1 E-Learning e modelli matematici in 3D E-Learning e modelli matematici in 3D Tutto ebbe inizio...

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E-Learning e modelli matematici in 3D


Tutto ebbe inizio da ...

Nicla Palladino

I modelli matematiciI modelli matematici Tra la seconda metà del XIX secolo e i primi decenni del ‘900 la costruzione di modelli matematici ebbe grande rilievo.

Oggi le antiche collezioni di modelli possono ancora suscitare interesse, perchè forniscono concretezza ad un risultato e sono accessibili all’esperimento.

Con un modello matematico si rendono auto-evidenti proprietà che altrimenti sarebbero chiare –forse- solo a menti esercitate

I modelli realizzati permettevano di vedere proprietà notevoli e mostrare i risultati di diversi settori della Matematica, Fisica ed Ingegneria.


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Come riutilizzare quei vecchi modelli dell’Ottocento …?Come riutilizzare quei vecchi modelli dell’Ottocento …?

Molte di queste collezioni –come accaduto per tutti i materiali didattici - sono state trasformate in repository di Modelli 3D.

Come renderle facilmente reperibile ?

The summation of human experience is being expanded at a prodigious rate,

but the means we use for threading through the consequent

maze to the momentarily important item is the same as was used in the days of square-

rigged ships.

Vannevar Bush , “As we may think”, 1945

Come riusarle nel contesto dell’E-Learning ?


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Perché L’E-Learning

L’E-Learning si sta affermando … … è vietato opporsi …

…. Ma qualcuno potrebbe chiedersi perché.

Proviamo a dare una risposta…..


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- decostruzione dei saperi - l'apprendimento come costruzione enattiva

-le conoscenze aumentano in modo esponenziale -incompletezza delle didattiche tradizionali -"il sistema non è tutto“

-Ipercomplessità tecnologica

-reti di computer -il virtuale come spazio antropologico esser “ci” diventa inessenziale de-territorializzazione

Perché L’E-Learning

E-LEARNING


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Obiettivo:Obiettivo:Da questi concetti (decostruzione e apprendimento inattivo) nasce l’idea dello sviluppo di tool per contestualizzare le antiche collezioni di modelli matematici nelle didattiche dell’E-Learning, in cui la conoscenza su uno specifico campo del sapere (la geometria delle quadriche) viene impartita secondo le specifiche dell’E-Learning.


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Capitolo Primo: L'E-Learning•I Learning Object•Un Learning Object per la classificazione delle quadriche•La rappresentazione di oggetti 3D nel Web SemanticoCapitolo Secondo: Algoritmi di approssimazione •3D-Resource brokering con algoritmi basati su Nurbs•NURBS-Approximation nel senso dei minimi quadrati Capitolo Terzo: Le collezioni virtuali di modelli matematici•Estensione di un LMS con un’applet 3D


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Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web

Entropia

Mediatore didattico

Studente

LearningManagement

System

Ontologia

Instructor


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Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web Dalla didattica tradizionale alla didattica sul Web

Ontologia : Dominio di conoscenza.

Instructor : Esperto nel dominio di conoscenza. Scrive l’Ontologia.

Mediatore Didattico –Facilitatore- Tutor: Filtra la conoscenza che permea l’ambiente esterno, popola l’ontologia con le risorse didattiche.

Learning Management System:Piattaforma per la didattica a distanza. Implementa l’ontologia preparata dall’instructor e fornisce al tutor gli strumenti per preparare i corsi on line e per seguire gli studenti.


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Per la costruzione di Learning Object complessi, è necessario che il materiale didattico sia “riusabile”.

Learning Object

L‘E-Learning è alla ricerca di uno standard comune che consenta l’accessibilità, l'interoperabilità e la condivisione delle risorse. Disporre di uno standard comune significa poter trasferire i contenuti da un'architettura all'altra, poterli integrare tra loro, saperli scegliere in base a caratteristiche e classificazioni univoche, poterli certificare. Lo standard SCORM (Sharable Content Object Reference Model) prevede la realizzazione di risorse didattiche modulari, che si possano riusare senza la necessità di modificarne i componenti.


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Learning Object

Esiste un nuovo modo per fare didattica caratterizzato dai Learning Object;

I Learning Object sono gli strumenti che popolano gli ambienti di apprendimento;

I Learning Object sono rappresentati con metadata;

Esistono diversi standard per rappresentare i metadata.

