Elementi Di Metodi Matematici

Matteo Villani

Metodi Matematici della FisicaIntegrale di Lebesgue Distribuzioni e Trasformata di Fourier

Elementi di

Universit di Bari Corso di Laurea in Fisica A.A. 2003 - 2004

INDICE L'integrale di Lebesgue 1. Introduzione 2. lo spazio C 0 ( R ) 3. L'integrale di Lebesgue in R 4. Operazioni di limite nell'integrazione di Lebesgue 5. Misura di sottoinsiemi di R 6. Integrali su un sottoinsieme di R 7. Funzioni a valori complessi 8. L'integrale di Lebesgue in R d ( d = 2,3...) 9. Gli spazi L1 R d e L 2 R dd 1,loc

pag. 01 pag. 03 pag. 07 pag. 11 pag. 14 pag. 14 pag. 15 pag. 16

( ) ( ) 10. Lo spazio L ( R )Distribuzioni

pag. 18 pag. 25

1. Nozioni basilari 2. Esempi di distribuzioni 3. Differenziazione delle distribuzioniLa trasformata di Fourier

pag. 27 pag. 29 pag. 34

1. Introduzione 2. Trasformata di Fourier 3. Lo spazio S ( R ) 4. Distribuzioni temperate e trasformata di Fourier 5. Trasformata di Fourier in diverse variabili 6. Convoluzione 7. Convergenza distribuzionale

pag. 43 pag. 44 pag. 49 pag. 53 pag. 62 pag. 64 pag. 72

L'INTEGRALE DI LEBESGUE1. Introduzione Def. Si dice che una famiglia {A } di insiemi ricopre un dato insieme A, oppure che un ricoprimento di A, quando A A . Teorema di Heine-Borel (compattezza degli intervalli limitati e chiusi): Sia [ a, b ] un intervallo limitato e chiuso di R e {A } una famiglia di insiemi aperti di R che ricopra [ a, b ] ; esiste una sottofamiglia finita di {A } che ancora un ricoprimento di [ a, b ]

(b > a) .Dim. Supponiamo che nessuna sottofamiglia finita di

{A }

ricopra

[a, b] .

Introducendo

a+b , si pu affermare allora che almeno uno degli intervalli [ a, c ] , [ c, b ] non ricoperto da 2 alcuna sottofamiglia finita di {A } . Sia I1 uno di questi due intervalli, per esempio I1 = [ c, b ] . c= c+b ; almeno uno degli intervalli c, c1 , c1 , b non ricoperto da alcuna 2 sottofamiglia finita di {A } . Sia I 2 uno di questi due intervalli. Procedendo in questo modo, Introduciamo c1 =

costruiamo una successione di intervalli I1 , I 2 ,...I n ,... con I n +1 I n [ a, b ] . In questa

punto dato da x 0 = I1 I 2 ... I n ... Poich [ a, b ] chiuso, abbiamo x 0 [ a, b ] . Il punto x 0 deve appartenere ad almeno uno degli aperti di {A } . Sia A 0 Br = {x : x x 0 < r} sia incluso in A 0

costruzione si sfruttata la limitatezza di [ a, b ] , con l'introduzione dei punti c, c1 ... Sia x 0 il

{ } (per definizione di aperto). Abbiamo allora che per n

{ } un tale aperto e r > 0

tale che

sufficientemente grande I n incluso in Br e A 0 una sottofamiglia finita di {A } (costituita da un unico elemento) che ricopre I n . Ma ci assurdo, se si tiene presente il procedimento di costruzione di I n .Def. Si dice che un sottoinsieme A R di misura nulla (secondo Lebesgue), quando, per ogni > 0 , esiste una famiglia numerabile di intervalli aperti {I k }( k = 1, 2,...) che ricopra A e sia tale che

Ik =1

k

0 e A = A k . Per ogni k, esiste una famiglia numerabile {I kj} ( j = 1, 2,...) di intervalli aperti tale che A k I kjk =1

1 j=1 j=1 2k Considerata allora la famiglia di tutti gli intervalli I kj , ottenuta al variare di entrambi gli indici, I kj < che numerabile, A incluso nell'unione di questa famiglia A I kj e risulta k =1 j=1

1 = 2k Se A costituito da un singolo punto di R, allora evidentemente A di misura nulla. Ne segue che ogni insieme finito o numerabile di punti di R di misura nulla. In particolare l'insieme di numeri razionali di misura nulla. Esistono tuttavia insiemi non numerabili che hanno misura nulla (insiemi di Cantor).k, j=1

I kj = I kj < k =1 j=1

k =1

Def. Si dice che una certa propriet vale quasi ovunque (q.o.) in R, oppure che vale per quasi ogni x R , se l'insieme degli x in cui la propriet non verificata di misura nulla.

Per esempio, si dice che una successione di funzioni {fn ( x )} , definita in R, converge q.o. a una funzione f ( x ) , e si scrivelim fn ( x ) = f ( x )n

(q.o.)n

se l'insieme degli x per i quali non vero che lim fn ( x ) = f ( x ) , di misura nulla. Tale insieme composto da tre sottoinsiemi, eventualmente vuoti: quello degli x per i quali il limite esiste, finito, ma diverso da f ( x ) ; quello degli x tali che il limite infinito; quello degli x per i quali il limite non esiste. Si dice che due funzioni f ( x ) e g ( x ) , definite in R, sono uguali quasi ovunque in R, e si scrivef ( x ) = g ( x ) (q.o.), se l'insieme degli x tali che f ( x ) g ( x ) di misura nulla.

Per esempio la funzione di Dirichlet ( x ) , definita da se x razionale 1 (x) = se x irrazionale 0 una funzione quasi ovunque nulla.

2

L'integrale di Lebesgue

2. Lo spazio C 0 ( R )

Sia C 0 ( R ) l'insieme delle funzioni continue definite in R, a valori reali, con supporto compatto. Ci significa che C 0 ( R ) se e soltanto se : R R continua ed esiste un intervallo uno spazio vettoriale reale: se e sono due funzioni in C 0 ( R ) e e sono due numeri reali, la funzione ( x ) + ( x ) appartiene a C 0 ( R ) . Ad ogni elemento di C 0 ( R ) possiamo associare un numero reale, dato dal suo integrale (di Riemann) su R:+

limitato [ a, b ] (chiuso), che in generale dipende da , tale che ( x ) = 0 per x [ a, b ] . C 0 ( R )

1)

Questa corrispondenza definisce un funzionale lineare su C 0 ( R ) :+

( x )dx = ( x )dxa

b

2) (con

+ (x) = 0

( ( x ) + ( x ) )dx = ( x ) dx + ( x ) dxx [ c, d ] ).a c

b

d

per

Lo spazio C 0 ( R ) ed il funzionale che abbiamo definito, posseggono due propriet importanti che costituiranno il punto di partenza per la costruzione dell'integrale di Lebesgue.Teorema I Sia {n ( x )} una successione decrescente di funzioni non negative in C 0 ( R ) tale che lim n ( x ) = 0 (q.o.).n

( 0 n +1 n ) ,

Abbiamo allora:+

3)

lim

n

( x ) dx = 0n

Dim. Sia A 0 l'insieme dei punti in cui {n ( x )} non converge a zero ed > 0 (fissato, ma

arbitrario). A 0 pu essere ricoperto da una famiglia numerabile di intervalli aperti 0 = I (k ) ,0

{ }

tale che I (k ) < . Per x I (0) , n ( x ) 0 . A ciascuno di questi punti, diciamo x 0 , k0 k =1

ancora n ( x 0 ) < ( in virt della continuit di n ( x ) ). Variando x 0 , l'insieme di questi

possiamo assegnare un n tale che n ( x 0 ) < ed un intervallo aperto contenente x 0 in cui risulti

k =1

n

intervalli formano una famiglia 1 = I (x0) di intervalli aperti, a ciascuno dei quali attaccato un1

{ }

indice n. Notiamo che A 0 [ a1 , b1 ]

questo intervallo. Applicando il teorema di Heine-Borel all'intervallo [ a1 , b1 ] , abbiamo che esiste 0 1 che ancora un ricoprimento di

( 1 ( x ) = 0 per x [ a1 , b1 ] ) e che 0 1 ricopre evidentemente

una sottofamiglia finita di

[a1 , b1 ] .

Questa

3

Elementi di metodi matematici della fisica

sottofamiglia finita sar formata da un insieme I (k1 ) , I (k 2) ..., I (k l ) di intervalli aperti appartenenti a0 0 0

( 0 e da un insieme I1 ) , I (2 ) ..., I (m) di intervalli aperti appartenenti a 1 . A ciascuno degli intervalli1 1 1 1

I (j ) ( j = 1,..., m ) associato un intero n. Sia N il pi grande di questi interi. Abbiamo allora cheN ( x ) risulta < in ciascuno degli intervalli I (j ) ; ci vero anche per n ( x ) , per ogni n > N.1

Per ogni n N , abbiamo allora+

n ( x ) dx = n ( x ) dx a1

b1

l

i =1

(0) Iki

( x ) dx +n

I(1) [ a1 ,b1 ] j

n ( x ) dx max 1 ( x ) I (ki ) + ( b1 a1 ) ( max 1 ( x ) + b1 a1 )l0 i =1 +

Data l'arbitrariet di , abbiamo che lim

n

( x ) = 0 .n

Teorema II Sia {n ( x )} una successione crescente di funzioni non negative in C 0 ( R ) ( 0 n n +1 ...) , tale che+

4)

Si ha allora che n ( x ) , per n , tende quasi ovunque a un limite finito. Dim. Sia A 0 l'insieme dei punti in cui {n ( x )} non converge ad un limite finito. Supporremo

( x ) dx < Kn

n

(K > 0)

che A 0 non sia vuoto. Per convenzione l'insieme vuoto di misura nulla. Se x A 0 ,n ( x ) + .n

Fissato > 0 , consideriamo gli insiemi 5) K ,n = x : n ( x ) > Poich n +1 ( x ) n ( x ) , abbiamo

6)

,n ,n +1

K m n . Se x un fissato punto di A 0 , allora in corrispondenza di x ,n , m ( x ) > K K deve esistere un intero n ( x; ) tale che m n ( x; ) m ( x ) > . Ci implica che x deve appartenere a ,n ( x; ) . Possiamo allora affermare che 7) A 0 ,nn =1

4


Per la continuit di n ( x ) , abbiamo che ,n un insieme aperto di R. Ora ogni insieme aperto di R l'unione di una famiglia numerabile di intervalli aperti disgiunti. Abbiamo allora 8) dove I k(n)

,n = I (k )n k =1

l'intervallo chiuso e limitato associato a n ( x ) ( n ( x ) = 0 ora la 4), abbiamo 9) Quindi 10) ,n = I (k ) < n k =1 n N K N (n) I k n ( x ) dx n ( x ) dx < K k =1 k =1 (n) an I k

mediante una famiglia numerabile di intervalli aperti. Notiamo che ,n ( a n , b n ) , dove [ a n , b n ] per

sono intervalli aperti disgiunti. La 7) costituisce quindi un ricoprimento di A 0

x [ a n , b n ]) . Utilizzando

b

( N )

n

In virt della 6) possiamo scrivere 11)

n =1

,n = ( ,n ,n 1 ) = lim ( ,n ,n 1 ) = lim ,Nn =1 N n =1 N

N

( con

,0 = ) .

