appunti di metodi matematici della fisica

N I NO Z ANGH

APPUN T I D IM E TOD I M AT EMAT I C ID E L L A F I S I C A

UN I V ERS I T D I G ENOVA

Indice

I Metodi matematici di base 1

1 Numeri complessi 7

2 Vettori e operatori 29

3 Autovalori e autovettori 49

4 Successioni e serie 67

5 Derivate e integrali 99

6 Fisica ed equazioni alle derivate parziali 131

II Metodi di Fourier 143

7 Equazioni alle derivate parziali 151

8 Lequazione di Laplace 161

9 Polinomi omogenei e armoniche sferiche 189

II

10 Delta di Dirac, convoluzioni e nuclei 199

11 Problemi al contorno per le onde e il calore 217

12 Tre vie che portano a Fourier 241

13 Propriet delle serie di Fourier 263

14 Funzioni ortogonali e serie di Fourier 271

15 Teoria di Sturm-Liouville 301

16 Integrali di Fourier 331

17 La trasformata di Laplace 371

III Metodi di analisi complessa 395

18 Funzioni analitiche 399

19 Teorema dei residui e calcolo di integrali 427

20 Il cuore della teoria delle funzioni analitiche 459

21 Miscellanea di applicazioni 497

IV Metodi di analisi asintotica 525

22 Integrali di Fourier e metodo della fase stazionaria 529

III

23 Integrali di Laplace e serie asintotiche 541

Parte I

Metodi matematici di base

Indice

1 Numeri complessi 7

1.1 Algebra 7

1.2 Geometria 10

1.3 La formula di Eulero 11

1.4 Aritmetica e trigonometria 13

1.5 Funzioni complesse 13

1.6 Il teorema fondamentale dellalgebra 15

1.7 Visualizzazione delle funzioni complesse 16

1.8 Funzioni analitiche 16

Problemi 18

Soluzioni 20

2 Vettori e operatori 29

2.1 Spazi vettoriali 29

2.2 Basi e dimensione 31

2.3 Matrici 33

2.4 Cambiamenti di base 35

2.5 Operatori lineari 36

2.6 Spazi dotati di prodotto scalare e norma 38

2.7 Basi ortonormali 40

2.8 Forme lineari e spazio duale 43

4 appunti di metodi matematici della fisica

Complementi 46

3 Autovalori e autovettori 493.1 Operatori autoaggiunti e unitari 49

3.2 Autovalori e autovettori 51

3.3 Teorema spettrale per operatori autoaggiunti 56

3.4 Teorema spettrale per operatori normali 58

3.5 Funzione di un operatore 59

3.6 Assi principali di inerzia 62

3.7 Rotazioni e decomposizione di un operatore lineare 63

4 Successioni e serie 674.1 La nozione di limite di una successione 67

4.2 La nozione di successione di Cauchy 68

4.3 Serie infinita di numeri complessi 69

4.4 Successioni e serie di funzioni 70

4.5 Convergenza uniforme e scambio di limiti 73

4.6 Serie di potenze complesse 75

4.7 Funzioni complesse definite da serie di potenze 78

4.8 Raggio di convergenza e singolarit 81

4.9 Lesponenziale e le funzioni intere 82

Problemi 84

Soluzioni 86

Complementi 91

5 Derivate e integrali 995.1 La nozione di derivata 99

5.2 Derivate di trasformazioni non-lineari 102

5.3 Applicazioni ai sistemi dinamici 105

5.4 La nozione di integrale 110

INDICE 5

5.5 Integrali di linea, di superficie e di volume 112

5.6 Integrali impropri 115

5.7 Convergenza uniforme di integrali impropri 118

5.8 Derivazione sotto il segno di integrale 119

5.9 Integrali di gaussiane 120

Complementi 124

6 Fisica ed equazioni alle derivate parziali 1316.1 Introduzione 131

6.2 Equazioni di Maxwell 131

6.3 Equazione di continuit 132

6.4 Equazione di Laplace 133

6.5 Equazione delle onde 134

6.6 Equazione del calore 136

6.7 Equazione di Navier-Stokes 137

6.8 Equazione di Hamilton-Jacobi 138

6.9 Equazione di Schrdinger 140

1Numeri complessi

Indice

1.1 Algebra 71.2 Geometria 101.3 La formula di Eulero 111.4 Aritmetica e trigonometria 131.5 Funzioni complesse 131.6 Il teorema fondamentale dellalgebra 151.7 Visualizzazione delle funzioni complesse 161.8 Funzioni analitiche 16

Problemi 18Soluzioni 20

Girolamo Cardano (15011576?) statoun matematico italiano. Parte dellasoluzione dellequazione cubica, chepubblic nella sua opera Ars Magnagli era stata comunicata da Tartaglia.Cardano sostenne di averne pubblicatoil testo solo quando era venuto a sa-pere che Tartaglia avrebbe appreso lasoluzione da Scipione Del Ferro.

1.1 Algebra

Non sono state le equazioni quadratiche ax2 + bx + c = 0, la cuiformula risolutiva nota sin dallantichit,

x =bb2 4ac

2a,

a portare ai numeri complessi. Il valore negativo del discriminanteb2 4ac non fu mai considerato come segnale dellesistenza di unnuovo tipo di numeri, per i quali

1 ha senso. Fu invece sempreinterpretato come unindicazione che la parabola y = ax2 e la rettay = bx c non hanno punti di intersezione. Occorre tenere presenteche fino all800 si son sempre cercate soluzioni reali o positive delleequazioni algebriche.

Furono invece le equazioni cubiche a portare ai numeri complessi.In breve, la storia questa. Girolamo Cardano, basandosi sui lavori


di Niccol Tartaglia e Scipione Del Ferro, pubblica nel suo Ars Magnadel 1545) la formula

x = 3

q +

q2 p3 + 3

q

q2 p3 (1.1)

per lequazione di terzo grado A questo proposito Richard Feynmanscrisse: lo sviluppo di pi grande im-portanza per la matematica in Europafu la scoperta di Tartaglia che si purisolvere unequazione cubica: sebbenedi poco uso in s stessa, questa scoper-ta deve essere stata meravigliosa daun punto di vista psicologico. Aiutmolti nel Rinascimento a liberarsi dallintimidazione che provavano verso gliantichi.

x3 = 3px + 2q .

La formula (1.1) non era nota nellantichit. Pochi decenni dopola scoperta di Cardano, Raffaele Bombelli si rese conto che ceraqualcosa di strano e paradossale riguardo a questa formula. Bombelliconsider lequazione x3 = 15x + 4, per cui la formula di Cardanofornisce

Raffaele Bombelli (15261572) statoun matematico e ingegnere italiano. Lasua opera fondamentale, Lalgebra, fupubblicata nel 1572.

x = 3

2+ 11i + 3

2 11i ,(con la notazione moderna i 1 introdotta da Leonard Eulercirca duecento anni dopo Bombelli). Ma Bombelli sapeva che x = 4 soluzione dellequazione. Come metter daccordo questo con laformula di Cardano?

La congetturare ardita di Bombelli fu che 3

2+ 11i = 2 + ni e3

2 11i = 2 ni, dove n un numero da determinarsi. Se fossecos, x = 4 sarebbe conseguenza della formula di Cardano. Ma qualidevono essere le regole algebriche di manipolazione per numeridel tipo A = a + ia, in modo che sia davvero cos? Le seguenti:

(1) A + B = (a + ia) + (b + ib) = (a + b) + i(a + b).

(2) AB = (a + ia)(b + ib) = ab + i(ab + ab) + i2 ab= (ab ab) + i(ab + ab).

(avendo usato i2 = 1). Se si utilizzano queste regole si pu mostrarefacilmente che (2 i)3 = 2 11i (esercizio).

y

x

B

A

A+B

y

x

B

A

AB Figura 1.1: Somma e prodotto dinumeri complessi, visti come vettori nelpiano R2.

Il lavoro di Bombelli fu importante perch contribu a far ma-turare la consapevolezza che problemi, formulati completamentenellambito dei numeri reali e di cui si cercavano soluzioni reali, per

numeri complessi 9

essere risolti richiedevano comunque unaritmetica complessa comestrumento di calcolo, basata sulle regole algebriche (1) e (2).

Tuttavia, questa nuova aritmetica rimase abbastanza misteriosafino a che, con Jean-Robert Argand e Carl Friedrich Gauss, non sidiede una rappresentazione geometrica nei numeri complessi comepunti del piano R2 per i quali le operazioni di somma e prodottohanno un chiaro significato geometrico. Si vedano le figure 1.1 e 1.2.

La figura 1.1 mostra che la somma di due numeri complessi Ae B data dallusuale regola del parallelogramma per la sommadei vettori corrispondenti. Dalla regola algebrica (2), si dimostrafacilmente (esercizio) che il prodotto AB il numero complesso cheforma un angolo con lasse reale pari alla somma degli angoli di A eB e la cui lunghezza il prodotto delle lunghezze di A e B.

O

z = x+ iy

z = x iy

x

y

r=|z|

Figura 1.2: Rappresentazione geometri-ca dei numeri complessi; z = x iy ilcomplesso coniugato di z = x + iy ed la riflessione di z rispetto allasse reale

Terminologia e notazioni Con riferimento alla figura 1.2, ter-minologia e notazioni per i numeri complessi sono riassunte dallaseguente tabella:

Nome Significato Notazionemodulo di z lunghezza r di z |z|argomento (o fase) di z angolo di z arg (z)parte reale di z coordinata x di z Re (z)parte immaginaria di z coordinata y di z Im (z)numero immaginario multiplo reale di iasse reale insieme dei numeri realiasse immaginario insieme dei numeri immaginaripiano complesso insieme dei numeri complessi Ccomplesso coniugato di z riflessione di z rispetto allasse reale z

La figura figura 1.2 mostra che il numero complesso z = x + iypu essere anche rappresentato in termini delle sue coordinate polarir e . Per esprimere questo simbolicamente, scriviamo

z = r ,

dove il simbolo serve a ricordare che langolo di z (con lassereale). In questa rappresentazione polare, la regola del prodottorisulta particolarmente semplice:

(r)(R) = rR( + ) .

Prima di continuare, si raccomanda vivamente di fare un podi pratica con laritmetica complessa. Ci si convinca, ad esempio,della validit dei seguenti fatti, con ragionamenti sia algebrici siageometrici:

Re (z) =12(z + z) Im (z) =

12i(z z) |z| =

x2 + y2

tan(arg(z)) =Im (z)Re (z)

zz = |z|2 r = r(cos + i sin )


Definito (1/z) come quel numero complesso tale che (1/z)z = 1,ne segue che

1z=

1r =

1r() .

Ecco altre formule su cui fare pratica:

Rr =

Rr( ) 1

z=

1x + iy

=x

x2 + y2 i y

x2 + y2

(1+ i)4 = 4 (1+ i)13 = 26(1+ i) (1+ i

3)6 = 26

(1+ i

3)3

(1 i)2 = 4i(1+ i)5

(

3+ i)2=

2(pi/12) r = r()

z1 + z2 = z1 + z2 z1z2 = z1 z2 z1/z2 = z1/z2 .

Infine, la disuguaglianza triangolare generalizzata:

|z1 + z2 + . . . zn| |z1|+ |z2|+ . . . + |zn| .

Esercizio: quando si ha uguaglianza?

1.2 Geometria

Una traslazione del piano complesso data dalla trasformazionez 7 z + b, dove b un numero complesso. Per ogni complesso a,la trasformazione z 7 az rappresenta uno stiramento del pianodi un fattore |a| (compressione o espansione a seconda se |a| < 1 o|a| > 1), combinata con una rotazione del piano di un angolo pariad arg(a) (si osservi che sia la dilazione sia la rotazione sono centratenellorigine). Potremmo chiamare z 7 az una stiro-rotazione; si vedala figura 1.3

600

Figura 1.3: Stiro-rotazione: Il triangologiallo prima dilatato nel triangolo blue questultimo ruotato di 60o .

