’ una distanza. Definizione di distanza in uno spazio vettoriale come d(x , y) = ||x− y|| =

√(x− y , x− y).

27/04/07Definizione di limite di una successione di vettori mediante la distanza d(x , y) = ||x − y||. Discussionedel problema dell’esistenza del limite di una successione: il caso dell’insieme dei numeri razionali (esempiodella successione che tende a

√2). Il problema della completezza di un insieme. Definizione di successione

di Cauchy e definizione di completezza dello spazio. Definizione di spazio di Banach come spazio normatoe completo. Definizione di spazio di Hilbert. Completezza di uno spazio vettoriale con dimensione finita(senza dimostrazione). Definizione di limite forte (o limite in norma) limfn→∞xn di una successione {xn}di elementi di uno spazio di Hilbert. Definizione di limite debole limdn→∞x

n di una successione {xn} divettori di uno spazio di Hilbert. Dimostrazione che una successione di vettori che possiede il limite fortepossiede anche il limite debole ed i due limiti coincidono. Costruzione esplicita di una successione di vettoridi uno spazio infinito–dimensionale che non possiede il limite forte ma possiede il limite debole: sia {ei}∞i=1

una qualunque successione di vettori ortonormali, (ei , ej) = δij , e sia x un arbitrario vettore, allora, sexi = (ei , x), dalla disuguaglianza ||x−

∑ni=1 xie

i||2 ≥ 0 si deduce che∑n

i=1 |xi|2 ≤ ||x||2 con l’implicazioneche la serie

∑∞i=1 |xi|2 e’ convergente. Poiche’ questa convergenza implica che limi→∞xi = limi→∞(ei , x) = 0

si ha che limdi→∞ei = 0. D’atra parte l’uguaglianza ||ei− ej ||2 = 2 per i 6= j implica che la successione {ei}

non possiede limite forte.

15

COMPITO 1

1. Trovare una funzione f(x) tale che:

• f(x) ∈ L2[−1 , 1] , f(x) /∈ L2[−1 , 1]

• f(x) ∈ L2[0 , +∞] , f(x) /∈ L2[0 , +∞]

• f(x) ∈ L2[−∞ , +∞] , f(x) /∈ L2[−∞ , +∞]

2. Trovare due vettori ortogonali appartenenti a

l2 , L2[−1 , 1] , L2[0 , 1] , L2[0 , +∞] , L2[−∞ , +∞]

3. Ortonormalizzare le tre funzioni f0(x) = 1 , f1(x) = x , f2(x) = x2 negli spazi L2[−1 , 1] e L2[0 , 1]

02/05/07SVOLGIMENTO COMPITO 1 DEL 27/04/07

1. Affinche’ f(x) ∈ L2[−1 , 1], cioe’∫ 1

−1dx|f(x)|2 <∞, e’ sufficiente che f(x) sia limitata nell’ intervallo

chiuso −1 ≤ x ≤ +1, per esempio 1 + x3 , exp(2x2) , 1/(4 + x) appartengono ad L2[−1 , 1]. Anchefunzioni non limitate possono appartenere ad L2[−1 , 1], per esempio |x|−1/4 o, piu’ in generale |x|−a

con a < 1/2. Affinche’ f(x) ∈ L2[0 , +∞], cioe’∫ +∞0

dx|f(x)|2 <∞, e’ sufficiente che f(x) sia limitataper 0 ≤ x < +∞ e che f(x) vada a zero per x→ +∞ in modo che limx→+∞x

1+ε|f(x)|2 = 0 per qualcheε > 0. Per esempio 1/(1 + x2) appartiene a L2[0 , +∞], come anche exp(−x) e exp(−x2). Esempi difunzioni che non appartengono a L2[0 , +∞] sono 1/(2− x) , exp(3x) , x2. E’ facile fare simili esempicirca l’appartenenza, o non appartenenza, a L2[−∞ , +∞].

2. Esempi semplici di vettori ortogonali sono:

• l2 : (x , y) =∑∞

i=1 x∗i yi = 0 se x = {xi}∞i=1 con x1 = 1 , xi = 0 per i > 1 e y = {yi}∞i=1 con

y1 = 0 , yi = (1/2)i per i > 1

• L2[−1 , 1] : (f , g) =∫ 1

−1dxf∗(x)g(x) = 0 se f(x) = x e g(x) = x2 , f(x) = 1 e g(x) = 1− 3x2

• L2[0 , 1] : (f , g) =∫ 1

0dxf∗(x)g(x) = 0 se f(x) = 1 e g(x) = cos(πx) , f(x) = 1−x e g(x) = 1−3x

• L2[0 , ∞] : (f , g) =∫∞0dxf∗(x)g(x) = 0 se f(x) = x exp(−x) e g(x) = df(x)/dx = (1 −

x) exp(−x)• L2[−∞ , ∞] : (f , g) =

∫∞−∞ dxf∗(x)g(x) = 0 se f(x) = x exp(−|x|) e g(x) = exp(−x2)

3. ortonormalizzando le tre funzioni f0(x) , f1(x) , f2(x) si costruiscono le tre funzioni ortonormali

g0(x) , g1(x) , g2(x), (gn , gm) = δnm , in L2[−1 , 1] : g0(x) =√

1/2 , g1(x) =√

3/2x , g2(x) =√5/8(1− 3x2) ; in L2[0 , 1] : g0(x) = 1 , g1(x) =

√3(1− 2x) , g2(x) =

√5(1− 6x+ 6x2)

Defizione di sottospazio di uno spazio di Hilbert. Differenza tra il caso di un sottospazio finito–dimensionalee quello di un sottospazio infinito–dimensionale. Il problema della base in uno spazio di Hilbert infinito–dimensionale. Costruzione di un sottospazio di uno spazio di Hilbert come insieme delle combinazioni linearidi p vettori ortonormali assegnati. Calcolo esplicito della distanza tra un generico vettore dello spazio diHilbert ed un suo sottospazio di dimensione p (osservazione : dati comunque p vettori ortonormali e1 , e2 · · · ep

ed un vettore generico x, il vettore x −∑p

i=1 xiei, con xi = (ei , x) ,e’ ortogonale ad ognuno dei vettori

e1 , e2 · · · ep). Estensione di questo calcolo al caso di un sottospazio infinito–dimensionale. Derivazione delladisuguaglianza di Bessel e definizione di base di uno spazio di Hilbert infinito–dimensionale. Definizione dispazio di Hilbert separabile. Discussione della distanza tra vettori nello spazio L2[a , b] e uguaglianza travettori rappresentati da funzioni che differiscono solo su un sottoinsieme dell’intervallo [a , b] di misura nulla.

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04/05/07Sia H lo spazio di Hilbert astratto, se la successione di vettori {ei}∞i=1 e’ una base ortonormale, (ei , ej) =δij , ogni vettore x ∈ H si rappresenta in questa base con le serie x =

∑∞i=1 xie

i la cui convergenza e’forte (cioe’ limn→∞||x −

∑ni=1 xie

i|| = 0). Espressione del prodotto scalare e della norma in H tramitele componenti in una base ortonormale: (x , y) =

∑∞i=1 x

∗i yi , ||x||2 =

∑∞i=1 |xi|2. Dalla convergenza della

serie∑∞

i=1 |xi|2 segue che la successione dei numeri complessi {xi}∞i=1 (componenti del vettore x) e’ unelemento dello spazio l2, quindi, data una base ortonormale in H si ottiene una corrispondenza biunivoca,un isomorfismo, tra H ed l2, essendo xi = (ei , x). Lo spazio funzionale L2[a, b] e’ una rappresentazione dellospazio di Hilbert H (osservazione: lo spazio L2[a, b] e’ completo rispetto alla definizione di integrale secondoLebesgue ma non secondo Riemann). Quindi gli spazi L2[a, b] ed l2 sono isomorfi tra loro. Espressione della

distanza tra due funzioni, f(x) e g(x), di L2[a, b], distanza = ||f − g|| =√∫ b

adx|f (x)− g(x)|2. Limite in

media (alias limite forte) di una successione {fn(x)}∞n=1 di funzioni di L2[a, b]. Se {gi(x)}∞i=1 e’ una baseortonormale in L2[a, b],

∫ b

adxgi∗(x)gj(x) = δij , allora una generica funzione f(x) ∈ L2[a, b] e’ espressa dalla

serie f(x) =∑∞

i=1 figi(x), con fi =

∫ b

adxgi∗(x)f(x), che generalmente non converge in ogni punto x dell’

intervallo [a, b] ma converge solo in media (convergenza forte). Esempio di base in L2[−1, 1]: i polinomiortogonali di Legendre come ortogonalizzazione delle potenze di x, cioe’ delle funzioni 1, x, x2, · · · , xn, · · · .Funzioni lineari H → H′ definite su uno spazio lineare H a valori in un altro spazio lineare H′ : x′ = F (x)con x ∈ H e x′ ∈ H′ tale che F (c1x1 + c2x

2) = c1F (x1) + c2F (x2). Una funzione lineare e’ definita inogni vettore x ∈ H se e’ definita su una qualunque base di H. Struttura di spazio lineare dell’ insiemedelle funzioni lineari. Funzioni lineari limitate e funzioni lineari continue. Funzioni lineari definite su spazifinito–dimensionali e loro dominio di definizione. Funzioni lineari definite su spazi infinito–dimensionali, lorodominio e co–dominio. Definizione di sottoinsieme ovunque denso di un spazio vettoriale. Dominio di unafunzione lineare ovunque denso in H. Insieme delle forme φ(x) ovvero delle funzioni lineari che mandanoun vettore x di H in un numero complesso, φ(x) ∈ C: H → C. Spazio delle forme come spazio dualeH∗ dello spazio H. Corrispondenza tra forme e vettori e isomorfismo tra H∗ e H. Rappresentazione di unaforma come prodotto scalare nel caso di spazio finito–dimensionale e di spazio infinito–dimensionale (teoremadi Fisher–Ritz, senza dimostrazione). Defizione di base φj di H∗ duale di una base ortonormale ei di H;φj(ei) = δij . Espansione di una generica forma F (x) nella base duale di H∗: F =

∑∞j=1 F (ej)φj .

COMPITO 2

1. Calcolare exp(iασ2

), dove σ2 =

(0 −ii 0

)e α ∈ R.

2. Calcolare tanhA dove A =( 1 −2

12 −1

)(suggerimento: calcolare A2).

3. Se Aij sono gli elementi di matrice della matrice n×n A, mostrare che uF ij(A) = Aij e un funzionalelineare sullo spazio delle matrici n × n. Dato il prodotto scalare (A,B) = Tr(A†B), identificare ilvettore F ij tale che F ij(A) = (F ij , A).


1. Dalla proprieta’ (σ2)2 =(

1 00 1

)= 1 della matrice di Pauli σ2 si ottiene (σ2)2m = 1 e (σ2)2m+1 = σ2.

Quindi dalla serie di Taylor exp(z) =∑∞

n=0zn

n! si ha exp(iασ2) =∑∞

m=0(iα)2m

(2m)! + σ2

∑∞m=0

(iα)2m+1

(2m+1)! dacui, risommando le serie, si ricava il risultato exp(iασ2) = cos(α) + iσ2 sin(α).

2. Poiche’ A2 = 0 e quindi An = 0 per n > 1, conviene usare lo sviluppo di Taylor tanh(z) = z + c3z3 +

c5z5 + · · · . Si ottiene quindi tanh(A) = A.

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3. Poiche’, per definizione, (A,B) = TrA†B =∑n

l,k=1A∗lkBlk, se indichiamo con F ij

lk le componenti delvettore F ij che rappresenta la forma F ij , si ha F ij(A) = (F ij , A) = Tr(F ij†A) =

∑nl,k=1 F

ij∗lk Alk

che, confrontata con il risultato voluto (F ij , A) = Aij , per l’arbitrarieta’ della matrice A implicaF ij

lk = δliδkj .

Funzioni lineari H → H′ limitate: ||F (x)|| ≤ C||x||, e funzioni continue: ||F (x)−F (y)|| < ε per ||x−y|| < δ.Le funzioni limitate sono continue e viceversa. Definizione di norma di una funzione lineare e limitata:||F || =supx∈H

||F (x)||||x|| . Forme limitate e calcolo della loro norma. Definizione del nucleo di una funzione

lineare. Dimostrazione che il nucleo di una funzione lineare e’ un sottospazio lineare. Una funzione linearee’ invertibile se e solo se il suo nucleo coincide con il sottospazio banale contenente solo il vettore nullo{0}.Esempio: nucleo di una forma lineare definita su uno spazio finito–dimensionale. Operatori lineari comefunzioni lineari definite in H a valori nello stesso spazio H: H → H, ovvero x→ y = F (x) = Ax con x, y ∈ H.Operatore A limitato: ||Ax|| ≤ C||x|| e definizione di norma di un operatore limitato: ||A|| =supx∈H

||Ax||||x|| .

Operatore non limitato con dominio ovunque denso in H. Definizione di operatore compatto come operatoreche trasforma successioni di vettori limitati in successioni di Cauchy: se ||xi|| ≤ c allora esiste il limfi→∞Axi.

COMPITO 3

Nel seguito, le matrici σi sono le matrici di Pauli, e con “polinomio trigonometrico P (θ) di grado N”intendiamo una funzione della forma P (θ) =

∑Nn=0(an cosnθ+bn sinnθ). Il prodotto scalare di due polinomi

trigonometrici e definito da: (P,Q) = 12π

∫ 2π

0dθP (θ)Q(θ). Inoltre un operatore lineare M che agisce sui

vettori dello spazio di HilbertH e’ completamente definito dalla sua azione sui vettori di una base ortonormale{ ei } , (ei , ej) = δij , cioe’ dai vettori Mei :

Mei =∑j=1

Mjiej

dove i numeri complessi Mji = (ej , Mei) sono definiti come gli elementi di matrice dell’operatore M . Sidice che la matrice {Mji} rappresenta l’operatore M nella base ortonormale { ei }. Se lo spazio vettoriale He’ finito–dimensionale con dimensione n allora la matrice {Mji} che rappresenta M e’ una matrice n× n.

1. Mostrare che F(P ) =∫ 2π

0dθ cos θ dP (θ)

dθ e un funzionale lineare sullo spazio dei polinomi trigonometriciP (θ) =

∑Nn=0[an cos(nθ) + bn sin(nθ)]. Dare la dimensione di questo spazio e scrivere la matrice che

rappresenta l’operatore di derivata d/dθ.

2. Dato il funzionale F(P ) definito nell’esercizio precedente, e dato il prodotto scalare(P,Q) = 1

2π

∫ 2π

0dθP (θ)Q(θ), trovare il vettore F tale che F(P ) = (F, P ).

3. Trovare il polinomio trigonometrico F (θ) tale che il funzionale F(P ) = 12π

∫ 2π

0sin 3θ d2 cos θP (θ)

dθ2 sirappresenta come F(P ) = (F, P ).

4. Siano v(1), v(2) e v(3) i vettori di una base ortormale dello spazio V3 e sia A l’operatore Hermitianoed a traccia nulla tale che Av(1) = v(2) e A2v(1) = v(1) + v(2) + v(3) . Determinare la matrice M cherappresenta A in questa base.

5. Sia definito su L2(−π, π) il funzionale F (f) =∫ π

−πdx sin2(x)f(x). Calcolare la norma ‖F‖ ed almeno

due funzioni di L2(−π, π) per le quali F (f) = 0.

6. Determinare i valori del parametro reale a per i quali la funzione f(x) = {exp[−(1 + a)x]}/(1 − ax2)appartiene ad L2(0,+∞)

7. Determinare i valori del parametro reale a per i quali la funzione f(x) = sin(ax)/(1 + ax2) appartienead L2(−1, 1).

18

8. Siano v(1), v(2) e v(3) i vettori di una base ortormale dello spazio V3 e sia M l’operatore lineare taleche Mv(1) = 2v(2) + v(3), M2v(1) = 3v(2) + 2v(3) e M3v(1) = 2v(2) + 3v(3). Calcolare lo spettro di M .


1. La linearita di F segue facilmente dalle proprieta di linearita dell’integrale e della derivata. La dimen-sione dello spazio di questi polinomi trigonometrici e’ pari al numero 2N + 1 dei coefficienti complessian e bn che definiscono il generico polinomio P (θ) ovvero questo spazio e’ isomorfo allo spazio vetto-riale C2N+1. Usando questo isomorfismo P (θ) → {a0 , a1 , · · · , aN , b1 , b2 , · · · , bN} si puo’ definire lamatrice D che agisce su C2N+1 che corrisponde all’operatore di derivata d/dθ che agisce sullo spazio deipolinomi trigonometrici: se P (θ) → u dove u = {a0 , a1 , · · · , aN , b1 , b2 , · · · , bN} allora dP (θ)

dθ → Du

doveD e’ la matrice (2N+1)×(2N+1) da trovare. Poiche’ dP (θ)dθ =

∑Nn=1[(nbn) cos(nθ)−(nan) sin(nθ)]

si ha che il vettore Du corrispondente a dP (θ)dθ e’ Du = {0 , b1 , 2b2 , · · · , NbN , −a1 , −2a2 , · · · ,−NaN}

per cui la matrice D e’

D =

0 • • • 0•• 0N×N

•0

0 • • 0

AN×N

0 • • • 0•• −AN×N

•0

0 • • 0

0N×N

dove 0N×N e’ la matrice nulla N ×N e A e’ la matrice diagonale N ×N i cui elementi di matrice sulladiagonale principale sono i primi N interi, A = diag{1 , 2 , · · · , N}.

