Liceo scientifico “Galileo Galilei”

Modelli matematici per lo studio del

Covid-19

Alunno: Giuseppe Dattilo

Docente: Prof.ssa Antonella Mongiardo

Classe VD

Evoluzione epidemiologica coronavirus

Tre fisici, Alessio Traficante, Daniele Teresi e Dario Buttazzo, hanno studiato, dal

punto di vista matematico, l’evoluzione epidemiologica del Coronavirus utilizzando

due modelli di funzioni: l’esponenziale e la logistica. Questo studio è partito da alcune

evidenze sperimentali e dai dati diffusi dai bollettini quotidiani della protezione civile.

Questi numeri prendono in considerazione tutti i contagiati (con e senza sintomi) a

partire dal 19 febbraio, che si considera come giorno “zero” (giorno in cui si conosceva

un solo contagiato, il cosiddetto paziente “uno”), e solo i contagiati con sintomi a

partire dal 27 febbraio. Tuttavia, questi dati si possono ritenere omogenei, perché

anche il numero totale dei contagiati considerato tra il 19 e il 27 febbraio si può

pensare coincidente con quello dei sintomatici; infatti, si è visto che fino al 27 febbraio

il numero dei contagiati asintomatici era inferiore al 5%, quindi trascurabile. Per

modellizzare matematicamente il fenomeno dei contagi, si parte dall’evidenza che ogni

giorno il numero di contagiati da Coronavirus aumenta. Il 19 febbraio si aveva notizia

di un solo contagiato; il 27 febbraio il numero dei contagiati era circa 650; il 5 marzo il

numero era circa 4000. Gli studiosi hanno preso in considerazione due funzioni che

possono rappresentare questa evoluzione: la funzione esponenziale e la funzione

logistica.

Funzione esponenziale

La funzione esponenziale presenta un “andamento a J”, all’inizio cresce lentamente per

poi accelerare in maniera impressionante. La funzione esponenziale ha un equazione

del tipo:

𝑦 = 𝐴𝑒𝐾𝑥

A rappresenta il numero di persone infette il giorno 0, mentre K esprime la velocità

dell’infezione.

Funzione logistica

L’equazione logistica presenta un “andamento ad S”: una lenta crescita iniziale, seguita

da un’accelerazione e poi da un successivo rallentamento in prossimità del valore

massimo permesso, che costituisce un limite asintotico della funzione. La funzione

logistica ha un equazione del tipo:

𝑦 =𝐶

1+𝑒𝐵−𝑋𝐴

A rappresenta la velocità dell’infezione, B è il giorno in cui si sono verificate le infezioni

massime mentre C è il numero totale di persone infette registrate alla fine dell’infezione.

Gli studiosi hanno fatto un confronto tra queste due curve, che in questa prima fase

possono entrambe rappresentare il fenomeno. Dal confronto, emerge che mentre fino

al 5 marzo, le due curve si somigliano e quasi si confondono, dunque entrambe

possono modellizzare bene la situazione, dal 5 marzo in poi, invece, l’evoluzione reale

dei contagi si discosta nettamente dalla esponenziale e segue l’andamento logistico.

Questo studio è, dunque, confortante, perché se l’evoluzione seguisse sempre un

andamento esponenziale, il numero di contagiati potrebbe raggiungere presto un

numero ingestibile per il nostro sistema sanitario. Invece, fortunatamente, osservando i

dati ufficiali, si vede che l’andamento reale dei contagi si discosta dall’evoluzione

esponenziale e, sotto misure di contenimento valide ed efficaci, segue un andamento

logistico, ovvero arriverà un momento in cui il numero di contagiati raggiungerà un

limite massimo, oltre il quale non salirà più.

E’ necessario sottolineare che si tratta di una simulazione dell’evoluzione dell’epidemia

di coronavirus tramite un classico modello matematico epidemiologico, tale

elaborazione NON può assolutamente sostituirsi ai dati ufficiali diffusi dal Ministero

della Salute e dalla Protezione Civile, ed ha un valore puramente teorico, suscettibile di

variazioni, ma molto utile per capire la possibile evoluzione dell’emergenza.

