Elementi di Metodi Matematici della...

Matteo Villani

Elementi di

Metodi Matematici della Fisica

Integrale di Lebesgue Distribuzioni e Trasformata di Fourier

Università di Bari Corso di Laurea in Fisica

A.A. 2003 - 2004

INDICE

L'integrale di Lebesgue 1. Introduzione pag. 01 2. lo spazio ( )0C R pag. 03

3. L'integrale di Lebesgue in R pag. 07 4. Operazioni di limite nell'integrazione di Lebesgue pag. 11 5. Misura di sottoinsiemi di R pag. 14 6. Integrali su un sottoinsieme di R pag. 14 7. Funzioni a valori complessi pag. 15 8. L'integrale di Lebesgue in ( )dR d 2,3...= pag. 16

9. Gli spazi ( )d1L R e ( )d

2L R pag. 18

10. Lo spazio ( )d1,locL R pag. 25

Distribuzioni 1. Nozioni basilari pag. 27 2. Esempi di distribuzioni pag. 29 3. Differenziazione delle distribuzioni pag. 34 La trasformata di Fourier 1. Introduzione pag. 43 2. Trasformata di Fourier pag. 44 3. Lo spazio ( )S R pag. 49

4. Distribuzioni temperate e trasformata di Fourier pag. 53 5. Trasformata di Fourier in diverse variabili pag. 62 6. Convoluzione pag. 64 7. Convergenza distribuzionale pag. 72

L'INTEGRALE DI LEBESGUE 1. Introduzione Def. Si dice che una famiglia α αεΣ

A di insiemi ricopre un dato insieme A, oppure che è un

ricoprimento di A, quando A AααεΣ⊆ ∪ .

Teorema di Heine-Borel (compattezza degli intervalli limitati e chiusi): Sia [ ]a, b un intervallo limitato e chiuso di R e αA una famiglia di insiemi aperti di R che

ricopra [ ]a, b ; esiste una sottofamiglia finita di αA che è ancora un ricoprimento di [ ]a, b

( )>b a .

Dim. Supponiamo che nessuna sottofamiglia finita di αA ricopra [ ]a, b . Introducendo

+=

a bc

2, si può affermare allora che almeno uno degli intervalli [ ]a,c ,[ ]c, b non è ricoperto da

alcuna sottofamiglia finita di αA . Sia 1I uno di questi due intervalli, per esempio [ ]=1I c, b .

Introduciamo +

=1 c bc

2; almeno uno degli intervalli ⎡ ⎤⎣ ⎦

1c,c , ⎡ ⎤⎣ ⎦1c , b non è ricoperto da alcuna

sottofamiglia finita di αA . Sia 2I uno di questi due intervalli. Procedendo in questo modo,

costruiamo una successione di intervalli 1 2 nI , I ,...I , ... con [ ]n 1 nI I a, b+ ⊂ ⊂ . In questa

costruzione si è sfruttata la limitatezza di [ ]a, b , con l'introduzione dei punti 1c,c ... Sia 0x il

punto dato da = ∩ ∩ ∩ ∩0 1 2 nx I I ... I ... Poiché [ ]a, b è chiuso, abbiamo [ ]∈0x a, b . Il punto 0x

deve appartenere ad almeno uno degli aperti di αA . Sia 0α

A un tale aperto e >r 0 tale che

= − <r 0B x : x x r sia incluso in 0α

A (per definizione di aperto). Abbiamo allora che per n

sufficientemente grande nI è incluso in rB e 0α

A è una sottofamiglia finita di αA (costituita

da un unico elemento) che ricopre nI . Ma ciò è assurdo, se si tiene presente il procedimento di

costruzione di nI .

Def. Si dice che un sottoinsieme ⊂A R è di misura nulla (secondo Lebesgue), quando, per ogni ε > 0 , esiste una famiglia numerabile di intervalli aperti ( )kI k = 1,2,... che ricopra A e sia

tale che

kk 1

I∞

=

< ε∑ ( kI : lunghezza dell'intervallo kI )

Elementi di metodi matematici della fisica

2

Segue immediatamente dalla definizione che ogni sottoinsieme di un insieme di misura nulla, è di misura nulla. Inoltre l'unione di un numero finito o di una famiglia kA numerabile di

insiemi di misura nulla, è di misura nulla. Infatti sia ε > 0 e kk 1

A A∞

== ∪ . Per ogni k, esiste una

famiglia numerabile ( )kjI j = 1,2,... di intervalli aperti tale che

k kjj 1

A I∞

=⊆ ∪ kj kj 1

1I

2

∞

=Σ < ε

Considerata allora la famiglia di tutti gli intervalli kjI , ottenuta al variare di entrambi gli indici,

che è numerabile, A è incluso nell'unione di questa famiglia kjk 1 j 1

A I∞ ∞

= =

⎛ ⎞⊆⎜ ⎟⎝ ⎠

∪ ∪ e risulta

kj kj kk, j 1 k 1 j 1 k 1

1I I

2

∞ ∞ ∞ ∞

= = = =Σ = Σ Σ < ε Σ = ε

Se A è costituito da un singolo punto di R, allora evidentemente A è di misura nulla. Ne segue che ogni insieme finito o numerabile di punti di R è di misura nulla. In particolare l'insieme di numeri razionali è di misura nulla. Esistono tuttavia insiemi non numerabili che hanno misura nulla (insiemi di Cantor). Def. Si dice che una certa proprietà vale quasi ovunque (q.o.) in R, oppure che vale per quasi ogni ∈x R , se l'insieme degli x in cui la proprietà non è verificata è di misura nulla. Per esempio, si dice che una successione di funzioni ( ) nf x , definita in R, converge q.o. a una

funzione ( )f x , e si scrive

( ) ( )

→∞=nn

lim f x f x (q.o.)

se l'insieme degli x per i quali non è vero che ( ) ( )→∞

=nnlim f x f x , è di misura nulla. Tale insieme è

composto da tre sottoinsiemi, eventualmente vuoti: quello degli x per i quali il limite esiste, è finito, ma è diverso da ( )f x ; quello degli x tali che il limite è infinito; quello degli x per i quali

il limite non esiste. Si dice che due funzioni ( )f x e ( )g x , definite in R, sono uguali quasi ovunque in R, e si scrive

( ) ( )=f x g x (q.o.), se l'insieme degli x tali che ( ) ( )≠f x g x è di misura nulla.

Per esempio la funzione di Dirichlet ( )xχ , definita da

( ) 1x

0

⎧χ = ⎨

⎩

se x è razionale

se x è irrazionale

è una funzione quasi ovunque nulla.

L'integrale di Lebesgue

3

2. Lo spazio ( )0C R

Sia ( )0C R l'insieme delle funzioni continue definite in R, a valori reali, con supporto compatto.

Ciò significa che ( )0C Rϕ∈ se e soltanto se : R Rϕ → è continua ed esiste un intervallo

limitato [ ]a, b (chiuso), che in generale dipende da ϕ , tale che ( )x 0ϕ = per [ ]∉x a, b . ( )0C R è

uno spazio vettoriale reale: se ϕ e ψ sono due funzioni in ( )0C R e α e β sono due numeri

reali, la funzione ( ) ( )x xαϕ +βψ appartiene a ( )0C R . Ad ogni elemento di ( )0C R possiamo

associare un numero reale, dato dal suo integrale (di Riemann) su R:

1) ( ) ( )b

a

x dx x dx+∞

−∞

ϕ→ ϕ = ϕ∫ ∫

Questa corrispondenza definisce un funzionale lineare su ( )0C R :

2) ( ) ( )( ) ( ) ( )b d

a c

x x dx x dx x dx+∞

−∞

αϕ+βψ→ αϕ +βψ = α ϕ +β ψ∫ ∫ ∫

(con ( )x 0ψ = per [ ]∉x c,d ).

Lo spazio ( )0C R ed il funzionale che abbiamo definito, posseggono due proprietà importanti

che costituiranno il punto di partenza per la costruzione dell'integrale di Lebesgue. Teorema I Sia ( ) n xϕ una successione decrescente di funzioni non negative in ( )0C R ( )n 1 n0 +≤ ϕ ≤ ϕ ,

tale che ( )nnlim x 0→∞

ϕ = (q.o.).

Abbiamo allora:

3) ( )nnlim x dx 0

+∞

→∞−∞

ϕ =∫

Dim. Sia 0A l'insieme dei punti in cui ( ) n xϕ non converge a zero ed ε > 0 (fissato, ma

arbitrario). 0A può essere ricoperto da una famiglia numerabile di intervalli aperti ( ) 00 kIΣ = ,

tale che ( )0kk 1

I∞

=Σ < ε . Per (0)

kk 1

x I∞

=∉ ∪ , ( )n

nx 0

→∞ϕ → . A ciascuno di questi punti, diciamo 0x ,

possiamo assegnare un n tale che ( )n 0xϕ < ε ed un intervallo aperto contenente 0x in cui risulti

ancora ( )n 0xϕ < ε ( in virtù della continuità di ( )n xϕ ). Variando 0x , l'insieme di questi

intervalli formano una famiglia ( ) 0

11 xIΣ = di intervalli aperti, a ciascuno dei quali è attaccato un

indice n. Notiamo che [ ]⊂0 1 1A a , b ( ( )1 x 0ϕ = per [ ]∉ 1 1x a , b ) e che Σ ∪Σ0 1 ricopre evidentemente

questo intervallo. Applicando il teorema di Heine-Borel all'intervallo [ ]1 1a , b , abbiamo che esiste

una sottofamiglia finita di Σ ∪Σ0 1 che è ancora un ricoprimento di [ ]1 1a , b . Questa


4

sottofamiglia finita sarà formata da un insieme ( ) ( ) ( )1 2

0 0 0k k kI , I ..., I

l di intervalli aperti appartenenti a

Σ0 e da un insieme ( ) ( ) ( )1 1 11 2 mI , I ..., I di intervalli aperti appartenenti a Σ1 . A ciascuno degli intervalli

( ) ( )1jI j 1,...,m= è associato un intero n. Sia N il più grande di questi interi. Abbiamo allora che

( )N xϕ risulta < ε in ciascuno degli intervalli ( )1jI ; ciò è vero anche per ( )n xϕ , per ogni n > N.

Per ogni n N≥ , abbiamo allora

( ) ( ) ( )( )

1

01 ki

b

n n ni 1a I

x dx x dx x dx+∞

=−∞

ϕ = ϕ ≤ Σ ϕ +∫ ∫ ∫l

( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )( )(1)

1 1j

0n 1 ki 1 1 1 1 1i 1

I a ,b

x dx max x I b a max x b a=

∩

ϕ ≤ ϕ Σ + ε − ≤ ε ϕ + −∫∪

l

Data l'arbitrarietà di ε , abbiamo che ( )nnlim x 0

+∞

→∞−∞

ϕ =∫ .

Teorema II Sia ( ) n xϕ una successione crescente di funzioni non negative in ( ) ( )0 n n 1C R 0 ...+≤ ϕ ≤ ϕ ≤ ,

tale che

4) ( )n x dx K+∞

−∞

ϕ <∫ ( )n K 0∀ >

Si ha allora che ( )n xϕ , per n →∞ , tende quasi ovunque a un limite finito.

Dim. Sia 0A l'insieme dei punti in cui ( ) n xϕ non converge ad un limite finito. Supporremo

che 0A non sia vuoto. Per convenzione l'insieme vuoto è di misura nulla. Se 0x A∈ ,

( )nn

x→∞

ϕ → +∞ .

Fissato 0ε > , consideriamo gli insiemi

5) ( ),n n

Kx : xε⎧ ⎫Σ = ϕ >⎨ ⎬ε⎩ ⎭

Poiché ( ) ( )n 1 nx x+ϕ ≥ ϕ , abbiamo

6) ,n ,n 1ε ε +Σ ⊂ Σ

( ),n m

Kx , x m nε

⎛ ⎞∀ ∈Σ ϕ > ∀ ≥⎜ ⎟ε⎝ ⎠. Se x è un fissato punto di 0A , allora in corrispondenza di

K

ε deve esistere un intero ( )n x;ε tale che ( ) ( )m

Km n x; x∀ ≥ ε ϕ >

ε.

Ciò implica che x deve appartenere a ( ),n x;ε εΣ . Possiamo allora affermare che

7) 0 ,nn 1

A∞

ε=

⊂ Σ∪


5

Per la continuità di ( )n xϕ , abbiamo che ,nεΣ è un insieme aperto di R. Ora ogni insieme aperto

di R è l'unione di una famiglia numerabile di intervalli aperti disgiunti. Abbiamo allora

8) ( )n,n k

k 1I

∞

ε=

Σ = ∪

dove ( )nkI sono intervalli aperti disgiunti. La 7) costituisce quindi un ricoprimento di 0A

mediante una famiglia numerabile di intervalli aperti. Notiamo che ( ),n n na , bεΣ ⊂ , dove [ ]n na , b

è l'intervallo chiuso e limitato associato a ( )n xϕ ( ) [ ]( )n n nx 0 per x a , bϕ = ∉ . Utilizzando

ora la 4), abbiamo

9) ( ) ( )( )

( ) ( )n

nnk

bN Nn

k n nk 1 k 1aI

NK

I x dx x dx K= =Σ ≤ Σ ϕ ≤ ϕ < ∀

ε ∫ ∫

Quindi

10) ( )n,n kk 1

I n∞

ε =Σ = Σ < ε ∀

In virtù della 6) possiamo scrivere

11) ( ) ( ) ( )N

,n ,n ,n 1 ,n ,n 1 ,N ,0N Nn 1 n 1 n 1lim lim con

∞ ∞

ε ε ε − ε ε − ε ε→∞ →∞= = =Σ = Σ −Σ = Σ −Σ = Σ Σ =∅∪ ∪ ∪ .

Ora (a meno di un insieme numerabile di punti e quindi di un insieme di misura nulla)

12) ( )n,n ,n 1 k

k 1J

∞

ε ε −=

Σ −Σ = ∪

con ( )nkJ intervalli aperti disgiunti tra di loro e disgiunti dagli intervalli ( )n 1

kI − , e quindi dagli ( )n 1kJ − . Ne segue che

13) ( ) ( )NN n

k ,N kk 1 n 1 k 1NI J

∞ ∞

ε= = =Σ = Σ = Σ Σ < ε ∀

Pertanto

14) ( )n0 k

n 1 k 1A J

∞ ∞

= =⊂ ∪ ∪

con

( )nkn 1 k 1

J∞ ∞

= =Σ Σ ≤ ε

Data l'arbitrarietà di ε , concludiamo che 0A è di misura nulla. Siano ( ) n xϕ e ( ) n xψ due successioni crescenti di funzioni non negative in ( )0C R , tali che


6

15) ( )n 1x dx K+∞

−∞

ϕ <∫

( ) ( )n 2 1 2x dx K K ,K , n 1,2,...+∞

−∞

ψ < < +∞ =∫

Poiché

( ) ( )n n 1x dx x dx+∞ +∞

+−∞ −∞

ϕ ≤ ϕ∫ ∫ e ( ) ( )n n 1x dx x dx+∞ +∞

+−∞ −∞

ψ ≤ ψ∫ ∫

esistono e sono finiti, in virtù della 15), i limiti

( )n 1nlim x dx J

+∞

→∞−∞

ϕ =∫ ( )n 2nlim x dx J

+∞

→∞−∞

ψ =∫

In base al teorema II esistono due funzioni ( )f x e ( )g x definite in R, tali che

16) ( ) ( )nn

f x lim x→∞

= ϕ (q.o.)

( ) ( )nn

g x lim x→∞

= ψ (q.o.)

Se 0A è l'insieme dei punti in cui non converge ( ) n xϕ , e 0B è l'insieme dei punti in cui non

converge ( ) n xψ , ( )f x e ( )g x sono definite univocamente soltanto per 0x A∉ e 0x B∉

rispettivamente. Supponiamo che 17) ( ) ( ) 0 0g x f x per x A B≥ ∉ ∪

(sicché ( ) ( )g x f x≥ (q.o.)) e consideriamo la successione ( ) ( ) m nx xϕ −ψ con m fissato e

n=1, 2,.... Sia ( ) ( )( ) ( )m nx x n 1,2,...+

ϕ −ψ = la successione delle parti positive delle funzioni

( ) ( )m nx xϕ −ψ (Se ( )F x è definita in R, la sua parte positiva è ( ) ( ) ( )( )1F x F x F x

2+ = + e la

sua parte negativa è data da ( ) ( ) ( )( )1F x F x F x

2− = − ; abbiamo ( )F x 0+ ≥ , ( )F x 0− ≥ e

( ) ( ) ( )F x F x F x+ −= − ). Dalla 17) segue allora che ( ) ( )( ) m nx x+

ϕ −ψ , a fissato m, decresce a

zero in modo monotono quasi ovunque. In virtù del teorema I, abbiamo

18) ( ) ( )( )m nnlim x x dx 0

+∞+

→∞−∞

ϕ −ψ =∫

D'altra parte


7

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )m n m n m nx dx x dx x x dx x x dx+∞ +∞ +∞ +∞

+

−∞ −∞ −∞ −∞

ϕ − ψ = ϕ −ψ ≤ ϕ −ψ∫ ∫ ∫ ∫

Passando al limite per n →∞ , otteniamo

19) ( )m 2x dx J m+∞

−∞

ϕ ≤ ∀∫

Segue infine per m →∞ 20) 2 1J J≥

Da questo risultato deduciamo immediatamente il seguente Corollario Se ( ) ( )f x g x= (q.o.) , allora 1 2J J= .

Infatti, in questo caso, abbiamo simultaneamente ( ) ( )f x g x≤ (q.o.) e ( ) ( )f x g x≥ (q.o.).

3. L'integrale di Lebesgue in R Una funzione ( )f x , definita in R, a valori reali e non negativa q.o.

21) ( )f x 0≥ (q.o.)

è detta integrabile secondo Lebesgue in R, se esiste una successione crescente

( ) n xϕ (n=1, 2,...) di funzioni non negative appartenenti a ( )0C R , tale che

a) ( ) ( )nn

lim x f x→∞

ϕ = (q.o.)

22)

b) ( )n x dx K n+∞

−∞

ϕ < ∀∫

Se ( )f x 0≥ (q.o.) è integrabile secondo Lebesgue, il limite ( )nnlim x dx

+∞

→∞−∞

ϕ∫ , che senz'altro

esiste, è detto integrale di Lebesgue di ( )f x :

23) ( ) ( ) ( )nnL f x dx lim x dx

+∞ +∞

→∞−∞ −∞

= ϕ∫ ∫

Dal corollario già visto, segue che, se ( ) n xψ è un'altra successione crescente di funzioni non

negative in ( )0C R , tale che

a') ( ) ( )nn

lim x f x→∞

ψ = (q.o.)


8

b') ( )n x dx+∞

−∞

ψ < Λ∫ n∀

(l'insieme in cui nψ non converge può essere in generale diverso dall'insieme in cui nϕ non

converge), allora

24) ( ) ( ) ( ) ( )n nn nL f x dx lim x dx lim x dx

+∞ +∞ +∞

→∞ →∞−∞ −∞ −∞

= ϕ = ψ∫ ∫ ∫

La definizione precedente è motivata essenzialmente dai Teoremi I, II che abbiamo dimostrato. Più in generale consideriamo una funzione ( )f x a valori reali definita in R. Come abbiamo visto

possiamo scrivere 25) ( ) ( ) ( )f x f x f x+ −= −

con ( ) ( ) ( )( )1f x f x f x

2+ = + e ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1

f x f x f x f x 0, f x 02

− + −= − ≥ ≥ .

La funzione ( )f x è detta integrabile secondo Lebesgue in R, se le funzioni ( )f x+ e ( )f x− sono

integrabili secondo Lebesgue in R. L'integrale di Lebesgue di ( )f x è definito da

26) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L f x dx L f x dx L f x dx+∞ +∞ +∞

+ −

−∞ −∞ −∞

= −∫ ∫ ∫

L'insieme delle funzioni a valori reali, integrabili secondo Lebesgue verrà indicato con ( )1 RL .

Alcune proprietà dell'integrale di Lebesgue:

a) se ( ) ( )1f x R∈ L e ( )f x 0≥ (q.o.), allora ( ) ( )L f x dx 0+∞

−∞

≥∫

b) se α e β sono due numeri reali e ( ) ( ) ( )1f x , g x R∈ L , allora ( ) ( ) ( )1f x g x Rα +β ∈ L .

Inoltre

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )L f x g x dx L f x dx L g x dx+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞

α +β = α +β∫ ∫ ∫

c) se ( ) ( ) ( )1f x , g x R∈ L e ( ) ( )f x g x≤ (q.o.), allora

( ) ( ) ( ) ( )L f x dx L g x dx+∞ +∞

−∞ −∞

≤∫ ∫

( la (c) è una conseguenza immediata della (a))

d) se ( ) ( )1f x R∈ L , anche ( ) ( )1f x R∈ L .

Infatti se ( ) ( )1f x R∈ L , allora ( ) ( ) ( )1f x , f x R+ − ∈ L . La d) segue dalla b) osservando

che ( ) ( ) ( )f x f x f x+ −= + . La d) è una proprietà caratteristica dell'integrale di Lebesgue


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(e) se ( ) ( )1f x R∈ L , allora

( ) ( ) ( ) ( )L f x dx L f x dx+∞ +∞

−∞ −∞

≤∫ ∫

Infatti, poiché f f 2f 0++ = ≥ e f f 2f 0−− = ≥ , dalla a) e b) deduciamo che

( ) ( )L f x dx+∞

−∞∫ risulta ≥ sia di ( ) ( )L f x dx

+∞

−∞∫ che di ( ) ( )L f x dx

+∞

−∞

− ∫

f) se ( ) ( )1f x R∈ L e ( )f x 0≥ (q.o.), allora ( )f x 0= (q.o.) se e soltanto se

( ) ( )L f x dx 0+∞

−∞

=∫ .

