Gianpiero Cattaneo - Metodi Matematici Per La Meccanica Quantistica

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Metodi Matematici Per La Meccanica Quantistica

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    Parte 2

    Metodi Matematici per laMeccanica Quantistica

    Spazi di pre-Hilbert e spazi di Hilbert

    Gianpiero CATTANEO

    10 giugno 2008

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    Indice

    I - Spazi con Prodotto Internoe Spazi di Hilbert 5

    1 Spazi con Prodotto Interno 7

    1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.2 Spazi con prodotto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.3 Spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.4 Continuita del prodotto interno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    1.5 Spazi con norma non ottenibile da un prodotto interno . . . . . . 18

    1.6 Ortogonalita e ordine parziale di sottospazi . . . . . . . . . . . . 19

    1.6.1 Insiemi parzialmente ordinati di sottospazi . . . . . . . . 21

    1.6.2 Ortospazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2 Esempi 27

    2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Esempi di spazi con prodotto interno . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    3 Sistemi ortonormali completi 39

    3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3.2 Sistemi ortonormali di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3.3 Sistemi ortonormali completi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    3.4 Procedimento di ortonormalizzazionedi Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    4 SONC in spazi di Hilbert 59

    4.1 Sonc in spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    4.2 Sonc in coppie spazio pre Hilbert-spazio di Hilbert . . . . . . . . 63

    4.3 Sonc nello spazio di HilbertR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.4 Integrale diretto di spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    4.4.1 Esempio: Caso particolare I = R3 eH = Cn . . . . . . . 66

    5 SONC in spazi funzionali 69

    5.1 Sistemi ortonormali completi polinominali inL2[ a, b ] . . . . . . 69

    5.2 Polinomi di Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    5.3 Polinomi di Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    5.4 Polinomi di Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

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    2 INDICE

    6 SONC di Fourier 95

    6.1 Sonc trigonometrico ed esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . 956.2 Serie di Fourier in (, ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.3 Serie di Fourier in (a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    6.4 Sviluppo in armoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

    6.5 Equazioni differenziali e serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . 114

    7 Operatori Unitari e Antiunitari 119

    7.1 Operatori isometrici, unitari e antiunitari . . . . . . . . . . . . . 119

    7.1.1 Trasformazioni ortogonali e isometriche in spazi con prodot-to interno reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    8 Rappresentazioni di Heisenberg e di Dirac 131

    8.1 Rappresentazione matriciale di Heisenberg . . . . . . . . . . . . . 1318.1.1 Caso finito-dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

    8.2 Completamento di uno spazio con prodotto interno . . . . . . . . 134

    8.3 Notazione di Dirac: vettoribra e ket . . . . . . . . . . . . . . . . 138

    8.4 Sottospazi ortogonali in spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 143

    8.4.1 Equivalenza antiunitaria fra uno spazio di HilbertH e ilsuo duale topologicoH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

    9 Trasformata di Fourier 149

    9.1 La trasformata di Fourier suS(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1499.2 Operatore unitario di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

    9.3 Loperatore di FourierPlancherel suL2

    . . . . . . . . . . . . . . 161

    9.4 Proprieta particolari su L1(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

    II - Operatori in Spazi di Hilbert 169

    10 Operatori che ammettono aggiunto

    Operatori simmetrici e autoaggiunti 171

    10.1 Aggiunto di un operatoredensamente definito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

    10.2 Algebra degli operatori densamente definiti inH . . . . . . . . . 18010.3 Operatori lineari limitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

    10.4 Operatori unitari ed antiunitari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18510.4.1 Il caso finito-dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

    11 Spettro approssimato 189

    11.1 Spettro puntuale e spettro puntuale approssimato . . . . . . . . . 189

    11.2 Spettro di un operatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

    12 Operatori chiusi 197

    12.1 Operatori chiusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

    12.2 Teorema del grafo chiuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

    12.3 Operatori chiusi in spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

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    INDICE 3

    13 Operatori differenziali al secondo ordine 205

    13.1 Operatori differenzialiformalmente autoaggiunti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

    13.2 Esempi. Loperatore d2dx2 con condizioni al contorno . . . . . . . 21314 Problemi di SturmLiouville

    di tipo polinomiale 219

    14.1 Problemi di SturmLiouville Polinomiali . . . . . . . . . . . . . . 21914.2 Equazioni e polinomi di Jacobi,

    Legendre, Laguerre, Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23014.2.1 Equazioni e polinomi di Jacobi: intervallo [1, 1]: Caso

    a0(x) = 1 x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23014.2.2 (2) Equazione e polinomi di Legendre: casoa0(x) = 1

    x2, p= q= 00 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

    14.2.3 (3) Equazioni e polinomi di Hermite: intervallo [, ],casoa0(x) = 1, 0=2, 1= 0, 0=1 . . . . . . . . . 234

    III - Operatori in Spazi preHilbertiani 235

    15 Operatori Normali ed Hermitiani 237

    15.1 Operatori definiti su coppie Hilbertiane . . . . . . . . . . . . . . 23715.2 Operatori normali e Hermitiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

    16 Operatori unitari in pre-Hilbert 255

    16.1 Autovalori e autovettori di un operatore lineare . . . . . . . . . . 25516.2 Loperatore di parita: esempio di operatore contemporaneamente

    unitario e hermitiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26016.3 Le matrici di Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26316.4 Operatori unitari da uno spazio in se . . . . . . . . . . . . . . . . 266

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    Modulo ISpazi con Prodotto Internoe Spazi di Hilbert

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    Capitolo 1

    Spazi con Prodotto Internoe Spazi di Hilbert

    1.1 Introduzione

    Abbiamo piu volte usato lo spazio euclideo Rn le cui nozioni e proprieta fonda-mentali sono state ottenute generalizzando le corrispondenti nozioni e proprietafondamentali dellusuale spazio euclideo R3. Cos e stato in particolare per leoperazioni di somma di due vettori x = (x1, x2, . . . , xn) ey = (y1, y2, . . . , yn)e di prodotto di uno scalare R per un vettore x di Rn:

    x + y := (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

    x := (x1, x2, . . . , xn)

    Una delle nozioni piu importanti definibili su Rn e quella di prodotto scalare oprodotto interno, che associa ad ogni coppia ordinata di vettori (x, y) diRn unnumero reale

    (1.1)

    x|y := ni=1

    xiyi

    In R3 questo prodotto interno e lusuale prodotto scalare utilizzato, per esempio,in Meccanica Razionale. Le piu importanti proprieta del prodotto scalare sonole seguenti:

    (S1)

    x|y = y|x(S2)

    x1+ x2|y

    =

    x1|y

    +

    x2|y

    (S3)

    x|y = x|y

    (S4) x|x 0 per ogni x Rn

    (S5) x|x = 0 sse x = 0La verifica di queste proprieta e immediata conseguenza della definizione di

    prodotto interno introdotta suRn. Da queste proprieta se ne possono dedurre

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    8 CAPITOLO 1. Spazi con Prodotto Interno

    ovviamente delle altre, per esempio chex y

    1+ y

    2

    =

    x y

    1

    +

    x y

    2

    x y = x y

    Ma il fatto rilevante e che la (S4) permette di introdurre la norma (omodulo)indotta dal prodotto interno secondo la definizione

    x :=

    x|x = ni=1

    (xi)2(1.2)

    che e proprio la norma euclidea diRn. Questa norma e tale da essere legata al

    prodotto scalare tramite la diseguaglianza di Schwarz:

    |x|y| x y(1.3)in cui e vero il segno uguale sse x = y per un opportuno scalare R.Dalla diseguaglianza precedente, sotto lipotesi che

    x = 0 e y = 0, si ricavache

    1

    x|yx y 1(1.4)

    e percio esistera un unico numero reale [ 0, ], chiamatoangolo, compresofra i vettori x e y , e tale che

    x|y =x y cos .

    In questo modo abbiamo ottenuto la generalizzazione dellusuale definizio-ne di prodotto scalare di due vettori in R3 quale prodotto delle loro norme (omoduli) per il coseno dellangolo compreso fra di essi.

    La nozione di prodotto scalare puo essere estesa allo spazio lineare complessoCn associando ad ogni coppia di vettori di Cn

    x = (x1, x2, . . . , xn) e y = (y1, y2, . . . , yn)

    il numero complesso

    (1.1c)

    x|y := ni=1

    xiyi

    Relativamente a questo prodotto interno sono soddisfatte proprieta analoghe aquelle di tipo (s) viste ora nel caso di Rn, precisamente

    (s1)

    x|y = y|x(s2)

    x1+ x2|y

    =

    x1|y

    +

    x2|y

    (s3)

    x|y = x|y

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    1.2. Spazi con prodotto interno 9

    (s4)x|x 0 per ogni x Cn

    (s5)x|x = 0 sse x = 0La (s3) permette di introdurre la norma indotta dal prodotto interno

    (1.2c) x :=

    x|x = ni=1

    |xi|2

    che e la norma 2 definita su Cn. Anche in questo caso varra la proprieta(1.3) ma da questa non sara piu possibile dedurre la (1.4) e quindi non saremopiu in grado di definire langolo compreso fra due vettori.

    1.2 Spazi con prodotto interno

    Astraendo da queste considerazioni, possiamo introdurre in maniera assiomaticala definizione generale di spazio con prodotto interno.

    Definizione 1.2.1 Si definisce spazio con prodotto interno o spazio unitariouno spazio lineare complessoS munito di una applicazioneS S C che adogni coppia ordinata(x, y)di vettori inSassocia un numero complesso, indicatoconx|y e chiamato prodotto interno dix ey, tale che per ognix, x1, x2, y Se ogni C, sono soddisfatte le condizioni:(S1) x|y =y|x (hermitianita)(S2) x1+ x2|y =x1|y +x2|y (additivita a sinistra)(S3) x|y = x|y (antiomogeneita a sinistra)(S4) x|x 0 per ogni x Cn (non negativo)(S5) x|x = 0 sse x = 0 (non degenere)

    Osservazione 1.2.2 SeS e uno spazio lineare reale, la definizione dispazio con prodotto interno (reale) e data di conseguenza. In questo casotutte le precedenti condizioni rimarranno invariate ad eccezione della (S1)e della (S3) in cui ovviamente non comparira la coniugazione complessa.In questo caso, la (S1) viene chiamata condizione disimmetriae la (S3)condizione di omogeneita a sinistra.

    Teorema 1.2.3 In uno spazio con prodotto interno Ssono soddisfatte le seguen-ti proprieta:

    (i) x|y1+ y2 =x|y1 +x|y2(ii) x|y = x|y

    (iii) 0|x = 0 per ogni x S(iv) x|y = 0 per ogni x S implica y= 0(v) |x|y |2 x|x y|y (diseguaglianza di Schwarz)

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    10 CAPITOLO 1. Spazi con Prodotto Interno

    Nella (v) il segno uguale vale ssex = y con C.Dimostrazione. (i) Dalla (S1) e (S2), definizione 1.2, si ha

    x|y1+ y2 =y1+ y2|x ==y1|x +y2|x ==x|y1 +x|y2

    (ii) Analogamente dalla (S1) e (S3), definizione 1.2, otteniamo che

    x|y =y|x = y|x = x|y

    (iii) Essendo0|y = 0x|y = 0 x|y = 0 questa proprieta segue dalla(S3), definizione 1.2.

    (iv) La iv e conseguenza del fatto che fra tutti i possibili x vi e anchex = y epercioy|y = 0 implica, per la (S5) definizione 1.2, che y = 0.

