Esame di Metodi Matematici per l™Ingegneria -...

Esame di Metodi Matematici per l’IngegneriaPrimo appello. Febbraio 2019

A.A. 2018/2019. Prof. M. BramantiTema A

Punti

Dom 1

Dom 2

Dom 3

Es 1

Es 2

Es 3

Tot.

Cognome:NomeN matr. o cod. persona:

Domande di teoria (rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta)

A. (6 punti). Dopo aver richiamato la definizione di convergenza puntualee uniforme per una successione di funzioni a valori reali, enunciare e dimostrareil criterio di Cauchy per la convergenza uniforme. Quindi dimostrare che lospazio C0 ([a, b]) è di Banach.

B. (6 punti). Enunciare con precisione e dimostrare il teorema di analiticitàdelle funzioni olomorfe e la formula integrale di Cauchy per le derivate. Mostrarecome da questo si deduce il fatto che una funzione armonica in un aperto èinfinitamente derivabile e che parte reale e immaginaria di una funzione olomorfasono armoniche.

C. (6 punti). Enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora negli spazivettoriali con prodotto scalare per un numero finito di vettori. Quindi enunciaree dimostrare la versione di teorema di Pitagora che vale in uno spazio di Hilbertper una successione di vettori.

D. (6 punti). Dopo aver definito lo spazio S (R) delle funzioni a decrescenzarapida, enunciare e dimostrare le proprietà di questo spazio rilevanti dal puntodi vista della teoria della trasformata di Fourier.

1

Svolgere i seguenti esercizi

1. (5 punti). Calcolare, con metodi di analisi complessa, l’integrale∫R

sinx

(x+ i)2

(x2 + 1)dx.

2. (5 punti). Siaf (x) = x2e−2x

2

.

a. Quali proprietà della trasformata di Fourier f si possono prevedere, inbase alle proprietà di questa funzione f?Rispondere sui seguenti punti: f eventualmente reale o immaginaria, even-

tualmente simmetrica pari o dispari, spazi funzionali a cui appartiene f , suaregolarità, velocità di convergenza a zero.b. Calcolare f a partire dalla trasformata, considerata nota,

F(e−x

2)

(ξ) =√πe−π

2ξ2

e applicando opportunamente le proprietà note dell’operatore trasformata diFourier. Verificare che le proprietà della trasformata ottenuta siano coerenticon le previsioni fatte a priori.

3. (5 punti). Si consideri l’equazione integrodifferenziale di un circuitoLCR in serie:

Li′ (t) +Ri (t) +1

C

(q0 +

∫ t

0

i (τ) dτ

)= v (t)

con L = 5, C = 1, R = 6, q0 = −1 e condizione iniziale i (0) = 0.a. Utilizzando il metodo della trasformata di Laplace, scrivere esplicitamente

la formula risolutiva che assegna la corrente i (t) nel circuito, per una genericatensione v (t) Laplace trasformabile.b. Si consideri ora il caso

v (t) = etχ(0,1) (t) .

Prevedere, prima di risolvere l’equazione, in base alla regolarità del dato v (t)e alla struttura dell’equazione, la regolarità che si attende per i (t). Quindiottenere la soluzione esplicita i (t) corrispondente a questo dato.

2


A.A. 2018/2019. Prof. M. BramantiTema B

Punti

Dom 1

Dom 2

Dom 3

Es 1

Es 2

Es 3

Tot.


Domande di teoria (rispondere a 3 domande su 4, a propria scelta)A. (6 punti). Enunciare con precisione e dimostrare il teorema sulla conti-

nuità del limite uniforme di funzioni continue. Mostrare con opportuni contre-sempi la necessità delle ipotesi.

B. (6 punti). Dopo aver richiamato cosa si intende per serie bilatera esua convergenza, enunciare e dimostrare il teorema sulla sviluppabilità in seriebilatera (di Laurent) di una funzione olomorfa in una corona circolare e farequalche esempio esplicito di sviluppo in serie di Laurent di una funzione f (z),che non si riduca a uno sviluppo in serie di potenze solo positive o solo negative.

C. (6 punti). Dopo aver dato la definizione di spazio vettoriale con prodottoscalare (riportando gli assiomi di prodotto scalare) e aver dato la definizione dinorma indotta dal prodotto scalare, enunciare la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, la disuguaglianza triangolare per la norma e l’uguaglianza del paral-lelogramma, e dimostrare le ultime due.

