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Appunti del corso

METODI MATEMATICIPER LA FISICA I

5 febbraio 2004

Prefazione

Quanto segue e la trascrizione degli appunti del corso ”Metodi Matematici per la Fisica I” tenutonell’anno accademico 2002/2003 dal prof. Luciano Bracci al II anno del Corso di Laurea in Fisicadell’Universita di Pisa.

Aggiunte agli argomenti trattati nel corso originario sono state effettuate principalmente perdimostrare risultati enunciati senza dimostrazione durante le lezioni. In questo senso i risultatila cui dimostrazione risultava eccessivamente laboriosa oppure si sarebbe distaccata troppo dalcontesto del corso sono stati dimostrati nelle appendici.

Per poter capire queste note e necessaria una conoscenza elementare della teoria della misurae della integrazione secondo Lebesgue (principalmente teoremi di passaggio al limite e teoremi diFubini, Tonelli) e di geometria (in effetti non molto di piu di sapere cosa sono uno spazio vettorialeed una applicazione lineare).

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Indice

Prefazione i

1 Spazi normati e con prodotto scalare 11.1 Definizioni e proprieta elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Spazi di Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Prodotti scalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Proprieta elementari degli sp. di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Equazioni differenziali alle derivate parziali 242.1 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Problema ai limiti per il quadrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1 Caso ua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.2 caso uF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Problema ai limiti per il cerchio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.1 caso u0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.2 caso uF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.3 Funzioni armoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.4 Lemma di Green e sue conseguenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4 Equazione delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4.1 caso uf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4.2 caso ug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.4.3 caso uF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4.4 caso ua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3 Spazi di Hilbert ed Operatori lineari 503.1 Geometria degli spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2 Operatori e funzionali lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3 Proiettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.4 Particolari classi di operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.5 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.6 Operatori chiusi e chiudibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

A Spazi Lp 94A.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94A.2 Proprieta fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95A.3 Proprieta di densita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

B Convergenza puntuale della serie di Fourier 103B.1 Criterio di Dirichlet-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103B.2 Teorema di Fejer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

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INDICE iii

C Riflessivita 110

D Complementi sugli operatori compatti 112D.1 Teorema dell’alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112D.2 Teoria spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

E Problema di Sturm-Liouville 117E.1 Problemi ai limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117E.2 Problema di Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

F Conseguenze del lemma di Baire 128

G Il teorema fondamentale del calcolo 132G.1 Premesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132G.2 Il teorema fondamentale del calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139G.3 Altra dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

iv INDICE

Capitolo 1

Spazi normati e con prodottoscalare

1.1 Definizioni e proprieta elementari

Definizione 1.1.1. Sia X uno spazio vettoriale sul campo C; una funzione ‖ ‖X : X → R sichiama norma se valgono

1. se x ∈ X allora ‖x‖X ≥ 0

2. x = 0 ⇔ ‖x‖X = 0

3. se x ∈ X e λ ∈ C allora ‖λx‖X = |λ| ‖x‖X4. se x, y ∈ X allora ‖x+ y‖X ≤ ‖x‖X + ‖y‖X

La proprieta (4) si chiama disuguaglianza triangolare. (Se X e uno spazio vettoriale su R, nella(3) si deve avere λ ∈ R)

Definizione 1.1.2. Si chiama spazio normato uno spazio vettoriale su cui sia definita una norma.La notazione (X, ‖ ‖X) significa che X e uno spazio normato con norma ‖ ‖X .

Esempio 1.1.1. Sono spazi normati:

1. il campo C considerato come spazio vettoriale su C con come norma il modulo.

2. lo spazio delle funzioni limitate f : A→ C dove A e un insieme, ‖f‖X = supx∈A |f(x)|.3. lo spazio Cn con la norma ‖(a1, . . . , an)‖X = |a1|+ · · ·+ |an|.4. lo spazio Cn con la norma ‖(a1, . . . , an)‖X = supi=1,...,n |ai|.5. lo spazio delle funzioni f : Rn → R continue ed integrabili con la norma ‖f‖X =

∫ |f(x)|dx6. lo spazio delle successioni limitate con come norma ‖ai‖X = supi∈N |ai|.7. lo spazio delle successioni assolutamente sommabili con come norma ‖ai‖X =

∑∞i=0 |ai|.

Definizione 1.1.3. Siano (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ) spazi normati, A ⊂ X e f : A → Y unafunzione. Sia x ∈ X e ` ∈ Y ; si dice che il limite di f(x) per x che tende a x e ` (in simbolilimx→x f(x) = `) se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che se x ∈ X∩A e 0 < ‖x− x‖X < δ, allora‖f(x)− `‖Y < ε. Se ` ∈ Y si scrive limx→∞ f(x) = ` (o, piu precisamente, lim‖x‖X→∞ f(x) = `)se per ogni ε > 0 esiste un M tale che se ‖x‖X > M e x ∈ A si ha ‖f(x)− `‖Y < ε.

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2 CAPITOLO 1. SPAZI NORMATI E CON PRODOTTO SCALARE

Definizione 1.1.4. Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato e A ⊂ X. Sia x ∈ X; si dice che x e unpunto di accumulazione per A se per ogni δ > 0 esiste un a ∈ A, a 6= x tale che ‖x− a‖X < δ.

Definizione 1.1.5. Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato e sia A ⊂ X. Si dice che A e limitato seesiste un K > 0 tale che per ogni x ∈ A si abbia ‖x‖X < K.

Lemma 1.1.1. Siano (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ) spazi normati, A ⊂ X, f : A → Y una funzione ex un punto di accumulazione per A, allora se esiste limx→x f(x) tale limite e unico.

Dimostrazione. supponiamo per assurdo che esistano due limiti `1 e `2 distinti. Sia ε = ‖`1 −`2‖Y /3 > 0; allora esiste un δ1 > 0 tale che se 0 < ‖x− x‖X < δ1 e x ∈ A si ha ‖f(x)− `1‖Y < ε;analogamente deve esistere un δ2 > 0 tale che se 0 < ‖x− x‖X < δ2 e x ∈ A si ha ‖f(x)−`2‖Y < ε.Sia δ = min(δ1, δ2); poiche x e un punto di accumulazione per A, esiste un x1 ∈ A tale che‖x1 − x‖X = η < δ, η > 0. Allora si deve avere

‖f(x1)− `1‖Y < ε; ‖f(x1)− `2‖Y < ε (1.1.1)

ma allora

‖`1−`2‖Y = ‖`1−f(x1)+f(x1)−`2‖Y ≤ ‖`1−f(x1)‖Y +‖f(x1)−`2‖Y < 2ε =23‖`1−`2‖Y (1.1.2)

quindi ‖`1 − `2‖Y = 0 e `1 = `2.

Analogamente si mostra il seguente

Lemma 1.1.2. Siano (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ) spazi normati, A ⊂ X non limitato e f : A → Yuna funzione. Allora se esiste limx→∞ f(x) tale limite e unico.

Definizione 1.1.6. Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato, ai una successione in X e ` ∈ X; sidice che il limite della successione ai e ` (limn→∞ an = `) se per ogni ε > 0 esiste un Nε taleche se n > Nε, n ∈ N, allora ‖an − `‖X < ε.

Lemma 1.1.3. Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio vettoriale, ai una successione in X che ammettelimite, allora tale limite e unico.

Dimostrazione. supponiamo esistano due limiti `1 6= `2, allora fissato ε = ‖`1−`2‖X/3 > 0 esistonoN1, N2 tali che se n > N1 si ha ‖an − `1‖X < ε, mentre se n > N2 si ha ‖an − `2‖X < ε. Si poneN = max(N1, N2), si sceglie n > N e si ottiene

‖`1 − `2‖X ≤ ‖`1 − an‖X + ‖`2 − an‖X <23‖`1 − `2‖X (1.1.3)

quindi ‖`1 − `2‖X = 0 e `1 = `2.

E inoltre semplice vedere che se una successione converge a ` allora anche ogni sua sottosuc-cessione converge a `.

Definizione 1.1.7. Siano (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ) spazi normati, A ⊂ X e f : A → Y unafunzione. Sia x ∈ A; si dice che f e continua in x se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che sex ∈ A e tale che ‖x− x‖X < δ si ha ‖f(x)− f(x)‖Y < ε.

Lemma 1.1.4. Siano (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ) spazi normati, A ⊂ X e f : A → Y una funzione.Sia x ∈ A, allora f e continua in x se e solo se limx→x f(x) = f(x).

Dimostrazione. discende immediatamente dalle definizioni.

Lemma 1.1.5. Siano (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ) spazi normati, A ⊂ X e f : A → Y una funzione.Sia x ∈ A; allora f e continua in x ⇔ per ogni successione an tale che ai ∈ A e limn→∞ an = xsi ha limn→∞ f(an) = f(x).

1.1. DEFINIZIONI E PROPRIETA ELEMENTARI 3

Dimostrazione. ⇒) sia an una successione tale che limn→∞ an = x. Fissato ε > 0 sia δ > 0come nella definizione di continuita, allora esiste un N > 0 tale che se n > N si ha ‖an− x‖X < δ,quindi se n > N si ha ‖f(an)− f(x)‖Y < ε, quindi limn→∞ f(an) = f(x).⇐) supponiamo per assurdo che f non sia continua in x, allora esiste un ε > 0 tale che per

ogni δ > 0 esiste un xδ ∈ A tale che ‖xδ − x‖X < δ e ‖f(xδ)− f(x)‖Y ≥ ε. Consideriamo allora lasuccessione x1/n, n ∈ N, n > 0. Si vede subito che essa converge a x e poiche ‖f(x1/n)−f(x)‖Y ≥ε non si puo avere limn→∞ f(an) = f(x), assurdo.

Teorema 1.1.1. Siano (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ) spazi normati, A ⊂ X e f, g : A→ Y due funzioni.Se x ∈ A e f, g sono continue in x allora f + g e continua in x

Dimostrazione. sia ε > 0, allora esistono δ1, δ2 > 0 tali che se x ∈ A e ‖x− x‖X < δ1 allora ‖f(x)−f(x)‖Y < ε/2 mentre se ‖x − x‖X < δ2 allora ‖g(x) − g(x)‖Y < ε/2. Usando la disuguaglianzatriangolare si ha allora se ‖x− x‖X < δ = min(δ1, δ2) e x ∈ A

‖f(x) + g(x)− f(x)− g(x)‖Y ≤ ‖f(x)− f(x)‖Y + ‖g(x)− g(x)‖Y < ε (1.1.4)

Analogamente si mostra il seguente:

Lemma 1.1.6. Siano (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ) spazi normati, A ⊂ X e f, g : A→ Y due funzionie x ∈ X. Se limx→x f(x) = `1 e limx→x g(x) = `2, allora limx→x[f(x) + g(x)] = `1 + `2. (Unenunciato analogo vale se limx→∞ f(x) = `1 e limx→∞ g(x) = `2).

Teorema 1.1.2. Siano (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ), (Z, ‖ ‖Z) tre spazi normati, siano A ⊂ X, B ⊂Y , f : A → Y , g : B → Z, f(A) ⊂ B, x ∈ A, f continua in x, g continua in f(x), allora g f econtinua in x.


Definizione 1.1.8. Siano (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ) spazi normati, A ⊂ X e f : A → Y unafunzione. Si dice che f e continua se e continua in ogni punto di A.

Definizione 1.1.9. Siano (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ) spazi normati, A ⊂ X e f : A → Y unafunzione. Si dice che f e lipschitziana in A se esiste una costante L > 0 tale che per ogni x, y ∈ Asi ha

‖f(x)− f(y)‖Y ≤ L‖x− y‖X (1.1.5)

Lemma 1.1.7. Una funzione lipschitziana e anche continua.


Teorema 1.1.3. Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato, allora x → ‖x‖X e una funzione lips-chitziana.

Dimostrazione. siano x, y ∈ X, allora usando le proprieta della norma si ha

‖x‖X = ‖x+ y − y‖X ≤ ‖x− y‖X + ‖y‖X (1.1.6)

‖y‖X = ‖y − x+ x‖X ≤ ‖x− y‖X + ‖x‖X (1.1.7)

da cui si ottiene−‖x− y‖X ≤ ‖x‖X − ‖y‖X ≤ ‖x− y‖X (1.1.8)

cioe| ‖x‖X − ‖y‖X | ≤ ‖x− y‖X (1.1.9)


Definizione 1.1.10. Sia X uno spazio vettoriale e siano ‖ ‖1, ‖ ‖2 due norme su X. Si diceche esse sono due norme equivalenti se esistono due costanti k,K > 0 tali che per ogni x ∈ X siha:

k‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ K‖x‖1 (1.1.10)

Lemma 1.1.8. Sia X uno spazio vettoriale e siano ‖ ‖1, ‖ ‖2 due norme equivalenti su X.Sia ai una successione in X, allora limn→∞ an = ` secondo la norma ‖ ‖1 ⇔ limn→∞ an = `secondo la norma ‖ ‖2Dimostrazione. ⇒) sia ε > 0, allora esiste un N > 0 tale che se n > N si ha ‖an − `‖1 < ε/K(dove K e come nella definizione 1.1.10), ma allora ‖an − `‖2 < ε, quindi limn→∞ an = ` anchesecondo la norma ‖ ‖2.⇐) dimostrazione analoga.

analogamente si mostrano i seguenti lemmi:

Lemma 1.1.9. Sia X uno spazio vettoriale e ‖ ‖X1, ‖ ‖X2 due norme equivalenti su X. Sia Yuno spazio vettoriale e ‖ ‖Y 1, ‖ ‖Y 2 due norme equivalenti su Y . A ⊂ X, f : A→ Y , x ∈ X e` ∈ Y , allora sono equivalenti le due affermazioni seguenti

1. limx→x f(x) = ` considerando (X, ‖ ‖X1), (Y, ‖ ‖Y 1).

2. limx→x f(x) = ` considerando (X, ‖ ‖X2), (Y, ‖ ‖Y 2).

Lemma 1.1.10. Sia X uno spazio vettoriale e ‖ ‖X1, ‖ ‖X2 due norme equivalenti su X. SiaY uno spazio vettoriale e ‖ ‖Y 1, ‖ ‖Y 2 due norme equivalenti su Y . A ⊂ X, f : A→ Y e x ∈ Aallora sono equivalenti le due affermazioni seguenti

1. f e continua in x considerando (X, ‖ ‖X1), (Y, ‖ ‖Y 1).

2. f e continua in x considerando (X, ‖ ‖X2), (Y, ‖ ‖Y 2).

1.2 Topologia

Definizione 1.2.1. Se (X, ‖ ‖X) e uno spazio normato, x ∈ X e r > 0 si chiama palla apertadi centro x e raggio r l’insieme

B(x, r) = y ∈ X| ‖x− y‖X < r (1.2.1)

Si chiama palla chiusa di centro x e raggio r l’insieme

B(x, r) = y ∈ X| ‖x− y‖ ≤ r (1.2.2)

Definizione 1.2.2. Se (X, ‖ ‖X) e uno spazio normato e A ⊂ X un insieme, si dice che A eaperto se per ogni a ∈ A esiste un ra > 0 tale che B(a, ra) ⊂ A oppure se A = ∅. Si dice che A echiuso se Ac e aperto (dove Ac e il complementare di A).

Lemma 1.2.1. Se (X, ‖ ‖X) e uno spazio vettoriale, x ∈ X e r > 0 allora

1. B(x, r) e un insieme aperto

2. B(x, r) e un insieme chiuso.

Dimostrazione. 1) sia y ∈ B(x, r), allora ‖x − y‖X = r1 < r e sia ε = r − r1. Allora B(y, ε) ⊂B(x, r), infatti se z ∈ B(y, ε) si ha ‖y − z‖X < ε e quindi

‖x− z‖X = ‖x− y + y − z‖X ≤ ‖x− y‖X + ‖y − z‖X < r1 + ε = r (1.2.3)

1.2. TOPOLOGIA 5

2) sia ora y ∈ B(x, r)c, allora ‖y − x‖X = r2 > r. Sia δ = r2 − r, allora B(y, δ) ⊂ B(x, r)

c,

infatti se ‖y − z‖X < δ, allora

‖x− y‖X ≤ ‖x− z‖X + ‖z − y‖X (1.2.4)

e quindi‖x− z‖X ≥ ‖x− y‖X − ‖z − y‖X > r2 − δ = r (1.2.5)

quindi B(x, r)c

e aperto e B(x, r) e chiuso.

Teorema 1.2.1. Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato, allora

1. ∅ e X sono insiemi aperti.

2. l’unione di una famiglia di insiemi aperti e un insieme aperto.

3. l’intersezione di un numero finito di aperti e un insieme aperto.

Dimostrazione. le affermazioni (1) e (2) sono immediate. Dimostriamo la (3): per induzione bastamostrarla nel caso di due insiemi A,B. Se A ∩ B = ∅ la tesi e vera. Se x ∈ A ∩ B allora esistonoε1, ε2 tali che B(x, ε1) ⊂ A e B(x, ε2) ⊂ B. Allora se ε = min(ε1, ε2) si ha B(x, ε) ⊂ A ∩B.

Usando le formule di De Morgan(⋃

i∈IAi

)c=⋂

i∈IAci (1.2.6)

(⋂

i∈IAi

)c=⋃

i∈IAci (1.2.7)

si ottiene il seguente

Teorema 1.2.2. Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato, allora

1. ∅ e X sono insiemi chiusi

2. l’intersezione di una famiglia di insiemi chiusi e un insieme chiuso

3. l’unione di un insieme finito di insiemi chiusi e un insieme chiuso.

Teorema 1.2.3. Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato e A ⊂ X, allora A e chiuso ⇔ ognisuccessione convergente di elementi di A converge ad un elemento di A.

Dimostrazione. ⇒) sia ai una successione di elementi tale che an → y. Si deve mostrare chey ∈ A. Supponiamo per assurdo che y /∈ A, allora esiste ε > 0 tale che B(y, ε) ⊂ Ac e per ladefinizione di limite esiste un N tale che, se n > N , an ∈ B(y, ε), quindi aN+1 /∈ A, contrariamenteall’ipotesi che an sia una successione di elementi di A.⇐) supponiamo ora che ogni successione convergente di elementi di A converga ad un elemento

di A e supponiamo per assurdo che A non sia chiuso; allora Ac non e aperto, quindi esiste x ∈ Actale che per ogni ε > 0 B(x, ε) 6⊂ Ac, quindi per ogni ε > 0 esiste un xε ∈ A tale che xε ∈ B(x, ε).La successione x1/n e allora una successione di elementi di A che converge a x, quindi per ipotesix ∈ A, mentre x ∈ Ac.

Dal teorema 1.2.3 e dal lemma 1.1.8 segue allora immediatamente il seguente teorema

Teorema 1.2.4. Sia X uno spazio normato, ‖ ‖1, ‖ ‖2 due norme equivalenti su X e A ⊂ X,allora

1. A e chiuso nella norma ‖ ‖1 se e solo se e chiuso nella norma ‖ ‖2.


2. A e aperto nella norma ‖ ‖1 se e solo se e aperto nella norma ‖ ‖2.

Definizione 1.2.3. Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato e A ⊂ X, allora si chiama chiusura diA il piu piccolo insieme chiuso che contiene A ovvero l’intersezione di tutti gli insiemi chiusi checontengono A e si indica con A.

Teorema 1.2.5. Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato e A ⊂ X, A 6= ∅ allora x ∈ A ⇔ esiste unasuccessione di elementi di A che converge a x.

Dimostrazione. sia C l’insieme cosı definito: x ∈ C se esiste una successione di elementi di Ache converge ad x. Dalla definizione segue che dato y ∈ C, per ogni ε > 0 esiste xε ∈ A taleche ‖xε − y‖X < ε. Mostriamo che C e chiuso: sia c(n) una successione di elementi di C checonverge a c; si deve mostrare che c ∈ C. Consideriamo la successione c(n)

1/n di elementi di A:evidentemente anch’essa converge a c, quindi per definizione c ∈ C. Sia ora D un chiuso tale cheA ⊂ D. Sia an una successione di elementi di A che converge a x; per il teorema 1.2.3 si haallora x ∈ D, ma allora C ⊂ D, quindi C e contenuto in ogni chiuso che contiene A, quindi e il piupiccolo chiuso che contiene A, cioe la sua chiusura.

Corollario 1.2.1. Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato, x ∈ X e r > 0, allora B(x, r) e la chiusuradi B(x, r).

Dimostrazione. sia y ∈ B(x, r), allora ‖y− x‖X ≤ r; sia tn una successione in R tale che tn → 1e |tn| < 1, allora e semplice vedere che la successione x+ tn(y−x) e una successione di elementidi B(x, r) che converge a y, quindi B(x, r) e contenuto nella chiusura di B(x, r), ma per il lemma1.2.1 B(x, r) e un insieme chiuso, quindi e la chiusura di B(x, r).

Definizione 1.2.4. Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato e A ⊂ X. A si dice insieme compatto(piu precisamente compatto per successioni) se da ogni successione di elementi di A si puo estrarreuna sottosuccessione che converge ad un elemento di A. Un insieme si dice relativamente compattose la sua chiusura e un insieme compatto.

A causa del lemma 1.1.8, se ‖ ‖1, ‖ ‖2 sono due norme equivalenti su X e A ⊂ X, allora Ae compatto secondo la norma ‖ ‖1 se e solo se e compatto per la norma ‖ ‖2.

Lemma 1.2.2. Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato e A ⊂ X un insieme compatto, allora A echiuso e limitato.

Dimostrazione. verifichiamo che A e chiuso: sia an una successione di elementi di A che convergea x ∈ X, allora esiste una sottosuccessione di an che converge ad un elemento di A, ma ognisotosuccessione di an converge ad x, quindi x ∈ A e per il teorema 1.2.3 A e un insieme chiuso.

Verifichiamo che A e limitato. Supponiamo per assurdo che A non sia limitato, allora si puocostruire una successione xn tale che limn→∞ ‖xn‖X =∞. Supponiamo esista una sottosucces-sione xnk convergente a y ∈ X, allora per la continuita della norma (teorema 1.1.3) si dovrebbeavere limk→∞ ‖xnk‖X = ‖y‖X < +∞ mentre limk→∞ ‖xnk‖X =∞.

Teorema 1.2.6 (Weierstrass). Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato, A ⊂ X un insieme compattoe f : A→ R una funzione continua, allora esiste xm ∈ A in cui f assume il suo valore minimo exM ∈ A in cui f assume il suo valore massimo.

Dimostrazione. sia M = supx∈A f(x) e sia yn una successione in A tale che f(yn)→M . Per lacompattezza di A, esiste una sottosuccessione ynk che converge ad un elemento di A, sia esso xM ,quindi si ha

ynk → xM ; f(ynk)→M (1.2.8)

poiche f e continua, si ha f(xM ) = limk→∞ f(ynk) = M , quindi in xM la funzione f assume il suomassimo. Analogamente si prova l’esistenza del minimo.

1.2. TOPOLOGIA 7

Definizione 1.2.5. Siano (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ) due spazio normati, A ⊂ X e f : A → Y ; sidice che f e uniformemente continua se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che per ogni x, y ∈ Asi ha

‖x− y‖X < δ ⇒ ‖f(x)− f(y)‖Y < ε (1.2.9)

Evidentemente ogni funzione uniformemente continua e continua; il viceversa non e vero (f(x) =x2 su (R, | |) e continua ma non uniformemente continua).

Teorema 1.2.7 (Heine-Cantor-Borel). Siano (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ) spazi normati, A ⊂ X uninsieme compatto e f : A→ Y una funzione continua, allora f e uniformemente continua.

Dimostrazione. supponiamo per assurdo che f non sia uniformemente continua, allora esisterebbeun ε > 0 tale che per ogni δ > 0 esisterebbero due elementi xδ, yδ di A tali che

‖xδ − yδ‖X < δ; ‖f(xδ)− f(yδ)‖Y ≥ ε (1.2.10)

Consideriamo la successione x1/n di elementi di A; poiche A e compatto esiste una sottosuc-cessione x1/nk che converge ad a ∈ A. A causa della prima delle relazioni 1.2.10 anche y1/nkconverge ad a, ma allora f(x1/nk) → f(a) e f(y1/nk) → f(a) per la continuaita di f e quindi perla continuita della norma (teorema 1.1.3) si dovrebbe avere

‖f(x1/nk)− f(y1/nk)‖Y → 0 (1.2.11)

contrariamente alla seconda disuguaglianza in 1.2.10.

Teorema 1.2.8. Sia X uno spazio vettoriale di dimensione finita, allora in X tutte le norme sonoequivalenti.

Dimostrazione. sia e1 . . . , en una base di X e definiamo la norma ‖ ‖1 come segue

‖a1e1 + · · ·+ anen‖1 = |a1|+ · · ·+ |an| (1.2.12)

e immediato verificare che ‖ ‖1 e effettivamente una norma su X. Verifichiamo ora che l’insiemeS(0, 1) = x ∈ X| ‖x‖1 = 1 e un sottoinsieme compatto di X per la norma ‖ ‖1: sia x(n) unasuccessione in S(0, 1), allora ‖x(n)‖1 = 1 quindi le n successioni delle componenti x(n)

1 , . . . , x(n)n

sono successioni limitate in R, quindi e possibile estrarre dalla prima una sottosuccessione con-

vergente in R, sia essa x(i(1)k )

1 ; allora la sottosuccessione x(i(1)k )

2 e limitata, quindi vi si puo

estrarre una sottosuccessione x(i(2)k )

2 convergente. Procedendo in questo modo n volte si ottiene

un insieme di indici, sia esso i(n)k tale che x(i

(n)k )

j converge per ogni j = 1, . . . , n ad un elementoxj quando k →∞. A questo punto per come e stata definita ‖ ‖1 e immediato vedere che

‖x1e1 + · · ·+ xnen − x(i(n)k )

1 e1 − · · · − x(i(n)k )

n en‖X → 0 se k →∞ (1.2.13)

cioe esiste una sottosuccessione convergente di x(n). Si deve ora mostrare che l’elemento a cuitale sottosuccessione tende sia in S(0, 1); per fare cio basta mostrare che S(0, 1) e un insiemechiuso, ma esso e intersezione di due chiusi, poiche

S(0, 1) = B(0, 1)c ∩B(0, 1) (1.2.14)

quindi per il teorema 1.2.2 e un insieme chiuso. Si e cosı visto che S(0, 1) e un compatto. Sia ora‖ ‖ una qualsiasi norma su X; allora

‖a1e1 + · · ·+ anen‖ ≤ |a1| ‖e1‖+ · · ·+ |an| ‖en‖ ≤ K‖a1e1 + · · ·+ anen‖1 (1.2.15)

dove K = max(‖e1‖, . . . , ‖en‖), quindi per ogni x ∈ X si ha ‖x‖ ≤ K‖x‖1 quindi la funzionex→ ‖x‖ e lipschitziana rispetto alla norma ‖ ‖1 (per il teorema 1.1.3), in particolare e continua.


Per il teorema di Weierstrass, poiche S(0, 1) e compatto, x→ ‖x‖ assume il suo minimo su S(0, 1)in un punto xm. Poiche xm 6= 0 (poiche ‖xm‖1 = 1 6= 0) si avra ‖xm‖ = m > 0, quindi ‖y‖ ≥ mper ogni y ∈ S(0, 1). Sia ora x ∈ X, x 6= 0, allora e immediato vedere che x/‖x‖1 ∈ S(0, 1) quindi

∥∥∥∥x

‖x‖1

∥∥∥∥ ≥ m (1.2.16)

cioe ‖x‖ ≥ m‖x‖1 che insieme a 1.2.15 mostra che le due norme ‖ ‖ e ‖ ‖1 sono equivalenti.Poiche l’equivalenza tra norme e una relazione di equivalenza e si e appena visto che tutte le normesono equivalenti a ‖ ‖1, tutte le norme sono equivalenti tra loro.

Il teorema precedente e falso in dimensione infinita: sia X lo spazio delle funzioni continue elimitate con derivata continua e limitata. Si vede semplicemente che le seguenti sono norme su X:

‖f‖0 = supx∈R|f(x)| ‖f‖1 = sup

x∈R|f(x)|+ sup

x∈R|f ′(x)| (1.2.17)

Si consideri la successione fn = 1n sin(nx) si vede semplicemente che fn → 0 nella norma ‖ ‖0 ma

non nella norma ‖ ‖1 (poiche ‖fn‖1 = 1n + 1) quindi per il lemma 1.1.8 le due norme non possono

essere equivalenti.

Corollario 1.2.2 (Bolzano-Weierstrass). Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio di dimensione finita, A ⊂X un insieme limitato e chiuso, allora A e compatto.

Dimostrazione. per il teorema precedente basta mostrare la tesi per la norma ‖ ‖1 introdottanella dimostrazione precedente. In questo caso la dimostrazione e identica a quella con cui nelteorema precedente si e visto che S(0, 1) e compatto.

Anche questo teorema non e in generale vero in dimensione infinita: si consideri lo spazioB(R) delle funzioni limitate su R con la norma ‖f‖ = supx∈R |f(x)| (norma della convergenzauniforme). Verifichiamo che l’insieme B(0, 1), chiuso e limitato, non e compatto: sia fn = e−nx

2,

allora fn ∈ B(0, 1) e fn converge puntualmente alla funzione f tale che f(0) = 1 e f(x) = 0 sex 6= 0, ma ‖f − fn‖ = 1 quindi non esistono sottosuccessioni di fn che convergono nella norma‖ ‖, quindi B(0, 1) in questo caso non e compatto.

In alcuni testi viene citato come teorema di Bolzano-Weierstrass il seguente:

Corollario 1.2.3 (Bolzano-Weierstrass). Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato di dimensionefinita e sia A ⊂ X un insieme limitato avente un numero infinito di elementi, allora A ha almenoun punto di accumulazione in X.

Dimostrazione. poiche A e limitato, esiste R > 0 tale che A ⊂ B(0, R) e quindi A ⊂ B(0, R),quindi A e un insieme chiuso e limitato in uno spazio normato di dimensione finita, quindi peril teorema di Bolzano-Weierstrass (prima forma) A e compatto. Poiche A ha un numero infinitodi elementi, esiste una successione di elementi distinti di A, sia essa xn. Poiche A ⊂ A e Ae compatto, la successione xn ammette una sottosuccessione convergente che continueremo adindicare con xn per semplicita di notazione, quindi esite un y ∈ X tale che xn → y, cioe perogni ε > 0 esiste un N tale che se n > N si ha xn ∈ B(y, ε). Se y e diverso da xn per ogni n eallora ovvio che y e un punto di accumulazione di A. Se esiste un n tale che y = xn, per come estata costruita la successione si ha che se n > max(N, n) si ha xn ∈ B(y, ε) e xn 6= y = xn quindiy e un punto di accumulazione di A

Definizione 1.2.6. Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato e siano A,B ⊂ X tali che A ⊂ B. Si diceche A e denso in B se B ⊂ A.

Dal teorema 1.2.5 segue immediatamente che A e denso in B se e solo se per ogni b ∈ B, ε > 0esiste un a ∈ A tale che a ∈ B(b, ε).

1.3. SPAZI DI BANACH 9

Definizione 1.2.7. Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato e sia A ⊂ X. Si chiama parte interna diA l’insieme A costituito dall’unione di tutti gli aperti contenuti in A, ovvero il piu grande apertocontenuto in A.

Dalla definizione segue immediatamente che a ∈ A se e solo se esiste un ε > 0 tale che B(a, ε) ⊂A.

Lemma 1.2.3. Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato e A ⊂ X, allora A = ∅ ⇔ Ac e denso in X.

Dimostrazione. ⇒) se A = ∅ (e A 6= ∅ altrimenti la tesi e ovvia) per ogni a ∈ A, per ogni ε > 0 siha B(a, ε) ∩Ac 6= ∅, quindi A ⊂ Ac, ma evidentemente Ac ⊂ Ac e Ac ∪A = X, quindi X ⊂ Ac.⇐) sia A tale che Ac sia denso in X (e nuovamente A 6= ∅), allora per ogni a ∈ A, per ogni

ε > 0 esiste un b ∈ Ac tale che b ∈ B(a, ε) e quindi B(a, ε) non e contenuto completamente in A,quindi A = ∅.

1.3 Spazi di Banach

Definizione 1.3.1. Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato e sia xn una successione in X; sidice che la successione xn e una successione di Cauchy (in alcuni testi si trova successionefondamentale) se per ogni ε > 0 esiste un N ∈ N tale che se n,m > N allora si ha ‖xn− xm‖ < ε.

E immediato verificare che se X e uno spazio vettoriale, ‖ ‖1, ‖ ‖2 sono due norme equivalentisu X e xn e una successione in X, allora xn e una successione di Cauchy per la norma ‖ ‖1se e solo se e una successione di Cauchy per la norma ‖ ‖2.

Lemma 1.3.1. Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato e sia xn una successione convergente, alloraxn e una successione di Cauchy.

Dimostrazione. sia limn→∞ xn = x, allora per ogni ε > 0 esiste un N tale che se n > N si ha‖x− xn‖X < ε/2, quindi se n,m > N si ha

‖xn − xm‖X ≤ ‖xn − x‖X + ‖xm − x‖X < ε (1.3.1)

Definizione 1.3.2. Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato. Esso si dice completo se ogni successionedi Cauchy converge. Uno spazio normato completo si chiama anche spazio di Banach .

Lemma 1.3.2. Sia X uno spazio vettoriale e siano ‖ ‖1, ‖ ‖2 due norma equivalenti su X,allora X e completo rispetto a ‖ ‖1 se e solo se e completo rispetto a ‖ ‖2.

Dimostrazione. discende subito dal lemma 1.1.8.

Si usera il fatto, dimostrato nei corsi di Analisi del primo anno, che lo spazio (R, | |) e unospazio normato completo.

Teorema 1.3.1. Ogni spazi normato di dimensione finita e completo.

Dimostrazione. poiche in dimensione finita tutte le norme sono equivalenti (vedi teorema 1.2.8),per il lemma 1.3.2 basta dimostrare che X e completo rispetto ad una particolare norma. See1, . . . , en e una base di X, introduciamo la norma

‖a1e1 + · · ·+ anen‖1 = |a1|+ · · ·+ |an| (1.3.2)

Sia ora x(i) una successione di Cauchy in X rispetto alla norma ‖ ‖1. Si vede subito che allorale successioni x(i)

1 , . . . , x(i)n delle componenti di x(i) sono successioni di Cauchy in R e quindi

convergono ad elementi x1, . . . , xn. Allora si ha

‖x(i) − (x1e1 + · · ·+ xnen)‖1 = |x(i)1 − x1|+ · · ·+ |x(i)

n − xn| (1.3.3)


e poiche per i→∞ il secondo membro tende a 0 per costruzione si ha che

limi→∞

x(i) = x1e1 + · · ·+ xnen (1.3.4)

quindi ogni successione di Cauchy converge e quindi lo spazio e completo

Corollario 1.3.1. Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato e sia Y ⊂ X un sottospazio di dimensionefinita, allora Y e chiuso.

Dimostrazione. usiamo il teorema 1.2.3: sia yn una successione di elementi di Y che convergea y ∈ X; si deve mostrare che y ∈ Y . Poiche yn converge, e una successione di Cauchy in X,quindi e una successione di Cauchy nello spazio normato ottenuto restringendo a Y la norma diX, quindi yn e una successione di Cauchy nello spazio normato (Y, ‖ ‖X|Y ) che, per il teoremaprecedente e completo, quindi esiste y ∈ Y tale che yn → y nello spazio (Y, ‖ ‖X|Y ) ma, percome tale spazio e stato costruito, si ha anche evidentemente yn → y nello spazio (X, ‖ ‖X) e perl’unicita del limite si ha quindi y = y e quindi y ∈ Y .

Teorema 1.3.2. sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato, allora esiste uno spazio normato completo Xtale che X e isomorfo ad un sottospazio X di X tramite l’isomorfismo v → v, si ha ‖v‖X = ‖v‖Xe X e denso in X.

Dimostrazione. sia A l’insieme delle successioni di Cauchy di elementi dello spazio (X, ‖ ‖X).Siano xn, yn ∈ A, allora scriviamo xn ∼ yn se limn→∞ ‖xn − yn‖X = 0; e immediatovedere che ∼ e una relazione di equivalenza in A; inoltre definendo xn + yn = xn + yn,αxn = αxn l’insieme A diventa uno spazio vettoriale. Poniamo X = A/ ∼, cioe X e l’insiemequoziente di A rispetto alla relazione di equivalenza ∼; se a ∈ A, indichiamo con [a] la classe diequivalenza cui appartiene a. Siano ora u, v ∈ X, allora esistono due successioni di Cauchy dielementi di X, xn, yn tali che u = [xn], v = [yn]; definiamo allora u + v = [xn + yn]; eimmediato vedere che questa definizione e non ambigua, cioe non dipende dalla particolare sceltadelle successioni xn, yn: siano x′n, y′n due successioni tali che x′n ∼ xn e y′n ∼ yn,allora si ha

limn→∞

‖xn + yn − x′n − y′n‖X ≤ limn→∞

‖xn − x′n‖+ limn→∞

‖yn − y′n‖X = 0 (1.3.5)

quindi xn + yn ∼ x′n + y′n e quindi u + v = [xn + yn] = [x′n + y′n]. Analogamente sivede che se u ∈ X, u = [xn], allora ha senso porre αu = [αxn]. Dotato di queste operazionil’insieme X diventa uno spazio vettoriale. Se u ∈ X, u = [xn] poniamo ‖u‖X = limn→∞ ‖xn‖X ;poiche xn e una successione di Cauchy in X e | ‖xn‖X − ‖xm‖X | ≤ ‖xn − xm‖X (vedi teorema1.1.3) la successione ‖xn‖X e una successione di Cauchy in R, quindi ammette limite, quindilimn→∞ ‖xn‖X < +∞; inoltre, se xn ∼ x′n, si ha | ‖xn‖X − ‖x′n‖X | ≤ ‖xn − x′n‖X → 0 quindilimn→∞ ‖x′n‖X = limn→∞ ‖xn‖X e quindi la definizione di ‖u‖X e non ambigua. E semplice vedereche ‖ ‖X e una norma nello spazio vettoriale X.

Sia ora x ∈ X, allora la successione yn = x e evidentemente una successione di Cauchy,quindi yn = x ∈ A e quindi [yn = x] ∈ X. Poniamo x = [yn = x]. E immediato verificareche se x 6= y in X, allora x 6= y in X, infatti

‖x− y‖X = limn→∞

‖x− y‖X = ‖x− y‖X > 0 (1.3.6)

e anche semplice vedere che x + y = x+ y e che αx = αx, quindi la applicazione x → x e unisomorfismo tra lo spazio vettoriale X ed un sottospazio X di X. Inoltre questo isomorfismoconserva le norme, infatti

‖x‖X = limn→∞

‖x‖X = ‖x‖X (1.3.7)

Mostriamo ora che X e denso in X: sia y ∈ X e [yn] = y, allora yn ∈ X e quindi yn ∈ X e si ha

‖y − yn‖X = limk→∞

‖yk − yn‖X (1.3.8)


e poiche yn e una successione di Cauchy in X, fissato ε > 0 esiste un N tale che se k, n > N siha ‖yk − yn‖X < ε, quindi ‖y − yN+1‖X < ε, quindi X e denso in X.

Mostriamo ora che (X, ‖ ‖X) e uno spazio di Banach: sia yn una successione di Cauchy inX, quindi fissato ε > 0, se n,m > N si ha ‖yn−ym‖X < ε/4; sia xn ∈ X tale che ‖yn− xn‖X < 1/n(cio e possibile poiche si e appena visto che X e denso in X), allora si ha

‖xn − xm‖X = ‖xn − xm‖X ≤ ‖xn − yn‖X + ‖yn − ym‖X + ‖ym − xm‖X ≤1n

+ε

4+

1m

(1.3.9)

quindi la successione xn e una successione di Cauchy in X, quindi si puo porre z = [xn] ∈ Xe si ha

‖z − yk‖X ≤ ‖z − xk‖X + ‖xk − yk‖X ≤ limn→∞

‖xn − xk‖X +1k

(1.3.10)

Se ora n, k > N > 4/ε, da 1.3.9 e 1.3.10 si ottiene

‖z − yk‖X ≤1n

+ε

4+

1k

+1k< ε (1.3.11)

quindi limk→∞ yk = z.

Definizione 1.3.3. Lo spazio (X, ‖ ‖X) del teorema precedente si dice completamento dellospazio (X, ‖ ‖X).

Definizione 1.3.4. Si indica con C([a, b]) lo spazio delle funzioni continue nell’intervallo [a, b],con C(−∞,∞) lo spazio delle funzioni continue su tutta la retta reale. Si indica con Cc([a, b])il sottoinsieme di C([a, b]) costituito dalle funzioni f tali che f(a) = f(b) = 0; si indica conCc(−∞,∞) l’insieme delle funzioni f di C(−∞,∞) tali che esiste un M > 0 tale che f(x) = 0 se|x| > M .

Lemma 1.3.3. Lo spazio Cc([a, b]) con la norma ‖f‖1 =∫ ba|f(x)|dx non e uno spazio normato

completo.

Dimostrazione. consideriamo ad esempio lo spazio Cc([−1, 1]) (ovviamente il caso generale si trattain modo analogo) e la successione di funzioni

fn(x) =

0 su [−1,−1/n]nx+ 1 su (−1/n, 0]−x+ 1 su (0, 1]

(1.3.12)

sia

f(x) =

0 su [−1, 0]−x+ 1 su (0, 1] (1.3.13)

allora e immediato verificare che ‖fn−f‖1 = 1/(2n), quindi f = limn→∞ fn, ma f /∈ Cc([−1, 1]).

Definizione 1.3.5. Si chiama L1(a, b) il completamento dello spazio Cc([a, b]) con la norma ‖ ‖1del lemma precedente (questa definizione vale anche se a = −∞, b = +∞)

Teorema 1.3.3. Lo spazio L1(a, b) e lo spazio delle funzioni integrabili secondo Lebesgue, in cuisi identificano funzioni uguali quasi ovunque, con la norma

‖f‖1 =∫ b

a

|f(x)|dx (1.3.14)

(il teorema e vero anche se a = −∞, b = +∞)

Dimostrazione. per dimostrare il teorema, si dovrebbe mostrare che lo spazio delle funzioni in-tegrabili secondo Lebesgue (con l’identificazione della tesi) e completo rispetto alla norma ‖ ‖1e che Cc(a, b) e denso in esso. La dimostrazione di questi fatti e nella appendice A nel caso piugenerale di dimensione n.


Teorema 1.3.4 (Weierstrass). Lo spazio Vp(a, b) dei polinomi in una variabile, e denso nellospazio C([a, b]) (|a|, |b| <∞) con la norma ‖f‖∞ = supx∈[a,b] |f(x)|.

Dimostrazione. si dimostrera il teorema per il caso [a, b] = [0, 1] poiche tramite un cambiamentolineare di variabile ci si puo sempre ricondurre a questo caso. Sia f ∈ C([0, 1]); si puo supporref(0) = f(1) = 0, altrimenti si considera la funzione g(x) = f(x)−f(0)−x[f(1)−f(0)] e se esiste unpolinomio p(x) tale che ‖g−p‖∞ < ε allora ‖f(x)−p(x)+f(0)+x[f(1)−f(0)]‖∞ = ‖g−p‖∞ < ε.Supponiamo quindi f(0) = f(1) = 0 e prolunghiamo f su [0, 1]c ponendo ivi f(x) = 0. Definiamoora

δn(x) =(1− x2)n∫ 1

−1(1− x2)n

(1.3.15)

allora δn(x) ≥ 0 e∫ 1

−1δn(x)dx = 1. Definiamo quindi

Pn(x) =∫ 1

0

f(y)δn(y − x)dy =∫ 1−x

−xf(z + x)δn(z)dz (1.3.16)

dalla prima delle due forme risulta che Pn e un polinomio nella variabile x. Si ha inoltre Pn(x) =∫ 1

−1f(z + x)δn(z)dz, infatti se z < −x, allora x + z < 0 e quindi f(x + z) = 0, analogamente se

z > 1− x, allora z + x > 1 e f(x+ z) = 0. Si ha quindi

|Pn(x)−f(x)| =∣∣∣∣∫ 1

−1

f(z + x)δn(z)dz − f(x)∫ 1

−1

δn(z)dz∣∣∣∣ ≤

∫ 1

−1

δn(z)|f(x+z)−f(x)|dz (1.3.17)

Poiche f e continua su un compatto essa e uniformemente continua (teorema di Heine-Cantor-Borel), quindi dato ε > 0 esiste un δ > 0 tale che se |z| < δ allora |f(x + z) − f(x)| < ε. Risultaquindi conveniente spezzare la disuguaglianza 1.3.17 in 3 parti:

|Pn(x)− f(x)| ≤(∫ −δ−1

+∫ δ

δ

+∫ 1

δ

)δn(z)|f(x+ z)− f(x)|dz = I1 + I2 + I3 (1.3.18)

si ha

I2 ≤ ε∫ δ

−δδn(z)dz ≤ ε

∫ 1

−1

δn(z)dz = ε (1.3.19)

inoltre si ha la stima∫ 1

−1

(1− x2)ndx = 2∫ 1

0

(1− x)n(1 + x)ndx ≥ 2∫ 1

0

(1− x)ndx =2

n+ 1(1.3.20)

da cui si deduce δn(z) ≤ n+12 (1− z2)n. Sia M = ‖f‖∞, allora si ha

I3 =∫ 1

δ

δn(z)|f(x+ z)− f(x)|dz ≤∫ 1

δ

2Mδn(z)dz ≤ (1.3.21)

≤∫ 1

δ

2Mn+ 1

2(1− z2)ndz ≤M(n+ 1)(1− δ2)n

dove nell’ultimo passaggio si e usato il fatto che (1−z2)n e decrescente su [δ, 1]. Quindi limn→∞ I3 =0. Analogamente si vede che limn→∞ I1 = 0, quindi esiste un N > 0 tale che |PN (x)− f(x)| < 2εper ogni x e quindi ‖PN − f‖∞ < 2ε.

E semplice vedere che il teorema precedente non e piu vero se, ad esempio, b = ∞: bastaconsiderare la funzione continua f(x) = ex, allora per ogni polinomio p(x) si ha limx→+∞ |ex −p(x)| =∞.


Corollario 1.3.2. Sia |a|, |b| < +∞, e sia Vp(a, b) lo spazio dei polinomi in una variabile su [a, b],allora Vp(a, b) e denso in L1(a, b).

Dimostrazione. sia f ∈ L1(a, b), allora, fissato ε > 0, per definizione esiste una funzione φ ∈Cc([a, b]) tale che ‖f − φ‖1 < ε/2. Sia ora p(x) un polinomio, allora si ha

‖φ− p‖1 =∫ b

a

|φ(x)− p(x)|dx ≤ (b− a) supx∈[a,b]

|φ(x)− p(x)| = (b− a)‖φ− p‖∞ (1.3.22)

per il teorema di Waierstrass ‖φ−p‖∞ puo essere reso piccolo a piacere, quindi esiste un polinomiop(x) tale che ‖φ− p‖1 < ε/2 e quindi ‖f − p‖1 < ε.

Definizione 1.3.6. Si indica con C∞([a, b]) lo spazio delle funzioni di C([a, b]) infinitamente deriv-abili in (a, b) con derivate prolungabili per continuita su [a, b]. Si indica con C∞c ([a, b]) l’insiemedelle funzioni di Cc([a, b]) ∩ C∞([a, b]).

Corollario 1.3.3. Se |a|, |b| <∞, l’insieme C∞([a, b]) e denso in L1(a, b).

Dimostrazione. per il corollario 1.3.2 i polinomi sono densi in L1(a, b) e evidentemente i polinomisono contenuti in C∞([a, b]).

Teorema 1.3.5. Se |a|, |b| <∞, allora C∞c ([a, b]) e denso in L1(a, b).

Dimostrazione. sia δ > 0 da fissare e definiamo

ωδ(x) =Ne−

1(x−a)(a+δ−x) se x ∈ (a, a+ δ)

0 se x ∈ [a+ δ, b], x = a(1.3.23)

ω′δ(x) =N ′e−

1(b−x)(x−b+δ) se x ∈ (b− δ, b)

0 se x ∈ [a, b− δ], x = b(1.3.24)

e siano N,N ′ tali che∫ baωδ(x)dx =

∫ baω′δ(x)dx = 1. Definiamo quindi

ηδ(x) =∫ x

a

[ωδ(t)− ω′δ(t)]dt (1.3.25)

E semplice vedere che ηδ ha le seguenti proprieta: ηδ ∈ C∞c ([a, b]), 0 ≤ ηδ ≤ 1 e se x ∈ (a+ δ, b− δ)si ha ηδ(x) = 1.

Sia ora f ∈ L1(a, b) e, fissato ε > 0, sia p(x) un polinomio tale che ‖f − p‖1 < ε. Sia oraM = maxx∈[a,b] |p(x)| e scegliamo δ < ε/M , allora ηδ(x)p(x) ∈ C∞c ([a, b]) e si ha

‖f − ηδp‖1 ≤ ‖f − p‖1 + ‖p− ηδp‖1 ≤ ε+∫ b

a

|p(x)|(1− ηδ(x))dx = (1.3.26)

= ε+∫ a+δ

a

|p(x)|(1− ηδ(x))dx+∫ b

b−δ|p(x)|(1− ηδ(x))dx ≤

≤ ε+∫ a+δ

a

|p(x)|dx+∫ b

b−δ|p(x)|dx ≤ ε+ 2δM ≤ 3ε

Definizione 1.3.7. Dato E ⊂ Rn si indica con χE la funzione caratteristica dell’insieme E cioela funzione che vale 1 su E e 0 altrove (in taluni testi la funzione caratteristica e indicata con 1E)

Corollario 1.3.4. C∞c ([a, b]) e denso in L1(a, b) anche se a = −∞, b =∞.


Dimostrazione. sia f ∈ L1(−∞,∞) e sia fR(x) = f(x)χ[−R,R], allora limR→∞ |fR(x) − f(x)| = 0(almeno per q.o. x) e |f − fR| ≤ 2|f |, quindi per il teorema della convergenza dominata

limR→∞

∫ ∞−∞|f(x)− fR(x)|dx = 0 (1.3.27)

quindi per ogni ε > 0 esiste un R > 0 tale che ‖f − fR‖1 < ε e evidentemente fR ∈ L1(−R,R),quindi esiste una funzione φ ∈ C∞c ([−R,R]) tale che

∫ R−R |fR(x)− φ(x)| ≤ ε. Prolunghiamo ora φ

ponendo φ(x) = 0 se x ∈ [−R,R]c, quindi si ha φ ∈ C∞c (−∞,∞) e si ha

‖f − φ‖1 ≤ ‖f − fR‖1 + ‖fR − φ‖1 ≤ ε+∫ ∞−∞|fR(x)− φ(x)|dx = (1.3.28)

= ε+∫ R

−R|fR(x)− φ(x)|dx ≤ 2ε

Definizione 1.3.8. Se p ≥ 1 si definisce spazio Lp(a, b) l’insieme delle funzioni f tali che∫ ba|f(x)|pdx <∞ in cui si identificano funzioni ugauali q.o.Su Lp(a, b) si definisce la norma ‖ ‖p

‖f‖p =

(∫ b

a

|f(x)|pdx)1/p

(1.3.29)

si puo mostrare che ‖ ‖p cosı definita e effettivamente una norma in Lp(a, b).

Teorema 1.3.6 (Fischer-Riesz). Lo spazio Lp(a, b) con la norma ‖ ‖p e uno spazio di Banachper ogni p ≥ 1, a, b ∈ R (anche a = −∞, b =∞).

Teorema 1.3.7. C∞c ([a, b]) e denso in Lp(a, b) per ogni p ≥ 1, per ogni a, b (anche a = −∞, b =∞).

Teorema 1.3.8 (Disuguaglianza di Holder). Siano r, s ≥ 1 tali che 1r + 1

s = 1 e sianof ∈ Lr(a, b), g ∈ Ls(a, b), allora fg ∈ L1(a, b) e si ha

∫ b

a

|f(x)g(x)|dx ≤(∫ b

a

|f(x)|rdx)1/r (∫ b

a

|g(x)|sdx)1/s

(1.3.30)

il teorema vale anche se a = −∞, b = +∞.

Per i dettagli delle dimostrazioni precedenti ed alcune generalizzazioni si rimanda all’appendiceA.

Corollario 1.3.5. se |a|, |b| <∞, e p > q ≥ 1, allora Lp(a, b) ⊂ Lq(a, b).

Dimostrazione. se f ∈ Lp(a, b) allora |f |q ∈ Lp/q(a, b) e inoltre p/q > 1, quindi esiste t > 1 taleche 1

t + 1p/q = 1, allora usando la disuguaglianza di Holder si ha

∫ b

a

|f(x)|qdx ≤(∫ b

a

1dx

)1/t(∫ b

a

(|f(x)|q)p/qdx)q/p

= ‖f‖qp(b− a)1/t <∞ (1.3.31)

Il corollario non e piu vero se |a|, |b| 6< ∞: consideriamo ad esempio a = 1, b = ∞, allora1/x ∈ L2(1,∞) ma 1/x /∈ L1(1,∞).

Vedremo ora come sono legate la convergenza puntuale, uniforme ed in norma Lp (la conver-genza in norma Lp e detta anche convergenza in media di ordine p).


Teorema 1.3.9. Sia fn una successione di funzioni di Lp(a, b) che converge in Lp(a, b) alla fun-zione f , allora esiste una sottosuccessione di f che converge a f puntualmente per q.o. x ∈ (a, b)(il teorema vale anche se a = −∞, b =∞).

Dimostrazione. vedi appendice A

Esempio 1.3.1. La convergenza in Lp di una successione di funzioni non implica la convergenzapuntuale (neppure q.o.) della stessa.

Dimostrazione. per ogni i > 0, 0 ≤ j < i definiamo fj,i = χ[j/i,(j+1)/j]. Indichiamo allora congn la successione f0,1; f0,2; f1,2; f0,3; f1,3; f2,3; . . . ; f0,n; . . . ; fn−1,n; f0,n+1; . . . E semplice vedereche ‖fm,n‖p = 1/np, quindi gn → 0 in norma Lp(0, 1) ed e altrettanto semplice vedere che pernessun x ∈ [0, 1] la successione gn(x) ammette limite in R.

Teorema 1.3.10. Sia [a, b] un intervallo limitato e sia fn un successione di funzioni di Lp(a, b)che converge uniformemente a f , allora fn → f in Lp(a, b).

Dimostrazione. per ipotesi per ogni ε > 0 esiste un N tale che se n > N si ha |f(x)− fn(x)| < ε,quindi

‖f − fn‖p =

(∫ b

a

|f(x)− fn(x)|pdx)1/p

≤ ε(b− a)1/p (1.3.32)

quindi ‖f − fn‖p → 0.

Esempio 1.3.2. Se [a, b] non e limitato la convergenza uniforme non implica la convergenza inLp(a, b).

Dimostrazione. sia fn = 1/ p√nχ[0,n] allora fn tende uniformemente a 0. Supponiamo ora che

esista f tale che fn → f in norma Lp(0,∞), allora per il teorema 1.3.9 una sottosuccessione difn dovrebbe convergere puntualmente quasi ovunque a f e poiche fn converge uniformementea 0 si deve avere f = 0 (in Lp), ma ‖fn‖p = 1 per ogni n, quindi non e possibile che fn → 0 in Lp,poiche altrimenti dovrebbe aversi ‖fn‖p → 0.

Teorema 1.3.11. Se fn e una successione in Lp tale che fn → f puntualmente e |fn(x)| ≤ g(x),dove g ∈ Lp(a, b), allora fn → f in Lp(a, b) (il teorema vale anche se a = −∞, b =∞).

Dimostrazione. dell’ipotesi |fn| ≤ g e fn → f puntualmente segue che |f | ≤ g e quindi si ha|f(x)−fn(x)| → 0 puntualmente e |f(x)−fn(x)| ≤ 2g(x), quindi |f−fn|p ≤ 2pgp ∈ L1(a, b) quindiusando il teorema di Lebesgue della convergenza dominata si ottiene che ‖f − fn‖p → 0.

Esempio 1.3.3. La sola convergenza puntuale non implica la convergenza in norma Lp(a, b).

Dimostrazione. sia

fn(x) =

0 se x = 0 o 1/n < x ≤ 1n se 0 < x ≤ 1/n (1.3.33)

allora fn(x)→ 0 per ogni x ma ‖fn‖p ≥ 1 per ogni n ∈ N e p ≥ 1.

Una importante proprieta degli spazi completi e il seguente

Teorema 1.3.12 (delle contrazioni di Banach). Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato completoe sia f : X → X tale che esiste 0 ≤ k < 1 tale che per ogni x, y ∈ X si abbia

‖f(x)− f(y)‖X ≤ k‖x− y‖X (1.3.34)

(in questo caso f e detta contrazione ) allora esiste un unico x ∈ X tale che x = f(x) (un puntoche abbia questa caratteristica e detto punto fisso o punto unito) e inoltre dato un generico x0 ∈ xe costruita la successione xn come xn+1 = f(xn) si ha x = limn→∞ xn.


Dimostrazione. mostriamo innanzitutto l’unicita del punto fisso: supponiamo per assurdo cheesistano due distinti punti fissi x, y, allora si avrebbe

‖x− y‖X = ‖f(x)− f(y)‖X ≤ k‖x− y‖X (1.3.35)

e poiche k < 1 si ottiene ‖x − y‖X = 0, assurdo. Mostriamo ora l’esistenza del punto fisso:sia x0 ∈ X e costruiamo la successione xn ponendo xn+1 = f(xn); vediamo che xn e unasuccessione di Cauchy in (X, ‖ ‖X). Si ha

‖xn − xn+1‖X = ‖f(xn−1)− f(xn)‖X ≤ k‖xn−1 − xn‖X ≤ · · · ≤ kn‖x0 − f(x0)‖X (1.3.36)

quindi

‖xn − xn+p‖X ≤ ‖xn − xn+1 + · · ·+ xn+p−1 − xn+p‖X ≤n+p−1∑

j=n

kj‖x0 − f(x0)‖X ≤ (1.3.37)

≤∞∑

j=n

kj‖x0 − f(x0)‖X = kn∞∑

j=0

kj‖x0 − f(x0)‖X =kn

1− k ‖x0 − f(x0)‖X (1.3.38)

e, poiche limn→∞ kn = 0, la successione xn risulta essere una successione di Cauchy, quindi, perla completezza, esiste un x ∈ X tale che xn → x, inoltre per la continuita di f (f e lipschitziana)si ha

x = limn→∞

xn+1 = limn→∞

f(xn) = f( limn→∞

xn) = f(x) (1.3.39)

quindi x e il punto fisso cercato.

1.4 Prodotti scalari

Definizione 1.4.1. Sia X uno spazio vettoriale su C; una funzione ( , ) : X ×X → C si chiamaprodotto scalare se soddisfa le seguenti proprieta:

1. per ogni x ∈ X si ha (x, x) ∈ R e (x, x) ≥ 0

2. se x ∈ X allora (x, x) = 0 ⇔ x = 0

3. se x, y ∈ X allora (y, x) = (x, y)

4. se x, y ∈ X, λ ∈ C allora (x, λy) = λ(x, y)

5. se x, y, z ∈ X allora (x, y + z) = (x, y) + (x, z)

In alcuni testi quello che qui e chiamato prodotto scalare viene chiamato prodotto hermitiano,mentre il nome prodotto scalare viene riservato al caso di spazi vettoriali su R. Inoltre in quasitutti i testi di matematica al posto della proprieta (4) si usa la seguente

(λx, y) = λ(x, y)

Ovviamente tutta la teoria non cambia, essendo cio solo questione di nomenclatura.In taluni testi gli spazi vettoriali con prodotto scalare vengono detti pre-Hilbertiani.

Teorema 1.4.1 (Cauchy-Schwarz). Sia X uno spazio con prodotto scalare, allora per ognix, y ∈ X si ha

|(x, y)| ≤√

(x, x)(y, y) (1.4.1)

e l’uguaglianza vale solo se x e y sono linearmente dipendenti.

1.4. PRODOTTI SCALARI 17

Dimostrazione. se t ∈ R si ha (x+ teiφy, x+ teiφy) ≥ 0. Sviluppando il primo membro si ottiene

(x+ teiφy, x+ teiφy) = (x, x+ teiφy) + t(eiφy, x+ teiφy) =(x, x) + t(x, eiφy) + t(eiφy, x) + t2(eiφy, eiφy) =

= (x, x) + 2t<[eiφ(x, y)] + t2(y, y) ≥ 0 (1.4.2)

a questo punto si puo scegliere φ in modo che eiφ(x, y) = |(x, y)| ottenendo quindi

(x, x) + 2t|(x, y)|+ t2(y, y) ≥ 0 (1.4.3)

Affinche questa disequazione valga per ogni t ∈ R il discriminante del polinomio di secondo gradoa primo membro deve essere ≤ 0 cioe si deve avere

|(x, y)|2 − (x, x)(y, y) ≤ 0 (1.4.4)

da cui si deduce 1.4.1. Inoltre l’uguaglianza in 1.4.1 vale se e solo se |(x, y)|2 − (x, x)(y, y) = 0,in questo caso allora l’equazione (x, x) + 2t|(x, y)| + t2(y, y) = 0 ha una soluzione t0, ma allora siavrebbe

(x+ t0eiφy, x+ t0e

iφy) = 0 (1.4.5)

quindi per la proprieta (2) della definizione 1.4.1 si ha allora x+ t0eiφy = 0.

Dimostrazione. per ogni x, y ∈ X si ha ‖x(x, y)− y‖x‖2‖2 ≥ 0 da cui si ottiene subito‖x‖2(‖x‖2‖y‖2 − |(x, y)|2) ≥ 0 e quindi |(x, y)| ≤ ‖x‖ ‖y‖ (si puo supporre ‖x‖ 6= 0 poiche inquesto caso 1.4.1 si riduce a 0=0), inoltre se vale l’uguaglianza si ha (x, y)x − ‖x‖y = 0, cioeλx+ µy = 0.

Notiamo che nella dimostrazione del precedente teorema la proprieta (2) della definizione diprodotto scalare e stata usata solo per dimostrare la seconda parte della tesi e che quindi ladisuguaglianza 1.4.1 e valida anche per una funzione ( , ) che non soddisfi la proprieta (2) delladefinizione 1.4.1.

