Introduzione Ai Metodi Matematici Della Fisica
164
Introduzione ai METODI MATEMATICI DELLA FISICA M. B. Barbaro, M. Frau, P. Gambino e S. Sciuto Dipartimento di Fisica, Universit`a di Torino Dispense del corso 2013
-
Upload
claudio-santonastaso -
Category
Documents
-
view
84 -
download
22
description
Appunti di metodi matematici
Transcript of Introduzione Ai Metodi Matematici Della Fisica
Introduzione aiMETODI MATEMATICI DELLA FISICA
M. B. Barbaro, M. Frau, P. Gambino e S. Sciuto
Dipartimento di Fisica, Universita di Torino
Dispense del corso 2013
Indice
I Funzioni Analitiche e Equazioni Differenziali in CampoComplesso 4
1 Analisi Complessa 51.1 Il campo complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Richiami sui numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Funzioni reali di variabile complessa . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Funzioni complesse di variabile complessa . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1 Derivata di una funzione complessa di variabile complessa . . . 121.2.2 Condizioni di Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.3 Funzioni analitiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.4 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Integrazione in campo complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.1 Curve (richiami) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.2 Integrali in campo complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.3 Teorema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.4 Rappresentazione integrale di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4 Serie in campo complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.4.1 Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.4.2 Serie di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.4.3 Zeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.4.4 Serie di Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.4.5 Singolarita isolate: poli e singolarita essenziali . . . . . . . . . . 41
1.5 Residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.5.1 Teorema dei residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.5.2 Calcolo dei residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.6 Calcolo di integrali definiti mediante il teorema dei residui . . . . . . . 471.6.1 Integrali trigonometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.6.2 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.6.3 Lemma di Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.6.4 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.6.5 Singolarita sul cammino di integrazione . . . . . . . . . . . . . . 59
1.7 Studio del punto all’infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1
1.7.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.7.2 Calcolo del residuo nel punto all’infinito . . . . . . . . . . . . . 64
1.8 Le funzioni ln z e zα nel piano complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2 Equazioni differenziali in C 692.1 Equazioni differenziali ordinarie II ordine . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.1.1 Soluzione nell’intorno di un punto regolare . . . . . . . . . . . . 722.1.2 Soluzione nell’intorno di un punto singolare fuchsiano . . . . . 772.1.3 Esempio: l’equazione di Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.1.4 Studio del comportamento all’infinito . . . . . . . . . . . . . . 812.1.5 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
II Introduzione all’analisi armonica 86
3 Serie di Fourier 873.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.2 Funzioni periodiche e serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.2.1 Convergenza puntuale delle serie trigonometrichedi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2.2 Importanti commenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.2.3 Altri esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4 Trasformate Integrali 1034.1 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.1.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.1.2 Proprieta della trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 1074.1.3 Soluzione di equazioni differenziali mediante la trasformata di
Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.2 Trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.2.2 Proprieta della trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . 1164.2.3 Trasformate di Laplace ed equazioni differenziali lineari a coeffi-
cienti costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5 Spazi L2 e distribuzioni 1245.1 Spazi L2 e serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.1.1 Trasformata di Fourier in L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.2 Alcuni sistemi ONC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.3 Sistemi ONC in L2 e distribuzioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.3.1 Operatori autoaggiunti e sistemi ortogonali . . . . . . . . . . . . 1375.3.2 La δ di Dirac e cenni sulle distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . 139
2
A Funzioni armoniche 146
B Corollari della rappresentazione integrale di Cauchy 151
C Equazioni differenziali del second’ordine 156C.1 Metodo di separazione delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
D Proprieta dell’integrale di Lebesgue 162
3
Parte I
Funzioni Analitiche e EquazioniDifferenziali in Campo Complesso
4
Capitolo 1
Analisi Complessa
1.1 Il campo complesso
1.1.1 Richiami sui numeri complessi
Un numero complesso z e una coppia ordinata di numeri reali
z = a+ ib = (a, b) a, b ∈ R
dove i e l’unita immaginaria
i2 = −1 .
a = Re z , b = Im z .
L’insieme dei numeri complessi e un campo, indicato con C, dato dal prodot-to cartesiano del campo reale R con se stesso (C = R
⊗R), dotato di due leggi di
composizione interna, l’addizione e la moltiplicazione, che godono delle seguenti pro-prieta:
1) Addizione (+)
Definizione:
z1 = a1 + ib1 , z2 = a2 + ib2 −→ z1 + z2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2) .
Proprieta:
Associativa:
z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 z1, z2, z3 ∈ C .
Commutativa:
z1 + z2 = z2 + z1 .
5
Esiste l’elemento neutro 0 ∈ C, tale che
z + 0 = 0 + z = z ∀z ∈ C .
Per ogni z ∈ C esiste l’elemento inverso −z ∈ C, tale che
z + (−z) = (−z) + z = 0 .
Quindi C e un gruppo abeliano rispetto all’addizione, con elemento neutro 0.
2) Moltiplicazione (·)Definizione:
z1 · z2 = (a1 + ib1) · (a2 + ib2)
= (a1a2 − b1b2) + i(a1b2 + b1a2) .
Proprieta:
Associativa:
z1 · (z2 · z3) = (z1 · z2) · z3 .
Commutativa:
z1 · z2 = z2 · z1 .
Esiste l’elemento neutro 1 ∈ C, tale che
z · 1 = 1 · z = z ∀z ∈ C .
Per ogni z ∈ C, z 6= 0 esiste l’elemento inverso z−1 ∈ C, tale che
z · z−1 = z−1 · z = 1
z = a+ ib −→ z−1 =1
a+ ib=
a
a2 + b2− i b
a2 + b2.
Quindi C− 0 e un gruppo abeliano rispetto alla moltiplicazione, con elementoneutro 1.
Vale inoltre la proprieta distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione
z1 · (z2 + z3) = z1 · z2 + z1 · z3 .
6
Figura 1.1: Rappresentazione cartesiana del numero complesso z
Rappresentazione geometrica dei numeri complessi
Un numero complesso z si puo rappresentare graficamente come un punto nel pianocomplesso di z (o piano di Argand), sulle cui ascisse e ordinate si pongono rispet-tivamente la parte reale e immaginaria di z. La rappresentazione cartesiana di z e(Fig 1.1)
z = x+ iy .
Una rappresentazione equivalente e quella polare (Fig 1.2)
z = reiθ = r cos θ + ir sin θ
con
r = |z| =√x2 + y2 modulo di z
e
θ = arg z = tan−1 y
xargomento o fase di z .
Graficamente r e il modulo del vettore ~r congiungente l’origine con il punto z, e θe l’angolo che questo vettore forma con l’asse delle ascisse.
Le relazioni fra componenti cartesiane e polari di z sono:
x = r cos θ
y = r sin θ
7
Figura 1.2: Rappresentazione polare del numero complesso z
Il complesso coniugato di un numero complesso z e un numero complesso z∗ ∈ Ccosı definito:
z = x+ iy = reiθ −→ z∗ = x− iy = re−iθ .
(si veda Fig 1.3) Si noti che z · z∗ = |z|2 = r2.
Figura 1.3: Rappresentazione polare del numero complesso z e del suo complessoconiugato z∗
8
1.1.2 Funzioni reali di variabile complessa
Una funzione reale di variabile complessa
f : E −→ R , E ⊆ C
e un’applicazione che associa un numero reale f(z) ad ogni z ∈ E, con E sottoinsiemedel campo C.
Definizione di funzione continua.La funzione f(z) si dice continua nel punto z = z0 se
limz→z0
f(z) = f(z0)
ossia, ricordando la definizione di limite, se
∀ε > 0 ∃δ > 0 / |f(z)− f(z0)| < ε , ∀z ∈ Iδ(z0) ,
dove Iδ(z0) e un intorno di raggio δ del punto z0:
Iδ(z0) = z ∈ C/|z − z0| < δ .
Esempi
1) La funzione modulo
f(z) = |z|
e una funzione reale di variabile complessa, continua in tutto il piano complesso.
2) Le funzioni
f(z) = Rez e g(z) = Imz
sono funzioni reali di variabile complessa, continue in tutto il piano complesso.
3) La funzione argomento
ϕ(z) = arg z
e una funzione reale di variabile complessa:
ϕ : C− 0 −→ I2π ⊂ R ,
9
Figura 1.4: Discontinuita dell’argomento di z.
dove I2π e un intervallo semiaperto di lunghezza 2π. Tale intervallo non e uni-vocamente definito e puo essere scelto in infiniti modi diversi, ma in ogni casola funzione ϕ(z) e discontinua su una semiretta uscente dall’origine del pianocomplesso. Si considerino per esempio i due casi rappresentati in Fig. 1.4:
a) I2π = (−π, π]
b) I2π = [0, 2π)
Nel caso a) ϕ(z) e discontinua sul semiasse reale negativo. Infatti
ϕ(−x) = π x ∈ R+
ma il limite limz→−x ϕ(z) non e definito, perche i limiti destro e sinistro sonodiversi:
limε→0+
ϕ(−x+ iε) = π
limε→0+
ϕ(−x− iε) = −π .
Nel caso b) invece ϕ(z) e discontinua sul semiasse reale positivo.
1.2 Funzioni complesse di variabile complessa
Una funzione complessa di variabile complessa
f : E −→ C , E ⊆ C
10
e un’applicazione che associa un numero complesso f(z) ad ogni z ∈ E, con Esottoinsieme del campo C. Useremo la seguente notazione:
f : z 7→ w = f(z) z ∈ E , E ⊆ C , w ∈ C ,
z = x+ iy
w(z) = u(x, y) + iv(x, y) .
Quindi dare la f e equivalente a specificare due funzioni reali di due variabili reali:
u = u(x, y) e v = v(x, y) .
Analogamente a quanto accade nel caso di funzioni reali, una funzione complessadi variabile complessa f(z) e detta continua se
limz→z0
f(z) = f(z0)
ovvero se
∀ε > 0 ∃δ > 0 / |f(z)− f(z0)| < ε , ∀z ∈ Iδ(z0) ,
dove Iδ(z0) e un intorno di raggio δ del punto z0 e |f(z)−f(z0)| e il modulo del numerocomplesso f(z)− f(z0).
Esempi
1) f(z) = z2 = (x+ iy)2 = x2 − y2 + 2ixy
u(x, y) = x2 − y2
v(x, y) = 2xy .
In coordinate polari
z = reiϕ
w = r2e2iϕ .
2) f(z) = z∗ = x− iy
u(x, y) = x
v(x, y) = −y .
In coordinate polari
z = reiϕ
w = re−iϕ .
11
1.2.1 Derivata di una funzione complessa di variabile comples-sa
Definizione: una funzione f(z) si dice derivabile nel punto z se esiste il limite perh→ 0 (h ∈ C) del rapporto incrementale
f(z + h)− f(z)
h
considerato come funzione della variabile complessa h. Tale limite deve essere quindiindipendente dal modo in cui h→ 0. Esistono infatti infinite direzioni lungo le quali hpuo tendere a 0 (si veda Fig 1.5)
Figura 1.5: Direzioni dell’incremento h nel rapporto incrementale
La funzione f e derivabile se tutte queste direzioni danno lo stesso risultato peril limite del rapporto incrementale. In questo caso il limite si chiama derivata di frispetto a z:
df(z)
dz= f ′(z) = lim
h→0
f(z + h)− f(z)
h.
1.2.2 Condizioni di Cauchy-Riemann
Consideriamo una funzione
f(z) = u(x, y) + iv(x, y)
12
tale che nel punto z = x+ iy sia la sua parte reale u(x, y) che la sua parte immaginariav(x, y) siano di classe C1, cioe continue con le loro derivate prime:
∂u(x, y)
∂x= u′x ,
∂u(x, y)
∂y= u′y ,
∂v(x, y)
∂x= v′x ,
∂v(x, y)
∂y= v′y .
∆ Teorema 1: le condizioni di Cauchy e Riemann (CR)
∂u(x, y)
∂x=
∂v(x, y)
∂y
∂u(x, y)
∂y= −∂v(x, y)
∂x(1.1)
sono condizioni necessarie e sufficienti affinche la funzione f(z) sia derivabile nel puntoz.
Dimostrazione.Dimostriamo dapprima che le condizioni di (CR) sono necessarie, ossia che
f(z) derivabile ⇒ (CR) .
Per ipotesi la derivata di f(z)
f ′(z) = limh→0
f(z + h)− f(z)
h
esiste ed e indipendente dalla direzione di h = hx+ ihy. In particolare si potra scegliereh puramente reale (h = hx) o puramente immaginario (h = ihy).
Se h = hx
f ′(z) = limhx→0
f(z + hx)− f(z)
hx
= limhx→0
u(x+ hx, y) + iv(x+ hx, y)− u(x, y)− iv(x, y)
hx
= limhx→0
u(x+ hx, y)− u(x, y)
hx+ i lim
hx→0
v(x+ hx, y)− v(x, y)
hx
=∂u(x, y)
∂x+ i
∂v(x, y)
∂x. (1.2)
13
Se h = ihy
f ′(z) = limhy→0
f(z + ihy)− f(z)
ihy
= limhy→0
u(x, y + hy) + iv(x, y + hy)− u(x, y)− iv(x, y)
ihy
= limhy→0
u(x, y + hy)− u(x, y)
ihy+ i lim
hy→0
v(x, y + hy)− v(x, y)
ihy
= −i∂u(x, y)
∂y+∂v(x, y)
∂y. (1.3)
Uguagliando ora le parti reali e immaginarie delle espressioni (1.2) e (1.3) per la derivataf ′(z) otteniamo le condizioni di Cauchy-Riemann:
u′x = v′yu′y = −v′x .
Dimostriamo ora che le condizioni di CR sono sufficienti per la derivabilita di f(z),ossia
(CR) ⇒ f(z) derivabile .
Consideriamo a questo scopo il rapporto incrementale
f(z + h)− f(z)
h=u(x+ hx, y + hy) + iv(x+ hx, y + hy)− u(x, y)− iv(x, y)
hx + ihy.
(1.4)
Poiche le funzioni u e v sono per ipotesi continue con le loro derivate prime in z, essesono differenziabili e si puo quindi scrivere nell’intorno del punto (x, y):
u(x+ hx, y + hy) = u(x, y) + hxu′x(x, y) + hyu
′y(x, y) + o(|h|)
v(x+ hx, y + hy) = v(x, y) + hxv′x(x, y) + hyv
′y(x, y) + o(|h|) .
Sostituendo questi sviluppi nel rapporto incrementale (1.4) si ottiene
f(z + h)− f(z)
h=hxu
′x(x, y) + ihxv
′x(x, y) + hyu
′y(x, y) + ihyv
′y(x, y) + o(|h|)
hx + ihy.
Utilizzando ora le condizioni di Cauchy-Riemann (1.1) e prendendo il limite per hx, hy →0 si ha
limhx,hy→0
f(z + h)− f(z)
h=
limhx,hy→0
hxu′x(x, y) + ihxv
′x(x, y)− hyv′x(x, y) + ihyu
′x(x, y) + o(|h|)
hx + ihy=
limhx,hy→0
(hx + ihy)[u′x(x, y) + iv′x(x, y)]
hx + ihy= u′x(x, y) + iv′x(x, y) = f ′(z) .
(1.5)
14
La derivata di f(z) e quindi definita univocamente indipendentemente dalla direzionedi h: la funzione e pertanto derivabile e la sua derivata e
f ′(z) = u′x(x, y) + iv′x(x, y) .
[q.e.d.]Utilizzando le condizioni di Cauchy-Riemann e possibile dare quattro espressioni
equivalenti della derivata di una funzione in termini delle sue parti reale e immaginaria:
f ′(z) = u′x(x, y) + iv′x(x, y) (1.6)
= v′y(x, y)− iu′y(x, y)
= u′x(x, y)− iu′y(x, y)
= v′y(x, y) + iv′x(x, y) .
N.B. Dalle ultime due espressioni si deduce che per calcolare la derivata di f(z) esufficiente conoscerne o la parte reale u o la parte immaginaria v. Ovvero: nota unadelle due, si puo ricavare l’altra a meno di una costante.
1.2.3 Funzioni analitiche
Definizione: Una funzione f(z)
f : F −→ C F ⊂ C
si dice analitica (o regolare, o olomorfa) in un punto z0 se esiste un intorno I(z0)in cui f(z) e derivabile, con derivata continua, in ogni punto z ∈ I(z0). (N.B. non esufficiente che le condizioni di CR siano soddisfatte solo nel punto z = z0.) La funzionee analitica in una regione aperta E ⊂ F se essa e derivabile, con derivata continua, inogni punto z ∈ E.
E quindi necessario e sufficiente affinche f(z) sia analitica in E che siano soddisfattele seguenti condizioni in tutti i punti di E:
1) parte reale u(x, y) e parte immaginaria v(x, y) siano di classe C1;2) siano soddisfatte le condizioni di Cauchy-Riemann (1.1).
I punti in cui f(z) e analitica si dicono punti di analiticita o punti regolari dellafunzione. I punti in cui f(z) non e analitica si dicono punti singolari o singolaritadella funzione.
1.2.4 Esempi
Esempio 1
f(z) = costante = c = cx + icy c ∈ C, cx, cy ∈ R
15
u(x, y) = cx , v(x, y) = cy
u′x = u′y = v′x = v′y = 0
La funzione f(z) e continua in tutto il piano complesso C, le funzioni u e v sonocontinue e derivabili e le condizioni di Cauchy-Riemann sono verificate ∀z ∈ C. Quindiuna funzione costante e analitica in tutto il piano complesso e la sua derivata e zero:
f ′(z) = u′x + iv′x = 0
Esempio 2
f(z) = z∗ = x− iy
u(x, y) = x , v(x, y) = −y
u′x = 1 , v′y = −1
La funzione f(z) = z∗ non e analitica. Si puo infatti mostrare che il rapporto incre-mentale dipende dalla direzione dell’incremento h. Sia h = ρeiθ in rappresentazionepolare. Allora il rapporto incrementale
f(z + h)− f(z)
h=
(z + h)∗ − z∗
h=h∗
h=ρe−iθ
ρeiθ= e−2iθ
dipende dall’angolo θ. La derivata di z∗ non esiste in alcun punto di C.
Esempio 3
f(z) =1
z=
1
x+ iy=
x− iyx2 + y2
u(x, y) =x
x2 + y2, v(x, y) = − y
x2 + y2
Le funzioni u e v sono continue e derivabili in C− 0. Le condizioni di CR
u′x =y2 − x2
(x2 + y2)2, v′y =
y2 − x2
(x2 + y2)2= u′x
u′y =−2xy
(x2 + y2)2, v′x =
2xy
(x2 + y2)2= −u′y
16
sono soddisfatte. La funzione f(z) e quindi analitica in C− 0. La sua derivata e
f ′(z) = u′x + iv′x =y2 − x2 + 2ixy
(x2 + y2)2=
(y + ix)2
(y + ix)2(y − ix)2= − 1
z2.
Vale pertanto la stessa regola di derivazione valida in campo reale(1
z
)′= − 1
z2.
Si dimostra, esattamente come nel campo reale, che vale
dzn
dz= nzn−1
per n intero qualsiasi 1.Le funzioni analitiche in tutto il piano complesso, come, per esempio, i polinomi, la
funzione esponenziale e le funzioni seno e coseno, si chiamano funzioni intere.
∆ Teorema 2: se f1(z) e f2(z) sono due funzioni analitiche nel punto z, allora lefunzioni
1) f1(z) + f2(z)
2) f1(z) · f2(z)
3) f1(z)/f2(z) se f2(z) 6= 0
4) f1(f2(z))
sono analitiche in z e valgono le seguenti regole di derivazione
a) [f1(z) + f2(z)]′ = f ′1(z) + f ′2(z)
b) [f1(z) · f2(z)]′ = f ′1(z)f2(z) + f1(z)f ′2(z)
c) [f1(z)/f2(z)]′ = [f ′1(z)f2(z)− f1(z)f ′2(z)]/[f2(z)]2
d) ddz
[f1(f2(z))] = df1df2
df2dz.
La dimostrazione segue banalmente dalla definizione di derivata o dalla (1.6).
1La stessa formula vale per ogni esponente, reale o complesso, ma non ne parliamo qui perche nonabbiamo ancora definito zα per α non intero.
17
∆ Corollario: le funzioni razionali di z sono analitiche in tutto il piano complessoesclusi gli zeri del denominatore.
Dimostrazione: Poiche le funzioni f1(z) = 1 e f2(z) = z sono analitiche in C,segue dalla proprieta 2) che tutte le potenze di z sono analitiche in C, e quindi per laproprieta 1) i polinomi di z
Pn(z) =n∑k=0
ckzk = c0 + c1z + c2z
2 + ...cnzn
sono funzioni ovunque analitiche. Per la proprieta 3) le funzioni razionali (rapporto didue polinomi Pn e Qm)
R(z) =Pn(z)
Qm(z)
sono funzioni analitiche in tutto il piano complesso esclusi i punti zi tali che Qm(zi) = 0.[q.e.d.]
∆ Teorema 3 : se la parte reale (immaginaria) di una funzione analitica e costante,anche la sua parte immaginaria (reale) e necessariamente costante. Infatti da u(x, y) =costante segue u′x = u′y = 0 e quindi dalle condizioni di CR segue che:
v′y = v′x = 0 ⇒ v(x, y) = K ′ = costante .
Pertanto
f(z) = costante .
Nel caso particolare in cui v(x, y) = 0, oppure u(x, y) = 0, ne segue banalmente cheuna funzione analitica a valori reali (o immaginari puri) e necessariamente costante.
[q.e.d.]
∆ Teorema 4: una funzione analitica di modulo costante e costante (cioe le sue partireale e immaginaria sono separatamente costanti):
f(z) analitica e |f(z)| = cost. ⇒ f(z) = cost.
DimostrazionePer ipotesi
u2(x, y) + v2(x, y) = K .
Se K = 0 la dimostrazione e banale perche cio implica f(z) = 0; assumiamo quindi nelseguito K 6= 0.
18
Derivando rispetto a x e a y si ottiene
2u∂xu+ 2v∂xv = 0
2u∂yu+ 2v∂yv = 0 .
Moltiplicando la prima equazione per u, la seconda per v, sommando membro a membroe utilizzando le condizioni di CR, si ottiene
(u2 + v2)∂xu = 0
da cui segue che, poiche u2 + v2 e per ipotesi costante e diverso da zero, ∂xu = 0.Analogamente, moltiplicando la prima equazione per −v e la seconda per u, si ottiene
(u2 + v2)∂yu = 0.
Questa implica che anche ∂yu = 0 e quindi u(x, y) = costante. Dalle CR segue imme-diatamente che se le derivate parziali di u sono nulle, anche le derivate parziali di vsono nulle, e pertanto f(z) = costante, come nel teorema precedente.
[q.e.d.]
1.3 Integrazione in campo complesso
1.3.1 Curve (richiami)
Una curva γ nel piano complesso e una applicazione continua
γ : J −→ C J = [a, b] ∈ R
dove J e un intervallo reale limitato e chiuso:
γ : t −→ z(t) = x(t) + iy(t) a ≤ t ≤ b .
L’applicazione γ associa ad ogni valore del parametro t due funzioni reali x(t) e y(t).Spesso si considera la curva γ non solo come l’applicazione appena definita, ma comel’immagine (o sostegno) di tale applicazione, cioe come l’insieme di punti
γ = z ∈ C/z = z(t), t ∈ [a, b] .
Una curva si dice regolare nell’intervallo [a, b] se le funzioni x(t) e y(t) hannoderivate prime continue e non entrambe nulle ∀t ∈ [a, b].
Una curva si dice regolare a tratti nell’intervallo [a, b] se l’intervallo puo esseresuddiviso in un numero finito di sottointervalli chiusi in cui la curva sia regolare.
Una curva si dice chiusa se z(a) = z(b). Un caso particolare di curva chiusa e unpunto, cioe una curva di equazione z(t) = costante ∀t ∈ [a, b].
19
Una curva si dice semplice se z(t1) 6= z(t2) ∀t1 6= t2, con t1, t2 ∈ [a, b). (N.B.L’intervallo [a, b) e semi-aperto per includere le curve chiuse nella definizione di curvesemplici.) In pratica una curva semplice e una curva che non si interseca con se stessa.
Una curva chiusa e semplice si dice curva di Jordan.Enunciamo, senza dimostrarlo, il seguente teorema:
∆ Teorema 5: ogni curva di Jordan γ divide il piano in due regioni, una interna euna esterna a γ.
Ad ogni curva chiusa si assegna un verso di percorrenza. Convenzionalmente siconsidera come positivo il verso antiorario. Si definisce convenzionalmente interna aduna curva chiusa la zona lasciata a sinistra se si percorre la curva nel suo verso dipercorrenza (ed esterna quella lasciata a destra).
Due curve di Jordan γ1 e γ2 si dicono omotopicamente equivalenti (O.E.) inuna regione D se possono essere deformate con continuita l’una nell’altra senza uscireda D. N.B. E essenziale specificare la regione D in cui le due curve sono O.E.
Esempio: se D = C ogni curva di Jordan e O.E. a un punto, ma questo non e piuvero se da C si sottraggono uno o piu punti.
Una regione D ⊆ C si dice connessa per archi se, ∀z1, z2 ∈ D, esiste una curva γtutta interna a D, che congiunge z1 e z2.
Una regione S ⊆ C si dice semplicemente connessa (s.c.) se ogni curva chiusacontenuta is S e O.E. a un punto. (Definizione alternativa: una regione S e s.c. seper ogni curva di Jordan γ contenuta in S la regione interna a γ e sottoinsieme di S).Intuitivamente una regione s.c. e una regione senza buchi.
Lemma di Gauss (o teorema di Green): siano P (x, y), Q(x, y) ∈ C1 due funzionireali e continue con derivate prime continue in un dominio E semplicemente connesso.Allora per ogni curva γ chiusa regolare a tratti contenuta in E
∮γ
[P (x, y)dx+Q(x, y)dy] =
∫∫S
[∂Q(x, y)
∂x− ∂P (x, y)
∂y
]dxdy , (1.7)
dove S e la regione interna a γ.
1.3.2 Integrali in campo complesso
Integrale di una funzione di variabile reale a valori complessi Consideriamouna funzione complessa di una variabile reale w(t) = u(t) + iv(t):
w : [a, b] −→ C [a, b] ⊂ R
t ∈ [a, b] , w(t) ∈ C .
20
Definiamo l’integrale di w(t) in t∫ b
a
w(t)dt =
∫ b
a
u(t)dt+ i
∫ b
a
v(t)dt .
L’integrale esiste se la funzione w(t) e continua o se ha un numero finito di discontinuitadi prima specie.
L’integrale (alla Riemann) si puo interpretare come limite di somme integrali:∫ b
a
w(t)dt = limn→∞
In
dove
In =n∑l=1
w(τl)(tl − tl−1)
=n∑l=1
u(τl)(tl − tl−1) + in∑l=1
v(τl)(tl − tl−1) .
Si divide cioe l’intervallo [a, b] in n sottointervalli a = t0 < t1 < t2 < ... < tn = b e sivaluta la funzione w(t) nei punti τl interni a ciascun sottointervallo (tl−1 < τl < tl).
Dalla disuguaglianza triangolare (|a1 + a2 + ...+ an| ≤ |a1|+ |a2|+ ...+ |an|):
|In| ≤n∑l=1
|w(τl)|(tl − tl−1)
segue, prendendo il limite per n→∞, la relazione∣∣∣∣∫ b
a
w(t)dt
∣∣∣∣ ≤ ∫ b
a
|w(t)|dt . (1.8)
Integrale di una funzione complessa di variabile complessa Sia f(z) unafunzione:
f : D ⊆ C −→ C
f : z = (x+ iy) ∈ D 7→ w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ∈ C .
Si consideri una curva γ regolare a tratti nell’intervallo [a, b]
γ : t 7→ z(t) a ≤ t ≤ b
e siano A = z(a) e B = z(b) gli estremi di tale curva (Fig. 1.6)
21
Figura 1.6: Curva aperta che unisce i punti A e B nel piano complesso
Se f(z) e continua ∀z ∈ γ, si definisce l’integrale curvilineo di f(z) tra A e B lungoγ
∫ B
A(γ)
f(z)dz =
∫ b
a
f (z(t))dz
dtdt . (1.9)
N.B. Il secondo membro della (1.9) esiste perche γ e regolare a tratti (quindi dz/dtha un numero finito di discontinuita).
∆ Teorema 6: l’integrale di una funzione continua f(z) = u(x, y) + iv(x, y) lungouna curva γ regolare a tratti e dato da
∫ B
A(γ)
f(z)dz =
∫ B
A(γ)
[u(x, y)dx− v(x, y)dy] + i
∫ B
A(γ)
[v(x, y)dx+ u(x, y)dy] .
(1.10)
DimostrazioneDalla definizione (1.9) segue che
22
∫ B
A(γ)
f(z)dz =
∫ b
a
f (z(t))dz(t)
dtdt =
∫ b
a
[u(x, y) + iv(x, y)]
[dx(t)
dt+ i
dy(t)
dt
]dt
=
∫ b
a
[u(x, y)
dx(t)
dt− v(x, y)
dy(t)
dt
]dt
+ i
∫ b
a
[v(x, y)
dx(t)
dt+ u(x, y)
dy(t)
dt
]dt
=
∫ B
A(γ)
[u(x, y)dx− v(x, y)dy] + i
∫ B
A(γ)
[v(x, y)dx+ u(x, y)dy] .
[q.e.d]N.B. In generale l’integrale dipende dalla curva γ e non solo dagli estremi di inte-
grazione.Valgono per l’integrale (1.10) le proprieta degli integrali curvilinei. In particolare,
se C e un punto sulla curva γ,∫ B
A(γ)
f(z)dz =
∫ C
A(γ)
f(z)dz +
∫ B
C(γ)
f(z)dz
e ∫ B
A(γ)
f(z)dz = −∫ A
B(γ)
f(z)dz .
∆ Teorema 7: Disuguaglianza di Darboux Sia M il valore massimo assunto dalmodulo della funzione f(z) lungo la curva γ:
M = maxz∈γ|f(z)|
e l la lunghezza di γ tra A e B:
l =
∫ b
a
ds
dtdt ≡
∫ b
a
√(dx
dt
)2
+
(dy
dt
)2
dt .
Allora vale la disuguaglianza di Darboux:∣∣∣∣∫ B
A(γ)
f(z)dz
∣∣∣∣ ≤Ml . (1.11)
Dimostrazione: Applicando la disuguaglianza (1.8) alla definizione (1.9) si ottiene∣∣∣∣∫ B
A(γ)
f(z)dz
∣∣∣∣ ≤ ∫ b
a
|f(z(t))|∣∣∣∣dzdt∣∣∣∣ dt
≤ M
∫ b
a
∣∣∣∣dzdt∣∣∣∣ dt .
23
Ora, ∣∣∣∣dzdt∣∣∣∣ =
√(dx
dt
)2
+
(dy
dt
)2
≡ ds
dt;
pertanto ∫ b
a
∣∣∣∣dzdt∣∣∣∣ dt = l
e quindi: ∣∣∣∣∫ B
A(γ)
f(z)dz
∣∣∣∣ ≤Ml .
[q.e.d.]Consideriamo qualche esempio di integrale in campo complesso. Sia C la circon-
ferenza di raggio R attorno all’origine. Vogliamo calcolare l’integrale della funzioneanalitica f(z) = z
I =
∮C
z dz . (1.12)
Sostituiamo quindi z = Reiθ e facciamo riferimento alla (1.9):
I = iR2
∫ 2π
0
e2iθdθ = 0. (1.13)
Nel caso della funzione non analitica f(z) = z∗ troviamo invece∮C
z∗ dz = iR2
∫ 2π
0
dθ = 2πiR2 . (1.14)
1.3.3 Teorema di Cauchy
∆ Teorema 8: sia f(z) una funzione regolare all’interno di un dominio aperto Esemplicemente connesso. Il teorema di Cauchy asserisce che, per ogni curva γ chiusa,regolare a tratti, tutta contenuta in E,
∮γ
f(z)dz = 0 . (1.15)
L’integrale di una funzione analitica e nullo lungo una qualsiasi curva chiusa omo-topicamente equivalente a un punto nel dominio di analiticita della funzione.
24
Figura 1.7: Curva chiusa che non contiene l’origine
DimostrazioneDal teorema (1.10) si ha che
∮γ
f(z)dz =
∮γ
[u(x, y)dx− v(x, y)dy] + i
∮γ
[v(x, y)dx+ u(x, y)dy]
e, per il lemma di Gauss (1.7) (si ponga P = u, Q = −v nel primo integrale e Q = u,P = v nel secondo)∮
γ
f(z)dz =
∫∫S
[−∂v(x, y)
∂x− ∂u(x, y)
∂y
]dxdy
+ i
∫∫S
[∂u(x, y)
∂x− ∂v(x, y)
∂y
]dxdy ,
dove S ⊂ E e la regione interna a γ. Poiche f(z) e analitica valgono le condizioni diCauchy-Riemann u′x = v′y e u′y = −v′x. Pertanto∮
γ
f(z)dz = 0 .
[q.e.d.]In altre parole,
∮γf(z)dz = 0 se γ e contenuta nel dominio E di analiticita di f(z)
ed e deformabile con continuita in un punto senza uscire da E.In modo piu conciso si puo anche dire che la forma differenziale f(z)dz = u(x, y)dx−
v(x, y)dy + i[v(x, y)dx+ u(x, y)dy] e chiusa in un aperto E: d(f(z)dz) = 0, se valgonole condizioni di CR; essa diventa esatta se il dominio e semplicemente connesso.
25
Figura 1.8: Curve aperte che uniscono i punti A e B in un dominio semplicementeconnesso
Corollario al teorema di Cauchy
∆ Teorema 9: siano γ1 e γ2 due curve semplici e regolari a tratti che congiungono ipunti A e B e γ = γ1⊕ (−γ2) sia tutta contenuta nel dominio semplicemente connessodi analiticita di f(z) (Fig. 1.8). Allora∫ B
A(γ1)
f(z)dz =
∫ B
A(γ2)
f(z)dz
ovvero: l’integrale di una funzione analitica non dipende dal cammino di integrazionepurche i cammini siano deformabili con continuita l’uno nell’altro senza incontraresingolarita.Dimostrazione
∫ B
A(γ1)
f(z)dz −∫ B
A(γ2)
f(z)dz =
(∫ B
A(γ1)
+
∫ A
B(γ2)
)f(z)dz =
∮γ
f(z)dz = 0
per il teorema di Cauchy (1.15).[q.e.d.]
Esempio: consideriamo l’integrale
I =
∮γ
dz
z.