D. (6 punti). Enunciare e dimostrare il principio di indeterminazione diHeisenberg per la trasformata di Fourier di una funzione f ∈ S (R). Verificarepoi che per le funzioni gaussiane e−αx

2

(α > 0) vale il segno di uguale nelladisuguaglianza di Heisenberg.

3



sinx

(x+ i)2

(x2 + 1)dx.


2

.



F(e−x

2)

(ξ) =√πe−π

2ξ2



Li′ (t) +Ri (t) +1

C

(q0 +

∫ t

0

i (τ) dτ

)= v (t)



v (t) = etχ(0,1) (t) .


4

Esame di Metodi Matematici per l’IngegneriaRecupero 1a prova in itinere. Febbraio 2019


Punti

Dom 1

Dom 2

Dom 3

Es 1

Es 2

Es 3

Tot.



A. (6 punti). Si dia la definizione di spazio metrico, successione di Cauchy,spazio metrico completo, spazio vettoriale normato, spazio di Banach. Si fac-ciano esempi di spazi di funzioni con le seguenti caratteristiche:-uno spazio vettoriale normato e uno spazio vettoriale che non ha una norma

naturale;-uno spazio metrico che non è uno spazio vettoriale;-uno spazio metrico che è vettoriale ma non normato (cioè: la distanza dello

spazio metrico non proviene da una norma);-uno spazio vettoriale normato completo e uno non completo.

B. (6 punti). Dopo aver richiamato la definizione di convergenza puntualee uniforme per una successione di funzioni a valori reali, enunciare e dimostrareil criterio di Cauchy per la convergenza uniforme. Quindi dimostrare che lospazio C0 ([a, b]) è di Banach.

C. (6 punti). Enunciare con precisione e dimostrare il teorema di analiticitàdelle funzioni olomorfe e la formula integrale di Cauchy per le derivate. Mostrarecome da questo si deduce il fatto che una funzione armonica in un aperto èinfinitamente derivabile e che parte reale e immaginaria di una funzione olomorfasono armoniche.

D. (6 punti). Dopo aver richiamato la definizione di singolarità isolatadi una funzione olomorfa, singolarità eliminabile, polo di ordine n, singolaritàessenziale, enunciare e dimostrare il teorema di classificazione delle singolaritàisolate mediante la serie bilatera.

5


1. (5 punti). Calcolare il seguente integrale nel campo complesso:∫γ

zdz

dove γ è l’arco di curva x = t cos ty = t sin t

t ∈ [0, 2π] .

2. (5 punti). Classificare le singolarità della seguente funzione, e calcolareil residuo negli eventuali poli del prim’ordine.

f (z) =sin (πiz) sin

(πz

)(z2 + 1) (z2 + 2iz + 3)

2 .


sinx

(x+ i)2

(x2 + 1)dx.

6



Punti

Dom 1

Dom 2

Dom 3

Es 1

Es 2

Es 3

Tot.



A. (6 punti). “Sia (Ω,M, µ) uno spazio di misura”. Si spieghi cosa sig-nifica, con i seguenti passi: dare la definizione di σ-algebra e farne qualcheesempio; dare la definizione di misura e farne qualche esempio. (Gli esempipossono utilizzare anche argomenti del corso visti successivamente alle primedefinizioni, come la misura di Lebesgue o le misure con peso). Enunciare quindicon precisione il teorema di esistenza della misura di Lebesgue in Rn, che neprecisa la definizione e le proprietà.

B. (6 punti). Enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora negli spazivettoriali con prodotto scalare per un numero finito di vettori. Quindi enunciaree dimostrare la versione di teorema di Pitagora che vale in uno spazio di Hilbertper una successione di vettori.

C. (6 punti). Dare la definizione di problema di Sturm-Liouville regolaree enunciare il teorema relativo ai suoi autovalori e autofunzioni, dimostrando ledue affermazioni riguardanti la positività degli autovalori e l’ortogonalità delleautofunzioni.

D. (6 punti). Dopo aver definito lo spazio S (R) delle funzioni a decrescenzarapida, enunciare e dimostrare le proprietà di questo spazio rilevanti dal puntodi vista della teoria della trasformata di Fourier.