Nel disegnare la figura, abbiamo scelto a = 1.5(600). Consideria-mo lazione di z 7 az su un triangolo. La prima figura a sinistrarappresenta la dilatazione (con fattore di scala 1.5), rispetto allori-gine, che trasforma il triangolo di partenza giallo nel triangolo blu.La figura nel centro rappresenta la rotazione di 600 di questultimo,sempre rispetto allorigine. Il triangolo rosso leffetto finale della

numeri complessi 11

trasformazione. Si osservi che dilatazioni e rotazioni commutano:avremmo potuto prima ruotare e poi dilatare e saremmo comunquearrivati allo stesso risultato. E la ragione chiara: il prodotto tra nu-meri complessi ha lusuale propriet commutativa del prodotto tranumeri.

Operazioni vettoriali La seguente definizione

a b = ab . (1.2)fornisce una buona nozione di prodotto scalare tra numeri complessiche si riduce allusuale quadrato del modulo quando a = b ( e quindialla norma usuale per i numeri complessi). Si osservi linvarianza Notare che a differenza dellusuale

prodotto scalare reale, a b 6= b a.Si ha infatti, b a = ba = a b. Ilprodotto scalare complesso lesempiopi semplice di forma hermitiana osesquilineare.

del prodotto scalare (1.2) per rotazioni: u = ei produce una rotazionedi un angolo attorno allorigine, e quindi

(ua) (ub) = ua(ub) = uaub = (uu)ab = ab = a b . interessante osservare che il prodotto scalare complesso contiene

informazione sia sul prodotto scalare reale sia sul prodotto vettoredei vettori a e b associati ai numeri complessi a e b. Si ha infatti

a b = a b + i(a b) , (1.3)

Figura 1.4: Il prodotto vettore larea(con segno) del parallelogrammadefinito dai due vettori ed nelladirezione ortogonale al piano.

dove (a b) larea (con segno) del parallelogramma definitodai due vettori (la sua direzione ortogonale al piano, si veda lafigura 1.4).

1.3 La formula di Eulero

Leonhard Euler, noto in Italia comeEulero (17071783), stato un matema-tico e fisico svizzero. noto per esseretra i pi prolifici di tutti i tempi ed hafornito contributi cruciali in svariatearee: analisi infinitesimale, funzionispeciali, meccanica razionale, meccani-ca celeste, teoria dei numeri, teoria deigrafi.

Una delle formule pi importanti dellalgebra complessa la formula

ei = cos + i sin (1.4)

scoperta da Eulero intorno al 1740. Con questa formula la moltipli-cazione dei numeri complessi diventa ovvia. Da essa si ha infattiz = r = rei , da cui, usando le propriet dellesponenziale(

rei) (

Rei)= rRei(+)

Per spiegare la formula di Eulero, occorre in primo luogo domandar-si: che cosa significa il simbolo ei ? Le regole dellalgebra (sommae prodotto di numeri complessi), infatti, non ci dicono nulla su checosa si debba intendere con il simbolo ei.

Lapproccio moderno di considerare la (1.4) una definizione diei. Da un punto di vista logico, questo modo di procedere ineccepibile. Ma, da un punto vista concettuale, ne risulta una ca-renza nella comprensione della formula. Comprendere la formula,


significa capirne il senso e in che modo pu essere giustificata (nondimostrata!). Dopo tutto, la (1.4) fu per Eulero una scoperta e nonsemplicemente una definizione!

Una prima giustificazione si basa sul noto sviluppo di Taylordellesponenziale reale,

ex = 1+ x +x2

2!+

x3

3!+ . . .

Se supponiamo che questa formula continui a valere per immaginaripuri e sostituiamo x = i, otteniamo

ei = 1+ i +(i)2

2!+(i)3

3!+ . . . .

Se adesso usiamo le propriet algebriche dellelevazione a potenzadellunit immaginaria i2 = 1, i3 = i i2 = i, i4 = i i3 =1, i5 = i i4 = i, . . . e raggruppiamo i termini nello sviluppo diTaylor, otteniamo

ei =(

1 2

2!+4

4!

6

6!+ . . .

)+ i(

3

3!+5

5!

7

7!+ . . .

).

Riconosciamo la prima parentesi come lo sviluppo in serie del cosenoe la seconda come quella del seno. Quindi,

ei = cos + i sin .

y

x

Figura 1.5: Formula di Eulero e motocircolare uniforme di raggio 1 convelocit angolare unitaria.

C unaltra giustificazione della formula, che particolarmenteinteressante perch basata su un ragionamento cinematico: si assumache Z = Z(t) = eit descriva lorbita di un punto nel piano, concondizione iniziale Z0 = Z(0) = 1. Allora la velocit del punto V = ieit = iZ. Questo significa che Z soddisfa lequazione

dZdt

= iZ . (1.5)

Per quanto visto nella sezione precedente, la moltiplicazione per iequivale ad una rotazione antioraria di 900, il che vuol dire che lavelocit del punto pari al raggio vettore del punto ruotato di 900.Tenuto conto della posizione iniziale, la velocit iniziale alloraV0 = i. C un solo movimento che ha queste caratteristiche: il motocircolare uniforme di raggio 1 con velocit angolare unitaria. Questo fatto illustrato dalla figura 1.5. La legge oraria dellorbita dunque

Z(t) = cos t + i sin t

e la formula di Eulero risulta cos giustificata.

numeri complessi 13

1.4 Aritmetica e trigonometria

Lutilit dei numeri complessi in aritmetica e trigonometria puessere apprezzata facendo i seguenti eserizi.

Esercizio 1.1. Poich una formula di aritmetica che utilizzeremospesso, si chiede di dimostrare che la somma di una progressionegeometrica data dalla formula

1+ z + z2 + . . . + zn =zn+1 1

z 1 (1.6)

Esercizio 1.2. Sia z = reit, r < 1. Dimostrare che

1 |z|2|ei z|2 =

1 r21 2r cos(t ) + r2 = Re

(ei + zei z

). (1.7)

Soluzione di 1.3. Per brevit, si pongaC cos , S sin e si consideri

ei3 = cos 3 + i sin 3 = (C + iS)3

=(

C3 3CS2)+ i(

3C2S S3)

Usando C2 + S2 = 1 e uguagliandoparte reale e parte immaginaria, siottiene

cos 3 = 4C3 3Csin 3 = 4S3 + 3S

La seconda formula un bonus.

Esercizio 1.3. Dimostrare che

cos 3 = 4 cos3 3 cos .

Esercizio 1.4. Una formula trigonometrica molto utile

1+ 2n

k=1

cos(k) =sin[(n + 12 )

]sin(2

) (1.8)e la sua dimostrazione lasciata per esercizio (problema 1.9). Oltrealla formula di Eulero, si usi anche la (1.6).

1.5 Funzioni complesse

Nella sezione 1.2 abbiamo incontrato le funzioni lineari z 7 az + b,che possono essere interpretate come trasformazioni del piano com-plesso (traslazioni, rotazioni e stiramenti). Subito dopo, in ordine didifficolt, c la funzione quadratica z 7 z2, illustrata nella figura 1.6e poi lelevazione ad una potenza intera e positiva,

z 7 w = zn . (1.9)

Scrivendo z = rei , la (1.9) diventa w = rnein , per cui leffettodella trasformazione di elevare alln-esima potenza la distanza edi moltiplicare per n langolo. La figura 1.6 intende rendere vividoquesto fatto, mostrando leffetto della trasformazione su alcuni raggie archi centrati nellorigine (per n = 2).

Passiamo adesso ad un fatto elementare di algebra complessa chepu essere compreso in maniera semplice dal punto di vista delle


z2 2

Figura 1.6: Illustrazione del tipo ditrasformazione operato dalla funzionez 7 w = zn, nel caso particolare din = 2. Il fatto che un quadratino piccolomantenga la forma di un quadratino,come mostrato in figura, appare, almomento solo una curiosit. In verit, un fatto molto importante che, comevedremo nel seguito, la caratteristicasaliente delle funzioni analitiche.

funzioni complesse viste come trasformazioni.

Le soluzioni dellequazionezn = 1

sono i vertici dellennagono regolare iscritto nel cerchiounitario con uno dei vertici nel punto 1.

(1.10)

z w = z3 Figura 1.7: Poich la particella nelpiano-w ha una velocit 3 volte maggio-re, quando essa compie un angolo giro,la particella z ha solo percorso 1/3 dellacirconferenza (arco blu); quando la par-ticella nel piano-z percorre il successivo1/3 di circonferenza (arco magenta),la particella nel piano-w ha fatto unaltro giro completo, e lo stesso accadenellultimo tratto (arco rosso). I trepunti terminali dei tre archi formano untriangolo equilatero. Il ragionamento siestende ad un n qualunque. Risulta cosdimostrato che le soluzioni di zn = 1sono i vertici dellennagono regolareiscritto nel cerchio unitario con uno deivertici nel punto 1.

Preliminarmente, osserviamo che se w = f (z) = zn, allora lesoluzioni di zn = 1 sono i punti del piano-z che sono trasformatida f nel punto w = 1 del piano-w. Se consideriamo una particellache si muove lungo il cerchio unitario nel piano-z, poich 1n = 1anche la particella immagine nel piano-w si muover lungo il cerchiounitario |w| = 1, ma con una velocit angolare che n volte quelladella particella nel piano-z (in quanto, sul cerchio unitario, w = ein).La (1.10) segue da questa semplice osservazione, come illustrato infigura 1.7 per n = 3.

numeri complessi 15

Dopo le potenze intere, la classe pi semplice di funzioni comples-se quella dei polinomi, cio funzioni del tipo

Pn(z) =n

k=0

ckzk = c0 + c1z + c2z2 + c3z3 + . . . + cnzn ,

dove ck, k = 0, 1, . . . , n sono costanti complesse.

1.6 Il teorema fondamentale dellalgebra

Linsieme C dei numeri complessi un campo numerico. Gli elementidi un campo numerico sono solitamente chiamati scalari.

Un campo una struttura algebrica con le stesse caratteristichedellalgebra dei numeri reali: sono definite due operazioni, addizionee moltiplicazione, per quali valgono le usuale propriet associative edistributive. Esiste un elemento neutro per entrambe le operazioni(0 per laddizione e 1 per la moltiplicazione) ed esistono gli inver-si rispetto ad entrambe le operazioni, eccetto per lelemento neutrodelladdizione che non ha inverso rispetto alla moltiplicazione. Icomplessi sono un campo, cos come lo sono i razionali Q e i reali R.1 1 Ci sono anche campi con un numero

finito di elementi. Per esempio, inumeri interi da 0 a p 1, dove p unnumero primo, formano un campo conaddizione e moltiplicazione modulo p.

A differenza di questultimi non sono un campo ordinato, vale a dire,non possibile definire una relazione dordine che sia compabile conaddizione e moltiplicazione (in un campo ordinato, il quadrato diogni elemento necessariamente positivo, cosicch i2 = 1 precludequesta possibilit). Come i reali, i complessi sono chiusi, cio senza

variste Galois (18111832) stato unmatematico francese. Giovanissimo,determin un metodo generale perscoprire se unequazione risolvibileo meno con operazioni quali somma,sottrazione, moltiplicazione, divisione,elevazione di potenza ed estrazione diradice.

buchi: tutte le successioni di Cauchy di numeri complessi conver-gono ad un numero complesso, cos come accade per i reali, ma nonper i razionali che hanno dei buchi ( e questi buchi si riempionopassando ai reali). A differenza dei reali, i numeri complessi sonoalgebricamente chiusi, intendendo con questo che ogni polinomio haradici complesse.

Questultima caratteristica davvero notevole. La chiusura al-gebrica dei complessi stabilita da uno dei teoremi pi importantidellalgebra chiamato teorema fondamentale dellalgebra:

Ogni equazione Pn(z) c0 + c1z + . . . + cnzn =0, a coefficienti ck complessi o reali ( cn 6= 0), possiedealmeno una radice in C.