La funzione 1/z e analitica in C− 0. Se la regione interna alla curva γ non contienel’origine (Fig. 1.7) l’integrale e nullo per il teorema di Cauchy.
Se invece l’origine e interna a γ, per esempio γ e una circonferenza C di raggio R cen-trata in O (Fig. 1.9) l’integrale e diverso da zero. Calcoliamone il valore. L’equazione
26
Figura 1.9: Curva chiusa che contiene l’origine
della curva C in coordinate polari e
z = z(ϕ) = Reiϕ = R(cosϕ+ i sinϕ)
dz
dϕ= R(− sinϕ+ i cosϕ) = iz 0 ≤ ϕ ≤ 2π
I =
∮C
dz
z=
∫ 2π
0
1
z(ϕ)z′(ϕ)dϕ =
∫ 2π
0
iReiϕ
Reiϕdϕ = 2πi
N.B. L’integrale non dipende da R.Ne segue che, se γ1 e γ2 sono due semicirconferenze centrate nell’origine (Fig. 1.10)
gli integrali
I1 =
∫ B
A(γ1)
dz
z
e
I2 =
∫ B
A(γ2)
dz
z
non devono necessariamente essere uguali poiche non si puo applicare il Corollario delteorema di Cauchy. Infatti essi valgono
I1 = i
∫ π
0
dϕ = iπ , I2 = i
∫ −π0
dϕ = −iπ .
27
Figura 1.10: Semicirconferenze centrate nell’origine
N.B. I1 6= I2 perche deformando γ1 in γ2 si attraversa una singolarita (z = 0).In modo analogo si puo calcolare il seguente integrale
I =
∮C
dz
z − aa ∈ C (1.16)
dove la curva C e la circonferenza di raggio R centrata in a (Fig. 1.11).Infatti, ponendo
z = z(ϕ) = a+Reiϕ
si ha
z′(ϕ) = iReiϕ = i(z − a)
e quindi
I =
∫ 2π
0
1
z(ϕ)− az′(ϕ)dϕ =
∫ 2π
0
iReiϕ
Reiϕdϕ = 2πi .
∆ Teorema 10: Teorema di Cauchy generalizzato Sia f(z) una funzione ana-litica in un dominio D qualsiasi e siano γ1 e γ2 due curve chiuse omotopicamenteequivalenti in D. In queste ipotesi:∮
γ1
f(z)dz =
∮γ2
f(z)dz .
28
Figura 1.11: Circonferenza centrata nel punto a
Dimostrazione: Per dimostrare il teorema consideriamo 3 casi:a) D semplicemente connessob) D generico, γ1 e γ2 non si intersechinoc) D generico, γ1 e γ2 si intersechino
Caso a) In questo caso la dimostrazione e banale perche, per il teorema di Cauchy,∮γ1
f(z)dz =
∮γ2
f(z)dz = 0 .
Caso b) Effettuiamo due tagli AB e CD (Fig. 1.12). Poiche γ1 e γ2 sono O.E. in D, laregione compresa tra le due curve appartiene tutta a D. Si ha allora (per il corollarioal teorema di Cauchy):
∫ D
A(E)
=
∫ B
A
+
∫ C
B(F )
+
∫ D
C∫ A
D(G)
=
∫ C
D
+
∫ B
C(H)
+
∫ A
B
.
Sommando membro a membro si ottiene∮γ1
f(z)dz =
∮γ2
f(z)dz
poiche ∫ B
A
= −∫ A
B
e
∫ C
D
= −∫ D
C
.
29
Figura 1.12: Curve γ1 e γ2 che non si intersecano in un dominio D
Caso c) In questo caso si ha (vedi Fig. 1.13):
Figura 1.13: Curve γ1 e γ2 che si intersecano in un dominio D
∫ B
A(E)
=
∫ B
A(F )∫ A
B(G)
=
∫ A
B(H)
.
Sommando membro a membro si ottiene∮γ1
f(z)dz =
∮γ2
f(z)dz .
30
N.B. Non e detto che la regione (AGBFA) appartenga a D (γ1 e γ2 sono O.E. inD).
[q.e.d.]
• Corollario: l’integrale (1.16) vale 2πi per ogni curva chiusa γ che circondi ilpunto a:
I =
∮γ
dz
z − a= 2πi, a ∈ C (1.17)
Inoltre, sempre per ogni curva chiusa γ che circondi il punto a,∮γ
dz
(z − a)n= 2πi δn,1 , n ∈ Z (1.18)
dove δnl e la delta di Kronecker definita da
δnl =
1 se n = l0 se n 6= l
n, l ∈ Z .
La (1.18) si dimostra osservando che il cammino γ puo essere deformato in una circon-ferenza C di raggio R e centro a e ponendo
z − a ≡ Reiθ ⇒ dz = iReiθdθ ; (1.19)
ne segue immediatamente, per n 6= 1:∮γ
dz
(z − a)n=
∫ 2π
0
iReiθ
Rneinθdθ =
i
Rn−1
∫ 2π
0
ei(1−n)θdθ =i
Rn−1
ei(1−n)θ
i(1− n)
∣∣∣∣2π0
= 0,
mentre per n = 1 vale la eq.(1.17)
Abbiamo visto che l’integrale di f(z) tra i punti A e B non dipende dalla curvad’integrazione se essa rimane all’interno del dominio di analticita D di f e se D esemplicemente connesso. In questi casi possiamo allora definire una primitiva di f(z)attraverso l’integrale
F (z) =
∫ z
z0
f(z′) dz′ . (1.20)
Si dimostra che F (z) e unica e analitica in D e che F ′(z) = f(z). Di conseguenzavalgono anche ∫ b
a
f(z) dz = F (b)− F (a) (1.21)
31
e le usuali regole di calcolo integrale. Per esempio l’integrale indefinito di z e z2/2,quello di ez e ez, quello di 1/z e ln z. Naturalmente in quest’ultimo caso il dominiodi analiticita C− 0 non e semplicemente connesso, e l’integrale su ogni curva chiusache contiene l’origine vale 2πi. Tuttavia la (1.21) vale ancora, in virtu della polidromiadel logaritmo (vedi sezione 1.8): dopo un giro attorno all’origine il logaritmo risul-ta incrementato di 2πi e si dice che siamo passati su un altro ramo della funzionelogaritmo.
La (1.18) ci dice che talvolta l’integrale su un cammino chiuso si annulla anche sequesto racchiude una singolarita; questo accade per n > 1. L’annullarsi di
∮γf(z)dz
infatti non garantisce che la funzione sia analitica all’interno di γ. Il teorema diMorera ci assicura invece che se f(z) e continua e
∮γf(z) dz = 0, ∀γ chiusa in D
connesso, allora f(z) e analitica in D.
1.3.4 Rappresentazione integrale di Cauchy
∆ Teorema 11: sia f(z) una funzione analitica in un dominio E aperto semplice-mente connesso e γ una curva di Jordan contenuta in E. Sia S la regione internaa γ. Sotto queste ipotesi vale la rappresentazione integrale di Cauchy per lafunzione f(z):
f(z) =1
2πi
∮γ
f(z′)
z′ − zdz′ ∀z ∈ S , γ = ∂S . (1.22)
N.B. Perche valga la (1.22) e essenziale che z appartenga a S, cioe sia interna a γ.Infatti,
1) se z ∈ γ la funzione integranda ha una singolarita sul cammino di integrazione equindi l’integrale non esiste;
2) se z e esterno a γ, la funzione integranda f(z′)/(z′−z) e analitica in S e l’integralee nullo per il teorema di Cauchy (1.15) ;
3) se z e interno a γ, la funzione integranda f(z′)/(z′−z) in generale non e analiticain S, ma puo avere una singolarita in z′ = z.
DimostrazioneConsideriamo il seguente integrale
I(z) =
∮γ
f(z′)− f(z)
z′ − zdz′ .
32
Per il teorema generalizzato di Cauchy γ puo essere deformata in una circonferenza Ccentrata in z di raggio arbitrario r, interna a S:
I(z) =
∮C
f(z′)− f(z)
z′ − zdz′ .
Per la disuguaglianza di Darboux (1.11),
|I(z)| ≤ maxz′∈C
∣∣∣∣f(z′)− f(z)
z′ − z
∣∣∣∣ 2πr = 2πmaxz′∈C|f(z′)− f(z)| ,
dove si e usato |z′−z| = r, ∀z′ ∈ C. Poiche la funzione f(z) e continua in S, il secondomembro puo essere reso arbitrariamente piccolo. Infatti, dalla definizione di continuitadi una funzione, limz′→z f(z′) = f(z), segue
∀ε > 0 ∃δ / |f(z′)− f(z)| < ε ∀z′ ∈ Iδ(z) .
Basta allora scegliere r < δ per dimostrare che ∀ε > 0 si ha
|I(z)| ≤ 2πε.
Ma l’unico numero non negativo minore o uguale a un numero positivo arbitrario e lozero, quindi
I(z) = 0,
ossia, utilizzando l’integrale (1.17),∮γ
f(z′)
z′ − zdz′ =
∮γ
f(z)
z′ − zdz′ = f(z) 2πi ,
da cui la (1.22).[q.e.d.]
La rappresentazione integrale di Cauchy permette quindi di conoscere i valori diuna funzione analitica in tutta la regione interna ad una curva chiusa γ una volta notii suoi valori nei punti appartenenti alla curva γ.
Rappresentazione integrale di Cauchy per le derivate
∆ Teorema 12: sia f(z) una funzione analitica in un dominio E aperto semplice-mente connesso e γ una curva di Jordan contenuta in E. Sia S la regione internaa γ. In queste ipotesi vale la rappresentazione integrale di Cauchy (1.22); derivandoripetutamente sotto il segno di integrale e utilizzando l’identita:
dn
dzn1
z′ − z=
n!
(z′ − z)n+1,
33
si ottiene (in modo non rigoroso) la rappresentazione integrale di Cauchy per le derivatedella funzione f(z):
dnf(z)
dzn=
n!
2πi
∮γ
f(z′)
(z′ − z)n+1dz′ ∀z ∈ S . (1.23)
Un’importantissima conseguenza della (1.23) e che una funzione analitica e in-finitamente derivabile, ovviamente con derivate continue. Vale la pena sottolineareche nulla di simile accade per le funzioni reali di variabili reali: una funzione f(x) dif-ferenziabile non e necessariamente infinitamente differenziabile (si pensi a f(x) = x|x|,con derivata 2|x| che non e differenziabile nell’origine).
34
1.4 Serie in campo complesso
1.4.1 Serie di potenze
Una serie di potenze e una serie del tipo
∞∑k=0
ak(z − z0)k .
Per le serie di potenze in campo complesso valgono teoremi analoghi a quelli validi incampo reale:
• La regione di convergenza di una serie di potenze in C e un cerchio (centratoin z0), il cui raggio si dice raggio di convergenza della serie. All’interno di talecerchio la serie e uniformemente e assolutamente convergente. All’esterno nonconverge mai. Sulla circonferenza puo convergere o no, a seconda dei casi, e c’esempre almeno un punto di non convergenza.
• Teorema di Weierstrass: una serie di potenze e, per ogni z interno al cerchiodi convergenza, derivabile termine a termine n volte (con n arbitrario):
f(z) =∞∑k=0
ak(z − z0)k ⇒ dnf(z)
dzn=∞∑k=0
akdn(z − z0)k
dzn,
quindi essa e analitica all’interno del cerchio di convergenza.
• Teorema di Cauchy-Hadamard: il raggio di convergenza ρ della serie di po-tenze
∑∞k=0 ak(z − z0)k coincide con l’inverso del massimo fra i punti di accumu-
lazione della successione |ak|1/k, ovvero, se il limite esiste, con:
ρ =
limk→∞|ak|1/k
−1
. (1.24)
Si puo mostrare che la (1.24) e equivalente alla piu comoda:
ρ = limn→∞
∣∣∣∣ anan+1
∣∣∣∣ , (1.25)
sempre che il limite, finito o infinito, esista.
35
1.4.2 Serie di Taylor
Lo sviluppo in serie di Taylor e uno sviluppo in serie di potenze di una funzione nel-l’intorno di un suo punto di analiticita. Sia f(z) una funzione analitica in un dominioD e sia C un intorno circolare, tutto contenuto in D, di un punto regolare z0 (si vedaFig. 1.14). E facile dimostrare che la funzione f(z), infinitamente derivabile 2 , puoessere rappresentata, per ogni z ∈ C, dalla serie di Taylor:
f(z) =∞∑k=0
ak(z − z0)k (1.26)
con
ak =1
k!
[dkf(z)
dzk
]z=z0
=1
2πi
∮c
f(z)
(z − z0)k+1dz , (1.27)
dove per l’ultimo passaggio si e usata la rappresentazione di Cauchy (1.23) delle derivatedi una funzione analitica.Dimostrazione: partendo dalla rappresentazione integrale di Cauchy
f(z) =1
2πi
∮c
f(z′)
z′ − zdz′ ,
usando (vedi Fig. 1.14)
1
z′ − z=
1
z′ − z0 − (z − z0)=
1
z′ − z0
∞∑n=0
(z − z0
z′ − z0
)n(1.28)
e integrando termine a termine la serie (uniformemente convergente, poiche |z − z0| <|z′ − z0|, quindi
∣∣∣ z−z0z′−z0
∣∣∣ < 1) ) si ottiene
f(z) =∞∑n=0
(z − z0)n1
2πi
∮c
f(z′)
(z′ − z0)n+1dz′ , (1.29)
2Nel campo reale l’infinita derivabilita non e sufficiente per garantire che una funzione siasviluppabile in serie di Taylor; nel campo complesso basta invece la analiticita.
36
Figura 1.14: Intorno circolare del punto z0 nel dominio D
che coincide con la (1.26).[q.e.d]
Poiche il cerchio C deve essere tutto interno al dominio di analiticita di f(z), il suoraggio r deve essere minore della distanza di z0 dal piu vicino punto singolare di f(z):il cerchio C e certamente contenuto nel cerchio di convergenza della serie di Taylor(1.26).
E molto importante sottolineare che esiste una completa equivalenza tra analiticitadi una funzione in un punto e sua sviluppabilita in serie di Taylor in un suo intorno:
f(z) analitica in z0 ⇐⇒ ∃I(z0) / ∀z ∈ I(z0) , f(z) =∞∑k=0
ak(z − z0)k .
Esempio: la serie geometrica∑∞
k=0 zk converge uniformemente a
f(z) =1
1− z
nella regione |z| < 1. Il punto z = 1 e infatti un punto singolare di f(z).
Talvolta conosciamo una funzione solo attraverso una serie di potenze, che convergenel cerchio S1, ma potrebbe avere un dominio di analiticita piu ampio. L’estensionetramite serie di Taylor al di fuori dell’originale dominio S1 viene detta continuazioneanalitica (alla Weierstrass) della funzione di partenza. Nel caso in Fig.1.15 abbiamouna serie di potenze attorno all’origine con raggio di convergenza determinato dalladistanza dalla singolarita z1. L’espansione di Taylor attorno a z2 ∈ S1 converge nelcerchio S2, che si estende al di la del dominio S1 (abbiamo qui assunto che z1 sia la
37
Figura 1.15: Continuazione analitica
singolarita piu vicina a z2, ma potrebbe non essere cosı). In S1 ∩ S2 le due serie sonorappresentazioni diverse della stessa funzione e coincidono. Si dimostra poi che duefunzioni analitiche che coincidono su un insieme continuo di punti, coincidono ovunquesiano entrambe ben definite e rappresentano la stessa funzione. Il procedimento puoessere ripetuto un numero arbitrario di volte, anche in presenza di altre singolarita, finoa raggiungere qualsiasi punto del dominio di analiticita connesso a quello di partenza.
Nell’esempio in figura la prima serie e f1(z) =∑∞
n=0(−z)n attorno all’origine conraggio di convergenza 1. Questa serie puo essere derivata in z2 interno a S1 ottenendoun nuovo sviluppo di Taylor attorno a z2 che converge in S2. Trattandosi di seriegeometriche, sappiamo che in entrambi i casi la somma e f(z) = 1/(1 + z), analiticain C − 0. Si puo pensare a quest’ultima rappresentazione come una continuazioneanalitica delle prime due serie.
Riassumendo, la conoscenza di una funzione analitica e delle sue derivate in ununico punto di analiticita permette, in linea di principio, di ricostruire la funzione intutto il suo dominio di analiticita.
1.4.3 Zeri
Un punto regolare z = z0 e uno zero di ordine n della funzione f(z) se:
38
1) La funzione si annulla in z0:
f(z0) = 0
2) Le prime n− 1 derivate si annullano in z0:
dkf(z)
dzk
∣∣∣∣z=z0
= 0 , k = 1, 2, ... , n− 1
3) La derivata n-esima e diversa da zero in z0:
dnf(z)
dzn
∣∣∣∣z=z0
6= 0 .
Per esempio la funzione f(z) = z2 ha uno zero di ordine 2 in z = 0. Infatti:
f(0) = 0 , f ′(0) = 0 , f ′′(0) = 2 6= 0 .
Uno zero e un punto regolare di f(z), che sara quindi rappresentabile tramite unosviluppo in serie di Taylor intorno a quel punto:
f(z) =∞∑k=0
ak(z − z0)k . (1.30)
Se z0 e uno zero di ordine n di f(z), si ha, dalla (1.27), che
a1 = a2 = ... = an−1 = 0 e an 6= 0 .
Quindi la (1.30) diventa
f(z) =∞∑k=n
ak(z − z0)k .
Cambiando l’indice nella sommatoria, k → k′ = k − n, si ottiene
f(z) =∞∑k′=0
ak′+n(z − z0)k′+n
= (z − z0)n∞∑k′=0
ak′+n(z − z0)k′.
La funzione
g(z) =∞∑k=0
ak+n(z − z0)k
39
e una funzione analitica in z0, in quanto sviluppabile in serie di Taylor intorno al puntoz = z0. Inoltre g(z) e non nulla in z0:
g(z0) = an 6= 0 .
Pertanto una funzione f(z) che abbia in z0 uno zero di ordine n puo sempre esserescritta nella forma
f(z) = (z − z0)ng(z) , (1.31)
con g(z) analitica e non nulla in z = z0.
1.4.4 Serie di Laurent
Fra le varie possibili singolarita di una funzione analitica giocano un ruolo partico-larmente importante le singolarita isolate: un punto singolare z0 si dice singolaritaisolata della funzione f(z) se esiste un suo intorno privato di z0 in cui f(z) e analitica.
Nell’intorno di una singolarita isolata e necessario considerare anche serie a potenzenegative; per esempio, per ogni z 6= 0 vale:
e1/z =∞∑k=0
z−k
k!, (1.32)
come si vede subito ponendo w = 1/z; evidentemente l’origine e una singolarita isolataper la funzione e1/z.
Lo sviluppo in serie di Laurent e uno sviluppo in serie di potenze positive e negativedi una funzione f(z) in un intorno bucato I(z0) di un suo punto singolare isolato z0
(si veda Fig. 1.16); Il teorema di Laurent dice che se esiste un I(z0) in cui f(z) eanalitica, per ogni z ∈ I(z0), si puo scrivere3:
f(z) =∞∑
k=−∞
dk(z − z0)k. (1.33)
Ricordando la (1.18) e immediato calcolare i coefficienti dk; basta dividere la (1.33)per (z − z0)n+1 e integrare su una curva chiusa γ interna a I(z0) e che circondi z0 perottenere:
3La dimostrazione e analoga a quella dello sviluppo in serie di Taylor, con la differenza che la curvaγ da scegliere per la rappresentazione integrale di Cauchy di f(z) e composta dalle due circonferenze(percorse in verso opposto) che delimitano una corona circolare centrata in z0 e contenuta in I(z0).
40
Figura 1.16: Curva γ in un intorno bucato del punto z0
dk =1
2πi
∮γ
f(z)
(z − z0)k+1dz , (1.34)
N.B. Anche per k > 0, il coefficiente dk in generale non e la derivata dkf(z)/dzk
perche f(z) non e analitica nel punto z0.Notare inoltre che lo sviluppo in serie di Taylor (1.26) si ottiene come caso partico-
lare dello sviluppo in serie di Laurent (1.33) se invece z0 e un punto regolare di f(z).Infatti, se z0 e regolare, per il teorema di Cauchy dk = 0 per tutti i k ≤ −1 e la (1.33)si riduce alla (1.26).
1.4.5 Singolarita isolate: poli e singolarita essenziali
Il punto singolare isolato z0 si definisce polo della funzione f(z) se lo sviluppo in seriedi Laurent intorno a z0 possiede un numero finito n di potenze negative; un polo sidice di ordine n se:
1) I coefficienti ..., d−n−2, d−n−1 si annullano:
d−k = 0 , ∀k > n
2) Il coefficiente d−n e diverso da zero:
d−n 6= 0 .
41
Un polo di ordine 1 si dice polo semplice, di ordine 2 polo doppio e cosı via.Nell’intorno di un polo di ordine n lo sviluppo (1.33) si riduce quindi a
f(z) =∞∑
k=−n
dk(z − z0)k (1.35)
e, mediante il cambiamento di indice k → k′ = k + n, a
f(z) =∞∑k′=0
dk′−n(z − z0)k′−n
= (z − z0)−n∞∑k=0
dk−n(z − z0)k .
Definiamo ora
g(z) =∞∑k=0
dk−n(z − z0)k .
La funzione g(z) e data da uno sviluppo in serie di Taylor intorno a z0: essa e pertantoanalitica in z0. Inoltre g(z) e diversa da zero in z0:
g(z0) = d−n 6= 0 .
Pertanto se z0 e un polo di ordine n della funzione f(z), questa puo essere espressacome
f(z) =g(z)
(z − z0)n, (1.36)
con g(z) analitica e non nulla in z = z0. Dalle (1.36) e (1.31) segue che il punto z = z0
e uno zero di ordine n per la funzione 1/f(z):
1
f(z)= h(z)(z − z0)n ,
dove h(z) = 1/g(z) e di nuovo una funzione analitica e non nulla in z0.
Singolarita essenziali
Il punto z = z0 si definisce invece singolarita essenziale isolata della funzione f(z)se e un punto singolare isolato e lo sviluppo in serie di Laurent intorno a z0 possiedeun numero infinito di potenze negative.
Come si vede dallo sviluppo in serie di Laurent (1.32), un esempio di singolaritaessenziale isolata e l’origine per la funzione e1/z, e analogamente per le funzioni sin(1/z),cos(1/z) e simili.
42
Dalle definizioni di polo e singolarita essenziale isolata segue che un polo di ordinen puo essere rimosso moltiplicando la f(z) per (z− z0)n, mentre questo non e possibileper una singolarita essenziale.
Un’altra importante differenza fra poli e singolarita essenziali e la seguente: e evi-dente dalla (1.36) che limz→z0 f(z) = ∞ se il punto z0 e un polo di f(z); se invece z0
e una singolarita essenziale il limite non esiste, perche nell’intorno di z0 la funzioneoscilla forsennatamente: per farsene un’idea, basta pensare all’andamento nell’intornodell’origine della funzione sin 1
zcon z reale o immaginario puro.
Piu in generale, si puo dimostrare il Teorema di Weierstrass per le singolaritaessenziali isolate: se z = z0 e una singolarita essenziale isolata della funzione f(z),allora per ogni ε e δ piccoli a piacere e per ogni numero complesso c ∈ C, esiste unvalore di z ∈ Iδ(z0) tale che
|f(z)− c| < ε .
In altre parole, il teorema di Weierstrass afferma che in qualunque intorno di unasingolarita essenziale isolata, la funzione f(z) approssima indefinitamente qualunquevalore prefissato c, senza necessariamente raggiungerlo.
1.5 Residui
Sia f(z) una funzione analitica in un dominio D, z0 un punto singolare isolato, γ unacurva di Jordan, tutta contenuta in D e contenente al suo interno il punto z0, ma nonaltre singolarita (questo e possibile, perche z0 e isolato). Si definisce residuo dellafunzione f(z) nel punto z = z0 la quantita
Resf(z)z=z0 ≡1
2πi
∮γ
f(z)dz . (1.37)
Dalla eq.(1.34) che definisce i coefficienti di Laurent, calcolata per k = −1, si vedesubito che vale:
Resf(z)z=z0 = d−1 . (1.38)
Quindi il residuo di una funzione in un punto singolare isolato z0 e il coefficiente dellapotenza (−1)− esima del suo sviluppo in serie di Laurent intorno a z0.
43
Esempio
f(z) =1
z⇒ Resf(z)z=0 =
1
2πi
∮γ
dz
z= 1 ,
dove γ e una curva che circonda l’origine.Ovviamente, se z0 e un punto regolare di f(z) e cerchiamo ugualmente di calcolare
il residuo, troviamo zero per il teorema di Cauchy. Non vale pero il viceversa: unafunzione puo avere residuo nullo in un punto ed ivi essere singolare, se d−1 = 0 ma esistequalche d−n 6= 0 per n > 1; un esempio caratteristico e f(z) = 1/z2 che nell’origine haun polo doppio, con residuo nullo.
1.5.1 Teorema dei residui
∆ Teorema 13: sia f(z) una funzione analitica in un dominio D, eccetto che in unnumero finito di singolarita isolate. Sia γ una curva di Jordan contenuta in D, nonpassante per alcun punto singolare di f(z). In queste ipotesi vale il teorema dei residui:
∮γ
f(z)dz = 2πin∑k=1
Resf(z)z=zk , (1.39)
dove z1, z2, ..., zn sono le singolarita di f(z) interne a γ.
DimostrazioneIl teorema dei residui si dimostra facilmente per induzione completa. Infatti la
(1.39) e vera per n=1 per la definizione di residuo. Se le singolarita sono n+1 isoliamola (n+ 1)-esima come in Fig. 1.17.
Usando la tesi (1.39) per n singolarita si ottiene∮γ
f(z)dz =
∮γ1
f(z)dz +
∮γ2
f(z)dz
= 2πi Resf(z)z=zn+1+ 2πi
n∑k=1
Resf(z)z=zk
= 2πin+1∑k=1
Resf(z)z=zk . (1.40)
Quindi la (1.39) e vera per n+1 singolarita. [q.e.d.]E utile osservare che il numero di singolarita interne alla curva γ deve essere finito;
se fosse infinito, all’interno di γ ci sarebbe un punto di accumulazione di singolarita equindi una singolarita non isolata, per cui non ha senso definire il residuo.
44
Figura 1.17: Curva γ che contiene n+ 1 singolarita della funzione
1.5.2 Calcolo dei residui
Vediamo ora come si calcola esplicitamente il residuo di una funzione in un suo puntosingolare isolato. Se z0 e una singolarita essenziale non c’e altro modo4 che usare leequazioni (1.37) e (1.38).
Se invece z = z0 e un polo di ordine n di f(z) c’e un modo alternativo che richiedesolo di calcolare derivate. Infatti in un intorno di z0 si puo scrivere:
f(z) =g(z)
(z − z0)n
con g(z) analitica e non nulla in z0. Il residuo e, dalla (1.37),
Resf(z)z=z0 =1
2πi
∮γ
g(z)
(z − z0)ndz .
Ora, dalla rappresentazione di Cauchy per le derivate di f(z) (1.23)dkg(z)
dzk
z=z0
=k!
2πi
∮γ
g(z)
(z − z0)k+1dz ,
si ottiene, ponendo k = n− 1,
1
2πi
∮γ
g(z)
(z − z0)ndz =
1
(n− 1)!
dn−1g(z)
dzn−1
z=z0
4locale, perche vedremo piu avanti che il discorso puo essere diverso se si conosce il comportamentoglobale della funzione in tutto il piano complesso, punto all’infinito compreso.
45
e quindi, poiche
g(z) = (z − z0)nf(z) ,
Resf(z)z=z0 =1
(n− 1)!limz→z0
dn−1
dzn−1[(z − z0)nf(z)]
. (1.41)
Nel caso particolare in cui z0 sia un polo semplice (n = 1), si ha
Resf(z)z=z0 = limz→z0
[(z − z0)f(z)] .
Ricordando lo sviluppo in serie di Laurent nel caso di un polo semplice (1.35)
f(z) =∞∑
k=−1
dk(z − z0)k
=d−1
z − z0
+ d0 + d1(z − z0) + ... ,
si ottiene
Resf(z)z=z0 = limz→z0
d−1 +
∞∑k=0
dk(z − z0)k+1
e quindi
Resf(z)z=z0 = d−1 , (1.42)
a conferma di quanto visto in generale in eq.(1.38).
Esempio: la funzione f(z) = z sin z/(z − π)3 ha un polo doppio in z = π, infatti lasua serie di Laurent nell’intorno di z = π e
f(z) =z sin z
(z − π)3= −
z∑∞
k=0(−1)k (z−π)2k+1
(2k+1)!
(z − π)3= (π + z − π)
(1
(z − π)2− 1
6+ . . .
)=
π2
(z − π)2− 1
z − π− π
6+ . . .
da cui segue d−1 = −1, che coincide col residuo sul polo secondo la (1.38). Alter-nativamente definiamo h(z) = (z − π)3f(z) e applichiamo la (1.41). Il residuo e
1
2h′′(z)|z=π =
1
2(2 cos z − z sin z)|z=π = −1 .
46
Si sara notato che abbiamo applicato la (1.41) come se la funzione avesse un polo triplo.Infatti la derivazione della (1.41) e valida anche se n e maggiore dell’ordine del polo.Nel caso in questione, il calcolo del residuo si puo fare usando n = 3 o n = 2, ma e piudiretto con n = 3.
1.6 Calcolo di integrali definiti mediante il teorema
dei residui
Il teorema dei residui (1.39) e di grande utilita perche permette non solo di calcolareintegrali naturalmente definiti su curve chiuse nel piano complesso, ma anche ampieclassi di integrali definiti sull’asse reale, trasformandoli in integrali in campo complesso.
1.6.1 Integrali trigonometrici
Una prima classe da considerare e la seguente5:∫ 2π
0
f(cos θ, sin θ)dθ . (1.43)
Per calcolare integrali di questo tipoa) si usano le formule di Eulero per esprimere sin θ e cos θ in funzione di eiθ (senza
usare la complessa coniugazione!) e si effettua la sostituzione
z = eiθ ⇒ dθ = −idzz
; (1.44)
b) ci si riconduce ad un integrale nel piano z lungo una circonferenza di raggiounitario;
c) si calcola l’integrale con il teorema dei residui.
1.6.2 Esempi
Esempio 1
I =
∫ 2π
0
dθ
5 + 3 cos θ.
Con la sostituzione (1.44) si ha:
cos θ =eiθ + e−iθ
2=
1
2
(z +
1
z
).
5Naturalmente l’intervallo d’integrazione potrebbe essere anche (−π, π) o qualsiasi altro intervallodi ampiezza 2π.
47
Sostituendo in I:
I = −i∮C
dz
z
1
5 + 3/2 (z + 1/z)
= −2i
3
∮C
dz
z2 + 103z + 1
dove C e una circonferenza di raggio unitario centrata nell’origine. Studiamo ora lesingolarita della funzione integranda:
f(z) =1
z2 + 103z + 1
.
z2 +10
3z + 1 = 0 ⇒ z1 = −1
3, z2 = −3
⇒ z2 +10
3z + 1 =
(z +
1
3
)(z + 3) .
La funzione f(z) ha due poli semplici in z = −1/3 (interno alla curva C e z = −3(esterno alla curva C). Pertanto
I = −2i
32πi
Res
1
z2 + 103z + 1
z=−1/3
=4π
3lim
z→−1/3
z + 1/3(z + 1
3
)(z + 3)
=π
2.
Esempio 2
I =
∫ 2π
0
dθ
1− 2p cos θ + p2, p ∈ C
Poniamo
z = eiθ ⇒ dθ = −idzz
Allora (vedi esempio precedente)
cos θ =1
2
(z +
1
z
).
48
Sostituendo in I:
I = −i∮C
dz
z
1
1− p (z + 1/z) + p2
= i
∮C
dz
pz2 − (1 + p2)z + p
dove C e una circonferenza di raggio unitario centrata nell’origine. La funzione inte-granda
f(z) =1
pz2 − (1 + p2)z + p
ha due poli semplici:
pz2 − (1 + p2)z + p = 0 −→ z1 = 1/p , z2 = p
−→ pz2 − (1 + p2)z + p = p (z − 1/p) (z − p)
e quindi
I =i
p
∮C
dz
(z − 1/p) (z − p).
Dove sono situati i poli di f(z)?
se |p| < 1 −→ z = p interno a C , z = 1/p esterno a C
se |p| > 1 −→ z = p esterno a C , z = 1/p interno a C .
Ne segue che, se |p| < 1,
I =i
p2πi
Res
1
(z − p)(z − 1/p)
z=p
= −2π
plimz→p
z − p
(z − p)(z − 1/p)
=
2π
1− p2
e, se |p| > 1,
I =i
p2πi
Res
1
(z − p)(z − 1/p)
z=1/p
= −2π
plimz→1/p
z − 1/p
(z − p)(z − 1/p)
=
2π
p2 − 1.
49
Se |p| = 1, l’integrando ha una singolarita sul cammino di integrazione e I non edefinito. Si noti che l’esempio 1 e un caso particolare dell’esempio 2.
1.6.3 Lemma di Jordan
Molto spesso possono essere calcolati con il metodo dei residui anche integrali estesi atutto l’asse reale:
I =
∫ ∞−∞
g(x) dx , (1.45)
dove supporremo che g(x) non abbia singolarita su R. In tal caso la strategia da seguiree di considerare accanto all’integrale I l’integrale:
J(R) =
∫ R
−Rg(x)dx+
∫γR
g(z)dz, (1.46)
dove γR e una semicirconferenza, centrata nell’origine e di raggio R, situata nel semi-piano Im z > 0 o Im z < 0 a seconda dei casi (vedi Fig. 1.18).
Figura 1.18: Semicirconferenze di raggio r nel semipiano inferiore (a) e superiore (b)
L’integrale J(R) e esteso a una curva chiusa e si puo quindi calcolare con il metododei residui; dalla conoscenza di J(R) e poi immediato calcolare l’integrale I se lafunzione g(z) e tale che:
limR→∞
∫γR
g(z)dz = 0 . (1.47)
50
Cio succede nei casi seguenti6:
1) La funzione g(z) tende a zero piu velocemente di 1/|z| per z →∞:
g(z) = o
(1
|z|
), z →∞ . (1.50)
In questo caso la semicirconferenza γR puo giacere sia nel semipiano Im z > 0 sianel semipiano Im z < 0.
Dimostrazione.
