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METODI MATEMATICI DELLA FISICAA.A. 2003 - 2004

Prof. A. DegasperisEsercitazioni a cura del Dr. F. Zamponi

21 settembre 2005

• Argomenti trattati nel corso

1. Funzioni di una variabile complessa

2. Trasformata di Fourier

• Contenuto di queste note

1. Programma

2. Riferimenti bibliografici

3. Formule utili

4. Breve riassunto delle lezioni e delle esercitazioni

5. Raccolta degli esercizi distribuiti e dei compiti di esonero

1

PROGRAMMA

FUNZIONI DI UNA VARIABILE COMPLESSA

L’insieme dei numeri complessi: completezza algebrica ed analitica. Rappresentazione Carte-siana e polare. Polidromia di Argz. Punto all’infinito e compattificazione del piano comples-so. Sfera di Riemann. Domini e loro frontiera. Funzioni di variabile complessa e trasforma-zioni di coordinate del piano. Polinomi e Teorema Fondamentale dell’Algebra. Definizionedi analiticita attraverso la rappresentazione in serie di potenze. Proprieta della serie di Tay-lor. Definizione di singolarita. Prolungamento analitico secondo Wiestrass. Monodromiae polidromia (algebrica e trascendente). Analiticita ed equazioni differenziali di Cauchy-Riemann. Esistenza della derivata rispetto ad una variabile complessa. Funzioni intere,razionali e meromorfe. Analiticita e trasformazioni conformi. Integrali curvilinei di formedifferenziali complesse e disuguaglianza di Darboux. Forme differenziali esatte. Teorema diCauchy. Analiticitaa e deformazione dei cammini d’integrazione. Teorema di Morera (senzadimostrazione). Esistenza ed analiticita della primitiva di una funzione analitica. Rappre-sentazione integrale di Cauchy di una funzione analitica e di tutte le sue derivate. Teoremadi Liouville, Teorema Fondamentale dell’Algebra e Teorema del Massimo e Minimo Modu-lo. La rappresentazione in serie di Laurent e sue proprieta. Singolarita polari ed essenziali.Analisi nell’intorno del punto all’infinito. Residuo e sua relazione con l’integrale su una cur-va chiusa. Teorema dei Residui e sua applicazione al calcolo di integrali sulla retta reale.Residuo nel punto all’infinito. Proprieta dei residui di funzioni razionali. Relazione tra lefunzioni reali armoniche nel piano e le funzioni analitiche di variabile complessa. Polinomiarmonici. Polidromia della primitiva di una funzione f(z) nell’intorno di un polo di f(z).Punti di diramazione algebrici e trascendenti. Il logaritmo nel piano complesso. Analiticitadella potenza di z con esponente reale. Uso della polidromia e del Teorema dei Residui peril calcolo di integrali sulla retta reale.

SERIE DI FOURIER

Polinomio di z sulla circonferenza e polinomi trigonometrici. Definizione di serie di Fourier.Esempio di serie di Fourier come riduzione della serie di Laurent. Espansione di Fourier inseni e coseni ed in esponenziali. Proprieta di realta e di parita dei coefficienti di Fourier difunzioni reali e pari o dispari. Serie di Fourier di funzioni di modulo quadrato integrabile edisuguaglianza di Bessel. Teorema di Completezza (senza dimostrazione). Convergenza inmedia della serie di Fourier. Disuguaglianza di Schwartz. Teorema di Parseval. Teorema diRiemann-Lebesgue (senza dimostrazione). Calcolo approssimato di integrali tipo Fourier pergrandi valori della variabile duale. Approssimazione uniforme con polinomi trigonometrici.Teorema di Fejer (senza dimostrazione) e convergenza secondo Cesaro.

2

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

TESTI CONSIGLIATI

• Funzioni di una variabile complessa

1. Bernardini C., Ragnisco O., Santini P.M. Metodi Matematici della Fisica LaNuova Italia Scientifica, Roma 1993

2. Calogero F. Metodi Matematici della Fisica Lezioni ciclostilate, Ufficio Dispensedel Dipartimento, 1974

3. Dennery P., Krzywicki A. Mathematics for Physicists Harper & Row 1967

4. Rossetti C. Metodi Matematici per la Fisica Libreria Ed.Univ. Levrotto & Bella1978

• Serie di Fourier

1. D.V.Widder, “Advanced Calculus” (second edition), Prentice-Hall

2. E.T.Whittaker, G.N.Watson, “A course of Moder Analysis”, Cambridge Univer-sity Press

MANUALI DA CONSULTARE

1. Abramowitz M., Stegun I.A. Handbook of Mathematical Functions Dover Publ., NewYork 1968

2. Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M. Table of Integrals, Series and Products Academic Press,New York 1965

3

FORMULE UTILI

z = x + iy = ρ(cos θ + i sin θ) = ρ exp(iθ){−∞ < x < +∞−∞ < y < +∞

{0 ≤ ρ = |z| < ∞−π < θ = argz ≤ π

Argz = argz + 2πn , n = 0,±1,±2, ...{x = ρ cos θy = ρ sin θ

{ρ = (x2 + y2)1/2 = |z|

θ = Arctg(y/x) = Argz

exp(2iπn) = 1 , n = 0,±1,±2, ...

| exp(iα)| = 1, se α e’ reale

Formula di Eulero: cos z + i sin z = exp(iz)Formula di De Moivre: (cos z + i sin z)N = cos Nz + i sin Nz

P (z) =N∑

n=0

cnzn = cNzN + cN−1z

N−1 + ..... + c1z + c0

P (z) = cN

M∏k=1

(z − zk)mk = cN(z − z1)

m1(z − z2)m2 .....(z − zM)mM .

In questa rappresentazione del polinomio P (z), zk 6= zh se k 6= h , zk e’ radice di P (z) :P (zk) = 0 , M ≤ N e mk e’ la molteplicita’ della radice zk

m1 + m2 + ... + mM =M∑

k=1

mk = N .

Si dice che zk e’ uno zero semplice, doppio, triplo etc. di P (z) se, rispettivamente, mk =1, mk = 2, mk = 3 etc.Radici N -esime dell’unita’ :

P (z) = zN − 1 =N∏

k=1

(z − ω(N)k ) , ω

(N)k = exp(2πik/N)

N∑k=1

ω(N)k = 0.

Radici di un polinomio di secondo grado:

P2(z) = z2 + c1z + c0 = (z − z1)(z − z2)

4

z1 = −1

2c1 +

√c21

4− c0 , z2 = −1

2c1 −

√c21

4− c0

Radici di un polinomio di terzo grado (formule di Cardano):

P3(z) = z3 + c2z2 + c1z + c0 = (z − z1)(z − z2)(z − z3)

z1 = −1

3c2 + ω(γ +

√∆)1/3 + ω2(γ −

√∆)1/3

z2 = −1

3c2 + ω2(γ +

√∆)1/3 + ω(γ −

√∆)1/3

z3 = −1

3c2 + (γ +

√∆)1/3 + (γ −

√∆)1/3

ω = exp(2πi/3) , γ = −1

2c0 +

1

6c1c2 −

1

27c32

∆ =1

4c20 −

1

108c21c

22 −

1

6c0 c1 c2 +

1

27c0 c3

2 +1

27c31

Somme notevoli:

(a + b)N =N∑

n=0

(N

n

)anbN−n ,

(N

n

)=

N !

n!(N − n)!

N∑n=0

(N

n

)= 2N ,

(N

n

)=

(N − 1

n

)+

(N − 1

n− 1

)N∑

n=0

zn =1− zN+1

1− z,

N∑n=0

(1 + z)n =N∑

n=0

(N + 1

n + 1

)zn ,

N∑n=1

n =1

2N(N + 1) ,

N∑n=1

n2 =1

6N(N + 1)(2N + 1) .

Se f(z) e’ analitica in z0, allora f(z) =∑∞

n=0 fn(z − z0)n converge uniformemente e assolu-

tamente per |z − z0| < R dove R = limn→∞ |fn|−1/n, R = limn→∞ |fn/fn+1|

fn =1

n!

dn

dznf(z)|z=z0

Prodotto di due serie di potenze:

f(z) =∞∑

n=0

fn(z − z0)n , g(z) =

∞∑n=0

gn(z − z0)n , h(z) = f(z)g(z) =

∞∑n=0

hn(z − z0)n

5

hn =n∑

k=0

fkgn−k =n∑

k=0

fn−kgk , (prodotto di convoluzione)

Se∑∞

n=0 fn(z−z0)n =

∑∞n=0 gn(z−z0)

n per |z−z0| < R 6= 0, allora fn = gn per n = 0, 1, 2, ...

ez = exp z =∞∑

n=0

1

n!zn =

∞∑n=0

ez0

n!(z − z0)

n, R = ∞

sinh z =1

2(ez − e−z) =

∞∑n=0

1

(2n + 1)!z2n+1

cosh z =1

2(ez + e−z) =

∞∑n=0

1

(2n)!z2n

ez = cosh z + sinh z

ez = exeiy = ex cos y + iex sin y

cosh(iz) = cos z , sinh(iz) = i sin z

eiz = cos z + i sin z , cos z =1

2(eiz + e−iz) , sin z =

1

2i(eiz − e−iz)

sinh z = sinh x cos y + i cosh x sin y

cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y

sinh(z + 2πni) = sinh z n = 0,±1,±2, ...

cosh(z + 2πni) = cosh z n = 0,±1,±2, ....

csc z =1

sin z, sec z =

1

cos z

cschz =1

sinh z, sechz =

1

cosh z

tan z =sin z

cos z, cot z =

cos z

sin z

tanh z =sinh z

cosh z, coth z =

cosh z

sinh z

Serie geometrica:

6

1

1− z=

∞∑n=0

zn , |z| < 1

1

1− z= −

∞∑n=1

(1

z)n , |z| > 1

1

z − z1

= −∞∑

n=0

(z1 − z0)−n−1(z − z0)

n, R = |z1 − z0|

1

(z − z1)(z − z2)....(z − zN)=

N∏n=1

1

(z − zn)=

N∑n=1

C(N)n

z − zn

dove C(N)n =

∏Nk=1,k 6=n

1(zn−zk)

(1 + z)a = 1 + az +a(a− 1)

2!z2 +

a(a− 1)(a− 2)

3!z3 + ....

(1 + z)a =∞∑

n=0

Γ(a + 1)

n!Γ(a− n + 1)zn , R = 1

(1 + z)1/2 = 1 +1

2z − 1

8z2 +

1

16z3 − 5

128z4 + ...

(1 + z)−1/2 = 1− 1

2z +

3

8z2 − 5

16z3 +

35

128z4 + ...

Γ(z) =

∫ ∞

0

dt tz−1 e−t , Rez > 0

Γ(z) =∞∑

n=0

(−)n

n!(n + z)+

∫ ∞

1

dt tz−1 e−t , z 6= 0,−1,−2...

Γ(n + 1) = n! , Res[Γ(z)]z=−n =(−)n

n!, n = 0, 1, 2, ...,

Γ(z + 1) = zΓ(z)

Γ(z)Γ(1− z) = −zΓ(z)Γ(−z) =π

sin(πz).

Lemma di Gauss: sia C una curva chiusa, continua con tangente continua, orientata in sensoantiorario e sia Sc la porzione finita del piano interna a C:∮

C

[a(x, y)dx + b(x, y)dy] =

∫ ∫Sc

dxdy[bx(x, y)− ay(x, y)]

7

Se z0 6∈ C

1

2πi

∮C

dz1

(z − z0)=

{0 se z0 6∈ Sc

1 se z0 ∈ Sc

1

2πi

∮C

dz(z − z0)n = 0 se n = 0, 1,±2,±3, ....

