Appunti di Metodi Matematici per la Fisica

7/29/2019 Appunti di Metodi Matematici per la Fisica

1/38

Metodi Matematici

Alessandro Saltini

1 Distribuzioni

Si considera una successione gn di funzioni ed una classe F con la seguente proprieta:

f F b

a gn (x) f(x) dx R

Si definisce la distribuzione o funzione generalizzata in modo che:

ba

(x) f(x) dx = limn+

ba

gn (x) f(x) dx

Si osserva che questo non equivale a richiedere che sia il limite della successione gn.

1.1 Delta di Dirac

La delta di Dirac e una distribuzione costruita in modo che:

+ f(x) (x x0) dx = f(x0) (1.1)

Si osserva che risulta normalizzata:+

(x) dx = 1

1.1.1 Proprieta

La delta di Dirac gode delle seguenti proprieta:

(ax) =(x)

|a| (x) = (x)

f(x) (x x0) = f(x0) (x x0)

(g (x)) =

g(a)=0g(a)=0

(x a)|g (a)|

1


2/38

+

f(x) (x x0) dx =

f(x)(x x0)+

+

f(x)(x x0) dx

+ f(x)

(x x0) dx = f

(x0)

1.1.2 Approssimazioni

Anche la e ottenuta da una successione di funzioni n, le migliori candidate a questosono le funzioni di classe C che si azzerano piu rapidamente di qualsiasi xn oppureche esista almeno una potenza xk che vada allinfinito piu rapidamente di n.Alcune funzioni molto usate sono:

n =

n se x 1

2n, 12n

0 se x /

12n ,

12n

n = n

en2

x2

n =n

1

1 + n2x2

n =sin nx

x

1.1.3 Funzione di Heaviside

La funzione e detta funzione di Heaviside:

(x) =

1 se x > 0

0 se x < 0

Il suo valore nel punto x = 0 non e importante e varia a seconda della convenzioneutilizzata. Puo anche essere definita come:

(x) =

x

(x) dx

d

dx= (x)

2


3/38

2 Analisi Complessa

Lanalisi complessa studia il comportamento delle funzioni complesse di variabile com-

plessa, in seguito quando si parla di funzione si intendera una funzione di questotipo.

f : C C (2.1)f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)

2.1 Derivazione

Si definisce la derivata come limite del rapporto incrementale:

df

dz= lim

z0

f(z + z) f(z)z

(2.2)

Si puo scomporre z = x + iy ed esplicitare f in funzione di u e v:

df

dz= lim

z0

(u(x + x, y + y) u(x, y)) + i (v(x + x, y + y) v(x, y))x + iy

Se il limite esiste deve essere indipendente dalla direzione di approccio, in particolaresi studia cosa succede ponendo y = 0 e facendo variare x:

df

dz= lim

x0

(u(x + x, y) u(x, y)) + i (v(x + x, y) v(x, y))x

df

dz= lim

x0

u(x + x, y) u(x, y)x

+ i limx0

v(x + x, y) v(x, y)x

dfdz

= ux

+ i vx

In alternativa si fissa x = 0 e si varia y:

df

dz= lim

y0

(u(x, y + y) u(x, y)) + i (v(x, y + y) v(x, y))iy

df

dz= lim

y0

v(x, y + y) v(x, y)iy

i limy0

u(x, y + y) u(x, y)iy

df

dz=

v

y i u

y

Si ottengono le equazioni di Cauchy-Riemann:

u

x=

v

yu

y= v

x

(2.3)

3


4/38

Differenziando la prima equazione per x e la seconda per y, poi sommandole si ottienelequazione di Laplace su u, nellordine inverso e sottraendole si ottiene su v:

2

ux2

+ 2

uy2

= 0

2v

x2+

2v

y2= 0

(2.4)

Una funzione che soddisfa lequazione di Laplace si definisce armonica, quindi siala parte reale che quella immaginaria di una funzione f differenziabile sono funzioniarmoniche. Non e vero linverso, e possibile trovare funzioni armoniche anche moltosemplici che non definiscono una funzione differenziabile.

