Modelli Matematici per i Mercati Finanziari I

Immunizzazione con GAMS(Vittorio Moriggia)

U N I V E R S I T A' D E G L I S T U D I D I B E R G A M O

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA, STATISTICA, INFORMATICA E APPLICAZIONI“Lorenzo Mascheroni”

Attori delle selezioni di portafoglio

Gestoreselezione della composizioneribilanciamento del portafogliomisurazione delle prestazioni

InvestitoriA. saldo netto positivo

strategie passive: replica di un indice, portafoglio alla Markowitz

strategie attive su mispricing

B. saldo netto nullo (Asset-Liabilities Mgnt)

strategie passive: perfect cash flow matching, portafogli dedicati, portafogli immunizzazione

strategie attive su mispricing

Perfect Cash Flow Matching

costruire un portafoglio a costo minimo tale da garantire esattamente ad ogni scadenza delle passività la piena copertura

Ui

iix

xqi

min

i

ii LxC T

0ix

U=1,2,...,I Universo delle obbligazioni

xi = quantità del titolo i–esimoqi = Quotazione di mercato del

titolo = indice della data di

pagamento della passività con T

L = passività al tempo Ci= Ammontare dei flussi del

titolo i in

vari

abile

deci

sion

al

e

liabilities.txt

Data set derived from U.S.Treasury Quotes for 6/23/89 from the Wall Street Journal

liability liabrate(*)

23-06-1989 0 0.09237001-09-1989 50000 0.09228115-06-1990 42000 0.09036701-12-1990 40000 0.08864301-12-1991 40000 0.08564901-06-1993 45000 0.086548

liability liabrate(*)

23-06-1989 0 0.09237001-09-1989 50000 0.09228115-06-1990 42000 0.09036701-12-1990 40000 0.08864301-12-1991 40000 0.08564901-06-1993 45000 0.086548

(*)la struttura per scadenza delle passività è calcolata con un fitting di cubic-spline in regime di capitalizzazione continua, Actual/365

Esercizio 1

1. Definire gli opportuni insiemi per la tabella delle passività

2. Includere il file liabilites.txt per inizializzare il parametro delle passività. La sintassi del comando include è la seguente:

$include "nomefile"

bonds.txt

bond-1 bond-2 bond-3 bond-4 bond-5 bond-6 bond-7 bond-815-07-1989 103.8125 107.2515-08-1989 7.4375 3.625 4.125 4.3125 4.375 5.937515-02-1990 7.4375 3.625 4.125 4.3125 4.375 5.937515-08-1990 7.4375 3.625 4.125 4.3125 4.375 5.937515-02-1991 7.4375 3.625 4.125 4.3125 4.375 5.937515-08-1991 107.4375 3.625 4.125 4.3125 4.375 5.937515-02-1992 3.625 4.125 4.3125 4.375 5.937515-08-1992 103.625 104.125 4.3125 4.375 5.937515-02-1993 4.3125 4.375 5.937515-08-1993 104.3125 104.375 105.9375

yield 8.35 8.56 8.08 8.29 8.37 8.35 8.35 8.36price(*) 99.9063 100.2812 113.0625 97.1563 99.6563 100.9375 101.375 112.0625accr(**) 3.3491 6.3688 5.2597 2.5635 2.9171 3.0497 3.0939 4.1989

bond-1 bond-2 bond-3 bond-4 bond-5 bond-6 bond-7 bond-815-07-1989 103.8125 107.2515-08-1989 7.4375 3.625 4.125 4.3125 4.375 5.937515-02-1990 7.4375 3.625 4.125 4.3125 4.375 5.937515-08-1990 7.4375 3.625 4.125 4.3125 4.375 5.937515-02-1991 7.4375 3.625 4.125 4.3125 4.375 5.937515-08-1991 107.4375 3.625 4.125 4.3125 4.375 5.937515-02-1992 3.625 4.125 4.3125 4.375 5.937515-08-1992 103.625 104.125 4.3125 4.375 5.937515-02-1993 4.3125 4.375 5.937515-08-1993 104.3125 104.375 105.9375

yield 8.35 8.56 8.08 8.29 8.37 8.35 8.35 8.36price(*) 99.9063 100.2812 113.0625 97.1563 99.6563 100.9375 101.375 112.0625accr(**) 3.3491 6.3688 5.2597 2.5635 2.9171 3.0497 3.0939 4.1989