Corollario 1.4.1. Sia X uno spazio con prodotto scalare, allora la funzione x →√

(x, x) e unanorma su X.

Dimostrazione. l’unica proprieta della norma che non risulta immediatamente evidente e la disug-uaglianza triangolare. Usando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz si ha

(x+ y, x+ y) = (x, x) + 2<[(x, y)] + (y, y) ≤ (x, x) + 2|(x, y)|+ (y, y) ≤(x, x) + 2

√(x, x)(y, y) + (y, y) = [

√(x, x) +

√(y, y)]2 (1.4.6)

da cui si ottiene √(x+ y, x+ y) ≤

√(x, x) +

√(y, y) (1.4.7)

che e la disuguaglianza triangolare.

A causa del corollario precedente ogni spazio X con prodotto scalare e uno spazio normatocon la norma

√(x, x) indotta dal prodotto scalare. Si vedra ora che il viceversa non e vero,

cioe dato uno spazio normato (X, ‖ ‖X) non e detto esista un prodotto scalare su X tale che‖x‖X =

√(x, x).

Teorema 1.4.2. Sia X uno spazio con prodotto scalare ( , ), allora, se xn → x e yn → y rispettoalla norma indotta dal prodotto scalare, si ha (xn, yn)→ (x, y).

Dimostrazione. usando la disuguaglianza di Schwarz si ha

|(xn, yn)− (x, y)| = |(xn, yn)− (xn, y) + (xn, y)− (x, y)| ≤ |(xn, yn − y)|+ (1.4.8)+|(xn − x, y)| ≤ ‖xn‖ ‖yn − y‖+ ‖xn − x‖ ‖y‖

poiche xn → x, si ha ‖xn‖ → ‖x‖ quindi la successione ‖xn‖ e limitata, quindi si ha |(xn, yn) −(x, y)| → 0.


Teorema 1.4.3. Sia X uno spazio con prodotto scalare e sia ‖ ‖ la norma indotta dal prodottoscalare, allora se x, y ∈ X vale la seguente (identita del parallelogramma)

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2) (1.4.9)

Dimostrazione. usando le proprieta del prodotto scalare si ha:

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = (x+ y, x+ y) + (x− y, x− y) == (x, x) + (y, y) + (x, y) + (y, x) + (x, x) + (y, y)− (y, x)− (x, y) =

= 2(x, x) + 2(y, y) = 2‖x‖2 + 2‖y‖2

A questo punto si puo vedere che non tutte le norme derivano da un prodotto scalare: siaX = B(R) lo spazio delle funzioni limitate su R e sia ‖f‖X = supx∈R |f(x)|: consideriamo ora ledue funzioni

f1 =

1 se x ≥ 00 se x < 0 f2 =

0 se x ≥ 01 se x < 0 (1.4.10)

allora si ha ‖f1 + f2‖2X = ‖f1 − f2‖2X = 1, ‖f1‖2X = 1 e ‖f2‖2X = 1 quindi

‖f1 + f2‖2X + ‖f1 − f2‖2X = 2 6= 4 = 2(‖f1‖2X + ‖f2‖2X) (1.4.11)

quindi non e soddisfatta la relazione 1.4.9 e quindi non esiste nessun prodotto scalare su X cheinduca la norma ‖ ‖X .

Teorema 1.4.4. Sia X uno spazio con prodotto scalare ( , ) e sia ‖ ‖ la norma indotta dalprodotto scalare, allora vale la seguente (formula di polarizzazione)

4(x, y) = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 − i‖x+ iy‖2 + i‖x− iy‖2 (1.4.12)

Dimostrazione. si ha

‖x+ y‖2 = (x+ y, x+ y) = ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2<(x, y) (1.4.13)

e analogamente‖x+ iy‖2 = (x+ iy, x+ iy) = ‖x‖2 + ‖iy‖2 − 2=(x, y) (1.4.14)

Usando l’identita del parallelogramma si ha allora

4<(x, y) = 2‖x+ y‖2 − 2‖x‖2 − 2‖y‖2 = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 (1.4.15)−4=(x, y) = 2‖x+ iy‖2 − 2‖x‖2 − 2‖iy‖ = ‖x+ iy‖2 − ‖x− iy‖2 (1.4.16)

da cui si ottiene 1.4.12.

Teorema 1.4.5 (von Neumann). Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato tale che la norma ‖ ‖Xsoddisfi l’identita del parallelogramma 1.4.9, allora esiste un prodotto scalare su X che induce lanorma ‖ ‖X .

Dimostrazione. per il teorema precedente se un prodotto scalare come nella tesi esiste esso deveessere

(x, y) =14

[‖x+ y‖2X − ‖x− y‖2X − i‖x+ iy‖2X + i‖x− iy‖2X ] (1.4.17)

Mostriamo che questo e effettivamente un prodotto scalare: per ogni x si ha

(x, x) =14

[4‖x‖2X − i|(1 + i)|2‖x‖2X + i|(1− i)|2‖x‖2X ] = ‖x‖2X (1.4.18)

1.4. PRODOTTI SCALARI 19

quindi e evidente che (x, x) ≥ 0 e (x, x) = 0 ⇔ x = 0. Inoltre

(y, x) =14

[‖y + x‖2X − ‖y − x‖2X − i‖y + ix‖2X + i‖y − ix‖2X ] = (1.4.19)

=14

[‖y + x‖2X − ‖y − x‖2X − i|i|2‖x− iy‖2X + i| − i|2‖x+ iy‖2X ] = (x, y) (1.4.20)

dimostriamo ora che (x, y + z) = (x, y) + (x, z): usando l’identita del parallelogramma si ha

(x, y) + (x, z) =18

[2‖x+ y‖2X − 2‖x− y‖2X − 2i‖x+ iy‖2X + 2i‖x− iy‖2X +

+2‖x+ z‖2X − 2‖x− z‖2X − 2i‖x+ iz‖2X + 2i‖x− iz‖2X ] =

=18

[‖2x+ y + z‖2X + ‖y − z‖2X − ‖2x− y − z‖2X − ‖y − z‖2X −−i‖2x+ iy + iz‖2X − i‖iy − iz‖2X + i‖2x− iy − iz‖2X + i‖iy − iz‖2X ] =

=18

[‖2x+ y + z‖2X − ‖2x− y − z‖2X − i‖2x+ iy + iz‖2X + i‖2x− iy − iz‖2X ] =

=116

[2‖2x+ y + z‖2X + 2‖y + z‖2X − 2‖y + z‖2X − 2‖2x− y − z‖2X −−2i‖2x+ iy + iz‖2X − 2i‖iy + iz‖2X + 2i‖iy + iz‖2X + 2i‖2x− iy − iz‖2X ] =

=116

[‖2x+ 2y + 2z‖2X + ‖2x‖2X − ‖2x‖2X − ‖2x− 2y − 2z‖2X −−i‖2x+ 2iy + 2yz‖2X − i‖2x‖2X + i‖2x‖2X + i‖2x− 2iy − 2iz‖2X ] =

=14

[‖x+ (y + z)‖2X − ‖x− (y + z)‖2X − i‖x+ i(y + z)‖2X + i‖x− i(y + z)‖2X ] =

= (x, y + z)

Servira per il seguito notare che, poiche la norma e una funzione continua (teorema 1.1.3), lafunzione (x, y) come definita in 1.4.17, fissato x ∈ X, e una funzione continua di y. Dal fatto che(x, y + z) = (x, y) + (x, z) segue per induzione che per ogni n ∈ N si ha (x, ny) = n(x, y); inoltree immediato vedere che si ha (x,−y) = −(x, y), quindi per ogni intero m si ha (x,my) = m(x, y);sia ora z = p

q y, con p, q interi, allora si ha

q(x, z) = (x, zq) = (x, py) = p(x, y) (1.4.21)

e quindi(x,

p

qy) =

p

q(x, y) (1.4.22)

da cui si ottiene che per ogni razionale r ∈ Q si ha (x, ry) = r(x, y). Sia ora λ un numero realee sia rn una successione di numeri razionali tale che rn → λ, allora per la continuita di (x, y)rispetto a y si ha

(x, λy) = (x, limn→∞

rny) = limn→∞

(x, rny) = limn→∞

rn(x, y) = λ(x, y) (1.4.23)

E inoltre immediato vedere che (x, iy) = i(x, y) e in modo analogo a come si e dimostrata la1.4.23 si vede allora che per ogni µ reale si ha (x, iµy) = iµ(x, y) da cui, insieme a 1.4.23 e(x, y+ z) = (x, y) + (x, z) si deduce allora che per ogni numero complesso η si ha (x, ηy) = η(x, y),che conclude la dimostrazione.

Corollario 1.4.2. Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato, allora esiste un prodotto scalare su X cheinduce la norma ‖ ‖X se e solo se essa soddisfa l’identita del parallelogramma.

Dimostrazione. segue dai teoremi 1.4.3 e 1.4.5.


Corollario 1.4.3. Gli spazi Lp hanno la norma che deriva da un prodotto scalare se e solo sep = 2.

Dimostrazione. e immediato vedere che la norma L2 deriva dal prodotto scalare

(f, g)2 =∫f(x)g(x)dx (1.4.24)

consideriamo le funzioni

f1 =

1 se x ∈ [0, 1]0 se x ∈ [0, 1]c f2 =

1 se x ∈ [−1, 0]0 se x ∈ [−1, 0]c (1.4.25)

quindi ‖f1 + f2‖p = ‖f1− f2‖p = p√

2 e ‖f1‖p = ‖f2‖p = 1 e l’identita del parallelogramma diventa2(2)2/p = 4 che e soddisfatta se e solo se p = 2.

1.5 Proprieta elementari degli sp. di Hilbert

Definizione 1.5.1. Si dice che lo spazio vettoriale X munito del prodotto scalare ( , ) e uno spaziodi Hilbert se e completo rispetto alla norma indotta dal prodotto scalare.

Teorema 1.5.1. Lo spazio L2(a, b) munito del prodotto scalare

(f, g) =∫ b

a

f(x)g(x)dx (1.5.1)

e uno spazio di Hilbert.

Dimostrazione. l’espressione 1.5.1 e ben definita per la disuguaglianza di Holder e si verifica im-mediatamente che e un prodotto scalare su L2(a, b) e che genera la norma ‖ ‖2 rispetto a cuiL2(a, b) e uno spazio completo ( vedi teorema 1.3.6).

Definizione 1.5.2. Sia H uno spazio di Hilbert e sia V = xn un insieme di vettori di H. Sidice che l’insieme V e completo se lo spazio delle combinazioni lineari finite di elementi di V edenso in H. Un insieme completo di vettori di H si dice base di H se e composto da elementilinearmente indipendenti .

Serve osservare il seguente fatto: sia X uno spazio vettoriale che munito del prodotto scalare( , ) diviene uno spazio di Hilbert H, allora se l’insieme V e una base dello spazio di Hilbert H none detto che V sia una base dello spazio vettoriale X, infatti se V e una base dello spazio vettorialeX allora ogni elemento di X puo essere scritto come combinazione lineare finita di elementi di V ,mentre se V e una base per lo spazio di Hilbert H allora ogni elemento di H puo essere scrittocome limite di una successione di combinazioni lineari finite di elementi di V .

Lemma 1.5.1. Sia H uno spazio di Hilbert e sia V = vn un insieme completo di vettori, allorase (v, vn) = 0 per ogni vn ∈ V si ha v = 0.

Dimostrazione. dato v ∈ H tale che (v, vn) = 0 per ogni vn ∈ V , per ipotesi esiste una successionedi combinazioni lineari finite di elementi di V che converge a v, sia essa fn, allora si ha

‖v‖2 = (v, v) = (v, limn→∞

fn) = limn→∞

(v, fn) = limn→∞

Nn∑

k=1

ak(v, vk) = 0 (1.5.2)

quindi v = 0.

Definizione 1.5.3. Sia H uno spazio di Hilbert, un insieme ek di vettori si dice ortonormalese (ei, ej) = δij dove δij vale 0 se i 6= j e 1 altrimenti.

1.5. PROPRIETA ELEMENTARI DEGLI SP. DI HILBERT 21

Teorema 1.5.2 (Disuguaglianza di Bessel). Sia H uno spazio di Hilbert e sia ek unasuccessione di vettori ortonormali, allora per ogni v ∈ H si ha

∞∑

k=1

|(ek, v)|2 ≤ ‖v‖2 (1.5.3)

Dimostrazione. si ha, fissato N ,

0 ≤∥∥∥∥∥v −

N∑

k=1

(ek, v)ek

∥∥∥∥∥

2

= ‖v‖2 +N∑

k=1

|(ek, v)|2 −N∑

k=1

(v, (ek, v)ek)− (1.5.4)

−N∑

k=1

((ek, v)ek, v) = ‖v‖2 +N∑

k=1

|(ek, v)|2 − 2N∑

k=1

|(ek, v)|2 =

= ‖v‖2 −N∑

k=1

|(ek, v)|2

quindi∑Nk=1 |(ek, v)|2 ≤ ‖v2‖ per ogni N , quindi vale la relazione 1.5.3.

Corollario 1.5.1. Sia H uno spazio di Hilbert e sia ek una successione ortonormale di vettori,allora per ogni v ∈ H si ha limn→∞ |(en, v)| = 0.

Teorema 1.5.3. Sia H uno spazio di Hilbert e sia V = vn una successione di vettori tale chese (vn, v) = 0 per ogni n allora v = 0, allora V e un insieme completo in H.

Dimostrazione. dalla definizione di insieme completo segue che si puo supporre senza restrizioneche tutti gli elementi di V siano linearmente indipendenti. Costruiamo la successione di vettoriek definiti da

e1 =v1

‖v1‖ ; e2 =v2 − (e1, v2)e1

‖v2 − (e1, v2)e1‖ ; · · · ; ek =vk −

∑k−1i=1 (ei, vk)ei

‖vk −∑k−1i=1 (ei, vk)ei‖

(1.5.5)

la successione precedente e ben definita in quanto se uno dei denominatori si annullasse si otterrebbeche i vettori vn non sono indipendenti, come si e invece supposto. E inoltre immediato notareche i vettori ei sono ortonormali. Vediamo ora che le relazioni precedenti sono invertibili ed inparticolare che ogni vi si puo scrivere come combinazione lineare di e1, · · · , ei: per i = 1 cio eovvio, supponiamo ora che la affermazione sia vera per i = k−1, allora usando la formula generale1.5.5 e immediato vedere che e vera anche per i = k e quindi la affermazione e vera per ogni i,quindi

vk = α1e1 + α1e2 + · · ·+ αkek (1.5.6)

Analogamente si vede che per ogni k si ha ek = β1v1 + · · ·+ βkvk, quindi e immediato vedere perinduzione che (v, en) = 0 per ogni n ⇔ (v, vn) = 0 per ogni n, quindi e sufficiente mostrare ilteorema per V = en. Sia ora v ∈ H e definiamo v(n) =

∑nk=1(ek, v)ek; se N > M si ha allora

‖v(N) − v(M)‖2 = ‖N∑

k=M+1

(ek, v)ek‖2 =N∑

M+1

|(ek, v)|2 (1.5.7)

per la disuguaglianza di Bessel la successione ∑Nk=1 |(ek, v)|2 e convergente in R, quindi e una

successione di Cauchy; di conseguenza v(n) e una successione di Cauchy in H, quindi esiste unf ∈ H tale che v(n) → f . Per concludere la dimostrazione bastera mostrare che f = v. Si ha

(en, f − v) = (en, f)− (en, v) = (en, limN→∞

v(N))− (en, v) = (1.5.8)

limN→∞

(en, v(N))− (en, v) = (en, v)(en, en)− (en, v) = 0

(dove si e usato il fatto che gli ek sono una successione ortonormale) quindi dall’ipotesi seguef = v.


Dal lemma 1.5.1 e dal teorema precedente segue

Corollario 1.5.2. Sia H uno spazio di Hilbert e sia V = xn una successione di vettori, alloraV e completo se e solo se l’unico v ∈ H tale che (xn, v) = 0 per ogni n e v = 0.

Nella dimostrazione del teorema 1.5.3 si e in effetti mostrato di piu di quanto affermato nellatesi: si e mostrato anche

Teorema 1.5.4. Sia H uno spazio di Hilbert e sia V = en una successione ortonormale completa(quindi una base ortonormale numerabile) allora per ogni v ∈ V si ha

v =∞∑

i=1

(ei, v)ei (1.5.9)

la serie a secondo membro e detta serie di Fourier .

Il precedente teorema puo anche essere dedotto dal seguente (vedi dimostrazione corollario1.5.3).

Teorema 1.5.5. Sia H uno spazio di Hilbert e ei una successione ortonormale (non necessari-amente completa). Siano ora v ∈ H e αi ∈ C, allora il valore di

∥∥∥∥∥v −N∑

i=1

αiei

∥∥∥∥∥

2

(1.5.10)

e minimo se e solo se αi = (ei, v) ed il minimo vale ‖v‖2 −∑Ni=1 |(ei, v)|2.


‖v −N∑

i=1

α1e1‖2 = ‖v‖2 +N∑

i=1

|αi|2 −N∑

i=1

(v, ei)αi −n∑

i=1

(ei, v)αi = (1.5.11)

= ‖v‖2 −N∑

i=1

|(ei, v)|2 +N∑

i=1

|αi − (ei, v)|2

da cui si deduce il teorema.

Corollario 1.5.3 (identita di Parsevall). Sia H uno spazio di Hilbert e ei una successionedi vettori ortonormali, allora ei e completo ⇔ per ogni v ∈ H si ha ‖v‖2 =

∑∞1 |(ei, v)|2.

Dimostrazione. ⇒) Se ei e completo allora lo spazio delle combinazioni lineari finite degli eie denso in H e quindi per il teorema precedente si ha limn→∞ ‖v −

∑ni=1(ei, v)ei‖ = 0, cioe

v = limn→∞∑ni=1(ei, v)ei (altra dimostrazione del teorema 1.5.4) e quindi per la continuita della

norma si ha

‖v‖2 = limn→∞

‖n∑

i=1

(ei, v)ei‖2 = limn→∞

n∑

i=1

|(ei, v)|2 =∞∑

i=1

|(ei, v)|2 (1.5.12)

⇐) Se v ∈ H, allora (usando il teorema precedente) ‖v−∑ni=1(ei, v)ei‖2 = ‖v‖2−∑n

i=1 |(ei, v)|2e quest’ultima espressione tende a 0 per n → ∞ a causa della identita di Parsefall, ma allorav = limn→∞

∑∞i=1(ei, v)ei e quindi ei e un insieme completo.

Riassumendo, per le successioni ortonormali si ha il seguente teorema:

Teorema 1.5.6 (Fischer-Riesz). Sia H uno spazio di Hilbert e ei una successione ortonormale,allora sono fatti equivalenti

1. per ogni x, y ∈ H si ha (x, y) =∑∞i=1 (ei, x)(ei, y).

1.5. PROPRIETA ELEMENTARI DEGLI SP. DI HILBERT 23

2. per ogni x ∈ H si ha ‖x‖2 =∑∞i=1 |(ek, x)|2.

3. ei e un insieme completo.

4. se (ei, v) = 0 per ogni i allora v = 0.

5. per ogni x ∈ H si ha x =∑∞i=1(ei, x)ei.

Dimostrazione. 1⇒2) ovvia.2⇒3) dimostrato nel corollario 1.5.3.3⇒4) vedi corollario 1.5.2.4⇒5) vedi corollario 1.5.2 e teorema 1.5.4.5⇒1) usando la continuita del prodotto scalare (teorema 1.4.2) si ha:

(x, y) = ( limn→∞

n∑

i=1

(ei, x)ei, y) = limn→∞

n∑

i=1

(ei, x)(ei, y) =+∞∑

i=1

(ei, x)(ei, y) (1.5.13)

Teorema 1.5.7. Sia H uno spazio di Hilbert e en una successione ortonormale completa, allora,dati αn ∈ C, la serie

∑∞n=1 αnen converge se e solo se converge la serie

∑∞n=1 |αn|2.


‖N∑n=1

αnen −M∑n=1

αnen‖2 = ‖N∑

M+1

αnen‖2 =N∑

M+1

|αn|2 (1.5.14)

quindi la successione∑Nn=1 αnen e di Cauchy se e solo se la successione

∑Ni=1 |αn|2 e di Cauchy.

Capitolo 2

Equazioni differenziali allederivate parziali

Si assumera da ora in avanti una minima conoscenza della funzione esponenziale complessa e dellasua relazione con le funzioni trigonometriche. Sostanzialmente si usera il fatto che per l’esponenzialecomplesso valgono le relazioni (z1, z2 ∈ C, x ∈ R)

ez1ez2 = ez1+z2

eix = cosx+ i sinx

per la dimostrazione di questi fatti elementari usando le serie di potenze si rimanda alle primissimepagine del testo [8] della bibliografia (o ad un qualunque altro testo che tratti di funzioni analitichecomplesse).

2.1 Serie di Fourier

Teorema 2.1.1 (Lemma di Riemann-Lebesgue). Sia f ∈ L1(−∞,+∞) allora (per α ∈ R) siha

limα→∞

∫ +∞

−∞f(x)eiαxdx = 0 (2.1.1)

Dimostrazione. fissato ε > 0, poiche C∞c (−∞,∞) e denso in L1(−∞,+∞), si puo scegliere φ ∈C∞c (−∞,+∞) tale che

∫ +∞−∞ |f(x) − φ(x)|dx < ε; sia inoltre (a, b) un intervallo limitato tale che

φ(x) = 0 se x ∈ (a, b)c , allora si ha∣∣∣∣∫ +∞

−∞f(x)eiαxdx

∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∫ +∞

−∞[f(x)− φ(x)]eiαxdx

∣∣∣∣+∣∣∣∣∫ +∞

−∞φ(x)eiαxdx

∣∣∣∣ ≤ (2.1.2)

∫ +∞

−∞|f(x)− φ(x)|dx+

∣∣∣∣∣∫ b

a

φ(x)eiαxdx

∣∣∣∣∣ ≤ ε+

∣∣∣∣∣∫ b

a

φ(x)eiαxdx

∣∣∣∣∣

Valutiamo ora l’ultimo integrale: integrando per parti si ha∣∣∣∣∣∫ b

a

φ(x)eiαxdx

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣1iα

[eiαxφ(x)]ba −1iα

∫ b

a

φ′(x)eiαxdx

∣∣∣∣∣ = (2.1.3)

=

∣∣∣∣∣i

α

∫ b

a

φ′(x)eiαxdx

∣∣∣∣∣ ≤1α

∫ b

a

|φ′(x)|dx

24

2.1. SERIE DI FOURIER 25

e poiche φ ∈ C∞c (−∞,+∞) anche φ′ ∈ C∞c (−∞,+∞) quindi l’ultimo integrale ha un valore finitoindipendente da α, sia esso M , quindi si ha

limα→∞

∣∣∣∣∣∫ b

a

φ(x)eiαxdx

∣∣∣∣∣ = limα→∞

M

α= 0 (2.1.4)

e quindi si ottiene infine che se |α| > K (dove K > 0 e sufficientemente grande) si ha∣∣∣∣∫ ∞−∞

f(x)eiαxdx∣∣∣∣ < 2ε

Teorema 2.1.2. Sia φ ∈ C∞c (−∞,∞) allora per ogni r ∈ R si ha

limα→∞

αr∫ +∞

−∞φ(x)eiαxdx = 0 (2.1.5)

Dimostrazione. integrando per parti l’ultimo integrale dell’ equazione 2.1.3 per n− 1 volte (n ∈ Nqualunque) si ottiene che

∣∣∣∣∫ +∞

−∞φ(x)eiαxdx

∣∣∣∣ =1αn

∣∣∣∣∫ +∞

−∞φ(n)(x)eiαxdx

∣∣∣∣ ≤1αn

∫ +∞

−∞|φ(n)(x)|dx (2.1.6)

e poiche φ(n) ∈ C∞c (−∞,+∞) l’ultimo integrale assume un valore finito per ogni n ∈ N eindipendente da α, sia esso M (n). A questo punto basta scegliere n > r per ottenere 2.1.5.

Definizione 2.1.1. siano αn ∈ Z, allora si chiama polinomio trigonometrico una combinazionelineare finita a coefficienti complessi di funzioni della forma eiαnx.

Poiche si ha eiαx = cos(αx) + i sin(αx) un polinomio trigonometrico si puo anche scrivere comecombinazione lineare a coefficienti complessi di funzioni della forma sin(αnx) e cos(αnx).

Lemma 2.1.1. Le funzioni sinn x e cosn x sono polinomi trigonometrici.

Dimostrazione. dimostriamo ad esempio che cosn x e un polinomio trigonometrico. Si ha

cosx =eix + e−ix

2(2.1.7)

quindi usando la formula di Newton per lo sviluppo della potenza di un binomio e le proprietaelementari della funzione esponenziale si vede che cosn x e un polinomio trigonometrico. Per sinn xsi usa il fatto che

sinx =eix − e−ix

2i(2.1.8)

Teorema 2.1.3 (Weierstrass). I polinomi trigonometrici sono densi in Cc([−π, π]) con la norma‖f‖∞ = supx∈[−π,π] |f(x)|.Dimostrazione. si definisce

δn(z) =cos2n(z/2)∫ π−π cos2n(z/2)

(2.1.9)

a questo punto, data φ ∈ Cc([−π,+π]), si considera la successione di funzioni Pn(x) =∫ π−π δn(y −

x)φ(y)dx (che sono polinomi trigonometrici per il lemma precedente) e si procede in modo identicoa come si e fatto per mostrare la densita dei polinomi nello spazio C([a, b]) (teorema 1.3.4).

26 CAPITOLO 2. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI

Corollario 2.1.1. I polinomi trigonometrici sono un sottoinsieme denso di L2(−π, π) con la norma‖ ‖2.

Dimostrazione. le funzioni Cc([−π, π]) sono dense in L2(−π, π) con la norma ‖ ‖2, quindi, fissatiε > 0 e f ∈ L2(−π, π), esiste una funzione φ ∈ Cc([−π, π]) tale che ‖f − φ‖2 < ε, quindi bastamostrare che per ogni φ ∈ Cc([−π, π]) esiste un polinomio trigonometrico tale che ‖φ − P‖2 < εma per il teorema precedente esiste una successione di polinomi trigonometrici Pn che convergeuniformemente a φ e per il teorema 1.3.10 la successione Pn tende quindi a φ anche in norma‖ ‖2.

Lemma 2.1.2. Sia ( , ) il prodotto scalare di L2(−π, π) allora (einx, eimx) = 2πδnm.

Dimostrazione. dimostrazione immediata.

Teorema 2.1.4. La successione gn = einx√2πn∈Z e una base ortonormale in L2(−π, π).

Dimostrazione. per il corollario precedente i polinomi trigonometrici sono densi in L2(−π, π), mai polinomi trigonometrici sono le combinazioni lineari finite di elementi dell’insieme einx√

2πn∈Z,

quindi tale insieme e un insieme completo; inoltre il lemma precedente mostra che questo e uninsieme ortonormale, quindi in particolare tutti i suoi elementi sono linearmente indipendenti,quindi esso e una base ortonormale.

Alla base ortonormale gn si puo quindi applicare il teorema di Riesz-Fischer 1.5.6, quindi inparticolare si ha per ogni funzione f, g ∈ L2(−π, π)

limN→+∞

∥∥∥∥∥f(x)−N∑

−N

einx

2π

∫ π

−πf(y)e−inydy

∥∥∥∥∥2

= 0 (2.1.10)

‖f‖22 =∞∑−∞

12π

∣∣∣∣∫ π

−πf(y)e−inydy

∣∣∣∣2

(2.1.11)

(f, g) =∞∑−∞

12π

∫ π

−πf(x)einxdx

∫ π

−πg(y)e−inydy (2.1.12)

Analogamente al teorema precedente si vede che

Teorema 2.1.5. La successione sinnx√πn∈N\0, cosnx√

πn∈N e una base ortonormale nello spazio

L2(−π, π).

Lemma 2.1.3. Se bnn∈Z e una successione di numeri complessi tali che∑∞−∞ |bn| < +∞, allora

la serie∑∞−∞ bngn converge uniformemente (in particolare e quindi una funzione continua).

Dimostrazione. applicando il criterio di Weierstrass della convergenza totale si ottiene

∞∑−∞

supx∈[−π,π]

|bngn(x)| = 1√2π

∞∑−∞|bn| <∞ (2.1.13)

quindi la serie converge uniformemente.

Lemma 2.1.4. Se ann∈Z e una successione di numeri complessi tale che∑+∞−∞ |nan| < +∞

allora S(x) =∑+∞−∞ angn(x) e continua, derivabile e S′(x) =

∑+∞−∞ ang

′n(x).

2.1. SERIE DI FOURIER 27

Dimostrazione. si ha ang′n(x) = inangn(x) quindi chiamando inan = bn e applicando il lemma

precedente si ottiene che la serie∑∞−∞ ang

′n(x) converge uniformemente (e poiche ogni g′n e una

funzione continua la somma della serie e quindi continua) si puo quindi integrare elemento perelemento ottenendo∫ x

x0

[+∞∑−∞

ang′n(x)

]dx =

+∞∑−∞

an

∫ x

x0

g′n(x)dx =+∞∑−∞

an[gn(x)− gn(x0)] = S(x)− S(x0) (2.1.14)

quindi S(x) e derivabile e la sua derivata e la funzione (continua) S′(x) =∑+∞−∞ ang

′n(x).

La serie di Fourier di una funzione e stata quı introdotta nel contesto degli spazi di Hilbert (intale contesto e talora detta serie di Fourier astratta) e quindi applicabile in linea di principio soloagli spazi L2; nonostante cio ha senso introdurre la serie di funzioni (detta ancora per semplicitaserie di Fourier)

S(x) =+∞∑

n=−∞

12πeinx

∫ π

−πf(y)e−inydy (2.1.15)

piu in generale per funzioni di L1(−π, π) e studiare la relazione di questa funzione (ovviamentequalora la serie converga) con la funzione iniziale f , in particolare e possibile studiare ad esempioin quali casi la serie converga puntualmente alla funzione f .

Teorema 2.1.6. Siano f ∈ L1(−π, π) e x0 ∈ (−π, π); supponiamo inoltre che f sia continua in x0

e che f(x0+h)−f(x0)h sia integrabile in un intorno di h = 0, allora la serie di Fourier di f converge

puntualmente ad f in x0.

Dimostrazione. sia

Sn(x) =n∑

k=−n

12πeikx

∫ π

−πf(y)e−ikydy =

12π

∫ π

−πf(y)

n∑

k=−neik(x−y)dy (2.1.16)

definiamo ora il nucleo di Dirichlet

Dn(z) =1

2π(e−inz + ·+ einz) (2.1.17)

si ha∫ π−πDn(z)dz = 1 e moltiplicando 2.1.17 per eiz si ottiene

eizDn(z) =1

2π(e−i(n−1)z + · · ·+ ei(n+1)z) = Dn(z) +

ei(n+1)z

2π− e−inx

2π(2.1.18)

da cui si ottiene

Dn(z) =1

2πe−inz − ei(n+1)z

1− eiz (2.1.19)

allora da 2.1.16, 2.1.17 si ottiene

Sn(x0) =∫ π

−πf(y)Dn(x0 − y)dy =

∫ x0+π

x0−πf(x0 − z)Dn(z)dz (2.1.20)

allora si ottiene (usando il fatto che Dn e periodica di periodo 2π e prolungando f in modo periodicodi periodo 2π)

|f(x0)− Sn(x0)| = |∫ π

−πf(x0)Dn(z)dz − Sn(x0)| = (2.1.21)

= |∫ +π

−π[f(x0)− f(x0 − z)]Dn(z)dz| =

=∣∣∣∣∫ +π

−π

f(x0)− f(x0 − z)z

e−inz − ei(n+1)z

2πz

1− eiz dz∣∣∣∣


f(x0)−f(x0−z)z e integrabile per ipotesi, z

1−eiz e limitata su [−π, π] (come si vede sviluppando l’e-sponenziale in serie di Taylor), quindi usando il lemma di Riemann-Lebesgue si vede che l’ultimaespressione tende a zero.

Teorema 2.1.7 (Criterio di Dini). Siano f ∈ L1(−π, π) e x0 ∈ (−π, π); supponiamo esistanof(x+

0 ) = limx→x+0f(x) e f(x−0 ) = limx→x−0 f(x) e che esistano δ1, δ2 > 0 tali che

f(x0 + h)− f(x+0 )

h∈ L1(0, δ1);

f(x0 − h)− f(x−0 )h

∈ L1(0, δ2) (2.1.22)

allora la serie di Fourier di f converge a 12 [f(x+

0 ) + f(x−0 )] in x0.

Dimostrazione. prolunghiamo innanzitutto la f in modo periodico, in modo che diventi una fun-zione f : R→ C periodica di periodo 2π. Serve ora notare che Dn(−z) = Dn(z), infatti da 2.1.17si ha

Dn(z) =1

2π(e−inz + · · ·+ einz) = Dn(−z) (2.1.23)

Allora si ha (usando 2.1.20)

Sn(x0) =∫ x0+π

x0−πf(x0 − z)Dn(z)dz =

∫ π

−πDn(z)f(x0 − z)dz = (2.1.24)

=∫ π

0

Dn(z)f(x0 − z)dz +∫ 0

−πDn(z)f(x0 − z)dz =

∫ π

0

Dn(z)f(x0 − z)dz +

+∫ π

0

Dn(−z)f(x0 + z)dz =∫ π

0

Dn(z)[f(x0 − z) + f(x0 + z)]dz

inoltre

f(x+0 ) + f(x−0 ) =

∫ π

−πDn(z)[f(x+

0 ) + f(x−0 )]dz = 2∫ π

0

Dn(z)[f(x+0 ) + f(x−0 )]dz (2.1.25)

quindi da 2.1.25 e 2.1.24 si ottiene

Sn(x0)− f(x+0 ) + f(x−0 )

2= (2.1.26)

=∫ π

0

[f(x0 + z)− f(x+

0 )z

+f(x0 − z)− f(x−0 )

z]

12π

z

1− eiz [e−inz − ei(n+1)z]dz

e si conclude applicando il lemma di Riemann-Lebesgue analogamente al teorema precedente.

Teorema 2.1.8. Se f e periodica di periodo 2π e di classe C1 allora la serie di Fourier di fconverge uniformemente ad f .

Dimostrazione. siano βn i coefficienti della serie di Fourier di f ′(x), allora integrando per parti siha

βn =∫ π

−πf ′(x)e−inxdx = [f(x)e−inx]π−π − in

∫ π

−πf(x)e−inxdx = −inαn (2.1.27)

dove αn sono i coefficienti di Fourier della funzione f , quindi si ha |αn| = 1n |βn|. Inoltre da 2.1.11

segue che∑∞−∞ |βn|2 < +∞, quindi

∑

n6=0

|αn| =∑

n 6=0

1n|β| ≤

∑

n 6=0

12

(|β|2 +1n2

) <∞ (2.1.28)

quindi per il lemma 2.1.3 la serie di Taylor di f converge uniformemente ad una funzione continuaF , quindi in particolare la serie di Taylor di f converge ad F su L2(−π, π), quindi per l’unicitadel limite in L2(−π, π) si ha f(x) = F (x) per quasi ogni x ∈ [−π, π], ma poiche sia f che F sonocontinue, si ha f = F su [−π, π] e per periodicita f = F .

Per ulteriori informazioni circa la convergenza puntuale delle serie di Fourier vedi appendice B.

2.2. PROBLEMA AI LIMITI PER IL QUADRATO 29

2.2 Problema ai limiti per il quadrato

In questa sezione si discutera la soluzione dell’equazione differenziale

4u = F (2.2.1)

(dove 4 = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 e il laplaciano, talora indicato anche con ∇2), dove F : [0, π]× [0, π] → C euna assegnata funzione di L2, con assegnate condizioni ai limiti

u(x, 0) = a(x)u(π, y) = b(y)u(x, π) = c(x)u(0, y) = d(y)

(2.2.2)

dove a, b, c, d sono funzioni a quadrato integrabile. A causa della linearita del problema che si vuolerisolvere, la soluzione puo essere cercata nella forma u = uF + ua + ub + uc + ud, dove

• uF soddisfa la equazione 2.2.1 con condizioni al bordo a = b = c = d = 0

• ua soddisfa la equazione 4ua = 0 con le condizioni al bordo

u(x, 0) = a(x)u(π, y) = 0u(x, π) = 0u(0, y) = 0

(2.2.3)

• ub, uc, ud sono definite analogamente a ua.

2.2.1 Caso ua

Per evitare confusioni con altre ”a” la funzione a(x) sara quı di seguito indicata con f(x). SiaXn(x) una successione ortonormale completa in L2(0, π), allora per ogni fissato y ∈ [0, π] lafunzione x → u(x, y) puo essere sviluppata in serie di Fourier rispetto ad Xn(x) ottenendo quin-di u(x, y) =

∑anXn(x), dove i coefficienti dello sviluppo di Fourier dipendono in generale dal

particolare y, quindiu(x, y) =

∑Yn(y)Xn(x) (2.2.4)

Imponiamo ora la condizione che per ogni n si abbia 4(Yn(y)Xn(x)) = 0 cioe X ′′n(x)Yn(y) +Xn(x)Y ′′n (y) = 0 e quindi (se Xn(x) 6= 0 e Yn(y) 6= 0) si ha

X ′′n(x)Xn(x)

= −Y′′n (y)Yn(y)

(2.2.5)

ma il primo membro e funzione della sola x mentre il secondo membro e funzione della sola y,quindi affinche l’equazione precedente valga per ogni x, y si deve avere

X ′′n(x)Xn(x)

= −Y′′n (y)Yn(y)

= −λ (2.2.6)

dove λ e una costante, quindi si ottengono le equazioni

X ′′n(x) + λXn(x) = 0; Y ′′n (y)− λYn(y) = 0 (2.2.7)

La soluzione generale della prima delle 2.2.7 e Xn = an sin(√λx) + bn cos(

√λx); imponendo le

condizioni ai limiti Xn(0) = Xn(π) = 0 si ottiene bn = 0 e λ = n2, quindi Xn = an sinnx.La soluzione generale della seconda delle 2.2.7 con λ = n2 e Yn = an sinhn(π− y) + bn sinhny;

imponendo Yn(π) = 0 si ottiene Yn(y) = an sinhn(π − y).


Affinche quanto appena fatto abbia senso si deve ora verificare che √

2π sin(nx)n∈N\0 sia ef-

fettivamente un insieme ortonormale completo in L2(0, π); e immediato vedere che esso e un insiemeortonormale, verifichiamo quindi che e anche completo: sia g ∈ L2(0, π) tale che (g, sinnx) = 0 perogni n ∈ N\0 e definiamo

gd(x) =

g(x) se 0 < x ≤ π0 se x = 0−g(−x) se −π ≤ x < 0

(2.2.8)

allora la gd cosı definita e una funzione dispari, quindi e immediato vedere che∫ π

−πgd(x) cos(nx)dx = 0 (2.2.9)

∫ π

−πgd(x) sin(nx)dx = 2

∫ π

0

gd(x) sin(nx)dx = 2∫ π

0

g(x) sin(nx)dx = 0 (2.2.10)

quindi, usando il fatto che sinnx, cosnxn∈N e un insieme completo in L2(−π, π), si vede che

gd = 0 q.o. e quindi g = 0 q.o., quindi √

2π sinnx e un insieme ortonormale completo per il

teorema di Riesz-Fischer.Da quanto precede segue quindi che si puo scrivere u(x, y) =

∑∞n=1 an sin(nx) sinhn(π −

y) dove gli an sono coefficienti da determinarsi nel seguente modo: si impone la condizione∑∞n=1Xn(x)Yn(0) = f(x), quindi si devono determinare gli an ∈ C in modo tale che sia

∞∑n=1

an sinh(nπ) sin(nx) = f(x) (2.2.11)

La condizione precedente puo essere soddisfatta qualunque sia f ∈ L2(0, π) poiche si e appena visto

che √

2π sinnxn∈N e un insieme ortonormale completo in L2(0, π), quindi f(x) =

∑∞i=1 bn sin(nx)

dove bn = 2π

∫ π0f(z) sin(nz)dz, quindi basta porre an = bn/ sinh(nπ). Si ottiene in conclusione

u(x, y) =∞∑n=1

sinhn(π − y) sin(nx)2

π sinh(nπ)

∫ π

0

f(z) sin(nz)dz (2.2.12)

Verifichiamo che quella che si e appena costruito e la soluzione del problema iniziale: si deveinnanzitutto mostrare che 4u = 0 all’interno di [0, π] × [0, π]. Se π ≥ y > 0 la successionesinhn(π − y)/ sinhnπ tende a 0 esponenzialmente con n, infatti se n e abbastanza grande si ha

0 ≤ sinhn(π − y)sinhnπ

=en(π−y) − e−n(π−y)

enπ − e−nπ ≤ (2.2.13)

≤ en(π−y)

enπ − e−nπ ≤en(π−y)

enπ/2=

12e−ny

bn → 0 per la disuguaglianza di Bessel ed il seno e una funzione limitata, quindi se π ≥ y > 0 siottiene che per ogni k la serie

∞∑n=1

nk sinhn(π − y) sin(nx)2

π sinh(nπ)

∫ π

0

f(z) sin(nz)dz (2.2.14)

converge, quindi la serie che compare in 2.2.12 converge a una funzione derivabile infinite volte epuo essere derivata termine a termine un numero arbitrario di volte, quindi per come sono staticostruiti Xn, Yn si ottiene

4u(x, y) = 4∑

XnYn =∑4(XnYn) = 0 (2.2.15)

2.2. PROBLEMA AI LIMITI PER IL QUADRATO 31

Verifichiamo le condizioni ai limiti: e immediato vedere che u(0, y) = u(π, y) = u(x, π) = 0 e percome sono stati determinati gli an si ha u(x, 0) = f(x) (in L2). Vediamo ora che limy→0 ‖f(x) −u(x, y)‖2 = 0: sia ε > 0 fissato, allora

‖f(x)−∞∑n=1

bnsinhn(π − y)

sinhnπsinnx‖22 = ‖

∞∑

i=1

bn sinnx(

1− sinhn(π − y)sinhnπ

)‖22 ≤ (2.2.16)

≤∞∑

i=1

2π|bn|2

∣∣∣∣1−sinhn(π − y)

sinhnπ

∣∣∣∣2

si ha 0 ≤ 1− sinhn(π−y)sinhnπ ≤ 1 e poiche

∑∞i=1 |bi|2 <∞ esiste un N tale che

∑∞i=N+1 |bi|2 < ε quindi

‖f(x)−∞∑n=1

bnsinhn(π − y)

sinhnπsinnx‖22 ≤ ε+

N∑n=1

2π|bn|2

∣∣∣∣1−sinhn(π − y)

sinhnπ

∣∣∣∣2

(2.2.17)

e immediato vedere che l’ultima espressione e continua in y quindi esiste un δ > 0 tale che se0 ≤ y ≤ δ allora

‖f(x)−∞∑n=1

bnsinhn(π − y)

sinhnπsinnx‖22 ≤ 2ε (2.2.18)

che conclude.

2.2.2 caso uF

Sia Xn(x) un sistema ortogonale completo in L2(0, π) e scriviamo nuovamente u nella formau(x, y) =

∑Xn(x)Yn(y) dove si impongono le condizioni

Xn(0) = 0; Xn(π) = 0; Yn(0) = 0; Yn(π) = 0 (2.2.19)

Per le Xn si puo imporre X ′′n = −λXn in modo che analogamente al caso precedente si abbiaλ = n2 e Xn = an sinnx. La funzione F puo essere scritta come F (x, y) =

∑Fn(y)Xn(x) ed

imponiamo che ∑4(Xn(x)Yn(y)) =

∑Fn(y)Xn(x) (2.2.20)

da cui si ottiene ∑X ′′n(x)Yn(y) + Y ′′n (y)Xn(x) =

∑Fn(y)Xn(x) (2.2.21)

e a causa della scelta delle Xn effettuata si ottiene infine

Y ′′(y)− n2Yn(y) = Fn(y); Fn(y) =2π

∫ π

0

F (ξ, y) sinnξdξ (2.2.22)

Cercando una soluzione dell’equazione precedente usando il metodo della variazione delle costantiarbitrarie sostituendo Yn(y) = A(y) sinhny + B(y) sinhn(π − y), dove si deve avere A(π) = 0 eB(0) = 0, si ottiene il seguente sistema

nA′(y) coshny − nB′(y) coshn(π − y) = Fn(y)A′(y) sinhny +B′(y) sinhn(π − y) = 0 (2.2.23)

moltiplicando la prima equazione per sinhny e sottraendola alla seconda moltiplicata per n coshnysi ottiene

B′(y)(n sinhn(π − y) coshny + n coshn(π − y) sinhny) = −Fn(y) sinhny (2.2.24)

scrivendo y1 = sinhny e y2 = sinhn(π − y) si ha B′(y)(y2y′1 − y1y

′2) = −Fn(y) sinhny e inoltre

(y2y′1 − y1y

′2)′ = y2y

′′1 − y1y

′′2 = n2 sinhn(π − y) sinhny − n2 sinhn(π − y) sinhny = 0 (2.2.25)


quindi y2y′1 − y1y

′2 = cost = n sinhnπ, quindi si ottiene

B′(y) = −Fn(y)sinhnyn sinhnπ

; A′(y) = Fn(y)sinhn(π − y)n sinhnπ

(2.2.26)

da cui, ricordando che A(π) = 0 e B(0) = 0 si ottiene

A(y) = −∫ π

y

Fn(η)sinhn(π − η)n sinhnπ

dη; B(y) = −∫ y

0

Fn(η)sinh(nη)n sinhnπ

dη (2.2.27)

quindi e semplice vedere che Yn(y) puo essere scritto nella seguente forma:

Yn(y) = A(y) sinhny +B(y) sinhn(π − y) = −∫ π

0

Fn(η)n sinhnπ

Gn(y, η)dη (2.2.28)

dove si e introdotta la funzione

Gn(y, η) =

sinhnη sinhn(π − y) se η < ysinhn(π − η) sinhny se n ≥ y (2.2.29)

Si ottiene quindi per u l’espressione

u(x, y) =∞∑n=1

sinnxYn(y) = −∞∑n=1

sinnx∫ π

0

(2π

∫ π

0

F (ξ, η) sinnξdξ)Gn(y, η)n sinhnπ

dη =

= −∫

Q

F (ξ, η)

( ∞∑n=1

2 sinnx sinnξnπ sinhnπ

Gn(y, η)

)dS =

∫

Q

F (ξ, η)G(x, y, ξ, η)dS (2.2.30)

dove Q = [0, π] × [0, π] e dS = dξdη e si e introdotta la funzione G(x, y, ξ, η) detta funzione diGreen del problema. La funzione G risulta quindi definita da

−G(x, y, ξ, η) =

∑∞n=1

2 sinhn(π−y) sinhnη sinnx sinnξπn sinhnπ se η < y

∑∞n=1

2 sinhny sinhn(π−η) sinnx sinnξπn sinhnπ se η ≥ y

(2.2.31)

La funzione precedente, di cui non e chiaro neppure se le serie convergano, puo essere riscritta nellaforma

−G(x, y, ξ, η) =1

2π

∞∑n=1

1n

[e−n|y−η|+ (2.2.32)

+e−n(2π+|y−η|) + e−n(2π−|y−η|) − e−n(2π−y−η) − e−n(y+η)

1− e−2nπ

]cosn(x− ξ)− cosn(x+ ξ)

valutiamo ora la parte di questa serie che deriva dal termine e−n|y−η|: se poniamo z = Peiα, con|P | < 1 allora si ha

∞∑n=1

Pn cosnα =∞∑n=1

<(Peiα)n = <∞∑n=1

zn = < z

1− z = <z(1− z)|1− z|2 = (2.2.33)

=<z − |z|2|1− z|2 =

P cosα− P 2

|1− Peiα|2 =P cosα− P 2

1 + P 2 − 2P cosα

Inoltre∞∑n=1

1nPn cosnα =

∫ P

0

( ∞∑n=1

pn−1 cosnα

)dp (2.2.34)

2.3. PROBLEMA AI LIMITI PER IL CERCHIO 33

quindi utilizzando 2.2.33 si ha

∞∑1

1nPn cosnα =

∫ P

0

cosα− p1 + p2 − 2p cosα

dp = −12

log[1 + P 2 − 2P cosα] (2.2.35)

quindi ponendo P = e−|y−η| ed applicando la formula precedente si ottiene

G(x, y, ξ, η) = +1

4πlog[1 + e−2|y−η| − 2e−|y−η| cos(x− ξ)] + (2.2.36)

− 14π

log[1 + e−2|y−η| − 2e−|y−η| cos(x+ ξ)] +

−∞∑n=1

e−n(2π+|y−η|) + e−n(2π−|y−η|) − e−n(2π−y−η) − e−n(y+η)

nπ(1− e−2nπ)sinnx sinnξ

e la serie che compare ancora, fissati ξ, η, converge uniformemente in x, y.

2.3 Problema ai limiti per il cerchio

In questa sezione si discutera la soluzione dell’equazione differenziale

4u(x, y) = F (x, y) (2.3.1)

con condizioni al contorno u(R cosφ,R sinφ) = f(φ), dove F ∈ L2(B(0, R)) e f ∈ L2(0, 2π) sonofunzioni assegnate. Analogamente al caso precedente la soluzione u del problema puo essere scrittacome u = u0 + uF , dove

• u0 soddisfa il problema con F = 0, f generica

• uF soddisfa il problema con f = 0, F generica

2.3.1 caso u0

Ricordiamo innanzitutto che in coordinate polari il laplaciano di una funzione si scrive come

4u(r, φ) =∂2u

∂r2+

1r

∂u

∂r+

1r2

∂2u

∂φ2(2.3.2)

Cerchiamo una soluzione della forma u(r, φ) =∑Rn(r)φn(φ) e imponiamo che 4(Rnφn) = 0, cioe

R′′nφn +1rR′nφn +

1r2Rnφ

′′n = 0 (2.3.3)

Imponiamo la ulteriore condizione che φ′′n = −λφ, con φn(0) = φn(2π) e φ′n(0) = φ′n(2π) da cui esemplice ottenere

λ = n2; φn(φ) = an sinnφ+ bn cosnφ (2.3.4)

si ottiene allora la seguente equazione per Rn:

R′′n +1rR′n −

n2

r2Rn = 0 (2.3.5)

Se n = 0 la soluzione generale della precedente equazione e R0 = a0 + b0 log r; se n 6= 0, cercandosoluzioni della forma rα, si ottiene che Rn = anr

n + bnr−n, quindi l’espressione Rnφn assume la

forma

• se n = 0 a0 + b0 log r


• se n 6= 0 anrn cosnφ+ bnr

n sinnφ+ cnrn cosnφ+ dn

rn sinnφ

poiche pero si vuole che la soluzione sia definita anche in r = 0 ci si restringe a considerare perRnφn i valori

• se n = 0 a0

• se n 6= 0 anrn cosnφ+ bnr

n sinnφ

Per soddisfare la condizione al bordo e necessario che∑Rn(R)φn(φ) = f(φ) quindi, considerando

lo sviluppo in serie di Fourier di f , si ottiene

a0 +∞∑n=1

(anRn cosnφ+ bnRn sinnφ) =

12π

∫ 2π

0

f(θ)dθ + (2.3.6)

+∞∑n=1

(cosnφπ

∫ 2π

0

f(θ) cosnθdθ +sinnφπ

∫ 2π

0

f(θ) sinnθdθ)

da cui si determinano ai, bi, ottenendo quindi per u l’espressione

u(r, φ) =1

2π

∫ 2π

0

f(θ)dθ +1π

∞∑n=1

( rR

)n ∫ 2π

0

f(θ)[cosnθ cosnφ+ sinnθ sinnφ]dθ (2.3.7)

Se 0 ≤ r ≤ r0 < R la serie converge uniformemente, quindi puo essere riscritta come

u(r, φ) =1

2π

∫ 2π

0

f(θ)

1 + 2

∞∑n=1

( rR

)ncosn(θ − φ)

dθ (2.3.8)

Se poniamo z = Peiα, con |P | < 1 allora si ha

∞∑n=1

Pn cosnα =∞∑n=1

<(Peiα)n = <∞∑n=1

zn = < z

1− z = <z(1− z)|1− z|2 = (2.3.9)

=<z − |z|2|1− z|2 =

P cosα− P 2

|1− Peiα|2 =P cosα− P 2

1 + P 2 − 2P cosα

Inoltre

1 + 2P cosα− P 2

1 + P 2 − 2P cosα=

1− P 2

1 + P 2 − 2P cosα(2.3.10)

quindi, ponendo P = r/R e α = θ − φ, si ottiene

u(r, φ) =∫ 2π

0

f(θ)1

2πR2 − r2

R2 + r2 − 2rR cos(θ − φ)dθ (2.3.11)

L’equazione 2.3.11 e nota come formula di Posson e l’espressione che moltiplica f nell’integrandoe nota come nucleo di Poisson.

Utilizzando la formula 2.3.2 e semplice vedere, utilizzando il teorema di derivazione sotto ilsegno di integrale, che la funzione in 2.3.11 soddisfa effettivamente l’equazione 4u = 0, poiche ilnucleo di Poisson soddisfa questa equazione se r < R.

Notiamo ora una proprieta del nucleo di Poisson che sara tra poco utilizzata: se f = 1 si vedesubito dallo sviluppo 2.3.7 che si ha u(r, φ) = 1 per ogni r, φ con r < R, quindi ponendo f(θ) = 1nella formula di Poisson 2.3.11 si ottiene

1 =∫ 2π

0

12π

R2 − r2

R2 + r2 − 2rR cos(θ − φ)dθ (2.3.12)


Utilizzando la formula trigonometrica

cosα = 1− 2 sin2 α

2(2.3.13)

si ottiene

R2 + r2 − 2rR cos(θ − φ) = R2 + r2 − 2rR+ 4rR sin2 θ − φ2≥ 4rR sin2 θ − φ

2(2.3.14)

quindi se η > 0 si ha

∫

|θ−φ|>η

12π

R2 − r2

R2 + r2 − 2rR cos(θ − φ)dθ ≤

∫

|θ−φ|>η

12π

R2 − r2

4rR sin2 η2

dθ ≤ R2 − r2

4rR sin2 η2

(2.3.15)

e l’ultimo membro tende a 0 se r → R−. Notiamo infine che il nucleo di Poisson e una funzionepositiva. Dopo queste semplici premesse verifichiamo ora infine che se f e una funzione continuadi θ, allora si ha (dove u e definita dall formula di Poisson)

lim(r,φ)→(R,φ0)

u(r, φ) = f(φ) (2.3.16)

Si ha infatti (usando 2.3.12)

u(r, φ)− f(φ0) =∫ 2π

0

[f(θ)− f(φ0)]1

2πR2 − r2

R2 + r2 − 2rR cos(θ − φ)dθ = (2.3.17)

=∫

|θ−φ0|≤η[f(θ)− f(φ0)]

12π

R2 − r2

R2 + r2 − 2rR cos(θ − φ)dθ +

+∫

|θ−φ0|>η[f(θ)− f(φ0)]

12π

R2 − r2

R2 + r2 − 2rR cos(θ − φ)dθ

A causa della relazione 2.3.12 il primo integrale puo essere stimato in valore assoluto da

sup|θ−φ0|<η

|f(θ)− f(φ0)| (2.3.18)

che per la continuita di f puo essere reso piccolo a piacere scegliendo η abbastanza piccolo. Se orasi sceglie φ tale che |φ− φ0| < η/2, da |θ− φ0| > η segue |θ− φ| > η/2 quindi, se M = max |f(θ)|,il secondo integrale si stima in valore assoluto con

2M∫

|θ−φ|>η/2

12π

R2 − r2

R2 + r2 − 2rR cos(θ − φ)dθ (2.3.19)

che per 2.3.15 tende a zero se r → R.

2.3.2 caso uF

Cercando soluzioni della forma u(r, φ) =∑nRn(r)φn(φ) e semplice vedere che le φn devono avere

la stessa forma del caso precedente e quindi si deve avere

R′′n(r) +1rR′n(r)− n2

r2Rn = Fn(r) (2.3.20)

dove F (r, φ) =∑∞n=0 Fn(r)φn(φ). Per la soluzione di 2.3.20 distingeremo i due casi n = 0 e n 6= 0.


n = 0

Se n = 0 l’equazione 2.3.20 si riduce a rR′′0 +R′0 = rF0 cioe ddr (rR′0) = rF0 quindi

rR′0(r) =∫ r

0

xF0(x)dx (2.3.21)

dove l’estremo inferiore di integrazione e 0 per evitare singolarita in r = 0. Quindi si ottiene

R0(r) = −∫ R

r

1t

[∫ t

0

xF0(x)dx]

dt (2.3.22)

dove gli estremi di integrazione sono stati scelti in modo da avere R0(R) = 0. Applicando ilteorema di Fubini si ottiene allora

R0(r) = −∫ r

0

dx∫ R

r

1txF0(x)dt−

∫ R

r

dx∫ R

x

xF0(x)1tdt = (2.3.23)

=∫ r

0

xF0(x) logr

Rdx+

∫ R

r

xF0(x) logx

Rdx

(non e ovvio che il teorema di Fubini sia applicabile ma si puo controllare semplicemente che ilrisultato finale e giusto, cioe verifica ancora 2.3.20).

n 6= 0

Poiche rn e r−n sono soluzioni dell’equazione omogenea si cercano soluzioni del tipo A(r)rn +B(r)r−n ottenendo il sistema

A′(r)rn +B′r−n = 0

nA′(r)rn−1 − nB′(r)r−n−1 = Fn(r) (2.3.24)

da cui si ottiene A′(r) = 1

2n (rFn(r))r−n

B′(r) = − 12n (rFn(r))rn (2.3.25)

per evitare sigolarita in 0 si impone B(0) = 0; inoltre da Rn(R) = 0 segue che R2nA(R) = −B(R),da cui si ottiene

B(r) = − 12n

∫ r

0

(xF (x))xndx (2.3.26)

A(r) = A(R) +∫ r

R

A′(x)dx =1

2n1R2n

∫ R

0

(xFn(x))xndx+1

2n

∫ r

R

(xFn(x))1xn

dx = (2.3.27)

=1

2n

∫ r

0

(xFn)( x

R2

)ndx+

12n

∫ R

r

(xFn)( x

R2

)ndx− 1

2n

∫ R

r

(xFn)1xn

dx

da cui si ottiene

Rn(r) =1

2n

∫ r

0

(xFn)[( rxR2

)n−(xr

)n]dx+

12n

∫ R

r

(xFn)[( rxR2

)n−( rx

)n]dx (2.3.28)

Per semplificare i passaggi successivi notiamo che sia nel caso n = 0 che nel caso n 6= 0 gliintegrandi di

∫ r0

e∫ Rr

, a parte il fattore comune xFn(x), si ottengono l’uno dall’altro scambiandox con r.


Analogamente al caso precedente si ottiene u confrontando il suo sviluppo con lo sviluppo diFourier di F , ottenendo quindi

u(r, φ) =1

2π

∫ r

0

(x

∫ 2π

0

F (x, θ)dθ)

logr

Rdx+ (2.3.29)

+∞∑n=1

12n

∫ r

0

x

[1π

∫ 2π

0

F (x, θ) cosnθdθ cosnφ+

+1π

∫ 2π

0

F (x, θ) sinnθdθ sinnφ]( rx

R2

)n−(xr

)ndx+

∫ R

r

· · · =

=1

2π

∫

x<r

F (x, θ)

log

r

R+∞∑n=1

1n

cosn(θ − φ))[( rxR2

)n−(xr

)n]dS +

∫

x>r

· · ·

dove dS = xdθdx; non si e prestata molta attenzione allo scambio di sommatoria e integrale poicheuna volta arrivati alla forma finale si verifichera direttamente la giustezza della stessa. Applicando2.2.35 con P = xr

R2 e P = xr si ottiene

u(r, φ) =1

4π

∫

x<r

F (x, θ)

log

r2

R2+ log

1 + x2

r2 − 2 rx cos(θ − φ)

1 + x2r2

R4 − 2xr cos(θ − φ)

dS +

∫

x>r

· · · = (2.3.30)

=∫

x<r

F (x, θ)

1

4πlog

r2 + x2 − 2rx cos(θ − φ)R2 + x2r2

R2 − 2rx cos(θ − φ)

dS +

∫

x>r

· · ·

poiche il termine · · · e simmetrico per lo scambio di r con x si ottiene quindi infine

u(r, φ) =∫

S

F (x, θ)

1

4πlog

r2 + x2 − 2rx cos(θ − φ)R2 + x2r2

R2 − 2rx cos(θ − φ)

dS (2.3.31)

dove S = B(0, R); la funzione

G(r, φ, x, θ) =1

4πlog

r2 + x2 − 2rx cos(θ − φ)R2 + x2r2

R2 − 2rx cos(θ − φ)= (2.3.32)

=1

4π

log[r2 + x2 − 2rx cos(θ − φ)]− log[R2 +

x2r2

R2− 2rx cos(θ − φ)]

e detta funzione di Green. Verifichiamo ora che la funzione 2.3.31 e effettivamente la soluzionecercata del problema. Per fare cio notiamo innanzitutto che la funzione G(r, φ, x, θ) soddisfal’equazione 4G = 0 come funzione di r, φ in S\x, θ.

Poiche ∂G/∂r e ∂G/∂φ sono integrabili in S, si puo derivare sotto il segno di integrale, ottenendo

∂u

∂r=∫

S

F (x, θ)∂G

∂rdS (2.3.33)

∂u

∂φ=∫

S

F (x, θ)∂G

∂φdS (2.3.34)

le derivate seconde ∂2G/∂r2 e ∂2G/∂φ2 non sono invece integrabili, quindi non si puo derivareulteriormente sotto l’integrale.