    (v) PoniamoA =x|x , B =|x|y|, C =y|y. Il casoB = 0 e banale.Se B = 0 sia = y|x

    B allora

    x|y = y|x x|y|x|y| =|x|y| = B e || = 1

    Qualunque sia il numero reale r R, avremo che

    x

    ry

    |x

    ry

    =

    x|x

    r

    x|y

    r

    y|x

    + r2

    y|y

    Lespressione sulla sinistra, per la (S4) definizione 1.2, e reale non negativa epercio

    A 2rB + r2C 0 per ogni r RSe C= 0, questa disequazione in r sara soddisfatta per ogni r R sse B2 AC 0, ossia sse B2 AC; altrimenti scritta come

    |x|y|2 x|x y|ySeC = 0 allora C =y|y = 0 implica y = 0 da cui

    B =|x|y| = 0Sex = y allora

    |x|y|2 =|y|y|2 =||2 |y|y|2 == y|y y|y ==y|y y|y =x|x y|y

    Supponiamo ora che|x|y|2 = x|x y|y e con x e y entrambi diversi dalvettore nullo. (Se fosse x = 0 allora|0|y|2 = 0|0 y|y e x = 0y;analogamente se fossey = 0). Sotto lipotesi fatta, la condizione

    |x|y|2 =x|x y|y

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    1.2. Spazi con prodotto interno 11

    impone che x|x = 0 e y|y = 0 e percio pure x|y = 0. Posto allora

    = y|xy|y

    sara = 0 e percio avremo che

    x y|x y =x|x x|y x|y +||2 y|y

    ma

    |x|y|2y|y =

    y|xy|yx|y = x|y

    |x|y|2

    y|y =

    x|yy|y

    x

    |y

    =

    x

    |y

    |x|y|2y|y =

    |y|x|2y|y2 y|y =||

    2 y|y

    pertanto la (1.2) assume la forma

    x y|x y =x|x |x|y|2

    y|y = 0

    e cio implica x y = 0 da cui x = y.

    Osservazione 1.2.4 Se si applicano un numero finito di volte le con-dizioni (S1) e (S2) definizione 1.2 e le proprieta (i) e (ii) del teorema

    1.2.3 si ottiene che

    nk=1

    kxk

    y = nk=1

    kxk|y(1.5)

    x mh=1

    hyh

    =m

    h=1

    hx|yh(1.6)

    Teorema 1.2.5 SeS e uno spazio con prodotto interno lapplicazione

    S R, x x :=

    x|x

    soddisfa le condizioni

    (N1)x = 0 sse x= 0(N2)x =|| x (assoluta omogeneita)(N3)x + y x +y (diseguaglianza triangolare)ossia e una norma suS detta norma indotta dal prodotto interno. Relativa-mente a questa normaS diviene uno spazio lineare normato in cui vale ladiseguaglianza di Schwarz:

    (N4) |x|y| x y .

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    12 CAPITOLO 1. Spazi con Prodotto Interno

    Dimostrazione. La (5), definizione 1.2, implica chex = 0 sse x = 0.Inoltre, x2 =x|x = x|x =||2 x2

    Rimane da dimostrare la diseguaglianza triangolare. Ma

    x + y2 =x + y|x + y =x2 + 2Re( x|y ) +y2

    applicando la (v) del teorema 1.2.3 avremo che

    Re( x|y ) | x|y | x y

    per mezzo della quale si ottiene la seguente maggiorazione della (1.2)

    x + y

    2

    (

    x

    +

    y

    )2 ovvero

    x + y

    x

    +

    y

    .

    Infine, la diseguaglianza di Schwarz e la (1.2), teorema 1.2.3, scritta in manieradiversa.

    Osservazione 1.2.6 Ogni spazio con prodotto interno munito dellanorma indotta dal prodotto interno risulta essere uno spazio lineare nor-mato.

    Se lo spazio con prodotto interno e reale, sarax|y Rper ogni x e y Se in questo caso la diseguaglianza di Schwarz, altrimenti scritta come

    | x|y |

    x

    y

    1 per x= 0, y= 0

    assume la forma

    1 x|yx y 1 .

    Da cio segue che esiste un unico [ 0, ], chiamato angolo fra i vettori x ey, tale che

    x|y =x y cos .

    Proposizione 1.2.7 SeS e uno spazio con prodotto interno non banale, ossiadiverso da{0}, per ognix Ssi ha

    x = sup {| x|y | :y = 1 }

    Dimostrazione. Infatti,

    x =

    x xx

    sup {| x|y | :y = 1 }

    sup {x y :y = 1 } =x .

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    1.2. Spazi con prodotto interno 13

    Tramite la norma indotta dal prodotto interno si puo introdurre una nozione

    di convergenza di una successione{ xn : n N } a valori nello spazio conprodotto internoS. Diremo che x S e il limite per n tendente all dellasuccessione{xn}, e scriveremo

    limnxn = x sse limn

    xn x = 0

    o, equivalentemente, sse

    per ogni numero reale > 0 esiste un intero positivo n0 = n0() tale chexn x < per ogni n > n0.

    Il limite di una successione, se esiste, e unico in quanto se fosse x1 = lim xn ex2 = lim xn allora

    x1 x2 x1 xn +xn x2 0 per n e perciox1 x2 = 0 da cui x1 = x2.

    Una successione si dira convergente sse esiste il limite per n +, altri-menti si dira divergente. Dalla definizione di convergenza di una successione sideducono immediatamente le seguenti proprieta:

    (1) se esistono inSi lim xn = xe lim yn = yallora esiste inSpure il lim(xn+yn) ed e

    lim(xn+ yn) = x + y ;

    (2) se esiste inS il lim xn = x e esiste inC il lim n = allora esiste inS illim(nxn) e risulta

    lim nxn = x ;

    (3) se esiste inS il lim xn allora il limxn esiste in R ed elimxn = lim xn .

    La struttura algebrica di spazio lineare assicura soltanto che le combinazionilinearifinite di vettori dello spazio

    kn=1

    nxn

    danno come risultato un vettore che appartiene ancora allo spazio. Per poterprendere in considerazione combinazioni lineari infinite bisogna che lo spazio

    lineare sia munito almeno di una norma tramite la quale sia possibile introdurrela nozione di convergenza di una successione e quindi di convergenza di unaserie.

    Precisamente, se{ xn : n N } e una successione e{ sk =k

    1xn :k N } e la successione delle somme parziali, definiamo come serie la coppia({xn},{sn}) costituita da una successione inSe dalla corrispondente succes-sione delle somme parziali. Diremo che la serie in esame e convergente inS sseesiste inSun elemento, indichiamolo con x, tale che

    x = limk

    sk = limk

    kn=1

    xn

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    14 CAPITOLO 1. Spazi con Prodotto Interno

    tale elemento si usa denotare piu comunemente con ( n=1 xn). Se cio non ac-

    cade la serie si diradivergente. In genere la serie si indichera piu semplicementecol simbolo

    n=1 xn e nel caso in cui questa serie sia convergente si ha chen=1 xn e un ben preciso elemento diS, chiamatosomma della serie.

    Con questa definizione di convergenza di una serie ha senso chiedersi se sia ono convergente in Suna serie del tipo n=1 nxn. Se questa serie e convergenteparleremo di combinazione lineare infinita dei vettori{ xn : n N }. Per lecombinazioni lineari infinite valgono le proprieta:

    (1) sen=1 nxn = x e

    n=1 nxn = x sono combinazioni lineari infinite

    dei medesimi vettori{xn : n N } allora

    n=1(n+ n)xn

    e una combinazione lineare infinita dei vettori{ xn : n N } ed en=1

    (n + n)xn = x + x;

    (2) se

    n=1 nxn = x e una combinazione lineare infinita dei vettori{ xn :n N } e C alloran=1(n)xn e una combinazione lineare infinitadei vettori{ xn : n N } e risulta

    n=1

    (n)xn = x .

    Considerato uno spazio con prodotto internoSe preso un suo sottoinsiemeA Sdiremo che un punto x Se diaderenzaper A sse esiste una successione{ an } A, contenuta in A, tale che lim an = x. Linsieme di tutti i punti diaderenza diAviene indicato conA e viene chiamatochiusuradi A. OvviamenteA A e seA B allora A B.

    Un sottoinsieme K diS si dice chiuso sse K = K. In ogni spazio conprodotto interno sono insiemi chiusi: i singoletti{x} qualunque sia x S,linsieme vuoto e lintero spazioS, la chiusura A di un qualsiasi insieme A.

    Un sottoinsiemeA di uno spazio con prodotto interno si dir adenso inS ssela sua chiusura coincide conS, ossia sse A =S. Lo spazioSsi dira separabilesse esiste in

    Sun sottoinsieme al piu infinito numerabile e denso in

    S.

    Una successione{ xn : n N } inSsi dira di Cauchy o fondamentale sseper ogni reale > 0, esiste un intero positivon0 = n0() tale che xnxm < per ogni n, m > n0.

    1.3 Spazi di Hilbert

    Chiaramente, ogni successione convergente e anche una successione di Cauchyma in generale non e vero il viceversa. Diremo che lo spazioS e completo sseogni successione di Cauchy costituita da vettori diS e convergente inS.

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    1.3. Spazi di Hilbert 15

    Definizione 1.3.1 Si definiscespazio di Hilbert uno spazio con prodotto inter-

    no completo rispetto alla norma indotta dal prodotto interno.Proposizione 1.3.2 Ogni spazio con prodotto interno finito dimensionale ecompleto, ossia e uno spazio di Hilbert.

    Dimostrazione. Sia{ 1, 2, . . . , n } una base ortonormale diS, ossia unabase tale chei|j = ij . (Come vedremo in seguito ogni spazio finito di-mensionale possiede sempre almeno una di tali basi). Sia ora{ m : m N }una successione di Cauchy inS ed esprimiamo il generico vettore di questasuccessione quale combinazione lineare dei vettori della base ortonormale inesame

    m =n

    i=1(m)i i

    Essendo

    m l2 =ni=1

    |(m)i (l)i |2

    dal fatto che la successione{m} e di Cauchy ne segue che

    liml,m

    | (m)i (l)i | = 0 per ogni i = 1, 2, . . . , n

    Pertanto le successioni{ (m)i } sono, per ogni i = 1, 2, . . . , n, successioni diCauchy di numeri complessi e quindi, per la completezza di C, esisteranno degliscalari complessi i, per i = 1, 2, . . . , n, tali che

    (1.7) limm (m)

    i = i

    Considerato il vettore

    =ni=1

    ii ,

    che e un elemento diS, dalluguaglianza

    m =ni=1

    |i (m)i |2

    tenuto conto della (1.7) segue che limm m = .

    Se V e una varieta lineare di

    S, la restrizione a V del prodotto interno

    definito suS, ossia il considerare i numeri complessih|k al variare dei vettorihe k in V , e un prodotto interno su V . Pertanto,

    ogni varieta lineare V di uno spazio con prodotto interno S puo essereconsiderata come un vero e proprio spazio con prodotto interno, una voltamunita della restrizione ad essa del prodotto interno definito suS.

    Un sottoinsieme Mdi uno spazio con prodotto internoSsi dice sottospaziodiS sse M e una varieta lineare (topologicamente) chiusa.Proposizione 1.3.3 Tutte le varieta lineari diS di dimensione lineare finitasono sottospazi.