(1.11)

Si osservi che dalla (1.11) segue che Pn(z) ha n radici (magarialcune coincidenti). Infatti, se z1 la radice di Pn(z) la cui esistenza garantita dal teorema, allora Pn(z) fattorizza nel prodotto di (z z1)per un polinomio Pn1(z) di grado n 1. Applicando il teoremaa Pn1(z) e iterando la procedura, si conclude che esistono numericomplessi z1, . . . , zn, eventualmente coincidenti,2 che (posto cn = 1, 2 Ma non esiste un algoritmo generale

per determinarli, quando n > 4, comedimostr Galois.


senza perdita di generalit) forniscono la fattorizzazione completa delpolinomio,

Pn(z) = (z z1)(z z2) (z zn) . (1.12)

1.7 Visualizzazione delle funzioni complesse

difficile visualizzare una funzione da un piano ad un piano. Unmodo quello che abbiamo gi usato: data la funzione w = f (z),fare un disegno di come certe figure nel piano-z si trasformano nelpiano-w, come i triangoli che nella sezione 1.2 abbiamo usato pervisualizzare z 7 az, o i raggi e archi centrati nellorigine che abbiamousato in figura 1.6 per mostrare leffetto della trasformazione z 7 z2.

Figura 1.8: Superficie modulare diw = z2. In figura sono mostrate le curvedi livello e la loro proiezione sul pianocomplesso. Colori uguali nel piano,caratterizzano numeri z che hanno lastessa distanza dal centro.

Un secondo modo quello di fare un grafico del modulo dellafunzione f (z), come nella figura 1.8 per f (z) = z2. La superfi-cie cos ottenuta detta superficie modulare di f (z). Naturalmente,rappresentando cos una funzione, si perde informazione sulla suafase. Un terzo modo consiste nel disegnare le curve di livello dellaparte reale u = Re (w) e della parte immaginaria v = Im (w) diw = f (z) = u + iv. Posto z = x + iy, u e v sono funzioni reali dellevariabili x e y,

u = u(x, y) , v = v(x, y) .

Ad esempio, per w = z2 si ha

w = (x + iy)2 = x2 y2 + i2xye quindi

u = x2 y2v = 2xy

(1.13) x

y

Figura 1.9: Curve di livello u(x, y) =cost. (in rosso) e v(x, y) = cost. (in blu)di w = u + iv = (x + iy)2.

Le curve di livello di queste due funzioni sono mostrate in figu-ra 1.9. Questo modo di visualizzare una funzione complessa moltoutile perch ci mostra quali regioni del piano-z si trasformano neirettangoli della griglia cartesiana del piano-w, come mostrato infigura 1.10. Le figure che si ottengono sono esteticamente piacevoli,come, ad esempio, in figura 1.11. Ma ci che rilevante da un puntodi vista matematico che sia in figura 1.9 sia in figura 1.11 le curve dilivello delle u e delle v sono ortogonali. Questo ha fatto implicazionimolto importanti, che approfondiremo nella terza parte.

Infine, c un quarto modo di visualizzzare le funzioni complesse,in termini di campi vettoriali ad esse associati. un modo moltoefficace e interessante di cui ci occuperemo nella terza parte.

1.8 Funzioni analitiche

Le funzioni complesse si costruiscono a partire dai mattoni di base:operazioni algebriche, come in z2 + z, uso del complesso coniugato,

numeri complessi 17

come in zz3 e via discorrendo in tutte le combinazioni algebrichepossibili. Pi avanti, vedremo come si possa passare a combinazionialgebriche infinite, come la serie di potenze

1+ z + z2 + z3 + . . . (1.14)

1 2 3

x

1

2

3y

O

8 6 4 2 2 4 6 8u

v

O

Figura 1.10: La regione del piano (xy),racchiusa dalle linee rosse e blu ingrassetto (sopra) trasformata daw = z2 nel rettangolo col bordo rosso eblu in grassetto (sotto).

x

y

x

y

Figura 1.11: Sopra: curve di livello perw = z4 Sotto: curve di livello per 1/z.(In entrambe le figure, u = cost., inrosso e v = cost., in blu).

(essendo il limite di una progressione geometrica, la serie soprapu gi essere studiata senza aspettare la teoria generale delle seriecomplesse, si veda il problema 1.7).

Esplicitando la dipendenza da z e z, scriviamo una generica fun-zione complessa come f (z, z). Una funzione analitica semplicementeuna funzione che non dipende da z, cio tale che

fz

= 0 . (1.15)

dove z = x + iy e per /z si intende loperatore

z=

12

(

x+ i

y

). (1.16)

Sorprendentemente, la (1.15) ha conseguenze molto interessanti perle parti reali e immaginarie della funzione f . Scriviamo f = u + ive, tendendo conto della (1.16), sostituiamola nella (1.15). Si ottiene(osservando che i2 = 1)

0 =(u + iv)

x+ i

(u + iv)y

=ux vy

+ i(vx

+uy

).

Ma un numero complesso nullo, se sono nulle le sue parti reali eimmaginarie. Quindi,

ux

=vy

uy

= vx

(1.17)

Queste equazioni sono dette equazioni di Cauchy-Riemann e sono ilmarchio di fabbrica delle funzioni analitiche.

N.B. Nel dare la definizione di funzione analitica, e non ci sia-mo curati di essere matematicamente rigorosi. Lo saremo un po dipi nella terza parte. Qui si voleva solo mostrare quanto semplice enaturale sia la nozione di funzione analitica.


Problemi

Problema 1.1. Utilizzando lalgebra complessa ela formula di Eulero, dimostrare le seguenti identittrigonometriche:

(a) sin 3 = 4 sin3 + 3 sin (b) cos4 = 18 (cos 4 + 4 cos 2 + 3)

(c) tan 3 =3 tan tan3

1 3 tan2 Per il problema (c) utile far riferimento alla figurasotto, dove T tan .

1

T

O

z = 1 + iT

z2

z3

Problema 1.2. Sia z = reit, r < 1. Dimostrare che

1 |z|2|ei z|2 =

1 r21 2r cos(t ) + r2 = Re

(ei + zei z

).

Problema 1.3. Per determinare la formula risolu-tiva dellequazione cubica x3 = 3px + 2q, procederenel modo seguente:

(i) Fare la sostituzione x = s + t, e dedurre che xrisolve la cubica se st = p e s3 + t3 = 2q.

(ii) Eliminare t in queste due equazioni e ottenereunequazione quadratica in s3.

(iii) Risolvere la quadratica per ottenere i due pos-sibili valori di s3. Per simmetria, quali sono ipossibili valori di t3?

(iv) Dato che s3 + t3 = 2q, dedurre la formula (1.1).

Problema 1.4. Un fatto di base nella teoria deinumeri questo: se due interi possono essere espressicome somma di due quadrati, allora lo stesso vale per illoro prodotto. Sottinteso che ogni simbolo seguente

denoti un intero, questo significa che se M = a2 + b2

e N = c2 + d2, allora MN = p2 + q2. Dimostrarequesto fatto considerando |(a + ib)(c + id)|2.Problema 1.5. Siano A, B, C, D quattro punti sulcerchio unitario. Se A + B + C + D = 0, mostrareche i punti devono formare un rettangolo.Problema 1.6. Se z = ei 6= 1, allora

z 1 =(

i tan

2

)(z + 1) .

Dimostrare questo sia con il calcolo diretto sia geo-metricamente facendo un disegno (si veda la figurasotto).

O 1

i

z

z 1 z + 1a

b

[Si osservi che il triangolo [O, z + 1, z] isosceleperch i lati [O, z] e [z + 1, z] sono di lunghezza 1(essendo z sul cerchio unitario).]Problema 1.7. Poich se ne far gran uso, dimo-strate che la somma di un progressione geometricacomplessa

1+ z + z2 + . . . + zn1 = zn 1z 1 .

Quindi rispondete alle seguenti domande:

(a) In quale regione di C deve stare z affinch laserie infinita 1+ z + z2 + . . . converga?

(b) Se z sta in questa regione, a quale punto delpiano la serie infinita converge?

(c) Aiutandovi con un calcolatore, fate un disegnodella serie infinita nel caso z = (1/2)(1 + i) everificate che converge al punto previsto in (b).

Problema 1.8. Sia

S = cos + cos 3 + cos 5 + . . . + cos(2n 1) .

numeri complessi 19

Dimostrare cheS =

sin 2n2 sin

o, equivalentemente,

S =sin n cos n

sin Problema 1.9. Dimostrare che

1+ 2n

k=1

cos(k) =sin[(n + 12 )

]sin(2

)Problema 1.10. Servirsi di un disegno per mo-strare che se a e b sono dati numeri complessi, allora|z a| = |z b| lequazione di una retta.Problema 1.11. Si consideri lequazione

(z 1)10 = z10 .(a) Senza tentare di risolvere lequazione, mostrare

geometricamente che tutte e nove le soluzio-ni (perch non dieci?) devono stare sulla rettaverticale Re (z) = 1/2 (si veda il problema 1.10).

(b) Dividendo ambo i membri dellequazione perz10, lequazione assume la forma wn = 1, dovew = (z 1)/z. Risolvere quindi lequazioneiniziale.

Problema 1.12. Disegnare il cerchio |z 1| = 1.Trovare lequazione polare dellimmagine di questocerchio rispetto alla trasformazione z 7 z2 e darneuna rappresentazione grafica.

La curva cos ottenuta detta cardioide. Leffettodella trasformazione z 7 z2 sul cerchio unitariocentrato in (1, 0) (in nero) mostrato nella figurasotto.

Problema 1.13. Si consideri la famiglia ditrasformazioni complesse

Z 7 Ma(z) = z aaz 1(i) Dimostrare che Ma[Ma(z)] = z. In altra parole

Ma idempotente.

(ii) Dimostrare che Ma trasforma il cerchiounitario in se stesso.

(iii) Mostrare che se |a| < 1, allora Ma trasforma ildisco unitario in se stesso.

Aiuto: Usare |q|2 = qq per verificare che

|az 1|2 |z a|2 = (1 |a|2)(1 |z|2) .

Problema 1.14. Dimostrare che la famiglia ditrasformazioni

z 7 Ma,b,c,d(z) = az + bcz + d , ad bc 6= 0

trasforma linee e cerchi in linee e cerchi.Aiuto: |z|2 + (z + z) + i(z z) + = 0 lequa-zione di un cerchio o di una linea in C. Investigatef (z) = 1z e scrivete

az + bcz + d

=ac ad bc

c1

cz + d.

Problema 1.15. Convincersi di quanto riprodottoin figura 1.5, risolvendo numericamente la (1.5) conlalgoritmo di Eulero che, in linguaggio moderno, espresso dal seguente pseudo-codice:define V(Z)= I*Z

input t0=0 and Z0=1

input step size, h and the number of steps, n

for j from 1 to n do

V0 = I

Z1 = Z0 + h*V0

t1 = t0 + h

Print t1 and Z1

t0 = t1

Z0 = Z1

end


Soluzioni

Problema 1.1. (a) Bonus dellesempio 1.3.(c) 2 cos = ei + ei , da cui

24 cos4 =(

ei + ei)4

=(

ei4 + ei4)+ 4

(ei2 + ei2

)+ 6

= 2 cos 4 + 8 cos 2 + 6

= 18(cos 4 + 4 cos 2 + 3)

(d) T tan . Si rappresenti z = 1+ iT come nella figura a lato.

1

T

O

z = 1 + iT

z2

z3

Poich z ha angolo , z3 ha angolo 3. Quindi,

tan 3 =Im z3

Re z3

z3 = (1+ iT)3 = (1 3T2) + i(3T T3) = tan 3 = 3T2 T3

1 3T2 .

Problema 1.2.