7


1. (5 punti). Si consideri la funzione

f (x) =x

4π2x2 + 2πix+ 1.

a. Quali proprietà della trasformata di Fourier f si possono prevedere, inbase alle proprietà di questa funzione f?

Rispondere sui seguenti punti: f eventualmente reale o immaginaria, even-tualmente simmetrica pari o dispari, spazi funzionali a cui appartiene f (C0∗ ,L1, L2, S...), sua regolarità, velocità di convergenza a zero.b. Calcolare f col metodo dei residui.


2

.



F(e−x

2)

(ξ) =√πe−π

2ξ2



Li′ (t) +Ri (t) +1

C

(q0 +

∫ t

0

i (τ) dτ

)= v (t)



v (t) = etχ(0,1) (t) .


8


A.A. 2018/2019. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema A

Punti

Dom 1

Dom 2

Dom 3

Es 1

Es 2

Es 3

Tot.


A. (6 punti). Dopo aver richiamato la definizione di convergenza puntualee uniforme per una successione di funzioni a valori reali, enunciare e dimostrareil criterio di Cauchy per la convergenza uniforme. Quindi dimostrare che lospazio C0 ([a, b]) è di Banach.

Risposta: v. libro di testo, §1.2.1.

B. (6 punti). Enunciare con precisione e dimostrare il teorema di analiticitàdelle funzioni olomorfe e la formula integrale di Cauchy per le derivate. Mostrarecome da questo si deduce il fatto che una funzione armonica in un aperto èinfinitamente derivabile e che parte reale e immaginaria di una funzione olomorfasono armoniche.Risposta: v. libro di testo, §6.5.2.

C. (6 punti). Enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora negli spazivettoriali con prodotto scalare per un numero finito di vettori. Quindi enunciaree dimostrare la versione di teorema di Pitagora che vale in uno spazio di Hilbertper una successione di vettori.Risposta: v. libro di testo, §4.3.

D. (6 punti). Dopo aver definito lo spazio S (R) delle funzioni a decrescenzarapida, enunciare e dimostrare le proprietà di questo spazio rilevanti dal puntodi vista della teoria della trasformata di Fourier.Risposta: v. libro di testo, §7.4.1.

9



sinx

(x+ i)2

(x2 + 1)dx.

Riscriviamo:∫R

sinx

(x+ i)2

(x2 + 1)dx =

1

2i

∫R

eix

(x+ i)3

(x− i)dx−

∫R

e−ix

(x+ i)3

(x− i)dx

=

1

2iI1 − I2

dove gli integrali I1, I2 sono integrali calcolabili col metodo dei residui.z = i polo del prim’ordinez = −i polo del terz’ordine.

I1 = 2πiRes

(eiz

(z + i)3

(z − i), i

)= 2πi

(eiz

(z + i)3

)/z=i

= 2πi

(e−1

(2i)3

)= − π

4e.

I2 = −2πiRes

(e−iz

(z + i)3

(z − i),−i)

= −2πi1

2

(e−iz

(z − i)

)′′/z=−i

= −πi(e−iz (−i (z − i)− 1)

(z − i)2

)′/z=−i

= −πi(e−iz (−iz − 2)

(z − i)2

)′/z=−i

= πi

(e−iz (iz + 2)

(z − i)2

)′/z=−i

= πi

(e−iz

(−i (iz + 2) + i) (z − i)2 − 2 (z − i) (iz + 2)

(z − i)4

)/z=−i

= πi

(e−iz

(z − i) (z − i)− 2 (iz + 2)

(z − i)3

)/z=−i

= πi

(e−1−4− 6

(−2i)3

)= −5π

4e

Quindi l’integrale vale

1

2iI1 − I2 =

1

2i

− π

4e+

5π

4e

=

1

2i

π

e= −i π

2e.


2

.


tualmente simmetrica pari o dispari, spazi funzionali a cui appartiene f , suaregolarità, velocità di convergenza a zero.