2. Integrando per parti si ha F(P ) =∫ 2π

0dθ sin θP (θ) = 2π(sin θ, P (θ)). Dunque F (θ) = 2π sin θ.

3. Sapendo che Mij = (v(i), Av(j)),TrM = 0 e Mij = M∗ji, e notando che A2v(1) = Av(2) = v(1) + v(2) +

v(3) si trova M =

0 1 01 1 10 1 −1

.

4. Poiche dalla disuguaglianza di Schwartz si ha |F (f)| ≤ ||f ||√∫ π

−πdx sin4(x) si ha ||F || =

√∫ π

−πdx sin4(x) =

√3π/2. Essendo sin2 x una funzione pari, per qualunque funzione dispari g(x) (g(−x) = −g(x)) si ha

F (g) = 0, per esempio per g(x) = x. Si ha anche, comunque, F (cos(x)) = 0.

5. Per avere convergenza all’infinito deve essere a ≥ −1. Inoltre se a > 0 la funzione ha due poli inx = ±1/

√a che danno luogo a singolarita non integrabili e delle quali quella positiva si trova nel

dominio d’integrazione. Dunque deve essere −1 ≤ a ≤ 0.

6. Per a ≥ 0 la funzione non ha poli nell’intervallo −1 ≤ x ≤ 1 e l’integrale converge. Per a < 0 la funzioneha due poli in x = ±1/

√|a|. I poli si trovano all’interno dell’intervallo chiuso [−1, 1] per a ≤ −1 e

danno luogo a singolarita non integrabili. Dunque deve essere a > −1. Inoltre f(x) ∈ L2(−1, 1) ancheper i valori an = −n2π2 per n = ±1, ±2, · · · perche’ in questo caso lo zero del numeratore eliminaquello del denominatore.

19

11/05/07I COMPITO D’ESONERO 11/05/07

ATTENZIONE:scrivere su ciascun foglio il cognome ed indicare chiaramente l’inizio e la fine di ogni esercizio.

1. Sia dato il funzionale lineare F (f) =∫ 1

−1dxx(x+ i)f(x) definito in L2[−1 , 1]. Calcolare la sua norma

||F ||.........................[ 9 ]

2. Determinare tutti i valori del parametro reale a per i quali la funzione

f(x) =x(x2 − 1)

[x2 + (a− 2)x− 2a] sin(πx)

appartiene allo spazio L2[−1 , 1] e la funzione

g(x) = cosh(ax) exp(−2x)/(a+ x)

appartiene allo spazio L2[1 , +∞] ....................................[ 11 ]

3. Sia e1 , e2 , e3 una base ortonormale di uno spazio 3–dimensionale e sia M un operatore lineare taleche Me1 = 3e2 + e3 , Me2 = e1 + 3e2 , M2e1 = 3e1 − 2e3. Calcolare il vettore u = M−1e1.[ 10 ]

4. Siano {e1 , e2 · · · ep} p vettori ortonormali. Dimostrare che i vettori {Ae1 , Ae2 · · ·Aep} sono linear-mente indipendenti se il nucleo dell’operatore A contiene solo il vettore nullo......[ 30 ]

IL NUMERO RIPORTATO ALLA FINE DI CIASCUN ESERCIZIO E’ IL VOTO MASSIMO.

14/05/07SVOLGIMENTO DEL I COMPITO D’ESONERO 11/05/07

1. Sia dato il funzionale lineare F (f) =∫ 1

−1dxx(x+ i)f(x) definito in L2[−1 , 1]. Calcolare la sua norma

||F ||.

SVOLGIMENTO: Poiche’ F (f) = (g , f) =∫ 1

−1dxx(x + i)f(x), si ha g(x) = x(x − i) e poiche’

||F || = ||g|| =√∫ 1

−1dxx2(x2 + 1) si ottiene ||F || = 4/

√15.

2. Determinare tutti i valori del parametro reale a per i quali la funzione

f(x) =x(x2 − 1)

[x2 + (a− 2)x− 2a] sin(πx)

appartiene allo spazio L2[−1 , 1] e la funzione

g(x) = cosh(ax) exp(−2x)/(a+ x)

appartiene allo spazio L2[1 , +∞]

SVOLGIMENTO: La condizione∫ 1

−1dx|f(x)|2 < ∞ impone che gli zeri del denominatore x+ =

2 , x− = −a stiano fuori dall’intervallo d’integrazione −1 ≤ x ≤ 1. Quindi deve essere a > 1 ea < −1. Poiche’ gli zeri semplici della funzione sin(πx) al denominatore in x = ±1 ed in x = 0

20

si eliminano con quelli del numeratore, f(x) e’ in L2(−1, 1) per |a| > 1 mentre per a = ±1 lo zerodel denominatore in x = ∓1 diventa doppio e non si ha eliminazione. Quindi f(x) ∈ L2(−1, 1) soloper |a| > 1. La condizione

∫ +∞1

dx|g(x)|2 < ∞ impone sia che il numeratore cosh(x) exp(−2x) sialimitato per x→ +∞, sia che lo zero del denominatore x0 = −a stia fuori del dominio d’integrazione1 ≤ x ≤ +∞. La prima condizione impone |a| ≤ 2 mentre la seconda condizione impone a > −1.Quindi g(x) e’ in L2(1,+∞) per −1 < a ≤ 2.

3. Sia e1 , e2 , e3 una base ortonormale di uno spazio 3–dimensionale e sia M un operatore lineare taleche Me1 = 3e2 + e3 , Me2 = e1 + 3e2 , M2e1 = 3e1 − 2e3. Calcolare il vettore u = M−1e1.

SVOLGIMENTO: l’espressione del vettore u nella base e’ u = u1e1 + u2e

2 + u3e3 e dalla condizione

u = M−1e1 si ha e1 = Mu = u1Me1+u2Me2+u3Me3 e quindi e1 = u1(3e2+e3)+u2(e1+3e2)+u3Me3.Per calcolare il vettore Me3 basta applicare l’operatore M alla prima equazione Me1 = 3e2 + e3

ottenendo M2e1 = 3(e1 +3e2)+Me3 ed usare la terza. Si ottiene quindi Me3 = −9e2−2e3. Inserendoquesta espressione nella precedente si ha e1 = u2e

1 + (3u1 + 3u2 − 9u3)e2 + (u1 − 2u3)e3 che implicache u1 = 2 , u2 = 1 , u3 = 1, ovvero u = 2e1 + e2 + e3,

4. Siano {e1 , e2 · · · ep} p vettori ortonormali. Dimostrare che i vettori {Ae1 , Ae2 · · ·Aep} sono linear-mente indipendenti se il nucleo dell’operatore A contiene solo il vettore nullo.

SVOLGIMENTO: Si dimostra per assurdo: supponiamo che i vettori {Ae1 , Ae2 · · ·Aep} siano linear-mente dipendenti, allora esiste la combinazione lineare y = x1Ae

1 +x2Ae2 + · · ·+xpAe

p tale che y = 0con qualche coefficiente xi 6= 0. Questo implica che per il vettore x = x1e

1 + x2e2 + · · ·+ xpe

p, che e’certamente non nullo, x 6= 0, si ha Ax = 0. Questo e’ assurdo per l’ipotesi fatta sul nucleo di A quindii vettori {Ae1 , Ae2 · · ·Aep} devono essere necessariamente linearmente indipendenti.

Definizione di prodotto di operatori lineari: se x ∈ H, A e B sono operatori lineari che agiscono su H,allora se y = Bx e z = Ay l’operatore prodotto (AB) porta x in z: (AB)x = z. Non commutativita’del prodotto di operatori con esempi. Definizione di commutatore [A , B] e di anticommutatore {A , B}.Esempio: anticommutatori delle matrici di Pauli. Calcolo con commutatori: regola di Leibnitz ( [C , AB] =A[C , B] + [C , A]B) e identita’ di Jacobi ( [A , [B , C]] + [B , [C , A]] + [C , [A , B]] = 0 ).Breve rassegna delle proprieta’ di operatori su uno spazio finito–dimensionale. La dimostrazione o verificadi molte delle affermazioni che seguono e’ lasciata allo studente.Data una base ortonormale e1, · · · , en, ogni operatore lineare A si rappresenta in questa base con la matricen× n che ha gli elementi di matrice Aij = (ei , Aej). Su ogni vettore x =

∑ni=1 xie

i l’azione dell’operatoreA, y = Ax, e’ descritta dalla trasformazione delle componenti di x con la matrice Aij : yi =

∑nj=1Aijxj .

L’operazione di prodotto di due operatori, C = AB si rappresenta nella base data con il prodotto c dellecorrispondenti matrici: Cij =

∑nk=1AikBkj . Risulta conveniente generalizzare questo prodotto tra matrici

quadrate alle matrici rettangolari (numero di righe diverso dal numero di colonne). Se M e’ una matricen×m e L e’ una matrice m×p allora la matrice prodotto ”righe×colonne” Q = ML e’ una matrice n×p. Unvettore e’ quindi rappresentato da una sola colonna cioe’ da una matrice n× 1 per cui l’espressione y = Axe’ rappresentata dal prodotto y1

...yn

=

A11 · · · A1n

......

...An1 · · · Ann

x1

...xn

Come per le matrici quadrate, la matrice Hermitiana coniugata di una matrice rettangolare si ottiene scam-biando le righe con le colonne e prendendo i complessi coniugati degli elementi di matrice. Se x e’ un vettorecolonna allora x† e’ il vettore riga x† = (x∗1 , · · · , x∗n). Dati due vettori x , y il prodotto ”righe×colonne” y†x

21

coincide con il prodotto scalare (y , x) mentre il prodotto A = xy† e’ la matrice quadrata n× n

A =

x1y∗1 · · · x1y

∗n

......

...xny

∗1 · · · xny

∗n

ovvero Aij = xiy

∗j . Questo prodotto tra due vettori e’ noto come prodotto diadico ed e’ un operatore.

Esempi di uso di questa notazione ( se x , y e z sono tre vettori allora xy†z = (y , z)x, tr(xy†) = (y , x)).Propieta’ della traccia e del determinante di una matrice quadrata: tr(AB) = tr(BA), det(AB) =detAdetB. Inversa di una matrice quadrata. Data la matrice quadrata A, la sua inversa A−1 esiste se e solose detA 6= 0. Una matrice A e’ singolare se detA = 0. Si ha (AB)−1 = B−1A−1. Se la matrice A non e’singolare allora trasforma p vettori linearmente indipendenti x1 · · · , xp in vettori Ax1 · · · , Axp linearmenteindipendenti. Operazioni su matrici: coniugazione Hermitiana Aij → (A†)ij = A∗ji , coniugazione complessaAij → (A∗)ij = A∗ij , trasposizione Aij → (AT )ij = Aji. Si ha A† = AT∗. Inoltre (AB)† = B†A†,(AB)T = BTAT , trA† = (trA)∗ e trAT =trA. La matrice H e’ Hermitiana se H† = H. La matrice A e’antiHermitiana se A† = −A, e’ simmetrica se AT = A ed e’ antisimmetrica se AT = −A. L’ operatore U (ela matrice che lo rappresenta) si dice unitario se la trasformazione di vettori x→ x′ = Ux lascia il prodottoscalare invariante: (y′ , x′) = (Uy , Ux) = (y , x). In particolare questa trasformazione non cambia la norma(o modulo) di un vettore e generalizza la rotazione di vettori. Poiche’ (Uy , Ux) = (y , U†Ux), se l’operatoreU e’ unitario allora U†U = 1 e quindi U−1 = U†.

16/05/07La verifica delle seguenti proposizioni e’ lasciata come esercizio. Definizione: l’operatore P si chiama proi-ettore se soddisfa l’equazione P 2 = P . Notare che gli operatori P = 0 e P = 1 sono esempi di proiettori(banali).

1. Se H e’ un operatore Hermitiano allora, per ogni vettore x, il prodotto scalare (x , Hx) e’ reale.

2. Se A e’ un operatore lineare arbitrario allora l’operatore H = A†A e’ Hermitiano.

3. Se H e’ un operatore Hermitiano allora l’operatore U = (1 + iH) (1− iH)−1 e’ unitario.

4. Se H e’ un operatore Hermitiano allora l’operatore A = iH e’ antiHermitiano.

5. Se A e’ un operatore lineare arbitrario allora gli operatori HS = A + A† e HD = i(A − A†) sonoHermitiani.

6. Ogni operatore lineare A si puo’ scrivere nella forma A = H1 + iH2 dove gli operatori H1 = 12 (A+A†)

e H2 = 12i (A − A†) sono Hermitiani (notare l’analogia con la rappresentazione cartesiana dei numeri

complessi).

7. Se U e’ un operatore unitario allora l’operatore H = i(1 − U) (1 + U)−1 e’ Hermitiano (se 1 + U none’ singolare).

8. Se U e’ un operatore unitario allora il suo determinante ha modulo uguale ad 1: detU = exp(iα) conα reale.

9. Se H e’ un operatore Hermitiano allora la sua traccia ed il suo determinante sono reali.

10. Se la matrice quadrata A e’ antisimmetrica, AT = −A ed ha un numero dispari di righe e di colonne( cioe’ ha dimensione (2n+ 1)× (2n+ 1), allora detA = 0.

11. Se l’operatore A e’ il prodotto diadico di due vettori x e y, A = xy†, allora A e’ singolare.

12. Se A = xy† allora A2 = (y , x)A e quindi An = (y , x)n−1A per n ≥ 1.

22

13. Il prodotto diadico di due vettori x e y, A = xy†, e’ un operatore Hermitiano se e solo se y = cx con creale.

14. L’operatore P = xy†

(y , x) e’ un proiettore per ogni coppia di vettori x e y che non siano ortogonali.

15. L’operatore P = xx†

||x||2 e’ un proiettore Hermitiano.

16. Se P1 = x1x†1||x1||2 e P2 = x2x†2

||x2||2 , allora l’operatore P = P1 + P2 e’ un proiettore se e solo se i vettori x1 ex2 sono ortogonali, (x1 , x2) = 0.

17. Se e1 , e2 , · · · , ep sono p vettori ortonormali ((ei , ej) = δij) di uno spazio di dimensione n con p < n,allora l’operatore P =

∑pi=1 e

i ei† e’ un proiettore che proietta su un sottospazio p–dimensionale. Sep = n allora P = 1 e la relazione

∑ni=1 e

i ei† = 1 si chiama relazione di completezza della base divettori e1 , e2 , · · · , en dello spazio. Fare esempi di uso della relazione di completezza ( un esempio e’(y , x) = (y , 1x) = (y ,

∑ni=1 e

i ei†x) =∑n

i=1(y , ei) (ei , x) =

∑ni=1 y

∗i xi ).

Trasformazioni lineari di uno spazio vettoriale in se stesso: H → H. Definizione di trasformazione disimilitudine come trasformazione lineare invertibile (o non singolare). Se l’ operatore lineare T possiedel’inverso T−1 allora la trasformazione x→ x′ = Tx e’ una trasformazione di similitudine. La trasformazionedi similitudine x→ x′ = Tx induce una trasformazione nello spazio degli operatori lineari. Ad un qualunqueoperatore lineare A che manda il generico vettore x in y = Ax corrisponde il suo trasformato A′ che mandail trasformato x′ = Tx di x nel trasformato y′ = Ty di y secondo lo schema

x →T x′

↓A ↓A′

y →T y′

Quindi la trasformazione indotta e’ A′ = T AT−1. La verifica delle seguenti proprieta’ della trasformazionedi similitudine T e’ lasciata come esercizio.

1. Se A → A′ = T AT−1 e B → B′ = T B T−1 allora AB → T AB T−1 = A′B′. In particolare si haT Ak T−1 = (T AT−1)k = A′k.

2. Se A→ A′ = T AT−1 allora trA′ = trA.

3. Se A→ A′ = T AT−1 allora detA′ = detA.

4. Se l’operatore T della trasformazione di similitudine e’ unitario, T = U , U−1 = U†, allora la trasfor-mazione di similitudine conserva sia il prodotto scalare, (y′ , x′) = (y , x) che la proprieta’ di Hermitian-ita’ degli operatori, cioe’ se H = H† e’ Hermitiano allora anche l’operatore trasformato H ′ = UHU−1

e’ Hermitiano.