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    16 CAPITOLO 1. Spazi con Prodotto Interno

    Dimostrazione. Sia M una varieta lineare finito dimensionale diS e x0 unpunto della sua aderenza: x0 M. Esistera allora una successione{xn} Mtale che lim xn = x0. Ma dal fatto che{xn} e convergente inS, segue che essae di Cauchy nello spazio con prodotto internoM, il quale, per la proposizione2, e completo. Pertanto il limite x0 della successione{xn} non puo che essereun punto di M : x0 M. Da cio segue che M = M, ossia che M e chiuso.

    La proposizione precedente assicura che tutte le varieta lineari di dimensionelineare finita di uno spazio con prodotto internoSsono dei sottospazi diS. Ingenerale, pero, se V e una varieta lineare diSnon e detto che essa sia ancheun sottospazio diS; ossia non e detto che V sia un sottoinsieme chiuso diS.Comunque si puo dimostrare che

    la chiusuraV di una varieta lineareV e sempre un sottospazio diS.Unaltra interessante proprieta che riguarda i sottospazi di uno spazio conprodotto internoS e la seguente

    seS e separabile tutte le sue varieta lineari sono separabili. SeS ecompleto tutti i suoi sottospazi sono completi.

    Questultima proprieta puo essere messa nella seguente forma:

    seH e uno spazio di Hilbert tutti i suoi sottospazi sono spazi di Hilbert.

    1.4 Continuita del prodotto interno.

    In uno spazio con prodotto interno le combinazioni lineari finite

    nk=1

    kxk enh=1

    hyh

    di vettori dello spazio soddisfano le relazioni (1.5) e (1.6) viste nel paragrafo1.2. Pero sappiamo che, in virtu della norma indotta dal prodotto interno, epossibile parlare anche di combinazioni lineari infinite (numerabili)

    k=1

    kxk e h=1

    hyh

    purche le serie siano convergenti in norma. In questo paragrafo vogliamo di-mostrare che si possono estendere le relazioni (1.5) e (1.6) anche al caso dellecombinazioni lineari infinite e in questo risultato consiste la cosiddetta continuitadel prodotto interno.

    Ricordiamo che se S e uno spazio lineare normato ef : S C un funzionaledaS inC, allora si dice che f econtinuo in x0 sse

    (Ci) per ogni numero reale > 0, esiste un numero reale = (, x0) talechex x0 < implica|f(x) f(x0)| < .

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    1.4. Continuita del prodotto interno. 17

    Si dira chef e continuo (globalmente) inS ssef e continuo in ogni punto diS.La condizione di continuita (Ci) puo essere equivalentemente sostituita dallaseguente condizione di continuita sequenziale:

    (Cii) per ogni successione{xn : n N} inSconvergente a x0 la succes-sione{f(xn) : n N} converge inC a f(x0).

    Teorema 1.4.1 In uno spazio con prodotto internoS, fissato un punto x Squalsiasi, il funzionale

    Dx : S C, y Dx(y) :=x|ye lineare e continuo. Mentre, fissato un punto y S qualsiasi, il funzionale

    Ly : S C, x Ly(x) :=x|ye antilineare e continuo.

    Dimostrazione. La linearita diDx e una banale conseguenza della linearita adestra del prodotto interno e analogamente la antilinearita di Ly e una banaleconseguenza della antilinearita a sinistra del prodotto interno. Inoltre, essendo

    |Dx(y) Dx(y0)| =|Dx(y y0)| =| x|y y0 | x y y0ed essendo x fissato, preso > 0, esiste = xx tale chey y0 < implica

    |Dx(y) Dx(y0)| < Con lo stesso procedimento si dimostra che Ly e continuo.

    Abbiamo appena ricordato che in uno spazio lineare normato la continuit ae equivalente alla continuita sequenziale e percio i risultati del teorema 1.4.1possono tradursi nelle proposizioni:

    1) se esiste inS il limite della successione{yn : n N} allora per ognix Sfissato esiste inC il limite della successione{ x|yn : n N } ed e

    limx|yn =x| lim yn;

    2) se esiste inS il limite della successione{xn : n N}allora per ogniy Sfissato esiste inC il limite della successione{xn|y : n N} ed e

    limxn|y = lim xn|y .In particolare, se{nyn : n N} e una successione inS tale che la cor-

    rispondente serie e convergente, posto sk =k

    n=1 nyn la somma parziale diposto k e con

    n=1 nyn = limksk la somma della serie, avremo che

    limk

    x|sk =

    x limk

    sk

    cioe

    limk

    x

    kn=1

    nyn

    =

    x

    1

    nyn

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    18 CAPITOLO 1. Spazi con Prodotto Interno

    da cui segue

    limk

    kn=1

    nx|yn =

    x n=1

    nyn

    ossia abbiamo ottenuto il seguente risultato:

    3) se la serie

    n=1 nyn e convergente inS, allora per ognix S fissato laserie

    n=1 nx|yn e convergente inC e si ha che

    x n=1

    nyn

    =

    n=1

    nx|yn .

    Usando lo stesso procedimento si dimostra che

    4) se la serien=1 nxn e convergente inS, allora per ogniy Sfissato la

    serien=1 nxn|y e convergente inC e risulta essere

    n=1

    nxn

    y = n=1

    nxn|y .

    Le proprieta 4 e 5 ora ottenute sono la naturale generalizzazione della (1.5)e (1.6) sezione 1.2 e per il fatto che il prodotto interno soddisfa queste propriet asi usa dire che esso e continuo.

    1.5 Spazi lineari con norma non ottenibile da unprodotto interno

    Negli spazi in cui la norma si ottiene da un prodotto interno, presi due elementif e g , vale la seguentelegge del parallelogramma:

    f+ g2 +f g2 = 2f2 + 2g2

    Dimostrazione.

    f+ g2 +f g2 =f+ g|f+ g +f g|f g ==

    f

    |f

    +

    f

    |g

    +

    g

    |f

    +

    g

    |g

    +

    +f|f f|g g|f +g|g == 2f2 + 2g2 .

    In R2 questo teorema ha una rappresentazione grafica corrispondente allaseguente proprieta:

    la somma dei quadrati delle diagonali di un parallelogramma e uguale allasomma del doppio dei quadrati dei lati.

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    1.6. Ortogonalita e ordine parziale di sottospazi 19

    Per quanto visto ora ogni spazio con prodotto interno e uno spazio lineare

    normato, ma esistono norme che non sono ottenibili da un prodotto interno.Infatti nel seguente esempio considereremo una definizione di norma in unospazio lineareE, e mostreremo che, presi due particolari elementi diE, non evalida la legge del parallelogramma. Cio significhera che la norma cos definitanon e ottenibile da un prodotto interno.

    Esempio 1.5.1 SiaC[(0, 2), K] lo spazio funzionale su cui sono definite la usualesomma di funzioni e il prodotto di una funzione per uno scalare. Consideriamo lanorma uniforme:

    = sup { |(x)| : x (0, 2) }Ora scegliamo in questo spazio funzionale i due seguenti vettori

    f = max { (sin x, 0) } g = max { ( sin x, 0) }

    Si verifica facilmente che

    (1.8) f+ g =f g =f =g = 12 = (f+ g2 +f g2)= (2f2 + 2g2) = 4

    1.6 Ortogonalita e ordine parziale di sottospazi

    In questa sezione introdurremo limportante nozione di ortogonalita nel casodi spazi con prodotto interno e tramite essa evidenzieremo le propriet a di quei

    particolari sottospazi che ammettono complemento ortogonale, i cosiddetti sot-tospazi ortogonali. In particolare prenderemo in esame la cosiddetta geometri-a degli spazi con prodotto interno, intendendo con questo termine lo studio delleloro proprieta rispetto alla relazione dordine parziale di inclusione insiemistica.

    Definizione 1.6.1 Due vettori x e y di uno spazio con prodotto internoS sidicono ortogonali ssex|y = 0; in questo caso si usa scriverexy.

    SeA e B sono due sottoinsiemi diS, col simboloAB indicheremo il fattocheab per ogni a A e ogni b B. In particolare se x S, con xAverra denotato il fatto che xa per ogni a A. Infine, conA si intendera

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    20 CAPITOLO 1. Spazi con Prodotto Interno

    linsieme di tutti gli elementi diSortogonali allintero A, questo insieme vienechiamato annichilatore di A; pertanto

    A :={ x S :x|a = 0 per ogni a A } .Esempio 1.6.2 Banalmente{ 0 } =S e S ={ 0 }.

    Osservazione 1.6.3 Nel caso di uno spazio con prodotto interno reale,poiche per ogni coppia di vettori x, y esiste un unico angolo [0, ](langolo compreso frax e y ) tale che

    x|y=x y cos ,la condizione di ortogonalita xy sse x|y= 0 e equivalente allausuale condizione che langolo compreso fra i due vettori e /2.

    Non e difficile verificare che in uno spazio con prodotto interno le seguentiproposizioni sono fra loro equivalenti

    x|y = 0(og-i)x x + y per ogni C(og-ii)x + y2 =x2 +y2 (teorema di Pitagora)(og-iii)x + y =x y .(og-iv)

    Proposizione 1.6.4 La relazione binaria di ortogonalitasoddisfa le seguentiproprieta:

    (i) xy implica yx

    (ii) xx sse x = 0(iii) 0x per ogni x S(iv) xy implica x(y) per ogni C(v) xy exz implicano x(y+ z)

    (vi) sia { yn } una successione inS convergente ay Se tale che xyn per ognin, allora xy.

    (vii) per ogni x, y S con x = 0 esiste un unico a tale che x(ax + y).

    Dimostrazione. Le prime cinque proprieta sono banali mentre per la (vi) si

    osservi che se lim yn = y conx|yn = 0 per ogni n, allorax|y =x| lim yn = limx|yn = 0

    Per la (vii) si tratta semplicemente di risolvere lequazione di primo grado in a,

    0 =x|ax + y =x2 a +x|yla quale da

    a = x|yx2 .

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    1.6. Ortogonalita e ordine parziale di sottospazi 21

    Corollario 1.6.5 SiaA un qualsiasi sottoinsieme diS, il suo annichilatoreA

    e un sottospazio diS. Quindi, in particolareA= (A) e un sottospazio.Dimostrazione. La proprieta (iii), (iv) e (v) della proposizione precedentedimostrano che A e una varieta lineare di S.

    Sia{zn} A, ossia per ogni n zn|a = 0 per ogni a A, tale chelim zn = y S, allora per la (vi) si ha che y a per ogni a A e quindiyA.

    1.6.1 Insiemi parzialmente ordinati di sottospazi

    La famigliaP(S) di tutti i possibili sottoinsiemi diS e un insieme parzialmenteordinato rispetto alla usuale inclusione insiemistica, la quale soddisfa le ovvieproprieta:

    A A per ogni A P(S) (riflessiva)(or-1)A B eB AimplicanoA = B (antisimmetrica)(or-2)A B eB CimplicanoA C (transitiva)(or-3)

    Lordine e parziale perche puo accadere che per due generici sottoinsiemiA eB non sia neA B neB A. In questo casoA e B si dicono inconfrontabilio non comparabili.