Passando a coordinate polari (e supponendo di considerare la semicirconferenzanel semipiano superiore)∫
γR
g(z)dz = iR
∫ π
0
g(Reiθ
)eiθdθ
e applicando la disuguaglianza (1.8) si ottiene∣∣∣∣∫γR
g(z)dz
∣∣∣∣ ≤ R
∫ π
0
∣∣g (Reiθ)∣∣ dθda cui, sfruttando l’ipotesi
limR→∞
R∣∣g (Reiθ)∣∣ = 0 ,
si ottiene infine la (1.47). (Notare che non si e fatto altro che ridimostrare ladisuguaglianza di Darboux (1.11) in questo caso particolare.)
[q.e.d.]
2) La funzione integranda g(z) e della forma eiαzf(z), con α > 0, dove f(z) e unafunzione che tende uniformemente (rispetto all’argomento di z) a zero quando |z|
6In realta dalla (1.47) segue che
limR→∞
J(R) = limR→∞
∫ R
−Rg(x)dx, (1.48)
che coincide con
I = limR1→∞,R2→∞
∫ R2
−R1
g(x)dx, (1.49)
solo nel caso che quest’ultimo integrale esista; se cio non succede, ma esiste il limite (1.48), alloraquesto si chiama valore principale dell’integrale (1.45), si veda anche Sez. 1.6.5
51
tende a infinito e l’argomento di z e compreso fra 0 e π (cioe nel semipiano Imz ≥ 0), ovvero 7
f(z) = o(1), z →∞, 0 ≤ arg z ≤ π . (1.51)
In tal caso, se si sceglie per γR una semicirconferenza nel semipiano superiore(Im z > 0), centrata nell’origine e di raggio R, e facile dimostrare che vale:
limR→∞
∫γR
eiαzf(z)dz = 0 . (1.52)
3) Con la sostituzione z → −z, si vede subito che la (1.52) vale anche per α < 0,purche valga la (1.51) con π ≤ arg z ≤ 2π e la semicirconferenza γR stia nelsemipiano inferiore.
4) Con la sostituzione z → −iz si vede subito che vale anche
limR→∞
∫γR
eαzf(z) dz = 0 , α > 0 (1.53)
purche valga la (1.51) con π2≤ arg z ≤ 3π
2e la semicirconferenza γR, centrata
in qualsiasi punto x0 dell’asse reale, stia a sinistra della parallela dell’asse im-maginario passante per x0. Ovviamente se α < 0 vale un discorso analogo peruna semicirconferenza γR che stia a destra della parallela dell’asse immaginariopassante per x0.
Per capire subito su quale semicirconferenza chiudere il cammino per poter applicareil lemma di Jordan, basta ricordare che essa va scelta in modo che, lungo la sua freccia,l’esponente del fattore che moltiplica f(z) deve essere reale e tendere a −∞ per |z| →∞.
Si indica con lemma di Jordan il contenuto dei punti 2), 3) e 4), ma per comoditadenoteremo con questo termine tutto quanto detto in questo paragrafo.
1.6.4 Esempi
Esempio 1
I =
∫ ∞0
x2
(x2 + 1)(x2 + 4)dx
7Notare che questa condizione e molto meno restrittiva della (1.50); qui e l’esponenziale, ra-pidamente decrescente per Im z → +∞, che si incarica di far tendere rapidamente a zerol’integrando.
52
La funzione integranda e simmetrica:
f(x) =x2
(x2 + 1)(x2 + 4)= f(−x) .
Quindi
I =1
2
∫ ∞−∞
x2
(x2 + 1)(x2 + 4)dx .
Inoltre
f(z)|z|→∞∼ 1
z2;
le ipotesi del lemma di Jordan (caso 1) sono soddisfatte in entrambi i semipiani. Pos-siamo quindi chiudere il cammino di integrazione nel piano complesso come indicatoin Figura 1.18 (scegliamo di chiuderlo nel semipiano positivo).
Indichiamo con CR il cammino chiuso e con ΓR la semicirconferenza. Il lemma diJordan ci assicura che
limR→∞
∫ΓR
f(z)dz = 0
e quindi ∫ ∞−∞
f(z)dz = limR→∞
∮CR
f(z)dz .
Pertanto
I =1
2limR→∞
∮CR
f(z)dz .
Studiamo la funzione f(z):
(z2 + 1)(z2 + 4) = 0 −→ z = ±i , z = ±2i .
f(z) ha 4 poli semplici, due nel semipiano Im z > 0 e due nel semipiano Im z < 0.Quindi
I =1
22πi [Resf(z)z=i + Resf(z)z=2i]
53
Resf(z)z=i = limz→i
(z − i) z2
(z + i)(z − i)(z2 + 4)=i
6
Resf(z)z=2i = limz→2i
(z − 2i)z2
(z + 2i)(z − 2i)(z2 + 1)= − i
3
I = πi
(i
6− i
3
)=π
6.
Si noti che in questo esempio, e nei successivi esempi 2 e 3, l’integrando e positivo; seil risultato trovato fosse un numero negativo (o peggio immaginario) si sarebbe certocommesso un errore di segno (o dimenticato un fattore i).
Esempio 2
I =
∫ ∞−∞
dx
1 + x2n, n intero positivo
f(z) =1
1 + z2n
|z|→∞∼ 1
z2n
Vale il caso 1). Chiudiamo il cammino di integrazione in Im z > 0:
I = limR→∞
∮CR
dz
1 + z2n.
I poli di f(z) sono dati da
1 + z2n = 0 −→ z2n = −1 −→ z = (−1)12n .
Quanti poli giacciono nel semipiano Im z > 0? Poiche −1 si puo rappresentare come
− 1 = ei(π+2kπ)
con k intero, i poli saranno
z = zk = eiπ2k+12n = eiθk
con
θk =2k + 1
2nπ
54
cioe
z0 = eiπ2n , z1 = ei
3π2n , z−1 = e−i
π2n , etc.
I poli zk giacciono nel semipiano Im z > 0 se 0 < θk < π, ovvero se
0 <2k + 1
2n< 1
che, poiche k e intero, equivale a
− 1
2< k < n− 1
2−→ 0 ≤ k ≤ n− 1 .
La funzione f(z) ha quindi n poli semplici in Im z > 0:
z = zk = eiθk , θk =2k + 1
2nπ , k = 0, 1, ...(n− 1) .
Il residuo di f(z) nel polo zk vale
Resf(z)z=zk = limz→zk
(z − zk)
1
1 + z2n
= lim
z→zk
1
2nz2n−1
=zk
2nz2nk
= − zk2n
.
Pertanto
I = 2πin−1∑k=0
(− zk
2n
)= −iπ
n
n−1∑k=0
eiπ2n
(2k+1) .
Poniamo
z0 = eiπ2n −→ z2k+1
0 = eiπ2n
(2k+1)
Allora
I = −iπn
n−1∑k=0
z(2k+1)0 = −iπ
nz0
n−1∑k=0
(z2
0
)k= −iπ
nz0
1− z2n0
1− z20
Ma z2n0 = −1 e pertanto
I = −2iπ
n
z0
1− z20
=π
n
1z0−z−1
0
2i
e infine
I =π
n sin(π2n
) .55
Esempio 3
I =
∫ +∞
−∞
cosx
1 + x2dx .
L’integrale esiste poiche la funzione integranda e continua sull’asse reale ed e O(
1x2
)per
x→ ±∞; non si puo pero applicare il caso 1) del lemma di Jordan perche l’integrandonon e affatto O
(1z
)nel piano complesso; infatti
I =1
2
∫ +∞
−∞
eiz + e−iz
1 + z2dz , (1.54)
quindi esso diverge esponenzialmente per z = iy con y → ±∞. Invece il primo addendodell’integrale (1.54) soddisfa le ipotesi del caso 2) del lemma di Jordan (α = 1 > 0) equindi si calcola chiudendo il cammino nel semipiano superiore:∫ +∞
−∞
eiz
1 + z2dz = 2πi
Res
eiz
1 + z2
z=i
=π
e;
il secondo addendo ricade invece nel caso 3) (α = −1 < 0) e quindi si calcola chiudendoil cammino nel semipiano inferiore∫ +∞
−∞
e−iz
1 + z2dz = −2πi
Res
e−iz
1 + z2
z=−i
=π
e.
Pertanto
I =π
e.
Esempio 4
I =
∫ ∞0
sinx
xdx .
La funzione integranda e pari:
f(x) =sinx
x= f(−x) .
Quindi
I =1
2
∫ ∞−∞
sinx
xdx .
Notare che l’integrando non e singolare nell’origine; infatti lo zero semplice del deno-minatore e compensato da uno zero semplice del numeratore.
56
Figura 1.19: Cammini C1 e C2 che aggirano l’origine
Il lemma di Jordan non e direttamente applicabile, perche
sin z
z=
1
2i
eiz − e−iz
z;
quindi per il primo addendo bisognerebbe applicare il caso 2) (α = 1 > 0) e chiuderecon una semicirconferenza nel semipiano superiore, mentre il secondo ricade nel caso3) (α = −1 < 0) e bisognerebbe chiudere nel semipiano inferiore. Non si puo nemmenospezzare l’integrale in una somma di due integrali, perche∫ +∞
−∞
eiz
zdz
non esiste (lo zero del denominatore non e piu compensato da uno zero del numeratore).
La difficolta si aggira nel modo seguente: poiche f(z) e ovunque analitica al finito(si noti che f(z) → 1 per z → 0), prima di spezzare l’integrale si puo deformare ilcammino di integrazione, grazie al teorema di Cauchy. In particolare, i due camminiC1 e C2 di Figura 1.19 danno lo stesso risultato per I:
I =1
2
∫C1
sin z
zdz =
1
2
∫C2
sin z
zdz .
Dopo aver cosı deformato il cammino e possibile spezzare l’integrale in una somma didue e procedere con il metodo dei residui. Calcoleremo I in due modi diversi:
i) Integriamo su C1:
I =1
4i
(∫C1
eiz
zdz −
∫C1
e−iz
zdz
).
Benche la funzione f(z) sia regolare ovunque, le funzioni eiz
ze e−iz
zhanno un polo
semplice in z = 0; inoltre esse soddisfano il lemma di Jordan nei semipiani Im z > 0
57
Figura 1.20: Chiusura del cammino che aggira l’origine nel semipiano superiore (a) edinferiore (b)
e Im z < 0, rispettivamente. Pertanto si possono chiudere i cammini di integrazionenelle curve γ1 e γ2 (vedi Figura 1.20).
I =1
4i
(∮γ1
eiz
zdz −
∮γ2
e−iz
zdz
).
Si noti che la curva γ2 e percorsa in senso orario.Ora, il primo integrale e nullo per il teorema di Cauchy e il secondo si calcola con
il teorema dei residui, tenendo conto del cambiamento di segno necessario perche lacurva γ2 e percorsa in senso orario:
I = − 1
4i
∮γ2
e−iz
zdz = +
1
4i2πi
Res
e−iz
z
z=0
=π
2. (1.55)
E facile verificare che lo stesso risultato si ottiene integrando su C2.ii)
I =1
4i
(∫C1
eiz
zdz −
∫C1
e−iz
zdz
).
Cambiamo variabile nel secondo integrale:
z → −z , C1 → −C2
Allora
I =1
4i
(∫C1
eiz
zdz −
∫−C2
eiz
zdz
)=
1
4i
(∫C1
+
∫C2
)eiz
zdz .
58
Ma ∫C1
−∫C2
= −∮γ
−→∫C2
=
∫C1
+
∮γ
,
dove γ e una curva chiusa che circonda l’origine. Pertanto
I =1
4i
(2
∫C1
eiz
zdz +
∮γ
eiz
zdz
). (1.56)
Ora, ∫C1
eiz
zdz = 0
per il lemma di Jordan (applicabile in Im z > 0) e per il teorema di Cauchy, e∮γ
eiz
zdz = 2πi
Res
eiz
z
z=0
= 2πi .
Sostituendo infine nella (1.56) si ottiene
I =π
2.
1.6.5 Singolarita sul cammino di integrazione
A differenza di quello in (1.55) l’integrale
I =
∫ ∞−∞
cosx
xdx (1.57)
ha una singolarita sul cammino d’integrazione e non e definito. Nel caso in questione, epiu generalmente per integrali logaritmicamente divergenti con singolarita 1/(x− x0),si puo introdurre il valore principale P dell’integrale (o PV), definito da
P
∫ ∞−∞
cosx
xdx = lim
ε→0
[∫ −ε−∞
cosx
xdx+
∫ ∞ε
cosx
xdx
](1.58)
che risulta finito, per via della cancellazione esatta della singolarita a destra dell’originecon quella (negativa) a sinistra dell’origine. Nel caso specifico il valore principale enullo, perche i due integrali in (1.58) si cancellano:∫ −ε
−∞
cosx
xdx =
∫ −ε−∞
cos(−x)
(−x)d(−x) = −
∫ ∞ε
cosx
xdx . (1.59)
59
Si puo anche attribuire all’integrale (1.57) un significato deformandone il camminod’integrazione sul piano complesso in modo da evitare la singolarita aggirandola in unodei due modi in Fig.1.19, per es.:
I =
∫C1
cos z
zdz =
1
2
∫C1
(eiz
z+e−iz
z
)dz .
Chiudendo poi in cammino d’integrazione sul semipiano Imz > 0(< 0) per eiz (e−iz) siottiene
I =1
2
(∮γ1
eiz
zdz +
∮γ2
e−iz
zdz
)= −iπ
dove abbiamo usato (1.55). Se si sceglie invece C2 si ottiene I = +iπ. La partereale e nulla e coincide con il valor principale. E’ importante notare che l’integrale sulcammino C1 e identico a quello ottenuto su una retta parallela all’asse reale e posta iεsopra ad esso, perche in tutti i punti, tranne nell’intorno dell’origine, si puo mandareε a zero. Si noti anche che la deformazione del cammino in C1 o C2 e equivalente allospostamento della singolarita sotto o sopra l’asse reale di una quantita infinitesima, ecioe ∫
C1,2
cos z
zdz =
∫ ∞−∞
cosx
x∓ iεdx
con ε > 0.In generale, l’integrale ∫ ∞
−∞
f(x)
x− x0
dx (1.60)
dove f(x) e non nulla in x0, regolare in R, e tale da assicurare la convergenza dell’in-tegrale per x→∞, puo essere trattato nello stesso modo:∫ ∞
−∞
f(x)
x− x0 ∓ iεdx = P
∫ ∞−∞
f(x)
x− x0
dx± iπf(x0) (1.61)
dove il valore principale e definito in maniera analoga alla (1.58) e il valore f(x0)emerge dal calcolo del residuo in z = x0 (nell’esempio (1.57) cos z|z=0 = 1). In terminidi distribuzioni (che studieremo piu avanti) si scrive anche
1
x− x0 ∓ iε= P
1
x− x0
± iπ δ(x− x0) (1.62)
60
Figura 1.21: Proiezione stereografica della sfera sul piano complesso.
1.7 Studio del punto all’infinito
Una sfera di Riemann (vedi figura) e topologicamente equivalente al piano complessoesteso al punto all’infinito: C = C ∪ ∞; a ogni punto sulla sfera corrisponde infattiun unico punto sul piano complesso. Al polo Nord della sfera corrisponde il puntoall’infinito, ∞, che ha argomento indefinito e modulo +∞. L’estensione di C a C e unesempio di compattificazione.
Il comportamento della funzione f(z) per z → ∞ si studia effettuando il cambia-mento di variabile
t =1
z − a(1.63)
per un opportuno a ∈ C, che generalmente si prende uguale a zero, e valutando il com-portamento della funzione φ(t) = f(a + 1/t) per t→ 0. La sostituzione (1.63) mandaun intorno circolare (di raggio ε) dell’origine nel piano complesso di t in un intornodell’infinito IΩ(∞), cioe nell’esterno di un cerchio di raggio Ω = 1/ε centrato in a.Per esempio, se t = 0 e un polo di ordine n di φ(t), z = ∞ e un polo di ordine n dif(z); se t = 0 e uno zero di ordine n di φ(t), z = ∞ e uno zero di ordine n di f(z),eccetera.
Esempi
• La funzione f(z) = 1z
e regolare all’infinito e ivi ha uno zero semplice.
• La funzione f(z) = z2 ha un polo doppio all’infinito.
• La funzione f(z) = ez ha una singolarita essenziale all’infinito, cosı come lefunzioni sin z e analoghe.
• La funzione f(z) = 1sin z
ha poli semplici nei punti zk = kπ con k intero qual-siasi; quindi in ogni intorno del punto all’infinito cade almeno un polo (in realtane cadono infiniti): l’infinito non e una singolarita isolata, ma un punto diaccumulazione di poli.
61
Naturalmente, se f(z) e regolare all’infinito puo essere sviluppata in serie di Taylorin un intorno dell’infinito IΩ(∞), cioe all’esterno di un cerchio, centrato in unpunto a scelto secondo convenienza (spesso a = 0), e di raggio Ω tale che all’esternodel cerchio la f(z) non abbia singolarita. Tale serie si ottiene sviluppando in serie diTaylor la funzione φ(t) = f(a + 1/t) nell’intorno del punto t = 0, tornando poi allavariabile originaria z con la sostituzione t = 1/(z−a); lo sviluppo di Taylor nell’intornodel punto all’infinito conterra’ quindi solo potenze negative di z − a, oltre alla potenzanulla.
Per esempio lo sviluppo (1.32) della funzione e1/z, che abbiamo gia visto essere losviluppo di Laurent nell’intorno della singolarita essenziale z = 0, puo anche essereletto come lo sviluppo di Taylor nell’intorno del punto regolare z =∞.
Discorso analogo per lo sviluppo di Laurent; solo che stavolta la parte principaledello sviluppo (cioe quella singolare) conterra solo potenze positive di (z−a), in numerofinito o infinito a seconda se il punto all’infinito e un polo o una singolarita essenziale.
Per ogni funzione intera lo sviluppo di Taylor
f(z) =∞∑n=0
anzn (1.64)
nell’intorno dell’origine puo anche essere letto come sviluppo di Laurent intorno all’in-finito; quindi:
• se ci sono infiniti an 6= 0 l’infinito e una singolarita essenziale di f(z);
• se an 6= 0 e al = 0, ∀l > n, f(z) e un polinomio di grado n e l’infinito e un polodi ordine n (per n 6= 0) o e regolare (per n = 0).
Ne segue anche che:
• una funzione regolare in tutto C e anche all’infinito e necessariamente una co-stante (in accordo con il teorema di Liouville - vedi Appendice B).
1.7.1 Esempi
Esempio 1: la funzione
f(z) = ez
e regolare in z = 0. Infatti, lo sviluppo in serie che definisce la funzione esponenziale
ez =∞∑k=0
zk
k!
ha solo potenze positive (sviluppo di Taylor intorno a z = 0). La stessa serie puo essereletta come sviluppo di Laurent attorno alla singolarita essenziale z =∞.
62
Esempio 2: la funzione
f(z) = e−1/z2
ha una singolarita essenziale in z = 0. Infatti, lo sviluppo in serie che definisce lafunzione esponenziale
e−1/z2 =∞∑k=0
(−1/z2)k
k!=∞∑k=0
(−1)k
k!z−2k
ha un numero infinito di potenze negative. La stessa serie puo essere letta come sviluppodi Taylor attorno al punto regolare z = ∞; essa non contiene infatti potenze positivedi z; pertanto f(z) e analitica in z =∞.
Esempio 3: consideriamo la funzione
f(z) = ze−1/z = z∞∑k=0
(−1/z)k
k!=∞∑k=0
(−1)k
k!z−k+1 = −
1∑k′=−∞
(−1)k′
(−k′ + 1)!zk′.
La serie ha un numero infinito di potenze negative e quindi il punto z = 0 e unasingolarita essenziale. Studiamo z = ∞: la serie contiene una potenza positiva (laprima) di z, quindi la funzione ha un polo di ordine 1 in z =∞.
Esempio 4: consideriamo la funzione
f(z) = ez/(1−z) .
Poniamo z′ = z − 1:
f(z) = e−(1+z′)/z′ = e−1/z′e−1 =1
e
∞∑k=0
(−1/z′)k
k!=
1
e
∞∑k=0
(−1)k(z − 1)−k
k!
La serie ha un numero infinito di potenze negative e quindi il punto z = 1 (z′ = 0) euna singolarita essenziale.
Per z → ∞ (z′ = ∞) la funzione ammette limite (uguale a e−1) e quindi il puntoall’infinito e regolare; la serie che abbiamo scritto, che e di Laurent attorno al puntoz = 1, puo anche essere letta come serie di Taylor nell’intorno dell’infinito.
Esempio 5: sia
f(z) = ez−1/z = eze−1/z .
I punti z = 0 e z =∞ sono singolarita essenziali.
63
Figura 1.22: Curva che contiene tutte le singolarita al finito della funzione f(z).
1.7.2 Calcolo del residuo nel punto all’infinito
Per valutare il residuo di una funzione f(z) in z =∞ supponiamo che esista una curvadi Jordan γ che contenga al suo interno tutte le singolarita al finito di f(z) (per esempiouna circonferenza c di raggio sufficientemente grande - Figura 1.22- )
Allora nel punto all’infinito la funzione f(z) o e regolare, o ha una singolarita isolata.In entrambi i casi definiamo il residuo all’infinito come:
Resf(z)z=∞ = − 1
2πi
∮γ
f(z)dz , (1.65)
dove l’integrale e calcolato percorrendo come al solito la curva γ in senso antiorario; ilsegno − ricorda che per avere z =∞ al suo interno la curva γ dovrebbe essere percorsain senso orario8.
Sostituendo nella definizione (1.65) lo sviluppo in serie di Laurent (o di Taylor)della f(z) attorno al punto all’infinito, e ricordando l’integrale (1.18), si ricava che ilresiduo all’infinito e dato dal coefficiente, cambiato di segno, della potenza 1/(z − a).Per esempio, il residuo all’infinito della funzione regolare all’infinito f(z) = 1/z vale−1, mentre quello della funzione f(z) = z (che ha un polo semplice all’infinito) e nullo.
Una conseguenza immediata di quanto abbiamo detto e che una funzione pari hasempre residuo nullo all’infinito (sempre che abbia senso definirlo), poiche il suosviluppo, di Taylor o di Laurent, in potenze di z non potra contenere il termine 1/z;lo stesso succede per una funzione che all’infinito sia O( 1
z2).
8Ricordiamo che un punto z0 si definisce interno ad una curva γ se, immaginando di percorrere γnel senso di percorrenza indicato, z0 viene lasciato a sinistra.
64
Un altro modo per calcolare il residuo all’infinito si basa sul calcolo diretto dell’in-tegrale (1.65) mediante il cambiamento di variabile:
z =1
t, (1.66)
che manda z →∞ in t→ 0.Si vede subito che una circonferenza c di raggio R centrata nell’origine del piano z,
di equazione |z| = R, viene trasformata in un’analoga circonferenza c′ di raggio 1/Rnel piano t di equazione |t| = 1/R. Se c e percorsa in senso antiorario, c′ sara percorsain senso orario; infatti quando la fase φ di z = Reiφ cresce, quella di t = 1/R e−iφ
diminuisce. La circonferenza cR viene quindi “mappata” dalla trasformazione (1.66) inuna circonferenza c′1/R percorsa in senso opposto. Di conseguenza:
Resf(z)z=∞ = − 1
2πi
∮c
f(z)dz
= +1
2πi
∮c′f(
1
t)dz
dtdt .
Ora, dz/dt = −1/t2, e quindi
Resf(z)z=∞ = − 1
2πi
∮c′f
(1
t
)1
t2dt
= −
Res
[f
(1
t
)1
t2
]t=0
. (1.67)
Si noti che il residuo di f(z) in z =∞ non e uguale al residuo di f(1/t) in t = 0:
Resf(z)z=∞ 6= Resf(1/t)t=0 .
N.B. Esistono funzioni che, pur essendo regolari in z =∞, hanno residuo non nulloall’infinito. Per esempio la funzione
f(z) =1
z
e regolare in z = ∞ (perche la funzione f(1/t) = t e uguale a 0 in t = 0) ma il suoresiduo, calcolato tramite la (1.67), vale
Res
1
z
z=∞
= −
Res
(t
1
t2
)t=0
= − 1
2πi
∮c′
1
tdt = −1 ,
come abbiamo gia visto.L’interesse principale nel definire il residuo all’infinito sta nel seguente:
65
∆ Teorema 14: se una funzione analitica f(z) possiede solo singolarita isolate intutto il piano complesso, punto all’infinito compreso, la somma di tutti i suoi residui,compreso l’eventuale residuo all’infinito, e zero.Dimostrazione. Sia γ una curva di Jordan che non passa per alcuna singolarita dif(z). Allora, per il teorema dei residui (1.39), si ha∮
γ
f(z)dz = +2πi∑interni
Resf(z)∮γ
f(z)dz = −2πi∑esterni
Resf(z) ,
da cui si ottiene, sottraendo membro a membro,∑tot
Resf(z) = 0 . (1.68)
[q.e.d.]
La verifica piu immediata di questo teorema e data dalla solita funzione f(z) = 1/zche ha residuo +1 nell’origine e −1 all’infinito; conviene richiamare questo esempio ele-mentare ogni volta che non ci si ricordi con quale segno si debba prendere il coefficientedella potenza 1/(z − a) per calcolare il residuo all’infinito.
Esempio 1
A volte puo essere conveniente usare l’eq. (1.68) per semplificare il calcolo di integraliin campo complesso. Per esempio l’integrale∮
C
z3
2z4 + 1dz con C = z, |z| = 1 (1.69)
richiederebbe di valutare i 4 residui interni alla curva C, nei punti zi soluzioni diz4 = −1/2. Utilizzando invece il teorema (1.68) si ha semplicemente∮
C
z3
2z4 + 1dz = −2πi
Res
z3
2z4 + 1
z=∞
= +2πi limt→0
1
t2
1t3
2t4
+ 1
= iπ . (1.70)
Ancor piu semplicemente si trova che il residuo all’infinito dell’integrando e −1/2guardando allo sviluppo:
z3
2z4 + 1=
1
2z+O(
1
z2)
66
Esempio 2
Il teorema 14 permette a volte di calcolare piu facilmente il residuo di una funzione inuna singolarita essenziale. Per esempio il calcolo del residuo della funzione
f(z) =sin(π/z)
z − 2(1.71)
nella singolarita essenziale z = 0 e
Resf(z)z=0 = −Resf(z)z=2 == − limz→2
sinπ
z= −1 ,
dove si e tenuto conto che f(z) = O( 1z2
) per z →∞ e quindi Resf(z)z=∞ = 0. Inveceil calcolo diretto e piu complicato:
Resf(z)z=0 =
Res
[−1
2
∞∑l=0
(z2
)l ∞∑k=0
(−1)k(πz
)2k+1
(2k + 1)!
]z=0
= −∞∑
l,k=0
(−1)k
(2k + 1)!
π2k+1
2l+1δl−2k−1,−1
= −∞∑k=0
(−1)k
(2k + 1)!
(π2
)2k+1
= − sinπ
2= −1 .
∆ Corollario del Teorema 14: ogni funzione intera f(z) ha residuo nullo all’infinito.Dimostrazione. L’infinito puo essere punto regolare di f(z) (allora f(z) e costante -Teorema di Liouville, Appendice B) o singolarita isolata; in entrambi i casi ha sensodefinire il residuo all’infinito. Poiche la somma dei residui fa zero e non ci sono singola-rita al finito, si deduce che necessariamente il residuo all’infinito e nullo. In alternativa,basta vedere che lo sviluppo (1.64) di f(z) in serie di Laurent nell’intorno dell’infinitonon contiene la potenza z−1.
67
1.8 Le funzioni ln z e zα nel piano complesso
La funzione logaritmo w = ln z e definita nel campo complesso ∀z 6= 0 dalla equazione
ew = z , (1.72)
ovveroeRe weiIm w = |z|eiarg z (1.73)
da cui segue, prendendo il modulo di ambo i membri,
eRe w = |z| ⇒ Re w = ln |z| , (1.74)
dove il logaritmo del numero positivo |z| e quello definito in campo reale. Sostituendonella (1.73) si ottiene
eiIm w = eiarg z , (1.75)
la cui soluzione generale e
Im w = arg z + 2πn , ∀n ∈ Z . (1.76)
Si rimuove l’ambiguita, insita nella stessa definizione di arg z, fissando il valore di n(per esempio n = 0) e scegliendo un intervallo di ampiezza 2π in cui far variare arg z,come discusso nel par.1.1.2. Quindi
ln z = ln |z|+ i arg z . (1.77)
La funzione logaritmo e percio completamente definita solo se si specifica in che in-tervallo varia arg z ed e discontinua su una semiretta (taglio) uscente dall’origine delpiano complesso, perche tale e la funzione arg z, come si e visto nel paragrafo 1.1.2.L’origine e percio una singolarita non isolata della funzione logaritmo detta pun-to di diramazione (branching point); lo stesso dicasi per il punto all’infinito. Lafunzione zα, con α ∈ C, si definisce come
zα = eα ln z (1.78)
e, salvo che per α ∈ N, soffre degli stessi problemi della funzione logaritmo9. E faciledimostrare che
d ln z
dz=
1
z, ∀z 6= 0 (1.79)
e quindi anchedzα
dz= αzα−1 , ∀α ∈ C . (1.80)
9Per α ∈ N non ci sono ambiguita poiche eN(ln z+2πin) = eN ln z.
68
Capitolo 2
Equazioni differenziali in C
2.1 Equazioni differenziali ordinarie II ordine
La forma piu generale di equazione differenziale ordinaria del II ordine omogenea e
A(z)u′′(z) +B(z)u′(z) + C(z)u(z) = 0 . (2.1)
Dividendo per A(z) (supposto diverso da zero, altrimenti l’equazione sarebbe del Iordine) si ottiene la cosiddetta forma standard
u′′(z) + P (z)u′(z) +Q(z)u(z) = 0 . (2.2)
Note due soluzioni dell’equazione omogenea e sempre possibile risolvere, almeno inlinea di principio, l’equazione inomogenea
u′′(z) + P (z)u′(z) +Q(z)u(z) = f(z) .
Condizione necessaria e sufficiente affinche due soluzioni u1(z) e u2(z) della (2.3) sianolinearmente indipendenti e che il wronskiano differisca da zero, ovvero
W (z) = det
∣∣∣∣ u1 u2
u′1 u′2
∣∣∣∣ 6= 0
Si noti che il wronskiano e sempre nullo o sempre diverso da zero. Di conseguenzadue soluzioni che si annullano in z0 sono la stessa soluzione. Soluzioni linearmenteindipendenti non hanno zeri in comune.
Punti regolari e singolari di una equazione differenziale
Consideriamo la forma (2.3) di un’equazione differenziale del II ordine omogenea. Leproprieta delle soluzioni dipendono dal comportamento delle funzioni P (z) e Q(z) nelcampo complesso; se esse sono regolari nel punto z = z0, il punto z0 si dice punto
69
regolare, o ordinario, dell’equazione differenziale e qualunque soluzione e regolare in z0.Altrimenti il punto z0 si dice punto singolare dell’equazione differenziale poiche general-mente le soluzioni saranno ivi singolari. I punti singolari sono a loro volta classificatiin due categorie: singolarita fuchsiane, o regolari, e singolarita essenziali, oirregolari. Il punto singolare z0 si definisce punto singolare fuchsiano (dal nome delmatematico Fuchs) se in z → z0 la funzione P (z) ha al piu un polo semplice e Q(z) alpiu un polo doppio; quindi le funzioni (z − z0)P (z) e (z − z0)2Q(z) rimangono finiteper z → z0:
limz→z0
(z − z0)P (z) = p0
limz→z0
(z − z0)2Q(z) = q0 ,
con p0 e q0 finiti; e possibile che uno o anche entrambi siano nulli. Se invece peresempio P (z) diverge piu velocemente di 1/(z − z0), in modo tale che (z − z0)P (z)tenda a infinito per z → z0, oppure se Q(z) diverge piu velocemente di 1/(z − z0)2,in modo tale che (z − z0)2Q(z) tenda a infinito per z → z0, il punto z0 e un puntosingolare irregolare, o essenziale. Queste definizioni valgono per tutti i valori finiti diz0. Lo studio del punto z →∞ verra trattato separatamente in un prossimo paragrafo.
Esempi
Elenchiamo alcuni esempi di equazioni differenziali ordinarie del II ordine e studiamonele singolarita al finito.
1) Equazione dell’oscillatore armonico semplice:
u′′ + ω2u = 0 (2.3)
P (z) = 0 , Q(z) = ω2
L’equazione e ovunque regolare al finito.
2) Equazione di Legendre:
(1− z2)u′′ − 2zu′ + αu = 0 (2.4)
P (z) = − 2z
1− z2, Q(z) =
α
1− z2
L’equazione ha due punti singolari fuchsiani in z = ±1. Infatti sia P (z) che Q(z)hanno un polo semplice in z = ±1:
limz→±1
(z − (±1))P (z) = 1 = p0
limz→±1
(z − (±1))2Q(z) = 0 = q0 .
70
3) Equazione di Bessel:
z2u′′ + zu′ + (z2 − α2)u = 0 (2.5)
P (z) =1
z, Q(z) = 1− α2
z2
L’equazione ha una singolarita di tipo fuchsiano in z = 0 con p0 = 1 e q0 = −α2.
4) Equazione di Laguerre
zu′′ + (1− z)u′ + au = 0 (2.6)
P (z) =1
z− 1 , Q(z) =
a
z
L’equazione ha una singolarita di tipo fuchsiano in z = 0.
5) Equazione di Hermite:
u′′ − 2zu′ + 2αu = 0 (2.7)
P (z) = −2z , Q(z) = 2α
L’equazione e regolare al finito.
6) Equazione di Chebyshev:
(1− z2)u′′ − zu′ + n2u = 0 (2.8)
P (z) = − z
1− z2, Q(z) =
n2
1− z2
L’equazione ha due punti singolari fuchsiani in z = ±1.
7) Equazione ipergeometrica:
z(z − 1)u′′ + [(1 + a+ b)z − c]u′ + abu = 0 (2.9)
P (z) = −(1 + a+ b)z − cz(z − 1)
, Q(z) =ab
z(z − 1)
L’equazione ha due punti singolari fuchsiani in z = 0 e z = 1.
8) Equazione ipergeometrica confluente:
zu′′ + (c− z)u′ − au = 0 (2.10)
P (z) = −c− zz
, Q(z) = −az
L’equazione ha un punto singolare fuchsiano in z = 0.