Cambiamento di una base ortonormale e1 , e2 , · · · , en di uno spazio ad n dimensioni in un altra base ortonor-male f1 , f2 , · · · , fn. Poiche’ (ei , ej) = (f i , f j) = δij la trasformazione lineare ei → f i = Uei e’ data daun operatore unitario U . La matrice unitaria Uij = (ei , Uej) che rappresenta questo operatore risulta es-sere uguale alla matrice che rappresenta questo operatore U nell’altra base, Uij = (f i , Uf j). Il genericovettore x e’ rappresentato nella base e1 , e2 , · · · , en dalle componenti xi = (ei , x) e da componenti diverse,x′i = (f i , x) nell’altra base: x =

∑ni=1 xie

i =∑n

i=1 x′if

i. La trasformazione delle componenti xi → x′i indot-ta dal cambiamento di base e’ x′i =

∑nj=1 U

∗jixj . Analogamente, un operatore lineare A e’ rappresentato nella

base e1 , e2 , · · · , en dalla matrice Aij = (ei , Aej) e nella base f1 , f2 , · · · , fn dalla matrice A′ij = (f i , Af j)che sono legate dalla trasformazione A′ij =

∑nk=1

∑nm=1 U

∗kiUmjAkm. Le due matrici Aij e A′ij che rapp-

resentano lo stesso operatore A hanno la stessa traccia e lo stesso determinante e, piu’ in generale, sonolegate da una trasformazione di similarita’ unitaria, A′ij = (U†AU)ij . Una matrice si dice diagonalizzabile

23

se esiste una trasformazione di similitudine A→ D = TAT−1 che la trasforma in una matrice D diagonale,Dij = Diδij .

18/05/07Il problema agli autovalori Av = λv in uno spazio n–dimensionale. Il polinomio caratteristico di gradon PA(z) =det(A − z1) associato all’operatore A. Esistenza di n autovalori come radici di PA(z): λ e’autovalore di A se e solo se PA(λ) = 0. Definizione di spettro di un operatore come insieme dei suoi autovaloriλ1 , · · · , λn. Espressione del polinomio caratteristico PA(z) =

∑ni=0 ciz

i come prodotto di monomi PA(z) =cnΠn

i=1(z − λi). Calcolo del coefficiente cn = (−1)n, del coefficiente c0 = PA(0) =detA e del coefficientecn−1 = (−1)n+1trA. Dimostrazione che detA = Πn

i=1λi e che trA =∑n

i=1 λi. Definizione di molteplicita’algebrica di un autovalore. Teorema di esistenza di almeno un autovettore per ogni autovalore. Definizionedi molteplicita’ geometrica di un autovalore. Classe degli operatori diagonalizzabili come insieme deglioperatori che hanno solo autovalori con molteplicita’ algebrica uguale a quella geometrica. Dimostrazioneche un operatore i cui autovalori sono semplici e’ diagonalizzabile. Dimostrazione che se λ1 e λ2 sonoautovalori di A diversi, λ1 6= λ2, allora i corrispondenti autovettori v1 e v2 sono linearmente indipendenti.Dimostrazione che se v1 e v2 sono autovettori linearmente indipendenti di A corrispondenti allo stessoautovettore λ , allora ogni combinazione lineare v = c1v

1 + c2v2 dei due autovettori v1 e v2 e’ ancora

autovettore di A corrispondente all’autovalore λ. Dimostrazione che la trasformazione di similarita’ A →A′ = T AT−1 non cambia il polinomio caratteristico associato, PA(z) = PA′(z). Conseguenza: lo spettro diun operatore e’ invariante per trasformazioni di similarita’. Verifica che, se Av = λv allora il vettore v′ = Tv e’autovettore corrispondente all’ autovalore λ dell’operatore trasformato A′ = T AT−1. Il problema spettralecome risoluzione dell’equazione agli autovalori Av = λv per le incognite λ e v. Soluzione del problemaspettrale per matrici diagonali Dij = Diδij . Costruzione di una funzione F (D) di matrice diagonale Dij =Diδij nel caso in cui F (z) ammette l’espansione di Taylor F (z) =

∑∞i=0 ciz

i con raggio di convergenza R taleche |Di| < R: (F (D))ij = F (Di)δij . Generalizzazione di questa formula al caso in cui gli elementi di matriceD1 , · · · , Dn appartengono tutti al dominio di definizione della funzione F (z). Estensione della costruzionedi funzione di matrice B = F (A) al caso di matrice A non diagonale ma diagonalizzabile: se T e’ la matricedella trasformazione di similitudine che diagonalizza A, A = TDT−1 con D diagonale allora B = F (A) =F (TDT−1) = TF (D)T−1 = TF (T−1AT )T−1. Gli autovettori di un operatore diagonalizzabile formanouna base dello spazio. Definizione di operatore normale A : [A , A†] = 0. Un operatore diagonalizzabilepossiede autovettori che formano una base ortogonale ( e quindi ortonormale) se e solo se e’ normale:dimostrazione solo nel caso di autovalori semplici. Primo passo: dimostrazione che i) gli autovalori di unoperatore Hermitiano H = H† sono reali, Hv = λv =⇒ λ∗ = λ, ii) autovettori corrispondenti ad autovaloridiversi sono ortogonali, Hv1 = λ1v

1 , Hv2 = λ2v2 , λ1 6= λ2 =⇒ (v1 , v2) = 0. Secondo passo: esprimendo A

nella forma A = H1+iH2 con H1 e H2 Hermitiani, mostrare che, se A e’ normale, allora H1 e H2 commutano,[H1 , H2] = 0. Terzo passo: dimostrare che due operatori Hermitiani H1 e H2 che commutano, [H1 , H2] = 0,hanno in comune una base ortonormale di autovettori v1 , · · · , vn, H1vj = λjv

j , H2vj = µjvj . Quarto passo:

gli autovettori v1 , · · · , vn di un operatore normale A = H1+iH2 formano una base ortonormale dello spazio,Avj = (λj + iµj)vj , (vj , vk) = δjk.

COMPITO 4

1. Siano v(1), v(2) e v(3) i vettori di una base ortormale dello spazio V3 e sia M l’operatore lineare taleche Mv(1) = 2v(2) + v(3), M2v(1) = 3v(2) + 2v(3) e M3v(1) = 2v(2) + 3v(3). Calcolare lo spettro di M .

2. Calcolare la traccia T = TrB e il determinante D = detB della matrice B = F (A) con F (z) =[sin(πz/2)]/(1 + z) e A = 3 +

√3σ1 + σ2.

3. Sia M la matrice hermitiana 3× 3 il cui polinomio caratteristico e P (z) = −z3 + 3, 5z2 + 12, 5z − 42.Calcolare la traccia α = Tr(1 +M) ed il determinante β = Det(1 +M).

24

4. Siano dati il vettore delle matrici di Pauli ~σ = (σ1, σ2, σ3), il vettore ~a = (3, 4, 0) e la matrice A = ~a ·~σ.

Calcolare gli autovalori µ± e gli autovettori v(±) della matrice M =[1 +A exp(iπA)

]−1

.

5. Sia P il proiettore che proietta su un sottospazio di VN di dimensione n < N , e g(z) = (1 − z)/[(4 +z) cosh z]. Determinare l’operatore G = g(P) e calcolare la sua traccia T = TrG.

6. Si consideri lo spazio delle successioni u = {un}∞n=−∞ col prodotto scalare (u, v) =∑∞

n=−∞ u∗nvn e siadato l’operatore di traslazione T definito da (Tu)n = un+1. a) Calcolare la matrice che rappresenta T ;b) dato il vettore u = {2−|n|}∞n=−∞, calcolare (u, Tu); c) Mostrare che l’operatore T e unitario, cioeche TT † = 1.

7. Trovare due funzioni a(x) e b(x) tali che [a(x)D, b(x)D] = D, dove D = ddx .


1. Poiche Mv(1) = 2v(2) +v(3), Mv(2) = 4v(2) +v(3), Mv(3) = −5v(2) si trova M =

0 0 02 4 −51 1 0

e quindi

i tre autovalori sono λ = 0, λ = 2 + i e λ = 2− i.

2. Gli autovalori di A sono λ1 = 5 e λ2 = 1. Quindi T = F (5) + F (1) = 23 , D = F (5)F (1) = 1

12 .

3. Ricordando che P (z) = Det(M − z 1) si ha β = P (−1). Inoltre si nota che α = Tr(1 + M) =Tr(1) + Tr(M) = 3 + Tr(M) e poiche P (z) = −(z − λ1)(z − λ2)(z − λ3) = −z3 + z2Tr(M) + · · · , si haTr(M) = 3, 5 e quindi α = 6, 5.

4. Gli autovalori α± e gli autovettori v(±) della matrice A sono α± = ±|~a| e v(±) =( a1−ia2±|~a|−a3

)per cui gli

autovalori ed autovettori della matrice M sono µ+ = − 14 , µ− = 1

6 , v(±) =

(3−4i±5

).

5. Gli autovalori di P sono 1 con molteplicita n e 0 con molteplicita N − n per cui G = g(P) = g(1)P +g(0)(1− P) = 1

4 (1− P) e TrG = 14 (N − n).

6. a) Poiche (Tu)n =∑+∞−∞ Tnmum si ha Tnm = δm n+1. b) (u, Tu) =

∑+∞−∞ u∗n un+1 = 1

2

∑+∞0

14n +

2∑+∞

114n = 4

3 . c) (TT †)nk =∑+∞

m=−∞ Tnm(T †)mk =∑+∞

m=−∞ TnmTkm =∑+∞

m=−∞ δm n+1δm k+1 =δnk.

7. [a(x)D , b(x)D] = [a(x)b′(x)− b(x)a′(x)]D. Quindi, per esempio, a(x) = 1, b(x) = x.

Operatori lineari che agiscono su L2[a , b] rappresentati da operatori differenziali. Sia D ≡ d/dx l’operatoreche associa ad una funzione differenziabile f(x) di L2[a , b] la sua derivata, Df(x) = df(x)/dx, e sianoA1(x) , · · · , Ap(x) p funzioni definite nell’intervallo a ≤ x ≤ b, allora un operatore differenziale D di grado p e’definito dall’espressione polinomialeD =

∑pj=0Aj(x)Dj . Operatore di moltiplicazione A(x) su L2[a , b] come

operatore che moltiplica una funzione f(x) ∈ L2[a , b], f(x) → g(x) = A(x) f(x). L’operatore A(x)Dn comeprodotto dell’operatore di moltiplicazione A(x) per l’operatore ”derivata n–esima”. Algebra dei commutatoridi operatori differenziali. Esempi semplici: [D , A(x)] = Ax(x) , [D2 , A(x)] = Axx(x) + 2Ax(x)D.

25/05/07Sottoclassi di operatori normali di interesse applicativo: gli operatori Hermitiani H† = H e gli operatoriunitari U† = U−1. Quindi sia gli operatori Hermitiani che quelli unitari posseggono una base di autovettoriortonormali, inoltre se λ e’ un autovalore di H allora sta sull’asse reale, λ = λ∗, mentre se µ e’ un autovaloredi U allora sta sul cerchio di raggio unitario, |µ| = 1. Soluzione del problema agli autovalori per l’operatore

25

A = x y† ottenuto come prodotto diadico dei due vettori x , y ∈ H nell’ipotesi (y , x) 6= 0. Se lo spazio Hha dimensione n, allora l’operatore A ha l’ autovalore semplice λ1 = (y , x) corrispondente all’ autovettorev1 = x ed ha l’autovalore λ = 0 con molteplicita’ pari ad n− 1, λ2 = λ3 = · · · = λn−1 = 0 i cui autovettoricorrispondenti sono un qualsiasi insieme di n−1 vettori linearmente indipendenti vj , per j = 2 · · · , n−1, tuttiortogonali al vettore y. Soluzione del problema agli autovalori per l’operatore di proiezione P = xy†/(y , x).Poiche’ P 2 = P gli autovalori sono λ1 = 1 e λ2 = λ3 = · · · = λn−1 = 0, l’autovalore 1 con mplteplicita’ 1 el’autovalore 0 con molteplicita’ n−1. Analogamente il proiettore Hermitiano P = xx†/||x||2 ha l’ autovaloresemplice 1, con autovettore v1 = x e l’autovalore 0 con molteplicita’ n−1 e con n−1 autovettori corrispondentiad una base del sottospazio dei vettori ortogonali ad x. Generalizzazione al proiettore P = P1 + · · ·+Pp conPj = xj xj†/||xj ||2 dove i p vettori x1 · · · , xp sono ortogonali tra loro, (xj , xi) = 0 per j 6= i. Lo spettrodi questo proiettore e’ dato dall’autovalore 1 con molteplicita’ p ed autovettori x1 · · · , xp e dall’autovalore0 i cui autovettori sono una qualsiasi base del sottospazio di dimensione n − p ortogonale a tutti i vettorixj . Si dice allora che l’operatore P proietta su un sottospazio di dimensione p. La traccia di un proiettoree’ la dimensione del sottospazio su cui proietta, trP = p. Se p = n allora P = 1. Soluzione del problemaagli autovalori per l’operatore A ≡ λ1P1 + · · ·+ λpPp dove gli operatori di proiezione Pj sono definiti sopra.Verifica che Ak = λk

1P1 + · · ·+ λkpPp e piu’ in generale F (A) = F (λ1)P1 + · · ·+F (λp)Pp se la funzione F (z)

e’ definita per z = λj , j = 1, · · · , p. Dato un operatore normale A agente su uno spazio H di dimensionen, siano λj , j = 1, · · · , n i suoi autovalori e siano vj , j = 1, · · · , n i suoi corrispondenti autovettori,allora si verifica l’uguaglianza A =

∑nj=1 λjPj dove gli operatori Pj sono i proiettori Pj = vj vj† che

proiettano sugli autovettori di A. Questa uguaglianza, nota come rappresentazione spettrale dell’operatoreA, risolve il problema spettrale inverso: noti autovalori ed autovettori dell’operatore A, costruire A. Usodella rappresentazione spettrale di A per trovare l’operatore B = F (A), dove la funzione F (z) ha lo spettrodi A nel suo dominio: B =

∑nj=1 F (λj)Pj . Quindi l’operatore B = F (A) ha gli stessi autovettori vj di

A con autovalori corrispondenti pari a F (λj). Esempi di uso della rappresentazione spettrale: trF (A) =∑nj=1 F (λj) , detF (A) = Πn

j=1F (λj).

28/05/07Operatore integrale A che agisce sulle funzioni che appartengono allo spazio L2[a , b]: A : f(x) → g(x) =∫ b

adyA(x , y) f(y). La funzione A(x, y) che caratterizza l’operatore A si chiama nucleo di A ed e’ definita

nel quadrato a < x < b , a < y < b del piano (x , y). L’insieme degli operatori integrali e’ uno spazio lineare.Se A e B sono operatori integrali con nucleo rispettivamente A(x, y) e B(x, y) allora il nucleo dell’operatoreprodotto C = AB e’ la funzione C(x, y) =

∫ b

adzA(x, z)B(z, y). Se A(x, y) e’ il nucleo dell’operatore A

allora il nucleo dell’operatore complesso coniugato A∗ e’ A∗(x, y), quello dell’operatore trasposto AT e’A(y, x) e quello dell’operatore Hermitiano coniugato A† e’ A∗(y, x). Analogia con l’algebra delle matricin × n. Cenno agli operatori con nucleo V (x, y) di Volterra: V (x, y) = 0 per y > x. Esempi di problemiconnessi ad operatori integrali: l’equazione lineare Af = g per l’incognita f come equazione integrale∫ b

adyA(x , y) f(y) = g(x); l’equazione (1+A)f = g come equazione integrale f(x)+

∫ b

adyA(x , y) f(y) = g(x).

Equazione agli autovalori per un operatore integrale:∫ b

adyA(x , y) v(y) = λv(x). Nucleo di un operatore A

separabile: A(x, y) = a(x) b(y). Esistenza e costruzione della soluzione f(x) dell’ equazione integrale Af = ge (1+A)f = g nel caso di un operatore separabile A(x, y) = a(x) b(y). Soluzione del problema agli autovaloriper l’operatore separabile A(x, y) = a(x) b(y). Definizione di operatore A separabile di rango n: A(x, y) =∑n

i=1 ai(x)bi(y). Traccia di un’ operatore integrale separabile. L’operatore differenziale del secondo ordineL = c2(x)d2/dx2+c1(x)d/dx+c0(x) e l’equazione differenziale del secondo ordine non omogenea c2(x)fxx(x)+c1(x)fx(x) + c0(x)f(x) = g(x) per l’incognita f(x) con termine noto g(x) come equazione Lf = g. Richiamidi teoria delle equazioni differenziali ordinarie lineari del secondo ordine. Soluzioni particolari linearmenteindipendenti f1(x) e f2(x) dell’equazione omogenea associata c2(x)fxx(x) + c1(x)fx(x) + c0(x)f(x) = 0 esoluzione generale dell’equazione non omogenea F (x, a1, a2) = a1f1(x) + a2f2(x) + f0(x) dove f0(x) e’ unaqualunque soluzione dell’equazione non omogenea. Problema di Cauchy o dei valori iniziali associato ad un’equazione differenziale.

26

COMPITO 5

1. Si consideri lo spazio dei polinomi trigonometrici P1(cos θ, sin θ) = C0 +C1 cos θ+S1 sin θ e l’operatorelineare AP (θ) = P (π

2 −θ). Calcolare autovalori e autovettori di A e verificare che A e diagonalizzabile.