10

b. Calcolare f a partire dalla trasformata, considerata nota,

F(e−x

2)

(ξ) =√πe−π

2ξ2


a. f è reale e pari, f sarà reale e pari. f ∈ S (R), quindi f ∈ S (R) (inparticolare, è C∞ e tende a zero più rapidamente di ogni potenza di ξ).b.

g (x) = e−x2

g√2 (x) = e−2x

2

F(g√2)

(ξ) = g√2 (ξ) =

√π

2e−

π2

2 ξ2

f (x) = x2g√2 (x)

f (ξ) = F(x2g√2 (x)

)=

1

(−2πi)2F(g√2)′′

(ξ)

= − 1

4π2

(√π

2e−

π2

2 ξ2

)′′(ξ) = − 1

4π2

√π

2

(e−

π2

2 ξ2 (−π2ξ

))′(ξ)

=1

4

√π

2

(e−

π2

2 ξ2

ξ)′

(ξ) =1

4

√π

2e−

π2

2 ξ2 (

1− π2ξ2)


Li′ (t) +Ri (t) +1

C

(q0 +

∫ t

0

i (τ) dτ

)= v (t)

11



v (t) = etχ(0,1) (t) .


Applicando la trasformata di Laplace ad ambo i membri e ponendo I (s) =L (i) (s) , V (s) = L (v) (s) si ha:

L (sI (s)− i (0)) +RI (s) +1

Cs(q0 + I (s)) = V (s)(

Ls+R+1

Cs

)I (s) = V (s) + Li (0)− 1

Csq0

I (s) =V (s)

Ls+R+ 1Cs

+Li (0)− 1

Csq0

Ls+R+ 1Cs

e per L = 5, C = 1, R = 6, q0 = −1, i (0) = 0 si ha

I (s) = V (s)1

5s+ 6 + 1s

+1s

5s+ 6 + 1s

≡ V (s)H (s) +G (s)

conH (s) =

s

5s2 + 6s+ 1;G (s) =

1

5s2 + 6s+ 1,

funzioni che dobbiamo ora antitrasformare.

H (s) =s

(5s+ 1) (s+ 1)=

a

5s+ 1+

b

s+ 1=a (s+ 1) + b (5s+ 1)

(5s+ 1) (s+ 1)a+ 5b = 1a+ b = 0

b =1

4, a = −1

4

H (s) =1

4

1

s+ 1− 1

5

1

s+ 15

= L

(1

4

(e−t − 1

5e−

t5

)).

G (s) =1

5s2 + 6s+ 1=

a

5s+ 1+

b

s+ 1=a (s+ 1) + b (5s+ 1)

(5s+ 1) (s+ 1)a+ 5b = 0a+ b = 1

b = −1

4, a =

5

4

G (s) =1

4

1

s+ 15

− 1

s+ 1

= L

(1

4

(e−

t5 − e−t

))

12

I (s) = L(v (t) ∗

(1

4

(e−t − 1

5e−

t5

))+

1

4

(e−

t5 − e−t

))perciò la soluzione è:

i (t) = v (t) ∗(

1

4

(e−t − 1

5e−

t5

))+

1

4

(e−

t5 − e−t

)=

1

4

(e−

t5 − e−t

)+

1

4

∫ t

0

(e−(t−τ) − 1

5e−

(t−τ)5

)v (τ) dτ.

b. Poiché il termine noto è discontinuo, la soluzione sarà C1 con derivataprima derivabile a tratti, ma non esisterà i′′ (1). Calcoliamo la convoluzione∫ t

0

(e−(t−τ) − 1

5e−

(t−τ)5

)v (τ) dτ =

∫ t

0

(e−(t−τ) − 1

5e−

(t−τ)5

)eτχ(0,1) (τ) dτ

=

se t < 1∫ t0

(e−(t−τ) − 1

5e− (t−τ)

5

)eτdτ

se t > 1∫ 10

(e−(t−τ) − 1

5e− (t−τ)

5

)eτdτ

∫ t

0

(e−(t−τ) − 1

5e−

(t−τ)5

)eτdτ = e−t

∫ t

0

e2τdτ − 1

5e−

t5

∫ t

0

e6τ5 dτ

= e−t[e2τ

2

]t0

− 1

5e−

t5

[5

6e6τ5

]t0

= e−t[e2t − 1

2

]− 1

5e−

t5

[5

6

(e6t5 − 1

)]=et − e−t

2− 1

6

(et − e− t5

)=

1

3et − 1

2e−t +

1

6e−

t5

∫ 1

0

(e−(t−τ) − 1

5e−

(t−τ)5

)eτdτ = e−t

[e2τ

2

]10

− 1

5e−

t5

[5

6e6τ5

]10

= e−t(e2 − 1

2

)− 1

6e−

t5

(e65 − 1

).

i (t) =

se t < 1 14

(e−

t5 − e−t

)+ 1

4

(13et − 1

2e−t + 1

6e− t5)

se t > 1 14

(e−

t5 − e−t

)+ 1

4

(e−t

(e2−12

)− 1

6e− t5(e65 − 1

))

13


A.A. 2018/2019. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema B

Punti

Dom 1

Dom 2

Dom 3

Es 1

Es 2

Es 3

Tot.