71
2.1.1 Soluzione nell’intorno di un punto regolare
Se z0 e un punto ordinario di un’equazione differenziale nella forma standard, le solu-zioni sono certamente regolari in z0. E allora possibile cercare una soluzione che abbiala forma di uno sviluppo in serie di Taylor intorno al punto z0,
u(z) =∞∑k=0
ck wk , (2.11)
con w ≡ z − z0, e determinare i coefficienti ck mediante la sostituzione della serienell’equazione differenziale. Poiche P (z) eQ(z) sono analitiche in z0 valgono gli sviluppiin serie di Taylor
P (z) =∞∑l=0
plwl (2.12)
Q(z) =∞∑l=0
qlwl . (2.13)
Sostituendo le (2.12) e (2.13) e le derivate di u(z)
u′(z) =∞∑l=1
lclwl−1 =
∞∑n=0
(n+ 1)cn+1wn (2.14)
u′′(z) =∞∑l=2
l(l − 1)clwl−2 =
∞∑n=0
(n+ 1)(n+ 2)cn+2wn (2.15)
nell’equazione differenziale (2.3) si ottiene
∞∑n=0
[(n+ 1)(n+ 2)cn+2 +
n∑l=0
(l + 1)cl+1pn−l +n∑l=0
clqn−l
]wn = 0 . (2.16)
Una serie di potenze e nulla se e solo se tutti i suoi coefficienti sono nulli, e pertantol’espressione in parentesi quadra deve annullarsi, ∀n. Si ottengono cosı delle relazionidi ricorrenza che permettono di determinare i coefficienti ck una volta noti c0 e c1.Infatti per n = 0 si ottiene:
2c2 + c1p0 + c0q0 = 0 ; (2.17)
per n = 1:6c3 + c1p1 + 2c2p0 + c0q1 + c1q0 = 0 (2.18)
e cosı via. Le costanti arbitrarie c0 e c1, fissate dalle condizioni iniziali
c0 = u(z0) (2.19)
c1 = u′(z0) , (2.20)
72
determinano univocamente la soluzione u(z). Se per esempio chiamiamo u1 la soluzionecorrispondente a c0 = 1 e c1 = 0 e u2 quella corrispondente a c0 = 0 e c1 = 1, lasoluzione generale dell’equazione differenziale sara
u(z) = c0u1(z) + c1u2(z) ; (2.21)
infatti u1 e u2 sono linearmente indipendenti, essendo il loro Wronskiano diverso dazero:
W (z0) = det
∣∣∣∣ u1 u2
u′1 u′2
∣∣∣∣z=z0
= det
∣∣∣∣ 1 00 1
∣∣∣∣ = 1 .
In generale si puo dimostrare che questo metodo fornisce sempre la soluzione generalenell’intorno di un punto regolare z0 e che, per valori generici di c0 e c1 il raggio diconvergenza della serie e uguale alla distanza fra z0 e la singolarita piu vicina dell’e-quazione differenziale (talvolta, ma solo per particolari valori di c0 e c1, puo ancheessere maggiore).
Esempi
1. L’ equazione dell’oscillatore armonico semplice
u′′(z) + ω2u(z) = 0 , (2.22)
e, come si e detto, regolare per ogni z finito, in particolare per z = 0. Possiamo quindicercare una soluzione del tipo
u(z) =∞∑k=0
ckzk .
Sostituendo nella (2.16) z0 = 0, pi = 0 e qi = ω2δ1,0 si ottiene:
ck+2(k + 1)(k + 2) + ω2ck = 0 ∀k ≥ 0 . (2.23)
da cui segue la relazione di ricorrenza per i coefficienti ck:
ck+2 = − ω2
(k + 1)(k + 2)ck . (2.24)
Dati i coefficienti c0 e c1, che saranno determinati dalle condizioni al contorno, la (2.24)permette di costruire tutti i coefficienti delle potenze pari
c2 = −ω2
2c0
c4 = − ω2
(3)(4)c2 =
(ω2)2
4!c0
c6 = − ω2
(5)(6)c4 = −(ω2)3
6!c0
c2n = (−1)n(ω2)n
(2n)!c0
73
e delle potenze dispari
c3 = − ω2
(2)(3)c1
c5 = − ω2
(4)(5)c3 =
(ω2)2
5!c1
c7 = − ω2
(6)(7)c5 = −(ω2)3
7!c1
c2n+1 = (−1)n(ω2)n
(2n+ 1)!c1 .
Pertanto la soluzione cercata e
u(z) = c0
∞∑n=0
(−1)n(ωz)2n
(2n)!+c1
ω
∞∑n=0
(−1)n(ωz)2n+1
(2n+ 1)!
= c0 cos(ωz) + c′1 sin(ωz) , (2.25)
che e proprio, come noto, la soluzione dell’equazione (2.22).
2. L’equazione di Legendre
(1− z2)u′′(z)− 2z u′(z) + αu(z) = 0 , (2.26)
compare nella soluzione dell’equazione di Laplace in coordinate sferiche e in molte altreapplicazioni. Poiche il punto z = 0 e un punto regolare dell’equazione, cercheremo unasoluzione data dalla serie:
u(z) =∞∑k=0
ckzk . (2.27)
Per determinare i coefficienti calcoliamo le derivate
u′(z) =∞∑k=0
kckzk−1 u′′(z) =
∞∑k=0
k(k − 1)ckzk−2
e sostituiamole nella (2.26):
∞∑k=0
k(k − 1)ckzk−2 −
∞∑k=0
ck [k(k − 1) + 2k − α] zk = 0 . (2.28)
La prima sommatoria si puo riscrivere come segue (si noti che i termini k = 0, 1 sononulli):
∞∑k=2
k(k − 1)ckzk−2 =
∞∑k′=0
(k′ + 2)(k′ + 1)ck′+2zk′ ;
74
l’equazione (2.28) diventa quindi:
∞∑k=0
(k + 2)(k + 1)ck+2 − ck [k(k + 1)− α] zk = 0 .
Uguagliando a zero ogni coefficiente della serie di potenze si ottiene la relazione diricorrenza:
ck+2 = ckk(k + 1)− α
(k + 2)(k + 1),
da cui si ricava per α generico
c2 =−α2c0
c4 =6− α
12c2 =
(6− α)(−α)
4!c0
c6 =20− α
30c2 =
(20− α)(6− α)(−α)
6!c0
etc...
e
c3 =2− α
6c1
c5 =12− α
20c3 =
(12− α)(2− α)
5!c1
c7 =30− α
42c5 =
(30− α)(12− α)(2− α)
6!c1
etc...
Quindi se scegliamo c0 = 1 e c1 = 0 tutti i coefficienti delle potenze dispari nella (2.27)sono nulli e la soluzione e pari (u(z) = u(−z)), mentre per c0 = 0 e c1 = 1 la soluzionee dispari (u(z) = −u(−z)). Notiamo anche che, poiche il il raggio di convergenza dellaserie (2.27) e
limk→∞
ckck+2
= 1 , (2.29)
ci aspettiamo almeno una singolarita sulla circonferenza |z| = 1: l’equazione ha infattidue punti singolari fuchsiani in z = ±1. Le soluzioni trovate valgono ∀α ∈ C. Ora, see solo se α = n(n + 1), con n intero positivo o nullo, il coefficiente cn+2 e nullo e cosıcn+4 = cn+6 = · · · = 0; la serie (2.27) si riduce cosı a un polinomio di grado n:
Pn(z) =n∑k=0
ckzk (2.30)
75
Figura 2.1: I primi 6 polinomi di Legendre. Non hanno zeri fuori da [−1, 1].
se n e pari per c0 = 1 e c1 = 0, oppure se n e dispari per c0 = 1 e c1 = 0. Per c0 ec1 generici la soluzione generale e la combinazione lineare di un polinomio e una serie.I polinomi (2.30) (opportunamente normalizzati) si chiamano polinomi di Legendre esono regolari in tutto il piano complesso. Si noti che la richiesta che u(z) sia finita intutto l’intervallo [−1, 1] seleziona gli α = n(n + 1), in accordo con quanto si vedra ingenerale nel capitolo 5 a proposito degli autovalori di operatori differenziali.
3. L’equazione di Hermite
u′′ − 2z u′ + 2αu = 0 (2.31)
compare nello studio dell’oscillatore armonico quantistico ed e regolare in z = 0.Cerchiamo una soluzione
u(z) =∞∑k=0
ckzk . (2.32)
Questa, sostituita con le sue derivate nella (2.31), fornisce
∞∑k=0
ck[k(k − 1)zk−2 − 2kzk + +2αzk
]= 0 . (2.33)
76
Il primo termine della serie puo essere riscritto, cambiando l’indice di somma da k ink − 2, come visto in precedenza. Sostituendo nella (2.33) si ottiene
∞∑k=0
zk [ck+2(k + 2)(k + 1) + ck(2α− 2k)] = 0 , (2.34)
da cui si ricava la relazione di ricorrenza
ck+2 = ck2(k − α)
(k + 2)(k + 1). (2.35)
L’eq. (2.35) mostra che la serie (2.32) ha raggio di convergenza infinito. Scegliendoc0 = 1, c1 = 0 oppure c0 = 1, c1 = 0 si ottengono soluzioni pari o dispari, come si evisto per i polinomi di Legendre. Se α = n e intero positivo o nullo, una delle due serie(quella pari se α e pari, quella dispari se α e dispari) si riduce a un polinomio di gradon, il polinomio di Hermite Hn.
2.1.2 Soluzione nell’intorno di un punto singolare fuchsiano
Esistono talvolta soluzioni particolari di un’equazione differenziale che sono regolari inun punto z0 singolare, come abbiamo gia visto nel caso dei polinomi di Legendre chesono regolari in z = ±1. Tuttavia, la soluzione generale non puo essere regolare in z0
singolare, e viceversa. Supponiamo infatti che ci siano due soluzioni u1 e u2 regolariin z e che esse siano linearmente indipendenti. Siccome u1,2 sono entrambe soluzioni,il sistema
u′′1(z) + P (z)u′1(z) +Q(z)u1(z) = 0
u′′2(z) + P (z)u′2(z) +Q(z)u2(z) = 0
permette di ottenere P e Q algebricamente, come rapporto di determinanti nelle fun-zioni regolari ui, u
′i e u′′i (i = 1, 2). A denominatore c’e il Wronskiano di u1 e u2,
ovunque diverso da zero perche u1 e u2 sono indipendenti. Ne consegue che P (z) eQ(z) sono regolari dove la soluzione generale e regolare.
Sotto quali condizioni e possibile espandere in serie nell’intorno di un punto singo-lare? e che tipo di serie risulta? Vale il Teorema di Fuchs: se z0 e un punto singolarefuchsiano, esiste sempre almeno una soluzione del tipo:
u1(z) = (z − z0)ρ∞∑k=0
ck(z − z0)k , con c0 6= 0 . (2.36)
La seconda soluzione o e ancora della forma (2.36) oppure contiene anche un termineaggiuntivo du1 ln(z − z0), come vedremo nell’eq. (2.42). Le serie che compaiono nellasoluzione hanno raggio di convergenza almeno uguale alla distanza fra z0 e la piu vicinasingolarita dell’equazione differenziale.
77
Come si determina l’esponente ρ? Supponiamo che z0 sia un punto singolarefuchsiano. In questo caso le funzioni P (z) e Q(z) possono essere scritte come
P (z) =p(z)
z − z0
=
∑∞l=0 pl(z − z0)l
z − z0
(2.37)
Q(z) =q(z)
(z − z0)2=
∑∞l=0 ql(z − z0)l
(z − z0)2, (2.38)
dove le funzioni p(z) e q(z) sono regolari in z = z0, e sono state quindi sviluppate inserie di Taylor intorno a z0. Sostituendo ora le (2.36), (2.37) e (2.38) nell’equazione(2.3) e moltiplicando per (z − z0)2 si ottiene:
∞∑k=0
ck(ρ+ k)(ρ+ k − 1)(z − z0)ρ+k +∞∑k=0
ck(ρ+ k)∞∑l=0
pl(z − z0)ρ+k+l
+∞∑k=0
ck
∞∑l=0
ql(z − z0)ρ+k+l = 0 .
Uguagliamo ora a zero il coefficiente della potenza (z − z0)ρ; poniamo cioe k = l = 0nell’equazione precedente. Otteniamo cosı:
c0[ρ(ρ− 1) + ρp0 + q0] = 0 ,
ovvero, per c0 6= 0,
ρ2 + (p0 − 1)ρ+ q0 = 0 . (2.39)
L’equazione (2.39), detta equazione indiciale o caratteristica dell’equazione differen-ziale (2.3), e un’equazione di secondo grado in ρ e ha quindi due soluzioni, ρ1 e ρ2. Perrisolvere l’equazione differenziale occorre quindi risolvere l’equazione indiciale (2.39),dove
p0 = limz→z0
(z − z0)P (z)
e
q0 = limz→z0
(z − z0)2Q(z) ,
e ricavare gli indici ρ1, ρ2. Scelti gli indici in modo che Reρ1 ≥Reρ2 il teorema di Fuchsci assicura che esiste sempre la soluzione particolare
u1(z) = (z − z0)ρ1∞∑k=0
ck(z − z0)k , c0 6= 0 (2.40)
i cui coefficienti si possono determinare in modo univoco in funzione di c0 sostituendo laserie nell’equazione differenziale e ricavando delle relazioni di ricorrenza. Per risolverecompletamente l’equazione differenziale occorre pero’ ricavare una seconda soluzione,linearmente indipendente dalla prima. Distinguiamo due casi
78
1) Se le due radici differiscono per un numero non intero, la seconda soluzione esimile alla prima:
u2(z) = (z − z0)ρ2∞∑k=0
dk(z − z0)k , d0 6= 0 (2.41)
2) Se le due radici ρ1 e ρ2 differiscono per un numero intero n ≥ 0 la secondasoluzione e
u2(z) = (z − z0)ρ2∞∑k=0
dk(z − z0)k + du1(z) ln(z − z0) , (2.42)
dove d e i dk (per k 6= ρ1− ρ2)1 si determinano per sostituzione in funzione di d0;puo anche succedere che si ottenga d = 0 ma solo se ρ1 6= ρ2.
2.1.3 Esempio: l’equazione di Bessel
L’equazione di Bessel
z2u′′(z) + zu′(z) + (z2 − α2)u(z) = 0 (2.43)
si incontra nella soluzione dell’equazione di Laplace in coordinate cilindriche e in moltealtre applicazioni. Ha un punto singolare fuchsiano in z = 0. L’equazione indiciale e
ρ2 − α2 = 0 ,
con soluzioni ρ1,2 = ±α. Se 2α /∈ Z allora ρ1 − ρ2 /∈ N ed entrambe le soluzioni sonodella forma
uρ(z) = zρ∞∑k=0
ckzk . (2.44)
Sostituendo la (2.44) nella (2.43) si ottiene:
∞∑k=0
ck(k + ρ)(k + ρ− 1)zk+ρ +∞∑k=0
ck(k + ρ)zk+ρ +∞∑k=0
ckzk+ρ+2 − ρ2
∞∑k=0
ckzk+ρ = 0
da cui
c1(1 + 2ρ)z1+ρ +∞∑k=2
ckk(k + 2ρ)zk+ρ +∞∑k=0
ckzk+ρ+2 = 0 . (2.45)
1dn puo essere scelto arbitrariamente poiche la differenza fra due soluzioni del tipo u2 con diversivalori di dn e proporzionale alla prima soluzione u1 di (2.40).
79
Se nella prima sommatoria effettuiamo il cambiamento di indice k → k− 2 otteniamo:
c1(1 + 2ρ)z1+ρ +∞∑k=0
[ck+2(k + 2)(k + 2 + 2ρ) + ck]zk+ρ+2 = 0 , (2.46)
da cui (essendo α 6= −1/2)
c1 = 0 (2.47)
ck+2 = − ck(k + 2)(k + 2 + 2ρ)
. (2.48)
La serie ha quindi solo potenze pari. Notare che se 2α fosse un intero n, diciamopositivo, la (2.48) non avrebbe senso per ρ2 = −α = −n/2 e per k = n− 2, impedendocosı di trovare la seconda soluzione nella forma (2.44) se n e pari. Dalla relazione diricorrenza (2.48) ricaviamo infine che tutti i coefficienti di indice dispari sono nulli,mentre i coefficienti pari sono:
c2 = − c0
2(2 + 2ρ)
c4 = − c2
4(4 + 2ρ)=
c0
2 · 4(2 + 2ρ)(4 + 2ρ)
c6 = − c4
6(6 + 2ρ)= − c0
2 · 4 · 6(2 + 2ρ)(4 + 2ρ)(6 + 2ρ)
c2n = (−1)nc0
2 · 4 · 6...2n(2 + 2ρ)(4 + 2ρ)(6 + 2ρ)...(2n+ 2ρ).
Le funzioni di Bessel Jα(z) sono definite come segue:
Jα(z) = Nαuα(z) , (2.49)
dove Nα e un’opportuna costante di normalizzazione. Nel caso particolare α2 = 1/4 ledue soluzioni dell’equazione di Bessel sono
J1/2(z) = N1/2
√z
(1− z2
3!+z4
5!+ · · ·
)=
N1/2√z
(z − z3
3!+z5
5!+ · · ·
)= N1/2
sin z√z. (2.50)
e
J−1/2(z) = N−1/2cos z√z. (2.51)
Notare che ρ1−ρ2 = 1 ma non c’e il termine con il logaritmo (d = 0). Si puo dimostrareche per tutti gli α semi-interi le Jα sono esprimibili tramite funzioni trigonometriche.Per esempio:
J3/2(z) =N3/2√z
(sin z
z− cos z
)(2.52)
J−3/2(z) =N−3/2√
z
(−cos z
z− sin z
). (2.53)
80
2.1.4 Studio del comportamento all’infinito
Il comportamento delle soluzioni dell’equazione differenziale
u′′(z) + P (z)u′(z) +Q(z)u(z) = 0 (2.54)
nell’intorno del punto z →∞ si studia effettuando il cambiamento di variabile t = 1z
estudiando il comportamento di u(1
t) per t → 0. Che forma assume l’equazione (2.54)
in termini di t?
u′(z) =du(1/t)
dt
dt
dz= −t2du(1/t)
dt
u′′(z) =du′(1/t)
dt
dt
dz= 2t3
du(1/t)
dt+ t4
d2u(1/t)
dt2.
Sostituendo nella (2.54) si ottiene
t4d2u
dt2+ (2t3 − t2P )
du
dt+Qu = 0
ovvero, in forma standard,
d2u
dt2+
(2
t− P
t2
)du
dt+Q
t4u = 0 . (2.55)
Il punto t = 0 (z →∞) e un punto ordinario se le funzioni
P
(1
t
)=
2
t− P (1/t)
t2(2.56)
Q
(1
t
)=
Q(1/t)
t4(2.57)
sono regolari in t = 0, ovvero
P (z) =2
z+O
(1
z2
), Q(z) = O
(1
z4
)per z →∞ . (2.58)
Le condizioni necessarie e sufficienti affinche il punto z = ∞ sia fuchsiano sono che lefunzioni
p(t) = tP
(1
t
)(2.59)
q(t) = t2Q
(1
t
)(2.60)
siano regolari in t = 0, ovvero
P (z) = O
(1
z
), Q(z) = O
(1
z2
)per z →∞ . (2.61)
81
Se l’infinito e un punto ordinario, si puo cercare una soluzione come sviluppo in seriedi Taylor intorno a z =∞:
u(z) = u(1/t) =∞∑k=0
cktk =
∞∑k=0
ckz−k
e determinare i coefficienti ck tramite le relazioni di ricorrenza che si ricavano dallasotituzione della serie nell’equazione differenziale. Se invece l’infinito e un punto sin-golare fuchsiano, si cercheranno due soluzioni particolari linearmente indipendenti, deltipo:
u1(z) = u1(1/t) = tρ1∞∑k=0
cktk = z−ρ1
∞∑k=0
ckz−k , c0 6= 0
e
u2(1/t) =
tρ2∑∞
k=0 dktk ρ1 − ρ2 6= n , d0 6= 0
au1(1/t) ln t+ tρ2∑∞
k=0 bktk ρ1 − ρ2 = n , b0 6= 0
(2.62)
ovvero
u2(z) =
z−ρ2
∑∞k=0 dkz
−k ρ1 − ρ2 6= n , d0 6= 0−au1(z) ln z + z−ρ2
∑∞k=0 bkz
−k ρ1 − ρ2 = n , b0 6= 0 .(2.63)
Gli esponenti ρ1 e ρ2 sono le soluzioni dell’equazione indiciale relativa all’equazionedifferenziale (2.55), cioe
ρ2 + (p0 − 1)ρ+ q0 = 0 ,
dove
p0 = limt→0
t
(2
t− P (1/t)
t2
)= 2− lim
t→0
P (1/t)
t
q0 = limt→0
t2Q(1/t)
t4= lim
t→0
Q(1/t)
t2.
In termini della variabile z:
p0 = 2− limz→∞
zP (z)
q0 = limz→∞
z2Q(z) .
Detti ora
p0 = limz→∞
zP (z)
q0 = limz→∞
z2Q(z) .
82
l’equazione indiciale diventa
ρ2 + (1− p0)ρ+ q0 = 0 .
Si noti il cambiamento di segno nel termine lineare rispetto all’equazione indiciale persingolarita al finito. I coefficienti ck, dk, bk e a nelle equazioni (2.62) si ottengonosostituendo le soluzioni nell’equazione differenziale e usando gli sviluppi
P (z) =1
z
∞∑n=0
pnzn
(2.64)
Q(z) =1
z2
∞∑n=0
qnzn
. (2.65)
Le serie (2.62) convergono certamente all’esterno di un cerchio centrato nell’origine eche comprende al suo interno tutte le singolarita dell’equazione differenziale.
2.1.5 Esempi
Consideriamo le equazioni (2.3-2.10) e studiamone il comportamento per z →∞.
1) Equazione dell’oscillatore armonico semplice:
u′′ + ω2u = 0
P (1/t) =2
t, Q(1/t) =
ω2
t4
All’infinito l’equazione ha una singolarita irregolare.
2) Equazione di Legendre:
(1− z2)u′′ − 2zu′ + αu = 0
P (1/t) =2
t− 2/t
t2 − 1, Q(1/t) =
α
t4 − t2
All’infinito l’equazione ha una singolarita fuchsiana.
3) Equazione di Bessel:
z2u′′ + zu′ + (z2 − α2)u = 0
P (1/t) =2
t− 1
t=
1
t, Q(1/t) =
1− α2t2
t4
All’infinito l’equazione ha una singolarita irregolare.
83
4) Equazione di Laguerre
zu′′ + (1− z)u′ + au = 0
P (1/t) =2
t− t− 1
t2, Q(1/t) =
a
t3
All’infinito l’equazione ha una singolarita irregolare.
5) Equazione di Hermite:
u′′ − 2zu′ + 2αu = 0
P (1/t) =2
t+
2
t3, Q(1/t) =
2α
t4
All’infinito l’equazione ha una singolarita irregolare.
6) Equazione di Chebyshev:
(1− z2)u′′ − zu′ + n2u = 0
P (1/t) =2
t+
1
t(t2 − 1), Q(1/t) =
n2
t2(t2 − 1)
All’infinito l’equazione ha una singolarita fuchsiana.
7) Equazione ipergeometrica confluente:
zu′′ + (c− z)u′ − au = 0
P (1/t) =2
t− ct− 1
t2, Q(1/t) = − a
t3
All’infinito l’equazione ha una singolarita irregolare.
8) Equazione ipergeometrica:
z(z − 1)u′′ + [(1 + a+ b)z − c]u′ + abu = 0
P (1/t) =2
t− 1 + a+ b− ct
t(1− t), Q(1/t) =
ab
t2(1− t)
All’infinito l’equazione ha una singolarita fuchsiana.
84
L’equazione ipergeometrica e un esempio di equazione totalmente fuchsiana con trepunti singolari in 0, 1,∞ i cui indici valgono rispettivamente (0, 1 − c), (0, c − a − b),(a, b); questa informazione si racchiude nel simbolo P di Riemann
P =
0 1 ∞0 0 a z
1− c c− a− b b
.
Per c 6= 0,−1,−2, · · · l’equazione ipergeometrica ammette una soluzione regolarenell’origine detta funzione ipergeometrica:
F (a, b; c; z) =∞∑l=0
(a)l(b)ll!(c)l
zl (2.66)
dove (a)l ≡ a(a + 1) · · · (a + l − 1). L’equazione ipergeometrica e particolarmenteimportante perche ogni equazione totalmente fuchsiana con 3 punti singolari puo esseread essa ricondotta con un cambiamento di variabile indipendente del tipo w = αz+β
γz+δe
a meno di potenze a fattore della soluzione.
85
Parte II
Introduzione all’analisi armonica
86
Capitolo 3
Serie di Fourier
3.1 Introduzione
Per presentare l’argomento della seconda parte di questo corso iniziamo a discutereun problema fisico molto semplice ma molto significativo. Consideriamo il circuitooscillante in figura 3.1.
Ricordando che le tensioni ai capi di un condensatore di capacita C, di una resi-stenza R e di una bobina di induttanza L sono date rispettivamente da q(t)/C, Ri(t)e Ldi/dt, dove q(t) e la carica su una faccia del condensatore e i(t) = dq/dt la corren-te, si ricava facilmente che la tensione in uscita u(t) e legata a quella in entrata f(t)dall’equazione:
LCd2u
dt2+RC
du
dt+ u(t) = f(t) , (3.1)
che puo essere utile scrivere nella forma
Ltu(t) = f(t) ,
dove Lt e l’operatore differenziale
Lt = LCd2
dt2+RC
d
dt+ 1 . (3.2)
Se la tensione d’ingresso e sinusoidale
f(t) = V cos(ωt) (3.3)
e facile trovare una soluzione dell’equazione (3.1) della forma
u(t) = A cos(ωt) +B sin(ωt) . (3.4)
87
Figura 3.1: Circuito oscillante.
Basta infatti sostituire (3.4) nell’eq.(3.1) per ottenere il sistema di due equazioni
− ω2LCA+ ωRCB + A = V (3.5)
−ω2LCB − ωRCA+B = 0 (3.6)
nelle due incognite A e B e ricavare quindi
A =1− ω2LC
(1− ω2LC)2 + ω2R2C2V ; B =
ωRC
(1− ω2LC)2 + ω2R2C2V . (3.7)
Ponendo A = ρ cosα e B = ρ sinα, la (3.4) diventa:
u(t) = ρ cos(ωt− α) = Re[ρei(ωt−α)
].
Ne segue che, introducendo l’ampiezza complessa
U = A− iB = ρe−iα , (3.8)
la (3.4) puo anche scriversi nella forma:
u(t) = Re(Ueiωt) . (3.9)
La soluzione generale dell’eq. (3.1) si ottiene aggiungendo alla soluzione particolare(3.4) la soluzione generale dell’equazione omogenea associata all’eq. (3.1); noi tuttavianon ci occupiamo del transitorio, che tende esponenzialmente a zero per t→∞ e che equindi trascurabile per tempi t molto piu grandi della costante di tempo L/R; in altreparole, ci interessano solo le soluzioni periodiche dell’eq. (3.1). Piu elegantemente,possiamo dire che noi intendiamo risolvere l’equazione:
Lu = f , (3.10)
88
dove l’operatore L e definito non solo dalla sua espressione differenziale Lt di eq.(3.2),ma anche dal suo dominio, specificato dalle condizioni al contorno periodiche:
u(t+ T ) = u(t) ,
dove T = 2π/ω e il periodo della funzione termine noto f(t).L’eq. (3.1) gode di una proprieta molto importante, la linearita:
Proprieta P1: se u1(t) e soluzione dell’eq. (3.1) con termine noto f1(t):
LCd2u1
dt2+RC
du1
dt+ u1(t) = f1(t) (3.11)
e analogamente u2(t) soddisfa:
LCd2u2
dt2+RC
du2
dt+ u2(t) = f2(t) (3.12)
allorau(t) = α1u1(t) + α2u2(t) (3.13)
sara soluzione dell’eq. (3.1) con
f(t) = α1f1(t) + α2f2(t) , (3.14)
dove α1 e α2 sono costanti complesse qualsiasi.
Per dimostrare la proprieta P1 basta moltiplicare per α1 l’eq. (3.11) e per α2
l’eq. (3.12) e poi sommarle. La linearita dell’eq. (3.1) puo anche esprimersi dicendo chel’operatore differenziale Lt (3.2) e lineare, cioe che vale:
Lt[α1u1(t) + α2u2(t)] = α1Ltu1(t) + α2Ltu2(t) . (3.15)
La P1 suggerisce per esempio di scegliere come termine noto anziche la f(t) dell’eq. (3.3)la
eω(t) = V eiωt , (3.16)
dal momento che cosωt = (eiωt + e−iωt)/2. Allora la soluzione dell’equazione
LCd2u
dt2+RC
du
dt+ u(t) = eω(t) (3.17)
e ancora piu immediata; infatti se si pone1
u(t) = U(ω)eiωt ≡ uω(t) , (3.18)
1Sia nelle incognite U e u(t) che nella funzione di entrata e(t) si e esplicitamente ricordata ladipendenza dal parametro ω per motivi che diventeranno chiari fra poco (vedi eq. (3.23).
89
sostituendo (3.18) nell’eq. (3.17) si ottiene:[LC(iω)2 +RCiω + 1
]U(ω)eiωt = V eiωt , (3.19)
da cui
U(ω) =V
1− ω2LC + iωRC=
V
R + ZL + ZCZC , (3.20)
dove
ZL(ω) = iωL , ZC(ω) =1
iωC(3.21)
sono le impedenze complesse dell’induttanza L e della capacita C. Usando poi l’identitadi Eulero
cos(ωt) =eiωt + e−iωt
2= Re eiωt , (3.22)
si puo scrivere la f(t) di (3.3) come
f(t) =1
2[eω(t) + e−ω(t)] = Re eω(t) per V reale . (3.23)
Allora la proprieta di linearita P1 ci permette di scrivere subito la soluzione dell’eq. (3.1)nella forma
u(t) =1
2[uω(t) + u−ω(t)] = Re uω(t) (3.24)
con uω(t) dato dall’eq. (3.18)2. Osservando che la U(ω) dell’eq. (3.20) coincide con laU di (3.8), si verifica subito che la soluzione (3.24) coincide con la soluzione (3.4).
La proprieta P1 ha anche una conseguenza molto piu importante e generale:
Proprieta P2: se “in qualche modo” si riesce a scrivere il termine noto dell’eq. (3.1)nella forma
f(t) =∑n
Vneiωnt , (3.25)
allora sara possibile risolvere l’eq. (3.1) e la soluzione sara (sempre a meno del transi-torio) ancora della stessa forma:
u(t) =∑n
Uneiωnt (3.26)
2Si e usata l’identita U∗(ω) = U(−ω) che segue dalla (3.20); con ∗ indichiamo la complessaconiugazione.
90
con i coefficienti Un dati dalla
Un =Vn
R + ZL(ωn) + ZC(ωn)ZC(ωn) =
Vn1− ω2
nLC + iωnRC. (3.27)
Lo scopo della seconda parte di questo corso sara proprio di trovare il modo peresprimere ampie classi di funzioni f(t) nella forma (3.25); in linguaggio matematicopossiamo dire che oggetto di questo corso e la analisi armonica.
L’analisi armonica e uno strumento matematico di enorme importanza in fisica: in-fatti le equazioni differenziali lineari del secondo ordine (in particolare a coef-ficienti costanti ) intervengono in numerosissimi problemi in ogni campo della fisica,non solo per i circuiti RLC, ma ogni volta che si vogliano descrivere piccole oscillazio-ni attorno a una situazione di equilibrio. Inoltre l’analisi armonica, in particolare latrasformata di Fourier, gioca un ruolo fondamentale nella Meccanica Quantistica.
E utile osservare che alla radice del ruolo privilegiato che giocano le funzioni eiωt
nella soluzione dell’eq. (3.1) sta il fatto che esse sono autofunzioni dell’operatoredifferenziale Lt, cioe che vale l’equazione
Lt eiωt = λeiωt , (3.28)
dove l’autovalore λ vale
λ = −LCω2 + iRCω + 1 . (3.29)
Nel capitolo successivo vedremo che ulteriori specificazioni dell’operatore differenziale(le “condizioni al contorno”) faranno sı che non tutti i valori di ω siano ammissibili.
91
3.2 Funzioni periodiche e serie di Fourier
Una prima classe di funzioni per cui si puo effettuare l’analisi armonica (3.25) contienele funzioni periodiche (di periodo T ), tali cioe che
f(t+ T ) = f(t), ∀t ∈ R . (3.30)
In tal caso e lecito aspettarsi che gli ωn dell’eq. (3.25) siano tutti multipli interidell’armonica fondamentale ω = 2π
Tovvero
ωn = n2π
T, n ∈ Z . (3.31)
Infatti dall’identita
e2πin ≡ cos(2πn) + i sin(2πn) = 1 , ∀n ∈ Z (3.32)
segue
eiωn(t+T ) ≡ ei2πTn(t+T ) = ei
2πTntei2πn = eiωnt , ∀n ∈ Z , ∀t ∈ R . (3.33)
Notare che la scelta di condizioni al contorno periodiche seleziona fra le possibilisoluzioni dell’equazione agli autovalori (3.28) solo quelle con ωn dato dalla (3.31). Senzaoccuparci per il momento di discutere la convergenza della serie
f(t) =∑n∈Z
Vneiωnt (3.34)
detta serie trigonometrica di Fourier, vediamo subito come si possono calcolarei coefficienti Vn nota la f(t); basta moltiplicare ambo i membri per e−iωlt (l ∈ Z) eintegrare su un periodo (supponendo di poter integrare termine a termine) per ottenere:∫ T
0
e−iωltf(t)dt =∑n∈Z
Vn
∫ T
0
e−iωlteiωntdt. (3.35)
Con il cambio di variabile x = 2πtT
, suggerito dalla (3.31), e usando l’identita∫ 2π
0
ei(n−l)xdx = 2πδnl , (3.36)
detta relazione di ortogonalita, si ottiene subito:
Vl =1
T
∫ T
0
e−iωltf(t)dt . (3.37)
92
L’eq. (3.37) e di grande importanza perche ci fornisce i coefficienti della serie diFourier (3.34) e quindi, grazie alla proprieta P1, il modo per risolvere l’equazionedifferenziale (3.1) con termine noto f(t) periodico. I passi sono i seguenti:
• con la (3.37) si calcolano i coefficienti Vl della serie di Fourier (3.34) di f(t);
• per ognuna delle armoniche, cioe per ognuno dei termini di tale serie, si applicala procedura che ci ha portato dal termine noto (3.16) alla soluzione (3.18),ottenendo cosı i coefficienti Un dati dalla (3.27);
• la soluzione dell’equazione differenziale sara data percio dalla serie di Fourier(3.26).