Notiamo ora che se poniamo F = 1, si ottiene F0 = 1 e Fn = 0 se n > 0, quindi dalla espressione2.3.29 si ottiene

u(r, φ) =∫ r

0

x logr

Rdx+

∫ R

r

x logx

Rdx =

14

(r2 −R2) (2.3.35)

inoltre in questo caso gli scambi di integrale e sommatoria sono evidentemente leciti, quindi siottiene, inserendo F = 1 in 2.3.31

∫

S

G(r, φ, x, θ)dS =14

(r2 −R2) (2.3.36)


da cui si ottiene

12r =

∫

S

∂G

∂rdS (2.3.37)

0 =∫

S

∂G

∂φdS (2.3.38)

moltiplicando le equazioni precedenti per F (r, φ) e sottraendole a 2.3.33, 2.3.34 si ottiene

∂u

∂r− 1

2rF (r, φ) =

∫

S

∂G

∂r[F (x, θ)− F (r, φ)]dS (2.3.39)

∂u

∂φ=∫

S

∂G

∂φ[F (x, θ)− F (r, φ)]dS (2.3.40)

Se ora si suppone che F sia di classe C1 allora il rapporto

F (x, θ)− F (r, φ)[r2 + x2 − 2rx cos(θ − φ)]1/2

(2.3.41)

e limitato, poiche [r2 + x2 − 2rx cos(θ − φ)]1/2 e la distanza tra i punti (r, φ) e (x, θ). Con questaassunzione e semplice vedere che le funzioni che si ottengono derivando gli integrandi di 2.3.39 e2.3.40 sono integrabili, quindi e possibile derivare sotto il segno di integrale, ottenendo

∂2u

∂r2− 1

2F (r, φ)− 1

2r∂F

∂r(r, φ) =

∫

S

∂2G

∂r2[F (x, θ)− F (r, φ)]− ∂G

∂r

∂F

∂r(r, φ)

dS (2.3.42)

∂2u

∂φ2=∫

S

∂2G

∂φ2[F (x, θ)− F (r, φ)]− ∂G

∂φ

∂F

∂φ(r, φ)

dS (2.3.43)

quindi si ottiene infine

4u =∂2u

∂r2+

1r

∂u

∂r+

1r2

∂2u

∂φ2= F (r, φ) +

12r∂F

∂r(r, φ) + (2.3.44)

+∫

S

[∂2G

∂r2+

1r

∂G

∂r+

1r2

∂2G

∂φ2

][F (x, θ)− F (r, φ)]dS −

−∂F∂r

(r, φ)∫

S

∂G

∂rdS − ∂F

∂φ

∫

S

∂G

∂φdS = F (r, φ)

Se inoltre F e limitata, allora si ha

|u(r, φ)| ≤M∫

S

|G|dS = −M∫

S

GdS =M

4(R2 − r2) (2.3.45)

(dove si e usato il fatto che G(r, φ, x, θ) ≤ 0) quindi si ha

lim(r,φ)→(R,φ0)

u(r, φ) = 0 (2.3.46)

2.3.3 Funzioni armoniche

Definizione 2.3.1. Sia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e f : Ω→ C una funzione; si dice che f e unafunzione armonica su Ω se per ogni punto di Ω la funzione f soddisfa l’equazione

4f =n∑

i=1

∂2f

∂x2i

= 0 (2.3.47)


Definizione 2.3.2. Sia Ω ⊂ Rn un aperto, sia ∂Ω = Ω\Ω e sia data una funzione continuaf : ∂Ω → C; si chiama problema di Dirichlet il problema consistente nel trovare una funzioneψ : Ω→ C continua tale che ψ sia armonica su Ω e ψ|∂Ω = f .

Teorema 2.3.1. Sia Ω = B(0, R) ⊂ R2 e f : ∂Ω → C una funzione continua assegnata, allorail problema di Dirichlet su Ω con condizione al bordo f ammette come soluzione (in coordinatepolari)

u(r, φ) =

f(φ) se r = R∫ 2π

0f(θ) 1

2πR2−r2

R2+r2−2rR cos(θ−φ)dθ se r < R(2.3.48)

Dimostrazione. per quanto visto in precedenza u(r, φ) cosı definita e una funzione armonica su Ωe continua su Ω (vedi equazione 2.3.16).

Teorema 2.3.2 (Principio del massimo). Sia Ω ⊂ Rn un aperto limitato, F : Ω → R unafunzione e sia u : Ω→ R una funzione continua tale che in Ω si abbia 4u = −F , allora se F ≤ 0si ha

supx∈Ω

u(x) ≤ maxx∈∂Ω

u(x) (2.3.49)

Dimostrazione. dimostriamo innanzitutto il teorema nel caso F < 0: se in questo caso u avesse unmassimo in x ∈ Ω si dovrebbe avere

∂u

∂xi(x) = 0;

∂2u

∂x2i

(x) ≤ 0 (2.3.50)

quindi 4u(x) ≤ 0, mentre in Ω si deve avere 4u = −F > 0, quindi u deve assumere il suo massimosu ∂Ω ed in questo caso e mostrata la relazione 2.3.49.

Se definiamo g(x) = x21 + · · ·+ x2

n si ha 4g = 2n > 0; poniamo allora

v(x) = u(x) + εg(x) (2.3.51)

dove ε > 0 e una costante. Evidentemente v : Ω → R e una funzione continua e soddisfa in Ωall’equazione

4v = −(F − 2nε) (2.3.52)

e poiche F ≤ 0 si ha F −2nε < 0, quindi si puo applicare il primo caso dimostrato, quindi v assumeil suo massimo su ∂Ω. Sia M = maxx∈∂Ω u(x) e R > 0 tale che Ω ⊂ B(0, R), allora si ha per ognix ∈ Ω

u(x) ≤ v(x) ≤ maxy∈∂Ω

v(y) ≤M + εR2 (2.3.53)

L’equazione precedente deve valere per ogni ε > 0, quindi passando al limite per ε → 0 si ottienel’enunciato.

Corollario 2.3.1. Sia Ω ⊂ Rn un aperto limitato e sia f : ∂Ω→ R una funzione continua, allorase u : Ω→ R e soluzione del problema di Dirichlet con condizione al bordo f si ha per ogni x ∈ Ω

miny∈∂Ω

f(y) ≤ u(x) ≤ maxy∈∂Ω

f(y) (2.3.54)

Dimostrazione. per il principio del massimo si ha per ogni x ∈ Ω

u(x) ≤ maxy∈∂Ω

u(y) = maxy∈∂Ω

f(y) (2.3.55)

inoltre −u e soluzione del problema di Dirichlet con condizione al bordo −f , quindi si ha

−u(x) ≤ maxy∈∂Ω

[−u(y)] = maxy∈∂Ω

[−f(y)] = miny∈∂Ω

f(y) (2.3.56)


Corollario 2.3.2. Sia Ω ⊂ Rn un aperto limitato, allora l’unica soluzione del problema di Dirichletcon condizione al bordo nulla su ∂Ω e u = 0.

Dimostrazione. u = 0 e evidentemente una soluzione e se nel corollario precedente si pone f = 0si vede che e anche l’unica.

Corollario 2.3.3. Sia Ω ⊂ Rn una aperto limitato e f : ∂Ω → C una funzione continua, allorase il problema di Dirichlet con condizione al bordo f ammette almeno una soluzione esso ammettesolo una soluzione.

Dimostrazione. supponiamo per assurdo che esistano due soluzioni distinte u1, u2, allora v = u1−u2

soddisfa al problema di Dirichlet con condizioni al bordo nulle su ∂Ω, quindi per il corollarioprecedente v = 0 e quindi u1 = u2.

Il corollario precedente e in generale falso se Ω non e limitato: consideriamo ad esempio Ω =B(0, 1)

c(in Rn con n ≥ 3) con condizione al bordo f = 1, allora due soluzioni distinte sono ad

esempiou1(x) = 1; u2(x) = (x2

1 + · · ·+ x2n)(n−2)/2 (2.3.57)

Corollario 2.3.4. La funzione 2.3.48 e l’unica soluzione del problema di Dirichlet considerato nelteorema 2.3.1.

Corollario 2.3.5 (Teorema della media). Sia Ω ⊂ R2 un insieme aperto e B(a,R) ⊂ Ω, allorase u : Ω→ C e una funzione armonica si ha

u(a) =1

2πR

∫ 2π

0

u(a+Reiθ)Rdθ (2.3.58)

ossia u(a) coincide con la media dei valori che u assume su ∂B(a,R) (il teorema e vero anche indimensione superiore utilizzando integrali superficiali)

Dimostrazione. all’interno di B(a,R) la funzione u coincide (per l’unicita) con la soluzione delproblema di Dirichlet con condizione al bordo u su B(a,R), quindi e applicabile la formula diPoisson; in questo caso essa diviene, in coordinate polari centrate in a

u(r, φ) =∫ 2π

0

u(a+Reiθ)1

2πR2 − r2

R2 + r2 − 2rR cos(θ − φ)dθ (2.3.59)

ponendo r = 0 si ottiene il valore di u calcolato nel punto a, quindi l’espressione 2.3.58.

Corollario 2.3.6. Sia Ω ⊂ R2 un insieme aperto limitato tale che non possa scriversi come unionedi due aperti disgiunti non vuoti (si dice che e connesso). Sia u : Ω→ C una funzione armonica,allora se |u| ha un punto di massimo in Ω la funzione u e costante (anche questo e vero anche indimensione superiore ma poiche si e dimostrato il teorema della media solo nel caso n = 2 ci silimitera anche quı al caso n = 2).

Dimostrazione. sia a ∈ Ω un punto di massimo per |u| e vediamo che l’insieme x ∈ Ω|u(x) = u(a)e un insieme aperto: se u(a) = 0 il teorema e ovvio, quindi supponiamo u(a) 6= 0 e, a meno dimoltiplicare u per una costante di modulo 1, si puo supporre u(a) > 0. Per r ≥ 0 abbastanzapiccolo, sia

M(r) = sup0≤θ≤2π

|u(a+ reiθ)|

per ipotesi si ha (per r sufficientemente piccolo) M(r) ≤ u(a), inoltre da 2.3.58 segue u(a) ≤M(r),quindi u(a) = M(r); cio assicura che la funzione <[u(a)−u(z)] e positiva per z vicino ad a e nullain z se e solo se u(z) = u(a). Da 2.3.58 segue che

∫ 2π

0<(u(a)−u(a+ reiθ))dθ = 0 per r piccoli, che

per quanto visto implica che in B(a,R) la funzione u e costante, quindi A = x ∈ Ω|u(x) = u(a)e aperto.


Poiche u e continua, e immediato vedere che B = x ∈ Ω|u(x) 6= u(a) e un insieme aperto.Ma allora Ω = A ∪ B, A ∩ B = ∅ e A e B sono aperti, quindi dall’ipotesi (poiche a ∈ A) segueB = ∅, cioe A = Ω.

2.3.4 Lemma di Green e sue conseguenze

In questa sezione si utilizzeranno tecniche leggermente piu sofisticate che in quelle precedenti, inparticolare si fara un pesante uso di integrali superficiali, questo per esporre il teorema generaledella media per le funzioni armoniche ed alcune nozioni circa la teoria generale delle funzioni diGreen nei problemi ai limiti per l’operatore di Laplace.

Ricordiamo innanzitutto il contenuto del teorema della divergenza: se v(x) e un campo vetto-riale di classe C1 in Rn, S e una varieta con bordo di dimensione n di classe C1 a tratti avente perbordo σ e n e la normale uscente a S si ha

∫

S

∇ · vdS =∫

σ

v · ndσ (2.3.60)

Dal teorema della divergenza si puo ottenere un analogo multidimensionale dell’integrazioneper parti: si ha innanzitutto se u : Rn → R e di classe C1

∇ · (uv) = (∇u) · v + u∇ · v (2.3.61)

dal teorema della divergenza si ottiene allora∫

S

u∇ · vdS =∫

σ

uv · ndσ −∫

S

v · ∇udS (2.3.62)

Se si pone in particolare v = v(x)ei si ottiene∫

S

u∂v

∂xidS =

∫

σ

uvnidσ −∫

S

∂u

∂xivdS (2.3.63)

dove ni e la componente i−esima di n.D’ora in avanti ogni volta che si considereranno integrali di volume o superficie si supporranno

verificate le condizioni di regolarita necessarie per poter applicare il teorema della divergenza

Lemma 2.3.1 (Lemma di Green). Siano f, g funzioni di classe C2, allora si ha∫

S

(f4g − g4f)dS =∫

σ

(f∂g

∂n− g ∂f

∂n

)dσ (2.3.64)

dove ∂f∂n = ∇f · n.

Dimostrazione. utilizzando l’identita 2.3.61 si ottiene∫

S

∇ · (f∇g)dS =∫

S

(f4g +∇f · ∇g)dS =∫

σ

f∇g · ndσ =∫f∂g

∂ndσ (2.3.65)

∫

S

∇ · (g∇f)dS =∫

S

(g4f +∇g · ∇f)dS =∫

σ

g∇f · ndσ =∫g∂f

∂ndσ (2.3.66)

e quindi sottraendo si ottiene 2.3.64.

Teorema 2.3.3 (Teorema della media). Sia Ω un aperto in Rn e sia u : Ω → C armonica,sia y ∈ Ω e sia δ > 0 tale che B(y, δ) ⊂ Ω, allora se si indica con |s(δ)| la superficie della sferan−dimensionale s(δ) = x ∈ Rn| ‖x− y‖ = δ si ha

u(y) =1|s(δ)|

∫

s

udσ (2.3.67)


Dimostrazione. dal lemma di Gauss segue innanzitutto, ponendo f = u e g = 1 che∫

σ

∂u

∂ndσ = 0 (2.3.68)

Supponiamo ora n > 2 e sia 0 < ε < δ; nel lemma di Green poniamo ora g(x) = ‖x − y‖2−n,f(x) = u(x) e S = x ∈ Rn|ε ≤ ‖x− y‖ ≤ δ; notando che anche g e armonica si ottiene

0 = (2− n)δ1−n∫

s(δ)

udσ − δ2−n∫

s(δ)

∂u

∂ndσ − (2− n)ε1−n

∫

s(ε)

udσ + ε2−n∫

s(ε)

∂u

∂ndσ (2.3.69)

quindi usando 2.3.68 si ottiene

0 = δ1−n∫

s(δ)

udσ − ε1−n∫

s(ε)

udσ (2.3.70)

quando ε→ 0 si ottiene a meno di infinitesimi di ordine superiore in ε

∫

s(ε)

udσ ∼ |s(ε)|u(y) =|s(ε)||s(δ)| |s(δ)|u(y) =

( εδ

)n−1

|s(δ)|u(y) (2.3.71)

quindi inserendo in 2.3.70 si ottiene infine∫

s(δ)

udσ =( εδ

)1−n ∫

s(ε)

udσ → |s(δ)|u(y) (2.3.72)

Se n = 2 si procede in modo identico ponendo g(x) = log ‖x− y‖.

La parte seguente di questa sezione e ripresa dal testo [2] della bibliografia.

Definizione 2.3.3. Dato un aperto Ω ⊂ R2, sia ∂Ω = Ω\Ω. Definiamo la funzione di Green peril laplaciano in 2 dimensioni come una funzione G(x, y, ξ, η) : Ω × Ω → R che soddisfa i seguenticriteri

1. eccetto nel punto (x, y) = (ξ, η) la funzione G(x, y, ξ, η) e continua in x, y e le sue derivateprime e seconde rispetto a x, y sono continue in Ω\ξ, η rispetto a x, y. La funzione G hala forma

G(x, y, ξ, η) =1

2πlog r + γ(x, y, ξ, η); r =

√(x− ξ)2 + (x− η)2 (2.3.73)

dove γ e le sue derivate prime e seconde in x, y sono continue rispetto a x, y [ovunque, nonpiu tranne in (x, y) = (ξ, η) ].

2. G(x, y, ξ, η) = 0 se (x, y) ∈ ∂Ω

3. in Ω\ξ, η si deve avere 4G(x, y, ξ, η) = 0 (il laplaciano e applicato alle coordinate x, y ).

Dal punto (3) della definizione precedente, poiche 4 log r = 0 su Ω\ξ, η, segue che 4γ = 0su Ω\ξ, η e per la continuita delle derivate seconde si ha 4γ = 0 su tutto Ω.

Lemma 2.3.2. sia f : Ω→ R una funzione continua nel punto (x, y) = (ξ, η) e sia s(ε) = (x, y) ∈R2| r = ε ⊂ Ω, allora si ha

limε→0

∫

s(ε)

f∂G

∂ndσ = f(ξ, η) (2.3.74)


Dimostrazione. notiamo innanzitutto che si ha

∇G(x, y, ξ, η) =1

2π1r2

(x− ξ, y − η) +∇γ (2.3.75)

e che quindi se n e la normale esterna a s(ε) si ha

∂G

∂n= ∇G · n = ∇G · (x− ξ, y − η)

r=

12πr

+∂γ

∂n(2.3.76)

quindi∫

s(ε)

f∂G

∂ndσ =

∫

s(ε)

f1

2πrdσ +

∫

s(ε)

f∂γ

∂ndσ = (2.3.77)

=1

2π

∫ 2π

0

f(ξ + ε cos θ, η + ε sin θ)dθ +∫

s(ε)

f∂γ

∂ndσ

poiche ∂γ/∂n e continua in (x, y) = (ξ, η), il secondo integrale tende a 0 se ε→ 0, mentre e semplicevedere che il primo tende a f(ξ, η).

Teorema 2.3.4 (Simmetria della funzione di Green). Si ha G(x, y, ξ, η) = G(ξ, η, x, y)

Dimostrazione. sia k = B((ξ, η), ε) e k′ = B((ξ′, η′), ε) ed applichiamo il lemma di Green conS = Ω\k ∪ k′, f(x, y) = G(x, y, ξ, η) e g(x, y) = G(x, y, ξ′, η′), allora si ottiene

0 =∫

σ

(f∂g

∂n− g ∂f

∂n

)dσ (2.3.78)

dove n e la normale uscente di Ω\k ∪ k′ e quindi e entrante per k e k′. L’equazione precedenteequivale a ∫

∂k

(f∂g

∂n− g ∂f

∂n

)dσ +

∫

∂k′

(f∂g

∂n− g ∂f

∂n

)dσ = 0 (2.3.79)

poiche su ∂Ω sia f che g sono nulle. Passando al limite per ε→ 0 si ottiene usando il lemma 2.3.2(con la sostituzione n→ −n poiche lı n era uscente)

g(ξ, η)− f(ξ′, η′) = 0 (2.3.80)

che equivale alla tesi.

Vediamo ora il teorema da cui dipende l’importanza della funzione di Green.

Teorema 2.3.5. 1) Sia Ω ⊂ R2 e sia u : Ω → R una funzione continua con derivate primecontinue e 4u integrabile che soddisfa su Ω l’equazione 4u = φ(x, y) e tale che u = 0 su ∂Ω allorasi ha

u(x, y) =∫

Ω

G(x, y, ξ, η)φ(ξ, η)dξdη (2.3.81)

2) se φ : Ω→ R e una funzione continua con derivate prime continue in Ω, allora la funzioneu(x, y) definita in 2.3.81 e continua in Ω, ha derivate prime e seconde continue in Ω, si ha 4u = φin Ω e u = 0 su ∂Ω.

Dimostrazione. 1) applichiamo la formula di Green con f(x, y) = u(x, y), g(x, y) = G(x, y, ξ, η) eS = Ω\k, dove k = B((ξ, η), ε), allora si ottiene

∫

∂k

(u∂G

∂n−G∂u

∂n

)dσ = −

∫

Ω\kGφdξdη (2.3.82)

dove n e uscente per Ω\k e quindi entrante per k. Passando al limite per ε → 0 usando il lemma2.3.2 (con la sostituzione n→ −n) si ottiene la formula 2.3.81


2) usando 2.3.81 e 2.3.73 si puo scrivere u = ψ + χ, dove

ψ(x, y) =1

2π

∫

Ω

φ(ξ, η) log rdξdη; χ(x, y) =∫

Ω

γ(x, y, ξ, η)φ(ξ, η)dξdη (2.3.83)

poiche γ e le sue derivate fino al secondo ordine sono continue si puo calcolare 4χ derivando sottol’integrale e poiche 4γ = 0 si ottiene 4χ = 0, quindi resta solo da mostrare che 4ψ = φ.

Per calcolare ∂ψ/∂x (o analogamente ∂ψ/∂x) si puo derivare sotto l’integrale, poiche in coor-dinate polari si ha ∫

Ω

ψ∂

∂xlog rdξdη =

∫

Ω

ψ cos θdrdθ < +∞ (2.3.84)

quindi chiamando S(x, y, ξ, η) = 12π log r si ha

∂ψ

∂x=∫

Ω

∂S

∂xφdξdη (2.3.85)

Inoltre e immediato vedere che ∂S/∂x = −∂S/∂ξ, quindi

∂ψ

∂x= −

∫

Ω

∂S

∂ξφdξdη (2.3.86)

Integrando per parti tramite la formula 2.3.63 si ottiene

∂ψ

∂x= −

∫

∂Ω

Sφnξdσ +∫

Ω

S∂φ

∂ξdξdη (2.3.87)

dove nξ e la componente ξ della normale esterna a Ω. A questo punto si puo derivare ulteriormente,ottenendo

∂2ψ

∂x2= −

∫

∂Ω

∂S

∂xφnξdσ +

∫

Ω

∂S

∂x

∂φ

∂ξdξdη =

∫

∂Ω

∂S

∂ξφnξdσ −

∫

Ω

∂S

∂ξ

∂φ

∂ξdξdη (2.3.88)

Analogamente si ottiene∂2ψ

∂y2=∫

∂Ω

∂S

∂ηφnηdσ −

∫

Ω

∂S

∂η

∂φ

∂ηdξdη (2.3.89)

quindi si ottiene

4ψ =∫

∂Ω

ψ

(∂S

∂ξnξ +

∂S

∂ηnη

)dσ −

∫

Ω

(∂S

∂ξ

∂φ

∂ξ+∂S

∂η

∂φ

∂η

)dξdη =

=∫

∂Ω

φ∂S

∂ndσ −

∫

Ω

∇S · ∇φ dξdη (2.3.90)

se si scrive k = B((ξ, η), ε) allora si ha anche per continuita

4ψ(x, y) =∫

∂Ω

φ∂S

∂ndσ − lim

ε→0

∫

Ω\k∇S · ∇φ dξdη (2.3.91)

inoltre usando la formula 2.3.65 con g(x, y) = S(x, y, ξ, η) e f(x, y) = φ(x, y) si ottiene (poiche4g = 0) ∫

Ω\k∇S · ∇φdξdη =

∫

∂Ω

φ∂S

∂ndσ +

∫

∂k

φ∂S

∂ndσ (2.3.92)

dove n e la normale esterna a Ω\k e quindi interna a k, quindi si ottiene

4ψ(x, y) = −∫

∂k

φ∂S

∂ndσ (2.3.93)

e quindi usando il lemma 2.3.2 (con n → −n) e la simmetria di S tra x, y e ξ, η, si ottiene4ψ(x, y) = φ(x, y) che conclude.

Tramite il teorema precedente non e difficile mostrare che 2.2.30 soddisfa effettivamente ilproblema 4u = F su (0, π) × (0, π) con condizione al bordo nulle (ovviamente se F soddisfa lecondizioni della φ del teorema precedente).

2.4. EQUAZIONE DELLE ONDE 45

2.4 Equazione delle onde

In questo capitolo si discutera la soluzione dell’equazione

u =1c2∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2= F (x, t) (2.4.1)

con le condizioni ai limiti

u(x, 0) = f(x);∂u

∂t(x, 0) = g(x); u(0, t) = a(t); u(`, t) = b(t) (2.4.2)

dove f e derivabile con continuita una volta ed e deririvabile due volte quasi ovunque, g continua ederivabile q.o, F (x, t) e derivabile una volta rispetto a x con derivata continua q.o. ed F e ∂F/∂xsono integrabili sugli intervalli compatti rispetto a t, a, b sono funzioni derivabili con continuitadue volte. A causa della linearita del problema si puo scrivere u = uf + ug + uF + ua + ub dove

• uf soddisfa il problema con F = 0, a = b = 0, g = 0

• ug soddisfa il problema con F = 0, a = b = 0, f = 0

• uF soddisfa il problema con a = b = 0, f = g = 0

• ua soddisfa il problema con F = 0, f = g = 0, b = 0

• ub soddisfa il problema con F = 0, f = g = 0, a = 0

2.4.1 caso uf

Scriviamo u =∑Xn(x)Tn(t) e imponiamo (XnTn) = 0, allora si ottiene

1c2T ′′n (t)Tn(t)

− X ′′n(x)Xn(x)

= 0 (2.4.3)

e quindiX ′′n + λXn = 0; T ′′n + λc2T = 0 (2.4.4)

cui si impongono le condizioni Xn(0) = Xn(`) = 0 e T ′(0) = 0, allora si ottiene Xn = an sin√λx

e λ = n2π2

`2 , quindi Xn = an sin nπ` x e Tn = bn cos nπc` t, quindi

u(x, t) =∞∑n=1

an sin(nπ`x)

cos(nπc

`t)

(2.4.5)

Inoltre si deve avere

u(x, t = 0) =∞∑n=1

an sinnπ

`x = f(x) (2.4.6)


sinα cosβ =12

[sin(α+ β) + sin(α− β)] (2.4.7)

l’equazione 2.4.5 si puo riscrivere come

u(x, t) =12

∞∑n=1

an

[sin

nπ

`(x+ ct) + sin

nπ

`(x− ct)

](2.4.8)

quindi confrontando con 2.4.6 si ottiene

u(x, t) =12fp(x+ ct) +

12fp(x− ct) (2.4.9)


nell’ultima espressione fp sta per f prolungata, infatti f e inizialmente definita solo su [0, `] (e acausa delle altre condizioni si deve avere f(0) = f(`) = 0) mentre nell’ultima espressione x + ctpuo diventare arbitrariamente grande. Dalle espressioni 2.4.6, 2.4.8 si ottiene che la f deve essereprolungata nel seguente modo: dapprima si prolunga la f in modo dispari sull’intervallo [−`, `],quindi si prolunga ulteriormente f in modo periodico con periodo 2`.

2.4.2 caso ug

Procedendo come nel caso precedente ed imponendo le condizioni Xn(0) = Xn(`) = 0 e Tn(0) = 0si ottiene

u(x, t) =∞∑n=1

an sin(nπ`x)

sin(nπc

`t)

(2.4.10)

e si impone la condizione∞∑n=1

annπc

`sin

nπ

`x = g(x) (2.4.11)


sinα sinβ =12

[cos(α− β)− cos(α+ β)] (2.4.12)

l’equazione 2.4.10 si puo riscrivere come

u(x, t) =∞∑n=1

an2

[cos

nπ

`(x− ct)− cos

nπ

`(x+ ct)

]=∞∑n=1

an2nπ

`

∫ x+ct

x−ctsin

nπ

`zdz = (2.4.13)

=12c

∫ x+ct

x−ct

∞∑n=1

annπc

`sin

nπ

`zdz =

12c

∫ x+ct

x−ctgp(z)dz

dove gp e il prolungamento di g, ottenuto nello stesso modo in cui si e ottenuto fp nel casoprecedente.

Le due soluzioni appena trovate si potevano anche ottenere risolvendo esplicitamente l’equazioneu = 0: consideriamo le nuove variabili

ξ = x+ ct; η = x− ct (2.4.14)

allora (a meno di costanti numeriche) l’equazione precedente diventa

∂

∂ξ

∂u

∂η=

∂2u

∂η∂ξ= 0 (2.4.15)

cioe ∂u/∂η e indipendente da ξ, quindi

∂u

∂η= a(η) (2.4.16)

da cui si ottieneu = A(η) +B(ξ) (2.4.17)

e ritornando alle variabili x, t si ottiene infine

u(x, t) = A(x− ct) +B(x+ ct) (2.4.18)

dove A,B sono funzioni derivabili due volte. per le condizioni ai limiti si ha:

B(x) +A(x) = f(x)cB′(x)− cA′(x) = g(x) (2.4.19)


dove l’apice indica la derivazione rispetto all’argomento; da queste si ottiene

B(x) +A(x) = f(x)

B(x)−A(x) = 1c

∫ x0g(z)dz +K

;

B(x) = 12f(x) + K

2 + 12c

∫ x0g(z)dz

A(x) = 12f(x)− K

2 − 12c

∫ x0g(z)dz

(2.4.20)

quindi si ottiene

u(x, t) =12

[f(x+ ct) + f(x− ct)] +12c

∫ x+ct

x−ctg(z)dz (2.4.21)

anche in questo caso si presenta il problema dell’estensione di f, g.Se g = 0 allora per le condizioni al contorno si deve avere

u(0, t) =12

[f(ct) + f(−ct)] = 0 (2.4.22)

quindi su [−`, `] la funzione e prolungata in modo dispari. Inoltre

u(`, t) =12

[f(`+ ct) + f(`− ct)] = 0 (2.4.23)

quindi f deve essere prolungata in modo dispari rispetto al punto `, cioe viene estesa su [−`, 3`] inmodo periodico di periodo 2`, ma allora u(3`, t) = 0 e procedendo per induzione analogamente aquanto gia fatto si vede che f si prolunga su R in modo periodico di periodo 2`.

Se f = 0 allora

u(0, t) =12c

∫ ct

−ctg(z)dz = 0 (2.4.24)

da cui, derivando rispetto a t si ottiene g(ct) + g(−ct) = 0 cioe g deve essere prolungata su [−`, `]in modo dispari. Inoltre

u(`, t) =12c

∫ `+ct

`−ctg(z)dz = 0 (2.4.25)

derivando rispetto a t si ottiene quindi g(l + ct) + g(l − ct) = 0 e si procede come per f .

2.4.3 caso uF

Sia u(x, t) =∑Xn(x)Tn(t) ed imponiamo che

∑(Xn(x)Tn(t)) = F (x, t); imponendo inoltre

X ′′n + λXn = 0 con le condizioni al contorno Xn(0) = Xn(`) = 0 si ottiene λ = n2π2

`2 e Xn(x) =sin nπ

` x e per t si ha

T ′′n (t) +c2n2π2

`2Tn(t) = c2Fn(t) (2.4.26)

con le condizioni Tn(0) = T ′n(0) = 0. Applicando il metodo della variazione delle costanti arbitrariead una equazione della forma T ′′n + ω2T = H con le condizioni al contorno precedente, si cercanodelle soluzioni della forma T (t) = A(t) cosωt+B(t) sinωt e si e ricondotti al sistema

A′(t) cosωt+B′(t) sinωt = 0

−ωA′(t) sinωt+ ωB′(t) cosωt = H(t) (2.4.27)

con le condizioni A(0) = 0 (poiche T (0) = 0) e B(0) = 0 (poiche T ′(0) = 0), quindi si ha

A′(t) = −H(t)ω sinωt

B′(t) = H(t)ω cosωt

A(t) = − ∫ t0H(τ)ω sinωτdτ

B(t) =∫ t

0H(τ)ω cosωτdτ

(2.4.28)

da cui si ottiene semplicemente

T (t) =∫ t

0

H(τ)ω

sinω(t− τ)dτ (2.4.29)


nel caso particolare considerato si ottiene quindi

Tn(t) =`

nπcc2∫ t

0

Fn(τ) sinnπc

`(t− τ)dτ (2.4.30)

quindi si ha

u(x, t) =∞∑n=1

`c

nπsin

nπ

`x

∫ t

0

Fn(τ) sinnπc

`(t− τ)dτ (2.4.31)

da cui, usando la formula trigonometrica

sinα sinβ =12

[cos(α− β)− cos(α+ β)] (2.4.32)

si ottiene

u(x, t) =∞∑n=1

`c

2πn

∫ t

0

Fn(τ)[cos

nπ

`(x− ct+ cτ)− cos

nπ

`(x+ ct− cτ)

]dτ (2.4.33)

Inoltre si ha`

nπ

(cos

nπ

`α− cos

nπ

`β)

=∫ β

α

sinnπ

`zdz (2.4.34)

quindi

u(x, t) =c

2

∞∑n=1

∫ t

0

Fn(τ)[∫ x+ct−cτ

x−ct+cτsin

nπ

`zdz]

dτ (2.4.35)

e ricordando che ∞∑n=1

Fn(τ) sinnπ

`z = F (z, τ) (2.4.36)

si ottiene infine

u(x, t) =c

2

∫ t

0

[∫ x+ct−cτ

x−ct+cτFp(z, τ)dz

]dτ (2.4.37)

dove Fp e la funzione F (x, t) prolungata in modo che sia definita per ogni x nel modo ormai usuale:dapprima essa viene prolungate sull’intervallo [−`, `] in modo dispari, quindi su (−∞,+∞) in modoperiodico di periodo 2`.

Si puo ora verificare semplicemente che la u(x, t) come definita in 2.4.37 e effettivamente lasoluzione cercata. Per fare cio e necessario usare la seguente formula: sia H(x, y) tale che ∂H/∂xsia continua q.o. ed H e ∂H/∂x siano integrabili rispetto ad y sugli intervalli limitati (le stesseproprieta che si sono ipotizzate per la F ), allora per ogni x si ha

ddx

∫ x

0

H(x, y)dy = H(x, y = x) +∫ x

0

∂H

∂x(x, y)dy (2.4.38)

Dimostriamo la relazione precedente: il rapporto incrementele ∆f e

∆f =∫ x+∆x

0

H(x+ ∆x, y)dy −∫ x

0

H(x, y)dy = (2.4.39)

=∫ x+∆x

0

[H(x, y) + ∆x

∂H

∂x(x, y)

]dy −

∫ x

0

H(x, y)dy

dove si e usato il teorema di Lagrange e x ∈ [x, x+ ∆x], quindi

∆f∆x

=1

∆x

∫ x+∆x

x

H(x, y)dy +∫ x+∆x

0

∂H

∂x(x, y)dy (2.4.40)


quindi, usando il fatto che l’integrale di una funzione su un insieme di misura nulla e nullo e lacontinuita dell’integrale di una funzione integrabile nel secondo termine ed il teorema del valormedio nel primo, si ottiene al limite

lim∆x→0

∆f∆x

= H(x, y = x) +∫ x

0

∂H

∂x(x, y)dy (2.4.41)

Utilizzando la formula appena mostrata e immediato verificare che la u definita in 2.4.37 soddisfa2.4.1. Inoltre si ha per quanto riguarda le condizioni al contorno: u(x, 0) = 0, u(0, t) = 0 poiche Fe dispari rispetto a x = 0, u(`, t) = 0 poiche F e dispari rispetto a x = `, ed infine

∂u

∂t(x, t) =

c

2

∫ t

0

[cF (x+ ct− cτ, τ) + cF (x− ct+ cτ, τ)] dτ (2.4.42)

quindi ∂u/∂t(x, 0) = 0.

2.4.4 caso ua

Si vedra ora come questo caso puo essere ricondotto a quelli precedentemente trattati: ponendov(x, t) = u(x, t)− a(t) `−x` si ha v(0, t) = a(t)− a(t) = 0 e v(`, t) = 0 e si vede subito che v soddisfauna equazione del tipo 2.4.1, 2.4.2 (con a(t) = b(t) = 0) dove F, f, g dipendono dalla particolarea(t). Analogamente si tratta il caso ub.

Capitolo 3

Spazi di Hilbert ed Operatorilineari

3.1 Geometria degli spazi di Hilbert

Definizione 3.1.1. Si indica con `2 l’insieme delle successioni di numeri complessi xnn∈N taliche

∑n∈N |xn|2 < +∞. L’insieme `2 puo essere dotato della sruttura di spazio vettoriale definendo,

se α ∈ C e xn, yn ∈ `2

αxnn∈N = αxnn∈N; xnn∈N + ynn∈N = xn + ynn∈N (3.1.1)

e evidente che se xn ∈ `2 allora αxn ∈ `2, inoltre dalla disuguaglianza |xi+yi|2 ≤ 2|xi|2+2|yi|2segue che se xn, yn ∈ `2 allora xn+yn ∈ `2. Lo spazio vettoriale `2 si puo dotare del seguenteprodotto scalare:

(xnn∈N, ynn∈N) =∑

n∈Nxnyn (3.1.2)

questo prodotto scalare e ben definito a causa della disuguaglianza |xiyi| ≤ 12 (|xi|2 + |yi|2).

Teorema 3.1.1. Lo spazio `2 dotato del prodotto scalare della definizione 3.1.1 e uno spazio diHilbert.

Dimostrazione. sia x(n) una successione di Cauchy in `2, cioe dato ε > 0 esiste un N tale che sen,m > N allora si ha

‖x(n) − x(m)‖ ≤ √ε (3.1.3)

cioe ∞∑

i=0

|x(n)i − x(m)

i |2 < ε (3.1.4)

dalla disequazione precedente segue in particolare che se n,m > N allora |x(n)i −x(m)

i | ≤ √ε, quindifissato l’indice ”i” la successione xni n∈N e di Cauchy in C per ogni i, quindi esiste xi ∈ C taleche limn→∞ x

(n)i = xi. Poniamo x = xii∈N; mostriamo innanzitutto che x ∈ `2: per ogni M ∈ N

si ha (se n,m > N)M∑

i=0

|x(n)i − x(m)

i |2 ≤∞∑

i=0

|x(n)i − x(m)

i |2 ≤ ε (3.1.5)

inoltre, per come sono definiti xi, si ha per ogni M ∈ NM∑

i=0

|x(n)i − xi|2 = lim

m→∞

M∑

i=0

|x(n)i − x(m)

i |2 (3.1.6)

50

3.1. GEOMETRIA DEGLI SPAZI DI HILBERT 51

dalle equazioni precedenti si ottiene allora∑Mi=0 |x(n)

i − xi|2 ≤ ε per ogni M , quindi si ha∑∞i=0 |x(n)

i − xi|2 ≤ ε, quindi x(n) − x ∈ `2 e quindi x ∈ `2. Si e inoltre visto che se n > N(ε) si ha

‖x(n) − x‖2 =∞∑

i=0

|x(n)i − xi|2 ≤ ε (3.1.7)

quindi limn→∞ ‖x(n) − x‖`2 = 0, cioe x e il limite in `2 della successione di Cauchy x(n), quindi`2 e completo.

Lemma 3.1.1. Una base numerabile ortonormale in `2 e data dalle successioni

ei = 0, . . . , 0, 1, 0, . . . (3.1.8)

(dove solo l’i−esimo termine e non nullo e vale 1).

Dimostrazione. e immediato vedere che ei ∈ `2 e (ei, ej) = δij . Per mostrare che gli ei formanouna base di `2 basta mostrare (poiche `2 e uno spazio di Hilbert) che se v ∈ `2 e tale che (ei, v) = 0per ogni i allora v = 0. Sia v = v1, v2, . . .; allora (ei, v) = vi, quindi se (ei, v) = 0 per ogni i sideve avere vi = 0 per ogni i e quindi v = 0.

Teorema 3.1.2. Tutti gli spazi di Hilbert di dimensione infinita che ammettono una base numer-abile sono isomorfi a `2 tramite un isomorfismo che conserva le norme.

Dimostrazione. sia H uno spazio di Hilbert come nell’ipotesi e sia fi una base ortonormalenumerabile di H. Se x ∈ H definiamo L(x) = (fi, x)∞i=1. Dalla disuguaglianza di Bessel segueche L(x) ∈ `2 per ogni x ∈ H. Dal teorema 1.5.7 segue che L e suriettiva: se xi∞i=1 ∈ `2 alloray =

∑∞i=1 xifi e un elemento di H poiche la serie a secondo membro e convergente e si ha (per la

continuita del prodotto scalare)

L(y) = (fi, y)∞i=1 = xi∞i=1 (3.1.9)

Dall’identita di Parsevall segue che ‖x‖H = ‖L(x)‖`2 , quindi L conserva le norme ed e in particolareiniettiva.

In alcuni testi si trova la affermazione ”tutti gli spazi di Hilbert sono isomorfi” poiche le carat-teristiche di avere dimensione infinita e di ammettere una base numerabile sono inserite nelladefinizione di spazi di Hilbert.

Definizione 3.1.2. Uno spazio normato si dice separabile se esiste un suo sottoinsieme denso alpiu numerabile.

Teorema 3.1.3. Sia H uno spazio di Hilbert, allora esiste una base ortonormale al piu numerabile⇔ H e separabile.

Dimostrazione. ⇐) se H e separabile allora esiste un insieme vi∞i=1 denso in H; da esso sipuo estrarre per induzione un insieme al piu numerabile di vettori indipendenti wnn∈N , doveN ⊂ N, tale che ogni vi e esprimibile come combinazione lineare finita di elementi di wnn∈N ,ma allora lo spazio delle combinazioni lineari finite di elementi di wnn∈N contiene l’insiemeX = vi|i ∈ N, i > 0, in particolare e denso, quindi wnn∈N e un insieme completo, quindi unabase. A questo punto definiamo

e1 =w1

‖w1‖ ; · · · ; ek =wk −

∑k−1i=1 (ei, wk)ei

‖wk −∑k−1i=1 (ei, wk)ei‖

(3.1.10)

(metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt) e allora semplice vedere che enn∈N e uninsieme ortonormale (al piu numerabile); vediamo che la definizione precedente ha senso: dimos-triamo per induzione la seguente affermazione: i denominatori delle espressioni 3.1.10 non si

52 CAPITOLO 3. SPAZI DI HILBERT ED OPERATORI LINEARI

annullano e ogni ek puo essere espresso come combinazione lineare di w1, . . . , wk. Poiche i wnsono linearmente indipendenti si deve avere w1 6= 0, quindi la affermazione precedente e vera perk = 1. Supponiamola vera per i ≤ n, allora si ha ei = α

(i)1 w1 + · · ·+α

(i)i wi per ogni i ≤ n; a questo

punto se il denominatore della formula 3.1.10 con k = n+ 1 si annullasse si dovrebbe avere

wn+1 −n∑

i=1

(ei, wn+1)(α(i)1 w1 + · · ·+ α

(i)i wi) = 0 (3.1.11)

contro l’ipotesi che i wn siano indipendenti, quindi usando 3.1.10 e semplice vedere che l’ipotesiinduttiva e vera anche per k = n+ 1. Dalle formule 3.1.10 e inoltre immediato vedere che ogni wnpuo essere espresso come combinazione lineare finita di e1, . . . , en e che quindi l’insieme enn∈Ne un insieme completo, quindi una base ortonormale al piu numerabile.⇒) supponiamo ora che eii∈N , N ⊂ N sia una base ortonormale per H e mostriamo che

H e separabile. Poiche ei e completo l’insieme delle combinazioni lineari finite di elementi diei e denso in H. Definiamo l’insieme Xi = αei|α = q1 + iq2, q1, q2 ∈ Q; poiche il prodottocartesiano di due insiemi numerabili e numerabile e Q e numerabile, Xi e numerabile per ognii ∈ N . Poiche il prodotto cartesiano di un insieme finito di insiemi numerabili e numerabile,l’insieme X(n) = +n

i=1Xi e numerabile e poiche l’unione di una famiglia numerabile di insieminumerabili e numerabile, l’insieme X = ∪n∈NX(n) e numerabile. Sia ora y = c1e1 + · · · + cnene mostriamo che fissato ε > 0 esiste x ∈ X(n) ⊂ X tale che ‖x − y‖ ≤ ε. Poiche Q e denso in Re semplice mostrare che Q + iQ e denso in C, quindi per ogni ck e possibile determinare q(k) inQ+ iQ tale che |q(k) − ck| < ε/

√n, allora se x = q(1)e1 + · · ·+ q(n)en ∈ X(n) si ha

‖x− y‖ =√|q(1) − c1|2 + · · ·+ |q(n) − cn|2 =

√ε2 ≤ ε (3.1.12)

quindi X e un insieme numerabile che e denso nello spazio delle combinazioni lineari finite degliei, che e a sua volta denso in H, quindi e immediato verificare che X e denso in H.

Teorema 3.1.4. Se H e uno spazio separabile allora ogni sottoinsieme composto da vettori ortonor-mali e al piu numerabile.

Dimostrazione. siano e, e′ due vettori ortonormali distinti, allora ‖e − e′‖ =√

2. Poiche H eseparabile esiste un insieme di vettori vi∞i=1 denso in H, quindi esiste un v in questo insieme taleche ‖e− v‖ < √2/2, ma allora

√2 = ‖e− e′‖ = ‖e− v + v − e′‖ ≤ ‖e− v‖+ ‖v − e′‖ <

√2

2+ ‖v − e′‖ (3.1.13)

quindi ‖e′ − v‖ > √2/2. Sia ora V un insieme composto da vettori ortonormali ed associamo adogni elemento e ∈ V un elemento ve ∈ vi∞i=1 tale che ‖e − ve‖ <

√2/2. Per quanto si e appena

visto questa corrispondenza deve essere iniettiva, quindi V e al piu numerabile.

Usando il teorema precedente si puo vedere che non tutti gli spazi di Hilbert sono separabili: siaV lo spazio delle combinazioni lineari finite di elementi della forma eiαx, dove α ∈ R e se f, g ∈ Vsia

(f, g) =1

2LlimL→∞

∫ L

−Lf(x)g(x)dx (3.1.14)

allora e semplice verificare che (f, g) e un prodotto scalare su V e che (eiαx, eiβx) = δα,β . Sia Vil completamento di V rispetto alla norma indotta dal prodotto scalare. Poiche V e denso in Ve il prodotto scalare e continuo su V e semplice vedere che si puo estendere il prodotto scalareper continuita sullo spazio V , che diventa cosı uno spazio di Hilbert. D’altra parte l’insiemeeiαx|α ∈ R e un insieme non numerabile costituito da elementi ortonormali, quindi per il teoremaprecedente V cosı definito non puo essere uno spazio di Hilbert.

3.1. GEOMETRIA DEGLI SPAZI DI HILBERT 53

Un’altro esempio di spazio di Hilbert non separabile, forse piu intuitivo, e il seguente, trattodal testo [4] della bibliografia: sia H lo spazio delle funzioni f : R → R che non si annullano solosu un insieme al piu numerabile di punti xi e tali che

∑f(xi)2 <∞, allora se f, g ∈ H e f non

si annulla su Xf = xii∈N1 e g non si annulla su Xg = yii∈N2 si puo definire

(f, g) =∑

x∈Xf∪Xgf(x)g(x) (3.1.15)

Mostriamo che H cosı definito e uno spazio di Hilbert: sia fn una successione di Cauchy in H esupponiamo che ogni fn non si annulli su Xn, allora fissato ε > 0 esiste N tale che se n,m > N(X = ∪Xn)

‖fn − fm‖2 = (fn − fm, fn − fm) =∑

x∈X|fn(x)− fm(x)|2 ≤ ε (3.1.16)

quindi, fissato x ∈ X, la successione fn(x) e una successione di Cauchy in R, quindi converge adun valore yx. Definiamo la funzione f nel seguente modo

f(x) =

0 se x /∈ Xyx se x ∈ X (3.1.17)

Sia X = xi∞i=1, allora si ha (a causa di 3.1.16)

M∑

i=1

|fn(xi)− f(xi)|2 = limm→∞

M∑

i=1

|fn(xi)− fm(xi)|2 ≤ ε (3.1.18)

per ogni M ∈ N, quindi ‖f − fn‖ =∑∞i=1 |fn(x)− f(x)|2 ≤ ε se n > N(ε), quindi limn→∞ fn = f

e H e uno spazio di Hilbert. A questo punto definiamo per ogni a ∈ R la funzione

fa(x) =

1 se x = a0 se x 6= a

(3.1.19)

Allora e immediato vedere che (fa, fb) = δa,b, quindi l’insieme fa|a ∈ R e un insieme nonnumerabile di elementi ortonormali, quindi per il teorema precedente H non puo essere separabile.

Definizione 3.1.3. Un sottospazio vettoriale chiuso di uno spazio di Hilbert si chiama sottospaziodi Hilbert

A causa del corollario 1.3.1 ogni sottospazio di dimensione finita di uno spazio di Hilbert e unsottospazio di Hilbert. D’altro canto evidentemente non tutti i sottospazi di uno spazio di Hilbert(di dimensione infinita) sono sottospazi di Hilbert: sia H = L2(−∞,∞) e V = C∞c (−∞,∞), alloraV e un sottospazio di H, V 6= H, V = H, quindi V 6= V , quindi V non e chiuso e quindi non e unsottospazio di Hilbert.

Lemma 3.1.2. Sia H uno spazio di Hilbert e sia yaa∈A un insieme di vettori di H, dove A e uninsieme di indici (non necessariamente finito o numerabile), allora l’insieme V = x ∈ H|(x, ya) =0 ∀a ∈ A e un sottospazio di Hilbert di H.

Dimostrazione. usando le proprieta di linearita del prodotto scalare e immediato verificare che Ve un sottospazio vettoriale di H. Mostriamo che V e chiuso: sia xn una successione di elementidi V che converge a x, allora si deve vedere che x ∈ V . Per la continuita del prodotto scalare si haper ogni a ∈ A

(x, ya) = ( limn→∞

xn, ya) = limn→∞

(xn, ya) = 0 (3.1.20)

quindi x ∈ A.

Lemma 3.1.3. Sia H uno spazio di Hilbert e sia V ⊂ H un sottospazio vettoriale, allora V e unsottospazio di Hilbert.


Dimostrazione. l’insieme V e chiuso per costruzione, si deve quindi solo vedere che e un sottospaziovettoriale. Siano x, y ∈ V , allora esistono due successioni xn, yn di elementi di V tali chexn → x e yn → y, ma allora si ha xn + yn → x + y, quindi x + y ∈ V poiche xn + yn e unasuccessione di elementi di V . Analogamente si vede che x ∈ V ⇒ αx ∈ V .

Definizione 3.1.4. Sia X un sottoinsieme non vuoto di uno spazio di Hilbert (o piu in generaledi uno spazio vettoriale); si dice che X e un insieme convesso se per ogni x, y ∈ X l’insiemexy = tx+ (1− t)y|0 < t < 1 e contenuto in X (l’insieme xy e il segmento che congiunge x e y).

Teorema 3.1.5 (Proiezione su un convesso chiuso). Sia H uno spazio di Hilbert, C ⊂ H uninsieme convesso chiuso e x ∈ H, allora esiste un unico punto x′ ∈ C che minimizza ‖x− x′‖; untale punto x′ e detto proiezione di x sul convesso chiuso C ed e talora indicato con PC(x).

Dimostrazione. dimostriamo innanzitutto l’unicita della proiezione: sia ` = infy∈C ‖x− y‖ e sup-poniamo per assurdo esistano x1, x2 distinti in C tali che ‖x − x1‖ = ‖x − x2‖ = `; poiche C econvesso l’insieme tx1 + (1− t)x2|0 < t < 1 e contenuto in C; inoltre

‖x− tx1 − (1− t)x2‖2 = ‖x− x2 + t(x2 − x1)‖2 = (3.1.21)= ‖x− x2‖2 + t2‖x2 − x1‖2 + 2t<(x− x2, x2 − x1) =

= `2 + t2‖x2 − x1‖2 + tα

dove nell’ultima espressione α puo essere semplicemente determinando usando il fatto che l’ultimaespressione deve valere `2 quando t = 1, quindi si ottiene

‖x− tx1 − (1− t)x2‖2 = `2 + t2‖x2 − x1‖2 − t‖x2 − x1‖2 (3.1.22)

a questo punto e immediato vedere che, ad esempio per t = 1/2 , si ha ‖x− tx1 − (1− t)x2‖ < `,contrariamente alla definizione di `.

Dimostriamo ora l’esistenza di un punto x′ ∈ C tale che ‖x−x′‖ = `: sia xn una successionedi elementi di C tali che ` ≤ ‖x−xn‖ ≤ `+1/n. Mostriamo che xn e una successione di Cauchy:usando la identita del parallelogramma

‖a+ b‖2 + ‖a− b‖2 = 2‖a‖2 + 2‖b‖2 (3.1.23)

con a = x−xn2 e b = x−xm

2 si ottiene

∥∥∥∥x−xn + xm

2

∥∥∥∥2

+∥∥∥∥xn − xm

2

∥∥∥∥2

= 2∥∥∥∥x− xn

2

∥∥∥∥2

+ 2∥∥∥∥x− xm

2

∥∥∥∥2

(3.1.24)

inoltre il primo termine del membro di sinistra e ≥ `2 poiche xn+xm2 ∈ C, quindi si ottiene

∥∥∥∥xn − xm

2

∥∥∥∥2

≤ −`2 +12

(`+1n

)2 +12

(`+1m

)2 (3.1.25)

e poiche il secondo termine tende a zero se n,m→∞ e immediato vedere che xn e una successionedi Cauchy in H, quindi esiste un x′ ∈ H tale che xn → x′, inoltre, poiche C e chiuso e xn e unasuccessione di elementi di C, si ha x′ ∈ C. Passando al limite in ` ≤ ‖x − xn‖ ≤ ` + 1

n si ottiene‖x− x′‖ = `, quindi x′ e il punto di minimo cercato.

NOTA: in seguito al posto di (x, y) = 0 si scrivera x ⊥ y e si dira che x e y sono perpendicolario ortogonali. Se A,B sono due insiemi si scrivera A ⊥ B se per ogni x ∈ A, y ∈ B si ha x ⊥ y.

Definizione 3.1.5. Sia H uno spazio di Hilbert e V ⊂ H un insieme; si indica con V ⊥ l’insiemecostituito dagli elementi ortogonali a V

Qualunque insieme sia V , dal lemma 3.1.2 segue che V ⊥ e un sottospazio di Hilbert.

3.2. OPERATORI E FUNZIONALI LINEARI 55

Teorema 3.1.6 (della proiezione ortogonale). Sia H uno spazio di Hilbert e H ′ un sottospaziodi Hilbert, allora ogni x ∈ H si scompone in modo unico come x = x′+x′′ dove x′ ∈ H ′ e x′′ ⊥ H ′;x′ e la proiezione di x su H ′.

Dimostrazione. dimostriamo innanzitutto l’unicita della scomposizione: sia x = x′+ x′′ = y′+ y′′,dove x′, y′ ∈ H ′ e x′′, y′′ ⊥ H ′, allora si avrebbe x′ − y′ = y′′ − x′′ dove pero si ha (x′ − y′) ∈ H ′ e(y′′ − x′′) ⊥ H ′, quindi si otterrebbe (x′ − y′) ∈ H ′ ∩ (H ′)⊥, quindi (x′ − y′, x′ − y′) = 0 e quindix′ = y′, da cui segue anche x′′ = y′′.

Dato ora x ∈ H sia x′ la proiezione di x su H ′ (che e evidentemente convesso e chiuso) edefiniamo x′′ = x− x′; allora evidentemente x = x′ + x′′ e resta da mostrare che x′′ ⊥ H ′. Sia oray′ ∈ H ′ tale che ‖y′‖ = 1 e sia α ∈ C, allora si ha (per la definizione di proiezione)

‖x′′‖2 = ‖x− x′‖2 ≤ ‖x− x′ − αy′‖2 = ‖x′′‖2 + |α|2 − 2<α(x− x′, y′) (3.1.26)

a questo punto si puo scegliere α = (x− x′, y′), ottenendo quindi ‖x′′‖2 ≤ ‖x′′‖2 − |α|2, quindiα = 0, quindi (x′′, y′) = (x− x′, y′) = 0, cioe x′′ e perpendicolare a ogni y′ ∈ H ′ tale che ‖y′‖ = 1;e quindi immediato vedere che x′′ ⊥ H ′.

Definizione 3.1.6. Sia H uno spazio di Hilbert e H1,H2,H3 sottospazi vettoriali. Si dice che H1

e la somma diretta di H2 e H3 e si scrive H1 = H2 ⊕H3 se H1 = H2 +H3 e H2 ⊥ H3.

Dal teorema della proiezione ortogonale segue che se V e un sottospazio di Hilbert di H allorasi ha H = V ⊕ V ⊥.

3.2 Operatori e funzionali lineari

Definizione 3.2.1. Siano V1, V2 due spazi vettoriali, ∆T ⊂ V1 un sottospazio e T : ∆T → V2. Sidice che T e un operatore lineare se per ogni α, β ∈ C, x, y ∈ ∆T si ha

T (αx+ βy) = αT (x) + βT (y) (3.2.1)

per ogni operatore lineare si definisce il suo nucleo kerT = x ∈ ∆T |T (x) = 0.Per gli operatori lineari e uso comune scrivere Tx al posto di T (x) qualora questo non generi

equivoci ed anche quı si usera quindi questa convenzione

Teorema 3.2.1. Siano (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ) due spazi normati e sia T : X → Y un operatorelineare, allora sono equivalenti i seguenti fatti:

1. T e continuo

2. T e continuo in 0

3. T (B(0, 1)) e un insieme limitato in Y

4. T e lipschitziano

Dimostrazione. 1⇒2) ovvia.2⇒3) poiche T e continuo in 0, esiste un δ > 0 tale che se x ∈ B(0, δ) ⊂ X allora Tx ∈

B(0, 1) ⊂ Y . Sia ora x ∈ X, x 6= 0, allora si ha∥∥∥∥δ

x

2‖x‖X

∥∥∥∥X

< δ (3.2.2)

quindi ‖T (δx/[2‖x‖X ])‖Y < 1 e quindi ‖Tx‖Y < 2δ ‖x‖X . E inoltre evidente che questa disug-

uaglianza vale anche se x = 0, quindi se ‖x‖X < 1 si ha ‖Tx‖Y < 2/δ.


3⇒4) supponiamo che se ‖x‖X < 1 allora ‖Tx‖Y < K, allora si ha, per ogni y 6= 0∥∥∥∥T(

y

2‖y‖X

)∥∥∥∥ < K (3.2.3)

quindi per ogni y ∈ X si ha ‖Ty‖Y < 2K‖y‖X , quindi

‖Tx− Ty‖Y = ‖T (x− y)‖Y < 2K‖x− y‖Y (3.2.4)

per ogni x, y ∈ X, quindi T e lipschitziana4⇒1) discende dal fatto generale che ogni funzione lipschitziana e continua.

Definizione 3.2.2. Siano (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ) spazi normati e sia T : X → Y un operatorelineare, si definisce norma dell’operatore lineare il valore

‖T‖ = supx∈X,x 6=0

‖Tx‖Y‖x‖X = sup

‖x‖X=1

‖Tx‖Y (3.2.5)

un operatore lineare T si dice limitato se ‖T‖ < +∞.

Lemma 3.2.1. Siano (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ) spazi normati e sia T : X → Y un operatore lineare,allora T e continuo ⇔ T e limitato.

Dimostrazione. ⇒) se T e continuo, per il teorema precedente esso e anche lipschitziano, quindiin particolare esiste K ≥ 0 tale che ‖Tx‖Y ≤ K‖x‖X , quindi si vede subito che ‖T‖ ≤ K.⇐) se T e limitato allora ‖T‖ ≤ K < +∞ e quindi ‖Tx‖Y ≤ K‖x‖X quindi T e lipschitziano

e quindi e continuo.

Lemma 3.2.2. Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato di dimensione finita, (Y, ‖ ‖Y ) uno spazionormato e T : X → Y un operatore lineare, allora T e limitato.

Dimostrazione. sia e1, · · · , en una base su X e definiamo una nuova norma su X: definiamo‖x1e1 + · · · + xnen‖1 = |x1| + · · · + |x2|. Poiche la limitatezza e equivalente alla continuita e indimensione finita tutte le norme sono equivalenti basta ora mostrare che T e limitato tra (X, ‖ ‖1)e (Y, ‖ ‖Y ), ma si ha

‖T (x1e1 + · · ·+ xnen)‖Y = ‖x1T (e1) + · · ·+ xnT (en)‖Y ≤ (3.2.6)≤ ‖x1T (e1)‖Y + · · ·+ ‖xnT (en)‖Y = |x1| ‖T (e1)‖Y + · · ·+ |xn| ‖T (en)‖Y ≤

≤ K(|x1|+ · · ·+ |xn|) = K‖x1e1 + · · ·+ xnen‖1dove K = max‖T (e1)‖Y , . . . , ‖T (en)‖Y , quindi ‖T‖ ≤ K.

In dimensione infinita il lemma precedente e falso: consideriamo come X lo spazio delle fun-zioni limitate con derivata limitata con la norma ‖f‖X = supx∈R |f(x)|; sia Y lo spazio dellefunzioni limitate con la norma ‖f‖Y = supx∈R |f(x)| e come operatore lineare scegliamo la deriva-ta: Tf = f ′. E semplice vedere che T tra i due spazi (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖X) non e limitato; permostrarlo vediamo che non e continuo: consideriamo la successione di funzioni fn = 1

n sinnx, allorae immediato vedere che fn → 0 in X ma ‖Tfn‖Y = 1, quindi non si puo avere Tfn → 0 e T non equindi continuo. Se su X si introduce invece la norma ‖f‖′ = supx∈R |f(x)|+ supx∈R |f ′(x)| allora‖Tf‖Y ≤ ‖f‖′ e quindi T e continuo tra (X, ‖ ‖′) e (Y, ‖ ‖Y ) e si ha ‖T‖ ≤ 1.

Lemma 3.2.3. Siano (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ) spazi normati e sia T : X → Y un operatore linearelimitato, allora per ogni x ∈ X si ha

‖Tx‖Y ≤ ‖T‖ ‖x‖X (3.2.7)

inoltre ‖T‖ = infK ≥ 0| ‖Tx‖Y ≤ K‖x‖X ∀x ∈ X.

3.2. OPERATORI E FUNZIONALI LINEARI 57

Dimostrazione. la relazione 3.2.7 segue immediatamente da 3.2.5.Sia ora |T | = infK ≥ 0| ‖Tx‖Y ≤ K‖x‖X ∀x ∈ X. Dalla relazione 3.2.7 segue che |T | ≤ ‖T‖.

Dalla definizione segue semplicemente che |T | = infK ≥ 0| ‖Tx‖Y ≤ K se ‖x‖X = 1 ed e quindiimmediato vedere che |T | ≥ sup‖x‖X=1 ‖Tx‖Y = ‖T‖.Teorema 3.2.2. Siano (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ) spazi normati, allora lo spazio L(X,Y ) degli oper-atori lineari da X in Y e uno spazio normato; se inoltre (Y, ‖ ‖Y ) e uno spazio di Banach alloraL(X,Y ) e uno spazio di Banach.

Dimostrazione. usando la definizione 3.2.2 e immediato vedere che L(X,Y ) e uno spazio normato.Sia ora Tn una successione di Cauchy di operatori lineari continui, allora per ogni ε > 0 esiste unN(ε) tale che se n,m > N si ha ‖Tn − Tm‖ < ε, quindi per ogni x ∈ X si ha ‖Tn(x)− Tm(x)‖Y ≤ε‖x‖X , quindi per ogni fissato x ∈ X la successione Tn(x) e una successione di Cauchy in Y ,che e uno spazio di Banach, quindi esiste un yx tale che limn→∞ Tn(x) = yx. Sia T : X → Yl’operatore (che si dovra vedere essere lineare e continuo) Tx = yx, allora si ha

T (αx+ βy) = limn→∞

[Tn(αx+ βy)] = α limn→∞

Tn(x) + β limn→∞

Tn(y) = αT (x) + βT (y) (3.2.8)

quindi T e un operatore lineare. Inoltre si ha, se n,m > N che ‖Tnx − Tmx‖Y ≤ ε‖x‖X da cui,passando al limite per m → ∞ si ottiene ‖Tnx − Tx‖Y ≤ ε‖x‖X e quindi ‖Tn − T‖ < ε, quindiT = limn→∞ T e L(X,Y ) e uno spazio di Banach.

