Appunti del corso diMetodi matematici per lIngegneriaSimonaFornaroeDiegoPallaraa.a. 2011/12IntroduzioneInquestedispensesonoespostigliargomentichecostituisconolaprimapartedel corsodi Metodi matematici per lingegneriarivoltoagli studenti del primoannodellaLaureaspecialisticainIngegneriadelletelecomunicazioni. Malgradogliargomentisianoclassicietrovinopostoinnumerosilibri,alcunideiqualisonoconsigliati perlapreparazionedellesame, ci auguriamochelapresentesinteticaesposizionepossaessereutilecomeguidaallaletturadi testi pi` uapprofonditi. Ilfascicolocontieneprobabilmentepi` udiquantosiapoiespostoinaula(erichiestoallesame), perche, essendo rivolto a studenti maturi, si `e voluta dare la possibilit`adiqualcheapprofondimentoindividuale.Questo testo non ha carattere denitivo, ed anzi contiamo di poterlo migliorare,giovandoci anche delle osservazioni di tutti i lettori, ed in particolare degli studenti.Ringraziamoinanticipotutticolorochecifornirannosuggerimentiutili.3Indice1 Teoriadellamisuraedellintegrazione 71.1 Misurepositive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Funzionimisurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 LamisuradiLebesguein Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Passaggioallimitesottoilsegnodiintegrale . . . . . . . . . . . . . 231.6 Misurerealievettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.7 Singolarit` aeassolutacontinuit` adimisure . . . . . . . . . . . . . . 331.8 Misuraprodotto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.9 Formulediriduzioneecambiamentodivariabiliin Rn. . . . . . . . 411.10 Integralidipendentidaunparametro . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.11 Prodottodiconvoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 Teoriadelledistribuzioni 552.1 Denizioniedesempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.2 Successionieseriedidistribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.3 Derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.4 Supportoeconvoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.5 Distribuzionitemperate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.6 TrasformatadiFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703 MisurediLebesgue-Stieltjesefunzioniavariazionelimitata 753.1 MisuradiLebesgue-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.2 Misuraimmagineedesempidiapplicazioni . . . . . . . . . . . . . . 793.3 Funzioniavariazionelimitata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.4 Funzioniassolutamentecontinue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884 TeoriaelementaredeglispazidiHilbert 914.1 Generalit` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9156 INDICE4.2 BasiortonormalieseriediFourierastratte . . . . . . . . . . . . . . 954.3 Teoriaspettraledeglioperatoriautoaggiunticompatti . . . . . . . . 104ARichiami 115A.1 Massimoeminimolimite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115A.2 Insieminumerabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116A.3 IlteoremadiRiemannsuiriordinamenti . . . . . . . . . . . . . . . 117A.4 Ilteoremadelladivergenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118A.5 IlTeoremadiAscoli-Arzel` a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Capitolo1TeoriadellamisuraedellintegrazioneInquestocapitolosvilupperemounateoriadellintegrazionepi` umodernadiquella di Riemann,gi` a studiata,che consente di ovviare ad alcuni inconvenienti. IprincipalidifettidellateoriadiRiemannsonoinfatti:(i) Lanoncompletezzadellospazio 1([a, b])dellefunzioni integrabili in[a, b],munitodellametricad(f, g) =_ba[f(x) g(x)[ dx.Questovuoldirecheesistonosuccessionidifunzioni(fk)integrabilisu[a, b]talichelimk,j+_ba[fk fj[dx = 0,manonesistealcunafunzioneintegrabileftalechelimk+_ba[fk f[dx = 0.(ii) Il fattochenontuttelefunzioni caratteristichedi aperti ochiusi sianoin-tegrabili, amenochelapertooil chiusononsianocostituiti daunnumeronito di intervalli. Inoltre, in generale le funzioni denite mediante serie nonsonointegrabili secondoRiemann, amenochelasommadellaserienonsiacontinua.78 Misuraeintegrazione(iii) Lapossibilit` adipassareallimitesottoilsegnodiintegralefh f =_bafh(t) dt _baf(t) dtsoloselefunzioni convergonouniformemente. Vedremoinvecechenellam-bitodellateoriadi Lebesguelaclassedellefunzioni integrabili`emoltopi` uricca e comprende molte funzioni che sono limiti di successioni anche non uni-formemente convergenti. Inoltre, vi sono formule molto generali di passaggioallimitesottoilsegnodiintegrale.LideadibasedellateoriadiLebesgueconsistenelsuddividerenonildominiodella funzione da integrare, come nella teoria di Riemann, ma il suo codominio. Peresempio, comevedremo, seunafunzioneassumesolounnumeronitodi valori,peresempio(1.1) f(x) =k

i=1ciEi(x)con ci R e gli Ei a due a due disgiunti, `e naturale denire il suo integrale ponendo_f=k

i=1cimis (Ei).Peravereunasucienteessibilit` anellapprossimarefunzioni genericheconfun-zioni del tipo(1.1) nonbasta(inR) prendere come insiemi di livelloEidegliintervalli, mabisognaconsiderareinsiemi pi` ugenerali. Questoponeil problemadi denireopportunamenteunamisurasuclassi moltoampiedi insiemi. Eccoperchetrattiamoprimalamisuraepoi lintegrale(enonviceversa, comenellateoriadiRiemann). Latrattazionechepresentiamo`egenerale(nonsilimitaallamisurastandardsu Rn)perpoteressereapplicatafralaltronellambitodellateoria delle distribuzioni, che vedremo in un capitolo successivo, e della teoria delleprobabilit` a.1.1 MisurepositiveDenizione1.1SiaXuninsiemenonvuoto. Unafamiglia cdisottoinsiemidiXsichiamaalgebra,se(a) c;1.1Misurepositive 9(b) c`echiusarispettoallunione: perogniA, B c,risultaA B c;(c) c`e chiusa rispetto alla complementazione: per ogni A c, risulta XA c.Osservazione1.2Equivalentemente, c`eunalgebrasesonosoddisfattelepro-priet` a(a),(b)e(c),dove(b) c`echiusarispettoallintersezione: perogniA, B c,risultaA B c.Invirt` udellapropriet`aassociativadiunioneeintersezione, sihachelunioneelintersezionediunnumeronitodielementidi c`eancorain c.Denotandocon T(X)linsiemedituttiisottoinsiemidiX,deniamolunioneelintersezionediunasuccessione(Eh)hNcomesegue:_hNEh=_x X: h N : x Eh_,

hNEh=_x X: x Eh h N_.Denizione1.3Unafamiglia c di sottoinsiemi di Xsi chiama-algebrase`echiusa rispetto alle operazioni insiemistiche numerabili, cio`e se presi Eh crisultache

hNEh,

hNEh c.`E facile vedere che , X e T(X) sono -algebre, rispettivamente la pi` u piccolae la pi` u grande (rispetto allinclusione) tra tutte quelle che si possono formare consottoinsiemidiX.Apartireda ( T(X), `epossibileconsiderarelapi` upiccola-algebraconte-nente (edenitada(() =

_c [ c algebra, ( c T(X)_.Ladenizione`e benposta, inquantoesiste almenouna-algebra,T(X), chegodedellepropriet`arichieste. Inoltre, `efacilevericarechelintersezionedi unaqualunquefamigliadi -algebre`eancorauna-algebra. In RN, la-algebradiBorelB(RN) `e quella generata dalla famiglia di tutti i sottoinsiemi aperti (o,equivalentemente,generatadatuttiisottoinsiemichiusi).La coppia (X, c), dove c`e una -algebra di sottoinsiemi di X, si chiama spaziomisurabileeglielementidi cprendonoilnomediinsiemimisurabili. Unospaziomisurabile rappresenta lambiente adatto per lintroduzione del concetto di misura.Dataunafunzionedinsieme : c [0, +],diremoche- `eadditivase(A B)=(A) + (B), perognisceltadegliinsiemiA, Bin cconA B= ;10 Misuraeintegrazione- `e-subadditiva(oequivalentementenumerabilmentesubadditiva) seperognisuccessione EhhN ceperogniE ctalicheE _h=1Ehrisulta(E)

h=1(Eh);- `e-additiva(oequivalentementenumerabilmenteadditiva)se,postoE=_h=1Eh,con Eh EeEh Ek= perognih ,= k,risulta(E) =

h=1(Eh);- `enitase(X) < +.Denizione1.4Chiamiamo misura positiva su uno spazio misurabile (X, c) ognifunzione dinsieme -additiva : c[0, +] tale che () =0. La terna(X, c, )sichiamaspaziodimisura.UninsiemeE csidice-nitosesipu`odecomporrenellunionenumerabiledi insiemi aventi misuranita, cio`eE=

h=1Ehcon(Eh) tcon f> t. Consignicatoanalogoscriveremo f t, f< t, f t.1.2Funzionimisurabili 13Denizione1.9Sia(X, c)unospaziomisurabileesiaf:X R. Diremochef`emisurabilesef> t c, perognit R.Sef : X Rm, diremochef `emisurabileselosonotuttelesuecomponentiscalari.Condizioniequivalentiallamisurabilit`asihannoimponendolamisurabilit` adituttigliinsiemi f to,passandoaicomplementari,lamisurabilit` adituttigliinsiemi f< toppuredituttigliinsiemi f t. Sihainfattif t =

h=1f> t 1/h f> t =_h=1f t + 1/hquindi dallamisurabilit` adegli insiemi conladisuguaglianzastrettasi deducelamisurabilit` adiquelliconladisuguaglianzanonstrettaeviceversa. Inoltre,possi-amonotarechesef`emisurabilealloraperogni a t q g> qquindi anche la somma `e misurabile, dal momento che i soprallivelli sono esprimibilicomeunionenumerabiledi insiemi misurabili. Lastabilit` arispettoamassimi eminimiseguesubitodalleidentit` af g> t = f> t g> tf g> t = f> t g> t.14 MisuraeintegrazioneSianofhfunzionimisurabiliconvergentipuntualmenteaf. Sihaf> t =_k=1x X: fh(x) > t + 1/kdenitivamente=_k=1_h=1

i=hfi> t + 1/k.Inne,sef`emisurabileeE= f ,= galloraf> tg> t EquindiessendoEtrascurabilee f> tmisurabileanche g> t `emisurabile.Siaora : R Rcontinua. Allora,perogniA Rlinsieme1(A) `eapertoin R e quindi (sapendo che ogni aperto di R`e unione numerabile di intervalli aperti)f1(1(A)) `emisurabile.Sef: X R `emisurabile,poniamo(1.2) |f|L(X)= inft 0 : (x X: [f(x)[ t) = 0ediciamochef `eessenzialmentelimitatase |f|L(X) t =___ t 1E 0 t < 1R t < 0equindiE`emisurabileseesoloseE`emisurabile.Denizione1.11Indicheremocon o+(X)linsiemedellefunzionisemplici posi-tive,cio`elinsiemedellefunzioniesprimibilinellaformaf(x) =N

i=1ziEi(x),conz1, . . . , zNpositivieE1, . . . , EN c.1.2Funzionimisurabili 15Osserviamo che tutte le funzioni semplici sono misurabili. La rappresentazionecome combinazione lineare di funzioni caratteristiche non `e certo unica: ad esempio(conX= R)[1,1] + [0,2] + (1,3]= [1,0) + 2[0,2] + (2,3].`Efacilevederecheogni funzionesemplice`erappresentabileinmodouniconelseguentemodo(1.3) f(x) =k

i=1ziEi(x),doveimf= f(X) = z1, . . . , zk,conzi ,= zjperi ,= jeEi= f1(zi).Valeilseguenteimportanterisultatodiapprossimazione.Teorema1.12Siaf:X [0, +] unafunzionemisurabile. Alloraesisteunasuccessionedifunzionisemplici(sn),taliche0 sn(x) sn+1(x) elimnsn(x) = f(x), perognix X.Sef`elimitata,alloralaconvergenza`euniforme.Dim. Perognin Nek = 0, 1, . . . , n2n1,deniamoEk,n= f1__ k2n, k + 12n__.Taliinsiemisonomisurabili,datocheflo `e. Poniamopoisn(x) =n2n1