    Se { Aj : j J} e una collezione di sottoinsiemi di S, un sottoinsiemeMdiSsi dice maggiorantesse Aj Mper ogni j J. Un sottoinsiemeM0 diS sidice estremo superioredella collezione sseM0 e un maggiorante ed e contenutoin tutti i maggioranti di

    {Aj : j

    J

    }. Lestremo superiore di

    {Aj : j

    J

    }viene indicato con { Aj : j J}Esso esiste, e unico e coincide con lunione insiemistica della collezione{ Aj :j J}; cioe

    (1.9a) { Aj : j J} = { Aj : j J}

    Si possono introdurre in maniera duale le nozioni di minorante e di estremoinferiore o massimo dei minoranti{ Aj : j J}. In questo caso avremo

    (1.9b) { Aj : j J} = { Aj : j J}

    Un insieme parzialmente ordinato per cui esistono lestremo superiore e lestremoinferiore di ogni collezione di elementi scelti in esso viene detto reticolo completo.

    Se indichiamo con (S) la famiglia di tutti i sottospazi diS, si ha che (S)e ancora un insieme parzialmente ordinato rispetto allinclusione insiemistica.

    Chiaramente se{ Sj : j J} e una qualsiasi famiglia di sottospazi diS,lintersezione insiemistica {Sj : j J} e ancora un sottospazio diS. Dacio segue che esiste in (S) lestremo superiore della famiglia{ Sj : j J},ossia un sottospazio diSche contiene tutti gliSj e che e contenuto in tutti isottospazi contenenti gliSj. Precisamente sara

    (1.10a) { Sj : j J} = { M (S) :Sj Mper ogni j J}

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    22 CAPITOLO 1. Spazi con Prodotto Interno

    mentre risulta banalmente che

    (1.10b) { Sj : j J} = { Sj : j J}Pertanto anche (S) e un reticolo completo in cui lestremo inferiore coincidecon la intersezione insiemistica, ma in cui lestremo superiore noncoincide conlunione insiemistica. Per esempio, nel caso diR2 presentato in figura 1.1

    S1

    S2

    y

    x

    Figura 1.1: Due sottospazi 1-dimensionali inR2

    avremo che

    S1 S2 =S1 S2 ={ 0 }S1 S2 = R2 =S1 S2

    Una caratterizzazione dellestremo superiore e fornita dalla seguente

    Proposizione 1.6.6 Se{ Sj : j J} e una famiglia di sottospazi diS sara

    j { Sj : j J} = Sp({Sj : j J})

    Dimostrazione. SeM e un maggiorante di {Sj : j J} avremo che Sj Mper ogni j Jda cuiSj Me quindi

    Sp(Sj) Mconcludendo che Sp(Sj) M. Dallovvia proprieta cheSj Sp(Sj) perognij J otteniamo la tesi.

    Da quanto visto sino ad ora possiamo introdurre lapplicazione

    (1.11) :P(S) (S), A A

    che ad ogni sottoinsieme A diS fa corrispondere il suo annichilatore (che, invirtu del corollario 1.6.5, e un sottospazio diS). Se A e un sottoinsieme diS,lannichilatore (A) dellannichilatore A di A verra indicato con A :

    A := (A)

    Proposizione 1.6.7 SeA eB sono due sottoinsiemi diSvarranno le proprietaA A(oc-1)A B implica B A(oc-2)A A ={0}(oc-3)

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    1.6. Ortogonalita e ordine parziale di sottospazi 23

    Dimostrazione. Sia a A allora preso un generico y A avremo inparticolare che ay, da cui a A. Pertanto a Aimplica a A.Sia A B e x B, ovvero x B, allora a maggior ragione x A.Pertantox B implicax A.

    Se aA A alloraa|a= 0, da cui a = 0. Corollario 1.6.8 Lapplicazione di annichilazione soddisfa lulteriore proprieta:

    (A) = A

    Dimostrazione. Dalla (oc-1), A A, per la (oc-2) segue che(A) A

    Inoltre applicando la (oc-1) al caso particolare di A sara

    A (A) = (A)

    Considerato linsieme parzialmente ordinato (P(S),,,S) abbiamo vistoche esso e un reticolo completo avente come elemento minimo linsieme e comeelemento massimo linsiemeS. Infatti

    A S per ogni A P(S)Nella teoria degli insiemi parzialmente ordinati una applicazione soddisfacentele condizioni (oc-1), (oc-2) e (oc-3) viene chiamata ortocomplementazione deboleointuizionista. Facciamo osservare che rispetto a questa ortocomplementazionele seguenti tre proprieta sono equivalenti

    AB(dog-1)A B(dog-2)B A(dog-3)

    Analogamente ((S),,{ 0 },S,) e un reticolo completo debolmente or-tocomplementato avente come elemento minimo il sottospazio banale { 0 } ecome elemento massimo il sottospazio banaleS.

    1.6.2 Ortospazi

    In questa sezione studieremo una particolare famiglia di sottospazi, gli ortospazi,caratterizzata da interessanti proprieta rispetto alla relazione dordine parziale

    di inclusione insiemistica.Proposizione 1.6.9 Siano M1 e M2 due varieta lineari diS tali che M1M2 ={ 0 }. Allora posto

    M1 + M2 :={ x1 + x2 : x1 M1, x2 M2 }avremo che essa e una varieta lineare tale che ogniy M1 + M2 puo essererappresentato in maniera univoca come somma

    y = x1 + x2 con x1 M1 e x2 M2In questo caso, per evidenziare questa proprieta, useremo indicare conM1 M2la varieta lineareM1 + M2 che verra chiamata somma diretta diM1 eM2.

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    24 CAPITOLO 1. Spazi con Prodotto Interno

    Dimostrazione. Supponiamo che

    x1 + x2 = x1 + x2 con x1, x1 M1 e x2, x2 M2allorax1 x1 = x2 x2 con (x1 x1) M1 e (x2 x2) M2 ma essendoM1M2 ={ 0 }non potra che esserex1 x1 = x2 x2 = 0 da cui x1 = x1ex2 = x2.

    Se V1 eV2 sono due varieta lineari diS tali che V1V2 allora banalmenteV1 V2 ={ 0 }

    In questo caso potremo costruire la varieta lineare V1 V2 la quale, ingenerale, soddisfera la condizione V1 V2 S.Proposizione 1.6.10 Siano V1 e V2 due varieta lineari diS mutualmenteortogonali, V1V2, e tali cheV1 V2 =S allora

    V2 = V1 e V1 = V

    2(i)

    V1 = V1 e V2 = V

    2(ii)

    V1 e V2 sono due sottospazi diS(iii)S = V1 V1 = V2 V2(iv)

    Dimostrazione. Dallipotesi V1V2 segue cheV2 V1 . Sia ora z V1 S, dallipotesiS = V1 V2 risulta z = z1 + z2 conx1 V1 ex2 V2; allorasi ha

    0 =z|x1 =x1 + x2|x1 =|x1|2e percio x1 = 0. Da cio si deduce z = x2

    V2. Pertanto V

    1

    V2. Ossia

    V2 = V1 . In maniera analoga si ricava V1 = V2 .Dalla prima di queste due segue che V2 = V

    1 la quale, per la seconda,

    conduce al risultato V2 = V2 . Analogamente si dimostra che V1 = V

    1 .

    Infine, da questi ultimi risultati applicando il corollario 1.6.5, si otterr a che V1eV2 sono sottospazi diS.La (ii) segue banalmente dellipotesi V1 V2 =Se dalla (i).

    Osservazione 1.6.11 Da quanto visto sino ad ora potremo concludereche se M e un generico sottospazio diS, avremo che M M da cuipossiamo al piu dedurre che M M S. Anzi, come vedremo inseguito,

    condizione necessaria e sufficiente affincheSsia uno spazio diHilbert e che per ogni sottospazio M si abbiaM

    M =

    S.

    Potremo allora isolare quei particolari sottospaziM diSper cuiMM =S e chiamarli sottospazi ortogonali o ortospazi.Definizione 1.6.12 Un sottospazio M diS si dira ortogonale sse

    S = M M

    Linsieme di tutti i sottospazi ortogonali diSverra indicato conE(S). PertantoE(S) :={ M (S) : M M =S }

    Per essi valgono le proprieta

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    1.6. Ortogonalita e ordine parziale di sottospazi 25

    a) SeM e un sottospazio ortogonale, dalla (ii) proposizione 1.6.10 segue imme-

    diatamente che M = M.b) Se M e un sottospazio ortogonale allora M e pure ortogonale. Infatti:

    M M = M M =S.Verifichiamo ora che la classe dei sottospazi ortogonali e non vuota in quanto

    tutti i sottospazi di dimensione finita sono ortogonali.

    Proposizione 1.6.13 SeM e un sottospazio finito dimensionale diS alloraM M =S

    Dimostrazione. Considerata una base ortogonale{u1, u2, . . . , uk } in M siax un generico vettore diS. Posto

    y =

    ki=1

    ui|x ui e z = x y

    avremo che per ogni j = 1, 2, . . . , k

    uj|z =

    uj

    x k1

    ui|xui

    =

    =uj |x k1

    uj |x uj |ui = 0

    e percio z M. Quindi, per ognix S esistono y M e z M talichex = y+ z.

    Proposizione 1.6.14 SeM1 edM2 sono sottospazi completi diS eM1M2,allora la varieta lineareM1 M2 e completa.Dimostrazione. Sia{xn} una successione di Cauchy in M1 M2: poniamoxn = x

    n + x

    n conx

    n M1 exn M2. Dal teorema di Pitagora avremo che

    xn xm2 +xn xm2 = (xm xn) + (xm xn)2 =

    =(xm + xm) (xn + xm)2 =

    =xm xn2 n,m 0

    Da cio segue che{xn} e una successione di Cauchy in M1 e{x

    n} e unasuccessione di Cauchy inM2. PoicheM1 eM2 sono completi avremo che x

    nx M1 exn x M2 e quindi

    lim xn = lim xn + lim x

    n = x + x

    M1 M2

    Corollario 1.6.15 SeM1 eM2 sono due sottospazi di uno spazio di HilbertHconM1M2 alloraM1 M2 e un sottospazio diH.Dimostrazione. SeM1e M2sono sottospazi allora essi sono in particolare deichiusi di uno spazio completoHe quindi sono pure completi. Ma per il teoremaprecedente cio implica che M1 M2 e un chiuso di detto spazio.

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    Capitolo 2

    Esempi di Spazi conprodotto interno

    2.1 Introduzione

    In questo capitolo tratteremo diffusamente alcuni dei piu notevoli esempi dispazio con prodotto interno. Gli spazi trattati hanno tutti la importante carat-teristica di essere intensamente usati nelle applicazioni pratiche.

    2.2 Esempi di spazi con prodotto internoEsempio 2.2.1 Lo spazio lineare Cn e uno spazio di Hilbert complesso e separabilerelativamente al prodotto interno definito per ogni coppia di vettori appartenenti a Cn

    x = (x1, x2, . . . , xn) e y = (y1, y2, . . . , yn)

    dalla legge: x|y := n

    i=1

    xiyi .

    La norma indotta dal prodotto interno e in questo caso

    x = n

    i=1xi2 .

    Esempio 2.2.2 Lo spazio linearel2(N, C), a volte indicato conl2, costituito da tuttele successionix = ( xn : n N ), indicate piu semplicemente con x = (xn), a valoriin C e di quadrato sommabile, ossia tali che

    n=1 xn2 e una serie convergente, e

    uno spazio lineare complesso rispetto alle operazioni di addizione e di moltiplicazioneesterna su Kdefinte nel seguente modo: Se K,

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    28 CAPITOLO 2. Esempi

    x = (x1, x2, . . . , xn, . . . ) e y = (y1, y2, . . . , yn, . . . )l2(N,K) allora

    x + y : = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn, . . . )

    x : = (x1 , x2 , . . . , xn, . . . ).