A. (6 punti). Enunciare con precisione e dimostrare il teorema sulla conti-nuità del limite uniforme di funzioni continue. Mostrare con opportuni contre-sempi la necessità delle ipotesi.Risposta: v. libro di testo, §1.2.1.

B. (6 punti). Dopo aver richiamato cosa si intende per serie bilatera esua convergenza, enunciare e dimostrare il teorema sulla sviluppabilità in seriebilatera (di Laurent) di una funzione olomorfa in una corona circolare e farequalche esempio esplicito di sviluppo in serie di Laurent di una funzione f (z),che non si riduca a uno sviluppo in serie di potenze solo positive o solo negative.Risposta: v. libro di testo, §6.6.1.

C. (6 punti). Dopo aver dato la definizione di spazio vettoriale con prodottoscalare (riportando gli assiomi di prodotto scalare) e aver dato la definizione dinorma indotta dal prodotto scalare, enunciare la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, la disuguaglianza triangolare per la norma e l’uguaglianza del paral-lelogramma, e dimostrare le ultime due.Risposta: v. libro di testo, §4.1.

D. (6 punti). Enunciare e dimostrare il principio di indeterminazione diHeisenberg per la trasformata di Fourier di una funzione f ∈ S (R). Verificarepoi che per le funzioni gaussiane e−αx

2

(α > 0) vale il segno di uguale nelladisuguaglianza di Heisenberg.Risposta: v. libro di testo, §7.4.3.1.

Svolgimento Esercizi: v. tema A.

14



Punti

Dom 1

Dom 2

Dom 3

Es 1

Es 2

Es 3

Tot.


A. (6 punti). Si dia la definizione di spazio metrico, successione di Cauchy,spazio metrico completo, spazio vettoriale normato, spazio di Banach. Si fac-ciano esempi di spazi di funzioni con le seguenti caratteristiche:-uno spazio vettoriale normato e uno spazio vettoriale che non ha una norma

naturale;-uno spazio metrico che non è uno spazio vettoriale;-uno spazio metrico che è vettoriale ma non normato (cioè: la distanza dello

spazio metrico non proviene da una norma);-uno spazio vettoriale normato completo e uno non completo.Risposta: v. libro di testo, §1.1.

B. (6 punti). Dopo aver richiamato la definizione di convergenza puntualee uniforme per una successione di funzioni a valori reali, enunciare e dimostrareil criterio di Cauchy per la convergenza uniforme. Quindi dimostrare che lospazio C0 ([a, b]) è di Banach.

Risposta: v. libro di testo, §1.2.1

C. (6 punti). Enunciare con precisione e dimostrare il teorema di analiticitàdelle funzioni olomorfe e la formula integrale di Cauchy per le derivate. Mostrarecome da questo si deduce il fatto che una funzione armonica in un aperto èinfinitamente derivabile e che parte reale e immaginaria di una funzione olomorfasono armoniche.Risposta: v. libro di testo, §6.5.2.

D. (6 punti). Dopo aver richiamato la definizione di singolarità isolatadi una funzione olomorfa, singolarità eliminabile, polo di ordine n, singolaritàessenziale, enunciare e dimostrare il teorema di classificazione delle singolaritàisolate mediante la serie bilatera.Risposta: v. libro di testo, §6.6.2.

15


1. (5 punti). Calcolare il seguente integrale nel campo complesso:∫γ

zdz

dove γ è l’arco di curva x = t cos ty = t sin t

t ∈ [0, 2π] .