Passiamo ora allo studio di queste due funzioni:

Studio funzione logistica

Si consideri una generica funzione logistica:

𝑦 =𝐶

1+𝑒𝐵−𝑋𝐴

Per ricavare il valore dei 3 parametri A, B e C si impongono le seguenti condizioni:

• Y(0)=1

• Y(8)=650

• Y(15)=4000

{

𝐶

1+𝑒𝐵𝐴

= 1

𝐶

1+𝑒𝐵−8𝐴

= 650

𝐶

1+𝑒𝐵−15𝐴

= 4000

→ {

𝐶 = 1 + 𝑒𝐵

𝐴

𝐶 = 650 + 650𝑒𝐵−8

𝐴

𝐶 = 4000 + 4000𝑒𝐵−15

𝐴

Sostituisco la prima equazione nella seconda e nella terza:

{

𝐶 = 1 + 𝑒

𝐵

𝐴

1 + 𝑒𝐵

𝐴 = 650 + 650𝑒𝐵−8

𝐴

1 + 𝑒𝐵

𝐴= 4000 + 4000𝑒

𝐵−15

𝐴

→ {

𝐶 = 1 + 𝑒𝐵

𝐴

1 + 𝑒𝐵

𝐴 = 650 + 650𝑒𝐵

𝐴𝑒−8

𝐴

1 + 𝑒𝐵

𝐴 = 4000 + 4000𝑒𝐵

𝐴𝑒−15

𝐴

Ricavo 𝑒𝐵

𝐴 :

{

𝐶 = 1 + 𝑒

𝐵

𝐴

𝑒𝐵

𝐴 (1 − 650𝑒−8

𝐴 ) = 649

𝑒𝐵

𝐴(1 − 4000𝑒−15

𝐴 ) = 3999

→

{

𝐶 = 1 + 𝑒

𝐵

𝐴

𝑒𝐵

𝐴 =649

1−650𝑒−8𝐴

𝑒𝐵

𝐴 =3999

1−4000𝑒−15𝐴

Eguaglio la seconda e la terza equazione:

649

1−650𝑒−8𝐴

=3999

1−40000𝑒−15𝐴

→ 649 − 2596000𝑒−15

𝐴 = 3999 − 2599350𝑒−8

𝐴

2596000𝑒−15

𝐴 − 2599350𝑒−8

𝐴 + 3350 = 0

Pongo: 𝑒−1

𝐴 = 𝑡

2596000𝑡15 − 2599350𝑡8 + 3350 = 0

Risolvo graficamente l’equazione:

𝑡1 = −0.435123590904927 → Non accettabile, poichè 𝑒−1

𝐴 non può essere

negativo

𝑡2 = −0.4354455379949619 → Accettabile

𝑡3 = 1 → Non accettabile, in quanto affinchè 𝑒−1

𝐴 sia uguale a 1 è necessario che

l’esponente sia uguale a 0 e ciò è impossibile.

Quindi:

𝑒−1

𝐴 = 𝑡 → −1

𝐴= ln 𝑡 → 𝐴 = −

1

ln 𝑡= 1,202810859 ≅ 1,2

Sostituisco A nella seconda equazione per trovare B:

𝑒𝐵𝐴 =

649

1 − 650𝑒−8𝐴

→ 𝐵 = 𝐴 ln649

1 − 650𝑒−8𝐴

= 9,9944767 ≅ 10

Sostituisco A e B nella prima equazione per trovare C:

𝐶 = 1 + 𝑒𝐵

𝐴 = 4062,335347 ≅ 4062

{𝐴 = 1,2𝐵 = 10𝐶 = 4062

→ 𝑌 =4062

1+𝑒10−𝑥1,2

𝑦 =4062

1+𝑒10−𝑥1,2

Dominio: ℝ

Parità e disparità:

F(-X): → Diverso da F(X), quindi la funzione non è pari.

→ Diverso da –F(X), quindi la funzione non è dispari.

Intersezioni con gli assi:

{𝑥 = 0

𝑦 =4062

1+𝑒10−𝑥1,2

→ {𝑥 = 0

𝑦 =4062

1+𝑒101,2

→ {𝑥 = 0𝑦 = 1

{𝑦 = 0

𝑦 =4062

1+𝑒10−𝑥1,2

→ Ø

Segno:

Sia numeratore che denominatore sono sempre positivi, quindi anche la funzione è

sempre positiva.

Asintoti:

• Asintoti verticali:

Sono assenti in quanto la funzione non presenta punti di discontinuità.

• Asintoti orizzontali:

lim𝑥→∞

4062

1+𝑒10−𝑥1,2

=4062

1+𝑒−∞= 4062 → y=4062 è a. orizzontale per 𝑥 → ∞

lim𝑥→−∞

4062

1+𝑒10−𝑥1,2

=4062

1+𝑒+∞= 0 → y=0 è a. orizzontale per 𝑥 → −∞

• Asintoti obliqui:

Sono assenti in quanto la funzione presenta un asintoto orizzontale sia per 𝑥 → ∞

che per 𝑥 → −∞.