Definizione 3.2.3. Sia V uno spazio vettoriale. Si chiama funzionale lineare su V un operatorelineare φ tale che φ : V → C. Se (X, ‖ ‖X) e uno spazio normato, lo spazio dei funzionali linearicontinui di X si chiama spazio duale di X.

In taluni testi lo spazio duale ora definito viene indicato con il nome di duale topologico, perdistinguerlo dal duale algebrico, che e lo spazio dei funzionali lineari non necessariamente continuisu X.

Teorema 3.2.3 (di rappresentazione di Riesz). Sia H uno spazio di Hilbert e φ un funzionalelineare continuo su H, allora esiste un unico x0 ∈ H tale che φ(x) = (x0, x), inoltre ‖φ‖ = ‖x0‖.Dimostrazione. sia H ′ = kerφ, allora, poiche φ e continuo, e semplice mostrare che H ′ e unsottospazio di Hilbert di H. A questo punto si possono presentare due casi 1) H = H ′, 2) H 6= H ′.Nel primo caso φ = 0 e quindi il teorema e evidentemente verificato da x0 = 0. Nel secondo casoesiste un x ∈ H tale che x /∈ H ′; per il teorema della proiezione ortogonale si ha x = x′ + x′′, dovex′ ∈ H ′ e x′′ ⊥ H ′ e, poiche x /∈ H ′, si deve avere x′′ 6= 0. Poniamo y = xφ(x′′)− x′′φ(x), allora siha φ(y) = 0, quindi y ∈ H ′ e quindi y ⊥ x′′, cioe

0 = (x′′, xφ(x′′)− x′′φ(x)) = (x′′, x)φ(x′′)− ‖x′′‖2φ(x) (3.2.9)

da cui si deduce, poiche x′′ 6= 0, che

φ(x) =(

x′′

‖x′′‖φ(x′′), x)

= (x0, x) (3.2.10)

vediamo ora che x0 e unico: se fosse φ(x) = (x0, x) = (y0, x), allora si avrebbe anche (x0−y0, x) = 0per ogni x ∈ H, quindi in particolare (x0−y0, x0−y0) = 0 e x0 = y0. Inoltre per la disuguaglianzadi Schwartz si ha |φ(x)| = |(x0, x)| ≤ ‖x0‖ ‖x‖, quindi ‖φ‖ ≤ ‖x0‖, ma si ha anche |φ(x0)| = ‖x0‖2,quindi ‖φ‖ = ‖x0‖.

Tramite il teorema di Riesz si puo mostrare che ogni spazio di Hilbert e riflessivo ( vedi appendiceC)

Sia H uno spazio di Hilbert e sia T : H → H un operatore lineare continuo, fissato y ∈ Hdefiniamo

φTy (x) = (y, Tx) (3.2.11)


e immediato vedere che φTy e un funzionale lineare, inoltre |φTy (x)| ≤ ‖y‖ ‖Tx‖ ≤ ‖y‖ ‖T‖ ‖x‖,quindi ‖φTy ‖ ≤ ‖y‖ ‖T‖ e quindi φTy e un funzionale lineare continuo. Per il teorema precedenteesiste allora un unico y∗ ∈ H tale che φTy (x) = (y∗, x), cioe tale che per ogni x ∈ H si abbia

(y∗, x) = (y, Tx) (3.2.12)

e inoltre immediato verificare che (αy1 + βy2)∗ = αy∗1 + βy∗2 , quindi l’operatore T+ : H → H taleche T+y = y∗ e un operatore lineare.

Definizione 3.2.4. Sia H uno spazio di Hilbert e T : H → H un operatore lineare continuo,allora si definisce l’operatore aggiunto di T come l’unico operatore lineare T+ : H → H tale che(T+y, x) = (y, Tx) per ogni x, y ∈ H (un tale T+ esiste per la discussione precedente)

Lemma 3.2.4. Siano (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ), (Z, ‖ ‖Z) spazi normati e L : X → Y , T : Y → Zoperatori lineari continui, allora ‖TL‖ ≤ ‖T‖ ‖L‖.Dimostrazione. per ogni x ∈ X si ha

‖(TL)(x)‖Z = ‖T (L(x))‖Z ≤ ‖T‖ ‖L(x)‖Y ≤ ‖T‖ ‖L‖ ‖x‖X (3.2.13)

da cui la tesi.

Lemma 3.2.5. Sia H uno spazio di Hilbert e T : H → H un operatore lineare continuo, alloraT+ e continuo e si ha ‖T‖ = ‖T+‖.Dimostrazione. si ha

‖T+y‖2 = (T+y, T+y) = (y, TT+y) ≤ ‖y‖ ‖TT+y‖ ≤ ‖y‖ ‖T‖ ‖T+y‖ (3.2.14)

quindi ‖T+y‖ ≤ ‖y‖ ‖T‖ per ogni y ∈ H e quindi ‖T+‖ ≤ ‖T‖, quindi T+ e limitato. Si puo alloradefinire (T+)+ = T++ ed e semplice vedere che T++ = T , infatti si deve avere per ogni x, y ∈ H

(T++y, x) = (y, T+x) = (T+x, y) = (x, Ty) = (Ty, x) (3.2.15)

quindi (T++y − Ty, x) = 0 per ogni x, y, quindi in particolare (T++y − Ty, T++y − Ty) = 0 perogni y, quindi T++y = Ty per ogni y e T++ = T , quindi usando il fatto che ‖T+‖ ≤ ‖T‖ si ottiene‖T‖ = ‖T++‖ ≤ ‖T+‖.Lemma 3.2.6. Sia H uno spazio di Hilbert e T : H → H un operatore lineare continuo, allora‖T‖2 = ‖T+T‖.Dimostrazione. si ha ‖T+T‖ ≤ ‖T+‖ ‖T‖ = ‖T‖2 per i due lemmi precedenti, inoltre per ognix ∈ H si ha

‖Tx‖2 = (Tx, Tx) = (x, T+Tx) ≤ ‖x‖ ‖T+Tx‖ ≤ ‖x‖2‖T+T‖ (3.2.16)

quindi ‖T‖ ≤ (‖T+T‖)1/2, cioe ‖T‖2 ≤ ‖T+T‖.Se (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ) sono spazi normati, la norma di un operatore lineare e stata definita

fino ad ora solo per operatori T : X → Y ma ovviamente se ∆T e un sottospazio di X e T : ∆T → Ye un operatore lineare si puo definire

‖T‖ = supx∈∆T ,x6=0

‖Tx‖Y‖x‖X = sup

x∈∆T ,‖x‖=1

‖Tx‖Y = infK ≥ 0| ‖Tx‖Y ≤ K‖x‖X ∀x ∈ ∆T (3.2.17)

cio poiche se (X, ‖ ‖X) e uno spazio normato e ∆T ⊂ X e un sottospazio di X, allora (∆T , ‖ ‖X)e anch’esso uno spazio normato.

Teorema 3.2.4. Sia H uno spazio di Hilbert, V un sottospazio vettoriale denso di H e T : V → Hun operatore lineare continuo, allora T puo essere esteso per continuita in modo unico ad unoperatore lineare T : H → H tale che T |V = T e ‖T‖ = ‖T‖.

3.3. PROIETTORI 59

Dimostrazione. mostriamo innanzitutto che se vn e una successione di elementi di V che convergein H, allora Tvn e una successione convergente in H: si ha infatti

‖Tvn − Tvm‖ = ‖T (vn − vm)‖ ≤ ‖T‖ ‖vn − vm‖ (3.2.18)

quindi Tvn e una successione di Cauchy (poiche vn e una successione di Cauchy) e quindiconverge in H. Vediamo ora che se vn, wn sono due successioni di elementi di V tali chevn → v e wn → v e Tvn → x, Twn → y, allora x = y: fissato ε > 0, se n e abbastanza grande si ha

‖x− y‖ = ‖x− Tvn + Tvn − Twn + Twn − y‖ ≤ ‖x− Tvn‖+ ‖y − Twn‖+ (3.2.19)

+‖Tvn − Twn‖ ≤ 23ε+ ‖T‖ ‖vn − wn‖ ≤

23ε+ ‖T‖ ‖vn − v + v − wn‖ ≤ 2

3ε+ ‖T‖(‖vn − v‖+ ‖wn − v‖) ≤ ε

per l’arbitrarieta di ε > 0 si ha allora ‖x− y‖ = 0 e x = y.Sia ora x ∈ H, allora, poiche V e denso in H, esiste una successione vn di elementi di V tale

che vn → x; da quanto precede segue che ha senso definire

T x = limn→∞

Tvn (3.2.20)

siano α, β ∈ C, x, y ∈ H e vn, wn successioni di elementi di V tali che vn → x e wn → y, allorae immediato vedere che αvn + βwn → αx+ βy e si ha quindi

T (αx+ βy) = limn→∞

T (αvn + βwn) = α limn→∞

Tvn + β limn→∞

Twn = αT (x) + βT (y) (3.2.21)

cioe T e un operatore lineare. Se v ∈ V si ha T v = limn→∞ Tv = Tv quindi T |V = T , quindi si ha

‖T‖ = supx∈H,‖x‖=1

‖T x‖ ≥ supx∈V,‖x‖=1

‖T x‖ = supx∈V,‖x‖=1

‖Tx‖ = ‖T‖ (3.2.22)

Inoltre se vn e una successione di elementi di V tale che vn → x, per la continuita della normae per la 3.2.20 si ‖vn‖ → ‖x‖ e ‖Tvn‖ → ‖Tx‖ ma si ha (almeno definitivamente se x 6= 0)‖Tvn‖‖vn‖ ≤ ‖T‖ quindi

‖T x‖‖x‖ = lim

n→∞‖Tvn‖‖vn‖ ≤ ‖T‖ (3.2.23)

quindi ‖T‖ ≤ ‖T‖.Il teorema precedente e un caso particolare della seguente affermazione, che si dimostra in

modo sostanzialmente identico: siano (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ) due spazi normati di cui il secondo ecompleto; sia V ⊂ X un sottoinsieme di X e f : V → Y una funzione uniformemente continua,allora f puo essere estesa per continuita in modo unico ad una funzione f uniformemente continuasu V tale che f |V = f .

3.3 Proiettori

Definizione 3.3.1. sia H uno spazio di Hilbert e P : H → H un operatore. Si dice che P e unproiettore se esiste un sottospazio di Hilbert H ′ di H tale che, per ogni x ∈ H, Px e la proiezionedi x su H ′.

Teorema 3.3.1. sia P un proiettore, allora si ha

1. P e lineare e limitato

2. P 2 = P


3. P+ = P

Dimostrazione. 1) vediamo innanzitutto che P e lineare: siano x, y ∈ H e siano x = x′ + x′′,y = y′ + y′′ dove x′, y′ ∈ H ′ e x′′, y′′ ∈ H ′⊥, allora si ha αx′ + βy′ ∈ H ′ e αx′′ + βy′′ ∈ H ′⊥

e poiche la scomposizione αx + βy = z′ + z′′, dove z′ ∈ H ′ e z′′ ∈ H ′⊥, e unica e αx + βy =(αx′ + βy′) + (αx′′ + βy′′), si ha z′ = αx′ + βy′ e quindi P (αx+ βy) = αx′ + βy′ = αPx+ βPy,quindi P e lineare, inoltre

‖Px‖2 = ‖x′‖2 ≤ ‖x′‖2 + ‖x′′‖2 = ‖x′ + x′′‖2 = ‖x‖2 (3.3.1)

quindi ‖P‖ ≤ 1. Inoltre se H ′ 6= 0 (o equivalentemente P 6= 0) si ha per ogni x ∈ H ′ che Px = x,quindi ‖P‖ = 1 in questo caso; se invece H ′ = 0, allora P = 0 e ‖P‖ = 0.

2) P 2x = PPx = Px′ = x′, quindi P 2 = P3) per ogni x, y ∈ H si ha

(y, Px) = (y, x′) = (y′ + y′′, x′) = (y′, x′) = (Py, x′) = (Py, x′ + x′′) = (Py, x) (3.3.2)

quindi (Py, x) = (P+y, x) per ogni x, y ∈ H, quindi (Py−P+y, x) = 0 per ogni x, y, in particolare(Py − P+y, Py − P+y) = 0 per ogni y, quindi Py = P+y per ogni y e P = P+.

Per mostrare che P = P+ nel precedente teorema si e usato il fatto elementare che se A e unoperatore lineare e (Ax, y) = 0 per ogni x, y ∈ H allora A = 0; un risultato analogo a questo chepuo talvolta risultare utile e il seguente:

Lemma 3.3.1. Sia V uno spazio vettoriale con prodotto scalare su C, A : V → V un operatorelineare tale che per ogni x ∈ V si abbia (Ax, x) = 0, allora A = 0.

Dimostrazione. siano x, y ∈ V , allora si ha (A(x+ y), x+ y) = 0 cioe

(Ax, y) = −(Ay, x) (3.3.3)

Usando la precedente uguaglianza si ottiene per ogni x, y

(Ax, iy) = i(Ax, y) = −i(Ay, x) = i(Ay, x) = (iAy, x) = (A(iy), x) (3.3.4)

poiche la funzione y → iy e biunivoca su V si ottiene quindi (Ax, y) = (Ay, x) per ogni x, y ∈ V ,da cui, usando 3.3.3, si ottiene (Ax, y) = 0 per ogni x, y e quindi A = 0

Nel teorema precedente l’ipotesi che V sia uno spazio vettoriale su C non e eliminabile: siav ∈ R3 e consideriamo il prodotto scalare euclideo, allora per ogni x ∈ R3 si ha (v × x, x) = 0 manon e vero che v × x = 0 per ogni x.

Daremo ora alcune caratterizzazioni dei proiettori in uno spazio di Hilbert.

Teorema 3.3.2. Sia P : H → H un operatore lineare tale che P 2 = P , e (Px, y) = (x, Py) [se sisapesse gia che P e limitato si potrebbe dire che P = P+ ] allora P e un proiettore.

Dimostrazione. mostriamo innanzitutto che P e un operatore limitato:

‖Px‖2 = (Px, Px) = (x, P 2x) = (x, Px) ≤ ‖x‖ ‖Px‖ (3.3.5)

quindi ‖Px‖ ≤ ‖x‖ e quindi ‖P‖ ≤ 1. Sia ora V = x ∈ H|Px = x; poiche P e un operatorelineare V e un sottospazio vettoriale, poiche P e continuo V e quindi un sottospazio di Hilbert diH. Sia PV la proiezione su V e mostriamo che P = PV , che concludera il teorema. Per costruzionesi ha P = PV su V . Se z ∈ H, allora Pz ∈ V , infatti P (Pz) = Pz; sia ora x ∈ V ⊥, allora PV x = 0e si ha

‖Px‖2 = (Px, Px) = (x, P 2x) = (x, Px) (3.3.6)

ma Px ∈ V e x ∈ V ⊥, quindi ‖Px‖ = 0 e quindi Px = 0, quindi P = PV anche su V ⊥. Poiche peril teorema della proiezione ortogonale ogni x ∈ H puo essere scritto cone x = x′ + x′′ dove x′ ∈ Ve x′′ ∈ V ⊥ e sia P che PV sono operatori lineari, si ha P = PV su H.

3.3. PROIETTORI 61

Dal teorema precedente segue anche che se P e un proiettore allora lo spazio su cui P ”proietta”e lo spazio x ∈ H|Px = x; inoltre questo spazio coincide con P (H) (vedi il successivo lemma3.3.2).

Teorema 3.3.3. Sia P : H → H un operatore lineare limitato tale che P 2 = P e che (x −Px, Px) = 0 per ogni x ∈ H, allora P e un proiettore.

Dimostrazione. sia V = x ∈ H|Px = x, allora V e un sottospazio di Hilbert e sia PV la proiezionesu V . Per costruzione di V si ha P = PV su V . Dato z ∈ H, allora Pz ∈ V poiche P (Pz) = Pz,inoltre da (z − Pz, Pz) = 0 segue che (Pz, Pz) = (z, Pz); sia ora x ∈ V ⊥, allora si ha

‖Px‖2 = (Px, Px) = (x, Px) = 0 (3.3.7)

quindi Px = 0 e P = PV anche su V ⊥. Si conclude quindi come nel teorema precedente.

Corollario 3.3.1. Sia P : H → H un operatore lineare limitato tale che P 2 = P e che ImP ⊥kerP , allora P e un proiettore [ ImP = P (H) ].

Dimostrazione. basta mostrare che per ogni x ∈ H si ha (x − Px, Px) = 0, ma Px ∈ ImP eP (x − Px) = Px − P 2x = Px − Px = 0, quindi x − Px ∈ kerP e l’uguaglianza precedente esoddisfatta.

Lemma 3.3.2. Sia T : H → H un operatore (non necessariamente lineare) tale che T = T 2,allora ImT = x ∈ H|Tx = x.Dimostrazione. evidentemente x ∈ H|Tx = x ⊂ ImT . Sia ora y ∈ ImT , allora esiste un x ∈ Htale che y = Tx, ma allora Ty = T 2x = Tx = y, quindi ImT ⊂ x ∈ H|Tx = x.Teorema 3.3.4. Sia P : H → H un operatore lineare tale che P 2 = P e ‖P‖ ≤ 1 (in effetti daP 2 = P segue P = 0 o ‖P‖ ≥ 1, quindi questa ipotesi e equivalente a ‖P‖ = 0 o ‖P‖ = 1), alloraP e un proiettore.

Dimostrazione. per il corollario 3.3.1 basta mostrare che ImP ⊥ kerP ; notiamo innanzitutto chea causa della continuita di P e del lemma precedente sia ImP che kerP sono sottospazi di Hilbertdi H.

Dato x ∈ H, definendo y = Px − x, si ha y ∈ kerP ; se in particolare x ∈ (kerP )⊥ alloraPx = x + y con x ⊥ y e quindi ‖Px‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2, ma ‖P‖ ≤ 1, quindi si deve avere‖Px‖2 ≤ ‖x‖2, quindi si deve avere y = 0, cioe Px = x, quindi x ∈ ImP , quindi (kerP )⊥ ⊂ ImP .

Sia ora z ∈ ImP , quindi z = Pz; inoltre z puo essere scritto come z = z′ + z′′, dove z′ ∈ kerPe z′′ ∈ (kerP )⊥, quindi z = Pz = Pz′ + Pz′′ = Pz′′, ma si e appena visto che (kerP )⊥ ⊂ ImP ,quindi Pz′′ = z′′, quindi z = z′′ e quindi z ∈ (kerP )⊥ e ImP ⊂ (kerP )⊥, che conclude.

Si analizzeranno ora le proprieta di stabilita della classe dei proiettori.

Teorema 3.3.5. Siano P1, P2 proiettori, H1 = ImP1 e H2 = ImP2. Allora P = P1P2 e unproiettore ⇔ P1P2 = P2P1 ed in questo caso si ha ImP = H1 ∩H2.

Dimostrazione. ⇒) se P e un proiettore si deve avere P = P+ per il teorema 3.3.1, quindi si deveavere P = P1P2 = P+ = (P1P2)+ = P+

2 P+1 = P2P1.

⇐) se P1P2 = P2P1 allora si ha P+ = (P1P2)+ = P+2 P

+1 = P2P1 = P1P2 = P e inoltre

P 2 = (P1P2)(P1P2) = P1(P2P1)P2 = P1(P1P2)P2 = (P1P1)(P2P2) = P 21P

22 = P1P2 = P (3.3.8)

inoltre evidentemente P e lineare e limitato, quindi per il teorema 3.3.2 P e un proiettore.Se x ∈ ImP allora si deve avere x = Px = P1(P2x) = P2(P1x), quindi x ∈ H1 ∩H2, inoltre se

x ∈ H1 ∩H2 allora Px = P1(P2x) = P1x = x, quindi x ∈ ImP , che conclude la dimostrazione.

Lemma 3.3.3. Siano P1, P2, H1 = ImP1 e H2 = ImP2, allora P1P2 = 0⇔ H1 ⊥ H2 ⇔ P2P1 = 0.


Dimostrazione. basta mostrare la prima equivalenza poiche la seconda si ottiene scambiando P1 eP2 e usando la simmetria della relazione ⊥.⇒) siano x1 ∈ H1 e x2 ∈ H2, allora si ha

(x1, x2) = (P1x1, P2x2) = (x1, P1P2x2) = (x1, 0) = 0 (3.3.9)

⇐) siano x, y ∈ H, allora si ha

(x, P1P2y) = (P1x, P2y) = 0 (3.3.10)

poiche P1x ∈ H1 e P2y ∈ H2. Dalla generalita di x, y segue P1P2 = 0.

Teorema 3.3.6. Siano P1, . . . , Pn proiettori aventi per immagine i sottospazi H1, . . . ,Hn, alloraP = P1 + · · · + Pn e un proiettore ⇔ PiPj = Piδi,j cioe (per il lemma precedente) se Hi ⊥ Hj

quando i 6= j. In questo caso si ha anche ImP = ⊕ni=1Hi.

Dimostrazione. ⇒) supponiamo che P sia un proiettore, allora si ha per ogni x ∈ H

‖x‖2 ≥ ‖Px‖2 = (Px, Px) = (x, P 2x) = (x, Px) =

(x,

n∑

i=1

Pix

)= (3.3.11)

=n∑

i=1

(x, Pix) =n∑

i=1

(x, P 2i x) =

n∑

i=1

(Pix, Pix) =n∑

i=1

‖Pix‖2

Se in particolare si sceglie x = P1y si ottiene

‖P1y‖2 ≥ ‖P1P1y‖2 +n∑

i=2

‖PiP1y‖2 = ‖P1y‖2 +n∑

i=2

‖PiP1y‖2 (3.3.12)

quindi PiP1 = 0 se i 6= 1. In generale se si pone x = Pjy si ottiene PiPj = 0 se i 6= j.⇐) Si ha

P+ = (P1 + · · ·+ Pn)+ = P+1 + · · ·+ P+

n = P1 + · · ·+ Pn = P (3.3.13)

P 2 = (P1 + · · ·+ Pn)2 =n∑

i=1

Pi(P1 + · · ·+ P2) =n∑

i=1

P 2i =

n∑

i=1

Pi = P (3.3.14)

quindi per il teorema 3.3.2 P e un proiettore.Sia HP = ImP ; se x ∈ H, allora si ha Px = P1x + · · · + Pnx ∈ H1 + · · · + Hn, quindi

HP ⊂ H1 + · · ·+Hn. Inoltre se xi ∈ Hi si ha (poiche Hi ⊥ Hj se i 6= j)

P (x1 + · · ·+ xn) = P (x1) + · · ·+ P (xn) = (P1 + · · ·+ Pn)x1 + · · ·+ (3.3.15)+(P1 + · · ·+ Pn)xn = P1x1 + · · ·+ Pnxn = x1 + · · ·+ xn

quindi H1 + · · ·+Hn ⊂ HP e, poiche Hi ⊥ Hj se i 6= j, si ha HP = ⊕ni=1Hi.

Lemma 3.3.4. P e un proiettore ⇔ I − P e un proiettore.

Dimostrazione. ⇒ (I − P )+ = I+ − P+ = I − P e inoltre

(I − P )2 = I2 − 2IP + P 2 = I − 2P + P = I − P (3.3.16)

quindi I − P e un proiettore⇐) P = I − (I − P ), quindo applicando la prima parte si conclude.

Teorema 3.3.7. Siano P1, P2 proiettori e H1 = ImP1, H2 = ImP2, allora P = P1 − P2 e unproiettore ⇔ (I − P1)P2 = 0 e ImP = H1 H2 (definito nella dimostrazione)

3.4. PARTICOLARI CLASSI DI OPERATORI 63

Dimostrazione. per il lemma precedente P e un proiettore se e solo se I−(P1−P2) e un proiettore,ma I − (P1 − P2) = (I − P1) + P2 e applicando il teorema 3.3.6 si vede che quest’ultimo e unproiettore se e solo se (I − P1)P2 = 0. Quest’ultima condizione equivale ovviamente a P2 = P1P2,da cui segue subito che H2 ⊂ H1; inoltre nel caso in cui questa uguaglianza valga si ha ancheP2 = P+

2 = (P1P2)+ = P2P1, quindi vale anche P1P2 = P2P1. Sia ora x ∈ H, allora x =x1 + x⊥1 , dove x1 ∈ H1 e x⊥1 ∈ H⊥1 , allora si ha P1x = x1 e P2x = P1P2x = P2P1x = P2x1,quindi (P1 − P2)x = x1 − P2x1 = (I − P2)x1. Se x1 ∈ H1 si puo scrivere x1 = x′ + x′′, dovex′ ∈ H1 ∩ H2 e x′′ ∈ H1 ∩ H⊥2 quindi (P1 − P2)x = (I − P2)x1 = x1 − P2x1 = x1 − x′ = x′′,quindi Im(P1 − P2) ⊂ H1 ∩H⊥2 . D’altro canto se y ∈ H1 ∩H⊥2 si ha (P1 − P2)y = (I − P2)y = ye quindi H1 ∩ H⊥2 ⊂ ImP . Si definisce complemento ortogonale di H2 rispetto a H1 l’insiemeH1 H2 = H1 ∩ H⊥2 . [L’ultima parte della dimostrazione si puo svolgere in modo piu intuitivonel seguente modo: si e visto che H2 ⊂ H1 ed inoltre su H1 l’operatore P1 agisce come l’identita,quindi P1 − P2 proietta sul complemento ortogonale di H2 rispetto ad H1, cioe su H1 H2]

3.4 Particolari classi di operatori

Definizione 3.4.1. Sia H uno spazio di Hilbert e U : H → H un operatore (non necessariamentelineare) tale che U(H) = H e che per ogni x, y ∈ H si abbia (Ux,Uy) = (x, y). Si dice allora cheU e un operatore unitario.

Nel caso di spazi su R gli operatori unitari sono in genere detti operatori ortogonali.

Lemma 3.4.1. Sia U un operatore unitario, allora U e lineare.

Dimostrazione. si deve mostrare che U(αx) = αU(x) e che U(x + y) = U(x) + U(y). Mostriamola prima uguaglianza essendo la dimostrazione della seconda analoga.

‖U(αx)− αU(x)‖2 = (U(αx)− αU(x), U(αx)− αU(x)) == (U(αx), U(αx))− α(U(αx), U(x))− α(U(x), U(αx)) + |α|2(U(x), U(x)) == (αx, αx)− α(αx, x)− α(x, αx) + |α|2(x, x) = 2|α|2(x, x)− 2|α|2(x, x) = 0 (3.4.1)

Nel lemma precedente non si e usato il fatto che U(H) = H, quindi esso vale per una classepiu ampia di operatori degli operatori unitari. In effetti in molti testi l’ipotesi U(H) = H noncompare nella definizione di operatore unitario

Lemma 3.4.2. Se U e un operatore unitario allora U e limitato, biunivoco e U−1 e un operatoreunitario.

Dimostrazione. da (Ux,Uy) = (x, y) segue in particolare, ponendo x = y, che ‖Ux‖ = ‖x‖, quindi‖U‖ = 1 e U e limitato. Inoltre si ha

‖x− y‖2 = (x− y, x− y) = (U(x− y), U(x− y)) = (3.4.2)= (U(x)− U(y), U(x)− U(y)) = ‖U(x)− U(y)‖2

da cui segue che Ux = Uy ⇔ x = y, quindi U e iniettiva; poiche U e suriettiva per definizione siottiene che U e biunivoca. Inoltre vale l’uguaglianza

(U−1(x), U−1(y)) = (UU−1(x), UU−1y) = (x, y) (3.4.3)

quindi U−1 e anch’esso un operatore unitario.

Lemma 3.4.3. Sia H uno spazio di Hilbert e U : H → H un operatore lineare tale che U(H) = He ‖Ux‖ = ‖x‖, allora U e un operatore unitario.


Dimostrazione. ricordiamo la formula di polarizzazione del prodotto scalare:

4(x, y) = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 + i‖x− iy‖2 − i‖x+ iy‖2 (3.4.4)

allora usando la linearita di U e l’ipotesi ‖Ux‖ = ‖x‖ si ottiene

4(Ux,Uy) = ‖U(x+ y)‖2 − ‖U(x− y)‖2 + i‖U(x− iy)‖2 − i‖U(x+ iy)‖2 = (3.4.5)= ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 + i‖x− iy‖2 − i‖x+ iy‖2 = 4(x, y)

quindi (Ux,Uy) = (x, y); usando l’ipotesi U(H) = H si ottiene che U e unitario.

Lemma 3.4.4. Sia U un operatore limitato, allora U e unitario ⇔ U(H) = H e U+ = U−1.

Dimostrazione. ⇒) si ha per ogni x, y

(U+x, y) = (x,Uy) = (U−1x,U−1Uy) = (U−1x, y) (3.4.6)

quindi U−1 = U+.⇐) Se U+ = U−1 allora per ogni x, y si ha

(Ux,Uy) = (x,U+Uy) = (x,U−1Uy) = (x, y) (3.4.7)

e quindi da U(H) = H segue che H e unitario.

Definizione 3.4.2. Siano H1,H2 spazi di Hilbert, V : H1 → H2 un operatore tale che V (H1) = H2

e (V x, V y) = (x, y) (ovviamente il prodotto scalare a sinistra e quello di H2 mentre quello a destrae quello di H1), allora V si dice operatore isometrico (o piu semplicemente isometria).

Per gli operatori isometrici valgono proprieta analoghe a quelle mostrate per gli operatoriunitari. Dal teorema 3.1.2 segue quindi che se H e uno spazio di Hilbert separabile allora esisteV : H → `2 operatore isometrico.

Definizione 3.4.3. Sia T : H → H un operatore lineare. λ ∈ C si dice autovalore di T se esistev ∈ H, v 6= 0 tale che Tv = λv; se λ e un autovalore di T e v ∈ H e un vettore tale che esoddisfatta l’uguaglianza Tv = λv si dice che v e un autovettore di T corrispondente all’autovaloreλ. L’insieme degli autovettori corrispondenti all’autovalore λ (che si verifica subito essere unospazio vettoriale) si chiama autospazio dell’autovalore λ. L’insieme degli autovalori di T si chiamaspettro puntuale di T .

Definizione 3.4.4. Sia T : H → H un operatore limitato. Si dice che T e autoaggiunto seT = T+; si dice che T e normale se TT+ = T+T .

Lemma 3.4.5. Se T e un operatore autoaggiunto allora tutti gli eventuali autovalori sono reali.

Dimostrazione. supponiamo esista x 6= 0 tale che Tx = λx, allora si ha

(x, λx) = (x, Tx) = (Tx, x) = (λx, x) = (x, λx) (3.4.8)

quindi (x, λx) ∈ R, ma (x, λx) = λ‖x‖2, quindi λ ∈ R.

Il lemma precedente si puo anche ottenere come corollario del seguente, poiche ogni operatoreautoaggiunto e evidentemente normale.

Lemma 3.4.6. Sia T un operatore normale, allora da Tx = λx segue T+x = λx.


0 = ‖Tx− λx‖2 = (Tx− λx, Tx− λx) = ((T − λI)x, (T − λI)x) == ((T+ − λI)(T − λI)x, x) = ((T − λI)(T+ − λI)x, x) =

= ((T+ − λI)x, (T+ − λI)x) = ‖T+x− λx‖2 (3.4.9)

e quindi T+x = λx.


Lemma 3.4.7. Se T e un operatore normale autovettori relativi ad autovalori distinti sonoperpendicolari.

Dimostrazione. supponiamo Tx = λx, Ty = µy e λ 6= µ, allora si ha

λ(y, x) = (y, λx) = (y, Tx) = (T+y, x) = (µy, x) = µ(y, x) (3.4.10)

e poiche λ 6= µ si ha (y, x) = 0.

Definizione 3.4.5. Sia V uno spazio vettoriale, V1 ⊂ V un sottospazio vettoriale e T : V → Vun operatore lineare. Si dice che V1 e un sottospazio invariante per T se T (V1) ⊂ V1. Se V1 e unsottospazio invariante ha senso considerare la restrizione T |V1 : V1 → V1.

Quello che segue e il teorema spettrale del corso di Geometria I.

Teorema 3.4.1 (Teorema spettrale normale). Sia H uno spazio di Hilbert di dimensione finitae T : H → H un operatore normale, allora esiste una base ortonormale per lo spazio vettoriale Hcomposta da autovettori di T (cioe T e diagonalizzabile).

Dimostrazione. in dimensione finita λ e un autovalore se e solo se det(T − λI) = 0, quindi per ilteorema fonadamentale dell’algebra esiste almeno un autovalore λ1. Sia H1 = x ∈ H|Tx = λ1xl’autospazio associato a λ1; evidentemente H1 e invariante per T ; vediamo ora che H1 e invarianteanche per T+: se x ∈ H1 allora

T (T+x) = TT+x = T+Tx = T+(λx) = λ(T+x) (3.4.11)

quindi T+x ∈ H1.

Lemma 3.4.8. Sia H ′ ⊂ H un sottospazio vettoriale, allora H ′′ = (H ′)⊥ e invarianteper T ⇔ H ′ e invariante per T+.

Dimostrazione. siano x′ ∈ H ′, x′′ ∈ H ′′, allora (Tx′′, x′) = (x′′, T+x′), quindi si ha(Tx′′, x′) = 0 per ogni x′ ∈ H ′ (cioe H ′′ e invariante per T ) ⇔ (x′′, T+x′) = 0, cioeT+x′ ∈ H ′ per ogni x′ ∈ H ′, cioe se H ′ e invariante per T+.

dal lemma segue dunque che H2 = H⊥1 e invariante per T . Indicheremo ora con il pedice 0 lerestrizioni a H2; mostriamo che T0 : H2 → H2 e normale: per fare cio mostriamo preliminarmenteche (T0)+ = (T+)0: se x, y ∈ H2 allora

((T0)+x, y) = (x, T0y) = (x, Ty) = (T+x, y) = ((T+)0x, y) (3.4.12)

quindi (T0)+ e (T+)0 coincidono su H2. Si ha per ipotesi TT+ = T+T , quindi restringendosiad H2 si ha (TT+)0 = (T+T )0 cioe T0(T+)0 = (T+)0T0 ed usando quanto appena visto si haT0(T0)+ = (T0)+T0, quindi T0 e normale.

A questo punto si puo effettuare la dimostrazione per induzione su n = dimH. Se n = 1 allorasi ha H = H1 ed il teorema e mostrato. Supponiamo il teorema dimostrato fino a dimH = n evediamo che e vero anche per dimH = n+ 1: poiche per costruzione H1 6= 0, allora dimH1 ≥ 1 equindi, poiche per il teorema della proiezione si ha H = H1⊕H2 (si ricordi che in dimensione finitatutti i sottospazi sono sottospazi di Hilbert), si deve avere dimH2 ≤ n, quindi per l’ipotesi induttivaesiste una base ortonormale V2 di H2 composta di autovettori di T ; inoltre ogni base ortonormaledi H1 e evidentemente composta di autovettori di T , quindi esiste una base ortonormale V1 di H1

di autovettori di T . Poiche H = H1 ⊕H2 si vede subito che V1 ∪ V2 e una base ortonormale di Hcomposta di autovettori di T .


Mentre in dimensione finita esistono sempre autovalori (vedi la dimostrazione del teoremaprecedente), in dimensione infinita cio non e vero: consideriamo in `2 l’operatore lineare limitatoT (x1, . . . , xn, . . .) = (0, x1, . . . , xn, . . .). Sia v ∈ `2 un vettore tale che Tv = λv, allora si dovrebbeavere (0, v1, . . . , vn, . . .) = λ(v1, . . . , vn, . . .); se λ = 0 allora evidentemente v = 0, quindi 0 non puoessere un autovalore. Se λ 6= 0 allora si deve avere vn+1 = 1

λvn e v1 = 0, quindi vn = 0 per ogni ne v = 0. Di conseguenza l’operatore lineare T non ha autovalori.

Definizione 3.4.6. Sia V uno spazio vettoriale e T : V → V un operatore lineare; un polinomiop(x) = xn + · · ·+ a1x+ a0 si dice polinomio minimo di T se e il polinomio di grado piu basso taleche l’operatore p(T ) = Tn + · · ·+ a1T + a0I e identicamente nullo su V .

Per il calcolo effettivo degli autovalori puo risultare utile il seguente teorema.

Teorema 3.4.2. Sia T un operatore lineare e sia p(x) il suo polinomio minimo, allora λ eautovalore ⇔ p(λ) = 0.

Dimostrazione. ⇒) Sia Tx = λx con x 6= 0, allora si ha T 2x = T (Tx) = T (λx) = λTx = λ2x epiu in generale Tnx = λnx; se p e il polinomio minimo di T allora p(T ) = 0, quindi in particolarep(T )x = 0 (si ricordi che p(T ) e un operatore lineare), ma e immediato vedere che p(T )x = p(λ)x(si noti che P (T ) e un operatore lineare mentre p(λ) e uno scalare), quindi si ha p(λ)x = 0 e poichex 6= 0 si ha p(λ) = 0.⇐) sia p(T ) =

∏ki=1(x−λi) il polinomio minimo; poiche vale (T−λiI)(T−λjI) = (T−λjI)(T−

λiI) si ha p(T ) =∏ki=1(T −λiI). Poiche p e il polinomio minimo, si deve avere

∏ki=2(T −λiI) 6= 0,

quindi esiste x tale che∏ki=2(T − λiI)x = y 6= 0, ma allora si ha (T − λ1I)y =

∏ki=1(T − λiI)x =

p(T )x = 0, quindi Ty = λ1y e quindi λ1 e un autovalore di T . Analogamente si vede che per ognii il numero λi e un autovalore.

Definizione 3.4.7. Sia H uno spazio di Hilbert e T : H → H un operatore lineare. T si diceoperatore compatto (in alcuni testi completamente continuo) se per ogni successione limitata xiiesiste una sottosuccessione di Txii che converge.

Un modo equivalente per esprimere la precedente definizione e dire che un operatore lineare ecompatto se per ogni insieme A limitato l’insieme T (A) e un insieme compatto.

Lemma 3.4.9. Sia T un operatore compatto, allora T e limitato.

Dimostrazione. supponiamo per assurdo che T non sia limitato, allora esiste una successione xntale che ‖xn‖ ≤ 1 e limn→∞ ‖Txn‖ = +∞, in particolare non esiste nessuna sottosuccessioneconvergente della successione Txn, contraddicendo l’ipotesi che T sia compatto.

Lemma 3.4.10. Se A e un operatore compatto e B e un operatore limitato allora AB e BA sonooperatori compatti.

Dimostrazione. sia xn una successione tale che ‖xn‖ ≤ M , allora ‖Bxn‖ ≤ ‖B‖M quindi lasuccessione Bxn e una successione limitata, quindi ABxn ammette una sottosuccessione con-vergente poiche A e compatto, quindi AB e compatto. Sia ora yi una successione limitata; poicheA e compatto esiste una sottosuccessione yik tale che Ayik sia convergente e poiche B e continuola successione BAyik e ancora convergente, quindi BA e un operatore compatto.

Teorema 3.4.3. Un operatore lineare limitato e compatto se e solo se il suo aggiunto e compatto.

Dimostrazione. poiche (T+)+ = T basta vedere che da T compatto segue T+ compatto. Sia xnuna successione limitata; per il lemma precedente TT+ e compatto, quindi esiste una sottosuc-cessione TT+xik convergente. Mostriamo ora che T+xik e una successione di Cauchy, da cuisegue che e convergente e che quindi T+ e compatto: si ha

‖T+xik − T+xij‖2 = (T+(xik − xij ), T+(xik − xij )) == (xik − xij , TT+(xik − xij )) ≤ ‖xik − xij‖ ‖TT+(xik − xij )‖ ≤

2M‖TT+(xik − xij )‖ = 2M‖TT+xik − TT+xij‖ (3.4.13)


e poiche TT+xik e una successione di Cauchy si conclude.

Lemma 3.4.11. Sia T : H → H un operatore lineare limitato tale che dimT (H) < +∞ (si diceche T ha rango finito) allora T e compatto.

Dimostrazione. sia xn una successione limitata di H, allora Txn e una successione limitatadi T (H) (poiche ‖Txn‖ ≤ ‖T‖ ‖xn‖) e poiche T (H) ha dimensione finita in esso vale il teoremadi Bolzano-Weierstrass, quindi ogni successione limitata in T (H) ammette una sottosuccessioneconvergente. In particolare Txn ammette una sottosuccessione convergente.

Teorema 3.4.4. sia Tk una successione di operatori compatti e T un operatore lineare tale che‖T − Tk‖ → 0, allora T e un operatore compatto.

Dimostrazione. sia xi una successione limitata. Poiche T1 e compatto esiste una sottosuccessionex(1)

i tale che Tx(1)i converge. Procedendo per induzione supponiamo di avere una sottosuc-

cessione x(n−1)i di xi tale che Tn−1x

(n−1)i converga, allora si puo estrarre da x(n−1)

i unasottosuccessione x(n)

i tale che Tnx(n)i converga. In questo modo si ottiene un insieme di suc-

cessioni x(n)i tale che si ha x(n+1)

i ⊂ x(n)i e che per ogni n la successione Tnx(n)

i converge.Consideriamo ora la successione x(i)

i e mostriamo che Tx(i)i converge: notiamo innanzitutto che

per ogni n la successione Tnx(i)i i converge poiche se i ≥ n allora x(i)

i e una sottosuccessione dix(n)

i i. Inoltre si ha

‖Tx(n)n − Tx(m)

m ‖ = ‖Tx(n)n − Tkx(n)

n + Tkx(n)n − Tkx(m)

m + Tkx(m)m − Tx(m)

m ‖ ≤≤ ‖T − Tk‖ ‖x(n)

n ‖+ ‖Tkx(n)n − Tkx(m)

m ‖+ ‖T − Tk‖ ‖x(m)m ‖ (3.4.14)

fissato ε > 0, se k e abbastanza grande si ha ‖T − Tk‖ ≤ ε; inoltre ‖x(n)n ‖, ‖x(m)

m ‖ ≤ M poichela successione iniziale xi e limitata e, poiche Tkx(i)

i converge, se n,m > N si ha ‖Tkx(n)n −

Tkx(m)m ‖ ≤ ε quindi l’espressione 3.4.14 e minore di (2M + 1)ε e quindi Tx(n)

n e una successione diCauchy.

Corollario 3.4.1. Sia T : L2(0, π) → L2(0, π) definito da (Tf)(x) =∫ π

0k(x, y)f(y)dy, dove

k ∈ L2([0, π]× [0, π]), allora T e un operatore compatto.

Dimostrazione. vediamo innanzitutto che T e limitato: sia Tf = g, allora per la disuguaglianza diSchwartz si ha

|g(x)|2 ≤∫ π

0

|k|2dy∫ π

0

|f |2dy = ‖f‖2∫ π

0

|k|2dy (3.4.15)

quindi

‖g‖2 =∫ π

0

|g|2dx ≤ ‖f‖2∫ π

0

∫ π

0

|k|2dxdy = ‖f‖2‖k‖2 (3.4.16)

quindi si ottiene ‖T‖ ≤ ‖k‖.Vediamo ora che l’insieme sin px sin qyp,q∈N e completo L2([0, π] × [0, π]): sia f(x, y) ∈

L2([0, π] × [0, π]), allora per il teorema di Fubini per quasi ogni y ∈ [0, π] si ha f ∈ L2x(0, π),

quindi se (f, sin px sin qy) = 0 per ogni p, q, allora

0 =∫ π

0

∫ π

0

f(x, y) sin px sin qydxdy =∫ π

0

(∫ π

0

f(x, y) sin pxdx)

sin qydy (3.4.17)

quindi, poiche sin qyq∈N e completo in L2y(0, π), la funzione

∫ π0f(x, y) sin pxdx (che e in L2

y perla disuguaglianza di Schwarz) e nulla per quasi ogni y ∈ [0, π], quindi, per la completezza disin pxp∈N in L2

x(0, π), si ottiene che per quasi ogni y e quasi ogni x si ha f(x, y) = 0 e quindif = 0 in L2([0, π]× [0, π]) che conclude la dimostrazione della completezza di sin px sin qyp,q∈N.


Poiche k ∈ L2([0, π]× [0, π]) per quanto visto esistono coefficienti apq tali che

N∑p,q=1

apq sin px sin qy → k(x, y) in L2 (3.4.18)

Sia ora

(TNf)(x) =∫ π

0

N∑p,q=1

apq sin px sin qyf(y)dy (3.4.19)

a causa della somma su un numero finito di termini questo operatore ha rango finito e quindi (vedilemma 3.4.11) e un operatore compatto. Verifichiamo ora che ‖T − TN‖ → 0, che concludera ladimostrazione a causa del teorema precedente. Sia f tale che ‖f‖ = 1, allora

[(T − TN )f ](x) =∫ π

0

[k(x, y)−N∑

p,q=1

apq sin px sin qy]f(y)dy (3.4.20)

e quindi (per la disuguaglianza di Schwarz)

‖(T − TN )f‖2 ≤∫ π

0

∫ π

0

|k(x, y)−N∑

p,q=1

apq sin px sin qy|2dxdy = ‖k(x, y)−N∑

p,q=1

apq sin px sin qy‖2

(3.4.21)quindi si otttiene infine

‖T − TN‖ = sup‖f‖=1

‖(T − Tn)f‖ ≤ ‖k(x, y)−N∑

p,q=1

apq sin px sin qy‖ → 0 (3.4.22)

Gli operatori del tipo di quello del corollario precedente sono detti operatori di Hilbert-Schmidt.

Lemma 3.4.12. Sia Tk : L2(0, π) → L2(0, π) definito da (Tkf)(x) =∫ π

0k(x, y)f(y)dy, dove

k ∈ L2([0, π]× [0, π]), allora (Tk)+ = Tψ dove ψ(x, y) = k(y, x).

Dimostrazione. per ogni f, g ∈ L2(0, π) si ha

(Tkf, g) =∫ π

0

(Tkf)(x)g(x)dx =∫ π

0

∫ π

0

k(x, y)f(y)g(x)dxdy =

=∫ π

0

∫ π

0

ψ(y, x)g(x)f(y)dxdy =∫ π

0

(Tψg)(y)f(y)dy = (f, Tψg) (3.4.23)

da cui la tesi.

Corollario 3.4.2. Sia T : L2(0, π) → L2(0, π) definito da (Tf)x =∫ π

0k(x, y)f(y)dy, dove k ∈

L2([0, π]× [0, π]) e k(x, y) = k(y, x), allora T e un operatore compatto autoaggiunto.

Segue ora una serie di lemmi che serviranno nella dimostrazione del teorema spettrale compattoautoaggiunto nel caso di uno spazio di Hilbert generico.

Lemma 3.4.13. Sia T : H → H un operatore limitato, allora ‖T‖ = sup‖x‖=‖y‖=1 |(x, Ty)|.Dimostrazione. si ha per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, se ‖x‖ = ‖y‖ = 1,

|(x, Ty)| ≤ ‖x‖ ‖Ty‖ ≤ ‖T‖ ‖y‖ = ‖T‖ (3.4.24)


quindi sup‖x‖=‖y‖=1 |(x, Ty)| ≤ ‖T‖. D’altra parte se ‖x‖ = 1 e Tx 6= 0 si ha

‖Tx‖2 = (Tx, Tx) = ‖Tx‖( Tx

‖Tx‖ , Tx) = ‖Tx‖(a, Tx) (3.4.25)

dove ‖a‖ = 1, quindi ‖Tx‖ ≤ sup‖a‖=‖x‖=1 |(a, Tx)|.

Lemma 3.4.14. Sia T : H → H un operatore limitato autoaggiunto, allora

‖T‖ = sup‖x‖=1

|(x, Tx)| (3.4.26)

Dimostrazione. come nel lemma precedente si vede subito che sup‖x‖=1 |(x, Tx)| ≤ ‖T‖. Notiamoora che per ogni x, y si ha (x, Ty) = |(x, Ty)|eiθ e quindi |(x, Ty)| = (x, T (ye−iθ)), quindi si ha inparticolare

sup‖a‖=‖b‖=1

|(a, T b)| = sup‖x‖=‖y‖=1,(x,Ty)∈R

(x, Ty) (3.4.27)

Siano ora x, z tali che ‖x‖ = ‖z‖ = 1 e (x, Tz) ∈ R, allora si ha (x, Tz) = (Tx, z) = (z, Tx) quindi

2(x, Tz) = (x, Tz) + (z, Tx) =12

[(x+ z, T (x+ z))− (x− z, T (x− z))] ≤

≤ 12

[|(x+ z, T (x+ z))|+ |(x− z, T (x− z)|)] ≤

≤ 12[‖x+ z‖2|(a, Ta)|+ ‖x− z‖2|(b, T b)|] (3.4.28)

dove a = x+z‖x+z‖ e b = x−z

‖x−z‖ e quindi ‖a‖ = ‖b‖ = 1. Sia ora S = sup‖a‖=1 |(a, Ta)|, allora si ha(usando l’identita del parallelogramma)

2(x, Tz) ≤ 12S[‖x+ z‖2 + ‖x− z‖2] =

12S[2‖x‖2 + 2‖z‖2] = 2S (3.4.29)

quindi (x, Tz) ≤ S, quindi usando 3.4.27 ed il lemma precedente si ottiene ‖T‖ ≤ S che conclude.

Teorema 3.4.5. Sia T : H → H un operatore compatto autoaggiunto, allora esite un autovaloreλ tale che |λ| = ‖T‖.

Dimostrazione. per il lemma precedente esiste una successione xn tale che ‖xn‖ = 1 e|(xn, Txn)| → ‖T‖. Notiamo inoltre che per ogni x si ha (x, Tx) ∈ R poiche

(x, Tx) = (Tx, x) = (x, T+x) = (x, Tx) (3.4.30)

quindi da |(xn, Txn)| → ‖T‖ segue semplicemente che almeno una delle due seguenti affermazionie vera:

1. esiste una sottosuccessione xni tale che (xni , Txni)→ ‖T‖2. esiste una sottosuccessione xni tale che (xni , Txni)→ −‖T‖

Per semplicita di notazione continueremo a chiamare xn una qualunque delle due sottosuccessioniprecedenti. Sia quindi xn tale che ‖xn‖ = 1 e (xn, Txn)→ λ, dove |λ| = ‖T‖, allora si ha

‖Txn − λxn‖2 = ‖Txn‖2 + |λ|2‖xn‖2 − 2λ(xn, Txn) ≤ ‖T‖2 + ‖T‖2 − 2λ(xn, Txn) (3.4.31)

e l’ultimo membro tende a 0, quindiTxn − λxn → 0 (3.4.32)


Poiche T e compatto esiste una sottosuccessione zn di xn tale che Tzn converge, ma allora,per 3.4.32, anche λzn quindi anche zn converge (a rigore questo e vero solo se λ 6= 0, ma se λ = 0allora ‖T‖ = 0 e quindi T = 0 ed il teorema e ovvio) ad un valore z tale che ‖z‖ = limn→∞ ‖zn‖ = 1,quindi in particolare z 6= 0. Poiche T e limitato si ha allora limTzn = T lim zn = Tz, ma da 3.4.32segue che limTzn = limλzn (poiche entrambi i limiti esistono), quindi Tz = λz e poiche z 6= 0 siottiene che λ e un autovalore.

Lemma 3.4.15. Sia T : H → H un operatore compatto e sia λ 6= 0 un autovalore, allora l’au-tospazio Hλ relativo all’autovalore λ ha dimensione finita (si dice anche che λ ha degenerazionefinita).

Dimostrazione. supponiamo per assurdo che Hλ abbia dimensione infinita, allora esiterebbe unasuccessione di vettori ortonormali ek in Hλ e quindi si avrebbe

‖Tei − Tej‖2 = ‖λei − λej‖2 = |λ|2 ‖ei − ej‖2 = 2|λ|2δij (3.4.33)

quindi nessuna sottosuccessione di Tei puo essere una successione di Cauchy, in particolarenessuna sottosuccessione di Tei puo essere convergente, contrariamente all’ipotesi che T sia unoperatore compatto.

Nel teorema seguente si supporra cheH abbia dimensione infinita in quanto il caso di dimensionefinita e gia stato trattato nel caso degli operatori normali.

Teorema 3.4.6 (Teorema spettrale compatto autoaggiunto). Sia T : H → H un operatorecompatto autoaggiunto, allora vale uno dei seguenti enunciati:

1. T ha un numero finito di autovalori distinti non nulli λ1, . . . , λn, H = kerT ⊕ H1 ⊕ · · · ⊕Hn dove Hi e l’autospazio relativo a λi, quindi esiste una base ortonormale eiNi=1 di(kerT )⊥ composta di autovettori di T e si ha Tx =

∑Ni=1[λi

∑j eλij (eλij , x)] dove eλij sono gli

autovettori relativi a λi

2. T ha una infinita numerabile di autovettori non nulli che possono essere ordinati in modo chelimi→∞ λi = 0, H = kerT ⊕∞i=1 Hi e quindi esiste una base ortonormale ei∞i=1 di (kerT )⊥

composta di autovettori di T e si ha Tx =∑∞i=1[λi

∑j eλij (eλij , x)]

Dimostrazione. per il teorema 3.4.5 esiste un autovalore λ1 tale che |λ1| = ‖T‖; sia H1 il suoautospazio; per il lemma precedente H1 ha dimensione finita e sia quindi e1, . . . , en una baseortonormale di H1. Sia ora H ′ = H⊥1 e mostriamo che H ′ e un sottospazio invariante per T : se x′

e tale che (x′, ei) = 0 per ogni i, allora si ha

(Tx′, ei) = (x′, T ei) = (x′, λei) = λ(x′, ei) = 0 (3.4.34)

e quindi anche Tx′ ∈ H ′. Ha quindi senso considerare la restrizione T |H′ : H ′ → H ′ e chiamiamoT ′ = T |H′ . E evidente dalla definizione che T ′ e compatto. Inoltre procedendo come nel precedenteteorema spettrale si vede che (T ′)+ = (T+)|H′ e quindi che T ′ = T |H′ = (T+)|H′ = (T ′)+

e quindi anche T ′ e compatto e autoaggiunto, quindi esiste un secondo autovalore λ2 tale che|λ2| = ‖T ′‖ ≤ ‖T‖. Procedendo per induzione in modo analogo si ottiene una successione diautovalori λi tale che |λ1| ≥ |λ2| ≥ · · · ≥ |λn| · · · ed indichiamo con Hi i rispettivi autospazi. Aquesto punto si presentano due possibilita

1. esiste H ′ = (H1 ⊕ · · · ⊕Hn)⊥ tale che T |H′ = 0

2. non esiste H ′ = (H1 ⊕ · · · ⊕Hn)⊥ tale che T |H′ = 0

Nel caso (1) si ha allora evidentemente H ′ = kerT e quindi H = kerT ⊕H1 ⊕ · · · ⊕Hn. Poichetutti gli autospazi relativi ad autovettori distinti sono ortogonali, una base per (kerT )⊥ puo esserecostruita dall’unione delle basi dei diversi autospazi H1, . . . , Hn; sia eiNi=1 una tale base, allora


per ogni x ∈ H si ha x = x0 +∑Ni=1 ei(ei, x), dove x0 ∈ kerT ; applicando T a questa uguaglianza

e ricordando che gli ei sono autovettori si ottiene l’uguaglianza della tesi.Nel caso (2) si ottiene una successione infinita λi di autovalori non nulli. Vediamo che

limn→∞ λn = 0: sia xn una successione ortonormale di vettori tali che xn ∈ Hn e supponiamoper assurdo che per ogni n si abbia |λn| ≥ δ > 0, allora la successione xnλn sarebbe una successionelimitata e si avrebbe

T

(xnλn

)=

1λnT (xn) =

1λnλnxn = xn (3.4.35)

ma per costruzione ‖xn − xm‖2 = 2δn,m, quindi non esisterebbe nessuna sottosuccessione con-vergente di T (xn/λn), contrariamente all’ipotesi che T sia un operatore compatto, quindi siconclude che limn→∞ λn = 0.

Sia e1, . . . , eN una base di H1 ⊕ · · · ⊕Hn e sia xn la proiezione di x ∈ H su (H1 ⊕ · · · ⊕Hn),cioe xn = x−∑N

i=1 ei(ei, x), allora ‖xn‖ ≤ ‖x‖ e

‖Txn‖ = ‖T ′xn‖ ≤ ‖T ′‖ ‖xn‖ ≤ |λn+1| ‖xn‖ ≤ |λn+1| ‖x‖ (3.4.36)

e l’ultimo membro tende a 0 se n→∞. Sostituendo xn con il suo valore si ottiene quindi

Tx− T(

N∑

i=1

ei(ei, x)

)→ 0 (3.4.37)

A questo punto supponiamo per semplicita di notazione che i λi non indichino piu l’insieme degliautovalori distinti, ma l’insieme di tutti gli autovalori ognuno contato con la propria molteplicita (ladimensione dell’autospazio relativo) e supponiamo quindi che Tei = λiei, allora si ha (ricordandoche gli autovalori di un operatore autoaggiunto sono tutti reali)

T

(N∑

i=1

ei(ei, x)

)=

N∑

i=1

(ei, x)Tei =N∑

i=1

λiei(ei, x) = (3.4.38)

=N∑

i=1

(λiei, x)ei =N∑

i=1

(Tei, x)ei =N∑

i=1

(ei, Tx)ei

quindi il limite 3.4.37 diventaN∑

i=1

(ei, Tx)ei → Tx (3.4.39)

cioe ei∞i=1 (una base di ⊕∞i=1Hi) e una base per ImT . Sia ora y = x −∑∞i=1 ei(ei, x), allorada quanto precede segue che Ty = 0, quindi y ∈ kerT e da x = y +

∑∞i=1 ei(ei, x) e dal fatto

che autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali (si noti che kerT e l’autospaziodell’eventuale autovalore 0) segue che H = kerT ⊕∞i=1 Hi. Applicando T all’identita x = y +∑∞i=1 ei(ei, x) e usando il fatto che gli ei sono autovalori si ottiene Tx =

∑∞i=1 λiei(ei, x) (questa

e l’identita della tesi, solo scritta in un altro modo). Supponiamo ora che λ sia un autovalore diT , allora si deve avere, per quanto visto,

Tx =∞∑

i=1

λiei(ei, x) = λx = λy +∞∑

i=1

λei(ei, x) (3.4.40)

da cui si ottengono immediatamente due possibili casi

1. λ = 0 e (ei, x) = 0 per ogni i (cioe x ∈ kerT )

2. λ = λi, y = 0 e x ∈ Hi

Da cio segue che gli unici possibili autovalori (possibili poiche non e a priori detto che non si abbiakerT = 0) di T sono 0 ed i vari λi, che conclude la dimostrazione.


Corollario 3.4.3. Sia T : H → H un operatore compatto autoaggiunto, allora esiste una baseortonormale di H composta da autovettori di T .

Dimostrazione. nel teorema precedente si e vista l’esistenza di una base ortonormale al piu nu-merabile di (kerT )⊥. A questo punto una base ortonormale per H e data dall’unione di una baseortonormale di kerT e di ei (ovviamente se H non e separabile questa base non e numerabile,quindi la base di kerT non e numerabile e quindi kerT e uno spazio non separabile, in particolareha dimensione infinita).

Teorema 3.4.7. Siano A,B : H → H due operatori compatti autoaggiunti tali che AB = BA, al-lora esiste una base ortonormale al piu numerabile ei di (kerA∩kerB)⊥ composta da autovettoricomuni ad A e B.

Dimostrazione. per il teorema spettrale A ha al piu una infinita numerabile di autovettori λinon nulli e se si indicano con Hi i relativi autospazi si ha H = kerA ⊕i Hi; inoltre per il lemma3.4.15 ogni Hi ha dimensione finita. Consideriamo l’autospazio Hi e sia x ∈ Hi, cioe Ax = λix,allora si ha

A(Bx) = B(Ax) = B(λix) = λiBx (3.4.41)

quindi Bx ∈ Hi e quindi B(Hi) ⊂ Hi, cioe Hi e un sottospazio invariante per B. Sia ora Bi = B|Hi ;procedendo come nel teorema spettrale e semplice vedere che Bi e compatto e autoaggiunto. Peril corollario 3.4.3 esiste allora una base ortonormale di Hi, sia essa Vi, composta di autovettoridi B che, poiche sono contenuti in un autospazio di A, sono anche evidentemente autovettori diA. Poiche autospazi relativi ad autovalori differenti sono ortogonali, l’insieme V = ∪Vi e una baseortonormale per ⊕iHi = (kerA)⊥ e poiche ogni Hi ha dimensione finita V e al piu numerabile.

Sia ora x ∈ kerA, allora si ha A(Bx) = B(Ax) = 0, quindi Bx ∈ kerA, quindi kerA euno spazio invariante per B; definendo B0 = B|kerA si vede nuovamente che B0 e compatto eautoaggiunto e quindi applicando il teorema spettrale si ottenene una base ortonormale numerabileW di kerA ∩ (kerB)⊥ composta di autovettori di B, che sono anche autovettori di A relativiall’autovalore 0. Sempre poiche autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali si vedequindi che W ∪ V e una base ortonormale al piu numerabile per

(kerA)⊥ ⊕ [kerA ∩ (kerB)⊥] (3.4.42)

composta da autovettori comuni di A e B.Vediamo ora che (kerA)⊥ ⊕ [kerA ∩ (kerB)⊥] = (kerA ∩ kerB)⊥. Questo discende dal fatto

piu generale che se X,Y sono due sottospazi di Hilbert di H si ha (X ∩ Y )⊥ = X⊥ ⊕ X ∩ Y ⊥(basta porre X = kerA, Y = kerB).