2. Sullo stesso spazio considerato nell’esercizio precedente, considerare l’operatore K definito da

(KP )(θ) =12π

∫ 2π

0

dψ cos(θ − ψ)P (ψ)

Calcolare autovettori ed autovalori di K e verificare che e diagonalizzabile.Suggerimento: utilizzare la relazione cos(θ − ψ) = cos θ cosψ + sin θ sinψ.

3. Calcolare autovalori e autovettori dell’operatore BP (θ) = idPdθ sullo spazio dei polinomi trigonometrici

P (θ) = C0 + C1 cos θ + S1 sin θ con il prodotto scalare (P , Q) = (2π)−1∫ 2π

0dθP ∗(θ)Q(θ). Mostrare

che gli autovettori di B sono ortogonali.

4. Dimostrare che l’operatore BP (θ) = idPdθ sullo spazio dei polinomi trigonometrici di grado N P (θ) =

PN (cos θ, sin θ) e Hermitiano.Suggerimento: scrivere la matrice che rappresenta B e verificare che e Hermitiana, oppure utilizzaredirettamente la definizione di operatore aggiunto e integrare per parti.

5. SiaK(x, y) = 3e−x−y[e−px+e−py

]il nucleo dell’operatore integraleK che agisce su L2(0,∞). Calcolare

il valore del parametro positivo p per cui TrK = 1.

6. Dimostrare che l’operatore D = e−V (x)DeV (x) e uguale all’operatore D+V ′(x) dove D = d/dx e V (x)e una funzione arbitraria in C1.

7. Dimostrare che se f(x) e una funzione analitica in x per ∀x ∈ R, si ha, per L non nullo, eLDf(x) =f(x+ L).

8. Utilizzando il risultato e le ipotesi dell’esercizio precedente, dimostrare che l’operatore eDeV (x) e ugualeall’operatore eV (x+1)eD.

9. Siano f1(x), f2(x) e f3(x) tre funzioni ortonormali e siaK(x, y) = f2(x)f1(y)+f1(x)f2(y)+f3(x)f2(y)+f2(x)f3(y) il nucleo dell’operatore K. Siano g1(x), · · · , gn(x), · · · una base del sottospazio ortogonaleal sottospazio generato da f1(x), f2(x) e f3(x). Calcolare autovalori ed autovettori di K.

10. Costruire esplicitamente una base di autovettori di K definito nell’esercizio precedente nel caso in cuilo spazio vettoriale e L2[−π, π] e f1(x) = 1√

2π, f2(x) = 1√

πsin(2x), f3(x) = 1√

πcos(x).

11. Si consideri lo spazio delle successioni u = {un}∞n=−∞ col prodotto scalare (u, v) =∑∞

n=−∞ unvn esiano dati l’operatore di traslazione T definito da (Tu)n = un+1 e l’operatore di “inversione” I definitoda (Iu)n = u−n. a) Mostrare che T e I sono unitari e che TI = IT−1; b) Scrivere le matrici Tnm eInm che rappresentano T e I.

30/05/07SVOLGIMENTO COMPITO 5 del 28/05/07

1. Con la corrispondenza P1(θ) = C0 + C1 cos(θ) + S1 sin(θ) → v = (C0 , C1 , S1) si ha che lo spaziodei polinomi trigonometrici di primo grado e’ isomorfo allo spazio vettoriale di dimensione 3. Conquesto isomorfismo all’operatore A corrisponde la matrice 3 × 3 MA =

( 1 0 00 0 10 1 0

). Poiche’ questa ma-

trice e’ Hermitiana anche l’operatore A e’ Hermitiano e quindi diagonalizzabile. Poiche’ il polinomio

27

caratteristico della matrice MA e’ det(MA − λ1) = (1− λ)(λ2 − 1), gli autovalori sono λ1 = λ2 = 1 eλ3 = −1 mentre i corrispondenti autovettori sono v1 = (1 , 0 , 0) , v2 = (0 , 1 , 1) , v3 = (0 , 1 , −1). Incorrispondenza quindi gli autovalori dell’operatore A sono λ1 , λ2 , λ3 e le autofunzioni sono f1(θ) =1 , f2(θ) = cos(θ) + sin(θ) , f3(θ) = cos(θ)− sin(θ).

2. Poiche’ (KP )(θ) = 12π

∫ 2π

0dψ[cos(θ) cos(ψ)+sin(θ) sin(ψ)][C0+C1 cos(ψ)+S1 sin(ψ)] = 1

2C1 cos(theta)+12S1 sin(θ), si ha che, nell’isomorfismo dell’esercizio precedente, la matrice 3 × 3 MK che corrispondeall’operatore K e’ diagonale, MK =diag(0 , 1

2 ,12 ). Quindi l’operatore K e’ diagonalizzabile ed ha

gli autovalori µ1 = 0 , µ2 = µ3 = 12 le cui corrispondenti autofunzioni sono g1(θ) = 1 , g2(θ) =

cos(θ) , g3(θ) = sin(θ).

3. Con l’isomorfismo specificato nel primo esercizio, si trova che all’ operatore B = i ddθ corrisponde la

matrice 3×3 MB =( 0 0 0

0 0 i0 −i 0

)il cui polinomio caratteristico e’ det(MB−λ1) = −λ(λ2−1). Gli autovalori

sono allora ν1 = 0 , ν2 = 1 , ν3 = −1 ed i corrispondenti autovettori sono u1 = (1 , 0 , 0) , u2 =(0 , 1 , −i) , u3 = (0 , 1 , i). Quindi gli autovalori dell’operatore B sono ν1 , ν2 , ν3 e le autofunzionisono h1(θ) = 1 , h2(θ) = cos(θ)− i sin(θ) = exp(−iθ) , h3(θ) = cos(θ) + i sin(θ) = exp(iθ). Notare chequesto risultato si puo’ ottenere anche risolvendo l’equazione differenziale BP1(θ) = idP1(θ)

dθ = λP1(θ)nello spazio dei polinomi trigonometrici di primo grado P1(θ) = C0 + C1 cos(θ) + S1 sin(θ).

4. Tenendo presente la definizione di prodotto scalare (Q , P ) = 12π

∫ 2π

0dθQ∗(θ)P (θ) di due polinomi

trigonometrici di gradoN , conviene usare la definizione: l’operatore B = i ddθ e’ Hermitiano se, per

ogni coppia di polinomi trigonometrici Q(θ) e P (θ), si ha (Q , BP ) = (BQ , P ). Quindi si trova(Q , BP )−(BQ , P ) = i

2π

∫ 2π

0dθ d

dθ [Q∗(θ)P (θ)] = i2π [Q∗(2π)P (2π)−Q∗(0)P (0)] = 0 perche’ il generico

polinomio trigonometrico P (θ) e’ una funzione periodica, P (2π) = P (0).

5. L’operatore K e separabile di rango 2, K(x, y) = a(x) b(y) + b(x) a(y) con a(x) = 3 exp[−(1 +p)x] , b(x) = exp(−x). L’equazione agli autovalori Kf = λf per λ 6= 0 diventa l’equazione agliautovalori per la matrice 2× 2

( (b,a) (b,b)(a,a) (a,b)

)e quindi TrK = 2(a, b) = 6

2+p che implica p = 4.

6. Applicando l’operatoreD ad una generica funzione differenziabile f(x) si haDf(x) = e−V (x)DeV (x)f(x) =e−V (x)[eV (x)f ′(x) + V ′(x)eV (x)f(x)] = f ′(x) + V ′(x)f(x) = (D + V ′(x)) f(x), c.v.d.

7. Si ha eLDf =∑∞

n=0Ln

n! Dnf(x) =

∑∞n=0

Ln

n! f(n)(x). L’ultima espressione e lo sviluppo di Taylor di

f di centro x e raggio L, che converge per L 6= 0, essendo f(x) analitica in tutto l’asse reale, e valef(x+ L), c.v.d.

8. Si ha, per una qualunque funzione di prova f(x), eD(eV (x)f(x)) = eV (x+1)f(x+ 1) = eV (x+1)eDf(x),da cui eDeV (x) = eV (x+1)eD, c.v.d.

9. L’operatore K e separabile di rango 3. L’equazione agli autovalori Ku = λu ha le soluzioni: dueautovalori semplici λ± = ±

√2 con autofunzioni u(±) = f1(x)±

√2f2(x)+f3(x), l’autovalore λ = 0 con

molteplicita’ infinita e autofunzioni u0(x) = f1(x)− f3(x) e le funzioni di base gn(x) per n = 1, 2, · · · .

10. Una base ortonormale (quella di Fourier) di L2[−π, π] e data da 1√2π

, 1√π

sin(nx), 1√π

cos(nx) per

n = 1, 2, · · · . Quindi la base delle autofunzioni di K e u0(x) = 1√2π− 1√

πcos(x), u(±) = 1√

2π±√

2π sin(2x) + 1√

πcos(x), mentre le funzioni gn(x) sono le funzioni c(n)(x) = 1√

πcos(nx) per n =

2, 3, 4, · · · , s(n)(x) = 1√π

sin(nx) per n = 1, 3, 4, · · · .

11. a) Per mostrare che T e I sono unitari e sufficiente mostrare che conservano il prodotto scalare((u, T †Tv) = (Tu, Tv) = (u, v)). Si ha (Tu, Tv) =

∑∞n=−∞ un+1vn+1 =

∑∞m=−∞ umvm = (u, v)

(porre m = n + 1) e (Iu, Iv) =∑∞

n=−∞ u−nv−n =∑∞

m=−∞ umvm = (u, v) (porre m = −n). Inoltre,

28

poiche si ha (TIu)n = u−n−1, applicando due volte TI si ottiene (TITIu)n = u−(−n−1)−1 = un percui TITI = 1, il che implica T−1 = ITI. Poiche I2 = 1 ne segue IT−1 = TI c.v.d. b) Tnm = δm n+1,Inm = δ−n m.

01/06/07Definizione di Wronskiano W (x) di due funzioni differenziabili f1(x) e f2(x) : W (x) = f1(x) f2x(x) −f2(x) f1x(x). Equazione del secondo ordine non singolare e riduzione al caso c2(x) = 1. Dimostrazione delteorema del Wronskiano per l’equazione omogenea del secondo ordine fxx(x) + c1(x)fx(x) + c0(x)f(x) =0. Costruzione esplicita per quadrature della soluzione generale dell’equazione differenziale del secondoordine non omogenea fxx(x) + c1(x)fx(x) + c0(x)f(x) = g(x) a partire dalla conoscenza di una soluzioneparticolare non nulla f1(x) dell’equazione omogenea associata in due passi: i) uso del teorema del Wronskianoper costruire esplicitamente una seconda soluzione f2(x) dell’equazione omogenea associata linearmenteindipendente da f1(x), ii) costruzione di una soluzione particolare f0(x) dell’equazione non omogenea con ilmetodo della ”variazione delle costanti”. Problemi associati ad un’equazione differenziale del secondo ordinenell’intervallo a ≤ x ≤ b:

• Problema dei dati iniziali: dati tre numeri f0, f1 ed x0 ∈ [a , b], trovare la soluzione f(x) tale chef(x0) = f0 , fx(x0) = f1

• Problema delle condizioni al contorno di Dirichelet: trovare la soluzione f(x) tale che f(a) = f(b) = 0

• Problema delle condizioni al contorno di Neumann: trovare la soluzione f(x) tale che fx(a) = fx(b) = 0

• Problema delle condizioni al contorno di periodicita’: trovare la soluzione f(x) tale che f(a) = f(b) efx(a) = fx(b)

Richiami delle regole di calcolo algebrico di prodotti e commutatori tra operatori differenziali. L’operatored/dx : f(x) → g(x) = df(x)/dx = fx(x) e l’operatore di moltiplicazione V : f(x) → g(x) = V (x)f(x).Calcolo della funzione [d/dx , V (x)]f(x) = d[V (x)f(x)]/dx − V (x)df(x)/dx = Vx(x)f(x) valido per ognifunzione differenziabile f(x) per mostrare che l’operatore [d/dx , V (x) e’ l’operatore di moltiplicazione Vx(x):[d/dx , V (x)] = Vx(x). Analogamente si mostra che [d2/dx2 , V (x)] = 2Vx(x)d/dx + Vxx(x). Esempio diapplicazione: d/dxV (x) = V (x)d/dx + [d/dx , V (x)] = V (x)d/dx + Vx(x). L’operatore differenziale diSturm–Liouville L = −d/dxp(x)d/dx+ q(x) dove p(x) e q(x) sono operatori di moltiplicazione. Calcolo deicoefficienti c0(x) , c1(x) , c2(x) dell’ operatore L = −d/dxp(x)d/dx + q(x) nella forma L = c2(x)d2/dx2 +c1(x)d/dx+ c0(x).

COMPITO 6

1. Sia P il proiettore che proietta lungo il vettore v = (1 , i , 1) e Q il proiettore che proietta lungo ilvettore w = (−1 , i , 0). Calcolare la matrice 3X3 A = cos[π( 3

2P −Q)].

2. Sapendo che B e’ una matrice 3X3 e che det(2z1 + 3B) = 8z3 + 24z2 + 6z + 9, calcolare T =tr(B) eD =det(B).

3. Sia K l’operatore integrale che agisce su L2(−1, 1) il cui nucleo e’ K(x, y) = x + 3y. Determinare gliautovalori di K e almeno 3 autofunzioni linearmente indipendenti.

4. Calcolare la soluzione g(x) dell’equazione integraleg(x) + 2

∫ π

−πdy cos(x− y)g(y) = 1 + sin(x).

5. Sapendo che gli autovalori λ1 e λ2 ed i corrispondenti autovettori v(1) e v(2) della matrice 2X2 Msonoλ1 = 2, λ2 = −1, v(1) = (1, i), v(2) = (i, 1), calcolare gli elementi di matrice Ajk della matrice A =(2 +M)−1 exp(iπM).

29

6. Calcolare autovalori ed autovettori dell’operatore integrale il cui nucleo e dato da K(x, y) = x + y inL2(−1, 1).

7. Trovare la soluzione dell’equazione F (x) +∫ 1

−1dy (x+ y)2F (y) = 7x.

8. Dati i vettori u = (1, 1, i) e v = (1,−1, 1) e l’operatore A = uv†, calcolare traccia e determinante diB = (1 +A) cosh(πA).

9. Calcolare la soluzione F (x) dell’equazione integrale F (x) +∫ π

−πdy sin(x− 2y)F (y) = 3 sin(2x).

10. Data la matrice 2 × 2 T (x) = x + 14 (σ1 − σ2), determinare i valori reali di x per i quali la serie

S(x) =∑∞

n=11n [T (x)]n converge e scrivere la rappresentazione spettrale di S(x).

11. Siano dati i vettori (colonna) a = (1, 0, 0, 1), b = (1, 0, i, 0), c = (−1, 0, i, 0) e d = (−1, 0, 0, 1) e lamatrice A = ab† + cd†. Calcolare traccia e determinante di B = sin(π cosh 2πiA).

12. Trovare la rappresentazione spettrale della matrice F = (1−M)(1 +M)−1 dove M =( 0 −1 1−1 0 11 1 0

).


1. Poiche’ lo spazio vettoriale ha dimensione 3 ed i vettori v e w sono ortogonali, il proiettore lungola terza direzione ortogonale sia a v che a w e’ 1 − P − Q. D’altra parte l’operatore R = 3

2P − Qe’ gia scritto nella sua rappresentazione spettrale con autovalori ρ1 = 3

2 lungo v, ρ2 = −1 lungow e ρ3 = 0 lungo la terza direzione. Quindi la rappresentazione spettrale di A e’ A = cos(πR) =

cos(πρ1)P + cos(πρ2)Q+ cos(πρ3)(1−P −Q) = 1−P − 2Q e, poiche’ P = 13

( 1i1

)(1 −i 1

)= 1

3

( 1 −i 1i 1 i1 −i 1

)e Q = 1

2

(−1i0

)(−1 −i 0

)= 1

2

( 1 i 0−i 1 00 0 0

), si ottiene A = − 1

3

( 1 2i 1−2i 1 i1 −i −2

).

2. Se P (λ) =det(B−λ1) e’ il polinomio caratteristico della matrice B, si osserva che P (λ) = 127det(−3λ1+

3B) = 127 [8(− 3

2λ)3 + 24(− 32λ)2 + 6(− 3

2λ) + 9] = −λ3 + 2λ2 − 13λ + 1

3 . Poiche’ la traccia T di B e’ ilcoefficiente di λ2 di P (λ) e il determinante D e’ P (0), si ottiene T = 2 , D = 1

3 .

3. L’equazione agli autovalori Kf =∫ 1

−1dyK(x, y)f(y) = x

∫ 1

−1dyf(y) + 3

∫ 1

−1dyyf(y) = λf(x) mostra

che. se λ 6= 0. allora l’autofunzione f(x) ha la forma f(x) = c0 + c1x. Inserendo questa espressionedi f(x) nell’equazione agli autovalori si ottengono le equazioni 2c0 = λc1 e 2c1 = λc0 che ammettonosoluzione solo se λ = ±2. Gli unici autovalori di K diversi da zero sono quindi λ1 = 2 con autofunzionef1(x) = 1 + x e λ2 = −2 con autofunzione f2(x) = 1 − x. L’autovalore nullo λ = 0 e’ infinitamentedegenere ed ogni funzione ortogonale sia a f1(x) che ad f2(x) e’ un’autofunzione corrispondente. Unascelta semplice di una di queste autofunzioni e’ h(x) = 1 + αx2 ed, imponendo la condizione diortogonalita’ (f0 , h) = (f1 , h) = 0 si ottiene una terza autofunzione linearmente indipendente h(x) =1− 3x2.