3.2.1 Convergenza puntuale delle serie trigonometrichedi Fourier
Vogliamo ora discutere le proprieta di convergenza della serie∑n∈Z
an einx (3.38)
con i coefficienti an dati da
an =1
2π
∫ 2π
0
e−inxf(x) dx . (3.39)
Per comodita siamo passati alla variabile x = 2πtT
, in cui il periodo e 2π. Notiamo subitoche per f(x) periodica, f(x+ 2π) = f(x), l’integrale puo essere esteso a qualsiasi altrointervallo di ampiezza 2π3. Notiamo inoltre che affinche la (3.39) abbia senso bisognache l’integrale esista; cio succede certamente se f(x) e sommabile4, perche tale rimanedopo essere stata moltiplicata per il fattore einx, il cui modulo vale 1.
3Vale infatti l’identita, ∀x0 ∈ R∫ x0+2π
x0
g(x)dx =
(∫ π
−π+
∫ −πx0
+
∫ x0+2π
π
)g(x)dx
=
∫ π
−πg(x)dx+
∫ −πx0
g(x)dx+
∫ x0
−πg(y + 2π)dy (3.40)
(nell’ultimo integrale si e effettuato il cambio di variabile x = y + 2π). Se l’integrando g(x) e unafunzione periodica di periodo 2π, allora i due ultimi addendi della (3.40) si cancellano e vale∫ x0+2π
x0
g(x)dx =
∫ π
−πg(x)dx, ∀x0 . (3.41)
Le due scelte piu consuete sono x0 = −π oppure x0 = 0.4Definiremo piu avanti che cosa significa funzione sommabile; per ora puo essere tranquillamente
letto come sinonimo di funzione assolutamente integrabile.
93
Prima di considerare la convergenza della serie conviene considerare il seguenteLemma di Riemann: Qualunque sia l’intervallo (a, b), finito o infinito, per ogni f(x)sommabile, vale
limk→∞
∫ b
a
f(x)e±ikxdx = limk→∞
∫ b
a
f(x) cos(kx) dx = limk→∞
∫ b
a
f(x) sin(kx) dx = 0 .
(3.42)Dimostrazione: ci limitiamo a dimostrare tale lemma nel caso particolare in cui f(x)sia di classe C1, cioe continua con la sua derivata prima. In tal caso e lecito integrareper parti e si ha∫ b
a
f(x)e±ikxdx =1
±ikf(x) e±ikx
∣∣ba∓ 1
ik
∫ b
a
f ′(x)e±ikxdx , (3.43)
da cui ∣∣∣∣∫ b
a
f(x)e±ikxdx
∣∣∣∣ ≤ 1
|k|
|f(b)|+ |f(a)|+
∫ b
a
|f ′(x)| dx. (3.44)
La parentesi graffa non contiene piu termini dipendenti da k, quindi il secondo membrotende a zero per k →∞, e di conseguenza anche il primo. Usando le formule di Eulerosi completa la dimostrazione, nel caso particolare di funzioni di classe C1; nel casogenerale la dimostrazione prosegue usando il fatto che per ogni funzione sommabilef(x) e ogni ε > 0 esiste una g ∈ C1 tale che
∫ ba|f(x)− g(x)|dx < ε.
[q.e.d.]
TEOREMA: Condizione sufficiente affinche la serie (3.38) converga puntualmentea f(x0) e che la funzione f(x) (sommabile nell’intervallo (0, 2π)) sia di classe C1
nell’intorno del punto x0.Dimostrazione Definiamo la ridotta N-esima della serie (3.38) come
SN(x0) =N∑
l=−N
al eilx0 . (3.45)
Sostituendo in (3.45) la definizione (3.39) dei coefficienti al si ottiene
SN(x0) =1
2π
∫ 2π
0
dyf(y)N∑
l=−N
eil(x0−y) . (3.46)
Usando l’identita
N∑l=−N
eilα = e−iNα2N∑n=0
(eiα)n
= e−iNα1− ei(2N+1)α
1− eiα= e−iα(N+1/2) 1− ei2(N+1/2)α
e−iα/2 − eiα/2
=sin(N + 1/2)α
sinα/2(3.47)
94
la (3.45) diventa
SN(x0) =1
2π
∫ 2π
0
dyf(y)sin [(N + 1/2)(x0 − y)]
sin(x0 − y)/2
=1
2π
∫ π
−πdtf(x0 + t)
sin [(N + 1/2)t]
sin t/2, (3.48)
dove nell’ultimo passaggio si e posto t = x0−y e si e usata la periodicita dell’integrandoper fissare l’intervallo di integrazione5. Notare che per calcolare limN→∞ SN(x0) nonsi possono applicare direttamente le formule di Riemann (3.42) alla (3.48), poiche la
funzione f(x0+t)sin t/2
non e integrabile: essa diverge come 2f(x0)t
per t→ 06.Si noti che l’integrale si puo spezzare come segue:∫ π
−π=
∫ −δ1−π
+
∫ δ2
−δ1+
∫ π
δ2
; (3.49)
∀δ1, δ2 ∈ (0, 2π) si possono applicare le formule di Riemann al primo e terzo integrale, quindi
limN→∞
∫ π
−πf(x0 + t)
sin [(N + 1/2)t]
sin t/2dt = lim
N→∞
∫ δ2
−δ1f(x0 + t)
sin [(N + 1/2)t]
sin t/2dt ; (3.50)
percio la somma della serie nel punto x0 dipende solo dal comportamento locale della funzione
f(x) (sommabile in (0, 2π)) in un intorno (arbitrariamente piccolo) del punto x0. Usando l’identita
1
2π
∫ π
−π
sin [(N + 1/2)t]
sin t/2dt = 1 , (3.51)
che si puo verificare direttamente con il metodo dei residui (o anche considerando ilcaso particolare della (3.48) per f(x) = 1), si puo scrivere
SN(x0)− f(x0) =1
2π
∫ π
−πdt sin
[(N +
1
2
)t
]f(x0 + t)− f(x0)
sin t/2. (3.52)
Adesso la funzione che moltiplica sin(N + 1/2)t e sommabile nell’intervallo (−π, π);infatti in tale intervallo sin t/2 si annulla solo nell’origine e
limt→0
f(x0 + t)− f(x0)
sin t/2= 2f ′(x0) . (3.53)
Si puo quindi passare al limite per N → ∞ e applicare le formule di Riemann perottenere
f(x0) = limN→∞
SN(x0) . (3.54)
[q.e.d]
5sin(N + 1/2)t e sin t/2 hanno periodo 4π, ma il loro rapporto ha periodo 2π.6e integrabile se f(x0) = 0, allora si applicano le formule di Riemann e si ottiene correttamente
limN→∞ SN (x0) = 0.
95
Notare che il Teorema (3.54) puo essere esteso al caso in cui nel punto x0 la funzioneabbia una discontinuita di I specie, ma sia di classe C1 sia in un intorno sinistro che inun intorno destro di x0. Al posto della (3.52) si scrive infatti
SN(x0)− f(x0+) + f(x0−)
2=
1
2π
∫ 0
−πdt sin
[(N +
1
2
)t
]f(x0 + t)− f(x0−)
sin t/2
+1
2π
∫ π
0
dt sin
[(N +
1
2
)t
]f(x0 + t)− f(x0+)
sin t/2,
(3.55)
dove f(x0−) e f(x0+) sono i limiti destro e sinistro nel punto x0 e si e usata l’identita∫ π
0
sin (N + 1/2) t
sin t/2dt =
∫ 0
−π
sin (N + 1/2) t
sin t/2dt = π . (3.56)
Dalle formule di Riemann segue allora:
limN→∞
SN(x0) =f(x0+) + f(x0−)
2, (3.57)
di cui la (3.54) e ovviamente un caso particolare. Se il punto x0 cade in uno degliestremi dell’intervallo di definizione della f(x0), continua a valere la (3.57) purche lafunzione sia continuata periodicamente: f(x+ 2π) = f(x).
3.2.2 Importanti commenti
Il teorema appena visto garantisce la convergenza puntuale, mentre per la convergenzauniforme in [a, b] e necessario che la funzione f(x) sia ivi continua e la sua derivatacontinua a tratti. Questione diversa e l’integrabilita termine a termine della serie diFourier, che e invece garantita sotto le ipotesi del teorema precedente. Notiamo infattiche l’integrale della serie ha coefficienti soppressi da k∫ x
x0
f(x) dx =+∞∑
k=−∞
akikeikx|xx0 (3.58)
e converge piu rapidamente.In vista di una successiva applicazione fisica, torniamo alla variabile t = T
2πx:
f(t) =∞∑
n=−∞
an eiωnt (3.59)
i cui coefficienti sono, secono la (3.37),
am =1
T
∫ T/2
−T/2f(t)e−iωmtdt . (3.60)
96
Se la funzione f(t) assume valori reali si vede subito che i coefficienti an soddisfano larelazione seguente:
a∗n = a−n. (3.61)
E utile osservare che, posto an = |an|e−iαn , si puo allora scrivere:
aneiωnt + a−ne
−iωnt = |an|[ei(ωnt−αn) + e−i(ωnt−αn)
]= An cos(ωnt− αn), (3.62)
con
An = 2|an| . (3.63)
Quindi per f(t) reale la serie (3.59) diventa
f(t) = a0 +∞∑n=1
An cos(ωnt− αn) . (3.64)
Un integrale dalle importanti applicazioni fisiche e
1
T
∫ T/2
−T/2|f(t)|2dt =
1
T
∫ T/2
−T/2
(∞∑
m=−∞
a∗me−iωmt
)f(t) =
∞∑m=−∞
|am|2 . (3.65)
dove si sono sfruttate le identita:∫ T/2
−T/2e−iωmteiωnt = Tδmn , (3.66)
note come relazioni di ortogonalita, su cui torneremo piu avanti. La (3.65), cheprende il nome di equazione di Parseval scritta nella base delle funzioni esponenziali,illustra come ogni componente di Fourier contribuisca separatamente all’integrale; nonci sono cioe termini di interferenza del tipo a∗man. Qualora f(t) rappresenti la correnteelettrica attraverso una resistenza R, la (3.65) moltiplicata per R mostra che la potenzamedia dissipata per effetto Joule e uguale alla somma delle potenze dissipate sulle variefrequenze.
Per f(t) reale la (3.65) diventa infatti:
1
T
∫ T/2
−T/2|f(t)|2dt = a2
0 + 2∞∑n=1
|an|2 = a20 +
∞∑n=1
(An√
2
)2
, (3.67)
dove nell’ultimo passaggio si e ricordata la (3.63). In questo caso a0 e la componentedi corrente continua della f(t) e An/
√2 il valore efficace della corrente alternata di
pulsazione ωn.
97
Serie di Fourier e funzioni trigonometriche. Molto spesso anziche usare il si-stema trigonometrico in forma esponenziale
eilx, l ∈ Z
e utile usare il sistema
trigonometrico tout court:
1, sinx, cosx, sin(2x), cos(2x), ... = sin(nx), cos(nx) , n = 0, 1, 2, ...
(3.68)
E immediato verificare direttamente che le (3.68) formano un sistema di funzioniortogonali nell’intervallo (−π, π) (o in qualunque altro intervallo di ampiezza 2π).Infatti: ∫ π
−πsin(mx) sin(nx)dx = πδmn (m 6= 0)∫ π
−πcos(mx) cos(nx)dx = πδmn (m 6= 0)
= 2πδmn (m = 0)∫ π
−πsin(mx) cos(nx)dx = 0 . (3.69)
Data una f(x) sommabile nell’intervallo (−π, π), anziche la serie (3.38) proviamo ascrivere
f(x) =A0
2+∞∑n=1
[An cos(nx) +Bn sin(nx)] . (3.70)
Se la (3.70) e vera, i coefficienti An e Bn si ottengono moltiplicando la (3.70) rispetti-vamente per cos(mx) e sin(mx), integrando su x fra −π e π e sfruttando le relazioni diortogonalita (3.69), nell’ipotesi che la serie converga a f(x) e si possa integrare terminea termine. Si ricava cosı
An =1
π
∫ π
−πcos(nx)f(x)dx n = 0, 1, . . . (3.71)
Bn =1
π
∫ π
−πsin(nx)f(x)dx n = 1, 2, . . . . (3.72)
Il coefficiente A0 si ricava integrando la (3.70) tra −π e π.Per la convergenza puntuale della serie (3.70) valgono esattamente gli stessi teoremi
dimostrati per la serie (3.38), cioe se in un punto x interno all’intervallo (−π, π) lafunzione f(x) e di classe C1, cioe continua assieme alla sua derivata prima, allora la(3.70) e vera nel senso della convergenza puntuale. Se invece nel punto x0 la f(x)
98
ha una discontinuita di prima specie, ma e di classe C1 sia in un intorno sinistro chein un intorno destro di x0, vale allora:
A0
2+∞∑n=1
[An cos(nx0) +Bn sin(nx0)] =f(x0+) + f(x0−)
2. (3.73)
dove f(x0+) e f(x0−) sono rispettivamente i limiti destro e sinistro di f(x) nel puntox0.
Se il punto x0 cade in uno degli estremi dell’intervallo di definizione continua avalere quanto abbiamo detto per i punti interni purche la funzione sia continuataperiodicamente su tutto l’asse reale secondo la f(x+ 2π) = f(x).
L’equazione di Parseval, in termini dei coefficienti An e Bn, assume la formaseguente: ∫ π
−π|f(x)|2dx =
π
2|A0|2 + π
∞∑n=1
(|An|2 + |Bn|2
).
Se la funzione f(x) e pari (f(−x) = f(x)), i coefficienti Bn sono nulli e la (3.70) siriduce a una serie di coseni:
f(x) =A0
2+∞∑n=1
An cos(nx) .
Se la funzione f(x) e dispari (f(−x) = −f(x)), i coefficienti An sono nulli e la (3.70)si riduce a una serie di seni:
f(x) =∞∑n=1
Bn sin(nx) .
Esempio
Sviluppiamo in serie di Fourier la funzione a gradino:
ε(x) =
−1 − π < x < 0+1 0 ≤ x ≤ π .
99
Poiche la funzione e dispari, lo sviluppo in serie di Fourier conterra solo seni (An = 0).I coefficienti Bn sono:
Bn =1
π
∫ π
−πsin(nx)ε(x)dx
=1
π
−∫ 0
−πsin(nx)dx+
∫ π
0
sin(nx)dx
=
2
π
∫ π
0
sin(nx)dx =2
nπ[− cos(nx)]π0
=2
nπ[1− (−1)n] =
0 n pari4nπ
n dispari.
Pertanto
ε(x) =4
πsinx+
4
3πsin(3x) +
4
5πsin(5x) + ...
=4
π
∞∑n=0
sin[(2n+ 1)x]
2n+ 1.
Graficamente, le successive approssimazioni sono mostrate in Fig. (3.2 Notare chenell’origine e nei punti ±π la somma della serie vale zero, in accordo con la (3.73).
Per n → ∞, si verifica il cosiddetto fenomeno di Gibbs, tipico delle serie di Fourier di funzioni
discontinue: in prossimita di una discontinuita di prima specie, la ridotta ennesima della serie di
Fourier presenta un picco, tanto piu stretto quanto maggiore e n, di altezza pari a circa il 9% del
salto. Questo esempio mostra che la serie di Fourier non converge uniformemente alla funzione f(x)
nei punti in cui essa ha una discontinuita di I specie.
Scriviamo adesso esplicitamente la generalizzazione delle eq.(3.70),(3.71) e (3.72) alcaso di funzioni periodiche con periodo T 6= 2π. In questo caso si pone
t =T
2πx .
Se x varia nell’intervallo (−π, π), la variabile t variera nell’intervallo (−T/2, T/2). Laserie di Fourier (3.70) diventa cosı:
f(t) =A0
2+∞∑n=1
[An cos
(2πnt
T
)+Bn sin
(2πnt
T
)],
con
An =1
π
∫ π
−πcos(nx)f(t(x))dx =
2
T
∫ T/2
−T/2cos
(2πnt
T
)f(t)dt
Bn =1
π
∫ π
−πsin(nx)f(t(x))dx =
2
T
∫ T/2
−T/2sin
(2πnt
T
)f(t)dt .
100
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
N=0N=1N=2
N=100
Figura 3.2:
3.2.3 Altri esempi
Esempio 1. Lo sviluppo in serie di Fourier della funzione
f(x) = | sinx| − π < x < π
contiene solo coseni, perche f(x) e pari:
f(x) =A0
2+∞∑n=1
An cos(nx) .
I coefficienti di Fourier sono:
An =1
π
∫ π
−π| sinx| cos(nx)dx =
2
π
∫ π
0
sinx cos(nx)dx
=1
π
∫ π
0
[sin(n+ 1)x− sin(n− 1)x] dx =1
π
[1− cos(n+ 1)π
n+ 1+
cos(n− 1)π − 1
n− 1
]= − 2
π
1 + cosnπ
n2 − 1se n 6= 1 .
101
Se n = 1
A1 =2
π
∫ π
0
sinx cosxdx =2
π
sin2 x
2
∣∣∣∣π0
= 0 .
Quindi
f(x) =2
π− 2
π
∞∑n=2
1 + (−1)n
n2 − 1cosnx =
2
π− 4
π
∞∑k=1
cos 2kx
(2k)2 − 1
=2
π− 4
π
(cos 2x
3+
cos 4x
24+
cos 6x
35+ · · ·
)
Esempio 2.
f(x) = |x| − π < x < π
A0 =2
π
∫ π
0
xdx = π
An =2
π
∫ π
0
x cosnxdx =2
πn
(x sinnx|π0 −
∫ π
0
sinnxdx
)=
2
πn2[1− (−1)n]
da cui
f(x) =π
2− 4
π
∞∑k=0
cos(2k + 1)x
(2k + 1)2=π
2− 4
π
(cosx+
cos 3x
9+
cos 5x
25+ · · ·
)
Esempio 3.
f(x) = x 0 < x < 2π
A0 =1
π
∫ 2π
0
xdx = 2π
An =1
π
∫ 2π
0
x cosnx =1
πn
(x sinnx|2π0 −
∫ 2π
0
sinnxdx
)= 0
Bn =1
π
∫ 2π
0
x sinnx =1
πn
(−x cosnx|2π0 +
∫ 2π
0
cosnxdx
)= − 2
n.
Quindi
f(x) = π − 2∞∑n=1
sinnx
n= π − 2
(sinx+
sin 2x
2+
sin 3x
3+ · · ·
)Si consiglia agli studenti di disegnare i grafici delle f(x) dei tre esempi proposti.
102
Capitolo 4
Trasformate Integrali
4.1 Trasformata di Fourier
Nel capitolo 1 abbiamo imparato a risolvere l’eq. (3.1) nel caso in cui il termine notosia periodico e abbiamo dovuto poi allargare il discorso per dare un senso precisoalla convergenza puntuale della serie (trigonometrica) di Fourier. Ma come possiamorisolvere l’eq. (3.1) quando il termine noto non e periodico? Come fare a scriverlo comesomma di termini della forma eiωnt che sono invece periodici?
Il modo migliore e di considerare una funzione non periodica come caso limite diuna periodica con periodo L che tende a infinito. A questo scopo scriviamo i coefficientidi Fourier
an =1
L
∫ L/2
−L/2e−iknxf(x)dx , con kn ≡
2πn
L(4.1)
nella forma
an =1√2πF (kn)∆k , (4.2)
dove
F (kn) ≡ 1√2π
∫ L/2
−L/2e−iknxf(x)dx , (4.3)
e
∆k = kn − kn−1 =2π
L. (4.4)
Allora la serie trigonometrica di Fourier (3.59) si puo riscrivere come
f(x) =1√2π
∞∑n=−∞
eiknxF (kn)∆k . (4.5)
A questo punto effettuiamo il limite L → ∞, nel quale ∆k → 0 e la serie a secondomembro della (4.5) puo riguardarsi come una somma integrale alla Riemann per la
103
funzione eikxF (k), estesa all’intervallo (−∞,+∞), diviso in infiniti intervalli parzialidi ampiezza ∆k → 0. Pertanto la (4.5) diventa
f(x) =1√2π
∫ ∞−∞
F (k)eikxdk , (4.6)
dove, per la (4.3),
F (k) =1√2π
∫ ∞−∞
f(x)e−ikxdx . (4.7)
La funzione F (k) si chiama trasformata di Fourier (TF) della funzione f(x) e lafunzione f(x) antitrasformata di Fourier della funzione F (k).
I passaggi che abbiamo fatto per giungere alle (4.6) e (4.7) sono un po’ disinvolti.Per essere precisi dobbiamo dimenticare le operazioni di limite e assumere la (4.7) comedefinizione della Trasformata di Fourier, sotto la condizione che la f(x) sia sommabilesull’asse reale; la (4.6) va invece scritta piu correttamente come
f(x) =1√2π
limR→∞
∫ R
−RF (k)eikxdk (4.8)
e si dimostra che vale sotto la condizione (sufficiente) che nell’intorno del punto xla funzione f(x) sia di classe C1; naturalmente se l’integrale (4.6) esiste la (4.8) eequivalente alla (4.6).
4.1.1 Esempi
Esempio 1. La trasformata di Fourier della funzione
f(x) =1
x2 + a2, a ∈ R+
e
F (k) =1√2π
∫ ∞−∞
e−ikx
(x+ ia)(x− ia)dx .
Se k > 0 chiudiamo il cammino di integrazione nel semipiano Imz < 0 e otteniamo:
F (k) = − 1√2π
2πi Rese−ikz
(z + ia)(z − ia)
∣∣∣∣z=−ia
=
√π
2
e−ka
a.
104
Se k < 0 chiudiamo invece nel semipiano Imz > 0 e otteniamo:
F (k) =1√2π
2πi Rese−ikz
(z + ia)(z − ia)
∣∣∣∣z=ia
=
√π
2
eka
a.
Pertanto
F (k) =
√π
2
e−|k|a
a.
La verifica della (4.6) e immediata e coinvolge solo un integrale elementare.
Esempio 2. La trasformata di Fourier della funzione
f(x) =
1 |x| < a0 |x| > a
(4.9)
e
F (k) =1√2π
∫ +∞
−∞f(x)e−ikxdx =
1√2π
∫ +a
−ae−ikxdx
=1√2π
eika − e−ika
ik=
√2
π
sin ka
k. (4.10)
Per verificare che l’antitrasformata di (4.10) sia effettivamente la (4.9) dobbiamo cal-colare l’integrale
I(x) ≡ 1√2π
limR→∞
∫ +R
−RF (k)eikxdk =
1
πlimR→∞
∫ +R
−R
sin(ka)
keikx dk
=1
2πilimR→∞
∫ +R
−R
[eik(x+a)
k− eik(x−a)
k
]dk (4.11)
deformando il cammino di integrazione come nell’esempio 4 del paragrafo 1.6.4, aggi-rando per esempio l’origine nel semipiano immaginario positivo. Se x > a entrambigli integrali in (4.11) ricadono nel caso α > 0 del lemma di Jordan e pertanto si puochiudere il cammino d’integrazione con una semicirconferenza nel semipiano superiore;all’interno del cammino d’integrazione l’integrando e regolare e pertanto:
I(x) = 0 se x > a .
Analogamente, se x < −a conviene aggirare l’origine nel semipiano immaginario ne-gativo, perche entrambi gli integrali in (4.11) ricadono nel caso α < 0 del lemma diJordan e pertanto si puo chiudere il cammino d’integrazione con una semicirconferenzanel semipiano inferiore, ottenendo di nuovo zero:
I(x) = 0 se x < −a .
105
Se invece |x| < a, e si aggira l’origine nel semipiano immaginario positivo, il primointegrale, che si puo chiudere nel semipiano superiore, da zero, mentre il secondo, cheva chiuso nel semipiano inferiore, da:
I(x) = − 1
2πi(−2πi)Res
eik(x−a)
k
∣∣∣∣k=0
= 1 .
Abbiamo cosı dimostrato che I(x) = f(x) per ogni x 6= a. Per x = a possiamodeformare il cammino sopra la singolarita scrivendo, come in Sez. 1.6.5,
I(a) =1
2πilimR→∞
∫ +R
−R
[e2ika
k + iε− 1
k + iε
]dk . (4.12)
Il primo integrale si chiude nel semipiano immaginario positivo e si annulla per il teo-rema di Cauchy, mentre per il secondo usiamo la (1.61) sapendo che la parte principaledell’integrale si annulla. Il risultato e
I(a) = − 1
2πi(−iπ) =
1
2=f(a−) + f(a+)
2. (4.13)
Questo mostra che nei punti di discontinuita di prima specie la situazione e analoga aquella vista per le serie di Fourier: l’antitrasformata da il valor medio tra i limiti destroe sinistro della funzione.
Esempio 3. La trasformata di Fourier della funzione gaussiana
f(x) = e−x2/a2
e
F (k) =1√2π
∫ +∞
−∞e−(x/a)2−ikxdx =
e−(ka)2/4
√2π
∫ +∞
−∞e−(x/a−ika/2)2dx
=e−(ka)2/4
√2π
a
∫ +∞
−∞e−t
2
dt =a√2e−a
2k2/4, (4.14)
cioe ancora una gaussiana, di larghezza inversamente proporzionale a quella della fun-zione trasformanda. 1 La verifica della (4.6), che da l’antitrasformata di F (k), eimmediata: non si tratta che di rifare lo stesso conto con a→ A = 2/a.
1Con il cambiamento di variabile x → t = x/a − ika/2, il cammino di integrazione nel pianocomplesso di t non e piu l’asse reale ma e diventato una retta ad esso parallela; tuttavia, usando lateoria dell’integrazione in campo complesso, e facile mostrare che cio non fa differenza.
106
4.1.2 Proprieta della trasformata di Fourier
Elenchiamo alcune importanti proprieta delle trasformate di Fourier. Per comoditaintroduciamo il simbolo Fk(f) per indicare la trasformata di Fourier della funzionef(x):
Fk(f) ≡ 1√2π
∫ +∞
−∞f(x)e−ikxdx . (4.15)
• Linearita:
Fk(a1f1 + a2f2) = a1Fk(f1) + a2Fk(f2) , ∀a1, a2 ∈ C . (4.16)
• Trasformata di Fourier di funzioni a parita definita
Cosı come la serie trigonometrica di Fourier di una funzione pari (dispari) contienesolo coseni (seni), le trasformate di Fourier di funzioni a parita definita si possonosemplificare come segue:
F (k) =1√2π
∫ ∞−∞
f(x)[cos(kx)− i sin(kx)]dx
=
√2
π
∫∞0f(x) cos(kx)dx se f(−x) = f(x)
−i∫∞
0f(x) sin(kx)dx se f(−x) = −f(x) .
(4.17)
Una ovvia conseguenza delle (4.17) e che la Trasformata di Fourier di una funzionepari (dispari) e una funzione pari (dispari).
• La trasformata di Fourier della derivata f ′(x) (ammesso che f ′(x) esista esia sommabile) e legata alla trasformata di f(x) dalla relazione:
Fk(f ′) = ikFk(f) (4.18)
Infatti integrando per parti si ottiene:
Fk(f ′) =1√2π
∫ ∞−∞
f ′(x)e−ikxdx
=f(x)√
2πe−ikx
∣∣∣∣∞−∞
+ik√2π
∫ ∞−∞
f(x)e−ikxdx
=ik√2π
∫ ∞−∞
f(x)e−ikxdx = ikFk(f) ,
dove il termine integrato deve essere nullo affinche la trasformata di Fourier esista.
107
La relazione (4.18) puo essere iterata per ottenere le trasformate delle derivatesuccessive:
Fk(f ′′) = ikFk(f ′) = (ik)2Fk(f)
Fk[f (n)] = (ik)nFk(f) , (4.19)
ovviamente supponendo che la funzione f(x) ammetta derivate fino all’ennesimae che f (n)(x) sia sommabile sull’asse reale.
Moltiplicando ambo i membri della (4.18) per −i e usando la linearita dellaTrasformata di Fourier si puo simbolicamente stabilire la corrispondenza:
− i ddx↔ k (4.20)
fra l’operatore derivata nello spazio delle funzioni f(x) e la semplice moltipli-cazione per k nello spazio delle funzioni F (k); tale corrispondenza e di grandeimportanza in Meccanica Quantistica.
• Dalla disuguaglianza
|Fk(f)| ≤ 1√2π
∫ +∞
−∞|f(x)|dx = cost. (4.21)
segue che la TF di una funzione sommabile e sempre una funzione limitata. Dalla(4.19) segue quindi che la TF di una funzione n volte derivabile e almeno O(1/kn)per k →∞; in breve, quanto piu una funzione e liscia (ovvero quanto maggiore eil suo ordine di derivabilita) tanto piu velocemente la sua TF va a zero all’infinito.Nell’esempio 2 della sezione precedente f(x) e discontinua e la sua TF e O(1/k).Negli esempi 1 e 3 abbiamo invece considerato funzioni infinitamente derivabili,la cui TF e esponenzialmente soppressa a grandi k.
• Se l’argomento della funzione f(x) viene traslato di una costante reale a, per la F vale laseguente relazione:
Fk[f(x+ a)] = eikaFk[f(x)]. (4.22)
Infatti
Fk[f(x+ a)] =1√2π
∫ ∞−∞
f(x+ a)e−ikxdx
=1√2π
∫ ∞−∞
f(x′)e−ik(x′−a)dx′ =
eika√2π
∫ ∞−∞
f(x′)e−ikx′dx′
= eikaFk(f) .
• Se si moltiplica la funzione f(x) per un esponenziale, la trasformata di Fourier e:
Fk[e−iαxf(x)
]= Fk+α[f(x)] , ∀α ∈ R
come si puo facilmente verificare a partire dalle definizioni di F .
108
• Se si moltiplica la funzione f(x) per x, le trasformata di Fourier diventa:
Fk [xf(x)] = id
dkFk[f(x)] (4.23)
come si puo facilmente verificare derivando sotto il segno, nell’ipotesi che la fun-zione xf(x) sia ancora sommabile sull’asse reale. Come la (4.18), anche la (4.23)si puo iterare, ottenendo
Fk [xnf(x)] =
(id
dk
)nFk[f(x)] (4.24)
sempre nell’ipotesi che la funzione xnf(x) sia ancora sommabile sull’asse reale.
La (4.23) stabilisce la corrispondenza, duale della (4.20),
x↔ id
dk,
fra moltiplicazione per x nello spazio delle f(x) e la derivata nello spazio delleF (k).
• L’equazione (4.24) mostra che quanto piu rapidamente una funzione decresceall’infinito, tanto piu la sua TF e liscia (cioe maggiormente derivabile). Nell’e-sempio 1 abbiamo infatti visto che la TF di una funzione O(1/x2) all’infinito haderivata discontinua nell’origine, mentre la TF di una gaussiana e ancora unagaussiana (infinitamente derivabile).
• Se chiamiamo S lo spazio lineare delle funzioni di prova, rapidamente decre-scenti e infinitamente derivabili:
S = f ∈ C∞; xnf(x) limitata su R, ∀n ∈ N , (4.25)
le (4.19) e (4.24) implicano che la TF manda le funzioni di prova (nella variabilex) in funzioni di prova (nella variabile k):
Fk(f) ∈ S , ∀f ∈ S . (4.26)
• Teorema di convoluzione.
Definiamo la convoluzione g = f1 ∗ f2 di due funzioni f1 e f2:
g(x) =
∫ ∞−∞
f1(x′)f2(x− x′)dx′ . (4.27)
E immediato vedere che il prodotto convolutivo e commutativo e associativo:
f1 ∗ f2 = f2 ∗ f1 (4.28)
f1 ∗ (f2 ∗ f3) = (f1 ∗ f2) ∗ f3 . (4.29)
109
Il teorema di convoluzione afferma che la trasformata di Fourier della convolu-zione di due funzioni e (a parte una costante moltiplicativa) il prodotto delletrasformate di Fourier delle due funzioni:
Fk(g) =√
2πFk(f1)Fk(f2) . (4.30)
Dimostrazione:
Fk(g) =1√2π
∫ ∞−∞
dx g(x) e−ikx
=1√2π
∫ ∞−∞
dx
∫ ∞−∞
dx′f1(x′)f2(x− x′)e−ikx
=1√2π
∫ ∞−∞
dx
∫ ∞−∞
dx′f1(x′)e−ikx′f2(x− x′)e−ik(x−x′) .
Se ora passiamo dalle variabili (x, x′) alle variabili (z = x − x′, x′) e scambiamol’ordine di integrazione usando il Teorema di Fubini Tonelli (vedi eq.(D.5) inAppendice D), otteniamo:
Fk(g) =1√2π
∫ ∞−∞
dx′f1(x′)e−ikx′∫ ∞−∞
dzf2(z)e−ikz =√
2πFk(f1)Fk(f2) .
[q.e.d.]
4.1.3 Soluzione di equazioni differenziali mediante la trasfor-mata di Fourier
La proprieta (4.20) trasforma un’equazione differenziale a coefficienti costanti inun’elementare equazione algebrica lineare; chiamando U(k) e F (k) le Trasformate diFourier dell’incognita u(x) e del termine noto f(x), l’equazione differenziale
au′′(x) + bu′(x) + cu(x) = f(x), (4.31)
diventa semplicemente:
− ak2 U(k) + ibk U(k) + c U(k) = F (k), (4.32)
da cui e immediato ricavare U(k); infine antitrasformando si ricava la funzione incognitau(x).
Notare come questo procedimento per risolvere equazioni differenziali a coefficienticostanti mediante la trasformata di Fourier sia l’esatto parallelo di quello illustratonel Capitolo 2, dopo l’eq.(3.37), per l’uso della Serie trigonometrica di Fourier; allorarichiedevamo che termine noto e soluzione fossero funzioni periodiche, ora abbiamolasciato cadere questa richiesta; va tuttavia osservato che la procedura appena descritta
110
per risolvere l’equazione (4.31) ha senso solo se il termine noto e la soluzione sonosommabili e cio e molto restrittivo.
Torneremo su questo punto quando parleremo della Trasformata di Laplace; perora limitiamoci a illustrare un esempio di soluzione di un’equazione differenziale (allederivate parziali) mediante la trasformata di Fourier.
Esempio: l’equazione del calore
Risolviamo l’equazione di diffusione del calore
∂2T (x, t)
∂x2=
1
κ
∂T (x, t)
∂t(4.33)
con la condizione iniziale
T (x, 0) = f(x) .
Fisicamente T (x, t) rappresenta la distribuzione di temperatura al tempo t in unasbarra di lunghezza infinita, e la distribuzione iniziale e data dalla funzione sommabilef(x)2. La costante κ e la conducibilita termica. Moltiplicando l’equazione (4.33) pere−ikx e integrando su x da −∞ a ∞ si ottiene:∫ ∞
−∞e−ikx
∂2T (x, t)
∂x2dx =
1
κ
∫ ∞−∞
e−ikx∂T (x, t)
∂tdx .
Chiamando F (k, t) la trasformata di Fourier rispetto a x della T (x, t), ovvero F (k, t) =1√2π
∫ +∞−∞ e−ikxT (x, t) dx, e ricordando la (4.19) si ottiene
− k2F (k, t) =1
κ
∂
∂tF (k, t) .