Se z0 non e’ un punto di diramazione di f(z), allora

f(z) =+∞∑

n=−∞

fn(z − z0)n = · · ·+ f−2

(z − z0)2+

f−1

z − z0

+ f0 + f1(z − z0) + · · ·

0 < ε ≤ |z − z0| < R , R = limn→+∞

|fn|−1/n

Res[f(z)]z0 = f−1

Se z0 e’ un polo d’ordine N (f−N 6= 0 , fn = 0 per n ≤ −N − 1)

Res[f(z)]z0 = limz→z0

{ 1

(N − 1)!

dN−1

dzN−1[(z − z0)

Nf(z)]}

Se f(z) ha un polo d’ordine N in z0

f(z) =f−N

(z − z0)N+

f−N+1

(z − z0)N−1+ · · ·+ f−1

z − z0

+∞∑

n=0

fn(z − z0)n

e g(z) e’ analitica in z0

g(z) =∞∑

n=0

gn(z − z0)n ,

allora

Res[g(z)f(z)]z0 = f−NgN−1 + f−N+1gN−2 + · · ·+ f−1g0 =N−1∑n=0

gnf−n−1

Res [ez/(z − z0)N ]z0 = ez0/(N − 1)! , N = 1, 2, 3, · · ·

8

FUNZIONI DI UNA VARIABILE COMPLESSA

Ulteriori riferimenti bibliografici

1. Ahlfors L.V. Complex Analysis McGraw-Hill 1966

2. Krasnov M., Kiselev A., Makarenko G. Funzioni di una variabile complessa MIR, Mosca1987

3. Markushevic A.I. Elementi di Teoria delle Funzioni Analitiche Editori Riuniti 1988

4. Markushevic A.I. Theory of Functions of a Complex Variable (3 volumi) Prentice-Hall,1965

5. Rudin W. Real and Complex Analysis McGraw-Hill 1966

6. Spiegel M.R. Variabili Complesse Etas 1976

7. Sveshnikov A., Tikhonov A. The Theory of Funcyions of a Complex Variable MIR,Mosca 1982

13 GENNAIO LEZIONEEstensione algebrica dai numeri interi a quelli razionali, irrazionali ed algebrici complessi(con esempi). Insieme astratto normato, definizione di distanza ed il problema dell’esi-stenza del limite di una successione. Successioni di Cauchy e completezza di un insiemenormato (con esempi). Completezza dell’insieme dei numeri complessi. Il piano complesso,rappresentazione cartesiana e polare di un numero complesso e trasformazione dall’una al-l’altra rappresentazione. Formule di Eulero e di De Moivre. Rappresentazione di un numerocomplesso come matrice reale 2X2.

15 GENNAIO LEZIONEOperazione di coniugazione complessa, z → z∗. Definizione di |z| e di argz e Argz. Discus-sione del limite per |z| → ∞. Trasformazione stereografica tra la sfera di Riemann ed ilpiano complesso. Piano complesso compatto e introduzione del punto ∞. Intorni circolarinel piano complesso. Insiemi aperti e loro frontiera. Insiemi semplicemente connessi. Dominie loro frontiera. Degenerazione di frontiere a tagli e punti. Introduzione di funzioni f(z) diuna variabile complessa a valori complessi come trasformazioni del piano complesso in se’:z → w = f(z). Identificazione di una funzione w = f(z) della variabile indipendente z,come coppia di due funzioni reali di due variabili reali u(x, y) e v(x, y) attraverso la rappre-sentazione cartesiana della variabile indipendente, z = x + iy e della variabile dipendentew = u+ iv. Funzione complessa di una variabile complessa come trasformazione di coordina-te del piano. Polinomi di grado arbitrario. Teorema fondamentale dell’algebra. Derivazionedella rappresentazione di un polinomio come prodotto di monomi. Molteplicita’ delle radici.Espressione dei coefficienti di un polinomio in funzione delle sue radici.

9

16 GENNAIO LEZIONECenni alle radici del polinomio PN(z) = zN − 1 : radici ennesime dell’unita’. Richiami dianaliticita’ di funzioni reali di una variabile reale. Rappresentazione di una funzione realeanalitica come serie di potenze. Intervallo di convergenza della serie di Taylor. Richiamisulla convernza uniforme ed assoluta.

22 GENNAIO LEZIONELa serie di potenze nel campo complesso come estensione della serie di potenze nel camporeale. Definizione di analiticita’ di una funzione di una variabile complessa f(z) in un punto z0

attraverso la sua rappresentazione in serie di potenze, f(z) =∑∞

n=0 fn(z−z0)n. Convergenza

uniforme ed assoluta della serie di potenze, alias serie di Taylor, in un cerchio di centro z0

e raggio R 6= 0, |z − z0| < R. La rappresentazione in serie di potenze di una funzioneanalitica f(z) come trasformazione biunivoca tra la funzione ed i coefficienti della serie,f(z) ↔ {fn}∞0 . I coefficienti fn come funzione a valori complessi definita sul reticolo degliinteri non negativi. Calcolo del raggio R di convergenza di una serie di Taylor attraverso i suoicoefficienti fn. Cenni alla convergenza della serie di potenze sulla circonferenza |z − z0| = Rdel suo cerchio di convergenza ed alle funzioni con frontiera naturale. La serie di potenze∑∞

n=2zn

n(n−1)come esempio di serie che converge in tutti i punti di frontiera, |z| = 1, del

suo cerchio di convergenza. Zero di una funzione analitica, f(z0) = 0, sua molteplicita’M erappresentazione in serie di potenze nello zero, f(z) = (z − z0)

Mφ(z) dove φ(z) e’ analiticain z0 e φ(z0) 6= 0. Definizione di punto singolare, o singolarita’, di una funzione di variabilecomplessa. Calcolo del raggio di convergenza R di una serie di potenze in z0 come distanzadi z0 dalla piu’ vicina singolarita’ della funzione f(z) rappresentata dalla serie. Cenni alprolungamento analitico alla Weierstrass di una funzione f(z) fuori dal cerchio di convergenzadella serie di Taylor che la rappresenta. Cenni alla monodromia e polidromia (algebrica etrascendente) di una funzione di variabile complessa.

23 GENNAIO LEZIONEDifferenziabilita’ di una funzione analitica nel cerchio di convergenza della sua rappresenta-zione in serie di Taylor. Uso formale delle variabili z e z∗, e della loro trasformazione nellecoordinate cartesiane x e y, nel calcolo delle derivate parziali di funzioni definite nel pianocomplesso:

∂ • /∂x = ∂ • /∂z + ∂ • /∂z∗ , ∂ • /∂y = i∂ • /∂z − i∂ • /∂z∗

∂ • /∂z =1

2∂ • /∂x− i

1

2∂ • /∂y , ∂ • /∂z∗ =

1

2∂ • /∂x + i

1

2∂ • /∂y

Deduzione, dalla rappresentazione in serie di potenze di una funzione analitica f(z) =u(x, y) + iv(x, y), dell’equazione differenziale alle derivate parziali del primo ordine lineareomogenea a coefficienti costanti fx(z) + ify(z) = 0, sua equivalenza alla equazione differen-ziale fz∗ = 0 ed alle condizioni di Cauchy-Riemann ux(x, y) = vy(x, y) e uy(x, y) = −vx(x, y). Seconda definizione di analiticita’: una funzione complessa f(z) = u(x, y) + iv(x, y) e’analitica in un dominio del piano complesso se in ogni punto del dominio la sua parte reale

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u(x, y) e la sua parte immaginaria v(x, y) soddisfano le condizioni di Cauchy-Riemann. Di-mostrazione che le condizioni di Cauchy-Riemann sono necessarie e sufficienti per l’esistenzadella derivata rispetto a z, df(z)/dz, di una funzione f(z) come limite lim∆z→0

f(z+∆z)−f(z)∆z

.Terza definizione di analiticita’: una funzione complessa f(z) = u(x, y)+ iv(x, y) e’ analiticain un dominio del piano complesso se in ogni punto del dominio esiste la sua derivata rispettoalla variabile z .

29 GENNAIO LEZIONEDerivate di funzioni elementari: dzn/dz = nzn−1, d sin(z)/dz = cos(z), etc. Dimostrazioneesplicita, fatta usando lo sviluppo in serie di Taylor, che, se la funzione f(z) e’ analitica inun punto, allora anche la sua derivata df(z)/dz e’ analitica in quel punto. Dimostrazioneesplicita, fatta usando le condizioni di Cauchy–Riemann, che, se la funzione f(z) = u(x, y)+iv(x, y) e’ analitica in un dominio, allora la sua derivata df(z)/dz = U(x, y) + iV (x, y)e’ analitica nello stesso dominio. Analiticita’delle derivate dnf(z)/dzn di ogni ordine n diuna funzione analitica f(z). Derivazione della formula di Taylor fn = 1

n!dnf(z)/dzn|z=z0

per i coefficienti fn dello sviluppo in serie f(z) =∑∞

n=0 fn(z − z0)n. Classi di funzioni

analitiche nel piano complesso: polinomi e funzioni intere. Funzioni razionali e funzionimeromorfe. Trasformazioni del piano z = x + iy nel piano w = u + iv e definizione ditrasformazione conforme. Dimostrazione, fatta usando le condizioni di Cauchy–Riemann,che la trasformazione w = f(z) e’ conforme se e solo se la funzione complessa f(z) e’analitica. Richiami sulle forme differenziali A(x, y)dx + B(x, y)dy nel piano (x, y). Integraledi una forma differenziale su una curva del piano come integrale di una funzione reale diuna variabile reale t su un intervallo, mediante l’uso di una parametrizzazione x = a(t), y =b(t) della curva. Curve chiuse orientate e lemma di Gauss:

∮C

A(x, y)dx + B(x, y)dy =∫ ∫SC

[Bx(x, y) − Ay(x, y)]dxdy. Forme differenziali esatte: Ay(x, y) = Bx(x, y) ed esistenza

della primitiva F (x, y) =∫ (x,y)

(x0,y0)A(x, y)dx + B(x, y)dy.

30 GENNAIO LEZIONEForme differenziali complesse e loro integrazione su una curva del piano complesso. Partereale e parte immaginaria dell’integrale di una forma differenziale complessa. Dimostrazionedella disuguaglianza di Darboux: |

∫C

f(z)dz| ≤ ML, essendo |f(z)| ≤ M per z ∈ C edessendo L la lunghezza della curva C. Dimostrazione che condizione necessaria e sufficienteaffinche’ la forma differenziale complessa f(z)dz sia esatta e’che la funzione f(z) sia analitica.Dimostrazione del Teorema di Cauchy: se f(z) e’ analitica allora

∮C

f(z)dz = 0. Metododi deformazione dei cammini lungo cui si integra una funzione analitica con applicazione acurve aperte e chiuse.

6 FEBBRAIO LEZIONETeorema di Morera ed ipotesi di questo teorema come IV definizione di analiticita’. Defini-zione e costruzione della funzione primitiva di una funzione analitica. Costruzione esplicita

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della funzione primitiva come integrale lungo una poligonale. Espressione della parte rea-le e della parte immaginaria della funzione primitiva. Dimostrazione che la funzione F (z)primitiva di una funzione analitica f(z) e’ essa stessa analitica e tale che dF (z)/dz = f(z).