Dim f) Se ( )f x 0= (q.o.), allora ( )f x è il limite quasi ovunque della successione crescente

( ) n xϕ ( ) ( )( )n 1 nx x 0+ϕ ≥ ϕ ≥ di elementi di ( )0C R , dati da ( )n x 0ϕ = (n=1,2,...) x R∀ ∈ . In

base alla nostra definizione ( )f x è integrabile secondo Lebesgue e ( ) ( )L f x dx 0+∞

−∞

=∫ .

Viceversa, supponiamo che ( ) ( )1f x R∈ L , ( )f x 0≥ (q.o.) e ( ) ( )L f x dx 0+∞

−∞

=∫ . Esiste allora una

successione crescente ( ) n xϕ di elementi di ( )0C R , tale che ( ) ( )nnlim x f x→∞

ϕ = (q.o.) con

( )n x 0ϕ ≥ . Abbiamo allora

( ) ( ) ( )n0 x dx L f x dx 0 n+∞ +∞

−∞ −∞

≤ ϕ ≤ = ∀∫ ∫ ,

cioè ogni ( )n xϕ è identicamente nulla in R. Ne segue che ( )f x 0= (q.o.). La proprietà precedente implica la seguente: se ( ) ( ) ( )1f x , g x R∈ L , allora

( ) ( )f x g x= (q.o.)

se e soltanto se

( ) ( ) ( )L f x g x dx 0+∞

−∞

− =∫

Naturalmente se ( ) ( )f x g x= (q.o.), con ( ) ( ) ( )1f x , g x R∈ L , risulta

( ) ( ) ( ) ( )L f x dx L g x dx+∞ +∞

−∞ −∞

=∫ ∫


10

Esempio I. Se ( )x 0ϕ ≥ appartiene a ( )0C R , allora ( ) ( )1x Rϕ ∈ L e

27) ( ) ( ) ( )L x dx x dx+∞ +∞

−∞ −∞

ϕ = ϕ∫ ∫

(Basta prendere la successione ( ) ( ) ( ) ( )1 2 nx x ... x ... xϕ = ϕ = = ϕ = = ϕ ).

Esempio II. Se ( )xϕ appartiene a ( )0C R , allora ( ) ( )1x Rϕ ∈ L e vale la 27) ( ( ) ( )x e x+ −ϕ ϕ

sono funzioni non negative appartenenti a ( )0C R e ( ) ( ) ( )x x x+ −ϕ = ϕ −ϕ ,....)

Esempio III. Sia ( )f x una funzione a supporto compatto ( ( )f x 0= per [ ]x a, b∉ ), non

negativa, limitata e continua a tratti in (a,b) (vedi figura).

Come è noto ( )f x è integrabile secondo Riemann. In questo caso

( ) ( )b

a

f x dx f x dx+∞

−∞

=∫ ∫

E' facile vedere che ( )f x appartiene anche a ( )1 RL . Infatti, siano n

1a a

n= +α , 1n 1

1c c

n= − γ ,

2n 2

1c c

n= + γ , n

1b b

n= −β ( 1 2n 1,2,..., , , , 0= α γ γ β > e tali che 1 2a c , c b+α < − γ + γ < −β ) e

( )n xϕ le funzioni di ( )0C R definite da

( ) ( ) [ ] [ ]n n 1n 2n nx f x per x a ,c c , bϕ = ∈ ∪

0 per x b, x a, x c= ≥ ≤ =

= funzioni lineari in x per [ ]nx a,a∈ ,

[ ] [ ] [ ]1n 2n nc ,c , c,c , b , b (vedi figura precedente)


11

Abbiamo allora

( ) ( )n 1 nx x 0+ϕ ≥ ϕ ≥ e ( ) ( )nnlim x f x→∞

ϕ = (q.o.).

Inoltre

( ) ( ) ( )b

n

a

x dx K f x dx n 1,2,...+∞

−∞

ϕ < = =∫ ∫

Si conclude allora che ( ) ( )1f x R∈ L e

28) ( ) ( ) ( ) ( )nnL f x dx lim x dx f x dx

+∞ +∞ +∞

→∞−∞ −∞ −∞

= ϕ =∫ ∫ ∫

Questo risultato è ancora valido se ( )f x assume valori negativi: ( )f x+ e ( )f x− sono funzioni

non negative, limitate e continue a tratti in (a, b). Più in generale se ( )f x è a supporto compatto ( ) [ ]( )f x 0 per x a, b= ∉ , limitata e continua

quasi ovunque in (a, b), allora ( )f x è integrabile secondo Riemann. Si dimostra che ( )f x

appartiene anche a ( )1 RL e che i due integrali, di Lebesgue e di Riemann, coincidono.

Esempio IV. Si consideri la funzione di Dirichlet

( ) 1 x razionalex

0 x irrazionale

⎧χ = ⎨

⎩

( )xχ non è integrabile secondo Riemann. ( )xχ è invece integrabile secondo Lebesgue:

( )x 0χ = (q.o.), sicché

( ) ( )L x dx 0+∞

−∞

χ =∫

Nel seguito ometteremo la lettera L che precede gli integrali di Lebesgue. Ogni integrale sarà inteso nel senso di Lebesgue. 4. Operazioni di limite nell'integrazione di Lebesgue Partendo dalla classe ( )0C R si è esteso, mediante un certo procedimento, la nozione di integrale

ad una classe più ampia ( )1 RL . Si potrebbe tentare di estendere ulteriormente la nozione di

integrale ad una classe ancora più ampia, che includa ( )1 RL , applicando lo stesso procedimento.

Si può dimostrare che ciò non è possibile. Abbiamo il seguente:


12

Teorema (di Beppo Levi o della convergenza monotona) Sia ( ) nf x una successione crescente ( ) ( )( )n 1 nf x f x+ ≥ di funzioni non negative, appartenenti

a ( )1 RL , tali che

29) ( ) ( )nf x dx K n+∞

−∞

< ∀∫

La successione converge allora quasi ovunque a una funzione ( ) ( )1f x R∈ L e

30) ( ) ( )nnf x dx lim f x dx

+∞ +∞

→∞−∞ −∞

=∫ ∫

Questo teorema stabilisce da un lato la validità del passaggio al limite sotto il segno di integrale (nelle condizioni stabilite dal teorema), dall'altro una proprietà di "chiusura " dell'insieme ( )1 RL

rispetto a processi di limite che coinvolgono successioni monotone. Dal teorema di Beppo Levi si può dedurre un'altro risultato che riguarda successioni non monotone di funzioni appartenenti a ( )1 RL

Teorema(lemma di Fatou) Sia ( ) nf x una successione di funzioni non negative , appartenenti a ( )1 RL , convergente quasi

ovunque a una funzione ( )f x e tale che

( ) ( )nf x dx K n 1,2,...+∞

−∞

≤ =∫

Si ha allora che ( ) ( )1f x R∈ L e

( )f x dx K+∞

−∞

≤∫

Il lemma di Fatou stabilisce una condizione sufficiente di integrabilità (nel senso di Lebesgue) di una funzione ( )f x .

Uno dei risultati fondamentali della teoria dell'integrazione secondo Lebesgue è il seguente teorema, che riguarda successioni non monotone ed il passaggio al limite sotto il segno di integrale. Teorema (di Lebesgue o della convergenza dominata) Sia ( ) nf x una successione di funzioni appartenenti a ( )1 RL , convergente quasi ovunque a

una funzione ( )f x :


13

( ) ( )nnf x lim f x

→∞= (q.o.)

Se esiste una funzione ( )g x 0≥ , appartenente a ( )1 RL , tale che

( ) ( )nf x g x≤ n∀ (q.o.)

allora anche ( ) ( )1f x R∈ L , il limite ( )nnlim f x dx

+∞

→∞−∞∫ esiste ed è finito e

( ) ( )nnf x dx lim f x dx

+∞ +∞

→∞−∞ −∞

=∫ ∫

Un utile corollario del teorema di Lebesgue, che afferma soltanto l'integrabilità della funzione limite e non dice niente sul passaggio al limite sotto il segno di integrale, è il seguente Corollario Se la successione ( ) nf x , con ( ) ( )n 1f x R∈ L (n=1,2,....), converge quasi ovunque

a una funzione ( )f x tale che

( ) ( )f x g x≤ (q.o.)

dove ( ) ( )1g x R∈ L , allora anche ( ) ( )1f x R∈ L .

In relazione al corollario precedente, è utile introdurre la seguente nozione. Una funzione ( )f x definita in R, è detta misurabile, se esiste una successione di funzioni

( ) n xϕ , appartenenti a ( )0C R , tale che

( ) ( )nn

f x lim x→∞

= ϕ (q.o.)

Le funzioni appartenenti a ( )1 RL sono quindi misurabili. Non tutte le funzioni misurabili sono

però integrabili nel senso di Lebesgue: la funzione ( )f x c= ( )c 0≠ , è misurabile, ma non

appartiene a ( )1 RL .

Dalla proprietà d) (pag. 8) e dal corollario precedente discende immediatamente il seguente teorema: Teorema (misurabilità ed integrabilità) Se ( )f x è una funzione misurabile in R, ( ) ( )1f x R∈ L se e solo se esiste una funzione

( ) ( )1g x 0 R≥ ∈ L , tale che

( ) ( )f x g x≤ (q.o.)


14

(Per le funzioni misurabili le due nozioni di integrabilità e assoluta integrabilità sono equivalenti) Si può quindi tener presente che se ( )f x è misurabile, nulla all'esterno di un intervallo limitato

(a,b), e all'interno di (a,b) gode della proprietà ( )f x K≤ (quasi ovunque in (a,b)), allora

( ) ( )1f x R∈ L . Più in generale abbiamo la seguente proprietà: sia ( )f x una funzione misurabile

in R e a e m due numeri reali maggiori di zero; indichiamo con a,mf la funzione che coincide con

( )f x se ( )x a e f x m≤ ≤ e risulta nulla per gli x tali che ( )x a e f x m> > . La funzione

( )f x è sommabile se e soltanto se

( ) ( )a,mf x dx K a,m+∞

−∞

< ∀∫

(per questo risultato si può utilizzare il lemma di Fatou). 5. Misura di sottoinsiemi di R Se A R⊂ è un sottoinsieme di R, possiamo considerare la sua funzione caratteristica ( )A xχ ,

definita da

31) ( )A

1 x Ax

0 x A

∈⎧χ = ⎨ ∉⎩

Se A è un intervallo (a,b), allora la sua lunghezza (o misura) è data dall'integrale della sua funzione caratteristica. In generale un insieme A di R è detto misurabile (secondo Lebesgue) se la sua funzione caratteristica è misurabile. Se ( )A xχ risulta anche integrabile, il suo integrale (di

Lebesgue) si chiama misura di A e si indica con mis A:

32) mis A= ( )A x dx+∞

−∞

χ∫

Se ( )A xχ è misurabile, ma non integrabile, si dice che A ha misura di Lebesgue +∞ .

Se A è un insieme di misura nulla (in base alla definizione che abbiamo dato), la sua funzione caratteristica Aχ risulta nulla quasi ovunque . Abbiamo allora

mis A= ( )A x dx 0+∞

−∞

χ =∫

(una funzione quasi ovunque nulla, come abbiamo visto è integrabile (e quindi misurabile)). 6. Integrali su un sottoinsieme di R Sia A un sottoinsieme di R e ( )f x una funzione reale definita su A.


15

Se la funzione ( )0f x , che coincide con ( )f x per x A∈ ed è nulla per x A∉ , appartiene a

( )1 RL , si dice allora che ( )f x è integrabile (secondo Lebesgue) su A. L'integrale di ( )f x su A,

in tal caso, è definito da

33) ( ) ( )0

A

f x dx f x dx+∞

−∞

=∫ ∫

L'insieme delle funzioni integrabili su A è indicato con ( )1 AL . In pratica, tenendo presente che

0f non è altro ( )A xχ nel caso di una funzione ( )f x cos t 1= = su A, si considerano sottoinsiemi

misurabili. La 32) si può allora scrivere nella forma 34) mis A=

A

dx∫

Se ( )A a, b= , l'integrale di f su ( )a, b è indicato con ( )b

a

f x dx∫ .

Se A è di misura nulla, allora per ogni funzione f definita su A abbiamo ( )

A

f x dx 0=∫

7. Funzioni a valori complessi Tutte le nozioni ed i risultati relativi al caso di funzioni a valori reali, si estendono immediatamente al caso di funzioni a valori complessi. Se ( ) ( ) ( )f x u x iv x= + è definita in R,

( )f x è detta integrabile (secondo Lebesgue) se parte reale ( )u x e parte immaginaria ( )v x sono

integrabili (secondo Lebesgue). In tal caso si pone

35) ( ) ( ) ( )f x dx u x dx i v x dx+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞

= +∫ ∫ ∫

( )f x è detta misurabile se ( )u x e ( )v x sono misurabili.

Sostituendo i valori assoluti con i moduli, abbiamo le stesse proprietà già viste per funzioni a valori reali. Se ( )f x è misurabile e ( )f x è integrabile (secondo Lebesgue), allora

( )f x è integrabile (secondo Lebesgue) e si ha

36) ( ) ( ) ( )f x dx u x iv x dx+∞ +∞

−∞ −∞

≤ +∫ ∫


16

8. L'integrale di Lebesgue in ( )dR d 2,3,...=

Sia dR lo spazio euclideo d-dimensionale, i cui punti, che indicheremo genericamente con x, sono costituiti dalle d-uple ordinate di numeri reali ( )1 2 dx , x ,..., x :

37) ( )1 2 dx x , x ,..., x=

Se ( )1 2 da ,a ,..., a e ( )1 2 db , b ,..., b sono tali che

( )i ia b i 1,2,...,d< =

possiamo considerare l'insieme dei punti di dR definito da 38) ( )i i ix : a x b 1,2,...,d< <

Questo insieme definisce un d-rettangolo o un rettangolo d-dimensionale aperto. Analogamente 39) ( )i i ix : a x b 1,2,...,d≤ ≤

definisce un d-rettangolo chiuso e limitato.

Se ( )dI è un d-rettangolo chiuso e limitato e aA è una famiglia di insiemi aperti di dR che

ricopra ( )dI , resta valido il teorema di Heine-Borel. Se ( )dI è il d-rettangolo aperto:

( ) ( ) di i iI x : a x b i 1,2,...,d= < < =

per misura di ( )dI , che indicheremo con mis ( )dI , s'intende la grandezza

40) ( ) ( ) ( ) ( )d1 1 2 2 d dmis I b a b a ... b a= − − −

(la stessa grandezza può essere associata a un d-rettangolo chiuso o semi chiuso). ( )dmis I è un'area per d 2= , un volume per d 3= ,... Un sottoinsieme dA R⊂ è di misura nulla (secondo Lebesgue), quando per ogni 0ε > ,

esiste una famiglia numerabile di d-rettangoli aperti ( ) dkI k=1,2,...) , tale che

41) ( )dk

k 1A I

∞

=⊆ ∪ e ( )d

kk 1mis I

∞

=Σ < ε

Nel caso di dR , oltre a insiemi numerabili di punti di dR , sono insiemi di misura nulla insiemi del tipo curve, superficie,...di dimensione 1d d 1≤ − , se sufficientemente regolari (se hanno, per esempio retta tangente, piano tangente,..., che varino con continuità). Come nel caso di 1R R= , si può parlare di una proprietà valida quasi ovunque in dR . E' utile precisare la nozione di supporto di una funzione ( ) ( )1 2 df x f x , x ,..., x= definita in dR

d 1,2,...= : il supporto di ( )f x , supp f, è la chiusura dell'insieme ( ) x : f x 0≠ . Una funzione

a supporto compatto è una funzione il cui supporto è un sottoinsieme chiuso e limitato di dR . Se


17

( )f x è a supporto compatto, esiste un d-rettangolo chiuso e limitato ( )dI tale che ( )f x 0= per ( )dx I∉ .

Analogamente al caso unidimensionale, possiamo considerare lo spazio vettoriale ( )d0C R ,

costituito dalle funzioni continue definite in dR , a valori reali, aventi supporto compatto. Ad ogni funzione ( ) ( )d

0x C Rϕ ∈ possiamo associare il suo integrale di Riemann

42) ( ) ( )d

1 2 d 1 2 d

R

x dx ... x , x ,..., x dx ,dx ,...,dx+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞

ϕ = ϕ∫ ∫ ∫ ∫

( ( )1 2 d 1 2 ddx dx ,dx ,...,dx , x x , x ,..., x= = ).

Partendo dalle funzioni appartenenti a ( )d0C R , tutto il procedimento seguito per le funzioni di

una variabile reale può essere ripetuto, senza alcuna novità e si perviene allo spazio vettoriale reale ( )d

1 RL delle funzioni integrabili secondo Lebesgue su dR . Se ( ) ( )d1f x R∈ L , l'integrale

di Lebesgue di ( )f x sarà indicato con

43) ( )dR

f x dx∫ oppure ( )d

1 2 d 1 2 d

R

f x , x ,..., x dx ,dx ,...,dx∫

oppure con

( )1 2 d 1 2 d... f x , x ,..., x dx ,dx ,...,dx+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞∫ ∫ ∫

Le proprietà e i teoremi enunciati precedentemente nel caso di 1R R= conservano la loro validità. In modo analogo al caso unidimensionale si possono dare le nozioni di funzioni misurabili, sottoinsiemi misurabili di dR , integrali di Lebesgue su sottoinsiemi di dR . Per gli integrali di Lebesgue su dR ( )d 2≥ , si pone il problema della loro riduzione a integrali su

1dR , con 1d d< . Considerando per semplicità il caso di 2R , possiamo enunciare il seguente teorema Teorema (di Fubini) Sia ( )f x, y una funzione appartenente a ( )2

1 RL . Si ha allora che la funzione ( )y f x, y→ per x

fissato è integrabile rispetto a y, ad eccezione di alcuni valori particolari di x che formano un insieme di misura nulla in R. La quantità

( ) ( )0I x f x,y dy+∞

−∞

= ∫

è quindi una funzione di x definita quasi ovunque. Indicando con ( )I x una qualsiasi funzione

definita in R e che coincida con ( )0I x nei punti in cui ( )0I x è definita, si ha che ( ) ( )1I x R∈ L e


18

44) ( ) ( )I x dx f x,y dx dy+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞

=∫ ∫ ∫

Poiché un risultato analogo vale scombinando i ruoli di x e y, si ha quindi:

45) ( ) ( ) ( )2R

f x, y dx dy dx f x, y dy dy f x, y dx+∞ +∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞ −∞

= =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Il teorema di Fubini estende alle funzioni di ( )2

1 RL , una nota proprietà dell'integrale di

Riemann per funzioni ( ) ( )20x, y C Rϕ ∈ .

Per le funzioni misurabili si può invertire il teorema di Fubini: Teorema (di Tonelli) Sia ( )f x, y definita in 2R e misurabile. Se esiste almeno uno dei due integrali

( ) ( )dx f x,y dy dy dx f x,y+∞ +∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞ −∞∫ ∫ ∫ ∫

allora ( ) ( )21f x, y R∈ L e vale la 45).

I due teoremi precedenti si possono estendere in modo naturale al caso di dR , con d 2> .

Tutti i risultati e le nozioni precedenti per funzioni a valori reali definite in dR , si estendono immediatamente al caso di funzioni a valori complessi, in modo analogo al caso unidimensionale. 9. Gli spazi ( )d

1L R e ( )d2L R

Nel seguito considereremo in generale funzioni a valori complessi. Una funzione continua, a valori complessi e a supporto compatto, definita in dR , ha per parte reale e parte immaginaria funzioni continue, a supporto compatto e a valori reali. In questo caso il supporto della funzione coincide con il supporto del suo modulo. L'insieme di queste funzioni lo indicheremo ancora con

( )d0C R , supposto che siano definite in dR . Analogamente indicheremo ancora con ( )d

1 RL

l'insieme delle funzioni a valori complessi, definiti in dR , aventi parte reale e parte immaginaria integrabili secondo Lebesgue. Gli elementi di ( )d

1 RL sono anche detti funzioni sommabili.

( )d1 RL può essere anche definito come l'insieme delle funzioni, in generale a valori complessi,

misurabili in dR , tali che il loro modulo sia sommabile su dR . Sia ( )d0C R che ( )d

1 RL sono

spazi vettoriali complessi. Def. Uno spazio vettoriale (lineare) complesso X è un insieme di elementi (detti anche vettori) in cui sono definite due operazioni (una operazione di somma che associa a due elementi u e v di X


19

un elemento di X, indicato con u v+ , ed una operazione di prodotto per un numero complesso, che associa ad un numero complesso α e ad un vettore u X∈ , un elemento di X indicato con

uα ) che soddisfino le seguenti proprietà ( )u,v,w X , , C∈ α β∈ :

a) u v v u+ = + b) ( ) ( )u v w u v w+ + = + +

c) esiste un unico vettore, detto il vettore nullo e indicato con 0, tale che u 0 u+ = u X∀ ∈ d) ad ogni vettore u è associato un unico vettore indicato con -u tale che

( )u u 0+ − =

e) ( u) ( )uα β = αβ f) 1u u= g) (u v) u uα + = α +β h) ( )u u uα +β = α +β

Se f e g sono sommabili in dR , le due operazioni usuali

46) ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = +

( )( ) ( )f x f xα = α

forniscono ancora funzioni sommabili e soddisfano le proprietà a)..., h). Analoga proprietà vale per ( )d

0C R . Sia per ( )d1 RL , che per ( )d

0C R , il vettore nullo è la funzione identicamente nulla

in dR . Def. (spazi normati) Uno spazio normato X è uno spazio vettoriale in cui ad ogni elemento u X∈ è associato un numero reale, indicato con u e detto norma di u, che abbia le seguenti

proprietà: a) u 0≥

b) u 0= se e soltanto se u coincide con il vettore nullo dello spazio: u 0=

c) u uα = α per ogni numero complesso α e ogni u X∈

d) u v u v+ ≤ + (diseguaglianza triangolare), per ogni coppia u, v di elementi di X.