Re(

ei + zei z

)= Re

((ei + z)(ei z)|ei z|2

)=

1 |z|2|ei z|2

Problema 1.3. x = s + t nella cubica x3 = 3px + 2q = 0:

= (s+ t)3 = 3p(s+ t)+ 2q = s3 + 3s2t+ 3st2 + t3 = 3ps+ 3pt+ 2q

Se {st = p

s3 + t3 = 2q

allora x risolve la cubica. Eliminando t dal sistema

s3 +p3

s3= 2q = (s3)2 2q(s3)+ p3 = 0 = s3 =

q +

q2 p3

qq2 p3Per simmetria

t3 =

q +

q2 p3

qq2 p3Dato che s3 + t3 = 2q, se s3 la radice di sopra, t3 quella di sotto.Quindi,

x = s + t = 3

q +

q2 p3 + 3

q

q2 p3

numeri complessi 21

Problema 1.4.

|(a + ib)(c + id)|2 = |(a + ib)|2| |(c + id)|2 = (a2 + b2)(c2 + d2) MN

ma si ha anche

MN = |(a+ ib)(c+ id)|2 = |(a+ ib)(c+ id)|2 = (ac+ bd)2 +(bc ad)2 = p2 + q2 .

Problema 1.5. Ci sono molti modi per risolvere questo problema.Si vuole mostrare che se i punti sono sul cerchio unitario e

A + B + C + D = 0 (1.18)

allora non si ha la configurazione a sinistra, ma quella a destra, dellafigura sotto:

A

B

C

D

B

D

C A

`

La condizione (1.18) pu essere riscritta come A + B = (C + D)e significa, geometricamente, che i vettori congiungenti loriginecon i punti medi delle corde AB e CD stanno sulla stessa retta ` (ivettori formano tra loro un angolo di 1800). Poich questi vettorisono sempre perpendicolari alle corde AB e CD (figura a sinistra),ne segue che, quando (1.18) soddisfatta, AB e CD sono parallelitra loro, perch ortogonali alla retta `. Il caso di un trapezio isoscelenon pu presentarsi perch (1.18) implica la stessa condizione perla congiungente le mediane di BC e DA, in quanto (1.18) pu essereanche riscritta come B + C = (A + D).

Naturalmente, possibile anche una soluzione completamentealgebrica. Qual pi facile?

Si osservi che, da un punto di vista fisico, (1.18) significa che ilcentro di massa dei punti (di massa uguale) nellorigine. E se ipunti stanno su un cerchio e inizialmente formano un rettangolo,come nella figura sopra a destra, non possono essere spostati lungoil cerchio e formare una configurazione come quella a sinistra, se sivuole mantenere il centro di massa nellorigine. Con questo vincolo, i


punti possono formare un altro rettangolo, ma non il quadrilateroirregolare della figura a sinistra.

Problema 1.6. Per una soluzione geometrica, si veda la figuraa lato. Si osservi che il triangolo [O, z + 1, z] isoscele perch i lati[O, z] e [z + 1, z] sono di lunghezza 1 (essendo z sul cerchio unita-rio). Allora per il teorema di una retta che interseca due parallele,langolo [1, O, z + 1] met dellangolo = arg(z). Anche il trian-golo [O, z 1, z] isoscele; ragionando sugli angoli si conclude chelangolo [z, O, z + 1 retto. Allora z 1 = i(z + 1) .

O 1

i

z

z 1 z + 1a

b

Si tratta adesso di determinare . Ragionando sui trangoli rettan-goli simili [z 1, O, z + 1] e [z + 1, b, O], si ha la proporzione

|z 1| : |z + 1| = |z + 1| sin(/2) : |z + 1| cos /2 ,

da cui |z 1|/|z + 1| = tan /2 . Dunque,

z 1 = i(

tan

2

)(z + 1) .

Il calcolo algebrico immediato

z 1z + 1

=ei 1ei + 1

=ei

2

(ei

2 ei 2

)ei

2

(ei

2 + ei 2

) = i tan 2

.

Problema 1.7.

sn 1+ z + z2 + . . . + zn1 , zsn = z + z3 + . . . + zn = sn 1+ zn

= 1+ z + z2 + . . . + zn1 = zn 1z 1

(a) |z| < 1(b)

1z 1 =

11 z

(c)

11 z

z=(1/2)(1+i)

= 1+ i

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

y

0.5 1 1.5

x

O

1 + i

numeri complessi 23

Problema 1.8.

S = cos + cos 3 + cos 5 + . . . + cos(2n 1)= Re

{ei + ei3 + ei5 + . . . + ei(2n1)

}= Re

{ei[

1+(

ei2)+(

ei2)2

+ . . . +(

ei2)n1]}

= Re{

ei[

ei2n 1ei2 1

]}= Re

{ei[

ein(ein ein)

ei(ei ei)

]}

= Re{

einsin nsin

}=

sin n cos nsin

=sin 2n2 sin

Problema 1.9.

1+ 2n

k=1

cos(k) = 1+n

k=1

[eik + eik

]= ein + . . . + ei + 1+ ei + . . . + ein

= ein[1+ . . . + ei(n1) + ein + ei(n+1) + . . . + ei2n

]= ein

[ei(2n+1) 1

ei 1

]

=ei(n+1) ein

ei 1

=ei

2

[ei(n+

12 ) ei(n+ 12 )

]ei 1

=ei(n+

12 ) ei(n+ 12 )ei

2 ei 2

=sin[(n + 12 )

]sin(2

)Problema 1.10. Luogo dei punti equidistanti da due punti dati.Vedere la figura a lato.

Problema 1.11. (a) Sulla retta perpendicolare al segmento tra (0, 0) e (1, 0) e pas-

sa a met (vedere problema precedente, lidentit deve vale ancheper i moduli). Nove radici perch z10 compare da ambo i membri elequazione si abbassa il grado.


(b) w10 = 1 = w1 = 1 , w2 = e2pii 110 , . . . , w10 = e2pii 910

zn =1

1 wn , n = 2, 3, . . . , 10 (N.B. w1 va esclusa) .

Problema 1.12. Leffetto della trasformazione z 7 z2 sul cerchio unitario centrato

in (1, 0) (in nero) mostrato nella figura a lato. Le equazioni dellacardioide (in rosso), sono

|z2 1| = 1Poich le equazioni parametriche del cerchio di partenza sono

z = 1+ eit

quelle della cardioide saranno

z = (1+ eit)2 = 1+ 2eit + ei2t

Raccongliendo eit a secondo membro,

z = eit(eit + 2+ eit) = 2eit(1+ cos t) ,

da cui segue immediatamente lequazione in coordinate polari:

r = 2(1+ cos ) .

Problema 1.13. (i) Sia

w = Ma(z) =z aaz 1

Lidempotenza segue dal calcolo algebrico elementare:

Ma(Ma(z)) = Ma(w) =w aaw 1 =

zaaz1 a

a zaaz1 1

=z a aaz + aaz aa az + 1 =

z(1 aa)1 aa

= z

(ii) Consideriamo il modulo di Ma(z)

|Ma(z)| = z aaz 1

= |z a||az 1|Per i quadrati di numeratore e denominatore si ha rispettivamente

|z a|2 = |z|2 az za + |a|2|az 1|2 = |a|2|z|2 az az + 1

Se |z| = 1, queste due quantit sono uguali e quindi |Ma(z)| = 1. Ilcerchio |z| = 1 trasformato in s stesso.

numeri complessi 25

(iii) Si verifica infine che se |a| < 1, Ma rappresenta il discounitario in s stesso. Sottraendo membro a membro i quadrati dinumeratore e denominatore, si ottiene

|z a|2|az 1|2 = (1|a|2)(|z|2 1) < 0 quando |z| < 1, |a| < 1 .

Quindi |z a| < |az 1|, da cui

|Ma(z)| = |z a||az 1| < 1 quando |z| < 1, |a| < 1 .

e quindi Ma(z) sta dentro il disco unitario.

Problema 1.14. Le trasformazioni

z 7 Ma,b,c,d(z) = az + bcz + d , ad bc 6= 0

svolgono un ruolo importante in geometria e analisi complessa esono dette trasformazioni di Mbius (che ne studi per primo le pro-priet). Nel seguito, per brevit, ometteremo di indicare i quattroparametri reali e scriveremo semplicemente M.

Per dimostrare che

z 7 az + bcz + d

, ad bc 6= 0

trasforma linee e cerchi in linee e cerchi, facciamo il calcolo per uncaso particolare e poi argomentiamo che fare questo suffciente.

Se c = 0 alloraz 7 (a/d)z + (b/d)

la moltiplicazione per un numero complesso,

z 7 w = (a/d)z ,

(una stiro-rotazione, secondo la terminologia introdotta nella sezio-ne 1.2) seguita da una traslazione

w 7 w + (b/d) .

quindi geometricamente chiaro che linee e cerchi vanno in linee ecerchi.

Se c 6= 0, scriviamoaz + bcz + d

=ac ad bc

c1

cz + d.

Questa trasformazione la composizione di 5 trasformazioni:

z(1)7 w1 = cz (2)7 w2 = w1 + d (3)7 w3 = 1w2

(4)7 w4 = ad bcc w3(5)7 w5 = w4 + ac


(1) stiro-rotazione

(2) traslazione

(3) inversione complessa

(4) stiro-rotazione

(5) traslazione

Le stiro-rotazioni e le traslazioni trasformano linee e cerchi in lineee cerchi, se mostriamo che lo stesso vale per linversione complessasiamo a posto.

Lequazione di un cerchio

x2 + y2 + 2x 2y + = 0

e per = 0 si ha lequazione di una linea retta. In notazione comples-sa lequazione diventa

|z|2 + (z + z) + i(z z) + = 0

Poniamo w = 1/z e sostituiamo

1|w|2 + (

1w+

1w) + i(

1w 1

w) + = 0

Moltiplichiamo per |w|2 = ww e otteniamo

+ (w + w) i(w w) + |w|2 = 0

che ancora lequazione di un cerchio (dove si spostato il centro?come variato il raggio?).

Facciamo il punto sulle trasformazioni di Mbius

M(z) =az + bcz + d

, ad bc 6= 0 .

Ciascuna di esse la composizioni delle seguenti trasformazioni:

(i) stiro-rotazione = moltiplicazione per il numero complesso a,Sa(z) = az

(ii) traslazione = somma del numero complesso b, Tb(z) = z + b

(iii) inversione complessa I(z) = 1/z

AlloraM = T(a/c) S[(adbc)/c] I Td Sc

dove, come di consueto, denota la composizione di funzioni.

numeri complessi 27

Nota La trasformazione

I : z 7 1z

usualmente detta inversione geometrica o trasformazione per raggivettori reciproci nel piano o semplicemente inversione. Come si vedefacilmente, anchessa trasforma linee e cerchi in linee e cerchi.

2Vettori e operatori

Indice2.1 Spazi vettoriali 292.2 Basi e dimensione 312.3 Matrici 332.4 Cambiamenti di base 352.5 Operatori lineari 362.6 Spazi dotati di prodotto scalare e norma 382.7 Basi ortonormali 402.8 Forme lineari e spazio duale 43

Complementi 46

2.1 Spazi vettoriali

Uno spazio vettoriale o lineare V una struttura algebrica che consistedi elementi, chiamati vettori, e di due operazioni: la somma di vettorie la moltiplicazione dei vettori per un numero. Questa struttura regolata dalle seguenti propriet per vettori a, b e c e numeri (scalari), K, dove K un campo numerico (usualmente, il campo deireali R o quello dei numeri complessi C).1 1 Se si considerasse un campo finito

come quello della nota a pagina 15, siavrebbe uno spazio con un numero fini-to di punti. Largomento affascinate,ma esula dai nostri scopi.