2.2 Integrazione

Data una curva con estremi a e b nel piano complesso si considera una successione

di n + 1 punti zk lungo di essa, tali che z0 = a e zn = b. Si considera una secondasuccessione di punti della curva k in modo che j cada nellarco di curva compresotra zk1 e zk. Si definisce lintegrale di una funzione f lungo la curva come:

f(z) dz = limn

nk=1

f(k) (zk zk1) (2.5)

2.2.1 Disuguaglianza di Darboux

Si indica con In la somma parziale e L la lunghezza della curva:

|In

|

n

k=1 |

f(k)| |

zk

zk1|

maxz |

f(z)|

n

k=1 |

zk

zk1|

maxz |

f(z)|

L

f(z) dz

maxz |f(z)| L (2.6)2.3 Funzioni analitiche

Una funzione si dice analitica in un punto quando e C ed a valore singolo in unintorno di tale punto. Linsieme delle funzioni analitiche si indica con C. Se unafunzione e analitica in tutto il piano complesso si definisce intera, se ha punti dovenon e analitica questi si definiscono singolarita.

2.3.1 Logaritmo

Una funzione particolarmente problematica in campo complesso e il logaritmo:

4


5/38

ef(z) = z

eu+iv = ei

eueiv = ei

u = ln v = + 2k

Si tratta di una funzione polidroma, perche la parte immaginaria puo assumere unnumero infinito di valori. Risulta utile definirne una restrizione monodroma dettalogaritmo principale:

Ln(z) = ln + i

2.4 Teorema di Cauchy

Data una curva chiusa e regolare C appartenente al piano complesso ed una funzioneanalitica nella regione interna alla curva e sulla curva stessa, allora:

C

f(z) dz = 0 (2.7)

Si osserva che se f ammette primitiva la questione e banale, dal momento che i dueestremi di integrazione coincidono. In caso contrario si definisce una funzione g(z, z0):

g(z, z0) = f(z) f(z0) (z z0) f(z0)Si denomina A la regione interna alla curva e si mostra che puo essere suddivisa in unnumero finito n di sottoregioni Aj tali che per z, z0 Aj :

|z z0| < j () |g(z, z0)| < |z z0|Questo e verificato se la funzione ammette derivata prima:f(z) f(z0)z z0 f(z0)

< Considerando che le sottoregioni abbiano forma quadrata con lato di lunghezza lj , ladistanza massima tra z e z0 e la lunghezza della diagonale:

|g(z, z0)| 0:

B(a, b) =(a)(b)

(a + b)(2.20)

B(a, b) =

10

ta1(1 t)b1 dt (2.21)

Dalla prima scrittura si osserva che e simmetrica, sostituendo nella seconda t 1q

si

trova una scrittura alternativa:

B(a, b) =

1

1

qa1

1 1

q

b1 dqq2

=

1

1

qa1

q 1

q

b1dq

q2

B(a, b) =

1

(q 1)b1qa+b

dq

Sostituendo t sin2 si trova:

B(a, b) = 2 2

0

sin2a2 (1 sin2 )b1 sin cos d

B(a, b) = 2

2

0

sin2a1 cos2b1 d

16


17/38

3 Spazi vettoriali

Si considera un insieme S di oggetti che definiamo ket ed indichiamo con |a munitodi unoperazione di somma tra ket e prodotto per un numero complesso, perche siauno spazio vettoriale lineare devono valere le seguenti proprieta:

|a , |b S |a + |b S (3.1a) |a S, C |a S (3.1b) |o S/ |a S |a + |o = |a (3.1c) |a S |a S/ |a + |a = |o (3.1d) |a , |b S |a + |b = |b + |a (3.1e) |a S 1 |a = |a (3.1f) |a S,, C (|a) = () |a (3.1g) |a S,, C ( + ) |a = |a + |a (3.1h) |a , |b S, C (|a + |b) = |a + |b (3.1i)

Si puo dimostrare che 0 |a = |o, il vettore nullo si indica comunemente con lo zero.

3.1 Prodotto scalare

Si definisce ora unoperazione di prodotto scalare definita positiva:

| : S2 C (3.2a)a|b = b|a (3.2b)

a|a

0

a|a

= 0 |

a

= 0 (3.2c)

a =

a|a (3.2d)Se si considera un ket |d = |a + |b si osserva che:

c|d = c|a + c|bd|c = c|d = a|c + b|c

Il prodotto scalare e lineare a destra, ma antilineare a sinistra. Si puo aggirare questoproblema introducendo uno spazio duale dei bra che contiene le immagini specularidegli elementi di S, limmagine di |a si indica con a|. Per un generico elemento scrittocome combinazione lineare di altri sara valida la seguente scrittura:

|x =n

i=1

i |i x| =n

i=1

i i| (3.3)

Si definiscono ortogonali due vettori per cui a|b = 0.