In uno spazio normato X si può introdurre la nozione di "distanza" u v− tra due elementi u e v

di X. Utilizzando la "distanza" si può dare la nozione di convergenza. Si dice che la successione ( )nu n 1,2,...= di elementi di X converge a u X∈ , e si scrive nn

lim u u→∞

= , se

nnlim u u 0→∞

− = .

In relazione alle proprietà di convergenza di successioni di numeri reali o complessi, per i quali la norma è costituita dal loro modulo, è utile introdurre la nozione di una successione fondamentale o di Cauchy in uno spazio normato X. La successione nu di elementi X è detta


20

fondamentale se, per ogni 0ε > , è possibile trovare un N tale che, per ogni m e n N> , risulti

n mu u− < ε .

Se nu è una successione convergente, nnlim u u→∞

= , ( )u X∈ , allora la successione è

fondamentale. Infatti n m n m n mu u u u u u u u u u 0− = − + − ≤ − + − → per n,m →∞ . In

uno spazio normato generico non è detto però che una successione fondamentale converga ad un elemento dello spazio. Uno spazio normato è detto completo se per ogni successione fondamentale formata da suoi elementi, esiste un elemento dello spazio a cui la successione converge. E' utile tener presente che, in virtù delle diseguaglianza triangolare, il limite di una successione convergente è unico. Uno spazio normato completo è detto uno spazio di Banach. Gli insiemi dei numeri reali e dei numeri complessi sono spazi normati completi. L'insieme di numeri razionali, considerando soltanto la struttura metrica data dal valore assoluto della differenza di due numeri razionali, non è completo. Possiamo introdurre una norma nello spazio vettoriale ( )d

0C R nel modo seguente:

associamo ad ogni ( ) ( )d0x C Rϕ ∈ il numero non negativo dato da

47) ( )

d1

R

x dxϕ = ϕ∫

Questa corrispondenza definisce una norma in ( )d0C R , poiché soddisfa i quattro assiomi di uno

spazio normato. Lo spazio normato così ottenuto lo indicheremo con ( )( )d0 1

C R , ϕ .

In questo spazio la "distanza" tra due funzioni ( )xϕ e ( )xψ dello spazio, è una "media" della

distanza puntuale 48) ( ) ( )

d1

R

x x dxϕ−ψ = ϕ −ψ∫

( )( )d0 1

C R , ϕ non è completo: esistono successioni fondamentali in ( )( )d0 1

C R , ϕ che non

convergono a un elemento dello spazio, cioè ad una funzione continua a supporto compatto in dR .

Dim. Sia ( )f x una funzione sommabile. Mostriamo che esiste una successione nϕ di elementi

di ( )d0C R convergente "in media" a ( )f x :

49) ( ) ( )

d

nnR

lim f x x dx 0→∞

−ϕ =∫

Infatti se ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )f x u x iv x u x iv x u x iv x+ + − −= + = + − +

esistono successioni ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2n n n n, , ,ϕ ψ ϕ ψ crescenti di funzioni non negative, appartenenti a

( )d0C R , con integrali limitati, convergenti quasi ovunque a u ,v , u ,v+ + − −

( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 2 2n n n nu , v , u , v+ + − −ϕ → ψ → ϕ → ψ →


21

Consideriamo la successione nϕ data da:

50) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2n n n n nx x x i x xϕ = ϕ −ϕ + ψ −ψ

Abbiamo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d

1 2 1 2n n n n n

R R

f x x dx u x iv x u x iv x x x i x i x dx+ + − −−ϕ = + − − −ϕ +ϕ − ψ + ψ ≤∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d d d

1 1 2 2n n n n

R R R R

u x x dx v x x dx u x x dx v x x dx+ + − −≤ −ϕ + −ψ + −ϕ + −ψ =∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )d d

1 2n n

nR R

u x x dx ... v x x dx 0+ −

→∞= −ϕ + + −ψ →∫ ∫

in virtù del fatto che ( ) ( ) ( )d d

1nn

R R

u x dx lim x dx...+

→∞= ϕ∫ ∫ , e ( ) ( )1

n u x+ϕ ≤ (q.o.), .....

La successione nϕ è di Cauchy in ( )( )d0 1

C R , ϕ . Infatti

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d d d

n m n m n m

R R R R

x x dx x f x f x x dx f x dx f x x dx 0ϕ −ϕ = ϕ − + −ϕ ≤ ϕ − + −ϕ →∫ ∫ ∫ ∫

per n,m →∞ . D'altra parte ( )f x , in generale, non appartiene a ( )d

0C R .

Questo risultato mostra che si vuole "completare" lo spazio normato ( )( )d0 1

C R , ϕ , dobbiamo

aggiungere agli elementi ( )d0C R almeno le funzioni sommabili su dR e considerare quindi lo

spazio ( )d1 RL in cui ( )d

0C R è incluso. Ma nello spazio ( )d1 RL il numero associato a

( ) ( )d1f x R∈ L :

51) ( )

dR

f x dx∫

cessa di essere una norma, poiché non soddisfa l'assioma b) di uno spazio normato. Infatti, come abbiamo visto,

( )dR

f x dx 0=∫

è soddisfatto per tutte le funzioni quasi ovunque nulle in dR , che, in generale, sono diverse dal vettore nullo dello spazio (costituito dalla funzione identicamente nulla in dR ). Ciò implica che, se vogliamo soddisfare l'assioma b) di uno spazio normato, dobbiamo identificare tutte le funzioni definite in dR che si annullano quasi ovunque in dR . A tal fine possiamo considerare come elementi dello spazio, non le singole funzioni, ma classi di funzioni che sono eguali quasi


22

ovunque. In modo equivalente si può introdurre una nuova definizione di eguaglianza di funzioni: due funzioni sono uguali se i loro valori coincidono quasi ovunque. In pratica, poiché è più conveniente operare con funzioni che con classi di funzioni, viene utilizzata la nuova definizione di eguaglianza di funzioni (principio di identificazione). Nell'ambito di questo principio, poiché le funzioni non cambiano se i loro valori cambiano arbitrariamente su un sottoinsieme di dR di misura nulla, è naturale assumere che le funzioni siano definite quasi ovunque. L'insieme che otteniamo da ( )d

1 RL mediante il principio di identificazione è indicato con

( )d1L R . ( )d

1L R è uno spazio vettoriale complesso; il vettore nullo di ( )d1L R è costituito dalla

classe di funzioni q.o. nulle in dR . Nell'ambito del principio di identificazione, indicheremo ancora con ( )f x gli elementi di questo spazio. Diremo anche che ( )f x appartiene a ( )d

0C R se

coincide quasi ovunque con una funzione definita su tutto dR , continua e a supporto compatto. In questo modo ( )d

0C R costituisce un sottospazio di ( )d1L R . Se ( ) ( )d

1f x L R∈ , poniamo

52) ( )

dR

f f x dx= ∫

Con questa associazione abbiamo che ( )d1L R è uno spazio normato. Sulla base dei teoremi

fondamentali della teoria dell'integrazione secondo Lebesgue (in particolare del teorema di Beppo Levi) si dimostra che ( )d

1L R è uno spazio normato completo. ( )d1L R rappresenta il

completamento dello spazio normato ( )( )d0 1

C R , ϕ . Sulla base della 49) si dice che ( )d0C R è

un sottospazio di ( )d1L R denso in esso, così come l'insieme dei numeri razionali è denso

nell'insieme dei numeri reali. Consideriamo ora un'altro spazio vettoriale che ha un ruolo importante nelle applicazioni.

Indichiamo con ( )d2 RL l'insieme delle funzioni definite in dR , misurabili e tali che il loro

modulo al quadrato sia sommabile su dR . Chiameremo gli elementi di ( )d2 RL funzioni a

quadrato sommabile. Per esempio la funzione definita in R da:

( ) 1f x

1 x=

+

è misurabile, non è sommabile su R, ma è a quadrato sommabile su R. Mostriamo che ( )d

2 RL è uno spazio vettoriale complesso. A tal fine dimostriamo anzitutto che

se ( ) ( ) ( )d2f x , g x R∈ L , allora ( ) ( )f x g xi è sommabile su dR , cioè appartiene a ( )d

1 RL :

Poiché ( ) ( )f x e g x sono misurabili, il loro prodotto è misurabile. E' sufficiente allora mostrare

che ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x=i è sommabile su dR . Ciò è senz'altro vero se una delle funzioni è

nulla quasi ovunque. Supponiamo allora che sia f che g siano quasi ovunque diverse da zero. Tenendo presente che vale la diseguaglianza


23

( ) ( )( )22 21ab a b a b 0

2≤ + − ≥

abbiamo

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )( )

d d

d d

2 2

1 2 1 2 2 22 2

R RR R

f x g x f x g x1

2 f y dy g y dyf y dy g y dy

⎛ ⎞⎜ ⎟

• ≤ +⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫∫ ∫

Ne segue immediatamente che ( ) ( )f x g xi è sommabile e

53) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d d d

1 2 1 22 2

R R R R

f x g x dx f x g x dx f x dx g x dx⎛ ⎞ ⎛ ⎞

≤ ≤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

(diseguaglianza di Schwarz). Se , Cα β∈ , abbiamo che ( ) ( )f x g xα +β è misurabile e

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 22 2f x g x f x g x f x g x f x g xα +β = α +β α + β = α + β +

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 Re f x g x f x g x 2 f x g x+ αβ ≤ α + β + αβ

Da questa diseguaglianza e dalla 53) deduciamo che ( ) ( ) ( )d2f x g x Rα +β ∈ L .

Utilizzando la 53), abbiamo anche

54) ( ) ( ) ( ) ( )d d d

21 2 1 22 2 2

R R R

f x g x dx f x dx g x dx⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ ≤ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

cioè

55) ( ) ( ) ( ) ( )d d d

1 2 1 2 1 22 2 2

R R R

f x g x dx f x dx g x dx⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ ≤ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫

Questa diseguaglianza suggerisce che anche in ( )d

2 RL possiamo introdurre una norma,

associando ad ogni ( ) ( )d2f x R∈ L il numero

56) ( )d

1 22

R

f f x dx⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ,

che si presenta come una generalizzazione della norma "euclidea" degli spazi ordinari

( )1 2n 2n

1 2 n ii 1R se x x ,x ,..., x , x x

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= = Σ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠.

Anche per ( )d2 RL si presenta però il problema dell'assioma b) degli spazi normati. Questo

problema si supera anche in questo caso mediante il principio di identificazione. Otteniamo


24

allora, con questo principio, l'insieme ( )d2L R . ( )d

2L R è uno spazio normato con la norma

definita dalla 56). Sulla base di teoremi fondamentali della teoria della integrazione secondo Lebesgue, si dimostra che ( )d

2L R è uno spazio normato completo. Poiché ogni funzione

continua su dR , a supporto compatto, è a quadrato sommabile, abbiamo che ( )d0C R ,

nell'ambito del principio di identificazione è un sottospazio di ( )d2L R . ( )d

2L R rappresenta il

completamento dello spazio normato ( )( )d0 2

C R , ϕ , in cui è definita la norma "euclidea":

( )d

1 22

2R

x dx⎛ ⎞

ϕ = ϕ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫

E' utile tener presente che nel caso di ( )d2L R , la norma discende da un'altra grandezza che è

possibile definire in questo spazio. Abbiamo visto che se ( ) ( ) ( )d

2f x , g x L R∈ il loro prodotto è sommabile. Questa proprietà non si

verifica in ( )d1L R . Per esempio le due funzioni definite in R

( ) 1 3

1x 1

xf x

0 x 1

⎧ ≤⎪= ⎨⎪ >⎩

( ) 2 3

1x 1

xg x

0 x 1

⎧ ≤⎪= ⎨⎪ >⎩

sono sommabili su R; il loro prodotto però non è sommabile (si può notare che ( )f x è sia

sommabile che a quadrato sommabile, mentre ( )g x non è a quadrato sommabile).

Tornando a ( )d2L R , se ( ) ( ) ( )d

2f x , g x L R∈ abbiamo che ( ) ( )f x g x è sommabile.

Associamo allora ad ogni coppia ordinata f, g di elementi di ( )d2L R il numero che indicheremo

con <g,f>, dato da 57) ( ) ( )

dR

g, f g x f x dx< >= ∫

<g,f> gode delle seguenti proprietà: è in generale un numero complesso tale che a) <g,f>=<f,g>

58) b) ( )( )d1 2 1 2 1 2 2<g,f +f >=<g,f >+<g,f > g,f , f L R∈

c) <g, f>= <g,f> Cα α ∀α∈ d) <f,f> 0 ≥


25

e) <f,f>=0 , se e soltanto se f coincide con il vettore nullo dello spazio. <g,f> prende il nome di prodotto scalare o prodotto interno. Ogni spazio vettoriale in cui sia definita una corrispondenza che associ ad ogni coppia ordinata di vettori un numero (in generale complesso se lo spazio vettoriale è complesso) che soddisfi le proprietà 58), è detto spazio unitario o spazio pre-hilbertiano. La norma in ( )d

2L R è indotta dal prodotto scalare. Abbiamo infatti

59) 2

<f,f>= f

In ogni spazio unitario il prodotto scalare induce una norma. Se lo spazio normato che ne risulta è completo, allora lo spazio unitario è detto uno spazio di Hilbert.

( )d2L R è quindi uno spazio di Hilbert.

In generale se Ω è un sottoinsieme misurabile di dR , si considerano in modo del tutto analogo gli spazi ( )1L Ω e ( )2L Ω . Nelle applicazioni gli insiemi Ω sono del tipo: intervalli

(a,b), semiretta ( )0,+∞ ,... nel caso di 1R , e d-rettangoli,..., nel caso di dR .

10. Lo spazio ( )d

1,locL R

Sia ( )f x una funzione, in generale a valori complessi, definita in dR e sommabile su dR e Ω

un sottoinsieme misurabile∗ di dR (per esempio un d-rettangolo). Se Ωχ è la funzione

caratteristica di Ω la funzione 60) ( ) ( )f x xΩχ

è sommabile su dR . Infatti è misurabile (prodotto di due funzioni misurabili) e

( ) ( ) ( )f x x f xΩχ ≤ . L'integrale di ( ) ( )f x xΩχ su dR , è per definizione, l'integrale di ( )f x su

Ω (indicato con ( )f x dxΩ∫ ):

61) ( ) ( ) ( )

dR

f x dx f x x dxΩΩ

= χ∫ ∫

Evidentemente questo integrale coincide con l'integrale su Ω della restrizione di ( )f x a Ω

(vedi definizione a pag. 15). In generale se ( )f x è definita in dR , si dice che ( )f x è sommabile su un sottoinsieme

Ω di dR , se è sommabile su dR la funzione ( ) ( )f x xΩχ .

In tal caso, si pone come nella 61)

∗ Si dimostra che tutti gli insiemi aperti e gli insiemi chiusi di dR sono misurabili.


26

( ) ( ) ( )dR

f x dx f x x dxΩΩ

= χ∫ ∫

Si ha quindi che se una funzione è sommabile su dR , allora è sommabile su ogni sottoinsieme misurabile di dR . Una funzione definita in dR e misurabile, è detta localmente sommabile se è sommabile su ogni sottoinsieme compatto di dR . L'insieme della funzioni localmente sommabili definite in dR , è indicato con ( )d

1,locL R (si applica anche in questo caso il principio di identificazione).

( )d1,locL R è uno spazio vettoriale complesso. Abbiamo ( ) ( )d d

1 1,locL R L R⊂ . Nel caso

unidimensionale, per esempio, le funzioni ( )f x cos t= , ( ) 2xg x e ,...= , sono funzioni localmente

sommabili, ma non sommabili su R. Ogni funzione continua in dR è localmente sommabile. La nozione di funzione localmente sommabile può essere considerata come l'ultimo stadio della nozione classica di funzione. La corrispondenza 62) ( )x f x→

viene sostituita con 63) ( )f x dx

Ω

Ω→ ∫

dove Ω è un generico sottoinsieme compatto di dR , e ( )f x dxΩ∫ rappresenta una "media" di

( )f x su Ω . Questa sostituzione diventa particolarmente significativa se ( )f x è definita soltanto

quasi ovunque. D'altra parte la 63) è più aderente, da un punto di vista operativo, al procedimento di misura di una grandezza fisica descritta da una funzione. Occorre però notare che la corrispondenza 62) è alla base delle altre operazioni dell'analisi, come la derivazione. E' possibile introdurre una nozione di derivazione sulla base di una corrispondenza del tipo 63)? Vedremo che la risposta è affermativa, se la 63) viene riformulata in modo appropriato.

DISTRIBUZIONI 1. Nozioni basilari Sia ( )n

0C R∞ l'insieme delle funzioni ( )1 2 nx , x ,..., xϕ definite in nR , in generale a valori

complessi, infinitamente derivabili rispetto a 1 2 nx , x ,..., x e aventi supporto compatto. Per ogni

( )n0C R∞ϕ∈ esiste un n-rettangolo K limitato e chiuso tale che per ( )x K x 0∉ ϕ = .

Naturalmente K non è lo stesso per tutte le funzioni di ( )n0C R∞ . ( )n

0C R∞ è uno spazio

vettoriale complesso: se ( ) ( ) ( )n0x , x C R∞ϕ ψ ∈ , anche ( ) ( ) ( )n

0x x C R∞αϕ +βψ ∈ , con , Cα β∈ .

Esempio I. Se n=1, la funzione ϕ definita da

1) ( )2

1

1 x

0 x 1x

e x 1−

−

⎧ ≥⎪ϕ = ⎨⎪ <⎩

appartiene a ( )10C R∞ . Il suo supporto è l'intervallo [ ]1, 1− + . È infinitamente derivabile per

x 1> , poiché è identicamente nulla, e per x 1< , poiché è l'esponenziale di una funzione

infinitamente derivabile. Inoltre tutte le derivate di ϕ nei punti 1± esistono e sono nulle. In n dimensioni un esempio analogo è dato da

2) ( ) ( )( )2 2 2

1 2 n

2 2 21 2 n

11 2 n

1 x x ... x 2 2 21 2 n

0 per x x ... x 1x x ,x ,..., x

e per x x ... x 1−

− + + +

⎧ + + + ≥⎪ϕ = ϕ = ⎨⎪ + + + <⎩

Il supporto di ϕ in questo caso è la palla chiusa in nR , con centro nell'origine e raggio uno.

Moltiplicando ( )xϕ per una funzione ( )u x infinitamente derivabile, per esempio un polinomio

nelle variabili 1 nx ,..., x , otteniamo ancora un elemento di ( ) ( ) ( ) ( )n n0 0C R : u x x C R∞ ∞ϕ ∈ .

Nel seguito sarà utile la seguente notazione: se ( )1 2 n, , ...,α = α α α è un n-upla di interi 0≥ e

1 2 n...α = α +α + +α , indicheremo con Dα l'operazione di derivazione

1 2 n

1 2 n

....x x x

α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

sugli elementi di ( )n0C R∞ . Porremo cioè


28

3) 1 n

1 n 1 2 n

...

1 n 1 2 n

Dx ... x x x ... x

αα + +αα

α α α α α

∂ ∂= =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

;

α è detto anche un multiindice di ordine n. Poiché le funzioni ( )n0C R∞∈ sono continue con tutte

le loro derivate, l'ordine delle derivazioni parziali non ha importanza. Porremo anche ( ) ( )0D x xϕ = ϕ .

Def. 1 Un funzionale lineare T su ( )n

0C R∞ è un'applicazione lineare di ( )n0C R∞ in C, cioè una

corrispondenza che associa ad ogni ( )n0C R∞ϕ∈ un numero (in generale complesso), che

indicheremo con ( )T ϕ o anche con T,< ϕ > , tale che

4) ( ) ( ) ( ) ( )n

0T T T , C, , C R∞αϕ+βψ = α ϕ +β ψ ∀α β∈ ∀ϕ ψ∈

Se si introduce una nozione di limite nello spazio ( )n

0C R∞ , allora è possibile caratterizzare i

funzionali lineari in base a qualche ulteriore proprietà, come, per esempio, quelle di continuità. In ( )n

0C R∞ possiamo considerare vari tipi di convergenza. Alla base della teoria che verrà

sviluppata c'è una scelta del tipo di convergenza, che deriva dalla seguente nozione di limite: Def. 2 Si dice che una successione kϕ di elementi ( )n

0C R∞∈ , converge in D alla funzione

( )n0C R∞ϕ∈ , e si scrive

5) kklim→∞

ϕ = ϕD

oppure kϕ ⎯⎯→ ϕD

se e soltanto se a) i supporti delle funzioni ( )k xϕ sono tutti contenuti in un n-rettangolo chiuso e limitato K

b) per ogni fissato multiindice ( )1 n k, ..., Dαα = α α ϕ converge uniformemente a Dαϕ su

K, cioè

( )( ) ( )( )kx K

max D x D x 0 per kα α

∈ϕ − ϕ → → +∞

Lo spazio vettoriale ( )n

0C R∞ , munito della nozione di limite precedente viene indicato con

( )nRD . Gli elementi di ( )nRD sono anche chiamati funzioni test.