Leggi di somma

1. a + b = b + a (legge commutativa)

2. (a + b) + c = a + (b) + c) (legge associativa)

3. Se a e b sono due vettori, allora c uno e un solo vettore x per cuivale lequazione b + x = a. chiamato la differenza di a e b e sidenota con a b (Possibilit della sottrazione).Leggi di moltiplicazione per un numero


4. (+ )a = a + a (prima legge distributiva)

5. (a) = ()a (legge associativa)

6. 1a = a

7. (a + b) = a + b (seconda legge distributiva)

P

Q

P

Q

Figura 2.1: Spostamento di un corporigido rappresentato dal vettore

a = Q P = Q P

Si osservi che da 3 discende lesistenza del vettore nullo 000.

a

b

a+b

Figura 2.2: Somma di due spostamenti.

Gli spostamenti rigidi o traslazioni dellusuale spazio euclideotridimensionale E3 formano uno spazio vettoriale. Ad esempio, ilvettore a che descrive lo spostamento illustrato in figura 2.1 unatraslazione di tutti i punti dello spazio nella direzione a di un trattodi lunghezza a. Tale azione di solito si denota cos

Q = P + a , (2.1)

il che suggerisce Q P come un modo di rappresentare il vettoreche sposta il punto P nel punto Q. Che gli spostamenti rigidi di E3

formino uno spazio vettoriale sui reali reso evidente dalla figure amargine.

+ =

Figura 2.3: Moltiplicazione per 2 di unospostamento.

Inoltre, lo spazio euclideo n-dimensionale En in cui stato fissatoun punto O (origine) uno spazio vettoriale i cui elementi sono glispostamenti PO, dove P un punto arbitrario di En. Questo fattosegue immediatamente dallesempio sopra. Si osservi che En in quan-to tale (cio privo di un punto privilegiato) non uno spazio lineare,bens uno spazio affine.

a

b

a+b

b

a

b+a

Figura 2.4: La regola del parallelogram-ma per sommare i vettori non altroche unespressione della commutativitdegli spostamenti rigidi.

a

b

b

a bFigura 2.5: Differenza di duespostamenti rigidi.

Lo spazio euclideo n-dimensionale un esempio di spazio affine.Uno spazio A detto affine se:

1. Ogni coppia (ordinata) di punti P e Q in A determina un vettorea, simbolicamente espresso come a = Q P (oppure PQ).

2. Se P un qualunque punto in A e a un qualunque vettore, esisteuno e un solo punto Q in A tale che Q = P + a.

3. Se Q P = a e RQ = b, allora R P = a + b.(Si osservi da queste propriet segue che Q P = 000 se e sole se ipunti Q e P coincidono.) Le nozioni geometriche usuali, come rettee piani, sono derivate da questo sistema. La geometria affine pigenerale di quella euclidea: come nella geometria euclidea, il pa-rallelismo tra rette una nozione assoluta e si possono confrontarele lunghezze dei segmenti lungo una retta o lungo rette parallele,ma nella geometria affine non definita alcuna nozione di distanzatra punti o di angolo tra direzioni, e non possibile confrontare lelunghezze di vettori lungo rette non parallele.

Come si pu verificare facilmente, i seguenti insiemi sono esempidi spazi lineari.

vettori e operatori 31

Esempio 2.1. Sia K un campo numerico (ad esempio R o C). Lin-sieme di tutte le n-nuple di elementi di K, con laddizione e la mol-

Giuseppe Peano (18581932) statoun matematico e logico italiano. Peanoforn il primo esempio di una curvache riempie una superficie (la curva diPeano, uno dei primi esempi di fratta-le). Diede una definizione assiomaticadei numeri naturali, i famosi assiomidi Peano, i quali vennero ripresi daRussell e Whitehead nei loro PrincipiaMatematica. Uno dei grandi meritidellopera di Peano sta nella ricercadella chiarezza e della semplicit.La prima definizione moderna e precisa dispazio vettoriale fu introdotta da Peano nel1888.

tiplicazione per un numero definite da (a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn) =(a1 + b1, . . . , an + bn) e (a1, . . . , an) = (a1, . . . , an), dove ai, bie K uno spazio vettoriale su K. Questo spazio denotatousualmente con Kn. Il vettore nullo in Kn (0, . . . , 0).

Esempio 2.2. Linsieme Kmn di tutte le matrici (Si veda la sezio-ne 2.3) m n con elementi di un campo K arbitrario uno spaziovettoriale su K rispetto alle operazioni di addizione di matrici emoltiplicazione per un numero in K.

Esempio 2.3. Linsieme di tutti i polinomi a0 + a1t + a2t2 + . . . antn,con coefficienti ai in un campo K, uno spazio vettoriale su K rispet-to alle usuali operazioni di addizione di polinomi e di moltiplicazio-ne per un numero in K.

Esercizio 2.1. Sia K un campo arbitrario, e X un qualsiasi insiemenon vuoto. Dimostrare che linsieme V di tutte le funzioni da X in K uno spazio lineare.

Soluzione di 2.1. La somma di duequalsiasi funzioni f , g V la funzionef + g V definita da

( f + g)(x) = f (x) + g(x)

e il prodotto di un numero K peruna funzione f V la funzione fdefinita da

( f )(x) = f (x)

Allora V , rispetto a tali operazioni, uno spazio vettoriale su K. Il vettorenullo la funzione 000 in V che trasformaogni x X in 0 K. Inoltre, per ognifunzione f X, f quella funzione inV per la quale ( f f )(x) = f (x), perogni x X.

2.2 Basi e dimensione

Passiamo adesso in rassegna tre definizioni molto importanti riguar-danti un insieme di n vettori v1, . . . vn in un generico spazio lineare Vsu K.

Linsieme dei vettori1v1 + . . . + nvn ,

al variare di 1, . . . , n K, si chiama span dei vettoriv1, . . . vn e si denota con span(v1, . . . vn).

(2.2)

Si dimostra facilmente che lo span di un dato insieme di vettori uno spazio vettoriale. Tale spazio anche detto lo spazio generato daldato insieme di vettori ed un sottospazio di V . Per esempio, duevettori e1, e2 V generano uno spazio vettoriale bidimensionale. Siveda la figura a margine. In R3 i vettori

i = (1, 0, 0) , j = (0, 1, 0) , k = (0, 0, 1)

generano tutto lo spazio R3. Lo span di i e j il piano dei vettorixi + yj, dove x, y R.

I vettori v1, . . . vn sono detti linearmente indipendenti sela sola soluzione dellequazione

1v1 + . . . + nvn = 000 1 = . . . = n = 0. Altrimenti, i vettori sono dettilinearmente dipendenti.

(2.3)


Per esempio, in R3 i vettori i, j e k sono linearmente indipendenti,infatti

xi + yj + zk = 000 , cio (x, y, z) = (0, 0, 0)

se e solo se x = y = z = 0. I vettori i i, j e e = i + j non sonolinearmente indipendenti, infatti lequazione

xi + yj + we = 000 , cio (x + w, y + w, 0) = (0, 0, 0)

e1

e2

r

xe1

ye2

O

P

Figura 2.6: Piano definito dal punto O eda due vettori e1 e e2.

oltre alla soluzione nulla ha anche la soluzione x = y = w.

Soluzione di 2.2. La pi generalecombinazione lineare degli elementidellinsieme

y = a1 + a2x + a3(2+ x) + a4x2 .

Ora y = 0 per tutti gli x non implicaa1 = a2 = a3 = a4 = 0 perch sescegliamo a1 + 2a2 = 0, a2 + a3 = 0e a4 = 0, allora y = 0 (ad esempio,la combinazione a1 = 1, a3 = 1/2,a2 = 1/2 e a4 = 0). Perci linsieme non linearmente indipendente.

Si dice che i vettori e1, . . . en sono una base in V se sonolinearmente indipendenti e span(e1, . . . en) = V . Ilnumero n detto dimensione di V e si scrive dimV = n.

(2.4)

Una base e1, . . . en sar denotata compattamente e = (e1, . . . en).

Soluzione di 2.4. Linsieme unospazio vettoriale in quanto la sommadi funzioni continue continua e lafunzione ottenuta moltiplicando perun numero una funzione continua continua. Le funzioni x, x2, . . ., xn sonotutte elementi di C[a, b] e formano uninsieme linearmente indipendente pern arbitrariamente grande. Ne segue cheC[a, b] non pu essere di dimensionefinita.

Esercizio 2.2. Nello spazio sui reali dei polinomi, linsieme {1, x, 2+x, x2}, dove x una variabile reale, linearmente indipendente?Esercizio 2.3. Linsieme C22 delle matrici 2 2 con elementi com-plessi uno spazio vettoriale sui complessi di dimensione 4 (primadi svolgere lesercizio, si veda la sezione 2.3). Per stabilire questo simostri che le matrici

E1 =

[1 00 0

]E2 =

[0 10 0

]E3 =

[0 01 0

]E4 =

[0 00 1

]

sono linearmente indipendenti. Queste matrici costituiscono la basenaturale in C22.

Dimostrazione di (2.5). Per la (2.6),al vettore v corrisponde il vettore(v1, . . . , vn) Kn. Viceversa, sceltauna base e in V , ad un qualunquevettore (u1, . . . , un) Kn si associail vettore u = i uiei in V . Come siverifica facilmente, tale associazionestabilisce una corrispondenza tra V eKn che preserva la struttura di spaziovettoriale, nel senso che se v = i vieicorrisponde a (v1, . . . , vn) e u = i uieicorrisponde a (u1, . . . , un), allora av + u corrisponde a (v1, . . . , vn) +(u1, . . . , un) = (v1 + u1, . . . , vn + un) ev corrisponde a (v1, . . . , vn).

Esercizio 2.4. Con riferimento allesercizio 2.1, sia K = R e X linter-vallo chiuso [a, b] sulla retta reale (a < b). Si consideri linsieme C[a, b]delle funzioni continue su [a, b]. Mostrare che questo insieme unospazio lineare e che la sua dimensione infinita.

I vettori di uno spazio lineare di dimensione finita possono esserecoordinatizzati. Vale infatti il seguente teorema:

Ogni spazio lineare V su K di dimensione n isomorfoa Kn.

(2.5)

La dimostrazione, riportata a margine, segue facilmente dallosser-vazione che, fissata una base e in V , ogni vettore v V pu essereespresso come

v =i

viei . (2.6)

I numeri v1, . . . , vn in (2.6) sono detti le coordinate di v rispetto allabase e. Quando si vuole mettere in evidenza che le coordinate delvettore dipendono dalla base, si scrive v = i vei ei.


2.3 Matrici

Un insieme ordinato rettangolare di numeri di un campo K dellaforma

James Sylvester (1814 1897) stato unmatematico inglese. Diede contributifondamentali alla teoria delle matrici edegli invarianti, alla teoria dei numerie al calcolo combinatorio. Nel 1848introdusse il termine matrice.

A =

a11 a12 a13 . . . a1na21 a22 a23 . . . a2n. . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 am3 . . . amn

detto matrice con m righe e n colonne. Viene anche indicata con[aij], i = 1, . . . n, j = 1, . . . m, o semplicemente con [aij]. I numeri aijsono chiamati elementi della matrice e talvolta si scrive aij = [A]ij.N. B. Siamo interessati alle matrici n n, dette quadrate. Nel segui-to, salvo avviso contrario, con matrice intenderemo una matricequadrata. Assumeremo inoltre che gli elementi della matrice sianonumeri complessi.

Per le matrici definita la somma in modo ovvio, [aij] + [bij] =[aij + bij], e il prodotto per una scalare, [aij] = [aij]. Dunque lematrici formano uno spazio vettoriale. Tra matrici A e B definito unprodotto, detto righe per colonne, [AB]ij = k[A]ik[B]kj. Dunque lematrici formano unalgebra con le due operazioni di somma e prodot-to. La matrice con tutti zeri lelemento neutro rispetto alla somma,mentre la matrice con tutti 1 lungo la diagonale e gli altri elementinulli la matrice identit I, ed lelemento neutro rispetto al prodottodi matrici. Si scrive [I]ij = ij, dove ij la delta di Kronecker ( ij = 1se i = j, ij = 0, se i 6= j). Si osservi che a differenza del prodottotra numeri, in generale il prodotto tra matrici non commutativo,AB 6= BA.