Ora (a meno di un insieme numerabile di punti e quindi di un insieme di misura nulla) 12)n

,n ,n 1 = J (k )n k =1 n 1)

con J (k ) intervalli aperti disgiunti tra di loro e disgiunti dagli intervalli I (k Jk( n 1)

, e quindi dagli

. Ne segue che I (k N)

13) Pertanto 14) con

k =1

= ,N = J (k ) < n n =1 k =1

N

N

A 0 J (k )n n =1 k =1

n =1 k =1

J (k ) n

Data l'arbitrariet di , concludiamo che A 0 di misura nulla. Siano

{ ( x )} e { ( x )} due successioni crescenti di funzioni non negative in C ( R ) , tali chen n 0

5


+

15)

+

( x ) dx < Kn n

1

( x ) dx < K+

2

( K1 , K 2 < +, n = 1, 2,...)+ +

Poich+

( x ) dx ( x ) dxn n +1 +

e

( x ) dx ( x ) dxn n +1 +

esistono e sono finiti, in virt della 15), i limiti lim

n

In base al teorema II esistono due funzioni f ( x ) e g ( x ) definite in R, tali che 16)f ( x ) = lim n ( x )n

( x ) dx = Jn

1

lim

n

( x ) dx = Jn

2

(q.o.) (q.o.)

g ( x ) = lim n ( x )n

Se A 0 l'insieme dei punti in cui non converge {n ( x )} , e B0 l'insieme dei punti in cui non converge { n ( x )} , f ( x ) e g ( x ) sono definite univocamente soltanto per x A 0 e x B0g (x) f (x)

rispettivamente. Supponiamo che 17)per+

x A 0 B0

(sicch g ( x ) f ( x ) (q.o.)) e consideriamo la successione n=1, 2,.... Sia

{(

m

( x ) n ( x ))

}

{ ( x ) ( x )}m n

con m fissato e

( n = 1, 2,...)

la successione delle parti positive delle funzioni 1 F ( x ) + F ( x ) e la 2

m ( x ) n ( x ) (Se F ( x ) definita in R, la sua parte positiva F + ( x ) =

(

)

sua parte negativa data da F ( x ) =

1 F ( x ) F ( x ) ; abbiamo 2

(

F ( x ) = F + ( x ) F ( x ) ). Dalla 17) segue allora che

{(

)

F+ ( x ) 0 , F ( x ) 0 e+

m

( x ) n ( x ))

} , a fissato m, decresce a

zero in modo monotono quasi ovunque. In virt del teorema I, abbiamo+

18) D'altra parte

lim

n

( ( x ) ( x ))m n

+

dx = 0

6


+

Passando al limite per n , otteniamo+

( x ) dx ( x ) dx = ( ( x ) ( x ) )dx ( ( x ) ( x )+ + + m n m n m n

+

)dx

19)

Segue infine per m 20) J 2 J1 Da questo risultato deduciamo immediatamente il seguenteCorollario Se f ( x ) = g ( x ) (q.o.) , allora J1 = J 2 .

( x ) dx Jm

2

m

Infatti, in questo caso, abbiamo simultaneamente f ( x ) g ( x ) (q.o.) e f ( x ) g ( x ) (q.o.).

3. L'integrale di Lebesgue in R

Una funzione f ( x ) , definita in R, a valori reali e non negativa q.o. 21)f (x) 0

(q.o.)

detta integrabile secondo Lebesgue in R, se esiste una successione crescente {n ( x )} (n=1, 2,...) di funzioni non negative appartenenti a C0 ( R ) , tale che a) 22)+

lim n ( x ) = f ( x )n

(q.o.)

b)

( x )dx < Kn

n+

Se f ( x ) 0 (q.o.) integrabile secondo Lebesgue, il limite lim esiste, detto integrale di Lebesgue di f ( x ) : 23)

n

( x ) dx ,n

che senz'altro

( L ) f ( x )dx = lim n ( x )dx n

+

+

Dal corollario gi visto, segue che, se { n ( x )} un'altra successione crescente di funzioni non negative in C 0 ( R ) , tale che a')lim n ( x ) = f ( x )n

(q.o.)

7


+

b')

(l'insieme in cui { n } non converge pu essere in generale diverso dall'insieme in cui {n } non converge), allora 24)

( x )dx < n

n

( L ) f ( x )dx = lim n ( x )dx = lim n ( x )dx n n

+

+

+

La definizione precedente motivata essenzialmente dai Teoremi I, II che abbiamo dimostrato. Pi in generale consideriamo una funzione f ( x ) a valori reali definita in R. Come abbiamo visto possiamo scrivere 25) con f + ( x ) =f (x) = f + (x) f (x)

1 1 f (x) + f (x) e f (x) = f (x) f (x) f + ( x ) 0, f ( x ) 0 . 2 2 La funzione f ( x ) detta integrabile secondo Lebesgue in R, se le funzioni f + ( x ) e f ( x ) sono

(

)

(

) (

)

integrabili secondo Lebesgue in R. L'integrale di Lebesgue di f ( x ) definito da 26)

( L ) f ( x )dx = ( L ) f + ( x )dx ( L ) f ( x )dx

+

+

+

L'insieme delle funzioni a valori reali, integrabili secondo Lebesgue verr indicato con L1 ( R ) . Alcune propriet dell'integrale di Lebesgue: a) se f ( x ) L1 ( R ) e f ( x ) 0 (q.o.), allora ( L ) f ( x )dx 0 +

b) se e sono due numeri reali e f ( x ) , g ( x ) L1 ( R ) , allora f ( x ) + g ( x ) L1 ( R ) . Inoltre

( L ) ( f ( x ) + g ( x ) )dx = ( L ) f ( x )dx + ( L ) g ( x )dx

+

+

+

c) se f ( x ) , g ( x ) L1 ( R ) e f ( x ) g ( x ) (q.o.), allora

( L ) f ( x )dx ( L ) g ( x )dx

+

+

( la (c) una conseguenza immediata della (a)) d) se f ( x ) L1 ( R ) , anche f ( x ) L1 ( R ) . Infatti se f ( x ) L1 ( R ) , allora f + ( x ) , f ( x ) L1 ( R ) . La d) segue dalla b) osservando che f ( x ) = f + ( x ) + f ( x ) . La d) una propriet caratteristica dell'integrale di Lebesgue

8


(e) se f ( x ) L1 ( R ) , allora

( L ) f ( x )dx ( L ) f ( x ) dx

+

+

Infatti, poich f + f = 2f 0 e f f = 2f 0 , dalla a) e b) deduciamo che

+

( L ) f ( x ) dx

+

risulta sia di ( L ) f ( x )dx che di ( L ) f ( x )dx

+

+

f) se f ( x ) L1 ( R ) e f ( x ) 0 (q.o.), allora f ( x ) = 0 (q.o.) se e soltanto se

( L ) f ( x )dx = 0 .

+

Dim f) Se f ( x ) = 0 (q.o.), allora f ( x ) il limite quasi ovunque della successione crescente

{ ( x )} ( ( x ) ( x ) 0 )n n +1 n

di elementi di C 0 ( R ) , dati da n ( x ) = 0 (n=1,2,...) x R . In

base alla nostra definizione f ( x ) integrabile secondo Lebesgue e+

( L ) f ( x )dx = 0 .

+

Viceversa, supponiamo che f ( x ) L1 ( R ) , f ( x ) 0 (q.o.) e ( L ) f ( x )dx = 0 . Esiste allora una successione crescente {n ( x )} di elementi di C 0 ( R ) , tale che lim n ( x ) = f ( x ) (q.o.) conn ( x ) 0 . Abbiamo allora+

n

0

cio ogni n ( x ) identicamente nulla in R. Ne segue che f ( x ) = 0 (q.o.). La propriet precedente implica la seguente: se f ( x ) , g ( x ) L1 ( R ) , alloraf ( x ) = g ( x ) (q.o.)

( x ) dx ( L ) f ( x )dx = 0n

+

n ,

se e soltanto se

( L ) f ( x ) g ( x ) dx = 0Naturalmente se f ( x ) = g ( x ) (q.o.), con f ( x ) , g ( x ) L1 ( R ) , risulta

+

( L ) f ( x )dx = ( L ) g ( x )dx

+

+

9


Esempio I. 27)

Se ( x ) 0 appartiene a C 0 ( R ) , allora ( x ) L1 ( R ) e

( L ) ( x )dx = ( x )dx

+

+

(Basta prendere la successione 1 ( x ) = 2 ( x ) = ... = n ( x ) = ... = ( x ) ). Esempio II. Se ( x ) appartiene a C 0 ( R ) , allora ( x ) L1 ( R ) e vale la 27) ( + ( x ) e ( x )

sono funzioni non negative appartenenti a C 0 ( R ) e ( x ) = + ( x ) ( x ) ,....) Esempio III. Sia f ( x ) una funzione a supporto compatto ( f ( x ) = 0 per x [ a, b ] ), non negativa, limitata e continua a tratti in (a,b) (vedi figura).

Come noto f ( x ) integrabile secondo Riemann. In questo caso+

f ( x )dx = f ( x )dxa

b

E' facile vedere che f ( x ) appartiene anche a L1 ( R ) . Infatti, siano a n = a + c2 n = c + 2

1 1 , c1n = c 1 , n n

1 1 , bn = b ( n = 1, 2,..., , 1 , 2 , > 0 e tali che a + < c 1 , c + 2 < b ) e n n n ( x ) le funzioni di C 0 ( R ) definite dan ( x ) = f ( x )per x [ a n , c1n ] [ c 2 n , b n ]

=0 per x b, x a, x = c = funzioni lineari in x per x [ a, a n ] ,

[c1n , c ] , [c, c2n ] , [ b n , b]

(vedi figura precedente)

10


Abbiamo alloran +1 ( x ) n ( x ) 0

e

lim n ( x ) = f ( x )n

(q.o.).

Inoltre+

Si conclude allora che f ( x ) L1 ( R ) e 28)

n ( x )dx < K = f ( x )dxa

b

( n = 1, 2,...)

( L ) f ( x )dx = lim

+

+

n

Questo risultato ancora valido se f ( x ) assume valori negativi: f + ( x ) e f ( x ) sono funzioni non negative, limitate e continue a tratti in (a, b). Pi in generale se f ( x ) a supporto compatto ( f ( x ) = 0 per x [ a, b ]) , limitata e continua

n ( x )dx =

+

f ( x )dx

quasi ovunque in (a, b), allora f ( x ) integrabile secondo Riemann. Si dimostra che f ( x ) appartiene anche a L1 ( R ) e che i due integrali, di Lebesgue e di Riemann, coincidono. Esempio IV. Si consideri la funzione di Dirichlet

(x)

x razionale 1 (x) = x irrazionale 0 non integrabile secondo Riemann. ( x ) invece integrabile secondo Lebesgue:

( x ) = 0 (q.o.), sicch

( L ) ( x )dx = 0

+

Nel seguito ometteremo la lettera L che precede gli integrali di Lebesgue. Ogni integrale sar inteso nel senso di Lebesgue.4. Operazioni di limite nell'integrazione di Lebesgue Partendo dalla classe C 0 ( R ) si esteso, mediante un certo procedimento, la nozione di integrale

ad una classe pi ampia L1 ( R ) . Si potrebbe tentare di estendere ulteriormente la nozione di integrale ad una classe ancora pi ampia, che includa L1 ( R ) , applicando lo stesso procedimento. Si pu dimostrare che ci non possibile. Abbiamo il seguente:

11


Teorema (di Beppo Levi o della convergenza monotona) Sia {fn ( x )} una successione crescente ( fn +1 ( x ) fn ( x ) ) di funzioni non negative, appartenenti a L1 ( R ) , tali che+

29)

La successione converge allora quasi ovunque a una funzione f ( x ) L1 ( R ) e+

f ( x )dx < Kn +

( n )

30)

f ( x )dx = lim f ( x )dxn n

Questo teorema stabilisce da un lato la validit del passaggio al limite sotto il segno di integrale (nelle condizioni stabilite dal teorema), dall'altro una propriet di "chiusura " dell'insieme L1 ( R ) rispetto a processi di limite che coinvolgono successioni monotone. Dal teorema di Beppo Levi si pu dedurre un'altro risultato che riguarda successioni non monotone di funzioni appartenenti a L1 ( R )Teorema(lemma di Fatou) Sia {fn ( x )} una successione di funzioni non negative , appartenenti a L1 ( R ) , convergente quasi ovunque a una funzione f ( x ) e tale che+

Si ha allora che f ( x ) L1 ( R ) e+

f ( x )dx Kn

( n = 1, 2,...)

f ( x )dx K

Il lemma di Fatou stabilisce una condizione sufficiente di integrabilit (nel senso di Lebesgue) di una funzione f ( x ) . Uno dei risultati fondamentali della teoria dell'integrazione secondo Lebesgue il seguente teorema, che riguarda successioni non monotone ed il passaggio al limite sotto il segno di integrale.Teorema (di Lebesgue o della convergenza dominata) Sia {fn ( x )} una successione di funzioni appartenenti a L1 ( R ) , convergente quasi ovunque a una funzione f ( x ) :

12


f ( x ) = lim fn ( x )n

(q.o.)