I Learning Object si propongono di dare una risposta al problema della riusabilità dei materiali didattici.


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Definizione: Un Learning Object è un’entità -digitale o

non digitale- che può essere usata, ri-usata o referenziata durante l’apprendimento supportato dalla tecnologia.

D.A.Wiley, “The Instructional Use of Learning Objects’’, pp.

10-11, AIT Editions, 2002.

Learning Object


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Definizioni:

Asset: fileLearning Object: la più piccola unità di

apprendimento indivisibile rispetto alla sua valenza didattica.

A. Vanni -F. Formato, Una nuova definizione di Learning Objects. Atti del Convegno “Sviluppo cognitivo e qualità della formazione’’, Ravello, Ottobre 2003.

I componenti di un Learning Object possono essere di due tipi

1) asset 2) altri Learning Object più semplici

Learning Object


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Strutture “molecolari” dotate di diversi gradi di “granularità”

Learning Object


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ContentProvider

LearningServiceProvider

Learning Community

L’E-Learning in the large L’E-Learning in the large

Modelli di E-Learning


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L’E-Learning coinvolge tre tipologie di attori:

I fornitori di contenuto (Content provider)

Possono essere le università o le aziende che fanno formazione. C’è la tendenza ad organizzarsi in comunità virtuali distribuite.

Esempi:

MIT OCW http://ocw.mit.edu

•Repository di learning object prodotti al MIT

MURL -Multi University virtual Research Laboratory

-http://murl.microsoft.com/

-Repository multimediale di seminari e corsi on-line

-The Geometry Center



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I fornitori di servizi di e-learning (Learning Service Provider)

I learning service provider possono essere le stesse Università, oppure le società specializzate in LSP. Distribuiscono servizi per l’E-Learning agli utenti finali

Esempi:•Global Virtual University -Stanford, Oxford, Cambridge http://www.gvu.unu.edu/ distributed virtual university •GRID –Arendal http://www.grida.no/ servizi di e-learning per la climatologia globale• Sfera www.sfera.it servizi di E-Learning just in time per i contractor di Wind


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Sono l’estensione del core business delle università tradizionali

new universities = old universities + learning community

Esempi: OCW : estende il MIT ai paesi dell’america latina BathMath: comunità di docenti di matematica di UniNa


Comunità di apprendimento

Comunità di pratica (Community of Practice)

sostituiscono la formazione professionale


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E’ opportuno dotare il sistema di un dispositivo di filtraggio, che permetta agli studenti di accedere solo a Learning Object “buoni”.

Questi filtri sono chiamati Web Reccommender, e si dividono in due categorie:

Filtri di informazione (information filter)e

Filtri collaborativi (collaborative filter)



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I filtri informativi I filtri collaborativi

Content

Provider

Learning

ServiceProvide

r

Learning Commun

ity

Information

Filter

I filtri collaborativi selezionano i LO in base ai loro contenuti e alle

caratteristiche comuni di un gruppo di utente.

Content

Provider

LearningService

Provider

Learning Community

Collaborative

Filter

I filtri informativi selezionano i LO in base

ai loro contenuti.


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Problemi principali per il riutilizzo dei LO:

Ricerca dell’informazione: i sistemi di ricerca attuali sono basati su parole chiave (conseguenze: silenzio, rumore);

Estrazione dell’informazione: ad oggi, l’estrazione di informazioni rilevanti è dominio quasi esclusivo degli esseri umani, mediante la navigazione “manuale” e la lettura dei documenti;

Manutenzione dell’informazione: aggiornare documenti è un’attività difficile che richiede un notevole investimento in tempo e risorse umane, soprattutto quando tali sorgenti diventano grandi.

Il recupero efficiente dei LO è simile al problema della ricerca di documenti attraverso motori di ricerca.


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Nel World Wide Web l’informazione è machine-representable: i dati contenuti sul Web si rappresentano con Metadati.

Soluzione: il Web Semantico

Il Web Semantico si propone come una soluzione al problema del sovraccarico cognitivo del World Wide Web. Attualmente l'informazione disponibile sul Web risulta difficilmente reperibile perché i metadati sono una pura e semplice combinazione di stringhe, indipendente dal contesto.