Questa e un’equazione differenziale del prim’ordine in F (k, t), la cui soluzione e
F (k, t) = F (k, 0)e−κk2t .
Dalle condizioni iniziali si ha
F (k, 0) =1√2π
∫ ∞−∞
T (x, 0)e−ikxdx =1√2π
∫ ∞−∞
f(x)e−ikxdx ≡ F (k)
da cui
F (k, t) =1√2πe−κk
2t
∫ ∞−∞
f(x)e−ikxdx .
2Essendo la lunghezza della sbarra infinita, l’equilibrio termico viene raggiunto alla temperaturadata dal limx±∞ f(x). Per avere f(x) sommabile, e necessario che lo zero della scala delle temperaturevenga fissato a questo valore.
111
Per ricavare T (x, t) antitrasformiamo secondo Fourier
T (x, t) =1√2π
∫ ∞−∞
F (k, t)eikxdk
=1
2π
∫ ∞−∞
dk
∫ ∞−∞
dx′f(x′)e−ikx′eikxe−κk
2t
=1
2π
∫ ∞−∞
dke−κk2t
∫ ∞−∞
dx′f(x′)e−ik(x′−x) ,
integriamo su k
∫ ∞−∞
dke−κk2t−ik(x′−x) =
∫ ∞−∞
dke−[κk2t+ik(x′−x)− (x′−x)2
4κt+
(x′−x)24κt
]
= e−(x′−x)2
4κt
∫ ∞−∞
dke−[k√κt+ i
2x′−x√κt
]2
=
√π
κte−
(x′−x)24κt ,
e giungiamo finalmente al risultato:
T (x, t) =
√1
4πκt
∫ ∞−∞
f(x′)e−(x′−x)2
4κt dx′ .
Si puo arrivare piu facilmente allo stesso risultato osservando che e−κk2t e la TF di
1√2κte−x
2/(4κt); quindi F (k, t) e il prodotto di due TF e l’antitrasformata e la convolu-
zione di f(x) e 1√2κte−x
2/(4κt).
La funzione3
G(x, x′, t) =
√1
4πκte−
(x′−x)24κt θ(t), (4.34)
detta nucleo del calore (heat kernel), e la funzione di Green o propagatore del-l’eq. (4.33) ed e tale che la
T (x, t) =
∫ ∞−∞
G(x, x′, t)f(x′)dx′ (4.35)
3Con
θ(t) =
0 t < 01 t > 0
denotiamo la funzione a gradino di Heaviside. E necessario introdurla perche tutto il discorso fattoperde completamente senso per t < 0: e−κk
2t da gaussiana diventa furiosamente crescente per k → ±∞se t < 0.
112
descrive la propagazione del calore dal punto x′ al punto x al tempo t > 0.Se, per esempio, la sorgente e puntiforme (cioe diversa da zero solo nell’origine):
f(x) = δ(x)
(per la definizione della delta di Dirac δ(x), vedi piu avanti, paragrafo 5.3.2) allora il calore si propagain modo che la temperatura assume una distribuzione gaussiana di larghezza proporzionale a
√t:
T (x, t) =
∫ ∞−∞
G(x, x′, t)δ(x′)dx′ = G(x, 0, t) =
√1
4πκte−
x2
4κt .
E anche interessante notare che per t → 0+ il nucleo del calore (4.34) tende alla delta di Dirac(vedi eq. (5.63)):
limt→0+
G(x, x′, t) = δ(x− x′), (4.36)
come deve essere affinche la (4.35) riproduca le condizioni iniziali per t→ 0+.
113
4.2 Trasformata di Laplace
Come abbiamo gia detto nel paragrafo precedente, il metodo della TF permette di risol-vere equazioni differenziali a coefficienti costanti soltanto in un campo molto ristretto;la stessa funzione f(x)=1 non potrebbe essere accettata ne come soluzione ne cometermine noto. D’altra parte, se vogliamo risolvere un’equazione con condizioni inizialial tempo t = 0, ci interessa sapere solo cio che succede per t ≥ 0. E quindi convenienteconsiderare una sorta di TF definita da un integrale esteso solo al semiasse delle t > 0.In tal caso, se f(t) e localmente sommabile, cioe e sommabile su ogni intervallo finitodel semiasse reale t ≥ 0, e se esistono α′ ∈ R, M > 0 e t0 ≥ 0 tali che ∀t > t0 valga
e−α′t|f(t)| < M (4.37)
la funzione
gα(t) ≡ e−αtf(t)θ(t)
e sommabile sull’intero asse reale ∀α > α′. Infatti ∀t > t0
|gα(t)| =∣∣∣e−(α−α′)te−α
′tf(t)∣∣∣ ≤ e−(α−α′)tM (4.38)
e quindi tende esponenzialmente a zero per t→ +∞, rimanendo localmente sommabilese tale era f(t). Quindi gα(t) possiede la trasformata di Fourier:
Gα(ω) =1√2π
∫ ∞−∞
f(t)e−αtθ(t)e−iωtdt =1√2π
∫ ∞0
f(t)e−(α+iω)tdt . (4.39)
Introduciamo ora la variabile complessa s = α + iω e definiamo F (s) =√
2πGα(ω).Allora la (4.39) diventa
F (s) =
∫ ∞0
f(t)e−stdt (4.40)
e prende in nome di trasformata di Laplace (TL) della funzione f(t); chiamandoascissa di convergenza α0 ∈ R l’estremo inferiore degli α′ per cui vale la (4.37),la F (s) e definita nel semipiano Res > α0 e ivi e analitica, come si vede facilmentederivando sotto il segno, poiche, grazie alla (4.38), tnf(t) ha la stessa ascissa di conver-genza di f(t), per ogni n naturale. L’antitrasformata di Laplace e definita da unintegrale in campo complesso. Infatti antitrasformando la (4.39) si ricava, nell’ipotesiche f(t) sia di classe C1 nell’intorno di t,
f(t)e−αtθ(t) =1√2π
limR→∞
∫ R
−RGα(ω)eiωtdω , (4.41)
da cui
f(t)θ(t) =1√2π
limR→∞
∫ R
−RGα(ω)e(α+iω)tdω =
1
2πi
∫γ
F (s)estds , (4.42)
114
dove il cammino di integrazione γ e una retta parallela all’asse immaginario del pia-no di s, di equazione Re s=α > α0. L’antitrasformata (4.42) si indica di solito,sottintendendo la θ(t), come
f(t) =1
2πi
∫ α+i∞
α−i∞F (s)estds , (4.43)
che per essere piu precisi andrebbe scritta come
f(t) =1
2πilimR→∞
∫ α+iR
α−iRF (s)estds . (4.44)
Osserviamo subito: si puo dimostrare che F (s) = o(1) per s → ∞ in ogni direzionedel semipiano di analiticita. Per t < 0 si puo quindi applicare il lemma di Jordan(vedi caso 4) chiudendo il cammino con una semicirconferenza nel semipiano a destradi Re s = α, ottenendo f(t) = 0, visto che F (s) e analitica nel semipiano Re s > α0.
4.2.1 Esempi
• La trasformata di Laplace della funzione f(t) = 1 e
F (s) =
∫ ∞0
e−stdt =1
s.
L’integrale converge per Re(s) > 0 (cioe α0 = 0). Il calcolo dell’integrale (4.43)mediante il metodo dei residui mostra subito che l’antitrasformata di Laplace di1/s e θ(t).
• La trasformata di Laplace della funzione f(t) = t e
F (s) =
∫ ∞0
te−stdt = −∫ ∞
0
∂
∂se−stdt = − d
ds
∫ ∞0
e−stdt = − d
ds
(1
s
)=
1
s2
• La trasformata di Laplace della funzione f(t) = tn e
F (s) =
∫ ∞0
tne−stdt = (−1)n∫ ∞
0
∂n
∂sne−stdt
= (−1)ndn
dsn
∫ ∞0
e−stdt = (−1)ndn
dsn
(1
s
)=
n!
sn+1.
• La trasformata di Laplace della funzione f(t) = cos t e
F (s) =
∫ ∞0
e−st cos tdt =1
2
∫ ∞0
e−st(eit + e−it
)dt
=1
2
e−(s−i)t
−(s− i)
∣∣∣∣∞0
+e−(s+i)t
−(s+ i)
∣∣∣∣∞0
=
s
s2 + 1.
115
Tutte le funzioni discusse in questi esempi hanno ascissa di convergenza α0 = 0; la loroTrasformata di Laplace e percio analitica in tutto il semipiano Res > 0; nell’esempiosuccessivo vedremo che non e sempre cosı.
• La trasformata di Laplace della funzione f(t) = eat, con a ∈ C, e
F (s) =
∫ ∞0
e−steatdt =e−(s−a)t
−(s− a)
∣∣∣∣∞0
=1
s− a,
dove e stato necessario supporre Re s > Re a per poter affermare chelimt→+∞ e
−(s−a)t = 0; per Re s < Re a l’integrale che definisce la trasformata diLaplace diverge, quindi l’ascissa di convergenza della funzione f(t) = eat e α0 =Re a; cio concorda con il fatto che la trasformata di Laplace F (s) e analitica nelsemipiano Re s > Re a.
Per tutti questi esempi lasciamo allo studente la verifica dell’eq. (4.43). Riflettendosu questi esempi lo studente si convincera anche della seguente importante proprieta:
• Se la TL Ls(f(t)) ha poli con Re s > 0 la funzione f(t) esplode esponenzialmenteper t→ +∞; viceversa se Ls(f(t)) ha singolarita solo a sinistra dell’asse immagi-nario allora f(t) decresce esponenzialmente per t→ +∞; se i poli sono sull’asseimmaginario f(t) puo oscillare o crescere come una potenza di t.
Questa proprieta e di grande importanza per le applicazioni a sistemi fisici e fornisceun criterio di stabilita nel tempo. Quando, per esempio, un sistema di amplificazionecomincia a produrre un sibilo di ampiezza crescente (fortunatamente limitata dalla nonlinearita e quindi saturazione del sistema) possiamo dire che una qualche singolaritadella TL della sua funzione di trasferimento ha acquistato parte reale non negativa.
4.2.2 Proprieta della trasformata di Laplace
Studiamo ora alcune proprieta delle trasformate di Laplace, analoghe a quelle viste perle trasformate di Fourier. Indicheremo la trasformata di Laplace (4.40) con il simbolo
Ls[f(t)] = F (s) =
∫ ∞0
f(t)e−stdt .
• La trasformata di Laplace e lineare (per linearita degli integrali):
Ls[a1f1(t) + a2f2(t)] = a1Ls[f1(t)] + a2Ls[f2(t)]
• La trasformata di Laplace della derivata f ′(t), se f ′(t) esiste e ammette TL, elegata alla trasformata di f(t) dalla relazione:
Ls[f ′(t)] = sLs[f(t)]− f(0) , (4.45)
116
come si ottiene integrando per parti:
Ls[f ′(t)] =
∫ ∞0
f ′(t)e−stdt
= f(t)e−st∣∣∞0
+ s
∫ ∞0
f(t)e−stdt
= −f(0) + s
∫ ∞0
f(t)e−stdt = sLs[f(t)]− f(0) .
E evidente che qui con f(0) si intende il limite destro di f(x) per x→ 0.
Nell’ipotesi che anche le derivate successive di f(t) esistano e ammettano TL,la relazione (4.45) puo essere iterata per ottenere le trasformate delle derivatesuccessive:
Ls[f ′′(t)] = sLs[f ′(t)]− f ′(0)
= s2Ls[f(t)]− sf(0)− f ′(0) (4.46)
Ls[f ′′′(t)] = sLs[f ′′(t)]− f ′′(0)
= s3Ls[f(t)]− s2f(0)− sf ′(0)− f ′′(0) (4.47)
Ls[f (n)(t)] = sLs[f (n−1)(t)]− f (n−1)(0)
= snLs[f(t)]− sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− ...− sf (n−2)(0)− f (n−1)(0) .
(4.48)
Dalla (4.48) segue che se la funzione f(t) e n volte derivabile e f (n)(t) ammetteTL vale
Ls[f(t)] =f(0)
s+f ′(0)
s2+ · · · f
(n−1)(0)
sn+Ls[f (n)]
sn, (4.49)
che da utili informazioni sull’andamento per s→∞ della trasformata di Laplace(teorema di Tauber) a partire dalla funzione f e dalle sue derivate in t = 0+.La (4.49) si puo verificare anche negli esempi precedenti; la TL di tn e O(s−n−1)per grande s perche vanno a zero tutte le prime n derivate in t = 0. E da notareche, anche se f(t) ∈ C∞, non e affatto detto che la serie che facilmente si deducedalla (4.49) converga. In realta essa e in generale una serie asintotica, che saradefinita nel corso di Metodi Matematici della Fisica II.
• La trasformata di Laplace dell’integrale di una funzione g(t) e legata alla trasformata di g(t)dalla relazione:
Ls[∫ x
0
g(t)dt
]=
1
sLs[g(x)] . (4.50)
Partendo dalla formula per la trasformata di Laplace per le derivate (4.45) e ponendo g(x) =f ′(x) si ottiene infatti
f(x) = f(0) +
∫ x
0
g(t)dt .
117
La (4.45) diventa cosı:
Ls[g(x)] = sLs[f(0) +
∫ x
0
g(t)dt
]− f(0) = sLs[f(0)] + sLs
[∫ x
0
g(t)dt
]− f(0) .
Ricordando ora che Ls[1] = 1/s, otteniamo
Ls[g(x)] = sf(0)1
s+ sLs
[∫ x
0
g(t)dt
]− f(0) ,
ovvero
Ls[g(x)] = sLs[∫ x
0
g(t)dt
],
da cui segue immediatamente la (4.50).
• Se l’argomento della funzione f(t) viene traslato di una costante a, per la trasformata di Laplacevale la seguente relazione:
Ls[f(t+ a)] = easLs[f(t)]− θ(a)
∫ a
0
f(t)e−stdt
. (4.51)
Per dimostrare la (4.51) bisogna distinguere i due casi a < 0 e a > 0. Ricordiamo infatti che latrasformata di Laplace e un integrale tra 0 e∞ e che e sottintesa una θ(t), che implica f(t) = 0se t < 0. Quindi
Ls[f(t+ a)] =
∫ ∞0
f(t+ a)e−stdt(t′=t+a)
=
∫ ∞a
f(t′)e−s(t′−a)dt′
= esa∫ ∞a
f(t′)e−st′dt′ .
Ora, se a < 0,
Ls[f(t+ a)] = esa∫ ∞a
f(t′)e−st′dt′ = esa
∫ ∞0
f(t′)e−st′dt′ = esaLs[f(t)] .
Se invece a > 0,
Ls[f(t+ a)] = esa∫ ∞a
f(t′)e−st′dt′ = esa
∫ ∞0
f(t′)e−st′dt′ − esa
∫ a
0
f(t′)e−st′dt′
= esaLs[f(t)]− esa∫ a
0
f(t′)e−st′dt′ .
• Se si moltiplica la funzione f(t) per un esponenziale, la trasformata e:
Ls[eαtf(t)
]= Ls−α[f(t)] , ∀α ∈ C
come si puo facilmente verificare derivando sotto il segno la L. Per esempio ricordando che
Ls[sin t] =1
s2 + 1
segue che
Ls[e2t sin t] =1
(s− 2)2 + 1
senza un calcolo esplicito della TL.
118
• Se si moltiplica la funzione f(t) per t, la trasformata diventa:
Ls [tf(t)] = − d
dsLs[f(t)] ,
come si puo facilmente verificare a partire dalle definizioni di L. Notare che,diversamente da quanto avviene per la TF, qui siamo sempre sicuri che se f(t)ammette TL anche tnf(t) la ammette, ∀n ∈ N; equivalentemente, ogni TL esempre infinitamente derivabile nella sua regione di convergenza, mentre cio none affatto detto per la TF (vedi per esempio la TF di 1
a2+x2, par.4.1.1).
• Teorema di convoluzione. Sia g(t) la convoluzione di due funzioni f1 e f2 nulleper t < 0 (la loro TL non dipende da questo). Allora ∀t > 0 abbiamo
g(t) =
∫ ∞−∞
f1(t′)f2(t− t′)dt′ =∫ t
0
f1(t′)f2(t− t′)dt′ , (4.52)
dove abbiamo usato l’annullarsi di f1,2 per argomenti negativi. Allora
Ls[g(t)] = Ls[f1 ∗ f2] = Ls[f1(t)]Ls[f2(t)] . (4.53)
La dimostrazione e del tutto analoga a quella vista per le trasformate di Fourier.
4.2.3 Trasformate di Laplace ed equazioni differenziali linearia coefficienti costanti
Come si e detto nel par. 4.1.3 il metodo della trasformata di Fourier per risolvereequazioni differenziali lineari si puo applicare solo in un numero ristretto di casi, cioequando il termine noto e la soluzione dell’equazione differenziale sono sommabili. Latrasformata di Laplace permette di risolvere equazioni differenziali lineari a coefficienticostanti
c2d2u
dt2+ c1
du
dt+ c0u = f(t) (4.54)
per una classe piu estesa di funzioni e permette inoltre di tener conto automaticamentedelle condizioni iniziali
u(0) = u0
du
dt
∣∣∣∣t=0
= u1 . (4.55)
Infatti trasformando secondo Laplace la (4.54) e ponendo Ls[u(t)] ≡ U(s) e Ls[f(t)] ≡F (s) (ammesso che queste esistano) si ottiene, utilizzando le (4.45) e (4.46),
c2
[s2U(s)− su0 − u1
]+ c1 [sU(s)− u0] + c0U(s) = F (s) , (4.56)
119
che da immediatamente
U(s) =c2su0 + c2u1 + c1u0
c2s2 + c1s+ c0
+F (s)
c2s2 + c1s+ c0
. (4.57)
Antitrasformando si ottiene θ(t)u(t). L’antitrasformata del primo addendo da la solu-zione generale dell’omogenea associata (interpretando u0 e u1 come parametri liberi),mentre l’antitrasformata del secondo da la soluzione particolare dell’inomogenea concondizioni iniziali u(0) = u′(0) = 0. Notare che la soluzione cosı ottenuta e parti-colarmente interessante quando la “sollecitazione esterna” f(t) sia inserita al tempot = 0. In questo caso θ(t)u(t) ci dice cosa succede dopo aver chiuso o aperto l’interrut-tore. Ovviamente la procedura e estendibile a equazioni differenziali lineari di ordinequalsiasi.
Esempio
Consideriamo il circuito oscillante di Fig. 3.1 e cerchiamo la soluzione dell’equazionedifferenziale
u+RCdu
dt+ LC
d2u
dt2= f(t) (4.58)
con le condizioni iniziali
u0 = limt→0+
u(t) (4.59)
i0 = limt→0+
Cdu
dt. (4.60)
Trasformando la (4.58) secondo Laplace e chiamando U(s) e F (s) le trasformate diu(t) e f(t) otteniamo
U(s) +RC [sU(s)− u0] + LC
[s2U(s)− su0 −
i0C
]= F (s) . (4.61)
Consideriamo due casi:
a) Chiusura del circuito: se il circuito e inizialmente aperto e il condensatore e sca-rico e lo si chiude all’istante t = 0 su un generatore che fornisca una tensionealternata V eiωt (in particolare continua, se ω = 0), il termine noto e:
f(t) = θ(t)V eiωt , (4.62)
le condizioni iniziali sonou0 = i0 = 0 (4.63)
e la trasformata di Laplace di f(t) e
F (s) =
∫ ∞0
V eiωte−stdt =V
s− iω. (4.64)
120
Quindi la (4.61) fornisce in questo caso:
U(s) =V
(s− iω)(1 +RCs+ LCs2). (4.65)
Per ottenere u(t) dobbiamo antitrasformare la (4.65), che possiede tre poli sem-plici in
s0 = iω , s1,2 = − R
2L± 1
2
√∆ con ∆ =
R2
L2− 4
LC. (4.66)
Ora, se ∆ > 0, s1 e s2 giacciono sull’asse reale negativo (perche R > 0), se∆ < 0, s1 = s∗2 = − R
2L+ i
2
√−∆ e se ∆ = 0 i due poli sono reali e coincidenti
(polo doppio). L’antitrasformata di U vale, secondo la (4.43),
u(t) =1
2πi
∫ r+i∞
r−i∞estU(s) , con r > 0 (4.67)
ovvero, se s1 6= s2,
u(t) =V
LC
∑i=0,1,2
Res
est
(s− iω)(s− s1)(s− s2)
s=si
=V
LC
[eiωt
(s1 − iω)(s2 − iω)+
es1t
(s1 − iω)(s1 − s2)+
es2t
(s2 − iω)(s2 − s1)
].
(4.68)
A parte il termine sinusoidale
V
LC
eiωt
(s1 − iω)(s2 − iω)=
V eiωt/LC
s1s2 − i(s1 + s2)ω − ω2=
V eiωt
1 + iωRC − ω2LC, (4.69)
che riproduce esattamente la (3.18), la tensione u(t) e quindi una somma difunzioni sinusoidali smorzate nel caso ∆ < 0 , mentre per ∆ > 0 e una somma diesponenziali decrescenti. E immediato verificare che a t = 0 le condizioni inizialisono soddisfatte:
u(0) =V
LC
[1
(s1 − iω)(s2 − iω)+
1
(s1 − iω)(s1 − s2)+
1
(s2 − iω)(s2 − s1)
]= 0
i(t) =V
L
[iωeiωt
(s1 − iω)(s2 − iω)+
s1es1t
(s1 − iω)(s1 − s2)+
s2es2t
(s2 − iω)(s2 − s1)
]⇒ i(0) = 0 ,
mentre per t→ +∞ (ovvero una volta che il condensatore si sia caricato, quindi
per t ∣∣∣ 1
Res1
∣∣∣ =∣∣∣ 1
Res2
∣∣∣ = R2L
) la tensione ai capi del condensatore si riduce a
121
quella sinusoidale (4.69). Se invece s1 = s2, U(s) ha un polo doppio in s1 e ilresiduo vale
Res
est
s(s− s1)2
s=s1
=d
ds
est
s
∣∣∣∣s=s1
=test
s− est
s2
∣∣∣∣s=s1
=es1t
s21
(s1t− 1) , (4.70)
dove si e scelto per semplicita ω = 0, da cui la soluzione
u(t) =V
LC
1
s21
[1 + es1t(ts1 − 1)
],
che verifica le condizioni iniziali
u(0) =V
LC
1
s21
[1− 1] = 0
i(t) =V
LC
1
s21
es1t(ts21 − s1 + s1) ⇒ i(0) = 0
e per t→ +∞ si comporta come nel caso precedente.
b) Apertura del circuito: se all’istante t = 0 il circuito viene aperto, dopo essere stato per lungotempo a contatto con la batteria a tensione costante V , si avra
f(t) = 0 per t > 0,
con le condizioni inizialiu0 = V e i0 = 0 .
L’eq. (4.61) diventa in questo caso (F (s) = 0):
U(s)(1 +RCs+ LCs2) = V (RC + sLC)
da cui
U(s) = Vs+ R
L
s2 + RL s+ 1
LC
= Vs+ R
L
(s− s1)(s− s2).
Si noti che, per qualunque valore di ∆, s1, s2 6= −R/L; quindi non c’e cancellazione fra nume-ratore e denominatore e U(s) ha sempre due poli semplici (o un polo doppio). Per s1 6= s2 siha
u(t) = V∑
s=s1,s2
Res
est(s+ R
L
)(s− s1)(s− s2)
= Ves1t(s1 +R/L)− es2t(s2 +R/L)
s1 − s2,
che soddisfa le condizioni iniziali:
u(0) = Vs1 − s2s1 − s2
= V
i(t) =CV
s1 − s2
[es1ts1
(s1 +
R
L
)− es2ts2
(s2 +
R
L
)]⇒ i(0) = 0 .
122
Se invece s1 = s2 = − R2L
u(t) = Res
est(s+ R
L
)(s− s1)2
s=s1
= Vd
ds
(s+
R
L
)est∣∣∣∣s=s1
= V
(1 + s1t+
R
Lt
)es1t .
Si verifica facilmente che le condizioni iniziali sono soddisfatte:
u(0) = V
i(t) = CVd
dt
[(1 + s1t+
R
Lt
)es1t
]= CV
(s21t+ s1t
R
L+ 2s1 +
R
L
)es1t
⇒ i(0) =
(2s1 +
R
L
)= 0 .
In entrambi i casi, per t→ +∞ sia la tensione u(t) che la corrente i(t) tendono esponenzialmente
a zero, come ci si aspetta. Anche qui t→ +∞ significa t 2L/R.
123
Capitolo 5
Spazi L2 e distribuzioni
Sin dall’inizio del Capitolo 3.2 abbiamo visto l’importante ruolo giocato dalle relazionidi ortogonalita (3.36) nel calcolo dei coefficienti di Fourier. In questo capitolo torneremosu questo argomento trattandolo in modo un po’ piu approfondito, e cio ci permetteradi dare una definizione di convergenza delle serie (e trasformata) di Fourier molto piugenerale ed appropriata. Allargheremo inoltre il campo delle funzioni introducendo ilconcetto di distribuzione; riusciremo cosı a derivare funzioni anche nei loro punti didiscontinuita di I specie e ad ampliare di molto il campo delle funzioni che ammettonoTF
5.1 Spazi L2 e serie di Fourier
L’insieme di tutte le funzioni a valori complessi in un intervallo reale [a, b] costituisceuno spazio vettoriale, ovvero spazio lineare, sui complessi. Ogni funzione rappresentaquindi un vettore e lo spazio vettoriale si chiama spazio funzionale; la somma di vettorie il prodotto per un numero complesso sono definiti dalle corrispondenti operazionisulle funzioni. Nello spazio funzionale si puo inoltre definire il prodotto scalare didue vettori, f e g, come
(f ,g) =
∫ b
a
f ∗(x)g(x)dx . (5.1)
Per aiutare la memoria, e utile notare l’analogia fra l’integrale (5.1) e la consuetadefinizione
(f ,g) =∑i
f ∗i gi. (5.2)
di prodotto scalare negli spazi vettoriali (sui complessi) di dimensione finita; negli spazifunzionali la variabile x gioca un ruolo analogo a quello dell’indice i che individua la
124
componente i-esima; la somma su i e sostituita dall’integrale perche l’indice x corre suun insieme continuo, l’intervallo [a, b].
L’integrale (5.1) soddisfa le proprieta del prodotto scalare negli spazi unitari (cioenegli spazi vettoriali su C dotati appunto di prodotto scalare) :
1) linearita nel secondo fattore:
(f , αg + βh) =
∫ b
a
f ∗(x) [αg(x) + βh(x)] dx
= α
∫ b
a
f ∗(x)g(x)dx+ β
∫ b
a
f ∗(x)h(x)dx
= α(f ,g) + β(f ,h) .
2) Hermiticita:
(f ,g)∗ =
[∫ b
a
f ∗(x)g(x)dx
]∗=
∫ b
a
f(x)g∗(x)dx = (g, f) ,
che si riduce alla commutativita nel caso di spazio vettoriale sui reali.
3) Positivita1:
(f , f) =
∫ b
a
|f(x)|2dx ≥ 0 , (5.3)
La radice quadrata del numero non negativo (f , f) si dice norma del vettore f :
‖f‖ =√
(f , f) (5.4)
Dalle proprieta 1) e 2) segue che il prodotto scalare (5.1) e antilineare nel primofattore:
(αf + βg,h) = α∗(f ,h) + β∗(g,h) .
Vale inoltre per il prodotto scalare la seguente disuguaglianza, detta disuguaglianza diSchwartz:
|(f ,g)| ≤ ‖f‖ · ‖g‖ . (5.5)
La disuguaglianza di Schwartz si puo considerare come un’estensione agli spazi funzio-nali della ben nota disuguaglianza della geometria euclidea |~a · ~b| = |ab cosϑ| ≤ ab,dove a e b sono le lunghezze (norme) dei due vettori e ϑ l’angolo compreso.
1Questa proprieta rende chiaro perche nelle definizioni (5.1) e (5.2) le “componenti” del primovettore siano soggette alla complessa coniugazione.
125
E importante osservare che la definizione (5.1) di prodotto scalare ha senso solo sele funzioni che consideriamo sono quadrato sommabili cioe se esiste l’integrale (5.3)che definisce la norma di un vettore2.
Il prodotto scalare deve ancora soddisfare una proprieta: l’eguaglianza nella (5.3)deve valere se e solo se f(x) = 0. Ma anche una funzione nulla ovunque tranne che inin alcuni punti isolati ha norma nulla. Occorre essere precisi al riguardo, e dobbiamoanche dire che nella definizione di prodotto scalare, e quindi di norma, si deve usareuna generalizzazione dell’integrale di Riemann dovuta a Lebesgue. Per i nostri scopinon e necessario definire l’integrale di Lebesgue, ma e sufficiente enunciarne alcuneproprieta.
Proprieta A: ogni funzione assolutamente integrabile alla Riemann, in modoproprio o improprio, lo e anche alla Lebesgue e i due integrali coincidono.
Viceversa, se in un punto x0 ∈ [a, b] una funzione diverge troppo per essere inte-grabile alla Riemann (per esempio una f(x) = O(xα) per x → 0, con α ≤ −1, su unintervallo d’integrazione comprendente l’origine) allora non e nemmeno integrabile allaLebesgue. Analogamente, se all’infinito una funzione va a zero troppo lentamente peressere integrabile alla Riemann su intervallo infinito (per esempio una f(x) = O(xα)per x→∞, con α ≥ −1), allora non e nemmeno integrabile alla Lebesgue.
Proprieta B: come per l’integrale di Riemann, ogni funzione assolutamente inte-grabile e anche integrabile, ma per l’integrale di Lebesgue vale anche il viceversa3.
Grazie alla proprieta A, per calcolare un integrale alla Lebesgue di fatto si continua acalcolare il solito integrale di Riemann. Perche allora complicarci la vita con l’integraledi Lebesgue? La ragione e che esistono delle funzioni piuttosto bizzarre che sonosommabili, cioe integrabili alla Lebesgue, senza esserlo alla Riemann 4; tali funzioni,del tutto prive di interesse per la fisica, sono pero essenziali per rendere completo lospazio funzionale, nel senso che preciseremo fra poco.
Un esempio di tali funzioni e la funzione di Dirichlet, cosı definita su tutto l’assereale:
d(x) =
1 x ∈ Q0 x /∈ Q ,
dove Q e l’insieme dei numeri razionali. Si puo dimostrare che tale funzione, cheevidentemente non e integrabile alla Riemann, e pero sommabile e che il suo integraledi Lebesgue vale zero.
2E molto facile mostrare che l’esistenza della norma di due vettori implica che anche il loro prodottoscalare esiste.
3 L’assoluta integrabilita implica l’integrabilita alla Lebesgue solo nell’ipotesi che la funzione siamisurabile, ma questo e il caso per tutte le funzioni di interesse in fisica; quindi daremo sempre perscontata la misurabilita, senza nemmeno preoccuparci di definirla.
4Inoltre l’integrale di Lebesgue gode di proprieta, discusse in Appendice D, che rendono molto piusemplice derivare sotto il segno, scambiare il limite con l’integrale e scambiare l’ordine d’integrazionein integrali multipli.
126
La funzione di Dirichlet e diversa da zero solo sui razionali, cioe su un’infinitanumerabile di punti; il fatto che il suo integrale si annulli e un caso particolare dellapiu generale
Proprieta C: Condizione necessaria e sufficiente affinche una funzione a valorireali non negativi abbia integrale di Lebesgue nullo e che essa sia quasi ovunque nullanell’intervallo (finito o infinito) di integrazione; dicendo che una proprieta vale quasiovunque (che si abbrevia con q.o.) su un intervallo si intende che l’insieme dei puntiin cui non vale sia di misura nulla, cioe, in pratica, finito o infinito numerabile5.
Come conseguenza della Proprieta C si puo allora affermare che il vettore nullo(cioe il vettore di norma nulla, che vogliamo sia unico) e rappresentato dall’interaclasse delle funzioni quasi ovunque nulle; analogamente, a ogni vettore dello spazioastratto corrisponde una classe di funzioni quasi ovunque uguali quadrato sommabili;tale spazio, dotato del prodotto scalare (5.1), 6 si denota con il simbolo L2(a, b). Sidenota invece con L(a, b) lo spazio delle funzioni sommabili 7
Se e solo se l’intervallo (a, b) e finito vale L2(a, b) ⊂ L(a, b), ovvero ogni funzionequadrato sommabile, su un intervallo finito, e ivi anche sommabile; per convincersenebasta l’identita ∫ b
a
f(x) dx = (1, f) ,
dove con 1 intendiamo il vettore corrispondente alla funzione f(x) = 1, che e sommabilesu ogni intervallo finito. Non e invece vero che ogni funzione sommabile sia quadratosommabile; per esempio
f(x) =1√x∈ L(0, 1) ma /∈ L2(0, 1) .
Su intervallo infinito non esiste invece alcuna relazione di inclusione fra L e L2; peresempio
f(x) =1√
1 + x2∈ L2(0,∞) ma /∈ L(0,∞) .
Due funzioni f(x) e g(x) appartenenti a L2(a, b) si definiscono ortogonali se il loroprodotto scalare e nullo:
(f ,g) =
∫ b
a
f ∗(x)g(x)dx = 0 .
5Nel piano, un insieme di misura nulla puo essere costituito non solo da un’infinita numerabile dipunti, ma anche da un numero finito o infinito numerabile di segmenti (o curve differenziabili) e cosıvia.
6che evidentemente non dipende da quale funzione si sceglie per rappresentare la classe.7In L(a, b) non e definito il prodotto scalare, anche se e ancora uno spazio vettoriale normato.
127
Un sistema di funzioni φi(x) ∈ L2(a, b) si definisce ortonormale (ON) se
(φi,φk) =
∫ b
a
φ∗i (x)φk(x)dx = δik , ∀i, k .
Sia φ1 φ2 ...,φn un sistema ortonormale finito di L2(a, b) e sia f(x) ∈ L2(a, b)definita da:
f(x) =n∑k=1
ckφk(x) (5.6)
o equivalentemente, in linguaggio vettoriale:
f =n∑k=1
ckφk , (5.7)
dove ck sono arbitrari numeri complessi. Le componenti ci del vettore f lungo ledirezioni φi si calcolano subito moltiplicando scalarmente la (5.7) per il vettore φi; siottiene:
(φi, f) =
∫ b
a
φ∗i (x)f(x)dx =n∑k=1
ck(φi,φk) =n∑k=1
ckδik = ci . (5.8)
Questo risultato era ovviamente atteso, poiche stiamo lavorando in uno spazio a nu-mero finito di dimensioni, la varieta n-dimensionale generata dai vettori φ1, · · ·φn. InL2(a, b) esistono pero sistemi ON formati da un’infinita numerabile di vettori; peresempio la eq.(3.36) mostra che in L2(0, 2π) le funzioni trigonometriche (in formaesponenziale)
φl(x) =eilx√
2π(5.9)
formano un sistema ON infinito numerabile. Per estendere la (5.6) al caso in cui nsia infinito, bisogna affrontare il problema della convergenza della serie, e questo el’argomento centrale di questo paragrafo.