17


18/38

3.1.1 Disuguaglianza di Schwarz

Si considera un vettore |c = |a x b|a |b dove x R e si calcola c|c:

c|c = a|a 2x a|b b|a + x2 a|b b|a b|b 0Si riconosce unequazione di secondo grado in x, perche sia verificata e necessarioche il discriminante sia minore di zero, dal momento che a|b b|a = |a|b|2 0 eb|b = b2 0, deve cioe conservarsi il segno del termine in x2.

a2 2x |a|b|2 + x2 |a|b|2 b2 0

4= |a|b|4 |a|b|2 b2 a2 0

|a|b|2|a|b|2 b2 a2

0

b2

a2

|a|b|2

La seguente relazione e definita disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:

b a |a|b| (3.4)

3.2 Metrica

Uno spazio si definisce metrico quando e possibile introdurvi una funzione distanzacon le seguenti proprieta:

: S2 R {0} (3.5a)(a, b) = (b, a) (3.5b)

(a, b) = 0 a = b (3.5c)(a, b) + (b, c) (a, c) (3.5d)

Comunemente si introduce la distanza per mezzo della norma:

(a, b) = |a |b (3.6)Attraverso questo si puo definire il concetto di successione convergente, sia {|ak} unasuccessione di elementi nello spazio, si dice che converge a |a se:

limk

(ak, a) = 0 (3.7)

Si puo dimostrare che il limite di una successione e unico:

|a , |b / limk

(ak, a) = 0 limk

(ak, b) = 0

k (a, b) (ak, a) + (ak, b) (a, b) = 0 |a = |b

18


19/38

3.3 Operatori

Si definisce operatore una funzione F : S S che associa a |x il vettore F |x. Siparla di operatore lineare se:

F

n

i=1

i |i

=

ni=1

iF |i (3.8)

Due operatori A e B si definiscono uguali quando A |x = B |x per ogni |x, inoltre sipossono definire operazioni di somma e prodotto:

(A + B) |x = A |x + B |x (3.9a)AB |x = A (B |x) (3.9b)BA |x = B (A |x) (3.9c)

Si osserva che il prodotto non e commutativo, si definisce il commutatore:

[A, B] = AB BA (3.10)Quando questo oggetto e nullo i due operatori possono commutare. Risulta utiledefinire loperatore identita:

E|x = |x (3.11)Si definisce la potenza di un operatore Am come loperatore applicato m volte,ovviamente A0 = E, e lesponenziale di un operatore per mezzo della serie di Taylor:

eA =

k=0

Ak

k!

(3.12)

3.3.1 Inverso

Si definiscono linverso destro e sinistro di un operatore rispettivamente come queglioperatori per cui A1s A = E e AA

1d = E, se esistono entrambi allora coincidono e

sono unici e si indica loperatore inverso con A1:

AA1 = A1A = E (3.13)

Dati due operatori A e B che ammettono inverso anche AB ammette inverso, inparticolare (AB)1 = B1A1.

19


20/38

3.3.2 Aggiunto

Si definisce operatore aggiunto o hermitiano coniugato loperatore Aper cui:

|a , |b S a| A |b = b| A |a (3.14)Questo permette di portare gli operatori nello spazio duale, lelemento duale di A |ae infatti a| A. Applicando ricorsivamente questa definizione si trova che A = A:

b| A |a = a| A |b = b| A |a = b| A |aSi osserva anche che (AB) = BA, banalmente:

b| BA |a = b| B A |a = ((a| A) (B |b)) = a| AB |b3.4 Operatori particolari

Un operatore H si dice hermitiano o autoaggiunto quando:

H = H (3.15)

Un operatore U si dice unitario quando:

U1 = U (3.16)

I primi servono a rappresentare le osservabili di un sistema, i secondi rappresentano letrasformazioni, infatti conservano la norma dei vettori a cui sono applicati:

U|a2 = a| UU|a = a| U1U|a = a|aUn operatore P si definisce proiettore quando:

P = P (3.17a)

P2 = P (3.17b)

Lunico proiettore invertibile e lidentita, infatti:

P1P2 = P1P = E

P1P2 = EP = P

La somma di proiettori e un proiettore soltanto se P2P1 = P1P2 = 0, non si pongo-no problemi sul fatto che siano hermitiani, dal momento che la somma di operatorihermitiani e ancora un operatore hermitiano, tuttavia:

(P1 + P2)2 = P1

2 + P22 + P1P2 + P2P1

P1P2 + P2P1 = 0

20


21/38

Moltiplicando a destra e a sinistra per P1 e sottraendo i risultati si ottiene:

P1P2P1 + P2P1 = 0P1P2 + P1P2P1 = 0

P2P1 P1P2 = 0

Mettendo a sistema si trova quanto richiesto. Questa condizione e fisicamente equiva-lente a due proiettori che operano su sottospazi ortogonali, si puo definire un set diproiettori ortogonali:

PiPj =

0 se i = jPi sei = j

Se si dispone di N proiettori ortogonali, dove N e la dimensione dello spazio, si ha:

Ni=1

Pi = E

Un particolare tipo di proiettori e costituito da |ab| per i quali (|ab|) = |ba|:

x| |ba| |y = x|b a|y = y|a b|x = (y|a b|x)x| |ba| |y = (y| |ab| |x)

3.5 Basi

Dato un insieme di vettori

|i

si dicono linearmente indipendenti se:

ai |i = 0 i ai = 0 (3.18)Un insieme di vettori si dice base quando e possibile scrivere tutti i vettori dello spazioin uno ed un solo modo come combinazione lineare di questi. Una base |ei si definisceortonormale quando:

ei|ej = ij (3.19)

3.5.1 Teorema della base

N vettori linearmente indipendenti formano una base per uno spazio di dimensione N.Si osserva la seguente relazione:

c0 |a + ci |i = 0Non e possibile che sia verificata solo quando c0 e tutti i ci sono nulli, altrimenti siavrebbero N + 1 vettori linearmente indipendenti, inoltre se c0 non puo essere nullo,

21


22/38

altrimenti si ricadrebbe necessariamente nel caso appena osservato. Quindi si puoscrivere:

|a = ci

c0|i

Quindi esiste almeno unespressione di |a nei termini dei vettori della base, inoltrequesta e unica, infatti se supponiamo che possa essere scritto come combinazionelineare sia con coefficienti ai che i, allora:

|a |a = ai |i i |i = ai i |i = 0 ai = i3.5.2 Metodo di Gram-Schmidt

Data una base e sempre possibile ortonormalizzarla con la seguente formula:

|ei = 1Li|i

i1j=1

Pj |i (3.20)Se supponiamo che la formula sia valida per due indici k , j < i, e infatti banaledimostrarla per i = 1, 2, si puo moltiplicare tutto per ek|:

ek|ei = 1Li

ek|i i1

j=1

ek|ej ej|i

ek|ei = 1Li

ek|i

i1

j=1kj ej |i

ek|ei = 1

Li(ek|i ek|i) = 0

Quindi sono ortogonali, il fattore Li si cura di normalizzare i vettori.

3.5.3 Rappresentazione

Una base permette di rappresentare in modo piu trattabile i vettori e gli operatoridefiniti nello spazio. Per quanto riguarda i vettori:

|a = ai |i |b = bi |i (3.21a)

|a

+|b

= ai + bi |i (3.21b)E comodo studiare gli operatori nei termini della loro azione sui vettori di base:

A |i = Aji |j (3.22)

22


23/38

Si studia come questo mette in correlazione il risultato delloperatore al vettore iniziale:

A |a = |bAai |i = aiA |i = aiAji |j = bi |i

Ajiai = bi Aa = b (3.23)

I ket sono rappresentati da vettori colonna, i bra da vettori riga e gli operatori damatrici. Si studiano ora gli effetti dei cambiamenti di base, si considera un operatoreR invertibile, cioe tale che |R| = 0:

R |i = |i R1 |i = |i (3.24)Si osserva che |i e ancora una base, infatti ponendo una generica combinazione lineareuguale a zero:

ci |i = ciR |i = ciRji |j = 0j ciRji = 0 i ci = 0

Questo e garantito dal fatto che la matrice R ha determinante nullo, quindi i vettorisono linearmente indipendenti e formano una nuova base. Si determina come varianoi vettori in questa base:

|a = ai |i = aj |jaiR1

j

i |j = aj |j

R1j

iai = aj R1a = a

Questo tipo di componenti si dicono controvarianti perche i vettori si trasformanocon la matrice inversa:

|i = R |i |a = R1 |a (3.25)Per quanto riguarda gli operatori:

A |i = ARji |j = RjiA |j = RjiAkj |k|k = R1mk |m A |i = RjiAkj R1

m

k |m

Rj

i Ak

j R1m

k |m

= Am

i |m

A

mi = R

1mk A

kj R

ji A

= R1AR

La traccia viene conservata:

23


25/38

Si puo dimostrare che tutte e sole le trasformazioni unitarie conservano lortonormalita:

|uj = U|ej ui| = ei| U

ui|uj = ei| UU|ej = ei|ej = ijQuindi tutte le trasformazioni unitarie conservano lortonormalita, per quanto riguardalimplicazione inversa si pensa alla generica trasformazione tra basi ortonormali:

|ui = uki |ek Rki = uki Ri

k = uki

= uki

RR = Ri

kRkj = ukiu

kj = ui|uj = ij

Dato che rappresenta la matrice identita R e linversa di R, quindi R e unitaria.In aggiunta a questo le trasformazioni unitarie conservano anche gli operatori hermi-

tiani ed unitari:

H = UHU

H

=

UHU

=

UH

U

= U

UH

= UHU = UHU = H

V = UV U

V

= UVU V

V = UVU UHU = E

Qualsiasi trasformazione conserva invece linversa:

A = R1AR

A1

=

R1AR1

= R1

R1A1

= R1A1R

A1

A = R1A1RR1AR = E

3.6 Sottospazi

Se si considerano M vettori linearmente indipendenti in uno spazio SN a dimensioneN > M si e individuato un sottospazio SM SN. Applicando piu volte un operatoreallo stesso vettore si otterranno, ovviamente, al massimo N vettori linearmente indi-pendenti. Nel caso pero se ne trovino in numero inferiore si possono utilizzare come

base per un sottospazio S(A)M detto sottospazio invariante, allinterno del quale A

puo operare senza uscirne:

|x S(A)M A |x S(A)M (3.28)Si considera una base |i presa in modo che i primi M vettori costituiscano una baseanche per SM. Rappresentando loperatore in questa base si trova un blocco nullo

25


26/38

in corrispondenza delle prime M colonne, ma oltre la riga M, dovuto al fatto cheloperatore non esce dal sottospazio. Se e possibile trovare altri sottospazi invarianti sipuo giungere ad avere una matrice diagonale a blocchi, in tal caso loperatore e detto

riducibile. Il caso piu favorevole e quello in cui si ottiene una matrice diagonale, cioecon blocchi 1 1.

3.7 Autovettori

Si definisce autovettore generalizzato di rango n un vettore |a per cui:(A aE)n |a = 0m < n (A aE)m |a = 0 (3.29)

I piu comuni sono gli autovettori di rango 1, utili per lo studio di sottospazi invariantidi dimensione 1, perche equivalgono a risolvere:

A |x = |x (3.30)Sviluppando i calcoli e ricordando la lineare indipendenza di una base:

(A E) |x = 0(A E) xi |i = (A E)ji xi |j

j (A E)ji xi = 0perche vi siano soluzioni non banali e necessario che sia verificata lequazione carat-teristica o secolare:

|A

E

|= () = 0 (3.31)

Il teorema di Hamilton-Cayley afferma che:

(A) = 0 (3.32)

Si puo scomporre lo spazio SN mediante proiettori, sia L il numero di soluzionidellequazione caratteristica e ri la molteplicita della soluzione i:

() =Li=1

( i)ri

1

()=

L

i=1fi ()

( i)ri

1 = ()L

i=1

fi ()

( i)ri

26


27/38

Li=1

fi()k=i

( k)rk

Indicando con i() = fi()k=i

( k)rk si trova:L

i=1

i() = 1 (3.33)

Passando agli operatori si trova:

Li=1

i(A) = E (3.34)

Si dimostra che sono un insieme di proiettori ortogonali, si considera k = i:

i(A)k(A) = fi(A)l=i

(A El)rl fk(A)m=k

(A Em)rm

i(A)k(A) = fi(A)fk(A)l=i,k

(A El)rlL

m=1

(A Em)rm

i(A)k(A) = fi(A)fk(A)l=i,k

(A El)rl (A) = 0

Quindi sono ortogonali, si dimostra che sono anche idempotenti:

i(A) = i(A)E = i(A)