Se esiste una funzione g ( x ) 0 , appartenente a L1 ( R ) , tale che

fn ( x ) g ( x )

n+ n n

(q.o.)

allora anche f ( x ) L1 ( R ) , il limite lim+ +

f ( x )dx esiste ed finito e

f ( x )dx = lim

n

f ( x )dxn

Un utile corollario del teorema di Lebesgue, che afferma soltanto l'integrabilit della funzione limite e non dice niente sul passaggio al limite sotto il segno di integrale, il seguenteCorollario Se la successione {fn ( x )} , con fn ( x ) L1 ( R ) (n=1,2,....), converge quasi ovunque a una funzione f ( x ) tale che

f (x) g (x)

(q.o.)

dove g ( x ) L1 ( R ) , allora anche f ( x ) L1 ( R ) .

In relazione al corollario precedente, utile introdurre la seguente nozione. Una funzione f ( x ) definita in R, detta misurabile, se esiste una successione di funzioni

{ ( x )} , appartenenti a C ( R ) , tale chen 0

f ( x ) = lim n ( x )n

(q.o.)

Le funzioni appartenenti a L1 ( R ) sono quindi misurabili. Non tutte le funzioni misurabili sono per integrabili nel senso di Lebesgue: la funzione f ( x ) = c

(c 0) ,

misurabile, ma non

appartiene a L1 ( R ) . Dalla propriet d) (pag. 8) e dal corollario precedente discende immediatamente il seguente teorema:Teorema (misurabilit ed integrabilit) Se f ( x ) una funzione misurabile in R, f ( x ) L1 ( R ) se e solo se esisteg ( x ) 0 L1 ( R ) , tale che

una funzione

f (x) g (x)

(q.o.)

13


(Per le funzioni misurabili le due nozioni di integrabilit e assoluta integrabilit sono equivalenti) Si pu quindi tener presente che se f ( x ) misurabile, nulla all'esterno di un intervallo limitato (a,b), e all'interno di (a,b) gode della propriet f ( x ) K (quasi ovunque in (a,b)), alloraf ( x ) L1 ( R ) . Pi in generale abbiamo la seguente propriet: sia f ( x ) una funzione misurabile

in R e a e m due numeri reali maggiori di zero; indichiamo con fa,m la funzione che coincide conf ( x ) se x a e f ( x ) m e risulta nulla per gli x tali che x > a e f ( x ) > m . La funzione f ( x ) sommabile se e soltanto se+

fa,m ( x ) dx < K

( a, m )

(per questo risultato si pu utilizzare il lemma di Fatou).5. Misura di sottoinsiemi di R

Se A R un sottoinsieme di R, possiamo considerare la sua funzione caratteristica A ( x ) , definita da xA 1 A ( x ) = xA 0 Se A un intervallo (a,b), allora la sua lunghezza (o misura) data dall'integrale della sua funzione caratteristica. In generale un insieme A di R detto misurabile (secondo Lebesgue) se la sua funzione caratteristica misurabile. Se A ( x ) risulta anche integrabile, il suo integrale (di 31) Lebesgue) si chiama misura di A e si indica con mis A:+

32)

mis A=

Se A ( x ) misurabile, ma non integrabile, si dice che A ha misura di Lebesgue + . Se A un insieme di misura nulla (in base alla definizione che abbiamo dato), la sua funzione caratteristica A risulta nulla quasi ovunque . Abbiamo allora+

( x )dxA

mis A=

( x )dx = 0A

(una funzione quasi ovunque nulla, come abbiamo visto integrabile (e quindi misurabile)).6. Integrali su un sottoinsieme di R

Sia A un sottoinsieme di R e f ( x ) una funzione reale definita su A.

14


Se la funzione f0 ( x ) , che coincide con f ( x ) per x A ed nulla per x A , appartiene aL1 ( R ) , si dice allora che f ( x ) integrabile (secondo Lebesgue) su A. L'integrale di f ( x ) su A,

in tal caso, definito da 33)

L'insieme delle funzioni integrabili su A indicato con L1 ( A ) . In pratica, tenendo presente che f0 non altro A ( x ) nel caso di una funzione f ( x ) = cos t = 1 su A, si considerano sottoinsiemi misurabili. La 32) si pu allora scrivere nella forma 34) mis A= dxA b

A

f ( x )dx = f ( x )dx0

+

Se A = ( a, b ) , l'integrale di f su ( a, b ) indicato con f ( x ) dx .a

Se A di misura nulla, allora per ogni funzione f definita su A abbiamo

A

f ( x )dx = 0

7. Funzioni a valori complessi

Tutte le nozioni ed i risultati relativi al caso di funzioni a valori reali, si estendono immediatamente al caso di funzioni a valori complessi. Se f ( x ) = u ( x ) + iv ( x ) definita in R,f ( x ) detta integrabile (secondo Lebesgue) se parte reale u ( x ) e parte immaginaria v ( x ) sono

integrabili (secondo Lebesgue). In tal caso si pone+

35)

f ( x )dx = u ( x )dx + i v ( x )dx

+

+

f ( x ) detta misurabile se u ( x ) e v ( x ) sono misurabili.

Sostituendo i valori assoluti con i moduli, abbiamo le stesse propriet gi viste per funzioni a valori reali. Se f ( x ) misurabile e f ( x ) integrabile (secondo Lebesgue), alloraf ( x ) integrabile (secondo Lebesgue) e si ha+

36)

f ( x )dx

+

u ( x ) + iv ( x ) dx

15


8. L'integrale di Lebesgue in R d

( d = 2,3,...)

Sia R d lo spazio euclideo d-dimensionale, i cui punti, che indicheremo genericamente con x, sono costituiti dalle d-uple ordinate di numeri reali ( x1 , x 2 ,..., x d ) : 37)x = ( x1 , x 2 ,..., x d )

Se ( a1 , a 2 ,..., a d ) e ( b1 , b 2 ,..., b d ) sono tali chea i < bi

( i = 1, 2,..., d ) (1, 2,..., d ) (1, 2,..., d )

possiamo considerare l'insieme dei punti di R d definito da 38)x : a i < x i < bi

Questo insieme definisce un d-rettangolo o un rettangolo d-dimensionale aperto. Analogamente 39)x : a i x i bi

definisce un d-rettangolo chiuso e limitato. d Se I ( ) un d-rettangolo chiuso e limitato e {A a } una famiglia di insiemi aperti di R d che ricopra I ( ) , resta valido il teorema di Heine-Borel. Se I ( ) il d-rettangolo aperto:d d

I ( ) = {x : a i < x i < b id d

( i = 1, 2,..., d )}d

per misura di I ( ) , che indicheremo con mis I ( ) , s'intende la grandezza 40) mis I ( ) = ( b1 a1 )( b 2 a 2 ) ... ( b d a d )d d

(la stessa grandezza pu essere associata a un d-rettangolo chiuso o semi chiuso). mis I ( ) un'area per d = 2 , un volume per d = 3 ,... Un sottoinsieme A R d di misura nulla (secondo Lebesgue), quando per ogni > 0 , esiste una famiglia numerabile di d-rettangoli aperti I (k ) k=1,2,...) , tale ched

{ }

41)

A I (k )d k =1

e

k =1

mis I (k ) < d

Nel caso di R , oltre a insiemi numerabili di punti di R d , sono insiemi di misura nulla insiemi del tipo curve, superficie,...di dimensione d1 d 1 , se sufficientemente regolari (se hanno, per esempio retta tangente, piano tangente,..., che varino con continuit). Come nel caso di R = R1 , si pu parlare di una propriet valida quasi ovunque in R d . E' utile precisare la nozione di supporto di una funzione f ( x ) = f ( x1 , x 2 ,..., x d ) definita in R d d = 1, 2,... : il supporto di f ( x ) , supp f, la chiusura dell'insieme {x : f ( x ) 0} . Una funzione a supporto compatto una funzione il cui supporto un sottoinsieme chiuso e limitato di R d . Se

d

16


f ( x ) a supporto compatto, esiste un d-rettangolo chiuso e limitato I (d

d)

tale che f ( x ) = 0 per

x I( ) . Analogamente al caso unidimensionale, possiamo considerare lo spazio vettoriale C 0 R d ,

( )

costituito dalle funzioni continue definite in R d , a valori reali, aventi supporto compatto. Ad ogni funzione ( x ) C 0 R d possiamo associare il suo integrale di Riemann

( )+

42)

( dx = dx1 , dx 2 ,..., dx d , x = ( x1 , x 2 ,..., x d ) ).

Rd

( x )dx =

+

... ( x1 , x 2 ,..., xd ) dx1 , dx2 ,..., dxd

+

Partendo dalle funzioni appartenenti a C 0 R d , tutto il procedimento seguito per le funzioni di una variabile reale pu essere ripetuto, senza alcuna novit e si perviene allo spazio vettoriale reale L1 R d delle funzioni integrabili secondo Lebesgue su R d . Se f ( x ) L1 R d , l'integrale di Lebesgue di f ( x ) sar indicato con 43) oppure con+

( )

( )

( )

Rd

f ( x ) dx

oppure

Rd

f ( x , x ,..., x ) dx , dx ,..., dx1 2 d 1 2

d

+

... f ( x1 , x2 ,..., x d ) dx1 , dx 2 ,..., dx d

+

Le propriet e i teoremi enunciati precedentemente nel caso di R = R1 conservano la loro validit. In modo analogo al caso unidimensionale si possono dare le nozioni di funzioni misurabili, sottoinsiemi misurabili di R d , integrali di Lebesgue su sottoinsiemi di R d . Per gli integrali di Lebesgue su R d ( d 2 ) , si pone il problema della loro riduzione a integrali suR d , con d1 < d . Considerando per semplicit il caso di R 2 , possiamo enunciare il seguente teorema1

Teorema (di Fubini) Sia f ( x, y ) una funzione appartenente a L1 R 2 . Si ha allora che la funzione y f ( x, y ) per x

( )

fissato integrabile rispetto a y, ad eccezione di alcuni valori particolari di x che formano un insieme di misura nulla in R. La quantit

I0 ( x ) =

+

quindi una funzione di x definita quasi ovunque. Indicando con I ( x ) una qualsiasi funzione definita in R e che coincida con I 0 ( x ) nei punti in cui I 0 ( x ) definita, si ha che I ( x ) L1 ( R ) e

f ( x, y ) dy

17


+

44)

I ( x ) dx = f ( x, y ) dx dy +

+ +

Poich un risultato analogo vale scombinando i ruoli di x e y, si ha quindi:

45)

R2

f ( x, y ) dx dy =

dx f ( x, y ) dy =

+

+

dy f ( x, y ) dx

+

Il teorema di Fubini estende alle funzioni di L1 R 2 , una nota propriet dell'integrale di Riemann per funzioni ( x, y ) C 0 R 2 . Per le funzioni misurabili si pu invertire il teorema di Fubini:Teorema (di Tonelli) Sia f ( x, y ) definita in R 2 e misurabile. Se esiste almeno uno dei due integrali+

( )

( )

allora f ( x, y ) L1 R

dx f ( x, y ) dy

+

+

( ) e vale la 45).2

dy dx f ( x, y )

+

I due teoremi precedenti si possono estendere in modo naturale al caso di R d , con d > 2 . Tutti i risultati e le nozioni precedenti per funzioni a valori reali definite in R d , si estendono immediatamente al caso di funzioni a valori complessi, in modo analogo al caso unidimensionale.9. Gli spazi L1 R d e L 2 R d

( )

( )

Nel seguito considereremo in generale funzioni a valori complessi. Una funzione continua, a valori complessi e a supporto compatto, definita in R d , ha per parte reale e parte immaginaria funzioni continue, a supporto compatto e a valori reali. In questo caso il supporto della funzione coincide con il supporto del suo modulo. L'insieme di queste funzioni lo indicheremo ancora con C 0 R d , supposto che siano definite in R d . Analogamente indicheremo ancora con L1 R d

( )d

( )

l'insieme delle funzioni a valori complessi, definiti in R d , aventi parte reale e parte immaginaria integrabili secondo Lebesgue. Gli elementi di L1 R d sono anche detti funzioni sommabili.