12 FEBBRAIO LEZIONEUso delle relazioni di Cauchy-Riemann per costruire, mediante l’integrazione di una formadifferenziale esatta, la parte reale (immaginaria) di una funzione analitica supponendo nota lasua parte immaginaria (reale) (a meno di una costante additiva arbitraria). Calcolo esplicitodegli integrali In = 1

2πi

∮dz(z− z0)

n lungo una curva chiusa C orientata in senso antiorario,dove z0 non appartiene alla curva ed e’ interno alla regione finita del piano delimitata daC e n e’ un intero relativo, n = 0,±1,±2, . . . . Derivazione della rappresentazione integraledi Cauchy di una funzione analitica f(z) e delle sue derivate di ogni ordine dnf(z)/dzn

mediante la sua rappresentazione in serie di Taylor e la tecnica di deformazione dei camminidi integrazione. Dimostrazione del Teorema di Liouville (una funzione analitica e di modulolimitato in tutto il piano complesso (compattificato) e’ costante). Dimostrazione del TeoremaFondamentale dell’Algebra. Dimostrazione del Teorema del Massimo e Minimo Modulo.

13 FEBBRAIO LEZIONEIntroduzione alla rappresentazione in serie di Laurent di una funzione analitica nell’intornodi punti di singolarita’. Due esercizi preliminari alla derivazione della serie di Laurent :i) derivazione della rappresentazione integrale di Cauchy di una funzione analitica in undominio anulare con una lacuna contenente punti di singolarita’; ii) espansione come seriegeometrica della funzione 1/(z′ − z) in potenze di (z′ − z0) in modo che sia covergente sianel caso |z′ − z0| < |z − z0| che nel caso |z′ − z0| > |z − z0|.

20 FEBBRAIO LEZIONECostruzione esplicita della seria di potenze di Laurent nell’intorno di lacune del dominiodi analiticita’. Derivazione esplicita dell’espressione dei coefficienti della serie di Laurentmediante integrali su curve chiuse. Parte principale e parte analitica di una serie di Laurent.Riduzione della serie di Laurent alla serie di Taylor nell’ipotesi di una funzione priva di puntidi singolarita’ nella lacuna. Caso particolare della serie di Laurent come rappresentazione inserie di potenze di una funzione analitica nell’intorno di una sua singolarita’ isolata z0 e suaconvergenza in un cerchio di centro z0, raggio R e privo del suo centro. Criteri di calcolo delraggio di convergenza R.

26 FEBBRAIO LEZIONEDefinizione di singolarita’ polare e di singolarita’ essenziale. Definizione di molteplicita’ diun polo. Analisi di una funzione f(z) nell’intorno del punto z0 = ∞ mediante la trasforma-zione del piano complesso z nel piano complesso w: z = z0 + 1

wovvero w = 1

z−z0, dove z0 e

un numero complesso arbitrario. Rappresentazione in serie di Taylor di una funzione f(z)

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analitica in z0 = ∞ nell’intorno di z0 = ∞ e dominio di convergenza della serie. Rappresen-tazione in serie di Laurent nell’intorno di z0 = ∞ di una funzione f(z) che ha in z0 = ∞ unpolo od una singolarita’ essenziale. Dominio di convergenza di questa serie di Laurent, suaparte analitica e sua parte principale. Esempi di funzioni analitiche in z0 = ∞ e di funzioniche hanno in z0 = ∞ un polo od una singolarita’ essenziale. Importanza dell’espressione delcoefficiente f−1, f−1 = 1

2πi

∮dzf(z), per il cacolo dell’integrale di una funzione f(z) su una

curva chiusa. Definizione di residuo Res[f(z)]z0 di una funzione f(z) che ha in z0 un polo oduna singolarita’ essenziale. Formula per il calcolo del residuo di una funzione in z0 se z0 e’un polo semplice. Dimostrazione della formula per il calcolo del residuo in z0 di una funzioneche ha in z0 un polo di ordine N . Dimostrazione del teorema dei residui. Uso del teorema deiresidui per il calcolo di integrali del tipo

∫ 2π

0dθR(cos θ, sin θ) e del tipo

∫ +∞−∞ dx exp(ikx)R(x)

dove R(x, y) e’ una funzione razionale di due variabili, R(x) e’ una funzione razionale di unavariabile e k e’ un parametro reale.

27 FEBBRAIO LEZIONEDefinizione di residuo in z0 = ∞, Res[f(z)]∞, di una funzione f(z). Dimostrazione che sef(z) e’ razionale e zf(z) → 0 per z →∞, allora la somma dei residui in tutte le singolarita’zk di f(z) e’ nulla,

∑k Res[f(z)]zk

= 0. Definizione di funzione u(x, y) reale armonica in undominio del piano (x, y). Uso delle equazioni di Cauchy-Riemann per mostrare che la partereale u(x, y) e la parte immaginaria v(x, y) di una funzione f(z) = u(x, y)+ iv(x, y) analiticain un dominio del piano complesso z = x+ iy sono armoniche in quel dominio. Definizione ecostruzione dei polinomi armonici PN(x, y) = Re[zN ] e QN(x, y) = Im[zN ] sia in coordinatecartesiane (x, y) che in coordinate polari (ρ, θ). Costruzione della funzione F (z) primitivadi una funzione f(z) in un dominio del piano complesso in cui f(z) e’ monodroma con unasingolarita’ isolata in z0 (polo o singolarita’ essenziale). Dimostrazione che la primitiva F (z)e’ polidroma con infiniti rami se e solo se Res[f(z)]z0 6= 0. Definizione di polidromia algebricae trascendente.

4 MARZO LEZIONEUso della serie di Laurent per la costruzione della primitiva F (z) di una funzione f(z) nell’in-torno di una singolarita’ isolata z0 che sia un polo od una singolarita’ essenziale. Importanzadella primitiva della funzione 1

z. Definizione della funzione logaritmo ln(z) e sue proprie-

ta’ di analiticita’ nel piano complesso. Punti di diramazione trascendenti del logaritmo inz = 0 e z = ∞. Rami del logaritmo, Ln(z) = ln(z) + 2πin con n = 0,±1,±2, .... Richia-mi delle proprieta’ del logaritmo estese al piano complesso come conseguenza della formulaLn(z1z2) =Lnz1+Lnz2. Definizione di ramo principale e suo legame con la determinazione0 ≤ θ < 2π della fase θ di z = ρ exp(iθ). Altra definizione di ramo principale del logaritmolegata alla determinazione −π < θ ≤ π della fase θ di z.Definizione di discontinuita’ diuna funzione polidroma. Calcolo della discontinuita’ del logaritmo. Analisi della funzionef(z) = za e delle sue singolarita’ nel caso in cui a e’ reale intero, razionale e irrazionale.Studio della polidromia di f(z) = za nel caso in cui a e’ reale razionale e irrazionale.

13

5 MARZO LEZIONEAnaliticita’ della funzione f(z) = za per z diverso da z = 0 e da z = ∞. Rami della funzionef(z) = za. Ramo principale di f(z) = za legato alla determinazione 0 ≤ θ < 2π dellafase θ di z = ρ exp(iθ). Calcolo della discontinuita’ di della funzione f(z) = za lungo lasemiretta positiva reale 0 ≤ x < +∞. Uso del teorma dei residui per il calcolo di integralidel tipo

∫ +∞0

dxxaR(x) dove R(x) e’ una funzione razionale. Dimostrazione della formulaper il calcolo di integrali di questo tipo.

SERIE DI FOURIER

11 MARZO LEZIONE (FZ)Serie di Fourier per funzioni analitiche definite in [0, 2π] come serie di Laurent sulla circon-ferenza di raggio 1. Espressione per i coefficienti della serie di Fourier in forma esponenziale,f(θ) =

∑∞n=−∞ fne

inθ. Simmetria dei coefficienti fn per funzioni reali (f ∗n = f−n). Seriedi Fourier in funzione di seni e coseni: f(θ) = f0 +

∑∞n=1 an cos nθ + bn sin nθ. Espressione

dei coefficienti an e bn. Simmetrie dei coefficienti fn per funzioni pari e dispari in [−π, π],e corrispondenti relazioni per i coefficienti an e bn. Calcolo dei coefficienti di Fourier per lafunzione f(θ) = 1/(2 + cos θ).

12 MARZO LEZIONE (FZ)Serie di Fourier per funzioni f(x) definite in x ∈ [0, L]. Prodotto scalare di funzioni f(θ) ∈L2[0, 2π] definito da f · g = 1

2π

∫ 2π

0dθf(θ)g(θ). Ortogonalita delle funzioni [1, cos nθ, sin nθ]

e loro normalizzazione. Serie di Fourier come decomposizione della funzione f su una basecompleta costituita da seni e coseni. Cenni alle proprieta di convergenza della serie diFourier: convergenza uniforme per funzioni C∞, convergenza non uniforme intorno a unadiscontinuita. Il caso della funzione gradino.

16 MARZO LEZIONEUso della funzione ln(z) per il calcolo di integrali: in particolare calcolo, con il teorema deiresidui, dell’integrale

∫ +∞0

dxR(x) e dell’integrale∫ +∞

0dxln(x)R(x) dove R(x) e’ una funzio-

ne razionale di x. Espressione di un polinomio P (z) della variabile complessa z = ρ exp(iθ)sulla circonferenza |z| = ρ = 1 come funzione della variabile angolare θ. Definizione dipolinomi trigonometrici e di serie trigonometrica. Espressione di polinomi trigonometricie di serie trigonometriche tramite le funzioni seno e coseno,

∑[cn cos(nθ) + sn sin(nθ)], e

tramite la funzione esponenziale,∑

an exp(inθ), e trasformazione da una forma all’altra.Definizione di serie di Fourier nell’intervallo −π ≤ θ ≤ π ed espressione integrale dei suoicoefficienti, sia nella sua rappresentazione in seni e coseni che nella sua rappresentazionecon esponenziali. Esempio di serie di Fourier convergente: sviluppo in serie di Laurent sullacirconferenza z = exp(iθ) di una funzione f(z) monodroma e analitica in un dominio conte-nente la circonferenza |z| = 1. Dimostrazione che una serie trigonometrica uniformemente

14

convergente nell’intervallo −π ≤ θ ≤ π e’ di Fourier. Definizione del simbolo di Kroneckerδnm e suo uso nelle relazioni integrali

∫ +π

−πdθ exp[i(n −m)θ]. Dimostrazione della disugua-

glianza di Bessel∫ +π

−πdθ2π|f(θ)|2 ≤

∑nk=−n |an|2 se la funzione f(θ), associata alla serie di

Fourier∑+∞

−∞ an exp(inθ), ha il modulo quadrato integrabile,∫ +π

−πdθ|f(θ)|2 < ∞.

18 MARZO LEZIONEDimostrazione che, se la funzione f(θ) associata alla serie di Fourier∑+∞

−∞ an exp(inθ) e’ di modulo quadrato integrabile, allora la serie numerica∑+∞

−∞ |an|2 e’

convergente. Teorema di completezza (senza dimostrazione) nella versione∫ +π

−πdθ2π|f(θ)|2 =∑+∞

−∞ |an|2 e nella versione limn→∞∫ +π

−π|f(θ)−

∑nk=−n an exp(inθ)|2 = 0. Definizione di con-

vergenza in media (o convergenza forte) della serie di Fourier. Dimostrazione della disugua-glianza di Schwartz nel caso di funzioni reali di quadrato integrabile e sua interpretazionegeometrica. Estensione (senza dimostrazione) della disuguaglianza di Schwartz al caso difunzioni a valori complessi. Dimostrazione del teorema di Parseval per funzioni di moduloquadrato integrabile nell’intervallo −π ≤ θ ≤ π. Dimostrazione che, se an sono i coefficientidi Fourier associati ad una funzione di modulo quadrato integrabile, allora limn→∞ an = 0.Teorema (senza dimostrazione) di Riemann-Lebesgue. Calcolo approssimato (mediante inte-

grazione per parti) di integrali del tipo∫ b

adx cos(tx +α)f(x) quando il parametro t e’ molto

grande. Approssimazione uniforme di una funzione continua in un intervallo finito mediantepolinomi (teorema di Weiestrass). Approssimazione uniforme di una funzione f(θ) continuae periodica con periodo 2π nell’intervallo −π ≤ θ ≤ +π mediante polinomi trigonometrici.Convergenza puntuale della serie di Fourier: teorema di Fejer. Convergenza della serie diFourier agli estremi dell’intervallo −π ≤ θ ≤ +π. Definizione di convergenza di una succes-sione secondo Cesaro. Osservazione che la convergenza della serie di Fourier nel teorema diFejer e’ definita secondo Cesaro.