k=0k2nEk,n(x) + nEn(x),doveEn= f n. Chiaramente,lesnsonofunzionisemplici,costituisconounasuccessionecrescenteeconvergonopuntualmenteadf. Infatti,ssaton,perognikgli Ek,nsonoadueaduedisgiunti e, siccomex Ek,nimplicak/2nf(x) sup flastima(1.4)valeuniformemente. [f(x) sn(x)[ 1/2nperognix X.16 Misuraeintegrazione1.3 IntegrazioneDopo le premesse fatte, possiamo nalmente denire lintegrale rispetto ad unagenerica misura positiva. La costruzione avviene per passi, considerando dapprimalefunzionisemplicipositive,quindiquellemisurabilipositive,perarrivare,inne,adintegrarefunzionimisurabilidisegnoqualunque.Siano(X, c) unospaziomisurabile e unamisurapositivaintale spazio.Supponiamoanchechesiacompleta, cio`echeogni sottoinsiemedi uninsiememisurabile con misura nulla sia ancora misurabile (ed abbia misura nulla). Di fatto,lacostruzione dellintegrale`e possibile anche senzaquestaulteriore condizione.Tuttavia, per una misura completa valgono alcune propriet` a in pi` u, che preferiamomettereinevidenza.Ses o+(X),s(x) =

ki=1ziEi(x),conEi Ej= ,peri ,= j,deniamo_Xs d =k

i=1zi(Ei),adottandolaconvenzionechezi(Ei)=0sezi=0e(Ei)= . Ladenizionenondipendedallarappresentazionedisedinparticolarerisulta_Xs d =

z Im(s)z_s1(z)_.Inoltre, lapplicazionecheadunafunzionesemplicesassociail suointegrale`elineare,purdimoltiplicarepernumeripositivi,egodedellaseguentepropriet` adimonotonia:s, t o+(X), s t =_Xs d _Xt d.Estendiamooraloperazionediintegrazioneadunaclassepi` uampiadifunzioni.Denizione1.13Siafmisurabileepositiva. Alloraponiamo_Xf d = sup__Xsd : d : s o+(X),s f_.Notiamochelintegralediunafunzionemisurabilepositiva`ebendenito,mapu` oessere+. Inoltre, si vedefacilmentechesef o+(X), il suointegralecoincideconquellogi` adenito.Ingenerale, sef `emisurabile(edi segnoqualunque), consideriamolapartepositivaf+=f 0elapartenegativaf=(f) 0di f, il cui integrale`edenitonellaDenizione1.13. Sef+edfhannointegralenitoponiamo_Xf d =_Xf+d _Xfd.1.3Integrazione 17Diremoche f `e sommabileinXse`e misurabile e laparte positivae lapartenegativahannoentrambeintegralenito.Notiamochetuttelefunzioni limitate, misurabili, nullefuori di uninsiemedi misuranitasonosommabili. Linsiemedellefunzioni sommabili inXverr` aindicatoconL1(X) oppure L1(X, ) se sar`aopportunomettere inevidenzalamisura.Teorema1.14LinsiemeL1(X)dellefunzionisommabiliinX`eunospaziovet-toriale. Inoltrevalgonolepropriet`a(i) (Linearit`a)_X[f+ g] d = _Xf d + _Xg d(ii) (Monotonia)f g =_Xf d _Xg d(iii) (Indipendenza da insiemi di misura nulla) Se f L1(X) e _x X: f(x) ,=g(x)_ = 0allorag L1(X) e_Ef d =_Xg d.(iv)fmisurabile, [f[ g L1(X) q.o. = f L1(X).Per quantoriguardalapropriet`a(iv), bastaosservare che [f[ g implica0 f+ge0 f gequindi_X sd _X gdperogni funzionesempliceminorantef+(risp. f).Una conseguenza della linearit` a dellintegrale `e la disuguaglianza tra il modulodellintegraleelintegraledelmodulo:_Xf d _X[f[ d.Infattisiha_Xf d=_Xf+d _Xfd_Xf+d +_Xfd =_X[f[ d.18 MisuraeintegrazioneLanozionediintegralesiestendeimmediatamenteallefunzioniavalorivettorialif= (f1, . . . , fm) : X Rmponendo_Xfd =__Xf1d, . . . ,_Xfmd_purche le componenti fisiano integrabili. In particolare, se m = 2 con la consuetaidenticazionedel pianoconil campocomplessorestadenitoanchelintegraledimunafunzionecomplessaf= u + iv: X C,_Xfd =_Xud + i_Xvd.Datouninsieme misurabile EXe f : XRmisurabile diremoche f `esommabileinEsefE`esommabileinX. Intalcasoporremo_Ef d =_XfE d.Avremmo ottenuto lo stesso risultato se, per denire lintegrale in E avessimo usatolarestrizionedellamisuraadE. LinsiemedellefunzionisommabiliinEverr` aindicatoconL1(E, )osemplicementeL1(E).1.4 LamisuradiLebesguein RnIn questo paragrafo vediamo come sia possibile denire una nozione di misuran-dimensionaleper unsottoinsieme Edi Rn. Lidea`e quelladi assegnare airettangoliR = [a1, b1[ [an, bn[unamisura(lunghezzapern = 1,areapern = 2,volumepern = 3,...) ugualeamn(R) = (b1a1)(b2a2)(bnan)epoi di denirelamisuradi uninsiemegenericomediantericoprimenti fatti conrettangoli. Pern = 1sitrattaevidentementediintervalli,pern = 2direttangoliveri epropri, pern=3di parallelepipedi. Useremolaparolarettangoli, senzaintrodurre ulteriori termini. Chiameremo invece plurirettangolo ununione nitadirettangolideltipodetto.Denizione1.15SiaE Rnuninsieme. Deniamomn(E), misuraesternan-dimensionalediLebesguediE,nel seguentemodo:mn(E) = inf_

i=1mn(Ri) : E _i=1Ri_.1.4LamisuradiLebesguein Rn19QuindilamisuraesternadiEsiottienecercando,tratuttiiricoprimentidiEmediantesuccessionidirettangolin-dimensionali,quellocheminimizzalasommadei volumi. Osserviamo che i rettangoli del ricoprimento non sono necessariamentedisgiunti. Vediamo alcune propriet`a della misura esterna che seguono direttamentedalladenizione:(a) La misura esterna di E `e sempre compresa tra 0 e +. Inoltre mn(E) < +se E`e uninsieme limitatoe mn() =0. Daltraparte, come vedremo,esistonoinsieminonlimitatidimisuranitaedinsieminonvuotidimisuranulla.(b) Lamisuraesterna `einvariantepertraslazionimn(x + E) = mn(E) E Rn, x Rnedhailseguentecomportamentorispettoadomotetie(1.5) mn(E) = nmn(E) E Rn, > 0.Infatti, seEsi ricopreconrettangoli Riallorax + Esi ricopreconrettan-golix + Ri, chehannolostessovolume, mentrelinsiemeEsiricopreconrettangoliRi,ilcuivolume `enmn(Ri).(c) Lamisuraesterna `eunafunzionecrescentedinsieme:E1 E2= mn(E1) mn(E2).Inoltre `enumerabilmentesubadditiva:(1.6) E _h=1Eh= mn(E)

h=1mn(Eh).La diseguaglianza `e infatti ovvia se la sommatoria di mn(Eh) vale +. In ca-so contrario, per ogni > 0 ed ogni h 1 esiste una successione di rettangoli(Rh,i)iNtalecheEh _i=1Rh,i

i=1mn(Rh,i) < mn(Eh) + 2h.Sommandoinhsiha

h=1

i=1mn(Rh,i) 4, bastaricoprireEcongli hcubi Qicentratiini/hedilato1/hperaveremn(E) h(2/h)2= 4/h < .Vediamoalcunepropriet` adegliinsiemitrascurabili.Proposizione1.16Ogni sottoinsiemedi uninsiemetrascurabile`etrascurabile.Lunionediunasuccessionediinsiemitrascurabili `etrascurabile. UninsiemeE`etrascurabile se e solo se per ogni > 0 esiste un aperto A Etale che mn(A) < .Dim. I primi dueenunciati seguonofacilmentedallepropriet` a(c)dellamisuraesterna. SeE`econtenutoinapertidimisuraesternaarbitrariamentepiccola,perla monotonia della misura esterna deve essere mn(E) = 0. Viceversa, se mn(E) = 0alloraperogni > 0esisteunasuccessionedirettangoliapertiRitalecheE _i=1Rie

i=1mn(Ri) < .DettaAlunione dei rettangoli Risi ha, per ladenizione di misuraesterna,mn(A) < .1.4LamisuradiLebesguein Rn21Lamisuraesternadi Lebesguehail vantaggiodi esseredenitaperogni sot-toinsiemedi Rn. Il prezzodi questo`eper`ounaperditadi additivit`a: esistonoesempidiinsiemilimitatiE,Fdi Rndisgiuntietaliche(1.7) mn(E F) < mn(E) + mn(F).Individueremoorauna-algebradi insiemi, detti insiemi misurabili, sui quali lamisuraesternadi Lebesguehauncomportamentomigliore, cio`euna-algebra/(Rn)talechelarestrizionedi mnad /(Rn)risulti -additiva, denendounamisura.Denizione1.17Posto EF= (EF)(F E), diremo che un insieme limitatoE Rn`emisurabileseperogni > 0esisteunplurirettangoloPtalechemn(EP) < .SeEnon `elimitatodiremocheE`emisurabileseE BR(0) `emisurabileperogniR > 0. Indicheremocon /(Rn)laclassedeisottoinsiemimisurabilidi Rn.La proposizione precedente implica che tutti gli insiemi trascurabili sono misurabili(siprendeP= ).Vediamooraalcunepropriet` adistabilit` adegliinsiemimisurabili:Teorema1.18(i) Gliapertieichiusidi Rnsonomisurabili.(ii) Laclasse /(Rn)`euna-algebra.(iii) Laclasse /(Rn)`estabileperomotetieetraslazioni:E /(Rn) = x + E,E /(Rn) x Rn, > 0.(iv) SeE`emisurabileeF`etalechemn(EF) = 0alloraancheF`emisurabile.Inbaseal teoremaprecedentesonomisurabili leunioni numerabili di chiusi,leintersezioninumerabilidi apertiecos` via. Laclassedegliinsiemimisurabili`equindiestremamentericca.Aconfermarequestoc`eancheil fattochei soli esempi di sottoinsiemi di Rnnon misurabili per i quali vale (1.7) si ottengono in modo non costruttivo. Tutti gliinsiemi operativamente costruiti a partire dai chiusi e dagli aperti con operazioniniteonumerabilisonomisurabili.Possiamooradeniremedianterestrizioneaimisurabililamisuradi Lebesguein Rn:22 MisuraeintegrazioneDenizione1.19DatoE Rnmisurabileponiamomn(E) = mn(E). Il numeromn(E)`edettomisuradiLebesguediE.Teorema1.20LamisuradiLebesgue`enumerabilmenteadditivasu /(Rn): perogniEmisurabileedognisuapartizioneininsiemimisurabiliEhsihamn(E) =

h=1mn(Eh).Inoltremn`einvariantepertraslazioni,soddisf`aalla(1.5)emn([0, 1]n) = 1.Dal teorema precedente possiamo dedurre altre utili propriet` a della misura diLebesgue, semplici riformulazioni dellepropriet` avistenellOsservazione1.5. Lamisura di Lebesgue `e certamentee la pi` u importante fra quelle che si incontrerannonel Corso. Lasuacostruzioneharichiestounacertafatica, eovviamenteledi-mostrazioni omessenonsonosemplici, mainconclusionepossiamodirecheneglispazi euclidei esiste unafunzione dinsieme che verica, come quelladi Peano-Jordan, tuttelepropriet` anaturali(invarianzapertraslazione, comportamentorispettoalleomotetie,ecc.),ma,adierenzadiquelladiPeano-Jordan, `edenitasu una -algebra di insiemi misurabili ed `e -additiva su tale -algebra, sicche godedituttelepropriet` avisteingeneraleperlemisurepositive.Corollario1.21PerognicoppiadiinsiemiE,F /(Rn)sihamn(E F) + mn(E F) = mn(E) + mn(F).Dataunasuccessionecrescentediinsiemi(Eh) /(Rn)sihamn_ _h=1Eh_ = limh+mn(Eh).Dataunasuccessionedecrescentediinsiemi(Eh) /(Rn),sihamn(E1) < + = mn_