Lk=1

k(A) = i(A)i(A) + i(A)k=i

k(A)

i(A) = i(A)i(A)

Il secondo termine e infatti nullo perche sono ortogonali. Si osserva inoltre che proiet-tano su uno sottospazio invariante di A, se S(i) e il sottospazio ottenuto applicandoi(A), ne consegue che anche i(A)A |x cade in tale spazio. Si studia infine lannullarsidella generica combinazione lineare delle immagini degli operatori:

Lk=1

ckk(A) |x = 0

i(A)L

k=1

ckk(A) |x = 0

cii(A) |x = 0 i ci = 0

27


28/38

Ne consegue che e possibile scomporre qualsiasi vettore dello spazio in termini divettori appartenenti ad un sottospazio invariante. Si puo inoltre dimostrare che S(i) eil sottospazio nullo per (A

Ei)

ri :

(A Ei)ri |i = 0

|i = E|i =L

k=1

k(A) |i =L

k=1

fk(A)m=k

(A Em)rm |i

Tutti gli addendi tranne quello corrispondente a k = i contengono nel prodotto anche(A El)rl |i = 0, dunque si annulleranno e resta:

|i = fi(A)m=i

(A Em)rm |i = i(A) |i

|i resta invariato applicando il proiettore, deve necessariamente trovarsi gi a nellospazio nel quale si proietta. Si dimostra ora limplicazione inversa.

(A Ei)ri i(A) |i = (A Ei)ri fi(A)k=i

(A Ek)rk |i

(A Ei)ri i(A) |i = fi(A)(A) |i = 0

Quindi il risultato delloperazione e nullo per qualsiasi vettore proiettato in S(i), datoche valgono entrambe le direzioni dellapplicazione si puo affermare che e lo spazionullo.Questo processo e importante perche ha permesso di determinare che e scomporrelo spazio originale in sottospazi invarianti che ne formano una partizione, qualsiasi

vettore delo spazio puo essere scritto nei termini di una base ottenuta dallunione dellebasi dei sottospazi invarianti.

3.8 Operatori hermitiani

Un operatore hamiltoniano ha soltanto autovettori di rango 1, indipendentemente dallamolteplicita dellautovalore corrispondente, mentre in generale si puo solo affermareche il rango dellautovalore e minore o uguale alla molteplicita dellautovalore. Tuttigli autovalori di un operatore hermitiano sono reali, infatti:

H|h = h |h

h| H|h = h| H

|h

= h| H|h

h h|h = h h|h = h h|hh = h

28


29/38

Infatti se un numero non risente della coniugazione deve necessariamente essere reale.Si dimostra inoltre che autovettori corrispondenti ad autovalori diversi sono ortogonali:

H|h1 = h1 |h1 H|h2 = h2 |h2h2| H|h1 = h1 h2|h1 h1| H|h2 = h2 h1|h2

h2| H = h2| h2 = h2| h2h2| H |h1 = h2 h2|h1

h2| H|h1 h2| H |h1 = (h1 h2) h2|h1 = 0Dato che h1 = h2 il prodotto scalare deve annullarsi.

3.8.1 Diagonalizzazione

Si considera una matrice H riferita alloperatore H ed i suoi autovalori nella for-

ma h(i)(l), che identifica ll-simo autovettore, specificando che corrisponde alli-esimoautovalore normalizzato:

h(j)m(l)hm(i)(k) = kl

E possibile definire una trasformazione della quale e nota linversa costruendo lamatrice che ha come colonne gli autovettori:

Rmk = hm(i)(k) R

1lm = h(j)m(l)

Applicandola ad H si trova H in forma diagonale:

H = R

1

H

R = R

1l

nH

n

mR

m

k = h(j)n(l)H

n

mh

m

(i)(k) = h(j)n(l)h(i)h

n

(i)(k)H = h(i)lk

In particolare lungo la diagonale ha gli autovalori, e sicuramente una matrice hermi-tiana perche simmetrica, in quanto diagonale, ed a valori reali. Si puo dimostrare cheR e unitaria se espressa su una base ortonormale:

R1l

m = h(j)m(l) = hm(j)(l)