( ) pu essere anche definito come l'insieme delle funzioni, in generale a valori complessi, misurabili in R , tali che il loro modulo sia sommabile su R . Sia C ( R ) che L ( R ) sonoL1 Rd d d d 0 1

( )

spazi vettoriali complessi.Def. Uno spazio vettoriale (lineare) complesso X un insieme di elementi (detti anche vettori) in cui sono definite due operazioni (una operazione di somma che associa a due elementi u e v di X

18


un elemento di X, indicato con u + v , ed una operazione di prodotto per un numero complesso, che associa ad un numero complesso e ad un vettore u X , un elemento di X indicato con u ) che soddisfino le seguenti propriet ( u, v, w X , , C ) :

a) u + v = v + u b) u + ( v + w ) = ( u + v ) + w c) esiste un unico vettore, detto il vettore nullo e indicato con 0, tale che u+0 = u u X d) ad ogni vettore u associato un unico vettore indicato con -u tale che u + ( u ) = 0 e) (u) = ()u f) 1u = u g) (u + v) = u + u h) ( + )u = u + u Se f e g sono sommabili in R d , le due operazioni usuali 46)

( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) ( f )( x ) = f ( x )

forniscono ancora funzioni sommabili e soddisfano le propriet a)..., h). Analoga propriet vale per C 0 R d . Sia per L1 R d , che per C 0 R d , il vettore nullo la funzione identicamente nulla

( )

( )

( )

in R d .Def. (spazi normati) Uno spazio normato X uno spazio vettoriale in cui ad ogni elemento u X associato un numero reale, indicato con u e detto norma di u, che abbia le seguenti propriet: a) u 0

b) u = 0 se e soltanto se u coincide con il vettore nullo dello spazio: u = 0 c) u = u per ogni numero complesso e ogni u X d) u + v u + v (diseguaglianza triangolare), per ogni coppia u, v di elementi di X. In uno spazio normato X si pu introdurre la nozione di "distanza" u v tra due elementi u e v di X. Utilizzando la "distanza" si pu dare la nozione di convergenza. Si dice che la successione {u n } ( n = 1, 2,...) di elementi di X converge a u X , e si scrive lim u n = u , sen

lim u u n = 0 .n

In relazione alle propriet di convergenza di successioni di numeri reali o complessi, per i quali la norma costituita dal loro modulo, utile introdurre la nozione di una successione fondamentale o di Cauchy in uno spazio normato X. La successione {u n } di elementi X detta

19


fondamentale se, per ogni > 0 , possibile trovare un N tale che, per ogni m e n > N , risulti un um < . Se

{u n }

una successione convergente, lim u n = u ,n

(u X) ,

allora la successione

fondamentale. Infatti u n u m = u n u + u u m u n u + u u m 0 per n, m . In uno spazio normato generico non detto per che una successione fondamentale converga ad un elemento dello spazio. Uno spazio normato detto completo se per ogni successione fondamentale formata da suoi elementi, esiste un elemento dello spazio a cui la successione converge. E' utile tener presente che, in virt delle diseguaglianza triangolare, il limite di una successione convergente unico. Uno spazio normato completo detto uno spazio di Banach. Gli insiemi dei numeri reali e dei numeri complessi sono spazi normati completi. L'insieme di numeri razionali, considerando soltanto la struttura metrica data dal valore assoluto della differenza di due numeri razionali, non completo. Possiamo introdurre una norma nello spazio vettoriale C 0 R d nel modo seguente: associamo ad ogni ( x ) C 0 R 47)

( ) il numero non negativo dato dad

( )

1=

Rd

( x ) dx

Questa corrispondenza definisce una norma in C 0 R d , poich soddisfa i quattro assiomi di uno spazio normato. Lo spazio normato cos ottenuto lo indicheremo con C 0 R d , 1 . In questo spazio la "distanza" tra due funzioni ( x ) e ( x ) dello spazio, una "media" della distanza puntuale 48)d 0 1

( )

( ( )

)

1 =

( C ( R ) , ) non completo: esistono successioni fondamentali in ( C ( R ) , ) che nond 0 1

Rd

( x ) ( x ) dx

convergono a un elemento dello spazio, cio ad una funzione continua a supporto compatto in Rd .Dim. Sia f ( x ) una funzione sommabile. Mostriamo che esiste una successione {n } di elementi

di C 0 R d convergente "in media" a f ( x ) : 49) lim

( )

n

Infatti se f ( x ) = u ( x ) + iv ( x ) = u + ( x ) + iv + ( x ) u ( x ) + iv ( x )

Rd

f ( x ) ( x ) dx = 0n

esistono successioni (n ) , (n ) , (n ) , (n ) crescenti di funzioni non negative, appartenenti a1 1 2 2

( ( ) u , ( ) v , ( ) u , ( ) v )1 n+

C0 R d ,

( )

{ }{ }{ }{ }limitati,

(

)ovunque au + , v+ , u , v

con1 n

integrali+

convergenti

quasi

2 n

2 n

20


Consideriamo la successione {n } data da: 50) Abbiamo:() ( ) () ( ) f ( x ) ( x ) dx = u ( x ) + iv ( x ) u ( x ) iv ( x ) ( x ) + ( x ) i ( x ) + i ( x ) dx + + n 1 n 2 n 1 n 2 n Rd

n ( x ) = (n ) ( x ) (n ) ( x ) + i (n ) ( x ) (n ) ( x )1 2 1 2

(

)

Rd

Rd

u + ( x ) (n ) ( x ) dx +1

Rd

() v ( x ) ( x ) dx + + 1 n

u ( x ) (n ) ( x ) dx +2

Rd

Rd

( ) v ( x ) ( x ) dx = 2 n

=

Rd

() ( ) u ( x ) ( x )dx + ... + ( v ( x ) ( x ) )dx 0+ 1 n 2 n Rd n

in virt del fatto che

Rd

() () u ( x )dx = lim ( x )dx... , e u ( x ) (q.o.), .....+ n 1 n 1 n +

La successione {n } di Cauchy in C 0 R d , 1 . Infatti

( ( )

Rd

)

R

( x ) ( x ) dx = ( x ) f ( x ) + f ( x ) ( x ) dx n m n md

n

f ( x ) dx +

R

d

R

d

Rd

f ( x ) ( x ) dx 0m

per n, m . D'altra parte f ( x ) , in generale, non appartiene a C 0 R d . Questo risultato mostra che si vuole "completare" lo spazio normato C 0 R d , 1 , dobbiamo aggiungere agli elementi C 0 R d almeno le funzioni sommabili su R d e considerare quindi lo spazio L1 R1

( )

( ) f (x) L (R ) :d d

in cui C 0

( ) (R ) d

( ( )

)

incluso. Ma nello spazio L1 R d

( )

il numero associato a

51)

Rd

f ( x ) dx

cessa di essere una norma, poich non soddisfa l'assioma b) di uno spazio normato. Infatti, come abbiamo visto,

Rd

f ( x ) dx = 0

soddisfatto per tutte le funzioni quasi ovunque nulle in R d , che, in generale, sono diverse dal vettore nullo dello spazio (costituito dalla funzione identicamente nulla in R d ). Ci implica che, se vogliamo soddisfare l'assioma b) di uno spazio normato, dobbiamo identificare tutte le funzioni definite in R d che si annullano quasi ovunque in R d . A tal fine possiamo considerare come elementi dello spazio, non le singole funzioni, ma classi di funzioni che sono eguali quasi

21


ovunque. In modo equivalente si pu introdurre una nuova definizione di eguaglianza di funzioni: due funzioni sono uguali se i loro valori coincidono quasi ovunque. In pratica, poich pi conveniente operare con funzioni che con classi di funzioni, viene utilizzata la nuova definizione di eguaglianza di funzioni (principio di identificazione). Nell'ambito di questo principio, poich le funzioni non cambiano se i loro valori cambiano arbitrariamente su un sottoinsieme di R d di misura nulla, naturale assumere che le funzioni siano definite quasi ovunque. L'insieme che otteniamo da L1 R d mediante il principio di identificazione indicato con L1 R d . L1 R d uno spazio vettoriale complesso; il vettore nullo di L1 R d costituito dalla classe di funzioni q.o. nulle in R d . Nell'ambito del principio di identificazione, indicheremo ancora con f ( x ) gli elementi di questo spazio. Diremo anche che f ( x ) appartiene a C 0 R d se

( )

( )

( )

( )

( )

coincide quasi ovunque con una funzione definita su tutto R , continua e a supporto compatto. In questo modo C 0 R d costituisce un sottospazio di L1 R d . Se f ( x ) L1 R d , poniamo

d

( )Rd

( )

( )

52)

f =

f ( x ) dx

Con questa associazione abbiamo che L1 R d

( )

uno spazio normato. Sulla base dei teoremi

fondamentali della teoria dell'integrazione secondo Lebesgue (in particolare del teorema di Beppo Levi) si dimostra che L1 R d uno spazio normato completo. L1 R d rappresenta il

( )

completamento dello spazio normato C 0 R d , 1 . Sulla base della 49) si dice che C 0 R d un sottospazio di L1 R d

( )

( ( )

)

( )

( )

denso in esso, cos come l'insieme dei numeri razionali denso

nell'insieme dei numeri reali. Consideriamo ora un'altro spazio vettoriale che ha un ruolo importante nelle applicazioni. Indichiamo con L2 R d l'insieme delle funzioni definite in R d , misurabili e tali che il loro

( )

modulo al quadrato sia sommabile su R d . Chiameremo gli elementi di L2 R d

( )

funzioni a

( ) se f ( x ) , g ( x ) L ( R ) , allora f ( x ) i g ( x ) sommabile su Rd 2

quadrato sommabile. Per esempio la funzione definita in R da: 1 f (x) = 1+ x misurabile, non sommabile su R, ma a quadrato sommabile su R. Mostriamo che L2 R d uno spazio vettoriale complesso. A tal fine dimostriamo anzitutto ched

, cio appartiene a L1 R d :

Poich f ( x ) e g ( x ) sono misurabili, il loro prodotto misurabile. E' sufficiente allora mostrare nulla quasi ovunque. Supponiamo allora che sia f che g siano quasi ovunque diverse da zero. Tenendo presente che vale la diseguaglianza

( )

che f ( x ) i g ( x ) = f ( x ) g ( x ) sommabile su R d . Ci senz'altro vero se una delle funzioni

22


ab abbiamo

1 2 a + b2 2

(

)

((a b ) 0 )2

12 12 2 2 f ( y ) dy g ( y ) dy d d R R Ne segue immediatamente che f ( x ) i g ( x ) sommabile e

f (x)

g (x)

2 2 g (x) 1 f (x) + 2 2 2 f ( y ) dy g ( y ) dy d R Rd

53)

Rd

f ( x ) g ( x ) dx

Rd

2 f ( x ) g ( x ) dx f ( x ) dx d R

12

2 g ( x ) dx d R

12

(diseguaglianza di Schwarz). Se , C , abbiamo che f ( x ) + g ( x ) misurabile e f ( x ) + g ( x ) = ( f ( x ) + g ( x ) ) ( f ( x ) + g ( x ) ) = f ( x ) + g ( x ) +2 2 2 2 2

+2 Re ( f ( x ) g ( x ) ) f ( x ) + g ( x ) + 2 f ( x ) g ( x )2 2 2 2

Da questa diseguaglianza e dalla 53) deduciamo che f ( x ) + g ( x ) L2 R d . Utilizzando la 53), abbiamo anche

( )

54) cio 55)

Rd

f (x) + g (x)

2

12 12 2 2 dx f ( x ) dx + g ( x ) dx d Rd R

2

2 f ( x ) + g ( x ) dx d R

12

2 f ( x ) dx d R

12

2 + g ( x ) dx d R

12

Questa diseguaglianza suggerisce che anche in L2 R d associando ad ogni f ( x ) L2 R d il numero

( )

( )

possiamo introdurre una norma,

2 f = f ( x ) dx , 56) d R che si presenta come una generalizzazione della norma "euclidea" degli spazi ordinari 12 2 n n R se x = ( x1 , x 2 ,..., x n ) , x = x i . i =1 d Anche per L2 R si presenta per il problema dell'assioma b) degli spazi normati. Questo

12

( )

problema si supera anche in questo caso mediante il principio di identificazione. Otteniamo

23


allora, con questo principio, l'insieme L 2 R d . L 2 R d

( )

( )

uno spazio normato con la norma

definita dalla 56). Sulla base di teoremi fondamentali della teoria della integrazione secondo Lebesgue, si dimostra che L 2 R d uno spazio normato completo. Poich ogni funzione

( )

continua su R d , a supporto compatto, a quadrato sommabile, abbiamo che C 0 R d , nell'ambito del principio di identificazione un sottospazio di L 2 R completamento dello spazio normato C 0 R d , 12

( ( )

2

) , in cui definita la norma "euclidea":

( ).d

L2 R

( )d

( )

rappresenta il

2 2 = ( x ) dx d R E' utile tener presente che nel caso di L 2 R d , la norma discende da un'altra grandezza che

( )

possibile definire in questo spazio. Abbiamo visto che se f ( x ) , g ( x ) L 2 R d il loro prodotto sommabile. Questa propriet non si verifica in L1 R d . Per esempio le due funzioni definite in R 1 13 f (x) = x 0 1 23 g (x) = x 0 x 1 x >1 x 1 x >1

( )

( )

sono sommabili su R; il loro prodotto per non sommabile (si pu notare che f ( x ) sia sommabile che a quadrato sommabile, mentre g ( x ) non a quadrato sommabile). Tornando a L 2 R d , se f ( x ) , g ( x ) L 2 R d con , dato da 57) < g, f >=

( )

( )

abbiamo che f ( x ) g ( x ) sommabile.