h=1Eh_ = limh+mn(Eh).Osserviamoche,com`enaturaleaspettarsi,seunafunzione `eintegrabilenelsensodi Riemann allora `e integrabile anche nel senso di Lebesgue e i due integrali hannolostessovalore.`Enaturalechiedersi seinuninsiemeXqualunque`esemprelecitointrodurreunamisurapositiva. Larisposta`eaermativa. Comenel casodellamisuradi1.5Passaggioallimitesottoilsegnodiintegrale 23Lebesgue, si pu` odimostrarechetramiteunamisuraesterna`epossibilecostruireunaclassedi misurabili eunamisurapositiva. Nonvedremoquestacostruzionenellamassimageneralit` a,bens`inuncasoparticolarechesar` aquellodellamisuradiStieltjes.UnafunzionedinsiemedenitasututtelepartidiX, : T(X) [0, +],sichiamamisuraesternase(i) () = 0;(ii) (A) (B)seA B;(iii) (

k Ak) k (Ak)perognicollezionenumerabilediinsiemi Ak.DiremocheE X`emisurabilese(A) = (A E) + (A E), A X.Si dimostra (Teorema di Caratheodory) che la classe dei misurabili `e una -algebraecheristrettaaquestafamiglia`e-additiva, quindi `eunamisura. Natural-mente, la bont` a di una misura dipender` a dalla ricchezza della classe degli insiemimisurabilichesiottengono.1.5 PassaggioallimitesottoilsegnodiintegraleInquestoparagrafovedremosottoqualicondizionivalelimplicazione(1.8) fh f =_Xfhd _Xf d.Vedremo che in molti casi la sola convergenza puntuale della successione implica laconvergenzadegliintegrali. Incominceremocolconsiderareilcasoincuifh`eunasuccessionemonotonacrescente. Perpoterdarelenunciatonellasuaformapi` ugeneraleci sar`autileestenderelanozionedi integraleal casodi funzioni avaloriin R = [, +] = R , +.Denizione1.22Siaf: X R. Diremochef`emisurabileseperognit Rlinsieme f> t`emisurabile. Sef`emisurabilegliinsiemif= + =

h=1f> h f= =

h=1f h24 Misuraeintegrazionesonomisurabili. Sef 0poniamo_Xf d = limR+_Xf Rdenel casogeneraleponiamo_Xf d =_Xf+d _Xfdpurchealmenounodegliintegralisianito.Restano vere le propriet`a di monotonia, invarianza e linearit` a dellintegrale, conleccezionedi indeterminazioni del tipo .`Eimportanteosservarechevalelimplicazione_X[f[ d < + = _X [f[ = +_ = 0.Quindi se f L1(X) (cio`e il suo modulo ha integrale nito su X) allora gli insiemif = sonotrascurabili. Usandoladisuguaglianza [f[ R[f[>Rsi hainfatti_X[f[ d R_[f[ > R_ R_[f[ = +_.Dividendoamboi membri per Repassandoal limiteper R +si ottiene_[f[ = _ = 0.Teorema1.23(diBeppoLevidellaconvergenzamonotona) Sia(fh) unasuccessionecrescentedi funzioni misurabili avalori in[0, +]. Posto, perognix X,f(x) = suph1fh(x) = limh+fh(x),siha_Xf d = limh+_Xfhd.Dim. Notiamochelaconvergenzapuntualedellefhadf nonvadimostrata,perche `eovviapermonotonia,cos`comelaconvergenzadegliintegrali,limh+_Xfhd = .Inoltre, dalla convergenza puntuale segue anche che f`e integrabile, e per la mono-toniadelintegrale, che _X fd. Pertanto, se =+nonc`e nulladadimostrare. Altrimenti,ssatis o+(X)taleches fe0 < c < 1,poniamoEh= x X: fh(x) > cs(x)1.5Passaggioallimitesottoilsegnodiintegrale 25e osserviamo che Eh cper ogni h, e che

hEh= X. Per ogni x X, o f(x) = 0,eallorax E1,oppuref(x) > 0ecs(x) < f(x);nesegue: = limh+_Xfhd limh+_Ehfhd limh+c_Ehs d = c_Xs d,dacui,perc 1, _X s d. Perlarbitrariet`adis f,siha _X f delatesi `eprovata.Osservazione1.24Lipotesidinonnegativit` asullefunzionifhpu` oessereinde-bolitarichiedendocheesistaunafunzioneg L1(X)talechefh(x) g(x) x X, h 1.Bastainfattiapplicareilteoremasopraafh g. Senzaalcunaipotesiilteoremadi convergenza monotona pu` o essere falso: ad esempio se X= R e fh= R\[h,h]alloraf 0e_Rfh(x) dx = h, mentre_Rf(x) dx = 0.Unaimportanteconseguenzadel teoremadi convergenzamonotona`eil fattocheleoperazionidiserieediintegralecommutano(1.9)_X_

h=1fh_d =

h=1_Xfhdpurchetuttelefunzionifhsianononnegative. InfattibastapassareallimiteperN +nelluguaglianza_XN

h=1fhd =N

h=1_XfhdedilteoremadiconvergenzamonotonagarantiscechelimN+_XN

h=1fhd =_XlimN+N

h=1fhd =_X

h=1fhd.`E importante osservare che quando limplicazione (1.8) non vale, c`e comunque unarelazionetraillimitedegliintegralielintegraledellimite.26 MisuraeintegrazioneLemma1.25(LemmadiFatou) Sia (fh) L1(X) una successione di funzionimisurabiliavaloriin[0, +]. Allora_Xliminfh+fhd liminfh+_Xfhd.Dim. Posto per ogni h N, f= liminfhfhe gh= infkhfk, si ha che gh `e unasuccessionecrescentecheconvergepuntualmenteafinX,edinoltreovviamentevalegh fhperogni h. Applicandoil teoremadellaconvergenzamonotonaallasuccessione(gh),risulta:_Xf d =limh_Xghd = liminfh_Xghd liminfh_Xfhd.Osserviamoche, comeperil teoremadellaconvergenzamonotona, si pu`oso-stituirelipotesichelefhsianotuttepositiveconlipotesicheesistaunafunzioneg L1(X)talechefh gperognih.Pertrattarelimitinonmonotonidisuccessioni `eutileilTeorema1.26(TeoremadiLebesguedellaconvergenzadominata) Se lasuccessione(fh) L1(X)convergepuntualmenteaf : X Rper-quasi ognix Xedesisteunafunzioneg L1(X)taleche(1.10) [fh(x)[ g(x) perq.o.x X, h 1,alloraf L1(X)elimh+_Xfhd =_Xf d.Dim. Notiamoche f(x) g(x) q.o. inX, e che [f fh[0, sicche 0 2g [f fh[ 2g. Ricordiamoanchechevalelaseguenterelazionetraliminfelimsup, cheseguesubitodallepropriet` adellestremosuperioreedellestremoinferiore:liminfhah= limsuphahperognisuccessionereale(ah)(vedilAppendice). ApplicandoilLemmadiFatouallasuccessione2g [f fh[siha:0 _X2g=_Xlimh(2g [f fh[) liminfh_X(2g [f fh[)=_X2g + liminfh__X[f fh[_ =_X2g limsuph_X[f fh[1.5Passaggioallimitesottoilsegnodiintegrale 27dacuilimsuph_X[f fh[ = 0equindilimsuph_Xf _Xfh limsuph_X[f fh[ = 0eilteorema `edimostrato.Osservazione1.27(a) Ilteoremadellaconvergenzadominatapu` oesserefalsosenonvalela(1.10):siaadesempioX= Refh(x) =_h3x(1/h x) sex [0, 1/h];0 altrimenti.Allorafhconvergepuntualmenteazeroin Rma_Rfh(x) dx =16.(b) Conlostessoragionamentousatoperdedurrela(1.9)sidimostrache

h=1_Xfhd =_X

h=1fhdpurcheesistaunafunzioneg L1(X)talecheN

i=1fi(x) g(x) x X, N 1.Per descrivere meglio la struttura dello spazio L1(X) introduciamo le nozionicontenutenellaseguenteDenizione1.28(SpazidiBanach) Se E`e uno spazio vettoriale (reale o com-plesso),sidicenormaunafunzione ||suEtaleche |x| 0 x E, |x| = 0 x = 0; |x| = [[|x| R(C),x E; |x + y| |x| +|y| x, y E(diseguaglianzatriangolare).28 MisuraeintegrazioneLanormainduceunadistanzatrai punti di E, d(x, y)= |x y|, equindi unanozionediconvergenzadisuccessioni,xn xpern seesolosed(xn, x) =|xnx| 0 per n . Una successione (xn) Esi dice successione di Cauchyseperogni > 0esiste> 0taleche |xnxk| < perognin, k > . UnospazionormatoEsidicecompleto,ospazio di Banach,seognisuccessionediCauchyinEconvergeadunpuntodiE.Consideriamooraperf L1(X)lafunzione|f|L1(X)=_X[f[ d.Si osservi che a rigore questa non `e una norma in quanto |f|L1(X)= 0 non implicaf =0masolof(x) =0per -quasi ogni x. Atutti gli eetti si pu` olavorarecon |f|L1(X)comesefosseunanorma,considerandoequivalentiduefunzionichedierisconoinuninsiemetrascurabile.Siaora(fh)comenelteoremadellaconvergenzadominata. Passandoallimitenella(1.10)otteniamoche [f[ gquasi ovunqueinE. Cambiandosenecessariof inuninsiemedi misuranullapossiamosupporrecheladiseguaglianzavalgaovunque;datoche [fhf[ 2gotteniamolimh+_X[fh(x) f(x)[ d = 0.Quindi convergenzapuntualeedominataimplicalaconvergenzanellametricadiL1(X). Ingenerale laconvergenzainL1(X) nonimplicalaconvergenzaquasiovunque: adesempiolefunzioni___f1= [0,1]f2= [0,1/2], f3= [1/2,1]f4= [0,1/3], f5= [1/3,2/3], f6= [2/3,1]. . .convergonoa0inL1([0, 1]) manonconvergonoquasi ovunque. Si hatuttaviaconvergenzaquasiovunquedisottosuccessioni:Proposizione1.29Sia(fh) L1(X) convergenteafL1(X). Alloraesisteunasottosuccessionegk= fhkconvergente-quasiovunqueinXaf.Dim. Siano, perk 1, hkindici scelti inmodotaleche |fhk f|L1(X) 0, sia > 0 tale che |fnfk|L1(X)> per n, k > . Allora, dal LemmadiFatou_X[f fk[d liminfn_X[fnfk[d > equindif L1(X)e,perlarbitrariet` adi, |f fk|L1(X) 0.Laproposizioneprecedentesipu` oriformularedicendocheL1(X) `eunospaziodiBanach.`Ediestremointeressenelleapplicazionianchelospazio(1.11) L2(E) =_u : E R :_E[u[2d[[ < _30 Misuraeintegrazionedove `e una misura su uno spazio misurabile (X, c) ed E c. Lo spazio L2(E) `eunospazionormatocompletoconnorma|u|L2(E)=__E[u[2d[[_1/2.Ricordiamo che `e stato introdotto anche lo spazio L(E) delle funzioni misurabilifessenzialmentelimitate,cio`etalicheesisteunacostanteCtaleche_x E: [f(x)[ > C_ = 0o,equivalentemente[f(x)[ C per-q.o. x E.LaminimacostanteCconquestapropriet`a(esisteperlanumerabileadditivit` adella misura) `e indicata con |f|L(E). Per la norma | |L(E)in L(E) valgono lestesseconsiderazionigi` afatteperglispaziL1(E),L2(E),edinoltreancheL(E)`ecompleto.Introduciamoanche laseguente notazione. Diciamoche f : RnR`e inL1loc(Rn)sef L1(E)perogni insiememisurabileelimitatoE Rn. InmodoanalogosidenisceL2loc(Rn)1.6 MisurerealievettorialiInquestoparagrafointroduciamolenozioni di misurarealeevettoriale, chesonoutiliinvarieapplicazionieritroveremonellambitodelledistribuzioni.Denizione1.31Se(X, c)`eunospaziomisurabile, m N, deniamomisuravettorialeognifunzionedinsieme : c Rm,taleche() = 0e(1.12) __j=1Ej_ =