Impostiamo l’integrale in base alla definizione:∫γ

zdz =

∫ 2π

0

(x (t)− iy (t)) (x′ (t) + iy′ (t)) dt

=

∫ 2π

0

(t cos t− it sin t) (cos t− t sin t+ i (sin t+ t cos t)) dt

=

∫ 2π

0

[(t cos2 t− t2 cos t sin t+ t sin2 t+ t2 sin t cos t

)+i(−t cos t sin t+ t2 sin2 t+ t cos t sin t+ t2 cos2 t

)]dt

=

∫ 2π

0

(t+ it2

)dt =

[t2

2+ i

t3

3

]2π0

= 2π2 + i8π3

3.

2. (5 punti). Classificare le singolarità della seguente funzione, e calcolareil residuo negli eventuali poli del prim’ordine.


(πz

)(z2 + 1) (z2 + 2iz + 3)

2 .

z2 + 2iz + 3 = 0 per z = −i±√−4 = −i± 2i =

i−3i

Quindi


(πz

)(z + i) (z − i) ((z − i) (z + 3i))

2 =sin (πiz) sin

(πz

)(z + i) (z − i)3 (z + 3i)

2 .

I punti da esaminare sono: z = 0,−i, i,−3i che annullano denominatori. Tuttiquesti punti annullano anche il fattore a numeratore sin (πiz), del prim’ordine.

Tenuto conto di questo, e della singolarità essenziale di sin(πz

)in z = 0, si

conclude:z = 0 singolarità essenzialez = −i singolarità eliminabile

16

z = −3i polo del prim’ordinez = i polo del second’ordine.

Res (f (z) ,−3i) = Res

(sin (πiz) sin

(πz

)(z + i) (z − i)3 (z + 3i)

2 ,−3i

)

= limz→−3i

(z + 3i)sin (πiz) sin

(πz

)(z + i) (z − i)3 (z + 3i)

2 =

= limz→−3i

sin(πz

)(z + i) (z − i)3

· limz→−3i

sin (πiz)

z + 3i

dove il primo è il limite è quello di una funzione continua e si calcola per semplicesostituzione del valore, mentre il secondo limite si calcola con De L’Hospital

=sin(iπ3)

(−2i) (−4i)3 · lim

z→−3i

πi cos (πiz)

1=iSh π

3

96(−πi) =

π Sh π3

96.


sinx

(x+ i)2

(x2 + 1)dx.

Riscriviamo:∫R

sinx

(x+ i)2

(x2 + 1)dx =

1

2i

∫R

eix

(x+ i)3

(x− i)dx−

∫R

e−ix

(x+ i)3

(x− i)dx

=

1

2iI1 − I2

dove gli integrali I1, I2 sono integrali calcolabili col metodo dei residui.z = i polo del prim’ordinez = −i polo del terz’ordine.

I1 = 2πiRes

(eiz

(z + i)3

(z − i), i

)= 2πi

(eiz

(z + i)3

)/z=i

= 2πi

(e−1

(2i)3

)= − π

4e.

I2 = −2πiRes

(e−iz

(z + i)3

(z − i),−i)

= −2πi1

2

(e−iz

(z − i)

)′′/z=−i

= −πi(e−iz (−i (z − i)− 1)

(z − i)2

)′/z=−i

= −πi(e−iz (−iz − 2)

(z − i)2

)′/z=−i

= πi

(e−iz (iz + 2)

(z − i)2

)′/z=−i

= πi

(e−iz

(−i (iz + 2) + i) (z − i)2 − 2 (z − i) (iz + 2)

(z − i)4

)/z=−i

= πi

(e−iz

(z − i) (z − i)− 2 (iz + 2)

(z − i)3

)/z=−i

= πi

(e−1−4− 6

(−2i)3

)= −5π

4e

17

Quindi l’integrale vale

1

2iI1 − I2 =

1

2i

− π

4e+

5π

4e

=

1

2i

π

e= −i π

2e.

18



Punti

Dom 1

Dom 2

Dom 3

Es 1

Es 2

Es 3

Tot.


A. (6 punti). “Sia (Ω,M, µ) uno spazio di misura”. Si spieghi cosa sig-nifica, con i seguenti passi: dare la definizione di σ-algebra e farne qualcheesempio; dare la definizione di misura e farne qualche esempio. (Gli esempipossono utilizzare anche argomenti del corso visti successivamente alle primedefinizioni, come la misura di Lebesgue o le misure con peso). Enunciare quindicon precisione il teorema di esistenza della misura di Lebesgue in Rn, che neprecisa la definizione e le proprietà.Risposta: v. libro di testo, §2.2.