    Questo spazio lineare diventa uno spazio di Hilbert complesso e separabile rispetto alprodotto interno definito, per ogni coppia di vettori appartenenti a l2, dalla legge:

    x|y :=

    n=1

    xnyn .

    La norma indotta da questo pro dotto interno e espressa da

    x = n=1

    xn2

    .

    La verifica che le definizioni ora date sono ben poste segue dal seguente Lemma.

    Lemma 2.2.3 Sex, yKsono due qualsiasi numeri complessi (o reali) alloravalgono le diseguaglianze:

    |x| |y| 12

    (|x|2 + |y|2)(2.1)|x + y|2 2 x 2 + 2 y 2(2.2)

    Dimostrazione. Dalla ovvia maggiorazione 0 (|x| |y|)2 segue che 0|x|2 + |y|2 2|x| |y|, i.e., 2(|x| |y|) |x|2 + |y|2.Daltra parte, da

    |x + y|2 = (x + y) (x + y)=xx + yy + xy+ yx

    =|x|2 + |y|2 + 2Re(x y) |x|2 + |y|2 + 2|x y|

    Tenuto conto del risultato appena ottenuto possiamo porre la ulteriore maggio-razione|x+ y|2 |x|2 + |y|2 + (|x|2 + |y|2), ovvero|x+ y|2 2(|x|2 + |y|2) .

    La (2.2) implica immediatamente che la operazione di somma e ben posta.Per quanto riguarda la definizione di prodotto interno dalla (2.1) segue che

    kn=1

    xnyn 12

    kn=1

    xn2 +kn=1

    yn2

    da cui si ottiene che la serie di numeri reali non negativi

    (2.3) rk =kn=1

    xnyn

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    2.2. Esempi di spazi con prodotto interno 29

    e convergente, e quindi di Cauchy, inR+. Considerata la successione di numeri

    complessi

    (2.4) k =kn=1

    xnyn

    avremo che per h < k

    |k h|=|xh+1yh+1+ . . . + xkyk| |xh+1yh+1| + . . . + |xkyk|

    =kn=1

    |xnyn| hn=1

    |xnyn|

    =rk rh

    Dal fatto che la (2.3) e una successione di Cauchy in R+ e da questa maggio-razione segue che anche la (2.4) e di Cauchy in C, ed essendo C completo, chela (2.4) e convergente inC: n=1 xnyn C :

    n=1

    xnyn = limk

    kn=1

    xnyn

    Esempio 2.2.4 Lo spaziod2(N, C)

    Indicato con d2(N, C) o, piu brevemente, con d2 linsieme di tutte le successioni dinumeri complessi x = (xn) definitivamente nulle, ossia tali che gli elementi non nullisono in numero finito, si verifica immediatamente che d2 e una varieta lineare di l2,densa in questo spazio di Hilbert, che a sua volta si puo considerare come uno spaziocon prodotto interno

    x|y = xnyn.

    Esempio 2.2.5 Lo spazios2(N, C).

    Cons2(N, C) o, piu semplicemente, cons2intenderemo linsieme di tutte le successionidi numeri complessix = (xn) a rapida decrescita, ossia tali che per un qualsiasi interonon negativo r le serie di numeri reali (n + 1)r xn2 sono convergenti:

    s2(N, C) :={ ( xn) :

    (n + 1)r xn2 < + per ogni r N+ } .

    Lo spazios2, munito delle usuali operazioni fra successioni, e una varieta lineare dil2,come si deduce dalle ovvie relazioni

    (n + 1)r cn+ cn2 2

    (n + 1)r cn2 +

    (n + 1)r cn2

    ;(n + 1)r cn2 =2

    (n + 1)r cn2 .

    Lo spazio s2 e uno spazio con prodotto interno

    x|y = xnyn contenente a suavolta lo spazio d2. Da questultimo risultato segue che pures2 e una varieta linearedensa in l2.

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    30 CAPITOLO 2. Esempi

    Possiamo ora dare un esempio concreto di uno spazio di Hilbert non sepa-

    rabile modificando leggermente la definizione dello spazio di Hilbert l2(N,C).Ricordiamo che una successione (xn) inl2(N,C) puo anche essere denotata conil simbolo di funzionex : N C. Fatta questa osservazione possiamo analizzareil seguente:

    Esempio 2.2.6 Sia l2(R, C) linsieme delle funzioni : R C soddisfacenti le duecondizioni:

    i) la funzione assume il valore zero per tutti i punti R ad eccezione di un insiemedi punti al piu numerabile;

    ii) la somma dei quadrati dei valori assoluti della funzione in questi punti e finita.

    Entrambe queste due proprieta possono essere formalmente espresse in maniera piubreve ponendo:

    xR(x)

    2

    < + .

    In quanto segue indicheremo piu semplicemente conl2(R) lo spazio l2(R, C).

    Le usuali operazioni di somma di funzioni in l2(R) e di prodotto di uno scalareper una funzione in l2(R) danno ancora funzioni appartenenti a l2(R) e percio l2(R)risulta essere uno spazio lineare complesso. Inoltre gli stessi ragionamenti fatti nelcaso dellesempio 2.2.2 conducono al risultato che la definizione

    | :=xR

    (x) (x)

    per ogni l2(R) e ogni l2(R) e b en p osta; in piu essa definisce un prodottointerno sul2(R) rispetto al qualel2(R) diviene uno spazio di Hilbert. La norma indottadal prodotto interno sara:

    =

    xR

    (x)2 .

    Consideriamo, per ogni Rfissato, la funzione

    e : R C

    definita dalla legge

    e(x) :=

    1 per x =

    0 per x= sara allora e l2(R). Introdotte le sfere s di centro e e raggio 1/

    2 verifichiamo

    che per = sara s s =. Infatti se s s allora

    e e e + e < 1/2 + 1/2 = 2

    mentre

    e e =

    xR

    e(x) e(x) 2 =

    2

    in contrasto collipotesi ora assunta.

    Sia ora A un sottoinsieme di l2(R) ovunque denso in l2(R). Allora ogni sfera sconterra almeno un elemento di A ed essendo queste sfere a due a due disgiunte visaranno tanti elementi distinti in A almeno quante sono le sferes per R, ossiaA conterra almeno tanti punti quanti sono i punti di R. Pertanto, ogni insieme densoin l2(R) ha almeno la cardinalita del continuo e percio l2(R) non e separabile.

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    2.2. Esempi di spazi con prodotto interno 31

    Osservazione 2.2.7 Se J e un insieme totalmente ordinato di indici,potremo considerare lo spazio di Hilbertl2(J,C) definito, in analogia col-lesempio 2.2.6, come lo spazio delle funzioni : J C, nulle su tuttoJ ad eccezione di al piu una infinita numerabile di punti e a quadratosommabile.

    Abbiamo cosi visto un esempio di uno spazio con prodotto interno completoe non separabile. Daremo ora un esempio di uno spazio con prodotto internoseparabile e non completo.

    Esempio 2.2.8 Si consideri lo spazio lineare complessoC([a, b], C), scritto piu sem-plicementeC([a, b]), delle funzioni definite sul compatto [a, b] e a valori in C. Se : [a, b] C indicheremo con

    u : [a, b] R e v : [a, b] Rrispettivamente le funzioni parte reale e parte immaginaria di . Le funzioni u e vappartengono aC([a, b] ; R) e percio sono integrabili secondo Riemann. In questo casorisulta essere = u + iv e si definisce b

    a

    (x) dx :=

    ba

    u(x) dx

    + i

    ba

    v(x) dx

    Chiaramente questo integrale soddisfa le seguenti proprieta: ba

    [ (x) + (x) ] dx =

    ba

    (x) dx +

    ba

    (x) dx(2.5)

    b

    a

    (x) dx = b

    a

    (x) dx(2.6)

    ba

    (x) dx =

    ba

    (x) dx

    .(2.7)

    Inoltre se e C( [a, b] ) allora pure e sono elementi diC( [a, b] ) epercio integrabili secondo Riemann. Da tutto cio segue che la seguente definizione eben posta

    | := ba

    (x) (x) dx

    e che essa ha le proprieta di un prodotto interno. La norma indotta dal prodottointerno

    = b

    a

    (x)2 dx

    e la norma della convergenza in media quadratica. InC([a, b] ) la diseguaglianza diSchwarz assume la forma

    ba

    (x) (x) dx

    b

    a

    (x)2 dx b

    a

    (x)2 dx .

    Lo spazioC([a, b]) non e completo: bastera considerare il caso diC([1, 1]) in cui lasuccessione{ n : n N }definita dalla legge

    n(x) :=

    1 per 1 x 1/nnx per 1/n x 1/n1 per 1/n x 1

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    32 CAPITOLO 2. Esempi

    e di Cauchy ma non e convergente inC([1, 1]). Anzi essa converge in mediaquadratica ad una funzione che non appartiene allo spazio

    C([

    1, 1]), precisamentealla funzione discontinua

    f(x) :=

    1 per x [1, 0)1 per x [0, 1]

    La famigliaP([a, b]) dei polinomi definiti su [a, b] e a co efficienti complessi e densa inC([a, b]) secondo la norma indotta dal prodotto interno, ossia secondo la convergenzain media quadratica:

    P([a, b])2 =C([a, b]) .C([a, b]) e separabile in quanto ogni elemento diC([a, b]) e approssimabile bene quantosi vuole secondo la norma da polinomi complessi in [a, b]. Ma ogni polinomio complessopuo essere approssimato in norma bene quanto si vuole da polinomi complessi i cuicoefficienti hanno parte reale e parte immaginaria razionale. Pertanto, indicato con

    Pr([a, b]) la famiglia dei polinomi di questultimo tipo, avremo che ogni elemento diC([a, b]) e approssimabile bene quanto si vuole tramite elementi diPr([a, b]) ossia

    Pr( [a, b] )2 =C( [a, b] )PoichePr( [a, b] ) contiene una infinita numerabile di elementi, ne segue cheC( [a, b] )e separabile.

    Esempio 2.2.9 Se indichiamo conE(I) uno degli spazi lineari delle funzioni provaD(I) oppureS(I), non e difficile verificare, con considerazioni analoghe a quelle fattenellesempio 2.2.6, cheE(I) e uno spazio con prodotto interno

    | := I

    (x) (x) dx .

    A questo prodotto interno e asso ciata la norma

    =

    I

    (x)2 dx .

    CiascunE(I), in quanto spazio con prodotto interno, non e completo ma e separabileperche contiene la famiglia dei p olinomi definiti su I a valori complessi.