Def. 3 Un funzionale lineare T su ( )nRD è detto continuo, se

kϕ ⎯⎯→ ϕD implica ( ) ( )kklim T T→∞

ϕ = ϕ ( )( )nk 0, C R , k 1,2,....∞ϕ ϕ∈ =

Def. 4 Una distribuzione T è un funzionale lineare e continuo su ( )nRD .

Distribuzioni

29

Le distribuzioni formano a loro volta uno spazio vettoriale che è indicato con ( )dR'D . La

somma 1 2T T+ e il prodotto Tλ sono definiti da

6) 1 2 1 2T T , T , T ,< + ϕ >=< ϕ > + < ϕ >

( )1T , T, C< λ ϕ >= λ < ϕ > λ∈

2. Esempi di distribuzioni Esempio II. Consideriamo il caso n 1= e supponiamo che ( )f x sia una funzione definita in R

e continua. La funzione definisce una distribuzione fT mediante

7) ( ) ( ) ( ) ( )fT , f x x dx x R+∞

−∞

< ϕ >= ϕ ∀ϕ ∈∫ D

L'integrale esiste, poiché l'integrazione riguarda un intervallo limitato e chiuso [ ]a, b , che

contiene il supporto di ( )xϕ ( ) [ ]( )x 0 per x a, bϕ = ∉ .

Ovviamente il valore dell'integrale è un funzionale lineare su ( )RD . fT è continuo: supponiamo

che kϕ ⎯⎯→ ϕD per k →∞ . Sia K un intervallo limitato e chiuso che contenga i supporti di

tutte le funzioni ( )k xϕ . Abbiamo

8) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )f k f k k

K K

T , T , f x x x dx f x x x dx< ϕ > − < ϕ > = ϕ −ϕ ≤ ϕ −ϕ ≤∫ ∫

( ) ( ) ( )kx K

K

f x dx max x x∈

⎛ ⎞≤ ϕ −ϕ⎜ ⎟⎝ ⎠∫

Poiché ( ) ( )kx K k

max x x 0∈ →∞

ϕ −ϕ → , abbiamo f k fklim T , T ,→∞

< ϕ >=< ϕ > .

E' utile osservare che, per le funzioni continue in R, il funzionale fT definisce univocamente la

funzione. Teorema 1 Se ( )g x è una funzione continua in R, tale che g fT T= (ciò significa ( ) ( )g fT Tϕ = ϕ

( )R∀ϕ∈D ), allora ( ) ( )g x f x= .

Dim. Supponiamo che ( ) ( )g x f x− non sia identicamente nulla. Esiste allora almeno un punto

0x tale che ( ) ( )0 0g x f x 0− ≠ . Per la continuità di ( ) ( )g x f x− esiste un intervallo (a,b)

contenente 0x , in cui ( ) ( )g x f x− non cambia segno.

Se consideriamo la funzione


30

( ) ( )( )1

b x x ae a x bx0 x a,x b

−− −

⎧⎪ < <ϕ = ⎨⎪ ≤ ≥⎩

che appartiene a ( )RD , abbiamo che senz'altro

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )b

a

g x f x x dx g x f x x dx 0+∞

−∞

− ϕ = − ϕ ≠∫ ∫

cioè ( ) ( )g fT Tϕ ≠ ϕ . Ma ciò è assurdo.

Pertanto, per funzioni continue, la corrispondenza ( )fTϕ→ ϕ fornisce un modo equivalente per

definire le funzioni, alternativo alla corrispondenza tradizionale ( )x f x→ , basata sui valori

numerici di ( )f x .

Questa proprietà si estende immediatamente a nR . Ogni funzione continua in nR

( ) ( )1 nf x f x ,...., x= , definisce una distribuzione ( )nfT R∈ 'D :

9) ( ) ( ) ( ) ( )

n

nf

R

T , f x x dx x R< ϕ >= ϕ ∀ϕ ∈∫ D

Se ( )f x è continua, fT data dalla 9) determina univocamente ( )f x .

Esempio III. Consideriamo più in generale una funzione ( )f x definita in nR e localmente

sommabile. In modo del tutto analogo all'esempio precedente ( )f x definisce una distribuzione

fT mediante

10) ( ) ( ) ( ) ( )

n

nf

R

T , f x x dx x R< ϕ >= ϕ ∀ϕ ∈∫ D

L'integrale esiste, perché se indichiamo con K un n-rettangolo limitato e chiuso contenente il supporto di ϕ , abbiamo ( ) ( ) ( ) ( )

n KR

f x x dx f x x dxϕ = ϕ∫ ∫

e ( ) ( )f x g x è sommabile su K in quanto è misurabile e ( ) ( ) ( )f x x C f xϕ ≤ per x K∈ , con

( )x K

C max x∈

= ϕ . La continuità di fT discende da una diseguaglianza del tipo della 8).

Per funzioni localmente sommabili si dimostra il seguente teorema, che è l'analogo del teorema 1.

Distribuzioni

31

Teorema 2 Due funzioni localmente sommabili ( )f x e ( )g x definiscono la stessa distribuzione f gT T= se e

soltanto se ( ) ( )f x g x= (q.o.).

Se applichiamo il principio di identificazione, possiamo dire allora che le distribuzioni rappresentano una generalizzazione del concetto di funzione localmente sommabile. La

corrispondenza ff T→ da ( )n1,locL R in ( )nR'D è iniettiva, sicché ( )n

1,locL R può essere

identificato con un sottospazio lineare dello spazio lineare ( )nR'D . Pertanto nel seguito

identificheremo una funzione localmente sommabile f, definita quasi ovunque in nR , con il funzionale fT che essa definisce e scriveremo

11) ( ) ( )

n

f

R

f, T , f x x dx< ϕ >=< ϕ >= ϕ∫

In particolare il funzionale che assegna l'integrale ( )dR

x dxϕ∫ ad ogni funzione ( )nRϕ∈D

definisce una distribuzione che verrà identificata con la funzione f 1= . Esempio IV. Se f è una funzione localmente sommabile, definita quasi ovunque, per ogni fissato multiindice ( )1 n, ...,α = α α il funzionale

12) ( )( )( ) ( )

n

n

R

T, f x D x dx Rα< ϕ >= ϕ ∀ϕ∈∫ D

è una distribuzione. In generale il funzionale definito dalla 12) non è identificabile con una funzione localmente sommabile (vedi esempio successivo), cioè non possiamo scrivere in generale ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

n n

n

R R

f x D x dx f x x dx Rαϕ = ϕ ∀ϕ∈∫ ∫ D

dove f è localmente sommabile. Una distribuzione è detta regolare se identificabile con una funzione localmente sommabile. Una distribuzione non identificabile con una funzione localmente sommabile è detta singolare. Esempio V. Consideriamo la funzione di Heaviside ( )xϑ , definita da

13) ( ) 1 x 0x

0 x 0

>⎧ϑ = ⎨ <⎩

( )xϑ è localmente sommabile (non è necessario definirla per x 0= , che è un insieme di misura

nulla). Il funzionale

14) ( ) ( )dT, x x dx

dx

+∞

−∞

ϕ< ϕ >= − ϑ∫


32

è una distribuzione. Mostriamo che è una distribuzione singolare. Abbiamo

( ) ( ) ( ) ( )1

0

T, x dx 0 x R+∞

< ϕ >= − ϕ = +ϕ ∀ϕ ∈∫ ' D

Se T fosse regolare, esisterebbe una funzione localmente sommabile ( )f x , tale che

15) ( ) ( ) ( ) ( )1f x x dx 0 R+∞

−∞

ϕ = ϕ ∀ϕ∈∫ D

Sia a un numero positivo. Consideriamo, la funzione test

16) ( )2

22

a

a x

aex

0

−−

⎧⎪ϕ = ⎨⎪⎩

x a

x a

<≥

Abbiamo: ( ) ( )a a1 10 , xe eϕ = ϕ ≤ . Quindi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a

a a

a a

1 1f x x dx f x x dx f x dx a 0e e

+∞ + +

−∞ − −

= ϕ = ϕ ≤ ∀ >∫ ∫ ∫

cioè

( )a

a

f x dx 1 a 0+

−

≥ ∀ >∫

In particolare, per a fissato

17) ( ) ( )a n

a n

f x dx 1 n n 1,2,...+

−

≥ ∀ =∫

Ma ciò è assurdo. Sia ( )a n xχ la funzione caratteristica dell'intervallo a a

xn n

⎛ ⎞− < < +⎜ ⎟⎝ ⎠

e

( ) ( ) ( )n a nf x f x x= χ ; abbiamo

18) ( ) ( ) ( )( )a n

n n

a n

f x dx f x dx 1 f x 0 n 1,2,...+ +∞

− −∞

= ≥ ≥ =∫ ∫

( ) nf x forma una successione monotona decrescente di funzioni non negative sommabili,

convergente quasi ovunque a zero per n →∞ . La successione ( ) ( ) ( ) ( ) n a nf x f x x f x= χ − è

monotona crescente e ( )nf x 0≥ ; inoltre ( )nf x converge quasi ovunque a ( ) ( )af x xχ .

Applicando il teorema di Beppo Levi a ( ) nf x si conclude che

( ) ( )a n

nn na n

lim f x dx lim f x dx 0+∞

→∞ →∞−∞ −

= =∫ ∫

Distribuzioni

33

Confrontando questo limite con la 18), abbiamo che non esiste una funzione localmente sommabile ( )f x che soddisfa la 15).

Esempio VI. L'esempio precedente porta a considerare il funzionale δ n-dimensionale definito da 19) ( ) ( )n, o R< δ ϕ >= ϕ ∀ϕ∈D

Il funzionale della 19) è lineare e continuo. La distribuzione definita da questo funzionale è chiamata la distribuzione δ di Dirac (n-dimensionale). Più in generale la distribuzione di Dirac n-dimensionale, con polo in un punto ξ fissato di nR ,

che è indicata con ξδ , è definita da

20) ( ) ( )n, Rξ< δ ϕ >= ϕ ξ ∀ϕ∈D

Risulta quindi oδ = δ .

In base alle considerazioni dell'esempio precedente, si ha che la distribuzione di Dirac è singolare. In modo analogo si possono definire le distribuzioni 21) ( )( ) ( )nT, D 0 Rα< ϕ >= ϕ ∀ϕ∈D

per ogni fissato multiindice α . Se una distribuzione è regolare, allora, come abbiamo visto, possiamo rappresentarla mediante la formula 11). Se una distribuzione è singolare è conveniente talvolta usare la 11) simbolicamente: se T è una distribuzione singolare, associamo a T una funzione generalizzata o simbolica ( )T x e

scriviamo simbolicamente 22) ( ) ( )

nR

T, T x x dx< ϕ >= ϕ∫

I simboli T e ( )T x possono essere usati scambievolmente. Naturalmente una funzione

generalizzata o simbolica ( )T x è una vera funzione (localmente sommabile) se T è regolare.

Nel caso della distribuzione di Dirac, si scrive simbolicamente 23) ( ) ( ) ( )

nR

, x x dx 0< δ ϕ >= δ ϕ = ϕ∫ ,

introducendo la funzione generalizzata ( )xδ . Analogamente si scrive

24) ( ) ( ) ( )

nR

, x x dxξ< δ ϕ >= δ − ξ ϕ = ϕ ξ∫ ,

in termini della funzione generalizzata ( )xδ − ξ .


34

3. Differenziazione delle distribuzioni

Def. 5 Proveremo a definire 1

T

x

∂∂

, la derivata rispetto alla variabile 1x di una distribuzione T su

nR , in modo tale che, se T è identificabile con una funzione f che sia continua, dotata di derivate

continue, ritroviamo 1

f

x

∂∂

nel senso usuale.

Se f è una funzione con derivate continue, abbiamo

25) ( ) ( ) ( )n

n

1 1R

f f, x x dx R

x x

∂ ∂< ϕ >= ϕ ∀ϕ∈∂ ∂∫ D

Poiché l'integrale è esteso ad un n-rettangolo limitato K, possiamo scrivere (Teorema di Fubini)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )n

2 n 1 1 n1 1R

f fx x dx dx .... dx x x dx x x ,...., x

x x

+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞

∂ ∂ϕ = ϕ =

∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫

Integrando per parti su 1x e tenendo presente che ( )xϕ è nulla all'esterno di K, otteniamo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n

2 n 11 1 1R R

fx x dx dx .... dx f x x dx f x x dx

x x x

+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞

∂ ∂ϕ ∂ϕϕ = − = −

∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ,

sicché

26) ( )n

1 1

f, f, R

x x

∂ ∂ϕ< ϕ >= − < > ∀ϕ∈∂ ∂

D

Quindi, la derivata 1

f

x

∂∂

può essere definita univocamente in modo alternativo, mediante il

funzionale 1

f,x

∂ϕ− < >

∂.

Queste considerazioni sono alla base della definizione della derivata 1

T

x

∂∂

di una

distribuzione T: 1

T

x

∂∂

è la distribuzione che associa ad ogni ( )nRϕ∈D , il numero ottenuto

considerando 1

T,x

∂ϕ− < >

∂.

Questa definizione è valida perché 1

T,x

∂ϕ− < >

∂ rappresenta un funzionale lineare e

continuo. La distribuzione 1

T

x

∂∂

è quindi definita da

Distribuzioni

35

27) ( )n

1 1

T, T, R

x x

∂ ∂ϕ< ϕ >= − < > ∀ϕ∈∂ ∂

D

Analogamente la distribuzione i

T

x

∂∂

( )i 1,2,..., n= è definita da

28) ( )n

i i

T, T, R

x x

∂ ∂ϕ< ϕ >= − < > ∀ϕ∈∂ ∂

D

Dalla definizione discende immediatamente che possiamo definire

2

j i j i

T T

x x x x

∂ ∂ ∂=

∂ ∂ ∂ ∂

Infatti

29) 2

j i i j i j

T T, , T,

x x x x x x

∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ ϕ< ϕ >= − < >=< >∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

.

Analogamente

2 2

i j j i

T, T,

x x x x

∂ ∂ ϕ< ϕ >=< >∂ ∂ ∂ ∂

.

Poiché

2

i j j ix x x x

∂ ϕ ∂ϕ=

∂ ∂ ∂ ∂,

abbiamo

30) 2 2

i j j i

T T

x x x x

∂ ∂=

∂ ∂ ∂ ∂

Questa operazione di derivazione può essere ripetuta in modo del tutto arbitrario. Pertanto abbiamo il seguente Teorema 3 Ogni distribuzione T in nR possiede derivate di qualsiasi ordine e l'ordine di derivazione può essere cambiato. Si ha:

31) ( )D T, 1 T, Dαα α< ϕ >= − < ϕ >

In particolare ogni funzione continua o, più in generale, ogni funzione localmente sommabile possiede derivate di qualsiasi ordine, nel senso della teoria delle distribuzioni; ma, in generale, queste derivate non sono funzioni.


36

Se associamo alla distribuzione T la funzione generalizzata o simbolica ( )T x , si può dire che

( )T x possiede derivate di qualsiasi ordine (e l'ordine di derivazione non ha alcuna importanza)

( )( )D T xα . ( )( )D T xα è la funzione simbolica definita da (vedi 22)):

32) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )n nR R

D T x x dx 1 T x D x dxαα αϕ = − ϕ∫ ∫

( )( )D T xα è la funzione simbolica associata alla distribuzione D Tα .

E' utile considerare la seguente generalizzazione. Sia L un operatore differenziale in n-variabili d'ordine p, con coefficienti costanti aα :

33)

pL a Dα

αα ≤= Σ

L'operatore L*, definito da

34) ( )p

L* 1 a Dα α

αα ≤= Σ −

è chiamato l'aggiunto formale di L. Per il carattere vettoriale di ( )nR'D , possiamo considerare la

distribuzione p

LT a D Tααα ≤= Σ . Abbiamo allora:

35) LT, T, L*< ϕ >=< ϕ >

Se p 2= e 2,0,...0 0,2,0...0 0,0,...0,2a a ... a 1= = = = e tutti gli altri coefficienti sono nulli, L coincide con

il Laplaciano 2n

2i 1ix=

∂∆ = Σ

∂. In questo caso

36) T, T,< ∆ ϕ >=< ∆ϕ > Esempio VII. Sia n 1= . Se indichiamo con ϑ la distribuzione definita dalla funzione di Heaviside ( )xϑ (Es.5), abbiamo

( ) ( ) ( )d, , x x dx 0

dx

+∞

−∞

ϕ< ϑ ϕ >= − < ϑ ϕ >= − ϑ = ϕ∫' ' (Es. 5)

Pertanto se δ è la distribuzione di Dirac unidimensionale con polo nell'origine, risulta

37) ϑ = δ' Usando le funzioni simboliche, la 37) si può scrivere nella forma

38) ( ) ( )dx x

dx

ϑ= δ

Le derivate successive della distribuzione δ sono determinate da

Distribuzioni

37

39) ( ), , 0< δ ϕ >= − < δ ϕ >= −ϕ' ' '

( ) ( ) ( ) ( )mm m, 1 0< δ ϕ >= − ϕ

Analogamente la distribuzione definita da ( )x aϑ − ha per derivata aδ .

In termini di funzioni generalizzate:

40) ( ) ( )d x a

x adx

ϑ −= δ −

Per aδ , abbiamo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mm m ma a, 1 , 1 a< δ ϕ >= − < δ ϕ >= − ϕ .

Sia ( )f x una funzione definita per ( )1 1 2 2 1x a , a x a a a< < < > e 2x a> . Supponiamo che, per

questi valori di x, ( )f x sia derivabile due volte con continuità. Assumiamo inoltre che esistano e

che siano finiti i limiti da destra e da sinistra nei punti 1 2a e a , sia di ( )f x che delle sue

derivate.

Poniamo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )m m m 0i i if a f a f a m 0,1 f f∆ = + − − = = .

La derivata prima di ( )f x in senso distibuzionale, che indicheremo con f' , è definita da

41) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 2

a a

a a

f , f, f x x dx f x x dx f x x dx+∞

−∞

< ϕ >= − < ϕ >= − ϕ − ϕ − ϕ =∫ ∫ ∫' ' ' ' '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

2

a

1 1 1 1 2 2 2 2

a

f a a f x x dx f a a f a a f a a f x x+∞

−∞

= − − ϕ + ϕ + + ϕ − − ϕ + + ϕ + ϕ +∫ ∫' '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1

a0 0

1 1 2 2

a

f x x dx f x x dx f a a f a a+∞

−∞

+ ϕ = ϕ + ∆ ϕ + ∆ ϕ∫ ∫ i i' '

Come si può notare, la funzione localmente sommabile ( )f x' non può essere identificata con la

derivata distribuzionale di f. Se indichiamo con f' la distribuzione definita della funzione

localmente sommabile ( )f x' (che è definita per 1 1 2 2x a , a x a , x a< < < > ) possiamo dedurre

dalla 41)

42) ( ) ( ) ( ) ( )1 2

0 01 a 2 af f f a f a= + ∆ δ + ∆ δ' '

Procedendo in modo analogo deduciamo dalla 42) che

43) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2

0 0 1 11 a 2 a 1 a 2 af f f a f a f a f a= + ∆ δ + ∆ δ + ∆ δ + ∆ δ'' '' ' ' ,

dove f'' è la distribuzione definita dalla funzione localmente sommabile ( )f x'' .


38

Esempio VIII. Sia 0x un punto fissato di 1R . La funzione

44) ( ) 0f x log x x= −

è localmente sommabile. La derivata nel senso usuale di ( )f x non gode però di questa proprietà:

( ) ( )00

1f x x x

x x= ≠

−' non è localmente sommabile.

In generale, l'integrale del tipo di Cauchy

45) ( )

0

xdx

x x

+∞

−∞

ϕ−∫

con ( ) ( )0x C R∞ϕ ∈ , non esiste (tranne nel caso eccezionale in cui ( )0x 0ϕ = ).

D'altra parte se consideriamo la ( )f x come una distribuzione, ( )f x possiede in senso

distribuzionale una derivata, che è un funzionale ben preciso definito su tutte le funzioni di ( )0C R∞ . Determiniamo la derivata distribuzionale di ( )f x .