19 MARZO LEZIONECalcolo diretto dell’integrale della Gaussiana G =

∫ +∞−∞ dx exp(−x2). Dimostrazione che

l’integrale∫

Cdz exp(−z2) = G dove la curva C e’ la retta parallela all’asse reale {zεC : z =

x + iy,−∞ ≤ x ≤ +∞, y = a} e dove a e’ un numero reale finito arbitrario. Uso di questorisultato per calcolare l’integrale I(u, k) =

∫ +∞−∞ dx exp(−ux2 + ikx) con u reale positivo e k

reale arbitrario.

15

ESERCITAZIONE I (20/01/2004)

A. Numeri complessi

Esercizio 1 - Calcolare la parte reale e la parte immaginaria di 53i, 1+i2−i

, in (per n interopositivo).

Esercizio 2 - Disegnare le seguenti regioni del piano complesso:

|z−i+5| = 3 |3z+i| ≥ 1 Rez ≤ Imz |z−1|−|z+1| = 2 |z−1|+|z+i| = 0

Esercizio 3 - Trovare la condizione necessaria e sufficiente per avere |z + w| = |z|+ |w|

Esercizio 4 - Dimostrare per induzione che

|z1 + · · ·+ zn| ≤ |z1|+ · · ·+ |zn|


|z1 · · · zn| = |z1| · · · |zn|


z1 · · · zn = z1 · · · zn

Esercizio 7 - Calcolare la parte reale e la parte immaginaria di cos z e di tanh z.

Esercizio 8 - Dimostrare che cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β.

Esercizio 9 - Dimostrare che, per θ 6= 0,

1 + cos θ + cos 2θ + · · ·+ cos nθ =sin[(n + 1)θ/2]

sin(θ/2)cos(nθ/2)

Mostrare che la relazione e verificata anche per θ → 0.

16

B. Polinomi

Notazione: Ogni matrice A complessa nxn ha n autovalori complessi, soluzioni di P (z) =det(A− zI) = 0, che indichiamo con {λ1, λ2, · · · , λn}. P (z) e detto polinomio caratteristicodella matrice A.Se gli autovalori sono tutti diversi tra loro e se D = diag(λ1, λ2, · · · , λn), esiste una matriceB tale che A = BDB−1. Si ha quindi:

det A = det D =n∏

k=1

λk , TrA = TrD =n∑

k=1

λk .

Se A e Hermitiana (A+ = A) gli autovalori sono reali e la matrice B e unitaria (B+ = B−1).

Esercizio 1 - Dimostrare col calcolo diretto che, se A e una generica matrice complessa 2x2,e I e la matrice unita 2x2, si ha

P (z) = det(A− zI) = det A− TrA z + z2 .

Esercizio 2 (generalizzazione dell’esercizio precedente) - Dimostrare che, se A e una matricecomplessa nxn, si ha

P (z) = det(A− zI) =n∑

k=0

(−1)n−kakzn−k

ak =

{ ∑(i1,··· ,ik) λi1 · · ·λik k 6= 0

1 k = 0

Il simbolo (i1, · · · , ik) indica tutti i possibili insiemi ordinati di k numeri interi distinti com-presi tra 1 ed n, cioe tali che 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n: ad esempio, per k = 2 si hannotutte le possibili coppie (i, j) con 1 ≤ i < j ≤ n.

Esercizio 3 - Nel caso precedente verificare che an = det A e a1 = TrA per cui

P (z) = det A + · · ·+ TrA (−1)n−1zn−1 + (−1)nzn .

Verificare che per n = 2 si riottiene il caso dell’esercizio 1.

Esercizio 4 - Utilizzando i risultati precedenti, dimostrare che, dette {λ1, · · · , λn} le solu-zioni dell’equazione zn = 1 (radici n-esime dell’unita), si ha:

n∑k=1

λk = 0 ,

n∏k=1

λk = (−1)n−1 .

17

Esercizio 5 - Riottenere il risultato dell’esercizio precedente a partire dalla forma esplicitadei λk:

λk = exp

(2πi

k

n

),

ricordando che:n∑

k=1

zk = z1− zn

1− z,

n∑k=1

k =1

2n(n + 1) .

Esercizio 6 - Disegnare nel piano complesso i λk e dare una interpretazione geometrica di∑nk=1 λk = 0.

18

SOLUZIONI ESERCITAZIONE I

A. Numeri complessi

Esercizio 1:

53i = e3i log 5 = cos(3 log 5) + i sin(3 log 5)

1 + i

2− i=

(1 + i)(2 + i)

(2− i)(2 + i)=

1 + 3i

5

in = einπ/2 = cos(nπ/2) + i sin(nπ/2) =

{(−1)p se n = 2p

i(−1)p se n = 2p + 1

Esercizio 2:|z − i + 5| = 3 e una circonferenza di centro i− 5 e raggio 3|3z + i| ≥ 1 e la parte di piano esterna alla circonferenza di centro −i/3 e raggio 1/3Rez ≤ Imz e la parte di piano al di sopra della retta y = x|z − 1| − |z + 1| = 2 e l’asse x per x ≤ −1|z − 1|+ |z + i| = 0 e l’insieme vuoto

Esercizio 3:La condizione e che w = az, con a numero reale positivo, ovvero che w e z abbiano la stessafase in rappresentazione polare, arg w = arg z.

Esercizio 7: Usiamo la notazione z = x + iy. Allora:

cos z = cosh y cos x− i sinh y sin x

tanh z =sinh(2x) + i sin(2y)

cosh(2x) + cos(2y)

Esercizio 8:

cos(α + β) =1

2

(ei(α+β) + e−i(α+β)

)cos α cos β − sin α sin β =

1

4

[(eiα + e−iα)(eiβ + e−iβ) + (eiα − e−iα)(eiβ − e−iβ)

]Sviluppando la seconda espressione si vede subito che e uguale alla prima.

19

Esercizio 9:Si riscrive la somma come (z = exp iθ)

n∑k=0

cos(kθ) =Ren∑

k=0

eikθ = Ren∑

k=0

zk = Re1− zn+1

1− z= Re

1− ei(n+1)θ

1− eiθ

=Reei(n+1)θ/2(e−i(n+1)θ/2 − ei(n+1)θ/2)

eiθ/2(e−iθ/2 − eiθ/2)= Re

[einθ/2 sin(n + 1)θ/2

sin θ/2

]da cui si ottiene il risultato.

20

ESERCITAZIONE II (27/01/2004)

A. Serie e serie di potenze

Nota: Ricordate la formula di Stirling: n! ∼ nne−n√

2πn per n → ∞, e le formuleper il raggio di convergenza della serie di Taylor

∑∞n=0 anz

n: R = limn→∞ |an|−1/n, R =limn→∞ |an/an+1|.

Esercizio 1 - Discutere la convergenza delle seguenti serie numeriche:

∞∑n=1

ann!

nn, a ∈ R

∞∑n=1

1

n2 + 1

∞∑n=1

1

(log n)n

∞∑n=1

sin1

n

Esercizio 2 - Calcolare il raggio di convergenza delle seguenti serie di potenze:

∞∑n=1

zn

(n!)a, a > 0

∞∑n=1

nn

n!zn

∞∑n=1

(2n)!

(n!)2zn

∞∑n=1

e−√

nzn

∞∑n=1

n!e−na

zn, a > 0∞∑

n=1

cn2

zn, c ∈ C∞∑

n=1

(log n)2zn

∞∑n=1

zn!

Esercizio 3 - Dimostrare che le due serie di potenze

∞∑n=1

anzn

∞∑n=1

nbanzn, b ∈ R

hanno lo stesso raggio di convergenza.

Esercizio 4 - Se∑∞

n=0 anzn ha raggio di convergenza R, qual e il raggio di convergenza di∑∞

n=0(an)2zn ?

Esercizio 5 - Calcolare lo sviluppo di Taylor di centro z = 0 delle seguenti funzioni e il suoraggio di convergenza:

1

z2 + 1

1

z2 + z − 2cosh z

1

z − c, c ∈ C

Esercizio 6 - Calcolare lo sviluppo di Taylor di centro z0 6= 2 di f(z) = 1/(z − 2) e il suoraggio di convergenza al variare di z0. Vi viene in mente una interpretazione del risultato?

21

B. Integrazione dell’oscillatore armonicoQuesto esercizio guidato serve a presentare una applicazione fisica elementare della teoriadei numeri complessi. Il quesito 3) richiede la conoscenza della teoria dei sistemi dinamiciHamiltoniani isegnata nel corso di Meccanica analitica e relativistica.

Consideriamo l’oscillatore armonico la cui coordinata q(t) soddisfa l’equazione differenzialedel secondo ordine q(t) + ω2q(t) = 0.1) Scrivere le equazioni del moto nella forma di Hamilton usando la Hamiltoniana H(p, q) =p2

2+ ω2q2

2. Definire la variabile complessa z(t) = p(t) + iωq(t) e mostrare che le equazioni del

moto per la variabile z sono date da un’unica equazione differenziale del primo ordine.2) Risolvere le equazioni del moto per z. Mostrare che, esprimendo z in rappresentazionepolare (z = |z|eiθ), si identificano la quantita conservata A = |z|2/2ω e la variabile angolareθ = arg z. Quale significato fisico ha la quantita conservata A?

Facoltativo: Ricordiamo che un sistema Hamiltoniano (p, q) e detto integrabile se esisteuna coppia di variabili (variabili azione-angolo) A(p, q) e θ(p, q) tali che:1) La trasformazione (p, q) → (A, θ) e canonica; una condizione sufficiente e che esista unafunzione S(q, θ) tale che p = ∂S/∂q e A = −∂S/∂θ.2) Nelle nuove variabili si ha H(A, θ) = ωA, dove ω e la frequenza propria del sistema.La variabile A e una quantita conservata, mentre la variabile θ evolve linearmente nel tempo:θ(t) = θ0 + ωt.

3) Mostrare che la coppia di variabili (A, θ) e una coppia di variabili azione-angolo (sug-

gerimento: considerare la funzione generatrice S(q, θ) = ωq2

2 tan θ). Mostrare che nelle nuove

variabili H = ωA.

22

SOLUZIONI ESERCITAZIONE II

A. Serie e serie di potenze

Esercizio 1:I) Usando il criterio del rapporto si ha (ponendo an = ann!

nn )

limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = limn→∞

∣∣∣∣an+1(n + 1)!nn

ann!(n + 1)n+1

∣∣∣∣ = limn→∞

∣∣∣∣ ann

(n + 1)n

∣∣∣∣ = limn→∞

∣∣∣∣ a

(1 + 1n)n

∣∣∣∣ =|a|e

quindi per |a| < e la serie converge, per |a| > e diverge. Se |a| = e il criterio non e applicabileperche il limite e 1. Tuttavia in questo caso, usando la formula di Stirling, si ha, per n →∞,

|an| = en n!

nn∼ ene−n

√2πn =

√2πn →∞

e quindi la serie diverge perche il suo termine n-esimo diverge in modulo. Riassumendo, laserie converge per |a| < e e diverge per |a| ≥ e.II) Osservando che

1

n2 + 1<

1

n2

e che la serie∑

1/n2 e convergente, si ottiene la convergenza della serie considerata.III) Usando il criterio della radice si ha (ponendo an = (log n)−n)

limn→∞

|an|1n = lim

n→∞

1

log n= 0 < 1

per cui la serie converge.IV) Per discutere la convergenza osserviamo che per n grande, 1/n e molto piccolo e quindisi puo sviluppare il seno in serie di Taylor:

sin1

n∼ 1

n− 1

6n3+ o(

1

n5)

e quindi si ha

limn→∞

sin 1n

1n

= limn→∞

n sin1

n= lim

n→∞1− 1

6n2+ o(

1

n4) = 1

per cui la serie considerata ha lo stesso comportamento asintotico di∑

1n, ed e quindi

divergente.