    Esempio 2.2.10 Considerato ora lo spazio lineare

    L2(I) ={f :I C |misurabili,I

    |f|2

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    2.2. Esempi di spazi con prodotto interno 33

    Rispetto a questa normaL2(I) e completo e quindi e uno spazio di Hilbert. Ricordiamoche gli elementi diL2(I) non sono singole funzioni ma classi di equivalenza di funzionimutuamente uguali q.d. (ossia, una classe di equivalenza e costituita da funzionif, g : I Cmisurabili e di quadrato sommabili tali che linsieme dei punti diI {xI: f(x)=g(x)} e contenuto in un insieme di misura nulla. Infine, se si caratterizzaciascuna classe di equivalenza di L2(I) tramite opportuni elementi rappresentativi,valgono le inclusioni

    D(I) S(I) L2(I)conD(I) eS(I) entrambi densi in L2(I):

    D(I) =S(I) = L2(I)

    Esempio 2.2.11 Prima di procedere nella presentazione del successivo esempio fac-ciamo osservare che C e uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto interno, concorrispondente norma espressi dalle

    x|yC

    = x y e xC

    =

    x|xC

    =|x| .Sotto queste condizioni, lo spazio di Hilbert

    Cn ={x= (x1, x2, . . . , xn) : xi C}

    ha il prodotto interno che si scrive nella forma

    (2.8)

    x|y = ni=1

    xi|yiC .

    e quindi la norma indotta nella forma

    (2.9) x = n

    i=1

    xiC

    Considerata adesso una n-upla di spazi con prodotto interno,{S1, . . . , Sn}, nonnecessariamente uguali fra di loro ma tutti sul medesimo corpo K, si costruiscalinsieme

    ni=1

    Si :={ x = (x1, x2, . . . , xn) : xi Si}

    Questo insieme diviene uno spazio lineare su K attraverso le usuali operazionicomponente per componente

    (x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) := (x1+ y1, x2+ y2, . . . , xn+ yn)

    (x1, x2, . . . , xn) := (x1, x2, . . . , xn)

    che diviene uno spazio con prodotto interno rispetto a

    (2.10)

    x|y := ni=1

    xi|yiSi .

    la cui norma indotta e

    (2.11) x = n

    i=1

    xiSi

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    34 CAPITOLO 2. Esempi

    Lo spazio con prodotto interno cosi costruito

    ni=1

    Si

    si chiama spazio somma diretta finita degli spaziSi; nel caso in cui tali spazi sianotutti uguali fra di loro,Si =S, indicheremo la somma diretta finita n-volte diS colsimbolo

    nS oppure Sn .

    Colle stesse tecniche usate per dimostrare la completezza di Cn si puo dimostrareche nel caso in cui tutti gli spazi in questione siano di Hilbert,Si =Hi, allora anchela somma diretta finita

    n

    i=1

    Hi

    e uno spazio di Hilbert. Ovviamente

    Cn =

    nC .

    Il caso particolare dello spazio somma diretta finita n-volte dello spazio di HilbertL2(R

    k, C)n

    L2(Rk, C)

    consiste nei vettori del tipof = (f1, f2, . . . , f n)

    con le funzioni fi : Rk C(per i = 1, 2, . . . , n ) soddisfacenti la condizione:

    (2.12) fi L2(Rk, C) .Questo spazio e uno spazio lineare complesso risp etto alle operazioni di addizione e dimoltiplicazione per scalari complessi definite dalle formule:

    (f1(x), . . . , f n(x)) + (g1(x), . . . , gn(x)) :=

    = (((f1) + (g1))(x), . . . , ((fn) + (gn))(x))

    (f1(x), . . . , f n(x)) := ((f1)(x), . . . , (fn)(x)) .

    Mentre il prodotto interno e dato da

    (2.13)

    f|g = ni=1

    Rk

    figi

    con associata la norma indotta

    (2.14) f = n

    i=1

    Rk

    fi2 .

    Nel caso in cui k = 3, questi spazi di Hilbert vengono usati in Meccanica Quantis-tica per descrivere le particelle dotate di spin s. Precisamente:

    Il cason = 2 descrive particelle di spin s = 1/2; in questo caso ognif possiededue componenti che vengono indicate con

    f(x) = (f1/2(x), f1/2(x) )

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    2.2. Esempi di spazi con prodotto interno 35

    Il cason = 3 descrive particelle di spins = 1 e ognifconsiste di tre componentiindicate con

    f(x) = (f1(x), f0(x), f1(x) ) .

    Il cason = 4 descrive particelle di spin s = 3/2 e ogni f consiste di quattrocomponenti indicate con

    f(x) = ( f3/2(x), f1/2(x), f1/2(x), f3/2(x) ) .

    Il caso n = 5 descrive particelle di spin s = 2 e ogni f consiste di cinquecomponenti

    f(x) = ( f2(x), f1(x), f0(x), f1(x), f2(x) ) ;

    e cosi via.

    Esempio 2.2.12 Vogliamo dare alcune interessanti generalizzazioni dello spazio diHilbert l2(N, C). In primo luogo ricordiamo che, come abbiamo visto nel precedenteesempio, C e uno spazio di Hilbert il cui prodotto interno e la cui norma sono espresserispettivamente da:

    x|yC

    = xy e xC =x .Pertanto potremo porre

    l2(N, C) :=

    x : N C |

    n=1

    . xn2C < +

    e indicare il prodotto interno di l2(N, C) sotto la forma

    (2.15)

    x|y

    =

    n=1xn|ynC

    e la norma indotta sotto la forma

    (2.16) x =

    n=1

    xn2C.

    Fatte queste premesse, si consideri uno spazio con prodotto interno qualsiasiS, ilcui prodotto interno e la cui norma siano indicate rispettivamente con

    x|yS e x S =

    x|xS .Possiamo introdurre linsieme

    l2(N, S) := x : N S

    |

    n=1

    .

    xn

    2S < +

    delle successioni a valori in S e a quadrato sommabili e, con le stesse tecniche usatenel caso dello spazio l2(N, C), si puo verificare che esso e uno spazio lineare, rispettoalle ovvie operazioni, su cui si puo definire il prodotto interno

    (2.17)

    x|y = n=1

    xn|ynS

    dal quale si ricava la norma

    (2.18) x =

    n=1

    xn2S.

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    36 CAPITOLO 2. Esempi

    Inoltre seS e uno spazio di Hilbert (S=H) la stessa dimostrazione usata nel caso dil2(N, C) permette di verificare che l2(N,

    H) e completo, ossia e uno spazio di Hilbert.

    Una ulteriore generalizzazione di questo procedimento che, per cio che riguarda ledimostrazioni, non si discosta da quanto visto nel casol2(N, C) e la seguente. Si con-sideri una successione{Sn: nN}di spazi con prodotto interno e con corrispondentenorma espressi rispettivamente da

    x|ySn e xSn =

    x|xSn .

    Si definiscesomma direttadegli spaziSn, indicata con il simbolo Sn, linsieme

    Sn :=

    { xn : n N, xn Sn } :

    xn2Sn < +

    munito delle ovvie operazioni di somma e di prodotto per uno scalare

    { xn } +{ yn } :={ xn+ yn } { xn } :={ xn } .

    Rispetto a queste operazioni Sn e uno spazio lineare che diviene uno spazio con

    prodotto interno

    (1) {xn} | {yn} :=

    xn|ynSnda cui si ricava la norma

    (2) {xn} =

    xn2Sn .Ovviamente se tutti gli spazi Sn sono di Hilbert (Sn =Hn) la loro somma diretta Hn e pure uno spazio di Hilbert. Si osservi che l2(N, S) = Sn con ogniSn = S.

    Esempio 2.2.13 In questo esempio vogliamo analizzare una interessante analogia.Prima pero di introdurre questo esempio dobbiamo premettere alcune considerazioni.In questo esempio indicheremo con [0, k]N la totalita dei numeri interi compresi fra0 e k e con [0, ]N linsieme di tutti gli interi non negativi.

    Il generico elemento dello spazio di Hilbert Ck+1 sara p ercio identificabile con unafunzione

    x : [0, k]N C, n x(n);(a)

    il prodotto interno su Ck+1 sara esprimibile come

    x|y =k

    n=0x(n) y(n)(1a)

    la norma ottenuta da questo prodotto interno come

    x = k

    n=0

    x(n)2 .(2a)

    Nel caso dello spazio di Hilbert Ck+1, la (1a) o la (2a) non pongono alcunproblema di convergenza. Cio non accade nel caso dello spazio di Hilbert l2 i cuielementi possono essere considerati come funzioni

    (b) x : [0,]N C, n x(n)tali da soddisfare le condizioni:

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    2.2. Esempi di spazi con prodotto interno 37

    (ib) per ogni k N esistono le somme

    kn=0 x(n)2 ;

    (iib) esiste limkk

    n=0 x(n)2 < + .In questo caso si pone per definizione

    n=0

    |x(n)|2 = limk

    kn=0

    |x(n)|2 .

    Sotto queste condizioni, sono ben poste la definizione di prodotto interno

    x|y =n=0

    x(n) y(n)(1b)

    e la conseguente nozione di norma

    x =

    n=0

    x(n)2 .(2b)

    In un certo qual modo lo spazioC([0, b]) puo essere messo in analogia con Ck+1nel senso che il generico elemento di tale spazio e una funzione continua

    : [0, b] C, x (x) .(a)

    Il prodotto interno suC([0, b]) e definito da

    | := b

    0

    (x)(x) dx(1a)

    cui e associata la norma indotta

    = b

    0

    (x)2 dx .(2a)

    Le analogie con le corrispondenti relazioni (a), (1a) e (2a) viste nel caso dello spazioCk+1 sono evidenti. Si tratta di sostituire formalmente al parametro discreto n ilparametro continuo x e al simbolo di

    quello di

    dx.

    Vediamo ora come si possa introdurre lanalogo di l2. A questo proposito ricor-diamo che una funzione continua

    : [0,] C, x (x)(b)si dice impropriamente a quadrato integrabilesecondo Riemann sse soddisfa le con-dizioni:

    (i-b) per ogni b [0,] esistono gli integrali (secondo Riemann) b0(x)2 dx ;

    (ii-b) esiste limbb

    0(x)2 dx .

    In questo caso si usa porre per definizione 0

    (x)2 dx = limb

    b0

    (x)2 dx .

    Indicato con L2C([0,]) linsieme delle funzioni continue a quadrato integrabile su[0,] si verifica facilmente che, rispetto alle usuali operazioni fra funzioni, L2C([0,])e uno spazio lineare complesso su cui e definibile il prodotto interno

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    38 CAPITOLO 2. Esempi

    | := 0

    (x) (x) dx(1-b)

    con associata la norma indotta

    =

    0

    (x)2 dx .(2-b)

    Abbiamo cos visto che L2C([0,]) p ossiede proprieta (b), (2.2.13), (2.2.13),(1-b), e (2-b), analoghe alle corrispondenti proprieta (b), (2.2.13), (2.2.13), (1b)e (2b) di l2. Si puo passare formalmente da un caso allaltro sostituendo i parametridiscreti n con quelli continui x e le

    con gli

    dx.

    Bisogna pero osservare che mentre Ck+1 e l2 sono completi in norma, gli spazi

    C([0, b]) e L2

    C([0,

    ]) non sono completi.

    In analogia con L2C([0,]) si puo introdurre lo spazio L2C([, 0]) e definire 0

    (x)2 dx = limb

    0b

    (x)2 dx .

    Lo spazio L2C([,]) richiede qualche considerazione ulteriore. Diremo che : [,] C continua appartiene a L2C([,]) o, piu semplicemente, aL2C(R), sse esistea R tale che

    |[, a] L2C([, a]) e |[a, +] L2C([a, +]) .In questo caso porremo

    (x)

    2 dx =

    a

    (x)

    2 dx +

    a (x)

    2 dx .

    Non e difficile verificare che

    | :=

    (x) (x) dx

    definisce un prodotto interno suL2C(R) da cui si ricava la norma

    = +

    (x)2 dx .

    Ovviamente, pure L2C([, 0]) e L2C(R) sono spazi con prodotto interno non com-pleti in norma.

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    Capitolo 3

    Sistemi ortonormali

    completi

    3.1 Introduzione

    In questo capitolo studieremo la possibilita di esprimere i vettori degli spazicon prodotto interno come combinazioni lineari infinite di opportune basi i cuivettori sono tutti di norma uno e a due a due ortogonali (o basi ortonormali).