Associamo allora ad ogni coppia ordinata f, g di elementi di L 2 R d il numero che indicheremo

( )

Rd

g ( x )f ( x ) dx

gode delle seguenti propriet: in generale un numero complesso tale che a) = 58) b) =+ c) = d) 0 C

( g,f , f L ( R ))d 1 2 2

24


e) =0 , se e soltanto se f coincide con il vettore nullo dello spazio. prende il nome di prodotto scalare o prodotto interno. Ogni spazio vettoriale in cui sia definita una corrispondenza che associ ad ogni coppia ordinata di vettori un numero (in generale complesso se lo spazio vettoriale complesso) che soddisfi le propriet 58), detto spazio unitario o spazio pre-hilbertiano. La norma in L 2 R d indotta dal prodotto scalare. Abbiamo infatti

( )

59)

= f

2

In ogni spazio unitario il prodotto scalare induce una norma. Se lo spazio normato che ne risulta completo, allora lo spazio unitario detto uno spazio di Hilbert. L 2 R d quindi uno spazio di Hilbert.

( )

(a,b), semiretta ( 0, + ) ,... nel caso di R1 , e d-rettangoli,..., nel caso di R d .

In generale se un sottoinsieme misurabile di R d , si considerano in modo del tutto analogo gli spazi L1 ( ) e L 2 ( ) . Nelle applicazioni gli insiemi sono del tipo: intervalli

10. Lo spazio L1,loc R d

( )R d (per esempio un d-rettangolo). Se la funzione

Sia f ( x ) una funzione, in generale a valori complessi, definita in R d e sommabile su R d e un sottoinsieme misurabile di caratteristica di la funzione 60)f ( x ) ( x )

sommabile su R d . Infatti misurabile (prodotto di due funzioni misurabili) e f ( x ) ( x ) f ( x ) . L'integrale di f ( x ) ( x ) su R d , per definizione, l'integrale di f ( x ) su (indicato con f ( x )dx ):

61)

Evidentemente questo integrale coincide con l'integrale su della restrizione di f ( x ) a (vedi definizione a pag. 15). In generale se f ( x ) definita in R d , si dice che f ( x ) sommabile su un sottoinsieme di R d , se sommabile su R d la funzione f ( x ) ( x ) . In tal caso, si pone come nella 61)

f ( x ) dx = f ( x ) ( x ) dx

Rd

Si dimostra che tutti gli insiemi aperti e gli insiemi chiusi di R d sono misurabili.

25


f ( x ) dx = f ( x ) ( x ) dx

Rd

Si ha quindi che se una funzione sommabile su R d , allora sommabile su ogni sottoinsieme misurabile di R d . Una funzione definita in R d e misurabile, detta localmente sommabile se sommabile su ogni sottoinsieme compatto di R d . L'insieme della funzioni localmente sommabili definite in R d , indicato con L1,loc R d (si applica anche in questo caso il principio di identificazione). L1,loc R d

( )

( )

uno spazio vettoriale complesso. Abbiamo L1 R d L1,loc R d . Nel caso2

( )

( )

unidimensionale, per esempio, le funzioni f ( x ) = cos t , g ( x ) = e x ,... , sono funzioni localmente sommabili, ma non sommabili su R. Ogni funzione continua in R d localmente sommabile. La nozione di funzione localmente sommabile pu essere considerata come l'ultimo stadio della nozione classica di funzione. La corrispondenza 62)x f (x) f ( x ) dx

viene sostituita con 63)

dove un generico sottoinsieme compatto di R d , e

f ( x )dx

rappresenta una "media" di

f ( x ) su . Questa sostituzione diventa particolarmente significativa se f ( x ) definita soltanto

quasi ovunque. D'altra parte la 63) pi aderente, da un punto di vista operativo, al procedimento di misura di una grandezza fisica descritta da una funzione. Occorre per notare che la corrispondenza 62) alla base delle altre operazioni dell'analisi, come la derivazione. E' possibile introdurre una nozione di derivazione sulla base di una corrispondenza del tipo 63)? Vedremo che la risposta affermativa, se la 63) viene riformulata in modo appropriato.

26

DISTRIBUZIONI1. Nozioni basilari Sia C R n 0 C0 R n

( )

l'insieme delle funzioni ( x1 , x 2 ,..., x n ) definite in R n , in generale a valori esiste un n-rettangolo K limitato e chiuso tale che per x K(x) = 0 .

complessi, infinitamente derivabili rispetto a x1 , x 2 ,..., x n e aventi supporto compatto. Per ogni

( )

Naturalmente K non lo stesso per tutte le funzioni di C R n . C R n 0 0 vettoriale complesso: se ( x ) , ( x ) C 0 R n , anche ( x ) + ( x ) C 0

( )

( )

( ) uno spazio ( R ) , con , C .n

Esempio I.

Se n=1, la funzione definita da

0 x 1 1) (x) = 1 2 e 1 x x , tale che

( )

un numero (in generale complesso), che

4)

T ( + ) = T ( ) + T ( )

, C, , C R n 0

( )

Se si introduce una nozione di limite nello spazio C 0 ( R n ) , allora possibile caratterizzare i

funzionali lineari in base a qualche ulteriore propriet, come, per esempio, quelle di continuit. In C 0 ( R n ) possiamo considerare vari tipi di convergenza. Alla base della teoria che verr sviluppata c' una scelta del tipo di convergenza, che deriva dalla seguente nozione di limite:Def. 2 Si dice che una successione {k } di elementi C R n , converge in D alla funzione 0 C R n , e si scrive 0

( )

( )

5)

lim k = k

D

oppure

D k

se e soltanto se

a) i supporti delle funzioni k ( x ) sono tutti contenuti in un n-rettangolo chiuso e limitato K K, cioxK

b) per ogni fissato multiindice = ( 1 ,..., n ) D k converge uniformemente a D sumax D k

(

) ( x ) ( D ) ( x ) 0

per k +

Lo spazio vettoriale C 0 ( R n ) , munito della nozione di limite precedente viene indicato con

D R n . Gli elementi di D R n sono anche chiamati funzioni test.Def. 3 Un funzionale lineare T su D R n detto continuo, se

( )

( )

( )

k

D

implica

lim T ( k ) = T ( ) k , C 0 R n , k = 1, 2,.... k

(

( )

)

Def. 4 Una distribuzione T un funzionale lineare e continuo su D R n .

( )

28

Distribuzioni

Le distribuzioni formano a loro volta uno spazio vettoriale che indicato con D' ( R d ) . La somma T1 + T2 e il prodotto T sono definiti da 6)< T1 + T2 , >=< T1 , > + < T2 , >< T1 , >= < T, >

( C)

2. Esempi di distribuzioni

Esempio II.

Consideriamo il caso n = 1 e supponiamo che f ( x ) sia una funzione definita in R

e continua. La funzione definisce una distribuzione Tf mediante+

7)

< Tf , >=

L'integrale esiste, poich l'integrazione riguarda un intervallo limitato e chiuso [ a, b ] , che contiene il supporto di ( x ) ( ( x ) = 0 per x [ a, b ]) . Ovviamente il valore dell'integrale un funzionale lineare su D ( R ) . Tf continuo: supponiamo tutte le funzioni k ( x ) . Abbiamo 8)D che k per k . Sia K un intervallo limitato e chiuso che contenga i supporti di

f ( x ) ( x ) dx

( x ) D ( R )

< Tf , k > < Tf , > = f ( x ) ( k ( x ) ( x ) ) dx f ( x ) ( k ( x ) ( x ) ) dx K K

f ( x ) dx max k ( x ) ( x ) K xK Poich max k ( x ) ( x ) 0 , abbiamo lim < Tf , k >=< Tf , > .xK k k

E' utile osservare che, per le funzioni continue in R, il funzionale Tf definisce univocamente la funzione.Teorema 1 Se g ( x ) una funzione continua in R, tale che Tg = Tf (ci significa Tg ( ) = Tf ( ) D ( R ) ), allora g ( x ) = f ( x ) .

Dim. Supponiamo che g ( x ) f ( x ) non sia identicamente nulla. Esiste allora almeno un punto

x 0 tale che g ( x 0 ) f ( x 0 ) 0 . Per la continuit di g ( x ) f ( x ) esiste un intervallo (a,b) contenente x 0 , in cui g ( x ) f ( x ) non cambia segno. Se consideriamo la funzione

29


1 ( b x )( x a ) e a=

Rn

f ( x ) ( D ) ( x ) dx

D R n

( )

una distribuzione. In generale il funzionale definito dalla 12) non identificabile con una funzione localmente sommabile (vedi esempio successivo), cio non possiamo scrivere in generale

Rn

f ( x ) ( D ) ( x ) dx = f ( x ) ( x ) dx Rn

D R n

( )

dove f localmente sommabile. Una distribuzione detta regolare se identificabile con una funzione localmente sommabile. Una distribuzione non identificabile con una funzione localmente sommabile detta singolare. Esempio V. 13) Consideriamo la funzione di Heaviside ( x ) , definita da

x>0 1 (x) = x= ( x )

d ( x ) dx dx

31


una distribuzione. Mostriamo che una distribuzione singolare. Abbiamo< T, >= ' ( x )dx = + ( 0 )0 +

( x ) D R1

( )

Se T fosse regolare, esisterebbe una funzione localmente sommabile f ( x ) , tale che+

15)

f ( x ) ( x ) dx = ( 0 )2

D R1

( )

Sia a un numero positivo. Consideriamo, la funzione test 2a 2 a x a ( x ) = e 0 x 0

a

f ( x ) dx 1

a > 0

In particolare, per a fissato+a n

17)

a n

f ( x ) dx 1

n

( n = 1, 2,...)

a a Ma ci assurdo. Sia a n ( x ) la funzione caratteristica dell'intervallo < x < + e n n fn ( x ) = f ( x ) a n ( x ) ; abbiamo+a n

18)

{f ( x )}n

a n

f ( x ) dx =

+

f ( x ) dx 1n

(f (x) 0n

n = 1, 2,...)

forma una successione monotona decrescente di funzioni non negative sommabili,

convergente quasi ovunque a zero per n . La successione fn ( x ) = f ( x ) a ( x ) fn ( x ) monotona crescente e fn ( x ) 0 ; inoltre fn ( x ) converge quasi ovunque a f ( x ) a ( x ) . Applicando il teorema di Beppo Levi a fn ( x ) si conclude che+

{

}

{

}

lim

n

fn ( x ) dx = lim

a n

n

a n

f ( x ) dx = 0

32

Distribuzioni

Confrontando questo limite con la 18), abbiamo che non esiste una funzione localmente sommabile f ( x ) che soddisfa la 15). Esempio VI. L'esempio precedente porta a considerare il funzionale n-dimensionale definito da 19) < , >= ( o ) D R n

( )

Il funzionale della 19) lineare e continuo. La distribuzione definita da questo funzionale chiamata la distribuzione di Dirac (n-dimensionale). Pi in generale la distribuzione di Dirac n-dimensionale, con polo in un punto fissato di R n , che indicata con , definita da 20) < , >= ( ) D ( R n )

Risulta quindi o = . In base alle considerazioni dell'esempio precedente, si ha che la distribuzione di Dirac singolare. In modo analogo si possono definire le distribuzioni 21) < T, >= ( D ) ( 0 ) D ( R n )

per ogni fissato multiindice . Se una distribuzione regolare, allora, come abbiamo visto, possiamo rappresentarla mediante la formula 11). Se una distribuzione singolare conveniente talvolta usare la 11) simbolicamente: se T una distribuzione singolare, associamo a T una funzione generalizzata o simbolica T ( x ) e scriviamo simbolicamente 22) < T, >=

I simboli T e T ( x ) possono essere usati scambievolmente. Naturalmente una funzione generalizzata o simbolica T ( x ) una vera funzione (localmente sommabile) se T regolare. Nel caso della distribuzione di Dirac, si scrive simbolicamente 23) < , >=

Rn

T ( x ) ( x ) dx

introducendo la funzione generalizzata ( x ) . Analogamente si scrive 24) < , >=

Rn

( x ) ( x ) dx = ( 0 ) , ( x ) ( x ) dx = ( ) ,

in termini della funzione generalizzata ( x ) .