La trasposta di una matrice A denotata At e i suoi elementi sonoottenuti trasponendo le righe e le colonne di A, [At]ij = [A]ji. Unimportante propriet delloperazione di trasposizione che (AB)t =Bt At. Laggiunta ( o trasposta coniugata) di una matrice A, oltrealla trasposizione, richiede che si prenda il complesso coniugato:[A]ij = [Aji]. Anche in questo caso si ha (AB) = BA Una matrice detta hermitiana o auto-aggiunta se A = A e anti-hermitiana seA = A.

Una matrice con una colonna, v =

v1. . .vn

chiamata vettore co-lonna e una matrice con una riga vt =

[v1 . . . vn

] chiamata

vettore riga. I vettori riga e i vettori colonna si possono mettere incorrispondenza biunivoca con i vettori di Cn nel modo ovvio; conabuso di terminologia, diremo che i vettori riga o i vettori colonnasono elementi di Cn. In questo senso, una matrice agisce in modonaturale su Cn trasformando un vettore in Cn in un altro vettore


mediante il prodotto righe per colonne. Se v un vettore colon-na, allora Av un altro vettore colonna, con componente i-esimak[A]ikvk. Equivalentemente, A agisce sui vettori riga, vt A, pro-ducendo il vettore riga con componente i-esima k vk[A]ki. PoichA(v + u) = Av + Au , v, u Cn , , C (analogamente perlazione sui vettori riga), A realizza una trasformazione lineare su C.2 2 Le trasformazioni lineari e gli

operatori verrano trattati nellasezione 2.5.

Una qualunque matrice A pu essere espressa nella forma

A =[a1 . . . an

](2.7)

dove ai sono vettori colonna con componenti [A]ji, j = 1, . . . n.3 Il 3 Equivalentemente, pu essere espressacome

A =

a1. . .an

dove ai sono vettori riga concomponenti [A]ij, j = 1, . . . n.

rango di una matrice il numero massimo di vettori colonna ai, o divettori riga ai, linearmente indipendenti (si pu dimostrare che i duenumeri coincidono).

Una matrice S detta invertibile se esiste una matrice, denotata S1

e chiamata inversa di S, tale che SS1 = S1S = I. Si pu dimostrareche una matrice invertibile se e solo se il suo rango pari a n, ladimensione di Cn. Dunque, scritta S nella forma (2.7),

S =[v1 . . . vn

](2.8)

i vettori v1, . . . vn sono linearmente indipendenti e quindi sono unabase in Cn. Se un esiste un un vettore v diverso dal vettore nullo taleche M(v) = 0, la matrice M detta singolare. Questo non pu maiaccadere per una matrice invertibile, che quindi anche detta nonsingolare o regolare. Per linverso di un prodotto di matrici vale laregola (AB)1 = B1 A1 (esercizio: dimostrare questa regola).

Una matrice B = S1 AS, per una qualche matrice S invertibi-le, detta simile a A; equivalentemente, si dice che B ottenuta daA mediante una trasformazione di similitudine. Particolarmente im-portanti sono le propriet di una matrice che sono invarianti pertrasformazioni di similitudine, tra queste il suo determinante e la suatraccia.

Ricordiamo che il determinante di una matrice A = [aij] cosdefinito Lo studio dellalgebra lineare e delle

matrici emerse dallo studio dei deter-minanti, che erano usati per risolveresistemi di equazioni lineari. I deter-minanti erano gi usati da Leibniz(16461716) nel 1693 e successivamentefurono usati nel 1750 da Cramer (17041752) per risolvere sistemi lineari. Inseguito, Gauss (17771855) svilupp lateoria della soluzione dei sistemi linea-ri usando il metodo di eliminazione,detto di Gauss.

det(A) =

sgn()a1(1) a2(2) an(n) , (2.9)

dove la somma su tutte le permutazioni dellinsieme {1, 2, . . . , n}e sgn() il segno dell permutazione (che vale 1 se la permutazione pari e 1 se essa dispari). Dalla definizione sopra segue che

det(AB) = det A det B . (2.10)

La traccia Tr A di una matrice A la somma dei suoi elementi diago-nali,

Tr A =k

Akk . (2.11)


La traccia una funzione lineare sulle matrici e gode della propriet Significato geometrico deldeterminante

La definizione algebrica (2.9) abba-stanza oscura e nasconde il significatogeometrico del determinante, che ilseguente.

Sia A una matrice scritta nella forma(2.7), A =

[a1 . . . an

], allora

det(A) il volume (o area, per n = 2)(con segno) del parallelepidedo conspigoli di base a1, . . . an. Per esempio,

per n = 2, sia A =[

a cb d

], allora

det(A) =a cb d

= ad bc larea delparalleogramma in figura:

Per la dimostrazione, si veda la figura1.4. Si osservi che il segno quello delprodotto vettore, cio quello fissatodalla regola della mano destra.

Similmente, per n = 3 eA =

[r1 r2 r3

], det(A) il vo-

lume del parallelepipedo mostrato infigura:

Linterpretazione geometrica rendemolto pi trasparenti le propriet deldeterminante, ad esempio la (2.13) (sela matrice singolare i vettori a1, . . . annon sono linearmente indipendenti e senon lo sono, almeno pi di due di essisono complanari e quindi il volume nullo). Il segno del determinante dipen-de dallorientamento del parallepipedo:se concorde con quella dei vettoridi base e1, . . . en, il segno positivo,altrimenti negativo.

Tr(AB) = Tr(BA) . (2.12)

Dalle (2.10) e (2.12) segue facilmente che determinante e tracciasono invarianti per trasformazioni di similitudine. Infatti, essen-do det(AB) = det A det B = det(BA), si ha che det(S1 AS) =det(ASS1) = det A, essendo SS1 = I, la matrice identit. Quindiil determinante invariante per trasformazioni di similitudine. Per latraccia si procede in modo analogo. Osserviamo che

Il determinante di una matrice nullo se e solo se lamatrice singolare.

(2.13)

2.4 Cambiamenti di base

Siano e e f due basi in V . Allora ciascun elemento della base f puessere espresso come combinazione lineare degli elementi della basee,

fi =j

Sjiej , i = 1, . . . n . (2.14)

Risulta cos definita la matrice di cambiamento di base S con elemen-ti di matrice Sij. Sia

fei =

S1i. . .Sni

il vettore colonna i cui elementi sono le componenti di fi rispetto allabase e. Allora

S =[fe1 . . . f

en

](2.15)

La matrice S invertibile, essendo le due basi formate da vettorilinearmente indipendenti che generano tutto lo spazio. Allora sipu tornare indietro con la matrice S1 e riottenere la base e dallabase f,

ei =j[S1]jifj , i = 1, . . . n . (2.16)

Poich un qualunque vettore v pu essere espresso in termini dientrambe le basi, deve valere luguaglianza v = i vei ei = i v

fi fi . Ma

i

vfi fi =i

vfi j

Sjiej =j

vfji

Sijei =i

(

jSijvfj

)ei .

Quindi,vei =

jSijvfj (2.17)


come si trasformano le coordinate di un vettore in conseguenza delcambiamento di base (2.14). Si osservi che sebbene S sia chiamata la Significato geometrico del de-

terminante (continua dalla paginaprecedente)

Una formula molto utile che collegadeterminante e traccia

det(I + eA) = 1+ etr(A) +O(e2)

(2.18)Il significato fisico di questa formula in termini di una deformazione elasticalineare I + eA applicata ad un corpo,come mostrato in figura

Allora etr(A) una misura dellavariazione percentuale di volume inconseguenza della deformazione.

matrice di transizione dalla vecchia base e alla nuova base f, il suoeffetto di trasformare le coordinate di un vettore nella nuova basenelle coordinate del vettore relative alla vecchia base.

Esempio 2.4. Si consideri il cambiamento in R2 dalla base e = (i, j)alla base f = (i, j) ruotata rispetto alla prima di un angolo in sensoantiorario, i = cos i + sin j, j = sin i + cos j. Allora

S =

[cos sin sin cos

]e S1 =

[cos sin sin cos

]

Per un vettore v = xi + yj = xi + yj si ha[xy

]= S

[x

y

]=

[cos sin sin cos

] [x

y

]=

[cos x sin ysin x + cos y

]e [

x

y

]= S1

[xy

]=

[cos sin sin cos

] [xy

]=

[cos x + sin y sin x + cos y

]

Esercizio 2.5. Un altro esempio di cambiamento di base rilevante perla fisica quello dalle matrici Ei dellesercizio 2.3 alle matrici, dette diPauli,

0 =

[1 00 1

]1 =

[0 11 0

]2 =

[0 ii 0

]3 =

[1 00 1

]

Usando questa base, mostrare che le matrici hermitiane 2 2 forma-no uno spazio vettoriale reale di dimensione 4.

2.5 Operatori lineari

Siano V e U due spazi vettoriali sullo stesso campo K. Una funzioneA : V U detta trasformazione lineare se

A (u + v) = A (v) + A (u) u, v V , , K (2.19)

Se U coincide con V , la trasformazione lineare A : V V usual-mente detta operatore lineare. Nel seguito ci occuperemo di operatorilineari e assumeremo che V sia di dimensione finita n.

La prima importante propriet degli operatori lineari la seguen-te.

Un operatore lineare A completamente definito dallasua azione sugli elementi di una base.

(2.20)


Infatti, se v = i viei, dove e = (e1, . . . en) una base in V , per Nucleo e immagine di unatrasformazione lineare

A : V ULimmagine

Im A = {u U : A (v) = u per v V}Il nucleo

Ker A = {v V : A (v) = 000}Immagine e nucleo sono sottospazilineari di U e V rispettivamente.

Se U e V sono di dimensione finita,vale limportante teorema

dim V = dim (Ker A ) + dim (Im A ) .

linearit si ha

u = A (v) = A

(

iviei

)=

iviA (ei) , (2.21)

per cui, assegnati i vettori ai = A (ei), lazione di A risulta fissatasu tutto lo spazio. Per linearit, questi vettori possono essere espressicome combinazione lineare dei vettori della base,

A (ej) =i

Aeijei . (2.22)

Per cui loperatore lineare risulta completamente determinato dallamatrice Ae = (Aeij). Lapice e (che quando non c ambiguitverr omesso) sta a ricordare che questa matrice dipende dalla base:essa rappresenta loperatore lineare A nella base e. Passando allecomponenti dei vettori, dalle (2.21) e (2.22) segue che

uei =j

Aeijvej . (2.23)

Se si cambia base, loperatore rappresentato da una differen-te matrice. Ad esempio, nella base f = j Sjiej loperatore A rappresentato dalla matrice Af definita dalla relazione

A (fi) =j

Afjifj .

Esercizio 2.6. Dimostrare che

Af = S1 AeS (2.24)

Ricordando che due matrici A e B sono simili se esiste una matriceinvertibile S tale che A = S1BS, allora:

Due matrici rappresentano lo stesso operatore se e solose sono simili.

(2.25)

Poich usualmente un operatore specificato da una matrice inuna data base, il criterio (2.25) importante per caratterizzare le suepropriet intrinseche, cio quelle propriet che sono invarianti percambiamenti di base. Per quanto visto alla fine della sezione 2.3,tra queste ci sono il determinante det(A ), definito come il determi-nante di una rappresentazione matriciale delloperatore A e la suatraccia Tr(A ), definita come la traccia di una sua rappresentazionematriciale.

Sottolineiamo infine che, fissata una base in V , la corrispondenzatra operatori e matrici una corrispondenza biunivoca di algebre:A +B corrisponde a A + B, A B (dove denota la composizionedi funzioni) corrisponde a AB e A 1 (se esiste) corrisponde a A1.