(*) I prezzi sono al corso secco(**) I ratei (accruals) sono calcolati alla data corrente

Esercizio 2

1. Definire gli opportuni insiemi per la tabella delle obbligazioni (per le righe conviene utilizzare un asterisco)

2. Definire la tabella delle obbligazioni e includere il file bonds.txt

3. Calcolare i prezzi corso tel-quel:corso tel-quel = corso secco + rateo

Orizzonte temporale: osservazione

L’insieme T riguarda solamente le scadenze delle passività.I flussi di cassa delle obbligazioni devono cadere nelle stesse date

Ui

iix

xqi

min

i

ii LxC T

Uixi 0

Il problema non è risolvibile!(infeasible)

Esercizio 3

Individuare le variabili decisionaliDefinire il problema PCFM (Perfect Cash Flow Matching) e risolverloCommentare i risultati

Considerazioni sui risultati

La maggior parte dei problemi sono non ammissibili (infeasible)Una possibile e parziale soluzione è data dalla creazione di portafogli dedicatiViene infatti rilassata la condizioni di perfect matching tra i flussi per una condizione meno stringente

Portafogli dedicati

Poiché spesso il perfect matching non è realizzabile, si costruisce un portafoglio dedicato in cui ciascun flusso in uscita è inferiore o uguale a ciascun flusso in entrata generato in quel momento o immediatamente prima

0min sxqUi

iixi

sLsxFi

ii )1(1

T

TsUixi 0,0

],1[

)1(

t

titi CF

Orizzonte temporale

Dobbiamo definire un

insieme T che combini le scadenze delle passività con i flussi di cassa delle obbligazioni

Dobbiamo calcolare le distanze

in giorni o in anni tra le datedell’intero orizzonte

temporale

],1[

)1(

t

titi CF

Esercizio 4

1. Definire l’insieme T con tutte le scadenze:

2. Modificare gli insiemi delle passività (Tl) in modo che sia un sottoinsieme dell’insieme T

TlTsT

Esercizio 51. Con l’aiuto di Excel creare il file ASCII

maturities.txt contenente la tabella seguente:

in cui le colonne “days” e “term” devono

days term23-06-1989 0 015-07-1989 22 0.06027397315-08-1989 53 0.14520547901-09-1989 70 0.191780822...

days term23-06-1989 0 015-07-1989 22 0.06027397315-08-1989 53 0.14520547901-09-1989 70 0.191780822...

Esercizio 5 (continua)

contenere, rispettivamente:i giorni trascorsi tra la prima passività e le successive,ad es. 1/9/1989 – 23/6/1989 = 70ggi giorni trascorsi tra la prima passività e le successive in anni,ad es. 1/9/1989 – 23/6/1989 / 365 = 0.192

1. Includere il file maturities.txt

Esercizio 6

Calcolare i flussi delle attività reinvestiti al tasso tra due scadenze di passività [–1, ]:

Implementare il problema di ottimizzazione e risolvere il modello

],1[

)1(

t

titi CF

Duration matching per singole passività

Come posso scegliere il mio portafoglio di investimento in modo tale che se i portafogli di attivo e passivo sono in equilibrio oggi posso essere sicuro che lo siano anche in futuro indipendentemente da ciò che accadrà ai tassi?

Ui

iix

xqi

min

Ui

Lii PxP

Uixi 0

Ui

Lii kxk

Tt

titi rCP )1(

Tt

titi rtCk 1)1(

Esercizio 7

Calcolare i prezzi teorici:

Calcolare le dollar durations:

Tt

titi rCP )1(

T

L rLP

)1(

Tt

titi rtCk 1)1(

T

L rLk

1)1(

Esercizio 8

Implementare il problema di ottimizzazione e risolvere il modelloConfrontare i risultati con il modello precedente

Duration matching per passività multiple

Tenendo conto della convessità

Ui

iix

xQi

min

Ui

Lii PxP

Ui

Lii kxk

Uixi 0

Ui

Lii QxQ

Tt

titi rCttQ 2)1()1(

Esercizio 9

Calcolare le duration convexity:

Implementare il problema di ottimizzazione e risolvere il modelloCommentare i risultati

Tt

titi rCttQ 2)1()1(

T

L rLQ

2)1()1(