B. (6 punti). Enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora negli spazivettoriali con prodotto scalare per un numero finito di vettori. Quindi enunciaree dimostrare la versione di teorema di Pitagora che vale in uno spazio di Hilbertper una successione di vettori.Risposta: v. libro di testo, §4.1, 4.2.

C. (6 punti). Dare la definizione di problema di Sturm-Liouville regolaree enunciare il teorema relativo ai suoi autovalori e autofunzioni, dimostrando ledue affermazioni riguardanti la positività degli autovalori e l’ortogonalità delleautofunzioni.Risposta: v. libro di testo, §4.7.1.

D. (6 punti). Dopo aver definito lo spazio S (R) delle funzioni a decrescenzarapida, enunciare e dimostrare le proprietà di questo spazio rilevanti dal puntodi vista della teoria della trasformata di Fourier.Risposta: v. libro di testo, §7.4.1.

19


1. Si consideri la funzione

f (x) =x

4π2x2 + 2πix+ 1.

a. Quali proprietà della trasformata di Fourier f si possono prevedere, inbase alle proprietà di questa funzione f?

Rispondere sui seguenti punti: f eventualmente reale o immaginaria, even-tualmente simmetrica pari o dispari, spazi funzionali a cui appartiene f (C0∗ ,L1, L2, S...), sua regolarità, velocità di convergenza a zero.b. Calcolare f col metodo dei residui.

a. La f è complessa e senza simmetrie, non ci aspettiamo particolari sim-metrie da f . La f è C∞ (R), perciò f (ξ) = o

(1/ξk

)per ogni k per ξ → ∞.

f ∈ L2 (R) ma f /∈ L1 (R) perciò f ∈ L2 (R) ma ci aspettiamo sia discontinua.b.

4π2z2 + 2πiz + 1 = 0

z =−πi±

√−π2 − 4π2

4π2=−πi± πi

√5

4π2=−1±

√5

4πi

Due poli del prim’ordine.

f (ξ) =

∫R

xe−2πixξ

4π2x2 + 2πix+ 1dx =

se ξ < 0 2πiRes(

ze−2πizξ

4π2z2+2πiz+1 ,−1+

√5

4π i)

se ξ > 0 −2πiRes(

ze−2πizξ

4π2z2+2πiz+1 ,−1−

√5

4π i)

=

se ξ < 0 2πi ·

(ze−2πizξ

8π2z+2πi

)/z=−1+

√5

4π i

se ξ > 0 −2πi ·(ze−2πizξ

8π2z+2πi

)/z=−1−

√5

4π i

=

se ξ < 0 i

(ze−2πizξ

4πz+i

)/z=−1+

√5

4π i

se ξ > 0 −i(ze−2πizξ

4πz+i

)/z=−1−

√5

4π i

=

se ξ < 0 i

(e−2πiξ

(−1+

√5

4πi

)√5i

(−1+

√5

4π i))

se ξ > 0 −i(e−2πiξ

(−1−

√5

4πi

)−√5i

)(−1−

√5

4π i) =

se ξ < 0 eξ

(−1+

√5

2

)4π√5

(−1 +

√5)i

se ξ > 0 e−ξ

(1+√5

2

)4π√5

(−1−

√5)i

20

Grafico di Im f

2. Siaf (x) = x2e−2x

2

.



F(e−x

2)

(ξ) =√πe−π

2ξ2


a. f è reale e pari, f sarà reale e pari. f ∈ S (R), quindi f ∈ S (R) (inparticolare, è C∞ e tende a zero più rapidamente di ogni potenza di ξ).

21

b.

g (x) = e−x2

g√2 (x) = e−2x

2

F(g√2)

(ξ) = g√2 (ξ) =

√π

2e−

π2

2 ξ2

f (x) = x2g√2 (x)

f (ξ) = F(x2g√2 (x)

)=

1

(−2πi)2F(g√2)′′

(ξ)

= − 1

4π2

(√π

2e−

π2

2 ξ2

)′′(ξ) = − 1

4π2

√π

2

(e−

π2

2 ξ2 (−π2ξ

))′(ξ)

=1

4

√π

2

(e−

π2

2 ξ2

ξ)′

(ξ) =1

4

√π

2e−

π2

2 ξ2 (

1− π2ξ2)


Li′ (t) +Ri (t) +1

C

(q0 +

∫ t

0

i (τ) dτ

)= v (t)



v (t) = etχ(0,1) (t) .