Derivata prima e relativo studio:

𝑦′ =(4062)′(1+𝑒

10−𝑥1,2 )−(4062)(1+𝑒

10−𝑥1,2 )

′

(1+𝑒10−𝑥1,2 )

2 =−4062(𝑒

10−𝑥1,2 )(

−1

1.2)

(1+𝑒10−𝑥1,2 )

2 =3385(𝑒

10−𝑥1,2 )

(1+𝑒10−𝑥1,2 )

2

Dominio: ℝ

Monotonia:

Sia numeratore che denominatore sono sempre positivi, quindi anche la derivata

prima è sempre positiva, quindi la funzione è sempre crescente.

Punti di non derivabilità:

Sono assenti in quanto la derivata non presenta punti di discontinuità.

Derivata seconda e relativo studio:

𝑦′′ =(3385)(𝑒

10−𝑥1,2 )

′

(1+𝑒10−𝑥1,2 )

2

−3385(𝑒10−𝑥1,2 )((1+𝑒

10−𝑥1,2 )

2

)′

(1+𝑒10−𝑥1,2 )

4

=3385(𝑒

10−𝑥1,2 )(

−1

1.2)(1+𝑒

10−𝑥1,2 )

2

−3385(𝑒10−𝑥1,2 )(2(1+𝑒

10−𝑥1,2 )(𝑒

10−𝑥1,2 )(

−1

1.2)

(1+𝑒10−𝑥1,2 )

4

=(3385)(𝑒

10−𝑥1,2 )(

−1

1.2)(1+𝑒

10−𝑥1,2 )(1+𝑒

10−𝑥1,2 −2𝑒

10−𝑥1,2 )

(1+𝑒10−𝑥1,2 )

4 = 2821(𝑒

10−𝑥1,2 )(𝑒

10−𝑥1,2 −1)

(1+𝑒10−𝑥1,2 )

3

Dominio: ℝ

Concavità e convessità:

Il denominatore è sempre positivo, quindi è sufficiente studiare il segno del

numeratore:

2821(𝑒10−𝑥

1,2 )(𝑒10−𝑥

1,2 − 1) > 0

2821 ed (𝑒10−𝑥

1,2 ) sono sempre positivi, quindi basta studiare il segno di (𝑒10−𝑥

1,2 − 1):

𝑒10−𝑥

1,2 − 1 > 0 → 10−𝑥

1,2> 0 → 10 − 𝑥 > 0 → 𝑥 < 10

X=10 è punto di flesso discendente.

F(10;f(10)) → F(10;2031)

Grafico:

10 0

+ -

U ∩

In verde l’asintoto orizzontale: y = 4062

Il punto F rappresenta il punto di flesso, il decimo giorno il numero di infetti

giornalieri sarà massimo.

Studio funzione esponenziale

Si consideri la funzione esponenziale:

𝑦 = 𝐴𝑒𝐾𝑥

Per trovare i due parametri si impongono le seguenti condizioni:

• y(8)=650

• y(15)=4000

{ 𝐴𝑒8𝑘 = 650

𝐴𝑒15𝐾 = 4000 → {

𝐴 =650

𝑒8𝑘

𝐴 = 4000

𝑒15𝑘

Eguaglio le due equazioni:

650

𝑒8𝑘=

4000

𝑒15𝑘 → 650𝑒15𝑘 = 4000𝑒8𝑘 →

𝑒15𝑘

𝑒8𝑘=

4000

650

𝑒7𝑘 =80

13 → 𝑘 =

ln80

13

7= 0.2595824682 ≅ 0.26

Sostituisco k nella prima equazione per ricavare A:

𝐴 =650

𝑒8𝑘= 81.47633561 ≅ 81.5

{𝑘 = 0.26𝐴 = 81.5

→ 𝑦 = 81.5𝑒0.26𝑥

𝑦 = 81.5𝑒0.26𝑥

Dominio: ℝ

Parità e disparità:

F(-X): → Diverso da F(X), quindi la funzione non è pari.

→ Diverso da –F(X), quindi la funzione non è dispari.

Intersezione con gli assi:

{𝑥 = 0

𝑦 = 81.5𝑒0.26𝑥 → {

𝑥 = 0𝑦 = 81.5

{𝑦 = 0

𝑦 = 81.5𝑒0.26𝑥 → Ø

Segno:

La funzione è sempre positiva.

Asintoti:

• Asintoti verticali:

Sono assenti in quanto la funzione non presenta punti di discontinuità.