[Un modo sbagliato di dimostrare questa uguaglianza e

X ∩ Y ⊕ (X ∩ Y )⊥ = H = X⊥ ⊕X = X⊥ ⊕X ∩H = (3.4.43)= X⊥ ⊕X ∩ (Y ⊕ Y ⊥) = X⊥ ⊕X ∩ Y ⊕X ∩ Y ⊥

dove si e pero usato il fatto X ∩ (Y ⊕ Y ⊥) = X ∩ Y ⊕ X ∩ Y ⊥ che non e in generale vero:consideriamo in C2 i sottospazi X = spane1, Y = spane1 − e2 e Y ⊥ = spane1 + e2, allora siha X ∩ (Y ⊕ Y ⊥) = X 6= 0 mentre X ∩ Y ⊕X ∩ Y ⊥ = 0]

Per mostrare (X ∩Y )⊥ = X⊥⊕X ∩Y ⊥ si puo procedere nel seguente modo: sia v ∈ (X ∩Y )⊥,allora v = x′ + x′′, dove x′ ∈ X e x′′ ∈ X⊥; poiche v e x′′ sono perpendicolari a X ∩ Y , sideve avere anche x′ ∈ (X ∩ Y )⊥ e, poiche x′ ∈ X, e semplice verificare che x′ ∈ X ∩ Y ⊥, quindi(X ∩ Y )⊥ ⊂ X⊥ ⊕X ∩ Y ⊥; l’inclusione inversa e immediata da mostrare.

Lemma 3.4.16. Siano A,B : H → H due operatori compatti, allora A + B e un operatorecompatto.


Dimostrazione. sia xn una successione limitata, allora esiste una sua sottosuccessione xnktale che Axnk converga. D’altro canto xnk e una successione limitata, quindi esiste una suasottosuccessione xnki tale che Bxnki sia una successione convergente; inoltre xnki e unasottosuccessione di xnk, quindi in particolare si ha anche che Axnki e convergente, ma allora(A+B)xnki e una successione convergente e quindi A+B e un operatore compatto.

Corollario 3.4.4 (Teorema spettrale compatto normale). Sia N : H → H un operatore com-patto normale, allora esiste una base ortonormale numerabile di (kerN)⊥ composta da autovettoricomuni a N e N+.

Dimostrazione. definiamo i due operatori

A =N +N+

2;B =

N −N+

2i(3.4.44)

per il lemma 3.4.16 A,B sono operatori compatti ed e semplice vedere che sono autoaggiunti:

A+ =(N +N+

2

)+

=N+ +N++

2=N +N+

2= A

B+ =(N −N+

2i

)+

=−12i

(N −N+)+ =−12i

(N+ −N) =N −N+

2i= B (3.4.45)

inoltre usando il fatto che NN+ = N+N e immediato vedere che AB = BA, quindi per il teorema3.4.7 esiste una base ortonormale al piu numerabile di (kerA ∩ kerB)⊥ composta da autovettoriei comuni ad A e B. Poiche N = A + iB e N+ = A − iB, si vede subito che gli ei, essendoautovettori di A e B, sono anche autovettori di N e N+. Inoltre usando 3.4.44 e N = A + iB,N+ = A − iB e immediato vedere che kerA ∩ kerB = kerN ∩ kerN+. Vediamo infine chekerN = kerN+, che concludera il teorema. Si ha infatti per ogni x ∈ H

‖Nx‖2 = (Nx,Nx) = (x,N+Nx) = (x,NN+x) = (N+x,N+x) = ‖N+x‖2 (3.4.46)

e quindi Nx = 0⇔ N+x = 0.

Anche se non lo si e specificato nelle ipotesi mentre nel teorema spettrale compatto autoaggiuntolo spazio H poteva anche essere uno spazio vettoriale su R, poiche gli autovalori di un operatoreautoaggiunto sono reali, nel caso del teorema spettrale compatto normale e essenziale che H siauno spazio vettoriale su C, altrimenti non e detto esistano gli autovalori.

Il metodo di dimostrazione del teorema spettrale compatto normale usando il teorema 3.4.7 edil teorema spettrale compatto autoaggiunto e tratto dal testo [4] della Bibliografia.

I risultati qui esposti trovano applicazioni in molti campi: sia Ω ⊂ R2 un aperto limitato percui esista la funzione di Green del laplaciano (vedi sezione ”Identita di Green e sue conseguenze”)e consideriamo il problema agli autovalori

4u = λu in Ωu = 0 in ∂Ω (3.4.47)

per le proprieta di unicita del problema di Dirichlet se λ = 0 allora l’unica soluzione di 3.4.47 eu = 0, quindi λ = 0 non e un autovalore, quindi il problema precedente e equivalente a

µ4u = u in Ωu = 0 in ∂Ω (3.4.48)

infatti anche in questo caso se µ = 0 si ha u = 0. Poiche se u e soluzione del problema 3.4.48 allorau e continua in Ω ed ha derivate prime continue e possibile applicare il teorema 2.3.5 e quindi siha

µu(x, y) =∫

Ω

G(x, y, ξ, η)u(ξ, η)dξdη (3.4.49)


d’altra parte se u ∈ L2(Ω) soddisfa l’equazione 3.4.49 con µ 6= 0 allora il secondo membro econtinuo, quindi u e continua; inoltre nel secondo membro si puo derivare una volta sotto il segnodi integrale (vedi dimostrazione del teorema 2.3.5) e si ottiene che u ha derivate prime continue,quindi applicando il teorema 2.3.5 si vede che u soddisfa 3.4.48. Quindi i problemi 3.4.48 e 3.4.49con µ 6= 0 sono equivalenti.

Inoltre G ha la forma G(x, y, ξ, η) = 12π log r+γ(x, y, ξ, η) dove γ e contina su Ω, quindi si vede

che G ∈ L2(Ω) e se si definisce

(Tu)(x, y) =∫

Ω

G(x, y, ξ, η)u(ξ, η)dξdη (3.4.50)

poiche G(x, y, ξ, η) = G(ξ, η, x, y) ∈ R si vede analogamente al corollario 3.4.2 che T e un operatorecompatto autoaggiunto ed il problema 3.4.48 equivale a µu = Tu con µ 6= 0; e quindi possibileapplicare il teorema spettrale. Si puo inoltre vedere che ogni λn e negativo: sia u una autofunzionedi 3.4.47, allora utilizzando l’equazione 2.3.67 con f = g = u si ha

λ

∫

Ω

u2dxdy =∫

Ω

(4u)udxdy =∫

∂Ω

∂u

∂nudσ −

∫

Ω

|∇u|2dxdy = −∫

Ω

|∇u|2dxdy (3.4.51)

e l’ultimo membro e strettamente negativo, infatti se fosse nullo si avrebbe u = const (sullecomponenti connesse) e quindi per le condizioni al bordo u = 0, mentre si deve avere u 6= 0.Quindi si ottiene λ < 0 e quindi gli autovalori del problema 3.4.47 (che esistono per il teoremaspettrale) sono tutti negativi.

Una altra applicazione si ottiene nel teorema sugli autovalori del problema di Sturm-Liouville:il problema di Sturm-Liouville consiste nel problema ai limiti

Ly = (p(x)y′)′ + q(x)y = fαy(0) + βy′(0) = 0 α2 + β2 > 0γy(π) + δy′(π) = 0 γ2 + δ2 > 0

(3.4.52)

Sotto opportune ipotesi si dimostra (vedi appendice E) che esiste una funzione G(x, y) : [0, π] ×[0, π]→ R continua e simmetrica tale che la suoluzione del problema di Sturm-Liouville e data da

y(ξ) =∫ π

0

G(ξ, η)f(η)dη (3.4.53)

quindi anche in questo caso per il problema Ly = λy con le condizioni ai limiti 3.4.52 e applicabileil teorema spettrale compatto autoaggiunto. Per maggiori dettagli vedi l’appendice E.

3.5 Trasformata di Fourier

Definizione 3.5.1. Si definisce l’insieme S (detto classe di Schwartz e talora indicato con S) nelmodo seguente

S = φ ∈ C∞(−∞,+∞)| |xmDnφ(x)| < An,m ∀x ∈ R ∀n,m ∈ N (3.5.1)

dove Dn = dn/dxn e An,m e una costante dipendente da n,m.

Notiamo che S non e vuoto poiche C∞c (−∞,+∞) ⊂ S e inoltre si ha S ⊂ L1(−∞,+∞) e seφ ∈ S allora per ogni n > 0 si ha xnφ ∈ L1(−∞,+∞).

Definizione 3.5.2. Per ogni φ ∈ S si definisce la trasformata di Fourier , indicata con F (φ) oφ, come

φ(ω) =∫ +∞

−∞φ(x)eiωxdx (3.5.2)

3.5. TRASFORMATA DI FOURIER 75

La definizione precedente ha senso poiche si e gia osservato che S ⊂ L1(−∞,+∞). Servira peril seguito notare che

Lemma 3.5.1. S e denso in L2(−∞,+∞).

Dimostrazione. si e gia osservato che C∞c (−∞,+∞) ⊂ S; inoltre si sa che C∞c (−∞,+∞) e densoil L2(−∞,+∞), quindi S e denso in L2(−∞,+∞).

Teorema 3.5.1. Se φ ∈ S allora φ ∈ S.

Dimostrazione. mostriamo che φ e derivabile e che D1φ = F (ixφ):

φ(ω + h)− φ(ω)h

−∫ +∞

−∞ixφ(x)eiωxdx =

∫ ∞−∞

ixφ(x)eiωx(eihx − 1ihx

− 1)

dx (3.5.3)

l’integrando del secondo membro tende puntualmente a 0, inoltre eihx−1ihx e limitato per ogni x,

quindi se 0 < h < ε si ha∣∣∣ eihx−1

ihx

∣∣∣ < M e quindi l’integrando del secondo membro di 3.5.3

e maggiorato in modulo da M |xφ(x)| ∈ L1(−∞,+∞), quindi si puo utilizzare il teorema dellaconvergenza dominata di Lebesgue ottenendo

D1F [φ(x)](ω) = D1φ(ω) =∫ ∞−∞

ixφ(x)eiωxdx = F (ixφ)(ω) (3.5.4)

inoltre ixφ(x) ∈ S, quindi si ha ancora

D2φ = D1(D1φ) = D1[F (ixφ)] = F [(ix)2φ] (3.5.5)

e piu in generale (poiche xnφ ∈ S) si ottiene per induzione Dnφ = F [(ix)nφ], quindi φ ∈C∞(−∞,+∞).

Mostriamo ora che |ωnφ(ω)| ≤ An: integrando per parti n volte si ottiene

φ(ω) =∫ +∞

−∞eiωxφ(x)dx =

−1iω

∫ +∞

−∞eiωxD1φ(x)dx = · · · = (−1)n

(iω)n

∫ +∞

−∞eiωxDnφ(x)dx (3.5.6)

quindi

|φ(ω)ωn| =∣∣∣∣∫ +∞

−∞eiωxDnφ(x)dx

∣∣∣∣ ≤∫ +∞

−∞|Dnφ(x)|dx = An(φ) (3.5.7)

Vediamo ora che |Dnφ(ω)ωm| ≤ An,m: si e visto che Dnφ = F [(ix)nφ(x)], inoltre ψ(x) =(ix)nφ(x) ∈ S, quindi per quanto visto si ha |Dnφ(ω)ωm| = |ψωm| ≤ Am(ψ) che conclude.

Teorema 3.5.2. Se φ ∈ S allora si ha

φ(x) =1

2π

∫ +∞

−∞φ(ω)e−iωxdω (3.5.8)

Dimostrazione. siano φ, ψ ∈ S, allora si ha

(φ(ω), ψ(ω)eiωx) =∫ +∞

−∞φ(ω)ψ(ω)eiωxdω =

∫ ∞−∞

(ψ(ω)eiωx

∫ +∞

−∞φ(y)eiωydy

)dω = (3.5.9)

=∫ +∞

−∞ψ(ω)eiωx

(∫ +∞

−∞φ(y)e−iωydy

)dω


poiche∫ +∞−∞ dω

∫ +∞−∞ |ψ(ω)| |φ(y)|dy < +∞ per il teorema di Fubini-Tonelli si puo invertire l’ordine

di integrazione, ottenendo quindi

(φ(ω), ψ(ω)eiωx) =∫ +∞

−∞φ(y)

(∫ +∞

−∞ψ(ω)eiω(x−y)dω

)dy = (3.5.10)

=∫ +∞

−∞φ(y)ψ(x− y)dy =

∫ +∞

−∞φ(z + x)ψ(−z)dz = (φ(z + x), ψ(−z))

quindi infine si ha(φ(ω), ψ(ω)eiωx) = (φ(z + x), ψ(−z)) (3.5.11)

Sia ora a > 0 e poniamo ψ(ω) = e−aω2, allora ψ ∈ S e si ha

(φ(ω), ψ(ω)eiωx) =∫ +∞

−∞φ(ω)e−aω

2eiωxdω (3.5.12)

se ora a→ 0, l’integrando tende puntualmente a φ(ω)eiωx ed il modulo dell’integrando e maggioratoda |φ(ω)| ∈ L1, quindi applicando il teorema della convergenza dominata di Lebesgue si ottiene

lima→0

(φ(ω), ψ(ω)eiωx) =∫ +∞

−∞φ(ω)e−iωxdω (3.5.13)

Calcoliamo ora ψ: integrando per parti si ottiene

ψ(ω) =∫ +∞

−∞e−ay

2eiωydy =

2ai2ω

∫ +∞

−∞iye−ay

2eiωydy = −2a

ωD1ψ(ω) (3.5.14)

quindi si ottiene ψ(ω) = Ae−ω24a dove A e una costante da deteminarsi nel seguente modo:

A = ψ(0) =∫ +∞

−∞e−ax

2dx =

√π

a(3.5.15)

quindi si ha

ψ(ω) =√π

ae−

ω24a (3.5.16)

Si ha allora

(φ(y + x), ψ(−y)) =∫ ∞−∞

φ(y + x)√π

ae−

y2

4a dy =∫ ∞−∞

φ(x+ 2√az)e−z

22√πdz (3.5.17)

quindi usando nuovamente il teorema di Lebesgue si ottiene

lima→0

(φ(y + x), ψ(−y)) =∫ +∞

−∞φ(x)e−z

22√πdz = 2πφ(x) (3.5.18)

quindi da 3.5.11, 3.5.13 e 3.5.17 si ottiene l’enunciato.

Corollario 3.5.1. F : S→ S e suriettiva.

Dimostrazione. per il teorema precedente se φ ∈ S si ha

φ(x) =∫ +∞

−∞

φ(ω)2π

e−iωxdω =∫ +∞

−∞

φ(−ω)2π

eiωxdω = F

(φ(−ω)

2π

)(x) (3.5.19)

quindi φ = F(φ(−ω)

2π

)e per il teorema 3.5.1 si ha φ(−ω)

2π ∈ S.


Teorema 3.5.3 (Identita di Parsevall). Se φ, χ ∈ S allora (φ, χ) = 2π(φ, χ).

Dimostrazione. usiamo 3.5.11: se in essa si pone x = 0 e ψ(ω) = χ(ω) si ottiene

(φ(ω), χ(ω)) = (φ(ω), ψ(ω)) = (φ(y), ψ(−y)) = (φ(y), F [χ(ω)](−y)) = (3.5.20)

= (φ(y), F [χ(−ω)](y)) = 2π(φ(y), F[χ(−ω)

2π

](y)) = 2π(φ(y), χ(y))

Corollario 3.5.2. F : S→ S e biunivoca.

Dimostrazione. dall’identita di Parsevall segue in particolare che ‖F (φ)‖2 = 2π‖φ‖2, quindikerF = 0 e quindi F e iniettiva; inoltre si e gia visto che F e suriettiva.

Definizione 3.5.3. Poiche S e denso in L2(−∞,+∞) (vedi lemma 3.5.1) e la trasformate diFourier e un operatore lineare limitato su S (dall’identita di Parsefall segue che ‖F‖2 = 2π), essapuo essere estesa per continuita ad un operatore F : L2(−∞,+∞)→ L2(−∞,+∞) (vedi teorema3.2.4). Se f ∈ L2(−∞,+∞) allora Ff (o f) si chiama trasformata di Fourier di f .

Ovviamente per la trasformata di Fourier di una funzione di L2(−∞,+∞) non e piu valida laformula 3.5.2 poiche f potrebbe non essere integrabile; dalla definizione segue che per calcolare latrasformata di Fourier di f ∈ L2 si dovrebbe procedere nel seguente modo: si trova una successionedi funzioni fn ∈ S tali che fn → f in L2(−∞,+∞), quindi si calcola fn tramite la 3.5.2; per ilteorema 3.2.4 la successione fn converge allora in L2 ad una funzione f . Questa e la trasformatadi Fourier di F .

Lemma 3.5.2. F : L2(−∞,+∞)→ L2(−∞,+∞) e suriettivo.

Dimostrazione. sia f ∈ L2(−∞,+∞) e sia φn ∈ S una successione tale che φn → f in L2, allorasi ha per il corollario 3.5.1

f = limn→∞

φn = limn→∞

F

[φn(−ω)

2π

]= F

[limn→∞

φn(−ω)2π

](3.5.21)

Inoltre per definizione f = limn→∞ φn, quindi si ottiene

f(x) = F

[f(−ω)

2π

](x) = F

[f(ω)2π

](−x) (3.5.22)

che conclude. (La formula precedente e la formula di inversione della trasformata di Fourier)

Teorema 3.5.4 (Identita di Parsevall). se f, g ∈ L2(−∞,+∞) allora si ha (f , g) = 2π(f, g).

Dimostrazione. siano φn, ψn ∈ S tali che φn → f e ψn → g, allora si ha per definizione f =limn→∞ φn e g = limn→∞ ψn. Allora usando la continuita del prodotto scalare e la prima formadell’identita di Parsevall si ottiene

(f , g) = (lim φn, lim ψk) = lim(φn, ψk) = (3.5.23)= 2π lim(φn, ψk) = 2π(limφn, limψk) = 2π(f, g)

Corollario 3.5.3. F : L2(−∞,+∞)→ L2(−∞,+∞) e biunivoca.

Dimostrazione. si e gia visto che F e suriettiva. Inoltre dall’identita di Parsefall segue che ‖f‖ =√2π‖f‖, quindi F e anche iniettiva.


Se al posto di 3.5.2 si fosse usata la definizione

φ(ω) =1√2π

∫ +∞

−∞φ(x)eiωxdx (3.5.24)

per la definizione della trasformata in S, si sarebbe ottenuto in S

φ(x) =1√2π

∫ +∞

−∞φ(ω)e−iωxdω (3.5.25)

e l’identita di Parsevall sarebbe diventata (φ, ψ) = (φ, ψ) ed estendendo in modo analogo a comesi e fatto la trasformata ad un operatore lineare F : L2 → L2 l’identita di Parsevall sarebbediveuta (f , g) = (f, g) e quindi la trasformata di Fourier sarebbe diventata un operatore unitariodi L2(−∞,+∞). Questo risultato e noto come teorema di Plancherel.

Teorema 3.5.5. Sia f ∈ L2(−∞,+∞) e definiamo

gn(ω) =∫ +n

−nf(x)eiωxdx (3.5.26)

allora f e il limite in L2 della successione gn.Dimostrazione. sia fn = fχ[−n,+n], allora evidentemente fn → f in L2 e fn ∈ L1(−∞,+∞);mostriamo che fn = gn: siano φn ∈ S con supporto in [−n, n] tali che φn → fn in L2, allora

∣∣∣∣∫ +n

−nφie

iωxdx−∫ +n

−nfeiωxdx

∣∣∣∣ ≤ (3.5.27)

≤∫ +n

−n|φi − f |dx ≤

(∫ +n

−n|φi − f |2dx

)1/2√2n = ‖φi − fn‖

√2n

quindi∫ +n

−n φieiωxdx tende uniformemente in ω a gn, cioe φi → gn uniformemente in ω se i→∞.

Inoltre φi e una successione di Cauchy (per l’identita di Parsevall) poiche φn e una successionedi Cauchy, quindi esiste ψ ∈ L2 tale che φi → ψ in L2, ma allora esiste una sottosuccessione φikche converge a ψ puntualmente quasi ovunque, ma φi → gn uniformemente, quindi ψ = gn q.o. equindi ψ = gn in L2 e φi → gn in L2(−∞,+∞). Ma per definizione si ha fn = lim φi in L2, quindifn = gn. Usando l’identita di Parsevall si ha allora

2π‖fn − f‖2 = ‖fn − f‖2 = ‖gn − f‖2 (3.5.28)

inoltre se n→∞ si ha fn → f , quindi gn → f che e quanto si doveva mostrare.

Utilizzando la relazione 3.5.22 si ottiene dal teorema precedente il seguente enunciato:

Teorema 3.5.6. Sia f ∈ L2(−∞,+∞) e definiamo

gn(x) =1

2π

∫ +n

−nf(ω)e−iωxdω (3.5.29)

allora gn → f in L2(−∞,+∞).

Corollario 3.5.4. Sia f ∈ L2(−∞,+∞) ∩ L1(−∞,+∞) allora si ha

f(ω) =∫ +∞

−∞f(x)eiωxdx (3.5.30)


Dimostrazione. sia fn = fχ[−n,n], allora si ha fn → f in L2 e fn → f in L2. Inoltre fn =∫ +n

−n f(x)eiωxdx. Si ha allora

∣∣∣∣∫ +∞

−∞f(x)eiωxdx−

∫ +n

−nf(x)eiωxdx

∣∣∣∣ ≤∫

|x|>n|f(x)|dx (3.5.31)

ed il secondo membro tende a 0 uniformemente in ω. Quindi fn e di Cauchy in L2 e fn(ω) →∫ +∞−∞ f(x)eiωxdx uniformemente; si conclude analogamente a quanto fatto nel teorema 3.5.5 che

fn(ω)→ ∫ +∞−∞ f(x)eiωxdx in L2 da cui si ottiene la tesi.

Anche in questo caso si ha un enunciato duale per f :

Corollario 3.5.5. Sia f ∈ L2(−∞,+∞) e sia f ∈ L1(−∞,+∞), allora si ha

f(x) =1

2π

∫ +∞

−∞f(ω)e−iωxdω (3.5.32)

Il teorema precedente puo essere usato per calcolare alcune trasformate che altrimenti srebberopiuttosto complesse: e ad esempio immediato verificare che

F (e−|x|) =∫ +∞

−∞eiωxe−|x|dx =

21 + ω2

(3.5.33)

allora per il corollario 3.5.5 si ha

e−|x| =1

2π

∫ +∞

−∞

21 + ω2

e−iωxdω =1π

∫ +∞

−∞

11 + ω2

eiωxdω (3.5.34)

e quindi

F

(1

1 + x2

)=∫ +∞

−∞

11 + x2

eiωxdx = πe−|ω| (3.5.35)

risultato che e difficile da ottenenere direttamente.

Definizione 3.5.4. Se f ∈ L1(−∞,+∞) si definisce

(Ff)(ω) = f(ω) =∫ +∞

−∞f(x)eiωxdx (3.5.36)

detta trasformata di Fourier e

(F−1f)(x) =1

2π

∫ +∞

−∞f(ω)e−iωxdω (3.5.37)

datta trasformata di Fourier inversa.

Ovviamente non e a priori detto (e in generale neppure vero) che F−1F = I, infatti se f eintegrabile non e detto che f sia anch’essa integrabile, come mostra il seguente esempio

f = e−xχ[0,+∞); f(ω) =1

1− iω (3.5.38)

Lemma 3.5.3. Si ha

limL→+∞

∫ +L

−L

sinxx

dx = π (3.5.39)


Dimostrazione. definiamo

f(x) =

1 se x ∈ (−1, 1)0 se x ∈ (−1, 1)c (3.5.40)

allora si ha f ∈ L2(−∞,+∞) ∩ L1(−∞,+∞), quindi

f(ω) =∫ +1

−1

eiωxdx =1iω

(eiω − e−iω) = 2sinωω

(3.5.41)

quindi per l’identita di Parsefall si ha

‖f‖2 = 4∫ +∞

−∞

sin2 x

x2dx = 2π‖f‖2 = 4π (3.5.42)

da cui si ottiene ∫ +∞

−∞

sin2 x

x2dx = π (3.5.43)

Integrando per parti si ottiene∫ L

−L

sin2 x

x2dx = [− 1

xsin2 x]L−L +

∫ L

−L

1x

2 sinx cosxdx = (3.5.44)

= [− 1x

sin2 x]L−L +∫ L

−L

1x

sin 2xdx = [− 1x

sin2 x]L−L +∫ L/2

−L/2

sin zz

dz

passando al limite per L→∞ si ottiene l’enunciato.

Teorema 3.5.7. Sia f ∈ L1(−∞,+∞), continua in x e tale che f(x+z)−f(x)z sia integrabile in un

intorno di z = 0, allora si ha

f(x) = limL→∞

12π

∫ L

−Lf(ω)e−iωxdω (3.5.45)

Dimostrazione. sia IL = 12π

∫ L−L f(ω)e−iωxdω allora (applicando il teorema della convergenza

dominata ed il teorema di Fubini) si ha

IL =1

2π

∫ L

−Le−iωx

(∫ +∞

−∞f(y)eiωydy

)dω = lim

k→∞1

2π

∫ L

−Le−iωx

(∫ +k

−kf(y)eiωydy

)dω =

= limk→∞

12π

∫ +k

−kf(y)

ei(y−x)L − e−i(y−x)L

i(y − x)dy = lim

k→∞1π

∫ k

−kf(y)

sinL(y − x)(y − x)

dy =

= limk→∞

1π

∫ +k

−kf(x+ z)

sinLzz

dz (3.5.46)

per il lemma 3.5.3 si ha

1 = limk→∞

1π

∫ +k

−k

sin zz

dz = limk→∞

1π

∫ +k

−k

sinLzz

dz (3.5.47)

quindi

|IL − f(x)| = limk→∞

∣∣∣∣∣1π

∫ +k

−k

sinLzz

[f(x+ z)− f(x)]dz

∣∣∣∣∣ ≤

≤ limk→∞

[

∣∣∣∣∣1π

∫ k

M

· · ·∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣1π

∫ M

−M· · ·∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣1π

∫ −M−k

· · ·∣∣∣∣∣] = lim

k→∞[A1 +A2 +A3] (3.5.48)


inoltre si ha

A1 ≤ 1π

∫ +∞

M

|f(x+ z)|M

dz +|f(x)|π

∣∣∣∣∣∫ k

M

sinLzz

dz

∣∣∣∣∣ (3.5.49)

fissnto ε > 0 si puo scegliere M abbastanza grande da fare in modo che il primo termine sia ≤ ε.Per il secondo termine si ha

limk→∞

|f(x)|π

∣∣∣∣∣∫ k

M

sinLzz

dz

∣∣∣∣∣ = limk→∞

|f(x)|π

∣∣∣∣∣∫ k

LM

sin zz

dz

∣∣∣∣∣ (3.5.50)

e per il lemma 3.5.3 se L e abbastanza grande questo termine e≤ ε. Per A3 si ragiona analogamente.Per quanto riguarda A2 si ha

A2 =

∣∣∣∣∣1π

∫ M

−MsinLz

(f(x+ z)− f(x)

z

)dz

∣∣∣∣∣ (3.5.51)

per ipotesi il termine tra parentesi e integrabile, quindi per il lemma di Riemann-Lebesgue se L eabbastanza grande si ha A2 ≤ ε.

Nel teorema precedente non e a prima vista chiaro dove sia intervenuta la continuita di f .Un primo modo i cui questa ipotesi e intervenuta e stato nel fatto che si e sempre supposto (adesempio in 3.5.49) che |f(x)| < +∞, ma per questo sarebbe bastato appunto supporre che perogni x si avesse |f(x)| < +∞. Per chiarire dove sia intervenuta la continuita si puo osservare chenel teorema precedente si e in effetti mostrato che se f ∈ L1(−∞,+∞) e se g : R→ C e tale chef(x+z)−g(x)

z sia integrabile in un intorno di z = 0, allora si ha

g(x) = limL→∞

12π

∫ L

−Lf(ω)e−iωxdω (3.5.52)

si puo inoltre osservare che questa g e determinata per ogni x ∈ R da f : supponiamo esistano duenumeri α, β tali che

f(x+ z)− αz

;f(x+ z)− β

z∈ L1

z(−ε,+ε) (3.5.53)

allora deve essere integrabile anche

f(x+ z)− αz

− f(x+ z)− βz

=β − αz

(3.5.54)

quindi α = β = g(z). Si vede inoltre semplicemente che se f e continua allora si deve averenecessariamente g = f ed e qui che interviene la continuita di f .

Lemma 3.5.4. Sia f ∈ L1(−∞,+∞) o f ∈ L2(−∞,+∞), allora si ha F [f(x − a)](ω) =eiωaF [f(x)](ω).

Dimostrazione. per f ∈ L1 la dimostrazione e immediata. Per f ∈ L2 usando il teorema 3.5.5 siha

F [f(x− a)](ω) = limL→∞

∫ L

−Lf(x− a)eiωxdx = lim

L→∞

∫ L

−Lf(z)eiωzeiωadz = eiωaF [f(x)](ω) (3.5.55)

Lemma 3.5.5. Sia f ∈ L1(−∞,+∞) o f ∈ L2(−∞,+∞), allora si haF [f(x)eiax](ω) = F [f(x)](ω + a).


Dimostrazione. come nel lemma precedente si ha

F [f(x)eiax](ω) = limL→∞

∫ +L

−Leix(a+ω)f(x)dx = F [f(x)](ω + a) (3.5.56)

Definizione 3.5.5. Se f, g ∈ L1(−∞,+∞) si definisce prodotto di convoluzione di f e g l’espres-sione

(f ∗ g)(x) =∫ +∞

−∞f(x− y)g(y)dy (3.5.57)

Lemma 3.5.6. Se f, g ∈ L1 allora f ∗ g ∈ L1 (in particolare |(f ∗ g)(x)| < +∞ per q.o. x).

Dimostrazione. si ha∫ +∞

−∞|(f ∗ g)(x)|dx =

∫ +∞

−∞

(∫ +∞

−∞|f(x− y)| |g(y)|dy

)dx = (3.5.58)

=∫ +∞

−∞

(∫ +∞

−∞|f(x′)| |g(y′)|dy′

)dx′ = ‖f‖1‖g‖1 ≤ +∞

Teorema 3.5.8. Se f, g ∈ L1(−∞,+∞) allora si ha F (f ∗ g) = F (f) · F (g).


F (f ∗ g)(ω) =∫ +∞

−∞eiωx

(∫ +∞

−∞f(x− y)g(y)dy

)dx = (3.5.59)

=∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞eiω(x−y)eiωyf(x− y)g(y)dxdy =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞eiωx

′eiωy

′f(x′)g(y′)dxdy′ =

=∫ +∞

−∞f(x′)eiωx

′dx′∫ +∞

−∞g(y′)eiωy

′dy′ = F (f)(ω) · F (g)(ω)

Definizione 3.5.6. Se f ∈ L1(−∞,+∞) e g ∈ Lp(−∞,+∞) si definisce il prodotto di con-voluzione di f e g come

(f ∗ g)(x) =∫ +∞

−∞f(x− y)g(y)dy (3.5.60)

Teorema 3.5.9. Se f ∈ L1(−∞,+∞) e g ∈ Lp(−∞,+∞) allora f ∗g ∈ Lp e ‖f ∗g‖p ≤ ‖f‖1‖g‖p.

Dimostrazione. poiche g ∈ Lp si ha gp ∈ L1, quindi per il lemma 3.5.6 per q.o. x si ha |f(x −y)gp(y)| ∈ L1 e quindi |f(x− y)|1/p|g(y)| ∈ Lp. Inoltre |f(x− y)|1/p′ ∈ Lp′ (dove p′ e l’esponenteconiugato di p). Per la disuguaglianza di Holder si ha allora

∫ +∞

−∞|f(x− y)| |g(y)|dy =

∫ +∞

−∞|f(x− y)|1/p′ |f(x− y)|1/p|g(y)|dy ≤ (3.5.61)

≤(∫ +∞

−∞|f(x− y)|dy

)1/p′ (∫ +∞

−∞|f(x− y)| |g(y)|pdy

)1/p

=

= ‖f‖1/p′1

(∫ +∞

−∞|f(x− y)| |g(y)|pdy

)1/p

quindi si ha|(f ∗ g)(x)|p ≤ ‖f‖p/p′1 (|f | ∗ |g|p)(x) (3.5.62)


quindi per l’equazione 3.5.58 si ha

‖f ∗ g‖pp ≤ ‖f‖p/p′

1 ‖f‖1‖gp‖1 = ‖f‖1+p/p′

1 ‖g‖pp = ‖f‖p1‖g‖pp (3.5.63)

e quindi ‖f ∗ g‖p ≤ ‖f‖1‖g‖p < +∞.

Teorema 3.5.10. Se f ∈ L1 e g ∈ L2 allora F (f ∗ g) = F (f) · F (g) dove F (f) e la trasformatain L1 e F (g), F (f ∗ g) trasformate in L2.

Dimostrazione. sia gn = gχ[−n,n], allora gn ∈ L2 ∩ L1. Sia hn = f ∗ gn, allora per il teorema 3.5.8si ha F (hn) = F (f)F (g). Poiche f ∈ L1 si ha

|F (f)(ω)| =∣∣∣∣∫ +∞

−∞f(x)eiωxdx

∣∣∣∣ ≤∫ +∞

−∞|f(x)|dx = ‖f‖1 (3.5.64)

quindi si ha∫ +∞

−∞|F (f)F (gn)−F (f)F (g)|2 =

∫ +∞

−∞|F (f)|2|F (gn)−F (g)|2 ≤ ‖f‖21‖F (gn)−F (g)‖22 (3.5.65)

e poiche ‖gn − g‖2 → 0 si ha allora F (f)F (gn)→ F (f)F (g) in L2, cioe F (hn)→ F (f)F (g) in L2.Inoltre per il lemma precedente si ha

‖f ∗ g − hn‖2 = ‖f ∗ (g − gn)‖2 ≤ ‖f‖1‖g − gn‖2 → 0 (3.5.66)

quindi hn → f ∗ g in L2, quindi F (hn)→ F (f ∗ g) in L2 e quindi F (f ∗ g) = F (f)F (g).

Nella parte restante di questa sezione si vedra che per certe f ∈ L1 si ha effettivamente F−1F =I seguendo il testo [8] della biblografia.

Lemma 3.5.7. Sia f ∈ L1(−∞,+∞) e definiamo fy(x) = f(x− y), allora la funzione y → fy euniformemente continua da R in L1.

Dimostrazione. sia ε > 0; poiche f ∈ L1 esiste una funzione g ∈ C∞c tale che ‖f − g‖1 ≤ ε; siag(x) = 0 se x ∈ (−A,A)c; poiche g e uniformemente continua esiste un δ ∈ (0, A) tale che se|s− t| < δ allora si ha |g(s)− g(t)| ≤ ε/(3A). Ne segue che

‖gs − gt‖1 =∫ +∞

−∞|g(x− s)− g(x− t)|dx ≤ ε

3A(2A+ δ) ≤ ε (3.5.67)

quindi si ha anche, se |t− s| < δ,

‖fs − ft‖1 ≤ ‖fs − gs‖1 + ‖gs − gt‖1 + ‖gt − ft‖1 ≤ (3.5.68)≤ ‖(f − g)s‖1 + ‖gs − gt‖1 + ‖(f − g)t‖1 ≤ 3ε

che conclude la dimostrazione.

Sia ora H(t) = e−|t| e per ogni λ > 0 definiamo hλ nel seguente modo:

hλ(x) =∫ +∞

−∞

H(λt)2π

eitxdt =1π

λ

λ2 + x2(3.5.69)

notiamo inoltre che si ha∫ +∞−∞ hλ(x)dx = 1, 0 < H(t) ≤ 1 e che H(λt) tende puntualmente a 1

quando λ→ 0.

Lemma 3.5.8. Se f ∈ L1 allora si ha

(f ∗ hλ)(x) =∫ +∞

−∞H(λt)

f(t)2π

e−ixtdx (3.5.70)


Dimostrazione. usando il teorema di Fubini si ha

(f ∗ hλ)(x) =∫ +∞

−∞f(x− y)

(∫ +∞

−∞

H(λt)2π

eitydt)

dy = (3.5.71)

=∫ +∞

−∞

H(λt)2π

(∫ +∞

−∞f(x− y)eitydy

)dt =

=∫ +∞

−∞

H(λt)2π

(∫ +∞

−∞f(z)e−itxeitzdz

)dt =

=∫ +∞

−∞

H(λt)2π

f(t)e−itxdt

Lemma 3.5.9. Se f ∈ L1 allora limλ→0 ‖f ∗ hλ − f‖1 = 0.


(f ∗ hλ)(x)− f(x) =∫ +∞

−∞[f(x− y)− f(x)]hλ(y)dy (3.5.72)

quindi si ottiene

|(f ∗ hλ)(x)− f(x)| ≤∫ +∞

−∞|f(x− y)− f(x)|hλ(y)dy (3.5.73)

integrando rispetto a x ed applicando il teorema di Fubini si ottiene

‖f ∗ hλ − f‖1 ≤∫ +∞

−∞‖fy − f‖1hλ(y)dy = (3.5.74)

=∫ +∞

−∞‖fy − f‖1h1(y/λ)

λdy =

∫ +∞

−∞‖fλx − f‖1h1(x)dx

se λ→ 0 per il lemma 3.5.7 l’integrando tende puntualmente a 0, inoltre l’integrando e maggioratoin modulo da (‖fλx‖1 + ‖f‖1)h1(x) = 2‖f‖1h1(x) ∈ L1 quindi si conclude applicando il teoremadella convergenza dominata di Lebesgue.

Teorema 3.5.11 (Formula di inversione). Se f ∈ L1 e f ∈ L1 allora per q.o. x ∈ R si ha

f(x) =1

2π

∫ +∞

−∞f(t)e−itxdt (3.5.75)

Dimostrazione. per il lemma 3.5.8 si ha

(f ∗ hλ)(x) =∫ +∞

−∞H(λt)

f(t)2π

e−ixtdx (3.5.76)

l’integrale a secondo membro e maggiorato da |f(t)|/(2π) ∈ L1 e H(λt) tende puntualmente a 1 seλ→ 0, quindi per il teorema della convergenza dominata si ha

limλ→0

∫ +∞

−∞H(λt)

f(t)2π

e−ixtdx =1

2π

∫ +∞

−∞f(t)e−itxdx (3.5.77)

dal lemma 3.5.9 segue inoltre che esiste una successione λn tale che λn → 0 e che per quasi ognix si ha limn→∞(f ∗ hλn)(x) = f(x), che conclude.

Corollario 3.5.6. Se f, g ∈ L1 e f = g allora f e g coincidono q.o.

3.6. OPERATORI CHIUSI E CHIUDIBILI 85

Dimostrazione. si ha F (f − g) = F (f) − F (g) = 0, quindi dal teorema precedente segue f(x) −g(x) = 0 per q.o. x.

Lemma 3.5.10. Se f ∈ L1 allora F−1(f) e una funzione continua.

Dimostrazione. se tn → t allora si ha

|F−1(f)(tn)− F−1(f)(t)| ≤ 12π

∫ +∞

−∞|f(x)| |e−itnx − e−itx|dx (3.5.78)

l’integrando del secondo memebro tende puntalmente a 0 q.o. ed e maggiorato da 2|f(x)|, quindiper il teorema della convergenza domiata si conclude.

Corollario 3.5.7. Se f ∈ L1 e continua e f ∈ L1 allora f = F−1f .

Dimostrazione. per il teorema precedente f e F−1f coincidono q.o. e poiche sono entrambecontinue, per il lemma precedente, esse coincidono ovunque.

3.6 Operatori chiusi e chiudibili

Definizione 3.6.1. Un operatore lineare T : DT ⊂ H → H (non necessariamente limitato) si dicechiuso se per ogni successione xn di DT tale che esistono x, y ∈ H tali che xn → x e Txn → ysi ha x ∈ DT e y = Tx.

Nel seguito le coppie ordinate di elementi, usualmente indicate con (x, y), saranno indicate conx, y per non creare confusione con il prodotto scalare.

Sia K = H × H = x, y|x ∈ H, y ∈ H il prodotto cartesiano di H con se stesso. Si puodotare K della struttura di spazio vettoriale definendo x, y+ z, t = x+ z, y + t e αx, y =αx, αy. Si puo inoltre definire in K il prodotto scalare (semplice verifica) (x, y, a, b)K =(x, a)H + (y, b)H , dove ( , )H indica il prodotto scalare in H; da questo prodotto deriva la norma‖x, y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2. Dalla definizione segue subito che data una successione xn, ynn inK essa e di Cauchy se e solo se le due successioni xnn, ynn sono di Cauchy in H. Vediamoora che K costruito in questo modo e uno spazio di Hilbert: sia xn, ynn una successione diCauchy in K, allora xnn, ynn sono successioni di Cauchy in H, quindi esistono x, y ∈ H taliche xn → x e yn → y ma allora si ha

‖xn, yn − x, y‖2 = ‖xn − x, yn − y‖2 = ‖xn − x‖2 + ‖yn − y‖2 → 0 (3.6.1)

quindi x, y = limn→∞xn, yn in K, che e quindi completo.

Definizione 3.6.2. Sia T : DT ⊂ H → H un operatore lineare. Si definisce grafico di T ilsottoinsieme GT di K definito da

GT = x, Tx|x ∈ DT (3.6.2)

Poiche T e lineare evidentemente GT e un sottospazio vettoriale di K.

Lemma 3.6.1. GT e un sottospazio chiuso di H ⇔ T e un operatore chiuso.

Dimostrazione. ⇐) Sia xn, ynn una successione di elementi di GT tale che xn, yn → x, y;cio equivale ad affermare che xn → x e yn → y, inoltre si ha yn = Txn, quindi si ha xn → x eTxn → y. Poiche T e un operatore chiuso si ha x ∈ DT e y = Tx, quindi x, y ∈ GT che e quindichiuso.⇒) sia xnn una successione di DT tale che xn → x e Txn → y, allora si ha xn, Txn → x, y

in K e poiche GT e chiuso si ha x, y ∈ GT , cioe x ∈ DT e y = Tx, quindi T e un operatorechiuso.


Lemma 3.6.2. Sia T : H → H un operatore lineare, allora se T e limitato T e anche chiuso.

Dimostrazione. se xn → x e Txn → y, allora dalla continuita di T segue y = limn→∞ Txn = Tx,quindi T e chiuso.

Vale anche l’inverso del teorema precedente anche se la dimostrazione richiede argomenti piusottili (per la dimostrazione vedi l’appendice F).

Teorema 3.6.1 (Teorema del grafico chiuso (Banach)). Se T : H → H e un operatore linearechiuso allora T e limitato.

Definizione 3.6.3. Sia T : DT ⊂ H → H un operatore lineare (non necessariamente limitato)tale che DT = H (cioe il dominio di T e denso in H); se dato x ∈ H esiste x∗ ∈ H tale che perogni y ∈ DT si abbia (x, Ty) = (x∗, y) allora si dice che x ∈ DT+ e si pone x∗ = T+x.

In generale non e detto che DT+ 6= 0, in particolare non e detto esista (T+)+; inoltre se un x∗,come nella definizione, esiste allora e unico: se esistessero x∗1, x

∗2 tali che (x, Ty) = (x∗1, y) = (x∗2, y)

per ogni y ∈ DT si avrebbe (x∗1 − x∗2, y) = 0 per ogni y ∈ DT e poiche DT = H si avrebbe anche,per la continuita del prodotto scalare, (x∗1 − x∗2, y) = 0 per ogni y ∈ H e quindi x∗1 = x∗2.

Lemma 3.6.3. Sia T : DT → H con DT = H, allora T+ : DT+ → H e un operatore lineare.

Dimostrazione. si deve mostrare che se x, z ∈ DT+ e α, β ∈ C allora si ha αx + βz ∈ DT+ eT+(αx+βz) = αT+x+βT+z. Siano x, z ∈ DT+ , allora esistono x∗, z∗ come nella definizione 3.6.3e per ogni y ∈ DT si ha

(αx+ βz, Ty) = α(x, Ty) + β(z, Ty) = α(x∗, y) + β(z∗, y) = (αx∗ + βz∗, y) (3.6.3)

quindi αx+ βz ∈ DT+ e (αx+ βz)∗ = αx∗ + βz∗, cioe T+(αx+ βz) = αT+x+ βT+z.

Definizione 3.6.4. Sia T : DT → H un operatore lineare tale che DT = H, allora l’operatorelineare T+ : DT+ → H della definizione 3.6.3 e del lemma 3.6.3 si chiama operatore aggiunto diT .

Lemma 3.6.4. Sia T : DT → H un operatore lineare tale che DT = H, allora T+ e un operatorechiuso.

Dimostrazione. sia xnn una successione in DT+ tale che xn → x e T+xn → y, allora per ogniz ∈ DT si ha, per la continuita del prodotto scalare, (xn, T z) → (x, Tz) e (T+xn, z) → (y, z),quindi dall’identita (xn, T z) = (T+xn, z) (valida per ogni z ∈ DT ) segue (x, Tz) = (y, z) per ogniz ∈ DT , quindi x ∈ DT+ e y = T+x, quindi T+ e chiuso.

Esempio 3.6.1. Esiste un operatore lineare T : DT → H tale che DT = H e DT+ 6= H, per ilquale quindi non esiste (T+)+.

Dimostrazione. sia H uno spazio di Hilbert separabile di dimensione infinita, sia enn una baseortonormale numerabile e sia DT l’insieme delle combinazioni lineari finite di vettori di enn, dimodo che DT = H. Fissato v 6= 0 definiamo per ogni n l’operatore Ten = v e si prolunghi T perlinearita suDT (cio e possibile senza ulteriori ipotesi poicheDT e lo spazio delle combinazioni linearifinite degli enn). Si vede subito che T cosı definito non e limitato: si ha infatto ‖∑n

k=1 ek‖2 = ne ‖T (

∑nk=1 ek)‖2 = ‖nv‖2 = n2‖v‖2 e quindi

‖T (∑nk=1 en)‖

‖∑nk=1 ek‖

=√n‖v‖ → ∞ (3.6.4)

Sia ora x ∈ DT+ , allora esiste x∗ tale che (x, Ty) = (x∗, y) per ogni y ∈ DT , in particolare pery =

∑Nk=1 akek si ha

(x∗,N∑

k=1

akek) = (x, T (N∑

k=1

akek)) = (x, vN∑

k=1

ak) = (x, v)N∑

k=1

ak (3.6.5)


Sia ora V lo spazio delle combinazioni lineari del tipo∑Nk=1 akek con

∑Nk=1 ak = 0; mostriamo

che V = H: sono contenuti in V i vettori

z1 = e1 − e2; z2 = e1 + e2 − 2e3; zn = e1 + · · ·+ en − nen+1 (3.6.6)

sia u ∈ H tale che (u, zk) = 0 per ogni k, allora (u, z1) = 0, cioe (u, e1) = (u, e2); (u, z2) = 0,cioe (u, e1) + (u, e2) = 2(u, e3), quindi (u, e1) = (u, e2) = (u, e3) e per induzione e sempice vedereche per ogni n si deve avere (u, en) = (u, e1); ma per la disuguaglianza di Bessel si deve avere∑∞k=1 |(u, ek)|2 < +∞, quindi si deve avere per ogni n che (u, en) = 0, ma en e una base, quindi

u = 0, quindi l’unico vettore ortogonale a V e 0, quindi V = H.Dalla fomula 3.6.5 segue che x∗ e ortogonale a V , quindi x∗ = 0 per ogni x ∈ DT+ . Sia

ora∑Nk=1 akek un vettore tale che

∑Nk=1 ak 6= 0, allora da 3.6.5 e x∗ = 0 segue x ⊥ v, quindi

DT+ ⊂ v⊥. D’altro canto se x ⊥ v si ha

(x, T (N∑

k=1

akek)) = (x, vN∑

k=1

ak) = (x, v)N∑

k=1

ak = 0 = (x∗,N∑

k=1

akek) (3.6.7)

quindi v⊥ ⊂ DT+ e quindi DT+ = v⊥, da cui segue che DT+ non e denso in H, infatti se fosse densosi dovrebbe avere, per la continuita del prodotto scalare, (DT+)⊥ = 0, mentre si ha v ∈ (DT+)⊥

e v 6= 0.

Esempio 3.6.2. Sia H = L2(−π, π), DT = C([−π, π]) lo spazio delle funzioni continue su [−π, π]e sia T : DT ⊂ H → H definito da Tf = f(0), allora T non e chiuso.

Dimostrazione. siano fn = e−n|x|, allora si vede subito che fn → 0 in L2(−π, π) e che per ogni nsi ha (Tfn)(x) = 1, ma 1 6= T (0), quindi T non e chiuso.

Esempio 3.6.3. Sia H = L2(−∞,+∞), DQ = f ∈ L2(−∞,+∞)|xf(x) ∈ L2(−∞,+∞) edefiniamo Q : DQ ⊂ H → H come (Qf)(x) = xf(x), allora Q non e limitato ed e chiuso.

Dimostrazione. vediamo innanzitutto che Q non e limitato: sia fn(x) = 1xχ[1,n+1], allora si ha

‖Qf‖2 =∫ +∞

−∞|xfn(x)|2dx = n; ‖fn‖2 = 1− 1

n+ 1(3.6.8)

da cui segue che

‖Q‖2 ≥ ‖Qfn‖2

‖fn‖2 =n

1− 1n+1

→ +∞ (3.6.9)

quindi Q non e limitato. Vediamo ora che Q e chiuso: sia fn una successione in DQ tale chefn → f e Qfn → g, allora si deve vedere che f ∈ DQ e g = Qf . Notiamo innanzitutto che, fissataa > 0, si ha

∫ a

−a|xf(x)− xfn(x)|2dx ≤ a2

∫ +a

−a|f(x)− fn(x)|2dx ≤ a2‖f − fn‖2 (3.6.10)

e quindi si ha (sempre per a fissato)∫ +a

−a|xf(x)− g(x)|2 =

∫ +a

−a|xf(x)− xfn(x) + xfn(x)− g(x)|2dx ≤ (3.6.11)

≤ 2∫ +a

−a|xf(x)− xfn(x)|2 + 2

∫ +a

−a|xfn(x)− g(x)|2 ≤

≤ 2a2‖f − fn‖2 + 2‖Qfn − g‖2 → 0

quindi xf(x) = g(x) per q.o. x ∈ [−a, a] e per la genericita di a si ottiene xf(x) = g(x) q.o.;inoltre per ipotesi si ha f, g ∈ L2(−∞,+∞) ma da xf(x) = g(x) q.o. segue allora che xf(x) ∈L2(−∞,+∞) e quindi f ∈ DQ e xf(x) = g(x) q.o. implica xf(x) = g(x) in L2(−∞,+∞), quindig = Qf e quindi Q e un operatore chiuso.


Esempio 3.6.4. Sia H = L2(0, π), DT = f ∈ H|f ′(x) esiste per q.o. x e f ′ ∈ H e definiamoT : DT ⊂ H → H come Tf = f ′, allora T non e chiuso.

Dimostrazione. le funzioni semplici (cioe le funzioni ”a gradini”) sono evidentemente contenute inDT , inoltre f(x) = x puo essere approssimato uniformemente (e quindi in L2(0, π)) da funzionisemplici e sia fnn una successione di funzioni semplici tali che fn → f in L2, allora si ha Tfn = 0per ogni n, quindi 0 = limn→∞ Tfn ma 0 6= Tf = 1, quindi T non e chiuso.

Teorema 3.6.2. Sia T : DT ⊂ H → H un operatore lineare tale che se xnn e una successionein DT , xn → 0 e Txn → y allora si abbia y = 0. Allora si puo estendere T nel seguente modo: sexnn e una successione di DT tale che xn → x e Txn → y, si definisce Tx = y. Inoltre l’operatorecosı esteso e chiuso.

Dimostrazione. affinche l’estensione dell’ipotesi abbia senso si deve verificare che se xnn, xnnsono successioni di DT tali che xn → x, xn → x e Txn → y e T xn → y allora y = y. Supponiamoper assurdo y 6= y e poniamo dn = xn − xn, allora dnn e una successione di DT tale che dn → 0e Tdn → y − y, quindi per ipotesi si deve avere y − y = 0, assurdo.

Verifichiamo ora che T e chiuso: notiamo innanzitutto che DT e il sottospazio di H costituitodagli x tali che esistano una successione xnn di DT e y ∈ H tali che xn → x e Txn → y. Sia orapnn una successione di DT tale che pn → p e Tpn → q. Vediamo innanzitutto che p ∈ DT : perogni pn esiste una successione p(i)

n i di DT tale che p(i)n → pn e Tp(i)

n → Tpn e non e quindi difficilemostrare che p(n)

n n e una successione di elementi di DT tale che p(n)n → p e Tp(n)

n → q, quindip ∈ DT . Inoltre per costruzione si ha Tp = limn→∞ Tp

(n)n = q, che mostra che T e chiuso.

Corollario 3.6.1. Condizione necessaria e sufficiente affinche un operatore T : DT ⊂ H → Hammetta una estensione chiusa e che per ogni successione xnn di DT tale che xn → 0 e Txn → ysi abbia y = 0.

Dimostrazione. il teorema precedente mostra che la condizione e sufficiente; vediamo che e anchenecessaria: sia T un operatore per cui esiste una successione xnn di DT tale che xn → 0 eTxn → y 6= 0 e supponiamo per assurdo che esista una estensione chiusa T : DT ⊂ H → Hdell’operatore T , allora per definizione di estensione si deve avere DT ⊂ DT e T |DT = T . Siaora xnn la successione precedentemente citata, allora essa e contenuta in DT e si ha xn → 0 eTxn = Txn → y 6= 0, ma poiche T e chiuso per ipotesi si deve avere y = T0 = 0, assurdo.

Definizione 3.6.5. Sia T : DT ⊂ H → H un operatore lineare; esso si dice chiudibile se ammetteuna estensione chiusa. Sia T una estensione chiusa di T , essa si chiama estensione minimale diT se soddisfa la relazione GT = GT , cioe il grafico dell’estensione di T e la chiusura del grafico diT .

Lemma 3.6.5. Sia T : DT ⊂ H → H un operatore chiudibile, allora esiste sempre una estensioneminimale di T .

Dimostrazione. per provare il lemma bastera mostrare che l’estensione definita nel teorema 3.6.2e l’estensione minimale di T . Sia x, y ∈ GT , allora per come e stato costruito T deve esistereuna successione xnn di DT tale che xn → x e Txn → y, cioe xn, Txn → x, y in K,inoltre xn, Txn ∈ GT e quindi GT ⊂ G(T ). Sia ora x, y ∈ GT , allora esiste una successionexn, Txnn tale che xn, Txn → x, y in K, cioe xn → x e Txn → y, ma allora per definizionesi ha x ∈ DT e Tx = y, quindi GT ⊂ GT .

Se T : DT ⊂ H → H non e chiudibile la non esistenza di una estensione minimale e dovutaal fatto che GT non puo essere grafico di nessun operatore, poiche contiene elementi della formaf, g1, f, g2, dove g1 6= g2. Consideriamo ad esempio l’operatore dell’esempio 3.6.2; e semplicevedere che l’operatore T ivi considerato non e chiudibile usando direttamente la definizione ma quıprocederemo in altro modo: se T fosse chiudibile esisterebbe una sua estensione chiusa T ed allorasi dovrebbe avere GT ⊂ GT e GT dovrebbe essere chiuso, allora si dovrebbe anche avere GT ⊂ GT .


Mostriamo ora che GT non puo essere contenuto nel grafico di nessun operatore (chiuso o no), ilche concludera: consideriamo le funzioni

fn =

0 su [−π, 0]nx su (0, 1/n]1 su (1/n, 1)

fn =

0 su [−π,−1/n)nx+ 1 su (−1/n, 0)1 su [0, π]

f =

0 su [−π, 0]1 su (0, π] (3.6.12)

allora e semplice vedere che fn → f e fn → f , Tfn = 0 e T fn = 1, quindi GT contiene sia f, 0che f, 1 e quindi non puo essere contenuto nel grafico di nessun operatore.

Esempio 3.6.5. Sia H = L2(0, π), DT = C1([0, π]), cioe lo spazio delle funzioni constinue su[0, π] e derivabili con derivata continua in (0, π) che ammette estensione continua a [0, π], e siaTf = f ′, allora T non e chiuso ma e chiudibile.

Dimostrazione. vediamo che T non e chiuso: definiamo

gn =

0 su [0, π/2]n(x− π

2 ) su (π/2, π/2 + 1/n)1 su [π/2 + 1/n, π]

g =

0 su [0, π/2]1 su (π/2, π] (3.6.13)

definiamo ora fn(x) =∫ x

0gn(t)dt e f(x) =

∫ x0g(t)dt, allora si ha fn ∈ DT e f 6∈ DT . Mostriamo

che fn → f uniformemente (e quindi in L2(0, π)):

∣∣∣∣∫ x

0

g(t)dt−∫ x

0

gn(t)dt∣∣∣∣ ≤

∫ π/2+1/n

π/2

|g(t)− gn(t)|dt ≤ 2/n (3.6.14)

quindi si ha fn ∈ DT , fn → f ∈ H, Tfn = gn → g ∈ H ma f 6∈ DT , quindi T non e chiuso.Verifichiamo che T e chiudibile: sia fn una successione di DT tale che fn → 0 e f ′n → g;

mostriamo che g = 0. Sia φ ∈ C∞c ([0, π]), allora si ha

(g, φ) = (lim f ′n, φ) = lim(f ′n, φ) = lim∫ π

0

f ′nφ = − lim∫ π

0

fnφ′ = (3.6.15)

= − lim(fn, φ′) = −(lim fn, φ′) = −(0, φ′) = 0

quindi g ⊥ C∞c ([0, π]) e quindi g = 0.

Teorema 3.6.3. Sia T : DT ⊂ H → H un operatore lineare, DT = H (quindi esiste T+) eDT+ = H (quindi esiste T++), allora T e chiudibile e T++ e una estensione (chiusa per il lemma3.6.4) di T .

Dimostrazione. verifichiamo prima di tutto che T e chiudibile: sia xnn una successione di DT

tale che xn → 0 e Txn → y e sia z ∈ DT+ , allora si ha

(y, z) = (limTxn, z) = lim(Txn, z) = lim(xn, T+z) = (limxn, T+z) = (0, T+z) = 0 (3.6.16)

quindi y ⊥ DT+ , ma si ha per ipotesi DT+ = H, quindi y ⊥ H e y = 0, quindi T e chiudibile.Verifichiamo ora che T++ e una estensione di T : se x ∈ DT+ e y ∈ DT si ha (x, Ty) = (T+x, y),

cioe scrivendo T+ = A si ha (y,Ax) = (Ty, x) cioe y ∈ DA+ e A+y = Ty, cioe y ∈ DT++ eT++y = Ty, quindi DT ⊂ DT++ e T++|DT = T , quindi T++ e una estensione di T .

Al teorema seguente premettiamo un semplice lemma:

Lemma 3.6.6. Sia V un sottospazio di H e U : H → H un operatore unitario, allora si haUV = UV .


Dimostrazione. se x ∈ UV allora esiste una successione vnn in V tale che x = limUvn; inoltresi ha ‖vn− vm‖ = ‖Uvn−Uvm‖ e poiche la successione Uvnn e convergente (a x) e convergenteanche la successione vnn, sia vn → z, allora si ha z ∈ V e x = limUvn = U lim vn = Uz, quindix ∈ UV e quindi UV ⊂ UV .

Se invece x ∈ UV allora esiste z ∈ V tale che x = Uz, inoltre esiste una successione vnn di Vtale che vn → z, quindi x = U lim vn = limUvn; la successione Uvnn e una successione di UV ,quindi x ∈ UV , quindi infine UV ⊂ UV .

Teorema 3.6.4. Sia T : DT ⊂ H → H un operatore lineare chiudibile tale che DT = H, allora siha anche DT+ = H e T++ = T (dove T indica l’estensione chiusa minimale di T ).

Dimostrazione. su K = H ×H consideriamo l’operatore lineare U : K → K definito da Ux, y =y,−x, allora si ha DU = ImU = K, inoltre si ha

‖Ux, y‖2 = ‖y,−x‖2 = ‖y‖2 + ‖x‖2 = ‖x, y‖2 (3.6.17)

quindi U e un operatore unitario (vedi lemma 3.4.3). Inoltre si ha U2x, y = Uy,−x =−x,−y, quindi U2 = −I. Servira inoltre notare che se U : H → H e un operatore unitarioallora si ha U(A⊕B) = UA⊕ UB (la verifica e immediata).

Siano x ∈ DT+ e y ∈ DT , allora si ha (x, Ty) − (T+x, y) = 0, cioe (x, T+x, Ty,−y) = 0quindi (x, T+x, Uy, Ty) = 0; inoltre x, T+x e un generico elemento di GT+ mentre y, Tye un generico elemento di GT , quindi si ottiene GT+ ⊥ UGT . Per la continuita del prodottoscalare si ha allora anche GT+ ⊥ UGT e per il lemma precedente GT+ ⊥ UGT e per la definizionedi estensione chiusa minimale si ha GT+ ⊥ UGT ; inoltre sia GT+ che UGT sono chiusi. Sia oraa, b ∈ K tale che a, b ⊥ UGT , allora per ogni y ∈ DT si ha

0 = (a, b, Uy, Ty) = (a, b, Ty,−y) = (a, Ty)− (b, y) (3.6.18)

in particolare l’equazione precedente vale per ogni y ∈ DT (poiche DT ⊂ DT ) quindi a ∈ DT+ eb = T+a, quindi a, b ∈ GT+ , quindi (UGT )⊥ ⊂ GT+ ; inoltre si e visto che GT+ ⊥ UGT , cioeGT+ ⊂ (UGT )⊥, quindi si ottiene

K = GT+ ⊕ UGT (3.6.19)

Applicando U alla precedente uguaglianza e ricordando che U2 = −I, UK = K e che −GT = GTsi ottiene

K = UGT+ ⊕GT (3.6.20)

Quindi, riassumendo, se T e un operatore lineare tale che DT = H allora GT+ e il complementoortogonale di UGT (vedi equazione 3.6.19). Se si suppone che sia anche DT+ = H si ottieneallora che GT++ e il complemento ortogonale di UG

T+ , ma poiche T+ e chiuso si ha T+ = T+ equindi GT++ = (UGT+)⊥, ma per l’equazione 3.6.20 si ha (UGT+)⊥ = GT e quindi si concludeche GT++ = GT e quindi infine T++ = T .