4. L’equazione integrale g(x) = 1 + sin(x)− 2 cos(x)∫ π

−πdy cos(y)g(y)− 2 sin(x)

∫ π

−πdy sin(y)g(y) mostra

che la soluzione g(x) ha la forma g(x) = 1 + C cos(x) + S sin(x) che implica C = 0 e S = 1/(1 + 2π)per cui la soluzione e’ g(x) = 1 + 1

1+2π sin(x) .

5. Poiche’ la rappresentazione spettrale della matrice M e’ M = λ1v(1)v(1)†

||v(1)||2 + λ2v(2)v(2)†

||v(2)||2 e A = F (M) con

F (z) = exp(iπz)/(2+z), si ha che la rappresentazione spettrale della matrice A e’ A = F (λ1)v(1)v(1)†

||v(1)||2 +

F (λ2)v(2)v(2)†

||v(2)||2 = 18

(1i

)(1 −i

)− 1

2

(i1

)(−i 1

)= − 1

8

(3 5i−5i 3

).

30

6. Ricordando che P0(x) = 1 e P1(x) = x sono i primi due polinomi di Legendre, si ha che l’operatoreK ha la forma Kf = (P1, f) + x(P0, f) = (P1, f)P0 + (P1, f)P1. Quindi tutti i polinomi di LegendrePn(x) con n ≥ 2 sono autofunzioni di K con autovalore nullo. Le due autofunzioni corrispondenti agliautovalori non nulli sono combinazioni lineari di P0 e P1. La matrice M che rappresenta K in questosottospazio e data da M =

(0 2/32 0

)i cui autovalori sono λ± = ±2/

√3. Le autofunzioni corrispondenti

sono f±(x) = P0(x)±√

3P1(x) = 1±√

3x.

7. Si ha F (x)+x2(1, F )+2x(x, F )+(x2, F ) = 7x. Si vede quindi che F (x) deve essere una combinazionelineare di 1, x, x2. Cerchiamo quindi F della forma F (x) = a+bx+cx2. Sostituendo questa espressionenella equazione e calcolando i prodotti scalari si ottiene a + bx + cx2 = 7x −

(23a+ 2

5c)− 2x

(23b)−

x2(2a+ 2

3c). Uguagliando a zero i coefficienti di 1, x, x2 si ottiene a = c = 0 e b = 3.

8. Due autovalori di A sono nulli e corrispondono al sottospazio ortogonale a v, mentre il terzo autovaloree (v, u) = i e corrisponde all’autovettore u. Due autovalori di B sono uguali a 1 e il terzo e dato da(1 + i) cosh(πi) = −1− i. Quindi TrB = 1− i e detB = −1− i.

9. Sviluppando l’integrale l’equazione diventa F (x)− cosx∫ π

−πdy sin 2yF (y)+ sinx

∫ π

−πdy cos 2yF (y) =

3 sin 2x, dunque la soluzione e della forma F (x) = a sinx+b cosx+c sin 2x. Sostituendo nell’equazionee calcolando i prodotti scalari si ottiene a = 0, b = 3π e c = 3.

10. Gli autovalori di T (x) sono dati da λ± = x ± 12√

2. Gli autovettori normalizzati corrispondenti sono

v± =(

1+i2 ,± 1√

2

).

11. Si ha A2 = ab†ab† + ab†cd† + cd†ab† + cd†cd† = ab† + cd† = A poiche b†a = d†c = 1 e b†c = d†a = 0.Se A2 = A (A e un proiettore) si ha B = f(A) = f(0) + [f(1) − f(0)]A e quindi B = 0, da cuiTrB = detB = 0.

12. Gli autovalori di M sono λ1 = −2 e λ2 = λ3 = 1. Gli autovalori λ2 e λ3 non contribuiscono alla rappre-sentazione spettrale di F perche corrispondono all’ autovalore nullo di F . Quindi F = 1−λ1

1+λ1v(1)v(1)† =

−3v(1)v(1)†. E’ sufficiente quindi calcolare l’autovettore v(1) = 1√3(1, 1,−1).

06/06/07II COMPITO D’ESONERO 06/06/07


1. Sia H = 3Q − P un operatore che agisce su uno spazio di dimensione 4, dove Q e P sono proiettoriche proiettano rispettivamente sul vettore u e sul vettore z ortogonali tra loro, (u , z) = 0. Sia inoltreG = (1 +H2)−1. Calcolare la traccia g =trG.......,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,........................................[ 10 ]

2. Sia A l’operatore integrale che agisce su L2[0 , +∞] il cui nucleo e’ la funzione A(x, y) = 2 exp[−(x+y + py)]. Determinare gli autovalori di A ed i valori del parametro p per i quali l’operatore A e’ unproiettore................................................................[ 10 ]

3. Sia B la matrice Hermitiana 3 × 3 che ha l’autovalore λ1 = 6 corrispondente all’autovettore v1 =(1 , 1 , i) e l’autovalore λ2 = −2 corrispondente all’autovettore v2 = (1 , −1 , 0). Sapendo che trB = 16calcolare la matrice B......................................[ 10 ]

31

4. Dimostrare che, se l’operatore lineare R e’ un proiettore Hermitiano, allora sin(π2R) + cos(π

2R) =1..............................[ 30 ]


08/06/07SOLUZIONI DEL II COMPITO D’ESONERO 06/06/07

1. Sia H = 3Q − P un operatore che agisce su uno spazio di dimensione 4, dove Q e P sono proiettoriche proiettano rispettivamente sul vettore u e sul vettore z ortogonali tra loro, (u , z) = 0. Sia inoltreG = (1 +H2)−1. Calcolare la traccia g =trG.

SVOLGIMENTO: Poiche’ H = 3Q − P e’ la rappresentzione spettrale di H, H ha gli autovalorisemplici λ1 = 3 , λ2 = −1 e l’autovalore doppio λ3 = 0. Quindi l’operatore G, che e’ funzione di H, haautovalori semplici 1/10 e 1/2 e l’autovalore doppio 1 per cui la sua traccia e’ g = 1/10+1/2+2 = 13/5.

2. Sia A l’operatore integrale che agisce su L2[0 , +∞] il cui nucleo e’ la funzione A(x, y) = 2 exp[−(x+y + py)]. Determinare gli autovalori di A ed i valori del parametro p per i quali l’operatore A e’ unproiettore

SVOLGIMENTO: L’equazione agli autovalori∫ +∞

0

A(x, y)v(y) = 2 exp(−x)∫ +∞

0

exp[−y(1 + p)]v(y) = λv(x)

mostra che l’operatore A ha l’autovetlore v(x) = exp(−x) con autovalore λ = 2∫ +∞0

exp[−y(1 +p)]v(y) =

∫ +∞0

exp[−y(2 + p)] = 2/(2 + p). L’operatore A ha inoltre l’autovalore λ = 0 con molteplic-ita’ infinita le cui autofunzioni corrispondenti sono tutte le funzioni ortogonali alla funzione f(x) =exp[−x(1+p)]. Poiche’ un proiettore ha solo gli autovalori 0 e 1, affinche’ l’operatore A sia un proiettoree’ necessario e sufficiente che 2/(2 + p) = 1 ovvero che p = 0.

3. Sia B la matrice Hermitiana 3 × 3 che ha l’autovalore λ1 = 6 corrispondente all’autovettore v1 =(1 , 1 , i) e l’autovalore λ2 = −2 corrispondente all’autovettore v2 = (1 , −1 , 0). Sapendo che trB = 16calcolare la matrice B.

SVOLGIMENTO: Poiche’ la matrice B ha tre autovalori, si ha λ1 = 6 , λ2 = −2 , λ3 = 16−6+2 = 12,Poiche’ inoltre la matrice B e’ Hermitiana il suo autovettore v3 corrispondente all’auotovalore λ3 deveessere ortogonale sia a v1 che a v2 per cui si trova v3 = (1 , 1 , −2i). Quindi la matrice B ha larappresentazione spettrale B = λ1

v1v1†

||v1||2 + λ2v2v2†

||v2||2 + λ3v3v3†

||v3||2 dalla quale si ottiene

B =

3 5 2i5 3 2i−2i −2i 10

4. Dimostrare che, se l’operatore lineare R e’ un proiettore Hermitiano, allora sin(π

2R) + cos(π2R) = 1.

SVOLGIMENTO: Poiche’ la rappresentazione spettrale del proiettore R e’ R = λ1R + λ2(1 − R)con λ1 = 1 e λ2 = 0, una funzione F (R) del proiettore ha la rappresentazione spettrale F (R) =F (λ1)R + F (λ2)(1− R) = F (1)R + F (0)(1− R). Nel caso del teorema F (z) = sin(π

2 z) + cos(π2 z) che

comporta F (0) = F (1) = 1 e quindi la tesi F (R) = 1.

32

11/06/07Definizione di operatore lineare compatto, limitato e non limitato agente su uno spazio di Hilbert. Dominio didefinizione DA di un operatore lineare A. Operatore con dominio di definizione ovunque denso nello spazio diHilbert. Esempio di operatore con dominio di definizione che non coincide con l’intero spazio H = L2[−1 , 1]ma e’ ovunque denso in L2[−1 , 1]: l’operatore di moltiplicazione V (x) = 1/|x|. Definizione di uguaglianza tradue operatori A e B: A = B se DA = DB e se, per ogni vettore u ∈ DA si ha Au = Bu. Defizione di operatoreHermitiano coniugato A† dell’operatore A e del suo dominio di definizione DA† . Definizione di operatoreHermitiano A: (u , Av) = (Au , v) per ogni v ∈ DA ed ogni u ∈ DA† . Definizione di operatore autoaggiuntoA: A e’ autoaggiunto se A e’ Hermitiano e DA = DA† . Quindi se un operatore e’ autoaggiunto e’ ancheHermitiano. Esempio: sia l’operatore su L2[a , b]D = −id/dx conDD = {f(x) : f(a) = f(b) = 0} (condizionidi Dirichelet), dimostrazione che D e’ Hermitiano ma non autoaggiunto. Altro esempio: sia l’operatore suL2[a , b] D = −id/dx con DD = {f(x) : f(a) = f(b)} (condizioni di periodicita’), dimostrazione che De’ autoaggiunto. Altro esempio: dimostrazione che l’operatore D2 = −d2/dx2 su L2[a , b] e’ autoaggiuntocon il dominio di definizione dato sia dalle condizioni di Dirichelet f(a) = f(b) = 0 che dalle condizionidi Neumann fx(a) = fx(b) = 0 e di periodicita’ f(a) = f(b) , fx(a) = fx(b). Esercizio: dimostrare chel’operatore di Sturm–Liouville L = DpD + q e’ autoaggiunto con ciascuno dei tre domini di definizionedefiniti sopra e con la condizione di realta’ p∗(x) = p(x) , q∗(x) = q(x).

13/06/07L’operatore di Sturm–Liouville L = DpD + q in L2[a , b]. Problemi di Sturm–Liouville regolari e singolari.Uso della soluzione del problema agli autovalori per l’operatore di Sturm–Liouville per ottenere una baseortonormale dello spazio L2[a , b] : Lfn(x) = λnfn(x) , (fn , fm) =

∫ b

adxf∗n(x) fm(x) = δnm. Esercizio:

costruzione esplicita di una base ortonormale {gn(y)}∞n=0 in L2[c , d] a partire dalla conoscenza di una baseortonormale {fn(x)}∞n=0 in L2[a , b]:

gn(y) =

√(b− a)(d− c)

fn(x) , x =(b− a)(d− c)

(y − c) + a .

Il problema singolare associato all’operatore di Sturm–Liouville L = DpD + q, con la condizione chel’autofunzione fn(x) sia limitata, nei tre casi seguenti:

1. Legendre: p(x) = 1−x2 , q(x) = 0, nello spazio L2[−1 , 1]. Le autofunzioni sono fn(x) =√n+ 1

2Pn(x),dove le funzioni Pn(x) sono i polinomi di Legendre e gli autovalori λn = n(n + 1) , n = 0 , 1 , · · ·sono tutti semplici. Proprieta’ dei polinomi di Legendre: il grado di Pn(x) e’ n, realta’, P ∗n(x) =Pn(x), parita’, Pn(−x) = (−1)nPn(x), normalizzazione, Pn(1) = 1, ortogonalita’,

∫ 1

−1dxPn(x)Pm(x) =

22n+1δnm, equazione di ricorrenza, (n+1)Pn+1(x) = x(2n+1)Pn(x)−nPn−1(x) con P0(x) = 1 , P1(x) =

x, formula di Rodriguez, Pn(x) = (−1)n

2nn!dn

dxn (1− x2)n .

2. Laguerre: p(x) = x , q(x) = − 12 (1 + x), nello spazio L2[0 , +∞]. Le autofunzioni sono fn(x) =

exp(− 12x)Ln(x), dove le funzioni Ln(x) sono i polinomi di Laguerre e gli autovalori λn = n , n =

0 , 1 , · · · sono tutti semplici. Proprieta’ dei polinomi di Laguerre: il grado di Ln(x) e’ n, real-ta’, L∗n(x) = Ln(x), normalizzazione, Ln(0) = 1, ortogonalita’,

∫ +∞0

dx exp(−x)Ln(x)Lm(x) = δnm,equazione di ricorrenza, (n+1)Ln+1(x) = (2n+1−x)Ln(x)−nLn−1(x) con L0(x) = 1 , L1(x) = 1−x,formula di Rodriguez, Ln(x) = exp(x)

n!dn

dxn [xn exp(−x)] .

3. Hermite: p(x) = 1 , q(x) = x2, nello spazio L2[−∞ , +∞]. Le autofunzioni sonofn(x) = 1√√

π2nn!exp(−x2

2 )Hn(x), dove le funzioni Hn(x) sono i polinomi di Hermite e gli autovalori

λn = 2n+1 , n = 0 , 1 , · · · sono tutti semplici. Proprieta’ dei polinomi di Hermite: il grado di Hn(x) e’n, realta’,H∗

n(x) = Hn(x), parita’,Hn(−x) = (−1)nHn(x), ortogonalita’,∫ +∞−∞ dx exp(−x2)Hn(x)Hm(x) =

33

√π2nn!δnm, equazione di ricorrenza, Hn+1(x) = 2xHn(x) − 2nHn−1(x) con H0(x) = 1 , H1(x) = 2x,

formula di Rodriguez, Hn(x) = (−1)n exp(x2) dn

dxn exp(−x2) .

Conclusione: i tre problemi di Sturm–Liouville precedenti hanno portato alla costruzione di una base ortonor-male negli spazi L2[−1 , 1], L2[0 , +∞] e L2[−∞ , +∞] i cui vettori sono stati espressi tramite rispettivamentei polinomi di Legendre, Laguerre ed Hermite. Base di Fourier dello spazio L2[−π , π] come insieme delleautofunzioni dell’operatore di Sturm–Liouville regolare L = DpD + q con p(x) = 1 , q(x) = 0 nel dominiodefinito dalle condizioni di periodicita’ : DL = {f(x) : f(−π) = f(π) , fx(−π) = fx(π)}. Calcolo esplicitodegli autovalori λn = n2 , n = · · · ,−1 , 0 , 1 · · · , di cui λ0 e’ semplice e tutti gli altri sono doppi, e delleautofunzioni C0(x) = 1√

2πcorrispondente all’autovalore λ0 e Cn(x) = 1√

πcos(nx) e Sn(x) = 1√

πsin(nx), per

n 6= 0, corrispondenti all’autovalore λn. Proprieta’ di ortonormalita’ di questa base:

(Cn , Cm) =∫ π

−π

dxCn(x)Cm(x) = δnm , (Sn , Sm) =∫ π

−π

dxSn(x)Sm(x) = δnm ,

(Cn , Sm) =∫ π

−π

dxCn(x)Sm(x) = 0 .

15/06/07Sviluppo di una funzione f(x) ∈ L2[−π , π] in serie di Fourier: f(x) =

∑∞n=0 γnCn(x) +

∑∞n=1 σnSn(x).