Se φi, i = 1, 2, ... e un insieme infinito numerabile di funzioni ortonormali diL2(a, b) e ∀f(x) ∈ L2(a, b), consideriamo dapprima la proiezione ortogonale fN delvettore f sul sottospazio generato dai vettori ON φ1, · · ·φN . Essa e data da
fN(x) =N∑i=1
ciφi(x) N = 1, 2 · · · , (5.10)
con
ci = (φi, f) ≡∫ b
a
φ∗i (x)f(x)dx, (5.11)
128
e si dice ridotta N -esima dello sviluppo in serie di Fourier del vettore f nel sistemaφi, mentre le costanti ci sono i coefficienti di Fourier dello sviluppo.
Dimostriamo innanzitutto la seguente disuguaglianza, detta disuguaglianza diBessel:
∞∑k=1
|ck|2 ≤ (f , f) . (5.12)
Da‖f − fN‖2 ≥ 0 (5.13)
segue che
‖f − fN‖2 = (f , f) +N∑
k,l=1
c∗kcl(φk,φl)−N∑k=1
[ck(f ,φk) + c∗k(φk, f)]
= (f , f) +N∑k=1
|ck|2 −N∑k=1
(ckc∗k + c∗kck)
= (f , f)−N∑k=1
|ck|2 ≥ 0 ,
da cui
N∑k=1
|ck|2 ≤ (f , f) .
Questo risultato vale per qualunque N . Facendo tendere N a infinito si ottiene infine ladisuguaglianza di Bessel (5.12): la serie dei moduli quadrati dei coefficienti di Fourierdi un vettore f e minore o uguale alla norma quadrata del vettore.
Se il sistema di vettori φk e tale che la disuguaglianza di Bessel vale con il segno= per ogni f , allora il sistema di vettori φk si dice completo e costituisce una baseON in L2(a, b). La (5.12) diventa allora
∞∑k=1
|ck|2 = (f , f) (5.14)
e prende il nome di equazione di Parseval.In uno spazio unitario a N dimensioni un sistema ON e completo se e solo se e
costituito da N vettori; un insieme infinito numerabile invece non cambia il numerodei suoi elementi (la sua potenza) anche se da esso ne tolgo uno o piu; quindi l’unicocriterio che mi assicura che non mi sia perso dei vettori base, cioe che il sistema siacompleto, e, come abbiamo appena detto, che sia soddisfatta l’equazione di Parseval(5.14), che generalizza il Teorema di Pitagora agli spazi infinito dimensionali.
129
Uno spazio unitario infinito dimensionale in cui esista un sistema ON completoinfinito numerabile si dice separabile; si puo dimostrare che L2(a, b) e separabile,qualunque sia l’intervallo (a, b), finito o infinito; in particolare per (a, b) = (0, 2π) unsistema completo e dato dalle funzioni trigonometriche (5.9). Per aiutare la memoriasi puo dire, in modo molto rozzo, che uno spazio separabile ha dimensione infinitanumerabile.
L’equazione di Parseval ci permette anche di dare un senso preciso alla convergenzadella serie di Fourier. Infatti da:
‖f − fN‖2 = (f , f)−N∑k=1
|ck|2 (5.15)
e dall’equazione di Parseval (5.14) segue che:
limN→∞
‖f − fN‖2 = 0. (5.16)
Per definizione di limite nello spazio vettoriale astratto , l’equazione (5.16) e equiva-lente alla scrittura:
f = limN→∞
fN =∞∑k=1
ckφk. (5.17)
Abbiamo cosı definito la somma della serie di Fourier nello spazio vettoriale astratto;in termini di funzioni la (5.16) significa:
limN→∞
∫ b
a
|f(x)− fN(x)|2dx = 0, (5.18)
dove la ridotta N -esima della serie di Fourier e data dalla (5.10) con i coefficienti (5.11).La (5.18) si abbrevia nel modo seguente:
f(x) = l . i .m.N→∞
fN(x) , (5.19)
dove l.i.m. si legge per limite in media quadratica. La convergenza della seriedi Fourier si puo quindi esprimere nei 5 modi (5.14), (5.16), (5.17), (5.18), (5.19)perfettamente equivalenti.
Molto spesso si scrive piu semplicemente (e lo faremo anche noi):
f(x) =∞∑i=1
ciφi(x), (5.20)
ma l’espressione (5.20) e corretta solo se interpretata come un’abbreviazione della(5.19); in generale, la serie dei numeri complessi a secondo membro della (5.20) puo
130
non convergere, o convergere a un valore diverso dal numero complesso f(x); infatti leeq. (5.18) o (5.19) non ci dicono assolutamente nulla della convergenza puntuale dellaserie a secondo membro della eq.(5.20), come era da aspettarsi, visto che la funzionef(x) e solo un rappresentante all’interno di una classe di funzioni quasi ovunque uguali;quindi, per esempio, se in un punto x0 si aggiunge a f(x0) una costante, non cambianulla nei coefficienti di Fourier ci dati dalla (5.11) e quindi nel secondo membro dellaeq.(5.20), ma ovviamente cambia il primo membro.
La convergenza (5.19) richiede solo che f ∈ L2(a, b) e che il sistema φi sia ONC;la convergenza puntuale della (5.20) in uno specifico punto x0 ∈ [a, b] richiede invecetutt’altre condizioni su f , discusse nel Cap. 3.2.
Si puo dimostrare che lo spazio L2(a, b) e completo 8, cioe che per ogni infinitanumerabile di numeri complessi ci tali che
∑i |ci|2 <∞, esiste una f ∈ L2(a, b) tale che
f =∑ciφi (E per questa dimostrazione che e importante che l’integrale sia di Lebesgue
e che vengano quindi incluse nello spazio funzionale anche funzioni non integrabili allaRiemann).
Uno spazio vettoriale sui complessi, dotato di prodotto scalare e completo, si dicespazio di Hilbert.
La completezza di uno spazio, in particolare dello spazio L2(a, b), e la sua separa-bilita, permettono di stabilire una corrispondenza biunivoca fra i suoi elementi f e gliinsiemi infiniti numerabili dei loro coefficienti di Fourier ci, che possiamo considerarecome le componenti di un vettore rispetto alla base φi prefissata.
E facile mostrare che tale corrispondenza conserva i prodotti scalari: se f(x) =∑i ciφi e g(x) =
∑i diφi, allora
(f ,g) =
∫ b
a
f ∗(x)g(x) dx =
(∞∑i=1
ciφi,g
)=∞∑i=1
c∗i (φi,g) =∞∑i=1
c∗i di , (5.21)
dove si sono usate l’antilinearita e la continuita9 del prodotto scalare nel primo fattore.Quindi tutti gli spazi di Hilbert separabili (infinito dimensionali), in particolare glispazi L2(a, b), sono isomorfi fra loro e con lo spazio di Hilbert delle componenti, icui elementi sono i vettori colonna di componenti ci, con i = 1, 2, .., con il vincolo∑∞
i=1 |ci|2 < ∞; le proprieta di uno spazio si traducono in corrispondenti proprietadell’altro.
5.1.1 Trasformata di Fourier in L2
Gli spazi L2 intervengono spesso in fisica; in particolare l’ambiente in cui vive natu-ralmente la Meccanica Quantistica e quello degli spazi di Hilbert separabili, che
8Qui la parola completo viene usata in due contesti diversi: la completezza dello spazio non hanulla a che fare con la completezza di un sistema di funzioni o vettori.
9La continuita del prodotto scalare, cioe l’uguaglianza (limN→∞ fN,g) = limN→∞ (fN,g), puoessere facilmente dimostrata a partire dalla disuguaglianza di Schwartz (5.5) e dalla definizione (5.16)di f = limN→∞ fN.
131
possono essere realizzati da spazi di funzioni quadrato sommabili. E quindi concettual-mente molto importante estendere la definizione di Trasformata di Fourier, che nellasua forma (4.7) si applica solo a f(x) ∈ L(R), anche a f(x) ∈ L2(R).
Su intervallo infinito una funzione puo essere quadrato sommabile senza esseresommabile (vedi esempio 5.6 in Appendice D), ma su intervallo finito L2(a, b) ⊂ L(a, b);quindi per una generica f(x) ∈ L2(R) l’integrale
1√2π
∫ N
−Ne−ikxf(x)dx = FN(k) (5.22)
esiste certamente, ma non e detto che ne esista il limite (puntuale) per N → ∞. Sipuo invece dimostrare che ∀f(x) ∈ L2(R) esiste sempre una F (k) ∈ L2(R) tale che
F (k) = l . i .m.N→∞
FN(k) , (5.23)
dove l.i.m. e stato definito sopra la (5.19), ovvero
limN→∞
‖F− FN‖2 = limN→∞
∫ +∞
∞|F (k)− FN(k)|2 dk = 0 .
Si puo anche dimostrare che la f(x) e la antitrasformata di Fourier della F (k) nellostesso senso di media quadratica, ovvero
f(x) = l . i .m.N→∞
fN(x) ⇔ limN→∞
∫ +∞
∞|f(x)− fN(x)|2 dx = 0 , (5.24)
dove
fN(x) =1√2π
∫ N
−NeikxF (k) dk . (5.25)
In fisica si continua a scrivere
F (k) =1√2π
∫ +∞
−∞e−ikxf(x)dx , f(x) =
1√2π
∫ +∞
−∞eikxF (k)dk (5.26)
anche per f(x) ∈ L2, ma la scrittura corretta e data dalle equazioni (5.22), (5.23),(5.24), (5.25). Naturalmente le (5.26) sono anche formalmente corrette se f(x) ∈L(R)
⋂L2(R), F (k) ∈ L(R) e f(x) e di classe C1 nel punto x. Come lo sviluppo
in serie di Fourier, anche la Trasformata di Fourier conserva i prodotti scalari (hasenso parlare di questi perche lavoriamo in L2); vale cioe l’uguaglianza di Parsevalgeneralizzata ∫ +∞
−∞F ∗(k)G(k) dk =
∫ +∞
−∞f ∗(x)g(x) dx , (5.27)
dove f, g ∈ L2(R) e F,G ∈ L2(R) sono le loro trasformate di Fourier.
132
La dimostrazione e immediata10, usando il teorema di Fubini Tonelli (vedi Appen-dice D) per scambiare l’ordine di integrazione:∫ ∞
−∞F ∗(k)G(k) dk =
1√2π
∫ +∞
−∞dk F ∗(k)
∫ +∞
−∞dx e−ikxg(x)
=1√2π
∫ +∞
−∞dx g(x)
(∫ +∞
−∞dk e−ikxF ∗(k)
)∗=
∫ +∞
−∞f ∗(x)g(x) dx .
Il contenuto di questo paragrafo va sotto il nome di “Teorema di Plancherel”per i matematici. Caso particolare della (5.27) e la conservazione della norma; uninteressante esempio a questo proposito e il seguente esempio.
Esempio
La trasformata di Fourier della funzione
f(t) = e−t/T sin(ω0t)θ(t) ,
che descrive il moto di un oscillatore armonico smorzato, e
F (ω) =1√2π
∫ ∞−∞
f(t)e−iωtdt =1√2π
∫ ∞0
e−t/T sin(ω0t)e−iωtdt
=1
2i√
2π
[∫ ∞0
e(−1/T−iω+iω0)tdt−∫ ∞
0
e(−1/T−iω−iω0)tdt
]=
1
2i√
2π
[1
1/T + i(ω − ω0)− 1
1/T + i(ω + ω0)
],
cioe
F (ω) =1
2√
2π
[1
(ω + ω0)− i/T− 1
(ω − ω0)− i/T
].
Per dare un’interpretazione fisica alle funzioni f(t) e F (ω), supponiamo che f(t)sia il campo elettrico di un’onda irradiata. Allora la potenza irradiata e W ∝ |f(t)|2 el’energia totale irradiata e proporzionale a
∫∞0|f(t)|2dt. Dal teorema di Parseval∫ ∞
0
|f(t)|2dt =
∫ ∞−∞|F (ω)|2dω .
Quindi |F (ω)|2 rappresenta (a meno di costanti) l’energia irradiata per intervallo uni-tario di frequenza:
|F (ω)|2 =1
2π
ω20
(ω20 − ω2)2 + 2
ω20+ω2
T 2 + 1T 4
.
10Per semplicita qui si usano le ipotesi (non necessarie) che g(x) sia anche sommabile e valgapuntualmente la (4.6).
133
Se T e molto grande (T ω−10 ), l’energia irradiata per intervallo unitario di frequenza
e fortemente piccata in ω = ω0 e la larghezza del picco e inversamente proporzionale aT :
|F (ω)|2 ' ω20T
2
(ω20 − ω2)2T 2 + 2(ω2
0 + ω2).
5.2 Alcuni sistemi ONC
Passiamo ora a considerare alcuni esempi di spazi L2 e di relativi sistemi ONC al lorointerno.
Esempio: le funzioni trigonometriche
Il sistema delle funzioni esponenzialieikx√
2π
, k = 0,±1,±2, ... (5.28)
che avevamo gia visto in (5.9), costituisce una base ON in L2(0, 2π). Usando le formuledi Eulero, esso puo essere riscritto come sistema trigonometrico:
1√2π,cosnx√
π,sinnx√
π;n = 1, 2, · · ·
(5.29)
Il sistema delle potenze e i polinomi ortogonali
Oltre al sistema delle funzioni trigonometriche, di cui ci siamo occupati finora, un altroesempio di sistema completo in uno spazio L2 e il sistema delle potenze
xn = 1, x, x2, x3, ... (5.30)
Si puo dimostrare che il sistema (5.30) e completo in L2 in qualsiasi intervallo finito(a, b), ma evidentemente esso non e ortogonale:
∫ b
a
xnxmdx 6= 0 (5.31)
anche per n 6= m.E possibile tuttavia ortogonalizzarlo, passando dalle funzioni xn a loro combinazioni
lineari, che saranno polinomi Pn(x), costruiti in modo tale che11∫ b
a
Pn(x)Pm(x)dx = hnδnm .
11Per ragioni di comodita e tradizione non sempre le costanti positive hn sono scelte uguali a 1.
134
A questo scopo si sceglie P0(x) = 1, si pone P1(x) = x+ α e si fissa α in modo cheP1(x) sia ortogonale a P0(x); poi si pone P2(x) = x2 +βx+γ e si fissano β e γ in modoche P2(x) sia ortogonale a P1(x) e a P0(x), e cosı via. E ovvio che i coefficienti α, β,γ ... dipenderanno dall’intervallo (a, b) che definisce L2(a, b); inoltre i polinomi Pn(x)cosı ottenuti potranno essere moltiplicati per opportune costanti per normalizzarli a 1o a un’altra costante hn a scelta.
Il sistema di polinomi ortogonali cosı ottenuto e completo in L2(a, b). Di con-seguenza ogni funzione f(x) ∈ L2(a, b) puo essere approssimata in media quadratica,bene quanto si vuole, con una serie di polinomi ortogonali:
f(x) =∞∑n=0
αnPn(x) .
Per esempio nell’intervallo (−1, 1) la procedura di ortogonalizzazione conduce ai poli-nomi di Legendre, definiti dalla formula di Rodrigues:
Pn(x) =1
2nn!
dn
dxn(x2 − 1)n , (5.32)
dove si e usata la normalizzazione convenzionale:∫ 1
−1
Pm(x)Pn(x)dx =2
2n+ 1δmn . (5.33)
Per dimostrare che (Pm, Pn) = 0 per n 6= m basta scrivere, per m < n
(Pm, Pn) = cost
∫ 1
−1
dxPm(x)dn
dxn(x2−1)n = cost
∫ 1
−1
dx
[dn
dxnPm(x)
](x2−1)n , (5.34)
dove si e integrato n volte per parti tenendo conto che i contributi negli estremi siannullano poiche
dl
dxl(x2 − 1)n
∣∣∣∣+1
−1
= 0 per ogni l ≤ n− 1 , (5.35)
e accorgersi chedn
dxnPm(x) = 0 ∀n ≥ m+ 1 . (5.36)
Dalla (5.32) segue che i primi polinomi di Legendre sono
P0(x) = 1 , P1(x) = x , P2(x) =1
2(3x2 − 1) , · · · .
Inoltre e facile dimostrare che i polinomi di Legendre obbediscono all’equazionedifferenziale di Legendre
(1− x2)P ′′n (x)− 2xP ′n(x) + n(n+ 1)Pn(x) = 0 con n = 0, 1, 2, · · · (5.37)
135
che si puo scrivere nella forma compatta
LxPn(x) = λnPn(x) con Lx =d
dx(x2 − 1)
d
dxe λn = n(n+ 1) . (5.38)
Dimostrazione: Fn(x) =[ddx
(x2 − 1) ddx
]Pn(x) e ancora evidentemente un polinomio
di grado n; puo quindi essere scritto nella forma
Fn(x) =n∑l=0
α(n)l Pl(x) (5.39)
con gli α(n)l proporzionali a∫ 1
−1
dxPl(x)Fn(x) =
∫ 1
−1
dxPl(x)d
dx(x2 − 1)
d
dxPn(x)
= −∫ 1
−1
dx
[(x2 − 1)
d
dxPl(x)
]d
dxPn(x) =
∫ 1
−1
dxFl(x)Pn(x) ,
dove si e ripetutamente integrato per parti; usando di nuovo la (5.39) e la (5.33) si
ricava subito che α(n)l = 0 per l < n; che α
(n)n valga proprio n(n + 1) segue dal conto
esplicito della potenza piu alta di Fn:
d
dx(x2 − 1)
d
dxxn + · · · = d
dx(x2 − 1)nxn−1 + · · · = n
d
dxxn+1 + · · · = n(n+ 1)xn + · · ·
Polinomi ortogonali su intervallo infinito
Se l’intervallo e infinito non e possibile utilizzare direttamente le potenze perche essenon sono quadrato sommabili (l’integrale (5.31) non esiste). Tuttavia sull’intervallo(−∞,+∞) si puo introdurre un fattore di convergenza e−x
2, definire il sistema di
funzioni e−x2/2xn, quadrato sommabili sull’asse reale qualunque sia n = 0, 1, 2, ..., eortogonalizzarlo secondo il metodo appena descritto. Questo conduce ai polinomi diHermite, dati dalla formula di Rodrigues generalizzata
Hn(x) = (−1)nex2 dn
dxne−x
2
, n = 0, 1, 2 · · · (5.40)
e normalizzati come segue:
∫ +∞
−∞e−x
2
Hm(x)Hn(x)dx = 2nn!√πδmn .
L’ortogonalita dei polinomi dati dalla (5.40) si dimostra come per i polinomi diLegendre. I primi polinomi di Hermite sono
136
H0(x) = 1 , H1(x) = 2x , H2(x) = 4x2 − 2 · · · .
L’equazione differenziale a cui obbediscono i polinomi (5.40) e l’equazione diffe-renziale di Hermite:
H ′′n(x)− 2xH ′n(x) + 2nHn(x) = 0 con n = 0, 1, 2, , · · · , (5.41)
ovvero
ex2
[d
dxe−x
2 d
dx
]Hn(x) = −2nHn(x) , (5.42)
mentre le funzioni associate di Hermite
ψn(x) = e−x2/2Hn(x) , n = 0, 1, 2 · · · (5.43)
che formano una base ortogonale in L2(R), (ψn, ψm) = δnmhn, sono soluzioni dell’e-quazione dell’oscillatore armonico quantistico:
Lxψn(x) = λnψn(x) con Lx = − d2
dx2+ x2 e λn = 2n+ 1 , (5.44)
che si dimostra in stretta analogia alla (5.38). L’esistenza del sistema ONC (5.43),ovviamente numerabile, implica che anche lo spazio delle funzioni quadrato sommabilisull’intero asse reale e separabile.
5.3 Sistemi ONC in L2 e distribuzioni.
5.3.1 Operatori autoaggiunti e sistemi ortogonali
Abbiamo dato qualche esempio di sistemi ONC, ma ci si puo chiedere se esista unmodo piu generale per costruirli. Per rispondere a questa domanda osserviamo che ipolinomi di Legendre Pn e le funzioni associate di Hermite ψn, che sono sistemiONC in un opportuno spazio L2(a, b), condividono la proprieta di essere autofunzionidi un operatore differenziale L, la cui espressione e data rispettivamente da eq. (5.38)e eq. (5.44). Come vedremo tra poco, l’operatore L, munito di opportune condizionial contorno, e in entrambi i casi autoaggiunto. Ricordiamo la definizione di aggiuntoo hermitiano coniugato A† di un operatore lineare A in uno spazio vettoriale finito-dimensionale su C dotato di prodotto interno (x, y) (spazio unitario):
(A†y, x) = (y, Ax),
per ogni x, y nel dominio di definizione di A. In termini di matrici che rappresentanoA, (A†)ij = A∗ji. Valgono (A + B)† = A† + B†, (AB)† = B†A†, (αA)† = α∗A† perα ∈ C, (A†)† = A. Se A = A†, l’operatore A si dice hermitiano o autoaggiunto e
(Ay, x) = (y, Ax).
137
Un operatore hermitiano ha autovalori reali, i suoi autovettori corrispondenti a autova-lori differenti sono ortogonali, e si possono scegliere gli autovettori in modo da formareuna base completa ortonormale dello spazio.
Nel caso dello spazio di Hilbert infinito dimensionale che stiamo studiando unoperatore differenziale L e autoaggiunto se
(u,Lv) = (Lu,v) ≡ (v,Lu)∗ , (5.45)
∀u,v nel dominio di definizione di L. Questa proprieta non dipende solo da L maanche dal suo dominio. Infatti il dominio di L deve comprendere solo quelle funzioniche, oltre a essere derivabili quanto basta, sono anche limitate e quadrato sommabili,cosicche si possa ripetutamente integrare per parti in modo da poter dimostrare la(5.45). Per esempio su L2(R) l’operatore differenziale di cui le funzioni associate diHermite sono autofunzioni (autovettori) e autoaggiunto:
(u,Lv) =
∫ +∞
−∞u∗(x)Lxv(x) dx =
∫ +∞
−∞u∗(x)
(− d2
dx2+ x2
)v(x) dx
=
∫ +∞
−∞
[(− d2
dx2+ x2
)u(x)
]∗v(x) dx .
Lo stesso vale anche per l’operatore in (5.38) (verificare per esercizio) e per Lx = −i ddx
,le cui autofunzioni sono esponenziali complessi eiλx, con condizioni al contornoperiodiche u(π) = u(−π). Infatti
(u,Lv) =
∫ +π
−πdx u∗(x)
(−i ddx
)v(x) = −i u∗(x)v(x)|+π−π
+
∫ +π
−πdx
[id
dxu∗(x)
]v(x) =
∫ +π
−πdx
[−i ddxu(x)
]∗v(x)
= (Lu,v) .
Notare l’importanza delle condizioni al contorno periodiche per l’annullarsi del contri-buto agli estremi nell’integrazione per parti. Confrontando (φn,Lφn) = λn(φn,φn)con la sua complessa coniugata e usando la (5.45) si vede subito che
• gli autovalori di un operatore autoaggiunto sono reali.
E anche facile dimostrare che
• l’insieme delle autofunzioni degli operatori autoaggiunti e ortogonale:
daLφn = λnφn , Lφm = λmφm ,
moltiplicando scalarmente la prima equazione per φm e la seconda per φn, usando la(5.45) e sottraendo dalla prima equazione il complesso coniugato della seconda segue
0 = (λn − λm) (φn,φm)
138
da cui(φn,φm) = 0 se λn 6= λm . (5.46)
Notare che queste due proprieta sono identiche a quelle degli operatori (matrici) her-mitiani negli spazi unitari finito dimensionali. Il discorso invece sulla completezza deisistemi di autofunzioni di un operatore autoaggiunto in uno spazio infinito dimensiona-le e molto piu delicato e non sara affrontato qui: ci limitiamo a dire che tale sistema egeneralmente completo, come negli esempi visti qui (polinomi di Legendre in L2(−1, 1),funzioni associate di Hermite in L2(R), sistema trigonometrico in L2(−π, π)), ma cionon e sempre vero. Perche il sistema di autofunzioni di un operatore autoaggiunto siacompleto e talvolta necessario includervi autofunzioni generalizzate, rappresentate da“distribuzioni” anziche da funzioni quadrato sommabili; daremo un esempio nel pros-simo paragrafo. Vogliamo terminare questo paragrafo sottolineando l’importanza dellecondizioni al contorno. Per esempio l’equazione
−i ddxu(x) = λu(x) (5.47)
ammette la soluzione eiλx per ogni λ ∈ C; e solo la richiesta di periodicita u(π) = u(−π)che seleziona i λ ∈ Z, e questa ci da una base ortogonale in L2(−π, π); sull’intervallo(−∞,+∞) i valori reali di λ sono selezionati dalla richiesta che u(x) sia limitata sututto l’asse reale.
5.3.2 La δ di Dirac e cenni sulle distribuzioni
Le funzioni eiλx, con λ ∈ R, sono autofunzioni non quadrato sommabili dell’operato-re autoaggiunto −id/dx e costituiscono una “base generalizzata” in L2(R) nel sensoche ogni f(x) ∈ L2(R) e sviluppabile, per cosı dire, in una loro “combinazione linearecontinua” mediante l’antitrasformata di Fourier (5.26). Non si puo invece dire che lefunzioni φλ(x) = eiλx costituiscano un sistema ortogonale in senso stretto in L2(R); in-fatti, proprio perche non sono quadrato sommabili, se cerchiamo di calcolare il prodottoscalare
(φλ,φµ
)=∫ +∞−∞ dxe−iλxeiµx troviamo un integrale privo di senso. Tuttavia se
ci ricordiamo la definizione (4.7) di Trasformata di Fourier e quella (4.6) di antitrasfor-mata, per ogni funzione f(x) sommabile e di classe C1 su tutto R possiamo scrivere
f(x) =1√2π
∫ +∞
−∞dk F (k) eikx =
1
2π
∫ +∞
−∞dk eikx
∫ +∞
−∞dy e−ikyf(y) . (5.48)
Per la stessa ragione per cui non esiste il prodotto scalare(φλ,φµ
)non e possibile
scambiare l’ordine di integrazione in (5.48). Se scriviamo pero
f(x) = limN→∞
1
2π
∫ +N
−Ndk eikx
∫ +∞
−∞dy e−ikyf(y) (5.49)
139
-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2
0
20
40
60
Figura 5.1: La funzione dN(t) per N = 50 e 200.
il teorema di Fubini Tonelli ci permette di scambiare l’ordine di integrazione ottenendo
f(x) = limN→∞
∫ +∞
−∞dN(y − x)f(y)dy , (5.50)
dove
dN(t) =1
2π
∫ +N
−Ndk e−ikt =
1
π
sinNt
t. (5.51)
Ovviamente non ha senso scambiare il limite con l’integrale poiche il limite puntualeper N →∞ di dN(t) non esiste. Tuttavia si puo scrivere
limN→∞
dN(t) = δ(t) , (5.52)
dove la “funzione δ di Dirac” non e una funzione ma un nuovo oggetto chiamato di-stribuzione; il limite e inteso “in senso debole” o “nel senso delle distribuzioni”e significa esattamente la eq. (5.50); per dare senso alla (5.52) si deve cioe moltiplicareper una “funzione di prova” (che per comodita in matematica si sceglie infinitamentederivabile e decrescente all’infinito piu rapidamente di ogni potenza; chiamiamo S lospazio lineare di tali funzioni di prova), integrare sulla variabile e poi fare il limite. Siscrive allora per ogni funzione di prova g(x)
limN→∞
∫ +∞
−∞dy dN(y − x) g(y) =
∫ +∞
−∞δ(y − x) g(y) dy = g(x) . (5.53)
L’ultima uguaglianza, che si puo anche scrivere∫ +∞
−∞δ(t) g(t) dt = g(0) , (5.54)
140
va intesa come definizione della δ di Dirac, dove il segno di integrale e puramentesimbolico. Simbolicamente si scrive anche
δ(t) = limN→∞
1
π
sinNt
t=
1
2π
∫ +∞
−∞dk e−ikt , (5.55)
dove il limite (anche degli estremi di integrazione) va inteso in senso debole; si devecioe prima moltiplicare per una funzione di t, integrare su t, e poi integrare su k. Piuin generale la δ di Dirac non e che un esempio (il piu importante) di distribuzione,definita nel modo seguente:
• una distribuzione (temperata) T e un funzionale lineare continuo sullo spazio Sdelle funzioni di prova, cioe un’applicazione lineare continua12 di S in C:
T : S → C (5.56)
che si indica con la notazione seguente:
T : g 7→ (T, g) ∈ C , (5.57)
dove g e una qualsiasi funzione di prova.
Il simbolo (T, g) richiama quello di prodotto scalare, e infatti in fisica si scrive abitual-mente
(T, g) ≡∫ +∞
−∞T (x)∗g(x)dx ; (5.58)
tuttavia l’integrale a secondo membro non sempre e un vero integrale (di Lebesgue); loe se, per esempio, T (x) e g(x) sono entrambe funzioni quadrato sommabili. Nella teoriadelle distribuzioni g(x) e una funzione non solo quadrato sommabile ma che va a zeropiu rapidamente di 1/xn,∀n ∈ N (S ⊂ L2(R)); in compenso non e necessario che T (x)sia quadrato sommabile; basta che sia localmente sommabile e non troppo crescenteper x→ ±∞ (ci pensa g(x) ad assicurare la convergenza dell’integrale) o addirittura,come nel caso della δ di Dirac, non e nemmeno necessario che sia una funzione; inquest’ultimo caso la (5.58) non e che un modo simbolico di scrivere la (5.57), dove laprescrizione per associare ad ogni g ∈ S il numero complesso (T, g) e data in qualchealtro modo, per esempio per la δ di Dirac
δ : g 7→ g(0) ∈ C , ∀g(x) ∈ S (5.59)
che i fisici scrivono nella forma (5.54). Il concetto di distribuzione generalizza quindiquello di funzione (i russi chiamano le distribuzioni funzioni generalizzate). La δ di Di-rac puo essere rappresentata come limite debole di una successione non solo mediantela (5.55)ma in molti altri modi. Per ogni funzione D(x) ∈ L(R) e tale che∫ +∞
−∞D(x) dx = 1 (5.60)
12Per dare un senso compiuto all’aggettivo “continua” dovremmo definire il concetto di limite in S,che e molto piu forte del semplice limite puntuale, ma non abbiamo tempo di farlo qui.
141
si puo provareδ(x) = lim
N→∞ND(Nx) debole; (5.61)
basta infatti moltiplicare per una funzione di prova qualsiasi g(x) e integrare perottenere∫ +∞
−∞δ(x)g(x)dx = lim
N→∞
∫ +∞
−∞ND(Nx)g(x)dx = lim
N→∞
∫ +∞
−∞D(y)g
( yN
)dy
= g(0) , (5.62)
dove:
a) si e prima integrato e poi preso il limite, in accordo con la definizione di limitedebole;
b) si e fatto il limite sotto il segno usando il teorema (D.1) dell’Appendice D, tenendoconto che g ∈ S ⇒ ∃M > 0/|g(x)| < M, ∀x ∈ R e quindi che |D(y)g(y/N)| <M |D(y)|.
Tra le possibili rappresentazioni della delta di Dirac citiamo le seguenti (dove si e ancheposto ε = 1
N):
1. D(x) =1√πe−x
2 ⇒ δ(x) = limN→∞
N√πe−(Nx)2 = lim
ε→0+
1
ε√πe−x
2/ε2 (5.63)
2. D(x) =
0 x < −1
2
1 |x| < 12
0 x > 12.⇒ δ(x) = lim
N→∞
0 x < − 1
2N
N |x| < 12N
0 x > 12N
.
= limε→0+
0 x /∈
(− ε
2, ε
2
)1ε
x ∈(− ε
2, ε
2
)(5.64)
3. D(x) =1
π
1
x2 + 1⇒ δ(x) = lim
N→∞
N
π
1
(Nx)2 + 1= lim
ε→0+
1
π
ε
x2 + ε2
(5.65)
E importante osservare che il limite debole nella (5.61) non ha niente a che fare con illimite puntuale, che ha tuttavia importanza storica poiche esso coincide con la defini-zione intuitiva data da Dirac alla sua funzione δ: “una funzione che e nulla dappertuttosalvo che nell’origine, dove vale infinito, in modo tale che il suo integrale sull’asse realevalga uno” (notare che
∫ +∞−∞ ND(Nx)dx = 1, ∀N). Ritornando al “prodotto scalare”(
φλ,φµ
), con φλ(x) = eiλx, si puo quindi scrivere(
φλ,φµ
)= 2πδ(λ− µ) , (5.66)
142
che generalizza a intervallo infinito la relazione di ortogonalita in L2(−π, π)
(φl,φm) = 2πδlm (5.67)
con φl(x) = eilx. La δ di Dirac puo quindi essere vista come generalizzazione della δ diKronecker a indice continuo; si confrontino anche le proprieta caratteristiche
δlm = 0 , l 6= m ↔ δ(λ− µ) = 0 , λ 6= µ (5.68)∑l
δlm = 1 ↔∫dλδ(λ− µ) = 1 . (5.69)
Enunciamo ora un’importante proprieta della delta di Dirac. Sia f(x) una funzione con n zeri semplici:
f(x) = 0 per x = x1, x2, ..., xn ; f ′(xi) 6= 0 .
Allora:
δ(f(x)) =
n∑i=1
δ(x− xi)∣∣∣ dfdx ∣∣∣x=xi
. (5.70)
Per esempio, se f(x) = x2 − a2, la (5.70) fornisce
δ(x2 − a2) =δ(x− a)
2|a|+δ(x+ a)
2|a|=
1
2|a|[δ(x− a) + δ(x+ a)] .
Caso particolare importante della (5.70) e
δ(ax) =1
|a|δ(x) , ∀a ∈ R, a 6= 0 . (5.71)
Si calcoli come esempio∫ 3
0
(5x− 2)δ(1− 2x)dx =
∫ 3
0
(5x− 2)δ(x− 1
2)
2dx =
1
2(5
1
2− 2) =
1
4.