Rn

33


3. Differenziazione delle distribuzioni Def. 5 Proveremo a definire

T , la derivata rispetto alla variabile x1 di una distribuzione T su x1

R n , in modo tale che, se T identificabile con una funzione f che sia continua, dotata di derivate f continue, ritroviamo nel senso usuale. x1 Se f una funzione con derivate continue, abbiamo 25)f f , >= ( x ) ( x ) dx D R n x1 x1 Rn Poich l'integrale esteso ad un n-rettangolo limitato K, possiamo scrivere (Teorema di Fubini) = ( 1) < T, D >

In particolare ogni funzione continua o, pi in generale, ogni funzione localmente sommabile possiede derivate di qualsiasi ordine, nel senso della teoria delle distribuzioni; ma, in generale, queste derivate non sono funzioni.

35


Se associamo alla distribuzione T la funzione generalizzata o simbolica T ( x ) , si pu dire che

( D T ) ( x ) . ( D T ) ( x ) la funzione simbolica definita da (vedi 22)):

T ( x ) possiede derivate di qualsiasi ordine (e l'ordine di derivazione non ha alcuna importanza)

32)

Rn

( D T ) ( x ) ( x ) dx = ( 1) T ( x ) ( D ) ( x ) dx Rn

( D T ) ( x ) la funzione simbolica associata alla distribuzione D T .E' utile considerare la seguente generalizzazione. Sia L un operatore differenziale in n-variabili d'ordine p, con coefficienti costanti a : 33)L = a D p

L'operatore L*, definito da 34)

L* = ( 1) a D p

chiamato l'aggiunto formale di L. Per il carattere vettoriale di D' ( R n ) , possiamo considerare la distribuzione LT = a D T . Abbiamo allora: p

35) < LT, >=< T, L * > Se p = 2 e a 2,0,...0 = a 0,2,0...0 = ... = a 0,0,...0,2 = 1 e tutti gli altri coefficienti sono nulli, L coincide con 2 il Laplaciano = 2 . In questo caso i =1 x in

36)

< T, >=< T, >

Esempio VII. Sia n = 1 . Se indichiamo con la distribuzione definita dalla funzione di Heaviside ( x ) (Es.5), abbiamo d (Es. 5) ( x ) dx = ( 0 ) dx Pertanto se la distribuzione di Dirac unidimensionale con polo nell'origine, risulta < , >= < , >= ( x )' '+

37) ' = Usando le funzioni simboliche, la 37) si pu scrivere nella forma 38)d (x) = (x) dx Le derivate successive della distribuzione sono determinate da

36

Distribuzioni

39)

< ' , >= < , ' >= ' ( 0 ) < ( ) , >= ( 1) (m m m)

(0)

Analogamente la distribuzione definita da ( x a ) ha per derivata a . In termini di funzioni generalizzate: = (x a) dx m m m m m Per a , abbiamo < (a ) , >= ( 1) < a , ( ) >= ( 1) ( ) ( a ) . 40) Sia f ( x ) una funzione definita per x < a1 , a1 < x < a 2 d ( x a )

( a 2 > a1 )

e x > a 2 . Supponiamo che, per

questi valori di x, f ( x ) sia derivabile due volte con continuit. Assumiamo inoltre che esistano e che siano finiti i limiti da destra e da sinistra nei punti a1 e a 2 , sia di f ( x ) che delle sue derivate. Poniamo f (m)

( a i ) = f (m ) ( a i + ) f (m ) ( a i )

( m = 0,1'a2

f( ) = f .0

)

La derivata prima di f ( x ) in senso distibuzionale, che indicheremo con f' , definita da 41) < f , >= < f, >= f ( x ) ( x ) dx f ( x ) ( x ) dx a1a1

'

'

a1

'

+

a2

f ( x ) ( x ) dx =+ 2 a2

'

= f ( a1 ) ( a1 ) +a2

' f ( x ) ( x ) dx + f ( a + ) ( a ) f ( a ) ( a ) + f ( a + ) ( a ) + f ( x ) ( x ) +1 1 2 2 2

'

+ f' ( x ) ( x ) dx =a1

+

( ) ( ) ' f ( x ) ( x ) dx + f ( a ) i ( a ) + f ( a ) i ( a )0 0 1 1 2 2

Come si pu notare, la funzione localmente sommabile f' ( x ) non pu essere identificata con la derivata distribuzionale di f. Se indichiamo con f'

{ } la distribuzione definita della funzione

localmente sommabile f' ( x ) (che definita per x < a1 , a1 < x < a 2 , x > a 2 ) possiamo dedurre dalla 41) 42)0 0 f' = f' + f ( ) ( a1 ) a1 + f ( ) ( a 2 ) a2

{}

Procedendo in modo analogo deduciamo dalla 42) che 43) dove f''0 0 1 1 f'' = f'' + f ( ) ( a1 ) 'a1 + f ( ) ( a 2 ) 'a2 + f ( ) ( a1 ) a1 + f ( ) ( a 2 ) a2 ,

{ } la distribuzione definita dalla funzione localmente sommabile f ( x ) .''37

{}


Esempio VIII. Sia x 0 un punto fissato di R1 . La funzione 44) f' ( x ) =f ( x ) = log x x 0

localmente sommabile. La derivata nel senso usuale di f ( x ) non gode per di questa propriet: 1 ( x x 0 ) non localmente sommabile. x x0 In generale, l'integrale del tipo di Cauchy+

45)

con ( x ) C ( R ) , non esiste (tranne nel caso eccezionale in cui ( x 0 ) = 0 ). 0

xx

(x)0

dx

D'altra parte se consideriamo la f ( x ) come una distribuzione, f ( x ) possiede in senso distribuzionale una derivata, che un funzionale ben preciso definito su tutte le funzioni di C ( R ) . Determiniamo la derivata distribuzionale di f ( x ) . 0

Abbiamo: 46)+

< f' , >= < f, ' >= log x x 0 ' ( x ) dx = log ( x 0 x ) ' ( x ) dx

+

x0

log ( x x 0 ) ' ( x ) dx = lim+x0

x 0

0

log ( x 0 x ) ' ( x ) dx lim+0

+

x 0 +

log ( x x 0 ) ' ( x ) dx =+

= lim log ( x 0 x ) ( x ) 0 +

x 0

x 0

dx lim+ log ( x x 0 ) ( x ) x x 0 0

(x)

x 0 +

dx = x x0 x 0 + +

(x)

x 0 (x) (x) = lim+ ( log ) ( x 0 ) dx lim+ ( log ) ( x 0 + ) dx 0 x x 0 0 x x0 x 0 +

Poich i due limiti, 0 + e 0 + , esistono separatamente, possiamo considerare l'unico limite (che naturalmente esiste) dato da 47) D'altra parte 0 + + x0 ( x ) (x) dx + dx + ( log ) ( ( x 0 + ) ( x 0 ) ) < f , >= lim o + x x0 x x 0 x 0 +

'

lim ( log ) ( ( x 0 + ) 0 ( x 0 ) ) = 0 ,

38

Distribuzioni

sicch possiamo concludere che esiste il limite 48)+ x0 ( x ) (x) lim dx + dx + o x x0 x x 0 x 0 + Questo limite prende il nome di integrale a valor principale di Cauchy e viene indicato con +

x x0 Possiamo quindi scrivere

49)

P.V.

(x)

dx

50)

dx x x0 E' utile tener presente che la non esistenza dell'integrale 45), deriva dal fatto che i due limiti,x 0

< f' , >= P.V.

+

(x)

0

lim+

(x) x x0

+

dx ,

0

lim+

x 0 +

(x) x x0

dx ,

presi separatamente, non esistono (come evidente dai calcoli precedenti). La teoria delle distribuzioni fornisce un modo per dare significato all'integrale divergente 45), prescrivendo una forma particolare di limite (che esiste), che quella data dalla 48). La distribuzione che fa corrispondere ad ogni D ( R ) il numero dato dalla 49) indicata con P.V. 1 x x0

51)

+ (x) 1 , >= P.V. dx x x0 x x0 La 50) si pu scrivere nella forma

< P.V.

1 x x0 nel senso della teoria delle distribuzioni. 52)

( log x x )'0

= P.V.

2 2 Esempio IX. Se x = ( x1 , x 2 , x 3 ) un punto di R 3 , poniamo r = x1 + x 2 + x 3 . 2

La funzione 1 r localmente integrabile in R 3 . Infatti se consideriamo una palla B ( r0 ) , con centro nell'origine e raggio r0 finito, abbiamodx1dx 2 dx 3 0 2 r 2 sin dd 4 r02 = dr d d = r r 2 B( r0 ) 0 0 0r

39


Per r 0 , 1 r derivabile in senso classico e soddisfa l'equazione di Laplace nello spazio tridimensionale. Se f ( r ) una funzione derivabile due volte, abbiamox f df r df = = i i i x i dr x i dr r

2 f d 2 f x i df 1 x 2 = + i x 2 dr 2 r dr r r 3 i 2f d 2 f 2 df = f = 2 + 53) i =1 x 2 dr r dr i Dalla 53) segue immediatamente che, per r 0 , 1 r = 0 . Ovviamente 1 r non derivabile nell'origine in senso classico. D'altra parte 1 r definisce una distribuzione in R 3 , sicch possiamo determinare il suo laplaciano in senso distribuzionale. Dalla 36) abbiamo:3

2

54)

Poich l'integrale convergente (vedi calcolo su B ( r0 ) ; = 0 all'esterno di una sfera di raggio finito), possiamo scrivere 55) dx = lim+ dx 0 r r 3 ( r ) R

1 1 < , >=< , >= dx r r r R3

( D ( R ))3

Utilizzando la formula di Green ed il fatto che = 0 all'esterno di una sfera di raggio opportuno, abbiamo:1 1 1 1 r r dx = r n n r ds r = ( r )

dove n la normale uscente al dominio r . Tenendo presente che 1 r = 0 per r0 e = , otteniamo n r 56) 1 dx = + 2 ds r r r r r = ( r )

Poich C R 3 , risulta 0 0 e ( x ) = e x+2 2

sommabile su

2

. Usando la 20) e 29) otteniamo+ t2 +2

30)

( )e

2 2 2

t 2 1 e d = e 2 ( t + x ) dt = e 2 ( t + x ) dt . ix

Osserviamo ora che ( ) e 2 2 2

e ix ( ) ,

e t 2 ( t + x ) sup ( y ) e t2

2

2

yR

Possiamo allora applicare il teorema della convergenza dominata ed eseguire quindi il limite 0 + sotto il segno degli integrali.+

Tenendo presente che 1+

eix

t2 2

dt = ( 2 ) , abbiamo12

( ) d = ( x ) 2 Pertanto in S ( R ) valida la relazione 22). 31)

e

51


E' utile osservare che l'operazione che conduce a ( x ) a partire da ( ) , dello stesso tipo

della trasformazione di Fourier, salvo il cambiamento di i in i. Questa operazione chiamata antitrasformata di Fourier ed indicata con F . La 31) pu essere scritta nella forma 32) 33) F ( ) = ,F F ( ) F ( F ( )) = ,

oppure S ( R )

F un'applicazione lineare e continua in S ( R ) . Partendo da

34)

ix e ( x ) dx 2 e scambiando i in i nelle considerazioni precedenti, otteniamo in modo analogo

F ( )( ) =

1

+

35)

F F ( ) = ,

S ( R )

Dalla 35) segue che F

suriettiva. Inoltre, per la linearit, se F ( ) = F ( ) , allora

Quindi, dalla 33), = F ( F ( ) ) = 0 , cio F iniettiva. Considerando allora l'applicazione inversa F 1 di F , dalla 33) e 35) otteniamo 36) F 1 = F . Dalla 29) segue un'altra propriet importante. Per x = 0 , abbiamo+

F ( ) = 0 (la funzione identicamente nulla su R).