Resta quindi solo da dimostrare che DT+ = H: sia x ⊥ DT+ , allora per ogni z ∈ DT+ si ha

0 = (x, z) = (x, z)− (0, T+z) = (0, T+z)− (x, z) = (3.6.21)= (0, x, T+z,−z) = (0, x, Uz, T+z)

quindi 0, x ∈ (UGT+)⊥ e quindi per 3.6.20 0, x ∈ GT , quindi x = T0 = 0, quindi l’unicovettore ortogonale a DT+ e 0, quindi H = DT+ .

Riportiamo ora alcuni fatti non elementari circa la relazione tra derivazione ed integrazionesecondo Lebesgue per le cui dimostrazioni si rimanda all’appendice G.

Teorema 3.6.5 (Teorema Fondamentale del Calcolo, Lebesgue). Sia f ∈ L1(a, b) e defini-amo F (x) =

∫ xaf(t)dt, allora F e derivabile per q.o. x e l’uguaglianza F ′ = f vale q.o.


Definizione 3.6.6. Sia J ⊂ R un intervallo. Una funzione f : J → C e detta assolutamentecontinua se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che per ogni famiglia finita (ai, bi)i di intervallidisgiunti contenuti in J tale che

n∑

i=1

|bi − ai| < δ (3.6.22)

si abbian∑

i=1

|f(bi)− f(ai)| < ε (3.6.23)

Dalla definizione segue immediatamente che ogni funzione assolutamente continua e ancheuniformemente continua (basta prendere un intervallo solo) ma non e vero il viceversa (come sivedra tra poco).

Lemma 3.6.7. sia f ∈ L1(a, b) e sia F (x) =∫ xaf(t)dt, allora F e assolutamente continua.

Teorema 3.6.6 (Teorema Fondamentale del Calcolo). Sia f : [a, b] → C una funzioneassolutamente continua, allora f e derivabile q.o., f ′ ∈ L1(a, b) e si ha per ogni a ≤ x ≤ b larelazione

f(x)− f(a) =∫ x

a

f ′(t)dt (3.6.24)

Corollario 3.6.2. Una funzione f : [a, b]→ C puo essere scritta nella forma

f(x) = f(a) +∫ x

a

φ(t)dt (3.6.25)

per qualche φ ∈ L1(a, b) se e solo se f e assolutamente continua ed in questo caso si ha φ(t) = f ′(t)per q.o. t ∈ (a, b).

Teorema 3.6.7 (Formula d’integrazione per parti). Se f, g : [a, b] → C sono funzioniassolutamente continue e x, y ∈ [a, b] allora si ha

∫ y

x

f ′(t)g(t)dt = f(y)g(y)− f(x)g(x)−∫ y

x

f(t)g′(t)dt (3.6.26)

Vediamo ora usando il teorema 3.6.6 come non tutte le funzioni uniformemente continue sianoassolutamente continue costruendo la funzione di Cantor-Vitali (esempio tratto dal testo [4] dellabibliografia). Definiamo induttivamente una successione di funzioni definite su [0, 1]:

V0(x) = x; Vk+1(x) =

12Vk(3x) x ∈ [0, 1/3]12 x ∈ (1/3, 2/3)12 + 1

2Vk[3(x− 2/3)] x ∈ [2/3, 1](3.6.27)

E immediato verificare per induzione la seguente affermazione: ogni Vk e continua e Vk(0) = 0,Vk(1) = 1.

Vediamo ora per induzione che |Vk(x) − Vk−1(x)| ≤ 22−k. Per k = 1 questa affermazione sivede banalmente essere vera. Supponiamo ora sia vera per k = n e vediamo che e vera anche perk = n+ 1: sia ad esempio x ∈ [0, 1/3], allora si ha

|Vn+1(x)− Vn(x)| = |12Vn(3x)− Vn(x)| = |1

2Vn(y)− Vn(y/3)| = (3.6.28)

= |12Vn(y)− 1

2Vn−1(y)| = 1

2|Vn(y)− Vn−1(y)| ≤ 1

222−n = 22−(n+1)

nei casi x ∈ (1/3, 2/3) e x ∈ [2/3, 1] la tesi si dimostra con lo stesso trucco e quindi la tesi e mostrata.Da cio segue che la successione di funzioni Vkk converge uniformemente ad una funzione continua,


V che essendo continua su un compatto e anche uniformemente continua. Questa e la funzione diCantor-Vitali.

Sia ora C l’insieme di Cantor (che e un insieme chiuso) e sia x ∈ Cc, allora dalla definizione3.6.27 e semplice dedurre l’esistenza di due numeri vx, Nx tali he se k > Nx allora si ha Vk(x) = vxin un intorno di x, quindi in particolare V (x) = vx in un intorno di x, quindi per ogni x ∈ Cc lafunzione di Cantor-Vitali e derivabile con derivata nulla e poiche C e un insieme trascurabile si haquindi V ′(x) = 0 per q.o. x ∈ (0, 1). Inoltre dal fatto che per ogni k si ha Vk(0) = 0 e Vk(1) = 1segue che V (0) = 0 e V (1) = 1. Supponiamo quindi per assurdo che V sia assolutamente continua,allora si avrebbe

V (1)− V (0) =∫ 1

0

V ′(t)dt = 0 (3.6.29)

quindi 1 = V (1) = V (0) = 0, assurdo, quindi V non puo essere assolutamente continua.Si e visto nell’esempio 3.6.5 che se H = L2(0, π), DT = C1([0, π]) e Tf = f ′, allora T non e chiu-

so ma e chiudibile. Utilizzando il teorema 3.6.4 ed i teoremi enunciati sulle funzioni assolutamentecontinue si puo determinare l’estensione chiusa minimale di T .

Esempio 3.6.6. Siano H = L2(0, π), DT = C1([0, π]) e Tf = f ′, allora l’estensione chiusaminimale T e T : DT ⊂ H → H, dove DT = f : [0, π] → C|f assolutamente continua eTf = f ′.

Dimostrazione. cerchiamo di determinare T+: se h ∈ DT esiste h∗ ∈ H tale che (h, Tf) = (h∗, f)per ogni f ∈ C1([0, π]), cioe

(h, f ′) =∫ π

0

h∗(x)f(x)dx (3.6.30)

sia oraH∗(x) =∫ x

0h∗(t)dt, allora (vedi lemma 3.6.7)H∗ e assolutamente continua, quindi (teorema

3.6.7) si puo integrare per parti e per il teorema 3.6.5 si ottiene

(H∗, f ′) =∫ π

0

H∗(x)f ′(x)dx = H∗(π)f(π)−∫ π

0

h∗(x)f(x)dx = f(π)(h∗, 1)− (h∗, f) (3.6.31)

quindi(H∗ + h, f ′) = f(π)(h∗, 1) (3.6.32)

Se si considera ora f(x) = sinnx, quindi f(π) = 0, f ′(x) = n cosnx, si ottiene che (h+H∗, cosnx) =0 per ogni n > 0 quindi, poiche cosnxn∈N e una base ortogonale di L2(0, π), si ottiene h(x) +H∗(x) = cost. La costante puo essere determinata ponendo x = 0, ottenendo quindi

h(x)− h(0) =∫ x

0

(−h∗(t))t (3.6.33)

quindi per il corollario 3.6.2 si ha h′(x) = −h∗(x) per q.o. x ∈ (0, π), quindi l’equazione (h, f ′) =(h∗, f) diventa (h, f ′) + (h′, f) = 0 cioe

∫ π0

(h(x)f(x))′dx = 0 e quindi h(π)f(π)− h(0)f(0) = 0; aquesto punto scegliendo ad esempio f(x) = x e f(x) = x− π si ottiene h(π) = h(0) = 0. quindi siottiene

DT+ ⊂ h : [0, π]→ C|h assolutamente continua e h(0) = h(π) = 0 (3.6.34)

e T+h = −h′. D’altro canto se h e nell’insieme a destra di 3.6.34 allora si ha, per il teorema 3.6.7,

(h, Tf) =∫ π

0

h(x)f ′(x)dx = −∫ π

0

h′(x)f(x)dx = (−h′, f) (3.6.35)

e quindi h ∈ DT+ , quindi si ottiene

DT+ = h : [0, π]→ C|h assolutamente continua e h(0) = h(π) = 0 (3.6.36)


e T+h = −h′. Determiniamo ora T++: se p ∈ DT++ allora esiste p∗ tale che per ogni h ∈ DT+ siabbia (p, T+h) = (p∗, h), quindi, definendo P ∗(x) =

∫ x0p∗(t)dt, si ottiene, analogamente a 3.6.31,

(P ∗, h′) =∫ π

0

P ∗(x)h′(x)dx = −∫ π

0

p∗(x)h(x)dx = −(p∗, h) (3.6.37)

quindi (p, T+h) = −(p, h′) = (p∗, h) = −(P ∗, h′), quindi (p−P ∗, h′) = 0. Scegliendo h(x) = sinnxsi ottiene (p − P ∗, cosnx) = 0 per ogni n > 0 e quindi p(x) − P ∗(x) = cost, da cui p(x) − p(0) =∫ x

0p∗(t)dt, quindi p e assolutamente continua e p∗ = p′, quindi si ha

DT++ ⊂ p : [0, π]→ C|p assolutamente continua (3.6.38)

e T++p = p′. D’altro canto se p e assolutamente continua e h ∈ DT+ si ha

(p∗, h)− (p, T+h) = (p∗, h) + (p, h′) = (p′, h) + (p, h′) =∫ π

0

ddt

(ph)dt = [p(x)h(x)]π0 = 0 (3.6.39)

quindi si ottiene infine

DT++ = p : [0, π]→ C|p assolutamente continua (3.6.40)

e Tp = T++p = p′.

Appendice A

Spazi Lp

In questa appendice ci si limitera a trattare spazi Lp sul campo reale in quanto la maggior partedei risultati ottenuti si puo dimostrare immediatamente anche per il campo complesso separandoparte reale e immaginaria.

A.1 Definizioni

Definizione A.1.1. Sia M ⊂ Rn un insieme misurabile e sia f : M → R una funzione reale;si dice che f appartiene all’insieme Lp(M) se fp e integrabile su M , 1 ≤ p < ∞; si dice chef ∈ L∞(M) se esiste C > 0 tale che |f(x)| ≤ C per q.o. x ∈M e f e misurabile.

Definizione A.1.2. Siano f, g ∈ Lp(M); si scrivera f ∼ g (f e equivalente a g) se f = g quasiovunque in M .

E immediato verificare il seguente lemma:

Lemma A.1.1. La relazione ∼ introdotta nella definizione precedente e una relazione di equiva-lenza in Lp(M).

Definizione A.1.3. Si indica con Lp(M) lo spazio quoziente Lp(M)/ ∼. Se a, b ∈ Lp(M), sianof, g ∈ Lp(M) tali che a = [f ] e b = [g], definiamo allora

a+ b = [f + g]

λa = [λf ]

Si vede semplicemente che le definizioni precedenti sono non ambigue, cioe non dipendono daiparticolari rappresentanti f, g delle classi a, b. Dotato di queste operazioni l’insieme Lp divieneuno spazio vettoriale (si dovrebbe vedere che a+ b ∈ Lp(M), vedi la dimostrazione in A.2.2).

Definizione A.1.4. Sia a ∈ Lp(M) e sia f tale che a = [f ], allora si definisce norma di a ilvalore

‖a‖p =(∫

M

|f(x)|pdx)1/p

se 1 ≤ p <∞. Se p =∞ si definisce

‖a‖∞ = infC∈RC| |f(x)| ≤ C per q.o. x ∈M

la norma di a e ben definita, cioe non dipende dal particolare rappresentante di a scelto.

Nella prossima sezione si mostrera come ‖ ‖Lp sia effettivamente una norma su Lp.Nonostante gli spazi Lp siano spazi di classi di equivalenza, e uso comune indicare gli elementi

di Lp come fossero funzioni, assumendo implicitamente di identificare funzioni uguali q.o.

94

A.2. PROPRIETA FONDAMENTALI 95

A.2 Proprieta fondamentali

Definizione A.2.1. Sia 1 ≤ p ≤ ∞, si indica con p′ l’esponente coniugato di p, cioe il numerotale che

1p

+1p′

= 1

si assume inoltre che 1 sia l’esponente coniugato di ∞ e viceversa.

Teorema A.2.1 (Disuguaglianza di Holder). Siano f ∈ Lp(M) e g ∈ Lp′(M), allora fg ∈L1(M) e si ha ∫

M

|f(x)g(x)|dx ≤ ‖f‖p‖g‖p′ (A.2.1)

Dimostrazione. la tesi e ovvia se p = 1 o p =∞. Dalla concavita della funzione log su (0,∞) segueche per ogni a > 0, b > 0 si ha

log

(ap

p+bp′

p′

)≥ 1p

log(ap) +1p′

log(bp′) = log(ab) (A.2.2)

da cui si ottiene la disuguaglianza di Young

ab ≤ 1pap +

1p′bp′

(A.2.3)

che vale per ogni a, b ≥ 0. Applicando la disuguaglianza di Young con a = |f(x)| e b = |g(x)| (cioha senso poiche fp e gp

′sono integrabili su M e quindi |f(x)|, |g(x)| < ∞ q.o. su M) si ottiene

che per q.o. x di M si ha

|f(x)g(x)| ≤ 1p|f(x)|p +

1p′|g(x)|p′ (A.2.4)

da cui integrando ∫

M

|f(x)g(x)|dx ≤ 1p‖f‖pp +

1p′‖g‖p′p′ (A.2.5)

da cui segue che fg e integrabile su M . Sostituendo nella A.2.5 f con λf (λ > 0), si ottiene∫

M

|f(x)g(x)|dx ≤ λp−1

p‖f‖pp +

1p′λ‖g‖p′p′ (A.2.6)

scegliendo

λ =‖g‖p′/pp′

‖f‖p (A.2.7)

e ricordando la definizione di esponente coniugato si ottiene l’equazione A.2.1. Nella definizionedi λ si e supposto che ‖f‖p > 0 in quanto se ‖f‖p = 0 si ha f(x) = 0 q.o. ed il teorema risultaovvio.

Teorema A.2.2 (Disuguaglianza di Minkowski). Se f, g ∈ Lp(M), 1 ≤ p ≤ ∞ si ha

‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p (A.2.8)

Dimostrazione. i casi p = 1, p = ∞ sono ovvi; supponiamo quindi 1 < p < ∞. Se x > 0 e p > 1vale la disuguaglianza

(1 + x)p ≤ 2p−1(1 + xp) (A.2.9)

(si dimostra studiando la funzione (1 + x)p/(1 + xp) che, per x > 0 ha massimo in x = 1 in cuivale 2p−1) da cui si deduce che se p > 1 e a, b ≥ 0 si ha

(a+ b)p ≤ 2p−1(ap + bp) (A.2.10)

96 APPENDICE A. SPAZI LP

(se a = 0 la disuguaglianza e ovvia, se a > 0 si raccoglie a e si ha la disuguaglianza A.2.9 conx = b/a). Sostituendo a = |f(x)|, b = |g(x)| e integrando si vede che f + g ∈ Lp(M). Inoltre

‖f + g‖pp =∫

M

|f + g|p−1|f + g| ≤∫

M

|f + g|p−1|f |+∫

M

|f + g|p−1|g| (A.2.11)

Ma |f +g|p−1 ∈ Lp′(M) poiche (p−1)p′ = p e f +g ∈ Lp(M), quindi applicando la disuguaglianzadi Holder ai due integrali a secondo membro si ottiene:

‖f + g‖pp ≤ ‖f + g‖p−1p (‖f‖p + ‖g‖p) (A.2.12)

da cui si ottiene A.2.8 (il caso ‖f + g‖p = 0 e ovvio).

Corollario A.2.1. La norma ‖ ‖p e effettivamente una norma sullo spazio vettoriale Lp.

Dimostrazione. l’unica proprieta non banale da mostrare della norma e la disuguaglianza triango-lare, che e la disuguaglianza di Minkowski.

Teorema A.2.3 (Fischer-Riesz). Lp(M) e uno spazio di Banach per ogni 1 ≤ p ≤ ∞.

Dimostrazione. si devono distinguere i casi p =∞ e 1 ≤ p <∞.Caso p = ∞) Sia fn una successione di Cauchy in L∞(M), cioe fissato k ∈ N, k ≥ 1 esiste

un Nk tale che se m,n ≥ Nk si ha ‖fm − fn‖∞ ≤ 1/k, quindi esiste un insieme trascurabile Ektale che

|fm(x)− fn(x)| < 1k

se x ∈ Eck ∩M, ∀m,n ≥ Nk (A.2.13)

sia E =⋃k∈N,k>0Ek, allora E e trascurabile e per ogni x ∈ Ec ∩M la successione fn(x) e di

Cauchy in R, quindi esiste un numero f(x) tale che limn→∞ fn(x) = f(x). Passando al limite nelladisequazione A.2.13 si ottiene

|f(x)− fn(x)| ≤ 1k

se x ∈ Ec ∩M, ∀n ≥ Nk (A.2.14)

percio f e misurabile su M in quanto limite puntuale q.o. di funzioni misurabili e f ∈ L∞(M);inoltre da A.2.14 si deduce che ‖f − fn‖∞ ≤ 1/k per ogni n ≥ Nk, quindi fn → f in L∞(M).

Caso 1 ≤ p <∞) sia fn una successione di Cauchy in Lp. Poiche se una successione di Cauchyammette una sottosuccessione convergente e essa stessa convergente (dimostrazione immediata),basta mostrare che esiste una sottosuccessione fnk convergente. Sia fnk una sottosuccessionetale che

‖fnk+1 − fnk‖p ≤12k

(A.2.15)

Per semplicita di notazione si scrivera fk invece di fnk . Sia

gn(x) =n∑

k=1

|fk+1(x)− fk(x)| (A.2.16)

da A.2.16 segue che ‖gn‖p ≤ 1 (si applica la disuguaglianza di Minkowski). Si ha 0 ≤ gpn ≤ gpn+1 q.o.su M , quindi per il teorema della convergenza monotona di Beppo-Levi, gpn tende puntualmenteq.o. su M ad un limite fissato gp tale che

∫gp ≤ 1, cioe gn(x)→ g(x) puntualmente q.o. su M e

g ∈ Lp(M). Inoltre se m ≥ n ≥ 2 si ha

|fm(x)− fn(x)| ≤ |fm(x)− fm−1(x)|+ · · ·+ |fn+1(x)− fn(x)| ≤ g(x)− gn−1(x) (A.2.17)

quindi, poiche gn(x) → g(x) per q.o. x ∈ M , fn(x) e una successione di Cauchy in R per q.o.x ∈ M , quindi fn(x) tende ad un limite finito f(x) per quasi ogni x ∈ M . Dalla disequazioneA.2.17 segue per m→∞ che per q.o. x ∈M si ha (n ≥ 2)

|f(x)− fn(x)| < g(x) (A.2.18)

A.3. PROPRIETA DI DENSITA 97

quindi in particolare f ∈ Lp(M) poiche g, fn ∈ Lp(M). Poiche infine |fn(x) − f(x)|p → 0 q.o. inM e |fn−f |p ≤ gp ∈ L1(M) si conclude grazie al teorema della convergenza dominata di Lebesgueche

limn→∞

∫

M

|f(x)− fn(x)|pdx = 0 (A.2.19)

e quindi ‖f − fn‖p → 0 cioe f e il limite in Lp(M) di fn.

Teorema A.2.4. Sia fn una successione in Lp(M) e sia f ∈ Lp(M) tale che ‖f − fn‖p → 0,allora esistono una sottosuccessione fnk e una funzione h ∈ Lp(M) tali che

1. fnk(x)→ f(x) per q.o. x

2. |fnk(x)| ≤ h(x) per ogni k, per q.o. x ∈MDimostrazione. la tesi e ovvia se p = ∞; supponiamo quindi 1 ≤ p < ∞. Poiche fn converge,essa e una successione di Cauchy, quindi , come nella dimostrazione del teorema A.2.3, si puoestrarre una sottosuccessione (che continueremo per semplicita ad indicare con fk) che soddisfaA.2.15, in modo che, procedendo come nella dimostrazione precedente, si abbia che fk(x) tende adun limite finito φ(x) per q.o. x ∈M (si dovra mostrare che f = φ) e soddisfi A.2.18, che diventa

|φ(x)− fk(x)| ≤ g(x) (A.2.20)

per ogni k e per q.o. x ∈ M , con g ∈ Lp(M). Applicando il teorema della convergenza dominatadi Lebesgue si ottiene quindi fk → φ in Lp(M) e quindi, per l’unicita del limite in uno spazionormato si ha φ = f (uguaglianza da intendere in Lp(M), cioe valida per q.o. x ∈M). Inoltre daA.2.20 segue |fk(x)| ≤ |φ(x)|+ g(x) per q.o. x ∈M .

A.3 Proprieta di densita

Con χE si indica la funzione caratteristica dell’insieme E, cioe

χE(x) =

1 se x ∈ E0 se x /∈ E

Si chiama funzione semplice una funzione che sia combinazione lineare di funzioni caratteristiche.

Teorema A.3.1. Sia f una funzione misurabile positiva. Allora esiste una successione sn cres-cente di funzioni semplici misurabili che converge puntualmente a f .

Dimostrazione. per ogni i = 1, . . . , n2n, n ∈ N poniamo

Eni = x| i− 12n≤ f(x) <

i

2n Fn = x|f(x) ≥ n

allora Eni, Fn risultano misurabili (poiche f e misurabile) e la successione cercata e

sn =n2n∑

i=1

i− 12n

χEni + nχFn

che risulta misurabile poiche sono misurabili Eni e Fn.

Ricordiamo che si chiama supporto di una funzione la chiusura dell’insieme su cui una funzionee diversa da zero; il supporto di una funzione sara indicato con ’supp’. Si indica con Cc(E) lospazio delle funzioni f : E → R continue tali che esiste un insieme compatto K ⊂ E tale chesuppf ⊂ K e con C∞c (E) il sottospazio di Cc(E) delle funzioni che ammettono derivate parziali diordine qualsiasi nell’insieme E.


Teorema A.3.2. Sia f ∈ Lp(Rn), 1 ≤ p <∞, allora per ogni ε > 0 esiste una funzione semplicemisurabile a supporto compatto s tale che ‖f(x)− s(x)‖p < ε.

Dimostrazione. si puo supporre f positiva, poiche il caso generale seguira applicando il procedi-mento usato a f+ e f−. Si e visto che assegnata f positiva e misurabile esiste una successionecrescente di funzioni semplici misurabili positive sn tali che limn→∞ sn(x) = f(x), cioe |f−sn| tendepuntualmente q.o. a 0. Inoltre si ha evidentemente |f − sn|p ≤ fp ∈ L1(Rn), quindi applicando ilteorema di Lebesgue si ottiene limn→∞

∫ |f(x)−sn(x)|pdx = 0 quindi si puo ottenere una funzionesemplice s tale che

∫ |f(x)−s(x)|pdx < (ε/2)p e s ∈ L1(Rn). Sia ora Ii = [−i, i]×· · ·× [−i, i] (dovecompaiono n fattori) e consideriamo ri = sχIi con i ∈ N; ri e una successione crescente di funzionisemplici misurabili positive a supporto compatto che tende puntualmente a s, quindi applicandoil teorema di Lebesgue in modo analogo a quanto appena fatto si ottiene che esiste un j tale che∫ |s− rj |pdx < (ε/2)p, da cui si ottiene infine

‖f(x)− rj(x)‖p < ε

2+ε

2= ε (A.3.1)

Lemma A.3.1. Sia F ⊂ Rn chiuso e G ⊂ Rn aperto tale che F ⊂ G, allora esiste una funzionecontinua φ tale che φ(x) = 1 se x ∈ F , φ(x) = 0 se x /∈ G e 0 ≤ φ ≤ 1.

Dimostrazione. fissiamo in Rn una norma ‖ ‖ (tanto in Rn tutte le norme sono equivalenti). Datox ∈ Rn e E ⊂ Rn si puo definire d(x,E) = infy∈E ‖x − y‖. Notiamo che, fissato l’insieme E, lafunzione x→ d(x,E) e continua, infatti se z ∈ E, si ha:

‖x− z‖ ≤ ‖x− y‖+ ‖y − z‖; ‖y − z‖ ≤ ‖y − x‖+ ‖x− z‖ (A.3.2)

da cui‖x− z‖ − ‖x− y‖ ≤ ‖y − z‖ ≤ ‖y − x‖+ ‖x− z‖ (A.3.3)

quindi d(x,E)− ‖x− y‖ ≤ d(y,E) ≤ d(x,E) + ‖x− y‖, e infine

|d(x,E)− d(y,E)| ≤ ‖x− y‖ (A.3.4)

quindi la funzione d(x,E) e lipschitziana. Costruiamo ora la funzione:

φ(x) =d(x,Gc)

d(x,Gc) + d(x, F )(A.3.5)

Poiche F e Gc sono chiusi disgiunti, la funzione e ben definita, in quanto se il denominatore siannullasse per un qualche t ∈ Rn, allora si dovrebbe avere d(t, F ) = d(t, Gc) = 0 e poiche F e Gc

sono chiusi, si verifica semplicemente che si dovrebbe avere t ∈ F e t ∈ Gc, quindi F ∩ G 6= ∅.Inoltre se x ∈ Gc si ha d(x,Gc) = 0 e quindi φ(x) = 0 mentre se x ∈ F , d(x, F ) = 0 e quindiφ(x) = 1. Inoltre essendo composizione di funzioni continue φ e continua e si ha evidentemente0 ≤ φ ≤ 1.

Lemma A.3.2. Sia E misurabile limitato in Rn, allora, fissato ε > 0, 1 ≤ p < ∞ esiste unafunzione f ∈ Cc(Rn) tale che ‖χE − f‖p < ε.

Dimostrazione. poiche E e misurabile, esistono F chiuso e G aperto tali che F ⊂ E ⊂ G eµ(G\F ) < εp. Sia ora f la funzione φ del lemma precedente, si ha allora

∫|φ− χE |pdx ≤

∫χG\Fdx < εp (A.3.6)

inoltre poiche E e limitato, G puo essere scelto limitato (esiste un R tale che E ⊂ B(0, R), quindi sipuo sostituire a G l’insieme limitato G∩B(0, R)), quindi supp φ ⊂ G, ma G e un chiuso e limitatoin Rn, quindi un compatto; il supporto di φ e quindi un sottoinsieme chiuso (per definizione) diun compatto ed e quindi un compatto.


In modo sostanzialmente identico al lemma precedente si mostra il seguente:

Teorema A.3.3. Sia s una funzione semplice misurabile a supporto compatto e sia ε > 0, 1 ≤p <∞ allora esiste una funzione f ∈ Cc(Rn) tale che ‖s− f‖p < ε.

Corollario A.3.1. Sia f ∈ Lp(Rn), 1 ≤ p <∞ allora fissato ε > 0 esiste una funzione φ ∈ Cc(Rn)tale che ‖f − φ‖p < ε, cioe Cc(Rn) e un sottoinsieme denso di Lp(Rn) se 1 ≤ p <∞.

Dimostrazione. dal teorema A.3.2 segue che esiste una funzione s semplice misurabile a supportocompatto tale che ‖f − s‖p < ε/2; dal teorema A.3.3 segue che esiste una φ ∈ Cc(Rn) tale che‖s− φ‖p < ε/2, quindi ‖f − φ‖p < ε.

Definizione A.3.1. Date due funzioni misurabili f, g si definisce come prodotto di convoluzionedi f e g la funzione f ∗ g definita da

f ∗ g(x) =∫

Rnf(x− y)g(y)dy (A.3.7)

Definizione A.3.2. Siano M un sottoinsieme misurabile di Rn e f : M → R; si dice che f ∈Lploc(M) se per ogni K ⊂M compatto si ha gχK ∈ Lp(M).

Lemma A.3.3. Siano f ∈ Cc(Rn) e g ∈ L1loc(Rn), allora f ∗ g e ben definito per ogni x ∈ Rn.

Dimostrazione. fissato x ∈ Rn, la funzione y → f(x − y)g(y) risulta non nulla solo su un insiemelimitato di y ∈ Rn poiche f ha supporto compatto, quindi, poiche g e integrabile sui compatti,l’integrale che compare nella definizione di f ∗ g e finito per ogni x ∈ Rn.

Lemma A.3.4. Siano f ∈ L1(Rn) e g ∈ Lp(Rn), allora f ∗ g e definita per quasi ogni x ∈ Rn esi ha

‖f ∗ g‖p ≤ ‖f‖1‖g‖p (A.3.8)

Dimostrazione. se p =∞ il teorema e ovvio.Caso p = 1) poniamo F (x, y) = f(x− y)g(y). Poiche per q.o. y ∈ Rn |g(y)| <∞, si ha

∫|F (x, y)|dx = |g(y)|

∫|f(x− y)|dx = |g(y)|‖f‖1 (A.3.9)

quindi ∫dy∫|F (x, y)|dx = ‖f‖1‖g‖1 <∞ (A.3.10)

quindi usando il teorema di Tonelli si vede che F ∈ L1(Rn × Rn) e quindi usando il teorema diFubini si ha

‖f ∗ g‖1 =∫|f ∗ g(x)|dx =

∫dx∫|f(x− y)g(y)|dy =

∫|F (x, y)|dxdy = ‖f‖1‖g‖1 (A.3.11)

che e l’equazione A.3.8 nel caso p = 1.Caso p > 1) dal caso precedente si sa che y → |f(x−y)gp(y)| e integrabile in y per q.o. x ∈ Rn,

cioe |f1/p(x − y)g(y)| ∈ Lpy(Rn). Poiche |f(x − y)|1/p′ ∈ Lp′y (Rn), usando la disuguaglianza diHolder si ottiene (poiche |f(x− y)| = |f(x− y)|1/p|f(x− y)|1/p′)

∫|f(x− y)g(y)|dy ≤ ‖f‖1/p′1

(∫|f(x− y)||g(y)|pdy

)1/p

(A.3.12)

cioe |f ∗ g(x)|p ≤ ‖f‖p/p′1 (|f | ∗ |g|p)(x) quindi integrando e usando quanto gia dimostrato nel casop = 1 si ottiene infine

‖f ∗ g‖pp = ‖f‖p/p′1 ‖f‖1‖g‖pp = ‖f‖p1‖g‖pp (A.3.13)


Teorema A.3.4. Sia f ∈ C∞c (Rn) e g ∈ L1loc(Rn), allora f ∗ g ∈ C∞(Rn).

Dimostrazione. Per mostrare f ∗ g che e infinitamente differenziabile, bastera mostrare la seguenteuguaglianza (∇ e l’operatore gradiente)

∇(f ∗ g) = (∇f) ∗ g (A.3.14)

Poiche f e differenziabile, se x, y, h ∈ Rn si ha

f(x− y + h)− f(x− y) = h · (∇f)(x− y) + ‖h‖ o(h) (A.3.15)

dove o(h) e una funzione tale che limh→0 o(h) = 0. Sia K un compatto abbastanza grande tale chex+B(0, 1)− suppf ⊂ K, allora si ha se ‖h‖ < 1

f(x− y + h)− f(x− y) = h · (∇f)(x− y) + ‖h‖ o(h)χK (A.3.16)

Moltiplicando l’equazione A.3.16 per g(y) e integrando in y si ottiene

f ∗ g(x+ h)− f ∗ g(x) = h · [(∇f) ∗ g(x)] + ‖h‖ o(h)C (A.3.17)

dove C =∫Kg(y)dy, di conseguenza per la definizione di gradiente si ha l’equazione A.3.14.

Lemma A.3.5. Siano f ∈ Cc(Rn), g ∈ L1loc(Rn) allora si ha:

suppf ∗ g ⊂ suppf + suppg (A.3.18)

Dimostrazione. fissato x la funzione y → f(x − y)g(y) e non nulla se y ∈ suppg e x − y ∈ suppfcioe se

y ∈ suppg ∩ (x− suppf) (A.3.19)

se x /∈ suppf + suppg, allora suppg ∩ (x − suppf) = ∅, cioe f(x − y)g(y) = 0 per ogni y, cioe(f ∗ g)(x) = 0, quindi

f ∗ g(x) 6= 0 ⇒ x ∈ supp f + supp g (A.3.20)

di conseguenzasuppf ∗ g ⊂ suppf + suppg (A.3.21)

Definizione A.3.3. Si chiama successione di mollificatori una successione di funzioni ρi : Rn → Rtale che

1. ρi ≥ 0

2. ρi ∈ C∞c3. supp ρi ⊂ B(0, 1/i)

4.∫ρidx = 1

Esempio A.3.1. Sia

ρ(x) =e1/(|x|2−1) se |x| < 10 se |x| ≥ 1

(A.3.22)

Si vede subito che ρ ≥ 0, ρ ∈ C∞c , supp ρ ⊂ B(0, 1) e che∫ρdx < ∞. Allora si ottiene una

successione di mollificatori ponendo

ρi(x) = inρ(ix)/∫ρdx (A.3.23)


Teorema A.3.5. Se f e continua e ρi e una successione di mollificatori, allora ρi ∗ f → funiformemente sui compatti.

Dimostrazione. sia K ⊂ Rn un compatto; allora, dato ε > 0, per il teorema di Heine-Cantor-Borelesiste un δ > 0 tale che

|f(x− y)− f(x)| < ε se x ∈ K , y ∈ B(0, δ) (A.3.24)

Si ha inoltre

ρi ∗ f(x)− f(x) =∫

[f(x− y)− f(x)]ρi(y)dy =∫

B(0,1/i)

[f(x− y)− f(x)]ρi(y)dy (A.3.25)

Se ora si sceglie i > 1/δ e x ∈ K si ottiene quindi

|ρi ∗ f(x)− f(x)| ≤∫ερidy = ε (A.3.26)

Teorema A.3.6. Sia f ∈ Lp(Rn) con 1 ≤ p <∞, allora limn→∞ ρn ∗ f = f in Lp(Rn).

Dimostrazione. dato ε > 0 esiste una funzione f1 ∈ Cc(Rn) tale che ‖f − f1‖p < ε (corollarioA.3.1). Per il teorema precedente si ha ρn ∗ f1 → f1 uniformemente sui compatti, inoltre (vedilemma A.3.5) si ha

suppρn ∗ f1 ⊂ B(0, 1/n) + suppf1 ⊂ B(0, 1) + suppf = K (A.3.27)

e si vede subito che K e un compatto. Ne segue che

‖ρn ∗ f1 − f1‖p ≤ supx∈K|ρ ∗ f1(x)− f1(x)|µ(K)1/p → 0 (A.3.28)

Inoltre si ha l’identita

(ρn ∗ f)− f = [ρn ∗ (f − f1)] + [(ρn ∗ f1)− f1] + [f1 − f ] (A.3.29)

quindi se n > Nε si ha

‖ρn ∗ f − f‖p ≤ 2‖f − f1‖p + ‖ρn ∗ f1 − f1‖ < 3ε (A.3.30)

quindi limn→∞ ‖ρn ∗ f − f‖p = 0.

Lemma A.3.6. L1loc(Rn) ⊂ Lp(Rn) per ogni 1 ≤ p <∞

Dimostrazione. sia K ⊂ Rn un insieme compatto, allora µ(K) < ∞, quindi χK ∈ Lp′(Rn) perogni p′. Applicando allora la disuguaglianza di Holder si ha

∫

K

|f(x)|dx =∫

K

χK(x)f(x)dx ≤(∫

K

1p′dx)1/p′ (∫

K

|f(x)|pdx)1/p

≤ C‖f‖p <∞ (A.3.31)

Teorema A.3.7. Sia A ⊂ Rn un insieme aperto, allora C∞c (A) e denso in Lp(A) per ogni 1 ≤p <∞.


Dimostrazione. sia f ∈ Lp(A) e sia f : Rn → R definita da

f(x) =f(x) se x ∈ A0 se x ∈ Ac (A.3.32)

in modo che f ∈ Lp(Rn). Sia inoltre Kn una successioni di insiemi compatti tali che Kn ⊂ Kn+1,∪nKn = A e d(Kn, A

c) ≥ 2/n, ad esempio si puo porre

Ki = x ∈ Rn|‖x‖ < i, d(x,Ac) ≥ 2/i (A.3.33)

poniamo quindign = χKn f ; fn = ρn ∗ gn (A.3.34)

Allora per il lemma A.3.5 si ha

suppfn ⊂ B(0, 1/n) +Kn ⊂ A (A.3.35)

inoltre per il lemma A.3.6 e per il teorema A.3.4 fn ∈ C∞(Rn), quindi fn ∈ C∞c (A). Si hannoinoltre le seguenti disuguaglianze

‖fn − f‖Lp(A) = ‖fn − f‖Lp(Rn) ≤ (A.3.36)≤ ‖ρn ∗ gn − ρn ∗ f‖p + ‖ρn ∗ f − f‖p ≤ ‖gn − f‖p + ‖ρn ∗ f − f‖p

Inoltre ‖gn− f‖p → 0 per il teorema della convergenza dominata e ‖ρn ∗ f− f‖p → 0 per il teoremaA.3.6, quindi infine

‖fn − f‖Lp(A) → 0 (A.3.37)

In generale, dato un generico insieme misurabile M , non ha molto senso parlare di C∞c (M)poiche ad esempio si potrebbe avere M = ∅. Vale la seguente estensione del teorema A.3.7, che esufficientemente generale da coprire tutti i casi che si presenteranno.

Corollario A.3.2. Sia M ⊂ Rn un insieme misurabile tale che M 6= ∅ e µ(M\M) = 0, alloraC∞c (M) e denso in Lp(M) per ogni 1 ≤ p <∞Dimostrazione. sia f ∈ Lp(M), allora f ∈ Lp(M) e per il teorema precedente per ogni ε > 0 esisteφ ∈ C∞c (M) tale che ‖f −φ‖Lp(M) < ε. Prolunghiamo ora φ su M ponendo φ(x) = 0 se x ∈M\M ,allora φ ∈ C∞c (M) e si ha ‖f − φ‖Lp(M) < ε.

Bibliografia: Si e seguito in particolare [1] paragrafi IV.1, IV.4, [8] capitolo III.

Appendice B

Convergenza puntuale della seriedi Fourier

B.1 Criterio di Dirichlet-Jordan

Lemma B.1.1. Sia f(x) una funzione crescente definita su [a, b], allora G e continua eccetto perun insieme al piu numerabile di x ∈ [a, b].

Dimostrazione. sia S l’insieme dei punti in cui e discontinua, cioe delle x tali che

limy→x+

f(y) > limy→x−

f(y) (B.1.1)

allora ad ogni elemento x di S si puo associare un razionale qx dell’intervallo non vuoto definito daB.1.1; poiche f e crescente se x, y ∈ S e x 6= y gli intervalli associati a x e a y saranno disgiunti,quindi la corrispondenza x→ qx e biunivoca, quindi S e al piu numerabile.

Teorema B.1.1 (secondo teorema della media). Sia G una funzione crescente definita su[a, b] e sia f continua su [a, b], allora esiste un t0 ∈ [a, b] tale che

∫ b

a

G(x)f(x)dx = G(a)(∫ t0

a

f(x)dx)

+ [ limx→b−

G(x)]

(∫ b

t0

f(x)dx

)(B.1.2)

Dimostrazione. definiamo G(x) = G(a) se x < a e

Gh(t) =1h2

∫ t

t−h

[∫ s

s−hG(r)dr

]ds (B.1.3)

allora dal teorema fondamentale del calcolo segue che G′h(t) e una funzione continua e G′h(t) ≥ 0;e inoltre semplice vedere che limh→0Gh(t) = limy→t− G(y). Sia F (t) =

∫ taf(s)ds, allora

∫ b

a

Gh(t)f(t)dt = [F (t)Gh(t)]ba −∫ b

a

F (t)G′h(t)dt (B.1.4)

sia ora m = minx∈[a,b] F (x) e M = maxx∈[a,b] F (x), allora poiche G′h(t) ≥ 0 si ha

m

∫ b

a

G′h(t)dt ≤∫ b

a

F (t)G′h(t)dt ≤M∫ b

a

G′h(t)dt (B.1.5)

e quindi (se∫ baG′h(t)dt 6= 0)

m ≤∫ baF (t)G′h(t)dt∫ baG′h(t)dt

≤M (B.1.6)

103

104 APPENDICE B. CONVERGENZA PUNTUALE DELLA SERIE DI FOURIER

e quindi per il teorema dei valori intermedi si vede che esiste un th ∈ [a, b] tale che

F (th) =

∫ baF (t)G′h(t)dt∫ baG′h(t)dt

(B.1.7)

inserendo questa espressione in B.1.4 si ottiene∫ b

a

Gh(t)f(t)dt = [F (t)Gh(t)]ba − F (th)∫ b

a

G′h(t)dt = (B.1.8)

= F (b)Gh(b)− F (a)Gh(a)− F (th)Gh(b) + F (th)Gh(a) =

= Gh(b)∫ b

th

f(t)dt+Gh(a)∫ th

a

f(t)dt

Se ora si sceglie una successione hn che tende a 0, a meno di sottosuccessioni si ha (per il teoremadi Bolzano-Weierstrass) thn → t0 ∈ [a, b] utilizzando il teorema della convergenza dominata ed illemma precedente si ottiene

limn→∞

∫ b

a

Ghn(t)f(t)dt =∫ b

a

limn→∞

Ghn(t)f(t)dt =∫ b

a

G(t)f(t)dt = (B.1.9)

= G(a)(∫ t0

a

f(x)dx)

+ [ limx→b−

G(x)]

(∫ b

t0

f(x)dx

)

Si utilizzeranno ora funzioni a variazione limitata, per cui si rimanda alla definizione G.1.8 edal teorema G.1.4.

Teorema B.1.2 (Criterio di Dirichlet-Jordan). Sia f periodica di periodo 2π e sia f ∈L1(−π, π). Supponiamo inoltre che per un certo x esista un δ > 0 tale che f sia a variazionelimitata in [x− δ, x+ δ], allora

limn→∞

Snf(x) =f(x+) + f(x−)

2(B.1.10)

Dimostrazione. procedendo come si e fatto per dimostrare il criterio di Dini, si ottiene

Snf(x)− f(x+) + f (x−)2

=∫ π

0

Dn(y)[(f(x+ y)− f(x+)) + (f(x− y)− f(x−))]dy (B.1.11)

Sia ora δ > 0 come nell’ipotesi, allora per il lemma di Riemann-Lebesgue si ha

limn→∞

∫ π

δ

Dn(y)[(f(x+ y)− f(x+)) + (f(x− y)− f(x−))]dy = 0 (B.1.12)

La funzione y → f(x+ y)− f(x+) + f(x− y)− f(x−) = h(y) e a variazione limitata se y ∈ [0, δ]per ipotesi e limy→0+ h(y) = 0, quindi per il teorema G.1.4 esistono G,H non decrescenti tali cheh = H −G su [0, δ] e si puo inoltre supporre (a meno di aggiungere una costante sia a H che a G)che sia limy→0+ G(y) = 0 e analogamente per H. Per concludere basta quindi mostrare che

limn→∞

∫ δ

0

Dn(y)G(y)dy = limn→∞

∫ δ

0

Dn(y)H(y)dy = 0 (B.1.13)

Dimostriamo l’uguaglianza precedente nel caso di G, essendo l’altro caso identico. Sia dato ε > 0e sia 0 < δ1 < δ tale che G(δ1) < ε, allora

∫ δ

0

Dn(y)G(y)dy =∫ δ

δ1

Dn(y)G(y)dy +∫ δ1

0

Dn(y)G(y)dy (B.1.14)

B.2. TEOREMA DI FEJER 105

Nuovamente per il lemma di Riemann-Lebesgue il primo integrale tende a 0. Usando il secondoteorema della media per stimare il secondo integale si ottiene

∣∣∣∣∣∫ δ1

0

Dn(y)G(y)dy

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣G(δ−1 )∫ δ1

δn

Dn(y)dy

∣∣∣∣∣ ≤ ε∣∣∣∣∣∫ δ1

δn

Dn(y)dy

∣∣∣∣∣ (B.1.15)

Serve ora una stima dell’ultimo integrale indipendente da δn. Si ha

Dn(z) =1

2πe−inz − ei(n+1)z

1− eiz =1

2πe−i(n+1/2)z − ei(n+1/2)z

eiz/2 − eiz/2 =1

2πsin(n+ 1

2 )zsin z

2

(B.1.16)

quindi ∣∣∣∣∣∫ δ1

δn

Dn(y)dy

∣∣∣∣∣ = C

∣∣∣∣∣∫ δ1

δn

y

sin(y/2)sin(n+ 1

2 )yy

dt

∣∣∣∣∣ (B.1.17)

inoltre y/ sin(y/2) e limitata su [0, π], quindi basta stimare (cambiando variabile)∣∣∣∣∣∫ δ1

δn

sin(n+ 12 )y

ydy

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∫ b

a

sin tt

dt

∣∣∣∣∣ (B.1.18)

e poiche ∣∣∣∣∣ limA→∞

∫ A

−A

sin yy

∣∣∣∣∣ <∞ (B.1.19)

si ha la limitazione cercata, quindi per ogni ε > 0

lim supn→∞

∣∣∣∣Snf(x)− f(x+) + f (x−)2

∣∣∣∣ ≤ Kε (B.1.20)

(dove K e indipendente da ε e n) quindi si ottiene l’enunciato.

B.2 Teorema di Fejer

Lemma B.2.1. Esiste K > 0 tale che per ogni x ∈ R, n ∈ N si ha∣∣∣∣∣n∑

k=1

sin kxk

∣∣∣∣∣ ≤ K (B.2.1)

Dimostrazione. per periodicita bastera mostrare la tesi per x ∈ [0, π]. Si ha

12π

n∑

k=−n,k 6=0

eikx

ik=

1π

n∑

k=1

sin kxk

=∫ x

0

Dn(t)dt− x

2π(B.2.2)

dove Dn(t) e il nucleo di Dirichlet. Per concludere basta quindi mostrare che esiste un K > 0tale che per ogni x ∈ [0, π], n ∈ N si abbia | ∫ x

0Dn(t)dt| ≤ K. A questo proposito studiamo

Gn(x) =∫ x

0Dn(t)dt: ricordiamo che vale la formula

Dn(t) =1

2πsin[(n+ 1/2)t]

sin(t/2)(B.2.3)

gli zeri di Dn(t) sono 2kπ/(2n+ 1), dove k ∈ N e k < n+ 1/2; inoltre la funzione | sin[(n+ 1/2)t]|e periodica di periodo 2π/(2n+ 1), sin(z/2) e crescente in [0, π] e Dn(t) ≥ 0 su [0, 2π/(2n+ 1)] da


cui segue che Gn(x) ≥ 0 su [0, π] e che il massimo di Gn su [0, π] e assunto nel primo zero di Dn,cioe in 2π/(2n+ 1). Quindi si ha

supx∈[0,π]

|Gn(x)| = Gn(2π/(2n+ 1)) =∫ 2π/(2n+1)

0

12π

sin[(n+ 1/2)t]sin(t/2)

dt ≤ (B.2.4)

≤∫ 2π/(2n+1)

0

12π

(n+ 1/2)tsin(t/2)

dt ≤ 2π2n+ 1

12π

(n+ 1/2) supt∈[0,π]

t

sin(t/2)≤

≤ 12

supt∈[0,π]

t

sin(t/2)= K < +∞

che conclude la dimostrazione poiche K non dipende da n.

Teorema B.2.1. Il fatto che f : [−π, π] → C sia una funzione continua di periodo 2π non econdizione sufficiente affinche la serie di Fourier di f converga puntualmente ad f

Dimostrazione. per dimostrare il teorema si costruira una funzione continua la cui serie di Fouriernon converge in 0 seguendo la costruzione di Fejer: per ogni µ, n ∈ N si consideri la funzione:

Qn,µ(x) =n∑p=1

cos[(n+ µ− p)x]− cos[(n+ µ+ p)x]p

(B.2.5)

utilizzando le formule di addizione si ottiene:

Qn,µ(x) = 2 sin[(n+ µ)x]n∑p=1

sin pxp

(B.2.6)

si devono ora utilizzare:

• una successione di numeri positivi ak tale che∑∞k=1 ak < +∞

• una successione nk di interi tali che ak log nk non converga a zero

• una successione di interi µk tale che µk+1 > µk + 2nk

poniamo oraQk(x) = Qnk,µk(x) (B.2.7)

Per il lemma precedente si ha per ogni x ∈ R e ogni n ∈ N

|n∑p=1

sin pxp| < K (B.2.8)

quindi la serie∑∞k=1 akQk(x) converge totalmente e quindi converge uniformemente ad una fun-

zione continua, sia essa f(x), quindi

f(x) =∞∑

k=1

akQnk,µk(x) (B.2.9)

poiche ogni Qk e pari e periodica di periodo 2π, anche f(x) sara una funzione pari e periodica diperiodo 2π, quindi il suo sviluppo in serie trigonometrica di Fourier avra la forma

Snf(x) =c02

+n∑

k=1

ck cos(kx) (B.2.10)


Per concludere resta da mostrare che Snf(0) non converge. Poiche f e limite uniforme di una seriedi funzioni, si possono calcolare i coefficienti di Fourier integrando termine a termine:

cj =1π

∫ π

−πf(t) cos(jt)dt =

∞∑

k=1

akπ

∫ π

−πQk(t) cos(jt)dt (B.2.11)

Per come sono stati scelti gli interi µk, per ogni j al piu un unico termine della serie precedentesara diverso da 0, quindi non si presentano problemi di convergenza nella definizione di cj . Tramitecalcolo diretto, si verifica che se µk ≤ j ≤ µk +nk − 1 l’unico termine che sopravvive in cj e quelloper cui µk + nk − p = j, quindi si ottiene:

µk+nk−1∑

j=µk

cj =nk∑p=1

akp≥ ak

∫ nk

1

dtt

= ak lognk (B.2.12)

da cui si ottiene immediatamente:

Sµk+nk−1f(0)− Sµk−1f(0) =µk+nk−1∑

j=µk

cj ≥ ak lognk (B.2.13)

e quindi, per come sono stati scelti gli nk, Snf(0) non converge.Una scelta delle costanti ak, nk, µk potrebbe essere:

ak =1k2

; nk = 2k2; µk = 2k

2(B.2.14)

e quindi ak log nk = log 2.

Definizione B.2.1. sia f una funzione in L1(−π, π), allora si definisce n-esima somma parzialedi Fejer (talvolta di Cesaro) la funzione:

σnf(x) =1

n+ 1

n∑

k=0

Skf(x) (B.2.15)

cioe la media aritmetica delle prime n+ 1 somme parziali di Fourier

Usando le formule trigonometriche di addizione e semplice verificare che

2 sin[y/2] sin[(k + 1/2)y] = cos[ky]− cos[(k + 1)y] (B.2.16)

da cui si ottiene:n∑

k=0

sin[(k + 1/2)y] =1

2 sin[y/2]

n∑

k=0

(cos[ky]− cos[(k + 1)y]) = (B.2.17)

=1− cos[(n+ 1)y]

2 sin[y/2]

Questo semplice risultato sara utilizzato nella dimostrazione del seguente lemma, in cui si definisceil nucleo di Fejer analogamente a quanto fatto per il nucleo di Dirichlet.

Lemma B.2.2. esiste una unica funzione Fn(y) con la seguente proprieta (1) e si ha:

1. σnf(x) =∫ π−π Fn(x− y)f(y)dy

2. Fn e periodica di periodo 2π

3.∫ π−π Fn(y)dy = 1


4. Fn(y) = 1−cos[(n+1)y]4π(n+1) sin2[y/2]

5. Fn(y) ≥ 0 e se π > |y| ≥ r > 0 allora limn→∞ Fn(y) = 0

Dimostrazione. dalla definizione di σnf(x) segue che:

σnf(x) =∫ π

−π

[1

n+ 1

n∑

k=0

Dk(x− y)

]f(y)dy (B.2.18)

quindi

Fn(y) =1

n+ 1

n∑

k=0

Dk(y) (B.2.19)

dalle proprieta di Dn seguono i punti (2) e (3). Esplicitando nella relazione precedente Dn(y) siottiene:

Fn(y) =1

2π(n+ 1)1

sin[y/2]

n∑

k=0

sin[(k + 1/2)y] = (B.2.20)

=1

2π(n+ 1) sin[y/2]1− cos[(n+ 1)y]

2 sin[y/2]=

1− cos[(n+ 1)y]4π(n+ 1) sin2[y/2]

questo dimostra (4) e la prima parte di (5). Se ora π > |y| ≥ r > 0, allora si ha

|Fn(y)| ≤ 24π(n+ 1) sin2[r/2]

(B.2.21)

che dimostra (5).

Teorema B.2.2 (Fejer). Sia f : [−π, π]→ C una funzione in L1(−π, π) periodica di periodo 2π.Sia x tale che esistano f(x+) = limy→x+ f(y) e f(x−) = limy→x− f(y), allora si ha:

limn→∞

σnf(x) =f(x+) + f(x−)

2(B.2.22)

se f e anche continua, allora σnf converge uniformemente a f su R

Dimostrazione. usando la periodicita di f e Fn si puo procedere analogamente a quanto fatto nelladimostrazione del teorema del Dini, ottenendo:

σnf(x) =∫ π

0

Fn(y)[f(x− y) + f(x+ y)]dy = (B.2.23)

=∫ π

0

2Fn(y)[f(x− y) + f(x+ y)

2

]dy

inoltre Fn e pari, quindi∫ π

02Fn(y)dy = 1, quindi si ha anche:

f(x+) + f(x−)2

=∫ π

0

2Fn(y)[f(x+) + f(x−)

2

]dy (B.2.24)

quindi∣∣∣∣σnf(x)− f(x+) + f(x−)

2

∣∣∣∣ = (B.2.25)

=∣∣∣∣∫ π

0

2Fn(y)[f(x− y) + f(x+ y)

2− f(x+) + f(x−)

2

]dy∣∣∣∣ ≤

≤∫ r

0

2Fn(y)εdy +∫ π

r

2Fn(y)g(y)dy


dove r e scelto abbastanza piccolo da fare in modo che∣∣∣∣f(x− y) + f(x+ y)

2− f(x+) + f(x−)

2

∣∣∣∣ < ε (B.2.26)

per ogni 0 < y ≤ r. Quindi usando la stima B.2.21 si ottiene:∣∣∣∣σnf(x)− f(x+) + f(x−)

2

∣∣∣∣ ≤ ε+∫ π

r

g(y)1

π(n+ 1) sin2[r/2]dy = (B.2.27)

= ε+C

n+ 1→ 0

Sia ora f continua: allora f(x+) = f(x−) = f(x) e a causa della periodicita essa sara ancheuniformemente continua, quindi si puo scegliere r > 0 tale che la stima B.2.26 valga per ogni x,ottenendo quindi la convergenza uniforme.

Bibliografia il controesempio di Fejer e tratto da [4]. Per una dimostrazione del fatto cheesistono funzioni continue la cui serie di Fourier non converge su un insieme non numerabile dipunti si veda [8] cap. 5 (La dimostrazione fa uso di una conseguenza del lemma di Baire [vediappendice F] dimostrata poche pagine prima)

Appendice C

Riflessivita

Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato; ricordiamo che si chiama duale (topologico) di X lo spazioX ′ delle applicazioni lineari continue di X in C. Se f ∈ X ′ si definisce norma di f il valore (finitoperche una operatore lineare e continuo se e solo se e limitato)

‖f‖′ = supx∈X,x 6=0

|f(x)|‖x‖X = sup

‖x‖X=1

|f(x)| (C.0.1)

inoltre X ′ dotato di questa norma e uno spazio di Banach (vedi teorema 3.2.2) poiche C e unospazio completo. Analogamente si puo definire il biduale (topologico) di X , indicato con X ′′,come lo spazio dei funzionali lineari continui su X ′, cioe delle applicazioni lineari continue di X ′

in C. Poiche il biduale di X e il duale di X ′, per ogni φ ∈ X ′′ si ha la norma

‖φ‖′′ = supf∈X′,f 6=0

|φ(f)|‖f‖′ = sup

‖f‖′=1,f∈X′|φ(f)| (C.0.2)

e X ′′ dotato di questa norma e uno spazio di Banach.Vediamo ora che esiste una applicazione canonica (cioe indipendente dalla base) di X in X ′′;

sia x ∈ X, allora definiamo φx : X ′ → C nel seguente modo: per ogni f ∈ X ′ sia

φx(f) = f(x) (C.0.3)

φx e un operatore lineare, infatti se α, β ∈ C e f, g ∈ X ′ si ha

φx(αf + βg) = (αf + βg)(x) = αf(x) + βg(x) = αφx(f) + βφx(g) (C.0.4)

inoltre φx e continuo, infatti si ha

|φx(f)| = |f(x)| ≤ ‖f‖′ ‖x‖X (C.0.5)

quindi ‖φx‖′′ ≤ ‖x‖X e quindi φx ∈ X ′′. A questo punto definiamo J : X → X ′′ come J(x) = φx.Vediamo innanzi tutto che J e lineare: per ogni f ∈ X ′, α, β ∈ C, x, y ∈ X si ha

J(αx+ βy)(f) = φαx+βy(f) = f(αx+ βy) = αf(x) + βf(y) = (C.0.6)= αφx(f) + βφy(f) = [αJ(x) + βJ(y)](f)

quindi J(αx+ βy) = αJ(x) + βJ(y). Inoltre J e continua: per ogni x ∈ X, x 6= 0 si ha

‖Jx‖′′‖x‖X =

‖φx‖′′‖x‖X ≤

‖x‖X‖x‖X = 1 (C.0.7)

dove si e usato il fatto precedentemente visto che ‖φx‖′′ ≤ ‖x‖X .

110

111

Definizione C.0.2. Uno spazio normato X si dice spazio riflessivo se J(X) = X ′′.

Prima di dimostrare il teorema seguente serve fare una osservazione: sia H uno spazio diHilbert, allora per il teorema di Riesz ad ogni f ∈ H ′ corrisponde un elemento xf ∈ H tale chef(x) = (xf , x). Consideriamo ora la applicazione f → xf : questa non e una applicazione linearee si ha se f, g ∈ H ′

αf(x) + βg(x) = α(xf , x) + β(xg, x) = (αxf + βxg, x) (C.0.8)

quindi si haxαf+βg = αxf + βxg (C.0.9)

Teorema C.0.3. Ogni spazio di Hilbert e uno spazio riflessivo.

Dimostrazione. notiamo innanzitutto che se H e uno spazio di Hilbert allora anche H ′ e uno spaziodi Hilbert: se f, g ∈ H ′ definiamo

(f, g) = (xf , xg) (C.0.10)

verifichiamo che questo e un prodotto scalare e che esso genera la norma ‖ ‖′ rispetto a cui H ′ ecompleto: se f, g, p ∈ H ′ si ha

(f, g + p) = (xf , xg+p) = (xf , xg + xp) = (xf , xg) + (xf , xp) = (f, g) + (f, p) (C.0.11)

se α ∈ C si ha(f, αg) = (xf , xαg) = (xf , αxg) = α(xf , xg) = α(f, g) (C.0.12)

infine per il teorema di Riesz si ha

(f, f) = (xf , xf ) = ‖xf‖X = ‖xf‖X = ‖f‖′ (C.0.13)

Avendo verificato che (H ′, ‖ ‖′) e uno spazio di Hilbert si puo applicare il teorema di Riesz in H ′

ottenendo quindi che per ogni ψ ∈ H ′′ esiste fψ ∈ H ′ tale che per ogni g ∈ H ′ si ha ψ(g) = (fψ, g).A questo punto si puo vedere che ogni spazio di Hilbert e riflessivo: sia ψ ∈ H ′′, allora si devemostrare che esiste x ∈ H tale che J(x) = ψ, cioe per ogni g ∈ H ′ si ha J(x)(g) = ψ(g) cioeancora, dalla definizione di J , g(x) = ψ(g) per ogni g ∈ H ′. Sia ora fψ ∈ H ′ il rappresentante diψ in H ′, e sia xfψ ∈ H il rappresentante in H di fψ ∈ H ′. Mostriamo ora che x = xfψ : per ognig ∈ H ′ si ha

ψ(g) = (fψ, g) = (xfψ , xg) = (xg, xfψ ) = g(xfψ ) (C.0.14)

che conclude la dimostrazione.

Appendice D

Complementi sugli operatoricompatti

D.1 Teorema dell’alternativa

Teorema D.1.1. Sia X uno spazio con prodotto scalare, allora la palla chiusa unitaria e compatta⇔ X ha dimensione finita.

Dimostrazione. ⇐) se X ha dimensione finita allora l’enunciato segue dal teorema di Bolzano-Weierstrass (corollario 1.2.2).⇒) se X ha dimensione infinita, esiste una successione infinita di vettori ortonormali ei, ma

allora‖ei − ej‖2 = (ei − ej , ei − ej) = 2(1− δij) (D.1.1)

quindi non esistono sottosuccessioni di ei che siano successioni di Cauchy, quindi non esistonosottosuccessioni convergenti di ei, quindi B(0, 1) non e compatto.

Corollario D.1.1. Uno spazio vettoriale con prodotto scalare ha dimensione finita se e solo se daogni successione limitata si puo estrarre una sottosuccessione convergente.

Lemma D.1.1. Sia K : H → H un operatore compatto e sia T = I+K dove I e l’operatore iden-tita. Se xn e una successione limitata e tale che Txn → y ∈ H, allora esiste una sottosuccessionexnk tale che

xnk → x Tx = y (D.1.2)

Dimostrazione. poiche xn e limitata e K e compatto, esiste una sottosuccessione xnk tale cheKxnk converge; sia Kxnk → z, allora xnk = Txnk −Kxnk → y − z. Poniamo x = y − z, alloraxnk → x e dalla continuita di T segue che Tx = limk→∞ Txnk = limn→∞ Txn = y.

Teorema D.1.2 (Teorema dell’alternativa di Fredholm-Riesz). Sia H uno spazio di Hilberte T = I +K dove K e un operatore compatto. Allora

1. l’immagine R(T ) di T e un insieme chiuso.