j=1(Ej),perognisuccessione Ej cdiinsiemiadueaduedisgiunti.In particolare, se nella denizione precedente m = 1, allora si parla di misura reale.Perm = 2,abbiamounamisuracomplessa. Siccomelecomponentidiunamisuravettoriale sono misura reali, spesso, in ci` o che segue, sar` a suciente restringersi alcasoreale.1.6Misurerealievettoriali 31Osservazione1.32Una misura positiva non `e un caso particolare di misura reale.Infatti, direttamente dalla denizione discende che una misura reale `e nita, mentreuna misura positiva generalmente non lo `e. Inoltre, se `e una misura reale, allorain(1.12) abbiamounaserieconvergente, lacui sommanondipendedallordinedegli addendi, inquantolunione insiemisticaaprimomembro`e indipendentedallordine. Pertanto la serie in questione `e assolutamente convergente, dal teoremadelriordinamentodiRiemann,vediinAppendice.Esempio1.33Siano xk Xe ck Rmduesuccessionicon

k[ck[ < +.Deniamo =

k=1ckxk,ossia(E) =

k : xkEck, E X.Otteniamocos`unamisuravettorialedenitain T(X).Vogliamoarontareorailproblemadicostruireapartiredaunamisurareale(ovettoriale), , unamisurapositivache domini , nel sensoche [(E)[(E), per ogni misurabileE, echesia, inqualchemodo, lapi` upiccola. Atalproposito, notiamoche, se En`e unapartizione misurabile di E, alloradeveesserenecessariamente(1.13) (E) =

n=1(En)

n=1[(En)[.Datochelapartizione `earbitraria,(E)sar` aalmenougualeallestremosuperioredellesommenellultimomembrodi(1.13). Ci`ogiusticalaseguentedenizione.Denizione1.34Siaunamisuravettorialesu(X, c). PerogniE c,ponia-mo[[(E) = sup_

j=1[(Ej)[E=_j=1Ej, Ei c, Ei Ej= , i ,= j_.[[sichiamavariazionetotaledi.`Eimmediatovedereche [(E)[ [[(E)(bastaprenderelapartizionecostituitadal soloE). Il risultatopi` uimportanteriguardantelavariazionetotaledi unamisura `estabilitonelteoremachesegue,dicui `eomessaladimostrazione.Teorema1.35 [[`eunamisurapositivanita.32 MisuraeintegrazioneLa variazione totale [[ `e minimale, nel senso che se `e unaltra misura positivataleche [(E)[ (E)perogniE c,allora [[(E) (E).Esempio1.36Sia (X, c, ) uno spazio di misura, prendiamo f L1(X) e denia-mo(E) =_E fdperogniE c. Allora [[(E) =_E[f[d.Infatti, `efacilevedereche [[(E) _E[f[. Daltraparte,sedecomponiamoEnellunionedisgiuntadiE+= E f 0edE= E f< 0econsideriamoE+h, EhpartizionimisurabilidiE+edE,rispettivamente,allora

h=1[(E+h )[ =_E+f=_E+[f[,

h=1[(Eh )[ = _Ef=_E[f[.Siccome E+h Eh `e una partizione di E, troviamo che [[(E) h[(E+h )[ +

h[(Eh )[ =_E+[f[ +_E[f[ =_E[f[,che `elaltradisuguaglianza.Osservazione1.37[Decomposizionidiunamisurareale](a) Perognimisurarealelefunzioni+= +[[2, = [[ 2,sonomisurepositivenite, detterispettivamentepartepositivaepartene-gativadi. Valgonodunquelerelazioni = +, [[ = ++ .Laprimadelledueidentit` adisopra `enotacomedecomposizionediJordan.(b) Se `eunamisurarealesu(X, c),posto(E) = sup(A):A E, (E) = sup(A):A Eper ogni E c, si pu` o provare che esistono due insiemi disgiunti X+, X ctali che(E)=(E X+)e(E)= (E X)perogni E c, eche = +,= . Questapropriet`a `enotacomedecomposizionediHahn.1.7Singolarit`aeassolutacontinuit` adimisure 331.7 Singolarit`aeassolutacontinuit`adimisureDenizione1.38Siano(X, c)unospaziomisurabile,unamisurapositivaeunamisuravettorialein(X, c). Diremoche`eassolutamentecontinuarispettoaescriveremo se B c, (B) = 0 = [[(B) = 0.Diremocheduemisurepositive1, 2in(X, c) sono(mutuamente) singolari escriveremo1 2,seesisteuninsiememisurabileEtaleche1(E) = 0 e 2(X E) = 0.Se1o2oentrambesonovettoriali, allorasi dirannosingolari selosonolerispettivevariazionitotali.Se `eunamisurapositivain(X, c),diremoche `econcentratainE c,se(X E) = 0. Se`evettoriale,comeal solitolaprecedentecondizionevaintesaper [[.Direttamentedalledenizionidiscendecheduemisuresonosingolariseesolosesonoconcentrateininsiemi disgiunti, per cui duemisuresingolari vivonosuporzionidiversediX.Esempio1.39ConsideriamoA= rnunsottoinsiemenumerabiledi Resialamisuradi Lebesgue. Prendiamounasuccessionedi numeri reali positivi pntaleche

n=1pn< edeniamo =

n=1pnrn. Sivericafacilmenteche .Unutile caratterizzazione dellassoluta continuit`a `e stabilita nella seguente pro-posizione.Proposizione1.40Siano unamisuravettoriale e unamisurapositivain(X, c). Sonoequivalenti(a) ,(b) > 0 > 0t.c.seE c e(E) < allora [[(E) < .34 MisuraeintegrazioneDim. (b)(a): SiaB ctaleche(B)=0. Se [[(B)>0, alloraesisterebbe>0taleche [[(B) . Peripotesi, incorrispondenzadi troveremmo>0conlapropriet`ache [[(E) < nonappena(E) < . LasceltaE= Bportaadunacontraddizione.(a)(b): Supponiamoperassurdocheesistano>0edunasuccessionediinsiemimisurabili Entaliche(En) < 2ne [[(En) . PostoE=

n=0_j=nEj,risultacheE ce(E) =limn__j=nEj_ limn

j=n(Ej) limn

j=n2j= 0,mentre [[(E) =limn[[__j=nEj_ limn[[(En) .Osserviamo che se la misura non `e nita, allora nella proposizione precedentelimplicazione(b)(a)continuaavalere, mentrequellainversanon`egarantita.Ad esempio, se prendiamo al posto di la misura di Lebesgue in (0, 1) e deniamo(E) =_E1tdt,perogniinsiemeE (0, 1)misurabilesecondoLebesgue,allora ,nelsensoche (E) = 0 se (E) = 0. Tuttavia,per ogni n N linsieme En= (0, 1/n) `e taleche(En) = 1/nmentre(En) = +.Vediamoadessounaclasseimportantedimisureassolutamentecontinue.Proposizione1.41Siaunamisurapositivain(X, c)spaziomisurabileesiaf L1(X, ). Poniamof(E) =_Ef d, E c.Alloraf`eunamisurarealee [f[(E)=_E[f[ d. Inparticolare, f`eassoluta-mentecontinuarispettoa.Dim. Laprimapartedellenunciato`econseguenzadel teoremadi convergenzadominata. Verichiamo la formula relativa alla variazione totale. La diseguaglianzaseguedallaDenizione1.34edallarelazione [f(B)[ _B[f[d. Viceversa,perogni E cpossiamo considerare la partizione E= (Ef 0) (Ef< 0),ottenendo[f[(E) [f(E f 0)[ +[f(E f< 0)[ =_E[f[d.1.7Singolarit`aeassolutacontinuit` adimisure 35Osservazione1.42Lassertodellaproposizione precedente vale anche per f :X Rm,manonsipu` odedurreragionandocomponentepercomponente,quindipresentiamopercompletezzalarelativadimostrazione.Sia znunasuccessionedensain Sm1= x Rm: [x[ = 1. Perogni > 0ex X,poniamos(x) = minh N[ f(x), zh) (1 )[f(x)[.La denizione di s(x) `e ben posta perche la densit` a della successione zn in Sm1assicurachelinsiemeinquestionesianonvuoto. PoniamoBn= B s1(n).SivedecheBn c,Bn Bk= sen ,= ke

nNBn= B. Pertanto(1 )_B[f[ d = (1 )

n=1_Bn[f[ d

n=1_Bnf(x), zn) d=

n=1_Bnf(x) d, zn)

n=1_Bnf(x) d=

n=1[f(Bn)[ [f[(B).Abbiamocos`stabilitoche_B[f[ d [f[(B). Datochelaltradisuguaglianza`eevidente,lassertorisultaprovato.`Eimportantesaperechequestarappresentadifattolunicoesempiodimisuraassolutamente continua, come mostra il seguente risultato concernente la continuit` aassoluta,maancheunodeipi` uimportantiinteoriadellamisura.Teorema1.43Sianounamisurapositivaeunamisuravettoriale, avaloriinRm, deniteinunospaziomisurabile(X, c). Assumiamochesia-nita.Alloraesisteununicacoppia(a, s)dimisurevettoriali,avaloriin Rm,taliche(1.14)a ,s ,= a+ s.Inoltre,esisteununicaf [L1(X, )]mtalechea= f.36 MisuraeintegrazioneLacoppiaformatadaaesvienechiamataladecomposizionediLebesguedirispettoa. Lunicit` adelladecomposizionesi vericafacilmente, poichesea1es1`eunaltracoppiachesoddisf` aalla(1.14), si haa1 a=s1 s. Siccomea1a e s1s , necessariamente a1a= s1s= 0. Lesistenza delladecomposizione(1.14)`elapartesignicativadel primopunto. Lasecondapartedel Teorema 1.43 `e nota sotto il nome di TeoremadiRadon-Nikodym. Lunicit`a dif`eancoraunavoltaimmediata,mentreilpuntoessenziale `elesistenza. Difatto,si aermacheogni misuraassolutamentecontinua`edel tipof, perqualchef.LafunzionefsichiamaderivatadiRadon-Nikodymdiarispettoaesiindicaavoltecondad .Ilteoremapu` oessereestesoalcasoincui`eunamisurapositiva-nita.Si pu`o far vedere che lipotesi che le misure siano -nite non pu` o essere rimossa.Peresempio, se`elamisuradi Lebesguein(0, 1)elamisuradel contarein(0, 1),alloranonesisteunadecomposizionediLebesguedirispettoa.1.8 MisuraprodottoSiano(X, c)e(Y, T)duespazi misurabili. Perogni E cedF T, chia-miamo E Frettangolomisurabile. Se e sono due misure positive su (X, c) e(Y, T), rispettivamente, ciponiamoilproblemadicostruireunamisurasuuna-algebraopportunadiX Y conlapropriet` ache(E F) = (E)(F), E c , F T.Individuiamoinnanzituttola-algebraadatta. Devenecessariamentecontenerei rettangoli misurabili, maquesti dasoli noncostituisconouna-algebra, quindiconsideriamoc T:= (E F [ E c , F T) .Lascrittura c Tnonindicailprodottocartesianotra ced T,mala-algebrageneratadataleprodotto. PerogniQ c T,deniamolesezioni diQtramiteleseguentiespressioniQx= y Y [ (x, y) Q, x X,Qy= x X [ (x, y) Q, y Y.Lemma1.44Perognix X,y Y ,Q c TrisultaQx TeQy c.Dim. Poniamo (= Q cT [ Qx T , x X. Si vedefacilmenteche (`euna -algebra. Inoltre,se E F`e unrettangolo misurabile,allora (E F)x= F,1.8Misuraprodotto 37se x E, (EF)x= se x/ E. In ogni caso, (EF)x `e misurabile in Y , per cui(contieneirettangolimisurabili. Alloracontieneanchela-algebrageneratadaquesti, ossia c T. Pertanto Qx T, per ogni x Xe Q c T. AnalogamentesidimostracheQy c,perogniy Y eQ c T.Dataunafunzionef: X Y Represix Xey Y ,deniamolefunzionifx: Y Ry f(x, y)fy: X Rx f(x, y)Lemma1.45Nellanotazione introdotta, se f `e cT-misurabile, allorafx`eT-misurabileefy`e c-misurabile,perognix X,y Y .Dim. SiaSt=[t, +]. Per ipotesi, f1(St) cT. Per il Lemma1.44,(f1(St))x Te(f1(St))y c,perognixey. Siccome(f1(St))x=f1x(St)e(f1(St))y= f1y(St),latesi `eprovata.Teorema1.46Siano(X, c, )e(Y, T, )duespazi dotati di misurapositiva-nitaesiaQ c T. Allorax (Qx) `e c misurabile,y (Qy) `e T misurabileerisulta(1.15)_X(Qx) d =_Y(Qy) d.Osserviamoche(Qx)e(Qy)sonobenpostegraziealLemma1.44. Inoltre,siccome(Qx) =_YQx(y) d,eQx(y) =(Q)x(y) =Q(x, y)eanalogamenteper(Qy), possiamoriscriverelidentit` a(1.15)nellaforma_X__YQ(x, y) d_d =_Y__XQ(x, y) d_d,cos` dariconoscere unaformuladi inversione dellordine di integrazione per lefunzionicaratteristiche. IlTeorema1.46rappresentailpassopi` uimportantenellacostruzionedellamisuraprodotto. Infatti, grazieaquantostabilitonel suddettoteorema, se(X, c, )e(Y, T, )sonospazi di misurapositiva, -nita, perogniQ c Tpossiamodenire(1.16) (Q) =_X(Qx) d_ =_Y(Qy) d_.38 MisuraeintegrazioneProposizione1.47Lafunzionedinsiemedenitain(1.16)`eunamisurapos-itiva -nita in c Te verica (EF) = (E)(F). Inoltre,`e lunica misuraconquestepropriet`a.Dim. Evidentemente()=0. SeQ=