2.6 Spazi dotati di prodotto scalare e norma

Sia V lo spazio lineare Cn con base naturale e1 = (1, 0, . . . , 0), . . .,en = (0, . . . , 0, 1). Considerati due vettori qualunque in V , u =k=1 ukek e v = k=1 vkek, si definisce il loro prodotto scalare come N. B. Nella definizione del prodotto

scalare (2.26) convenzionale richie-dere la linearit rispetto al primo o alsecondo argomento. Nella letteraturamatematica, la linearit rispetto alprimo argomento. I fisici tendono aseguire la convenzione opposta e quinon faremo eccezione.

il numerou v =

kukvk u , v . (2.26)

La norma, o lunghezza di un vettore v definita come

||v|| =v , v =

k

vkvk . (2.27)

Queste definizioni vanno intese come le naturali generalizzazioni del-le familiari nozioni euclidee in R3. Lo spazio Cn, dotato del prodottoscalare (2.26), lo spazio euclideo complesso n-dimensionale.4 Analo- 4 A rigore, lo spazio euclideo lo spazio

affine associato, e quindi privo di unpunto privilegiato. I vettori in Cn sonole differenze di punti in questo spazioe la struttura di prodotto scalare definita per queste differenze.

gamente, Rn, con il prodotto scalare (2.26), lo spazio euclideo realen-dimensionale.

La struttura euclidea pi rigida della struttura di Cn o Rn , quan-do questi sono intesi solo come spazi lineari, nel senso che la classedi trasformazioni che la preserva, pi ristretta della classe di tuttele trasformazioni lineari invertibili (che sono quelle che preservanola struttura di spazio lineare). La struttura di uno spazio di prodottoscalare V lasciata invariata dalle trasformazioni invertibili di V chenon cambiano il prodotto scalare tra vettori, cio dalle trasformazionirappresentate da matrici invertibili U tali che

Uu , Uv = u , v u, v V (2.28)Una matrice U che soddisfa la (3.3) rappresenta una rotazione dello

spazio ed detta matrice ortogonale o unitaria. Talvolta si riserva ilnome di rotazione al caso di spazi reali, mentre per spazi complessi siparla di trasformazione unitaria o di operatore unitario. Una matriceortogonale deve essere tale che5 5 Per caratterizzare una matrice di

rotazione, sviluppiamo il prodottoscalare a primo membro nella (2.28),

Uu , Uv =i

(k

Uikvk

)(

jUijvj

)

=k

j

(

iUikUij

)ukvj .

Poich questo deve essere uguale ai uivi , si deve avere (ricordando ladefinizione di matrice aggiunta)

i

UikUiji

UkiUij = kj cio UU = I .

Ma U invertibile e dunque U1U =UU1, quindi la (2.29)

U1 = U . (2.29)

Nello spazio euclideo la nozione di similitudine o di invarianzarispetto ad una trasformazione di similitudine va ristretta alle rota-zioni o trasformazione unitarie. Sono queste che lasciano invariatala struttura euclidea e quindi tutte le propriet intrinseche che nondipendono dalla scelta di una base. Si osservi che la nozione di ma-trice autoaggiunta non in generale invariante per trasformazioni disimilitudine, ma invariante per rotazioni. Se A = A?, allora anche(U1 AU) lo ; infatti (U1 AU) = UA(U1) = U1 AU. Lostesso vale per la nozione di matrice ortogonale.


Esercizio 2.7. Dimostrare che il prodotto scalare (2.26) e la norma(2.27) soddisfano rispettivamente le propriet

(i) x , y = x , y (simmetria coniugata)

(ii) u , x + y = u , x + u , y (linearit nel secondoargomento)

(iii) x , x 0 (= 0 se e solo se x = 0) (positivit)

(a) ||x|| > 0 se x 6= 0

(b) ||x|| = || ||x||

(c) ||x + y|| ||x|| + ||y|| (disuguaglianza triangolare)

Spazi di prodotto scalare Si dice che uno spazio lineare V uno spazio dotato di prodotto scalare se su di esso definita una funzio-ne , che ha le stesse propriet del prodotto scalare in uno spazioeuclideo (esercizio 2.7). N.B. La definizione (2.30) valida per

spazi a dimensione finita o infinita.

Sia V uno spazio lineare reale o complesso. Un pro-dotto scalare unoperazione tra due elementi di V ilcui risultato un numero (reale o complesso). Que-sto numero denotato con x , y e ha le seguentipropriet:

(i) x , y = x , y (simmetria coniugata)(ii) u , x + y = u , x + u , y (linearit nel

secondo argomento)

(iii) x , x 0 (= 0 se e solo se x = 0) (positivit)

(2.30)

Si osservi che (i) e (ii) implicano x + y , u = x , u+ y , u.Il prodotto scalare dunque una forma definita su coppie di vettoriche lineare in un argomento e antilineare nellaltro. Una forma diquesto tipo anche detta hermitiana o sesquilineare. I prodotti scalariforniscono una ricca sorgente di propriet. Per esempio, 000 , x = 0,per ogni vettore x, o x , y = ||2 x , y, per ogni coppia di vettorix e y.

Spazi normati Si dice che uno spazio lineare normato se su diesso definita una funzione |||| che ha le stesse propriet dellanorma euclidea (esercizio 2.7).


Sia V uno spazio reale o complesso. Una norma su V una funzione che assegna ad ogni elemento di V unnumero reale positivo. Questo numero denotato con||x|| e ha le seguenti propriet:(a) ||x|| > 0 se x 6= 0(b) ||x|| = || ||x||(c) ||x + y|| ||x|| + ||y|| (disuguaglianza triangola-

re)

(2.31)

N.B. La definizione (2.31) valida perspazi a dimensione finita o infinita.Logicamente, la nozione di norma indipendente da quella di

prodotto scalare, ma, in molti casi, come per lo spazio euclideo, cun collegamento tra le due nozioni. In uno spazio di prodotto scalare sempre possibile definire la seguente norma:

||x|| =x , x (2.32)

Per questa norma vale unimportante disuguaglianza, detta diCauchy- Schwartz, la cui dimostrazione riportata a margine.

Dimostrazione di (2.33). Se x , y = 0,la disuguaglianza banalmen-te verificata. Assumiamo allorax , y = z 6= 0, dove z in genera-le complesso. Incominciamo con lovviadisuguaglianza

||x zy|| 0 ,dove un qualunque numero reale.Ora,

0 ||x zy|| 2 = x zy , x zy= x , x z x , y z y , x+ |z|22 y , y

= ||x|| 2 2|z|2+ |z|22 ||y|| 2

Essendo qualunque, la disu-guaglianza vale in particolare per = 1/ ||y|| 2,

0 ||x|| 2 2 |z|2

||y|| 2 +|z|2||y|| 2

= ||x|| 2 |z|2

||y|| 2 ,

ovvero

0 ||x|| 2 ||y|| 2 |z|2 .Ricordando che z = x , y, si ottiene

| x , y |2 ||x|| 2 ||y|| 2 ,da cui, prendendo la radice quadratadi ambo i membri, si perviene alladisuguaglianza richiesta.

Disuguaglianza di Cauchy- Schwartz. Sia V uno spazioreale o complesso con prodotto scalare. Allora per ognix, y V si ha

| x , y | ||x|| ||y||(2.33)

Esercizio 2.8. Verificare che che (2.32) davvero una norma, cio chesono soddisfatte le propriet (2.31).

Esercizio 2.9. Si consideri lo spazio vettoriale Cnn delle matricin n. Mostrare che

A , B = Tr(AB) , un prodotto scalare in questo spazio e che la la disuguaglianza diCauchy- Schwartz soddisfatta.

2.7 Basi ortonormali

Una propriet importante associata allo spazio euclideo lortogona-lit. Questa idea porta alla seguente coppia di definizioni.

Siano x e y vettori in uno spazio lineare V conprodotto scalare. Se x , y = 0 i vettori x e y sonodetti ortogonali.

(2.34)


Siano e1, e2, . . . vettori in uno spazio lineare V conprodotto scalare e sia

ei , ej

= 0 per i 6= j. Allora

{e1, e2, . . .} detto insieme (o sistema) ortogonale divettori.

(2.35)

Inoltre, un vettore v in V tale che ||v|| = 1 detto unitario e se unSoluzione di 2.8. Che la norma cosdefinita assuma valori reali positivi,segue immediatamente dal fatto che una radice quadrata. Vediamo le altrepropriet:

(a) ||x|| > 0 se x 6= 0 segue dallapositivit del prodotto scalare(propriet (iii) in (2.30)).

(b) ||x|| = x , x =||2 x , x = ||x , x =|| ||x|| .

(c) La disuguaglianza triangolarerichiede un pochino di lavoro inpi. Consideriamo ||x + y|| 2.Questo uguale a

x + y , x + y= x , x+ x , y+ y , x+ y , y= ||x|| 2 + x , y+ x , y+ ||y|| 2

Max , y+ x , y = 2 |Re x , y| 2 |x , y| 2 ||x|| ||y|| ,

dove nellultimo passaggio si usata la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Quindi

||x + y|| 2 = ||x|| 2 + 2 Re x , y+ ||y|| 2

||x|| 2 + 2 ||x|| ||y|| + ||y|| 2

= ( ||x|| + ||y|| )2

Quindi ||x + y|| ||x|| + ||y|| ,il che stabilisce la disuguaglianzatriangolare.

Risulta cos dimostrato che ||x|| =x , x una norma.

insieme ortogonale formato da vettori unitari, linsieme chiamatoortonormale. Per un insieme ortonormale, si ha dunque

ei , ej= ij . (2.36)

In uno spazio di prodotto scalare definita la nozione di proiezio-ne ortogonale di un vettore su un altro: se u e v sono vettori allorau , v / ||u|| la proiezione di v su u e

Puv =

u||u|| , v

u||u|| =

u , v||u|| 2 , (2.37)

per ogni v in V , definisce loperatore Pu di proiezione ortogonale su u.Si osservi che Pu un operatore lineare, cio

Pu(x + y) = Pux + Puy

per ogni , K e x, y V . Si ossservi limportanza dellordinedi u e v nella (2.37): se si fosse definita la proiezione di v su u comev , u/ ||u|| 2 , loperatore di proiezione non sarebbe stato lineare,ma antilineare. Si osservi inoltre che tutte le definizioni date valgonoanche per spazi di dimensione infinita

Per stabilire che un insieme di vettori linearmente indipen-dente, in generale occorre mostrare che la condizione (2.3) veri-ficata. Tuttavia, se linsieme ortogonale, lindipendenza lineare automaticamente soddisfatta. Vale infatti il seguente teorema.

Un insieme ortogonale {e1, . . . , en} nello spazio lineareV linearmente indipendente. (2.38)

La seguente definizione segue naturalmente.

Dimostrazione di (2.38). Supponiamoche

1e1 + . . . + nen = 000 (2.39)

Prendiamo il prodotto scalare rispetto aei , i = 1, . . . , n di entrambi i membri

vi , 1e1 + . . . + nen = i = ei , 000 = 0 .Quindi la sola soluzione dellequazione(2.39) 1 = . . . = n = 0 e dunquelinsieme linearmente indipendente.

In uno spazio lineare con prodotto scalare un insie-me ortogonale che anche una base chiamato baseortonormale.

(2.40)

Per spazi di dimensione elevata non per niente ovvio come ge-nerare una base ortonormale. Un modo di partire da una base qua-lunque e di usare il metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt(si veda sotto). Sia come sia, per uno spazio V di dimensione finita,concettualmente tutto molto semplice: se {e1, . . . , en} una base in


V , allora ogni vettore v V pu essere espresso come combinazionelineare dei vettori della base nella forma

v =n

k=1

ckek (2.41)

Questo segue immediatamente dallindipendenza lineare dei vettoridella base e dal fatto che generano V . Inoltre, se {e1, . . . , en} unabase ortonormale le coordinate ck si determinano prendendo il pro-dotto scalare dei vettori della base con il vettore v nel modo seguente:

ek , v =

ek ,n

i=1

ciei

=

n

i=1

ci ek , ei =n

i=1

ciik = ck (2.42)

Ricordando la (2.37), si ha che ek , v ek = Pek (v) la proiezioneortogonale di v su ek, per cui la condizione di ortonormalit puessere succintamente espressa come

n

k=1Pek = I ,

dove I loperatore identit in V . Da questa relazione segue imme-diatamente la (2.41):

v = I v =n

k=1Pek v =

n

k=1ek , v ek

Una conseguenza immediata delle (2.41) e (2.42), il teorema diPitagora:

n

k=1|ck|2 = ||v|| 2 , (2.43)

da cui segue che:

Tutti gli spazi lineari complessi (reali) di dimensione ncon prodotto scalare sono unitariamente isomorfi allospazio euclideo complesso (reale).