Abbiamo:

46) ( ) ( ) ( )0x

0 0f , f, log x x x dx log x x x dx+∞

−∞ −∞

< ϕ >= − < ϕ >= − − ϕ = − − ϕ∫ ∫' ' ' '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0 0

x

0 0 00 0

x x

log x x x dx lim log x x x dx lim log x x x dx+ +

−ε+∞ +∞

ε→ η→−∞ +η

− − ϕ = − − ϕ − − ϕ =∫ ∫ ∫' ' '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00

0 0

xx

0 00 0

x0 0x

x xlim log x x x dx lim log x x x dx

x x x x+ +

−ε +∞ +∞−ε

ε→ η→+η−∞ +η−∞

⎡ ⎤⎡ ⎤ϕ ϕ⎢ ⎥= − − ϕ − − − ϕ − =⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0

x

0 00 0

0 0x

x xlim log x dx lim log x dx

x x x x+ +

−ε ∞

ε→ η→−∞ +η

⎡ ⎤⎡ ⎤ϕ ϕ= − ε ϕ − ε − − − η ϕ +η −⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

Poiché i due limiti, 0+ε → e 0+η→ , esistono separatamente, possiamo considerare l'unico limite (che naturalmente esiste) dato da

47) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

0

0

x

0 0o

0 0x

x xf , lim dx dx log x x

x x x x+

−ε +∞

ε→−∞ +ε

⎡ ⎤ϕ ϕ< ϕ >= + + ε ϕ + ε −ϕ − ε⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫'

D'altra parte ( ) ( ) ( )( )0 0 0

0lim log x x 0

+ε→ε ϕ + ε −ϕ − ε = ,

Distribuzioni

39

sicché possiamo concludere che esiste il limite

48) ( ) ( )0

0

x

o0 0x

x xlim dx dx

x x x x+

−ε +∞

ε→−∞ +ε

⎡ ⎤ϕ ϕ+⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

Questo limite prende il nome di integrale a valor principale di Cauchy e viene indicato con

49) ( )

0

xP.V. dx

x x

+∞

−∞

ϕ−∫

Possiamo quindi scrivere

50) ( )

0

xf , P.V. dx

x x

+∞

−∞

ϕ< ϕ >=

−∫'

E' utile tener presente che la non esistenza dell'integrale 45), deriva dal fatto che i due limiti,

( )0x

00

xlim dx

x x+

−ε

ε→−∞

ϕ−∫ ,

( )0

00x

xlim dx

x x+

+∞

η→+η

ϕ−∫ ,

presi separatamente, non esistono (come è evidente dai calcoli precedenti). La teoria delle distribuzioni fornisce un modo per dare significato all'integrale divergente 45), prescrivendo una forma particolare di limite (che esiste), che è quella data dalla 48). La distribuzione che fa corrispondere ad ogni ( )Rϕ∈D il numero dato dalla 49) è indicata con

0

1P.V.

x x−

51) ( )

0 0

x1P.V. , P.V. dx

x x x x

+∞

−∞

ϕ< ϕ >=

− −∫

La 50) si può scrivere nella forma

52) ( )00

1log x x P.V.

x x− =

−'

nel senso della teoria delle distribuzioni.

Esempio IX. Se ( )1 2 3x x , x , x= è un punto di 3R , poniamo 2 2 21 2 3r x x x= + + .

La funzione 1 r è localmente integrabile in 3R . Infatti se consideriamo una palla ( )0B r , con

centro nell'origine e raggio 0r finito, abbiamo

( )

0

0

r 2 221 2 3 0

B r 0 0 0

dx dx dx 4 rr sin d ddr d d

r r 2

π π πϑ ϑ ϕ= ϑ ϕ =∫ ∫ ∫ ∫


40

Per r 0≠ , 1 r è derivabile in senso classico e soddisfa l'equazione di Laplace nello spazio

tridimensionale. Se ( )f r è una funzione derivabile due volte, abbiamo

i

i i

xf df r df

x dr x dr r

∂ ∂= =

∂ ∂i i

2 22 2

i i2 2 3i

x xf d f df 1

x dr r dr r r

⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

53) 2 23

2 2i 1i

f d f 2 dff

x dr r dr=

∂Σ = ∆ = +∂

Dalla 53) segue immediatamente che, per r 0≠ , 1 r 0∆ = . Ovviamente 1 r non è derivabile

nell'origine in senso classico. D'altra parte 1 r definisce una distribuzione in 3R , sicché possiamo determinare il suo laplaciano in senso distribuzionale. Dalla 36) abbiamo:

54) ( )( )3

3

R

1 1, , dx R

r r r

∆ϕ< ∆ ϕ >=< ∆ϕ >= ϕ∈∫ D

Poiché l'integrale è convergente (vedi calcolo su ( )0B r ; 0ϕ = all'esterno di una sfera di raggio

finito), possiamo scrivere

55) ( )3

0rR

dx lim dxr r+ε→

≥ε

∆ϕ ∆ϕ=∫ ∫

Utilizzando la formula di Green ed il fatto che 0ϕ = all'esterno di una sfera di raggio opportuno, abbiamo:

( )r r

1 1 1 1dx ds

r r r n n r≥ε =ε

∂ϕ ∂⎛ ⎞ ⎡ ⎤∆ϕ−ϕ∆ = −ϕ⎜ ⎟ ⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫ ∫

dove n è la normale uscente al dominio r ≥ ε . Tenendo presente che 1 r 0∆ = per

r 0 en r

∂ ∂≠ = −

∂ ∂, otteniamo

56) ( )

2r r

1dx ds

r r r r≥ε =ε

∆ϕ ∂ϕ ϕ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫

Poiché ( )3

0C R∞ϕ∈ , risulta

( )1 2 3M x x ,x ,xr

∂ϕ< ∀ =

∂

Distribuzioni

41

e ( )2

r r

1 M Mds ds 4 4 M

r r=ε =ε

∂ϕ≤ = πε = πε

∂ ε ε∫ ∫ ,

sicché

0r

1lim ds 0

r r+ε→=ε

∂ϕ=

∂∫

D'altra parte:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2r r r r

0 x 0 x 0ds ds ds 0 4 ds

r r r r=ε =ε =ε =ε

ϕ ϕ −ϕ ϕ −ϕϕ= + = ϕ π+∫ ∫ ∫ ∫

e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2r r 0

r r

x 0 dsds max x 0 4 max x 0 0

r r +=ε =ε ε→=ε =ε

ϕ −ϕ≤ ϕ −ϕ = π ϕ −ϕ →∫ ∫

per la continuità di ( )xϕ . Concludiamo allora che

( )

( )0

r

lim dx 4 0r+ε→

≥ε

∆ϕ= − πϕ∫ ,

sicché

57) 1

4r

∆ = − πδ

o in notazione simbolica

58) ( ) ( )314 x x R

r∆ = − πδ ∈

Quindi il potenziale elettrico di una carica puntiforme q che si trova nell'origine,

( )00

q 1V x

4 r=

πε

soddisfa l'equazione

59) ( ) ( )00

qV x x∆ = − δ

ε

Più in generale il potenziale elettrico di una carica puntiforme q che si trova in un punto ξ di 3R ,

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 2 2 3 30

q 1U x x x x x

4 xξ⎛ ⎞= − ξ = − ξ + −ξ + −ξ⎜ ⎟

πε − ξ ⎝ ⎠


42

soddisfa l'equazione

60) ( ) ( )0

qU x xξ∆ = − δ −ξ

ε

Come è noto, il potenziale elettrico di una distribuzione continua di carica ( )xρ , soddisfa

l'equazione di Poisson:

61) ( ) ( )0

1V x x∆ = − ρ

ε

Le distribuzioni matematiche che abbiamo introdotto consentono di descrivere in modo rigoroso distribuzioni fisiche come quelle associate a cariche puntiformi. Da qui nasce l'appellativo di teoria delle distribuzioni.

LA TRASFORMATA DI FOURIER Studieremo ora, nell'ambito della teoria delle distribuzioni, un'altra operazione che ha un ruolo importante nelle applicazioni. 1. Introduzione Sia ( )f x una funzione definita in R e non periodica. Sia ( )Tf x una funzione periodica di

periodo T e tale che ( ) ( )Tf x f x= per T T

x ,2 2

⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠

. Sotto opportune condizioni ( )Tf x può

essere sviluppata in serie di Fourier:

1) ( ) ( )0in xT n,T 0n

2f x c e x

T

+∞ω

=−∞

π= Σ ω = −∞ < < +∞

con

2) ( ) 0

T 2in x

n,T

T 2

1c f x e dx

T− ω

−

= ∫

In tal caso, poiché ( ) ( ) ( )TTf x lim f x x

→∞= −∞ < < +∞ , possiamo scrivere

3) ( ) ( )0 0

T 2in x in t

T nT 2

1f x lim e f t e dt

T

++∞ω − ω

→∞ =−∞−

= Σ ∫

su tutto l'asse reale. Per effettuare il limite T →∞ nella 3), procediamo in modo euristico introducendo un secondo parametro τ , indipendente da T, e sostituendo il limite nella 3) con il seguente:

4) ( )0 0

2in x in t

T n2

1lim lim e f t e dt

T

τ+∞ω − ω

→∞ τ→∞ =−∞−τ

Σ ∫

Se assumiamo che ( )f x sia sommabile su R, abbiamo

( ) ( )0 0

2in t in t

2

lim f t e dt f t e dtτ +∞

− ω − ω

τ→∞−τ −∞

=∫ ∫

Tutti questi integrali esistono in virtù del fatto che ( ) ( )0in tf t e f t− ω = .

Se supponiamo di poter effettuare il limite τ→∞ termine a termine, otteniamo


44

5) ( ) ( ) ( )0 0

0 0

in x in t0 0 0n n0 0

1 1f x lim e f t e dt lim F n

2 2+ +

+∞+∞ +∞ω − ω

=−∞ =−∞ω → ω →−∞

= Σ ω = Σ ω ωπ π∫

con 6) ( ) ( )i xF e cωω = ω

e

7) ( ) ( ) i t1c f t e dt

2

+∞− ω

−∞

ω =π ∫

Tenendo presente che 0ω rappresenta l'ampiezza degli intervallini... ( )0 02 ,− ω −ω , ( )0 ,0−ω ,

( )00,ω , ( )0 0,2ω ω , ..., possiamo dedurre che il limite 0 0+ω → nella 5) coincide con l'integrale

( )1d F

2

+∞

−∞

ω ωπ ∫ .

Concludiamo allora che

8) ( ) ( )i x1f x e c d

2

+∞ω

−∞

= ω ωπ ∫ ,

con ( )c ω data dalla 7).

La 8) unita alla 7), è detta formula integrale di Fourier. L'integrale a secondo membro della 8) è detto integrale di Fourier della funzione ( )f x . Per funzioni definite su R e non periodiche

l'integrale di Fourier sostituisce la serie di Fourier. La 8) è stata dedotta euristicamente senza alcuna pretesa di rigore. Studieremo ora in modo più approfondito il legame tra ( )f x e la grandezza ( )c ω definita dalla 7).

2. Trasformata di Fourier La grandezza ( )c ω che compare nella 8) ed è data dalla 7), è ben definita se ( )f x è sommabile

su R. Def. 1 Sia ( )f x una funzione a valori complessi definita in R e sommabile su R. La funzione di

( ) ( )fω −∞ < ω< +∞ ω , data da

9) ( ) ( )i x1f e f x dx

2

+∞− ω

−∞

ω =π ∫ ,

si chiama trasformata di Fourier di f; ( )f ω è anche indicata con ( )fF , o ( )( )f xF , oppure

( )( )f ωF .

La trasformata di Fourier

45

Dalla 9) segue immediatamente che

10) ( ) ( )1f f x dx,

2

+∞

−∞

ω ≤ ∀ωπ ∫

Utilizzando i teoremi sui limiti della teoria dell'integrazione secondo Lebesgue, si dimostra che

( )f ω , sempre supponendo che ( )1f L R∈ , è una funzione continua di ω e gode della proprietà

(lemma di Riemann-Lebesgue):

11) ( )ˆlim f 0ω→+∞

ω =

Dalla 9) segue anche che la trasformazione di Fourier F : ˆ: f f→F é lineare. Infatti: se ( )1f, g L R∈ e , Cα β∈ , abbiamo

12) ( ) ( ) ( )f g f gα +β = α +βF F F

Stabiliremo ora una delle proprietà più importanti della trasformazione di Fourier. Teorema 1 Se ( )f x , supposta sommabile , è derivabile con continuità m volte e se le sue derivate di ordine

m≤ sono sommabili, allora

13) ( )( ) ( ) ( ) ( )kk ˆf i f k 1,2,..., m= ω ω =F

Dim. ( ) ( ) ( ) ( )N N

k k 1i x i x

M M

1 1e f x dx e f x

2 2−− ω − ω

− −

= +π π∫

( ) ( )N

k 1i x

M

1i e f x dx

2−− ω

−

+ ωπ ∫

Nel limite N, M →+∞ , tenendo presente che, in virtù della sommabilità di ( ) ( )k 1f x− ,

( ) ( )k 1

N,Mlim f x 0−

→+∞= , otteniamo

14) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 kk k 1 k 2f i f i f ... i f− −= ω = ω = = ωF F F F .

Come si può notare la trasformazione di Fourier sostituisce l'operazione di derivazione con una semplice operazione algebrica di moltiplicazione. In virtù di questa proprietà, la trasformazione di Fourier è uno strumento molto utile nello studio delle equazioni differenziali. Dalla 13) discende anche


46

15) ( ) ( ) ( )m m1f f x dx

2

+∞

−∞

ω ω ≤π ∫

Pertanto, quanto più ( )f x è derivabile con continuità, con derivate sommabili, tanto più

rapidamente ( )f ω decresce a zero per ω → +∞ .

E' utile studiare la derivabilità di ( )f ω . Consideriamo quindi il rapporto incrementale:

( ) ( ) ( )

i xi x

ˆ ˆf f 1 e 1f x e dx

2

+∞ − ∆ω− ω

−∞

ω+ ∆ω − ω ⎛ ⎞−= ⎜ ⎟∆ω ∆ωπ ⎝ ⎠

∫

Abbiamo

( ) ( )i x

i x i x

0

e 1f x e ixf x e

− ∆ω− ω − ω

∆ω→

⎛ ⎞−→ −⎜ ⎟∆ω⎝ ⎠

e

( ) ( ) ( ) ( )ix

ixixi x 2 2i x 2

sin xe 1 e e 2f x e f x xe f x x x f xx

2 x2 2

∆ω ∆ω−∆ω− ∆ω −ω

∆ω⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞− −

= = ≤⎜ ⎟⎜ ⎟ ∆ω ∆ω∆ω⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

i

Se supponiamo allora che anche ( )xf x sia sommabile, possiamo applicare al limite 0∆ω→ il

teorema di Lebesgue della convergenza dominata e concludere che il limite

( ) ( )

0

ˆ ˆf flim∆ω→

ω+ ∆ω − ω∆ω

esiste e può essere ottenuto facendo il limite sotto il segno di integrale. Si ha quindi

16) ( ) ( ) ( ) ( )i x i x1 1 df e ix f x dx f x e dx

d2 2

+∞ +∞− ω − ω

−∞ −∞

⎛ ⎞ω = − = ⎜ ⎟ωπ π ⎝ ⎠∫ ∫'

Più in generale abbiamo il seguente teorema. Teorema 2 Se ( )f x , supposta sommabile, gode della proprietà che anche ( )mx f x è sommabile, allora

( )f ω è derivabile m volte con continuità e

17) ( ) ( ) ( ) ( )( )mmf ix f xω = −F

Pertanto ( )f ω è tanto più derivabile quanto più rapidamente ( )f x decresce a zero per x →+∞ .

Questa proprietà è complementare a quella dedotta dalla 15).


47

Esempio I. Sia ( ) 1f x

0

⎧= ⎨⎩

( )( )

x a

x a

≤

>

( )a 0>

La sua trasformata di Fourier è data da

18) ( )a

i x

a

1 2 sin af e dx

2

+− ω

−

ωω = =

π ωπ ∫

( )f ω è infinitamente derivabile. Tuttavia non decresce a zero rapidamente per x →+∞ , in virtù

del fatto che ( )f x non è derivabile con continuità.

Esempio II. Sia 0α > .

19) ( ) ( ) ( )0

x x x i x ii x

0

1 1 1e e e dx e dx e dx

2 2 2

+∞ +∞−α −α α− ω − α+ ω− ω

−∞ −∞

= = + =π π π∫ ∫ ∫F

2 2

1 1 1 2

i i2

α⎡ ⎤= + =⎢ ⎥α − ω α + ω π α +ωπ ⎣ ⎦

Esempio III. Sia 0α > .

20) ( )2

2 2x i x x 41 1e e dx e

2 2

+∞ ω−−α − ω −α α

−∞

= =π α∫F

(Questo risultato è stato stabilito utilizzando il teorema di Cauchy). In questo caso la trasformata di Fourier è infinitamente derivabile e decresce rapidamente a zero per ω → +∞ , in virtù del

fatto che 2xe−α è infinitamente derivabile e tutte le derivate sono sommabili.

Esempio IV. Sia ( ) ( ) ( )ax 1f x x e x 0,a 0− α−= ϑ α > >

Abbiamo

( ) ( )a i x 1

0

1f e x dx

2

+∞− + ω α−ω =

π ∫

Per determinare ( )f ω , consideriamo l'integrale

( ) ( )R

a i x 1e x dx 0 R− + ω α−

ε

< ε < < +∞∫

e la funzione ( ) z 1F z e z− α−= ,


48

prendendo la determinazione principale di zα . ( )F z è olomorfa nel campo complesso tagliato

lungo il semiasse reale negativo. Per il teorema di Cauchy, l'integrale di ( )F z esteso alla curva

mostrata in figura è nullo:

( ) ( ) ( )1 2

Rx 1

C C

F z dz e x dx F z dz F z dz 0− α−

Γ ε

+ + + =∫ ∫ ∫ ∫

Applicando i teoremi di Jordan abbiamo ( )2

0C

lim F z dz 0+ε→

=∫ e ( )1

RC

lim F z dz 0→+∞

=∫ . Sia

( ) ( )z x a i x= + ω ( )x Rε ≤ ≤ l'equazione parametrica di −Γ .

Abbiamo allora

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )R R

1a i x a i x 1F z dz F z dz e a i x a i dx a i e x dxα− α− + ω − + ω α−

Γ −Γ ε ε

= − = − + ω + ω = − + ω∫ ∫ ∫ ∫

Possiamo concludere allora che

21) ( ) ( ) 1f

a i2

αΓ α ⎛ ⎞ω = ⎜ ⎟+ ωπ ⎝ ⎠

dove

( ) x 1

0

e x dx+∞

− α−Γ α = ∫

è l'integrale di Eulero di seconda specie (la funzione ( )Γ α interpola i fattoriali dei numeri interi

positivi: si ha infatti, integrando per parti, ( ) ( )n n 1 !Γ = − ).

Questo esempio mostra esplicitamente che , dal fatto che ( ) ( )1f x L R∈ , non segue

necessariamente che anche ( ) ( )1f L Rω ∈ . Per 0 1< α < , la ( )f ω data dalla 21) non è

sommabile. Pertanto la relazione 8) che riscriviamo nella forma

22) ( ) ( )i x1 ˆf x e f d2

+∞ω

−∞

= ω ωπ ∫


49

può non aver significato, in generale, nell'ambito della teoria usuale delle funzioni (osserviamo

anche qui che ( ) ( )i x ˆ ˆe f fω ω = ω ).

Mostreremo però che la 22) è del tutto valida nell'ambito di una classe particolare di funzioni che ha un ruolo importante per le considerazioni che verranno sviluppate. 3. Lo spazio ( )S R

Def. 2 ( )S R è lo spazio delle funzioni definite su R, a valori complessi, che sono infinitamente

derivabili e che, insieme a tutte le loro derivate, decrescono a zero per x →+∞ più

rapidamente di ogni potenza di 1

x.

Le funzioni di ( )S R sono dette funzioni regolari a decrescenza rapida . Un elemento tipico di

( )S R è la funzione ( )2axe a 0− > . Naturalmente anche ( ) 2axP x e− , con ( )P x polinomio

generico, appartiene a ( )S R . ( )S R è uno spazio vettoriale complesso.

Se ( ) ( )x S Rϕ ∈ abbiamo

23) ( ) ( ) ( )q

p n

x n 0lim 1 x x 0 p,q 0,1,...→+∞ =

+ Σ ϕ = ∀ =

Dalla 23) segue che

24) ( ) ( ) ( )q

p np,q n 0x R

M sup 1 x x=∈

= + Σ ϕ

è sempre finito per ogni coppia di p,q 0,1,2,...= Si deduce allora che sia ( ) ( )mx xϕl che

( )( )( )mx xϕl sono limitate e sommabili su R, per ogni coppia di interi ,m 0,1,2...=l Lo spazio

( )S R è munito anche di una nozione di limite.

Def. 3 Una successione ( ) k xϕ di elementi di ( )S R converge in S a una funzione

( ) ( )x S Rϕ ∈ , e si scrive

25) S

kϕ →ϕ ,

se per ogni coppia di interi non negativi l,m, la successione ( ) ( ) mkx xϕl converge

uniformemente in R alla funzione ( ) ( )mx xϕl .

In modo equivalente la 25) si può esprimere nella forma


50

26) ( ) ( ) ( ) ( )( )p n nkk x R

lim sup x x x 0 p, n 0,1,2,..→∞ ∈

ϕ −ϕ = ∀ =

Def. 4 Un'applicazione (operatore) ( ) ( )A : S R S R→ è detta continua se S

kϕ →ϕ implica

( ) ( )S

kA Aϕ → ϕ .

Dai teoremi 1, 2 discende il seguente Teorema 3 La trasformazione di Fourier F è un applicazione lineare e continua di ( )S R in ( )S R .

Dim. La linearità è immediata. Se ( ) ( )x S Rϕ ∈ , ( )x xϕl è sommabile per ogni intero 0≥l . Dal

teorema 2 segue allora che ( )ϕ ω è infinitamente derivabile. D'altra parte, poiché

( ) ( ) ( ) ( )( )ˆ ix xϕ ω = − ϕF ll ,

dal teorema 1 abbiamo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )mm ˆi ix x⎛ ⎞ω ϕ ω = − ϕ⎜ ⎟⎝ ⎠

F ll ,

cioè

27) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )mm 1ˆ x x dx m 0,1,2,...

2

+∞

−∞

ω ϕ ω ≤ ϕ =π ∫

l l

Segue allora che per ogni fissato 0≥l , ( ) ( )ϕ ωl decresce a zero per ω →∞ più rapidamente di

ogni potenza di 1

ω. Pertanto ( ) ( )ˆ S Rϕ ω ∈ .