Qn, conQn cT, disgiunti, alloraQx=

(Qn)xe, datoche`e-additiva, risulta(Qx)=

n((Qn)x). Perla(1.9),possiamoscrivere(Q) =_X(Qx) d =_X

n((Qn)x) d =

n_X((Qn)x) d =

n(Qn),dacuila-additivit` adi. Ladimostrazionedelfattoche(E F) = (E)(F)segueimmediatamentedallaformula(1.16). Lunicit`adi tienecontodel fattoche`eunivocamentedeterminatasui rettangoli misurabili, checostituisconounsistemadigeneratoriper c T.Lamisuraprendeilnomedimisuraprodotto. Avolte `eindicatacon .Ilseguenteteoremaora `efacileconseguenzadellacostruzionefatta.Teorema1.48(Fubini) Siano(X, c, ) e(Y, T, ) duespazi dotati di misurapositiva-nita. Siaf: c T Runafunzione c T-misurabile.(a) Sef 0alloralefunzioni : x _Yfx(y) d, : y _Xfy(x) dsono c-misurabilee T-misurabile,rispettivamente,evale_X__Yf(x, y) d_d =_XYf(x, y) d=_Y__Xf(x, y) d_d.(formuladiriduzione)(b) Sef`eavalorirealiese(x) =_Y[f[xd e_Xd < ,alloraf L1(X Y, ).(c) Sef L1(XY, )allorafx L1(Y, )per-q.o. xefy L1(X, )per-q.o. y. Le funzioni denite in (a) sono sommabili nei rispettivi spazi e valeancoralaformuladiriduzioneperf.1.8Misuraprodotto 39Dim. (a): Sef =Q, conQ cT, alloralatesi `egi`avericatagraziealTeorema 1.46. Per linearit` a, essa si estende al caso delle funzioni semplici positive.Supponiamoorachefsiacomein(a). Allora,perilteoremadiapprossimazione(Teorema1.12),esisteunasuccessionedifunzionisemplicipositivesncheconver-gono a fpuntualmente e in modo crescente. Dato che (sn)x convergono nello stessomodoafx,perilteoremadiconvergenzamonotonarisultache_Y(sn)x(y) d_Yfx(y) d = (x), pern ,dacui segueche`e c-misurabile, inquantolimitedi funzioni chesonoalorovolta c-misurabili grazieal passoprecedente. Analogamente, `e T-misurabile.Inne,laformuladiriduzioneperf`econseguenzadelfattocheleapprossimantisnlavericanoesipu` opassareallimite,grazieancoraalteoremadiconvergenzamonotona.(b): Seguesubitoapplicando(a)a [f[.(c): Siafunafunzionesommabilenellospazioprodotto. Indichiamocon1e2lefunzionichecorrispondonoaf+efcos`comecorrispondeaf. Siccome(a) `evericatadaf+,possiamoscrivere_X1(x) d =_XYf+(x, y) d _XY[f(x, y)[ d,dacui segueche1 L1(X, ). Allostessomodo2 L1(X, ). Neseguecheper-q.o. x X, 1(x)< e2(x)< . Pertali x, risultafx L1(Y, ),essendofx=(f+)x (f)x. Inoltre, pergli stessi x, (x)=1(x) 2(x), percui L1(X, ). Scambiandoil ruolodi xeysi ottienelassertorelativoafye. Inne, laformuladi riduzioneperfsi ottienedaquelleperf+edf(chevericano(a)),sottraendomembroamembro.Notiamoche (b) e (c) insieme implicanoil seguente risultato: se f `e c T-misurabileese_X__Y[f(x, y)[ d_d < ,alloraidueintegraliiteratidellaformuladiriduzionesononitiecoincidono.Esempio1.49SianoX=Y =[0, 1] eprendiamoal postodi lamisuradelcontareeal postodi lamisuradi Lebesgue, denitenellerispettive-algebre.Consideriamolafunzionef=dove= (x, y) [0, 1]2: x=y`elapartedi diagonalenel quadratounitario. Pervederechef`emisurabile, bastaprovareche`emisurabile. Per ogni n N, suddividiamolintervallo[0, 1] innparti40 Misuraeintegrazioneuguali Ij1jne consideriamo Qn= I21 I2n. Qn `e unione nita di rettangolimisurabili ecometale`emisurabilenellospazioprodotto. Siccome= nQn,abbiamoche anche `e misurabile. Per lafunzione f consideratanonvale laformuladiriduzionegiacche_10fy(x) d = 0, perogniy [0, 1],e_10fx(y) d = 1, perognix [0, 1],percui_Y__Xf(x, y) d_d = 0 ,= 1 =_X__Yf(x, y) d_d.Ilproblema `edovutoalfattochelamisuranon `e-nita.Osservazione1.50La misura prodotto di due misure complete non `e necessaria-mentecompleta.Come applicazione del Teorema di Fubini,proviamo il seguente risultato dovuto aChoquet.Teorema1.51Siaf: X [0, +] unafunzionemisurabilein(X, c, ),spaziodimisurapositivae-nita. Allora_Xf d =_+0(x X: f(x) > t) dt,dove,al secondomembro,comparelintegralediLebesgueindimensioneuno.Dim. ApplichiamoilTeoremadiFubinialprodottodellamisuraassegnataconlamisuradi Lebesgue L1ristrettaallasemiretta[0, +[. PostoEt= f >t,otteniamo_Xf(x) d =_X__f(x)0dt_d =_X__+0Et(x) dt_d=_+0__XEt(x) d_dt =_+0(Et) dt=_X[0,+[Et(x) d( L1) == ( L1)_(x, t) [ t < f(x)_.Notiamoanchecheluguaglianzatrail primoelultimomembroesprimeil fattoche lintegrale di una funzione misurabile positiva non `e altro che la misura del suosottograco.1.9Formulediriduzioneecambiamentodivariabiliin Rn411.9 Formule di riduzione e cambiamento di varia-biliin RnInquestoparagrafospecializziamolateoriadellemisureprodottoallospazioRn,pensatocomeprodottocartesiano RpRk,conp + k= neotteniamo,comegi` avistoperlintegraledi Riemann, leformuledi riduzionepergli integrali mul-tipli. Questesonounaconseguenzaimmediatadel Teoremadi Fubini, esonolostrumentoessenzialeperilcalcoloeettivodegliintegralimultipli. Naturalmente,inciscunospazioeuclideoconsideriamolamisuradi Lebesguedelladimensionecorrispondente.Teorema1.52(Formuladiriduzione) Siano p,k1 interi, n =p+k escriviamox=(y, z) cony Rpez Rk. Dataf : RnRsommabile, permp-quasiogniy Rplafunzionez f(y, z)`esommabilein Rkey _Rkf(y, z) dz`esommabilein Rp. Sihainoltre_Rnf(x) dx =_Rp__Rkf(y, z) dz_dy.Analogamente, permk-quasi ogni z Rklafunzioney f(y, z)`esommabileinRpez _Rpf(y, z) dy`esommabilein Rk. Sihainoltre_Rnf(x) dx =_Rk__Rpf(y, z) dy_dz.Notiamocheinparticolaresiha_Rp__Rkf(y, z) dz_dy=_Rk__Rpf(y, z) dy_dz.Luguaglianza sopra `e detta formuladiinversionedellordinediintegrazione. For-mulesimili aquelladi riduzionevalgononaturalmenteanchenel casoincui lavariabile y non sia data dalle prime p componenti di x e la variabile z non siadatadalleultimekcomponentidix.42 MisuraeintegrazioneDatoERnmisurabile, applicandolaformuladi riduzione allafunzionef= EotteniamochegliinsiemiEy=_z Rk: (y, z) E__Ez=_y Rp: (y, z) E__sonomisurabiliin Rk(Rp)permp-quasiogniy Rp(mk-quasiogniz Rk)e_Rpmk(Ey) dy= mn(E)__Rkmp(Ez) dz= mn(E)_.Nel casodellintegralesuuninsiemeE Rn, applicandoil teoremaprecedenteallafunzionefEtroviamo_Rp__Eyf(y, z) dz_ =_Ef(x) dx =_Rk__Ezf(y, z) dy_dz.Inne, vediamounarelazionenotevoletralintegraledi unafunzionemisurabilef 0elamisura(n + 1)-dimensionaledelsottogracodif:Sf=_(x, t) RnR : 0 t f(x)_.Teorema1.53(Teoremadelsottograco) Siaf: Rn[0, +)misurabile.AlloralinsiemeSf`emisurabilein Rn+1emn+1(Sf) =_Rnf(x) dx.Dim. Nondimostreremolamisurabilit`adi Sf. Usandolaformuladi riduzioneverichiamoluguaglianzasopra:mn+1(Sf) =_Rnm1((Sf)x) dx =_Rnf(x) dxdatoche(Sf)x= [0, f(x)]perognix Rn.Perfunzionidisegnoqualunquesiha_Rnf(x) dx =_Rnf+(x) dx _Rnf(x) dx= mn+1_Sf+_mn+1_Sf_= mn+1_(x, t) RnR : 0 t f(x)_mn+1_(x, t) RnR : f(x) t 0_.purchelapartepositivaolapartenegativadifabbianointegralenito.Ricordiamo anche la formula di cambiamento di variabili negli integrali multipli,che vale per lintegrale di Lebesgue nella stessa forma in cui s`e visto per lintegralediRiemann.1.9Formulediriduzioneecambiamentodivariabiliin Rn43Teorema1.54SianoD,E Rnmisurabilie : D Ebigettiva. SupponiamochesiadiclasseC1inuninsiemeapertocontenenteD. Dataf: RnRsihachef`esommabileinEseesolosef((x))[detJ(x)[`esommabileinDevaleluguaglianza(1.17)_Df((x))[detJ(x)[ dx =_Ef(y) dy.Nelcasoparticolaref= Esihamn(E) = mn((D)) =_D[detJ(x)[ dx.Intuitivamente,lacomparsadeldeterminantediJnelpassaggiodaunintegraleallaltro tiene conto di come lapplicazione dilata o contrae gli insiemi. Con-sideriamoadesempioE=B1((2, 0)) B1((2, 0)) R2, D=B1/2((2, 0)) B2((2, 0))eunafunzionetalecheJ=2IdsuB1/2((2, 0))eJ=Id/2suB2((2, 0)). Alloram2(E) = + = 4m2_B1/2((2, 0))_+14m2_B2((2, 0))_=_D[detJ[ dx.Ingenerale, si pu` overicarechelaformuladi cambiamentodi variabili valeperfunzioni lineari ; nel caso generale, dividendo un insieme D in parti molto piccolesullequali `eprossimoadunafunzionelineare(datadal dierenzialedi )edusandoladditivit` adellamisurasipervieneallaformulanelcasogenerale.Nondimostreremolaformuladicambiamentodivariabilimalavericheremoinduecasiparticolari:(a) Supponiamon = 1,D= [a, b],E= [c, d],diclasseC1inDemonotona,fcontinuainE. DallaformuladicambiamentodivariabilivistaadAnalisiIotteniamo(1.18)_baf((x))t(x) dx =_(b)(a)f(y) dy.Set 0allora `ecrescentee(a) = c,(b) = d;siottienequindi(1.19)_[a,b]f((x))[t(x)[ dx =_[c,d]f(y) dy.Seinvecet 0in[a, b] allora(a)=de(b)=c; cambiandoi segni adamboimembrinella(1.18)otteniamodinuovo(1.19).44 Misuraeintegrazione(b) Supponiamochetuttelecomponenti di tranneunasianolidentit` a. Perssareleideeponiamox = (z, y)conz Rey Rn1esupponiamoche(1.20) (x) = (z, y) =_(z, y), y1, . . . , yn1_.SihaalloradetJ = /z(z, y) = ty(z),ovey(z) = (z, y). PostoDy=_z R : (z, y) D_Ey=_z R : (z, y) E_.abbiamoancheEy=_(z, y) : (z, y) D_ = y(Dy).Usandoalloralaformuladiriduzioneelerelazioniscrittesopraotteniamo_Ef(z, y) dzdy =_Rn1__Eyf(z, y) dz_dy=_Rn1__Dyf(y(z), y)[ty[(z) dz_dy=_Rn1__Dyf((y, z))[detJ(y, z)[ dz_dy=_Df((z, y))[detJ(z, y)[ dzdy.Ingenerale, si dimostrachelocalmenteogni applicazioneaventematricejaco-biana non singolare `e composizione di applicazioni 1, . . . , ndel tipo consideratoin(1.20), quindi la(1.17)pu` oesserededotta, almenolocalmente, usandonvoltelargomento nel punto 2. Si passa poi alla formula globale usando ladditivit`a dellamisura. Laformuladi cambiamentodi variabili`ecos` ricondottaaquelladi unavariabile.Traivaricambiamentidivariabiliricordiamolecoordinatepolariin R2:(, ) =_ cos , sin _ > 0, 0 < 2con [detJ(, )[ = ,lecoordinatecilindrichein R3:(, , z) =_ cos , sin , z_ > 0, 0 < 2, z Rcon [detJ(, , z)[ = elecoordinatesferichein R3:(, , ) =_ cos sin , sin sin , cos _ > 0, 0 < 2, 0 < < 1.10Integralidipendentidaunparametro 45con [detJ(, , )[ = 2sin .Pi` u in generale, si possono denire coordinate sferiche in Rn, usando una varia-bile lineare = [x[ come inR3edn 1variabili angolari 1, . . . , n1. Nonesponiamoi dettagli, limitandoci asegnalarecheinquestocasoil determinantedelcambiodivariabili `e(1, . . . , n1)n1,dove `eunafunzionelimitatadellevariabiliangolari.1.10 IntegralidipendentidaunparametroSia A Rmun aperto, E Rnun insieme misurabile e sia f(t, x) : AE R.Supponiamocheperogni t Alafunzionex f(t, x)siasommabileinE.`EalloradenitalafunzioneF(t) =_Ef(t, x) dx t A.Ilproblemachearonteremoinquestoparagrafo`equellodellaregolarit` adiFinfunzionediquelladif. Incominciamodallacontinuit` a:Teorema1.55Supponiamochet f(t, x)siacontinuainApermn-quasiognix Eedesistaunafunzioneg L1(E)taleche(1.21) [f(t, x)[ g(x) t A, x E.AlloraF`econtinuainA.Dim. Grazieallacaratterizzazionedellimitedifunzionitramitelimitidisucces-sioni, basta vericare la continuit` a per successioni. Sia t Ae (th) Aconvergenteat. Essendolefunzionit f(t, x)continuepermn-quasiognix E,abbiamolimh+f(th, x) = f(t, x)permn-quasiognix E. Dallipotesi(1.21)seguechesipu`oapplicareilteoremadellaconvergenzadominata:limh+F(th) = limh+_Ef(th, x) dx =_Ef(t, x) dx = F(t).46 MisuraeintegrazioneEsempio. Il teoremaprecedentepu` oesserefalsosenonvalela(1.7): siaA=E= Ref(t, x) =_[t[[x[t2se [x[ < [t[;0 se [x[ [t[.SitrovaalloraF(t) = 1pert ,= 0eF(0) = 0,quindiFnon `econtinua.Passiamooraallostudiodellaregolarit`aCk. Premettiamolaseguente no-tazione, chesar`autileanchenel seguito. Chiamiamomultiindiceunvettoredinumeri naturali, 0incluso, cio`e Nn0, e per =(1, . . . , n) deniamolalunghezza [[=1 + 2 + . . . + neponiamoperx Rnx=x11 xnn, eperf Ck,Df= D1x1D2x2Dnxnf.Teorema1.56Supponiamochet f(t, x)siadiclasseCkinAperognix Eedesistaunafunzioneg L1(E)taleche(1.22)