T. Berners Lee, Semantic Web Roadmap, September 1998

Nel Web Semantico

l’informazione diventa machine-

processable.


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Il Web Semantico: l’RDF

L’RDF è codificato in XML.

La novità fondamentale introdotta dal Web Semantico è l’RDF (Resource Description Framework). E’ un modello di rappresentazione della conoscenza che estende i Metadati; può essere utilizzato in diverse aree di applicazione: nella ricerca delle risorse, nella catalogazione, per la condivisione e lo scambio di conoscenza, nella valutazione di contenuto,…


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Quadrica PianoTangente

Intersezione Cdet(Quadrica)

det=0

det>0

C immaginaria C reale nondegenre C degenre

C 2 rettereali C 1 retta

C 2 retteimmaginarie

det<0

ConoReale

ConoImmaginario

Ellissoide

CilindroIperbolico

CilindroParabolico

CilindroEllittico

IperboloideEllittico

IperboloideIperbolico

det0

ParaboloideEllittico

ParaboloideIperbolico

Esempio di RDF per la rappresentazione delle superfici quadriche3x2+4y2+2xy+9z2-1=0 det=-99<0

Iperboloideellittico


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<?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>

<rdf :

xmlns:rdf =“http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#”

xmlns :xsd =“http://www.w3.org/2001/XMLSchema#”

xmlns : quadriche = “http://www.dma.unina.it/quadriche-ns”

>

<rdf: Description>

<quadrica: determinante>

<quadrica: R_neg value= “-99” >

</quadrica:determinante>

<quadrica:equazione>

3*x^2+4*y^2+2*x*y+9*z^2-1=0

</quadrica:equazione>

<quadrica: intersezione_piano_improprio>

<quadrica: Conica_reale_non_degenere>

<quadrica: discriminante>

<quadrica: R+ value = “99”/>

</quadrica: discriminante>

</quadrica: Conica_reale_non_degenere

</quadrica: intersezione_piano_improprio>

</rdf: Description>


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Per illustrare il concetto di apprendimento come filtraggio dell'informazione fornita dall'ambiente, si è messo a punto un Learning Object in cui lo studente deve classificare una superficie quadrica secondo un metodo che non si basa sulla tradizionale classificazione delle quadriche, ma è un processo enattivo, in cui l'utente deve classificare la quadrica usando un robot che sonda informazioni di tipo locale: tipo di punti, molteplicità, limitatezza …

Nell’E-Learning svanisce la figura del docente che trasmette le conoscenze e l’apprendimento si può vedere come costruzione interpretata da parte dello studente.

Un Learning Object


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NURBS-Approximation nel senso dei minimi quadrati Grazie alla loro particolare flessibilità ed all’accuratezza che offrono nel processo di approssimazione, le superfici NURBS possono essere usate in molti settori, dalla grafica 3D al disegno industriale.

È controllata dai gradi (h e k), dai punti di controllo (pij)e dai pesi (wij).

dove le Ni,h e Nj,k sono le funzioni di base B–Spline definite da:

con

sui vettori dei nodi U=(u0,…,up) e V=(v0,…,vq);

i pij sono i punti di controllo, e i wij sono i pesi. Valgono le relazioni

p=m+h+1 e q=n+k+1

Una superficie NURBS ha equazione parametrica

u,v [0,1]


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NURBS-Approximation nel senso dei minimi quadrati

Il problema dell'approssimazione mediante superfici NURBS può essere formulato come segue: Assegnati mn punti Qij=(aij, bij, cij) R3, e mn pesi rij R, con i=0,…,m-1 e j=0,…,n-1, bisogna determinare una superficie NURBS

di gradi h e k, con punti di controllo opportuni pij=(xij, yij, zij) R3, pesi associati wij R, ed opportuni vettori dei nodi U=(u0,…,up) e V=(v0,…,vq), tale che risulti minima la distanza tra i punti assegnati Qij e la superficie NURBS S(u,v) determinata:

21m

0i

1n

0jjiji QtsS

,),(

per opportuni valori si e tj dei parametri.


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L’algoritmoPer risolvere il problema, si è applicata la tecnica di approssimazione mediante curve B-Spline.