22


Applicando la trasformata di Laplace ad ambo i membri e ponendo I (s) =L (i) (s) , V (s) = L (v) (s) si ha:

L (sI (s)− i (0)) +RI (s) +1

Cs(q0 + I (s)) = V (s)(

Ls+R+1

Cs

)I (s) = V (s) + Li (0)− 1

Csq0

I (s) =V (s)

Ls+R+ 1Cs

+Li (0)− 1

Csq0

Ls+R+ 1Cs

e per L = 5, C = 1, R = 6, q0 = −1, i (0) = 0 si ha

I (s) = V (s)1

5s+ 6 + 1s

+1s

5s+ 6 + 1s

≡ V (s)H (s) +G (s)

conH (s) =

s

5s2 + 6s+ 1;G (s) =

1

5s2 + 6s+ 1,

funzioni che dobbiamo ora antitrasformare.

H (s) =s

(5s+ 1) (s+ 1)=

a

5s+ 1+

b

s+ 1=a (s+ 1) + b (5s+ 1)

(5s+ 1) (s+ 1)a+ 5b = 1a+ b = 0

b =1

4, a = −1

4

H (s) =1

4

1

s+ 1− 1

5

1

s+ 15

= L

(1

4

(e−t − 1

5e−

t5

)).

G (s) =1

5s2 + 6s+ 1=

a

5s+ 1+

b

s+ 1=a (s+ 1) + b (5s+ 1)

(5s+ 1) (s+ 1)a+ 5b = 0a+ b = 1

b = −1

4, a =

5

4

G (s) =1

4

1

s+ 15

− 1

s+ 1

= L

(1

4

(e−

t5 − e−t

))I (s) = L

(v (t) ∗

(1

4

(e−t − 1

5e−

t5

))+

1

4

(e−

t5 − e−t

))perciò la soluzione è:

i (t) = v (t) ∗(

1

4

(e−t − 1

5e−

t5

))+

1

4

(e−

t5 − e−t

)=

1

4

(e−

t5 − e−t

)+

1

4

∫ t

0

(e−(t−τ) − 1

5e−

(t−τ)5

)v (τ) dτ.

23

b. Poiché il termine noto è discontinuo, la soluzione sarà C1 con derivataprima derivabile a tratti, ma non esisterà i′′ (1). Calcoliamo la convoluzione∫ t

0

(e−(t−τ) − 1

5e−

(t−τ)5

)v (τ) dτ =

∫ t

0

(e−(t−τ) − 1

5e−

(t−τ)5

)eτχ(0,1) (τ) dτ

=

se t < 1∫ t0

(e−(t−τ) − 1

5e− (t−τ)

5

)eτdτ

se t > 1∫ 10

(e−(t−τ) − 1

5e− (t−τ)

5

)eτdτ

∫ t

0

(e−(t−τ) − 1

5e−

(t−τ)5

)eτdτ = e−t

∫ t

0

e2τdτ − 1

5e−

t5

∫ t

0

e6τ5 dτ

= e−t[e2τ

2

]t0

− 1

5e−

t5

[5

6e6τ5

]t0

= e−t[e2t − 1

2

]− 1

5e−

t5

[5

6

(e6t5 − 1

)]=et − e−t

2− 1

6

(et − e− t5

)=

1

3et − 1

2e−t +

1

6e−

t5

∫ 1

0

(e−(t−τ) − 1

5e−

(t−τ)5

)eτdτ = e−t

[e2τ

2

]10

− 1

5e−

t5

[5

6e6τ5

]10

= e−t(e2 − 1

2

)− 1

6e−

t5

(e65 − 1

).

i (t) =

se t < 1 14

(e−

t5 − e−t

)+ 1

4

(13et − 1

2e−t + 1

6e− t5)

se t > 1 14

(e−

t5 − e−t

)+ 1

4

(e−t

(e2−12

)− 1

6e− t5(e65 − 1

))

24

Esame di Metodi Matematici per l™Ingegneria -...

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