37) Poniamo = F

( ) ( ) d =1

+

( ) . Risulta ( ) ( ) =1

( t )F ( )( t ) dt

, S ( R )

FPertanto+

1

e 2 +

+

ix

( x ) dx =

1

+

2

e

ix

( x ) dx = F ( )( ) = ( )

38) In particolare

( ) ( ) d = ( x ) ( x ) dx

, S ( R )

+

39)

( ) d =2

+

(x)

2

dx

S ( R )

(eguaglianza di Parseval).

52

La trasformata di Fourier

Poich gli elementi di S ( R ) sono ovviamente funzioni a quadrato sommabile, possiamo dire allora che il prodotto scalare di due funzioni appartenenti a S ( R ) invariante rispetto alla trasformazione di Fourier. 4. Distribuzioni temperate e trasformata di Fourier Come abbiamo gi osservato, se f ( x ) L1 ( R ) , non necessariamente f ( ) L1 ( R ) , sicch l'inversione della trasformazione di Fourier tramite F

( F ( f ) = f )

pu non aver significato.

Mostreremo ora che questo problema non si presenta se la trasformazione di Fourier viene estesa dalle funzioni sommabili su R alle distribuzioni. Questa estensione si basa sui risultati ottenuti inS ( R ) e pu essere realizzata, come vedremo, per un sottospazio di D' ( R ) . Se f ( x ) L1 ( R ) , f ( ) continua e limitata (e quindi localmente sommabile). Pertanto f ( )

definita univocamente dal funzionale+

40)

f ( ) ( ) d =< F ( f ) , >

( ) D ( R )

D'altra parte procedendo come nella 29) (applicando quindi il teorema di Fubini) si ha che+

41)

Quindi la trasformata di Fourier di f ( x ) L1 ( R ) pu essere definita in modo equivalente considerando il funzionale:+

f ( ) ( ) d =

+

f ( t ) ( t ) dt

D ( R )

42)

f ( t ) ( t ) dt ,

D ( R )

Questa osservazione suggerisce che si potrebbe definire la trasformata di Fourier di una distribuzione T D' ( R ) mediante la relazione 43)< F ( T ) , >=< T, F ( ) > D ( R )

Occorre per notare che, per una generica distribuzione T D' ( R ) , la 43) non ha significato. Infatti se D ( R ) , non c' alcun motivo perch anche F ( ) D ( R ) (vedi Es. I: la trasformata di Fourier di una funzione a supporto compatto non una funzione a supporto compatto). Questo problema per pu essere superato considerando una classe particolare, ma importante, di distribuzioni. Osserviamo che lo spazio di D ( R ) un sottospazio di S ( R ) : 44)D(R) S(R)

53


e che se k

D

( , D ( R ) ) , a fortiori abbiamo k

k .

S

Def. 5 Una distribuzione T (un funzionale lineare e continuo su D ( R ) ) detta una distribuzione temperata, se pu essere estesa ad un funzionale lineare e continuo su S ( R ) ( k implicaT ( k ) T ( ) ).S

Lo spazio delle distribuzioni temperate indicato con S' ( R ) . Esempio V. dato da:+

Una funzione sommabile f temperata. Infatti: ben definito l'elemento di S' ( R )

45)

< f, >=

f ( x ) ( x ) dx

( x ) S ( R )

Esempio VI. Una funzione f ( x ) definita in R detta a crescita lenta se valgono le condizioni: i) f ( x ) localmente sommabile, ii) esistono costanti positive C, n, M tali che f ( x ) < C xx >M.n

per

Un polinomio p ( x ) = a 0 + a1x, +... + a k x k una funzione a crescita lenta (in particolare f ( x ) = 1 ). Analogamente all'esempio precedente, ogni funzione a crescita lenta determina una distribuzione temperata tramite la 45). Esempio VII. Le funzioni e x , e x ,..., localmente sommabili, sono distribuzioni, ma non sono temperate.2

Esempio VIII. La distribuzione di Dirac temperata: 46)< , >= ( )m

S ( R )

Se T S' ( R ) , anche da ha significato per ogni S ( R ) , poichF ( ) S ( R ) (teorema 3). Inoltre se k , allora, per lo stesso teorema, F ( k ) F ( ) . NeSS

T ( x ) ( x ) dx ,

S ( R )

segue, per la continuit di T, che k implica < T, F ( k ) >< T, F ( ) . Pertanto temperata. Tornando alla 43) possiamo enunciare il seguente:Teorema 5 Se T una distribuzione temperata, F ( T ) pu essere definita mediante l'equazione

S

< T, F ( ) > definisce un funzionale lineare e continuo su S ( R ) , cio una distribuzione

48)

< F ( T ) , >=< T, F ( ) > ,

S ( R )

Si ha allora che F ( T ) una distribuzione temperata.

La distribuzione F ( T ) detta trasformata di Fourier di T. In modo analogo si pu definire l'antitrasformata di Fourier di una distribuzione temperata T, F ( T ) . F ( T ) la distribuzione temperata definita da: 49) < F ( T ) , >=< T, F ( ) > , S ( R )

Se associamo a F ( T ) la funzione simbolica T ( ) , possiamo dire che T ( ) definita simbolicamente da: 50) < F ( T ) , >=+

Naturalmente se T coincide con una funzione sommabile f ( x ) , T ( ) una funzione classica e coincide con la funzione f ( ) gi introdotta: 1 ix f ( ) = e f ( x ) dx 2 ( ) della 51) soddisfa concretamente l'equazione La funzione classica f 51)+ +

T ( ) ( ) d = T ( t ) ( t ) dt

+

S ( R )

52)

f ( ) ( ) d = f ( t ) ( t ) dt

+

S ( R )

(per le stesse considerazioni che hanno condotto alla 41).

55


In virt della 51) e 52) il legame tra T ( ) e T ( x ) , definito per una generica distribuzione temperata dalla 50), verr scritto in generale nella forma simbolica 53) 1 ix T ( ) = e T ( x ) dx , 2 +

oppure nella forma F ( T ( x ) ) ( ) = T ( ) . E' utile tener presente che per una funzione simbolica T ( x ) , associata ad una generica distribuzione T D' ( R ) , pu essere definita l'operazione di moltiplicazione per una funzionea ( x ) infinitamente derivabile. Si parte dell'osservazione che se f ( x ) localmente sommabile su

R, tale anche a ( x ) f ( x ) . Possiamo introdurre allora la distribuzione regolare a ( x ) f ( x ) data da+

54)

< af, >=

D'altra parte se ( x ) D ( R ) , anche a ( x ) ( x ) D ( R ) . Possiamo allora scrivere la 54) nella forma+

a ( x ) f ( x ) ( x ) dx

D ( R )

55)

< af, >=< f, a >=

Sulla base della 55) che un'equazione valida nel caso in cui f ( x ) sia una funzione localmente sommabile, possiamo definire il prodotto a ( x ) T ( x ) nel caso di una distribuzione generica:a ( x ) T ( x ) la funzione simbolica definita da+

f ( x ) ( a ( x ) ( x ) ) dx

D ( R )

56)

Per esempio se ( x ) la funzione simbolica associata a , a ( x ) ( x ) definita da:+

( a ( x ) T ( x ) ) ( x ) dx =

+

T ( x ) ( a ( x ) ( x ) ) dx =< T, a >+

D ( R )

57)

( a ( x ) ( x ) ) ( x ) dx =

( x ) ( a ( x ) ( x ) ) dx = a ( ) ( ) ,

sicch possiamo scrivere 58)a ( x ) ( x ) = a () ( x ) .

Nel caso di una distribuzione temperata occorre notare che in generale il prodotto a ( x ) ( x ) , con a ( x ) infinitamente derivabile e ( x ) S ( R ) , non appartiene a S ( R ) . Appartiene per sempre a S ( R ) il prodotto di un polinomio p ( x ) per una funzione ( x ) di S ( R ) . Pertanto possiamo definire per le distribuzioni temperate il prodotto p ( x ) T ( x ) tramite:

56


+

59)

( p ( x ) T ( x ) ) ( x ) dx = T ( x ) ( p ( x ) ( x ) ) dx =< T, p >

+

S ( R )

k In particolare ( i) T ( ) definito da

+

60)

( ( i) T ( ) ) ( ) d = T ( ) ( ( i) ( ) ) dk+

k

Abbiamo allora:+

61)

( ( i) T ( ) ) ( ) d = T ( t ) F ( ( ix ) ( x ) ) ( t ) dt =k+

k

= ( 1)+

k

+

( ) T ( t ) F ( ( ix ) ( x ) ) ( t ) dt = ( 1) T ( t ) ( t ) dt =k k+

k

+ dk dk ( t ) dt = F k T ( x ) ( ) ( ) d = < F T ( k ) , > = k T (t) dt dx Pertanto per le funzioni simboliche associate alle distribuzioni temperate si ha sempre l'equazione

( )

dkT (x) k F = i T , 62) ( k = 1, 2,...) dx k ( ) ( ) ( ) che avevamo dedotto per le funzioni ordinarie sotto certe condizioni. In modo analogo, si dimostra che valida sempre l'equazione 63) F

(( ix )

m

dm T ( x ) ( ) = m T ( ) d

)

( m = 1, 2,...)

Lo spazio S' ( R ) consente di dare una risposta generale al problema dell'inversione della trasformazione di Fourier. Abbiamo il seguente teorema:Teorema 6 La trasformazione di Fourier in S' ( R ) , definita dalla 48) un'applicazione di S' ( R ) in S' ( R ) lineare e biiettiva. Dim. Siano , C e T, U S' ( R ) . Abbiamo ( S' ( R ) uno spazio vettoriale):< F ( T + U ) , >=< T + U, F ( ) >= < T, F ( ) > + + < U, F ( ) >= < F ( T ) , > + < F ( U ) , > S ( R )

Pertanto

57


64)

F ( T + U ) = F ( T ) + F ( U )

Per ogni T S' ( R ) , considerando anche la trasformazione F definita dalla 49) abbiamo < F F ( T ) , >=< F ( T ) , F ( ) >=< T, F F ( ) >=< T, > in virt della 35). Quindi 65)F F (T) = T

T S' ( R )

Procedendo in modo analogo si ottiene 66)F F (T) = T

T S' ( R )

Si conclude allora che F biiettiva e che F 1 = F . Quindi se F ( T ) = U , allora F ( U ) = T . Le equazioni 7) e 8) che abbiamo dedotto euristicamente sono del tutto valide nel contesto delle distribuzioni temperate. Si pu osservare che il carattere biiettivo di F implica che F ( T ) = 0 se e soltanto se T = 0 . Esempio IX. Consideriamo la trasformata di Fourier della distribuzione di Dirac . Abbiamo: < F ( ) , >=< , F ( ) >= F ( )( ) = 1+

1

e 2

+

ix

( x ) dx =

=

e 2

i

( ) d . 2 :

La trasformata di Fourier di la funzione a crescita lenta e i 67) In particolare 1 ( ) = 2 In forma simbolica 68) 69) e i 1 ix ( ) = = ( x )e dx 2 2 +

e i F ( ) ( ) = ( ) = 2

Viceversa, consideriamo la funzione a crescita lenta ( fissato)

58


2 La sua trasformata di Fourier data da+ e ix e ix 1 ix =< , F ( ) >= dxe F ( )( x ) = 2 2 2 +

f (x) =

e ix

= Quindi

1

de 2

i

( ) = ( )

e ix 70) F = 2 In particolare la trasformazione di Fourier di f ( x ) = 1 e data da

71)

F (1) = ( 2 ) 12

Se utilizziamo la funzione simbolica ( x ) , la 70) si pu scrivere in forma simbolica: 72) In particolare+

1 iy ( x ) dy = ( x ) e 2

+

73)

e

ix

d = ( 2 ) ( x )

Dalla 62) segue che 74) In particolare 75)F F

( ) ( ) = ( i )(k)

k

e i 2

(

2 (

k)

) ( ) = ( i )12

k

Viceversa dalla 63) e 71) deduciamo 76)F x m = ( 2 )

( )

(i)

m

(

m)

( m = 1, 2,...)