Un’altra proprieta della δ di Dirac e
f(x)δ(x− x0) = f(x0)δ(x− x0) , ∀f ∈ C∞ (5.72)
come si dimostra moltiplicando ambo i membri per una qualsiasi funzione di prova g(x)e integrando su x.• Ogni distribuzione T e infinitamente derivabile secondo la definizione(
dT
dx, g
)= −
(T,dg
dx
), (5.73)
che e la generalizzazione dell’identita∫ +∞
−∞
dT ∗
dxg(x)dx = −
∫ +∞
−∞T ∗(x)
dg
dxdx (5.74)
143
valida per ogni funzione di prova g ∈ S se T ∈ L⋂C1 (nell’integrazione per parti
il contributo agli estremi sparisce perche g(x) va rapidamente a zero per x → ±∞).La definizione (5.74) di derivata generalizzata permette di derivare nel senso del-le distribuzioni anche funzioni non derivabili in senso ordinario, purche localmentesommabili. Per esempio e possibile derivare anche funzioni dotate di discontinuita diprima specie, il cui esempo paradigmatico e la funzione θ di Heaviside:
dθ
dx= δ(x) (5.75)
nel senso delle distribuzioni13. Infatti,∫ ∞−∞
dθ
dxg(x)dx = −
∫ ∞−∞
θ(x)g′(x)dx = −∫ ∞
0
g′(x)dx = − g(x)|+∞0 = g(0) .
(5.76)
• La derivata nel senso delle distribuzioni e continua rispetto al limite debole:
T = limn→∞
Tn debole ⇒ dT
dx= lim
n→∞
dTndx
debole . (5.77)
La (5.77) fornisce un altro modo per ricavare la (5.75): partendo dalla rappresentazione
θ(x) =1
2+ lim
ε→0+
1
πarctan
x
ε; (5.78)
della θ di Heaviside, derivando ambo i membri e scambiando il limite con la derivata(il che e sempre lecito solo nel senso delle distribuzioni) si ottiene la rappresentazione(5.65) della δ.
• Ogni distribuzione temperata T ammette Trasformata di Foruier, secondo ladefinizione:
(Fk(T ),Fk(g)) ≡ (T, g) , ∀g ∈ S (5.79)
che generalizza l’analoga identita (5.27) valida per funzioni quadrato sommabili. Ladefinizione (5.79) e sensata poiche, come dimostrato nel paragrafo 4.1.2, la trasformatadi Fourier manda lo spazio S in se stesso, quindi Fk(g) ∈ S, ∀g ∈ S, e quindi Fk(T ) ea sua volta una distribuzione temperata. Grazie alla definizione (5.79) si puo calcolarela TF anche di funzioni che non siano ne sommabili ne quadrato sommabili su R;basta che siano localmente sommabili e “non troppo crescenti”14. In particolare si puo
13In senso ordinario vale invece dθdx =q.o. 0.
14Non si puo invece calcolare la TF di funzioni f che all’infinito crescano piu di ogni potenza, peresempio esponenzialmente; queste infatti non sono distribuzioni temperate e per dare senso a
(f, g) =
∫ +∞
−∞f∗(x)g(x)dx (5.80)
bisognerebbe usare funzioni di prova “a supporto compatto” che non sono pero mandate in se stessedalla TF
144
calcolare la TF F (k) della funzione f(x) = eik0x (k0 ∈ R); detta
G(k) =1√2π
∫ +∞
−∞e−ikxg(x)dx (5.81)
la TF di g(x), per la (5.79) abbiamo
(F,G) = (f, g) =
∫ +∞
−∞e−ik0xg(x)dx =
√2πG(k0) , (5.82)
da cui si deduceF (k) ≡ Fk
(eik0x
)=√
2πδ(k − k0) . (5.83)
Per k0 = 0 la TF di f(x) = 1 e√
2πδ(k). Viceversa scegliendo f(x) = δ(x − x0) lacatena di identita
(F,G) = (f, g) =
∫ +∞
−∞δ(x− x0)g(x)dx = g(x0) =
1√2π
∫ +∞
−∞eikx0G(k)dk (5.84)
implica
F (k) ≡ Fk (δ(x− x0)) =1√2πe−ikx0 . (5.85)
Notare che le (5.83) e (5.85) potevano anche essere dedotte (in modo rozzo e scorrettoma mnemonicamente efficace) scrivendo semplicemente
F (k) =1√2π
∫ +∞
−∞e−ikxf(x)dx (5.86)
ed utilizzando rispettivamente la rappresentazione (5.55) della δ di Dirac e la suadefinzione (5.53). Invitiamo lo studente a verificare che tale modo diventa corretto sesi usano invece i limiti deboli
eik0x = limN→∞
eik0xe−x2/N2
δ(x− x0) = limN→∞
N√πe−N
2x2 ,
la TF della gaussiana (4.14), e la proprieta:
• La TF nel senso delle distribuzioni e continua rispetto al limite debole:
T = limN→∞
TN debole ⇒ F(T ) = limN→∞
F(TN) debole . (5.87)
Usando infatti le (5.87) l’integrale (5.86) acquista senso proprio, poiche il suo integrandodiventa sommabile.
Da quanto abbiamo sommariamente detto si deduce che la TF e lo strumento piuutile per risolvere equazioni differenziali a coefficienti costanti, purche vengaestesa alle distribuzioni temperate. L’unica delle tecniche discusse in questo corso chenon venga del tutto riassorbita dalla TF estesa alle distribuzioni e la Trasformata diLaplace, che permette anche di studiare soluzioni che crescono esponenzialmente pert→∞ (di solito per evitarle!).
145
Appendice A
Funzioni armoniche
Una funzione di due variabili g(x, y) si dice armonica se soddisfa l’equazione di Laplace
42g(x, y) = 0 , (A.1)
dove 42 e l’operatore Laplaciano in due dimensioni
42 =∂2
∂x2+
∂2
∂y2.
Teorema: Se f(z) = u(x, y) + iv(x, y) e una funzione analitica (e le funzioni u e vsono di classe C2 1) , le funzioni u(x, y) e v(x, y) sono armoniche.
Dimostrazione: Se f(z) e analitica, u e v soddisfano le condizioni di Cauchy-Riemann:
∂u(x, y)
∂x=
∂v(x, y)
∂y(A.2)
∂u(x, y)
∂y= −∂v(x, y)
∂x(A.3)
Derivando la (A.2) rispetto a x e la (A.3) rispetto a y si ottiene
∂2u(x, y)
∂x2=
∂2v(x, y)
∂x∂y
∂2u(x, y)
∂y2= −∂
2v(x, y)
∂y∂x= −∂
2v(x, y)
∂x∂y.
Nell’ultima equazione e lecito scambiare l’ordine di derivazione perche v(x, y) e di classeC2. Sottraendo membro a membro le precedenti equazioni si ottiene:
1In realta questa condizione e sempre soddisfatta perche ogni funzione analitica e infinitamentederivabile.
146
∂2u(x, y)
∂x2+∂2u(x, y)
∂y2= 4u(x, y) = 0 .
Analogamente, derivando la (A.2) rispetto a y e la (A.3) rispetto a x e sottraendomembro a membro si ottiene
∂2v(x, y)
∂x2+∂2v(x, y)
∂y2= 4v(x, y) = 0 .
[q.e.d.]Data una funzione u(x, y) armonica in una certa regione del piano (x, y) e possibile
costruire (a meno di una costante) la corrispondente funzione armonica v(x, y) tale chef(z) = u(x, y)+ iv(x, y) sia analitica. Infatti, nota u, le condizioni di Cauchy-Riemannci consentono di ricavare le derivate parziali v′x e v′y e da queste, integrando, la funzionev(x, y).
Esempio 1
Sia
u(x, y) = cos xe−y .
Dimostrare che u(x, y) e armonica e costruire la corrispondente funzione analitica f(z).Per dimostrare che u e armonica occorre dimostrare che essa soddisfa l’equazione
di Laplace (A.1):
∂u(x, y)
∂x= − sinxe−y,
∂u(x, y)
∂y= − cosxe−y
∂2u(x, y)
∂x2= − cosxe−y,
∂2u(x, y)
∂y2= cosxe−y
Pertanto 42u(x, y) = 0 e u e armonica. Dalle condizioni di CR si ricava che
∂v(x, y)
∂y=
∂u(x, y)
∂x= − sinxe−y (A.4)
∂v(x, y)
∂x= −∂u(x, y)
∂y= cosxe−y . (A.5)
Integrando la (A.4) rispetto a y si ottiene
v(x, y) = −∫
sinxe−ydy + g(x) = sinxe−y + g(x) .
147
Sostituendo quest’ultima nella (A.5)
∂v(x, y)
∂x= cosxe−y + g′(x) = cos xe−y .
Pertanto
g′(x) = 0 ⇒ g(x) = costante = K ⇒ v(x, y) = sin xe−y +K
e la funzione f(z) cercata e (ponendo la costante K = 0)
f(z) = u(x, y) + iv(x, y) = cos xe−y + i sinxe−y = eix−y = ei(x+iy) = eiz ,
analitica in tutto C.
Esempio 2
La funzione
u(x, y) = x2 − y2
e armonica. Infatti
u′′xx = 2 , u′′yy = −2 ⇒42u(x, y) = 0
Dalle condizioni di CR segue che:
v′y = u′x = 2x ⇒ v(x, y) = 2xy + φ(x)
e
v′x = −u′y = 2y ⇒ 2y + φ′(x) = 2y ⇒ φ(x) = K .
Pertanto
v(x, y) = 2xy +K ⇒ f(z) = x2 − y2 + 2ixy + iK = (x+ iy)2 + iK = z2 + iK , K ∈ R
Esempio 3
La funzione
u(x, y) =x
x2 + y2
e armonica in R2 − 0. Infatti:
u′x =y2 − x2
(x2 + y2)2, u′′xx =
2x(x2 − 3y2)
(x2 + y2)3
148
Figura A.1: Mappa conforme.
u′y =−2xy
(x2 + y2)2, u′′yy =
−2x(x2 − 3y2)
(x2 + y2)3= −u′′xx .
Dalle CR:
v′x = −u′y =2xy
(x2 + y2)2⇒ v(x, y) =
∫2xy
(x2 + y2)2dx+ g(y)
= − y
x2 + y2+ g(y) .
Per fissare g(y) usiamo l’altra condizione di CR:
v′x = − 1
x2 + y2+
2y2
(x2 + y2)2+ g′(y)
=y2 − x2
(x2 + y2)2+ g′(y) = u′x =
y2 − x2
(x2 + y2)2
⇒ g(y) = K .
Quindi
f(z) = u(x, y) + iv(x, y) =x
x2 + y2− i y
x2 + y2+ iK
=z∗
|z|2+ iK =
1
z+ iK , K ∈ R .
Esiste uno stretto legame tra funzioni analitiche e armoniche, per le quali valgonoteoremi simili a quelli che abbiamo visto nella prima parte. Le funzioni armoniche
149
compaiono in molti problemi fisici. In elettrostatica nel vuoto abbiamo ~∇ · ~E = 0 e ilcampo elettrico puo essere scritto come ~E = −~∇V , da cui ∆V = 0. Anche un fluidoincompressibile in assenza di vortici e descritto da un potenziale di flusso che soddisfal’equazione di Laplace, e quindi e una funzione armonica.
Dalle condizioni di Cauchy-Riemann abbiamo anche
~∇u · ~∇v =∂u
∂x
∂v
∂x+∂u
∂y
∂v
∂y= 0 (A.6)
e si dice che u e v sono funzioni armoniche coniugate. Poiche il gradiente e perpendi-colare alle linee su cui la funzione e costante, questo implica che le curve di u = costsono localmente perpendicolari a quelle di v = cost, vedi Fig.(A.1), esattamente comeperpendicolari sono le rette x = cost e y = cost nel piano complesso di partenza. At-traverso la funzione analitica f(z) = u(x, y) + iv(x, y) si realizza pertanto una mappaconforme (che rispetta localmente gli angoli) del piano complesso (x, y) nel piano (u, v).
Per concludere notiamo il seguente teorema: Il campo vettoriale ~a = v(x, y)~i +
u(x, y)~j e solenoidale (~∇ · ~a = 0) e irrotazionale (~∇ × ~a = 0) se e solo se f(z) =u + iv e analitica. La verifica segue dalle Cauchy-Riemann. Un campo solenoidale eirrotazionale definisce una funzione analitica e viceversa.
150
Appendice B
Corollari della rappresentazioneintegrale di Cauchy
1. Principio della media
Il principio della media si ricava dalla rappresentazione integrale di Cauchy (1.22) nelcaso in cui la curva γ sia una circonferenza. Se f(z) e una funzione analitica in unaregione S semplicemente connessa e C e una circonferenza di raggio r e centro z0 ∈ Sinterna a S:
C = z ∈ S / |z − z0| = r ,
allora
f(z0) =1
2π
∫ 2π
0
f [z(ϕ)]dϕ ∀z ∈ C . (B.1)
Dimostrazione: Applichiamo la rappresentazione integrale di Cauchy con γ = C epassiamo a coordinate polari (z ∈ C)
z(ϕ) = z0 + reiϕ −→ dz = ireiϕdϕ = i(z − z0)dϕ
da cui segue
f(z0) =1
2πii
∫ 2π
0
z − z0
z − z0
f [z(ϕ)]dϕ =1
2π
∫ 2π
0
f [z(ϕ)] dϕ .
[q.e.d.]
2. Teorema
Ne la parte reale ne la parte immaginaria di una funzione f(z) = u(x, y) + iv(x, y)analitica in un dominio D s.c. possono avere estremi all’interno di D.
151
Dimostrazione: dimostriamo il teorema per la parte reale u(x, y). La dimostrazionee analoga per v(x, y). Sia z0 un punto interno a D, tale cioe che esista un intorno I(z0)tutto contenuto in D. Mostriamo che possono esistere solo due alternative:
a) ∃I(z0) ⊂ D / ∀z ∈ I(z0) u(z) = u(z0) ,
esiste cioe un intorno di z0 in cui la funzione u(x, y) e costante;
b) ∀I(z0) ⊂ D ∃z1, z2 ∈ I(z0) / u(z2) < u(z0) < u(z1) ,
cioe in qualunque intorno di z0 la funzione u assume valori sia maggiori che minori diu(z0).
Neghiamo infatti l’alternativa b), ammettiamo cioe che esista un intorno I(z0) ⊂ Dtale che ∀z ∈ I(z0) sia, per esempio, u(z) ≥ u(z0). Dalla parte reale del principio dellamedia (B.1) segue allora che
u(z0) =1
2π
∫ 2π
0
u[z(ϕ)]dϕ . (B.2)
D’altra parte e vera la relazione
u(z0) =1
2π
∫ 2π
0
u(z0)dϕ . (B.3)
Uguagliando le (B.2) e (B.3) si ottiene∫ 2π
0
u[z(ϕ)]− u(z0)dϕ = 0 ,
che implica, poiche la funzione integranda e per ipotesi continua e non negativa,
u(z) = u(z0)
ovvero l’alternativa a).L’altro modo di negare l’alternativa b) e di affermare che esiste un intorno I(z0) ⊂ D
tale che ∀z ∈ I(z0) sia u(z) ≤ u(z0));allora dalle (B.2) e (B.3) deduciamo di nuovo che
∫ 2π
0
u(z0)− u[z(ϕ)]dϕ = 0;
poiche la funzione integranda e per ipotesi continua e non negativa, ne segue ancoral’alternativa a):
u(z) = u(z0) .
[q.e.d.]
152
3. Teorema
Sia f(z) una funzione analitica in un dominio D s.c. . Il suo valore assoluto |f(z)| nonpuo avere massimi all’interno di D e puo avere minimi solo nei punti in cui f(z) = 0.
Dimostrazione: Per quanto riguarda il massimo, la dimostrazione e perfettamenteanaloga alla precedente. Supponiamo che:
∃I(z0) ⊂ D / |f(z)| ≤ |f(z0)| ∀z ∈ I(z0) .
Per ogni circonferenza C centrata in z0 e interna a I(z0) vale, per il principio dellamedia, la seguente relazione
|f(z0)| =∣∣∣∣ 1
2π
∫ 2π
0
f [z(ϕ)]
∣∣∣∣ dϕ ≤ 1
2π
∫ 2π
0
|f [z(ϕ)]| dϕ . (B.4)
E vero inoltre che
|f(z0)| = 1
2π
∫ 2π
0
|f(z0)| dϕ . (B.5)
Sottraendo membro a membro le (B.4) e (B.5) si ottiene∫ 2π
0
|f [z(ϕ)]| − |f(z0)| dϕ ≥ 0
Poiche l’integrando e per ipotesi una funzione continua e non positiva, ne segue che
|f(z)| = |f(z0)|
per ogni z ∈ C. Variando il raggio r della circonferenza C in modo da coprire tuttol’intorno I(z0) si dimostra che |f(z)| = |f(z0)| per ogni z ∈ I(z0).
Abbiamo cosı dimostrato che |f(z)| non puo avere un massimo all’interno di D.Per dimostrare che |f(z)| non puo avere minimi, se non nei punti in cui si annulla,
consideriamo la funzione g(z) = 1/f(z), analitica in D esclusi gli zeri zi di f(z). Inquesti punti |f(zi)| e ovviamente minima. Se z 6= zi, i minimi di |f(z)| corrispondonoai massimi di |g(z)|. Ma, come si e appena dimostrato, la funzione |g(z)|, analitica inD, non puo avere massimi in D, e quindi la |f(z)| non puo avere minimi.
[q.e.d.]
4. Teorema
Sia f(z) una funzione analitica in un dominio semplicemente connesso S, γ ⊂ S unacurva di Jordan di lunghezza l, f(z) limitata sulla curva γ e M = maxz∈γ |f(z)| ilsuo valore massimo su γ, z0 un punto appartenente alla regione interna a γ e δ =minz∈γ |z − z0| la distanza minima della curva γ dal punto z0. Sotto queste ipotesi:
153
a)
|f(z0)| ≤ Ml
2πδ(B.6)
b) ∣∣∣∣dnf(z)
dzn
∣∣∣∣z=z0
≤ n!Ml
2πδn+1∀n = 1, 2, ... (B.7)
Dimostrazione: La dimostrazione segue immediatamente dalle rappresentazioni diCauchy (1.22) e (1.23) e dalla disuguaglianza di Darboux (1.11):
a) |f(z0)| =
∣∣∣∣ 1
2πi
∮γ
f(z)
z − z0
dz
∣∣∣∣≤ 1
2πimaxz∈γ
∣∣∣∣ f(z)
z − z0
∣∣∣∣ l≤ 1
2πi
Ml
δ
b)
∣∣∣∣dnf(z)
dzn
∣∣∣∣z=z0
=
∣∣∣∣ n!
2πi
∮γ
f(z)
(z − z0)n+1dz
∣∣∣∣≤ n!
2π
Ml
δn+1
[q.e.d.]
5. Teorema di Liouville
Una funzione analitica e limitata in tutto il piano complesso C e necessariamentecostante.
Dimostrazione: Poiche f(z) e limitata in C, esiste un M reale tale che |f(z)| ≤ M ,∀z ∈ C. Allora ∀z0 ∈ C possiamo applicare il teorema precedente (B.7) nel caso n = 1:∣∣∣∣df(z)
dz
∣∣∣∣z=z0
≤ Ml
2πδ2.
Se scegliamo γ come una circonferenza centrata in z0 di raggio r (l = 2πr,δ = r)otteniamo ∣∣∣∣df(z)
dz
∣∣∣∣z=z0
≤ M2πr
2πr2=M
r.
154
Ora, poiche f(z) e regolare e limitata in tutto il piano complesso, si puo scegliere rarbitrariamente grande, rendendo il rapporto M/r piccolo quanto si vuole; quindi
∣∣∣∣df(z)
dz
∣∣∣∣z=z0
= 0 ∀z0 ∈ C
da cui
df(z)
dz= 0 ∀z ∈ C⇒ f(z) = costante ∀z ∈ C .
[q.e.d.]Se definiamo una funzione intera come una funzione regolare in tutto il piano
complesso (cioe priva di singolarita al finito), il teorema di Liouville afferma che unafunzione intera e limitata e costante.
N.B. Lo stesso teorema non vale nel campo reale. Infatti esistono funzioni f(x) divariabile reale non costanti che sono infinitamente derivabili e limitate in tutto R. Peresempio le funzioni
f(x) =1
1 + x2, f(x) = e−x
2
sono limitate (f(x) ≤ 1) e infinitamente derivabili. Tuttavia le corrispondenti funzioninel campo complesso non sono limitate in C. Infatti
f(z) =1
1 + z2
non e regolare ne limitata in z = ±i. Invece la funzione
f(z) =1
1 + |z|2
e limitata in C (f(z) ≤ 1) ma non e analitica (poiche u(x, y) = (1 + x2 + y2)−1
e v(x, y) = 0, le condizioni di Cauchy-Riemann non sono soddisfatte). Per quantoriguarda
f(z) = e−z2
e regolare in tutto C ma per z = iy, con y reale,
f(iy) = ey2
non e limitata. Invece la funzione
f(z) = e−|z|2
= e−z∗z
e limitata ma non analitica (si ricordi che z∗ non e analitica).
155
Appendice C
Equazioni differenziali delsecond’ordine
La maggior parte dei problemi in fisica e formulata in termini di equazioni differenziali,che sono molto spesso equazioni differenziali alle derivate parziali, che coinvolgono cioederivate rispetto a piu di una variabile. Tra queste, le equazioni che si incontrano piufrequentemente sono:
1) L’equazione di Laplace:
∆ψ(~r) = 0 , (C.1)
dove l’operatore Laplaciano (in tre dimensioni) e
∆ = ∇2 =∂2
∂x2+
∂2
∂y2+
∂2
∂z2.
L’equazione di Laplace compare spesso nello studio di fenomeni elettromagnetici,nell’idrodinamica, nella propagazione del calore e nello studio della gravitazione.
2) L’equazione di Poisson:
∆ψ(~r) = − ρε0, (C.2)
che e una generalizzazione dell’equanzione di Laplace (C.1) in presenza di unasorgente.
3) L’equazione di Helmholtz, o equazione delle onde
∆ψ(~r) + k2ψ(~r) = 0 (C.3)
e l’equazione di diffusione indipendente dal tempo
∆ψ(~r)− k2ψ(~r) = 0 . (C.4)
156
Queste equazioni si incontrano nello studio di diversi fenomeni, come la propaga-zione di onde elastiche nei solidi, la propagazione del suono e l’acustica, le ondeelettromagnetiche e i reattori nucleari.
4) L’equazione delle onde dipendente dal tempo, o equazione di d’Alembert,
ψ(~r, t) = 0 , (C.5)
dove si e introdotto l’operatore d’alembertiano:
=∂2
∂t2− ∂2
∂x2− ∂2
∂y2− ∂2
∂z2=
∂2
∂t2−∆ .
5) L’equazione del potenziale scalare:
ψ(~r, t) = − ρε0
6) L’equazione di Klein-Gordon
ψ(~r, t) = µ2ψ(~r, t) . (C.6)
7) L’equazione di Schroedinger
− ~2
2m∆ψ(~r, t) + V (~r)ψ(~r, t) = i~
∂ψ(~r, t)
∂t,
che e alla base della meccanica quantistica non relativistica.
8) Le equazioni di Maxwell, che sono un sistema di equazioni alle derivate parzialeaccoppiate per i campi elettrico e magnetico.
9) L’equazione di Dirac, che governa la meccanica quantistica relativistica.
Tutte queste equazioni possono essere scritte nella forma
Hψ = F ,
dove H e un operatore differenziale,
H = H
(∂
∂x,∂
∂y,∂
∂z,∂
∂t, x, y, z
),
F e una funzione nota e ψ e la funzione incognita (scalare o vettoriale). Inoltre leequazioni (1,3,4,6,7,9) sono lineari: questo significa che, se ψ1 e ψ2 sono soluzionidell’equazione differenziale, qualsiasi loro combinazione lineare
ψ = a1ψ1 + a2ψ2
157
ne e ancora soluzione. Le equazioni (1-8) sono tutte equazioni del secondo ordine: essecontengono cioe derivate di ordine massimo 2 (in realta le equazioni di Maxwell sonodel prim’ordine, ma contengono due funzioni incognite e possono essere ricondotte,eliminando una delle due incognite, a equazioni del second’ordine). Esistono diversimetodi per la soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali del second’ordine:
1) metodo di separazione delle variabili;
2) metodo delle funzioni di Green;
3) metodo delle trasformate integrali di Fourier e di Laplace;
4) metodi numerici.
C.1 Metodo di separazione delle variabili
Il metodo di separazione delle variabili consiste nel separare una equazione differenzia-le alle derivate parziali in n variabili in n equazioni differenziali ordinarie (contenenticioe derivate totali), ciascuna corrispondente a una variabile. Ogni separazione intro-duce una costante arbitraria, detta costante di separazione. Se le variabili sono n, siottengono n − 1 costanti di separazione, determinate dalle condizioni al contorno delproblema. Illustriamo il funzionamento di questo metodo con un esempio: la soluzionedell’equazione di Helmholtz (C.3). In coordinate cartesiane l’equazione (C.3) diventa:
∂2ψ(x, y, z)
∂x2+∂2ψ(x, y, z)
∂y2+∂2ψ(x, y, z)
∂z2+ k2ψ(x, y, z) = 0 . (C.7)
Il metodo di separazione delle variabili consiste nel cercare una soluzione fattorizzatadel tipo
ψ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z) , (C.8)
dove X(x) dipende solo dalla variabile x, Y (y) solo dalla y e Z(z) solo dalla z. None detto, in generale, che una soluzione di questo tipo esista, ma, se esiste, il procedi-mento e giustificato. Se non esiste, si dovra risolvere l’equazione con un altro metodo.Sostituiamo dunque la (C.8) nell’equazione (C.7):
Y (y)Z(z)d2X(x)
dx2+X(x)Z(z)
d2Y (y)
dy2+X(x)Y (y)
d2Z(z)
dz2+ k2X(x)Y (y)Z(z) = 0
e dividiamo per X(x)Y (y)Z(z), supponendo che ψ 6= 0 (soluzione banale dell’equazionedifferenziale):
1
X(x)
d2X(x)
dx2+
1
Y (y)
d2Y (y)
dy2+
1
Z(z)
d2Z(z)
dz2+ k2 = 0 .
158
Si noti che le derivate sono derivate ordinarie, non parziali. Separiamo ora i terminiche dipendono da x da quelli che non ne dipendono:
1
X(x)
d2X(x)
dx2= − 1
Y (y)
d2Y (y)
dy2− 1
Z(z)
d2Z(z)
dz2− k2 . (C.9)
Ora, il primo membro e una funzione della sola variabile x, mentre il secondo membrodipende solo da y e z. Poiche x, y e z sono variabili indipendenti, questo e possibile solose entrambi i membri della (C.9) sono uguali a una costante, la costante di separazione,che indicheremo con −l2. Otteniamo cosı due equazioni:
1
X(x)
d2X(x)
dx2= −l2
1
Y (y)
d2Y (y)
dy2+
1
Z(z)
d2Z(z)
dz2+ k2 = l2 .
Consideriamo ora la seconda di queste equazioni e ripetiamo il procedimemto; separia-mo i termini dipendenti da y:
1
Y (y)
d2Y (y)
dy2= − 1
Z(z)
d2Z(z)
dz2− k2 + l2 .
Questa equazione puo essere verificata solo se ambo i suoi membri sono uguali a unacostante di separazione, −m2:
1
Y (y)
d2Y (y)
dy2= −m2
1
Z(z)
d2Z(z)
dz2= −k2 +m2 + l2 = −n2 ,
dove abbiamo introdotto, per motivi di simmetria formale, la costante n2, legata a l,m e k dalla relazione
l2 +m2 + n2 = k2 .
Riassumendo, abbiamo trasformato l’equazione differenziale alle derivate parziali inn=3 variabili
∂2ψ(x, y, z)
∂x2+∂2ψ(x, y, z)
∂y2+∂2ψ(x, y, z)
∂z2+ k2ψ(x, y, z) = 0
in n=3 equazioni differenziali ordinarie
1
X(x)
d2X(x)
dx2= −l2
1
Y (y)
d2Y (y)
dy2= −m2
1
Z(z)
d2Z(z)
dz2= −n2
159
e abbiamo introdotto n− 1=2 costanti di separazione l e m (la terza costante, n, none indipendente dalle altre due). La nostra soluzione sara caratterizzata da tre indicil,m, n:
ψlmn(x, y, z) = Xl(x)Ym(y)Zn(z) (C.10)
e varra per qualunque scelta delle costanti l,m, n purche l2+m2+n2 = k2. La soluzionegenerale sara una combinazione lineare delle (C.10):
Ψ(x, y, z) =∑l,m,n
almnψlmn(x, y, z) ,
dove i coefficienti almn saranno determinati dalle condizioni al contorno. Risolviamo oral’equazione di Helmholtz in coordinate sferiche. Cerchiamo una soluzione fattorizzatadel tipo
ψ(r, θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ) . (C.11)
L’espressione dell’operatore laplaciano in coordinate sferiche e:
∆ =1
r2 sin θ
[sin θ
∂
∂r
(r2 ∂
∂r
)+
∂
∂θ
(sin θ
∂
∂θ
)+
1
sin θ
∂2
∂φ2
]. (C.12)
Le (C.11) e (C.12), sostituite nell’equazione (C.3), forniscono:
1
Rr2
d
dr
(r2dR
dr
)+
1
r2Θ sin θ
d
dθ
(sin θ
dΘ
dθ
)+
1
Φr2 sin2 θ
d2Φ
dφ2= −k2 .
Si noti che le derivate sono diventate derivate ordinarie, perche agiscono su funzioni diuna sola variabile. Moltiplicando per r2 sin2 θ possiamo isolare i termini dipendenti daφ:
1
Φ
d2Φ
dφ2= r2 sin2 θ
[−k2 − 1
Rr2
d
dr
(r2dR
dr
)− 1
r2Θ sin θ
d
dθ
(sin θ
dΘ
dθ
)]. (C.13)
Questa equazione e una uguaglianza fra una funzione che dipende solo da φ e una chedipende solo da r e θ: l’unica soluzione possibile e che ambo i membri della (C.13)siano uguali a una costante, che indicheremo con −m2:
1
Φ
d2Φ
dφ2= −m2 (C.14)
1
Rr2
d
dr
(r2dR
dr
)+
1
r2Θ sin θ
d
dθ
(sin θ
dΘ
dθ
)− m2
r2 sin2 θ= −k2 .
Moltiplicando ora la seconda equazione per r2 e riarrangiando i termini si ottiene:
1
R
d
dr
(r2dR
dr
)+ k2r2 = − 1
Θ sin θ
d
dθ
(sin θ
dΘ
dθ
)+
m2
sin2 θ.
160
Le variabili r e θ sono cosı separate. Se uguagliamo il primo e il secondo membro adun’unica costante Q otteniamo:
1
r2
d
dr
(r2dR
dr
)+ k2R− QR
r2= 0 (C.15)
1
sin θ
d
dθ
(sin θ
dΘ
dθ
)− m2
sin2 θΘ +QΘ = 0 . (C.16)
Abbiamo ottenuto cosı tre equazioni differenziali ordinarie (C.14), (C.15) e (C.16), conl’introduzione di 2 costanti di separazione, m2 e Q. La soluzione di queste equazionie discussa nel capitolo 2.1.1. La soluzione generale dell’equazione di Helmholtz incoordinate sferiche avra la forma:
Ψ(r, θ, φ) =∑Q,m
aQmRQ(r)ΘQm(θ)Φm(φ) .
Mediante il metodo di separazione delle variabili ci siamo quindi ricondotti a equazionidifferenziali ordinarie del second’ordine, delle quali ci occupiamo qui.
161
Appendice D
Proprieta dell’integrale di Lebesgue
Elenchiamo qui di seguito (senza dimostrarle) alcune proprieta dell’integrale di Lebe-sgue che lo rendono spesso molto piu maneggevole dell’integrale di Riemann.
• Teorema di Lebesgue sullo scambio di limite con integrale (per successioni).
Se
limn→∞
fn(x) =q.o. f(x) ,
con le fn(x) sommabili, ed esiste una F (x) sommabile tale che ∀n ∈ N, |fn(x)| ≤q.o.F (x), allora anche f(x) e sommabile e si puo scambiare il limite con l’integrale:
limn→∞
∫ b
a
fn(x) dx =
∫ b
a
limn→∞
fn(x) dx ≡∫ b
a
f(x) dx . (D.1)
La seconda proprieta e molto simile:
• Scambio di limite con integrale (per integrali dipendenti da un parametro).
Se in y0 la funzione f(x, y), intesa come funzione di y, e continua per quasi ognix ∈ (a, b), cioe se vale
limy→y0
f(x, y) =q.o. f(x, y0), (D.2)
ed esiste una F (x) sommabile tale che in un opportuno intorno di y0 valga|f(x, y)| ≤q.o. F (x), allora si puo scambiare il limite con l’integrale:
limy→y0
∫ b
a
f(x, y) dx =
∫ b
a
limy→y0
f(x, y) dx ≡∫ b
a
f(x, y0) dx . (D.3)
Anche la terza proprieta vale sotto condizioni analoghe:
162
• Derivazione sotto il segno.
Posto
G(y) =
∫ b
a
f(x, y) dx ,
se in un opportuno intorno di y0 e per quasi ogni x ∈ (a, b) la derivata parzialef ′y(x, y) esiste e vale
|f ′y(x, y)| ≤q.o.
F (x) con F (x) sommabile ,
allora si puo derivare sotto il segno:
dG
dy
∣∣∣∣y=y0
=
∫ b
a
f ′y(x, y0) dx . (D.4)
Enunciamo infine
• Teorema di Fubini Tonelli sullo scambio dell’ordine di integrazione.
Se esiste almeno uno degli integrali
∫ b
a
dx
∫ d
c
dy|f(x, y)| ,∫ d
c
dy
∫ b
a
dx|f(x, y)|
allora vale
∫ b
a
dx
∫ d
c
dyf(x, y) =
∫ d
c
dy
∫ b
a
dxf(x, y) (D.5)
L’importanza di questi quattro teoremi diventa evidente se si osserva che essi val-gono sia per intervallo finito che infinito e sia per funzioni limitate che non limitate;gli analoghi teoremi validi per integrali di Riemann, specie per integrali di Riemannimpropri, richiedono condizioni sufficienti estremamente piu restrittive e difficili daverificare.
Naturalmente nel caso di intervallo finito anche per l’integrale di Lebesgue sipossono avere ulteriori semplificazioni: se e solo se l’intervallo e finito, F (x) = Mcostante e sommabile; si puo quindi dire, come caso particolare della proprieta (D.1),che condizione sufficiente affinche valga la (D.1) e che le fn(x) siano q.o. uniformementelimitate, cioe che esista una costante M , indipendente da n, che le maggiori tutte (inmodulo) quasi ovunque.
Affermazioni analoghe si possono fare per le proprieta (D.3) e (D.4).
163