23

Esercizio 2:

I) R = limn→∞

∣∣∣∣ an

an+1

∣∣∣∣ = limn→∞

[(n + 1)!]a

[n!]a= lim

n→∞(n + 1)a = ∞

II) R = limn→∞

∣∣∣∣ an

an+1

∣∣∣∣ = limn→∞

nn(n + 1)!

n!(n + 1)n+1= lim

n→∞

nn

(n + 1)n=

1

e

III) R = limn→∞

∣∣∣∣ an

an+1

∣∣∣∣ = limn→∞

(2n)![(n + 1)!]2

(n!)2(2n + 2)!= lim

n→∞

(n + 1)2

(2n + 2)(2n + 1)=

1

4

IV) R = limn→∞

|an|−1n = lim

n→∞(e√

n)1n = lim

n→∞e

1√n = 1

V) R = limn→∞

|an|−1n = lim

n→∞(n!e−na

)−1n = lim

n→∞(nne−n−na√

2πn)−1n

= limn→∞

n−1e1+na−1

exp

[− 1

2nlog(2πn)

]=

{∞ per a > 1

0 per a ≤ 1

VI) R = limn→∞

|an|−1n = lim

n→∞|c|−n =

∞ per |c| < 1

0 per |c| > 1

1 per |c| = 1

VII) R = limn→∞

∣∣∣∣ an

an+1

∣∣∣∣ = limn→∞

[log n

log(n + 1)

]2

= 1

La discussione dell’ultima serie e piu complicata. Osserviamo che

Sk =k∑

n=1

|zn!| ≤k!∑

n=1

|zn| = Tk

(provate a scriverlo esplicitamente per k = 1, 2, 3 e osservate che a sinistra mancano alcunitermini positivi presenti a destra). D’altronde la successione Tk converge a un limite finitoper k → ∞ se |z| < 1 (e la serie geometrica). Allora, per |z| < 1, Sk e una successionea termini positivi limitata e quindi converge. D’altronde, per |z| > 1 il termine n-esimodella serie considerata diverge, e quindi la serie non puo convergere. Quindi il raggio diconvergenza e R = 1.

Esercizio 3: Si ha

R2 = limn→∞

∣∣∣∣ nban

(n + 1)ban+1

∣∣∣∣ = limn→∞

[n

n + 1

]b ∣∣∣∣ an

an+1

∣∣∣∣ = limn→∞

∣∣∣∣ an

an+1

∣∣∣∣ = R1

Esercizio 4:Supponiamo che esista il limite (eventualmente infinito)

limn→∞

∣∣∣∣ an

an+1

∣∣∣∣ = R1

24

Allora R1 e il raggio di convergenza di∑

anzn. Il raggio di convergenza di

∑(an)2zn e dato

da

R2 = limn→∞

∣∣∣∣ (an)2

(an+1)2

∣∣∣∣ = limn→∞

∣∣∣∣ an

an+1

∣∣∣∣2 = R21

dalla continuita della funzione x2 per ogni x reale.

Esercizio 5:Ricordiamo che

1

1− z=

∞∑n=0

zn

per |z| < 1.I) Ponendo w = −z2 si ha

1

z2 + 1=

1

1− w=

∞∑n=0

wn =∞∑

n=0

(−1)nz2n

La serie converge per |w| = |z|2 < 1, ovvero |z| < 1.II) Scomponiamo il polinomio di secondo grado:

1

z2 + z − 2=

1

(z + 2)(z − 1)=

A

z + 2+

B

z − 1

I coefficienti A e B si determinano richiedendo l’uguaglianza con l’espressione di partenza esi ottiene A = −1/3, B = 1/3 da cui

1

z2 + z − 2=

1

3

[− 1

z + 2+

1

z − 1

]=

1

3

[−1

2

1

1−(− z

2

) − 1

1− z

]

=1

3

[−1

2

∞∑n=0

(−z

2

)n

−∞∑

n=0

zn

]=

∞∑n=0

1

3

[(−1)n+1

2n+1− 1

]zn

La serie converge per |z| < 1, come si puo mostrare nei tre modi seguenti:a) La singolarita piu vicina a 0 nella funzione di partenza e in z = 1.b) Calcolando R = limn→∞ |an/an+1| = 1.c) Osservando che le due serie in cui abbiamo scomposto la funzione convergono per |z| < 1(la seconda) e per |z| < 2 (la prima), per cui il raggio di convergenza della loro somma e ilminore dei due (e quindi |z| < 1).III) Dal momento che

dn

dznez = ez ∀n ∈ N

si ottiene lo sviluppo di Taylor della funzione esponenziale:

ez =∞∑

n=0

zn

n!

25

da cui

cosh z =ez + e−z

2=

1

2

[∞∑

n=0

zn

n!+

∞∑n=0

(−z)n

n!

]=

∞∑n=0

1 + (−1)n

2

zn

n!

Il coefficiente di zn/n! e zero per n dispari e uno per n pari, per cui i termini dispari sonoassenti. La serie puo essere riscritta, ponendo n = 2k, come

cosh z =∞∑

k=0

z2k

(2k)!

(per visualizzare meglio il procedimento potete scrivere i primi quattro-cinque termini dellosviluppo di ez e di e−z e poi sommare). Lo sviluppo converge in tutto il piano complesso dalmomento che la funzione cosh z e analitica ∀z ∈ C (potete verificarlo calcolando il raggio diconvergenza).IV) Supponendo c 6= 0 (altrimenti la funzione ha un polo in z = 0 e non puo essere sviluppatain serie di Taylor)

1

z − c= −1

c

1

1− zc

= −1

c

∞∑n=0

(z

c

)n

Lo sviluppo converge per |z/c| < 1, ovvero |z| < |c|.

Esercizio 6:Si riscrive

f(z) =1

z − 2=

1

z − z0 + z0 − 2=

1

z0 − 2

1

1− z−z0

2−z0

=1

z0 − 2

∞∑n=0

(z − z0

2− z0

)n

Lo sviluppo converge per ∣∣∣∣z − z0

2− z0

∣∣∣∣ < 1

ovvero |z − z0| < |2 − z0|. Si vede quindi che la serie converge se la distanza di z da z0 eminore della distanza di 2 da z0, cioe il cerchio di convergenza arriva fino alla singolarita dif(z).

26

METODI MATEMATICI DELLA FISICAI COMPITO D’ESONERO 3/02/04 - COMPITO A

A.A. 2003-04 Prof. A. DEGASPERIS

ATTENZIONE:scrivere su ciascun foglio il cognome ed indicare chiaramente l’inizio e la fine di ogni esercizio.

1. Calcolare la funzione A(x, y) = |z sin(z)|2 nel piano complesso z = x + iy..[ 6 ]

2. Trovare i valori di z per i quali cos(z) = 2 e riportarli nel piano complesso z ...[ 8 ]

3. Sia f(z) =∑∞

n=0 fn(z− z0)n lo sviluppo in serie di Taylor della funzione f(z) = z−1

z+1in

z0 = 1. Calcolare i coefficienti fn ed il raggio di convergenza R...[ 7 ]

4. Disegnare il dominio |ez2| ≥ 1 nel piano complesso z = x + iy .....[ 5 ]

5. Trovare le 3 radici del polinomio P (z) = z3 − 8i..[ 6 ]

6. Sia PN(z) un polinomio di grado N e siano zk le sue N radici, k = 1, 2, ..., N . Dimo-strare che, se PN(z) e’ pari , cioe’ PN(−z) = PN(z), allora

∑Nk=1 zk = 0

......[ 8 ]

IL NUMERO RIPORTATO ALLA FINE DI CIASCUN ESERCIZIO E’ IL VOTO MAS-SIMO. IL VOTO TOTALE E’ LA SOMMA DEI 6 VOTI PARZIALI (con riserva di unaeventuale rinormalizzazione).

27

METODI MATEMATICI DELLA FISICAI COMPITO D’ESONERO 3/02/04 - COMPITO B



1. Calcolare la funzione A(x, y) = |z2ez2| nel piano complesso z = x + iy...[ 6 ]

2. Trovare i valori di z per i quali cosh(z) = 2 e riportarli nel piano complesso z...[ 8 ]

3. Sia f(z) =∑∞

n=0 fn(z − z0)n lo sviluppo in serie di Taylor della funzione f(z) = (z+2)2

z−1

in z0 = −2. Calcolare i coefficienti fn ed il raggio di convergenza R...[ 7 ]

4. Disegnare il dominio Im(sinh z) ≥ 0 nel piano complesso z = x + iy...[ 5 ]

5. Trovare le 4 radici del polinomio P (z) = z4 + 16...[ 6 ]


∑Nk=1 zk = 0

...[ 8 ]


28

METODI MATEMATICI DELLA FISICAI COMPITO D’ESONERO 3/02/04 - COMPITO C



1. Calcolare la funzione A(x, y) = | sinh(z)z|2 nel piano complesso z = x + iy...[ 6 ]

2. Trovare i valori di z per i quali sin(z) = 2 e riportarli nel piano complesso z...[ 8 ]

3. Sia f(z) =∑∞

n=0 fn(z − z0)n lo sviluppo in serie di Taylor della funzione f(z) = z

z2+2

in z0 = 0. Calcolare i coefficienti fn ed il raggio di convergenza R...[ 7 ]

4. Disegnare il dominio |ez+z2| ≤ 14√e

nel piano complesso z = x + iy...[ 5 ]

5. Trovare le 3 radici del polinomio P (z) = z3 + 27...[ 6 ]


∑Nk=1 zk = 0

...[ 8 ]


29

SOLUZIONI I COMPITO D’ESONERO (03/02/2004)

Compito A:

1) A(x, y) = (x2 + y2)(sin2 x + sinh2 y).

2) z = z±n = ±i log(2 +√

3) + 2πn, n = 0,±1,±2, . . .

Re z

Im z

3) f0 = 0, fn = (−1)n+1

2n per n ≥ 1; R = 2.

4) x2 ≥ y2.

Re z

Im z

5) z3 − 8i = (z − z1)(z − z2)(z − z3); z1 =√

3 + i, z2 = −√

3 + i, z3 = −2i.

30

Compito B:

1) A(x, y) = (x2 + y2)ex2−y2.

2) z = z±n = ± log(2 +√

3) + 2πin, n = 0,±1,±2, . . .

Im z

Re z

3) f0 = f1 = 0, fn = − 13n−1 per n ≥ 2; R = 3.

4) Im(sinh z) = cosh x sin y ≥ 0 ⇒ sin y ≥ 0 ⇒ −∞ < x < ∞ ,2πn ≤ y ≤ π + 2πn , n = 0,±1,±2, . . .

Re z

Im z

5) z4 + 16 = (z − z1)(z − z2)(z − z3)(z − z4); z1 =√

2(1 + i), z2 = −√

2(1 + i),z3 =

√2(1− i), z4 = −

√2(1− i).