La trasformata di Fourier di un polinomio data quindi da 77)F a 0 + a1x + a 2 x 2 + ... + a n x n = ( 2 )

(

)

12

(a + ia + ( i ) a 0 1

'

2

(2)

2

+ ... + ( i ) a n (n

n)

)59


Esempio X. data da 78)

Sia f ( x ) sommabile su R e tale che anche f ( ) sia sommabile. In tal caso F f

()

F f ( x ) una funzione continua di x. In virt della 65) abbiamo 79) < F f , >=< f, > ,

()

1 ix F f (x) = e f ( ) d ; 2

()

+

cio f e F f sono eguali come distribuzioni. Dal teorema 2 (pag. 31) segue allora che F f ( x ) e f ( x ) sono quasi ovunque eguali. funzione continua. Se f ( x ) continua risulta allora 80) F f (x) = f (x) Poich F f ( x ) continua, si pu dedurre che la funzione f ( x ) eguale quasi ovunque ad una

()

()

S ( R )

()

()

()

x R

Esempio XI. La trasformata di Fourier in L 2 ( R ) .

Una funzione f ( x ) L 2 ( R ) , definisce una distribuzione temperata mediante+

81)

< f, >=

f ( x ) ( x ) dx

S ( R )

L' integrale esiste perch il prodotto di due funzioni a quadrato sommabile sommabile. Ogni funzione infinitamente derivabile e a decrescenza rapida a quadrato sommabile, oltre ad essere sommabile: se ( x ) S ( R ) , allora ( x ) L1 ( R ) L 2 ( R ) . Il funzionale lineare 81) continuo: si ha infatti, per , k S ( R ) ,

+

< f, > < f, k > =+

f ( x ) ( ( x ) ( x ) )dx k

f ( x ) ( x ) k ( x ) dx sup 1 + x 2 ( x ) k xR

(

)

+

1+ x

f (x)2

dx

e l'integrale esiste perch 1 1 + x 2 a quadrato sommabile. Una funzione a quadrato sommabile non necessariamente sommabile. E' questo il caso, per esempio, della funzione f ( x ) = 11 + x2 .

60


Pertanto in generale, la trasformata di Fourier di una funzione L 2 ( R ) esiste in senso distribuzionale. E' possibile caratterizzare completamente la distribuzione temperata F ( f ) con f L 2 ( R ) . Un primo risultato dato dal seguente teoremaTeorema 7 Se f ( x ) L 2 ( R ) L1 ( R ) , allora f ( ) L 2 ( R ) e+

82)

f ( ) d =

2

+

f (x)

2

dx

( f = f )

Abbiamo gi dimostrato questa eguaglianza nel caso di una funzione ( x ) S ( R ) , che , come si osservato, appartiene a L 2 ( R ) L1 ( R ) . Generalizzando opportunamente il procedimento che ci ha condotti alla 39), si dimostra che la 82) valida per ogni f L 2 ( R ) L1 ( R ) . Se f ( x ) L 2 ( R ) , consideriamo la funzione 83) Abbiamo: 84) f fN + 2 = f ( x ) fN ( x ) dx 12

f ( x ) fN ( x ) = 0

per per

x N x >N

(N > 0)

+ N 2 2 = f ( x ) dx + f ( x ) dx N

12 N

0

x N 1 Ovviamente fN ( x ) a quadrato sommabile. Tenendo presente che [ N,N] ( x ) = x >N 0 a quadrato sommabile e che fN ( x ) = f ( x ) [ N,N] ( x ) (prodotto di due funzioni a quadrato

sommabile), si ha che fN ( x ) anche sommabile: fN ( x ) L 2 ( R ) L1 ( R ) . Possiamo allora applicare a f ( x ) il teorema 7. La trasformata di Fourier f ( ) di f ( x ) , che definita in sensoN N N

classico, data da:1 1 ix ix fN ( ) = fN ( x ) e dx = 2 N e f ( x ) dx , 2 e gode della propriet+ +N

85)

86)

fN = fN

Dalla 86) discende che

61


87)

fN fM = fN fM

Dalla 84) segue che {fN ( x )} allora, in virt della 87), che leL 2 ( R ) . Per la completezza di L 2 ( R ) , tale che

( N = 1, 2,...) una successione di Cauchy in L 2 ( R ) . Abbiamo fN ( ) date dalla 85) formano una successione di Cauchy in L 2 ( R ) , si conclude che esiste uno e un solo elemento f ( ) di12

2 +N + ix f = lim f ( ) 1 lim f N e f ( x ) dx d = 0 88) N N 2 N Dalla 84) e 86) segue che la f ( ) data dalla 88) gode della propriet

89)

f = f

La f ( ) determinata dal limite 88) definita soltanto quasi ovunque in R. Si dimostra che questa funzione a quadrato sommabile, che una distribuzione temperata, coincide con la distribuzione temperata trasformata di Fourier di f ( x ) ; f ( ) = F ( f )( ) . In conclusione la trasformazione di Fourier in L 2 ( R ) un'applicazione lineare di L 2 ( R ) inL 2 ( R ) . Questa applicazione biiettiva e gode della propriet 89) (pi in generale si ha (vedi

38)):+

90)

g ( ) f ( ) d =

+

g ( x ) f ( x ) dx

f, g L 2 ( R )

cio, usando la notazione di prodotto scalare, 91) < g, f >=< g, f > La trasformazione F in L 2 ( R ) un esempio di un operatore unitario in uno spazio di Hilbert. La trasformazione F in L 2 ( R ) gode delle stesse propriet. La funzione f ( x ) determinata dal limite2 +N + 1 ( ) e ix d dx lim f ( x ) f N 2 N 12

92)

=0

5. Trasformata di Fourier in diverse variabili

Sia x = ( x1 , x 2 ,..., x n ) R n , = ( 1 , 2 ,..., n ) R n . Se f ( x1 , x 2 ,..., x n ) L1 R n , la sua trasformata di Fourier f ( 1 , 2 ,..., n ) la funzione definita da

( )

62


93)

f ( 1 , 2 ,..., n ) =

... e ( 2 ) n 2

1

+

+

i ( 1x1 +2 x 2 +...+n x n )

f ( x1 , x 2 ,..., x n ) dx1dx 2 ...dx n

Introducendo il prodotto scalare in R n < , x >= 1x1 + ... + n x n , possiamo scrivere la 93) brevemente nella forma: 94) f ( ) =

e 2 ) (n 2 Rn

1

i

f ( x ) dx

con dx = dx1 , dx 2 ,..., dx n . La f ( ) anche indicata con F ( f ) . La f ( ) gode di propriet analoghe a quelle del caso di una sola variabile. Se D f esiste, continua ed sommabile su R n , abbiamo (teorema 1): 95)F D f ( 1 ,..., n ) = ( i1 )

(

)

1

( i2 )

2

... ( in ) n f ( )

dove = ( 1 , 2 ,..., n ) e D =

1 +...+ n x1 1 ...x n n

In particolare se f esiste, continua ed appartiene a L1 R n , risulta 96)2 2 F ( f ) = 1 + 2 + ... + 2 f ( ) f ( ) 2 n

( )

(

)

Il teorema 2 si generalizza nella forma 97) 1 +...+ n f ( 1 ,..., n ) = F 1 1 ... n n2 2 x1 + x 2 +...+ x 2 n

(( ix )1

1

( ix 2 )

2

... ( ix n ) n f ( x )

)

Se > 0 e f ( x ) = e 98)

(

) , abbiamo (vedi eq. 20)2 1 +2 + ...+2 2 n 4

Lo spazio S R n i)(x)

decrescenza rapida, cio delle funzioni ( x ) che soddisfano le due condizioni: infinitamente derivabile, cio D esiste per ogni multiindice = ( 1 , 2 ,..., n )

( )

( x 2 + x 2 + ...+ x 2 ) 1 n e F e 1 2 = n 2 ( 2 )

lo spazio vettoriale complesso delle funzioni ( x ) ( x1 , x 2 ,..., x n ) a

ii) per ogni coppia di multiindici e = ( 1 , 2 ,..., n ) si ha lim x11 x 2 ...xn D ( x ) = 0 2 n

x

(x =( )

2 x1 + ... + x 2 n S

)

Una successione {k } in S R n converge in S a S R n , e si scrive k , se

( )

63


lim sup x1 1 x2 ...xn D ( k ( x ) ( x ) ) = 0 2 n k xR n

per ogni coppia di multiindici e .

La trasformazione di Fourier F definita dalla 94) un'applicazione di S R n in S R n lineare, continua e biiettiva. L'antitrasformata F , che dello stesso tipo della F salvo il cambiamento di i in i, fornisce la trasformazione inversa F 1 . In modo del tutto analogo al caso unidimensionale si considera lo spazio vettoriale delle degli elementi di S' ( R n ) . Il teorema 6 e l'equazione 65), 66) si applicano anche a S' ( R n ) . La trasformata di Fourier di una funzione f ( x ) L 2 R n , che definita per una generica f ( x ) a quadrato sommabile in senso distribuzionale, una funzione f ( ) L 2 R n . Si ha, in L 2 R n , 2 f = f ( x ) dx n R 12 2 = f ( ) d n R n 1 n 12

( )

( )

distribuzioni temperate su R n , che indicato con S' ( R n ) , e si introduce la trasformata di Fourier

( )

( )

( )

99) e

< g, f >=

R

g ( x ,..., x ) f ( x ,..., x ) dx ...dx1 n 1n

=

R

g ( ,..., ) f ( ,..., ) d ...d1 n 1 n 1n

n

=

=< g, f > Nello spazio di Hilbert L 2 R n , F una trasformazione unitaria. Se = ( 1 , 2 ,..., n ) R n , e

( )

la distribuzione di Dirac in R n con polo , abbiamo: 100) e i ( 1 ,..., n ) = n 2 ( 2 )F e i< x,> = ( 2 )

( F ( ( 2 ) ) = 1) , en 2

101)

(

)

n 2

6. Convoluzione Teorema 8 Siano f ( x ) e g ( x ) sommabili su R n . Allora, per quasi ogni x R n , la funzioney f ( x y ) g ( y ) sommabile su R n . Posto per tali x

102)

h (x) =

f ( x y ) g ( y )dy n 2 ( 2 ) Rn

1

(x y = (x

1

y1 ,..., x n y n ) )

si ha che h ( x ) L1 R n .

( )

64


Dim. La funzione F ( x, y ) = f ( x y ) g ( y ) misurabile in R n R n .

Controlliamo che F ( x, y ) sommabile. Abbiamo f ( x y ) dx = g ( y ) dy f ( x ) dx < + n n Rn Rn Rn Rn R R n n Dal teorema di Tonelli discende allora che F ( x, y ) sommabile su R R .

dy dx F ( x, y ) =

dy g ( y )

Applicando il teorema di Fubini a F ( x, y ) si conclude che h ( x ) , definita per quasi ogni x, sommabile su R n . La funzione h ( x ) detta convoluzione (o prodotto di convoluzione) di f ( x ) scrive 103)h ( x ) = ( f g )( x )

e

g (x)

e si

o

( h = f g)

Si verifica immediatamente che 104) f g = gf

Teorema 9 (della convoluzione) Siano f ( x ) , g ( x ) L1 R n . Risulta

( )

105)

F (f g) = F (f ) F (g)

Dim. Per il teorema di Fubini abbiamo:

h ( ) = 1

e ( 2 ) n 2 Rn

1

i

dx

f ( x y ) g ( y )dy = n 2 ( 2 ) Rn

1

=

e ( 2 ) n 2 Rn

i

g ( y ) dy

e ( 2 ) n 2 Rn

1

i

f ( x y )dx nell'ultimo integrale, otteniamo

Con il cambiamento di variabile x y = h ( ) = f ( ) g ( ) .

( dx = d )

E' utile tener presente che l'operazione di convoluzione pu essere definita anche in situazioni non contemplate dal teorema 8. Non per garantita la sommabilit del prodotto di convoluzione. Si ha, per esempio,

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