Calcolo dei coefficienti dello sviluppo:γ0 = 1√

2π

∫ π

−πdxf(x) , γn = 1√

π

∫ π

−πdx cos(nx)f(x) , σn = 1√

π

∫ π

−πdx sin(nx)f(x) , n ≥ 1. Completezza

della base di Fourier. Relazione di Parseval: per ogni coppia di funzioni f(x) e f(x) in L2[−π , π] si ha(f , f) =

∫ π

−πdxf∗(x)f(x) =

∑∞n=0 γ

∗nγn +

∑∞n=1 σ

∗nσn. Convergenza forte della serie di Fourier. Cenni sulla

convergenza puntuale della serie di Fourier (teorema di Fejer e covergenza nei punti di discontinuita’ dellaf(x) e negli estremi dell’ intervallo x = ±π). Periodicita’ della serie di Fourier. Proprieta’ dei coefficienti diFourier γn , σn per parita’ e per realta’ della funzione f(x). Convenienza della base di Fourier equivalenteφn(x) = 1√

2πexp(inx) pern = 0 , n = ±1 , n = ±2 , · · · . Espansione in questa base f(x) =

∑+∞−∞ fnφn(x) con

fn = 1√2π

∫ π

−πdx exp(−inx)f(x). Relazione di Parseval: (f , f) =

∫ π

−πdxf∗(x)f(x) =

∑+∞−∞ f∗nfn. Proprieta’

dei coefficienti di Fourier fn per parita’ e per realta’ della funzione f(x). Relazione tra i coefficienti γn , σn

ed i coefficienti fn di una funzione f(x). Base ortonormale di Fourier in L2[−L , L] con L reale positivoarbitrario: φn(x) = 1√

2Lexp(i π

Lnx) pern = 0 , n = ±1 , n = ±2 , · · · , (φn , φm) = δnm. Relazione tra f(x)

ed i suoi coefficienti di Fourier fn: f(x) = 1√2L

∑+∞−∞ fn exp(i π

Lnx) , fn = 1√2L

∫ L

−Ldx exp(−i π

Lnx)f(x).

COMPITO 7

1. L’oscillatore forzato x(t) soddisfa l’equazione x(t) + x(t) = a sin(ωt). Calcolarne la soluzione generale.

2. Sia ~σ = (σ1, σ2, σ3) il vettore delle matrici di Pauli e ~ω = (2, 1,−2). Calcolare il vettore v(t) =(v1(t), v2(t)) che risolve l’equazione differenziale dv

dt = i~ω · ~σv con la condizione iniziale v(0) = (1, 0).

3. Calcolare la soluzione generale dell’equazione d2fdx2 + 1

xdfdx = 3.

4. Calcolare la soluzione generale dell’equazione d2fdx2 − 2x

1+x2dfdx = 1.

5. Dati gli operatori differenziali D1 = ddx − tanhx e D2 = d

dx − 1, calcolare la soluzione generaledell’equazione D1D2f(x) = 0.

Operatori lineari

6. Trovare la soluzione dell’equazione F (x) +∫ 1

−1dy (x+ y)2F (y) = 7x.

34

7. Dati gli operatori H1 = −D2 + ex e H2 = −D2 − e−x trovare tutte le funzioni f ∈ L2(−1, 1) tali che[H1,H2]f = 0.

8. Espandere f(x) = x2e−x/2 nella base di Laguerre f (n)(x) = e−x/2Ln(x).

9. Trovare autovalori ed autofunzioni di A = −i ddx + sinx in L2(−π, π) con f(−π) = f(π).

10. Trovare autovalori ed autofunzioni di B = −i ddx + x2 in L2(−π, π) con f(−π) = f(π).

Trasformate di Fourier

Calcolare la trasformata di Fourier f(k) =∫∞−∞

dx√2πf(x)e−ikx delle seguenti funzioni:

11. f(x) = exp(− x2/L2

). Calcolare inoltre 〈x〉, 〈x2〉, 〈k〉, 〈k2〉 e studiare l’andamento di 〈x2〉〈k2〉 in

funzione di L (usare le definizioni 〈xn〉 = (∫∞−∞ dxxn |f(x)|2)/(

∫∞−∞ dx |f(x)|2),

〈kn〉 = (∫∞−∞ dk kn |f(k)|2)/(

∫∞−∞ dk |f(k)|2).

12. f(x) = exp(− |x|/L

).

13. f(x) =(1− |x|

L

)per x ∈ [−L,L] e f(x) = 0 altrove.

14. f1(x) = x exp(− x2/L2

)e f2(x) = x2 exp

(− x2/L2

)(suggerimento: usare xe−ikx = i d

dke−ikx).


1. La soluzione generale dell’equazione omogenea e x0(t) = c1 sin t+ c2 cos t. Una soluzione particolare sicerca della forma xp(t) = A sinωt; sostituendo nell’equazione si trova A = a

1−ω2 . Quindi, per |ω| 6= 1,la soluzione generale e x(t) = c1 sin t + c2 cos t + a

1−ω2 sinωt. Per |ω| = 1 l’ espressione precedentediverge e una soluzione particolare si cerca nella forma xp(t) = At cos t. Sostituendo si trova A = −a/2e la soluzione generale e x(t) = c1 sin t+ c2 cos t− a

2 t cos t.

2. Gli autovalori ed autovettori della matrice ~ω ·~σ = ω1σ1 +ω2σ2 +ω3σ3 sono (vedi Esercitazione IV, eser-cizio 5) ω± = ±|~ω| e v(±) =

( ω1−iω2±|~ω|−ω3

). Sviluppando la soluzione v(t) nella base ortogonale {v(+), v(−)}

si ha v(t) = v+(t)v(+)+v−(t)v(−) da cui l’equazione diventa ddtv+(t)v(+)+ d

dtv−(t)v(−) = iω+v+(t)v(+)+iω−v−(t)v(−) e quindi d

dtv±(t) = ±i|~ω|v±(t) la cui soluzione generale e v±(t) = exp(±i|~ω|t)v±(0).Ponendo ~ω = (2, 1,−2) e v+(0)v(+) + v−(0)v(−) = (1, 0) si ottiene v1(t) = cos(3t) − 2i

3 sin(3t) ev2(t) = − 1

3 (1− 2i) sin(3t).

3. Ponendo g = f ′ si ottiene per g l’ equazione del primo ordine g′ + g/x = 3 , la cui soluzione generale eg(x) = c1/x+ 3x/2. Dunque si ha f(x) = c2 +

∫ xdx′ g(x′) = c2 + c1 log x+ 3x2/4.

4. Ponendo g = f ′ si ottiene per g l’ equazione del primo ordine g′ − 2x1+x2 g = 1, la cui soluzione generale

e g(x) = c1(1 + x2) + (1 + x2) arctanx. Dunque si ha f(x) = c2 +∫ x

dx′ g(x′) = c2 + c1(x+ x3/3) +∫ xdx′ (1 + x′2) arctanx′. L’ultimo integrale si fa per parti, f(x) = c2 + c1(x + x3

3 ) arctanx − x2

6 −13 log(1 + x2).

5. Ponendo g(x) = D2f(x) si ottiene per g(x) l’ equazione del primo ordine g′ − g tanhx = 0 la cuisoluzione generale e g(x) = c1 coshx. L’equazione per f e f ′ − f = g. Una soluzione dell’omogenea ef(x) = ex. Una soluzione particolare si cerca nella forma f(x) = α(x)ex per cui α′(x) = e−xg(x). Siottiene quindi f(x) = ex[c2 +

∫ xdx′ e−x′g(x′)] = c1(xex − 1

2e−x) + c2e

x.

35

Operatori lineari

Utilizziamo come prodotto scalare in L2[−1, 1] l’espressione (f, g) =∫ 1

−1dxf(x)g(x).

6. Si ha F (x)+x2(1, F )+2x(x, F )+(x2, F ) = 7x. Si vede quindi che F (x) deve essere una combinazionelineare di 1, x, x2. Cerchiamo quindi F della forma F (x) = a+bx+cx2. Sostituendo questa espressionenella equazione e calcolando i prodotti scalari si ottiene a + bx + cx2 = 7x −

(23a+ 2

5c)− 2x

(23b)−

x2(2a+ 2

3c). Uguagliando a zero i coefficienti di 1, x, x2 si ottiene a = c = 0 e b = 3.

7. Si ha [H1,H2] = [D2, ex] + [D2, e−x] = [D2, 2 coshx] = 4 sinhxD+ 2 coshx. L’equazione per f diventa4 sinhxf ′ + 2 coshxf = 0 la cui soluzione generale e f(x) = A(sinhx)−1/2.

8. Ricordando che i primi tre polinomi di Laguerre sono dati da L0 = 1, L1 = 1−x, L2 = 12 (x2− 4x+2),

si ha f(x) = 2f (2)(x)− 4f (1)(x) + 2f (0)(x).

9. La soluzione generale di −if ′ + sinxf = λf e f(x) = A exp[i(λx + cosx)]. Imponendo la condizionef(−π) = f(π) si ottiene la condizione λ = k ∈ Z, per cui le autofunzioni sono fk(x) = exp[i(kx+cosx)]con autovalore λ = k.

10. La soluzione generale di −if ′ + x2f = λf e f(x) = A exp[i(λx − x3/3)]. Imponendo la condizionef(−π) = f(π) si ottiene la condizione λ = π2

3 + k, k ∈ Z, per cui le autofunzioni sono fk(x) =

exp[i(kx+ π2

3 x−x3

3

)]con autovalore λ = k + π2

3 .

Trasformate di Fourier

11. f(k) = L√2

exp(−L2

2 k2) (ricordare che

∫ +∞−∞ dz e−z2

=√π).

12. f(k) =√

2πL/(1 + L2k2).

13. f(k) =√

2π [1− cos(kL)]/(Lk2).

14. f1(k) = − iL3√

8k exp(−L2

4 k2), f2(k) = L3

√8(1− L2

2 k2) exp(−L2

4 k2).

20/06/07Calcolo esplicito del limite, per L → ∞ , della rappresentazione di una funzione f(x) ∈ L2[−L , L] nel-la base di Fourier φn(x) = 1√

2Lexp(i π

Lnx) . Definizione di trasformata di Fourier f(k) di una funzione

f(x) ∈ L2[R]: f(k) = 1√2π

∫ +∞−∞ dx exp(−ikx)f(x). Derivazione esplicita della formula di inversione come

rappresentazione della funzione f(x) in integrale di Fourier: f(x) = 1√2π

∫ +∞−∞ dx exp(ikx)f(k). La rap-

presentazione in integrale di Fourier come applicazione dell’operatore integrale U con nucleo U(x, k) =1√2π

exp(ikx): f(x) =∫ +∞−∞ U(x, k)f(k). Dimostrazione esplicita, come limite della relazione di Parseval,

che la trasformazione di Fourier lascia il prodotto scalare invariante: (f , g) = (f , g) ovvero che l’operatoreintegrale U e’ unitario, U† U = 1. Conclusione: se f(x) ∈ L2[R] allora anche f(k) ∈ L2[R]. Propri-eta’ della trasformata di Fourier per parita’, se f(−x) = ±f(x) allora f(−k) = ±f(k), e per realta’, sef∗(x) = f(x) allora f∗(k) = f(−k). Trasformazione di Fourier dell’operatore di derivata in operatore dimoltiplicazione: d

dx → ik e viceversa x → i ddk . Definizione di prodotto di convoluzione di due funzioni:

(f1 ∗ f2) (x) =∫ +∞−∞ dyf1(y) f2(x − y). Trasformata di Fourier del prodotto di due funzioni f1(x) f2(x):

(f1f2)(k) = 1√2π

∫ +∞−∞ dqf1(q) f2(k − q) = 1√

2π(f1 ∗ f2) (k). Cenni alla propieta’ della trasformazione di

36

Fourier rispetto alla trasformazione della larghezza di un impulso e sua applicazione al principio di inde-terminazione della meccanica quantistica. Esercizio: mostrare questa proprieta’ calcolando la trasformatadi Fourier della funzione rettangolo f(x) = 1 per −L < x < L , f(x) = 0 per |x| > L. Introduzione al-la teoria delle distribuzioni o funzioni generalizzate: il modello di particella puntiforme e sua densita’ dimassa. Rappresentazione di un funzionale lineare limitato come integrale: F [f ] =

∫ b

adxF (x)f(x). Limite,

per n → ∞, di una successione Fn[f ] =∫ b

adxFn(x)f(x) di funzionali lineari. Problema dell’ esistenza del

limite della successione delle funzioni Fn(x). Esempio di successione di funzionali Fn[f ] = n2

∫ 1n

− 1n

dxf(x) per

i quali esiste il limite ma non esiste il limite della successione delle corrispondenti funzioni Fn(x) = n2 per

− 1n < x < 1

n , Fn(x) = 0 per |x| > 1n . Definizione del funzionale di Dirac (distribuzione di Dirac) come

limite di questa successione: F [f ] = f(0). Definizione del simbolo di Dirac δ(x) per esprimere il funzionaledi Dirac: F [f ] = f(0) =

∫ b

adxδ(x)f(x) per una funzione di prova f(x) continua in x = 0 e per a < 0 < b.

22/06/07

Successioni di funzionali lineari Fn[f ] che rappresentano la distribuzione di Dirac nel limite n→∞ : sela funzione P (x) e’ tale che i) P (−x) = P (x) e ii)

∫ +∞−∞ dxP (x) = 1 allora Fn[f ] = n

∫ +∞−∞ dxP (nx)f(x) ha

come limite per n → ∞ la distribuzione di Dirac, limn→∞Fn[f ] = f(0) . Esempi di rappresentazioni delladistribuzione di Dirac. Estensione della distribuzione di Dirac alle funzioni di prova f(x) discontinue in x = 0 :∫ b

adxδ(x)f(x) = 1

2 [f+(0) + f−(0)] se a < 0 < b. Il valore dell’integrale∫ b

adxδ(x− y)f(x) per ogni scelta dei

parametri reali a , b , y e per funzioni di prova anche discontinue. Trasformata di Fourier del simbolo δ(x−y)e sua rappresentazione integrale di Fourier δ(x − y) = 1

2π

∫ +∞−∞ dk exp[ik(x − y)]. Il simbolo δ(x − y) come

nucleo dell’operatore integrale che rappresenta l’ operatore unita’ in L2[a , b] ,∫ b

adyδ(x − y)f(y) = f(x).

Espressione della completezza della base ortonormale φn(x) di L2[a , b] , tramite la distribuzione di Dirac:∑n φn(x)φ∗n(y) = δ(x − y). Esempio della base di Fourier. Altre distribuzioni legate alla distribuzione di

Dirac e loro simboli:

• δ(−x) = δ(x) (parita’).

• A(x)δ(x− x0) = A(x0)δ(x− x0) (con dimostrazione).

• δ(G(x)) =∑

n1

|Gx(xn)|δ(x−xn) con la condizione che tutti gli zeri xn , G(xn) = 0 , della funzione G(x)sono semplici (con dimostrazione).

• derivate della delta di Dirac δ(n)(x− y) = dnδ(x−y)dxn .

• distribuzione di Heaviside (o funzione scalino) come primitiva della distribuzione di Dirac, H(x) =∫ x

−∞ dyδ(y), con verifica che dH(x)dx = δ(x).

Uso della distribuzione di Heaviside per il calcolo delle derivate di funzioni discontinue. L’equazione del motodell’oscillatore forzato senza smorzamento, q(t)+ω2q(t) = F (t) ed il problema del transiente, nell’ipotesi chela forza F (t) agisca in un breve intervallo di tempo (la condizione piu’ debole e’ che l’integrale

∫ +∞−∞ dt|F (t)| sia

finito): dato lo stato iniziale dell’oscillatore q(t) → C− cos(ωt)+S− sin(ωt) per t→ −∞ e data la forza F (t),trovare lo stato finale dell’oscillatore q(t) → C+ cos(ωt) + S+ sin(ωt) per t→ +∞ , ovvero, date le ampiezzeC− , S− calcolare C+ , S+. Introduzione della funzione di Green ritardata o causale g(t , τ) dell’oscillatorearmonico come soluzione dell’ equazione differenziale d2g(t , τ)

dt2 + ω2g(t , τ) = δ(t − τ) con la condizioneg(t , τ) = 0 per t < τ . Espressione esplicita della funzione di Green: g(t , τ) = 1

ωH(t − τ) sin[ω(t − τ)] .Soluzione del problema del transiente tramite la funzione di Green causale: q(t) = C− cos(ωt)+S− sin(ωt)+∫ +∞−∞ dτg(t , τ)F (τ) e calcolo esplicito delle ampiezze finali C+ = C− − 1

ω

∫ +∞−∞ dt sin(ωt)F (t) , S+ = S− +

1ω

∫ +∞−∞ dt cos(ωt)F (t) .

37

COMPITO 8

1. Calcolare la trasformata di Fourier della funzioneG(x) = d2

dx2 f(x) con f(x) = exp(−|x+aL |) in L2(−∞,∞).

2. Siano a(x) e b(x) due funzioni di L2(−π, π) la cui espansione nella base di Fourier e a(x) =∑∞

n=−∞ 4−|n|einx

e b(x) =∑∞

n=0 cos(nx)/n! ; calcolare il prodotto scalare (a, b).

3. Data la funzione f(x) =∫∞−∞ dy e−|x−y|

1+y2 , calcolarne la trasformata di Fourier f(k) =∫∞−∞

dx√2πe−ikxf(x).

4. Trovare la soluzione dell’equazione F (x) + λ∫∞−∞ dy e−|x−y|F (y) = e−|x| per λ > 0 (suggerimento:

scrivere l’equazione per la trasformata di Fourier di F ).

5. Sia data la successione di funzionali regolari

F (n)[φ] = n

∫ +∞

−∞dx exp[−n2(x− 1)2]φ(x).