31

Compito C:

1) A(x, y) = sinh2 x+sin2 yx2+y2 .

2) z = z±n = ±i log(2 +√

3) + π2

+ 2πn, n = 0,±1,±2, . . .

Re z

Im z

π/2

3) fn = 0 per n = 2p, fn = (−1)(n−1)/2

2(n+1)/2 per n = 2p + 1; R =√

2.

4)(x + 1

2

)2 ≤ y2.

Re z

Im z

−1/2

5) z3 + 27 = (z − z1)(z − z2)(z − z3); z1 = 32

+ i3√

32

, z2 = 32− i3

√3

2, z3 = −3.

32

6) (comune ai tre compiti):

I) Si scrivePn(z) = cnz

n + cn−1zn−1 + · · ·+ c1z + c0 (1)

Se Pn(z) = Pn(−z), allora n e pari e cn−1 = cn−3 = · · · = c1 = 0 (tutti i coefficienti dellepotenze dispari sono nulli). Scrivendo

Pn(z) = cn(z − z1) · · · (z − zn) (2)

si ha

cn−1 = −cn

n∑k=1

zk = 0 (3)

come volevasi dimostrare.

II) Si osserva che se z1 e soluzione di Pn(z1) = 0, anche −z1 lo e. Allora

Pn(z) = (z − z1)(z + z1)Pn−2(z) = (z2 − z21)Pn−2(z) (4)

e anche il polinomio Pn−2(z) e pari essendo il rapporto di due funzioni pari. Quindi se z2 esoluzione di Pn−2(z) = 0 (eventualmente coincidente con z1) anche −z2 e soluzione. E quindi

Pn−2(z) = (z − z2)(z + z2)Pn−4(z) = (z2 − z22)Pn−4(z)

Pn(z) = (z − z1)(z + z1)(z − z2)(z + z2)Pn−4(z)(5)

Iterando questa costruzione si vede che per ogni radice zp esiste la corrispondente radice −zp

e che la loro molteplicita e la stessa, e quindi

n∑k=1

zk =P∑

p=1

mpzp +P∑

p=1

mp(−zp) = 0 (6)

come volevasi dimostrare.

33

ESERCITAZIONE III (10/02/2004)

Esercizio 1 - Calcolare tutti i possibili valori di z = i13 e di w = log(

√2 +

√2i).

Risultato: z1 = exp iπ6, z2 = exp 5iπ

6, z3 = exp 3iπ

6= −i; wn = log 2 + i

(π4

+ 2nπ), n =

0,±1,±2, . . ..

Esercizio 2 - Calcolare le soluzioni dell’equazione

e1z = α

dove α e un numero complesso assegnato. Mostrare che se |α| 6= 0 il numero di soluzioniappartenenti al cerchio |z| ≤ ε e infinito per qualunque ε.

Risultato: zn = 1/(log α + 2πin) , n = 0,±1,±2, . . .

Esercizio 3 - Dimostrare che la funzione f(z) = z tanh(log z)2 non e analitica.

Suggerimento: usare la non-analiticita della funzione zz = |z|2.

Esercizio 4 - Sia f(z) = u(x, y) + iv(x, y) analitica. Trovare la parte immaginaria v(x, y)sapendo che:a) u(x, y) = x3 + 3x(1− y2) ;b) u(x, y) = cos y cosh x ;c) u(x, y) = e−x[(1 + x) cos y + y sin y] .

Risultato: a) v(x, y) = −y3 + 3y(1 + x2) + c; b) v(x, y) = sinh x sin y + c; c) v(x, y) =e−x[−(1 + x) sin y + y cos y] + c, dove c e un numero reale arbitrario.

Esercizio 5 - Scrivere esplicitamente∫

γf(z)dz in termini di una parametrizzazione della

curva γ, se γ e:a) il triangolo di vertici [0, 1, i] percorso in senso orario;b) la circonferenza di centro i e raggio R percorsa due volte in senso antiorario;c) il quadrato di centro 0 e lato 2 percorso in senso antiorario.

Esercizio 6 - Calcolare i seguenti integrali:a) Ia =

∫γ(z + 1)2dz ; γ e il triangolo di vertici [−1, 1, i] orientato in senso antiorario.

b) Ib =∫

γzz dz ; γ e la circonferenza di centro z = 0 e raggio R = 5 orientata in senso

orario.c) Ic =

∫γez dz ; γ e il quadrato di vertici [0, 1, 1 + i, i] orientato in senso antiorario.

d) Id =∫

γcosh z dz ; γ e il quadrato di vertici [0, 1, 1 + i, i] orientato in senso antiorario.

Risultato: Ia = 0; Ib = 0; Ic = 2(e− 1)(1− e−i); Id = 0.

34

ESERCITAZIONE IV (17/02/2004)

Esercizio 1 - Calcolare l’integrale Iγ =∫

γz dz dove γ e una qualsiasi curva chiusa percorsa

in senso antiorario.

Risultato: usare il teorema di Gauss. Iγ = 2iAγ, dove Aγ e l’area della porzione di pianointerna a γ.

Esercizio 2 - Sia f(z) = u(x, y) + iv(x, y) analitica. Trovare f(z) sapendo che f(0) = 0 eche:a) u(x, y) = ex[(x2 − y2) cos y − 2xy sin y] ;b) v(x, y) = 3x2y − y3 ;c) v(x, y) = y

(x−1)2+y2 .

Risultato: a) f(z) = z2ez; b) f(z) = z3; c) f(z) = z1−z

.

Esercizio 3 - Calcolare i seguenti integrali:a)

∫γ

ez−1

z−1dz ; γ e la circonferenza di centro z = 1 e raggio R = 1 orientata in senso antiorario.

b)∫

γ1|z|2 dz ; γ e la curva definita da z(t) = cosh t + i sinh t, t ∈ (−∞,∞). Disegnare la

curva γ.c)

∫γ

12z−i−1

dz ; γ e il quadrato di vertici [0, 1, 1 + i, i] orientato in senso antiorario.

d)∫

γ1z

dz ; γ e l’ellisse di fuochi z = 1 e z = −1 e asse principale 3.

Risultato: a) 2πi; b) iπ/√

2; c) πi; d) 2πi.

Esercizio 4 - Calcolare il massimo del modulo della funzione f(z) nel dominio D, dove:a) f(z) = z2 ; D e il quadrato di vertici [0, 1, 1 + i, i].b) f(z) = sinh2 z ; D e il quadrato di vertici [−1/2, 1/2, 1/2 + 2πi,−1/2 + 2πi].c) f(z) = z2 + z ; D e il triangolo di vertici [−1, 1, i].d) f(z) = 1

z−3; D e il cerchio di centro z = 0 e raggio R = 2.

Risultato: a) 2; b) cosh2 12; c) 1; d) 1.

Esercizio 5 - Sviluppare in serie di Laurent di centro z0 le seguenti funzioni:a) f(z) = 1

(z−2)(z+3); z0 = 2.

b) f(z) = 1z3−z2−z+1

; z0 = 1.

c) f(z) = ez

(z−z0)5; ∀z0.

d) f(z) = ez + e1z − 1 ; z0 = 0.

35

Esercizi di preparazione per il II esonero (27/02/2004)

1 - Scrivere i coefficienti fn della serie di Laurent:

f(z) =z2

z − 2sin

(πz

2z − 4

)=

∞∑n=−∞

fn(z − 2)n

f(z) =1

z(z2 + 4)+

z

z2 + 1=

∞∑n=−∞

fnzn

f(z) =sin πz

(z − 1)2+

z

z2 + 2z − 3=

∞∑n=−∞

fn(z − 1)n

f(z) =1

z2 − iz + 2=

∞∑n=−∞

fnzn

in uno dei possibili domini di convergenza.

2 - Determinare un polinomio armonico P (x, y) tale che P (1, 0) = 0 e P (0, 1) = 1.

3 - Sia f(z) = u(x, y) + iv(x, y) analitica. Determinare f(z) sapendo che:a) u(x, y) = 3x2(1− 2y) + y2(2y − 3) e v(1, 0) = 2.b) u(x, y) = (x2 − y2) cos x cosh y + 2xy sin x sinh y e f(0) = 0.c) v(x, y) = 3x3 + (1− y)(9xy − 1) e f(0) = 0.Trovare i punti in cui f(z) = 0.

4 - Calcolare i seguenti integrali:

I1 =

∫ 2π

0

dθ1 + cos2 θ

1 + sin2 θ; I2 =

∫ 2π

0

dθe−2iθ sin θ

2 + sin θ; I3 =

∫ ∞

−∞dx

1 + x2

(x2 − 2x + 2)(x2 − 3ix− 2);

I4 =

∫ 2π

0

dθ1

2 + cos θ; I5 =

∫ ∞

0

dxcos πx

1 + 4x2; I6 =

∫ ∞

0

dx1 + cos πx

x2 + 1.

36

5 - Calcolare i seguenti integrali (tutte le curve sono orientate in senso antiorario):

I1 =

∫γ

dz zz ; γ e il triangolo di vertici [0, 1, i].

I2 =

∫γ

dz (z − 1)2 ; γ e l’unione della semicirconferenza |z − 1| = 1/2, Imz > 0

e del segmento di asse reale da essa sotteso.

I3 =

∫γ

dz (z + z) ; γ e il quadrato di vertici [0, 1, i + 1, i].

6 - Calcolare i seguenti integrali (tutte le curve sono orientate in senso antiorario):

I1 =

∫γ

dzsin πz

(z2 − 4)(z − 2)2; γ e la circonferenza |z − 1− i| = 2.

I2(n) =1

2πi

∫γ

dz1 + z

zn(z2 + 4); γ e la circonferenza |z| = 1, n ∈ Z.

I3 =

∫γ

dzz4

sinh2 z; γ e la circonferenza |z − 5i| = 3.

I4 =

∫γ

dzz3 − 6z

(z4 + 4)(z + 2i); γ e il quadrato con centro nell’origine, lati paralleli agli assi e lato 3.

I5 =

∫γ

dz3z4 + 5

z5 + 2; γ e la circonferenza |z| = 2.

I6 =

∫γ

dzz3

(z2 + 1)5; γ e la circonferenza |z − 1| = 2.

7 - Calcolare i seguenti integrali per k ∈ R:

f1(k) =

∫ ∞

−∞dx eikx x

(x2 + 1)2; f2(k) =

∫ ∞

−∞dx

cos kx

x2 − 2x + 2; f3(k) =

∫ ∞

0

dxcos kx

(x2 + 1);

f4(k) =

∫ ∞

0

dxx2 cos kx

(x2 + 1)2; f5(k) =

∫ ∞

−∞dx e−ikx sin x

1 + x2; f6(k) =

∫ ∞

−∞dx

cos 2kx

x4 + 5x2 + 4.