Sia ora ( ) k xϕ una successione di elementi di ( )S R convergente in S a ( ) ( )x S Rϕ ∈ . Poiché

( ) ( ) ( )k x x S Rϕ −ϕ ∈ e la trasformazione di Fourier è lineare, sicché

( )k k kˆ ˆϕ −ϕ = ϕ − ϕ = ϕ −ϕF F F , dalla 27) abbiamo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )mm

k k

1ˆ ˆ x x x dx2

+∞

−∞

ω ϕ ω −ϕ ω ≤ ϕ −ϕ =π ∫

l l l

( ) ( ) ( )( )( )( )m2

k2

11 x x x x dx

1 x

+∞

−∞

= + ϕ −ϕ ≤+∫ l

( ) ( ) ( )( )( )( )m2

kx R

cos t sup 1 x x x x∈

≤ + ϕ −ϕl

Tenendo presente la 26) si può concludere che


51

28) ( ) ( ) ( ) ( )( )m

kk R

ˆ ˆlim sup 0 m, 0,1,2,...→∞ ω∈

ω ϕ ω −ϕ ω = =l l l

Pertanto S

kˆ ˆϕ →ϕ ( ) ( )

S

k⎛ ⎞ϕ → ϕ⎜ ⎟⎝ ⎠F F . Quindi F è continua.

Teorema 4 La trasformazione di Fourier F in ( )S R è un'applicazione biiettiva.

Dim. Siano ( )xϕ e ( )xψ due elementi di ( )S R . Abbiamo

29) ( ) ( ) ( ) ( )i x i x i t1ˆ e d e e t dt d2

+∞ +∞ +∞ω ω − ω

−∞ −∞ −∞

⎛ ⎞ϕ ω ψ ω ω = ψ ω ϕ ω =⎜ ⎟

π ⎝ ⎠∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )i t x1 ˆdt t e d dt dt t t x2

+∞ +∞ +∞− ω −

−∞ −∞ −∞

⎛ ⎞= ϕ ψ ω ω = ϕ ψ − =⎜ ⎟

π ⎝ ⎠∫ ∫ ∫

( ) ( )ˆ t t x dt+∞

−∞

= ψ ϕ +∫

(Si è applicato il teorema di Fubini, osservando che ( ) ( ) ( ) ( )i x tF t, t e ω −ω = ψ ω ϕ è sommabile su 2R in virtù del fatto che ( ) ( ) ( )F t, tω = ψ ω ϕ ).

Sia ora 0ε > e ( ) 2 2x 2x e−εψ = . Usando la 20) e 29) otteniamo

30) ( ) ( ) ( )22 2 2

2

t ti x 22 2

1ˆ e e d e t x dt e t x dt∞+ ∞+ ∞+ε ω −− −ω ε

−∞ −∞ −∞

ϕ ω ω = ϕ + = ϕ ε +ε∫ ∫ ∫ .

Osserviamo ora che

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 2i x t 2 t 22

y R

ˆ ˆe e , e t x sup y eε ω

− ω − −

∈ϕ ω ≤ ϕ ω ϕ ε + ≤ ϕ

Possiamo allora applicare il teorema della convergenza dominata ed eseguire quindi il limite 0+ε → sotto il segno degli integrali.

Tenendo presente che ( )2t

1 22e dt 2∞+

−

−∞

= π∫ , abbiamo

31) ( ) ( )i x1 ˆe d x2

+∞ω

−∞

ϕ ω ω = ϕπ ∫

Pertanto in ( )S R è valida la relazione 22).


52

E' utile osservare che l'operazione che conduce a ( )xϕ a partire da ( )ϕ ω , è dello stesso tipo

della trasformazione di Fourier, salvo il cambiamento di i in –i. Questa operazione è chiamata antitrasformata di Fourier ed è indicata con F . La 31) può essere scritta nella forma 32) ( )ϕ = ϕF , oppure

33) ( ) ( )( )ϕ ≡ ϕ = ϕFF F F , ( )S R∀ϕ∈

F è un'applicazione lineare e continua in ( )S R . Partendo da

34) ( )( ) ( )i x1e x dx

2

+∞ω

−∞

ϕ ω = ϕπ ∫F

e scambiando i in –i nelle considerazioni precedenti, otteniamo in modo analogo 35) ( )ϕ = ϕFF , ( )S R∀ϕ∈

Dalla 35) segue che F suriettiva. Inoltre, per la linearità, se ( ) ( )ϕ = ψF F , allora

( ) 0ϕ−ψ =F (la funzione identicamente nulla su R).

Quindi, dalla 33), ( )( ) 0ϕ−ψ = ϕ−ψ =F F , cioè F è iniettiva.

Considerando allora l'applicazione inversa 1−F di F , dalla 33) e 35) otteniamo 36) 1− =F F . Dalla 29) segue un'altra proprietà importante. Per x 0= , abbiamo

37) ( ) ( ) ( ) ( )( )ˆ d t t dt+∞ +∞

−∞ −∞

ϕ ω χ ω ω = ϕ χ∫ ∫ F ( ), S R∀ϕ χ∈

Poniamo ( )1−χ = ψF . Risulta

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 i x i x1 1 ˆe x dx e x dx2 2

+∞ +∞− ω − ω

−∞ −∞

ψ ω = ψ = ψ = ψ ω = ψ ωπ π∫ ∫F F

Pertanto

38) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ d x x dx+∞ +∞

−∞ −∞

ψ ω ϕ ω ω = ψ ϕ∫ ∫ ( ), S R∀ϕ ψ∈

In particolare

39) ( ) ( )2 2ˆ d x dx

+∞ +∞

−∞ −∞

ϕ ω ω = ϕ∫ ∫ ( )S R∀ϕ∈

(eguaglianza di Parseval).


53

Poiché gli elementi di ( )S R sono ovviamente funzioni a quadrato sommabile, possiamo dire

allora che il prodotto scalare di due funzioni appartenenti a ( )S R è invariante rispetto alla

trasformazione di Fourier. 4. Distribuzioni temperate e trasformata di Fourier Come abbiamo già osservato, se ( ) ( )1f x L R∈ , non necessariamente ( ) ( )1f L Rω ∈ , sicché

l'inversione della trasformazione di Fourier tramite ( )( )f f=F F può non aver significato.

Mostreremo ora che questo problema non si presenta se la trasformazione di Fourier viene estesa dalle funzioni sommabili su R alle distribuzioni. Questa estensione si basa sui risultati ottenuti in

( )S R e può essere realizzata, come vedremo, per un sottospazio di ( )R'D .

Se ( ) ( )1f x L R∈ , ( )f ω è continua e limitata (e quindi localmente sommabile). Pertanto ( )f ω è

definita univocamente dal funzionale

40) ( ) ( ) ( )f d f ,+∞

−∞

ω ϕ ω ω =< ϕ >∫ F ( ) ( )R∀ϕ ω ∈D

D'altra parte procedendo come nella 29) (applicando quindi il teorema di Fubini) si ha che

41) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆf d f t t dt+∞ +∞

−∞ −∞

ω ϕ ω ω = ϕ∫ ∫ ( )R∀ϕ∈D

Quindi la trasformata di Fourier di ( ) ( )1f x L R∈ può essere definita in modo equivalente

considerando il funzionale:

42) ( ) ( )ˆf t t dt+∞

−∞

ϕ→ ϕ∫ , ( )R∀ϕ∈D

Questa osservazione suggerisce che si potrebbe definire la trasformata di Fourier di una

distribuzione ( )T R∈ 'D mediante la relazione

43) ( ) ( )T , T,< ϕ >=< ϕ >F F ( )R∀ϕ∈D

Occorre però notare che, per una generica distribuzione ( )T R∈ 'D , la 43) non ha significato.

Infatti se ( )Rϕ∈D , non c'è alcun motivo perché anche ( ) ( )Rϕ ∈F D (vedi Es. I: la trasformata

di Fourier di una funzione a supporto compatto non è una funzione a supporto compatto). Questo problema però può essere superato considerando una classe particolare, ma importante, di distribuzioni. Osserviamo che lo spazio di ( )RD è un sottospazio di ( )S R :

44) ( ) ( )R S R⊂D


54

e che se ( )( )k k , Rϕ →ϕ ϕ ϕ∈D

D , a fortiori abbiamo S

kϕ →ϕ .

Def. 5 Una distribuzione T (un funzionale lineare e continuo su ( )RD ) è detta una distribuzione

temperata, se può essere estesa ad un funzionale lineare e continuo su ( )S R (S

kϕ →ϕ implica

( ) ( )kT Tϕ → ϕ ).

Lo spazio delle distribuzioni temperate è indicato con ( )S R' .

Esempio V. Una funzione sommabile f è temperata. Infatti: è ben definito l'elemento di ( )S R'

dato da:

45) ( ) ( )f, f x x dx+∞

−∞

< ϕ >= ϕ∫ ( ) ( )x S R∀ϕ ∈

Esempio VI. Una funzione ( )f x definita in R è detta a crescita lenta se valgono le condizioni:

i) ( )f x è localmente sommabile, ii) esistono costanti positive C, n, M tali che ( ) nf x C x< per

x M> .

Un polinomio ( ) k0 1 kp x a a x, ... a x= + + + è una funzione a crescita lenta (in particolare ( )f x 1= ).

Analogamente all'esempio precedente, ogni funzione a crescita lenta determina una distribuzione temperata tramite la 45).

Esempio VII. Le funzioni 2x xe ,e ,..., localmente sommabili, sono distribuzioni, ma non sono

temperate. Esempio VIII. La distribuzione ξδ di Dirac è temperata:

46) ( ),ξ< δ ϕ >= ϕ ξ ( )S R∀ϕ∈

Se ( )T S R∈ ' , anche ( )m

m

d TS R

dx∈ ' . Infatti

dT

dx (è sufficiente considerare questo caso) è definita

da

dT d

, T,dx dx

ϕ< ϕ >= − < > ( )R∀ϕ∈D

Ora se ( )S Rϕ∈ anche ( ) ( )x S Rϕ ∈' , sicché se T è temperata T,< ϕ >' ha significato per ogni

( )S Rϕ∈ . Ne segue che dT

,dx

< ϕ > ha significato ( )S R∀ϕ∈ .

Anche per le distribuzioni temperate possiamo usare la notazione simbolica e scrivere


55

47) ( ) ( )T, T x x dx+∞

−∞

< ϕ >= ϕ∫ , ( )S R∀ϕ∈

in termini della funzione generalizzata o simbolica ( )T x .

Osserviamo ora che, se ( )T S R∈ ' , ( )T,< ϕ >F ha significato per ogni ( )S Rϕ∈ , poiché

( ) ( )S Rϕ ∈F (teorema 3). Inoltre se S

kϕ →ϕ , allora, per lo stesso teorema, ( ) ( )S

kϕ → ϕF F . Ne

segue, per la continuità di T, che S

kϕ →ϕ implica ( ) ( )kT, T,< ϕ >→< ϕF F . Pertanto

( )T,< ϕ >F definisce un funzionale lineare e continuo su ( )S R , cioè una distribuzione

temperata. Tornando alla 43) possiamo enunciare il seguente: Teorema 5 Se T è una distribuzione temperata, ( )TF può essere definita mediante l'equazione

48) ( ) ( )T , T,< ϕ >=< ϕ >F F , ( )S R∀ϕ∈

Si ha allora che ( )TF è una distribuzione temperata.

La distribuzione ( )TF è detta trasformata di Fourier di T. In modo analogo si può definire

l'antitrasformata di Fourier di una distribuzione temperata T, ( )TF . ( )TF è la distribuzione

temperata definita da: 49) ( ) ( )T , T,< ϕ >=< ϕ >F F , ( )S R∀ϕ∈

Se associamo a ( )TF la funzione simbolica ( )T ω , possiamo dire che ( )T ω è definita

simbolicamente da:

50) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆT , T d T t t dt+∞ +∞

−∞ −∞

< ϕ >= ω ϕ ω ω = ϕ∫ ∫F ( )S R∀ϕ∈

Naturalmente se T coincide con una funzione sommabile ( )f x , ( )T ω è una funzione classica e

coincide con la funzione ( )f ω già introdotta:

51) ( ) ( )ix1f e f x dx

2

+∞− ω

−∞

ω =π ∫

La funzione classica ( )f ω della 51) soddisfa concretamente l'equazione

52) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆf d f t t dt+∞ +∞

−∞ −∞

ω ϕ ω ω = ϕ∫ ∫ ( )S R∀ϕ∈

(per le stesse considerazioni che hanno condotto alla 41).


56

In virtù della 51) e 52) il legame tra ( )T ω e ( )T x , definito per una generica distribuzione

temperata dalla 50), verrà scritto in generale nella forma simbolica

53) ( ) ( )ix1T e T x dx

2

+∞− ω

−∞

ω =π ∫ ,

oppure nella forma ( )( )( ) ( )ˆT x Tω = ωF .

E' utile tener presente che per una funzione simbolica ( )T x , associata ad una generica

distribuzione ( )T R∈ 'D , può essere definita l'operazione di moltiplicazione per una funzione

( )a x infinitamente derivabile. Si parte dell'osservazione che se ( )f x è localmente sommabile su

R, tale è anche ( )a x ( )f x . Possiamo introdurre allora la distribuzione regolare ( )a x ( )f x data da

54) ( ) ( ) ( )af, a x f x x dx+∞

−∞

< ϕ >= ϕ∫ ( )R∀ϕ∈D

D'altra parte se ( ) ( )x Rϕ ∈D , anche ( ) ( ) ( )a x x Rϕ ∈D . Possiamo allora scrivere la 54) nella

forma

55) ( ) ( ) ( )( )af, f,a f x a x x dx+∞

−∞

< ϕ >=< ϕ >= ϕ∫ ( )R∀ϕ∈D

Sulla base della 55) che è un'equazione valida nel caso in cui ( )f x sia una funzione localmente

sommabile, possiamo definire il prodotto ( ) ( )a x T x nel caso di una distribuzione generica:

( ) ( )a x T x è la funzione simbolica definita da

56) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )a x T x x dx T x a x x dx T,a+∞ +∞

−∞ −∞

ϕ = ϕ =< ϕ >∫ ∫ ( )R∀ϕ∈D

Per esempio se ( )xδ − ξ è la funzione simbolica associata a ξδ , ( ) ( )a x xδ − ξ è definita da:

57) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )a x x x dx x a x x dx a+∞ +∞

−∞ −∞

δ − ξ ϕ = δ − ξ ϕ = ξ ϕ ξ∫ ∫ ,

sicché possiamo scrivere 58) ( ) ( ) ( ) ( )a x x a xδ − ξ = ξ δ −ξ .

Nel caso di una distribuzione temperata occorre notare che in generale il prodotto ( ) ( )a x xϕ ,

con ( )a x infinitamente derivabile e ( ) ( )x S Rϕ ∈ , non appartiene a ( )S R . Appartiene però

sempre a ( )S R il prodotto di un polinomio ( )p x per una funzione ( )xϕ di ( )S R . Pertanto

possiamo definire per le distribuzioni temperate il prodotto ( ) ( )p x T x tramite:


57

59) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )p x T x x dx T x p x x dx T, p+∞ +∞

−∞ −∞

ϕ = ϕ =< ϕ >∫ ∫ ( )S R∀ϕ∈

In particolare ( ) ( )k î Tω ω è definito da

60) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )k kˆ î T d T i d+∞ +∞

−∞ −∞

ω ω ϕ ω ω = ω ω ϕ ω ω∫ ∫

Abbiamo allora:

61) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )k kî T d T t ix x t dt+∞ +∞

−∞ −∞

ω ω ϕ ω ω = ϕ =∫ ∫ F

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k k kˆ1 T t ix x t dt 1 T t t dt+∞ +∞

−∞ −∞

= − − ϕ = − ϕ =∫ ∫F

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )k k

k

k k

d dˆT t t dt T x d T ,dt dx

+∞ +∞

−∞ −∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ϕ = ω ϕ ω ω = < ϕ >⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ F F

Pertanto per le funzioni simboliche associate alle distribuzioni temperate si ha sempre l'equazione

62) ( ) ( ) ( ) ( )

kk

k

d T x î Tdx

⎛ ⎞ω = ω ω⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠F , ( )k 1,2,...=

che avevamo dedotto per le funzioni ordinarie sotto certe condizioni. In modo analogo, si dimostra che è valida sempre l'equazione

63) ( ) ( )( )( ) ( )m

m

m

d îx T x Td

− ω = ωω

F ( )m 1,2,...=

Lo spazio ( )S R' consente di dare una risposta generale al problema dell'inversione della

trasformazione di Fourier. Abbiamo il seguente teorema: Teorema 6

La trasformazione di Fourier in ( )S R' , definita dalla 48) è un'applicazione di ( )S R' in ( )S R'

lineare e biiettiva.

Dim. Siano , Cα β∈ e ( )T,U S R∈ ' . Abbiamo ( ( )S R' è uno spazio vettoriale):

( ) ( ) ( )T U , T U, T,< α +β ϕ >=< α +β ϕ >= α < ϕ > +F F F

( ) ( ) ( )U, T , U ,+β < ϕ >= α < ϕ > +β < ϕ >F F F ( )S R∀ϕ∈

Pertanto


58

64) ( ) ( ) ( )T U T Uα +β = α +βF F F

Per ogni ( )T S R∈ ' , considerando anche la trasformazione F definita dalla 49) abbiamo

( ) ( ) ( ) ( )T , T , T, T,< ϕ >=< ϕ >=< ϕ >=< ϕ >FF F F FF

in virtù della 35). Quindi

65) ( )T T=FF ( )T S R∀ ∈ '

Procedendo in modo analogo si ottiene

66) ( )T T=FF ( )T S R∀ ∈ '

Si conclude allora che F è biiettiva e che 1− =F F . Quindi se ( )T U=F , allora ( )U T=F . Le equazioni 7) e 8) che abbiamo dedotto

euristicamente sono del tutto valide nel contesto delle distribuzioni temperate. Si può osservare che il carattere biiettivo di F implica che ( )T 0=F se e soltanto se T 0= .

Esempio IX. Consideriamo la trasformata di Fourier della distribuzione di Dirac ξδ . Abbiamo:

( ) ( ) ( )( ) ( )ix1, , e x dx

2

+∞− ξ

ξ ξ−∞

< δ ϕ >=< δ ϕ >= ϕ ξ = ϕ =π ∫F F F

( )i1e d

2

+∞− ωξ

−∞

= ϕ ω ωπ ∫ .

La trasformata di Fourier di ξδ è la funzione a crescita lenta ie 2− ωξ π :

67) ( )( ) ( )ieˆ2

− ωξ

ξ ξδ ω = δ ω =π

F

In particolare

68) ( ) 1ˆ2

δ ω =π

In forma simbolica

69) ( ) ( )i

i xe 1ˆ x e dx2 2

+∞− ωξ− ω

ξ−∞

δ ω = = δ −ξπ π ∫

Viceversa, consideriamo la funzione a crescita lenta (ξ fissato)


59

( )ixe

f x2

ξ

=π

La sua trasformata di Fourier è data da

( ) ( )( )ix ix

ixe e 1, , dxe x

2 2 2

+∞ξ ξξ

−∞

⎛ ⎞< ϕ >=< ϕ >= ϕ =⎜ ⎟

π π π⎝ ⎠∫F F F

( ) ( )i1 ˆd e2

+∞ωξ

−∞

= ω ϕ ω = ϕ ξπ ∫

Quindi

70) ixe

2

ξ

ξ

⎛ ⎞= δ⎜ ⎟

π⎝ ⎠F

In particolare la trasformazione di Fourier di ( )f x 1= e data da

71) ( ) ( )1 21 2= π δF

Se utilizziamo la funzione simbolica ( )xδ − ξ , la 70) si può scrivere in forma simbolica:

72) ( ) ( )iy x1e dy x

2

+∞− −ξ

−∞

= δ − ξπ ∫

In particolare

73) ( ) ( )i xe d 2 x+∞

− ω

−∞

ω = π δ∫

Dalla 62) segue che

74) ( )( )( ) ( )i

kk ei

2

− ωξ

ξδ ω = ωπ

F

In particolare

75) ( )( ) ( ) ( )kk2 iπ δ ω = ωF

Viceversa dalla 63) e 71) deduciamo

76) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 m mmx 2 i= π δF ( )m 1,2,...=

La trasformata di Fourier di un polinomio è data quindi da

77) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 2 n2 n2 n0 1 2 n 0 1 2 na a x a x ... a x 2 a ia i a ... i a+ + + + = π δ+ δ + δ + + δ'F


60

Esempio X. Sia ( )f x sommabile su R e tale che anche ( )f ω sia sommabile. In tal caso ( )fF

è data da

78) ( )( ) ( )i x1ˆ ˆf x e f d2

+∞ω

−∞

= ω ωπ ∫F ;

( )( )f xF è una funzione continua di x.

In virtù della 65) abbiamo

79) ( )f , f,< ϕ >=< ϕ >F , ( )S R∀ϕ∈

cioè f e ( )fF sono eguali come distribuzioni. Dal teorema 2 (pag. 31) segue allora che ( )( )f xF

e ( )f x sono quasi ovunque eguali.

Poiché ( )( )f xF è continua, si può dedurre che la funzione ( )f x è eguale quasi ovunque ad una

funzione continua. Se ( )f x è continua risulta allora

80) ( )( ) ( )f x f x=F x R∀ ∈

Esempio XI. La trasformata di Fourier in ( )2L R .