Calcolare il funzionale F [φ] = limn→∞F(n)[φ] per φ(x) funzione continua ∈ L2[R].

6. Calcolare l’integrale C =∫ 4

−7dxx2δ(sin(x)).

7. Calcolare la derivata seconda g(x) = d2

dx2 exp(−2|x|).

8. Fare il grafico di f(t) = cos(t)[H(t)−H(t− π)] e calcolare la derivata df(t)/dt.

9. Calcolare la distribuzione corrispondente al simbolo

∆(x) = x2δ(2)(x− 1).

10. Calcolare l’integrale I =∫ 4

0dx cos(πx)δ(x2 + x− 2)

11. Calcolare il simbolo α(x) = a(x)δ(1)(x− 1) per a(x) ∈ C(1)

12. Calcolare la trasformata di Fourier dii) f(x) = [1/(1 + x+ 2x2)]δ(x+ 1) , ii) g(x) = [1/(1 + x2)]δ(1)(x− 2)

25/06/07

SVOLGIMENTO COMPITO 8 del 22/06/07

1. Si ha f(k) =∫∞−∞

dx√2πe−ikxe−|x+a|/L =

√2πL

eika

(1+L2k2) . L’operatore d2/dx2 corrisponde alla moltipli-

cazione per −k2 della trasformata di Fourier quindi G(k) = −√

2πLk

2 eika

(1+L2k2) .

2. Sviluppando le due funzioni a(x) e b(x) nella base ortonormale (di Fourier) degli esponenziali, a(x) =∑+∞n=−∞ an

einx√

2πe b(x) =

∑+∞n=−∞ bn

einx√

2π, si ottiene (a, b) =

∑∞n=−∞ anbn. Essendo an =

√2π4−|n| e

bn =√

2π( 12(|n|)! + δn0

2 ), si ha (a, b) = 2π(2∑∞

n=11

4n 2 n! + 1) = 2πe14 .

3. La funzione f(x) e il prodotto di convoluzione delle funzioni f1(x) = 11+x2 e f2(x) = e−|x|. Poiche’ la

trasformata di Fourier del prodotto di convoluzione di f1(x) e f2(x) e’ uguale a√

2πf1(k)f2(k) e, nel

nostro caso, f1(k) =√

π2 e−|k| e f2(k) =

√2π

11+k2 , si ha f(k) =

√2π e−|k|

1+k2 .

38

4. Passando alla trasformata di Fourier, l’equazione diventa F (k) + 2λ1+k2 F (k) =

√2π

11+k2 , da cui F (k) =√

2π

11+2λ+k2 =

√2π

1α2+k2 avendo definito α =

√1 + 2λ > 0. Antitrasformando (con un cambio di

variabile k′ = k/α) si ottiene F (x) = e−α|x|/α.

5. Cambiando variabile d’integrazione x = 1 + yn si ha F (n)[φ] =

∫ +∞−∞ dy e−y2

φ(1 + yn ) per cui

limn→∞F(n)[φ] =

√πφ(1) ovvero, simbolicamente, limn→∞n exp[−n2(x− 1)2] =

√πδ(x− 1).

6. Poiche δ(sinx) =∑+∞−∞ δ(x− nπ) si ha C =

∑1n=−2

∫ 4

−7dxx2δ(x− nπ) = 6π2.

7. Poiche exp(−2|x|) = exp(−2x)H(x) + exp(2x)H(−x) si ha ddx exp(−2|x|) = −2[exp(−2x)H(x) −

exp(2x)H(−x) e quindi g(x) = 4[exp(−2x)H(x) + exp(2x)H(−x)]− 4δ(x) = 4 exp(−2|x|)− 4δ(x).

8. df(t)/dt = − sin(t)[H(t)−H(t− π)] + δ(t) + δ(t− π).

9. Poiche x2 d2

dx2 δ(x− 1) = d2

dx2 [x2δ(x− 1)]− 4 ddx [xδ(x− 1)] + 2δ(x− 1) e poiche xδ(x− 1) = δ(x− 1), si

ottiene ∆(x) = δ(2)(x− 1)− 4δ(1)(x− 1) + 2δ(x− 1).

10. Poiche δ(x2 + x− 2) = 13δ(x− 1) + 1

3δ(x+ 2) si ha I = − 13 .

11. α(x) = a(x) ddxδ(x− 1) = d

dx [a(x)δ(x− 1)]− a′(x)δ(x− 1) = a(1)δ(1)(x− 1)− a′(1)δ(x− 1).

12. f(x) = 12δ(x+ 1) , g(x) = 1

5δ(1)(x− 2) + 4

25δ(x− 2) quindi f(k) = e−ik

2√

2π, g(k) = e2ik

25√

2π(4− 5ik).

27/06/07

III COMPITO D’ESONERO 27/06/07


1. Sia g(x) = e−xH(x) dove H(x) e’ la funzione scalino di Heaviside. Calcolare la trasformata di Fourierh(k) = 1√

2π

∫ +∞−∞ dx exp(−ikx)h(x) con h(x) = d

dxg(x).......................................................[ 10 ]


−3dxδ(cos(x)) dove il simbolo δ indica la distribuzione di Dirac........................[

10 ]

3. Sia f(x) = e2x ∈ L2[−π , π] , calcolare i coefficienti an della serie di Fourier f(x) =∑+∞−∞ ane

inx ed ilvalore della serie numerica α =

∑+∞−∞ |an|2..........................................................................[ 10 ]

4. Dimostrare che tutti gli autovalori dell’operatore A = d2

dx2 + x2 − x− 6 con dominio f(x) ∈ L2(−2, 3)dato dalle condizioni di Dirichelet f(−2) = f(3) = 0 sono negativi........................................[ 30 ]


SOLUZIONI DEL III COMPITO D’ESONERO 27/06/07

39

1. Sia g(x) = e−xH(x) dove H(x) e’ la funzione scalino di Heaviside. Calcolare la trasformata di Fourierh(k) = 1√

2π

∫ +∞−∞ dx exp(−ikx)h(x) con h(x) = d

dxg(x)

SVOLGIMENTO: La trasformata di Fourier di g(x) e’ g(k)= 1√

2π

∫ +∞0

dx exp(−ikx) exp(−x) = 1√2π(1+ik)

e quindi, poiche’ nella trasformazione di Fourier l’-

operatore ddx si trasforma nell’operatore di moltiplicazione d

dx → ik , si ottiene h(k) = ik√2π(1+ik)

.

Un secondo modo di svolgere questo esercizio: poiche’ h(x) = ddxg(x) = −g(x) + δ(x) si trova

h(k) = − 1√2π(1+ik)

+ 1√2π

= ik√2π(1+ik)

.


−3dxδ(cos(x)) dove il simbolo δ indica la distribuzione di Dirac.

SVOLGIMENTO: Poiche’ nell’intervallo −3 ≤ x ≤ 6 la funzione cos(x) ha tre zeri semplici, cioe’x1 = −π

2 , x2 = π2 , x3 = 3π

2 , l’integrale diventa I =∫ 6

−3dx[δ(x+ π

2 ) + δ(x− π2 ) + δ(x− 3π

2 )] = 3 .

3. Sia f(x) = e2x ∈ L2[−π , π] , calcolare i coefficienti an della serie di Fourier f(x) =∑+∞−∞ ane

inx ed ilvalore della serie numerica α =

∑+∞−∞ |an|2

SVOLGIMENTO: Si ha an = 12π

∫ π

−πdxe−inxe2x = (−1)n sinh(2π)

π(2−in) . Inoltre, poiche’ si ha∫ π

−πdx|f(x)|2 =

2π∑∞−∞ |an|2, si ottiene α =

12π

∫ π

−πdxe4x = sinh(4π)

4π .

4. Dimostrare che tutti gli autovalori dell’operatore A = d2

dx2 + x2 − x− 6, con dominio f(x) ∈ L2(−2, 3)dato dalle condizioni di Dirichelet f(−2) = f(3) = 0, sono negativi.

SVOLGIMENTO: Se f(x) ∈ L2(−2, 3) soddisfa le condizioni di Dirichelet, allora, integrando per parti,(f , Af) =

∫ 3

−2f∗(x)[fxx(x) + (x2 − x − 6)f(x)] = −

∫ 3

−2dx|fx(x)|2 −

∫ 3

−2dx(3 − x)(x + 2)|f(x)|2 e’

necessariamente un numero negativo, (f , Af) < 0. Quindi, se f(x) e’ autofunzione dell’ operatore Acorrispondente all’autovalore λ, cioe’ Af = λf , allora λ||f ||2 = (f , Af) < 0 da cui la tesi (si osserviche, nell’intervallo−2 ≤ x ≤ 3, (3− x)(x+ 2) ≥ 0) .

40

COMPITI D’ ESONERO E D’ ESAME DEGLI ANNI PRECEDENTI

I COMPITO D’ESONERO 12/05/04


1. Sia A una matrice 4X4 tale che A2 = 2A + 3. Sapendo che trA = 8, calcolare il determinantedetA.......................[ 7 ]

2. Sia F [f ] il funzionale continuo definito in L2(−∞,+∞) come F [f ] =∫ +∞−∞ dx exp(−2x2)f(x).

Calcolare la sua norma ||F ||..............................................................[ 7 ]

3. Sia M l’operatore sulle successioni {un}+∞n=0 di l2 definito dalla matrice infinita Mnm = 13n2m+1 , n,m ≥

0. Calcolare tutti gli autovalori ed almeno due autovettori di M .....................................[ 8 ]

4. Sia dato l’operatore D = d/dx. Trovare la funzione V (x) tale che[D2 + V (x)D,D + tanhx] = 0. ..............................[ 6 ]

5. Mostrare che l’operatore lineare U , f(x) → g(x) = Uf(x) = αf(α2x), con α 6= 0 e reale, e’ un operatoreunitario in L2(−∞,+∞) (ovvero (Uf (1), Uf (2)) = (f (1), f (2)) ). ............................[ 7 ]

IL NUMERO RIPORTATO ALLA FINE DI CIASCUN ESERCIZIO E’ IL VOTO MASSIMO. IL VOTOTOTALE E’ LA SOMMA DEI 5 VOTI PARZIALI.

II COMPITO D’ESONERO 07/06/04


1. Sia L > 0 e sia f(x) = L per 0 ≤ x ≤ L e f(x) = 0 per x < 0 e x > L. Calcolare la trasformata diFourier f(k) di f(x) e la sua norma ‖ f ‖ in L2(−∞,+∞)...............................................................[ 7 ]

2. Calcolare la soluzione generale dell’equazione differenzialed2u(x)/dx2 − u(x) = 3 exp(2x) + exp(−x)............................[ 7 ]

3. Calcolare la soluzione g(x) dell’equazione integraleg(x) + 2

∫ π

−πdy cos(x− y)g(y) = 1 + sin(x)...............[ 6 ]

4. Sapendo che gli autovalori λ1 e λ2 ed i corrispondenti autovettori v(1) e v(2) della matrice 2X2 Msonoλ1 = 2, λ2 = −1, v(1) = (1, i), v(2) = (i, 1), calcolare gli elementi di matrice Ajk della matrice A =(21 + M)−1 exp(iπM)...............................[ 7 ]

5. Sia H(x) ∈ L2(−∞,+∞), D = d/dx e sia K l’operatore integrale definito dal prodotto di convoluzioneKf =

∫∞−∞ dyH(x− y)f(y) = (H ∗ f)(x).

Mostrare che [K,D] = 0........................................................[ 7 ]

41




1. Calcolare l’integrale A =∫ 1

−2dx(2x2 + x− 1)δ(cos(πx))...................[ 7 ]

2. Calcolare la soluzione generale x(t) dell’equazione differenzialed2x(t)/dt2 + 4x(t) = 2 cos(2t)− 4δ(t).............................[ 7 ]

3. Calcolare la soluzione g(x) dell’equazione differenzialed2g(x)/dx2 + 3dg(x)/dx + 2g(x) = 4δ(x) che soddisfa le condizioni iniziali g(−1) = 0 gx(−1) =0.............................[ 6 ]

4. Calcolare il simbolo∆(x) = (1 + x2)−1δ(x− 2) + exp(−x2)δ(1)(x)....................................[ 6 ]

5. Trovare una funzione f(x) limitata, reale, f(x) = f∗(x) e nulla, f(x) = 0, per |x| > π, tale chel’equazione differenzialed2ψ(x)/dx2 + 4ψ(x) = f(x) ammetta una soluzione ψ(x)che appartiene allo spazio L2(−∞,+∞).........................[ 8 ]


COMPITO D’ESAME 28/06/04


1. Sia P un proiettore Hermitiano, P = P †, P 2 = P , che proietta i vettori di V6 in un sottospazio didimensione 3. Calcolare tutti i valori dei due numeri complessi z1 e z2 tali cheTr(z11 + z2P) = 0 e Det(z11 + z2P) = −1.........................[ 10 ]

2. Calcolare la soluzione f(x) dell’equazione integralef(x) +

∫ 1

−1dyK(x, y)f(y) = 2x3 + x con K(x, y) = xy(x+ y)...............................[ 9 ]

3. Sia q(t) la soluzione dell’equazioneq(t) + π2q(t) = 6δ(t2 − t − 2) che soddisfa le condizioni iniziali q(0) = 0, q(0) = 2. Calcolareq(2, 25)....................................[ 11 ]

4. Sia dato l’operatore differenziale A = −4d2/dx2 + 3x4 che opera su L2(a, b) nel dominio {φ(x) ∈L2(a, b) : φ(a) = φ(b),±φx(a) = φx(b)} (condizioni di periodicita’). Mostrare che, se λ e’ un autovaloredi A, allora λ e’ reale e positivo, λ > 0........................[ 10 ]

42

IL NUMERO RIPORTATO ALLA FINE DI CIASCUN ESERCIZIO E’ IL VOTO MASSIMO. SVOLGEREL’ESERCIZIO k , (k = 1, 2, 3), PER IL RECUPERO DELL’ESONERO k, SVOLGERE L’ESERCIZIO 4PER IL RECUPERO DELL’ ESONERO ORALE.

I COMPITO D’ESONERO 15/05/06

ATTENZIONE :scrivere su ciascun foglio il cognome ed indicare chiaramente l’inizio e la fine di ogni esercizio.

1. Siano σ1, σ2 e σ3 le matrici 2X2 di Pauli. Calcolare le traccie T1 = tr(σ2 eσ1 σ1) e T2 = tr(σ2 e

σ1 σ2)...................................[9 ]

2. Determinare tutti i valori del parametro reale a per i quali la funzione f1(x) = sin(πx)/(x2 − a2)appartiene allo spazio L2(0, 1) e la funzione f2(x) = sinh(x) exp(−ax)/[x2 + x(1− a)− a] appartieneallo spazio L2(2,+∞) ..........................[ 11 ]

3. Sia x = {xj}∞j=1 il generico elemento dello spazio `2 e sia dato il funzionale lineare F (x) =∑∞

j=1(i)je(−j) xj .

Calcolare la norma ||F || di F (x) e determinare almeno un vettore y di `2 tale che F (y) = 0. ......................................................[10 ]

4. Sia U l’operatore lineare tale che Uf(x) = 1+i√2f(x+ b) dove b e’ un parametro reale e f(x) ∈ L2(R).

Mostrare che l’operatore U lascia il prodotto scalare invariante, cioe’ (Ug , Uf) = (g , f) per ognicoppia di funzioni g(x) e f(x) di L2(R)..............[ 30 ]


SOLUZIONI DEL I COMPITO D’ESONERO 15/05/06

1. Siano σ1, σ2 e σ3 le matrici 2X2 di Pauli. Calcolare le traccie T1 = tr(σ2 eσ1 σ1) e T2 = tr(σ2 e

σ1 σ2)

SVOLGIMENTO: Poiche’ tr(AB) = tr(BA), σ1 σ2 = iσ3 e σ22 = 1, T1 = itr[σ3 exp(σ1)] e T2 =

tr[exp(σ1)]. Poiche’ exp(σ1) = cosh(1) + σ1 sinh(1) si ha T1 = i cosh(1)tr(σ3) + i sinh(1)tr(σ3σ1) epoiche’ σ3σ1 = iσ2 e tr(σ1) = tr(σ2) = tr(σ3) = 0 si ottiene T1 = 0 e T2 = cosh(1)tr(1) = 2 cosh(1).

2. Determinare tutti i valori del parametro reale a per i quali la funzione f1(x) = sin(πx)/(x2 − a2)appartiene allo spazio L2(0, 1) e la funzione f2(x) = sinh(x) exp(−ax)/[x2 + x(1− a)− a] appartieneallo spazio L2(2,+∞)

SVOLGIMENTO: La condizione∫ 1

0dx|f1(x)|2 < ∞ impone che gli zeri del denominatore x± = ±a

stiano fuori dall’intervallo d’integrazione 0 ≤ x ≤ 1. Quindi deve essere a > 1 e a < −1. Poiche’ ilnumeratore ha uno zero in x = 1 ed in x = −1, f1(x) e’ in L2(0, 1) per a ≥ 1 e a ≤ −1. La condizione∫ +∞2

dx|f2(x)|2 < ∞ impone che il numeratore sinh(x) exp(−ax) sia limitato per x → +∞ e che glizeri del denominatore x1 = −1 e x2 = a stiano fuori del dominio d’integrazione 2 ≤ x ≤ +∞. Laprima condizione impone a ≥ 1 e la seconda condizione impone a < 2. Quindi f2(x) e’ in L2(2,+∞)per 1 ≤ a < 2.