    In particolare, si dimostrera che per gli spazi separabili esiste sempre unabase ortonormale di questo tipo e che tutte le basi ortonormali hanno la medes-

    ima cardinalita, chiamata dimensione ortonormale dello spazio.La nozione di ortogonalita e stata gia introdotta nel capitolo

    3.2 Sistemi ortonormali di vettori

    In questo paragrafo introdurremo gli elementi teorici essenziali per giungere alladefinizione di base ortonormalein spazi con prodotto interno.

    Definizione 3.2.1 Sia A un insieme totalmente ordinato di indici, finito oinfinito, anche non numerabile. Un insieme{ u : A } di elementi di unospazio con prodotto internoS si dira sistema ortogonale sseu|u = 0 per = . Un sistema ortogonale si dira ortonormale sseu = 1 per ogni A. Chiaramente{ u : A } e un sistema ortonormale sse

    (3.1) u|u = ,.

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    40 CAPITOLO 3. Sistemi ortonormali completi

    Esempio 3.2.2 Nello spazio di Hilbert l2 linsieme numerabile

    e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, . . .)

    e2 = (0, 1, 0, . . . , 0, . . .)

    ......

    en = (0, 0, 0, . . . , 1, . . .)

    ......

    e un sistema ortonormale.

    Proposizione 3.2.3 In uno spazio con prodotto internoSvalgono le seguentiproprieta:

    (i) un sistema ortogonale e una famiglia libera di vettori sse non contiene ilvettore nullo;

    (ii) un sistema ortonormale e sempre una famiglia libera;

    (iii) se{ u : A } e un sistema ortogonale libero al lora uu : A

    e un sistema ortonormale.

    Dimostrazione. (i) Se{ u : A } e una famiglia libera allora certa-mente il vettore nullo non puo appartenere ad essa.

    Viceversa, se{ u : A } e un sistema ortogonale non contenente ilvettore nullo, considerata lequazione nelle indeterminate i

    i Iiui = 0 ,

    ove conIsi e indicato un qualsiasi sottoinsieme finito diA, avremo che per ognij I sara:

    0 = uj |0 = uj

    i Iiui =

    i Ii uj |

    uida cui 0 = juj2 per ogni j I. Dal fatto che il vettore nullo nonappartiene al sistema ortonormale segue che ogniuj = 0 e quindi j =0 per ogni j I.

    Le (ii) e (iii) sono banali conseguenze della (i).

    Definizione 3.2.4 Sia{ u : A } un sistema ortonormale di vettori diSex un elemento diS. Si chiamanocoefficienti di Fourier dix rispetto al sistemaortonormale{ u : A } i numeri complessiu|x, per ogni A.

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    3.2. Sistemi ortonormali di vettori 41

    Teorema 3.2.5 In uno spazio con prodotto internoS, se{ u : A } e unsistema ortonormale qualsiasi, valgono le proprieta:

    (i) per ogni x S si ha che u|x = 0 salvo al piu per una infinitanumerabile di indici, dipendente in generale dax.

    (ii)A

    | u|x |2 x2,x S. (Diseguaglianza di Bessel)

    Dimostrazione. Verifichiamo in primo luogo che se{ui : i= 1, 2, . . . , n} e unsistema ortonormale finito allora

    ni=1

    | ui|x |2 x2 per ogni x S.

    Da

    0 xni=1

    ui|xui 2 =

    =

    xi

    ui|x ui x

    j

    uj |xuj

    =

    =x|x j

    uj |x x|uj

    i

    ui|x ui|x i,j

    ui|x uj |x ui|uj =

    =

    x2

    i | ui|x |2

    segue la relazione cercata.Fissato un intero positivo n, siano

    F ={ | u|x |2 :| u|x |2 = 0 }

    Fn ={ | u|x |2 : 1/n | u|x |2 }

    Chiaramente

    F =n=1

    Fn

    e verifichiamo che Fn possiede al piu nx2 elementi. Infatti, se | uj |x |2 : j = 1, 2, . . . , k e un qualsiasi insieme finito di elementi diFn, avremo che

    1/n | uj |x |2da cui segue

    k

    n

    kj=1

    | uj |x |2 x2

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    42 CAPITOLO 3. Sistemi ortonormali completi

    e perciok nx2. Ossia ogni sottoinsieme finito estratto da Fn non puo con-tenere piu dinx

    2

    elementi e percioFn non puo contenere ne infiniti elementi(altrimenti sarebbe possibile estrarne piu di nx2) ne un numero di elementifinito e maggiore di nx2. Da cio segue cheF e al piu infinito numerabile.

    La (ii) risulta essere una conseguenza immediata di quanto ora dimostratoe della diseguaglianza di Bessel per un numero finito di elementi.

    Esempio 3.2.6 Per quanto visto nel teorema precedente, preso un fissato x S,linsieme di indici

    A(x) :={ A :u|x = 0 }e al piu infinito numerabile e dipende dalla scelta di x. Per esempio, se consideriamo lospazio di Hilbert non separabilel2(R) e facile verificare che la famiglia{ e : R },ovee : R C e definito dalla legge

    e(x) :=

    1, x = 0, x=

    e un sistema ortonormale.

    Preso l2(R), sia R() :={ R : ()= 0 }. Per come e stato definitol2(R) sappiamo che R() e al piu infinito numerabile e tale che

    R()

    |()|2 < + .

    Se consideriamo i coefficienti di Fourier{ e | : R } di rispetto al sistemaortogonale{ e : R } si ottiene che

    e | = e(x) (x) = ()e quindi

    R() ={ R : ()= 0 } ={ R :e | = 0 } .

    Proposizione 3.2.7 SeS e separabile tutti i sistemi ortonormali di tale spaziosono al piu infinito numerabile.

    Dimostrazione. SeS e separabile esiste un suo sottoinsieme{ xn : n N }al piu infinito numerabile e denso in

    S. Sia ora

    {u

    }un sistema ortonormale in

    Se consideriamo le sfere s1/2(u) di centro u e raggio 1/2. Queste sfere sonodisgiunte per1= 2 in quanto

    u1 u2 =

    u1 u2 |u1 u2 =

    2

    Siccome i vari u sono elementi diS e{xn} e denso inS, ogni sfera s1/2(u)contiene almeno un elemento di{xn} e due sfere di centro diverso, u1= u2 ,non hanno punti in comune. Da cio segue che linsieme di queste sfere, e perci olinsieme{u}, contiene al piu una infinita numerabile di elementi.

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    3.3. Sistemi ortonormali completi 43

    3.3 Sistemi ortonormali completi

    Considerato lo spazio di Hilbert separabile Cn sia{ e1, e2, . . . , en } un suosistema ortonormale. Dalla (ii), proposizione 3.2.3, segue che

    e1, e2, . . . , en

    e una famiglia libera costituita da n vettori e percio essa e una base lineare.Preso, allora, un qualsiasi x Cn avremo che

    x =ni=1

    iei

    dove i coefficientii sono univocamente determinati. Dalla relazione precedentesegue che per ogni j = 1, 2, . . . , n

    ej|x = je percio x si esprime univocamente rispetto alla base{ei} secondo la combi-nazione lineare

    (3.2) x =ni=1

    ei|x ei

    coinvolgente i coefficienti di Fourierei|x del vettore x rispetto al sistemaortonormale{ei}.

    Se avessimo scelto in Cn un sistema ortonormale { e1, e2, . . . , ek } costituitoda un numero di elementik strettamente minore din, avremmo potuto calcolarecomunque i coefficienti di Fourierei|x per ogni vettore x Cn e individuareil vettore

    x =

    ki=1

    ei|x ei

    il quale, in generale, e diverso da x.

    Esempio 3.3.1 In C3, scelto il sistema ortonormale{ e1, e2 } con e1 = (1, 0, 0) ee2 = (0, 0, 1), preso il vettore x = (i, ,3i) sara

    e1|x = i e2|x =3ie percio

    x =e1|x e1 +e2|x e2 = (i, 0,3i)ottenendo in questo caso un vettore x= x.

    In ogni caso, il vettore (x x) e ortogonale a e1 e e2 e quindi alla varieta lineare(e percio al sottospazio) generato da

    {e1, e2

    }.

    Sia oraSuno spazio con prodotto interno e{u} un suo sistema ortonor-male. Fissato un qualsiasi vettore x Spotremo considerare la corrispondentesuccessione dei coefficienti di Fourier { u|x } che per quanto visto nel teorema2.1 sono tutti nulli ad eccezione di un insieme al pi u numerabile di elementi.Nel seguito la scrittura

    u|xu

    significhera che i coefficientiu|xsono nulli ad eccezione al piu di una infinitanumerabile di elementi e che si prendera in esame la corrispondente serie inS,che potra essere convergente oppure no.

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    44 CAPITOLO 3. Sistemi ortonormali completi

    Viene allora naturale chiedersi se la serie

    (3.3)

    u|xu

    analoga alla (3.2), e convergente inS secondo la norma e, nel caso di rispostaaffermativa, indicato con

    x =

    u|xu

    il vettore limite della serie, verificare sotto quali condizioni e assicurato chex = x, ossia che

    x =

    u|xu .

    In generale, nulla ci assicura che la serie (3.3) sia convergente in S. In questomodulo dimostreremo pero che

    (A) SeS e uno spazio separabile esiste sempre almeno un sistema ortonormale{un}tale che per ogni x Sla serie

    n=1

    un|x un

    sia convergente ed in piu si abbia

    x =n=1

    un|xun .

    (B) Tutti i sistemi ortogonali soddisfacenti la (A) hanno la medesima cardi-nalita.

    Prima di raggiungere questi obiettivi premettiamo alcuni risultati. In primoluogo, indicheremo con

    (3.4) {u} = Sp({u})la chiusura della varieta lineare generata da{u}. Ricordiamo che{u} e unsottospazio diS.

    Proposizione 3.3.2 Sia{un} un sistema ortonormale inSal piu infinito nu-merabile e

    {n

    }una corrispondente successione di numeri complessi. Costruite

    le somme parziali

    sk =kn=1

    nun

    per ogni fissato vettorex dello spazioSavremo che:(i)x sk assume il suo valore minimo al variare della successione{n}

    ssen =un|x pern = 1, 2, . . . , k. In questo caso si ottiene

    (3.5) xkn=1

    un|xun2 =x2 kn=1

    | un|x |2 ;

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    3.3. Sistemi ortonormali completi 45

    (ii) lelemento(x sk) {u1, . . . , uk } ssen =un|x pern = 1, 2, . . . , k.Dimostrazione. (i) Tramite facili calcoli si ottiene

    x sk2 =

    xkn=1

    nun

    x km=1

    mum

    =

    =x2 kn=1

    nx|un kn=1

    nun|x +kn=1

    nn .

    Ora, considerato che

    |n un|x|2 = (n un|x) (n un|x) ==|n|2 nun|x nx|un +|un|x|2

    avremo che

    x sk2 =x2 kn=1

    |un|x|2 +kn=1

    |n un|x|2 .

    Da questo risultato, osservando che il primo e il secondo termine del sec-ondo membro non dipendono dalla scelta di{n} e che il terzo termineda sempre un contributo positivo alla somma, otteniamo che al variare di{n} la quantitax sk assume il valore minimo sse

    n =un|x per n = 1, 2, . . . , k .