Si definisce curva B-Spline di grado h una funzione la cui rappresentazione parametrica in R2 è

con u[0,1] parametro della rappresentazione

parametrica; pi=(xi, yi)R2, i=0,…,n sono i punti di

controllo; Ni,h(u) sono le funzioni di base B-Spline sul

vettore dei nodi U=(u0,…,um).

Vale poi m=n+h+1.


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Passo 1: Considerata la matrice di dimensioni mn costituita dai punti Qij da approssimare, si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B-Spline alle colonne di punti Qi,j ottenute fissando l'indice j. Facendo variare j tra 0 ed n-1, si effettuano in tutto n approssimazioni mediante curve B-Spline di grado h. I risultati ottenuti formano colonne di punti intermedi Pi,j. Passo 2: Si applica l'algoritmo di approssimazione mediante curve B-Spline alle righe di punti Pi,j ottenute fissando l'indice i; facendo variare i tra 0 ed m-1, si effettuano in tutto m approssimazioni mediante curve B-Spline di grado k. I risultati ottenuti formano le righe dei punti di controllo cercati pi,j.

L’algoritmo


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L’algoritmo

Ad ogni approssimazione, l’algoritmo si riconduce alla risoluzione del sistema lineare

NTNP=NTQ dove

Dato un insieme di n punti Qi=(ai,bi)R2 i= 0,…,n, ed assegnato un grado h, si cercano n punti di controllo pi=(xi,yi)R2, tali che sia minima la distanza euclidea tra i punti assegnati Qi e la curva B-Spline definita dai punti di controllo calcolati e da un opportuno vettore dei nodi U=(u0,…,un+h+1)

1n

0k

2

kk tCQ )(

per opportuni valori tj del parametro.


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Passo 1. Si costruisce un'opportuna parametrizzazione (t0,t1,…,tn)

Passo 2. Si costruisce il vettore dei nodi U=(u0,u1,…,un+h)

Passo 3. Si costruisce la matrice dei coefficienti N=(Nj,h(ti)) i,j=0,…,n-1

Passo 4. Si calcola il prodotto NTN

Passo 5. Si applica l'algoritmo di Cholesky alla matrice NTN ottenendo una matrice triangolare inferiore L tale che NTN=LLT.

Passo 6. Si calcolano i prodotti NTa ed NTb

Passo 7. Si risolvono i sistemi finali LLTx=NTa e LLTy=NTb mediante forward e back substitution.

L’algoritmo


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Risultati dell’algoritmo

File di input

Gradi della NURBS

3 3

Dimensioni della griglia

5 5

Punti da approssimare

(-2,-2,8) (-2,-1,5) (-2,0,4) (-2,1,5) (-2,2,8) (-1,-2,5) (-1,-1,2) (-1,0,1) (-1,1,2) (-1,2,5) (0,-2,4) (0,-1,1) (0,0,0) (0,1,1) (0,2,4) (1,-2,5) (1,-1,2) (1,0,1) (1,1,2) (1,2,5) (2,-2,8) (2,-1,5) (2,0,4) (2,1,5) (2,2,8)

Pesi Tutti uguali ad 1


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Il Learning Object per la classificazione delle quadriche


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Resource Discovery

Un Learning Object composto da un insieme di asset;Ad esempio questo Learning Object 3D, in cui il robot

deve riconoscere una superficie disturbato da due mostri. La superficie S, i due robot e i mostri si possono modellare come asset di LO;

Problema: Si può cambiare il LO riusando una superficie in rete?


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Resource DiscoverySoluzione: 1) Si definisce un linguaggio di query basato sul web

semantico –RDF di un sampling set;2) Si determina uno shape descriptor della query basato sul

sampling set: nel nostro caso lo shape descriptor di un sampling set è la

NURBS generata con l’algoritmo di approssimazione.

Si definisce un grado di similarity tra lo shape descriptor del sampling set S e lo shape descriptor S’ della risorsa sul web. Per esempio (Kazdhan 2004)

R(S,S’) = Raster(RS) EDTS(S’) + Raster(RS’) EDTS(S)


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Resource discovery e web semantico

RDF

LO

RDF

LO

RDF

LORDF

LO

RDF

LO

RDF

LO

Shapedescriptor

Shapedescriptor

Resource broker

3D repository

Learning Object

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