• Asintoti orizzontali:

lim𝑥→∞

81.5𝑒0.26𝑥 = ∞

lim𝑥→−∞

81.5𝑒0.26𝑥 = 0 → y=0 è a. orizzontale per 𝑥 → −∞

• Asintoti obliqui:

Per 𝑥 → ∞ potrebbe esserci un asintoto obliquo in quanto la funzione non presenta

quello orizzontale:

𝑚 = lim𝑥→∞

𝑓(𝑥)

𝑥= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→∞

81.5𝑒0.26𝑥

𝑥= ∞ → Non c’è l’asintoto obliquo

Derivata prima e relativo studio:

𝑦′ = 81.5(𝑒0.26𝑥)′ = 81,5(𝑒0.26𝑥 + 0.26)

Dominio: ℝ

Monotonia:

La derivata prima è sempre positiva, quindi la funzione è sempre crescente.

Punti di non derivabilità:

Sono assenti in quanto la derivata non presenta punti di discontinuità

Derivata seconda e relativo studio:

𝑦′′ = 81,5(𝑒0.26𝑥 + 0.26)′ = 81,5𝑒0.26𝑥

Dominio: ℝ

Concavità e convessità:

La derivata seconda è sempre positiva, quindi la funzione è sempre convessa.

Grafico:

Grafici a confronto:

In blu la funzione logistica.

In rosso la funzione esponenziale.

14/03/2020

Tuttavia queste due funzioni non rappresentano l’andamento reale dell’epidemia in

quanto le equazioni sono state ottenute attraverso un sistema, dunque sono frutto di

approssimazione. Per ottenere delle funzioni che siano più fedeli possibili alla realtà è

necessario ricorrere a strumenti matematici più complessi: la regressione statistica e

l’interpolazione curvilinea. Grazie all’utilizzo di un software online è possibile

individuare le due funzioni:

Funzione logistica:

𝑦 =56908

1−𝑒26.3−𝑥4.3

In questo caso il numero massimo delle persone infette è 56908, mentre il picco dei

contagi è previsto tra il ventiseiesimo e il ventisettesimo giorno.

Funzione esponenziale:

𝑦 = 233.5𝑒0.19𝑥

Analizziamo il grafico:

I punti evidenziati in verde rappresentano il numero totale dei contagiati dal 19

febbraio al 14 marzo.

Il punto F (in nero) rappresenta il punto di flesso, tra il ventiseiesimo e il ventisettesimo

giorno il numero di infetti giornalieri sarà massimo.

24/03/2020

Inserendo i dati dei nuovi contagi, si ottengono delle funzioni più precise:

Funzione logistica:

𝑦 =114903

1+𝑒31.8−𝑥5.1

In questo caso il numero massimo delle persone infette è 114903, mentre il picco dei

contagi è previsto tra il trentunesimo e il trentaduesimo giorno.

Funzione esponenziale:

𝑦 = 843𝑒0.13𝑥

Analizziamo il grafico

I punti evidenziati in verde rappresentano il numero totale dei contagiati dal 19

febbraio al 24 marzo.

Il punto F (in nero) rappresenta il punto di flesso, tra il trentunesimo e il trentaduesimo

giorno il numero di infetti giornalieri sarà massimo.

Rispetto al grafico precedente è possibile notare che la funzione logistica è più fedele

all’andamento reale dei contagi, e che il picco dei contagi (F) è slittato in avanti di

cinque giorni, ciò significa che in un primo momento non sono state rispettate al

massimo le misure di sicurezza imposte dal governo, e di conseguenza si è verificato un

ritardo degli effetti positivi.

In biologia si usa anche un altro modello, la “campana” di Gauss. Si tratta di una curva

statistica che rappresenta molti fenomeni sperimentali ed è usata in presenza di un

numero elevato di osservazioni. Il suo nome deriva dal fatto che le frequenza tendono

a distribuirsi secondo un andamento a campana, cioè si concentrano intorno alla

media per diminuire verso gli estremi della variabile. Nel nostro caso, la campana di

Gauss è utile per rappresentare il numero dei contagi giornalieri.

Una generica curva di Gauss ha equazione:

𝑦 = 𝑎𝑒−(𝑥−𝑏)2

𝑐2

a, b e c sono dei parametri: a rappresenta il numero massimo di contagi giornalieri, b

rappresenta il giorno in cui si verifica il picco dei contagi, c esprime la velocità

dell’infezione.

Nel nostro caso, approssimando il passaggio per tutti i punti, la curva diventa:

𝑦 = 5568𝑒−(𝑥−31.6)2

(10.6)2

In questo caso il numero massimo dei nuovi contagi è 5568, mentre il picco dei contagi

è previsto tra il trentunesimo e il trentaduesimo giorno.

Analizziamo il grafico:

I punti evidenziati in verde rappresentano i contagi giornalieri dal 19 febbraio al 24

marzo.

Il punto M (in rosso) rappresenta il punto di massimo assoluto, tra il trentunesimo e il

trentaduesimo giorno il numero di infetti giornalieri sarà massimo.

Giuseppe Dattilo 5D