37

METODI MATEMATICI DELLA FISICAII COMPITO D’ESONERO 2/03/04

A.A. 2003-04 Prof. A. DEGASPERISCOMPITO A


1. Calcolare l’integrale I =∮

Cdz(1 + 2z∗)2 dove C e’ la circonferenza |z| = 1 orientata in

senso antiorario ..................[ 5 ]

2. Sia f(z) = u(x, y) + iv(x, y) una funzione intera tale che f(0) = 0, e sia v(x, y) =4xy + 3y + 1− exp(−y) cos(x) la sua parte immaginaria. Calcolare la sua parte realeu(x, y).................................[ 6 ]

3. Sia C la circonferenza |z| = 1 orientata in senso antiorario, calcolare l’integrale A =∮C

dz z(z2+4)(4z2+1)

.........................[ 7 ]

4. Calcolare il residuo in z = i della funzione

h(z) = exp(4z)/(z2 + 1)2.......................................... .........[ 6 ]

5. Calcolare l’integrale B =∫ +∞−∞ dxx2/[(x + i)(x2 − 2ix− 2)2]..[ 6 ]

6. Dimostrare che, se f(z) ha un polo od una singolarita’essenziale in z0, allora il residuo di g(z) = df(z)/dz in z0 e’nullo........................................................ ......................[ 7 ]


38


A.A. 2003-04 Prof. A. DEGASPERISCOMPITO B



Cdz(3z − z∗2)2 dove C e’ la circonferenza |z| = 1 orientata

in senso antiorario ..................[ 5 ]

2. Sia f(z) = u(x, y) + iv(x, y) una funzione intera tale che f(0) = i, e sia u(x, y) =−4xy + x + exp(x) sin(y) la sua parte reale. Calcolare la sua parte immaginariav(x, y).....................................[ 6 ]

3. Sia C la circonferenza |z − 1| = 1 orientata in senso antiorario, calcolare l’integraleA =

∮C

dz 1(4z2−1)(4z2−8z+5)

...................[ 7 ]

4. Calcolare il residuo in z = 1 della funzione h(z) = z cos(πz2

)/(z − 1)3.............[ 6 ]

5. Calcolare l’integrale B =∫ 2π

0dθ1/[3− cos(θ)]....................[ 6 ]

6. Dimostrare che, se f(z) e’ dispari, f(−z) = −f(z), ed ha un polo od una singolarita’essenziale in z = 0, allora il residuo di g(z) = f(z)2 in z = 0 e’ nullo...............[ 7 ]


39


A.A. 2003-04 Prof. A. DEGASPERISCOMPITO C



Cdz(z + z∗)2/z∗ dove C e’ la circonferenza |z| = 1 orientata

in senso antiorario ..................[ 5 ]

2. Sia f(z) = u(x, y) + iv(x, y) una funzione intera tale che f(0) = 1, e sia u(x, y) =4x + x2 − y2 + exp(2x) cos(2y) la sua parte reale. Calcolare la sua parte immaginariav(x, y).........................[ 6 ]

3. Sia C la circonferenza |z| = 1 orientata in senso antiorario, calcolare l’integrale A =∮C

dz z(z2+3)(2z2+3z−2)

.......................[ 7 ]

4. Calcolare il residuo in z = 3 della funzioneh(z) = (z + 1) sin(πz

2)/(z − 3)3.............................. ...............[ 6 ]

5. Calcolare l’integrale B =∫ 2π

0dθ 1/[9− 8 sin2 θ].....................[ 6 ]

6. Dimostrare che, se f(z) ha un polo od una singolarita’essenziale in z0, allora il residuo di g(z) = df(z)/dz in z0 e’nullo........................................................ ......................[ 7 ]


40

SOLUZIONI II COMPITO D’ESONERO (02/03/2004)

Esercizio 1Si pone z = eiθ da cui z∗ = e−iθ e dz = ieiθdθ. Sostituendo negli integrali e ricordando che∫ 2π

0dθ eimθ = 2πδm0 si ottiene:

A) I = 8πi B) I = −12πi C) I = 2πi

Esercizio 2A) u(x, y) = 2(x2 − y2) + 3x + e−y sin x, f(z) = 2z2 + 3z + i− ieiz.B) v(x, y) = 2(x2 − y2) + y − ex cos y + 2, f(z) = 2iz2 + z − iez + 2i.C) v(x, y) = 4y + 2xy + e2x sin(2y), f(z) = 4z + z2 + e2z.

Esercizio 3

A) A = 2πi

[Res

(z

(z2+4)(4z2+1)

)i2

+ Res(

z(z2+4)(4z2+1)

)− i

2

]= 2πi

15.

B) A = −2πiRes(

1(4z2−8z+5)(4z2−1)

)− 1

2

= πi20

.

C) A = 2πiRes(

z(2z2+3z−2)(z2+3)

)12

= 4πi65

.

Esercizio 4A) Res[h(z)]i = −

(1 + i

4

)e4i.

B) Res[h(z)]1 = −π2.

C) Res[h(z)]3 = π2

2.

Esercizio 5A) Si chiude il cammino di integrazione su una semicirconferenza all’infinito nel semipiano

inferiore (dove c’e un solo polo in z = −i) e quindi B = −2πiRes(

z2

(z+i)(z2−2iz−2)2

)−i

= 2πi25

.

Per i compiti B e C si riscrive cos θ = (z + z−1)/2, sin θ = (z − z−1)/2i e dθ = dz/iz, dove zvaria sulla circonferenza goniometrica C e quindiB) B = 2i

∮C

dz 1z2−6z+1

= −4πRes(

1z2−6z+1

)3−

√8

= π√2.

C) B = −i∮

Cdz z

2z4+5z2+2= 2π

[Res

(z

2z4+5z2+2

)i√2

+ Res(

z2z4+5z2+2

)− i√

2

]= 2π

3

41

Esercizio 6Compiti A e C:Per 0 < |z − z0| < R, f(z) = · · ·+ f−n

(z−z0)n + · · ·+ f−1

(z−z0)+ f0 + f1(z − z0) + · · · , quindi

g(z) = · · · − nf−n

(z−z0)n+1 + · · · − f−1

(z−z0)2+ f1 + 2f2(z− z0) + · · · e questa serie di Laurent mostra

che Res[g(z)]z0 = g−1 = 0.

Compito B:Se f(−z) = −f(z) allora g(−z) = g(z) e quindi la serie di Laurent di g(z) contiene solo itermini pari: g(z) = · · ·+ g−2n

z2n + g−2n+2

z2n−2 + · · ·+ g−2

z2 + g0 + g2z2 + · · ·+ g2mz2m + · · · e quindi

Res[g(z)]0 = g−1 = 0.

42

ESERCITAZIONE V (9/3/2004)

1 - Determinare un polinomio armonico P (x, y) tale che:a) P (0, 0) = 0, P (0, 1) = 1 e P (1, 1) = 2.b) P (0,−1) = 1, P (−1, 2) = 2.c) P (x, x) = x(3− 2x2).d) P (x, x2) = x4 − x2 + 1.e) P (0, 0) = 3, ∂P

∂x(1, 0) = 2.

f) P (1, 1) = −1, ∂P∂x

(0, 0) = 1, ∂P∂y

(0, 1) = 0.

2 - Calcolare i seguenti integrali:

I1 =

∫ ∞

0

dx

√x

x2 + 5x + 4; I2 =

∫ ∞

0

dxx2/3

x2 + 4; I3 =

∫ ∞

0

dx1

x2 +√

x;

I4 =

∫ 0

−∞dx

3√

x

(1− x)2; I5 =

∫ 0

−∞dx

x−2/3

8− x; I6 =

∫ ∞

0

dx4√

x

x2 + 5x + 4.

3 - Calcolare il residuo all’infinito delle seguenti funzioni:

f(z) =z2 + 1

z4 − 2; f(z) = e1/z ; f(z) = e1/z2

; f(z) =z5 − 2

z6 + z5 + 4; f(z) =

z4 + 4

z4 + 3z3

4 - Calcolare la trasformata di Fourier, f(k) =∫∞−∞ dx eikxf(x), dove f(x) e data da:

f(x) = exp(− 3x2

); f(x) = exp

[−(x− 1)2

3

]; f(x) = e−x2

sin 4x ;

f(x) =sin 4x

x2 + 1; f(x) = exp

(− |x|

); f(x) = exp

(− |x + 5|

)Se possibile, verificare che f(x) =

∫∞−∞

dk2π

e−ikxf(k).Suggerimento: Ricordate che potete “completare il quadrato”, nel senso che∫ ∞

−∞dx e−Ax2+Bx =

∫ ∞

−∞dx e−A(x− B

2A)2 e

B2

4A

A questo punto, se A e reale e positivo, mostrate che, ∀α ∈ C,∫ ∞

−∞dx e−A(x+α)2 =

√π

A.

43

Simulazione del III esonero (16/03/2004)

1 - Calcolare l’integrale

I =

∫ 0

−∞dx

x4/5

x2 − 3x + 2


f(k) =

∫ ∞

−∞dx eikx x2 cos 6x

x4 + 16


f(k) =

∫ ∞

−∞dx eikx e−3(x−1)2 sin 2(x− 1)

4 - Trovare una soluzione f(x, y) dell’equazione di Laplace tale che, sulla circonferenza dicentro (1, 1) e raggio 1/2, si abbia f = 8x3 − 12x2 − 6x + 4.

5 - Calcolare il residuo all’infinito di f(z) = z4

z3+9z+ cos 1

z3 .

6 - Sviluppare in serie di Fourier la funzione f(θ) = 13+cos2 θ

nell’intervallo −π ≤ θ ≤ π.

7 - Sviluppare in serie di Fourier nell’intervallo −π ≤ θ ≤ π la funzione

f(θ) =

{θπ

+ 1 θ ∈ [−π, 0)

1 θ ∈ [0, π)

44

1 Serie e trasformata di Fourier. 1

Il teorema di Fourier rappresenta non soltanto uno dei piu bei risultati dell’analisi moderna, mafornisce anche uno strumento indispensabile per lo studio di quasi tutti i principali problemidella fisica moderna.

W. Thomson e P. G. Tait, Philosophie Naturelle (1867).

(1) Sviluppare in serie trigonometrica di Fourier nell’intervallo [−π, π] le funzioni

(a) f(x) =

{1 per x ∈ (0, π]−1 per x ∈ [−π, 0)

(b) f(x) = |x|.

(2) Sviluppare in serie trigonometrica di Fourier nell’intervallo [−π, π] la funzione

f(x) = ex.

Suggerimento: utilizzare la forma complessa della serie di Fourier.

(3) Utilizzare il risultato dell’esercizio precedente per dimostrare che

∞∑n=1

(−1)n

1 + n2=

12

( π

sinhπ− 1

).

(4) Sviluppare in serie trigonometrica di Fourier nell’intervallo [−1, 1] la funzione

f(x) = x2,

ed utilizzare il risultato per dimostrare che

∞∑n=1

(−1)n+1

n2=

π2

12.

45

METODI MATEMATICI DELLA FISICAIII COMPITO D’ESONERO 22/03/04

A.A. 2003-04 Prof. A. DEGASPERISCOMPITO A


1. Calcolare l’integrale I =∫ +∞

0dx x

x3+1..................................[ 6 ]

2. Calcolare, per ogni k reale, l’integrale di Fourier

F (k) =∫ +∞−∞ dxx exp(ikx)

(x2+1)2........................................................[ 6 ]

3. Calcolare il residuo in z0 = ∞ della funzione

f(z) = z2

1+4z2 sin(2/z) .......................... ...............................[ 5 ]

4. Calcolare la serie di Fourier g(x) =∑∞

n=1(−1)n

2n sin(2nx) nell’intervallo −π < x <π............................. .........................................[ 6 ]

5. Sia, nell’intervallo −π < x < π, 1/[4 + cos(x)] =∑+∞

n=−∞ cn exp(inx). Calcolare icoefficienti di Fourier cn per ogni intero n.....[ 6 ]

6. Se la funzione A(z) e’ analitica in z = 0 ed e’ dispari, A(−z) = −A(z), mostrare chela funzione B(z) =

√zA(

√z) e’ analitica in z = 0........................................................