2. kerT e kerT ∗ hanno dimensione finita

3. se kerT = 0 allora kerT ∗ = 04. se kerT ∗ = 0 allora kerT = 05. kerT e kerT ∗ hanno la stessa dimensione

6. T e iniettivo se e solo se e surgettivo e in questo caso T−1 e un operatore continuo.

112

D.1. TEOREMA DELL’ALTERNATIVA 113

Dimostrazione. 1) mostriamo che esiste una costante c > 0 tale che

‖x‖ ≤ c‖Tx‖ ∀x ∈ (kerT )⊥ (D.1.3)

Supponiamo che l’equazione precedente non sia soddisfatta, allora per ogni c > 0 esisterebbe unξc ∈ (kerT )⊥ tale che ‖ξc‖ > c‖Tξc‖; dividendo entrambi i membri della precedente uguaglianzaper ‖ξc‖ (che e > 0 per l’uguaglianza precedente) e usando la linearita di T si vede che 1 > c‖Tξ′c‖ ≥0 dove ‖ξ′c‖ = 1, quindi esisterebbe una successione xn = ξ′n tale che ‖xn‖ = 1 e ‖Txn‖ < 1

n cioe‖Txn‖ → 0. Per il lemma D.1.1 esisterebbero allora una sottosuccessione xnk ∈ (kerT )⊥ e x ∈ Htali che xnk → x ,Tx = 0 , ‖x‖ = 1, ma (kerT )⊥ e un insieme chiuso e quindi x ∈ (kerT )⊥, cioe

x ∈ kerT x ∈ (kerT )⊥ ‖x‖ = 1 (D.1.4)

poiche (kerT )∩ (kerT )⊥ = 0, non esiste un x ∈ H che soddisfi D.1.4 e quindi la relazione D.1.3deve essere vera.

Sia ora P : H → H la proiezione ortogonale su (kerT )⊥, yn una successione in R(T ) taleche yn → y ∈ H; si vuole vedere che y ∈ R(T ). Sia xn tale che yn = Txn e poniamo zn = P (xn),allora zn ∈ (kerT )⊥, Tzn = Txn = yn e dalla D.1.3 segue che ‖zn‖ ≤ c‖yn‖; poiche yn → y, lasuccessione zn e limitata e si ha Tzn → y, quindi per il lemma D.1.1 esistono una sottosuccessioneznk e z ∈ H tali che znk → z e Tz = y, quindi y ∈ R(T ), che e quindi un insieme chiuso.

2) Sia xn una successione limitata di kerT , allora Txn = 0 per ogni n e quindi per illemma D.1.1 esistono una sottosuccessione xnk e un x ∈ H tale che xnk → x e Tx = 0, quindiogni successione limitata di kerT ammette una sottosuccessione convergente in kerT , quindi peril corollario D.1.1 lo spazio kerT ha dimensione finita. In modo identico si vede che kerT ∗ hadimensione finita.

3) Sia H = H0 e H1 = R(T ); per il punto (1), H1 e un sottospazio chiuso. AnalogamenteH2 = T (H1) e un sottospazio chiuso, inoltre se x ∈ H2, allora esiste un y ∈ H1 ⊂ H tale chex = Ty, quindi H2 ⊂ H1. Procedendo per induzione si ottiene una successione Hi di sottospazichiusi tali che

H0 ⊃ H1 · · · ⊃ Hn ⊃ · · · (D.1.5)

Supponiamo ora per assurdo che per ogni n si abbia Hn 6= Hn+1; allora esisterebbe una successioneen tale che ‖en‖ = 1 e en ∈ Hn∩H⊥n+1. Se n > m si ha allora Ten, T em, en ∈ Hm+1 e em ∈ H⊥m+1

Ken −Kem = (en +Ken)− (em +Kem)− en + em = zmn + em (D.1.6)

dove zmn = (en +Ken)− (em +Kem)− en ∈ Hm+1, quindi si ha

‖Ken −Kem‖2 = ‖znm‖2 + ‖em‖2 ≥ 1 (D.1.7)

e quindi la successione Ken non avrebbe sottosuccessioni convergenti, contrariamente al fattoche en e una successione limitata e K e un operatore compatto, quindi esiste un n tale cheHn = Hn+1.

Supponiamo ora per assurdo che kerT = 0 e R(T ) = H1 6= H0; sia ora n il piu piccolonaturale tale che Hn = Hn+1 (in particolare si deve quindi avere n > 0), cioe T (Hn−1) = T (Hn) equindi per l’iniettivita di T (si ricordi che L operatore lineare e iniettivo se e solo se kerL = 0) siha Hn−1 = Hn, ma cio e contrario all’ipotesi che n sia il piu piccolo naturale tale che Hn = Hn+1,quindi si deve avere H0 = H1, cioe R(T ) = H e T e suriettivo.

Per la definizione di aggiunto si ha

(Tx, y) = (x, T ∗y) (D.1.8)

quindi kerT = R(T ∗)⊥ e kerT ∗ = R(T )⊥, ma si e visto che R(T ) = H, quindi kerT ∗ = 0.4) si applica (3) a S = I + K∗ (cio e lecito poiche K compatto ⇒ K∗ compatto) e si usa il

fatto che S∗ = T

114 APPENDICE D. COMPLEMENTI SUGLI OPERATORI COMPATTI

5) Si deve mostrare che kerT = R(T ∗)⊥ e kerT ∗ = R(T )⊥ hanno la stessa dimensione. Vediamoinnanzitutto che si ha

dim kerT ≥ dimR(T )⊥ (D.1.9)

Supponiamo per assurdo che sia dim kerT < dimR(T )⊥, allora esisterebbe un operatore linearee continuo (poiche tra spazi di dimensione finita per il punto 2) L : kerT → R(T )⊥ iniettivo manon surgettivo; si potrebbe allora estendere L ad un operatore L : H → R(T )⊥ ponendo Lx = 0per ogni x ∈ (kerT )⊥. L’operatore L : H → H cosı costruito avrebbe come immagine R(T )⊥ cheper il punto (2) e uno spazio di dimensione finita, quindi L risulta essere un operatore compatto equindi L+K e un operatore compatto. Inoltre ker(I +L+K) = 0, infatti da u+Ku+Lu = 0segue Tu = u+Ku = −Lu ∈ R(T )⊥, quindi Tu = Lu = 0, quindi u ∈ kerT e poiche L e iniettivosu kerT , si ha u = 0. Dal punto (3) segue allora che I +L+K e surgettivo, mentre se v ∈ R(T )⊥,v /∈ R(L) (un tale v esiste poiche L non e surgettivo) l’equazione Tu + Lu = u + Ku + Lu = vnon ha soluzioni, poiche sia v che Lu sono in R(T )⊥, quindi si dovrebbe avere v = L(u) mentrev 6∈ R(L), assurdo. Quindi si e dimostrata la relazione D.1.9.

Sostituendo K con K∗ la dimostrazione precedente resta valida e quindi si ottiene

dim kerT ∗ ≥ dimR(T ∗)⊥ (D.1.10)

quindi dimR(T )⊥ = dim kerT , cioe dim kerT ∗ = dim kerT .6) Nella (3) si e visto che kerT = 0 ⇒ R(T ) = H, cio se T e iniettivo e anche surgettivo.

Supponiamo ora che T sia surgettivo, cioe R(T ) = H, ma allora kerT ∗ = R(T )⊥ = 0 e quindiper il punto (4) si ha kerT = 0, cioe T e iniettivo.

Da ‖x‖ ≤ c‖Tx‖ (equazione D.1.3 con kerT = 0), sostituendo x con T−1y si vede che‖T−1y‖ ≤ c‖y‖, quindi T−1 e continua.

Il punto (6) del teorema precedente, non e in generale vero per gli operatori continui tra spazidi Hilbert che non siano della forma I +K:

1) sia X = `2 e L(x1, x2, . . . , xn, . . .) = (0, x1, x2, . . .); allora L e un operatore continuo ed eevidentemente iniettivo, ma non e suriettivo, in quanto ad esempio (1, 0, . . . , 0, . . .) non e nella suaimmagine.

2) sia X = `2 e sia L(x1, x2, . . . , xn, . . .) = (x2, x3, . . .), allora L e lineare e continuo. L esurgettivo: se (y1, y2, . . . , yn, . . .) ∈ `2 allora si ha L(1, y1, y2, . . .) = (y1, y2, . . .); ma L non einiettivo: L(1, y1, y2, . . .) = L(0, y1, y2, . . .).

E invece un fatto generale il fatto che se L e un operatore lineare continuo e biunivoco tradue spazi di Hilbert (piu in generale tra due spazi di Banach) allora L−1 e continuo. Per ladimostrazione vedi l’appendice sulle conseguenze del lemma di Baire.

D.2 Teoria spettrale

Definizione D.2.1. Sia T : H → H un operatore, H spazio di Hilbert. Si chiama spettro diT l’insieme σ(T ) dei numeri complessi λ tali che λI − T non e biunivoco. Si chiama spettropuntuale l’insieme σp(T ) dei numeri complessi tali che λI − T non e iniettivo. Gli elementi dellospettro puntuale si dicono autovalori , gli elementi di ker(λI − T ) si dicono autovettori relativiall’autovalore λ; ker(λI − T ) si chiama autospazio dell’autovalore λ.

Se lo spazio di Hilbert H della definizione precedente ha dimensione infinita, in generale σ(T ) 6=σp(T ).

Lemma D.2.1. Sia T : H → H un operatore e λ ∈ C, allora λ e un autovalore ⇔ esiste unvettore v 6= 0 tale che Tv = λv.

Dimostrazione. ⇐) (λI − T )0 = (λI − T )v = 0 e v 6= 0 quindi λI − T non e iniettivo e quindi λ eun autovalore.⇒) Sia λI − T non iniettivo, allora esistono x, y ∈ H tali che x 6= y e (λI − T )x = (λI − T )y

cioe (λI − T )(x− y) = 0; ponendo x− y = v si ha l’enunciato.

D.2. TEORIA SPETTRALE 115

Lemma D.2.2. Sia T : H → H un operatore lineare continuo di norma ‖T‖ allora se µ ∈ σ(T ),si ha |µ| ≤ ‖T‖.

Dimostrazione. sia µ ∈ C tale che |µ| > ‖T‖ e dimostriamo che µI − T e bigettivo: consideriamol’equazione Tu− µu = f ; essa e equivalente a

u =1µ

(Tu− f) (D.2.1)

ma e immediato vedere che la funzione u→ 1µ (Tu− f) e una contrazione, poiche

∥∥∥∥1µ

(Tu1 − f)− 1µ

(Tu2 − f)∥∥∥∥ =

1|µ| ‖T (u1 − u2)‖ ≤ ‖T‖|µ| ‖u1 − u2‖ < ‖u1 − u2‖ (D.2.2)

quindi essa ha un unico punto fisso, quindi l’equazione Tu − µu = f ha una e una sola soluzioneper ogni f ∈ H, cioe Tu− µu e biunivoco, quindi µ /∈ σ(T )

Nella dimostrazione dei seguenti due teoremi si usera un teorema (per la dimostrazione delquale si rimanda alla appendice sulle conseguenze del lemma di Baire) secondo il quale se T e unoperatore lineare continuo e biunivoco tra spazi di Banach, allora T−1 e pure continuo.

Teorema D.2.1. Sia T : H → H un operatore lineare continuo, allora σ(T ) e un insiemecompatto.

Dimostrazione. per il lemma precedente σ(T ) e limitato in C, quindi bastera quindi mostrareche e anche chiuso per dedurne che e compatto usando il teorema di Bolzano-Weierstrass. Siaρ(T ) = [σ(T )]c (ρ(T ) ⊂ C e detto insieme risolvente di T ) e λ0 ∈ ρ(T ) e dato f ∈ H studiamol’equazione Tu− λu = f ; essa puo essere riscritta come

u = (T − λ0I)−1[f + (λ− λ0)u] (D.2.3)

E immediato verificare che il secondo membro di D.2.3 e una contrazione se

|λ− λ0| ‖(T − λ0I)−1‖ < 1 (D.2.4)

e quindi B(λ0, 1/[2‖(T − λ0I)−1]‖) ⊂ ρ(T ), quindi ρ(T ) e aperto e quindi σ(T ) e chiuso e quindicompatto.

Teorema D.2.2. Sia K : H → H un operatore compatto e H abbia dimensione infinita, allora0 ∈ σ(T ).

Dimostrazione. supponiamo per assurdo che 0 /∈ σ(K), allora K e biunivoco e, poiche e compatto,continuo; allora per il teorema citato si dovrebbe avere che K−1 e ancora un operatore continuo.Ma allora K K−1 = I dovrebbe essere un operatore compatto, mentre in dimensione infinital’identita non e un operatore compatto.

Teorema D.2.3. Sia H uno spazio di Hilbert e K un operatore compatto su H, allora valgono leseguenti affermazioni:

1. K ha al piu un insieme numerabile di autovalori aventi come unico possibile punto di accu-mulazione 0.

2. gli autospazi relativi ad autovalori non nulli hanno dimensione finita.

3. σ(K)\0 = σp(K)\0

116 APPENDICE D. COMPLEMENTI SUGLI OPERATORI COMPATTI

Dimostrazione. 1) mostriamo innanzitutto che σp(K) non ha punti di accumulazione diversi da0. Supponiamo per assurdo che esista una successione λn di autovalori distinti e non nulli taleche λn → λ 6= 0 e sia un un autovettore (non nullo) di λn. Definiamo quindi µn = 1/λn eVn = spanu1, . . . , un. Sia ora v1 ∈ V1 tale che ‖v1‖ = 1 e per n ≥ 2 sia vn ∈ Vn ∩ V ⊥n−1 tale che‖vn‖ = 1; cio ha senso poiche autovettori non nulli relativi ad autovalori diversi sono linearmenteindipendenti, quindi un non e in Vn−1 e quindi Vn ∩ V ⊥n−1 e diverso da 0; esplicitamente si ha(dove Nn e una costante di normalizzazione)

vn = Nn

[un −

n−1∑

i=1

(ui, un)ui

](D.2.5)

e quindi vn − µnKvn ∈ Vn−1. Se n > m si ha allora vn − µnKvn ∈ Vn−1, µmKvm ∈ Vn−1 evn ∈ V ⊥n−1, quindi

K(µnvn − µmvm) = vn − (vn − µnKvn + µmKvm) = vn − z (D.2.6)

con vn ∈ V ⊥n−1 e z ∈ Vn−1, quindi

‖K(µnvn)−K(µmvm)‖2 = ‖vn‖2 + ‖z‖2 > 1 (D.2.7)

quindi dalla successione K(µnvn) non si possono esttrarre sottosuccessioni convergenti, contrari-amente al fatto che K e un operatore compatto e che µnvn e una successione limitata.

Si e quindi visto che l’unico possibile punto di accumulazione per σp(K) e 0. Definiamo ora

An = σp(K) ∩B(0, 1/n)c ∩B(0, ‖K‖) (D.2.8)

si ha evidentemente σp(K)\0 =⋃∞n=1An, quindi per mostrare che σp(K) e al piu numerabile

basta mostrare che ogni An consiste solo di un numero finito di elmenti. Supponiamo per assurdoche An abbia infiniti elementi, allora per il teorema di Bolzano-Weierstrass (seconda forma), Andovrebbe avere un punto di accumulazione in C, ma un punto di accumulazione y di An sarebbeanche un punto di accumulazione per σp(K), quindi si dovrebbe avere y = 0, ma y = 0 non puoessere punto di accumulazione di An per nessun n, quindi ogni An e composto al piu da un numerofinito di elementi.

2) discende dal punto (2) del teorema dell’alternativa.3) discende dal punto (6) del teorema dell’alternativa.

Bibliografia: quanto precede e con minime variazioni quanto riportato nei paragrafi 3 e 4 delcapitolo X di [4]. Tutti i risultati qui riportati possono essere estesi a spazi di Banach (ovviamentecon una diversa definizione di aggiunto) vedi [1],[6], [9].

Appendice E

Problema di Sturm-Liouville

In questa appendice saranno dati per conosciuti alcuni aspetti elementari della teoria delle equazionidifferenziali lineari.

Si vuole mostrare come i risultati ottenuti per gli operatori compatti autoaggiunti siano appli-cabili ad una notevole classe di problemi ai limiti, cio che sara fatto nel secondo paragrafo. Nelprimo si chiarisce il perche della forma del problema di Sturm-Liouville.

E.1 Problemi ai limiti

Si chiama problema ai limiti del secondo ordine il problema consistente nella risoluzione dell’e-quazione

a2(x)y′′ + a1(x)y′ + a0(x)y = h(x) (E.1.1)

dove a0, a1, a2, h sono funzioni continue nell’intervallo [a, b] e a2(x) 6= 0, con le condizioni ai limiti

α1y(a) + α2y′(a) + α3y(b) + α4y

′(b) = γ1 (E.1.2)β1y(a) + β2y

′(a) + β3y(b) + β4y′(b) = γ2 (E.1.3)

E comodo introdurre le seguenti notazioni abbreviate: L : C2(a, b)→ C(a, b), Bi : C1(a, b)→ R nelmodo seguente:

(Ly)(x) = a2(x)y′′(x) + a1(x)y(x) + a0y(x) (E.1.4)B1y = α1y(a) + α2y

′(a) + α3y(b) + α4y′(b) (E.1.5)

B2y = β1y(a) + β2y′(a) + β3y(b) + β4y

′(b) (E.1.6)

quindi il problema ai limiti si puo riscrivere come

Ly = h; B1y = γ1; B2y = γ2 (E.1.7)

Si chiama problema ai limiti omogeneo quello in cui h = 0, γ1 = γ2 = 0.Il seguente teorema e noto come teorema dell’alternativa per i problemi ai limiti.

Teorema E.1.1 (esistenza e unicita). Siano u(x), v(x) due soluzioni indipendenti di Ly = 0.Allora il problema ai limiti E.1.7 ammette una soluzione unica per ogni h continua, γ1, γ2 ∈ R see solo se

det(B1u B1vB2u B2v

)6= 0 (E.1.8)

cioe se il problema omogeneo associato ha la sola soluzione nulla.

117

118 APPENDICE E. PROBLEMA DI STURM-LIOUVILLE

Dimostrazione. sia w(x) una soluzione particolare di Ly = h, allora la soluzione generale di Ly = hha la forma y(x) = c1u(x) + c2v(x) +w(x). Affinche la soluzione generale verifichi le condizioni ailimiti E.1.7 si deve avere

(B1u B1vB2u B2v

)(c1c2

)=(γ1 −B1wγ2 −B2w

)(E.1.9)

Il sistema precedente ammette soluzione per ogni h(x), γ1, γ2 se e solo se la condizione E.1.8 esoddisfatta; in questo caso la soluzione e inoltre anche unica. Se in E.1.9 si pone γ1 = γ2 = 0 ew(x) = 0 si ottiene il caso del problema omogeneo e la condizione E.1.8 e equivalente al fatto chein questo caso l’unica soluzione sia c1 = c2 = 0, cioe la soluzione nulla.

Lemma E.1.1. Nelle ipotesi del teorema di esistenza la soluzione del problema ai limiti Ly = h,y(a) = 0, y′(a) = 0 puo essere scritta nella forma

y(x) =∫ b

a

G0(x, t)h(t)dt (E.1.10)

dove G0(x, t) e una funzione continua su [a, b]× [a, b].

Dimostrazione. sia w(x, t) la soluzione (nella variabile x) del problema di Cauchy

Ly = 0y(t) = 0y′(t) = 1

(E.1.11)

e mostriamo che la soluzione del problema Ly = h, y(a) = 0, y′(a) = 0 e

Y (x) =∫ x

a

w(x, t)h(t)a2(t)

dt (E.1.12)

Si usera la seguente formula di semplice verifica: se z(x) =∫ xaf(x, t)dt dove f e derivabile due

volte rispetto a x, allora

z′(x) = f(x, x) +∫ x

a

∂f(x, t)∂x

dt (E.1.13)

Applicando la formula E.1.13 a E.1.12 e ricordando la definizione di w(x, t) si ottiene subito

Y ′(x) = w(x, x)h(x)a2(x)

+∫ x

a

w′(x, t)h(t)a2(t)

=∫ x

a

w′(x, t)h(t)a2(t)

Y ′′(x) = w′(x, x)h(x)a2(x)

+∫ x

a

w′′(x, t)h(t)a2(t)

=h(x)a2(x)

+∫ x

a

w′′(x, t)h(t)a2(t)

quindi si ha Y (a) = 0 e Y ′(a) = 0 e infine

a2(x)Y ′′(x) + a1(x)Y ′(x) + a0(x)Y (x) = h(x) + (E.1.14)

+∫ x

a

[a2(x)w′′(x, t) + a1(x)w′(x, t) + a0(x)w(x, t)]h(t)a2(t)

dt = h(x)

quindi E.1.12 e soluzione del problema Ly = 0, y(a) = 0, y′(a) = 0. E a questo punto immediatovedere che la E.1.12 puo essere scritta nella forma E.1.10 ponendo

G0(x, t) =w(x, t)/a2(t) se a ≤ t ≤ x ≤ b0 se a ≤ x < t ≤ b (E.1.15)

G0 e continua poiche per costruzione w(x, x) = 0.

E.1. PROBLEMI AI LIMITI 119

Teorema E.1.2 (Esistenza della funzione di Green). Nelle ipotesi del teorema di esistenzaesiste una unica funzione G(x, t) : [a, b] × [a, b] → R continua tale che la soluzione del problemaLy = h, B1y = 0, B2y = 0 e data da

y(x) =∫ b

a

G(x, t)h(t)dt (E.1.16)

Una tale G(x, t) si chiama funzione di Green o in certi testi nucleo integrante.

Dimostrazione. Dimostriamo innanzitutto l’unicita: siano G1, G2 due funzioni che soddisfanoE.1.16, allora per l’unicita della soluzione si ha

∫ b

a

(G1(x, t)−G2(x, t))h(t)dt = 0 (E.1.17)

scegliendo in particolare h(t) = G1(x, t)−G2(x, t) si ottiene che G1(x, t) = G2(x, t).Dimostriamo ora che una funzione G come nell’enunciato esiste: cerchiamo una funzione della

formaG(x, t) = d1(t)u(x) + d2(t)v(x) +G0(x, t) (E.1.18)

dove di sono funzioni continue, u, v sono due soluzioni indipendenti di Ly = 0 e G0 e la funzionedefinita nel lemma E.1.1. E immediato vedere che la E.1.18 inserita all’interno di E.1.16 rende lay soluzione di Ly = h. Resta ora da determinare d1, d2 in modo tale che B1y = 0 e B2y = 0;affinche una tale condizione sia soddisfatta e sufficiente che B1G(x, t) = 0 e B2G(x, t) = 0 per ognit ∈ [a, b] (gli operatori Bi sono applicati alla variabile x). Imporre questa seconda condizione eequivalente a risolvere il seguente sistema lineare nelle incognite d1(t), d2(t):

(B1u B1vB2u B2v

)(d1(t)d2(t)

)= −

(B1G0(x, t)B2G0(x, t)

)(E.1.19)

e il sistema precedente ha una soluzione a causa di E.1.8.

Lemma E.1.2. Siano a2 ∈ C2, a1 ∈ C1 e a0 ∈ C con a2(x) 6= 0 su [a, b] e sia L l’operatore definitoin E.1.4. Definendo L∗ come

L∗z = (a2(x)z)′′ − (a1(x)z)′ + a0(x)z (E.1.20)

e usando il prodotto scalare ( , ) di L2 si ha la seguente identita per ogni y, z ∈ C2

(Ly, z)− (y, L∗z) = a2(x)[y′(x)z(x)− y(x)z′(x)]ba + [(a1(x)− a′2(x))y(x)z(x)]ba (E.1.21)

L’operatore L∗ e detto operatore aggiunto di L.

Dimostrazione. Si ha

(Ly, z) =∫ b

a

(a2(x)y′′(x) + a1(x)y′(x) + a0(x)y(x))z(x)dx (E.1.22)

inoltre integrando per parti si ha∫ b

a

a2y′′(x)z(x)dx = [y′(x)a2(x)z(x)]ba −

∫ b

a

y′(x)(a2z)′(x)dx = (E.1.23)

= [y′(x)a2(x)z(x)]ba − [y(x)(a2z)′(x)]ba +∫ b

a

y(x)(a2z)′′(x)dx

e analogamente∫ b

a

a1(x)y′(x)z(x)dx = [y(x)a1(x)z(x)]ba −∫ b

a

y(x)(a1z)′(x)dx (E.1.24)

Inserendo E.1.23 e E.1.24 all’interno di E.1.22 e usando E.1.20 si ottiene E.1.21.


Teorema E.1.3. Consideriamo il problema Ly = 0, B1y = 0, B2y = 0 e supponiamo che i vet-tori (α1, α2, α3, α4), (β1, β2, β3, β4) che definiscono B1, B2 siano linearmente indipendenti. Alloraesistono

B∗1z = γ1z(a) + γ2z′(a) + γ3z(b) + γ4z

′(b) (E.1.25)B∗2z = δ1z(a) + δ2z

′(a) + δ3z(b) + δ4z′(b) (E.1.26)

tali che (Ly, z) = (y, L∗z) per tutte le funzioni y, z ∈ C2 che soddisfano B1y = B2y = 0 e B∗1z =B∗2z = 0. I coefficienti γi, δi non sono unici, ma lo spazio delle funzioni z che soddisfano B∗1z =B∗2z = 0 e unico.

Dimostrazione. il secondo membro di E.1.21 puo essere scritto come ~yTC~z dove~y = (y(a), y′(a), y(b), y′(b))T , ~z = (z(a), z′(a), z(b), z′(b))T e

C =( −D(a) 0

0 D(b)

); D(x) =

(a1(x)− a′2(x) −a2(x)

a2(x) 0

)(E.1.27)

Consideriamo una matrice invertibile 4×4, sia essa B, le cui due prime colonne siano i vettori(α1, α2, α3, α4)T e (β1, β2, β3, β4)T , allora (B1y,B2y, . . .) = ~yTB e quindi si ottiene

~yTC~z = (B1y,B2y, . . .)B−1C~z (E.1.28)

Se si denotano con (γ1, γ2, γ3, γ4) e (δ1, δ2, δ3, δ4) le ultime due righe della matrice B−1C si vedesubito che se y, z ∈ C2 sono tali che B1y = B2y = 0 e B∗1z = B∗2z = 0 allora ~yTC~z = 0 e quindi(Ly, z) = (y, L∗z).

I coefficienti γi, δi dipendono evidentemente dalla matrice B scelta. Se B e un’altra matriceinvertibile le cui due prime colonne sono uguali a quelle di B, si ha allora che esistono due matrici2×2 U, V , V invertibile, tali che

B = B

(I U0 V

); B−1 =

(I −UV −1

0 V −1

)B−1 (E.1.29)

dove I e la matrice identita 2×2. I coefficienti γi, δi corrispondenti alla scelta di B sono alloralegati a γi, δi da (

γ1 γ2 γ3 γ4

δ1 δ2 δ3 δ4

)= V −1

(γ1 γ2 γ3 γ4

δ1 δ2 δ3 δ4

)(E.1.30)

e quindi generano condizioni ai limiti equivalenti alle E.1.25,E.1.26

Definizione E.1.1. Se il problema ai limiti Ly = 0, B1y = B2y = 0 soddisfa le ipotesi delteorema E.1.3 allora il problema L∗y = 0, B∗1y = B∗2y = 0 come definiti in E.1.20, E.1.25, E.1.26si dice problema aggiunto. Un problema si dice autoaggiunto se per ogni y, z ∈ C2 che soddisfanoB1y = B2y = 0 e B∗1z = B∗2z = 0 si ha (Ly, z) = (y, Lz).

L’importanza dei problemi autoaggiunti e data dal seguente:

Teorema E.1.4. Supponiamo il problema Ly = 0, B1y = B2y = 0 soddisfi le ipotesi del teoremaE.1.3, allora esso ammette soluzione unica se e solo se il problema aggiunto L∗y = 0, B∗1y =B∗2y = 0 ammette soluzione unica. In questo caso le funzioni di Green dei due problemi soddisfanola relazione

G∗(x, t) = G(t, x) (E.1.31)

in particolare la funzione di Green di un problema autoaggiunto e simmetrica.

Dimostrazione. supponiamo che Ly = 0, B1y = B2y = 0 possieda una sola soluzione e denotiamocon z una soluzione del problema aggiunto L∗z = 0, B∗1z = B∗2z = 0. Sia Y (x) la soluzione delproblema Ly = z, B1y = B2y = 0, allora si ha

‖z‖2 = (z, z) = (LY, z) = (Y, L∗z) = (Y, 0) = 0 (E.1.32)

E.2. PROBLEMA DI STURM-LIOUVILLE 121

e quindi z = 0 e il problema aggiunto ha soluzione unica. L’altra implicazione si mostra in modoidentico.

Per mostrare la relazione E.1.31 consideriamo due funzioni continue f, g e definiamo

y(x) =∫ b

a

G(x, t)f(t)dt; z(x) =∫ b

a

G∗(x, t)g(t)dt (E.1.33)

per la definizione di funzione di Green le funzioni y, z soddisfano allora i problemi ai limiti Ly = f ,B1y = B2y = 0 e L∗z = g, B∗1z = B∗2z = 0. La relazione (Ly, z) = (y, L∗z) (cioe (f, z) = (y, g))diventa allora ∫ b

a

∫ b

a

(G∗(x, t)−G(t, x))f(x)g(t)dtdx = 0 (E.1.34)

che deve essere verificata per ogni f, g continua, quindi si ottiene G∗(x, t) = G(t, x).

Riassumendo si ottiene quindi che, sotto certe ipotesi, se un problema ai limiti e autoaggiuntol’operatore che associa la funzione continua f alla soluzione del problema Ly = f , B1y = B2y = 0e un operatore compatto autoaggiunto.

Lemma E.1.3. Condizione necessaria affinche il problema Ly = 0, B1y = B2y = 0 sia autoag-giunto e che L abbia la forma

Ly = (a2(x)y′)′ + a0(x)y (E.1.35)

Dimostrazione. sviluppando l’espressione E.1.20 si ottiene

L∗z = a2(x)z′′ + (2a′2(x)− a1(x))z′ + (a′′2(x)− a′1(x) + a0(x))z (E.1.36)

quindi affinche sia L = L∗ si deve avere a′2(x) = a1(x), cioe L deve avere la forma E.1.35.

Teorema E.1.5. Il problema

(a2(x)y′)′ + a0(x)y = h (E.1.37)αy(a) + βy′(a) = 0; α2 + β2 > 0 (E.1.38)γy(b) + δy′(b) = 0; γ2 + δ2 > 0 (E.1.39)

e un problema autoaggiunto con B∗1 = B1, B∗2 = B2 e si chiama problema di Sturm-Liouville.

Dimostrazione. dal lemma precedente segue che L = L∗ e da E.1.21 si ha

(Ly, z)− (y, Lz) = [a2(x)(y′(x)z(x)− y(x)z′(x))]ba (E.1.40)

Si vede inoltre semplicemente che y′(x)z(x) − y(x)z′(x) si annulla sia in a che in b: supponendoad esempio α 6= 0 si ha

y′(a)z(a)− y(a)z′(a) = y′(a)(−βαz′(a)

)−(−βαy′(a)

)z′(a) = 0 (E.1.41)

E.2 Problema di Sturm-Liouville

In questa sezione saranno ridimostrati sotto ipotesi piu generali alcuni teoremi della sezioneprecedente.


Definizione E.2.1. Si chiama problema di Sturm-Liouville il problema consistente nel risolvere

Ly =ddt

(p(t)

dydt

)+ q(t)y = f(t) (E.2.1)

con le condizioni ai limiti

α1y(a) + α2y′(a) = 0 (E.2.2)

β1y(b) + β2y′(b) = 0 (E.2.3)

dove p ∈ C1, q ∈ C, p(x) > 0 su [a, b] e f ∈ L2. Si chiamano autovalori del problema di Sturm-Liouville i λ ∈ C tali che il problema Ly = λy con le condizioni ai limiti E.2.2 e E.2.3 ammetteuna soluzione non nulla; le soluzioni non nulle corrispondenti ad un determinato autovalore sichiamano autofunzioni.

Poiche si e supposto f ∈ L2 una soluzione del problema di Sturm-Liouville deve essere continua,derivabile q.o. e l’uguaglianza in E.2.1 deve essere vera quasi ovunque.

Lemma E.2.1. Consideriamo il problema di Sturm-Liouville E.2.1, E.2.2, E.2.3 e supponiamoche 0 non sia un autovalore del problema. Allora se il problema ammette una soluzione essa eunica.

Dimostrazione. supponiamo per assurdo che il problema ammetta due soluzioni distinte y1, y2,allora y = y1 − y2 soddisfa Ly = 0 e le condizioni ai limiti E.2.2 e E.2.3 e poiche y1 6= y2 si hay 6= 0, contraddicendo il fatto che 0 non e un autovalore del problema.

Teorema E.2.1 (Esistenza della funzione di Green). Consideriamo il problema di Sturm-Liouville E.2.1, E.2.2, E.2.3 e supponiamo che 0 non sia un autovalore, allora esiste k : [a, b] ×[a, b]→ R continua e simmetrica tale che l’unica soluzione del problema considerato e data da

y(x) =∫ b

a

k(x, t)f(t)dt (E.2.4)

k(x, t) si dice funzione di Green del problema di Sturm-Liouville.

Dimostrazione. dalla teoria elementare delle equazioni differenziali lineari segue che esiste unaunica soluzione u(t) del problema di Cauchy Lu = 0, u(a) = −α2, u′(a) = α1 ed un’unicasoluzione v(t) del problema di Cauchy Lv = 0, v(b) = −β2, v′(b) = β1. L’ipotesi che 0 non siaun autovalore del problema mostra che u e v sono linearmente indipendenti, infatti u soddisfaα1u(a) + α2u

′(a) = 0 e v soddisfa β1v(b) + β2v′(b) = 0, quindi se fosse ad esempio u = cost · v, u

sarebbe una autofunzione di 0.Poniamo

k(x, t) =lu(x) se a ≤ x ≤ tmv(x) se a ≤ t < x

(E.2.5)

dove l,m sono costanti da determinare. Scegliamo l,m in modo che esse soddisfino

mv(t)− lu(t) = 0 (E.2.6)p(t)[mv′(t)− lu′(t)] = 1 (E.2.7)

Risolvendo si ottienel = v(t)/∆; m = u(t)/∆ (E.2.8)

dove ∆ = p(t)(v′u−u′v) = p(t)W (u, v) e W (u, v) e il wronskiano di u, v, che e diverso da 0 poicheu, v sono indipendenti. Inoltre

d∆dt

= u(pv′)′ + u′(pv′)− v(pu′)′ − v′(pu′) = −quv + vqu = 0 (E.2.9)


quindi ∆ e una costante e si ha

k(x, t) =u(x)v(t)/∆ se a ≤ x ≤ tu(t)v(x)/∆ se a ≤ t < x

(E.2.10)

Per completare la dimostrazione basta verificare direttamente che y come definita da E.2.4 esoluzione del problema di Sturm-Liouville.

Poiche y′(x) =∫ ba∂xk(x, t)f(t)dt e quando x = a si ha x ≤ t su tutto l’intervallo di integrazione,

si ha

y(a) =1∆

∫ b

a

u(a)v(t)f(t)dt; y′(a) =1∆

∫ b

a

u′(a)v(t)f(t)dt (E.2.11)

e quindi α1y(a) +α2y′(a) = 0 poiche per costruzione si ha α1u(a) +α2u

′(a) = 0. Analogamente sivede che e soddisfatta la condizione in b. Si ha inoltre

∆y(x) = ∆∫ b

a

k(x, t)f(t)dt = v(x)∫ x

a

u(t)f(t) + u(x)∫ a

x

v(t)f(t)dt (E.2.12)

quindi (usando il teorema fondamendamentale del calcolo secondo Lebesgue [vedi appendice D] edidentificando funzioni uguali q.o.) si ha

(∆y(x))′ = v(x)u(x)f(x) + v′(x)∫ x

a

u(t)f(t)dt− u(x)v(x)f(x) + (E.2.13)

+u′(x)∫ b

x

v(t)f(t)dt = v′(x)∫ x

a

u(t)f(t)dt+ u′(x)∫ b

x

v(t)f(t)dt

e analogamente

[p(x)(∆y(x))′]′ = (pv′)′∫ x

a

u(t)f(t)dt+ pv′uf + (pu′)′∫ b

x

v(t)f(t)dt− pu′vf = (E.2.14)

f∆ + (pv′)′∫ x

a

u(t)f(t)dt+ (pu′)′∫ b

x

v(t)f(t)dt

quindi infine

L(∆y) = (Lv)∫ x

a

u(t)f(t)dt+ (Lu)∫ b

x

v(t)f(t)dt+ pf(v′u− u′v) = f∆ (E.2.15)

Definizione E.2.2. Definiamo l’operatore K : L2 → L2 definito da Kf =∫ bak(x, t)f(t)dt.

Lemma E.2.2. Sia D l’insieme delle funzioni di L2 che hanno un rappresentante derivabile duevolte con derivata seconda in L2 e che soddisfa le condizioni al contorno E.2.2,E.2.3. Allora K esu D l’inverso di L.

Dimostrazione. sia y ∈ D tale che Ly = f , allora dal teorema precedente segue che Kf = KLy = y,quindi KL = I. Inoltre dalla dimostrazione del teorema precednte segue che LKf = f , quindiLK = I.

Teorema E.2.2. L’operatore K e compatto e autoaggiunto.

Dimostrazione. vedi corollario 3.4.2.

Teorema E.2.3. Valgono i seguenti:

1. 0 non e autovalore di K.


2. λ e autovalore di K se e solo se µ = 1/λ e un autovalore del problema di Sturm-Liouville dicui k e la funzione di Green.

Dimostrazione. 1) Se f e diversa da 0, una soluzione di Ly = f con condizioni al bordo E.2.2,E.2.3 e y = Kf , quindi Kf non puo essere uguale a zero, poiche zero non e soluzione di Ly = f .

2) Se Kφ = λφ e φ 6= 0, allora per il punto (1) λ 6= 0 e dal lemma E.2.2 segue che φ = λLφ e cheφ soddisfa le condizioni ai limiti, quindi 1/λ e autovalore di L. D’altra parte se µ e un autovaloredel problema di Sturm-Liouville, allora per ipotesi µ 6= 0 e Lφ = µφ, quindi φ = µKφ, quindi 1/µe autovalore di K.

Applicando quindi il teorema spettrale per gli operatori autoaggiunti all’operatore K si ottienequindi subito il seguente

Teorema E.2.4. Sia dato un problema di Sturm-Liouville che non abbia 0 come autovalore, allora

1. tutti gli autovalori sono reali e formano una successione µk tale che limk→∞ |µk| = +∞.

2. esiste una base ortonormale di L2(a, b) costituita da autofunzioni del problema.

3. gli autospazi hanno dimensione 1.

Dimostrazione. i punti (1) e (2) discendono dal teorema spettrale. Per quanto riguarda il terzo, dalteorema spettrale segue solo che gli autospazi hanno dimensione finita. Supponiamo per assurdo cheesistano due funzioni indipendenti u, v entrambe soluzioni di Ly = λy e che soddisfano le condizioniai limiti E.2.2, E.2.3, allora, poiche tutte le soluzioni di Ly = λy hanno la forma y = c1u + c2v,seguirebbe che tutte le soluzioni di Ly = λy sono autofunzioni del problema e cio e assurdo, inquanto si puo scegliere una soluzione del problema di Cauchy Ly = λy con y(a) = ξ, y′(a) = η conα1ξ + α2η 6= 0 che non e evidentemente autofunzione del problema.

Nel teorema precedente si e usata in modo fondamentale la assunzione che 0 non sia un au-tovalore del problema di Sturm-Liouville considerato. Questa e una assunzione piuttosto forte e,come si vedra subito, non e necessaria.

Per dimostrare cio scriviamo preliminarmente il problema di Sturm-Liouville in una forma piuconveniente: z e una autofunzione del problema di Sturm-Liouville con autovalore λ se z 6= 0 e zsoddisfa

(p(x)z′)′ + r(x)z + λz = 0 (E.2.16)αz(a) + βz′(a) = 0 α2 + β2 > 0γz(b) + δz′(b) = 0 γ2 + δ2 > 0

(E.2.17)

dove p(x) > 0 su [a, b], p ∈ C2 e r ∈ C. Sia f una funzione derivabile due volte che sara fissata inseguito ed applichiamo il cambiamento di variabile z(x) = f(x)y(x). L’equazione E.2.16 diventa

pf ′′y + 2pf ′y′ + pfy′′ + p′f ′y + p′fy′ + rfy + λfy = 0 (E.2.18)

Scegliendo f(x) = 1/√p(x) i termini sottolineati si annullano e si ottiene un’equazione della forma

p(x)y′′ − q(x)y + λy = 0 (E.2.19)

dove q(x) e una funzione continua. Tramite la precedente sostituzione, la prima delle condizioniE.2.17 diventa

0 = αz(a) + βz′(a) = [αf(a) + βf ′(a)]y(a) + [βf(a)]y′(a) = h1y(a) + k1y′(a) (E.2.20)

La trasformazione (α, β)→ (h1, k1) ha come matrice rappresentatriva

T =(f(a) f ′(a)

0 f(a)

)(E.2.21)


quindi detT = f2(a) = 1/p(a) 6= 0, quindi la trasformazione e biunivoca e quindi (α, β) = (0, 0) see solo se (h1, k1) = (0, 0), quindi si ha h2

1 + k22 > 0. Analogamente si ragiona per la seconda delle

E.2.17 ottenendo quindi

p(x)y′′ − q(x)y + λy = 0 (E.2.22)h1y(a) + k1y

′(a) = 0 h21 + k2

1 > 0h2y(b) + k2y

′(b) = 0 h22 + k2

2 > 0

(E.2.23)

dove p(x) > 0 su [a, b], p ∈ C2, q ∈ C. Da quanto appena visto segue

Lemma E.2.3. Se λ e un autovalore del problema E.2.16, E.2.17 allora λ e un autovalore delproblema E.2.22, E.2.23.

Teorema E.2.5. Esiste un numero reale r > 0 tale che se λ ≤ −r allora la unica soluzione diE.2.22, E.2.23 e y = 0.

Dimostrazione. la dimostrazione si divide in quattro casi (nel seguito per semplicita si usera lanotazione I = [a, b]):

caso 1 ) supponiamo k1k2 6= 0; si puo quindi supporre k1 = k2 = −1. Se fosse y(a) = 0 siavrebbe anche y′(a) = 0 e quindi il teorema risulterebbe in questo caso dimostrato. Supponiamoper assurdo che y(a) 6= 0; moltiplicando y per una adeguata costante si puo quindi supporre chey(a) = 1 e y′(a) = h1. Ponendo per ogni y(x) 6= 0 z = y′/y l’equazione E.2.22 diviene

z′ =q(x)p(x)

− λ

p(x)− z2 (E.2.24)

Sia ora M = supx∈I |q(x)|, ε = infx∈I p(x) > 0 e M ′ = supx∈I p(x) > 0 e supponiamo che

λ ≤ −M −M ′h21 − ε (E.2.25)

allora si ha

z′(a) =q(a)p(a)

− λ

p(a)− h2

1 ≥q(a)p(a)

+M

p(a)+

M ′

p(a)h2

1 +ε

p(a)− h2

1 ≥ε

p(a)> 0 (E.2.26)

e quindi z e strettamente crescente in un intorno destro di a. Si vuole ora mostrare che

y(x) 6= 0 in I; z(x) > h1 se x > a (E.2.27)

Supponiamo per assurdo che y si annulli in I e sia x1 il piu piccolo zero di y (x1 > a poichey(a) = 1); allora y(x) > 0 se a ≤ x < x1 e quindi y′(x1) ≤ 0; inoltre non si puo avere y′(x1) = 0altrimenti si avrebbe y = 0 su tutto I, quindi y′(x1) < 0. Inoltre si ha

q(x)− λ ≥ q(x) +M +M ′h21 + ε > 0 (E.2.28)

e quindi dall’equazione E.2.22 segue che y′′(x) > 0 se a ≤ x < x1 (poiche in questo intervalloy(x) > 0), quindi y′ e crescente per a ≤ x < x1 e quindi y′(x) < 0 in questo intervallo; da cio segueche limx→x−1 z(x) = −∞. Poiche z e continua su a ≤ x < x1 deve esistere in questo intervallo unminimo x2 tale che z(x2) = h1 e z(x) > h1 se a < x < x2 (poiche z(a) = h1 e z′(a) > 0), maquesto implica z′(x2) ≤ 0 mentre si ha

z′(x2) =q(x2)p(x2)

− λ

p(x2)− h2

1 > 0 (E.2.29)

da questo assurdo segue quindi la relazione E.2.27. Analogamente si mostra che se si ha λ ≤ −M−M ′h2

2− ε allora z(x) ≤ h2 in I. Sia c = max(|h1|, |h2|), si ha allora che se λ ≤ −M −M ′c2− ε < 0allora |z(x)| ≤ c su I; da E.2.24 si deduce allora

z′(x) ≥ −Mε− λ

M ′− c2 = µ (E.2.30)


quindi usando il teorema del valor medio si ottiene

h2 − h1 = z(b)− z(a) ≥ µ(b− a) (E.2.31)

Se ora si sceglie

λ ≤ −M′

εM −M ′c2 − ε−M ′

(1 +|h2 − h1|b− a

)(≤ −M −M ′c2 − ε) (E.2.32)

si ottiene

µ = −Mε− λ

M ′− c2 ≥ 1 +

|h2 − h1|b− a (E.2.33)

e quindi inserendo E.2.33 all’interno di E.2.31 si ottiene infine h2−h1 ≥ (b−a)+ |h2−h1| assurdo,quindi si deve avere y(a) = 0 e y(x) = 0 su I ed il teorema e dimostrato in questo caso.

caso 2 ) supponiamo ora k1 = 0 e k2 6= 0 (quindi si puo supporre k2 = −1); si deve allora averey(a) = 0 (poiche deve essere h1 6= 0) e se y′(a) = 0 si ha anche y(x) = 0 su I ed il teorema emostrato. Supponiamo per assurdo che y′(a) 6= 0; moltiplicando y per una appropriata costante sipuo allora supporre y′(a) = 1 e quindi si ha limx→a+ z(x) = +∞. Sia ora M ′ = supx∈I p(x) > 0 esupponiamo

λ ≤ −M − 2M ′ (E.2.34)

Si vuole ora mostrare chey′(x) ≥ 1 su I (E.2.35)

dall’equazione E.2.22 segue che y′′(x) > 0 in un intorno destro di a, quindi y′(x) > 1 in questointorno (poiche y′(a) = 1). Supponiamo ora che y′(x) = 1 per qualche x > a e sia x1 il piu piccolox > a tale che y′(x) = 1, allora y′(x) ≥ 1 se a < x ≤ x1 e quindi y(x) > 0 in questo intervallo(poiche y(a) = 0) e quindi usando E.2.22 si ha y′′(x) > 0, mentre per costruzione si dovrebbe averey′′(x1) ≤ 0, assurdo, quindi si e dimostrato E.2.35. Da cio segue che y > 0 su a < x ≤ b e quindiz e definita su a < x ≤ b. Mostriamo ora il seguente enunciato:

z(x) >

√−Mε− λ

M ′− 1 (E.2.36)

cio ha senso poiche se λ e abbastanza negativo si ha

−Mε− λ

M ′− 1 ≥ 0 (E.2.37)

supponiamo ora per assurdo che x2 sia il piu piccolo numero tale che z(x2) =√−Mε − λ

M ′ − 1(x2 > a poiche limx→a+ z(x) = +∞). In x2 si dovrebbe allora avere z′(x2) ≤ 0 mentre da E.2.24segue

z′(x2) ≥ −Mε− λ

M ′− z2(x2) = −M

ε− λ

M ′+M

ε+

λ

M ′+ 1 = 1 > 0 (E.2.38)

assurdo, quindi E.2.36 e vera.Se ora supponiamo λ abbastanza piccolo (abbastanza negativo) da far sı che h2

2 < −Mε − λM ′ −1

si trova che la relazione z(b) = h2, che dovrebbe essere verificata, e impossibile, quindi nuovamentesi deve avere y(x) = 0 su I ed il teorema e mostrato anche in questo caso.

caso 3 ) se k1 6= 0 e k2 = 0 si procede in modo analogo al caso 2.caso 4 ) supponiamo infine k1 = k2 = 0, allora si ha y(a) = 0 (poiche h1 6= 0) e se fosse y′(a) = 0

si avrebbe y(x) = 0 su I. Supponiamo per assurdo y′(a) 6= 0, allora si puo supporre y′(a) = 1 edusando E.2.35 si ottiene che y e strettamente crescente, contrariamente al fatto che si deve averey(b) = 0, assurdo, quindi anche in quest’ultimo caso si deve avere y(x) = 0 su I ed il teorema edimostrato.


Corollario E.2.1. Dato il problema di Sturm-Liouville avente come dati

Ly = (p(x)y′)′ + q(x)y′ (E.2.39)αy(a) + βy′(a) = 0 α2 + β2 > 0γy(b) + δy′(b) = 0 γ2 + δ2 > 0

(E.2.40)

esiste un R ∈ R tale che il problema

L′y = (p(x)y′)′ + (q(x)−R)y′ (E.2.41)αy(a) + βy′(a) = 0 α2 + β2 > 0γy(b) + δy′(b) = 0 γ2 + δ2 > 0

(E.2.42)

non ha 0 come autovalore, inoltre i due problemi hanno le stesse autofunzioni.

Dimostrazione. Sia R > r (dove r e quello del teorema precedente) e supponiamo per assurdo cheil problema E.2.41, E.2.42 ammetta zero come autovalore, allora dovrebbe esistere y 6= 0 tale che

(p(x)y′)′ + (q(x)−R)y′ = 0 (E.2.43)

e che soddisfa E.2.42, quindi per il lemma E.2.3 λ = −R dovrebbe essere autovalore del problemaE.2.22, E.2.23, quindi per il teorema precedente si deve avere λ > −r (poiche y 6= 0), ma −R < −r,assurdo.

La seconda affermazione della tesi segue dal fatto immediato che se Ly = λy allora L′y =(λ−R)y.

Corollario E.2.2. Il teorema E.2.4 vale anche se un problema di Sturm-Liouville ha 0 comeautovalore.

Esempio E.2.1. sinnx, cosnxn∈N e una base di L2(−π, π).

Dimostrazione. le funzioni sinnx sono autofunzioni del problema Ly = y′′, y(0) = 0, y(π) = 0e quindi formano una base di L2(0, π). Analogamente cosnx sono le autofunzioni del problemaLy = y′′, y′(0) = 0, y′(π) = 0 e sono quindi anch’esse una base di L2(0, π). Mostriamo che sinnxformano una base dello spazio delle funzioni dispari di L2(−π, π): sia f dispari e in L2(−π, π) taleche

∫ π−π f(x) sinnxdx = 0 per ogni n, allora si ha

0 =∫ π

−πf(x) sinnxdx = 2

∫ π

0

f(x) sinnxdx

e poiche sinnx e una base di L2(0, π) si ha f = 0 q.o. su [0, π] e poiche f e dispari f = 0 q.o. su[−π, π].

Analogamente si vede che cosnx e una base per le funzioni pari di L2(−π, π). Sia oraf ∈ L2(−π, π), allora si ha

f(x) =f(x) + f(−x)

2+f(x)− f(−x)

2= fp(x) + fd(x)

dove fp e pari e fd e dipari. Supponiamo ora che f sia ortogonale a sinnx, cosnxn∈N, allora

0 =∫ π

−πf(x) sinnxdx =

∫ π

−πfd(x) sinnxdx

quindi fd = 0 q.o. su [−π, π]; usando cosnx si vede che fp = 0 q.o. in [−π, π], quindi infine f = 0q.o su [−π, π], quindi il teorema e mostrato.

Bibliografia: la dimostrazione del teorema E.2.5 e tratta, con alcune modifiche, da [3]; lamaggior parte del resto dei teoremi e tratta da vari testi sulle equazioni differenziali.

Appendice F

Conseguenze del lemma di Baire

Teorema F.0.6 (Lemma di Baire). Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio di Banach e sia (An)n∈N unasuccessione di aperti densi, allora G =

⋂n∈NAn e denso in X.

Dimostrazione. sia x ∈ X, ε > 0 e definiamo ω = B(x, ε), si deve dimostrare che G ∩ ω 6= ∅.Scegliamo x0 ∈ ω e r0 > 0 tali che B(x0, r0) ⊂ ω. Scegliamo ora x1 ∈ B(x0, r0) ∩A1 e r1 > 0 taleche

B(x1, r1) ⊂ B(x0, r0) ∩A1; 0 < r1 <r0

2(F.0.1)

il che e possibile poiche A1 e un aperto denso. Proseguendo in maniera analoga, data B(xn, rn) sicostruisce la successione sfere chiuse

B(xn+1, rn+1) ⊂ B(xn, rn) ∩An+1; 0 < rn+1 <rn2

(F.0.2)

questa e per costruzione una successione di sfere incapsulate con raggio tendente a zero, ne seguesemplicemente che la successione xn e di Cauchy, quindi ammette limite, sia esso x. Poichexn+k ∈ B(xn, rn) per ogni n, k ≥ 0 si ha al limite

x ∈ B(xn, rn) (F.0.3)

e quindi in particolare x ∈ ω ∩G.

Passando ai complementari e usando le formule di de Morgan si ottiene una formulazioneequivalente del lemma di Baire:

Teorema F.0.7. Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio di Banach e sia Cnn∈N una successione di chiusiaventi parte interna vuota, allora l’insieme F =

⋃∞n=0 Cn ha parte interna vuota.

Corollario F.0.3. Sia (X, ‖ ‖X) uno spazio normato completo e sia Cnn∈N una successionedi chiusi tale che X =

⋃∞n=0 Cn, allora esiste un k ∈ N tale che Ck ha parte interna non vuota.

Teorema F.0.8 (Teorema della applicazione aperta). Siano (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ) spazinormati completi e sia L : X→ Y una trasformazione lineare continua suriettiva, allora esiste unδ > 0 tale che

B(0, δ) ⊂ L(B(0, 1)) (F.0.4)

Dimostrazione. consideriamo la successione di insiemi

Cn = L(B(0, n)) (F.0.5)

poiche L e suriettivo si ha Y =⋃∞n=0 Cn, quindi per il corollario F.0.3 esiste un k ∈ N tale che

L(B(0, k)) ha chiusura con parte interna non vuota, quindi un insieme aperto non vuoto W che econtenuto nella chiusura di L(B(0, k)). Sia y0 ∈ W e sia η > 0 tale che B(y0, η) ⊂ W , allora se

128

129

‖y‖Y < η, sia y0 che y+ y0 sono contenuti nella chiusura di L(B(0, k)), quindi esistono successionix′i e x′′i tali che x′i, x

′′i ∈ B(0, k) per ogni i ∈ N e

limi→∞

L(x′i) = y0, limi→∞

L(x′′i ) = y0 + y (F.0.6)

ponendo xi = x′′i − x′i si ha quindi

‖xi‖X ≤ ‖x′i‖X + ‖x′′i ‖X < 2k (F.0.7)

e poiche L e lineare e continuo si ha limi→∞ L(xi) = y. Si conclude quindi che per ogni y ∈ Y taleche ‖y‖Y < η esiste una successione xi in X tale che ‖xi‖X < 2k per ogni i e limi→∞ L(xi) = y.

Sia ora y ∈ Y generico (ma 6= 0) e sia N > 0 tale che 0 < N/2 < ‖y‖Y < N , allora ‖yηN ‖Y < η,quindi esiste una successione zn ∈ X tale che ‖zi‖X ≤ 2k e limi→∞ L(zi) = yη

N , ma allora per lalinearita limi→∞ L(ziN/η) = y, inoltre

‖ziN/η‖X ≤ ‖zi‖XNη<

2kNη

=4kη

N

2< δ−1‖y‖Y (F.0.8)

dove si e posto δ = η/4k (che e indipendente da y). Si ottiene quindi in particolare che, fissatoε > 0, ad ogni z ∈ Y corrisponde un x ∈ X tale che

‖x‖X < δ−1‖z‖Y ; ‖z − L(x)‖Y < ε (F.0.9)

Siano ora y ∈ B(0, δ) ⊂ Y e ε > 0 fissati; per l’equazione F.0.9 esiste un x1 ∈ X tale che‖x1‖X < 1 e

‖y − L(x1)‖Y <12δε (F.0.10)

costruiamo ora per induzione la successione xi nel modo seguente: supponiamo dati x1, . . . , xn ∈X tali che

‖y − L(x1)− · · · − L(xn)‖Y < 2−nδε (F.0.11)

(la condizione precedente e soddisfatta per costruzione da x1), allora si puo usare l’equazione F.0.9con z = y − L(x1)− · · · − L(xn) per ottenere un xn+1 tale che

‖xn+1‖X < 2−nε (F.0.12)

e‖y − L(x1)− · · · − L(xn)− L(xn+1)‖Y < 2−(n+1)δε (F.0.13)

Se si pone sn = x1 + · · · + xn, l’equazione F.0.12 mostra che sn e una successione di Cauchy inX e, poiche quest’ultimo e completo, esiste un x ∈ X tale che sn → x; inoltre la disuguaglianza‖x1‖X < 1 unita con la F.0.12 mostra che ‖x‖X < 1 + ε e poiche L e continua si ha L(sn)→ L(x).A causa dell’equazione F.0.11 si ha allora L(x) = y.

Si e quindi mostrato cheB(0, δ) ⊂ L(B(0, 1 + ε)) (F.0.14)

e quindi per la linearita di L si ha per ogni ε > 0

B

(0,

δ

1 + ε

)⊂ L(B(0, 1)) (F.0.15)

Quindi si ha infine:

L(B(0, 1)) ⊃∞⋃

k=1

B

(0,

δ

1 + 1/k

)= B(0, δ) (F.0.16)

Il nome del teorema precedente e dovuto al seguente corollario:

130 APPENDICE F. CONSEGUENZE DEL LEMMA DI BAIRE

Corollario F.0.4. Siano (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ) spazi normati completi e sia L : X → Y unatrasformazione lineare continua suriettiva, allora per ogni A ⊂ X aperto L(A) ⊂ Y e aperto.

Dimostrazione. sia y ∈ L(A), allora esiste x ∈ A tale che L(x) = y, inoltre poiche A e aperto esisteun ε > 0 tale che B(x, ε) ⊂ A; per linearita si ha

L(B(x, ε)) = L(x+B(0, ε)) = y + εL(B(0, 1)) (F.0.17)

ma, per il teorema della applicazione aperta, esiste un δ > 0 tale che

B(0, δ) ⊂ L(B(0, 1)) (F.0.18)

quindiy + εB(0, δ) = B(y, εδ) ⊂ L(B(x, ε)) ⊂ L(A) (F.0.19)

quindi L(A) e aperto.

Corollario F.0.5. Siano (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ) spazi normati completi e sia L : X → Y unatrasformazione lineare continua biunivoca, allora L−1 e pure continua.

Dimostrazione. se L : X → Y e biunivoca e continua, dall’equazione F.0.4 segue che esiste unδ > 0 tale che per ogni x ∈ X tale che ‖L(x)‖Y < δ si ha ‖x‖X < 1. Sia ora x ∈ X tale che‖L(x)‖Y = d, allora si ha anche

(δ − ε)‖L(x)‖Y = (δ − ε)d (F.0.20)

da cuiδ − εd‖L(x)‖Y = δ − ε < δ (F.0.21)

quindi per linearita (supponendo ε < δ)∥∥∥∥δ − εd

x

∥∥∥∥X

< 1 (F.0.22)

cioe‖x‖X <

d

δ − ε (F.0.23)

e quindi al limite per ε→ 0 si ottiene

‖x‖X ≤ 1δd =

1δ‖L(x)‖Y (F.0.24)

cioe infine‖L−1(y)‖X ≤ 1

δ‖y‖Y (F.0.25)

che mostra che L−1 : Y → X e continua.

Corollario F.0.6. Sia X uno spazio vettoriale e siano ‖ ‖1, ‖ ‖2 due norme tali che (X, ‖ ‖1),(X, ‖ ‖2) siano entrambi spazi normati completi. Allora se ‖x‖1 ≤ C‖x‖2 le due norme sonoequivalenti.

Dimostrazione. da ‖x‖1 ≤ C‖x‖2 segue che I : (X, ‖ ‖2) → (X, ‖ ‖1) e una applicazione con-tinua. Per il teorema precedente anche la applicazione inversa e continua, ma I−1 = I, quindiI : (X, ‖ ‖1)→ (X, ‖ ‖2) e continua, cioe esiste c > 0 (c 6= 0 poiche I 6= 0) tale che ‖x‖2 ≤ c‖x‖1,quindi le due norme sono equivalenti.

Definizione F.0.3. Siano (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ) due spazi normati e L : ∆ ⊂ X → Y unaapplicazione lineare. Si dice che L ha grafico chiuso se il grafico di L e chiuso nello spazio (X ×Y, ‖ ‖X + ‖ ‖Y ).

131

E immediato verificare che se X,Y sono spazi di Banach, anche (X × Y, ‖ ‖X + ‖ ‖Y ) lo e.Il fatto che il grafico di L sia chiuso in (X × Y, ‖ ‖X + ‖ ‖Y ) significa che se zn ∈ GL e zn → zallora z ∈ GL, cioe se ‖zn − z‖ → 0 allora z ∈ GL dove ‖ ‖ = ‖ ‖X + ‖ ‖Y , cioe, se z = (x, y),x ∈ X, y ∈ Y , da

‖[zn]X − x‖X + ‖[zn]Y − y‖ → 0 (F.0.26)

segue (x, y) ∈ GL cioe x ∈ ∆ e y = L(x). Cio puo essere espresso nella seguente forma piuimmediata: se ‖xn − x‖X → 0 e ‖L(xn) − y‖Y → 0, allora x appartiene al dominio di L e si hay = L(x).

Teorema F.0.9 (Teorema del grafico chiuso). Siano (X, ‖ ‖X), (Y, ‖ ‖Y ) due spazi diBanach e sia L : X → Y una applicazione lineare avente grafico chiuso, allora L e continua.

Dimostrazione. consideriamo su X le due norme

‖x‖1 = ‖x‖X + ‖Lx‖Y ; ‖x‖2 = ‖x‖X (F.0.27)

Per ipotesi (X, ‖ ‖2) e uno spazio di Banach. Mostriamo che anche (X, ‖ ‖1) e uno spazio diBanach: sia zn ∈ X una successione di Cauchy per ‖ ‖1, allora in particolare xn e unasuccessione di Cauchy in (X, ‖ ‖X) e Lxn e una successione di Cauchy in (Y, ‖ ‖Y ), quindiesistono z ∈ X e t ∈ Y tali che ‖xn − z‖X → 0 e ‖Lxn − t‖Y → 0, ma poiche L ha grafico chiuso,t = Lz e quindi ‖zn − z‖1 → 0, quindi (X, ‖ ‖1) e completo.