[[k[Df(t, x)[ g(x) t A, x E.AlloraF`ediclasseCkinAeDF(t) =_EDf(t, x) dx t A, [[ k.Dim. La dimostrazione si pu` o fare per induzione su k. Limitiamoci al caso k = 1:siai 1, . . . , meverichiamoche(1.23) DiF(t) =_EDif(t, x) dx t A.Si osservi che se vale la (1.23) allora DiF`e continua in A per il teorema precedente.Fissatot Aedunasuccessione(rh) R 0tendenteazeroosserviamocheF(t + rhei) F(t)rh=_Ef(t + rhei, x) f(t, x)rhdx.Fissatounx E, peril teoremadi Lagrangeesistonosh(x)compresi tra0erhtalichef(t + rhei, x) f(t, x)rh= Dif(t + sh(x), x).Passandoallimiteinhsihalimh+f(t + rhei, x) f(t, x)rh= Dif(t, x).1.10Integralidipendentidaunparametro 47Inoltre,usandola(1.22)otteniamof(t + rhei, x) f(t, x)rh = [Dif(t + sh(x), x)[ g(x),quindiilteoremadellaconvergenzadominataimplicalimh+F(t + rhei) F(t)rh= limh+_Ef(t + rhei, x) f(t, x)rhdx=_EDif(t, x) dx.Essendolasuccessionerharbitraria,lafunzioneFhaderivataparzialei-esimaintevalela(1.23).Ilteoremasopracontinuaavaleresesisupponesolamentechet f(t, x) `ediclasseCkinApermn-quasiognix E.IntalcasolafunzioneDf(t, x),ilcuiintegralesuEd` aDF(t), `edenitainmodo arbitrario nellinsieme trascurabile degli x Etali che t f(t, x) non `e Ck.Esempi Vediamoquali formulesi ottengononel casocheanchelinsiemedi in-tegrazionedipendadat.1. Nelcasom = n = 1possiamoconsiderare:F(t) =_(t)(t)f(t, x) dx.AlloraF(t) = G(t, (t), (t))conG(t, u, v) =_vuf(t, x) dx.Se f`e continua nelle variabili (t, x) e C1nella variabile t abbiamo (si usa il teoremafondamentaledelcalcolointegrale)Gt(t, u, v) =_vuft(t, x) dxGu(t, u, v) = f(t, u)Gv(t, u, v) = f(t, v)quindidalteoremadiderivazionedellafunzionecompostaotteniamoFt(t) = Gt(t, (t), (t)) + Gu(t, (t), (t))t(t) + Gv(t, (t), (t))t(t)=_(t)(t)ft(t, x) dx + t(t)f(t, (t)) t(t)f(t, (t)).48 Misuraeintegrazione2. Nel casom=1, n>1, consideriamounafamigliadi aperti E(t)= 0,sidicefunzionediEulero.`Efacilevederechelintegrale`econvergente: infatti,per t 0 la funzione integranda `e innita di ordine minore di 1 e quindi `e somma-bile in ]0, 1] ed inoltre per ogni z> 0 esiste C> 0 tale che tz1et/2 Cin [1, +[,sicchelafunzioneintegranda`emaggioratadaCet/2ed`esommabilein[1, +[.Inrealt` asi pu` odimostrarechelafunzione`eanaliticareale, quindi si estendeancheaivaloricomplessidiz(questa `elaragionepercuiabbiamoindicatoconzlavariabile), presentandoincampocomplessodeipolineipunti n, n N(0incluso). Quicilimiteremoaconsiderareincamporeale.Lafunzionegodedi moltepropriet`achelarendonoutileinvari calcoli. Laprimarelazioneinteressante `elaseguente:(1.25) (1) =_0etdt = 1, (z + 1) = z(z).Infatti, integrandoperparti etenendocontochei termini di bordosi annullano,siha(z + 1) =_0tzetdt =_tzet_0+ z_0tz1etdt = z(z).1.10Integralidipendentidaunparametro 49Da(1.25)segueche(n + 1)=n! perogni n N, quindi lafunzioneestendeainumerirealipositiviilfattorialediunnumeronaturale. Calcolandoladerivatadi estudiandolequazionedierenzialedaessarisoltasi deducelaformuladiStirling che in particolare d` a unidea precisa dellordine di grandezza del fattorialepern :(1.26) (z) =2zz+1/2ezeJ(z),conJ(z) 0perz +. La(1.26),perz= n N,sipu`odimostrareinmodomoltosemplicenellaforman! =nnn1/2en, cio`esenzacalcolarelacostante.Supponiamonotochen

k=11k= log(n + 1) + cnconcn 0per n (questosegueper confrontoconlintegrale_n011+xdx)ericordiamocheperlaformuladi Taylorconil restodi Lagrangeapplicataallafunzionef(x) = log(1 + x)sihalog(1 + x) = x 12x2+ D3f()x3, [[ [x[,perx 0. Scrivendolaformulaprecedenteperx =1k,k N,sideducelog_1 +1k_=1k 121k2+ rkcon [rk[ ck3. Postoallora0= 1,n=nnn! ,risultan+1n=_1 +1n_n,dacui,poston= log n,n=n

k=1k k1=n1

k=1log__1 +1k_k_ =n1

k=1k_1k 12k2+ rk)_= n 12(log n + cn) + dn,con dn=

k rk d per n . Segue n= en= enn1/2n con n= edncn/21< con> 0edaqui(1.26).Vediamoaltrepropriet` adella. Osserviamochepostot = s2/2siha(1.27) (z) = 21z_0s2z1es2/2ds,50 Misuraeintegrazionedacui(z)(w) = 22zw_0s2z1es2/2ds_0t2w1et2/2dt.Il prodottodegli integrali si pu` ointerpretarecomeunintegraledoppiosul qua-dranteQ = (s, t) : s > 0, t > 0,cheespressoincoordinatepolarifornisce:(z)(w) = 22zw_Qs2z1t2w1es2/2t2/2dsdt= 22zw_0

(z+w)1e2/2d_/20(cos )2z1(sin )2w1d.Da (1.27) il primo integrale al secondo membro `e 2z+w1(z+w), quindi sedeniamolafunzionebetadiEuleroponendo(1.28) B(z, w) = 2_/20(cos )2z1(sin )2w1d(laB`elaletteragrecamaiuscola),otteniamolaformula(z)(w) = B(z, w)(z + w).In particolare, per z= w = 1/2 si ottiene B(12,12) = e (12) = . La funzione Bsi pu` o esprimere anche in un altro modo, con il semplice cambiamento di variabile= cos2:B(z, w) =_10z1(1 )w1d.1.11 ProdottodiconvoluzioneSiano fe g funzioni misurabili in Rn. Il prodotto di convoluzione f g `e denito(formalmente)dallaformulaf g(x) :=_Rnf(x y)g(y) dy,tuttelevoltechelintegraleconverge. Col cambiamentodi variabilex y=ytsi vede facilmente che il prodottodi convoluzione `e commutativo. Diamooracondizioniancheilprodottodiconvoluzionediduefunzionisiabendenito.Teorema1.57Se fappartiene a Lp(Rn) con p = 1 o p = 2 e g L1(Rn) allora ilprodottodiconvoluzione `edenitopermn-quasiognix Rn,appartieneaLp(Rn)e(1.29) |f g|Lp(Rn) |f|Lp(Rn)|g|L1(Rn).1.11Convoluzione 51Inoltre, sef C(Rn)`etalecheDf L1(Rn)perogni Nn0alloraf g C(Rn)eD(f g) = (Df) g perognimultiindice.Dim. Perquantoriguardalappartenenzadi f gaLp(Rn)ela(1.29)nel casop = 1,bastaosservareche_Rn_Rnf(x y)g(y) dy dx _Rn_Rn[f(x y)g(y)[ dy dx=_Rn_Rn[f(x y)g(y)[ dx dy= |f|1_Rn[g(y)[ dy= |f|1|g|1,dove abbiamo applicato il teorema di Fubini ed abbiamo tenuto conto che lintegralein Rndi f(x y)rispettoadxnondipendeday. Nel casop=2il discorso`esimile: sipu` oporregnellaformag=g1/2g1/2, edalladiseguaglianzadiCauchy-Schwarz (Proposizione 4.3),che sar`a discussa in generale nel Capitolo 4, si ottienedapprima:_Rn[f(x y)[ [g(y)[1/2[g(y)[1/2dy |g|1/2L1(Rn)__Rn[f(x y)[2[g(y)[ dy_1/2epoi_Rn_Rnf(x y)g(y) dy2dx _Rn__Rn[f(x y)g(y)[ dy_2dx |g|L1(Rn)_Rn_Rn[f(x y)[2[g(y)[ dx dy= |g|2L1(Rn)|f|2L2(Rn)e la (1.29) segue prendendo le radici quadrate di ambo i membri ed osservando che_Rn[f(x y)g(y)[ dy`enitopermn-quasiognixed `emaggioredif g(x).Inne, laderivabilit`adi f gelacommutazionedelladerivatacol prodottodi convoluzioneseguonodirettamentedierenziandosottoil segnodi integraleeapplicandoilTeorema1.56.Denizione1.58[Supportodiunafunzionecontinua]Perf: RnRcon-tinua, deniamoil supportodi f, denotatosupp f, comelachiusuradellinsiemex : f(x) ,= 0.52 MisuraeintegrazioneSef : RnRnon`econtinuamasolomisurabile, questanozionedisupportonon `esignicativa. Infattisipossonoaverefunzionichedierisconosoloun insieme che ha misura nulla ma chiusura molto grande. Per esempio, la funzionechevale1su Qe0in R Qcoincideconlafunzioneidenticamentenullaequindi`eadessaequivalenteaglieettidellateoriadellintegrazione, mahasupporto R,l` adovelafunzionenullahasupportovuoto. Per questodi d` aunadenizionedierentedi supportoperlefunzioni misurabili. Ovviamente, sef`econtinualeduenozionicoincidono.Denizione1.59[Supportodiunafunzionemisurabile]Per f : RnRmisurabile, deniamoil supportodi f, denotatoancorasupp f, come il complementare dellinsieme dei punti x0di che godonodellaseguentepropriet`a: esisteunintornoB