.......................[ 6 ]


46


A.A. 2003-04 Prof. A. DEGASPERISCOMPITO B



0dx x1/2

x3+1..................................[ 6 ]


F (k) =∫ +∞−∞ dxx2 exp(ikx)

(4x2+1)2........................................................[ 6 ]


f(z) = (4z

+ z) cosh(2z2) ...................... ...............................[ 5 ]

4. Calcolare la serie di Fourier g(x) =∑+∞

n=−∞1

3|n|exp(inx) nell’intervallo −π < x <

π............................. .........................................[ 6 ]

5. Sia, nell’intervallo −π < x < π, 1/[3 − sin(x)] =∑+∞


6. Sia P (z) un polinomio della variabile z = x + iy e siano i polinomi a(x, y) = Re[P (z)]e b(x, y) = Im[P (z)]. Mostrare che il polinomio q(x, y) = a(x, y)b(x, y) e’ armoni-co......................[ 6 ]


47


A.A. 2003-04 Prof. A. DEGASPERISCOMPITO C



0dx x1/3

x3+1..................................[ 6 ]


F (k) =∫ +∞−∞ dx exp(ikx)

(x2+4)2..........................................................[ 6 ]


f(z) = (1 + z)4 sin2(1/z2) .......................... .........................[ 5 ]

4. Calcolare la serie di Fourier g(x) =∑∞

n=01n!

cos(nx) nell’intervallo −π < x < π.....[ 6 ]

5. Sia, nell’intervallo −π < x < π, sin(x)/[2 + cos(x)] =∑+∞


6. Mostrare che la serie di Fourier A(x) =∑=∞

n=0(1/3n) cos(nx) converge uniformemente

nell’intervallo −π < x < π ............[ 6 ]


48

SOLUZIONI III COMPITO D’ESONERO (22/03/2004)

Esercizio 1

A) I =

∫ ∞

0

dxx

x3 + 1= −

∑Res

(z log z

1 + z3

)= −

∑k

log zk

3zk

=2π

3√

3

B) I =

∫ ∞

0

dxx1/2

1 + x3= πi

∑Res

(z1/2

1 + z3

)= πi

∑k

z1/2k

3z2k

=π

3

C) I =

∫ ∞

0

dxx1/3

1 + x3=

2πi

1− e2πi/3

∑Res

(z1/3

1 + z3

)=

πe2πi/3

sin(π/3)

∑k

z1/3k

3z2k

=2π

3√

3

(2 cos

π

9− 1

)dove zk =

{eiπ/3, eiπ, e5iπ/3

}e la penultima uguaglianza e ottenuta usando la formula di De

L’Hopital,

limz→zi

z − zi

1 + z3=

1

3z2i

Esercizio 2Si deve calcolare un integrale tipo F (k) =

∫∞−∞ dxeikxf(x).

A) Per k > 0 si chiude il cammino di integrazione nel semipiano superiore e

F+(k) = 2πiRes

[eikz z

(z2 + 1)2

]z=i

= 2πi limz→i

d

dzeikz z(z − i)2

(z2 + 1)2=

π

2ike−k

Dal momento che la funzione f(x) e dispari, si ha F (k) = −F (−k) e quindi per k < 0 si ha

F−(k) = −F+(−k) =π

2ikek

e infine, ∀k ∈ R, F (k) = π2ike−|k|. Alternativamente, si puo calcolare F−(k) chiudendo il

cammino nel semipiano inferiore.B) Come nel caso precedente per k > 0

F+(k) = 2πiRes

[eikz z2

(4z2 + 1)2

]z=i/2

= 2πi limz→i/2

d

dzeikz z2(z − i/2)2

(4z2 + 1)2=

π

32(2− k)e−k/2

Stavolta la funzione f(x) e pari, quindi F (k) = F (−k) e per k < 0 si ha

F−(k) = F+(−k) =π

32(2 + k)ek/2

e infine, ∀k ∈ R, F (k) = π32

(2− |k|)e−|k|/2.C) Come nel caso precedente per k > 0

F+(k) = 2πiRes

[eikz 1

(z2 + 4)2

]z=2i

= 2πi limz→2i

d

dzeikz (z − 2i)2

(z2 + 4)2=

π

16(1 + 2k)e−2k

49

e F (k) = F (−k) per cui F (k) = π16

(1 + 2|k|)e−2|k|.

Esercizio 3

A) f

(1

w

)=

1

4 + w2sin 2w =

[1

4− w2

16+ o(w4)

][2w + o(w3)] =

w

2+ o(w2) Resf∞ = −1

2

B) f(z) =

(4

z+ z

) [1 + 2z4 +

2

3z8 + · · ·

]=

4

z+ z + 8z3 + 2z5 + · · · Resf∞ = −4

C) f(z) = (z4 + 4z3 + 6z2 + 4z + 1)

(1

z4− 1

3z8+ · · ·

)= 1 +

4

z+ · · · Resf∞ = −4

Esercizio 4

A) g(x) = Im∞∑

n=1

(−1

2

)n

e2nxi = Im

[1

1 + 12e2xi

− 1

]= − 2 sin 2x

5 + 4 cos 2x

B) g(x) = 1 +∞∑

n=1

einx

3n+

∞∑n=1

e−inx

3n= 1 + 2Re

∞∑n=1

einx

3n= 1 + 2Re

[1

1− eix/3− 1

]=

4

5− 3 cos x

C) g(x) = Re∞∑

n=0

(eix)n

n!= Re eeix

= ecos x cos sin x

Esercizio 5A) Dalle formule per i coefficienti di Fourier si ha

cn =1

2π

∫ π

−π

dxe−inx

4 + cos x=

1

πi

∮dz

z−n

z2 + 8z + 1

dove l’integrale e fatto sulla circonferenza di raggio 1. Per n ≥ 0 la funzione va a zero piuvelocemente di 1/z2 all’infinito quindi conviene sommare i residui esterni alla circonferenza.L’unico polo esterno e in z = −4−

√15 e

cn = −2Res

[z−n

z2 + 8z + 1

]−4−

√15

=(−1)n

(4 +√

15)n√

15

Dal momento che la funzione e pari si ha c−n = cn e quindi per n < 0

cn =(−1)n

(4 +√

15)−n√

15=

(−1)n

(4−√

15)n√

15

B) Come nel caso precedente

cn =1

2π

∫ π

−π

dxe−inx

3− sin x=

1

π

∮dz

z−n

−z2 + 6iz + 1

50

In questo caso la funzione non ha parita definita per cui bisogna considerare separatamenten > 0 e n ≤ 0. Consideriamo prima il caso n ≤ 0: la funzione ha un solo polo interno allacirconferenza di raggio 1 in z = (3− 2

√2)i e

cn = 2iRes

[z−n

−z2 + 6iz + 1

](3−2

√2)i

=1

in(3− 2√

2)n2√

2

Per n > 0 invece come nel caso precedente si considera il residuo esterno in z = (3+2√

2)i e

cn = −2iRes

[z−n

−z2 + 6iz + 1

](3+2

√2)i

=1

in(3 + 2√

2)n2√

2

C) Come nel caso precedente

cn =1

2π

∫ π

−π

dxsin x e−inx

2 + sin x= − 1

2π

∮dz

(z2 + 1) z−n−1

(z − z+)(z − z−)

con z± = −2±√

3. Si ottiene come nel caso precedente

cn =

izn

+ n ≥ 1

0 n = 0

−iz−n+ n ≤ 1

ovvero cn = i sgnn (√

3− 2)|n|.

Esercizio 6A) A(z) =

∑∞n=0 anz

2n+1 ⇒ A(√

z) =∑∞

n=0 anzn+1/2 ⇒ B(z) =

√zA(

√z) =

∑∞n=0 anz

n+1,e quindi e analitica in z = 0 per definizione.B) P (z) = a + ib ⇒ P 2(z) = a2 − b2 + 2iab ⇒ ab = ImP 2(z)/2 e quindi e un polinomioarmonico.C) |

∑∞n=0(1/3

n) cos(nx)| ≤∑∞

n=0 |(1/3n) cos(nx)| ≤∑∞

n=0(1/3n) = 3/2. Il termine n-esimo

della serie e stimato uniformemente dal termine n-esimo di una serie convergente, quindi laserie converge uniformemente.

oppure si somma la serie A(x) = Re∑∞

n=0

(eix

3

)n

= 3(3−cos x)10−6 cos x

e poiche A(x) e continua in

−π ≤ x ≤ π e periodica, A(x + 2π) = A(x), per il teorema di Fejer la serie di Fourierconverge uniformemente.

51

METODI MATEMATICI DELLA FISICACOMPITO D’ESAME 29/03/04



1. Sia f(z) =∑+∞

n=0 fn(z − 1)n lo sviluppo in serie di Taylor della funzione f(z) = (2z2 −z − 1)/(4z2 − 4z − 3) in z0 = 1. Calcolare i coefficienti fn ed il raggio di convergenzaR. ..................[ 5 ]

2. Trovare le 4 radici del polinomio P (z) = 9z4 + 4................[ 5 ]

3. Sia g(z) = (z2−4)/[(z2+1)(z2+7z+10)], calcolare l’integrale G =∮

dzg(z) esteso allacinconferenza |z| = 3 orientata in senso antiorario . ....................................................................[ 5 ]

4. Sia A(z) = u(x, y) + iv(x, y) una funzione intera tale che A(0) = 0, e sia u(x, y) =2xy − sinh x sin y la sua parte reale. Calcolare la sua parte immaginaria v(x, y)..........................................[ 5 ]


0dx1/[

√x(3x2 + 10x + 3)] .........[ 5 ]

6. Sia π−|x| =∑∞

n=0 cn cos(nx)+∑∞

n=1 sn sin(nx) per −π ≤ x ≤ π, calcolare i coefficientidi Fourier cn e sn ..........................[ 5 ]

7. Sia P (z) un polinomio di grado N e sia F (z) = dlnP (z)/dz = dP (z)/dz/P (z).Dimostrare che Res∞F (z) = −N ...............[ 5 ]

IL NUMERO RIPORTATO ALLA FINE DI CIASCUN ESERCIZIO E’ IL VOTO MASSI-MO. IL VOTO TOTALE E’ LA SOMMA DEI 7 VOTI PARZIALI .GLI STUDENTI CHE VOGLIONO RECUPERARE UN ESONERO SCRITTO, I O II OIII E/O LA DOMANDA TEORICA, SI LIMITANO A SVOLGERE RISPETTIVAMENTEGLI ESERCIZI O (1,2) O (3,4) O (5,6) E/O (7).

52

SOLUZIONI PROVA D’ESAME DEL 29/03/04

Esercizio 1: f(z) = (1 − z)∑∞

n=0 2n(z − 1)n; f0 = 0, fn = −2n−1 per n ≥ 1; il raggio diconvergenza e |z − 1| < R = 1/2.

Esercizio 2: zn =√

23ei π

4+niπ

2 , n = 0, 1, 2, 3.

Esercizio 3: G = πi13

. Nota: la funzione g(z) ha tre poli all’interno della circonferenza e unpolo all’esterno. Ricordando che

∑Resg(z) = 0 perche g(z) va a zero piu velocemente di

1/z all’infinito, l’integrale si calcola facilmente usando il solo residuo esterno.

Esercizio 4: v(x, y) = −x2 + y2 + cosh x cos y − 1; A(z) = −iz2 + i cosh z − i.

Esercizio 5: I = π√

34

.

Esercizio 6: I coefficienti sn sono nulli perche la funzione e pari. Si ha c0 = π/2 e cn = 4πn2

per n dispari, cn = 0 per n pari.

Esercizio 7: Si ha P (z) = C0zN

(1 + C1

z+ C2

z2 + · · ·). Quindi log P (z) = N log z + log C0 +

log(1 + C1

z+ C2

z2 + · · ·)

e d log P (z)dz

= Nz− (C1

z2 +2C2z3 +··· )

(1+C1z

+C2z2 +··· )

= Nz

+ O(

1z2

)da cui segue che il

residuo all’infinito di d log P (z)dz

e −N .

53

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