Si ha inoltre evidentemente ‖x‖2 ≤ ‖x‖1 e quindi per il corollario precedente le due norme sonoequivalenti, quindi esiste c > 0 tale che ‖x‖1 ≤ c‖x‖2 cioe

‖x‖X + ‖Lx‖Y ≤ c‖x‖X (F.0.28)

quindi c ≥ 1 e definendo k = c− 1 ≥ 0 si ha

‖Lx‖Y ≤ k‖x‖X (F.0.29)

e quindi L e continua.

Bibliografia: la dimostrazione del teorema della applicazione aperta e tratta dal capitolo 5di [8](per una dimostrazione meno tecnica e piu geometrica si puo vedere [1]), quella del teoremadel grafico chiuso dal capitolo 2 di [1]. Una altra importante conseguenza del lemma di Baire e ilteorema di uniforme limitatezza, tramite il quale si puo dimostrare l’esistenza di (molte) funzionicontinue aventi serie di Fourier divergente su un insieme non numerabile (vedi [8] cap. 5).

Appendice G

Il teorema fondamentale delcalcolo

In questa appendice si dimostreranno i principali teoremi che nella teoria dell’integrazione secondoLebesgue legano l’integrale indefinito con la derivazione. Nella prima sezione sono dimostratiteoremi che saranno poi utilizzati a piu riprese nelle dimostrazioni dei teoremi principali dellasezione successiva.

G.1 Premesse

Definizione G.1.1. Sia a ∈ R e δ > 0. Se f e una funzione reale su (a, a+ δ) definiamo

limh→a+f(h) = supa<t<a+δ

infa<h<t

f(h) (G.1.1)

limh→a+f(h) = infa<t<a+δ

supa<h<t

f(h) (G.1.2)

questi due numeri reali estesi si chiamano rispettivamente limite inferiore destro e limite superioredestro.

Definizione G.1.2. Sia a ∈ R e δ > 0. Se f e una funzione reale su (a− δ, a) definiamo

limh→a−f(h) = supa−δ<t<a

inft<h<a

f(h) (G.1.3)

limh→a−f(h) = infa−δ<t<a

supt<h<a

f(h) (G.1.4)

questi due numeri reali estesi si chiamano rispettivamente limite inferiore sinistro e limite superioresinistro.

E evidente una rassomiglianza tra le definizioni precedenti e quelle di limite superiore ed inferioredi una successione, infatti e semplice vedere che

limh→a+f(h) = inflim infn→∞

f(an)

dove l’estremo inferiore e considerato su tutte le successioni an tali che an > a e limn→∞ an = a.Analoghi risultati valgono per gli altri limiti.

Definizione G.1.3. Sia a ∈ R e δ > 0. Se f e una funzione reale su [a, a+ δ) definiamo

D+f(a) = limh→0+f(a+ h)− f(a)

h(G.1.5)

D+f(a) = limh→0+f(a+ h)− f(a)

h(G.1.6)

132

G.1. PREMESSE 133

D+(a) e D+f(a) si chiamano rispettivamente derivata inferiore destra e derivata superiore destra.

Definizione G.1.4. Sia a ∈ R e δ > 0. Se f e una funzione reale su (a− δ, a] definiamo

D−f(a) = limh→0−f(a+ h)− f(a)

h(G.1.7)

D−f(a) = limh→0−f(a+ h)− f(a)

h(G.1.8)

D−f(a) e D−f(a) si chiamano rispettivamente derivata inferiore sinistra e derivata superioresinistra.

I valori D+f(a), D+f(a), D−f(a) e D−f(a) si chiamano talvolta derivate di Dini .

Definizione G.1.5. Sia a ∈ R e δ > 0. Se f e una funzione reale definita su (a − δ, a + δ),si dice che ha derivata destra in a se D+f(a) = D+f(a) e analogamente si dice che ha derivatasinistra in a se D−f(a) = D−f(a). Si noti che in questa definizione non si escludono i valori +∞e −∞. Si dice che f e derivabile in a se e ivi derivabile sia da destra che da sinistra e i due valoricoincidono; si dira derivabile con derivata finita se risulta derivabile e la sua derivata un numeroreale.

Se si usa questa definizione, la derivabilita non implica piu la continuita, infatti la funzione

f(x) =

1 se x > 00 se x = 0−1 se x < 0

(G.1.9)

risulta derivabile in 0 con derivata +∞. Per questo nel seguito si porra particolare attenzionealle funzioni derivabili con derivata finita. Poiche in C non esiste una struttura d’ordine, si vedeimmediatamente che le definizioni precedenti non hanno senso per una funzione f : (a−δ, a+δ)→C.

Definizione G.1.6. Sia a ∈ R e δ > 0. Se f e una funzione complessa definita su (a− δ, a+ δ),definiamo

f ′+(a) = limh→0+

f(a+ h)− f(a)h

(G.1.10)

f ′−(a) = limh→0−

f(a+ h)− f(a)h

(G.1.11)

rispettivamente la derivata destra e sinistra. Nel campo complesso e convenzione definire f deriv-abile se le derivate destra e sinistra coincidono finite.

Si vede semplicemente che f : (a−δ, a+δ)→ C e derivabile se e solo se <f e =f sono derivabilicon derivata finita e si ha

f ′(a) = (<f)′(a) + i(=f)′(a) (G.1.12)

Poiche ogni funzione reale e anche complessa, le definizioni precedenti non sono completamentecompatibili; ciononostante poiche nel seguito avranno importanza principalmente funzioni conderivata finita, tale incongruenza non creera problemi di sorta.

Teorema G.1.1. Sia (a, b) un intervallo aperto di R e sia f una funzione reale definita su (a, b).Allora esistono al piu una infinita numerabile di punti x ∈ (a, b) tali che esistano f ′−(x) e f ′+(x)(eventualmente infinite) e f ′−(x) 6= f ′+(x).

Dimostrazione. sia A = x ∈ (a, b)|f ′+(x) < f ′−(x) e B = x ∈ (a, b)|f ′+(x) > f ′−(x). Per ognix ∈ A sia rx un razionale tale che f ′+(x) < rx < f ′−(x) e siano sx e tx razionali a < sx < x < tx < b

134 APPENDICE G. IL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO

tali che

f(y)− f(x)y − x > rx se sx < y < x (G.1.13)

f(y)− f(x)y − x < rx se x < y < tx (G.1.14)

Combinando le due relazioni precedenti si ottiene

f(y)− f(x) < rx(y − x) (G.1.15)

se y 6= x e sx < y < tx. Sia φ la funzione φ : A → Q3 definita da φ(x) = (rx, sx, tx); poiche Q3 enumerabile, per mostrare che A e al piu numerabile bastera mostrare che φ e iniettiva. Supponiamoesistano x, y ∈ A tali che x 6= y e φ(x) = φ(y); allora si avrebbe per definizione (sy, ty) = (sx, tx) ex e y sono entrambi in questo intervallo, quindi dalla relazione G.1.15 seguirebbe

f(y)− f(x) < rx(y − x) (G.1.16)f(x)− f(y) < ry(x− y) (G.1.17)

e, poiche rx = ry, sommando le due relazioni precedenti si ottiene 0 < 0. Con un ragionamentoanalogo si mostra che B e al piu numerabile.

Definizione G.1.7. Sia E ⊂ R; una famiglia V di intervalli chiusi di R si chiama ricoprimento diVitali di E se per ogni x ∈ E e per ogni ε > 0 esiste un intervallo I ∈ V tale che x ∈ I e µ(I) < ε,cioe ogni punto di E e contenuto in intervalli arbitrariamente piccoli di E.

Sia E un insieme e V l’insieme di tutti gli intervalli di R. Si verifica immediatamente che V eun ricoprimento di Vitali dell’insieme E.

Teorema G.1.2 (Teorema di Vitali del ricoprimento finito). 1 Sia E un insieme di R e siaV un ricoprimento di Vitali di E. Allora esiste una famiglia numerabile In di intervalli disgiuntidi V tale che

µ∗(E ∩ (∪nIn)c) = 0 (G.1.18)

se inoltre µ∗(E) < +∞, allora per ogni ε > 0 esiste una famiglia finita I1, . . . , Ip di intervallidisgiunti di V tale che

µ∗(E ∩ (∪pn=1In)c) < ε (G.1.19)

Dimostrazione. dimostriamo dapprima il secondo caso: sia µ∗(E) < +∞, allora esiste un insiemeaperto V tale che E ⊂ V e µ(V ) < +∞. Sia V0 = I ∈ V|I ⊂ V ; allora V0 e un ricoprimentodi Vitali di E. Sia I1 ∈ V0; se E ⊂ I1 allora la costruzione e completa, altrimenti si procede perinduzione: supponiamo che I1, . . . , In siano intervalli disgiunti di V0; se E ⊂ ∪ni=1Ii la costruzionee completa, altrimenti definiamo

An =n⋃

k=1

In Un = V ∩Acn (G.1.20)

Allora An e chiuso, Un e aperto e, poiche E 6⊂ ∪nk=1Ik, si ha anche Un ∩ E 6= ∅. Sia

δn = supµ(I)|I ∈ V0, I ⊂ Un (G.1.21)

e poiche Un e aperto si ha δn > 0. Sia quindi In+1 ∈ V0 tale che In+1 ⊂ Un e µ(In+1) > 12δn.

Se questa costruzione non termina dopo un numero finito di passaggi, nel qual caso il teorema eevidentemente vero, si ottiene una successione In∞n=1 di intervalli disgiunti di V0; definiamo

A =∞⋃n=1

In (G.1.22)

1Questo teorema sara usato per mostrare il teorema G.1.2 ed il teorema G.2.10; per una dimostrazione di questiultimi che non fa uso del teorema di Vitali vedi l’ultima sezione di questo capitolo.

G.1. PREMESSE 135

si vuole mostrare che µ∗(E ∩ Ac) = 0; a questo proposito definiamo per ogni n l’intervallo chiusoJn, avente lo stesso centro di In e tale che µ(Jn) = 5µ(In), quindi

µ(∞⋃n=1

Jn) ≤∞∑n=1

µ(Jn) = 5∞∑n=1

µ(In) = 5µ(A) < 5µ(V ) < +∞ (G.1.23)

dalla convergenza della serie a secondo termine segue in particolare che i suoi resti parziali tendonoa zero, cioe limp→∞

∑∞n=p µ(Jn) = 0 e poiche

µ(∞⋃n=p

Jn) ≤∞∑n=p

µ(Jn) (G.1.24)

si ha anche limn→∞ µ(⋃∞n=p Jn) = 0; quindi per mostrare che µ∗(E ∩ Ac) = 0 bastera mostrare

che E ∩ Ac ⊂ ⋃∞n=p Jn per ogni p ∈ N. Fissiamo quindi p ∈ N e sia x ∈ E ∩ Ac, allora si hax ∈ E∩Ac ⊂ E∩Acp ⊂ Up e quindi esiste I ∈ V0 tale che x ∈ I ⊂ Up. Poiche si ha δn−1 < 2µ(In) eda G.1.23 si deduce che limn→∞ µ(In) = 0, esiste un intero n tale che δn < µ(I), quindi per comee definito δn, esiste un intero n tale che I 6⊂ Un; sia q il piu piccolo intero con questa proprieta(evidentemente p < q), allora si ha per costruzione

I ∩Aq−1 = ∅ I ∩Aq 6= ∅ (G.1.25)

ne segue cheI ∩ Iq 6= ∅ (G.1.26)

e poiche I ⊂ Uq−1 (poiche p < q) si ha

µ(I) ≤ δq−1 < 2µ(Iq) (G.1.27)

poiche µ(Jq) = 5µ(Iq), le due relazioni precedenti mostrano che

I ⊂ Jq ⊂∞⋃n=p

Jn (G.1.28)

quindi x ∈ ⋃∞n=p Jn, quindi si ha E ∩Ac ⊂ ⋃∞n=p Jn e quindi µ∗(E ∩Ac) = 0.Sia ora ε > 0 e sia p un intero tale che

∞∑n=p+1

µ(In) < ε (G.1.29)

allora si ha

(E ∩Ac) ∪ (∞⋃

n=p+1

In) = E ∩ (∞⋂n=1

Icn) ∪ (∞⋃

n=p+1

In) =

= E ∩ (p⋂

n=1

Icn) ∩ (∞⋂

n=p+1

Icn) ∪ (∞⋃

n=p+1

In) =

= E ∩Acp ∩ (∞⋃

n=p+1

In)c ∪ (∞⋃

n=p+1

In) ⊃ E ∩Acp

quindi infine

µ∗(E ∩Acp) ≤ 0 + µ(∞⋃

n=p+1

In) < ε (G.1.30)


Supponiamo ora µ∗(E) = +∞. Per ogni n ∈ Z sia En = E ∩ (n, n + 1) e sia Vn = I ∈V|I ⊂ (n, n + 1), allora Vn e un ricoprimento di Vitali di En. Applicando quanto dimostratoprecedentemente ad ogni En si ottiene una successione numerabile di famiglie distinte Fn ⊂ Vntali che µ∗(En ∩ (∪Fn)c) = 0 per ogni n ∈ Z. Sia

F =+∞⋃

n=−∞Fn (G.1.31)

allora F e successione numerabile di intervalli disgiunti di V e si mostra analogamente al casoprecedente che

E ∩ Fc ⊂ Z ∪[ ∞⋃n=−∞

(En ∩ (∪Fn)c)

](G.1.32)

quindi infine

µ∗(E ∩ Fc) ≤ µ∗(Z) +∞∑

n=−∞µ∗(En ∩ (∪Fn)c) = 0 (G.1.33)

Teorema G.1.3 (Lebesgue). 2Sia [a, b] un intervallo chiuso in R e sia f una funzione realemonotona su [a, b], allora f e derivabile con derivata limitata quasi ovunque su [a, b].

Dimostrazione. supponiamo che f sia non decrescente (altrimenti si considera −f). Sia E = x|a ≤x < b, D+f(x) < D+f(x); si vuole mostrare che µ∗(E) = 0: per ogni coppia di razionali u, v taliche u < v definiamo

Eu,v = x ∈ E|D+f(x) < u < v < D+f(x) (G.1.34)

Chiaramente si ha E = ∪Eu,v|0 < u < v e poiche l’unione e estesa ad una famiglia numerabile diinsiemi basta quindi mostrare che per ogni u, v ∈ Q tali che 0 < u < v si ha µ∗(Eu,v) = 0; questadimostrazione sara svolta per assurdo: supponiamo esistano due razionali u, v tali che 0 < u < ve µ∗(Eu,v) = α > 0. Sia ε un numero reale tale che

0 < ε <α(v − u)u+ 2v

(G.1.35)

sia U un insieme aperto tale che Eu,v ⊂ U e µ∗(U) < α + ε. Dalla definizione di Eu,v segue cheper ogni x ∈ Eu,v esistono numeri positivi h arbitrariamente piccoli tali che [x, x+h] ∈ U ∩ [a, b] e

f(x+ h)− f(x) < uh (G.1.36)

La famiglia V degli intervalli chiusi [x, x+h] e quindi un ricoprimento di Vitali di Eu,v quindi, peril teorema del ricoprimento finito di Vitali, esiste una famiglia finita [xi, xi + hi]mi=1 di intervallidisgiunti di V tale che

µ∗(Eu,v ∩ (m⋃

i=1

[xi, xi + hi])c) < ε (G.1.37)

sia ora V =⋃mi=1(xi, xi + hi), allora si ha

µ∗(Eu,v ∩ V c) < ε (G.1.38)

e poiche si ha per costruzione V ⊂ U si ha

m∑

i=1

hi = µ(V ) ≤ µ(U) < α+ ε (G.1.39)

2Vedi anche la nota di pagina 134.

G.1. PREMESSE 137

quindi dalla disuguaglianza G.1.36 segue alloram∑

i=1

(f(xi + hi)− f(xi)) < u

m∑

i=1

hi < u(α+ ε) (G.1.40)

Per ogni y ∈ Eu,v ∩ V esistono numeri positivi k arbitrariamente piccoli tali che [y, y + k] ⊂ V e

f(y + k)− f(y) > vk (G.1.41)

La famiglia degli intervalli [y, y + k] e quindi un ricoprimento di Vitali di Eu,v ∩ V quindi esisteuna famiglia finita [yj , yj + kj ]nj=1 di intervalli disgiunti tale che

µ∗(Eu,v ∩ V ∩ (n⋃

j=1

[yj , yj + kj ] )c) < ε

dalla disuguaglianza precedente, unita a G.1.38, si ottiene

α = µ∗(Eu,v) ≤ µ∗(Eu,v ∩ V c) + µ∗(Eu,v ∩ V ) <

< ε+ µ∗(Eu,v ∩ V ∩ (n⋃

j=1

[yj , yj + kj ] )c) + µ∗(Eu,v ∩ V ∩ (n⋃

j=1

[yj , yj + kj ])) <

< ε+ ε+n∑

j=1

kj = 2ε+n∑

j=1

kj

quindi usando la disuguaglianza precedente e la G.1.41 si ottiene

v(α− 2ε) < v

n∑

j=1

kj <

n∑

j=1

(f(yj + kj)− f(yj)) (G.1.42)

poiche per costruzione⋃j=1[yj , yj +kj ] ⊂ V ⊂

⋃mi=1[xi, xi+hi] e poiche f e non decrescente, si ha

n∑

j=1

(f(yj + kj)− f(yj)) ≤m∑

i=1

(f(xi + hi)− f(xi)) (G.1.43)

quindi combinando questa disequazione con le G.1.42 e G.1.40 si ottiene

v(α− 2ε) < u(α+ ε) (G.1.44)

che contraddice la scelta fatta per ε, quindi si ha µ∗(E) = 0 e quindi f ′+(x) esiste q.o. in [a, b]; conun ragionamento analogo si prova che f ′−(x) esiste q.o. su [a, b], quindi usando il primo teoremadi questa sezione si ottiene che f ′(x) esiste quasi ovunque su [a, b].

Resta da dimostrare che l’insieme F dei punti in cui f ′(x) = +∞ e trascurabile. Sia β unnumero positivo; allora per ogni x ∈ F\a, b esistono numeri positivi h arbitrariamente piccolitali che [x, x+ h] ⊂ (a, b) e

f(x+ h)− f(x) > βh (G.1.45)

Per il teorema di Vitali esiste quindi una famiglia numerabile [xi, xi + hi] di intervalli disgiunti diquesto tipo tale che

µ∗(F ∩ (⋃n

[xn, xn + hn])c) = 0 (G.1.46)

da cio e dalla relazione G.1.45 si ottiene

βµ∗(F ) ⊂ β∑n

hn <∑n

(f(xn + hn)− f(xn)) ≤ f(b)− f(a) (G.1.47)

e quindiβµ∗(F ) < f(b)− f(a) (G.1.48)

per ogni β > 0, quindi µ∗(F ) = 0.


Definizione G.1.8. Si dice che una funzione f : [a, b]→ C e a variazione limitata su [a, b] se

V (f, [a, b]) = supn∑

i=1

|f(ti)− f(ti−1)|, a = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = b < +∞ (G.1.49)

dove l’estremo superiore e preso su tutte le partizioni di [a, b].

E immediato verificare che una funzione complessa f e a variazione limitata se e solo se <f e=f lo sono e che per una funzione monotona si ha V (f, [a, b]) = |f(b)− f(a)|.Teorema G.1.4. Una funzione f : [a, b]→ R e a variazione limitata ⇔ f puo essere scritta comedifferenza di due funzioni monotone crescenti limitate.

Dimostrazione. ⇒) definiamo H(t) = V (f, [a, t]), allora H e crescente, limitata e si ha f(x) =H(x) − [H(x) − f(x)], resta quindi da provare che H − f e una funzione crescente e limitata: sey > x si ha semplicemente che H(y) = H(x) + V (f, [x, y]) e quindi

H(y)−f(y)−H(x)+f(x) = H(y)−H(x)−[f(y)−f(x)] ≥ V (f, [x, y])−|f(y)−f(x)| ≥ 0 (G.1.50)

quindi e crescente, inoltre se x ∈ [a, b] si ha |f(x)− f(a)| ≤ V (f, [a, b]), quindi f e limitata, quindianche H − f e limitata⇐) supponiamo f = H −G, dove H,G sono funzioni crescenti limitate; e immediato verificare

che si ha V (G, [a, b]) = G(b)−G(a) < +∞ e analogamente per H. Inoltre si ha

|H(ti)−G(ti)−H(ti−1) +G(ti−1)| ≤ |H(ti)−H(ti−1)|+ |G(ti)−G(ti−1)| (G.1.51)

quindi si ha anche V (f, [a, b]) ≤ V (G, [a, b]) + V (H, (a, b)) < +∞Corollario G.1.1. Una funzione f : [a, b] → C a variazione limitata ha derivata finita quasiovunque.

Dimostrazione. si usa il fatto che una funzione del tipo dell’ipotesi puo essere scritta nella forma

f = (f1 − f2) + i(f3 − f4) (G.1.52)

dove fi sono funzioni crescenti di variabile reale, per cui quindi vale il teorema di Lebesgue appenadimostrato.

Teorema G.1.5 (Fubini). Sia fn∞n=1 una successione di funzioni reali non decrescenti (o noncrescenti) su un intervallo [a, b] tali che

∑∞n=1 fn(x) = s(x) esiste finita su [a, b], allora si ha quasi

ovunque su (a, b)

s′(x) =∞∑n=1

f ′n(x) (G.1.53)

Dimostrazione. supponiamo ad esempio che le fn siano non decrescenti; inoltre considerandofn(x) − fn(a) ci si puo ridurre al caso fn(x) ≥ 0. Allora s =

∑∞n=1 fn e non negativa e non

decrescente; quindi per il teorema di Lebesgue s′(x) esiste finita per quasi ogni x ∈ (a, b).Consideriamo le somme parziali sn = f1 + · · ·+fn. Ogni fn ha derivata finita q.o., quindi esiste

un insieme A ⊂ (a, b) tale che µ∗((a, b) ∩Ac) = 0 e

s′n = f ′1(x) + · · ·+ f ′n(x) < +∞ (G.1.54)

per ogni x ∈ A e per ogni n ∈ N e s′(x) esista finita se x ∈ A. Per ogni x ∈ (a, b) e per ogni h > 0tale che x+ h ∈ (a, b) si ha

n∑

k=1

fk(x+ h)− fk(x)h

≤+∞∑

k=1

fk(x+ h)− fk(x)h

=s(x+ h)− s(x)

h(G.1.55)

G.2. IL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO 139

e quindi, al limite per h→ 0 si ottiene

s′n(x) ≤ s′(x) < +∞ (G.1.56)

per ogni x ∈ A e poiche si ha evidentemente s′n(x) ≤ s′n+1(x) si ha

s′n(x) ≤ s′n+1(x) ≤ s′(x) (G.1.57)

per ogni x ∈ A (e quindi q.o. su (a, b)) e per ogni n ∈ N, quindi si ha che

limn→∞

s′n(x) =∞∑

j=1

f ′j(x) (G.1.58)

esiste finito q.o. e quindi resta solo da mostrare che limn→∞ s′n(x) = s′(x) quasi ovunque; inoltrepoiche s′n(x)∞n=1 e una successione non decrescente per ogni x ∈ A, basta mostrare che s′nammette una sottosuccessione convergente puntualmente a s′ quasi ovunque.

Poiche si ha per ipotesi limn→∞ sn(b) = s(b), esiste una successione crescente di interi nk∞k=1

tale che ∞∑

k=1

[s(b)− snk(b)] < +∞ (G.1.59)

Per ogni nk e per ogni x ∈ (a, b) si ha

0 ≤ s(x)− snk(x) ≤ s(b)− snk(b) (G.1.60)

il secondo termine di questa disuguaglianza e quindi maggiorato dai termini di una serie convergentead elementi positivi, quindi la serie

∑∞k=1[s(x)− snk(x)] converge; inoltre i termini di questa serie

sono funzioni monotone, che quindi hanno derivata finita quasi ovunque, quindi lo stesso argomentoappena usato per dimostrare che la serie

∑∞j=1 f

′j(x) converge quasi ovunque mostra in questo caso

che la serie∑∞k=1[s′(x)− s′nk(x)] converge quasi ovunque, ma allora si ha evidentemente per quasi

ogni x ∈ (a, b)limk→∞

s′nk = s′(x) (G.1.61)

G.2 Il teorema fondamentale del calcolo

Teorema G.2.1 (Assoluta continuita dell’integrale). Sia f : Rn → C una funzione integra-bile, allora per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che se E ⊂ Rn e un insieme misurabile e µ(E) < δ,allora si ha ∣∣∣∣

∫

E

fdµ∣∣∣∣ < ε (G.2.1)

Dimostrazione. poiche ∣∣∣∣∫

E

fdµ∣∣∣∣ ≤

∫

E

|f |dµ (G.2.2)

e sufficiente mostrare il teorema per funzioni non negative. Sia quindi f non negativa e costruiamola successione di funzioni fn(x) nel seguente modo:

fn(x) =

0 se f(x) > nf(x) se f(x) ≤ n (G.2.3)

si verifica immediatamente che fn e misurabile per ogni n ∈ N, che fn ≤ f e che fn(x) ≤ n. Inoltrese f(x) < +∞ si ha limn→∞ fn(x) = f(x) e poiche f e integrabile, f(x) < +∞ quasi ovunque,quindi limn→∞ fn(x) = f(x) quasi ovunque, quindi per il teorema di Beppo Levi si ha

limn→∞

∫fndµ =

∫fdµ (G.2.4)


quindi esiste un intero N tale che∫fdµ−

∫fNdµ <

ε

2(G.2.5)

scegliamo oraδ =

ε

2N(G.2.6)

e sia E misurabile tale che µ(E) < δ, allora si ha∫

E

fdµ =∫

E

[f − fN ]dµ+∫

E

fNdµ ≤

≤∫

Rn[f − fN ]dµ+Nµ(E) <

ε

2+N

ε

2N= ε

Definizione G.2.1. Sia f ∈ L1([a, b]) allora si chiama integrale indefinito di f la funzione F :[a, b]→ C

F (x) =∫ x

a

fdµ (G.2.7)

Teorema G.2.2. Sia f ∈ L1(a, b), allora il suo integrale indefinito e una funzione uniformementecontinua ed a variazione limitata.

Dimostrazione. l’asserzione sulla uniforme continuita discende immediatamente dal teorema G.2.1.Mostriamo ora che F e a variazione limitata: sia a = x0 < · · · < xn = b una partizione di [a, b],allora si ha

n∑

k=1

|F (xk)− F (xk−1)| =n∑

k=1

∣∣∣∣∣∫ xk

xk−1

fdµ

∣∣∣∣∣ ≤

≤n∑

k=1

∫ xk

xk−1

|f |dµ =∫ b

a

|f |dµ < +∞

quindi si ha V (f, [a, b]) ≤ ∫ ba|f |dµ e quindi F e a variazione limitata su [a, b] (in effetti si potrebbe

mostrare che V (f, [a, b]) =∫ ba|f |dµ ma questo nel seguito non sara utilizzato).

Teorema G.2.3. Sia A un sottoinsieme di R, allora si ha:

limk→0+

µ∗(A ∩ (x, x+ k))k

= limh→0+

µ∗(A ∩ (x− h, x))h

=

= limh,k→0+

µ∗(A ∩ (x− h, x+ k))h+ k

= 1

per quasi ogni x ∈ A. Se inoltre A e misurabile allora i limiti precedenti sono uguali a zero perquasi ogni x ∈ Ac.Dimostrazione. si puo supporre senza perdita di generalita che A sia limitato; esiste quindi unasuccessione di insiemi aperti Un∞n=1 tali che

U1 ⊃ U2 ⊃ · · · ⊃ Un ⊃ · · · ⊃ A (G.2.8)

e tali che µ∗(Un)− 2−n < µ∗(A); sia a = inf U1 e consideriamo le funzioni

φn(x) = µ∗(Un ∩ (a, x)) (G.2.9)φ(x) = µ∗(A ∩ (a, x)) (G.2.10)


Per ogni x ∈ Un e per ogni numero positivo sufficientemente piccolo h si ha

φn(x+ h)− φn(h)h

=φn(x)− φn(x− h)

h= 1 (G.2.11)

quindi φ′n(x) esiste per ogni x ∈ Un e si ha φ′n(x) = 1. Si vuole ora applicare il teorema di Fubinidella sezione precedente alla serie

∞∑

i=1

(φn − φ) (G.2.12)

mostriamo quindi che ogni termine della serie e monotono: se x′ > x si ha

φn(x′)− φ(x′)− (φn(x)− φ(x)) == µ∗(Un ∩ [x, x′))− µ∗(A ∩ (a, x′)) + µ∗(A ∩ (a, x)) ≥

≥ µ∗(Un ∩ [x, x′))− µ∗(A ∩ [x, x′)) ≥ 0

dove si sono utilizzate le seguenti relazioni:

µ∗(Un ∩ (a, x′)) = µ∗(Un ∩ (a, x)) + µ∗(Un ∩ [x, x′)) (G.2.13)µ∗(A ∩ (a, x′)) ≤ µ∗(A ∩ (a, x)) + µ∗(A ∩ [x, x′)) (G.2.14)

A ∩ [x, x′) ⊂ Un ∩ [x, x′) (G.2.15)

quindi φn − φ e monotona; sia ora b = supU1, allora si ha

φn(b)− φ(b) = µ∗(Un)− µ∗(A) < 2−n (G.2.16)

e quindi se a ≤ x ≤ b si ha:

∞∑n=1

(φn(x)− φ(x)) ≤∞∑n=1

(φn(b)− φ(b)) ≤ 1 (G.2.17)

sia ora

s(x) =∞∑n=1

(φn(x)− φ(x)) (G.2.18)

allora per i teoremi di Fubini e di Lebesgue della sezione precedente vale la seguente relazione

s′(x) =∞∑n=1

(φ′n(x)− φ′(x)) < +∞ (G.2.19)

per quasi ogni x ∈ (a, b) e quindi si ha

limn→∞

φ′n(x) = φ′(x) (G.2.20)

quasi ovunque in (a, b) e quindi φ′(x) = 1 quasi ovunque su⋂∞n=1 Un, quindi in particolare su A.

Sia ora A misurabile, allora si ha

1 =µ∗(A ∩ (x− h, x+ k))

h+ k+µ∗(Ac ∩ (x− h, x+ k))

h+ k(G.2.21)

se x ∈ Ac, se h, k → 0, per la prima parte del teorema, il secondo addendo tende ad 1 quasiovunque su Ac, quindi il primo addendo tende a zero quasi ovunque su Ac.

Teorema G.2.4 (prima forma del TFC). Sia f ∈ L1(a, b) e sia F il suo integrale indefinito,allora l’uguaglianza

F ′(x) = f(x) (G.2.22)

vale per quasi ogni x ∈ (a, b).


Dimostrazione. se f = χA, dove A e un sottoinsieme misurabile di (a, b) allora F (x) = µ[A∩(a, x)] eper il teorema precedente si ha quindi F ′(x) = χA(x) per quasi ogni x ∈ (a, b). Conclusione analogasi ottiene se f e una funzione semplice, f =

∑ni=1 αiχAi .

Sia ora f una funzione positiva integrabile su [a, b] e sn∞n=1 una successione crescente difunzioni semplici che converge puntualmente ad f . Sia

Sn(x) =∫ x

a

sndµ (G.2.23)

per ogni n ∈ N, allora per il teorema di Beppo Levi si ha

F (x) =∫ x

a

fdµ = limn→∞

∫ x

a

sndµ = limn→∞

Sn(x) =

= S1(x) +∞∑n=1

[Sn+1(x)− Sn(x)]

ogni funzione Sn+1 − Sn e l’integrale della funzione positiva sn+1 − sn e quindi e non decrescente,quindi si puo applicare il teorema di Fubini, ottenendo

F ′(x) = S′1(x) +∞∑n=1

[S′n+1(x)− S′n(x)] = limn→∞

S′n(x) (G.2.24)

per quasi ogni x ∈ (a, b). Inoltre si e visto che il teorema vale per le funzioni semplici, quindi si haS′n(x) = sn(x) per quasi ogni x ∈ (a, b), quindi si ottiene

F ′(x) = limn→∞

sn(x) = f(x) (G.2.25)

per quasi ogni x ∈ (a, b).Se infine f ∈ L1(a, b) e una funzione arbitraria, si puo scrivere

f = (f1 − f2) + i(f3 − f4) (G.2.26)

dove ogni fi e una funzione positiva ed integrabile, ed applicare quanto appena dimostrato.

Il teorema precedente puo essere notevolmente migliorato, come mostrano i due risultati seguen-ti.

Lemma G.2.1 (Lebesgue). Sia f ∈ L1(a, b), allora esiste un insieme E ⊂ (a, b) tale che µ∗(Ec∩[a, b]) = 0 e

limh→0+

1h

∫ x+h

x

|f(t)− α|dt = limh→0+

1h

∫ x

x−h|f(t)− α|dt = |f(x)− α| (G.2.27)

per ogni α ∈ C e per ogni x ∈ E.

Dimostrazione. sia βn∞n=1 un insieme numerabile denso in C (ad esempio Q + iQ) e definiamole funzioni gn nel seguente modo:

gn(t) = |f(t)− βn| (G.2.28)

si ha evidentemente gn ∈ L1(a, b). Per il teorema precedente, esistono insiemi En ⊂ (a, b) tali cheµ∗([a, b] ∩ Ecn) = 0 e

limh→0+

1h

∫ x+h

x

gn(t)dt = limh→0+

1h

∫ x

x−hgn(t)dt = gn(x) (G.2.29)


per ogni x ∈ En. Sia E =⋂∞n=1En, allora si ha µ∗([a, b] ∩ Ec) = 0. Per ogni ε > 0 e α ∈ C sia n

tale che |βn − α| < ε3 , allora si ha

| |f(t)− α| − |f(t)− βn| | ≤ |βn − α| < ε

3∀t ∈ [a, b] (G.2.30)

quindi per ogni x ∈ [a, b] e per ogni numero positivo h abbastanza piccolo si ha∣∣∣∣∣1h

∫ x+h

x

|f(t)− α|dt− 1h

∫ x+h

x

|f(t)− βn|dt∣∣∣∣∣ ≤

1h

∫ x+h

x

ε

3dt =

ε

3(G.2.31)

quindi se x ∈ E e 0 < h < h0, dove h0 dipende da n e ε si ha∣∣∣∣∣1h

∫ x+h

x

|f(t)− α|dt− |f(x)− α|∣∣∣∣∣ ≤

≤∣∣∣∣∣1h

∫ x+h

x

|f(t)− α|dt− 1h

∫ x+h

x

|f(t)− βn|dt∣∣∣∣∣+

+

∣∣∣∣∣1h

∫ x+h

x

gn(t)dt− gn(x)

∣∣∣∣∣+ |βn − α| < 3ε

3

inoltre n dipende solo da ε e α, quindi

limh→0+

1h

∫ x+h

x

|f(t)− α|dt = |f(x)− α| (G.2.32)

per ogni x ∈ E, α ∈ C. Con un argomento simile si mostra la seconda uguaglianza.

Teorema G.2.5 (Lebesgue). Sia f ∈ L1(a, b), allora si ha

limh→0+

1h

∫ h

0

|f(x+ t) + f(x− t)− 2f(x)|dt = 0 (G.2.33)

per quasi ogni x ∈ (a, b).

Dimostrazione. per un x ∈ (a, b) fissato si ha

1h

∫ h

0

|f(x+ t) + f(x− t)− 2f(x)|dt ≤

≤ 1h

∫ x+h

x

|f(t)− f(x)|dt+1h

∫ x

x−h|f(t)− f(x)|dt

Applicando il lemma precedente con α = f(x) si ottiene l’enunciato.

Definizione G.2.2 (Vitali). Sia f una funzione f : J → C, dove J e un intervallo contenutoin R; f e detta assolutamente continua su J se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che per ognifamiglia finita (ck, dk)nk=1 di intervalli disgiunti di J tali che

n∑

k=1

(dk − ck) < δ (G.2.34)

si abbian∑

k=1

|f(dk)− f(ck)| < ε (G.2.35)


Teorema G.2.6. Sia f ∈ L1(a, b) e sia F il suo integrale indefinito, allora F e assolutamentecontinua su [a, b].

Dimostrazione. discende immediatamente dal teorema che gia in precedenza era stato contrasseg-nato con il nome assoluta continuita dell’integrale G.2.1

E evidente che ogni funzione assolutamente continua su un intervallo e anche uniformementecontinua; e inoltre semplice notare come la definizione di assoluta continuita richiami alla mentele funzioni a variazione limitata, sussiste infatti il seguente:

Teorema G.2.7. Sia f : [a, b]→ C una funzione assolutamente continua, allora essa ha variazionelimitata su [a, b].

Dimostrazione. poniamo ε = 1 e sia δ > 0 come nella definizione di assoluta continuita. Sia n unintero tale che n > b−a

δ e consideriamo una partizione di [a, b] a = x0 < · · · < xn = b tale chexk − xk−1 = b−a

n < δ per ogni 1 < k < n. Dalla scelta di δ segue che V (f, [xk, xk−1]) ≤ ε = 1 perogni k, quindi si ha

V (f, [a, b]) =n∑

k=1

V (f, [xk, xk−1]) ≤ n (G.2.36)

Teorema G.2.8. Ogni funzione f : [a, b]→ C assolutamente continua puo essere scritta come

f = (f1 − f2) + i(f3 − f4) (G.2.37)

dove le fi sono reali, non decrescenti e assolutamente continue su [a, b].

Dimostrazione. poiche e evidente che se f e assolutamente continua anche <f e =f sono asso-lutamente continue, basta dimostrare il teorema nel caso reale; poiche si e inoltre visto che f ea variazione limitata, rileggendo la dimostrazione del teorema sulla scomposizione delle funzionia variazione limitata come differenza di funzioni non decrescenti teorema G.1.4, si vede che perconcludere basta mostrare che g1(x) = V (f, [a, x]) e assolutamente continua e usare il fatto che lasomma di funzioni assolutamente continue e assolutamente continua.

Fissiamo ε > 0 e sia δ > 0 tale che se (ck, dk)nk=1 sono intervalli disgiunti di [a, b] tali che

n∑

k=1

(dk − ck) < δ (G.2.38)

allora si abbian∑

k=1

|f(dk)− f(ck)| < ε

2(G.2.39)

Sia (ck, dk)nk=1 un sistema di intervalli disgiunti soddisfacente alla condizione precedente; poichef ha variazione limitata, per ogni 1 ≤ k ≤ n esiste una partizione ck = a

(k)0 < a

(k)1 < · · · < a

(k)lk

= dktale che

V (f, [ck, dk]) <lk−1∑

j=0

|f(a(k)j+1)− f(a(k)

j )|+ ε

2n(G.2.40)

allora si han∑

k=1

|g1(dk)− g1(ck)| =n∑

k=1

V (f, [ck, dk]) <

<

n∑

k=1

lk−1∑

j=0

|f(a(k)j+1)− f(a(k)

j )|+ ε

2<ε

2+ε

2= ε


dove l’ultima disuguaglianza dipende dal fatto che

n∑

k=1

lk−1∑

j=0

(a(k)j+1 − a(k)

j ) =n∑

k=1

(dk − ck) < δ (G.2.41)

Teorema G.2.9. Se f : [a, b]→ R e una funzione non decrescente, allora f ′ e misurabile e∫ b

a

f ′(x)dx ≤ f(b)− f(a) (G.2.42)

Dimostrazione. definiamo se x > b, f(x) = f(b). Sia

fn(x) =f(x+ 1/n)− f(x)

1/n(G.2.43)

per n naturale positivo e a ≤ x ≤ b. Allora fn e una successione di funzioni positive e misurabili e

limn→∞

fn(x) = f ′(x) (G.2.44)

per quasi ogni x ∈ (a, b), quindi f ′ e misurabile. Usando il lemma di Fatou si ha:∫ b

a

f ′(x)dx =∫ b

a

limn→∞

fn(x)dx ≤ lim infn→∞

∫ b

a

fn(x)dx =

= lim infn→∞

n

∫ b

a

[f(x+ 1/n)− f(x)] dx =

= lim infn→∞

[n

∫ b+1/n

b

f(x)dx− n∫ a+1/n

a

f(x)dx

]≤

≤ lim infn→∞

[n

∫ b+1/n

b

f(b)dx− n∫ a+1/n

a

f(a)dx

]= f(b)− f(a)

Corollario G.2.1. Se g : [a, b] → C e una funzione a variazione limitata su [a, b] allora g′ eintegrabile su [a, b].

Dimostrazione. si usa il fatto che si puo scrivere

g = f1 − f2 + i(f3 − f4) (G.2.45)

dove le fi sono reali e non decrescenti, quindi soddisfano il teorema precedente.

Teorema G.2.10. 3 Sia f : [a, b] → C una funzione assolutamente continua e supponiamo chef ′(x) = 0 per quasi ogni x ∈ (a, b) allora f e costante.

Dimostrazione. si puo supporre senza perdita di generalita che f sia reale, in quanto lo stessoargomento si puo applicare a =f ed a <f . Sia c ∈ (a, b] e ε > 0 arbitrario; si vuole mostrareche f(a) = f(c). Sia δ > 0 come nella definizione di assoluta continuita corrispondente a ε e siaE = x ∈ (a, c)|f ′(x) = 0; per ipotesi si ha µ∗(E) = c − a. Per ogni x ∈ E esistono numeripositivi arbitrariamente piccoli h tali che x, x+ h ∈ (a, c) e

|f(x+ h)− f(x)| < εh

c− a (G.2.46)



La famiglia di questi intervalli [x, x + h] e un ricoprimento di Vitali di E e quindi esiste unasottofamiglia finita [xk, xk + hk]nk=1 di intervalli disgiunti tale che

µ∗(E ∩ (n⋃

k=1

[xk, xk + hk])c) < δ (G.2.47)

quindi

µ∗((a, c)) = µ∗(E) < δ +n∑

k=1

hk (G.2.48)

si puo inoltre supporre che x1 < x1 < · · · < xn, quindi dalla disuguaglianza precedente segue chela somma delle lunghezze degli intervalli aperti

(a, x1); (x1 + h, x2); . . . ; (xn + hn, c) (G.2.49)

complementari dell’insieme⋃nk=1[xk, xk + hk] rispetto ad (a, c) e minore di δ, quindi, per la scelta

di δ si ha:

|f(a)− f(x1)|+n−1∑

k=1

|f(xk + hk)− f(xk+1)|+ |f(xn + hn)− f(c)| < ε (G.2.50)

Le disuguaglianze G.2.46 e G.2.50 implicano quindi

|f(a)− f(c)| ≤ |f(a)− f(x1)|+n−1∑

k=1

|f(xk + hk)− f(xk+1)|+

+|f(xn + hn)− f(c)|+n∑

k=1

|f(xk + hk)− f(xk)| <

< ε+n∑

k=1

εhnc− a ≤ 2ε

e poiche ε > 0 e arbitrario si conclude che f(a) = f(c)

Teorema G.2.11 (TFC seconda forma). 4 Sia f : [a, b] → C una funzione assolutamentecontinua, allora f ′ ∈ L1(a, b) e

f(x) = f(a) +∫ x

a

f ′(t)dt (G.2.51)

Dimostrazione. poiche si e visto che se f e assolutamente continua allora ha variazione limitata eche una funzione a variazione limitata ha la derivata integrabile, la prima asserzione e dimostrata;sia quindi g(x) =

∫ xaf ′(t)dt, allora g e assolutamente continua e sia h = f − g. h e allora

assolutamente continua e usando la prima forma del teorema fondamentale del calcolo si ha h′ = 0quasi ovunque, quindi per il teorema precedente h e una costante, quindi

f(x) = h(x) + g(x) = h(a) +∫ x

a

f ′(t)dt = f(a)−∫ a

a

f ′(t)dt+

+∫ x

a

f ′(t)dt = f(a) +∫ x

a

f ′(t)dt

Riassumendo quanto fin qui dimostrato si ottiene


G.3. ALTRA DIMOSTRAZIONE 147

Teorema G.2.12. Una funzione f : [a, b]→ C ha la forma

f(x) = f(a) +∫ x

a

φ(t)t (G.2.52)

per qualche φ ∈ L1(a, b) se e solo se f e assolutamente continua su [a, b]; in questo caso si haanche φ = f ′ quasi ovunque su (a, b)

Corollario G.2.2 (Integrazione per parti 1). Siano f, g funzioni integrabili e definiamo

F (x) = α+∫ x

a

f(t)dt; G(x) = β +∫ x

a

g(t)dt (G.2.53)

Allora si ha ∫ b

a

G(t)f(t)dt+∫ b

a

g(t)F (t)dt = F (x)G(x)|ba (G.2.54)

Dimostrazione. poiche G,F sono assolutamente continue su [a, b], in particolare sono limitate,quindi si ha

|F (v)G(v)− F (u)G(u)| ≤ [ supt∈[a,b]

|F (t)| ]|G(v)−G(u)|+ [ supt∈[a,b]

|G(t)| ]|F (v)− F (u)| (G.2.55)

da cui si vede subito che FG e assolutamente continua, quindi e differenziabile quasi ovunque(come G e F ), quindi si ha quasi ovunque

(FG)′ = FG′ + F ′G = Fg + fG (G.2.56)

e l’enunciato segue dalla seconda forma del teorema fondamentale del calcolo.

Corollario G.2.3 (Integrazione per parti 2). Siano f, g funzioni assolutamente continue su[a, b] allora si ha ∫ b

a

f(t)g′(t)dt+∫ b

a

f ′(t)g(t)dt = f(x)g(x)|ba (G.2.57)

Dimostrazione. identica alla precedente.

G.3 Altra dimostrazione

Lemma G.3.1 (Riesz). Sia g : [a, b] → R una funzione per cui esistono finiti g(x ± 0) =limh→0± g(x+h) e definiamo la funzione G(x) come G(x) = maxg(x−0), g(x), g(x+ 0). I puntix ∈ (a, b) per cui esiste ξ ∈ (x, b], tale che g(ξ) > G(x) formano un insieme aperto Eg; come ogniinsieme aperto di R, l’insieme Eg puo essere scritto come unione finita o numerabile di intervalliaperti disgiunti (ak, bk); per ognuno di questi intervalli si ha g(ak + 0) ≤ G(bk).

Dimostrazione. sia x ∈ Eg, allora esiste ξ > x tale che G(x) < g(ξ), ma per come e definita Ge immediato vedere che se y e abbastanza vicino a x si ha anche G(y) < g(ξ) e quindi y ∈ Eg equindi Eg e un insieme aperto.

Sia (ak, bk) uno degli intervalli disgiunti che compongono Eg e sia x ∈ (ak, bk); mostriamoche g(x) ≤ G(bk), da cui al limite per x → a+

k seguira g(ak + 0) ≤ G(bk). Sia x1 il piu grandenumero di [x, bk] tale che g(x) ≤ G(x1) (si vede semplicemente che l’estremo superiore dei puntiche hanno questa proprieta e effettivamente un massimo) e mostriamo che x1 = bk. Supponiamoper assurdo che sia x1 < bk (e quindi x1 ∈ Eg), quindi esiste un ξ1 ∈ [x1, b] tale che G(x1) < g(ξ1);se fosse ξ1 ≤ bk si avrebbe g(x) ≤ G(x1) < g(ξ1) ≤ G(ξ1) e x1 < ξ1 ≤ bk contraddicendo ladefinizione di x1, quindi si deve avere ξ1 > bk ma allora si avrebbe (poiche bk /∈ Eg non si puoavere G(bk) < g(ξ1), poiche si e supposto x1 < bk non si puo avere g(x) ≤ G(bk))

G(x1) < g(ξ1) ≤ G(bk) < g(x) ≤ G(x1) (G.3.1)

assurdo.


Teorema G.3.1 (Lebesgue). Sia f : [a, b] → R una funzione monotona, allora f e derivabilecon derivata finita q.o. in [a, b].

Dimostrazione. per dimostrare il teorema si deve dimostrare che si hanno per q.o. x ∈ (a, b) lerelazioni

D+f(x) < +∞; D+f(x) ≤ D−f(x) (G.3.2)

infatti applicando la seconda disequazione alla funzione −f(−x) si ottiene che si ha q.o. la relazioneD−f(x) ≤ D+f(x) e quindi

D+f(x) ≤ D−f(x) ≤ D−f(x) ≤ D+f(x) ≤ D+f(x) < +∞ (G.3.3)

Si puo supporre che f sia non decrescente. Verifichiamo la prima disuguaglianza di G.3.2, cioevediamo che l’insieme E∞ dei punti in cui D+f(x) = +∞ e trascurabile; sia EC l’insieme dei puntix ∈ (a, b) in cui D+f(x) > C; dalla relazione D+f(x) > C segue l’esistenza di un ξ > x tale chef(ξ)− f(x) > C(ξ − x) cioe, definendo g(x) = f(x)−Cx, si ha g(ξ) > g(x), quindi l’insieme EC econtenuto nell’insieme Eg del precedente lemma e si ha g(ak+0) ≤ G(bk), da cui (per la continuitadi f)

f(ak)−Cak ≤ f(ak + 0)−Cak ≤ maxf(bk + 0), f(bk), f(bk − 0) −Cbk = f(bk)−Cbk (G.3.4)

cioe C(bk − ak) ≤ f(bk + 0)− f(ak), quindi si ha

Cµ(EC) = C∑

(bk − ak) ≤∑

[f(bk + 0)− f(ak)] ≤ f(b)− f(a) = K < +∞ (G.3.5)

da cui si ottiene µ(E∞) = limn→∞ µ(En) ≤ limn→∞K/n = 0.Dimostriamo ora la seconda delle disuguaglianza G.3.2: siano c, C due numeri tali che c < C.

Indichiamo con Σ1 l’insieme dei valori x ∈ (a, b) tali che D−f(x) < c, allora, ragionando come fattoprima, si vede che x ∈ Σ1 implica che −x e nell’insieme Eg1 del lemma precedente, considerandog1(x) = f(−x) + cx; siano (−bk,−ak) gli intervalli disgiunti di cui e composto l’insieme apertoEg1 . Analogamente si vede che per x ∈ (ak, bk) la condizione D+f(x) > C implica x ∈ Eg2

con g2(x) = f(x) − Cx; consideriamo g2 ristretta a [ak + ε2−|k|, bk − ε2−|k|], dove ε > 0, e siano(akj , bkj) gli intervalli disgiunti che compongono l’insieme Ekg2

(l’indice k all’esponente ricorda chesi sta considerando la restrizione) e chiamiamo Σ2 = Eg2 ∩ Eg1 . Per il lemma precedente si haallora

g1(−bk + 0) ≤ G1(−ak) ⇒ f(bk − 0)− f(ak + 0) ≤ c(bk − ak) (G.3.6)g2(akj + 0) ≤ G2(bkj) ⇒ C(bkj − akj) ≤ f(bkj + 0)− f(akj + 0) (G.3.7)

da cui si decuce

Cµ(Σ2) = Cµ(Eg2 ∩ Eg1) = C∑

k

µ(Eg2 ∩ (ak, bk)) ≤ C∑

k

µ(Ekg2) + 2ε2−|k| ≤ (G.3.8)

≤ 8Cε+ C∑

kj

(akj − bkj) ≤ 8Cε+∑

kj

[f(bkj + 0)− f(akj + 0)] ≤

≤ 8Cε+∑

k

[f(bk − 0)− f(ak + 0)] ≤ 8Cε+ c∑

k

(bk − ak) = 8Cε+ cµ(Σ1)

e quindi, per l’arbitrarieta di ε, µ(Σ2) ≤ (c/C)µ(Σ1). Iterando il procedimento e chiamando Σnl’insieme ottenuto dopo n iterazioni si ottiene analogamente µ(Σk) ≤ (c/C)µ(Σk−1) e quindi perinduzione si ha:

µ(Σ2n) ≤( cC

)nµ(Σ1)→ 0 (G.3.9)

da cui si deduce che l’insieme Ec,C degli x ∈ (a, b) per cui si ha contemporaneamente D+f(x) > Ce D−f(x) < c ha misura nulla. Sia ora qn una numerazione dei numeri razionali; poiche il

G.3. ALTRA DIMOSTRAZIONE 149

prodotto di due insiemi numerabili e numerabile si ha allora che gli insiemi Eqn,qm (n,m ∈ N) sonouna infinita numerabile e quindi E = ∪n,m∈NEqn,qm e un insieme trascurabile. Sia ora x ∈ (a, b)tale che D−(f(x)) < D+f(x), allora esistono qn e qm tali che D−f(x) ≤ qn < qm ≤ D+f(x),quindi x ∈ Eqn,qm ⊂ E, quindi l’insieme degli x tali che D−f(x) < D+f(x) e un sottoinsieme diE e quindi ha misura nulla.

Nella seguente parte di questa appendice si dimostreranno i teoremi G.2.10 e G.2.11 senza usareil teorema del ricoprimento finito.

Lemma G.3.2. Sia f : [a, b]→ R una funzione assolutamente continua e sia T ⊂ [a, b] un insiemetrascurabile, allora f(T ) e un insieme trascurabile.

Dimostrazione. siano ε, δ come nella definizione di assoluta continuita; poiche T e trascurabileesiste un ricoprimento R di T tramite intervalli tale che µ(R) < δ, ma allora µ(f(R)) < ε e, poichef(T ) ⊂ f(R), si ottiene µ∗(f(T )) < ε e per l’arbitrarieta di ε > 0 si conclude.

Teorema G.3.2. Sia f : [a, b] → R una funzione assolutamente continua e non decrescente taleche f ′(x) = 0 per q.o x ∈ (a, b), allora f e costante su [a, b].

Dimostrazione. indichiamo con T l’insieme su cui f ′(x) 6= 0; per il lemma precedente si haµ(f(T )) = 0. Sia R = [a, b]\T ; poiche f ′(x) = 0 su R, per ogni x ∈ R esiste ξ ∈ (x, b] taleche f(ξ)− f(x) < ε(ξ − x), dove ε > 0, quindi R ⊂ Eg (vedi lemma G.3.1) dove g(x) = εx− f(x).Siano (ak, bk) gli intervalli disgiunti che compongono l’insieme aperto Eg, allora per il lemmaG.3.1 si ha g(ak + 0) ≤ G(bk) e quindi εak − f(ak + 0) ≤ εbk − f(bk − 0) da cui si ottienef(bk − 0) − f(ak + 0) ≤ ε(bk − ak) da cui si ottiene µ(f(Eg)) ≤ ε(b − a) e, per l’arbitrarieta di ε,µ(f(Eg)) = 0 e quindi µ(f(R)) = 0.

Si e cosı giunti alla conclusione che [f(b), f(a)] = f(R) ∪ f(T ) dove µ(f(R)) = µ(f(T )) = 0,quindi µ( [f(b), f(a)] ) = 0, cioe f(a) = f(b) e quindi f e costante.

Teorema G.3.3 (TFC seconda forma). Sia f : [a, b]→ C una funzione assolutamente continua,allora f ′ ∈ L1(a, b) e

f(x) = f(a) +∫ x

a

f ′(t)dt (G.3.10)

Dimostrazione. dai teoremi G.2.8 e G.2.7 segue che f e una funzione a variazione limitata e quindie derivabile q.o. con derivata integrabile. Per le proprieta dell’integrale e per il teorema G.2.8basta mostrare l’equazione G.3.10 nel caso in cui f sia reale e non decrescente. In questo casodefiniamo le funzioni F1 e F2 come

F1(x) = f(x)− f(a); F2(x) =∫ x

a

f ′(t)dt (G.3.11)

allora consideriamo g(x) = F1(x)− F2(x); g e assolutamente continua, per la prima formulazionedel teorema fondamentale del calcolo si ha g′(x) = 0 quasi ovunque, g(a) = 0 e se y > x si ha (vediequazione G.2.42)

g(y)− g(x) = f(y)− f(a)−∫ y

a

f ′(t)dt− f(x) + f(a) +∫ x

a

f ′(t)dt = (G.3.12)

= f(y)− f(x)−∫ y

x

f ′(t)dt ≥ 0

quindi g e crescente, quindi per il teorema precedente g(x) = 0 su [a, b] e quindi si ottiene G.3.10.

Si ottiene quindi il teorema G.2.12:


Teorema G.3.4. Una funzione f : [a, b]→ C ha la forma

f(x) = f(a) +∫ x

a

φ(t)t (G.3.13)

per qualche φ ∈ L1(a, b) se e solo se f e assolutamente continua su [a, b]; in questo caso si haanche φ = f ′ quasi ovunque su (a, b).

Corollario G.3.1. Una funzione f : [a, b]→ C assolutamente continua e costante se e solo se haderivata nulla q.o. in [a, b].

Bibliografia: in questa appendice si sono viste due diverse strade per dimostrare i teoremiprincipali: quella che usa il teorema del ricoprimento finito di Vitali e esposta nel capitolo Vdi [5], quella che non lo usa e tratta dalle sezioni I,3, I,13 e I,25 del testo [7] o dall’edizionefrancese del testo [6] edita da MIR (in questo testo e nella corrispondente edizione italiana vi epero un errore nell’enunciato del lemma G.3.1 nel caso di funzioni discontinue: vi si trova infattierroneamente affermato che vale la disuguaglianza g(ak) ≤ G(bk) invece di g(ak+0) ≤ G(bk)). Peruna trattazione piu moderna, che pero richiede alcune conoscenze di teoria della misura (reperibilinei capitoli precedenti dello stesso testo), si rimanda al capitolo VIII di [8].

Bibliografia

[1] H. Brezis. Analisi Funzionale. Liguori Editore.

[2] R. Courant, D. Hilbert. Methods of mathematical physics vol. 1. Interscience.

[3] J. Dieudonne. Foundations of Modern Analysis. Accademic Press.

[4] M. Giaquinta, G. Modica. ANALISI MATEMATICA 3.Strutture lineari e metriche, continui-ta. Pitagora Editrice.

[5] E. Hewitt, K. Stromberg. Real and abstract analysis. Springer.

[6] A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis.Dover Publications.

[7] F. Riesz, B. von Sz. Nagy. Lecon d’Analyse Fonctionelle. Akad. Kiado.

[8] W. Rudin. Analisi reale e complessa. Bollati Boringhieri.

[9] K. Yosida. Functional Analysis. Springer.

I libri [1], [2], [3], [5], [7], [8], [9] sono reperibili nella biblioteca di Matematica Fisica Informat-ica, il testo [6] e disponibile edito da una diversa casa editrice; il testo [4] non era reperibilein biblioteca qundo queste note sono state scritte.

151

Indice analitico

autospazio, 64, 114autovalore, 64, 114autovettori, 114

base, 20

chiusura di un insieme, 6classe di Schwartz, 74completamento, 11contrazione, 15criterio di Dini, 28criterio di Dirichlet-Jordan, 104

derivate di Dini, 133disuguaglianza di Bessel, 21disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, 16disuguaglianza di Holder, 95disuguaglianza di Minkowski, 95disuguaglianza di Young, 95disuguaglianza triangolare, 1

esponente coniugato, 95estensione minimale, 88

formula di inversione per T.F., 77, 84formula di Poisson, 34formula di polarizzazione, 18formule di de Morgan, 5funzionale lineare, 57funzione a variazione limitata, 138funzione armonica, 38funzione assolutamente continua, 91, 143funzione caratteristica, 13funzione continua, 2, 3funzione di Cantor-Vitali, 91funzione di Green, 32, 37, 42, 119, 122funzione lipschitziana, 3funzione semplice, 97funzione uniformemente continua, 7

grafico, 85

identita del parallelogramma, 18identita di Parsefall, 22, 77insieme aperto, 4insieme chiuso, 4

insieme compatto, 6insieme completo, 20insieme convesso, 54insieme denso, 8insieme ortonormale, 20insieme relativamente compatto, 6insieme risolvente, 115integrale indefinito di una funzione, 140integrazione per parti, 91, 147

lemma di Baire, 128lemma di Green, 41lemma di Riemann-Lebesgue, 24limite di una funzione, 1limite di una successione, 2

metodo di Gram-Schmidt, 51

norma, 1norma di un op. lineare, 56norme equivalenti, 4nucleo di Dirichlet, 27nucleo di Fejer, 107nucleo di Poisson, 34

operatore aggiunto, 58, 86, 119operatore autoaggiunto, 64operatore chiudibile, 88operatore chiuso, 85operatore compatto, 66operatore di Hilbert-Schmidt, 68operatore isometrico, 64operatore limitato, 56operatore normale, 64operatore unitario, 63

palla aperta, 4palla chiusa, 4parte interna, 9polinomio minimo, 66polinomio trigonometrico, 25principio del massimo, 39problema aggiunto, 120problema ai limiti, 117problema ai limiti omogeneo, 117

152

INDICE ANALITICO 153

problema autoaggiunto, 120problema di Dirichlet, 39problema di Sturm-Liouville, 121, 122prodotto di convoluzione, 82, 99prodotto scalare, 16proiettore, 59proiezione, 54

ricoprimento di Vitali, 134

serie di Fourier, 22somma deiretta, 55sottospazio di Hilbert, 53sottospazio invariante, 65spazio `2, 50spazio Lp, 14, 94spazio Lploc, 99spazio B, 8spazio C, 11spazio C∞, 13spazio Cc, 11, 97spazio C∞c , 13, 97spazio biduale, 110spazio di Banach, 9spazio di Hilbert, 20spazio duale, 57spazio normato, 1spazio normato completo, 9spazio riflessivo, 111spazio separabile, 51spettro, 114spettro puntuale, 64, 114successione di Cauchy, 9successione di mollificatori, 100supporto di una funzione, 97

teorema del grafico chiuso, 86, 131teorema dell’alternativa, 112, 117teorema della applicazione aperta, 128teorema della divergenza, 41teorema della media, 40, 41teorema della proiezione, 55teorema delle contrazioni, 15teorema di Bolzano-Weierstrass, 8teorema di Fejer, 108teorema di Fischer-Riesz, 22, 96teorema di Fubini, 138teorema di Heine-Cantor-Borel, 7teorema di Lebesgue, 90, 136, 142, 143teorema di Plancherel, 78teorema di rappresentazione di Riesz, 57teorema di Vitali del ricoprimento finito, 134teorema di von Neumann, 18teorema di Weierstrass, 6, 12

teorema fondamentale del calcolo, 91, 141,146, 149

teorema secondo della media, 103teorema spettrale, 65, 70, 73trasformata di Fourier, 74, 77, 79

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