(2.44)

Basta infatti scrivere un qualunque v V in termini delle suecoordinate, v = (c1, . . . , cn) e ricordare il teorema (2.5). Equivalenzaunitaria significa che la corrispondenza preserva la norma, ma questo proprio cio che asserisce il teorema di Pitagora (2.43). Se si cerca digeneralizzare queste propriet al caso n = , si presenta il problemadella convergenza della serie (2.41) per n = , un problema cherichiede le dovute cautele e di cui ci occuperemo nella seconda parte.

Proiezioni ortogonali su sottospazi Un teorema di semplicedimostrazione che vale anche per uno spazio vettoriale di dimensione


infinita il seguente.

Sia {e1, . . . , eN} un insieme ortogonale nello spaziolineare V con prodotto scalare. Allora per ogni vettorev V , il vettore

v = vN

i=1ei , v ei

ortogonale ad ognuno dei vettori ei.

(2.45)

Dimostrazione di (2.45). Prendendo ilprodotto scalare di v rispetto a ei ,i = 1, . . . , N,

ei , v=

ei , v

N

k=1ek , v ek

= ei , v N

k=1ek , v ei , ek

= ei , v N

k=1ek , v ik

= ei , v ei , v = 0Perci v ortogonale a ciascun ei ,i = 1, . . . , N.

Il teorema ha una semplice interpretazione geometrica: siaW ilsottospazio di V generato dallinsieme ortonormale {e1, . . . , eN}, allo-ra il teorema stabilisce che ogni vettore v V pu essere decompostocome

Figura 2.7: Decomposizione ortogona-le di un vettore v come somma dellasua componente v|| inW (il pianoorizzontale in figura) e la sua compo-nente verticale v nello spazioW (ladirezione verticale in figura).

v = v|| + v (2.46)

dove

v|| =N

i=1ei , v ei (2.47)

la proiezione ortogonale di v inW e v = v v|| nello spazioW ortogonale aW (lo spazio di tutti i vettori ortogonali ai vettoriinW). Si veda la figura 2.7. Loperatore che realizza la proiezione ilproiettore ortogonale

P =N

i=1ei , ei . (2.48)

Esempio 2.5 (Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt).Questo metodo permette di costruire un insieme ortonormale {e1, e2 . . .}a partire da un insieme linearmente indipendente {v1, v2, . . .}. Il pro-cesso di costruzione consiste nellapplicare iterativamente il teorema(2.45) nel seguente modo:

u1 = v1 e1 =v1||v1||

u2 = v2 e1 , v2 e1 e2 = v2||v2||u3 = v3 e1 , v3 e1 e2 , v3 e2 e2 = v2||v2||. . .

un = vn n1i=1ei , vi ei en = vn||v2||

. . .

2.8 Forme lineari e spazio duale

Una forma (o funzionale) lineare su uno spazio lineare V reale ocomplesso una funzione lineare da V a valori reali o complessi, cio


una funzione p tale che

p(u + v) = p(u) + p(v) .

Per esempio, lintegrale I(P) = 1

0 P(x)dx una forma lineare sullospazio dei polinomi e la traccia Tr A una forma lineare sullo spaziodelle matrici n n. Sia r = x1e1 + . . . + xnen Rn. Allora una formalineare su V

p(r) = p1x1 + . . . + pnxn .

Denotiamo con il valore che la forma assume al variare di (x1, . . . xn)in Rn. Per = 0, linsieme dei punti (x1, . . . xn) Rn tali che

p(r) = p1x1 + . . . + pnxn = 0

un iperpiano (cio un sottospazio di Rn di dimensione n 1) pas-sante per lorigine. Gli altri valori di corrispondono a iperpianiparalleli tra loro e alliperpiano passante per lorigine. Se sembranaturale rappresentare i vettori di V come freccette, cio segmentiorientati centrati nellorigine, altrettanto naturale pensare alle formelineari su Rn come a famiglie di iperpiani paralleli.

Linsieme V di tutti le forme lineari su uno spazio V anchessouno spazio lineare: se p e q sono elementi di V, la loro combinazionelineare p + q definita dalla loro azione sugli elementi di V , cio

( p + q)(v) = p(v) + q(v) .

V detto spazio duale di V .Assumiamo che V sia di dimensione n. Allora, fissata una ba-

se e1, . . . en in V , i due spazi V e V possono essere messi in unacorrispondenza biunivoca che preserva la struttura lineare, da cuisegue in particolare che V e V hanno la stessa dimensione. Questacorrispondenza si stabilisce facilmente costruendo in V una basee1, . . . , en corrispondente a quella in V . Le forme ei, i = 1, . . . , n sonocos definite:

ei(ej) = ij . (2.49)

Come si pu facilmente verificare, questa davvero una base in V,nel senso che qualunque forma lineare p, pu essere espresso comecombinazione lineare delgli elementi di questa base. In questo modosi stabilisce una corrispondenza tra V e V: il vettore c1e1 + . . . cnen messo in corrispondenza con la forma lineare c1 e1 + . . . cn en eviceversa.

importante aver chiaro che la corrispondenza tra V e V cosstabilita dipende dalla scelta di una base in V , un fatto che talvolta siesprime dicendo che la corrispondenza tra i due spazi non canonica.Tuttavia, se in V definito un prodotto scalare, la corrispondenza


canonica. Questo fatto si stabilisce nel modo seguente. Fissato unvettore u V , la funzione

u , : V C u , x x V

una forma lineare su V . Infatti, dalle propriet del prodotto scalaresegue che

u , x + y = u , x+ u , yAllora al vettore u V e associata la forma lineare u , V. Si hacos la corrispondenza

: V V , (u) = u ,

Viceversa, data una forma lineare p in V, si consideri linsieme deivettori v che annullano la forma, cio tali che p(v) = 0. Questo insie-me un iperpiano in V passante per lorigine. Sia n il vettore unita-rio ortogonale a questo iperpiano (ce ne uno solo, perch liperpianoha dimensione n 1). Allora a p si associ il vettore

p = p(n)n .

Si pu facilmente verificare che questa associazione linversa della,

1 : V V , 1( p) = p(n)nFine della costruzione della corrispondenza biunivoca canonica tra Ve V.Esercizio 2.10. Si consideri su R3, con il suo prodotto scalare natu-rale, la forma lineare p(x, y, z) = ax + by + cz . A quale vettore in R3

corrisponde?

Soluzione. Consideriamo ax + by + cz = 0. Questa lequazione di unpiano passante per lorigine con vettore normale

n =(a, b, c)

a2 + b2 + c2

Si ha

p(n) =a2 + b2 + c2a2 + b2 + c2

=

a2 + b2 + c2

Allora a p corrisponde il vettore

p = p(n)n =

a2 + b2 + c2n = (a, b, c) ,

in accordo con (2.49).


Complementi

Paul Dirac (19021984) stato un fisicoinglese che ha dato contributi note-voli allo sviluppo sia della meccanicaquantistica sia dellelettrodinamicaquantistica. Tra le sue scoperte piimportanti, lequazione di Dirac, chedescrive i fermioni relativistici.

La notazione di Dirac

Con in mente le applicazioni alla meccanica quantistica, Dirac intro-dusse la notazione dei bra e dei ket per descrivere i vettori di unospazio di lineare V con prodotto scalare. Questa notazione pu esseredescritta nel seguente modo. Rappresentiamo un vettore u di V conil simbolo |u, che chiameremo vettore ket, oppure con il simbolou|, che chiameremo vettore bra. Introduciamo le seguenti regoleper manipolare i simboli di bra e ket

|u + v = |u+ |v u + v| = u|+ v|

Il prodotto scalare (braket6) risulta, simbolicamente, il prodotto dei

6 Risulta cos svelato larcano dellaterminologia bra e ket: braketin inglese vuol dire parentesi (e cisono ovviamente due tipi di parentesi,quelle che hanno la gobba a sinistra equelle che la hanno a destra). Questaterminologia, che riflette anche unsottile humor, di Dirac.

simboli bra e ket,u , v def= u| |v

La notazione rende cos manifesto che il prodotto scalare una for-ma hermitiana (lineare in un argomento e antilineare nellaltro). Sipotrebbe dare a questa notazione anche un significato matemati-co e associare i bra con il duale V di V , ma non necessario. Invirt dellidentificazione canonica tra V e V, si pu pensare a que-sta notazione solo come ad un artificio conveniente. Per esempio, particolarmente conveniente per denotare loperatore di proiezioneortogonale su un vettore v con

|vv|v , v = |evev| , ev =

v||v||

per cui la proiezione di u lungo v risulta |ev ev , u . Con la nota-zione di Dirac, risulta particolarmente trasparente che il quadratodel proiettore sia il proiettore stesso: |evev||evev| = |evev|, inquanto ev||ev def= ev , ev = 1.

SeW un sottospazio di V e {e1, e2, . . .} una base ortonormalein esso, loperatore di proiezione ortogonale suW si rappresentacome

P =k|enek|

per cui la proiezione di un vettore v suW data da

P |v =k|ekek||v

kek , v ek

Infine, che un sistema ortonormale di vettori {e1, e2, . . .} una basein notazione di Dirac si rappresenta cos:

k|enek| = I ,


dove I loperatore identit in V . La notazione efficace: rendemanifesto che si ha una base quando non si perde niente, cioquando loperatore k |ekek| proietta su tutto lo spazio, e quindi loperatore identit.

3Autovalori e autovettori

Indice3.1 Operatori autoaggiunti e unitari 493.2 Autovalori e autovettori 513.3 Teorema spettrale per operatori autoaggiunti 563.4 Teorema spettrale per operatori normali 583.5 Funzione di un operatore 593.6 Assi principali di inerzia 623.7 Rotazioni e decomposizione di un operatore lineare 63

3.1 Operatori autoaggiunti e unitari

Sia A un operatore su uno spazio di prodotto scalare V . Se V di di-mensione n, gli elementi della matrice A che rappresenta A rispettoad una base e e1, . . . , en sono definiti da

A (ej) =j

Aijei . (2.22)

Se la base ortonormale, cioei , ej

= ij, allora

Aij =ei , A ej

(3.1)

Un operatore lineare A possiede un aggiunto A se

u , A v = A u , v u, v V . (3.2)Passando allazione delloperatore sugli elementi della base, lequa-zione precedente diventa

Aij =ei , A ej

=A ei , ej

=

k[A]kiek , ej

=

k[A]kikj = [A]ji ,


da cui [A]ij = Aji. Quindi ogni operatore lineare A su uno spazio didimensione finita, rappresentato da una matrice A in una base orto-normale, ha un (solo) aggiunto rappresentato dalla matrice aggiuntaA. Segue dalla definizione che A = A . In spazi di dimensioneinfinita non tutti gli operatori lineari hanno un aggiunto.

La struttura di uno spazio di prodotto scalare V lasciata invariatadalle trasformazioni invertibili di V che non cambiano il prodottoscalare tra vettori, cio dagli operatori lineari invertibili U tali che

U u , U v = u , v u, v V (3.3)

Un operatore U che soddisfa la (3.3) detto operatore unitario o ro-tazione. Si pu verificare facilmente che (3.3) verificata se e solo selinverso di U uguale al suo aggiunto,

U 1 = U (3.4)

equivalentemente, se e solo se una sua rappresentazione matricialeU rispetto ad una ba

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