(x0)dix0talechef(x) = 0perquasiognix B

(x0).Introduciamoore unaltrospaziofunzionale di grande utilit`a; per Rnaperto,poniamo(1.30) Cc() =_f C() : supp f _,dove K signica che K `e un insieme chiuso e limitato contenuto in ; in par-ticolare,questovuoldirechec`eunadistanzanonnullatraKeilcomplementaredi,ossia,interminidellefunzionidiCc(),cheessesiannullanoinunintornodellafrontieradi.Osservazione1.60Comeesempi di funzioni f nel teorema1.57possiamocon-siderarefunzioni inCc(Rn)oppurelafunzionegaussianaf(x)=exp[x[2.`Efacilevericarecheperogni Nnlasuaderivata`edellaformaP(x)f(x)conPpolinomio,equindiappartieneadL1(R).Osservazione1.61Ragionando come nel Teorema 1.57 si verica che il prodottodiconvoluzione `eancheassociativo:f (g h) = (f g) h f,g,h L1(Rn).1.11Convoluzione 53Infatti,risultaf (g h)(x) =_Rnf(x y)__Rng(y z)h(z)dz_dy=_Rn__Rnf(x y)g(y z)dy_h(z)dz=_Rn__Rnf(t)g(x z t)dt_h(z)dz=_Rn(f g)(x z)h(z)dz= (f g) h(x).Come prima applicazione del concetto di convoluzione vediamo un metodo checonsentediapprossimarefunzioniLp(p = 1, 2)confunzioniregolari. Diremocheunafunzione C(Rn) `eunnucleodiconvoluzionese `enonnegativa,pari,ilsuointegralevale1edilsuosupporto`econtenutoinB1(0),valeadire,(x) = 0per [x[ > 1. Datounnucleodiconvoluzione,lefunzioni(x) := n_x_ > 0sonounafamigliadi funzioni regolarizzanti (oanchemollicatori). Osserviamochelefunzioni sonononnegative, pari, hannosupportocontenutoinB(0)eintegraleugualea1. Unesempiodinucleodiconvoluzione `elafunzioneradiale(1.31) (x) :=_ce1|x|21se [x[ < 1;0 se [x[ 1., ctaleche_Rn(x) dx = 1Dato un nucleo di convoluzione le funzioni f sono dette funzioni regolarizzatedif. Ilnomevienedalfattochef C(Rn)perilteoremaprecedente. ValeancheilTeorema1.62Sia p = 1 o 2. Per ogni funzione f Lp(Rn) le funzioni regolariz-zatef:= f convergonoafinLp(Rn)emn-quasiovunqueinEper 0. Inparticolare, perogniinsiemeapertoEdi Rn, lospazioC(E)`edensoinLp(E),valeadire,ognifunzionediLp(E)pu`oessereapprossimatainLp(E)dafunzioniinC(E)conprecisionearbitraria.Notiamocheconuncambiamentodivariabilisiottienef (x) =_Rnf(x y)(y) dy=_Rnf(x y)(y) dy=_B1(0)f(x y)(y) dy.Possiamoquindi rappresentareil valoref (x)comeunamedia(rispettoallamisuradi probabilit` aindottada) dei valori di f nellapallaB(x). Usandoquesta caratterizzazione `e facile vedere che f (x) converge a f(x) in ogni puntodicontinuit` adif.Capitolo2TeoriadelledistribuzioniLa teoria delle distribuzioni inizia con S.L. Sobolev nel 1936, ma riceve piena for-mulazione ad opera di L.Schwartz (1950); oggi costituisce un capitolo fondamentaledellanalisi funzionale. Il concetto di distribuzionegeneralizza quello di funzione inmolte situazioni in cui viene meno la regolarit`a della funzione in questione, soprat-tutto, comevedremo, nelladerivazione. Esempi di distribuzioni sonolefunzioniimpulsive,moltousatenellelettromagnetismo,nellameccanicaquantistica,ancorprimachenevenissedataunopportunainterpretazionematematica.2.1 DenizioniedesempiSia un aperto di Rn. Ricordiamo che Cc() `e linsieme delle funzioni f, realio complesse, di classe C e a supporto1compatto contenuto in . Nellambito dellateoriadelledistribuzioni,siconvienediporreD() = Cc().Chiameremo gli elementi di D() funzioni test. Con le usuali operazioni di sommaeprodottoperunoscalare, D()`eunospaziovettoriale. Osserviamocheesso`echiusorispettoalloperazionediderivazione. Sef D(),poniamocomein(1.2)|f|L()= supx[f(x)[.Un esempio classico di funzione test `e dato dalla funzione in (1.31) che ricordiamo(2.1) (x) =_e1|x|21se [x[ < 1,0 se [x[ 1.1suppf= x [ f(x) ,= 0.5556 TeoriadelledistribuzioniDiamooraladenizionedilimiteinD(),tenendocontodellepropriet` apeculiarideisuoielementi.Denizione2.1Sianoh, D(). DiremochehconvergeainD()sevalgonoleseguentiduecondizioni:a. esisteuncompattoKtalechesupp h K,perognih N;b. perognimultiindice Nn0,risulta limh|DhD|L(K)= 0.Osserviamo che sulla base della denizione appena data, se h in D(), alloraDh DinD(),perogni Nn0.Esempio2.2Prendiamon=1, = R. Sia D(R)lafunzionedatain(2.1)edeniamoh(x) =ek(x) sin(kx). Proviamochek 0inD(R). Si vedefacilmentechesupp k supp . Inoltre,perognik N,risultaDnk(x) = ekn

j=0_nj_Dj(x) Dnjsin(kx),percui|Dnk|L(R) ekn

j=0_nj_knj|Dj| 0.Osserviamo che se al posto di ekavessimo scelto kq, con qintero positivo, allorak 0inD(R),inquanto |Dqk|L(R) 0.Denizione2.3SiaTunfunzionalelinearesuD(). DiremocheT`eunadis-tribuzione se T `e continuorispettoallaconvergenzadenita, ossiase per ognisuccessionek 0inD(),risultaT(k) 0.SiccomeT`elineare,`esucienteconsiderareil casoincui lafunzionelimite`e0.NotiamocheilterminefunzionalevieneusatoperilfattocheT`edenitoinunospaziodifunzioni. Lanalisifunzionalesuggerisceanchelaseguentenotazione:Dt() = lospaziodelledistribuzioniin(ossiaildualetopologicodiD());T, ) = ilvalorediTsulltelemento D().Dt()`eunospaziovettorialeconleoperazioninaturalidisommaeprodottoperunoscalare. Per vericareseundatofunzionalelineareinD() denisceunadistribuzione,pu`oessereutileconoscerelaseguentecaratterizzazione.2.1Denizioniedesempi 57Proposizione2.4SiaTunfunzionalelineareinD(). Sonoequivalenti:(i) T Dt();(ii) perogni compattoK , esistonoC>0ej N0(chedipendonodaK),taliche(2.2) [T, )[ C

[[jsupxK[D(x)[,perogni D(K).Lasecondacondizioneesprimeil fattocheunadistribuzione, localmente, agiscesolosuunnumeronitodiderivate.Denizione2.5Se nella (2.2) la scelta di j `e indipendente dal compatto K, allorala distribuzione Tsi dice di ordine nito, e si denisce ordine di Til minimo interopercuivale(2.2).Esempi2.61. Siau L1loc() unafunzione localmente sommabile secondoLebesgue. De-niamoladistribuzioneTuponendo(2.3) Tu, ) =_u(x)(x)dx, D().Osserviamo che Tu `e ben posta, perche ha supporto compatto ed `e limitatae u`e sommabile suogni compatto. Inoltre Tu`e lineare, datoche linte-grale`e lineare, ed`e continuo, come si vericafacilmente usandodiretta-menteladenizioneotramitelaProposizione2.4. PertantoTu Dt(). Inparticolare,Tu`eunadistribuzionediordinezero.Notiamochelacorrispondenzau Tu`einiettiva, cio`eseu1, u2sonoduefunzioniinL1loc()cheindividuano,tramitela(2.3),lastessadistribuzione,allorau1=u2q.o.`Epossibilecos` identicareuconTue, di conseguenza,L1loc()conunsottospaziodiD(). Dunque, ledistribuzioni sonofunzionigeneralizzate.2. Siax0 . Deniamox0comesegue(2.4) x0, ) = (x0), D().58 TeoriadelledistribuzioniAnchestavolta, `efacilevederechex0`eunadistribuzionedi ordinezero,chiamatadeltadi Diracdi polox0. Sex0=0, poniamosemplicementealpostodi0.`Esignicativovederechex0/ L1loc(),per cui linclusione L1loc() D() `e stretta. Infatti, se esistesse u L1loc()tale che x0, ) =_u(x)(x)dx, per ogni D(), allorasi avrebbe_u(x)(x)dx = 0,sex0/ supp . Ci`oimplicacheu = 0q.o. in x0equindi, dato che x0 ha misura nulla, u = 0 q.o. in . Ci` o `e assurdo, perchex0 ,= 0.2. La (2.4) si pu` o interpretare come lintegrale di rispetto alla misura di Diracx0denitanellEsempio1.7(2). Pi` uingenerale,adognimisuranitasuicompattisipu` oassociareladistribuzioneTdenitada(2.5) T, ) =_d, D().Questa formula contiene entrambi gli esempi precedenti come casi particolari.3. Prendiamo = I= (0, 1) e deniamo T, ) =

j=2Dj_1j_. La denizione`e ben posta, perche per ogni D(I), la somma che denisce T, ) `e nita.T`e lineare. Per provare che T`e continuo usiamo la Proposizione 2.4. Sia KuncompattocontenutoinI. Sia Nil minimointerotaleche1/j / Kperogni j . Se D(K), allora [T, )[ 1