Una funzione ( ) ( )2f x L R∈ , definisce una distribuzione temperata mediante

81) ( ) ( )f, f x x dx+∞

−∞

< ϕ >= ϕ∫ ( )S R∀ϕ∈

L' integrale esiste perché il prodotto di due funzioni a quadrato sommabile è sommabile. Ogni funzione infinitamente derivabile e a decrescenza rapida è a quadrato sommabile, oltre ad essere sommabile: se ( ) ( )x S Rϕ ∈ , allora ( ) ( ) ( )1 2x L R L Rϕ ∈ ∩ . Il funzionale lineare 81) è continuo:

si ha infatti, per ( )k, S Rϕ ϕ ∈ ,

( ) ( ) ( )( )k kf, f, f x x x dx+∞

−∞

< ϕ > − < ϕ > = ϕ −ϕ ≤∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2k k 2

x R

f xf x x x dx sup 1 x x dx

1 x

+∞ +∞

∈−∞ −∞

⎡ ⎤≤ ϕ −ϕ ≤ + ϕ −ϕ⎣ ⎦ +∫ ∫

e l'integrale esiste perché 21 1 x+ è a quadrato sommabile. Una funzione a quadrato sommabile non necessariamente è sommabile. E' questo il caso, per

esempio, della funzione ( ) 2f x 1 1 x= + .


61

Pertanto in generale, la trasformata di Fourier di una funzione ( )2L R∈ esiste in senso

distribuzionale. E' possibile caratterizzare completamente la distribuzione temperata ( )fF con ( )2f L R∈ . Un

primo risultato è dato dal seguente teorema Teorema 7 Se ( ) ( ) ( )2 1f x L R L R∈ ∩ , allora ( ) ( )2f L Rω ∈ e

82) ( ) ( )2 2

f d f x dx+∞ +∞

−∞ −∞

ω ω =∫ ∫ ( )f f=

Abbiamo già dimostrato questa eguaglianza nel caso di una funzione ( ) ( )x S Rϕ ∈ , che , come si

è osservato, appartiene a ( ) ( )2 1L R L R∩ . Generalizzando opportunamente il procedimento che

ci ha condotti alla 39), si dimostra che la 82) è valida per ogni ( ) ( )2 1f L R L R∈ ∩ .

Se ( ) ( )2f x L R∈ , consideriamo la funzione

83) ( ) ( )N

f xf x

0

⎧= ⎨⎩

per x N

per x N

≤>

( )N 0>

Abbiamo:

84) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2N

2 2 2

N NN

N

f f f x f x dx f x dx f x dx 0+∞ − +∞

→∞−∞ −∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − = + →⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫

Ovviamente ( )Nf x è a quadrato sommabile. Tenendo presente che [ ] ( )N,N

1x

0−

⎧χ = ⎨

⎩

x N

x N

≤>

è a quadrato sommabile e che ( ) ( ) [ ] ( )N N,Nf x f x x−= χ (prodotto di due funzioni a quadrato

sommabile), si ha che ( )Nf x è anche sommabile: ( ) ( ) ( )N 2 1f x L R L R∈ ∩ . Possiamo allora

applicare a ( )Nf x il teorema 7. La trasformata di Fourier ( )Nf ω di ( )Nf x , che è definita in senso

classico, è data da:

85) ( ) ( ) ( )N

i x i xN N

N

1 1f f x e dx e f x dx

2 2

+∞ +− ω − ω

−∞ −

ω = =π π∫ ∫ ,

e gode della proprietà

86) N Nf f=

Dalla 86) discende che


62

87) N M N Mˆ ˆf f f f− = −

Dalla 84) segue che ( ) ( )Nf x N 1,2,...= è una successione di Cauchy in ( )2L R . Abbiamo

allora, in virtù della 87), che le ( )Nf ω date dalla 85) formano una successione di Cauchy in

( )2L R . Per la completezza di ( )2L R , si conclude che esiste uno e un solo elemento ( )f ω di

( )2L R , tale che

88) ( ) ( )1 22N

i xNN N

N

1ˆ ˆ ˆlim f f lim f e f x dx d 02

+∞ +− ω

→∞ →∞−∞ −

⎛ ⎞⎜ ⎟− = ω − ω =⎜ ⎟π⎝ ⎠∫ ∫

Dalla 84) e 86) segue che la ( )f ω data dalla 88) gode della proprietà

89) f f=

La ( )f ω determinata dal limite 88) è definita soltanto quasi ovunque in R. Si dimostra che

questa funzione a quadrato sommabile, che è una distribuzione temperata, coincide con la distribuzione temperata trasformata di Fourier di ( )f x ; ( ) ( )( )f fω = ωF .

In conclusione la trasformazione di Fourier in ( )2L R è un'applicazione lineare di ( )2L R in

( )2L R . Questa applicazione è biiettiva e gode della proprietà 89) (più in generale si ha (vedi

38)):

90) ( ) ( ) ( ) ( )ˆg f d g x f x dx+∞ +∞

−∞ −∞

ω ω ω =∫ ∫ ( )2f, g L R∀ ∈

cioè, usando la notazione di prodotto scalare, 91) ˆg, f g, f< >=< >

La trasformazione F in ( )2L R è un esempio di un operatore unitario in uno spazio di Hilbert.

La trasformazione F in ( )2L R gode delle stesse proprietà. La funzione ( )f x è determinata dal

limite

92) ( ) ( )1 22N

i x

NN

1 ˆlim f x f e d dx 02

+∞ +ω

→∞−∞ −

⎛ ⎞⎜ ⎟− ω ω =⎜ ⎟π⎝ ⎠∫ ∫

5. Trasformata di Fourier in diverse variabili Sia ( ) n

1 2 nx x , x ,..., x R= ∈ , ( ) n1 2 n, , ..., Rω = ω ω ω ∈ . Se ( ) ( )n

1 2 n 1f x , x ,..., x L R∈ , la sua

trasformata di Fourier ( )1 2 nf , , ...,ω ω ω è la funzione definita da


63

93) ( )( )

( ) ( )1 1 2 2 n ni x x ... x1 2 n 1 2 n 1 2 nn 2

1f , , ..., ... e f x ,x ,..., x dx dx ...dx

2

+∞ +∞− ω +ω + +ω

−∞ −∞

ω ω ω =π ∫ ∫

Introducendo il prodotto scalare in n1 1 n nR ,x x ... x< ω >= ω + +ω , possiamo scrivere la 93)

brevemente nella forma:

94) ( )( )

( )n

i ,xn 2

R

1f e f x dx

2− <ω >ω =

π ∫

con 1 2 ndx dx ,dx ,...,dx= . La ( )f ω è anche indicata con ( )fF .

La ( )f ω gode di proprietà analoghe a quelle del caso di una sola variabile. Se D fα esiste, è

continua ed è sommabile su nR , abbiamo (teorema 1):

95) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 n

1 n 1 2 nˆD f ,..., i i ... i f

α α αα ω ω = ω ω ω ωF

dove ( )1 2 n, , ...,α = α α α e 1 n

1 n

...

1 n

Dx ... x

α + +αα

α α

∂=∂ ∂

In particolare se f∆ esiste, è continua ed appartiene a ( )n1L R , risulta

96) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 21 2 n

ˆ ˆf ... f f∆ = − ω +ω + +ω ω ≡ − ω ωF

Il teorema 2 si generalizza nella forma

97) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 n1 2 n

1 n

...

1 n 1 2 n1 n

f, ..., ix ix ... ix f x

...

α + +αα α α

α α

∂ω ω = − − −

∂ω ∂ωF

Se 0α > e ( ) ( )2 2 21 2 nx x ... x

f x e−α + + +

= , abbiamo (vedi eq. 20)

98) ( )( )

2 2 21 2 n2 2 2

1 2 n

...x x ... x

4n 2

1e e

2

ω +ω + +ω−−α + + + α⎛ ⎞ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ αF

Lo spazio ( )nS R è lo spazio vettoriale complesso delle funzioni ( ) ( )1 2 nx x , x ,..., xϕ ≡ ϕ a

decrescenza rapida, cioè delle funzioni ( )xϕ che soddisfano le due condizioni:

i) ( )xϕ è infinitamente derivabile, cioè Dαϕ esiste per ogni multiindice

( )1 2 n, , ...,α = α α α

ii) per ogni coppia di multiindici α e ( )1 2 n, , ...,β = β β β si ha

( )1 2 n1 2 nx

lim x x ...x D x 0β β β α

→∞ϕ = ( )2 2

1 nx x ... x= + +

Una successione kϕ in ( )nS R converge in S a ( )nS Rϕ∈ , e si scrive S

kϕ →ϕ , se


64

( ) ( )( )1 2 n

n1 2 n kk x R

lim sup x x ...x D x x 0β β β α

→∞ ∈ϕ −ϕ =

per ogni coppia di multiindici α e β .

La trasformazione di Fourier F definita dalla 94) è un'applicazione di ( )nS R in ( )nS R lineare,

continua e biiettiva. L'antitrasformata F , che è dello stesso tipo della F salvo il cambiamento di i in –i, fornisce la trasformazione inversa 1−F . In modo del tutto analogo al caso unidimensionale si considera lo spazio vettoriale delle

distribuzioni temperate su nR , che è indicato con ( )nS R' , e si introduce la trasformata di Fourier

degli elementi di ( )nS R' . Il teorema 6 e l'equazione 65), 66) si applicano anche a ( )nS R' .

La trasformata di Fourier di una funzione ( ) ( )n2f x L R∈ , che è definita per una generica ( )f x a

quadrato sommabile in senso distribuzionale, è una funzione ( ) ( )n2f L Rω ∈ . Si ha, in ( )n

2L R ,

99) ( ) ( )n n

1 2 1 222

R R

ˆf f x dx f d⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = ω ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

e ( ) ( ) ( ) ( )

n n

1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n

R R

ˆˆg, f g x ,..., x f x ,..., x dx ...dx g ,..., f ,..., d ...d< >= = ω ω ω ω ω ω =∫ ∫

ˆg, f=< >

Nello spazio di Hilbert ( )n2L R , F è una trasformazione unitaria. Se ( ) n

1 2 n, ,..., Rξ = ξ ξ ξ ∈ , e

ξδ è la distribuzione di Dirac in nR con polo ξ , abbiamo:

100) ( )( )

i ,

1 n n 2

eˆ ,...,2

− <ω ξ>

ξδ ω ω =π

( )( )( )n 22 1π δ =F , e

101) ( ) ( )n 2i x,e 2< ξ>ξ= π δF

6. Convoluzione Teorema 8 Siano ( )f x e ( )g x sommabili su nR . Allora, per quasi ogni nx R∈ , la funzione

( ) ( )y f x y g y→ − è sommabile su nR . Posto per tali x

102) ( )( )

( ) ( )n

n 2

R

1h x f x y g y dy

2= −

π ∫ ( )( )1 1 n nx y x y ,..., x y− = − −

si ha che ( ) ( )n1h x L R∈ .


65

Dim. La funzione ( ) ( ) ( )F x, y f x y g y= − è misurabile in n nR R× .

Controlliamo che ( )F x,y è sommabile. Abbiamo

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n nR R R R R R

dy dx F x,y dy g y f x y dx g y dy f x dx⎛ ⎞⎛ ⎞

= − = < +∞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Dal teorema di Tonelli discende allora che ( )F x, y è sommabile su n nR R× .

Applicando il teorema di Fubini a ( )F x, y si conclude che ( )h x , definita per quasi ogni x, è

sommabile su nR . La funzione ( )h x è detta convoluzione (o prodotto di convoluzione) di ( )f x e ( )g x e si

scrive 103) ( ) ( )( )h x f g x= ∗ o ( )h f g= ∗

Si verifica immediatamente che 104) f g g f∗ = ∗ Teorema 9 (della convoluzione) Siano ( ) ( ) ( )n

1f x , g x L R∈ . Risulta

105) ( ) ( ) ( )f g f g∗ =F F F

Dim. Per il teorema di Fubini abbiamo:

( )( ) ( )

( ) ( )n n

i ,xn 2 n 2

R R

1 1h e dx f x y g y dy

2 2− <ω >ω = − =

π π∫ ∫

( )

( )( )

( )n n

i ,y i ,x yn 2 n 2

R R

1 1e g y dy e f x y dx

2 2− <ω > − <ω − >= −

π π∫ ∫

Con il cambiamento di variabile ( )x y dx d− = ξ = ξ nell'ultimo integrale, otteniamo

( ) ( ) ( )ˆˆ ˆh f gω = ω ω .

E' utile tener presente che l'operazione di convoluzione può essere definita anche in situazioni non contemplate dal teorema 8. Non è però garantita la sommabilità del prodotto di convoluzione. Si ha, per esempio, il teorema Teorema 10 Siano ( ) ( ) ( )n

1,locf x , g x L R∈ e si supponga che sia soddisfatta una delle seguenti condizioni


66

i) ( )g x ha supporto compatto

ii) ( )f x ha crescenza lenta e ( ) ( )ng x S R∈

Allora, per quasi ogni nx R∈ , la funzione ( ) ( )y f x y g y→ − è sommabile e la convoluzione

( )( )f g x∗ , data

106) ( )( )( )

( ) ( )n

n 2

R

1f g x f x y g y dy

2∗ = −

π ∫

appartiene a ( )n1,locL R .

Un altro risultato riguarda le funzioni a quadrato sommabile. Teorema 11 Siano ( ) ( ) ( )2f x , g x L R∈ . Allora, per quasi ogni x la funzione ( ) ( )y f x y g y→ − è sommabile

e la convoluzione ( )( )f g x∗ gode della proprietà che esiste una costante M 0> tale che

( )( )f g x M∗ ≤ q.o. su nR

Si dimostra anche che Teorema 12 Se ( ) ( )1f x L R∈ e ( ) ( )2g x L R∈ , ( )( )f g x∗ è definita ed appartiene a ( )2L R .

Per quanto riguarda il teorema di convoluzione, si dimostra che, utilizzando la trasformazione di Fourier in senso distribuzionale, il teorema conserva la sua validità nei casi in cui entrambi i membri della 105) abbiano significato: i) ( ) ( )1f x L R∈ e ( ) ( )2g x L R∈ , ii) ( ) ( ) ( )2f x ,g x L R∈ ,

iii) ( )f x a crescenza lenta e ( ) ( )ng x S R∈ , iv) ( )f x a crescenza lenta e ( ) ( )n1,locg x L R∈ ed ha

supporto compatto. Esempio XII (Equazione di Helmholtz). Consideriamo l'equazione differenziale alle derivate parziali 107) ( ) ( ) ( )2u x u x x−∆ +µ = ρ , in ( )3R 0µ >

dove supponiamo che ( )xρ sia continua e sommabile su 3R . Studieremo la 107), considerando

in generale le funzioni dal punto di vista delle distribuzioni temperate. Associamo alla 107) l'equazione 108) ( ) ( ) ( )2g x g x x−∆ +µ = δ

Vedremo che questa equazione ha un ruolo importante per la determinazione di una formula esplicita della ( )u x soluzione della 107).


67

Per risolvere la 108), applichiamo ad entrambi i membri la trasformata di Fourier (ricordando che ( )T 0=F se e soltanto se T 0= ). Abbiamo

109) ( ) ( )( )

2 23 2

1ˆ ˆg g2

ω ω +µ ω =π

con 2 2 21 2 3ω = ω +ω +ω . Nel seguito porremo anche 2 2 2

1 2 3r x x x= + + . Otteniamo quindi

110) ( )( )3 2 2 2

1 1g

2ω =

π ω +µ

e

111) ( )( )

( )( )3 3

i ,xi ,x

3 2 3 2 2R R

1 1 eˆg x e g d d2 2

<ω ><ω >= ω ω = ω

π π ω +µ∫ ∫

Introducendo coordinate sferiche per ( )1 2 3, ,ω = ω ω ω , otteniamo

112) ( )( ) ( )

2 2 1i r cos i r cos

2 2 2 22 20 0 0 1

d d1 1g x sin e d d cos e

2 2

+∞ π +∞ +ω ϑ ω ϑ

−

ω ω ω ω= ϑ ϑ = ϑ =

π ω +µ π ω +µ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2 2 2 2 22

0

sin r2 1 1 t sin rtd dt

r t2 r 2

+∞ +∞

−∞

ω ω= ω = =

+µπ ω +µ π∫ ∫

( ) ( )

( )( )

irt r

2 2 22 2

i 1 te i 1 i 1 e idt 2 iR i 2 i

r t r r 2i2 2 2

+∞ −µ

−∞

µ= − = − π µ = − π

+µ µπ π π∫

In conclusione la distribuzione temperata ( )g x soluzione della 108) è data dalla funzione

sommabile

113) ( )r1 e

g x4 r

−µ

=π

( )0µ >

Questa funzione è detta soluzione fondamentale dell'equazione di Helmholtz o anche funzione di Green dell'operatore differenziale 2−∆ +µ , che soddisfa la condizione di annullamento all'infinito. Per 0µ = , ( )g x coincide con il potenziale di Coulomb di una carica unitaria puntiforme che si

trovi nell'origine. Per 0µ ≠ , ( )g x è detta anche potenziale di Yukawa; è un potenziale a corto

raggio di azione che descrive le forze nucleari a basse energie.


68

La ( )g x consente di ottenere una formula esplicita per la soluzione della 107). Se ( )ρ ω , ( )u ω

sono le trasformate di Fourier di ( )xρ e ( )u x , applicando la trasformazione di Fourier alla

107), otteniamo

114) ( ) ( )2 2

ˆu

ρ ωω =

ω +µ

Se poniamo ( ) ( )( )3 2

uv

2

ωω =

π, possiamo scrivere

115) ( ) ( ) ( ) ( )( )ˆ ˆv g gω = ω ρ ω = ∗ρ ωF

Abbiamo allora

( )

( )( ) ( )( ) ( )( )1

3 2

u xˆv x v g x

2−= = ω = ∗ρ

πF

cioè

116) ( ) ( )3

x y

R

1 eu x y dy

4 x y

−µ −

= ρπ −∫ ,

( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 2 2 3 3x y x y x y x y⎛ ⎞− = − + − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

che fornisce per 0µ = , la ben nota soluzione dell'equazione di Poisson per una distribuzione di

carica ( )xρ .

Esempio XIII (Equazione di diffusione). Consideriamo il problema della diffusione di una sostanza in un mezzo continuo. Indichiamo con ( ) ( )1 2 3x , x , x , t x, tρ = ρ la densità della sostanza

all'istante t. Se ( )j x, t denota la densità di corrente (quantità di sostanza che passa per unità di

tempo attraverso un'unità di area perpendicolare alla direzione in cui diffonde la sostanza), si ha, nella cosiddetta approssimazione lineare, 117) j D grad= − ρ , ( )D 0>

dove D è una costante che prende il nome di coefficiente di diffusione. Se la sostanza non è né assorbita né prodotta dal mezzo, deve valere l'equazione di continuità

118) div j 0t

∂ρ+ =

∂

Combinando 117) e 118) otteniamo l'equazione di diffusione


69

119) ( ) ( )x, t D x, tt

∂ρ = ∆ρ

∂

La 119) è detta anche equazione del calore, perché è l'equazione per la temperatura ( )T x, t in un

solido di densità ν , coefficiente di conducibilità termica k e calore specifico c, con

k

Dc

=ν

Da un punto di vista fisico la ( )x, tρ sarà determinata se conosciamo la densità ad un istante

iniziale, che possiamo far coincidere con t 0= . Considerando il caso generale di nR , studieremo allora il seguente problema (problema ai valori iniziali) per l'equazione di diffusione

120) ( ) ( )

( )0

D 0tx,0 x

x, t 0

∂ρ⎧ − ∆ρ =⎪ ∂⎪ρ = ρ⎨⎪⎪ρ =⎩

( )

n

2 2

2 21 n

x R , t 0

t 0

t 0 ...x x

∈ >

=

⎛ ⎞∂ ∂< ∆ = + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

dove ( )0 xρ è una funzione assegnata su nR , per esempio continua e sommabile. La 120) si può

scrivere in forma equivalente nella forma (ricordando che ( ) ( )dt t

dtϑ = δ )

121) ( ) ( ) ( ) ( )0x, t D x, t x tt

∂ρ − ∆ρ = ρ δ

∂ nx R , t R∈ ∈

Associamo alla 120) o 121) l'equazione

122) ( ) ( ) ( ) ( )g x, t D g x, t x tt

∂− ∆ = δ δ

∂

o, equivalentemente, il problema

123)

( ) ( )

( ) ( )( )

ng x, t D g x, t 0 x R , t 0t

g x,0 x

g x, t 0 t 0

∂⎧ − ∆ = ∈ >⎪∂⎪= δ⎨

⎪ = <⎪⎩

Per risolvere la 123), consideriamo la trasformazione di Fourier rispetto alle variabili spaziali, trattando t come un parametro. Applicando questa trasformazione alla 123), otteniamo

124)

( ) ( ) ( )

( )( )

2 n1 n

n 2

ˆ ˆg , t D g , t 0 ,...., R , t 0t

1g ,0

2

∂⎧ ω + ω ω = ω = ω ω ∈ >⎪∂⎪⎨⎪ ω =⎪ π⎩


70

Abbiamo quindi

125) ( )( )

2tD

n 2

1g , t e

2

− ωω =π

t 0>

Usando la 98), otteniamo

126) ( )( ) ( )

2x

4tDn 2 n 2

1 1g x, t e

2 2tD

−=

π t 0>

con

2 21 nx x ... x= + + ( )( )g x, t 0 t 0= <

La ( )g x, t è detta soluzione fondamentale dell'equazione di diffusione. Se consideriamo il

problema di partenza 120) e applichiamo la trasformazione di Fourier rispetto alle variabili spaziali, otteniamo, invece della 124),

127) ( ) ( )

( ) ( )

2

0

ˆ ˆ, t D , t 0 t 0t

ˆ ˆ,0 ,

∂⎧ ρ ω + ω ρ ω = >⎪∂⎨⎪ρ ω = ρ ω⎩

che ha per soluzione

128) ( ) ( )2

tD0

ˆ ˆ, t e− ωρ ω = ρ ω ,

cioè

( )

( )( ) ( )0n 2

ˆ , tˆ ˆg , t

2

ρ ω= ω ρ ω

π t 0>

Concludiamo allora che ( )

( )( ) ( )0n 2

x, tg x, t x

2

ρ= ∗ρ

π,

cioè

129) ( )( )

( )2

n

x y

4tD0n 2

R

1x, t e y dy

4 tD

−−

ρ = ρπ ∫ ( )t 0>

con ( ) ( ) ( )( )2 2 2

1 1 n nx x x y ... x y x, t 0 t 0− = − + + − ρ = <

E' utile tener presente che 130) ( )

nR

g x, t dx 1=∫ t 0∀ >


71

Infatti:

( ) ( ) ( )

2

2 2i

n n

x ny y4tD

in 2 n 2 n 2 i 1R R

1 1 1e dx e dy e dy 1

4 tD

+∞− − −

=−∞

= = Π =π π π∫ ∫ ∫

La 130), consente di stabilire che 131) ( ) ( )0

t 0lim x, t x

+→ρ = ρ

La 130) è un caso particolare della seguente equazione 132) ( ) ( )

n n

0

R R

x, t dx x dxρ = ρ∫ ∫ t 0∀ >

Infatti

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n

n 2 n 2

0 0

R R

ˆ ˆx, t dx 2 0, t 2 0 x dxρ = π ρ = π ρ = ρ∫ ∫ ,

dove si è usata la 128). Esempio XIV (Equazione libera di Schrodinger). Studiamo ora il problema ai valori iniziali per l'equazione libera di Schrodinger

133) ( ) ( )

n

0

i 0 x R , t 0t 2mx,0 x

∂ψ⎧ + ∆ψ = ∈ >⎪ ∂⎨⎪ ψ = ψ⎩

dove ψ e 0ψ sono a valori complessi e ( ) ( ) ( )n n0 2 1x L R L Rψ ∈ ∩ .