    (ii) Daltra parte, indicato con y il generico elemento di{u1, u2, . . . , uk} se0 =x sk|y per ogniy {u1, u2, . . . , uk } avremo che in particolare0 =x sk|ujper j = 1, 2, . . . , k. Da cio segue che

    0 =

    xkn=1

    nun

    uj =x|uj kn=1

    nun|uj =x|uj j

    e quindi j =uj |x perj = 1, 2, . . . , k.Viceversa, sen =un|xpern = 1, 2, . . . , kallora indicato il genericoelemento di S p{u1, u2, . . . , uk}con

    y =

    kj=1

    juj

    avremo che

    x

    kn=1

    un|xun y = x

    n

    un|x un j

    juj

    =

    =j

    jx|uj nj

    un|x jun|uj =

    =j

    jx|uj j

    jx|uj = 0 .

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    46 CAPITOLO 3. Sistemi ortonormali completi

    Abbiamo cosottenuto che lipotesi

    n =un|x per n = 1, 2, . . . , kimplica che

    (x sk) Sp{ u1, u2, . . . , uk } .Considerato ora y {u1, u2, . . . , uk }, avremo che esiste una succes-sione

    { yj } Sp{ u1, u2, . . . , uk }tale che y = limj yj . Pertanto

    x sk|y =x sk| lim yj = limx sk|yj = 0per ogni y

    {u1, u2, . . . , uk

    }.

    Osservazione 3.3.3 Se il sistema ortonormale che interviene sulla prece-dente proposizione 3.3.2 e infinito numerabile, potremo costruire la suc-cessione delle somme parziali

    s1, s2, . . . , sk =k

    n=1

    nun, . . .

    Se invece il sistema ortonormale in questione e finito,{ u1, u2, . . . , uh },considereremo ancora la successione delle somme parziali

    s1, s2, . . . , sh, sh+1, . . . , sk, . . .

    ove si assume che

    sj =

    jn=1

    nun per j = 1, 2, . . . , h

    sh = sh+1 = . . . = sk = 0 per k h .

    Teorema 3.3.4 SiaSuno spazio con prodotto interno e{ u : A } unsistema ortonormale, allora le seguenti proposizioni sono fra loro equivalenti:

    (i) { u } =S (completo)

    (ii) per ognix S la serieu|xu e convergente inSed ex =

    u|xu

    (basico)

    (iii) per ogni coppiax, y di elementi diSsi ha

    x|y =

    x|u u|y

    (uguaglianza di Parseval)

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    3.3. Sistemi ortonormali completi 47

    (iv) per ognix S vale luguaglianza (di Parseval)

    x2 =

    | u|x |2

    (chiuso)

    Dimostrazione. Daremo la dimostrazione nel caso di uno spazio separabile,con lievi modifiche essa puo essere adattata al caso generale

    (i)(ii). Supponiamo sia vera la (i), allora, fissatox S, per ogni > 0 esiste unelemento

    k0

    n=1

    nun Sp{un}

    tale che

    xk0n=1

    nun < .

    Ma allora dalla (i) proposizione 3.3.2 avremo che a maggior ragione dovr aessere

    xk0n=1

    un|xun < .

    Sia allora k k0, dalla (3.5) avremo che

    0 xkn=1

    un|x un2 =x2 kn=1

    |un|x|2 =

    =x2 k0n=1

    |un|x|2 k

    n=k0+1

    |un|x|2 =

    =xk0n=1

    un|x un2 k

    n=k0+1

    |un|x|2

    < 2 k

    n=k0+1

    |un|x|2

    e, percio, per ogni > 0 esistek0 tale che ogni k > k0 risulta essere

    xkn=1

    un|xun <

    ossia

    limk

    kn=1

    un|xun =n=1

    un|xun = x .

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    48 CAPITOLO 3. Sistemi ortonormali completi

    (ii)(iii). Se e vera la (ii), posto

    x =n=1

    un|xun e y =m=1

    um|yum

    avremo che

    x|y = n=1

    un|x un m=1

    um|yum

    =

    =n,m

    un|x um|y un|um =

    =

    n=1x|un un|y .

    (iii) (iv). La (iv) e una banale conseguenza della (iii) qualora si ponga in questul-timay = x.

    (iv)(i). Supposto che la (iv) sia vera, dalla 1.6.4 proposizione (i) che

    x = limk

    kn=1

    un|xun

    per ogni x Se percio, essendokn=1

    un|xun Sp{un}saraS ={ un }.

    Definizione 3.3.5 Diremo che un sistema ortonormale e completo (SONC)sse soddisfa ad una, e quindi a tutte, le condizioni del teorema precedente.

    Se{u} e un SONC, per la (ii), teorema 3.3.4, ogni elemento x Ssi potraesprimere come combinazione lineare infinita

    (3.6) x =

    u|x

    u

    chiamata sviluppo in serie di Fourier di x rispetto al SONC{u}. Per questomotivo, i SONC vengono anche chiamati basi ortonormali.

    Esempio 3.3.6 In Kn il sistema ortonormale{e1, . . . , en}, oveek = (k1, k2, . . . , kk, . . . , kn) = (kj : j = 1, 2, . . . , n)

    e completo in quanto ogni elemento x = (x1, x2, . . . , xn) Kn e esprimibile nelseguente modo

    x =n

    k=1

    ek|x

    ek.

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    3.3. Sistemi ortonormali completi 49

    Pertanto, la base canonica di Kn e un SONC, ossia e una base ortonormale.Analogamente, in l2 il sistema ortonormale

    {en

    : nN

    }, ove

    en = (n1, n2, . . . , nn, . . .) = (nj : j N)

    e completo. Pertanto l2 ammette una base ortonormale infinita numerabile che, peranalogia collesempio ora visto, viene chiamata base ortonormalecanonica di l2.

    Infine, in l2(R) il sistema ortonormale{ e : R } con

    e(x) = (,x : x R)

    e un SONC e quindi l2(R) ammette la base ortonormale canonica{ e : R } cheha la cardinalita del continuo.

    Osservazione 3.3.7 Si osservi che se{u} e un sonc diS, allora la (i),teorema 3.3.4, scritta nel seguente modo

    Sp({u}) =S,

    esprime il fatto che la varieta lineare Sp({u}), costituita da tutte lecombinazioni lineari finite a coeffecenti complessi della famiglia{u}, edensa inS.Verificheremo ora che in effetti vale un risultato analogo sotto condizionimeno restrittive.

    Per semplicita di linguaggio, dora in avanti, col terminenumero complessorazionale intenderemo un numero complesso z C la cui parte reale e parteimmaginaria sono numeri razionali; ossia z = (q1, q2) C, con q1, q2 Q.Ovviamente, linsieme dei numeri complessi razionali e identificabile con Q2 ed

    e, quindi, un insieme infinito numerabile denso inC.

    Corollario 3.3.8 Sia{u} un SONC di uno spazio con prodotto internoS.Indicata conSpr({u}) la varieta lineare di tutte le combinazioni lineari finitecon coefficenti complessi razionali degli elementi del SONC, allora si ha cheSpr({u}) e densa inS.

    Dimostrazione. Dalla (i) del teorema 3.3.4 abbiamo che se{u} e un soncallora per un qualsiasix Sfissato vale la proprieta che per ogni >0 esiste unacombinazione lineare finitay =

    nk=1 kukSp({u}) tale chex y< 12.

    Inoltre, per 1kn scegliamo un numero complesso razionale rk tale che|k rk|< 2n . Costruito il vettore yr =

    nk=1

    rkukSpr({u}), avremo che

    x yr x y + y yr 1

    2 +

    nk=1

    |k rk|< 1

    2 + n

    2n=

    Operando le scelte = 1n possiamo concludere che per ogni vettore x S,esiste una successione{yrn} S pr({u}) tale che limx yrn = 0, ovvero cheSpr({u}) =S.

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    50 CAPITOLO 3. Sistemi ortonormali completi

    Proposizione 3.3.9 Se{u} e un SONC inS, valgono le ulteriori proprietafra loro equivalenti:

    (i){u} non e sottoinsieme proprio di alcun altro sistema ortonormale diS(massimale)

    (ii)u|x = 0 per ogni implicax = 0. (totale)

    Dimostrazione. Per il teorema 3.3.4, se{u} e un SONC, per esso varraluguaglianza di Parseval (iv). Supposto ora che {u} non sia massimale, esisteraun elemento v S tale chev = 1 eu|v = 0 per ogni . Ma per la (iv)si ha chev2 = |u|v|2 e cio implicherebbev = 0 contro lassunzionev = 1.

    Verifichiamo ora che la (i) implica la (ii). Siau|x = 0 per ogni ; sex= 0 possiamo porrex = 1 ed allora{u} {x} e un sistema ortonormalecontro lipotesi (i) che{u} sia massimale. Quindi non puo che essere x = 0.

    Osservazione 3.3.10 La precedente proposizione dimostra che ogniSONC e un sistema ortonormale massimale. Esistono spazi con prodot-to interno che ammettono sistemi ortonormali massimali che non sonocompleti, come nel seguente esempio.

    Esempio 3.3.11 Sistema ortonormale massimale che non e una base ortonormale.(da S. P. Gudder, Inner product spaces, Amer. Math. Monthly, 81 (1974) 29-36)

    Sia Huno spazio con prodotto interno separabile con base ortonormale { e1, e2, . . . },considerato il vettore di H,

    f =

    n=1

    1nen

    sia

    S = Sp { f, e2, e3, . . . } .Allora e facile verificare che ={e2, e3, . . . } e un sistema ortonormale massimale inS ma non e una base ortonormale poichefnon e della forma

    f =2

    cnen .

    Da una semplice applicazione del lemma di Zorn si ottiene che:

    Proposizione 3.3.12 In ogni spazio con prodotto interno esiste sempre unsistema ortonormale massimale.

    Possiamo quindi enunciare e dimostrare il seguente risultato

    Proposizione 3.3.13 Tutti i sistemi ortonormali massimali in uno spazio conprodotto interno hanno la medesima cardinalita.

    Dimostrazione. Sianoedue sistemi ortonormali massimali con cardinalitaA e B rispettivamente. Se A oppure B e finita lo spazio e finito dimensionale

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    3.3. Sistemi ortonormali completi 51

    e quindi A = B essendo e due basi lineari. Supponiamo allora che e

    siano entrambe infinite. Per u , sia(u) ={ v :u|v = 0 } .

    Per il teorema 3.2.5, (u) e al piu infinito numerabile. Poiche e massimale,

    {(u) : u }

    e quindiB (A 0) = A .

    Per simmetria si ottiene la conclusione cercata.

    Definizione 3.3.14 Perdimensione ortogonale di uno spazio con prodotto in-terno intenderemo la cardinalita comune a tutti i suoi sistemi ortonormali mas-simali.

    Osservazione 3.3.15 Come vedremo nel prossimo esempio, esistonospazi con prodotto interno che non hanno basi ortonormali. Per questispazi si puo comunque parlare di dimensione secondo quanto previsto dallaprecedente definizione.

    Daltra parte sappiamo che ogni base ortonormale e un sistema ortonor-male massimale e quindi se uno spazio con prodotto interno ammette unabase ortonormale la dimensione dello spazio coincide con la cardinalita diquesta base ortonormale.

    Esempio 3.3.16 Spazio con prodotto interno che non ammette basi ortonormali.(da S. P. Gudder, Inner product spaces, Amer. Math. Monthly, 81 (1974) 29-36).

    Sia H = l2([0, 1]) lo spazio di Hilbert