j=2|Dj|L(K), dacui latesi. NotarechedipendedaK,percui,inquestocaso,ladistribuzionehaordineinnito.4.`Enotochelafunzionef(x) = 1/x,x ,= 0,non `esommabileinalcunintornodellorigine, e non `e neanche integrabile in senso generalizzato secondo la teo-ria dellintegrale di Riemann; infatti, il limite che dovrebbe denire lintegralegeneralizzatodiflim0,0_11xdx +_11xdxnonesiste. Pertanto,nonsipu` oassociareadfunadistribuzionesu Rcomesi `efattonellEsempio2.6conlefunzioni L1loc. Si pu`oper`oassociareadf2.2Successionieseriedidistribuzioni 59unadistribuzioneosservandocheseguentelimiteesisteperognic ReperogniM> 0:(2.6) lim0_Mcxdx +_Mcxdx = 0.Presaalloraunaqualunquefunzionetest,deniamoladistribuzionePV1xponendoPV1x, ) = lim0_(x)xdx +_(x)xdx.Illimiteesisteperogni T(R). Infattisihalimx0(x) (0)x= t(0)equindi, usandola(2.6)conc=(0)edMtalechesupp [M, M], illimitelim0_ 0esisteunpluriintervalloP,cio`eununionenitadiintervalli,talechemF(EP) < .Dunque, Esi approssimainmodoarbitrariamenteprecisomedianteuninsiemeelementare.Se Enon`e limitato, diremoche`e misurabile se per ogni R>0linsiemeE] R, R]`emisurabile.Indicheremocon /Flaclassedeisottoinsiemimisurabilidi R.3.1MisuradiLebesgue-Stieltjes 77Teorema3.3La collezione /Fcostituisce una -algebra e la funzione mFristret-taa /F`eunamisura, chedenoteremoconmF, chiamatamisuradi Lebesgue-StieltjesgeneratadaF.Ogni insieme la cui misura esterna `e nulla `e misurabile. Basta scegliere P= nellaDenizione3.2. Naturalmente, laclasse /FdipendedallasceltadellafunzioneF. Tuttavia, sipu` ovederecheessacontienesempregliinsiemiaperti(equindiichiusi)di R.Osserviamochelamisuracos`costruita `eautomaticamentecompleta.Esempi3.41. Siano x1< x2 0edf: RnRcontinuaalimitata,u(x, t) = E[f(x + Wt)] =_f(x + Wt()) dP()ragionandocomeper(3.4)otteniamou(x, t) =_Rnf(y) d^(x, tI)(y) =1_(2t)n_Rnf(y) e|xy|22tdy= (f Gt)(x),dove Gt(x) =(2t)n/2e[x[2/(2t)`e il nucleo di Gauss-Weierstrass. Uncalcolodirettomostracheu `esoluzionedelproblemadiCauchyperlequazionedelcalore_ut(x, t) =12xu(x, t) x Rn, t > 0u(x, 0) = f(x) x Rn.3.3 FunzioniavariazionelimitataSiaI =(a, b)unintervallodi Rcon a 0talechean>perognin > ;(b) perogni > 0eperogni Nesisten > talechean 0esiste> 0talechean ;115116 Richiami(b) perogni > 0eperogni Nesisten > talechean>.elimsupn+an`eil pi` ugrandetrai numeri reali chegodonodellapropriet`acheesisteunasuccessioneestrattada(an)convergentead. Ovviaconseguenzadiquantodetto `echeliminfhfh limsuphfh,conuguaglianzaseesoloseesisteillimitedian.A.2 InsieminumerabiliAgliinsiemicostituitidaunnumeronitodielementiassociamoinmodoele-mentareilnumeronaturalechecidicequantielementicontiene,efradueinsieminiti esiste unapplicazione biunivoca se e solo se essi contengono lo stesso numerodi elementi. Di conseguenza, non pu` o esistere unapplicazione biunivoca tra un in-siemenitoedunasuapartepropria. Questapropriet` adistinguegliinsieminitida quelli inniti. Infatti, un insieme si dice innito se `e in corrispondenza biunivo-ca con una sua parte propria. Lesempio pi` u semplice `e probabilmente quello degliinsiemi Ne Pdei numeri pari. Ovviamente PN, equindi P`eunsottoinsiemepropriodi N,maci` ononostantelapplicazionef: N Pdenitadaf(n) = 2n `ebiunivoca(Ncontienesoloildoppiodeglielmentidi P). Questoper` ononvuoldirechefradueinsiemi inniti esistasempreunapplicazionebiunivoca, equindibisognaaccettarelideacheesisteunagerarchiafragli insiemi inniti, cio`echeanche fra gli insiemi inniti ce ne siano di pi` u o meno numerosi. Questidea vagasi pu` oformalizzare, maci` oesuladagli scopi del corso: ci limitiamoadosservarecheseX`euninsiemeinnitoalloranonc`emaiunapplicazionebiunivocatraXelinsieme T(X)dituttiisuoisottoinsiemi,cherisultamoltopi` unumerosodiX. Linsiemie N`eil pi` upiccoloinsiemeinnito, esi dicecheuninsiemeE`enumerabile se esiste unapplicazione surgettiva x = xn: N E. Rivolgendo il nos-trointeresseagliinsieminumerici, `eovviocheanchelinsieme Zdeinumeriinteri`enumerabile(contienesoloildoppiodeglielmentidi N),mentrelasituazione `edigranlungamenointuitivaperquantoriguarda Qed R. Risulta:TeoremaA.1Linsieme Q`enumerabile,mentre Rnonlo`e.A.3IlteoremadiRiemannsuiriordinamenti 117Dim. Scriviamo Qcomematriceinnita11213141 12223242 13233343... dovelefreccehannoil seguentesignicato: partendodallelementoinaltoasin-istra(il numero1) lafrecciaportainduttivamenteil numerorazionalef(n) neltermine successivo f(n+1) della successone (f(n))nNche stiamo denendo. Ci siconvinceimmediatamentechelafunzionecos`denita `esurgettivaequindiche Q`enumerabile.Viceversa, supponiamoche Rsianumerabile. alloralosar`aanchelinterval-lo [0, 1], sicche, ssata una convenzione che induca ununica rappresentazionedecimaleconparteinteranulla, possiamoscriverelinterointervallo[0, 1] comesuccessione(xn)inmodotalechex1= 0, a11a12a13x2= 0, a21a22a23x3= 0, a31a32a33...xn= 0, an1an2an3 ann...elecifredecimali anksononumeri interi tra0e9. Allora, sceltalasuccessione(bn) tale che bn ,= annper ogni n, il numero reale x = 0, b1b2b3 bn appartienea[0, 1]perchehaparteinteranulla,manon`enessunodeglixnpercheperognindieriscedaxn(almeno)perln-esimacifradecimale. Questoprovache[0, 1](equindi R)non `enumerabile.A.3 IlteoremadiRiemannsuiriordinamentiRichiamiamo alcune propriet` a delle serie numeriche usate in relazione alle mis-urereali. Leconsiderazionicheseguonodovrebberofarcapirequantadistanzacisiatraleserieelesommenite. Unadellepropriet`api` uovviedellesomme118 Richiaminite`elapropriet` acommutativa.`Enaturaledomandarsiseessavalgaancheperleserie. Performularecorrettamenteil problemabisognaintrodurreil concettodi permutazionedei termini di unaserie. Datelaseriek akedunafunzionebigettiva : N N (permutazione), si dice serie ottenuta permutando i termini dik aksecondolaseriek a(k). Notiamocheivaloriassuntidallasuccessione(a(k))kNsonogli stessi di (ak)kN, evengonoassunti lostessonumerodi volte,percuiseavessimoachefareconunasommanitapassaredak akak a(k)si ridurrebbe a cambiare lordine degli addendi, ed `e ben noto che in tal caso lasommanoncambia. Perleserieinnitelecosevannoinmodocompletamentediverso,amenochenonsiabbiaconvergenzaassoluta.TeoremaA.2Siak akunaseriesemplicementeconvergente. Allora:(i) se la seriek=0akconverge assolutamente e la sua somma `e S, allora per ognipermutazionelaseriek=0a(k)convergeassolutamenteedhapersommaS.(ii) se la seriek=0aknon converge assolutamente, allora nessuna serie permuta-ta converge assolutamente, ed inoltre per ogni S R esiste una permutazionetalechelaseriepermutatak=0a(k)converga(semplicemente)adS.Nonpresentiamoladimostrazionedi questorisultato, maci limitiamoasot-tolineare ancora la dierenza tra le somme nite e le serie nonassolutamenteconvergenti: queste, cambiandolordine degli addendi, possonodare qualunquesomma!A.4 IlteoremadelladivergenzaInquestoparagraforichiamiamolenunciatodel teoremadelladivergenzaedalcunesueapplicazioni. UnapertoA Rnsidiceregolaresesipu` oscriverenellaforma 0taleche |f|L(D) Mper ogni f T. Inoltre, diciamo che T`e un insieme equicontinuo se per ogni > 0esiste> 0taleche(A.5) x, y D, [x y[ < =[f(x) f(y)[ < f T.Notiamochelequicontinuit`aconsistenel fattoche dipendesolodamanondipendedaf T.TeoremaA.3Se T C(D)`elimitatoedequicontinuoalloraogni successione(fh) TammetteunestrattauniformementeconvergenteinC(D).Dim. PoicheX= D Q `enumerabile,possiamoscrivereX= xj, j NcomeunasuccessioneinD. Notiamocheperj Nssatoognisuccessione(fh(xj))hN`elimitata,eperci` o,graziealteoremadiBolzano-Weierstrass,ammetteunestrat-ta convergente. Usiamo iterativamente questargomento,partendo da (fh(x1))hN.Al primopassootteniamounasuccessione f(1)hedunnumeroreale y1tali chef(1)h(x1) y1perh ; al secondopassoapplichiamolargomentoallasucces-sione (f(1)n(x2))nNe otteniamo una successione (f(2)h), estratta da (f(1)h), ed y2 Rtalichef(2)h(x2) y2perh . Alpassoktroveremounasuccessione(f(k)h)hNtalechef(k)h(xj) yjperh perognij= 1, . . . , k. Lasuccessionediagonalegh=f(h)hquindi `etalechegh(xj) yjperh perogni xj X. Notiamochese |f|L(D) Mallora [yj[ Mperogni j: nqui abbiamousatosololalimitatezzadi T. Siaora>0, esia>0talechevalga(A.5). RicopriamoDconspalleBj, j=1, . . . , s, di diametrominoredi , escegliamoinciascunadiesseunpuntoj X Bj. Lessuccessioni(gh(j))hNsonodiCauchyesonounnumeronitos,quindiesisteun> 0talecheperh > risulta(A.6) [gh(j) gk(j)[ < j= 1, . . . , s.Sfruttiamooralequicontinuit` adi T. Perogni x Desisteunindicejtalechex, j Bj,quindi [x j[ < ,egraziea(A.5)ed(A.6)siha[gh(x) gk(x)[ [gh(x) gh(j)[ +[gh(j) gk(j)[ +[gk(j) gk(x)[ < 3per ogni h, k >. Larelazioneprecedentevaleper ogni x D, quindi provache lasuccessione (gh)hNvericalacondizione di Cauchyuniforme inDe diconseguenza, peril criteriodi Cauchyuniforme,`eivi uniformementeconvergenteadunafunzionef C(D).A.5IlTeoremadiAscoli-Arzel` a 121OsservazioneA.4VediamoalcunicasiparticolaridelTeoremadiAscoli-Arzel` a.1.`Emoltofrequente il casoincui T`e unasuccessione di funzioni di cui sivuol saperesehaunestrattaconvergente.`Esemplicevericarechelasolalimitatezzainnormanonbasta; peresempiolasuccessionefn(x)=sin(nx)in[0, 2] nonhaestratte uniformemente convergenti: se ce ne fosse una,convergerebbe anche in L2([0, 2]), mentre sappiamo che ci`o non pu`o accadereacausadellortogonalit`a.2. Avoltelavericadellequicontinuit`asibasasuunastimadeltipo[f(x) f(y)[ C[x y[ f T,dacui seguesubitochesi pu` oprendere =/Cin(A.5). Sappiamochelefunzioni vericanti lastimaprecedentesonoquellelipschitzianeesetalestimavaleperognif TconlastessaCsidiceche T`eequilipschitziana.Indimensione1lastimadi lipschitzianit` a`eequivalenteadunastimadelrapportoincrementaledellef Tdeltipof(x) f(y)x y C f T.3. Pu` o accadere che le funzioni in Tnon siano equilipschitziane, ma che si riescaadottenereunastima(signicativainognidimensione)deltipo[f(x) f(y)[ C([x y[) f T,dove (t) 0 pert 0. Questo `eilcasodellEsempio4.23,con(t) =t.Pi` uingenerale,sipuntaadunastimadeltipo[f(x) f(y)[ (x, y) f T,convericante lacondizione che per ogni >0esiste >0tale che[x y[ < implica [(x, y)[ < . Questo `eilcasodellEsempio4.24.