= Rml

3.8.2 Diagonalizzazione simultanea

Dati due operatori hermitiani condizione necessaria e sufficiente perche esista una base

in cui le matrici associate siano entrambe diagonali e la commutativita. Fisicamentesignifica che possono essere misurate contemporaneamente con precisione arbitraria.Si considera una base sulla quale A e diagonale:

Aij = a(j)Eij

29


30/38

Dal fatto che il commutatore e nullo ne consegue che:

AB BA = Ai

kBk

j Bi

kAk

j = 0a(k)E

ijB

kj a(j)EijBik =

a(k) a(j)

Bij = 0

Se i = j e possibile che Bik sia non nullo, se i = j e a(k) = a(j) e necessariamente Bijad essere nullo. Resta tuttavia il problema degli autovalori con molteplicita maggioredi 1. Tuttavia nel sottospazio S(i) identificato dallautovalore degenere e certamentepossibile esprimere B sotto forma di matrice hermitiana, dunque diagonalizzabile. Inaggiunta a questo A risulta espressa come un multiplo della matrice identita, quindi nonrisente della trasformazione, permettendo dunque di diagonalizzare B senza nuocerealla diagonalita di questa.Quanto dimostrato si puo generalizzare ad un insieme di operatori che commutano,si definisce insieme completo di operatori il massimo numero di operatori che

commutano senza che nessuno di questi sia funzione degli altri, e analogo alla lineareindipendenza. Fisicamente si riflette nella possibilita di identificare univocamenteun sistema con la misura delle osservabili correlate, il fatto che un operatore abbiaautovalori degeneri e invece sinonimo della mancanza di questa proprieta se si consideraloperatore da solo.Si osserva che qualsiasi trasformazione conserva la commutativita di due operatori, ladimostrazione e immediata.

30


31/38

4 Spazi funzionali

Si considera lo spazio C delle funzioni continue definite su [a, b] R, e possibile defi-nirvi una struttura di spazio vettoriale, e possibile forzare la definizione di componenteed affermare che i singoli valori di f(x) sono le componenti del vettore |f. Questopermette di definire il prodotto scalare tra due funzioni come:

f|g = (f, g) =ba

f(x)g(x)p(x) dx (4.1)

La funzione p e limitata, integrabile e definita positiva, e detta funzione peso e servea controllare gli effetti della lunghezza dellintervallo. Il piu delle volte e unitaria.

(g, f) = (f, g) =

ba

g(x)f(x)p(x) dx (4.2)

f2 = (f, f) = ba

f(x)f(x)p(x) dx =ba

|f(x)|2p(x) dx (4.3)

(f, g) =

ba

|f(x) g(x)|2p(x) dx (4.4)

Tuttavia lo spazio manca della completezza, e infatti facile trovare successioni difunzioni continue che tendano a funzioni discontinue, come la funzione di Heaviside.Unidea sarebbe quella di cstudiare lo spazio delle funzioni integrabili alla Riemann,ma e possibile vedere che anche questo non e completo. E necessario definire un nuovoconcetto di integrale che permetta di integrare funzioni con un numero infinito didiscontinuita.

4.1 Integrale di Lebesgue

Si definisce la misura di un insieme, essa gode delle seguenti proprieta:

(E) 0 (4.5a)() = 0 (4.5b)

([a, b]) = b a (4.5c) (E1 E2) = (E1) + (E2) + (E1 E2) (4.5d)

m

i=1Ei

m

i=1(Ei) (4.5e)

invariante per traslazioni e riflessioni (4.5f )

Se si richiama il complementare di un insieme si puo dimostrare che (E) b a:

31


32/38

(E E) = b a = (E) + (E)(E) = b a (E) b a

Dati un certo numero di intervalli Ii disgiunti che uniti formano una ricopertura Idellinsieme E si definisce la misura esterna di E come:

est(E) = minI

((I)) (4.6)

Dove I e linsieme di tutte le possibili ricoperture. Si definisce la misura interna:

int(E) = (b a) est(E) (4.7)Se coincidono E si dice misurabile secondo Lebesgue e la misura e tale che:

(E) = int(E) = est(E) (4.8)Si considera un insieme infinito numerabile di punti xk , sia Ik = B k

2

(xk) e si sceglie

il raggio della boccia in modo che:

k

Appunti di Metodi Matematici per la Fisica

Documents

Transcript of Appunti di Metodi Matematici per la Fisica