La 133) si ottiene dalla 120) con

134) D2m

= e la sostituzione di t con it.

Abbiamo allora dalla 129)

135) ( ) ( )2

n

n 2 x yi m

2t0

R

2mx, t e y dy

4 i t

−⎛ ⎞ψ = ψ⎜ ⎟π⎝ ⎠ ∫ nx R , t 0∈ >

(l'integrale senz'altro esiste se ( ) ( ) ( )n n0 2 1x L R L Rψ ∈ ∩ ).

Riscriviamo la 135) nella forma

136) ( ) ( )2 2

n

n 2 x y mx,y mi m i i2t t 2t

0

R

2mx, t e e e y dy

4 i t

< >−⎛ ⎞ψ = ψ⎜ ⎟π⎝ ⎠ ∫

Tenendo presente che la trasformazione di Fourier in ( )n2L R conserva la norma, dalla 136) si

deduce


72

137) ( ) ( )n n

2

0

R R

x, t dx x dxψ = ψ∫ ∫ t 0∀ >

Quindi l'applicazione: 138) ( ) ( )t 0U : x x, tψ →ψ

è un operatore lineare unitario in ( )n2L R , per ogni fissato t.

La funzione

139) ( )2n 2 x

i m2tm

G x, t e2 i t

⎛ ⎞= ⎜ ⎟π⎝ ⎠ ( )nx R , t 0∈ ≠

è detta la soluzione fondamentale dell'equazione libera di Schrodinger. Osserviamo che la 135) ha significato per ogni t 0≠ , anche per t 0< . Quindi, in realtà abbiamo risolto il problema

140) ( ) ( )

n

0

i 0 x R , t Rt 2mx,0 x

∂ψ⎧ + ∆ψ = ∈ ∈⎪ ∂⎨⎪ ψ = ψ⎩

L'equazione di Schrodinger è reversibile nel tempo, a differenza dell'equazione di diffusione che è irreversibile nel tempo. La diffusione è un tipico processo di aumento dell'entropia. La 139) è associata alla condizione iniziale ( ) ( )G x,0 x= δ . Se consideriamo la condizione

iniziale ( ) ( )G x,0 x y= δ − (y fissato punto di nR ), otteniamo

141) ( )2n 2 m x y

i2tm

G x, t;y e2 i t

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟π⎝ ⎠

La funzione di ( )G x, t;y è il propagatore dell'equazione libera di Schrodinger.

7. Convergenza distribuzionale Per le distribuzioni si può introdurre una nozione di convergenza, che risulta utile sotto vari

aspetti. Considereremo lo spazio ( )nR'D ; le nozioni e i risultati che otterremo si possono

estendere alle distribuzioni temperate. Consideriamo una famiglia Tα di distribuzioni dipendente da un parametro α che

appartiene ad un insieme di indici I. Supponiamo che ( )nT Rα ∈'D , I∀α∈ . Si dice che Tα

converge distribuzionalmente alla distribuzione ( )nT R∈ 'D per 0α→α , e si scrive

142)

0

T Tα α→α→

se


73

143) 0

lim T , T,αα→α< ϕ >=< ϕ > ( )nR∀ϕ∈D

Questo tipo di convergenza è detta anche convergenza debole. Se l'insieme degli indici I è discreto e si considera una successione kT di distribuzioni,

scriveremo 144) kk

lim T T→∞

= ,

se 145) kk

lim T , T,→∞

< ϕ >=< ϕ > ( )nR∀ϕ∈D

Questa nozione si applica anche a serie di distribuzioni 146) 1 2 nT T ... T ...+ + + +

La serie 146) converge distribuzionalmente alla distribuzione T, se

147) k

ik i 1lim T , T,→∞ =

< Σ ϕ >=< ϕ > ( )nR∀ϕ∈D

Si scriverà in tal caso

148) nn 1T T

∞

== Σ

Una proprietà importante di questo tipo di convergenza è espressa dal seguente teorema Teorema 13 Se

0

lim T ,αα→α< ϕ > esiste per ogni ( )nRϕ∈D , esiste una ed una sola distribuzione T tale che

0

T Tα α→α→ , cioè

0

lim T , T,αα→α< ϕ >=< ϕ >

Un'altra proprietà significativa riguarda la possibilità di scambiare sempre l'operazione di derivazione con quella di limite distribuzionale: se

0

T Tα α→α→ , allora

0

m mD T D Tα α→α→ , per ogni multindice n-dimensionale m. Si ha infatti (è

sufficiente considerare le derivate prime):

0i i i i

T T, T , T, ,

x x x xα

α α→α

∂ ∂ϕ ∂ϕ ∂< ϕ >= − < > → − < >=< ϕ >∂ ∂ ∂ ∂

,

sicché

149) 0i i

T T

x xα

α→α

∂ ∂→

∂ ∂

In particolare abbiamo che ogni serie convergente di distribuzioni, può essere derivata termine a termine, tante volte quanto si vuole.


74

La nozione di convergenza distribuzionale è particolarmente utile nelle situazioni in cui si vuole dare significato a procedimenti di limite che non hanno significato nell'ambito delle nozioni classiche. Essa consente altresì di stabilire un legame tra le distribuzioni, in particolare quelle singolari, e le funzioni ordinarie. Se una famiglia ( ) f xα di funzioni localmente sommabili

converge distribuzionalmente a una distribuzione T, scriveremo

150) ( ) ( )0

d

f x T xα α→α→ (o anche ( ) ( )

0

d

lim f x T xα→α

= )

dove ( )T x è la funzione generalizzata o simbolica associata a T.

Esempio XV. Sia ( )nf x sin nx= ( )x R n 1,2,...∈ =

La successione ( ) nf x , tranne in x 0= , non converge puntualmente.

Abbiamo però

151) d

nsin nx 0

→∞→

Infatti, per ogni ( ) ( )x Rϕ ∈D , abbiamo

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1sin nx x dx x d cos nx cos nx x

n n

+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞

⎛ ⎞ϕ = ϕ − = − ϕ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )1 1cos nx x dx cos nx x dx

n n

+∞ +∞

−∞ −∞

+ ϕ = ϕ∫ ∫' '

Quindi

( ) ( ) ( )1sin nx x dx x dx

n

+∞ +∞

−∞ −∞

ϕ ≤ ϕ∫ ∫ '

Passando al limite per n →∞ otteniamo la 151).

Esempio XVI. Abbiamo visto che la trasformata di Fourier di ( )ixe

f x2

ξ

=π

è la distribuzione ξδ .

Questo risultato lo abbiamo espresso simbolicamente nella forma

152) ( ) ( )iy x1e dy x

2

+∞− −ξ

−∞

= δ − ξπ ∫

Alla 152) si può dare in realtà un significato preciso e diretto nell'ambito della nozione di convergenza distribuzionale. Consideriamo l'integrale ( )N 0>


75

( )N

iy x

N

1e dy

2

+− −ξ

−π∫

A fissato N, l'integrale esiste e fornisce una funzione ben precisa di x:

153) ( ) ( )( )

Niy x

N

sin N x1e dy

2 x

+− −ξ

−

− ξ=

π π − ξ∫

Per N →∞ questa funzione non ammette limite (tranne per x = ξ ) nel senso ordinario. Esaminiamo il limite dal punto di vista distribuzionale.

( )

( ) ( ) ( ) ( )N

iy x

N

sin N x 1x dx dx e dy x dx

x 2

+∞ +∞ +− −ξ

−∞ −∞ −

⎛ ⎞− ξϕ = ϕ =⎜ ⎟

π −ξ π⎝ ⎠∫ ∫ ∫

( ) ( )N N

iy iyx i i x

N N

1 1 1dye e x dx d e e x dx

2 2 2

+ +∞ + +∞ξ − ωξ − ω

− −∞ − −∞

= ϕ = ω ϕ =π π π∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )N

i i

NN

1 1ˆ ˆe d e d2 2

+ +∞ωξ ωξ

→∞− −∞

= ϕ ω ω → ϕ ω ω = ϕ ξπ π∫ ∫ ( )R∀ϕ∈D

(ogni ( )Rϕ∈D appartiene anche a ( )S R ). (E' da notare che abbiamo scambiato l'ordine

d'integrazione di x e y, in virtù del fatto che l'integrale in y è esteso ad un intervallo limitato). Possiamo quindi concludere che

154) ( ) ( )( ) ( )

N diy x

N NN

sin N xlim e dy lim x

x

+− −ξ

→∞ →∞−

− ξ= =δ −ξ

π − ξ∫

In particolare

155) ( )d

N

sin Nxlim x

x→∞=δ

π

Esempio XVII. Un risultato analogo al precedente può essere ottenuto nel modo seguente. Consideriamo l'intervallo ( )0,2π e le funzioni di classe ( )0C R∞ e a supporto compatto contenuto

in questo intervallo. Questo insieme forma lo spazio ( )( )0,2πD . I funzionali lineari e continui

su ( )( )0,2πD sono le distribuzioni su ( )0,2π , che formano lo spazio ( )( )0,2π'D . Siano x e ξ

(ξ fissato) punti di ( )0,2π . La serie di funzioni

156) ( )in x

n

1e

2

+∞−ξ

=−∞Σ

π

non converge nel senso usuale (il termine n-simo non tende a zero). Dal punto di vista distribuzionale abbiamo, per ( ) ( )( )x 0,2ϕ ∈ πD ,


76

( ) ( )2 2inN N

in inx inx

n N n N0 0

1 e 1e e x dx e x dx

2 2 2

π πξ+ +ξ − −

=− =−Σ ϕ = Σ ϕ

π π π∫ ∫ ;

i coefficienti di Fourier:

( )2

inxn

0

1c e x dx

2

π−= ϕ

π ∫

sono funzioni rapidamente decrescenti per n →±∞ , in virtù della infinita derivabilità di ( )xϕ .

Dalla teoria delle serie trigonometriche di Fourier abbiamo

157) ( )in

nn

ec

2

ξ+∞

=−∞Σ = ϕ ξ

π

Concludiamo allora

158) ( ) ( )d

in x

n

1e x

2

+∞− −ξ

=−∞Σ =δ − ξ

π in ( )( )0,2π'D

Esempio XVIII. Sia ( ) ( )1 2 nf x f x , x ,..., x= una funzione non negativa localmente sommabile

su nR , tale che 159) ( )

nR

f x dx 1=∫

Per 0α > , definiamo

160) ( ) 1 2 nn n

x x x1 x 1f x f f , ,...,α

⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α α α α α⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Dimostriamo che

161) ( ) ( )d

0lim f x x

+ αα→

=δ

Anzitutto, con il cambiamento di variabile x

y =α

, otteniamo ( )2 21 nx x .... x= + +

a) ( )nR

f x dx 1α =∫ 0∀α >

b) ( ) ( )0 0

x y

lim f x dx lim f y dy 0αα→ α→ρ>ρ >α

= =∫ ∫ fissato 0∀ ρ >

c) ( )0

x

lim f x dx 1αα→<ρ

=∫ fissato 0∀ ρ >

In virtù della a) la 161) afferma che 162) ( ) ( ) ( )( )

0 nR

lim f x x 0 dx 0αα→αϕ −ϕ =∫


77

Dividiamo nR in due insiemi x B, x B≤ > sicché

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )n x B x BR

f x x 0 dx f x x 0 dx f x x 0 dxα α α≤ >

ϕ −ϕ ≤ ϕ −ϕ + ϕ −ϕ∫ ∫ ∫

Sia

( ) ( )nx R

M sup x 0∈

= ϕ −ϕ , ( ) ( ) ( )x B

P B sup x 0≤

= ϕ −ϕ

Abbiamo, usando la non negatività di fα e la a),

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )n x BR

f x x 0 dx P B M f x dxα α>

ϕ −ϕ ≤ +∫ ∫

Sia 0ε > . Per la continuità di ( )xϕ possiamo scegliere B (indipendentemente da α ) in modo

tale che ( )P B2

ε< . Per le proprietà b) esiste un γ tale che, per ogni 0 < α < γ

( )x B

f x dx2Mα

>

ε<∫

Quindi, fissato ε , esiste γ tale che per 0 < α < γ

( ) ( ) ( )( )nR

f x x 0 dxα ϕ −ϕ < ε∫

Ciò dimostra la validità della 162) e quindi della 161). Osserviamo che per ξ fissato, facendo un cambiamento di variabile, si deduce immediatamente

163) ( ) ( )d

0lim f x x

+ αα→

− ξ =δ − ξ

(è questo il motivo per cui si indica la funzione simbolica associata a ξδ con ( )xδ − ξ ).

Per esempio se consideriamo in R la funzione ( ) ( )2

1f x

1 x=π +

, questa soddisfa la 159).

Abbiamo allora

164) ( ) ( ) ( )d

2 2 20 0 0

2

1 1 1lim f x lim lim x

x x1+ + +ε

ε→ ε→ ε→

ε= = =δ

ε π π + ε+ε

La funzione ( )g x, t , con D 1= data dalla 126) (vedi anche 130))


78

165) ( )( )

2x

4tn 2

1g x, t e

4 t

−=

π ( )t 0>

è del tipo di una famiglia ( )f xα , con 2t = α . Abbiamo quindi

166) ( )

( )2

x d4t

n 2t 0

1lim e x

4 t+

−

→=δ

π in nR

Esempio XIX. Sia 0x un punto fissato di R. La funzione

167) ( )0

1f x

x x=

−,

come abbiamo già osservato, non è localmente sommabile. Pertanto l'integrale

168) ( )

0

xdx

x x

+∞

−∞

ϕ−∫ con ( ) ( )x Rϕ ∈D

non può definire una distribuzione in quanto non ha significato. Abbiamo visto che si può dare significato all'integrale 168), considerando la derivata distribuzionale di 0log x x− , che ha

condotto all'integrale a valor principale di Cauchy e alla distribuzione

0

1P.V.

x x−

169) ( ) ( )0

0

x

00 0 0x

x x1P.V. , lim dx dx

x x x x x x+

−η

η→−∞ +η

⎡ ⎤ϕ ϕ< ϕ >= +⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

Affronteremo ora il problema del significato che possiamo dare a 0

1

x x− in modo più diretto,

nell'ambito della convergenza distribuzionale. Osserviamo che, se diamo a 0x una parte

immaginaria i+ ε ( 0ε > , per esempio), la funzione

170) ( )0

1f x

x x iε =− − ε

è localmente sommabile. Quindi ( )f xε definisce una distribuzione. Il limite 0+ε → , considerato

puntualmente, ci riporta alla ( )f x (e quindi non risolve il problema di dare un significato a

0

1

x x−). Consideriamo invece il limite 0+ε → dal punto di vista distribuzionale. Abbiamo per

ogni ( ) ( )x Rϕ ∈D


79

( ) ( )( )

( ) ( )( )

02 22 2

0 0 0

x x dxx xf x , dx x dx i

x x i x x x x

+∞ +∞ +∞

ε−∞ −∞ −∞

ϕ ϕ−< ϕ >= = ϕ + ε

− − ε − + ε − + ε∫ ∫ ∫

Dalla 164) deduciamo

171) ( )

( )( )02 20

0

x dxlim i i x

x x+

+∞

ε→−∞

ϕε = πϕ

− + ε∫

Resta da esaminare il primo integrale. Abbiamo

( )( ) ( ) ( )( )2 20

02 20

x x 1x dx x d log x x

2x x

+∞ +∞

−∞ −∞

−ϕ = ϕ − + ε =

− + ε∫ ∫

( )( ) ( ) ( )2 20 0

0

1log x x x dx log x x x dx

2 +

+∞ +∞

ε→−∞ −∞

= − − + ε ϕ → − − ϕ =∫ ∫' '

00

d 1log x x , P.V. ,

dx x x=< − ϕ >=< ϕ >

−

Considerando anche il caso in cui diamo a 0x una parte immaginaria i− ε ( )0ε > , concludiamo

che

172) ( )d

00

0 0

1 1lim P.V. i x x

x x i x x+ε→= ± πδ −

− ε −∓

Le due distribuzioni che abbiamo ottenuto vengono indicate con 0

1

x x i0+− ∓

173) ( )00 0

1 1P.V. i x x

x x i0 x x+ = ± πδ −− −∓

Abbiamo anche trovato che

174) ( )

d0

2 2000

x x 1lim P.V.

x xx xε→

−=

−− + ε

Sia ( )F z la funzione olomorfa definita da

175) ( ) ( )1

11

a

f xF z dx

x z

+∞

=−∫

dove ( )1f x è continua e sommabile e z non appartiene alla semiretta ( )a, .+∞ ( )F z è olomorfa

nel piano complesso privato della semiretta ( )a,+∞ . Sia ( )x a,∈ +∞ . Poiché 0

1P.V.

x x− e


80

( )0x xδ − possono essere estesi, come funzionali, alle funzioni continue e sommabili su ( )a,+∞ ,

abbiamo che

176) ( ) ( ) ( ) ( )1

110

a

f xF x i0 lim F x i P.V. dx i f x

x x+

+∞+

ε→± = ± ε = ± π

−∫

La ( )F z presenta quindi una discontinuità sulla semiretta ( )a,+∞ , data da:

177) ( ) ( ) ( )F x i0 F x i0 2i f x+ ++ − − = π ( )x a,∈ +∞

Esempio XX. Sulla base della nozione di limite distribuzionale possiamo dare un significato alla funzione simbolica ( )( )a xδ , se ( )a x è una funzione derivabile con continuità ed ammette

zeri semplici e isolati. Dare significato a ( )( )a xδ , significa definire una distribuzione

rappresentata simbolicamente da ( )( )a xδ .

Abbiamo visto che

( ) ( )

d

2 20lim x

x+ε→

ε=δ

π ε +

Possiamo allora definire ( )( )a xδ come limite distribuzionale

178) ( )( ) ( )d

2 20

1a x lim

a x+ε→

εδ =

π ε +

Siano 1 2 kx , x ,..., x ,... gli zeri di ( )a x . L'andamento di ( )2 2

1

a x

επ ε +

è dato in figura (per ε

sufficientemente piccolo).


81

Per ε sufficientemente piccolo l'integrale ( ) ( )2 2

1x dx

a x

+∞

−∞

εϕ

π ε +∫ riceve contributi finiti soltanto

in piccoli intervallini contenenti i punti 1 2 kx , x ,..., x ,... che cadono nel supporto di ϕ . In questi

intervallini possiamo scrivere

( ) ( )( )k ka x a x x x= −'

e

( )2 2

1

a x

επ ε +

≅( )( ) ( )

( )( )( )d

k k2 022k k

1a x x x

a x x xε→

ε→ δ −

π ε + −

''

Resta da dare un significato a ( )cxδ . Abbiamo:

( )

( )2 d

2 2 2 2 2 220 0 0

1 1 c 1 1 1lim lim lim x

c x c x ccx+ + +ε→ ε→ η→

ε ε η= = = δ

π π ε + η + πε +i

Quindi:

179) ( ) ( )1cx x

cδ = δ (su ( ) ( )n

n

1R cx x

cδ = δ ) ( )c 0≠

Pertanto otteniamo, in virtù dell'ipotesi che gli zeri siano semplici (sicché ( )ka x 0≠' )

180) ( ) ( )( )

k

kk

x xax

a x

δ −δ = Σ

'

Per esempio

i) ( ) ( ) ( )2 2 1x a x a x a

2a⎡ ⎤δ − = δ − + δ +⎣ ⎦ ( )a 0>

ii) ( ) ( )k

sin x x k+∞

=−∞δ = Σ δ − π

BIBLIOGRAFIA

1) Riesz F., B. Sz. – Nagy, Functional Analysis, New York (1955). 2) Laurent Schwartz, Mathematics for the Physical Sciences, Hermann ed. Paris (1966). 3) Ivar Stakgold, Green's functions and boundary value problems, Wiley – Sons (1998), Second Edition. 4) E. Zeidler, Applied functional analysis (Applications to Mathematical Physics), Springer (1995).

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