3. Sia x = {xj}∞j=1 il generico elemento dello spazio `2 e sia dato il funzionale lineare F (x) =∑∞

j=1(i)je(−j) xj .

Calcolare la norma ||F || di F (x) e determinare almeno un vettore y di `2 tale che F (y) = 0

SVOLGIMENTO: Poiche’ F (x) = (w, x) con w = {wj}+∞j=1 , wj = (−i)j exp(−j) si ha ||F || = ||w|| =√∑∞j=1 exp(−2j) = 1/

√e2 − 1. Poiche’ F (y) = ie−1y1 − e−2y2 − ie−3y3 + · · · · · · basta prendere per

esempio y1 = 1 , y2 = ie , y3 = y4 = · · · = 0 per avere F (y) = 0.

43

4. Sia U l’operatore lineare tale che Uf(x) = 1+i√2f(x+ b) dove b e’ un parametro reale e f(x) ∈ L2(R).

Mostrare che l’operatore U lascia il prodotto scalare invariante, cioe’ (Ug , Uf) = (g , f) per ognicoppia di funzioni g(x) e f(x) di L2(R)

SVOLGIMENTO: Basta fare la verifica. (Ug,Uf) = | 1+i√2|2∫ +∞−∞ dxg∗(x+b)f(x+b) =

∫ +∞−∞ dx′g∗(x′)f(x′) =

(g, f) perche’ | 1+i√2| = 1 e si cambia variabile d’integrazione, x′ = x+ b.

II COMPITO D’ESONERO 05/06/06



2P −Q)]....................[ 9 ]

2. Sapendo che B e’ una matrice normale 3X3 e che det(2z1 + 3B) = 8z3 + 24z2 + 6z + 9, calcolareT = tr(B) e D = det(B).........[ 10 ]

3. Sia K l’operatore integrale che agisce su L2(−1, 1) il cui nucleo e’ K(x, y) = x + 3y. Determinare gliautovalori di K e almeno 3 autofunzioni linearmente indipendenti. ............[ 11 ]

4. Sia H un operatore Hermitiano ed U un’operatore unitario che non commutano, cioe’ [H , U ] 6= 0. SiaM = HU . Dimostrare che gli operatori MM† e M†M hanno lo stesso spettro....[ 30 ]


SOLUZIONI DEL II COMPITO D’ESONERO 05/06/06


2P −Q)]

SVOLGIMENTO: poiche’ (v , w) = 0 si ha P = P † , Q = Q† , P 2 = P,Q2 = Q , PQ = QP = 0, quin-di la matrice C = 3

2P − Q e’ scritta in rappresentazione spettrale con l’autovalore 32 corrispondente

all’autovettore v, l’autovalore −1 corrispondente all’autovettore w e l’autovalore 0 corrispondente al-l’autovettore ortogonale sia a v che a w. Sia R il proiettore corrispondente a questo terzo autovettore.Per la completezza della base degli autovettori si ha R = 1− P −Q. Poiche’ la matrice A e’ funzionedi C, A = cos(πC) si ottiene A = cos( 3π

2 )P +cos(−π)Q+cos(0)(1−P −Q) = 1−P −2Q. Calcolandole matrici

P = vv†/||v||2 =13

1 −i 1i 1 i1 −i 1

, Q = ww†/||w||2 =12

1 i 0−i 1 00 0 0

si ottiene

A = −13

1 2i 1−2i 1 i1 −i −2

2. Sapendo che B e’ una matrice normale 3X3 e che det(2z1 + 3B) = 8z3 + 24z2 + 6z + 9, calcolareT = tr(B) e D = det(B)

SVOLGIMENTO: poiche’ B e’ normale esiste una base ortogonale in cui B e’ diagonale e poiche’ ildeterminante di una matrice e’ invariante per cambiamenti di base, si ha det(2z1+3B) = (2z+3λ1)(2z+

44

3λ2)(2z+3λ3) = 8z3 +12(λ1 +λ2 +λ3)z2 +18(λ1λ2 +λ1λ3 +λ2λ3)z+27λ1λ2λ3 = 8z3 +24z2 +6z+9dove λ1 , λ2 , λ3 sono gli autovalori di B. Confrontando i coefficienti dei due polinomi e sapendo cheT = λ1 + λ2 + λ3 e che D = λ1λ2λ3 si ottiene T = 2 e D = 1

3 .

3. Sia K l’operatore integrale che agisce su L2(−1, 1) il cui nucleo e’ K(x, y) = x + 3y. Determinare gliautovalori di K e almeno 3 autofunzioni linearmente indipendenti.

SVOLGIMENTO: K e’ un operatore integrale separabile di rango 2. L’equazione Kf = λf si scriveesplicitamente come x

∫ 1

−1dyf(y) + 3

∫ 1

−1dyyf(y) = λf(x) che implica che , per λ 6= 0, l’autofunzione

f(x) e’ un polinomio di primo grado, f(x) = f0 + f1x. Per i coefficienti incogniti f0, f1 questaequazione diventa il sistema λf0 = 2f1 , λf1 = 2f0 che ha le due soluzioni λ = 2 , f0 = f1 = 1 eλ = −2 , f0 = −f1 = 1. All’autovalore λ = 0 corrispondono le infinite funzioni ortogonali sia aa(x) = 1 che a b(x) = x. Una di queste autofunzioni e’ per esempio g(x) = g0 + g2x

2 dove i coefficientig0 , g2 si determinano imponendo la condizione di ortogonalita’

∫ 1

−1dx(g0 +g2x

2) = 0 ( b(x) = x e g(x)sono ortogonali per parita’) dalla quale si ricava g0 = 1 , g2 = −3. Quindi tre autofunzioni linearmenteindipendenti sono f+(x) = 1 + x , f−(x) = 1− x , g(x) = 1− 3x2.

4. Sia H un operatore Hermitiano ed U un’operatore unitario che non commutano, cioe’ [H , U ] 6= 0. SiaM = HU . Dimostrare che gli operatori MM† e M†M hanno lo stesso spettro.

SVOLGIMENTO: Poiche’ si trova facilmente che M†M = U†MM†U , gli operatori M†M e MM† sonol’uno il trasformato dell’altro mediante una trasformazione unitaria. Poiche’, per un noto teorema, letrasformazioni unitarie lasciano invariato lo spettro di un operatore si ottiene la dimostrazione.



1. Sia f(x) = e−pxH(x) dove H(x) e’ la funzione scalino di Heaviside e p > 0. Calcolare la trasformatadi Fourier g(k) = 1√

2π

∫ +∞−∞ dx exp(−ikx)g(x) con g(x) = d

dxf(x)....................[ 10 ]


−2dx cos(πx)δ(2x3 + x2 − x) dove il simbolo δ indica la distribuzione di

Dirac..................[ 10 ]

3. Sia x(t)+x(t) = 2e−t−δ(t−π) l’equazione del moto di un oscillatore forzato e sia x(t) la soluzione chesoddisfa le condizioni iniziali x(0) = 1 , x(0) = 1. Sia inoltre x(t) → S sin(t) + C cos(t) l’andamentoasintotico per t → +∞ del moto dell’oscillatore. Calcolare S e C.......................................................[10 ]

4. Sia dato in L2(0, 1) l’operatore di Sturm–Liouville L = − ddxp(x)

ddx + q(x) con p(x) = 2 − x e q(x) =

|2x−1|, e con le condizioni di Neumann ddxf(x) = 0 per x = 0 e x = 1. Mostrare che tutti gli autovalori

di L sono reali e positivi...............................[ 30 ]


SOLUZIONI DEL III COMPITO D’ESONERO 28/06/06

1. Sia f(x) = e−pxH(x) dove H(x) e’ la funzione scalino di Heaviside e p > 0. Calcolare la trasformatadi Fourier g(k) = 1√

2π

∫ +∞−∞ dx exp(−ikx)g(x) con g(x) = d

dxf(x)

SVOLGIMENTO: se f(k) e’ la trasformata di Fourier di f(x) allora g(k) = ikf(k). Poiche’ f(k) =1√2π

∫ +∞0

dx exp[−(ik + p)x] = 1√2π/(p+ ik) si ottiene g(k) = 1√

2π[ik/(p+ ik)].

45


−2dx cos(πx)δ(2x3+x2−x) dove il simbolo δ indica la distribuzione di Dirac

SVOLGIMENTO: poiche’ 2x3+x2−x = x(2x−1)(x+1) ha i tre zeri semplici x1 = 0 , x2 = 12 , x3 = −1

si ha δ(2x3 +x2−x) = δ(x)+ 23δ(x−

12 )+ 1

3δ(x+1). Quindi cos(πx)δ(2x3 +x2−x) = δ(x)− 13δ(x+1)

e si ottiene I = 23 .

3. Sia x(t)+x(t) = 2e−t−δ(t−π) l’equazione del moto di un oscillatore forzato che soddisfa le condizioniiniziali x(0) = 1 , x(0) = 1. Sia x(t) → S sin(t)+C cos(t) l’andamento asintotico per t→ +∞ del motodell’oscillatore. Calcolare S e C

SVOLGIMENTO: la soluzione generale e’ x(t) = A sin(t) + B cos(t) + x1(t) + x2(t) dove A e B sonoarbitrarie costanti d’integrazione, x1(t) e’ una qualunque soluzione dell’equazione x1(t)+x1(t) = 2e−t ex2(t) e’ una qualunque soluzione dell’equazione x2(t) + x2(t) = −δ(t− π). Una soluzione, per esempiox1(t) = e−t, si trova a vista, mentre per esempio x2(t) = sin(t)H(t − π) si trova imponendo chex2(t) = 0 per t < π e usando le condizioni di raccordo per t = π della funzione x2(t) e della suaderivata prima x2(t) e cioe’ x2(π) = 0 e x2(π + ε) = −1, ε → 0, ε > 0. La soluzione generale e’ cosi’x(t) = A sin(t) + B cos(t) + e−t + sin(t)H(t − π). Le costanti d’integrazione sono determinate dallacondizioni iniziali, A = 2 , B = 0 per cui il moto dell’oscillatore e’ x(t) = 2 sin(t)+ e−t +sin(t)H(t−π)il cui andamento asintotico e’ x(t) → 3 sin(t) e quindi si ottiene S = 3 , C = 0.

4. Sia dato in L2(0, 1) l’operatore di Sturm–Liouville L = − ddxp(x)

ddx + q(x) con p(x) = 2 − x e q(x) =

|2x−1|, e con le condizioni di Neumann ddxf(x) = 0 per x = 0 e x = 1. Mostrare che tutti gli autovalori

di L sono reali e positivi.

SVOLGIMENTO: Poiche’ l’operatore L e’ Hermitiano essendo p(x) e q(x) funzioni reali, tutti gli au-tovalori di L sono necessariamente reali per un noto teorema generale. Inoltre se λ ed f(x) sonorispettivamente un autovalore e la corrispendente autofunzione dell’operatore L, cioe’ sono soluzionidell’equazione Lf(x) = λf(x), allora si ha che (f, Lf) = λ||f ||2. Svolgendo i prodotti scalari esplici-tamente si ottiene −

∫ 1

0dxf∗(x) d

dx [p(x) ddxf(x)] +

∫ 1

0dxq(x)|f(x)|2 = λ

∫ 1

0dx|f(x)|2. Con una inte-

grazione per parti del primo integrale ed usando le condizioni di Neumann, questa relazione si riscrive∫ 1

0dxp(x)| d

dxf(x)|2 +∫ 1

0dxq(x)|f(x)|2 = λ

∫ 1

0dx|f(x)|2 e poiche’ p(x) > 0 e q(x) > 0 per 0 ≤ x ≤ 1,

ne segue la tesi, λ > 0.

46

COMPITO D’ESAME 05/07/06‘


1. Sia dato il vettore ~v = (1 , 12 , −1) e sia ~σ = (σ1 , σ2 , σ3) il vettore delle matrici di Pauli. Sia inoltre

M = ~v · ~σ. Calcolare la traccia T = tr(A) ed il determinante D = det(A) della matrice A = (I +2M)−1 sin(πM)...................................................[ 10 ]

2. Siano K e G operatori lineari che operano in L2(0, 1) con G = sin(πK). Calcolare il nucleo G(x, y)dell’operatore G sapendo che il nucleo di K e’ K(x, y) = x ....................................[ 10 ]

3. Sia x(t)+π2x(t) = aδ(t2−2t−3) l’equazione del moto di un oscillatore forzato che soddisfa le condizioniiniziali

x(0) = 0 , x(0) = 1. Calcolare il valore di a per il quale x(t) = 0 per t > 10 ....................................................................[10 ]

4. Sia H = H† una matrice Hermitiana arbitraria e sia B una matrice non singolare arbitraria (det(B) 6=0). Mostrare che la matriceQ = B† exp(H)B ha autovalori strettamente positivi.................................................................................[30 ]


SOLUZIONI DEL COMPITO D’ESAME 05/07/06

1. Sia dato il vettore ~v = (1 , 12 , −1) e sia ~σ = (σ1 , σ2 , σ3) il vettore delle matrici di Pauli. Sia inoltre

M = ~v · ~σ. Calcolare la traccia T = tr(A) ed il determinante D = det(A) della matrice A = (I +2M)−1 sin(πM)

SVOLGIMENTO: poiche’M = σ1+ 12σ2−σ3 =

(−1 1− i

21 + i

2 1

), gli autovalori diM sono le radici del

polinomio det(M −λI) = λ2− 94 ovvero sono λ+ = 3

2 , λ− = − 32 . Quindi T = sin(πλ+)

1+2λ++ sin(πλ−)

1+2λ−= − 3

4

e D = sin(πλ+) sin(πλ−)(1+2λ+)(1+2λ−) = 1

8 .

2. Siano K e G operatori lineari che operano in L2(0, 1) con G = sin(πK). Calcolare il nucleo G(x, y)dell’operatore G sapendo che il nucleo di K e’ K(x, y) = x

SVOLGIMENTO: poiche’ G =∑+∞

n=0(−1)n

(2n+1)!π2n+1K2n+1 basta calcolare le potenze K2n+1 dell’op-

eratore integrale K. Si ottiene∫ 1

0dzK(x, z)K(z, y) = x

∫ 1

0dzz = 1

2x ovvero K2 = 12K e quindi

K2n+1 = (12 )2n+12K. Risommando la serie di Taylor della funzione seno si ha G = 2K sin(π

2 ) = 2K.Quindi G(x, y) = 2K(x, y) = 2x.

3. Sia x(t)+π2x(t) = aδ(t2−2t−3) l’equazione del moto di un oscillatore forzato che soddisfa le condizioniiniziali

x(0) = 0 , x(0) = 1. Calcolare il valore di a per il quale x(t) = 0 per t > 10

SVOLGIMENTO: essendo δ(t2 − 2t− 3) = 14δ(t+ 1) + 1

4δ(t− 3) si puo’ usare il metodo della funzionedi Green. Quindi la soluzione generale e’ x(t) = S sin(πt) + C cos(πt) + a

4π

∫ t

−∞ dt′ sin[π(t− t′)][δ(t′ +1) + δ(t′ − 3)]

47

ovvero x(t) = S sin(πt) + C cos(πt) per t < −1x(t) = S sin(πt) + C cos(πt)− a

4π sin(πt) per −1 < t < 3x(t) = S sin(πt) + C cos(πt)− a

2π sin(πt) per 3 < t

Imponendo le condizioni iniziali si ottiene x(0) = C = 0 e x(0) = πS − 14 = 1 ovvero S = 5

4π e poiche’per t > 10 si ha x(t) = ( 5

4π −a2π ) sin(πt) si ottiene a = 5

2 .

4. Sia H = H† una matrice Hermitiana arbitraria e sia B una matrice non singolare arbitraria (det(B) 6=0). Mostrare che la matrice Q = B† exp(H)B ha autovalori strettamente positivi

SVOLGIMENTO: dall’equazione agli autovalori Qv = λv si deduce che (v,Qv) = λ||v||2. Quindiper dimostrare che λ > 0 basta mostrare che (v,Qv) > 0. Poiche’ (v,Qv) = (v,B† exp(H)Bv) =(Bv, exp(H)Bv) = (w, exp(H)w) con w = Bv, basta calcolare questo prodotto scalare nella base incui la matrice Hermitiana H e’ diagonale. Se hj sono gli autovalori di H, i quali sono tutti reali, e sewj sono le componenti del vettore w in questa base, allora si ha (v,Qv) =

∑Nn=1 |wj |2 exp(hj) che e’

una somma di numeri tutti strettamente positivi perche’ il vettore w non puo’ essere nullo dato che lamatrice B non e’ singolare per ipotesi.

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MODELLI E METODI MATEMATICI DELLA FISICA A.A. 2006 - 2007

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